Дискретная математика, занятие 1

Дискретная математика (основной поток)
Занятие 1
1. Докажите равносильность составных высказываний
а) ¬(A → B) и A ∧ ¬B;
б) A → B и A → (A ∧ B);
в) ¬(A ≡ (A ∨ ¬B)) и ¬A ∧ ¬B.
2. Среди высказываний
И,
A ∧ (C ∨ B),
A ∨ B,
B
найдите равносильное высказыванию (A ∧ C) ∨ (A ∧ ¬C) ∨ ¬(¬A → ¬B).
3. а) Докажите дистрибутивность дизъюнкции относительно эквивалентности, то есть тавтологичность
составного высказывания
A ∨ (B ≡ C) ≡ (A ∨ B) ≡ (A ∨ C) .
б) Выполняется ли дистрибутивность конъюнкции относительно эквивалентности?
4. Докажите, что
min(x, y) + max(x, y) = x + y
для любых действительных чисел x, y.
5. Рассмотрим такие целые числа x, y, z, w, что
x + y + z = w.
Обозначим через A высказывание «w чётное», через B — «ровно одно из чисел x, y, z чётное», а через
C — «все числа x, y, z чётные».
Докажите, что A ≡ (B ∨ C).
6*. Найдите ошибку в доказательстве, записанном как цепочка равенств
1=
√
1=
√ 2
p
√
√
(−1) · (−1) = −1 · −1 =
−1 = −1.
7*. Сколько раз встречается И в таблице истинности высказывания
^
(¬xi ∨ xj )?
1⩽i<j⩽1000
8*. Решите бесконечную систему неравенств: найдите все такие пары x, y действительных чисел, что
x + ty ⩾ 0 для всех действительных t.
ПМИ ФКН ВШЭ, 2021/22 уч. г.
Дискретная математика
(Основной поток)
Домашнее задание 1
Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы.
1. Докажите, что составное высказывание (A → B) ∨ (B → C) является тавтологией.
2. Ассоциативна ли импликация? Другими словами, равносильны ли высказывания A → (B → C) и
(A → B) → C?
3. Выполняется ли дистрибутивность для конъюнкции относительно импликации? Другими словами,
равносильны ли высказывания A ∧ (B → C) и (A ∧ B) → (A ∧ C)?
4. Выполняется ли дистрибутивность для импликации относительно импликации? Другими словами,
равносильны ли высказывания A → (B → C) и (A → B) → (A → C)?
5. Запишите с помощью связок ¬, →, ∧, ∨ составное высказывание «истинны более половины высказываний A, B, C».
6. Докажите, что для любых неотрицательных действительных чисел a, b, n из a · b = n следует
√
√
(a ⩽ n) ∨ (b ⩽ n).
7. Докажите, что n25 + n64 чётно для всех положительных целых n.
8. Рассмотрим такие целые числа x, y, z, w, что
x2 + y 2 + z 2 = w 2 .
Обозначим через A высказывание «w чётное», через B — «все числа x, y, z чётные».
Докажите, что A ≡ B.
ПМИ ФКН ВШЭ, 2021/22 уч. г.