Введение в нанооптику Лекция 2. Излучение классического диполя и безызлучательный перенос энергии А.А. Коновко О.А. Шутова МГУ имени М.В.Ломоносова Физический факультет Кафедра общей физики и волновых процессов 2014 г., весенний семестр Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 1 / 53 ‘The sun was shining on the sea, Shining with all his might: He did his very best to make The billows smooth and bright – And this was odd, because it was The middle of the night. Lewis Carroll «Through the Looking Glass» Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 2 / 53 Поле классического диполя Содержание лекции 1 2 3 4 5 6 Поле классического диполя Безызлучательный перенос энергии Эффективность безызлучательного переноса энергии Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Время жизни и скорость спонтанной релаксации Однородное окружение Неоднородное окружение Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Локальная плотность состояний Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 3 / 53 Поле классического диполя Поле гармонически зависящего от времени диполя (СИ) Сферическая система координат |p| cos 𝜃 exp(𝚤kr ) 2 Er = k 4𝜋𝜀0 𝜀 r |p| sin 𝜃 exp(𝚤kr ) 2 E𝜃 = k 4𝜋𝜀0 𝜀 r H𝜑 = (︂ (︂ 2 2𝚤 − 2 2 k r kr )︂ , )︂ 1 𝚤 − −1 , k 2 r 2 kr )︁ √︂ 𝜀 𝜀 |p| sin 𝜃 exp(𝚤kr ) 2 (︁ 𝚤 0 k − −1 , 4𝜋𝜀0 𝜀 r kr 𝜇0 𝜇 E𝜑 = Hr = H𝜃 = 0. r = (r , 𝜃, 𝜑). Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 4 / 53 Поле классического диполя Поле гармонически осциллирующего диполя Сферическая система координат p0 exp [𝚤(kr − 𝜔t)] r (︂ )︂ 1 𝚤 Er = 2 cos 𝜃 · k 2 p, − k 2 r 2 kr p= (︂ E𝜃 = sin 𝜃 · )︂ 1 𝚤 − − 1 k 2 p, k 2 r 2 kr (︂ H𝜑 = −𝚤 sin 𝜃 · )︂ 1 − 𝚤 k 2 p, kr E𝜑 = Hr = H𝜃 = 0, r = (r , 𝜃, 𝜑). Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 5 / 53 Поле классического диполя Затухание продольной и поперечной компонент поля гармонически осциллирующего диполя Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 6 / 53 Поле классического диполя Угловое распределение поля гармонического диполя Поле диполя Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 7 / 53 Поле классического диполя Поле диполя, ориентированного вдоль оси Z Ось Z направлена вертикально в плоскости рисунков Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 8 / 53 Безызлучательный перенос энергии Содержание лекции 1 2 3 4 5 6 Поле классического диполя Безызлучательный перенос энергии Эффективность безызлучательного переноса энергии Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Время жизни и скорость спонтанной релаксации Однородное окружение Неоднородное окружение Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Локальная плотность состояний Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 9 / 53 Безызлучательный перенос энергии Поток энергии 𝜔4 |p0 |2 , 3c 3 определяется только двумя компонентами электромагнитного поля диполя I = Er = 2 cos 𝜃 · p , r2 p , r2 kp H𝜑 = −𝚤 sin 𝜃 · , r определяют поле в ближней зоне и не вносят вклад в излучательный перенос энергии. E𝜃 = sin 𝜃 · 2 E𝜃 = − sin 𝜃 · k p, H𝜑 = −k 2 p, которые определяют излучательный перенос энергии между двумя