Практическая работа № 13 Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования Задания Вычисление неопределённого интеграла непосредственным интегрированием, методом подстановки. 1. Найти неопределённые интегралы (номер варианта совпадает с номером студента по списку): 1.1. x 3 3x 1 dx 1.11. 4 x 2 4 x 2 dx 1.21. 3 x 2 3x dx 1.2. 2 x 4 3x dx x 2 3x 3 2 x 7 1.12. dx x 2 x 3 3x 4 5 x 6 1.22. dx x2 4 x 3 x 4 8 x 5 1.3. dx x3 7 x 4 4x 4 6x 4 1.13. dx x2 x3 x7 x2 1.23. dx x 2 2 2 3 1 1 x4 x7 x3 1.4. dx x 3 3 2 1 4 1 2 x4 x5 x3 1.14. dx x 1.24. 3 x 2 4 x5 x dx x x2 3 x2 2 x 33 x 2 2 x 3 x 2 dx 1.15. dx 1.25. dx x x 1 x2 1 3 3 1.6. dx 1.16. dx 1.26. dx 2 2 2 4 4x 3 x x 4 3 5 2 1.7. dx 1.17. dx 1.27. dx 2 2 1 x 25 x 2 3x 2 2 1 2 2 sin 3 x 3 dx 1.8. e x 2 x 4 x 3x 2 dx; 1.18. 8e x 5 x x 3 dx; 1.28. 2 sin x x 3 2 2 cos x 5 2 cos x 4 1 3 cos 2 x 1.9. dx 1 . 19 . dx 1 . 29 . cos 2 x cos 2 x dx cos 2 x 5 1 1.10. 3 x 2 6 cos xdx 1.20. sin x 4 x 7 dx 1.30. 1 x 2 x dx 3 2 1.5. 5 1. Найти неопределённые интегралы: 2.1. 3 dx 9x 3 1 dx 2.12. 1 dx 9x 3 9 2.4. dx 9x2 3 2.13. 2.2. 2.3. 9x 3 2 2 1 2.11. 2 2.14. 5x 2 3 1 4 7x 2 5 3 4x2 1 2x2 9 2.21. dx 1 dx 3x 2 2 dx 2.22. 1 dx 4x 3 dx 2.23. 1 dx 2.24. 2 4x2 3 1 3 4x2 dx dx 2.5. 1 2.8. 1 dx 5x 3 2.9. 1 dx 5x 3 1 dx 3 9x 1 2.6. 2 dx 7x 4 3 2.7. dx 7x2 4 2 2 3 5x 2 dx 1 dx 4x 3 2 2.26. dx 4 3x 2 2 2.27. dx 4x2 3 1 2.28. 2 dx 4x 7 2.25. 2 2 2.18. 2 2.10. 1 dx 2x 7 1 2.16. dx 3x 2 1 1 2.17. 2 dx 3x 2 2.15. dx 7 2x2 14 2.19. 2 dx 2x 7 1 2.20. 2 dx 8x 9 2 1 dx 8x 9 1 2.30. dx 9 8x 2 2.29. 2 3. Найти неопределённые интегралы: 3.1. 3.2. dx 2 x 13 ln 2 2 x 1 dx x 13 ln 2 x 1 dx 3.3. 1 x 3 ln 2 1 x 3 ln 2 1 x 3.4. dx 1 x 3.5. 5 3.6. 7 3.7. 3.8. 3 3.9. 3.10. 3.11. dx 1 x ln 3 1 x ln 3 1 x 3.12. dx 1 x 3.13. 3.14. ln 2 x 1 dx 2 x 1 dx ln 2 1 x dx 1 x x 13 ln x 1 ln 3 6 x 3.15. dx 6 x 3 ln x 4 3.16. dx x 4 ln 5 1 x dx 1 x 3.17. ln 2 1 x dx 1 x ln 1 3x dx 1 3x ln 3 3 x dx 3 x 3 ln 4 x 5 dx x 5 dx x 2 ln x 2 ln 7 1 x 3.18. dx 1 x ln 3 1 x 3.19. dx 1 x ln 3 x 5 3.20. dx x 5 4. Найти неопределённые интегралы: cos x 4.1. sin 4 2 x cos 2 xdx 4.11. dx sin x 43 4.21. 