Загрузил Елена Бразнец

Л15. Первообразная и интеграл ПРЕЗЕНТАЦИЯ

реклама
Первообразная
Интеграл
Содержание

Понятие первообразной

Неопределенный интеграл

Таблица первообразных

Три правила нахождения первообразных

Определенный интеграл

Вычисление определенного интеграла

Площадь криволинейной трапеции

Площадь криволинейной трапеции (1)

Площадь криволинейной трапеции (2)

Площадь криволинейной трапеции (3)

Площадь криволинейной трапеции (4)

Пример (1)

Пример (2)
Понятие первообразной
Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) = f ( x )
Операцию, обратную дифференцированию
называют интегрированием.
Примеры
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F(x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F(x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F(x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F(x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)
Неопределенный интеграл
Неопределенным интегралом от непрерывной
на интервале (a; b) функции f(x) называют
любую ее первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
+
c

Где С – произвольная постоянная (const).
Примеры

1.  Adx = Ax + C ; (Ax + C ) = A

x
x
x
x
2.  e dx = e + С; (e + C) = e
3.  sin xdx = − cos x + С ;
4
x
4.  x dx =
+ С;
4
3

(− cos x + C)
= sin x

(tg x + C ) =
1
2
cos x

x
 1
 + С  =  4x 3 = x 3
4
 4

1
5. 
dx = tg x + C ;
2
cos x
4
Таблица первообразных
F(x)
x n+1
+C
n +1
2x x
+C
3
sin x + C
− cos x + C
tgx + C
− ctgx + C
f(x)
x
n
х
F(x)
f(x)
ax + C
ax
lna
1
+C
x
ln x
cos x
ex + C
e
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
Cx
C
loga x + C
1
x lna
arcsin x + C
x
1
1 − x2
Три правила нахождения
первообразных
1º Если F(x) есть первообразная для f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция kF(x) есть первообразная
для kf(х).
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция
F(kx + b)
k
есть первообразная для f(kx + b).
Определенный интеграл
b

f ( x )dx = F (x ) a = F (b ) − F (a )
b
a
– формула Ньютона-Лейбница.
Геометрический смысл определенного интеграла
заключается в том, что определенный интеграл
равен
площади
криволинейной
трапеции,
образованной линиями:
сверху ограниченной кривой у = f(x),
и прямыми у = 0; х = а; х = b.
Вычисление
определенного интеграла
 (3x
2
2
− 2 x + 1)dx = (x − x + x ) =
3
2
2
1
1
(
) (
)
= 23 − 22 + 2 − 13 − 12 + 1 = 6 − 1 = 5
(
10
3
2(x + 6) x + 6
x + 6 dx =
3
)
10
=
3
Площадь криволинейной
трапеции
y
D
C
b
S ABCD =  f (x )dx =
a
a
b
B
x=b
x=a
0
A
= F (b ) − F (a )
y=0
x
Площадь криволинейной
трапеции (1)
y
B
b
y=0
x
b
S ABCD = −  f ( x )dx =
D
C
x=b
a
x=a
0
A
a
= F (a) − F (b)
y
Площадь криволинейной
трапеции (2)
D
C
S PMCD = S ABCD − S ABMP =
P
0
Aa
M
b B
b
b
a
a
=  f (x )dx −  g (x )dx =
=  ( f (x ) − g (x ))dxx
b
a
y
Площадь криволинейной
трапеции (3)
D
0
A
a
P
C
S PMCD = S ABCD + S ABMP =
B
b
M
b
b
a
a
x
=  f (x )dx −  g (x )dx =
b
=  ( f (x ) − g (x ))dx
a
Пример 1:
вычислить площадь фигуры,
ограниченной линиями y = x2, y = x + 2.
y
SВОС = SABCD − SABOCD =
C
2
2
−1
−1
=  (x + 2) dx −  (x 2 )dx =
B
A
-1
2
2
x
x
=  х + 2 − х 2 dx =  + 2x −
3
 2
−1
O
D
2
(
)
2
3
2

 =
 −1
8 1
1
1

=  2 + 4 −  −  − 2 +  = 5 − = 4,5
3  2
3
2

x
y
Площадь криволинейной
трапеции (4)
SАЕDВ = SAEDC + SСDB =
D
0
Aa
с
b
a
с
=  f (x )dx +  g(x )dx
Е
C
с
b
B
x
вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
y
4
0
SАDВ = SADС + SСDB =
D
A
2
4
C
8
B
x
вычислить площадь фигуры,
Пример 2:
ограниченной линиями
y = (x – 2)2, y = 2 √ 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0
4
8
=  (x - 2) dx +  2
2
2
4
3 4
(
x − 2)
8 - хdx =
3
4(8 − x ) 8 − x
−
3
2
8
=
4
 (4 − 2)3 (2 − 2)3   4(8 − 8) 8 − 8 4(8 − 4 ) 8 − 4 
−
=
=
−
−

 3
 
3
3
3


 
8 32 40
1
= +
=
= 13
3 3
3
3
Скачать