атомами. Коновко, Шутова (МГУ) Реактивные компоненты поля диполя Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 10 / 53 Безызлучательный перенос энергии Два параллельных диполя p1 = p10 exp(−𝚤𝜔t), p2 = p20 exp(−𝚤𝜔t), Ix = I1x + I2x + Iинт,x Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику I1x = 𝜔4 |p10 |2 , 6c 3 I2x = 𝜔4 |p20 |2 6c 3 2014 г., весенний семестр 11 / 53 Безызлучательный перенос энергии В ближней волновой зоне (ближнее поле) Ez (0, y , z, t) = (3 cos2 𝜃 − 1) p10 + p20 exp(−𝚤𝜔t), R3 Hy (0, y , z, t) = −𝚤 sin 𝜃 cos 𝜑 · k √︂ R= ∫︁ ∫︁ p10 − p20 exp(−𝚤𝜔t), R2 (1) ℓ2 + y 2 + z 2. 4 ∞ ]︁ [︁ c − Re (Ez Hy* ) dydz = 8𝜋 −∞ ]︂ ∫︁ ∫︁ ∞ [︂ ckℓ (3z 2 /R 2 ) − 1 * * = Re [𝚤(p10 p20 − p10 p20 )] = dydz = 16𝜋 R6 −∞ 𝜔 * = 3 Im (p10 p20 ). (2) 2ℓ Iинт,x = Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 12 / 53 Безызлучательный перенос энергии Безызлучательный перенос энергии Под действием поля возбужденного атома невозбужденный атом приобретает дипольный момент, совершающий колебания на частоте 𝜔. Пусть на невозбужденный атом действует только компонента Ez = −E𝜃 (𝜃 = 𝜋/2) = −p1 /ℓ3 реактивного поля, получим p2 = − 𝛼p10 𝛼p10 exp [𝚤(kℓ − 𝜔t)] ≈ − 3 exp(−𝚤𝜔t), 3 ℓ ℓ (3) 𝜔 |p10 |2 . (4) 2ℓ6 Этот поток направлен от возбужденного атома к невозбужденному, т.к. 𝛼′′ > 0. Безызлучательный перенос энергии становится основным, если Iинт,x = 𝛼′′ c3 ℓ ≤ ℓ0 = 3 𝛼 3 𝜔 (︂ Коновко, Шутова (МГУ) ′′ )︂1/6 Введение в нанооптику (5) . 2014 г., весенний семестр 13 / 53 Безызлучательный перенос энергии Перенос энергии по механизму Ферстера Принимая для оптического диапазона частот 𝜔 = 3 · 1015 с−1 , 𝛼′′ = 10−24 см3 , получаем оценку ℓ0 ≈ 30 Å ≪ 𝜆 = 2, 1 · 10−5 см. Благодаря возникновению интерференционного потока энергии между электрическим диполем, совершающим гармонические колебания, и атомами среды мощность излучения диполя в поглощающей среде больше, чем в случае прозрачной среды. Дополнительная энергия излучения поглощается средой на расстоянии от диполя, а ее величина оказывается пропорциональной коэффициенту поглощения среды на частоте излучения диполя. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 14 / 53 Безызлучательный перенос энергии Интерференция реактивных компонент Основные свойства 1 формирование интерференционного потока энергии в новом направлении, где перенос энергии исходными волнами мог отсутствовать; 2 отсутствие в распределении интенсивности интерференционного потока энергии чередования максимумов и минимумов. Введение понятия интерференции реактивных компонент электромагнитного поля позволяет с единых физических позиций рассматривать такие различные на первый взгляд явления, как полное внутреннее отражение света, сдвиг Гуса-Хенхен и безызлучательный перенос энергии между атомами и молекулами. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 15 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Содержание лекции 1 2 3 4 5 6 Поле классического диполя Безызлучательный перенос энергии Эффективность безызлучательного переноса энергии Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Время жизни и скорость спонтанной релаксации Однородное окружение Неоднородное окружение Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Локальная плотность состояний Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 16 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Взаимодействие двух частиц Рассмотрим две системы атомов (молекул, квантовых точек...), которые назовем частицами. Такое представление удобно для описания делокализованных возбуждений (экситонов), переноса энергии между частицами и ряда коллективных эффектов. Предположим, что внутренняя структура частицы не меняется в результате взаимодействия, поэтому такие процессы, как перенос электронов, и изгиб молекул рассматривать не будем. Коновко, Шутова (МГУ) VAB = 1 4𝜋𝜀0 Введение в нанооптику ∫︁ ∫︁ 𝜌A (r′ )𝜌B (r′′ ) ′ ′′ dV dV . |r′ − r′′ | 2014 г., весенний семестр 17 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Мультипольное разложение кулоновского взаимодействия ∫︁ 𝜌A (r′ )dV ′ , qA = ∫︁ dA = VAB (R) = ′ ′ ′ 𝜌A (r )(r − rA )dV , ∫︁ 𝜌B (r′ )dV ′ . ∫︁ 𝜌B (r′ )(r′ − rB )dV ′ . qB = dB = [︂ 1 qA qB qA dB · R qB dA · R + − + 4𝜋𝜀0 R R3 R3 ]︂ R 2 dA · dB − 3(dA · R)(dB · R) + + ... . R5 Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 18 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Перенос энергии между двумя частицами 𝛾D→A PD→A = , 𝛾0 P0 Коновко, Шутова (МГУ) P0 = |dD |2 n(𝜔0 ) 4 𝜔 . 12𝜋𝜀0 c 3 0 Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 19 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Резонансный перенос энергии 𝜔0 Im(𝛼A ) |nA · ED (rA )|2 . 2 ∫︁ ∞ 9c 4 fD (𝜔)𝜎A (𝜔) = T (𝜔)d𝜔. 6 8𝜋R 0 n4 (𝜔0 )𝜔 4 PD→A = 𝛾D→A 𝛾0 где n(𝜔) — показатель преломления окружающей среды (сольвента). T (𝜔) = (1 − k 2 R 2 + k 4 R 4 )(nA · nD )2 + + (9 + 3k 2 R 2 + k 4 R 4 )(nR · nD )2 (nR · nA )2 + + (−6 + 2k 2 R 2 − 2k 4 R 4 )(nA · nD )(nR · nD )(nR · nA ), ⟨T (𝜔)⟩ = Коновко, Шутова (МГУ) 2 2 2 2 2 4 4 + k R + k R . 3 9 9 Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 20 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Зависимость T (𝜔) от расстояния и ориентации [︂ ]︂6 𝛾D→A R0 = , 𝛾0 R R06 = 9c 4 𝜅2 8𝜋 ∫︁ 0 ∞ fD (𝜔)𝜎A (𝜔) d𝜔, n4 (𝜔)𝜔 4 𝜅2 = [nA · nD − 3(nR · nD )(nR · nA )]2 . Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 21 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Перенос энергии между двумя молекулами N ∑︁ An e −(𝜆−𝜆n ) 2 /Δ𝜆2 n . n=1 [︂ 3c R0 = 32𝜋 4 n4 Коновко, Шутова (МГУ) ∫︁ ∞ 2 fD (𝜆)𝜎A (𝜆)𝜆 d𝜆 ]︂1/6 = 6.3 нм, 0 Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 22 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Флуоресценция как функция расстояния E = 1 P0 1 = . = P0 + PD→A 1 + (𝛾/𝛾D→A ) 1 + (R/R0 )6 Молекула, разделяющая в пространстве Д. и А., переходит между состояниями E1 , E2 и E3 . Антикоррелированный характер излучения Д. и А. свидетельствует о связи этих переходов с FRET. Rahul Roy, Sungchul Hohng, Taekjip Ha, Nature Methods, 5 (6) 507-516, (2008). Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 23 / 53 Эффективность безызлучательного переноса энергии Пример применения FRET в биологии FRET-пары DiIC 18(3) и DiOC 18(3) внедрены в различные мицеллы с целью наблюдения проникновения зондирующих частиц сквозь мембраны опухолевых клеток. Слева: перенос зондирующих частиц к плазматической мембране. Справа: перенос зондирующих молекул из мицелл в клетки. Hongtao Chen, Sungwon Kim, Li Li, Shuyi Wang, Kinam Park, and Ji-Xin Cheng, PNAS, vol. 105, 18, pp. 6596–6601 (2008) Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 24 / 53 Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Содержание лекции 1 2 3 4 5 6 Поле классического диполя Безызлучательный перенос энергии Эффективность безызлучательного переноса энергии Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Время жизни и скорость спонтанной релаксации Однородное окружение Неоднородное окружение Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Локальная плотность состояний Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 25 / 53 Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Дипольное излучение (СИ) ]︂2 [︂ sin2 𝜃 n3 d 2 ⃒⃒ (︁ nr )︁⃒⃒ 1 S(t) = E(t) × H(t) = ⃒ nr . ⃒p t − 16𝜋 2 𝜀0 𝜀 r 2 c 3 dt 2 c ∫︁ S(t) · nds = P(t) = ΔS P̄ = [︂ ]︂2 1 2n3 d 2 |p(t)| , 4𝜋𝜀0 𝜀 3c 3 dt 2 |p|2 n3 𝜔 4 . 4𝜋𝜀0 𝜀 3c 3 P̄(𝜃, 𝜑) 3 = sin2 𝜃. 8𝜋 P̄ Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 26 / 53 Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Скорость диссипации энергии в неоднородной среде W 1 =− t 2 ∫︁ Re(j* · E)dV = (в дипольном ≈) = V 𝜔 Im [p* · E(r0 )] , 2 E(r0 ) = E0 (r0 ) + Es (r0 ), E0 − первичное поле Es − рассеянное поле. Вклад первичного поля E0 в диссипацию: P0 = |p|2 𝜔 3 k . 12𝜋 𝜀0 𝜀 P 6𝜋𝜀0 𝜀 1 =1+ Im [p* · Es (r0 )] . P0 |p|2 k 3 Скорость диссипации энергии зависит от вторичного поля диполя, т.е. собственного излучения диполя, испущенного ранее и вернувшегося к диполю после рассеяния на окружении. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 27 / 53 Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Взаимодействие диполя со своим излучением Уравнение движения диполя: mr̈ + 𝜔02 mr = Fr , средняя мощность потерь: P(t) = q 2 (r̈ · r̈) , 6𝜋𝜀0 c 3 интегрирование P(t) по T = [t1 ...t2 ] дает работу силы реакции излучения: ∫︁ t2 [︂ t1 Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику ]︂ q 2 (r̈ · r̈) Fr · ṙ + dt = 0 ⇒ 6𝜋𝜀0 c 3 2014 г., весенний семестр 28 / 53 Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Формула Абрагама-Лоренца Формула Абрагама-Лоренца для силы реакции излучения: Уравнение движения теперь принимает вид: Fr = r̈ − В случае бесконечно малого затухания решение имеет вид: ... q2 r , 6𝜋𝜀0 c 3 q2 ... r + 𝜔02 r = 0. 6𝜋𝜀0 c 3 m r(t) = r0 exp(−i𝜔0 t), ... r = −𝜔02 ṙ ⇒ r̈ + 𝛾0 ṙ + 𝜔02 r = 0, коэффициент затухания: Коновко, Шутова (МГУ) где 𝛾0 = Введение в нанооптику 1 2q 2 𝜔02 . 