elr03112 (1)

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Балтийский государственный технический университет «Военмех»
Кафедра «Системы приводов, мехатроника и робототехника»
В.Ю. ЛАВРОВ
СТРУКТУРНЫЙ
И КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
И СИНТЕЗ ПЛОСКИХ
КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ
В ПРИМЕРАХ
Практическое пособие
Санкт-Петербург
2019
УДК 621.835.06(076)
Л13
Л13
Лавров, В.Ю.
Структурный и кинематический анализ и синтез
плоских кулачковых механизмов в примерах: практическое пособие / В.Ю. Лавров; Балт. гос. техн. ун-т.
– СПб., 2019. – 51 с.
Рассмотрено содержание и требования к выполнению лабораторной работы по структурному и кинематическому анализу плоских кулачковых механизмов с математической обработкой данных эксперимента. Приведены примеры оформления работ и контрольные вопросы. Рассмотрены методика и
содержание домашнего задания по синтезу плоских кулачковых механизмов, выполняемого на основе данных, полученных при выполнении лабораторных работ.
Предназначено для студентов, выполняющих лабораторные работы по дисциплинам "Теория механизмов и машин”,
"Механика машин”, “Прикладная механика”.
УДК 621.835.06(076)
Р е ц е н з е н т канд. техн. наук, доц. В.А. Цветков
Утверждено
редакционно-издательским
советом университета
© В.Ю. Лавров, 2019
© БГТУ, 2019
ВВЕДЕНИЕ
Лабораторная работа состоит из двух частей: первая – структурный анализ механизма, вторая – его кинематический анализ.
Задача структурного анализа кулачкового механизма – определить количество звеньев, количество и типы кинематических пар,
наличие пассивных связей, вычислить число степеней свободы.
В общем случае задачу кинематического анализа механизма с одной степенью свободы можно сформулировать следующим образом:
при известном характере движения входного звена определить характер движения остальных звеньев. При выполнении лабораторных
работ исследуется движение только одного выходного звена механизма – толкателя или коромысла.
Определение кинематических параметров движения в рассматриваемых работах основано на экспериментальном исследовании функционирования механизмов. Кинематические параметры (перемещение, скорость, ускорение) связаны друг с другом как первообразные и
производные функции. В лабораторных работах функцию перемещения получают экспериментально, а функции скорости и ускорения –
путем математической обработки.
В ряде учебных планов предусмотрено выполнение практических
заданий по проектированию плоских кулачковых механизмов. Проектирование производится на базе информации, полученной при выполнении лабораторной работы. Поэтому методика выполнения этих
заданий также включена в данное пособие.
При выполнении лабораторной работы используется программа ApproxFSP.exe для математической обработки данных.
По учебным планам для разных специальностей лабораторные
работы по ТММ могут иметь разный объём. Структурный анализ механизмов при всех вариантах проведения работ одинаков, а кинематический может сильно различаться.
В разд. 1 приведены типичные варианты содержания отчётов по
лабораторным работам. Рекомендуется:
1. Выяснить у преподавателя, какие методы обработки данных
лабораторного эксперимента Вы должны использовать, и на базе информации из разд. 2 сформировать содержание своего отчёта.
3
2. Выполнить структурный анализ механизма в соответствии с
примерами, приведенными в разд. 2.
3. Выполнить кинематический анализ механизма в соответствии с
примерами в разд. 3.
При проектировании механизма используется программа Mechanic.exe.
В разд. 5 приведено типичное содержание отчёта по практической работе. Рекомендуется:
1. Проконсультироваться с преподавателем, какой метод обработки данных лабораторного эксперимента наиболее подходит для
использования при проектировании механизма.
2. Требуется ли для качественного проектирования доработать
эти данные “вручную”.
3. Выполнить передачу данных из программы ApproxFSP в программу Mechanic, как это описано в разд. 5.
4. Выполнить проектирование механизма и оформить отчёт в соответствии с примерами, приведенными в разд. 5.
1. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТОВ ПО ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ
Полный вариант содержания отчёта, когда предполагается применение всех методов обработки лабораторных данных.
1. Структурный анализ механизма.
2. Кинематический анализ механизма.
2.1. Аппроксимация функции положения тригонометрическим
рядом Фурье.
2.2. Фильтрация функции с помощью скользящих средних.
2.3. Применение интерполяционного сплайна.
2.4. Применение сглаживающего сплайна.
2.5. Аппроксимация функции полиномами, коэффициенты которых определены методом наименьших квадратов.
Выводы по работе.
Список использованных источников.
Из приведённого полного перечня методов кинематического
анализа следует выбрать только те подразделы, выполнение которых
предусмотрено учебным планом. Их содержание рассмотрено
в разд. 4.
В случае, когда предполагается использовать только разложение
в тригонометрический ряд Фурье, отчёт существенно сокращается.
1. Структурный анализ механизма.
4
2. Кинематический анализ механизма с помощью аппроксимации
функции положения тригонометрическим рядом Фурье.
Выводы по работе.
Список использованных источников.
2. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
Практическая часть лабораторных работ выполняется на
настольных установках, имитирующих плоские кулачковые механизмы. Последовательность структурного анализа.
1. Вычертить структурную схему механизма.
2. Классифицировать механизм.
3. Обозначить звенья и кинематические пары.
4. Диагностировать наличие или отсутствие пассивных связей.
5. При наличии пассивной связи условно удалить её из механизма, вычертив его структурную схему без неё. Переопределить количество звеньев и кинематических пар.
6. Указать тип кинематических пар.
7. Определить число степеней свободы механизма по формуле
Чебышева.
8. На структурной схеме обозначить основные геометрические
параметры механизма, конструктивные углы кулачка и угол давления
в кинематической паре кулачок–толкатель.
2.1. Механизмы с толкателем
На рис. 2.1,а показан пример структурной схемы плоского кулачкового механизма с толкателем. Требуется выполнить описанную
выше последовательность структурного анализа применительно к
этому механизму.
Пример 2.1. Исследуется плоский кулачковый механизм с вращающимся кулачком, прямолинейно движущимся толкателем, с силовым замыканием, с роликовым контактом между кулачком и толкателем. Его структурная схема представлена на рис. 2.1,а, где 1 – кулачок, 2 – толкатель, 3 – стойка, 4 – ролик; PП – рабочий профиль кулачка, ЦП – его центровой профиль. Ролик является пассивным звеном и на рис. 2.1,б условно удален.
5
Рис. 2.1
Звенья этого механизма образуют три кинематические пары:
1) кулачок со стойкой – плоский шарнир 5-го класса;
2) толкатель со стойкой – поступательная кинематическая пара
5-го класса;
3) кулачок с толкателем – кинематическая пара 4-го класса.
Число степеней свободы по формуле Чебышева для плоских механизмов определяется по схеме на рис. 2.1,б:
W = 3n – 2p5 – p4 = 3⋅2 – 2⋅2 – 1 = 1,
где n – количество подвижных звеньев, p5 и p4 – количество кинематических пар 5-го и 4-го класса соответственно.
Основными геометрическими параметрами этого механизма
являются радиус базовой окружности кулачка R0 и эксцентриситет e.
На рис. 2.1,б показаны конструктивные углы кулачка: βу – угол
удаления, βд – дальнего выстоя, βв – возврата, βб – ближнего выстоя.
На рис. 2.1,б обозначен также угол давления γ, измеряемый между вектором RKT реакции со стороны кулачка на толкатель и вектором
vК скорости точки контакта кулачка и толкателя, если считать её принадлежащей толкателю.
6
2.2. Механизмы с коромыслом
На рис. 2.2,а показан пример структурной схемы плоского кулачкового механизма с коромыслом (вращающимся толкателем). Требуется выполнить описанную выше последовательность структурного
анализа применительно к этому механизму.
а)
б)
Рис. 2.2
Пример 2.2. Исследуется плоский кулачковый механизм с вращающимися кулачком и толкателем (коромыслом), с силовым замыканием, с роликовым контактом между кулачком и коромыслом. Его
структурная схема показана на рис. 2.2,а, где 1 – кулачок, 2 – коромысло, 3 – стойка, 4 – ролик, PП – рабочий профиль кулачка, ЦП –
7
его центровой профиль. Ролик является пассивным звеном и на
рис. 2.2,б условно удален.
Звенья этого механизма образуют три кинематические пары:
1) кулачок со стойкой – плоский шарнир 5-го класса;
2) коромысло со стойкой – плоский шарнир 5-го класса;
3) кулачок с коромыслом – кинематическая пара 4-го класса.
Число степеней свободы по формуле Чебышева для плоских механизмов определяется по схеме на рис. 2.2,б:
W = 3n – 2p5 – p4 = 3⋅2 – 2⋅2 – 1 = 1,
где n – количество подвижных звеньев, p5 и p4 – количество кинематических пар 5-го и 4-го класса соответственно.
