Министерство образования и науки Российской Федерации
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО)
КВАНТОВАЯ И ОПТИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
Автор-составитель В. И. Быков
Учебное пособие
Томск
2016
УДК 621.38:530.145(075.8) + 621.383(075.8)
ББК 32.86я73
Б 953
Рецензенты:
Б. Н. Пойзнер, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры
квантовой электроники и фотоники радиофизического факультета
Томского государственного университета;
А. Е. Мандель, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры
сверхвысокочастотной и квантовой радиотехники ТУСУР
Быков В. И.
Б 953
Квантовая и оптическая электроника : учебное пособие / авторсост. В. И. Быков. – Томск : ФДО, ТУСУР, 2016. – 192 с.
В учебном пособии изложены основные физические принципы квантовой
электроники, создания инверсии населенностей в различных средах. Рассмотрены основные типы лазеров. Приведена базовая теория планарных волноводов.
Для студентов, аспирантов и инженеров, специализирующихся в области
квантовой и оптической электроники, фотоники и оптики.
© Быков В. И., составление 2016
© Оформление.
ФДО, ТУСУР, 2016
3
Оглавление
Введение ............................................................................................................ 7
1 Основные понятия и определения .......................................................... 10
2 Описание электромагнитного излучения оптического диапазона .. 12
2.1 Уравнения Максвелла в дифференциальной форме ......................... 12
2.2 Материальные уравнения ..................................................................... 12
2.3 Граничные условия ............................................................................... 13
2.4 Волновое уравнение для немагнитной безграничной среды............ 14
2.5 Одномерное волновое уравнение ........................................................ 15
2.6 Плоские скалярные волны ................................................................... 15
2.7 Гармонические волны ........................................................................... 16
2.8 Плоская волна,
распространяющаяся в произвольном направлении ......................... 17
2.9 Электромагнитные плоские волны ..................................................... 19
2.10 Поляризация плоских электромагнитных волн ............................... 21
2.11 Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.
Вектор Пойнтинга ................................................................................. 23
2.12 Распространение волновых пакетов. Групповая скорость ............. 24
3 Энергетические состояния квантовых систем ..................................... 29
3.1 Оптические спектры испускания......................................................... 37
3.2 Элементарные процессы взаимодействия оптического излучения
с веществом............................................................................................ 39
3.3 Принцип квантового усиления электромагнитных волн .................. 42
3.4 Описание квантовых ансамблей и процессов релаксации ............... 45
3.5 Представления функций состояния .................................................... 49
3.6 Операторы в произвольном представлении ....................................... 52
3.7 Расчет средних и точных значений физических величин
при использовании операторов в матричной форме ......................... 54
3.8 Смешанный ансамбль и матрица плотности ...................................... 58
4
3.9 Уравнение движения для матрицы плотности
смешанного ансамбля ........................................................................... 62
3.10 Термостатированный ансамбль ......................................................... 63
3.11 Описание релаксации ......................................................................... 65
3.12 Общее уравнение для матрицы плотности ....................................... 68
4 Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом .......... 70
4.1 Электрические и магнитные дипольные моменты
и энергия взаимодействия микрочастиц с внешним полем.............. 70
4.2 Двухуровневая система микрочастиц во внешнем поле.
