Объемы

ОБЪЕМЫ НАКЛОННОЙ
ПРИЗМЫ, ПИРАМИДЫ,
КОНУСА
Геометрия 11 класс
План урока
■Вычисление объемов тел с помощью определенного
интеграла
■Объем наклонной призмы
■Объем пирамиды
■Объем усеченной пирамиды
■Объем конуса
■Объем усеченного конуса
■Вопросы для закрепления
Вычисление объемов тел
n
V  Vn   S ( xi )xi
i 1
β
α
S(xi)
Приближенное значение
объема тела равно
сумме объемов
прямых призм,
основания которых
равны площадям
сечений тела, а высоты
равны ∆xi = xi – xi – 1
a
xi-1 xi
b
Отрезок [a; b] разбит
на n частей
Вычисление объемов тел с помощью
определенного интеграла
Основная формула для вычисления
объемов тел:
b
V  lim Vn   S ( x)dx
n 
a
Где S(x) – непрерывная функция на отрезке [a; b].
Объем наклонной призмы
Теорема
: Объем наклонной призмы
равен произведению площади основания на
высоту
V  S h
C’
A’
B’
Либо определенному интегралу
от площади основания на
промежутке от 0 до h
h
V  S  h   S ( x)dx
0
S – площадь основания
h – высота
A
H
B
C
Объем наклонной призмы
Объем произвольной
призмы равен сумме
объемов треугольных
призм, которые получены
путем разбиения
основания на
треугольники
V  ( S1  S 2  S3 )  h
h
S1
S3
S2
Объем пирамиды
Теорема: Объем треугольной
пирамиды равен одной трети
произведения площади
основания на высоту
1
S  S h
3
Либо определенному интегралу от
площади основания на промежутке
от 0 до h
h
1
S  S  h   S ( x)dx
3
0
O
h
B
A
M
C
Объем пирамиды
Объем произвольной пирамиды
равен сумме объемов треугольных
пирамид, которые получены путем
разбиения основания на
треугольники
h
S1
1
V  ( S1  S 2  S3 )h
3
S2
S3
Объем усеченной пирамиды
D
Объем усеченной пирамиды,
высота которого равна h, а
площади оснований равны S и S1,
вычисляется по формуле:
B1
A1
h
1
V  h( S  S1  S  S1 )
3
B
C1
A
M
C
Объем конуса
D
Теорема: Объем конуса равен
1/3 произведения площади основания на
высоту.
x
h
O1
1
V  Sh
3
A
O
B
1 2
V  R h
3
Объем конуса
По основной формуле объема тела:
S ( x)  R 
2
1
R 2
h
2
x
D
x
2
h
O1
S ( x)
O
A
h
h
V   S ( x)dx  
0
0
R 2
h
2
x 2 dx 
R 2 x 3 h R 2 h
h
2
3
|
0
3
B
Объем усеченного конуса
Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
1
V  h( S  S1  S  S1 )
3
Где h – высота конуса,
S и S1 – площади оснований
S1
O1
h
A
S
O
B
Вопросы для закрепления
■ Чему равно приближенное значение объема тела?
■ Чему равен объем наклонной призмы?
■ Чему равен объем произвольной пирамиды?
■ Чему равен объем усеченной пирамиды?
■ Чему равен объем конуса?
■ Чему равен объем усеченного конуса?