Домашняя работа 13 Интегральное исчисление Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Метод непосредственного интегрирования. Интегрирование методом замены переменной. Первообразная функция Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F(x) = f(x). Основное свойство первообразной: Функция f(х) имеет бесконечно много первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянную. Неопределенный интеграл Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Записывают: f ( x)dx F ( x) C; – знак интеграла, f(x) dx – подынтегральное выражение, F(x) – первообразная функции f(x), С – константа. Свойства неопределенного интеграла 1. f ( x)dx ( F ( x) C ) f ( x); где f(x) g(x) dx f ( x)dx g ( x)dx где f(x), g(x) – некоторые функции от х. 3. C f ( x)dx C f ( x)dx; 2. Таблица неопределенных интегралов 1. 0 dx c 2. 1 dx x c 3. x dx x 1 c, 1 1 dx ln x c 4. x ax c 5. a x dx ln a 6. e x dx e x c 7. 8. sin x dx cos x c cos x dx sin x c dx tgx c 9. cos 2 x 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. dx sin ctgx c x dx 1 x a2 x2 a arctg a c dx 1 xa x2 a2 2a ln x a c dx 1 xa a2 x2 2a ln x a c dx 2 2 a2 x2 ln x a x c dx 2 2 x 2 a 2 ln x x a c dx x a2 x2 arcsin a c 2 tgx dx ln cos x c 18. ctgx dx ln sin x c Методы интегрирования 1) Непосредственное интегрирование 4.1 Найдите неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования: 4 x2 2 8 1. 4 x 3 dx 6 x dx 5. 2 2 х 1 x2 sin x x2 x 2 x dx dx 6. 2. 2 3 x 1 2x x 3. 7. ( x 2 2 sin x 1)dx 2 3 x 3x 2 dx x2 3 5 4. 2e x 2 dx x 1 3x 8. 3dx 9 16 x 2 2) Метод введения новой переменной (метод подстановки) Алгоритм 4.2 Найдите неопределенные интегралы методом подстановки: x 1. x( x 2 1) 3 / 2 dx. 11. (2 x 1) 20dx 6. 2e dx 2 e x 2 2. sin x cos xdx x2 dx 3. cos 2 x 3 4. 5. sin x dx 5 cos x x dx 2x 2 3 12. 2 x2 2 x2 dx x ln x 13. cos x 9. sin 3 x dx 14. 10. sin 2 x dx 15. cos 2 x sin xdx 7. sin 4 x cos x dx 8. 4 x4 sin 3 x dx x arctgx dx 1 x2 dx 3) Метод интегрирования по частям осуществляется по формуле: udv uv vdu где u, v – непрерывно-дифференцируемые функции от х. Алгоритм Представляют интеграл через u, dv с помощью таблицы: Интеграл вида: f(x) sin kx dx f(x) ln kx dx f(x) cos kx dx f(x) e dx f(x) a dx kx kx u f ( x) du f ( x) dx sin kx dx cos kx dx dv kx e dx a kx dx sin kx dx cos kx dx v kx e dx a kx dx f(x) arcsin kx dx f(x) arccos kx dx f(x) arctg kx dx f(x) arcctg kx dx Замена ln kx arcsin kx u arccos kx arctg kx arcctg kx ln kx dx arcsin kx dx du arccos kx dx arctg kx dx arcctg kx dx sin ax e cos ax e kx dx kx dx u e kx du e kx dx sin ax dx dv cos ax dx sin ax dx v cos ax dx dv f ( x) dx v f ( x) dx Замечание Интегрируют по частям столько раз, какова степень многочлена f(x) где f(x) – степенная функция Интегрируют по частям два раза 4.3 Найдите неопределенные интегралы методом интегрирования по частям: 1. ( x 5)cos x dx. 6. e 2 x cos xdx ln x x dx 3. x arctgx dx 4. x sin x dx 5. x å dx 2. 3 2 2 4õ 7. e x sinxdx 8. 5 x 2 e 5 x dx x ln xdx 10. 10 x cos xdx 9.