На рис. 2.2,а обозначены три величины: R0 – радиус базовой
окружности кулачка, lК – длина коромысла, L – межцентровое расстояние. Они являются основными геометрическими параметрами этого
механизма. Эксцентриситет e, показанный на рис. 2.2,а, не входит в
состав основных геометрических параметров.
На рис. 2.2,б показаны конструктивные углы кулачка: βу – угол
удаления, βд – дальнего выстоя, βв – возврата, βб – ближнего выстоя.
На рис. 2.2,б обозначен также угол давления γ, измеряемый между вектором реакции R со стороны кулачка на коромысло и вектором
vK скорости точки контакта кулачка и коромысла, если считать её
принадлежащей коромыслу.
2.3. Контрольные вопросы
1. Что называется механизмом?
2. Что называется кинематической парой?
3. Как классифицируются кинематические пары?
4. Что называется кинематической цепью?
5. Что такое пассивные связи?
6. Что такое замыкание кулачкового механизма и какие типы замыкания существуют?
7. Каков физический смысл понятия число степеней свободы механизма и как оно вычисляется для плоских механизмов?
8. Что называется обобщенной координатой?
9. Какой параметр являются обобщенной координатой исследуемого механизма?
10. Что называется углом давления в кинематической паре и какое
влияние его величина оказывает на работоспособность механизма?
8
11. Какие размеры называются основными геометрическими параметрами кулачкового механизма и почему именно этим параметрам
уделяется столь пристальное внимание?
3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
В лабораторных работах кинематический анализ производится по
комбинированной экспериментально-аналитической методике.
Входным звеном всегда является кулачок 1 (см. рисунки в разд. 2),
со шкалой, позволяющей определять значение обобщенной координаты, которой в данном случае является угол поворота кулачка. Звено,
характер движения которого предстоит исследовать, снабжено линейкой или шкалой, позволяющей замерять его перемещение.
Последовательность кинематического анализа.
1. Провернуть механизм и экспериментально получить таблицу
функции положения: S(ϕ1) – перемещение прямолинейно движущегося толкателя или ψ(ϕ1) – угол поворота коромысла. Шаг проворачивания – по указанию преподавателя, но, как правило, он составляет
10° по углу поворота кулачка.
2. Перейти от функции положения S(ϕ1) к функции S(t) или от
ψ(ϕ1) к ψ(t).
3. Выполнить математическую обработку функции методами,
предусмотренными учебным планом (по указанию преподавателя).
4. Проанализировать результаты и сделать выводы о качестве обработки данных.
Пример 3.1. Кинематический анализ производится экспериментально-аналитически. Функцию S(φ1) положения толкателя 2 (см.
рис. 2.1,а) в зависимости от угла поворота кулачка 1 получаем экспериментально в виде таблицы с шагом 10° по углу поворота кулачка.
Результаты эксперимента представлены в табл. 3.1.
Т а б л и ц а 3.1
i
0
1
2
3
4
5
6
ϕ1°
0
10
20
30
40
50
60
S, м
0
0,004
0,014
0,03
0,05
0,082
0,12
i
7
8
9
10
11
12
13
9
ϕ1°
70
80
90
100
110
120
130
S, м
0,154
0,18
0,198
0,21
0,218
0,22
0,22
Окончание табл. 3.1
i
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
ϕ1°
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
S, м
0,22
0,22
0,22
0,202
0,17
0,122
0,08
0,035
0,011
0
0
0
i
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
ϕ1°
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
S, м
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Полагая, что кулачок вращается с постоянной угловой скоростью
ω1 = 60 c-1, следовательно, φ1 = ω1 t, получаем функцию положения от
времени S(t). Для этого вычислим шаг таблицы по времени:
Δt = Δφ1 рад /ω1 = 0,17453 / 60 = 0,002909 с,
где Δφ1 рад = Δφ1° π/180 = 10⋅π/180 = 0,17453 рад.
Для аналитической обработки функции S(t) проводим её аппроксимацию и фильтрацию пятью методами. Обработку данных эксперимента выполним с помощью программы ApproxFSP.exe.
3.1. Аппроксимация функции положения
тригонометрическим рядом Фурье
В этом случае функцию S(t) разлагаем в ряд Фурье и дифференцированием ряда определяем зависимость скорости v(t) и ускорения а(t)
ползуна. При этом необходимо решить вопрос об оптимальном числе
членов ряда. Разложение функции в ряд Фурье означает её приближенную замену тригонометрическим полиномом, являющимся суммой ряда
S Ô (t ) =
(
)
(
)
m
A0 m
+ ∑ A j cos p j t + B j sin p j t = C0 + ∑ C j sin p j t + α j , (3.1)
2 j =1
j =1
где Aj, Bj – коэффициенты ряда, pj = 2π j/T– частоты, по которым производится разложение, T =2π/ω1 = 2π/60 = 0,105 с – время полного
оборота кулачка; C j = A2j + B 2j – амплитуда j-й гармоники, αj – её
фаза, m – число членов ряда.
10
В данном случае функция S(t) задана таблицей значений в конечном числе точек n = 36, поэтому максимальное число членов ряда
mmax = n/2 = 36/2 = 18.
Формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье при табличном задании функции [2]:
Aj =
i
2 n −1
∑ S (ti )cos(2πj n );
n i =0
Bj =
i
2 n −1
∑ S (ti ) sin(2πj n ) .
n i =0
На первом этапе разложим S(t) в ряд с максимально возможным
числом членов m = 18. Результаты представлены на рис. 3.1 и в
табл. 3.2. В этом случае значения ряда Фурье в узлах близки к данным
эксперимента, но в промежутках между узлами наблюдаются волнообразные отклонения, особенно заметные на графиках производных.
В частности, на фазах ближнего и дальнего выстоя скорость и ускорение должны быть равны нулю, а аппроксимирующая функция осциллирует. Во многих случаях возникает потребность в сглаживании
такого рода зависимостей.
Рис. 3.1
11
Т а б л и ц а 3.2 1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
t, c
0.000e+00
2.909e-03
5.818e-03
8.727e-03
1.164e-02
1.455e-02
1.745e-02
2.036e-02
2.327e-02
2.618e-02
2.909e-02
3.200e-02
3.491e-02
3.782e-02
4.073e-02
4.364e-02
4.654e-02
4.945e-02
5.236e-02
5.527e-02
5.818e-02
6.109e-02
6.400e-02
6.691e-02
6.982e-02
7.272e-02
7.563e-02
7.854e-02
8.145e-02
8.436e-02
8.727e-02
9.018e-02
9.309e-02
9.600e-02
9.891e-02
1.018e-01
1.047e-01
S, м
0.000e+00
4.000e-03
1.400e-02
3.000e-02
5.000e-02
8.200e-02
1.200e-01
1.540e-01
1.800e-01
1.980e-01
2.100e-01
2.180e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.020e-01
1.700e-01
1.220e-01
8.000e-02
3.500e-02
1.100e-02
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
SФ, м
2.778e-04
3.722e-03
1.428e-02
2.972e-02
5.028e-02
8.172e-02
1.203e-01
1.537e-01
1.803e-01
1.977e-01
2.103e-01
2.177e-01
2.203e-01
2.197e-01
2.203e-01
2.197e-01
2.203e-01
2.017e-01
1.703e-01
1.217e-01
8.028e-02
3.472e-02
1.128e-02
-2.778e-04
2.778e-04
-2.778e-04
2.778e-04
-2.778e-04
2.778e-04
-2.778e-04
2.778e-04
-2.778e-04
2.778e-04
-2.778e-04
2.778e-04
-2.778e-04
2.778e-04
v, м/c
6.045e-01
2.218e+00
4.727e+00
5.958e+00
8.546e+00
1.296e+01
1.254e+01
1.064e+01
7.225e+00
5.288e+00
3.107e+00
2.205e+00
-5.767e-01
7.960e-01
-1.034e+00
1.530e+00
-3.333e+00
-8.021e+00
-1.500e+01
-1.556e+01
-1.515e+01
-1.315e+01
4.752e+00
-2.308e+00
1.164e+00
-8.168e-01
6.372e-01
-5.223e-01
4.406e-01
-3.790e-01
3.312e-01
-2.940e-01
2.664e-01
-2.501e-01
2.520e-01
-3.013e-01
6.045e-01
a, м/c2
1.992e+02
1.020e+03
4.781e+02
5.697e+02
1.346e+03
1.045e+03
-8.776e+02
-6.472e+02
-1.300e+03
-3.824e+02
-7.381e+02
-4.584e+02
-5.761e+02
4.532e+02
-5.414e+02
8.608e+02
-3.112e+03
-7.836e+02
-3.043e+03
2.036e+03
-1.722e+03
3.740e+03
- 7.043e+02
2.044e+03
-6.846e+02
4.848e+02
-4.197e+02
3.894e+02
-3.722e+02
3.611e+02
-3.530e+02
3.462e+02
-3.394e+02
3.303e+02
-3.124e+02
2.539e+02
1.992e+02
1
Числа в таблице представлены в экспоненциальной форме, например,
a(0) = 1.992e+02 = 1.992∙102 м/c2.