4𝜋𝜀0 3c 3 m 2014 г., весенний семестр 29 / 53 Время жизни и скорость спонтанной релаксации Содержание лекции 1 2 3 4 5 6 Поле классического диполя Безызлучательный перенос энергии Эффективность безызлучательного переноса энергии Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Время жизни и скорость спонтанной релаксации Однородное окружение Неоднородное окружение Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Локальная плотность состояний Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 30 / 53 Время жизни и скорость спонтанной релаксации Однородное окружение Затухающие колебания диполя при 𝛾0 ≪ 𝜔0 d2 d p(t) + 𝛾0 p(t) + 𝜔02 p(t) = 0, dt 2 dt [︁ ]︁ √ 2 2 p(t) = Re p0 e −i𝜔0 1−(𝛾0 /4𝜔0 )t e −𝛾0 t/2 . ]︀ m𝜔02 m [︀ 2 2 2 𝜔 p (t) + ṗ (t) = |p |2 e −𝛾0 t , 2q 2 0 2q 2 0 ∫︁ t |p(t)|2 𝜔04 P0 (t) = W̄ (t = 0) − W̄ (t) = qi P0 (t ′ )dt ′ , 4𝜋𝜀0 3c 3 0 W̄ = 𝛾0 = qi 1 2q 2 𝜔02 , 4𝜋𝜀0 3mc 3 Для оптического диапазона 𝛾0 ≈ 2 · 10−8 𝜔0 и находится в МГц области. Чем выше показатель преломления окружающей среды, тем короче время жизни осциллятора. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 31 / 53 Время жизни и скорость спонтанной релаксации Однородное окружение Лоренцева форма линии [︂ ]︂ W 𝛾02 /4 1 |p|2 sin2 𝜃𝜔02 . = Ωd𝜔 4𝜋𝜀0 4𝜋 2 c 3 𝛾02 (𝜔 − 𝜔02 ) + 𝛾02 /4 Ширина линии излучения: Δ𝜔 = 𝛾0 . Для атомных переходов на оптических частотах с типичными временами жизни 𝜏 = 10 нс ширина линии Δ𝜆 ≈ 2 · 10−3 нм. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 32 / 53 Время жизни и скорость спонтанной релаксации Неоднородное окружение Затухающие колебания диполя в неоднородной среде В неоднородном окружении гармонически осциллирующий диполь испытает вынуждающую силу со стороны собственного поля. Эта вынуждающая сила представляет собой поле, которое возвращается к осциллятору после рассеяния на окружении. d q2 d2 2 p(t) + 𝛾 p(t) + 𝜔 p(t) = Es (t), 0 0 dt 2 dt m где Es — вторичное локальное поле. Используя выражение для 𝛾0 , получаем 𝛾 6𝜋𝜀0 1 = 1 + qi Im [p*0 · Es (r0 )] . 𝛾0 |p0 |2 k 3 𝛾 P = . 𝛾0 P0 Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 33 / 53 Время жизни и скорость спонтанной релаксации Неоднородное окружение Взаимодействие излучения диполя с зеркалами K.H. Drexhage, Lumin. 1,2, 693-701 (1970). Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 34 / 53 Время жизни и скорость спонтанной релаксации Неоднородное окружение Время жизни молекулы в неоднородном окружении Сравнение классической теории и экспериментальных данных по измерению времени жизни молекулы в неоднородном окружении. В эксперименте слой ионов Eu3+ удерживается спейсерами жирных кислот различной толщины на расстоянии d от серебряной поверхности. 1 K.H. Drexhage, Lumin. 1,2, 693-701 (1970). 2 R.R. Chance, A. Prock, and R. Silbey, in Advances in Chemical Physics, vol. 37,1-65,1. Prigogine and S.A. Rice, eds.. New York: Wiley (1978). Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 35 / 53 Время жизни и скорость спонтанной релаксации Неоднородное окружение Сдвиг частоты [︃ Δ𝜔 = 𝜔 1 − √︃ [︂ ]︂]︃ 1 q2 𝛾𝛾 𝛾𝛾 0 1− 2 Re(p*0 · Es ) + − . 𝜔 m|p0 |2 2 4 Разложение в ряд с точностью до слагаемых первого порядка малости и пренебрежение квадратичными членами в 𝛾 приводят к равенству: 3𝜋𝜀0 1 Δ𝜔 = qi Re(p*0 · Es ). 𝛾0 |p0 |2 k 3 Поскольку Es ∼ p0 , отношение Δ𝜔/𝛾0 не зависит от величины дипольного момента. Сдвиг частоты приповерхностных молекул зависит от высоты молекулы над поверхностью h как h−3 , и достигает максимума вблизи частоты поверхностного плазмона. Сдвиг частоты очень мал и находится в пределах ширины линии. Сдвиг в диапазоне Δ𝜆 ≈ 20 нм был зарегистрирован экспериментально для малых островков серебра. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 36 / 53 Спонтанная релаксация Содержание лекции 1 2 3 4 5 6 Поле классического диполя Безызлучательный перенос энергии Эффективность безызлучательного переноса энергии Реакция излучения, формула Абрагама-Лоренца Время жизни и скорость спонтанной релаксации Однородное окружение Неоднородное окружение Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Локальная плотность состояний Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 37 / 53 Спонтанная релаксация Константа атомно-полевой связи В теории взаимодействия атома с излучением различают режимы сильной и слабой связи. d g= ~ Индикатором режима служит константа атомно-полевой связи g , равная половине частоты Раби ΩR = 2d21 A . ~ ~𝜔0 , 2𝜀0 V 1 Сильная связь: g ≫ 𝛾cav , где 𝛾cav — скорость релаксации фотона в резонаторе. 2 Слабая связь: g ≪ 𝛾cav . В равенстве справа: 𝜔0 — частота перехода, d — дипольный матричный элемент, V — объем резонатора. √︂ 1 E.M. Purcell, Phys.Rev. Vol. 69, p. 681 (1946) 2 В.П. Быков, ЖЭТФ, Т. 35, стр. 269–273 (1972) 3 E. Yablonovitch, Phys.Rev.Lett. Vol. 58 (20), pp. 2059–2062 (1987) 4 S. John, Phys.Rev.Lett. Vol. 58 (23), pp. 2486–2489 (1987) Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 38 / 53 Спонтанная релаксация О спонтанной релаксации диполя в резонаторе E.M. Purcell, Spontaneous emission probabilities at radio frequencies, Phys.Rev. 69, 681 (1946): Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 39 / 53 Спонтанная релаксация Спонтанное излучение в свободном пространстве wsp ≈ 2𝜋 3 𝛼𝜌𝜔c|rnm |2 , 3 Обозначения 𝜌 — спектральная объемная плотность состояний поля, 𝜔2 𝜌 = 2 3, 2𝜋 c wsp ≈ 𝛼𝜔V 𝜌/𝜏, V = |rnm |2 c𝜏. 𝜔 — частота перехода, c — скорость света в вакууме, rnm — матричный элемент перехода. 𝜏 — среднее время жизни атома в возбужденном состоянии, V — объем цилиндра, основание которого равно N = V 𝜌/t, поперечному сечению молекулы, а длина равна c𝜏 . N — число осцилляторов, с которыми взаимодействует молекула (N ∼ 10−8 ), wsp T ≈ 𝛼N, t — спектральный период осцилляторов (следствие T = 2𝜋/𝜔. конечного времени жизни). V.P. Bykov, «Spontaneous emission from a medium with a band spectrum», Quantum Electronics 4 (7) 861–871 (1975) Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 40 / 53 Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Схема процесса Рассчитаем переходы из возбужденного состояния |i⟩ с энергией Ei в набор конечных состояний |f ⟩ с энергией Ef . Конечные состояния различаются лишь модой k поля излучения. Обозначение k в данном случае — это метка соответствующей моды, которая характеризуется вектором поляризации и волновым вектором. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 41 / 53 Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Схема вывода - 1 Согласно золотому правилу Ферми скорость релаксации 𝛾 дается равенством 𝛾= 2𝜋 ∑︁ ⃒⃒ ^ ⃒⃒2 ^ p · E. ⃒⟨f |HI |i⟩⃒ 𝛿(𝜔i − 𝜔f ). Положим H^I = −^ ~ f ⃒ ⃒ ⃒ ^ ⃒2 ^ * ⟨f |^ ^ = ⟨i|^ ^ ⟩⟨f |^ ^ p · E|i⟩ p · E|i⟩ p · E|f p · E|i⟩. ⃒⟨f |HI |i⟩⃒ = ⟨f |^ ^= E ∑︁ [︁ ]︁ − † E+ a ^ (t) + E a ^ (t) , k k k k k a^k† (t) = a^k† (0) exp(i𝜔k t), Коновко, Шутова (МГУ) a^k (t) = a^k (0) exp(−i𝜔k t). Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 42 / 53 Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Схема вывода - 2 [︀ ]︀ ^ = p r^+ + r^ , p ^=− ^·E −p ∑︁ r^+ = |e⟩⟨g |, r^ = |g ⟩⟨e|, ⟨g |^ p|e⟩ = ⟨e|^ p|g ⟩ [︁ ]︁ − † + − + † + p · E+ r ^ a ^ (t) + E r ^ a ^ (t) + E r ^ a ^ (t) + E r ^ a ^ (t) . k k k k k k k k k Пусть |{0}⟩ — состояние с нулевым числом фотонов, |{1𝜔k′ }⟩ — однофотонное состояние, соответствующее моде k′ на частоте 𝜔0 = (Ee − Eg )/~, тогда |i⟩ = |e, {0}⟩ = |e⟩|{0}⟩ |f ⟩ = |g , {1𝜔k′ }⟩ = |g ⟩|{1𝜔k′ }⟩, Воспользовавшись равенствами a^k† (0)|{0}⟩ = |{1𝜔k }⟩ и a^k (0)|{1𝜔k }⟩ = {0}, получаем ^ =p ^ · E|i⟩ p ∑︁ i𝜔k t E− |g , {1𝜔k }⟩, ke k ^ =p ⟨f |^ p · E|i⟩ ∑︁ i𝜔k t E− ⟨g , {1𝜔k′ }|g , {1𝜔k }⟩. ke k Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 43 / 53 Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Схема вывода - 3 Аналогичным образом приходим к равенству ^ ⟩=p ⟨i|^ p · E|f ∑︁ −i𝜔k t E+ ⟨g , {1𝜔k }|g , {1𝜔k′ }⟩, ke k 𝛾= ]︁ 2𝜋 ∑︁ ∑︁ [︁ + − i(𝜔k −𝜔k′′ )t p · E × ′′ ⊗ Ek · p e k ~2 k k′′ ∑︁ × ⟨g , 1𝜔k′′ |g , 1𝜔k′ ⟩⟨g , 1𝜔k′ |g , 1𝜔k ⟩𝛿(𝜔k′ − 𝜔0 ). k′ Вследствие ортогональности «выживает» только то слагаемое, в котором k′ = k′′ = k: 𝛾= ]︀ 2𝜋 ∑︁ [︀ p · (E+ ⊗ E− ) · p 𝛿(𝜔k − 𝜔0 ). k k 2 ~ k Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 44 / 53 Спонтанная релаксация КЭД спонтанной релаксации Схема вывода - 4 Дальнейшее справедливо для диэлектрической окружающей среды Выразим полученное выражение для 𝛾 в терминах нормальных мод uk : E+ k √︂ = ~𝜔k uk , 2𝜀0 E− k √︂ = ~𝜔k * u , 2𝜀0 k при этом скорость релаксации можно записать следующим образом: 2𝜔 |p|2 𝜌d (r0 , 𝜔0 ), 3~𝜀0 ∑︁ [︀ ]︀ np · (uk ⊗ u*k ) · n*p 𝛿(𝜔k − 𝜔0 ), 𝜌p (r0 , 𝜔0 ) = 3 𝛾= k 𝜌p (r0 , 𝜔0 ) — парциальная локальная плотность состояний. p = dnp , где np — единичный вектор в направлении p. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 45 / 53 Спонтанная релаксация Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Схема вывода - 5 Нормальные моды определяются волновым уравнением: ∇ × ∇ × uk (r, 𝜔k ) − ∫︁ 𝜔k2 uk (r, 𝜔k ) = 0, c2 uk (r, 𝜔k ) · u*k′ (r, 𝜔k′ )d 3 r = 𝛿kk′ , Функция Грина по определению представляет собой решение следующей задачи: ← → → ← → 𝜔2 ← ∇ × ∇ × G (r, r′ ; 𝜔) − 2 G (r, r′ ; 𝜔) = I 𝛿(r − r′ ). c Будем искать это решение в виде разложения в ряд по нормальным модам: ∑︁ ← → G (r, r′ ; 𝜔) = Ak (r′ , 𝜔) ⊗ uk (r, 𝜔k ), k Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 46 / 53 Спонтанная релаксация Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Схема вывода - 6 ∑︁ k ]︂ ← → 𝜔2 Ak (r , 𝜔) ⊗ ∇ × ∇ × uk (r, 𝜔k ) − 2 uk (r, 𝜔k ) = I 𝛿(r − r′ ). c [︂ ′ ∑︁ k ]︂ 𝜔k2 𝜔 2 ← → Ak (r , 𝜔) ⊗ 2 − 2 uk (r, 𝜔k ) = I 𝛿(r − r′ ). c c [︂ ′ Домножая обе части равенства на u*k′ (r, 𝜔k ), интегрируя по объему моды, получаем [︃ 𝜔k2′ 𝜔2 ′ − Ak (r , 𝜔) c2 c2 ′ ]︃ = u*k′ (r, 𝜔k ). Окончательно приходим к функции Грина, выраженной в терминах нормальных мод ∑︁ u*′ (r, 𝜔k ) ⊗ uk (r, 𝜔k ) ← → ′ . G (r, r ; 𝜔) = c2 