3.21. ln 7 x 7 dx x 7 ln 5 x 8 3.22. dx x 8 3.23. ln 6 x 9 dx x 9 3.24. ln 3x 5 dx 3x 5 ln 4 3x 1 3.25. dx 3x 1 3.26. dx x 1ln 2 x 1 3.27. dx x 3ln 4 x 3 3.28. dx x 3ln 4 x 3 3.29. dx x 4ln 5 x 4 3.30. dx x 5ln 3 x 5 sin 3x dx cos 2 3x sin 5 x dx cos 5 x cos 4 x dx sin 3 4 x 4.2. cos 7 2 x sin 2 xdx 4.12. 4.3. sin 3 4 x cos 4 xdx 4.13. 3 cos 2 x sin 2 xdx 4.23. cos 3 2 x sin 2 xdx cos 2 x dx sin 3 2 x sin 3x 4.5. dx cos 4 3x sin x 4.6. 3 dx cos x sin x 4.7. dx cos 5 x cos x 4.8. dx 3 sin x sin x 4.9. dx cos x 3 sin x 4.10. 3 dx cos x 1 4.14. sin 3 5x cos 5xdx 4.24. 4.4. cos 5 x 4.15. sin 3 5 x dx 4.22. sin 5 x dx cos 4 5 x sin 4 x 4.25. 3 dx cos 2 4 x 4.16. cos 7 x sin 7 xdx 4.26. sin 6 3x cos 3xdx 4.17. cos 3 2 x sin 2 xdx 4.27. sin 4 8x cos 8xdx cos 6 x dx sin 7 6 x sin 4 x 4.19. 3 dx cos 4 x cos 6 x 4.20. 4 dx sin 6 x 4.28. sin 5 4 x cos 4 xdx 4.18. 4.29. 3 4.30. sin 2 x dx cos 4 2 x cos 6 x dx sin 3 6 x 5. Найти неопределённые интегралы: 5.1. arctg 6 3x dx 1 9x2 5.11. arctg 7 3x dx 1 9x2 5.21. 5.2. arctg 2 x dx 1 x2 5.12. arccos 6 3x dx 1 9x2 5.22. dx 1 x arctg 5 x 5.3. arctg 3 x dx 1 x2 5.13. arcsin 3 2 x 5.23. arcsin x 5.14. arcsin 4 x dx 5.15. arccos 4 x dx 5.16. 5.4. 3 1 x 5.5. 5.6. 5.7. 3 2 dx 2 arccos x 1 x arccos 2 3x 2 1 9x arccos 3 x 2 dx 1 9x2 arctg 3 2 x 5.8. dx 1 4x2 5.9. arcsin 5 2 x 5.10. dx 1 4x2 arccos 3 2 x 1 4x2 dx 1 4x 1 x 2 dx 2 1 16 x arccos 7 x dx 2 1 x 2 dx . dx 5.24. 5.25. dx 1 x arctgx dx 1 x arcsin 2 3 3 1 4x2 1 25x arcsin 5x 2 5.18. arcsin 2 5 x 5.19. 1 dx 2 1 x arctg 3 x 5.29. 5.20. 1 2 1 x arctg 7 x dx 5.30. 6. Найти неопределённые интегралы: x dx dx 5.26. 4 arctg 2 x dx 1 4x2 arccos 2 x arcctg 4 5 x dx 1 25 x 2 dx 2 5.17. 1 25 x 2 2 5.27. arctg 8 3x dx 1 9x2 5.12. arccos 2 7 x 1 49 x 2 5 dx arctg 3 x dx 1 x2 arctg 4 8 x dx 1 64 x 2 x 1 dx 7x2 4 1 2x 6.2. 2 dx 5x 1 2x 1 6.3. 2 dx 5x 1 x3 6.4. dx x2 4 3x 2 6.5. 2 dx 2x 7 5 x 6.6. 