12
Оценим значимость членов ряда с помощью амплитудного спектра функции, показанного на рис. 3.2 и в табл. 3.3.
Рис. 3.2
Т а б л и ц а 3.3
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
pj,1/c
0.000e+00
6.000e+01
1.200e+02
1.800e+02
2.400e+02
3.000e+02
3.600e+02
4.200e+02
4.800e+02
5.400e+02
6.000e+02
6.600e+02
7.200e+02
7.800e+02
8.400e+02
9.000e+02
9.600e+02
1.020e+03
1.080e+03
pj, гц
0.000e+00
9.549e+00
1.910e+01
2.865e+01
3.820e+01
4.774e+01
5.729e+01
6.684e+01
7.639e+01
8.594e+01
9.549e+01
1.050e+02
1.146e+02
1.241e+02
1.337e+02
1.432e+02
1.528e+02
1.623e+02
1.719e+02
13
Cj
8.278e-02
1.218e-01
3.838e-02
1.190e-02
1.272e-02
3.580e-03
1.973e-03
9.658e-04
1.035e-03
3.239e-04
6.328e-04
2.942e-04
2.422e-04
2.249e-04
9.333e-05
3.720e-04
4.476e-04
6.932e-04
5.556e-04
αj
-0.6085
0.2364
-1.3643
-0.8824
-0.8856
1.5464
-0.8897
1.2782
-1.0304
0.5880
1.3854
0.1150
1.0116
-1.4042
-0.9154
-1.2119
-1.3014
-1.5708
Анализ амплитудного спектра исследуемой функции показывает, что основными частотами, присутствующими в ней, являются
первые шесть, однако исследования, проведённые с помощью программы ApproxFSP, показали, что наилучшая аппроксимация получается при учете первых десяти частот. Результаты представлены на
рис. 3.3 и в табл. 3.4.
Функция аппроксимирована удовлетворительно на всем участке.
Первая производная (скорость толкателя) удовлетворительно аппроксимирована на фазах удаления и возврата, на фазах выстоя заметны
погрешности. Вторая производная (ускорения толкателя) аппроксимирована неудовлетворительно.
Аппроксимирующее выражение (3.1) для данной функции с учетом первых десяти членов ряда приобретает вид
SФ(t) = 0,08278 + 0,1218 sin(60t – 0,6085) + 0,03838 sin(120t + 0,2364) +
+ 0,0119 sin(180t – 1,3643) + 0,01272 sin(240t – 0,8824) +
+ 0,00358 sin(300t – 0,8856) + 0,001973 sin(360t + 1,5464) +
+ 0,0009658 sin(420t – 0,8897) + 0,001035 sin(480t + 1,2782) +
+ 0,0003239 sin(540t – 1,0304) + 0,0006328 sin(600t + 0,588).
Рис. 3.3
14
Т а б л и ц а 3.4
i
t, c
S, м
SФ, м
v, м/c
a, м/c2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
0.000e+00
2.909e-03
5.818e-03
8.727e-03
1.164e-02
1.455e-02
1.745e-02
2.036e-02
2.327e-02
2.618e-02
2.909e-02
3.200e-02
3.491e-02
3.782e-02
4.073e-02
4.364e-02
4.654e-02
4.945e-02
5.236e-02
5.527e-02
5.818e-02
6.109e-02
6.400e-02
6.691e-02
6.982e-02
7.272e-02
7.563e-02
7.854e-02
8.145e-02
8.436e-02
8.727e-02
9.018e-02
9.309e-02
9.600e-02
9.891e-02
1.018e-01
1.047e-01
0.000e+00
4.000e-03
1.400e-02
3.000e-02
5.000e-02
8.200e-02
1.200e-01
1.540e-01
1.800e-01
1.980e-01
2.100e-01
2.180e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.020e-01
1.700e-01
1.220e-01
8.000e-02
3.500e-02
1.100e-02
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
-2.778e-04
4.021e-03
1.449e-02
2.927e-02
5.048e-02
8.196e-02
1.198e-01
1.542e-01
1.799e-01
1.980e-01
2.102e-01
2.176e-01
2.204e-01
2.200e-01
2.194e-01
2.210e-01
2.191e-01
2.029e-01
1.688e-01
1.240e-01
7.760e-02
3.696e-02
1.006e-02
1.335e-04
-1.985e-05
3.050e-04
-3.582e-04
1.312e-06
3.346e-04
-2.258e-04
-1.758e-04
3.420e-04
-5.355e-05
-3.232e-04
3.141e-04
5.192e-05
-2.778e-04
4.206e-01
2.626e+00
4.400e+00
5.901e+00
8.980e+00
1.242e+01
1.295e+01
1.040e+01
7.379e+00
5.141e+00
3.338e+00
1.723e+00
3.042e-01
-4.146e-01
2.009e-01
5.399e-01
-2.556e+00
-8.821e+00
-1.414e+01
-1.611e+01
-1.539e+01
-1.205e+01
-6.210e+00
-1.089e+00
3.747e-01
-1.938e-01
-9.462e-02
2.471e-01
-8.662e-02
-1.737e-01
1.957e-01
4.608e-02
-2.338e-01
1.174e-01
1.716e-01
-3.178e-01
4.206e-01
5.918e+02
7.791e+02
4.516e+02
7.273e+02
1.311e+03
8.240e+02
-4.651e+02
-1.102e+03
-9.071e+02
-6.662e+02
-5.845e+02
-5.277e+02
-4.202e+02
-1.748e+01
3.472e+02
-3.347e+02
-1.783e+03
-2.243e+03
-1.266e+03
-1.588e+02
6.531e+02
1.666e+03
2.138e+03
1.178e+03
-4.903e+01
-1.534e+02
1.721e+02
-8.872e+00
-1.430e+02
9.891e+01
7.504e+01
-1.464e+02
1.747e+01
1.497e+02
-1.399e+02
-6.406e+01
5.918e+02
15
3.2. Фильтрация функции с помощью скользящих средних
Скользящие средние являются одним из простейших цифровых
фильтров. Сглаженная (отфильтрованная) функция получается путём
вычисления средних арифметических значений по указанному числу
точек. При этом первые и последние точки в таблице отфильтрованной функции сохраняют свои значения.
В данном исследовании функция задана в 36 точках: S0, S1, S2,…S36.
Далее мы строим скользящие средние по трем точкам, и отфильтрованными значениями функции будут:
Sф0 = S0;
Sф1 = (S0 + S1 + S2)/3;
Sф2 = (S1 + S2 + S3)/3;
…
Sф35 = (S34 + S35 + S36)/3;
Sф36 = S36.
Исследования, проведенные с помощью программы ApproxFSP,
показали, что увеличение числа точек, по которым вычисляются
средние, приводит к увеличению погрешности аппроксимации самой
функции на фазе дальнего выстоя, а существенного улучшения сглаживания на фазах удаления и возврата при этом не происходит. Оптимальным в данном случае можно признать сглаживание по трём
точкам. Результаты представлены на рис. 3.4 и табл. 3.5.