Основные уравнения. Вероятности индуцированных переходов.... 71
4.3 Анализ поглощения электромагнитного поля
двухуровневой системой. Эффект насыщения .................................. 74
4.4 Спонтанные переходы .......................................................................... 76
4.5 Балансные уравнения............................................................................ 77
5 Общие вопросы построения лазеров ...................................................... 79
5.1 Особенности оптического диапазона.................................................. 79
5.2 Усиление оптического излучения ....................................................... 79
5.3 Принцип действия лазера ..................................................................... 81
5.4 Элементарная теория открытых оптических резонаторов ............... 84
5.5 Добротность резонатора ....................................................................... 88
5.6 Волновая теория открытых резонаторов ............................................ 90
5.7 Классификация оптических резонаторов ........................................... 91
5.8 Селекция типов колебаний в оптических резонаторах ..................... 94
5.9 Характеристики лазерного излучения ................................................ 95
5.10 Уширение спектральных линий ...................................................... 102
6 Твердотельные лазеры ............................................................................ 106
6.1 Схемы функционирования твердотельных лазеров ........................ 106
6.2 Системы накачки твердотельных лазеров ........................................ 109
6.3 Балансные уравнения и режим непрерывной генерации
в твердотельных лазерах .................................................................... 111
5
6.4 Режим свободной генерации.............................................................. 114
6.5 Лазеры с модуляцией добротности резонатора ............................... 116
6.6 Синхронизация продольных мод
и генерация ультракоротких импульсов ........................................... 120
6.7 Рубиновый лазер ................................................................................. 123
6.8 Неодимовый стеклянный лазер ......................................................... 124
6.9 Nd – ИАГ – лазеры .............................................................................. 124
6.10 Волоконные лазеры........................................................................... 125
7 Газовые лазеры ......................................................................................... 131
7.1 Особенности газов как активного вещества для лазеров................ 132
7.2 Механизмы возбуждения газоразрядных лазеров ........................... 133
7.3 Атомарный гелий-неоновый лазер .................................................... 136
7.4 Лазеры на парах металлов .................................................................. 138
7.5 Ионный аргоновый лазер ................................................................... 139
7.6 Молекулярные лазеры ........................................................................ 140
7.6.1 Газовые лазеры в УФ-диапазоне (N2 и Н2-лазеры)................. 140
7.6.2 Молекулярный лазер на углекислом газе ................................ 141
7.6.3 Газодинамические лазеры ......................................................... 147
7.7 Эксимерные лазеры ............................................................................ 149
7.8 Химические лазеры ............................................................................. 151
8 Другие типы лазеров ............................................................................... 152
8.1 Полупроводниковые лазеры .............................................................. 152
8.2 Жидкостные лазеры ............................................................................ 153
9 Интегральная оптоэлектроника ........................................................... 156
9.1 Историческая справка ......................................................................... 156
9.2 Основные физические принципы
интегральной оптоэлектроники ......................................................... 156
9.3 Достижения и перспективы интегральной оптоэлектроники ........ 161
9.4 Планарные волноводы ........................................................................ 163
6
9.4.1 Классификация оптических волноводов ................................. 163
9.4.2 Геометрическая оптика планарных волноводов ..................... 165
9.4.3 Электромагнитная теория планарных волноводов ................ 172
9.5 Полосковые волноводы ...................................................................... 181
Заключение ................................................................................................... 186
Литература.................................................................................................... 187
Глоссарий ...................................................................................................... 188
7
Введение
Квантовая и оптическая электроника в настоящее время являются важнейшими направлениями развития электроники и электронной техники. Успехи
квантовой электроники определили новые возможности оптики, приведя к возникновению и быстрому развитию нового направления – оптической электроники. Соединив в себе возможности как оптики, так и электроники, оптическая
электроника способна решать задачи, непосильные по отдельности ни оптике,
ни электронике. Поэтому изучение физики явлений и физических основ работы
приборов квантовой и оптической электроники является необходимым элементом подготовки бакалавров и специалистов электронной техники.
Настоящая книга написана в соответствии с учебной программой для вузов и рассчитана на студентов, имеющих подготовку по общей физике, статистической физике и квантовой механике, физике конденсированного состояния.
Основная ее цель – дать представление о фундаментальных физических процессах, лежащих в основе оптической и квантовой электроники, рассмотреть
принцип действия и определить возможности приборов и устройств оптической
электроники.
Физическую основу квантовой электроники составляют положения,
сформулированные в начале XX в. М. Планком, Н. Бором, А. Эйнштейном.
Особенно значительна роль А. Эйнштейна, предсказавшего существование
процесса вынужденного испускания фотонов.
Книга посвящена основным принципам функционирования квантовых и
оптоэлектронных приборов и изучению смежных направлений – нелинейной
оптики, динамической голографии, интегральной и волоконной оптики, а также
применению квантовых и оптоэлектронных приборов к решению научнотехнических задач. Все эти вопросы тесно переплетаются друг с другом. Поэтому в книге не будет резкой границы между квантовой и оптической электроникой. Часто одни и те же устройства используют принципы квантовой
электроники и одновременно являются оптоэлектронными. Пример – полупроводниковые инжекционные лазеры, в которых излучательная рекомбинация
электронов и дырок, осуществляемая в полупроводниковых p-n-переходах при
пропускании электрического тока в прямом направлении, приводит к генерации
когерентного оптического излучения. Именно такие лазеры используются в
широко распространенных ныне лазерных CD- и DVD-устройствах.
8
Зачастую лишь использование квантовых приборов позволяет реализовать эффекты, не обязательно являющиеся квантовыми. Пример – нелинейная
оптика, когда свойства оптической среды начинают зависеть от интенсивности
света. Как правило, для этого световые поля должны быть сравнимы с внутрикристаллическими полями (для кристаллов) или с электрической прочностью
среды [7].
