Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 2» п. Бабынино IV школьная научно-исследовательская конференция « Одаренные дети – будущее России» НОУ «Эрудит» Исследовательский проект «ВОЗНИКНОВЕНИЕ ЧИСЕЛ» секция физико-математическая Автор: ученица 5 класса Мамонова София Руководитель: учитель математики Кочанова Евгения Владимировна 1 Оглавление Введение. Глава I. Возникновение чисел 1.1. О происхождении арифметики. Счет. 1.2. Системы счисления 1.3 Письменная нумерация. Цифры разных времен Глава II. Заключение. Список использованной литературы. Приложения: Приложение 1 Приложение 2 Приложение 3 Приложение 4 Приложение 5 2 стр. 3 стр.4-5 стр.6 стр.7-8 стр. стр. Введение Мы … никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой жизни. Платон Ни для кого не секрет, что наша жизнь наполнена цифрами и числами: день рождения, день недели, магазинный ценник, номер телефона. В настоящее время наше общество постоянно пользуется числами, чтобы что-то купить или продать, позвонить, узнать время. К тому же у каждого человека есть различные цифры, опознающие его: в паспорте, свидетельстве о рождении, кредитной карточке. Мы встречаемся с числами на каждом шагу и настолько с этим свыклись, что почти не отдаём себе отчёта, насколько важны они в нашей жизни. Но ведь когда-то же этих обозначений не существовало. А тогда откуда они взялись? И почему именно такие, а не иначе? И вообще много ли их существовало? Но когда же впервые люди стали считать? Кто же их этому научил? Меня очень заинтересовали эти вопросы, ответы на которые я постаралась найти, выполнив информационно-реферативный проект: «Возникновение чисел». Цель данной работы - расширить свои знания о некоторых страницах истории чисел. Задачи: 1. Изучить литературу об истории возникновения чисел; 2. Обобщить информацию, связанную с историей возникновения чисел. Методы работы (теоретические и эмпирические методы исследования): - анализ литературы; - анкетирование учащихся. 3 Глава I. Возникновение чисел 1.1.О происхождении арифметики. Счет. С арифметикой мы входим, как говорил М.В. Ломоносов, во «врата учености» и начинаем наш долгий и нелегкий, но увлекательный путь познания мира. Слово «арифметика» происходит от греческого arithmos, что значит «число». [1] Велико значение арифметики в повседневной жизни. Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов. Все эти правила не были выдуманы или открыты одним человеком. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности. [5] Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число «два» связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов. «Глаза» у индийцев, «крылья» у тибетцов означало также «два». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто «много». [1] Так, например, племя ботокудов, жившее в Бразилии, выражало числа только словами «один» и «много». Появление элемента «два» объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счёта человек связывал это понятие с понятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой. [6] Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем пяти, десяти. [1] При выражении понятия «три» встретилось затруднение: у человека нет третьей руки; это затруднение было преодолено, когда человек догадался помещать третий предмет у своих ног. Таким образом, «три» характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда сравнительно характерно произошло выделение и понятие «четыре». На первой ступени развития счета человек еще отнюдь не пользовался наименованием чисел, а выражал их или у ног, или соответствующими телодвижениями или жестами. Развитие счёта пошло значительно быстрее, когда человек догадался обратиться к самому близкому ему, самому естественному счётному аппарату – к своим пальцам. Участие пальцев в счёте помогло человеку переступить за число четыре, так как когда все пальцы на одной руке стали считаться равноценными единицами, это сразу позволило довести счёт до пяти. Дальнейшее развитие счёта потребовало усложнения счётного аппарата, и человек нашёл выход, привлекая к счёту сначала пальцы второй руки, а затем, распространяя свой приём, на пальцы ног: для племён, не носивших обуви, использование пальцев ног было вполне естественным. Так, для выражения числа «двадцать» индейцы из Южной Америки противопоставляют пальцы на руках пальцам на ногах. На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. В математику входит первая абстракция, заключающаяся в том, что пересчитываемые предметы заменяются какими-либо другими однородными между собой предметами или знаками: камешками, узелками, ветками, зарубками. [6] ( Приложение1) 4 С развитием производства и торговли счет распространяется на множества, содержащие все большее и большее число предметов. Люди в своей практической деятельности не могли обходиться без измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости. Потребность в измерениях привела к возникновению и развитию, как приемов измерений, так и техники счета и правил действия над числами. ( Приложение 2) Таким образом, возникновение и развитие чисел связано с трудовой деятельностью людей, с развитием общества. [1] 5 1.2.