2 dx 3x 1 x5 6.7. 2 dx 3x 1 2x 5 6.8. dx 7x2 3 2x 3 6.9. dx x2 9 3x 2 6.10. 2 dx 3x 1 6.1. x 1 dx 5 2x2 2x 3 6.12. 2 dx 5x 2 x 3 6.13. dx 1 4x2 5x 2 6.14. 2 dx x 9 1 2x 6.15. dx 3x 2 2 2x 3 6.16. dx 4 x2 3x 4 6.17. dx 5 2x2 5x 2 6.18. dx x2 9 x 5 6.19. dx 8 4x2 3x 2 6.20. dx 2x2 1 2x 3 dx 1 3x 2 x 3 6.22. 2 dx 4x 1 3x 1 6.23. dx 4 x2 2x 5 6.24. dx 5x 2 1 2x 4 6.25. 2 dx x 16 2x 1 6.26. dx 5 3x 2 3x 3 6.27. dx 1 x2 3 2x 6.28. 2 dx x 8 x4 6.29. 2 dx 7x 3 x 5 6.30. dx 4 9x2 6.11. 6.21. 7. Найти неопределённые интегралы: sin xdx 7.1. 7.11. sin 2 x cos xdx 2 1 cos x 7.21. x 2 sin x3dx 7.2. 3 1 2 x dx 7.22. 4 1 4 x dx 2 7.3. 1 dx 1 4 x 3 10 7.4. 8 x 5 dx 4 x 7.5. 7.6. 1 x2 dx sin x dx x 7.7. x 3 sin 3x 4 dx 7.8. sin 2 x dx 1 cos 2 x 7.9. 2 x 3 1 x 2 dx 4 7.12. 5 7 3x dx 2 7.13. 1 dx 2 5x 5 7.14. 23x 5 dx 4 x2 7.15. 2 x3 7.23. 1 dx 1 6 x 2 4 7.24. 35x 8 dx 3 x3 7.25. dx 3 dx 2 x4 7.16. x 2 cos 4 x3 dx 7.26. x 2 cos x 3 5 dx 7.17. x 2 sin 2 x 3dx 7.27. sin 3x dx 2 cos 3x 7.18. 2 x 3 1 x 2 dx 7.28. 3x 3 1 x 2 dx 7.19. e 3 x 1 xdx 7.29. e x 1 x 2 dx 4 2 5 3 ex e3 x dx 7 . 30 . e3x 1 dx e x 1 Интегрирование по частям 8.Найти интегралы методом интегрирования по частям: 7.10. cos x dx x 1.1. x cos 6 x dx 7.20. 1.11. x cos x 7 dx 1.21. arctg x dx 5 1.2. x sin x 5 dx 1.12. ln x 12 dx 1.3. arcsin 3x dx 1.13. x 4 e x dx 1.4. arctg 8x dx 1.14. x e 6 x dx x dx 5 1.23. arccos 2 x dx 1.22. arcsin 1.24. ln 2 x 1 dx 1.15. arctg 7 x dx 1.25. ln 2 x 3 dx 1.6. arcsin 8x dx 1.16. arcsin 5 x dx 1.7. x sin x 3 dx 1.17. ln x 7 dx 1.8. x cos x 4 dx 1.18. x cos x 6 dx x dx 5 x 1.27. arctg dx 4 x 1.28. arcsin dx 7 1.9. arccos 7 x dx 1.19. arctg 1.10. ln 2 x 4 dx 1.20. ln x 8 dx 1.5. x sin x 2 dx x dx 2 Контрольные вопросы 1.Свойства неопределенного интеграла 2.Интегрирование заменой переменной (алгоритм) 3.Какие интегралы находятся интегрированием по частям? 4.Алгоритм интегрированием по частям. 5.Как выделить полный квадрат из квадратного трехчлена? 1.26. arccos 1.29. arctg 6 x dx 1.30. arccos x dx 3