Соглашения, принятые в книге
Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.
·····························································
Эта пиктограмма означает определение или новое понятие.
·····························································
·····························································
Эта пиктограмма означает «Внимание!». Здесь выделена важная информация, требующая акцента на ней. Автор может поделиться с читателем опытом, чтобы помочь избежать некоторых
ошибок.
·····························································
·····························································
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные
сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь
читателю лучше понять основные идеи.
·····························································
························
Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести
практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
·······································································
························
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Эта пиктограмма означает выводы. Здесь автор подводит итоги, обобщает
изложенный материал или проводит анализ.
·······································································
9
··························································
Контрольные вопросы по главе
··························································
10
1 Основные понятия и определения
·····························································
Квантовая электроника – область науки и техники, исследующая и применяющая квантовые явления для усиления, генерации
и преобразования когерентных электромагнитных волн.
Оптоэлектроника – область науки и техники, исследующая
и применяющая процессы взаимодействия оптического излучения с
веществом для передачи, приема, переработки, хранения и отображения информации.
Интегральная оптика – раздел оптоэлектроники, изучающий и применяющий оптические явления в тонкопленочных полупроводниковых и диэлектрических волноводах и структурах, изготовленных на единой подложке методами групповой (интегральной) технологии.
Оптическое излучение – электромагнитное излучение оптического диапазона.
Оптический диапазон спектра составляют электромагнитные колебания, длина волн которых лежит в пределах от 1 м
до 1 нм. Внутри оптического диапазона выделяют видимое
(λ = 0,38…0,78 мкм) , инфракрасное (λ = 0,78…1000 мкм ) и ультрафиолетовое (λ = 0,001…0,38 мкм) излучения.
·····························································
Световые волны – электромагнитные волны оптического диапазона.
Монохроматическое излучение – оптическое излучение, характеризующееся какой-либо одной частотой (одной длиной волны) световых колебаний.
Квантовый усилитель – усилитель электромагнитных волн, основанный
на использовании вынужденного излучения.
Квантовый генератор – источник когерентного излучения, основанный на
использовании вынужденного излучения.
Лазер (оптический квантовый генератор) – квантовый генератор (усилитель) оптического излучения.
Мазер – квантовый генератор (усилитель) электромагнитного излучения
радиодиапазона.
11
Вынужденное излучение – когерентное электромагнитное излучение,
возникающее в результате вынужденного испускания.
Вынужденное испускание – когерентное испускание фотона при квантовом переходе системы в результате взаимодействия с внешним электромагнитным полем.
Когерентность – согласованное протекание во времени и в пространстве
колебательных или волновых процессов. Электромагнитная волна называется
когерентной, если её амплитуда, частота, фаза, направление распространения и
поляризация постоянны или изменяются по определенному закону (упорядоченно) [2].
12
2 Описание электромагнитного излучения
оптического диапазона
Электромагнитные поля и волны являются важнейшими физическими
объектами, как в квантовых, так и в оптоэлектронных приборах. Рассмотрим в
данном разделе методы описания таких полей и волн в неограниченных диэлектрических средах.
2.1 Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
rotH = jполн –
(2.1)
следствие закона Ампера, закона полного тока.
∂B
–
∂t
обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея.
rotE = −
(2.2)
divD = ρ –
(2.3)
электрическое поле может иметь стоки и истоки. Ими являются электрические
заряды с объемной плотностью ρ.
divB = 0 –
(2.4)
магнитное поле не имеет стоков и истоков, т. е. магнитные заряды в природе
отсутствуют.
В рамках классической электродинамики эти уравнения для векторов
напряженности электрического и магнитного поля E и H , векторов электрической и магнитной индукции D и B являются строгими.
2.2 Материальные уравнения
Материальные уравнения учитывают влияние материальной среды на
связь между векторами поля. В обычных случаях используют идеализированные модели среды. В линейном приближении для изотропных сред, где можно
пренебречь дисперсией, имеем:
D = εE ,
(2.5)
B = µH ,
(2.6)
13
1
⋅ 10−9 Ф/м; µ = µ r µ 0 , µ 0 = 4π ⋅ 10−7 Гн/м. Диэлектрическая
36π
и магнитная проницаемости среды ε и µ здесь являются скалярными величинагде ε = ε r ε 0 , ε 0 =
ми, а векторы D и E , B и H параллельны друг другу. Кроме того, такая связь
между векторами D и E , B и H является локальной. То есть значение вектора
D в данный момент времени t ′ в данной точке пространства r′ определяется
значениями E для тех же t ′ и r′ .
