Все тонкости «Затраты и выпуски» экономического планирования Производственные Взаимосвязи Давайте начнем нашу первую иллюстрацию использования матриц в социальных науках, вспомнив пример, использованный в первой главе. Вы, возможно, помните, что мы представляли себе очень простую экономику с тремя отраслями, в которой то, что мы сейчас можем назвать физическими соотношениями затрат и выпуска между отраслями, можно было бы представить в следующей матрице: Здесь строки показывают нам, куда направляется продукция каждой отрасли: из общего объема производства 300 единиц, производимых ежегодно отраслью А, например, мы видим, что 50 единиц используются в качестве исходных данных в собственном производственном процессе; 100 единиц продаются отрасли В и 50 - отрасли С для использования в качестве исходных данных в их производственных процессах; а остальные 100 единиц продаются конечным потребителям, таким как вы и я (и правительству, и иностранным потребителям, и всем, кого вы хотели бы включить сюда). Первые три столбца сообщают нам, откуда берутся физические затраты каждой отрасли; * а четвертая колонка сообщает нам, из каких отраслей вы и я (и другие конечные потребители) получают различные вещи, которые мы хотим и в которых нуждаемся. * * Физические затраты, потому что в каждой отрасли также будет вкладываться рабочая сила, которую мы не будем включать в картину до тех пор, пока немного позже. Суммируя элементы в строках этой матрицы, мы можем видеть, что для удовлетворения конечных потребностей в 100 единицах A, 50 единицах B и 80 единицах C отрасли промышленности A, B и C в общей сложности производят 300, 150 и 180 единиц соответственно. Вопрос, который мы могли бы задать как экономический планировщик: "Сколько должны были бы производить эти отрасли, если бы мы хотели удовлетворить какой-то другой уровень конечного спроса?" Поскольку отрасль A использует свой собственный продукт и продукты B или C для производства своих товаров, было бы необходимо, если бы мы хотели увеличить объем A, доступный для конечного спроса, без сокращения объема B и C, увеличить выпуск продукции всех трех отраслей. Наша задача состоит в том, чтобы выяснить, каким именно должно быть такое увеличение. Этот это непростая задача, и было бы разумно начать с еще более простой экономики, чем та, которую мы только что изобразили. Итак, давайте предположим, что есть только две отрасли (F и G, обозначающие продукты питания и оружие), и что власти говорят нам как планировщикам, что они хотят 300 единиц F и 200 единиц G для конечного спроса. Мы должны выяснить, каким должен быть общий объем производства F и G, чтобы удовлетворить уровень конечного спроса. Мы будем называть эти суммы f и g. Сейчас мы еще не получили достаточно информации, чтобы выполнить наше задание. Нам нужно знать больше или, скорее, что-то о методах производства товаров. Сколько собственного продукта нужно F для производства единицы продукции? Сколько продукции отрасли G нужно F? Предположим, мы найдем эту информацию, и выяснится, что независимо от уровня производства F, для производства единицы F всегда требуется 1\4 единицы F и 1\4 единицы G. Это означает, что, если F производит в общей сложности f единиц, он должен использовать 1\4 f своего собственного продукта и 1\4 продукта G в процессе производства: Мы также обнаруживаем, что, опять же, независимо от уровня производительности G, для производства каждой единицы G требуется 1\2 единицы F и 1\3 единицы G. Так что, чтобы для производства g единиц производства G требуется 1\2 g от F и 1\3 g от G: Мы можем объединить три диаграммы выше, чтобы дать общую картину затрат и результатов в экономике. Продукция F должна быть достаточной для удовлетворения собственных производственных потребностей(f), требований G и конечного спроса. Если этого будет достаточно, то мы сможем увидеть, что (1) We can combine the three diagrams above to give an overall picture of the costs and benefits in the economy Аналогичным образом, G должна покрывать потребности F, G и конечного спроса, что дает нам: (2) Помещая эти два отношения в матричную форму, мы можем написать Определения умножения и сложения матриц позволяют нам сделать этот шаг. Здесь мы представляем общие выходные данные в виде вектора столбцов 2 × 1 (назовем его X); общие входные требования как произведение нашей матрицы входных требований 2 × 2 на единицу продукции (A) и вектора столбцов общих выходных данных X; и конечные требования в виде вектора столбцов 2 × 1 (назовем его Y). Вместо того чтобы выписывать матрицы полностью, как мы только что сделали, мы можем использовать наши три символа A, X и Y и выразить взаимосвязи гораздо более лаконично: Нашу главную проблему теперь можно сформулировать очень просто: учитывая A и Y, найдите X. Теперь, если бы мы находились в области обычной арифметики, а A, Y и X были бы одиночными числами, у нас не возникло бы никаких трудностей при решении этой задачи. Мы могли бы выполнить эту работу в три этапа, вот так: Вопрос в том, будет ли такая процедура работать, если A, Y и X являются матрицами, а не одиночными числами. Нет никаких трудностей с шагом 1 и никаких трудностей с шагом 2, при условии, что мы заменим 1 тождественной матрицей I.