Рис. 3.4
16
Т а б л и ц а 3.5
i
t, c
S, м
SФ, м
v, м/c
a, м/c2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
0.000e+00
2.909e-03
5.818e-03
8.727e-03
1.164e-02
1.455e-02
1.745e-02
2.036e-02
2.327e-02
2.618e-02
2.909e-02
3.200e-02
3.491e-02
3.782e-02
4.073e-02
4.364e-02
4.654e-02
4.945e-02
5.236e-02
5.527e-02
5.818e-02
6.109e-02
6.400e-02
6.691e-02
6.982e-02
7.272e-02
7.563e-02
7.854e-02
8.145e-02
8.436e-02
8.727e-02
9.018e-02
9.309e-02
9.600e-02
9.891e-02
1.018e-01
1.047e-01
0.000e+00
4.000e-03
1.400e-02
3.000e-02
5.000e-02
8.200e-02
1.200e-01
1.540e-01
1.800e-01
1.980e-01
2.100e-01
2.180e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.020e-01
1.700e-01
1.220e-01
8.000e-02
3.500e-02
1.100e-02
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
6.000e-03
1.600e-02
3.133e-02
5.400e-02
8.400e-02
1.187e-01
1.513e-01
1.773e-01
1.960e-01
2.087e-01
2.160e-01
2.193e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.140e-01
1.973e-01
1.647e-01
1.240e-01
7.900e-02
4.200e-02
1.533e-02
3.667e-03
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
1.517e+00
2.684e+00
4.246e+00
6.458e+00
9.112e+00
1.141e+01
1.195e+01
1.023e+01
7.627e+00
5.325e+00
3.387e+00
1.754e+00
5.989e-01
-2.398e-02
1.846e-01
-7.144e-01
-3.515e+00
-8.602e+00
-1.295e+01
-1.521e+01
-1.455e+01
-1.114e+01
-6.545e+00
-2.212e+00
-4.206e-01
1.127e-01
-3.020e-02
8.091e-03
-2.168e-03
5.809e-04
-1.556e-04
4.171e-05
-1.118e-05
2.998e-06
-8.178e-07
2.726e-07
-2.726e-07
3.224e+02
4.800e+02
5.937e+02
9.269e+02
8.985e+02
6.788e+02
-3.049e+02
-8.772e+02
-9.132e+02
-6.695e+02
-6.631e+02
-4.597e+02
-3.343e+02
-9.393e+01
2.373e+02
-8.554e+02
-1.070e+03
-2.427e+03
-5.646e+02
-9.862e+02
1.437e+03
9.102e+02
2.249e+03
7.307e+02
5.008e+02
-1.342e+02
3.596e+01
-9.635e+00
2.582e+00
-6.917e-01
1.854e-01
-4.966e-02
1.331e-02
-3.561e-03
9.371e-04
-1.874e-04
-1.874e-04
17
Оценим качество фильтрации. Функция аппроксимирована удовлетворительно, со сглаживанием. Первая производная аппроксимирована в целом удовлетворительно за исключением начала фазы удаления. Вторая производная сглажена неудовлетворительно. Кроме
того, на графиках производных начальное значения не равно конечному, в то время как в данном случае они должны быть равны по физическому смыслу этих функций.
3.3. Применение интерполяционного сплайна
Интерполяционный кубический сплайн – это совокупность полиномов третьей степени:
SСi(t) = Si + bi(t – ti) + ci(t – ti)2+ di(t – ti)3,
(3.3)
где Si – значения аппроксимируемой функции в узлах, ti – значения
аргумента в узлах, 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑑𝑖 – коэффициенты сплайна для i-го участка,
i = 0,1,2, … n–1– номер участка, n – число точек в таблице, считая с
нуля.
Построение такого сплайна состоит в определении коэффициентов bi, ci, di. Тогда для каждого i-го участка по формуле (3.3) можно
найти значение сплайна SСi(t) для любого ti ≤ t ≤ ti+1, которое и будет
приближённым значением функции S(t). Алгоритм построения сплайна вида (3.3) описан в работах [4, 5].
Дифференцированием аппроксимирующей функции (3.3) определяется скорость звена:
v(t) ≈ vСi(t) = bi + 2ci(t – ti)+ 3di(t – ti)2,
(3.4)
в частности, значения производной в узлах v(t) ≈ bi .
Результаты аппроксимации представлены на рис. 3.5 и в табл. 3.6.
Как и следует из названия, этот сплайн дает интерполирующую аппроксимацию. Операция сглаживания с его помощью невозможна.
Этот метод целесообразно применять в тех случаях, когда аппроксимирующую функцию надо проводить в точности по исходным
точкам.
Здесь на графиках производных также наблюдается неравенство
значений производных в крайних точках.
18
Рис. 3.5
Т а б л и ц а 3.6
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
t, c
0.000e+00
2.909e-03
5.818e-03
8.727e-03
1.164e-02
1.455e-02
1.745e-02
2.036e-02
2.327e-02
2.618e-02
2.909e-02
3.200e-02
3.491e-02
3.782e-02
S, м
0.000e+00
4.000e-03
1.400e-02
3.000e-02
5.000e-02
8.200e-02
1.200e-01
1.540e-01
1.800e-01
1.980e-01
2.100e-01
2.180e-01
2.200e-01
2.200e-01
SC, м
0.000e+00
6.000e-03
1.600e-02
3.133e-02
5.400e-02
8.400e-02
1.187e-01
1.513e-01
1.773e-01
1.960e-01
2.087e-01
2.160e-01
2.193e-01
2.200e-01
19
v, м/c
1.517e+00
2.684e+00
4.246e+00
6.458e+00
9.112e+00
1.141e+01
1.195e+01
1.023e+01
7.627e+00
5.325e+00
3.387e+00
1.754e+00
5.989e-01
-2.398e-02
a, м/c2
3.224e+02
4.800e+02
5.937e+02
9.269e+02
8.985e+02
6.788e+02
-3.049e+02
-8.772e+02
-9.132e+02
-6.695e+02
-6.631e+02
-4.597e+02
-3.343e+02
-9.393e+01
Окончание табл. 3.6
i
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
t, c
4.073e-02
4.364e-02
4.654e-02
4.945e-02
5.236e-02
5.527e-02
5.818e-02
6.109e-02
6.400e-02
6.691e-02
6.982e-02
7.272e-02
7.563e-02
7.854e-02
8.145e-02
8.436e-02
8.727e-02
9.018e-02
9.309e-02
9.600e-02
9.891e-02
1.018e-01
1.047e-01
S, м
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.020e-01
1.700e-01
1.220e-01
8.000e-02
3.500e-02
1.100e-02
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
SC, м
2.200e-01
2.200e-01
2.140e-01
1.973e-01
1.647e-01
1.240e-01
7.900e-02
4.200e-02
1.533e-02
3.667e-03
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
v, м/c
1.846e-01
-7.144e-01
-3.515e+00
-8.602e+00
-1.295e+01
-1.521e+01
-1.455e+01
-1.114e+01
-6.545e+00
-2.212e+00
-4.206e-01
1.127e-01
-3.020e-02
8.091e-03
-2.168e-03
5.809e-04
-1.556e-04
4.171e-05
-1.118e-05
2.998e-06
-8.178e-07
2.726e-07
-2.726e-07
a, м/c2
2.373e+02
-8.554e+02
-1.070e+03
-2.427e+03
-5.646e+02
-9.862e+02
1.437e+03
9.102e+02
2.249e+03
7.307e+02
5.008e+02
-1.342e+02
3.596e+01
-9.635e+00
2.582e+00
-6.917e-01
1.854e-01
-4.966e-02
1.331e-02
-3.561e-03
9.371e-04
-1.874e-04
-1.874e-04
3.4. Применение сглаживающего сплайна
Для построения сглаживающего сплайна формируется так называемый “коридор” (рис. 3.6), т.е. для каждой точки задается максимально и минимально допустимое значение функции, а сам сплайн
строится так, чтобы его график проходил между точками этого коридора, минимизируя энергию изгиба. Коридор, показанный на рис. 3.6,
сформирован так, чтобы “закрепить” начальную точку и точки на фазах дальнего и ближнего выстоя.
Результаты показаны на рис. 3.7 и в табл. 3.7. Функция аппроксимирована удовлетворительно, со сглаживанием. Однако на графиках производных проявляется основной недостаток – неравенство
начального и конечного значений, в то время как функция в данном
случае периодична по своей сути.
20
Рис. 3.6
Рис. 3.7
21
Т а б л и ц а 3.7
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
t, c
0.000e+00
2.909e-03
5.818e-03
8.727e-03
1.164e-02
1.455e-02
1.745e-02
2.036e-02
2.327e-02
2.618e-02
2.909e-02
3.200e-02
3.491e-02
3.782e-02
4.073e-02
4.364e-02
4.654e-02
4.945e-02
5.236e-02
5.527e-02
5.818e-02
6.109e-02
6.400e-02
6.691e-02
6.982e-02
7.272e-02
7.563e-02
7.854e-02
8.145e-02
8.436e-02
8.727e-02
9.018e-02
9.309e-02
9.600e-02
9.891e-02
1.018e-01
1.047e-01
S, м
0.000e+00
4.000e-03
1.400e-02
3.000e-02
5.000e-02
8.200e-02
1.200e-01
1.540e-01
1.800e-01
1.980e-01
2.100e-01
2.180e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.020e-01
1.700e-01
1.220e-01
8.000e-02
3.500e-02
1.100e-02
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
SC, м
0.000e+00
5.638e-03
1.414e-02
2.826e-02
5.031e-02
8.187e-02
1.199e-01
1.540e-01
1.801e-01
1.985e-01
2.106e-01
2.174e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.200e-01
2.025e-01
1.684e-01
1.250e-01
7.954e-02
3.913e-02
1.100e-02
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
0.000e+00
22
v, м/c
1.765e+00
2.269e+00
3.743e+00
6.090e+00
9.193e+00
1.243e+01
1.291e+01
1.038e+01
7.579e+00
5.194e+00
3.183e+00
1.547e+00
2.858e-01
-3.453e-02
-1.477e-01
6.252e-01
-2.353e+00
-9.277e+00
-1.372e+01
-1.569e+01
-1.518e+01
-1.219e+01
-6.730e+00
-1.236e+00
3.313e-01
-8.877e-02
2.379e-02
-6.373e-03
1.708e-03
-4.576e-04
1.226e-04
-3.285e-05
8.804e-06
-2.362e-06
6.442e-07
-2.147e-07
2.147e-07
a, м/c2
1.039e+01
3.357e+02
6.778e+02
9.363e+02
1.197e+03
1.026e+03
-6.963e+02
-1.041e+03
-8.843e+02
-7.555e+02
-6.268e+02
-4.980e+02
-3.693e+02
1.490e+02
-2.268e+02
7.582e+02
-2.806e+03
-1.954e+03
-1.103e+03
-2.507e+02
6.010e+02
1.453e+03
2.304e+03
1.472e+03
-3.945e+02
1.057e+02
-2.833e+01
7.590e+00
-2.034e+00
5.449e-01
-1.460e-01
3.912e-02
-1.048e-02
2.805e-03
-7.382e-04
1.476e-04
1.476e-04
3.5. Аппроксимация функции полиномами, коэффициенты
которых определены по методу наименьших квадратов (МНК)
По этому методу искомую гладкую функцию строят в виде суммы простых аналитических функций, выбор которых является отдельной не тривиальной задачей. В данной программе используется
самая простая – система степенных функций: 1, t, t2, t3, … , так, что
нужная гладкая функция получается в виде полинома:
SП(t) = b0 + b1t + b2t2 + b3t3 + … + bntm ,
(3.5)
где m – задаваемая пользователем степень полинома.