Полный ток состоит из 4 составляющих:
jполн = jпров + jсмещ + jперен + jвнеш ,
(2.7)
где плотности токов определяются выражениями:
jпров = σE –
(2.8)
закон Ома в дифференциальной форме,
∂D
–
∂t
(2.9)
jперен = ρv –
(2.10)
jсмещ =
ток смещения,
ток переноса.
Здесь σ – проводимость среды и v – скорость движения зарядов. Сторонний ток с плотностью jвнеш задается внешними источниками. Его роль может
играть, например, диффузионный ток, созданный вследствие неоднородности
распределения объемного заряда ρ. Такое распределение ρ может быть получено при фотовозбуждении носителей заряда световым пучком в зону проводимости или при бомбардировке электронным пучком поверхности диэлектрика.
2.3 Граничные условия
Уравнения Максвелла пригодны в представленном виде для областей
пространства, в пределах которых физические свойства среды (ε, µ и др.) непрерывны. На границах раздела сред I и II имеют место граничные условия [7]:
EτI − EτII = 0,
(2.11)
DnI − DnII = ξ,
(2.12)
BnI − BnII = 0,
(2.13)
H τI − H τII = η.
(2.14)
14
Уравнения (2.11) и (2.13) свидетельствуют, что тангенциальная составляющая вектора напряженности электрического поля E τ и нормальная составляющая вектора магнитной индукции Bn при переходе через границу раздела меняются непрерывно. Из (2.12) следует, что в этом случае нормальная составляющая вектора электрической индукции Dn изменяется на величину поверхностной плотности заряда ξ. В соответствии с (2.14), тангенциальная компонента вектора магнитной напряженности испытывает скачок на величину поверхностной плотности тока η . Необходимо учитывать, что векторы H τI и H τII ортогональны к направлению тока, текущего по границе раздела. Уравнения
(2.12) и (2.13) выводятся на основании теоремы Гаусса; (2.11) и (2.14) – на основе применения теоремы Стокса к уравнениям Максвелла. Доказательства
этих соотношений можно выполнить самостоятельно или найти в литературе.
2.4 Волновое уравнение для немагнитной безграничной среды
Рассмотрим немагнитную однородную среду, являющуюся непроводящей, в которой также отсутствуют сторонние токи и заряды. В этом случае система уравнений Максвелла имеет вид [7]:
rotH = ε
∂E
,
∂t
(2.15)
rotE = −µ
∂H
,
∂t
(2.16)
divD = 0,
(2.17)
divB = 0.
(2.18)
Первые два уравнения в данном случае образуют замкнутую систему,
причем одну из величин, характеризующих поле, можно отсюда исключить.
Применим к уравнению (2.16) операцию rot и используем уравнение (2.15):
∂
rotrotE = −µ rotH ,
∂t
∂2E
rotrotE + µε 2 = 0.
∂t
(2.19)
Используя далее соотношение rot rot = grad div − ∇ 2 и уравнение (2.17),
получаем:
∂2E
∇ E − µε 2 = 0.
∂t
2
(2.20)
15
Аналогично можно найти уравнение и для H :
∂2H
= 0.
(2.21)
∂t 2
Данные уравнения называются волновыми, как и уравнение (2.19), которое является более общим, чем уравнения (2.20) и (2.21), и справедливым также
∇ 2 H − µε
для анизотропной среды, где условие divE = 0 выполняется не всегда.
2.5 Одномерное волновое уравнение
Рассмотрим среду, в которой поле зависит только от координаты z. Из
(2.20) получаем одномерное волновое уравнение:
∂2E
∂2E
− εµ 2 = 0.
(2.22)
∂z 2
∂t
Отметим, что в данном случае из (2.17) получается уравнение:
∂Ez
= 0,
∂z
откуда следует Ez = const . Такие решения нас не интересуют, и можно положить Ez = 0 . То есть вектор E колеблется в плоскости, перпендикулярной
направлению распространения, и может быть представлен в виде:
E = e ⋅ Et ,
(2.23)
где e – единичный вектор в плоскости xy, Et = E (t ) . Перепишем уравнение
(2.22) с учетом (2.23) в виде скалярного одномерного волнового уравнения:
∂ 2 Et
∂ 2 Et
− εµ 2 = 0.