* Единственная реальная проблема возникает на шаге 3, поскольку здесь мы разделили каждую сторону уравнения на 1 - A, и, как мы уже знаем, в матричной алгебре нет понятия деления (как такового). Но, как мы также уже знаем, мы часто можем выполнять ту же работу с помощью обратной матрицы. Предположим, что в данном случае после шага 2 мы предварительно умножили обе стороны уравнения на (I- A)-1, то есть на величину, обратную матрице I- A. The only real problem arises in step 3, because here we have divided each side of the equation by 1 - A, and, as we already know, there is no concept of division (as such) in matrix algebra. But as we also already know, we can often do the same job using the inverse matrix. Suppose that in this case, after step 2, we have previously multiplied both sides of the equation by (I- A)-1, that is, by the inverse of the matrix I- A Тогда мы будем иметь: Тогда, так как мы можем сразу написать: Таким образом, мы решили нашу проблему алгебраически, и нам просто нужно ввести числа. У нас были Итак и мы можем немедленно найти обратное этому, используя методы предыдущей главы: Следовательно общий объем производства = Для удовлетворения конечного спроса в 300 единиц фонда 200 единиц G нам необходимо произвести в общей сложности 800 единиц F и 600 единиц G. Таблица "Затраты-выпуск", отражающая физические потоки товаров между отраслями и конечным спросом, будет выглядеть следующим образом: В принципе, мы могли бы решить подобную проблему с гораздо большим количеством отраслей, чем две, и мы рассмотрим несколько более сложный пример. Но, прежде чем сделать это, давайте подведем итоги того, что мы сделали. Коэффициенты затраты-выпуск Мы практикуем анализ затрат и результатов, который был разработан в первую очередь Василием Леонтьевым, который заслуженно получил Нобелевскую премию за свою работу в этой области. Признав важность производственных или отраслевых отношений в экономике и, следовательно, трудности, которые анализируя современную экономику со многими, многими отраслями, Леонтьев преодолел некоторые из этих трудностей, сделав простое предположение, которое мы сделали ранее, а именно, что количество каждого вклада, необходимого для производства товара, изменяется пропорционально общему объему производства этого товара. Другими словами, если общий объем производства товара удваивается, то мы предполагаем, что количество каждого вклада, необходимого для производства товара, также удваивается; если общий объем производства утроится, то мы предполагаем, что требуемое количество каждого вклада также утроится; и так далее. Чтобы приготовить десять банок печеных бобов, вам понадобится в десять раз больше бобов и в десять раз больше жестяной банки, чем вам нужно, чтобы сделать одну банку. Предположим, что существует четыре отрасли, тогда для отрасли 1, например, у нас может возникнуть следующая ситуация: По сути, это означает, что мы предполагаем, что количество каждого вклада, необходимого для производства одной единицы товара 1 (затраты на единицу продукции), остается постоянным, независимо от того, сколько или как мало произведено товара 1. Для производства одной единицы товара 1 в этом случае нам всегда нужны в качестве входных данных 1\6 единицы товара l, 1\12 единицы товара 2, 1\6 единицы товара 3 и 1\12 единицы товара 4, независимо от того, каким может быть общий объем производства товара, который мы производим.* Предположим, что вы готовы работать на основе этого упрощающего предположения и что вы можете получить полный список этих постоянных коэффициентов ввода-вывода, как они называются. Инженеры говорят вам, например, что количество товара 1, необходимое в качестве производственных ресурсов для производства одной единицы товара, является некоторым заданным количеством: в нашем примере это 1\6 единицы, но поскольку мы рассматриваем проблему в общих чертах, давайте назовем ее a11. Они говорят вам, что количество товара 2 равно (скажем) a21. И так далее, и тому подобное. В общей сложности они предоставляют вам шестнадцать коэффициентов ввода-вывода такого рода. Помещая эти данные в форму матрицы (назовем ее матрицей А), мы имеем: В общих чертах ajk-это объем продукции отрасли j, который требуется в качестве входных данных для производства одной единицы продукции