Таким образом, задача сводится к нахождению оптимальной степени полинома m и коэффициентов bi таких, чтобы график SП(t), получаемый по формуле (3.5), проходил между точками исходной
функции, минимизируя среднеквадратическое отклонение значений
исходной функции от значений полинома (3.5).
Исследования, проведённые с помощью программы ApproxFSP,
показали, что наилучшие результаты получаются для степени полинома m = 16. При этом решать систему уравнений при определении
коэффициентов bi следует с помощью обращения матрицы системы.
На рис. 3.8 показаны результаты аппроксимации. Функция аппроксимирована удовлетворительно на фазах удаления и возврата, но неудовлетворительно на фазах ближнего и дальнего выстоя.
Рис. 3.8
23
Данный вариант аппроксимации следует признать неприемлемым, поэтому зависимости скорости и ускорения не приводим.
Выводы по работе
1. Функция аппроксимировалась пятью методами, четыре из которых позволяют сглаживать функции.
2. Сглаживание может быть необходимо, например, в тех случаях, когда функция искажена погрешностями эксперимента.
3. Ряд Фурье позволяет производить как интерполирующую, так и
сглаживающую аппроксимацию. Для сглаживающей аппроксимации
следует при разложении учитывать лишь первые основные частоты,
что в первом приближении определяется по амплитудному спектру, но
для недостаточно гладких функций окончательное решение о необходимом числе членов ряда следует принимать по результатам исследования.
4. Тригонометрические ряды Фурье хорошо аппроксимируют
гладкие периодические функции.
5. С помощью скользящих средних удовлетворительно выполнена сглаживающая аппроксимация самой функции, несколько хуже, но
в целом удовлетворительно – первой производной, вторая производная аппроксимирована неудовлетворительно.
6. Интерполяционные сплайны целесообразно применять в тех
случаях, когда аппроксимирующую функцию надо проводить в точности по исходным точкам.
7. Сглаживающий сплайн хорошо сгладил функцию, несколько
хуже, но в целом удовлетворительно – первую производную, ещё несколько хуже – вторую производную. Результаты сглаживания сильно
зависят от конфигурации коридора.
8. Полином, коэффициенты которого определялись методом
наименьших квадратов, в данном случае оказался неприемлем.
9. Во всех методах, кроме ряда Фурье, на графиках производных
начальное значение не равно конечному, в то время как функция в
данном случае периодична по своей сути.
10. Результаты данной лабораторной работы предполагается использовать для проектирования кулачкового механизма. Поскольку
вторая производная (ускорение толкателя) при проектировании кулачкового механизма с роликом не используется, то наилучшими вариантами можно признать аппроксимацию скользящими средними и
сглаживающим сплайном, хотя функции скорости, полученные этими
методами, потребуют некоторой доработки.
24
Библиографический список
1. Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1975. 640 с.
2. Лавров В.Ю. Введение в теорию механизмов и машин (ТММ): учебное
пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2016.
3. Лавров В.Ю. Компьютерное учебное пособие Tut_TMM.exe, версия 2.8,
2017.
4. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.
5. Корнейчук. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984, 231 с.
3.6. Контрольные вопросы
1. Как формулируется задача аппроксимации функций?
2. Как формулируется задача фильтрации функций, заданных
таблично?
3. Какие цели преследуются при выполнении аппроксимации и
фильтрации функций, полученных экспериментально?
4. Какие методы применялись в лабораторной работе для обработки данных эксперимента?
5. В каком виде ищется аппроксимирующая функция при использовании тригонометрического ряда Фурье?
6. Что такое амплитудный спектр функции?
7. По какому критерию выбиралось число членов ряда Фурье?
8. Как меняется вид аппроксимирующей функции при увеличении и уменьшении числа членов ряда?
9. Каков физический смысл существования предельно возможного числа членов ряда при аппроксимации функций, заданных таблично?
10. Как устроен цифровой фильтр “скользящие средние”?
11. Что такое интерполяционные сплайны и для решения каких
задач они применялись в лабораторной работе?
12. Что такое сглаживающие сплайны и для решения каких задач
они применялись в лабораторной работе?
13. В каком виде ищется аппроксимирующая функция при использовании полиномов?
14. В чём суть метода наименьших квадратов?
15. Почему при высоких степенях полинома результаты аппроксимации могут оказаться недостоверными?
16. Какой из применявшихся методов аппроксимации в данном
случае наиболее приемлем?
25
4. ОБРАБОТКА ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ
ПРОГРАММЫ ApproxFSP
4.1. Ввод данных, получение графиков и таблиц
Рассмотрим, как были получены результаты, описанные в примере 3.1.
Пример 4.1. Открыть программу ApproxFSP.exe. На рис. 4.1 показано её главное меню. Обратите внимание на пункт Помощь, в котором содержатся указания по работе с программой, и описание методов решения задач.
Рис. 4.1
Выберите команду Данные. Откроется форма (рис. 4.2), предназначенная для ввода и редактирования исходных данных.
Порядок ввода исходных данных
1. Задайте длину таблицы = 36.
2. Введите величину шага аргумента = 0,002909 c.
3. Нажмите кнопку <Заполнить аргумент> – колонка аргумента
t заполнится автоматически.
4. Непосредственно в таблице в колонку S вручную введите значения функции.
5. Сформируйте коридор для сглаживающего сплайна. 2 Для этого задайте: Константа для коридора = 0,05 и в меню выберите команду Заполнить коридор → Константой. Колонки «max» и «min»
автоматически заполнятся величинами Si ± Константа для коридора.
6. Закрепите крайние и амплитудные точки, задав для них
maxi = mini = Si. Это будет указание сглаживающему сплайну, что аппроксимирующая функция должна в точности проходить через эти
точки.
2
Если сглаживание функции сплайном в дальнейшем не предполагается, то
эту операцию можно не выполнять.
26
7. Для визуального контроля выберите команду в меню График
→ С коридором.
8. Выберите команду Выход и в главном меню (см. рис. 4.1) – команду Файлы → Сохранить данные.
Рис. 4.2
Имя файла для хранения данных надо формировать так:
Номер_группы Фамилия ЛР1.fou 3
После этого в главном меню (см. рис. 4.1) выберите команду
Разложить в ряд.
3
Расширение fou программа подставляет автоматически.
27
Получение графиков и таблиц, описанных в подразд. 3.1 примера 3.1
Для вывода на экран графиков, показанных на рис. 3.1, на главной
форме (см. рис. 4.1) установите Число учитываемых членов ряда = 18,
Дробление шага при построении графиков = 5.
Команда Графики главного меню разворачивается в подменю,
показанное на рис. 4.3. Здесь все команды первого и второго блока
относятся к обработке данных тригонометрическим рядом Фурье.
Дайте команду Графики → Функция, 1-я и 2-я производные. На экране
появятся графики, показанные на рис. 3.1.
Команда Таблицы главного меню разворачивается в подменю,
показанное на рис. 4.4. Для получения табл. 3.2 установите Дробление
шага при построении графиков = 1 и выберите команду Таблицы →
Функция, 1-я и 2-я производные.
Рис. 4.4
Рис. 4.3
Выберите команду Графики → Амплитудный спектр. На экране
появится его изображение, показанное на рис. 3.2. Для получения
табл. 3.3 выберите команду Таблицы → Амплитуды и фазы.