∂z 2
∂t
(2.24)
2.6 Плоские скалярные волны
Общее решение уравнения (2.24) представляет суперпозицию плоских
скалярных волн вида
z
z
Et ( z , t ) = Et1 t − + Et 2 t + ,
v
v
(2.25)
16
z
µε – скорость распространения волны вдоль оси z. Et1 t − соот v
ветствует волне, распространяющейся в положительном направлении оси z,
где v = 1
z
Et 2 t + – в отрицательном.
v
Скорость распространения определяется соотношением
1
1
c
v=
⋅
= .
µ 0ε 0
µrεr n
Здесь c = 1
(2.26)
µ0ε 0 – скорость света в вакууме, n – показатель преломления
среды.
2.7 Гармонические волны
Рассмотрим сигнал, заданный при z = 0 в виде:
E
E (t ) = Em cos(ωt + ψ) = m {exp [i (ωt + ψ)] + exp [ −i (ωt + ψ)]}.
2
Ему будут соответствовать гармонические плоские волны:
(2.27)
ω
E ( z , t ) = Em cos ωt − z + ψ ,
v
ω
(2.28)
E ( z , t ) = Em cos ωt + z + ψ ,
v
распространяющиеся вдоль направлений + z и − z .
Мгновенное значение E ( z , t ) электрического поля в каждый момент вре-
мени и в каждой точке пространства определяется амплитудой Em плоской
волны и фазой
φ ( z, t ) = ωt ∓ kz + ψ.
ω
мы обозначим волновое число
v
ω
k = = ω µε.
v
Если Em не зависит от координат x, y, то волна будет однородной.
(2.29)
Здесь за k =
(2.30)
Геометрическое место точек, в которых фаза волны остается постоянной –
φ = ωt ∓ kz + ψ = const, –
(2.31)
17
называют фазовым или волновым фронтом. Для некоторого момента времени t ′ фазовый фронт рассматриваемой нами волны является плоскостью, перпендикулярной оси z. При изменении времени на ∆ t фазовый фронт волны
∆z ω
= = v определясдвигается в пространстве на расстояние ∆z . Отношение
∆t k
ет фазовую скорость волны – скорость движения фазового фронта в пространстве, в данном случае вдоль оси z. Поле плоской гармонической волны в фиксированный момент времени изменяется в пространстве по косинусоидальному
закону (рис. 2.1). Периодичность изменения поля в пространстве задается волновым числом k. Изменение фазы волны в пространстве на 2π соответствует
прохождению волной расстояния λ , называемого длиной волны: ∆φ = 2π = kλ .
Отсюда получаем соотношения:
2π
,
λ
2π 2πv v
1
c
λ=
=
= =
= n,
k
ω
f
f µε f
k=
(2.32)
(2.33)
где f – частота волны (в Гц).
E
z
λ
Рис. 2.1 – Поле гармонической волны
2.8 Плоская волна, распространяющаяся в произвольном
направлении
Мы рассматривали выше волну, распространяющуюся вдоль оси z. Для
волны в произвольном направлении необходимо использование более общего
волнового уравнения:
18
∂ 2 Et
∇ Et − µε 2 = 0,
∂t
(2.34)
2
2
2
∂
∂
∂
∂ 2 Et
2 + 2 + 2 Et − µε 2 = 0.
∂y
∂z
∂t
∂x
Запишем сразу гармоническую плоскую волну, которая удовлетворяет
данному уравнению:
2
Et ( r , t ) = Em cos(ωt − k ⋅ r ).
(2.35)
Здесь мы для простоты считаем начальную фазу колебаний равной нулю
(ψ0 = 0) и вводим волновой вектор:
ω
ω
= nω µε = (inx + jny + knz ),
(2.36)
v
v
где n – единичный вектор волновой нормали. Подставим выражение для
Et (r , t ) в (2.34):
k =n
ω2 2
nx + n y2 + nz2 Et − µεω2 Et = 0,
2
v
ω2
2
2
2
−
µεω
2
Et = 0; k − µεω Et = 0;
v
1
2 − µε Et = 0.
v
(
)
(
)
(2.37)
Из (2.37) следует, что для Et ≠ 0 должно быть:
k 2 = µεω2 .
(2.38)
Зависимость k (ω) называется дисперсионной зависимостью, а уравнение
k (ω) = 0 –
(2.39)
дисперсионным уравнением. В данном случае монохроматических волн имеем:
ω2
k − µεω = 0; k − µ r ε r 2 = 0,
c
(2.40)
ω
k =n .
c
В общем случае показатель преломления зависит от частоты (явление
дисперсии), что необходимо учесть в соотношении для волнового числа:
ω
k (ω) = n(ω) .