отрасли k. Давайте теперь переформулируем нашу старую проблему. Нам даны окончательные требования к четырем продуктам (yı, y2, y3 и y4); нам дана матрица коэффициентов ввода-вывода, которую мы только что рассматривали; и наша главная проблема состоит в том, чтобы определить общий объем производства (назовем их x1, x2, x3 и x4) в четырех отраслях. Чтобы решить эту проблему, давайте сначала напомним себе, что общий объем производства любой из отраслей - скажем, отрасли 1 - будет равен общему спросу на этот продукт плюс конечный спрос на него. Из нашего определения ajk должно быть легко понять, что общий спрос на продукцию отрасли, которую я буду производить, составит: Четыре элемента в этом выражении представляют соответственно объемы производства отрасли I, которые требуются в качестве входных данных для производства, а именно, x единиц товара 1, x2 единиц товара 2, x3 единиц товара 3 и x4 единиц товара 4. Таким образом, поскольку мы знаем, что конечными требованиями для четырех продуктов являются yı, yz, yз и y4, мы можем написать Или, представив этот набор взаимосвязей в матричной форме, мы можем в равной степени написать так же, как мы сделали в примере с двумя отраслями. Опять же, мы можем записать это уравнение в виде И решить это, чтобы получилось: Матрица A — это наша матрица коэффициентов ввода-вывода. Элемент в i-й строке и j-м столбце — это объем продукции отрасли i, необходимый для производства одной единицы продукции отрасли j. Очевидно, что наше решение для X имеет ту же форму, независимо от того, есть ли у нас две, двадцать или двести отраслей. Конкретный Пример Предположим, нам дана матрица входных выходных коэффициентов A и вектор столбцов конечных требований. Вы заметите, что числа в первом столбце A - это те, которые использовались при описании основного предположения анализа "затраты-выпуск". В других столбцах показаны необходимые затраты в отраслях 2, 3 и 4 для производства единицы их соответствующей продукции. Таким образом, первым шагом является вычитание A из идентификационной матрицы I. Это, как мы уже видели, простая операция. Следующий шаг - вежливо попросить компьютер вычислить обратную величину 1 - A, о которой он любезно сообщает нам Вы можете проверить, что компьютер дал нам правильный ответ, если хотите, достав свой карманный калькулятор и показав, что суммы вычисляются правильно - что когда вы умножаете матрицу (1 - A) на эту обратную ей, которую выдал компьютер, продукт достаточно близок к матрице 1. Но вы, вероятно, захотите принять это на веру и, затаив дыхание, броситься к развязке, умножив обратное (1 - A) на вектор столбца Y, чтобы получить необходимые суммарные результаты: Таким образом, теперь вы можете пойти дальше и сказать отрасли 1 производить 600 единиц своей продукции, отрасли 2 производить 300 единиц, отрасли 3 производить 800 единиц и отрасли 4 производить 400 единиц. И для того, чтобы доказать своим хозяевам, что эти суммарного объема будет достаточно, чтобы удовлетворить не только предписанные конечного спроса на их продукцию, а также ввод требования, вы можете обратиться к работы, фактический ввод требованиям соответствующих этим всего выходов, и показывают, что все суммы складываются должным образом представляя после полного ввода вывода в таблице: Как видите, все получается очень красиво, хотя я спешу признаться, что красивые круглые цифры повсюду не случайны. Я, конечно, сжульничал, начав с конечного продукта и работая в обратном направлении. Производственные ресурсы чтобы производить производственные ресурсы чтобы производить производственные ресурсы… Мы видели, что решение нашей проблемы состоит в том, чтобы заранее умножить наш требуемый вектор конечного спроса на определенную матрицу, а именно Предположим, без видимой веской причины, что A было всего лишь одним числом, а не матрицей. Тогда у нас есть Теперь также давайте предположим, что A - это число, меньшее единицы. Те из вас, кто знаком с геометрическими прогрессиями, поймут, что вы можете, если захотите, написать Так к примеру Итак, почему кто-то должен хотеть быть настолько извращенным, чтобы захотеть написать короткое выражение в виде суммы бесконечного ряда? Ответ заключается в том, что это дает нам объяснение того, почему формула, которую мы использовали для расчета общих требований к выпуску, действительно работает. Предположим, что с A в качестве матрицы мы все еще могли бы написать Формула плана можно записать в виде: Таким образом, вектор X, показывающий общую продукцию различных отраслей, необходимую для удовлетворения конечного спроса Y, можно рассматривать как сумму бесконечного числа показателей, каждый из которых имеет определенную интерпретацию. Давайте по очереди рассмотрим члены в правой части уравнения. Первое