Далее на главной форме (см. рис. 4.1) установите Число
учитываемых членов ряда = 10, Дробление шага при построении
28
графиков = 5 и снова выберите команду Графики → Функция, 1-я и
2-я производные. На экране появятся графики, показанные на рис. 3.3.
Получение графиков и таблиц, описанных
в подразд. 3.2 примера 3.1
Сначала в главном меню выберите команду Фильтрация → Скользящие средние (рис. 4.5). На экране
появится форма, показанная на
рис. 4.6.
Здесь требуется задать количество точек в таблице функции, по
Рис. 4.5
которым будут строиться средние. В
данном случае оно установлено = 3. Нажмите кнопку <Выполнить>.
На экране появятся графики, показанные на рис. 3.4.
Рис. 4.6
Для получения табл. 3.5 установите Дробление шага при построении графиков = 1 и выберите команду Таблицы → Скользящие средние → Функция, 1-я и 2-я производные.
При необходимости получения амплитудного спектра функции,
отфильтрованной скользящими средними, выберите команду Графики → Скользящие средние → Амплитудный спектр.
Получение графиков и таблиц, описанных
в подразд. 3.3 примера 3.1
Все параметры интерполяционного сплайна вычисляются сразу
при выполнении команды Разложить в ряд (см. рис. 4.1), поэтому
для получения графиков, показанных на рис. 3.5 и в табл. 3.6, никаких
дополнительных действий не требуется, можно сразу дать команды:
Графики → Интерполяционный сплайн → Функция, 1-я и 2-я производные.
Таблицы → Интерполяционный сплайн → Функция, 1-я и 2-я производные.
29
Получение графиков и таблиц, описанных
в подразд. 3.4 примера 3.1
Коридор для сглаживающего сплайна задаётся при формировании исходных данных (см. рис. 4.2).
В главном меню выберите команду Фильтрация → Сглаживающим сплайном (см. рис. 4.5). На экране появится форма, показанная на
рис. 4.7.
Рис. 4.7
Числовые данные здесь менять не рекомендуется (хотя и не запрещается). Рекомендуется попробовать построить сглаживающие
сплайны по разным критериям. Если установлен критерий “Минимальная кривизна”, то в процессе построения сглаживающего сплайна
минимизируется среднее значение радиуса кривизны аппроксимирующей кривой (СЗРК). Если установлен “Критерий Лаврова”, то в
процессе построения сглаживающего сплайна минимизируется произведение СЗРК на среднеквадратическое отклонение аппроксимирующей кривой от исходной таблицы.
Нажмите кнопку <Старт процесса>. В случае его успешного
окончания будет выдан запрос (рис. 4.8).
Рис. 4.8
Да – будут выданы графики, аналогичные показанным на
рис. 3.7, но со сглаженной функцией;
Нет – будет выдан только график сглаженной функции.
30
Для получения графиков, показанных на рис. 3.7, установите
Дробление шага при построении графиков = 5 и выберите команду
Графики → Сглаживающий сплайн → Функция, 1-я и 2-я производные.
При необходимости получения таблицы установите нужное
дробление шага и выберите команду Таблицы → Сглаживающий
сплайн → Функция, 1-я и 2-я производные.
При необходимости получения амплитудного спектра функции,
отфильтрованной сглаживающим сплайном, выберите команду Графики → Сглаживающий сплайн → Амплитудный спектр.
Получение графиков и таблиц, описанных
в подразд. 3.5 примера 3.1
Все параметры аппроксимирующего полинома определяются
сразу при выполнении команды Разложить в ряд (см. рис. 4.1), поэтому для получения графика, показанного на рис. 3.8, никаких дополнительных действий не требуется, можно сразу дать команды:
Графики → Полином МНК → Функция, 1-я и 2-я производные
Графики → Полином МНК → Амплитудный спектр
Таблицы → Полином МНК → Функция, 1-я и 2-я производные
4.2. Сохранение данных и результатов в файлах
Программа ApproxFSP позволяет все результаты, полученные на
экране, сохранять в файлах для дальнейшего помещения их в отчёт.
Команда Файлы главного меню (см. рис. 4.1) разворачивается в
меню, показанное на рис. 4.9.
Рис. 4.9
31
Рассмотрим содержание команд.
Ввести данные из файла – ввод данных, ранее сохранённых с помощью команды “Сохранить данные”. Файлы имеют расширение fou,
в них хранятся данные, показанные на рис. 4.2.
Сохранить данные – открывается стандартное для Windows окно,
позволяющее задать имя файла, его расположение и дать команду
записи.
Сохранить функцию и производные – формирование файла (расширение fof), через который таблица функции и её производных передаётся программе Mechanic. В файл может быть записана как исходная функция, так и аппроксимированная любым из предлагаемых
методов.
График –> в BMP-файл – сохранение в файле формата bitmap
(расширение bmp) графика, расположенного в левой части экрана.
Таблицу –> в TXT-файл – сохранение в файле формата ASCII
(расширение txt) таблицы, расположенной в правой части экрана.
Форму –> в BMP-файл – запись в файл формата bitmap копии
экрана.
Печать формы – вывод копии экрана непосредственно на принтер.
Настройка – на экран выводится форма, показанная на рис. 4.10,
позволяющая устанавливать различные опции.
Рис. 4.10
32
5. СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ С ПОМОЩЬЮ
ПРОГРАММЫ Mechanic
Рассмотрим выполнение практических заданий по проектированию плоских кулачковых механизмов, когда проектирование производится на базе информации, полученной при выполнении лабораторной работы.
Процесс проектирования плоского кулачкового механизма с вращающимся кулачком включает три этапа.
1. Определение требуемого закона движения ведомого звена –
толкателя или коромысла. Этот этап выполняется в процессе лабораторной работы.
2. Определение основных геометрических параметров. Для механизмов с толкателем – это радиус базовой окружности кулачка R0 и эксцентриситет e (см. рис. 2.1). Для механизмов с коромыслом – это радиус
базовой окружности кулачка R0, длина коромысла lK и межцентровое
расстояние L (см. рис. 2.2). Эти величины следует замерить непосредственно на лабораторной установке, а при проектировании их надо
проверить. Кроме того, на установке надо замерить радиус ролика.
3. Профилирование кулачка, т.е. построение такого его профиля,
который обеспечил бы реализацию требуемого закона движения ведомого звена. Этот этап выполняется в процессе проектирования.
Работы по проектированию предлагается выполнить с помощью
программы Mechanic. На рис. 5.1 показано её главное меню с раскрытым подменю раздела Файлы.
Рис. 5.1
Прежде чем начать работу по проектированию, Вы должны создать проект 4. Если Вы только начинаете работу, то выберите коман4
Если Вы ранее выполняли работу по проектированию или исследованию
рычажного механизма, то можете использовать тот же проект.
33
ду Файлы→Новый проект. В открывшемся стандартном для Windows
окне выберите папку, в которой будут храниться файлы Вашего проекта, задайте ему имя и нажмите кнопку <Сохранить>. Имя проекту
следует задавать так: Номер группы Фамилия ПЗ_2, например,
К481Иванов ПЗ_2. Все файлы проекта будут иметь это имя, но различные расширения, в частности для рассмотренного примера:
К481Иванов ПЗ_2.MEC – общие данные проекта,
К481Иванов ПЗ_2.MTF – данные функционального кулачкового
механизма с толкателем и роликом,
К481Иванов ПЗ_2.MKF – данные функционального кулачкового
механизма с коромыслом и роликом.
В дальнейшем, когда проект уже создан, после старта программы
выберите команду Файлы→Открыть проект. В открывшемся стандартном для Windows окне укажите имя Вашего проекта и нажмите
кнопку <Открыть>.
В программе Mechanic есть несколько разделов для проектирования кулачковых механизмов различных типов.
На рис. 5.2 показано раскрытое подменю данного раздела программы. Поскольку в результате выполнения лабораторной работы
закон движение ведомого звена получается в виде таблицы функции
положения, при выполнении практических заданий следует воспользоваться разделом Кулачковый механизм→С толкателем и роликом,
функциональный или Кулачковый механизм→С коромыслом и роликом, функциональный.
Рис. 5.2
5.1. Передача данных из программы ApproxFSP в программу
Mechanic
Прежде всего при выполнении лабораторной работы Вы должны
проанализировать, какой вариант аппроксимации функции положения
выходного звена наиболее качественный, потому что в результате
34
проектирования будет синтезирован такой профиль кулачка, который
реализует именно эту функцию. В частности, на фазах выстоя функция S(t) или ψ(t) должна быть постоянной, а скорость равна нулю.
Если у Вас это не так, то или этот метод аппроксимации не подходит
для данной задачи, или при проектировании механизма нужно будет
доработать функцию вручную.