(2.41)
c
2
2
2
19
2.9 Электромагнитные плоские волны
В общем случае решение для плоской монохроматической однородной
волны имеет вид:
{
Em
exp i (ωt − k ⋅ r + ψ0 ) +
2
1 ɺ
+ exp −i (ωt − k ⋅ r + ψ0 ) = Em exp −i (ωt − k ⋅ r ) + c.c.,
2
E ( r , t ) = Em cos(ωt − k ⋅ r + ψ0 ) =
}
(2.42)
где Eɺ m = Em exp(iψ 0 ) , а c.c. означает комплексно-сопряженную функцию к перexp ± i (ωt − k ⋅ r + ψ 0 )
вому слагаемому. Нетрудно заметить, что функции
также являются решениями волнового уравнения. Величина Eɺ m – комплексная
векторная амплитуда волны. Поскольку работать с экспонентами очень удобно,
то принято пользоваться понятием комплексной формы записи для гармонических плоских волн:
ɺ
ɺ
E ( r , t ) = E m exp i (ω t − k ⋅ r ) ,
(2.43)
опуская множитель 1/2 и комплексно-сопряженное слагаемое. Нужно понимать, что это выражение справедливо только формально. Истинное значение
электрического поля будет определяться выражением
ɺ
E (r , t ) = Re Em exp i (ωt − k ⋅ r ) .
(2.44)
{
}
Во многих случаях, когда мы имеем дело с линейными функциями от E ,
этот подход дает одинаковые результаты с подходом, при котором используются тригонометрические функции. Исключение составляют случаи, когда необходимо вычислить произведения или степени, например при расчетах интенсивности или вектора Пойнтинга.
В чем же достоинство комплексного метода? Найдем производную по
времени от напряженности поля плоской гармонической волны:
∂ ɺ
ɺ
Em exp i ωt − k ⋅ r = iωEm exp i ωt − k ⋅ r .
∂t
{
(
)}
(
)
Таким образом, операции дифференцирования по t соответствует умножение на iω :
∂
↔ iω.
(2.45)
∂t
20
·····························································
ɺ
Нетрудно показать, что действие оператором ∇ на E ( r , t )
аналогично действию на нее оператором −ik :
ɺ
ɺ
ɺ
∇ ⋅ E = −ik ⋅ E = div E,
(2.46)
ɺ
ɺ
ɺ
∇× E = −ik × E = rot E.
(2.47)
·····························································
С учетом записанных соотношений представим уравнения Максвелла, которые мы применяли при описании волновых процессов в изотропной непроводящей среде в отсутствие сторонних токов и зарядов, в новой форме:
∂D
∂t
∂B
→ ∇×E = −
∂t
∇⋅D = 0
rot H = jполн
∇×H =
∂B
∂t
div D = ρ
rot E = −
div B = 0
Общий вариант
уравнений Максвелла
∇⋅B =0
Уравнения Максвелла
в операторной форме для
σ = 0, ρ = 0, jперен = 0
− k × H = ωD
+k × E = +ωB
→ − ik ⋅ D = 0
− ik ⋅ B = 0
Уравнения
Максвелла для плоских
гармонических волн
( σ = 0, ρ = 0, jперен = 0 )
C учетом материальных уравнений (2.5) и (2.6)
D = εE, B = µH ,
из последней системы получаем:
·························
k × H = −ωεE,
(2.48)
k × E = ωµH ,
(2.49)
k ⋅ E = 0,
(2.50)
k ⋅ H = 0.
(2.51)
Выводы · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Отсюда следуют важные выводы о структуре полей в плоской электромагнитной волне:
1. Из первого уравнения – E ⊥ k и E ⊥ H .
21
2. Из второго – H ⊥ k , H ⊥ E , векторы E , H и k образуют правую систему координат.
3. Третье и четвертое уравнения также свидетельствуют о поперечности
полей E и H .
4. k × H = ω µε H m = ωεEm
( k × H = k ⋅ H sin ( k ^ H )) ,
Em Em
=
.
(2.52)
µ W
ε
·······································································
Hm =
Величина W = µ ε имеет размерность [Ом] и называется волновым сопротивлением среды. Напомню, что размерность H – А/м; E – В/м. Для вакуума
получаем:
W0 =
µ0
= 120π Ом.
ε0
(2.53)
Итак, векторы E , H и k в плоской волне можно изобразить так для фиксированного момента времени t (рис. 2.2). В общем случае в зависимости от вида поляризации (линейная, круговая, эллиптическая) векторы E и H могут
синхронно изменять свое положение.