понятие (Y) легко объяснить. Общий объем производства должен быть, по крайней мере, таким же, как конечный спрос, который должен быть удовлетворен. Оставшиеся термины должны отражать входные требования отраслей. Давайте запишем второй термин полностью. Исходя из нашего определения aj, первым элементом в этом векторе столбцов является количество продукта первой отрасли, которое в общей сложности требуется четырем отраслям в качестве входных данных для обеспечения требуемого конечного спроса. таким образом, AY - это вектор продуктов четырех отраслей, которые непосредственно требуются в качестве ресурсов для производства конечного спроса. Но эти входные данные требуют входных данных для их производства. Если мы назовем этот вектор прямых входных требований d, то по тому же аргументу, что и раньше, нам потребуется векторное объявление входных данных для получения d. Теперь Так что Это третий член в нашем расширении вектора X. Аналогично, четвертый член A3 Y представляет входные данные, необходимые для получения входных данных, необходимых для получения прямых входных данных. Нам нет нужды идти дальше. Наша проблема состоит в том, чтобы добавить этот бесконечный ряд, и теперь мы знаем, что эта проблема может быть выражена формулой Выражая матричный множитель (I - A)1 в виде бесконечного ряда, мы можем увидеть экономическую логику, лежащую в основе этой формулы. Нам нужны ресурсы, чтобы производить ресурсы, чтобы производить ресурсы, чтобы производить... конечные результаты. При условии, что система продуктивна в том смысле, что мы получаем больше продукции, чем нам требуется для ее производства, тогда члены в нашем бесконечном ряду будут уменьшаться по мере движения слева направо. Требования к прямым входным данным для получения конечного результата будут больше, чем требования к входным данным для получения этих прямых входных данных и так далее. Это то же самое, что сказать, что где [0] - матрица с нулевыми элементами повсюду. Так же, как если бы A было одним числом, которое мы только могли бы написать Если А <1, то мы можем написать только так если матрица А удовлетворяет определенным условиям. Однако до тех пор, пока экономика будет продуктивной в том смысле, который мы обрисовали выше, так будет всегда.* (Это определенно непродуктивная экономика, так как для того, чтобы сделать I единицей хорошего 1, требуется 2 единицы хорошего 1!) Что такое (IA)-1? Вычислите A2, A3. Что происходит? Будет ли 1 + А+ А2+... = (1-А)-1? Некоторые Заключительные Проблемы Как специалист по экономическому планированию, вы, конечно же, будете озабочены не только разработкой соответствующих исходных данных и общих результатов, которые соответствуют перечню конечных требований, с которыми вам были представлены, но и вынесением решения о целесообразности этой программы. Люди склонны требовать слишком многого от специалистов по экономическому планированию; и по разным причинам это может привести к на самом деле экономика не может производить столько - по крайней мере, некоторых товаров, - сколько логически вытекает из первоначального списка конечных требований, предоставленного вам. Например, могут существовать физические ограничения на выпуск продукции в определенных отраслях промышленности (например, в угольной промышленности); или количество рабочей силы, имеющейся в экономике, может быть недостаточным для того, чтобы программа могла быть выполнена без каких-либо изменений. Давайте предположим, что вы беспокоитесь о том, действительно ли имеется достаточно рабочей силы для выполнения этой работы. Как бы вы проверили это? Давайте сначала сделаем это в общих чертах, а затем возьмем конкретный пример. Мы предполагаем, как и в случае, когда мы имели дело с физическими затратами, что требуемые затраты труда также варьируются пропорционально общему объему производства соответствующего товара и что наши инженеры могут получить для нас технические сведения о соответствующих разрешенных количествах, которые требуются (в сочетании с физическими затратами) для производства одной единицы каждого из четырех товаров. Представьте, что эти выходные коэффициенты трудоемкости представлены в виде вектора строк 1 × 4, который мы для краткости обозначим как L. Затем, если мы умножим этот вектор строк 1 × 4 на X (вектор столбцов 4 × 1, представляющий общий годовой объем производства), мы получим матрицу 1 × 1 - одно число, представляющее общее количество труда, необходимого для выполнения этой программы выпуска. Очевидно, что если количество рабочей силы, доступной в экономике каждый год, ограничено определенным заданным уровнем назовите его W для работников программа будет осуществима только в том случае, если L*X меньше или равно W, то есть если Или, если мы предположим, что мы еще не