Функция положения, передаваемая от программы ApproxFSP в
программу Mechanic, должна отражать именно перемещение ведомого звена от нуля до наибольшего значения, а не просто показания
шкалы прибора. Линейное перемещение должно быть задано в метрах, а угловое – в радианах.
На рис. 4.2 была показана форма, где вводятся исходные данные.
В меню есть команда Преобразовать функцию, которая предоставляет возможности, показанные на рис. 5.3.
Рис. 5.3
Обратите внимание на команду Вычесть наименьшее значение.
Она позволяет убрать постоянную составляющую из графика, а также
на команду Сдвинуть по горизонтали, позволяющую сделать начальной любую точку графика, например для того, чтобы функция начиналась с фазы удаления.
Есть лабораторные установки механизмов с коромыслом, у которых показания угла поворота коромысла передаются на стрелку шка35
лы через зубчатую передачу. В результате показаниями шкалы является не угол поворота коромысла, а угол его поворота, умноженный
на передаточное отношение передачи. В этих случаях надо выяснить
её передаточное отношение и воспользоваться одной из команд Разделить.
Данные из программы ApproxFSP в программу Mechanic передаются через файл, который формируется командой Файлы→Сохранить функцию и производные (см. рис. 4.9). Перед дачей этой команды выведите на экран графики аппроксимации функции и производных тем методом, который Вы выбрали для проектирования с дроблением шага = 2. По этой команде откроется стандартное для Windows окно, в котором Вы выбираете папку для записи файла, и даёте
ему имя, которое также должно содержать информацию о группе,
Вашу фамилию и назначение файла, например, К481 Иванов
ПЗ_2.FOF. Расширение FOF программа устанавливает автоматически.
5.2. Синтез механизма с толкателем
Запустите программу Mechanic. Будем полагать, что проект Вы
уже создали, как это описано в начале этого раздела (см. рис. 5.1),
откройте его. Войдите в раздел Кулачковый механизм→С толкателем
и роликом, функциональный (см. рис. 5.2).
Здесь в меню дайте команду Файлы→Ввести закон движения из
FOF-файла (рис. 5.4). Откроется стандартное для Windows окно.
Найдите свой FOF-файл, ранее подготовленный программой ApproxFSP (см. рис. 4.9), и нажмите кнопку <Открыть>. Вы автоматически войдёте в режим редактирования таблицы закона движения
толкателя (рис. 5.5).
Рис. 5.4
36
Рис. 5.5
Командой Графики S, V выведите на экран графики перемещения
и скорости толкателя для их визуального контроля. В подразд. 5.1
отмечалось, что поскольку любой метод аппроксимации не даёт идеального приближения, то для качественного проектирования,
возможно, функции S(t) и v(t) потребуется отредактировать вручную.
Это можно выполнить именно здесь. Получив удовлетворительный вид функций S(t) и v(t), выходите из режима редактирования таблицы.
Введите параметры механизма, замеренные при выполнении лабораторной работы, тип замыкания механизма (рис. 5.6), а также величину угловой скорости кулачка. Допускаемый угол давления для
этих механизмов, как правило, равен 30°, и без особой необходимости
его изменять не следует. Конструктивный параметр Минимально возможный R0 здесь можно задать просто меньшим, чем R0.
37
Рис. 5.6
Далее в меню выберите команду Параметры Ro, e→Проверить
текущие Ro, ‘e’. На экране будет построена диаграмма, описанная
ниже в примере 5.1 (см. рис. 5.9), и дано заключение о допустимости
данного сочетания (R0, e). Если сочетание допустимо, то можно приступать к построению профиля кулачка. В противном случае ситуацию следует обсудить с преподавателем. Исправить положение можно двумя способами. Первый – несколько увеличить допускаемый
угол давления, но, как правило, не более чем до 32°. Второй – отказаться от данного сочетания (R0, e), т.е. перепроектировать механизм.
Для этого в меню выберите команду Параметры Ro, e→Определить
Ro, ‘e’ заново. Программа определит сочетание параметров, обеспечивающее минимальный габарит механизма с учётом заданного минимально возможного R0. Но это будет уже не тот механизм, что в
лабораторной работе. Для дальнейших действий тоже есть два пути:
первый – остановиться на варианте с минимальными габаритами механизма, второй – используя диаграмму на рис. 5.9, подобрать такие
параметры R0, e, которые были бы близки к параметрам лабораторной
установки.
Определившись с параметрами R0, e, постройте центровой и рабочий профили кулачка.
П р и м е р 5.1. Синтез механизма с толкателем, пример
оформления отчёта. На основе исходных данных, полученных при
выполнении лабораторной работы, проектируется плоский кулачковый механизм с толкателем, силовым замыканием, с роликовым контактом между кулачком и толкателем.
38
Работа выполнена с помощью программы Mechanic.
Исходные данные
В процессе лабораторной работы были замерены основные геометрические параметры исследовавшегося механизма:
• радиус базовой окружности кулачка R0 = 0,18 м;
• эксцентриситет e = 0,07 м;
• радиус ролика Rрол = 0,045 м,
и экспериментально получена таблица функции перемещения толкателя S(ϕ1) – табл. 5.1
Т а б л и ц а 5.1
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ϕ1°
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
S, м
0
0,004
0,014
0,03
0,05
0,082
0,12
0,154
0,18
0,198
0,21
0,218
0,22
i
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
S, м
0,22
0,22
0,22
0,22
0,202
0,17
0,122
0,08
0,035
0,011
0
0
0
ϕ1°
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
На рис. 5.7 показан график этой функции.
Рис. 5.7
39
i
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
ϕ1°
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
S, м
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Механизм проходит четыре фазы работы: удаление, дальний выстой, возврат и ближний выстой.
Будем полагать, что входной кулачок вращается равномерно с
угловой скоростью ω1 = 60 рад/с.
Закон движения толкателя
При выполнении лабораторной работы полученная экспериментально функция перемещения толкателя была сглаживающим образом аппроксимирована с восстановлением значений в промежутках.
Длина таблицы составила 72 точки. Наиболее качественной была признана фильтрация скользящими средними, но отмечено, что функция
скорости, полученная этим методом, потребует некоторой доработки.
Поэтому здесь эта сглаженная функция была “вручную” доработана: исправлено начало фазы удаления и окончание фазы дальнего
выстоя. Графики этих зависимостей показаны на рис. 5.8.
Рис. 5.8
40
Выполним проектирование механизма на базе такой сглаженной
функции.
Основные геометрические параметры
Основными геометрическими параметрами плоских кулачковых
механизмов с толкателем являются радиус базовой окружности кулачка
R0, и эксцентриситет e. Они замерены непосредственно на лабораторной установке: R0 = 0,18 м, e = 0,07 м. При проектировании эти величины определяются из условия незаклинивания кинематической пары
кулачок–толкатель, т.е. ограничения угла давления γ < [γ] = 30°.
На рис. 5.9 приведена диаграмма, позволяющая проверить допустимость принятого сочетания (R0, e), где S – перемещение толкателя,
S′ = v/ω1 – передаточная функция по скорости. Построение показывает, что данное сочетание (R0 = 0,18 м, e = 0,07 м) допустимо, так как
центр вращения кулачка попадает в зону, в которой он должен находиться.
Принятый радиус базовой окружности: R0 = 180 мм
Принятый эксцентриситет: е = 70 мм
Рис. 5.9
41
Профиль кулачка
На рис. 5.10,а методом инверсии построен центровой профиль
кулачка, а на рис. 5.10,б – рабочий профиль как огибающая семейства
окружностей с радиусом ролика.
Построение показывает, что форма кулачка соответствует лабораторной установке, построение профиля по сглаженным данным
эксперимента делает его достаточно гладким.
Рис. 5.10
На рис. 5.11 приведен график изменения угла давления γ(ϕ1) в
кинематической паре кулачок–толкатель, за полный оборот кулачка.
Рис. 5.11
42
Он подтверждает, что эту кинематическую пару не заклинивает,
так как γ < 30° в любом положении механизма на фазах удаления
и выстоя. Наибольшее значение угла давления на этих фазах
γmax = 26°.
Наибольшая величина угла давления на фазе возврата
|γmax| = 51,9° больше 30°, но кулачковые механизмы силовым
замыканием не имеют опасности заклинивания на фазе возврата, так
как на этой фазе толкатель движется под действием замыкающей
силы.
5.3. Синтез механизма с коромыслом
Запустите программу Mechanic. Будем полагать, что проект Вы
уже создали, как это описано в начале этого раздела (см. рис. 5.1),
откройте его. Войдите в раздел Кулачковый механизм→С коромыслом
и роликом, функциональный (см. рис. 5.2).
Здесь в меню выберите команду Файлы→Ввести закон движения
из FOF-файла (см. рис. 5.4). Откроется стандартное для Windows окно. Найдите свой FOF-файл, ранее подготовленный программой ApproxFSP (см. рис. 4.9), и нажмите кнопку <Открыть>. Вы автоматически войдёте в режим редактирования таблицы закона движения коромысла (см. рис. 5.5).