k 𝜔k2 − 𝜔 2 k Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 47 / 53 Спонтанная релаксация Спонтанная релаксация и диадная функция Грина Схема вывода - 7 Пользуясь методами ТФКП, можно показать, что имеет место равенство [︃ Im lim 𝜂→0 ∑︁ u* (r, 𝜔k )uk (r, 𝜔k ) k k 𝜔k2 − (𝜔+i𝜂)2 ]︃ = 𝜋 ∑︁ u*k (r, 𝜔k )uk (r, 𝜔k )𝛿(𝜔 − 𝜔k ) , 2 𝜔k k Выражение в скобках в левой части связно с функцией Грина, вычисленной в точке r = r′ . [︁← ]︁ 𝜋c 2 ∑︁ → u*k (r, 𝜔k )uk (r, 𝜔k )𝛿(𝜔 − 𝜔k ). Im G (r, r; 𝜔) = 2𝜔 k Положив теперь r = r0 и 𝜔 = 𝜔0 , перепишем 𝛾 и парциальную ЛПС 2𝜔0 2 |p| 𝜌p (r0 , 𝜔0 ), 3~𝜀0 [︁← ]︁ }︁ → 6𝜔0 {︁ 𝜌p (r0 , 𝜔0 ) = n · Im G (r , r ; 𝜔 ) · n . p 0 0 0 p 𝜋c 2 𝛾= Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 48 / 53 Спонтанная релаксация Локальная плотность состояний В отсутствие выделенной дипольной оси np переходов, если окружающая среда однородна и изотропна, скорость релаксации усредняется по всем возможным ориентациям. ]︁}︁ ]︁ ⟩ 1 {︁ [︁← ⟨ [︁← → → np · Im G (r0 , r0 ; 𝜔0 ) · np = Im Tr G (r0 , r0 ; 𝜔0 ) . 3 В этом случае парциальная ЛПС 𝜌d становится идентичной полной ЛПС 𝜌 𝜌(r0 , 𝜔0 ) = ]︁}︁ ∑︁ → 2𝜔0 {︁ [︁← G (r , r ; 𝜔 ) = |uk |2 𝛿(𝜔k − 𝜔0 ), Im Tr 0 0 0 𝜋c 2 k 𝜌 соответствует полному числу мод в расчете на единицу объема и единицу частот в r0 . [︁← ]︁ ]︁}︁ → 1 {︁ [︁ 𝜔0 np · Im G 0 (r0 , r0 ; 𝜔0 ) · np = Im Tr G^0 (r0 , r0 ; 𝜔0 ) = , 3 6𝜋c При этом 𝜌 и 𝜌d принимают значение плотности мод в модели излучения черного тела 𝜌0 = 𝜔02 , 𝜋2c 3 𝛾0 = 𝜔03 |p|2 , 3𝜋𝜀0 ~c 3 где p = ⟨g |^ p|e⟩ — матричный элемент дипольного перехода. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 49 / 53 Спонтанная релаксация Локальная плотность состояний Спонтанная релаксация в однородной среде в отсутствие фиксированной дипольной оси 𝜌0 = 𝛾0 = 𝜔02 , 𝜋2c 3 𝜔03 |p|2 . 3𝜋𝜀0 ~c 3 Скорость релаксации 𝛾 возбужденного уровня 2P1/2 атома Li. Ширина на уровне 1/e соответствует времени жизни 𝜏 = 1/𝛾 = 27, 1 нс. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 50 / 53 Спонтанная релаксация Локальная плотность состояний Локальная плотность состояний: иллюстрация Nate Lawrence and Luca Dal Negro, Optics Express, Vol. 18 (15) pp. 16120-16132 (2010) Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 51 / 53 Приложение Литература Литература I Новотный Л., Хехт Б. Основы нанооптики. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. Solymar L., Shamonina E. Waves in Metamaterials. Oxford University Press, 2011. Колоколов А.А., Скроцкий Г.В. Интерференция реактивных компонент электромагнитного поля. УФН, Т.162, №12, стр.165-174. 1992. Манцызов Б.И. Когерентная и нелинейная оптика фотонных кристаллов. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2009. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 52 / 53 Приложение Литература Литература II Климов В.В. Наноплазмоника. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010. Maier S.A. Plasmonics: Fundamentals and Applications. Springer, 2007. Cai W., Shalaev V. Optical Metamaterials: Fundamentals and Applications. Springer, 2009. Коновко, Шутова (МГУ) Введение в нанооптику 2014 г., весенний семестр 53 / 53