выяснили, что есть, и что мы знаем только Y, вектор конечных требований, мы можем переписать это условие как поскольку из нашего предыдущего анализа мы знаем, что Предположим, затем - переходя теперь от общего к частному - что общее количество рабочей силы (W), доступной каждый год, составляет 10 000 человеко-часов, а вектор коэффициентов производительности труда (L) оказывается следующим: Другими словами, для производства одной единицы товара 1 требуется 4 человеко-часа в качестве входных данных; 5 человеко-часов для производства одной единицы товара 2; и так далее. Если бы нам тогда был представлен первоначальный список окончательных требований, которые мы рассмотрели выше, а именно мы могли бы сразу сказать нашим мастерам, была ли программа, подразумеваемая этими требованиями, осуществимой. Мы должны определить ценность но мы знаем X = (1-A)-1Y, и мы уже разработали это для рассматриваемого вектора Y. Так что Поскольку 12 700 значительно больше, чем 10 000, значение, которое мы приняли для W, программа невыполнима, и ее придется сократить. И наоборот, если бы ситуация была такова, что L(1 - A) -1 Y работал при значительно меньшем, чем W, и полная занятость рабочей силы была одной из целей, которые преследовало правительство, программу пришлось бы расширить - при условии, конечно, что не было никаких других физических ограничений, которые могли бы этому помешать. До этого момента в настоящей главе мы измеряли затраты и выпуск с точки зрения количества физических единиц - тонн стали, галлонов нефти, ярдов ткани и так далее - соответствующих товаров. Однако для некоторых целей может оказаться полезным измерить их с точки зрения их денежной стоимости. Это позволяет нам, конечно, суммировать столбцы, а также строки. Возьмем, к примеру, следующую простую экономику из трех отраслей: Здесь мы видим, что отрасль 1 производит общую продукцию на сумму 450 фунтов стерлингов, из которых 50 фунтов стерлингов идут в качестве вклада в собственный производственный процесс; 100 фунтов стерлингов в качестве вклада в отрасль 2; 100 фунтов стерлингов - в качестве вклада в отрасль 3; а оставшиеся 200 фунтов стерлингов идут на удовлетворение конечного спроса. И отрасль 1, чтобы произвести эту продукцию стоимостью 450 фунтов стерлингов, использует в качестве физических ресурсов собственную продукцию стоимостью 50 фунтов стерлингов, продукцию отрасли 2 стоимостью 75 фунтов стерлингов и продукцию отрасли 3 стоимостью 30 фунтов стерлингов. Теперь, если мы предположим, что все, что осталось от стоимости продукции отрасли I, после оплаты этого £50 + £75 + £30 = £155 стоимость физических затрат распределяется в виде заработной платы, прибыли и арендной платы рабочим, капиталистам и землевладельцам, которые активно или пассивно участвуют в процессе производства, ясно, что общая сумма, выплаченная в виде заработной платы, прибыли и арендной платы в отрасли 1, должна составлять 450 - 155 фунтов стерлингов = 295 фунтов стерлингов. Аналогично, общая сумма, выплаченная в виде заработной платы, прибыли и арендной платы в отрасли 2, должна составлять 305 фунтов стерлингов, а в отрасли 3 - 300 фунтов стерлингов. Таким образом, мы можем добавить четвертую строку в нашу таблицу, таким образом: Если мы составим таблицу таким образом, то совершенно очевидно, что сумма заработной платы, прибыли и арендной платы, выплачиваемых в экономике, должна быть равна сумме конечных требований (900 фунтов стерлингов в каждом случае). Это означает, что если бы нам дали, скажем, только вектор общего объема производства и матрицу коэффициентов выпуска продукции (оба из них, на этот раз, в стоимостном выражении), у нас не возникло бы трудностей с определением вектора заработной платы, прибыли и ренты. Мое последнее слово вам обо всем этом - это то, что вы ни в коем случае не должны позволить себе заблуждаться, что на самом деле все так просто в реальном мире. Представьте себе, например, как могли бы выглядеть компоненты матрицы коэффициентов ввода-вывода, если бы мы не смогли сделать это упрощающее предположение о пропорциональности входных данных выходам. Представьте еще раз, что ваши мастера сказали вам, что существует несколько альтернативных технологических методов удовлетворения предписанных конечных требований, и что они попросили вас, как часть проблемы, определить, какой из этих методов следует использовать. Представьте, наконец, что они сказали вам, что в течение следующих нескольких лет некоторые из этих методов, вероятно, изменятся или что относительные цены (скажем) на оборудование и рабочую силу, вероятно, изменятся. Что бы вы тогда сделали? Для получения ответов на эти вопросы вам придется обратиться к отчетам анализа "затраты-выпуск"*, которые немного сложнее, чем этот упрощенный.