Командой Графики S, V выведите на экран графики угла поворота
ψ(t) и угловой скорости Ω(t) коромысла для их визуального контроля.
В подразд. 5.1 отмечалось, что поскольку любой метод аппроксимации не даёт идеального приближения, то для качественного проектирования, возможно, функции ψ(t) и Ω(t) потребуется отредактировать
вручную. Это можно выполнить именно здесь. Получив удовлетворительный вид функций ψ(t) и Ω(t), выходите из режима редактирования
таблицы.
Введите параметры механизма R0, lК, L, RP замеренные при выполнении лабораторной работы, а также тип замыкания механизма
(рис. 5.12) и величину угловой скорости кулачка. Допускаемый угол
давления для этих механизмов, как правило, равен 45°, и без особой
необходимости его изменять не следует. Конструктивный параметр
Минимально возможный R0 здесь можно задать просто меньшим,
чем R0.
43
Рис. 5.12
После этого в меню выберите команду Параметры Ro, L,
Lк→Проверить текущие. На экране будет построена диаграмма, описанная ниже в примере 5.2 (см. рис. 5.15), и дано заключение о допустимости данного сочетания основных геометрических параметров.
Если сочетание допустимо, то можно приступать к построению профиля кулачка. В противном случае ситуацию следует обсудить с преподавателем. Возможны два пути исправления ситуации: первый –
несколько увеличить допускаемый угол давления, но, как правило, не
более чем 2 … 3°, второй – отказаться от данного сочетания (R0, L,
LK), т.е. перепроектировать механизм. Для этого в меню выберите
команду Параметры Ro, L, Lк →Определить заново. Программа
определит сочетание параметров, обеспечивающее минимальный габарит механизма. Но это будет уже не тот механизм, что в лабораторной работе. Для дальнейших действий тоже есть два пути: первый –
остановиться на варианте с минимальными габаритами механизма,
второй – используя диаграмму на рис. 5.15, подобрать такие параметры R0, L, LK, которые были бы близки к параметрам лабораторной
установки.
Определившись с параметрами (R0, L, Lк), постройте центровой и
рабочий профили кулачка.
44
П р и м е р 5.2. Синтез механизма с коромыслом, пример
оформления отчёта. На основе исходных данных, полученных при
выполнении лабораторной работы, проектируется плоский кулачковый механизм с коромыслом (вращающимся толкателем), силовым
замыканием, с роликовым контактом между кулачком и коромыслом.
Работа выполнена с помощью программы Mechanic.
Исходные данные
В процессе лабораторной работы № 2 были замерены основные
геометрические параметры исследовавшегося механизма:
• радиус базовой окружности кулачка R0 = 0,036 м;
• длина коромысла lК = 0,12 м;
• межцентровое расстояние L = 0,14 м;
• радиус ролика Rрол = 0,008 м,
и экспериментально получена таблица функции угла поворота коромысла ψ(ϕ1) – табл. 5.2.
Т а б л и ц а 5.2
i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
ϕ1°
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
ψ, рад
0
0,004
0,014
0,03
0,05
0,082
0,12
0,154
0,18
0,198
0,21
0,218
0,22
i
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
ψ, рад
0,22
0,22
0,22
0,22
0,202
0,17
0,122
0,08
0,035
0,011
0
0
0
ϕ1°
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
i
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
ϕ1°
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
ψ, рад
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
На рис. 5.13 показан график этой функции.
Механизм проходит четыре фазы работы: удаление, дальний выстой, возврат и ближний выстой.
Будем полагать, что входной кулачок вращается равномерно с
угловой скоростью ω1 = 60 рад/с.
45
Рис. 5.13
Закон движения коромысла
При выполнении лабораторной работы полученная экспериментально функция угла поворота коромысла была сглаживающим образом аппроксимирована с восстановлением значений в промежутках.
Длина таблицы составила 72 точки. Наиболее качественной была признана фильтрация скользящими средними, но отмечено, что функция
скорости, полученная этим методом, потребует некоторой доработки.
Поэтому здесь эта сглаженная функция была “вручную” доработана: исправлена скорость в начале фазы удаления и окончании фазы
дальнего выстоя. Графики этих зависимостей показаны на рис. 5.14.
Выполним проектирование механизма на базе такой сглаженной
функции.
Основные геометрические параметры
Основными геометрическими параметрами плоских кулачковых
механизмов с коромыслом являются радиус базовой окружности кулачка R0, длина коромысла lK и межцентровое расстояние L. Они
замерены непосредственно на лабораторной установке: R0 = 0,036 м,
lK = 0,12 м, L = 0,14 м. При проектировании эти величины определяются из условия незаклинивания кинематической пары кулачок–коромысло, т.е. ограничения угла давления γ < [γ] = 45°.
46
Рис. 5.14
На рис. 5.15 приведена диаграмма, позволяющая проверить допустимость принятого сочетания (R0, lK, L).
Рис. 5.15
Построение показывает, что данное сочетание допустимо, так как
центр вращения кулачка попадает в зону, в которой он должен находиться.
47
Профиль кулачка
На рис. 5.16 методом инверсии построен центровой профиль кулачка, а на рис. 5.17 – рабочий профиль как огибающая семейства
окружностей с радиусом ролика.
Рис. 5.16
Рис. 5.17
48
Построение показывает, что форма кулачка соответствует лабораторной установке, построение профиля по сглаженным данным
эксперимента делает его достаточно гладким.
На рис. 5.18 приведен график изменения угла давления γ(ϕ1) в
кинематической паре кулачок–коромысло, за полный оборот кулачка.
Он подтверждает, что эту кинематическую пару не заклинивает, так
как γ < 45° в любом положении механизма.
Рис. 5.18
5.4. Контрольные вопросы
1. Из каких этапов состоит процесс проектирования плоского кулачкового механизма с вращающимся кулачком?
2. Что такое жёсткий и мягкий фазовый удар при работе кулачкового механизма?
3. Какие величины являются основными геометрическими параметрами плоских кулачковых механизмов с толкателем?
4. Какие величины являются основными геометрическими параметрами плоских кулачковых механизмов с коромыслом?
5. Каков критерий определения основных геометрических параметров плоских кулачковых механизмов с роликовым контактом
между кулачком и толкателем?
49
6. Поясните диаграммы на рис. 5.9 и 5.15. Каким образом они
позволяют определять основные геометрические параметры?
7. Как выполняется построение профиля кулачка?
Библиографический список
1. Лавров В.Ю. Курсовое проектирование по теории машин и механизмов в
среде программы Mechanic: ученое пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2013. 32 с.
2. Лавров В.Ю. Введение в теорию механизмов и машин (ТММ): учебное
пособие / Балт. гос. техн. ун-т. СПб., 2016.
50
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................... 3
1. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТОВ ПО ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ......................... 4
2. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ......................................................... 5
2.1. Механизмы с толкателем.................................................................................. 5
2.2. Механизмы с коромыслом ............................................................................... 7
2.3. Контрольные вопросы ...................................................................................... 8
3. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ................................................ 9
3.1. Аппроксимация функции положения тригонометрическим рядом
Фурье.................................................................................................................. 10
3.2. Фильтрация функции с помощью скользящих средних .............................. 16
3.3. Применение интерполяционного сплайна .................................................... 18
3.4. Применение сглаживающего сплайна ........................................................... 20
3.5. Аппроксимация функции полиномами, коэффициенты
которых
определены по методу наименьших квадратов (МНК) ................................. 23
3.6. Контрольные вопросы .................................................................................... 25
4. ОБРАБОТКА ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ ApproxFSP .............. 26
4.1. Ввод данных, получение графиков и таблиц ................................................ 26
4.2. Сохранение данных и результатов в файлах ................................................ 31
5. СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ С ПОМОЩЬЮ ПРОГРАММЫ
Mechanic.................................................................................................................. 33
5.1. Передача данных из программы ApproxFSP в программу Mechanic .......... 34
5.2. Синтез механизма с толкателем ..................................................................... 36
5.3. Синтез механизма с коромыслом .................................................................. 43
5.4. Контрольные вопросы .................................................................................... 49
Библиографический список ........................................................................................ 50
Лавров Валентин Юрьевич
Структурный и кинематический анализ и синтез
плоских кулачковых механизмов в примерах
Редактор Г.М. Звягина
Корректор Л.А. Петрова
Компьютерная верстка: С.В. Кашуба
Подписано в печать 23.09..2019. Формат 60х84/16. Бумага документная.
Печать трафаретная. Усл. печ. л. 3. Тираж 100 экз. Заказ № 148.
Балтийский государственный технический университет
Типография БГТУ
190005, С.-Петербург, 1-я Красноармейская ул., д.1