Рис. 2.2 – Ориентация векторов в плоской электромагнитной волне
2.10 Поляризация плоских электромагнитных волн
Поле с векторами E и H , направление которых может быть определено в
любой момент времени, называют поляризованным. При случайных направлениях E и H в пространстве поле является неполяризованным (солнечный свет и
т. д.).
Плоскость поляризации проходит через вектор E и направление распространения волны. Различают линейную, эллиптическую и круговую (правую и
22
левую) поляризации – в зависимости от фигуры, которую описывает конец вектора E при распространении волны.
·····························································
Математически волну с произвольным видом поляризации
представляют в виде двух составляющих (рис. 2.3):
E x = iE1m cos(ωt − kz ),
E y = jE2 m cos(ωt − kz − φ),
(2.54)
сдвинутых по фазе и имеющих различные амплитуды в общем случае. Для плоскости z = 0 имеем:
Ey
Ex
(2.55)
= cos ωt ,
= cos ωt cos φ + sin ωt sin φ,
E1m
E2 m
откуда получаем:
E y2
Ex E y
E x2
+
−
2
cosφ = sin 2 φ.
2
2
E1m E2 m
E1m E2 m
(2.56)
y
E
Ey
Ex
x
Рис. 2.3 – Ориентация вектора поляризации
в плоской электромагнитной волне
Если учесть, что E x ~ x , Ey ~ y , то (2.56) представляет уравнение эллипса. То есть, поскольку Ex ~ cosωt , конец вектора
E = iEx + jE y , E = E x2 + E y2 будет описывать эллиптическую траекторию за время T = 2π ω .
·····························································
Рассмотрим характерные виды поляризации.
E
E
E
1. φ = 0 , x − y = 0 , E y = 2 E x .
E1 E2
E1
23
Это уравнение прямой, наклон которой к оси OX определяется отношеE
нием 2 . Действительно, при синфазном изменении E x и Ey ~ cosωt синхронE1
но изменяется и результирующий вектор E . Легко видеть, что такая же по типу
линейная поляризация имеет место и при φ = nπ (n = 0, ± 1, ± 2, …) .
2
π Ex2 E y
2. φ = ± , 2 + 2 = 1 .
2 E1 E2
Это каноническое уравнение эллипса с большой и малой полуосями, ориентированными точно по осям x и y. Направление вращения вектора E определяется знаком ϕ. Для φ = − π 2 какое будет вращение, левое или правое? – Правое.
3. В каком случае мы будем иметь круговую поляризацию? Ответ:
φ = ± π 2 , E1 = E2 .
2.11 Закон сохранения энергии для электромагнитного поля.
Вектор Пойнтинга
Как известно, в объеме V сосредоточен запас энергии электромагнитного
поля:
εE 2 µH 2
E⋅D H ⋅B
W = ∫
(2.57)
+
+
dV .
dV = ∫
2
2
2
2
V
V
Рассмотрим изменение энергии W во времени. Для этого перепишем
уравнения Максвелла в виде:
rotH = jпров + ε
rotE = −µ
∂E
,
∂t
∂H
,
∂t
считая токи переноса и сторонние токи отсутствующими. Домножим первое
уравнение на E , а второе – на H скалярно и вычтем полученные результаты:
E ⋅ rotH − H ⋅ rotE = εE ⋅
Учитывая соотношения
∂E
∂H
+ µH ⋅
+ jпров ⋅ E.
∂t
∂t
(2.58)
24
∂E 1 ∂ 2
1 ∂ 2
=
E =
E ,
∂t 2 ∂t
2 ∂t
∂H 1 ∂
1 ∂
H⋅
=
H2 =
H2 ,
∂t 2 ∂t
2 ∂t
E ⋅ rotH − H ⋅ rotE = −div E × H ,
E⋅
( )
( )
( )
( )
и интегрируя (2.58) по объему, получаем:
d εE 2 µH 2
∫ div E × H dV = − dt ∫ 2 + 2 dV − ∫ jпров ⋅ E dV .
V
V
V
Используя теорему Остроградского – Гаусса
(
)
(
)
(2.59)
∫ divAdV = ∫ A ⋅ dS ,
V
S
и вводя вектор Пойнтинга
Π = E × H ,
(2.60)
получаем:
d εE 2 µH 2
− ∫
+
(2.61)
dV = ∫ Π ⋅ dS + ∫ jпров ⋅ E dV .
dt V 2
2
S
V
Уравнение (2.61) выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле. Левая часть – полное изменение электромагнитной энергии в объеме V во времени. Первый член в правой части – поток вектора Пойтинга через
(
)
поверхность, ограничивающую объем V ( Π – плотность потока энергии через
поверхность S в единицу времени). Второй член в правой части (2.61) – количество тепла, выделяющегося в проводящих частях объема V в единицу времени.