Системы счисления Известно, что счет у нас ведется десятками: десять единиц образуют один десяток, десять десятков – одну сотню, иными словами: десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разряда – одну единицу третьего разряда и так далее. Такой способ счета, группами в десять, которым мы пользуемся, называется десятичной системой счисления или десятичной нумерацией. [1] Система счисления – это способ записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций. [5] Почему за основание десятичной системы счисления принимается число 10? Никаких особых математических преимуществ у числа 10 по сравнению с другими нет. Использование его, как основания системы счисления исторически объясняется только тем, что первым счетным аппаратом человека были десять пальцев рук. Счет по пальцам рук, которым пользовались наши предки, положил начало системе счисления. [4] Лузин Н.Н. поэтому поводу сказал следующее: «Преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы на руках было бы не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось восьмеричной системой счисления». [5] Однако были племена и народы, в Африке, которые при счете пользовались лишь пятью пальцами одной руки, считали пятками: у них выработалась пятеричной система счисления, в которой основой служит число пять. Следы пятеричной системы сохранились и в скандинавских языках. [1] Некоторые племена в качестве счетного аппарата применяли не сами пальцы рук, а их суставы. В этом случае счет иногда развивался тоже достаточно продуктивно и оформлялся в стройные системы. Здесь процесс счета протекал таким образом: большой палец одной руки является счетчиком суставов остальных пальцев этой руки; так как на каждом из остальных четырех пальцев этой руки содержится по три сустава, то следующий за суставом выше единицей являлось число 12, что и послужило двенадцатеричной системой счисления. Этот процесс иногда не останавливался на двенадцати, а продолжался далее, причем каждый палец другой руки служил единицей высшего разряда, т.е. представлял собой 12, и после отсчета всех пальцев на второй руке создавалась новая единица высшего разряда 12х5, то есть 60. Возможно, что такого рода счет способствовал созданию шестидесятеричной системы счисления, имевшей большое распространение в древнем Вавилоне и перешедшей позднее ко многим другим народам. Следы двенадцатеричной и шестнадцатеричной систем счисления сохранились и до нашего времени. Стоит вспомнить хотя бы счет часов в сутках, измерение углов градусами, минутами и секундами. [6] Древнейшей из всех является двоичная система счисления, которой пользовались древние египтяне. Двадцатеричная система возникла у народов, считавших не только с помощью пальцев рук, но и пальцев ног. Этой системой пользовались также индейцы племени Майя. 6 В настоящее время почти все народы мира пользуются десятичной системой счисления. [1] Однако это не означает, что эта система всегда была единственной: некоторые народы перешли к десятичной системе уже в более поздние времена, а ранние пользовались другой системой. [6] В связи с развитием ЭВМ широкое применение нашли двоичная, восьмеричная, троичная системы. Для современных вычислительных машин эти системы оказались более удобными, чем десятичная. [4] 7 1.3.Письменная нумерация. Цифры разных времен Как бы велико ни было число, его можно записать с помощью всего лишь десяти числовых знаков, цифр: 1.2,3,4,5, 6,7,8,9,0. Современные цифры были выработаны на протяжении многих веков. Для запоминания чисел люди пользовались зарубками на деревьях и на палках и узлами на веревках. Далее естественно стали обозначать число «один» одной чертой, «два» -двумя, «три»-тремя черточками и так далее. Следы таких цифр имеются, например, в римской системе: I, II, III. Но с развитием производства и культуры, когда появилась нужда записывать большие числа, стало неудобно пользоваться черточками. Тогда стали вводить особые знаки для отдельных чисел. Каждое число, как и каждое слово, обозначалось особым значком, иероглифом. Вот, например, как выглядят китайские иероглифические цифры. ( Приложение 3) В древнем Египте единица изображена колом, десяток – как бы парой рук, сотня – свернутым пальмовым листом, тысяча – цветком лотоса, сто тысяч – лягушкой. ( Приложение 4). Вот, например, как будет выглядеть число 1245386 в египетской записи.( Приложение 5) В дальнейшем появляются особые обозначения отдельных звуков, то есть буквы. Было время, когда буквами пользовались и в качестве цифр. Так поступали древние греки, евреи, славяне и другие народы. Чтобы отличить буквы от чисел, славяне ставили над буквами, изображающие числа, особый знак, названный «титло». Эта нумерация, называемая алфавитной, также оказалась со временем неудобной. (Приложение 6) Потребности практики, развитие производства и торговли способствовали созданию более удобных, современных цифр и образованию современной письменной нумерации. Всем известны римские цифры : I V X L C D M. 1 5 10 50 100 500 1000 ( Приложение 7) Некоторые из этих семи знаков служили и буквами. Римляне обозначали буквой М тысячу. Вот, например, как записывалось число 38784: XXXVIIImDCCLXXXIV. Неудобна была римская нумерация по сравнению с нашей десятичной: записи длинные, умножение и деление в письменном виде производить невозможно. Все действия нужно производить в уме. Даже, чтобы прочитать число, нужно устно складывать или вычитать, потому, что каждая из семи римских цифр означает всюду, где бы она ни стояла, одно и тоже число. В современной же письменной нумерации не только вид, начертание цифры, но и ее место, ее положение, ее позиция среди других цифр имеет значение. Например, в числе 15 цифра 5 означает пять единиц, а в числе 53 та же цифра 5 означает пять десятков. Именно поэтому наша нумерация называется позиционной. Она, как и современные цифры, возникла много лет назад в Индии. [1] Кроме того, в Индии получило распространение употребление нуля для указания соответствующих разрядных единиц, что тоже сыграло большую роль в усовершенствовании числовых записей и облегчении операций над числами. Цифровые знаки Индии не совпадают по очертаниям с современными цифрами, но все же имеют с ними в некоторых случаях большое сходство. Так, например, очень походили на современные цифры индийские знаки, изображавшие единицу, семерку и нуль. Остальные знаки в течение многих веков, отделяющих нас от времени их происхождения, сильно видоизменялись. [6] 8 В течение многих столетий, переходя от народа к народу, старинные индийские цифры много раз изменялись, пока приняли современную форму. [1] ( Приложение 8) Арабы заимствовали у индийцев цифры и позиционную десятичную систему, которую европейцы, в свою очередь заимствовали у арабов. Поэтому наши цифры, в отличие от римских, стали называть арабскими. Правильнее было бы их называть индийскими. Они употребляются в нашей стране, начиная с семнадцатого века. Римские же цифры применяются лишь в исключительных случаях. [1] 9 ГЛАВА II. Развитие теории простых чисел. Развитие теории простых чисел имеет большое значение для многих разделов математики. В натуральном ряду простые числа расположены очень загадочно. Найти порядок их чередования пытались и пытаются многие математики, начиная с Эвклида. Такой способ (решето Эратосфена) открыл греческий математик Эратосфен. Великий математик П. Ферма в одном из своих писем утверждал, что любое простое число вида х = 4n + 1 является суммой двух квадратов. Попробуем представить таким способом некоторые числа, например: 5; 13; 17; 29; 37: 5 = 4·1+1=12+22; 13 = 4·3+1=22+32; 17 = 4·4+1=42+12; 29 = 4·7+1=22+52; 37 = 4·9+1=62+12. Ценный вклад в теорию чисел внес другой великий математик – Л. Эйлер. В 1755 году, после многих лет упорного труда, Эйлеру удалось найти доказательство этого предложения П. Ферма. В наше время поиск больших простых чисел выполняют на электронных вычислительных машинах. «Охота» за общей формулой, с помощью которой можно выразить любое простое число, началась ещё в древности, но до сих пор не увенчалась успехом. Если многие математики разных стран занимались числами, то у нас появился ещё один вопрос – есть ли числа, носящие имена великих математиков? Наши поиски привели к следующим открытиям и знакомству с интересными числами. 10 Заключение. Проведя анкетирование учащихся моего класса и двух других классов нашей школы, знают ли они из какой страны к нам пришли числа, я получила следующие результаты, которые представлены на диаграмме.( Приложение ) Из полученной информации можно сделать следующий вывод: очень мало учащихся, знают о том, откуда к нам пришли числа. 11 1. 2. 3. 4. 5. 6. Список использованной литературы. Глейзер Г.И. История математики в школе Григорьева Г.И. Математика. Предметная неделя в школе.-М.: Издательство «Глобус»,2010.-198с. Депман И. Я. За страницами учебника математики. – М.; Просвещение,1989. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка.-М.:Просвещение,1988.-160с. Электронный энциклопедический словарь юного математика Интернет-ресурс 12 Приложение 1 Узлы, применявшиеся изображения чисел 13 в старину для Приложение 2 Межевание у древних египтян ( примерно XV в. до н.э.) 14 Приложение 3 Китайские иероглифические цифры 15 Приложение 4 Египетские иероглифические цифры 16 Приложение 5 17 Приложение 6 Алфавитная нумерация у разных народов 18 Приложение 7 Римская нумерация 19 Приложение 8 Эволюция индийских цифр от XII века до средины XV века 20