2.12 Распространение волновых пакетов. Групповая скорость
Гармоническая плоская волна является, строго говоря, неограниченной
как в пространстве, так и во времени. Как только мы ограничим размеры волнового фронта, в результате дифракции сразу получим волны с другими
направлениями распространения (рис. 2.4). Точно так же, если мы ограничим
сигнал во времени (рис. 2.5), мы должны представить его в виде интеграла
Фурье – в виде суперпозиции колебаний с различными частотами. Ограниченная длительность электромагнитного сигнала, таким образом, приводит к существованию некоторой конечной полосы частот ∆ ω вблизи некоторой центральной частоты ω 0 . В силу линейности уравнений Максвелла распространение
импульсного электромагнитного сигнала в линейной среде можно представить
25
в виде линейной комбинации плоских волн с различными частотами и волновыми числами:
E ( x, t ) = ∑ Eɺ m (kℓ ) ⋅ exp [i(ωℓt − kℓ x)] =
∞
∫ Eɺm ( k ) exp{i [ω(k )t − kx]} dk.
(2.62)
−∞
ℓ
y
x
Рис. 2.4 – Дифракция плоской волны на отверстии в непрозрачном экране
Рис. 2.5 – Электромагнитный импульс
Эти сумма и интеграл удовлетворяют уравнениям Максвелла, поскольку
суммируются (интегрируются) плоские волны, являющиеся решением тех же
уравнений. Если Eɺ m (k ) отличаются заметно от нуля лишь в небольшом промежутке ∆k << k , то поле E ( x, t ) описывает волновой пакет, или волновую группу.
В этом случае и ∆ω << ω0 , и поле будет почти монохроматическим (квазимонохроматическим). Вспомним теперь дисперсионное уравнение, устанавливающее связь между ω и k для плоской волны:
ω
k (ω) = n(ω) ,
c
и перепишем его в виде:
26
ω(k ) =
c
k.
n( k )
(2.63)
В изотропной среде дисперсионные свойства не зависят от направления,
поэтому
ω(−k ) = ω(k ).
Рассмотрим теперь эволюцию волнового пакета E ( x, t ) во времени. Для
этого разложим ω(k ) в ряд Тейлора вблизи центрального волнового числа
k0 =
ω0
n(ω0 ) :
c
dω
ω( k ) = ω0 +
( k − k0 ) + ... –
dk
(2.64)
и ограничимся первыми двумя членами разложения, т. к. ∆k = (k − k0 ) << k0 ,
∆ω << ω0 . Подставим это разложение в интеграл для E ( x, t ) :
∞
E ( x, t ) =
ɺ (k )exp i ω t + dω (k − k )t − kx + k x − k x =
dkE
m
0
0
0
0
∫
dk 0
−∞
∞
dω
= exp i ( ω0t − k0 x ) ∫ Eɺ m (k )exp i
t − x (k − k0 ) dk .
dk 0
−∞
(2.65)
Интеграл в конечном выражении зависит только от комбинации переменных x − ( dω dk )0 t и называется огибающей E x − ( dω dk )0 t волнового
пакета. Первый же сомножитель представляет некоторую несущую частоту
(заполнение) этого пакета и соответствует гармонической (монохроматической)
плоской волне (рис. 2.6).
Рис. 2.6 – Волновой пакет
27
Таким образом,
dω
(2.66)
E ( x, t ) = E x −
t exp i ( ω0t − k0 x ) .
dk 0
Отсюда следует, что волновой пакет распространяется с сохранением
своей формы со скоростью
νg =
∆x dω
=
,
∆t dk 0
(2.67)
которая называется групповой скоростью волны. Приведенное соотношение
справедливо для волн любой природы: электромагнитных, акустических и т. д.
Для дисперсионной зависимости в изотропной среде
1
1
c
=
=
(2.68)
νg =
.
n ω0 dn
dn
dω
+
n + ω0
dω0
dk 0 c c dω0
При нормальной дисперсии, когда dn dω > 0 , групповая скорость меньше фазовой скорости. При аномальной дисперсии dn dω < 0 , но и в данном
случае νg < c . Мы с вами отбросили в разложении члены второго и высшего
1 2
d ω dk 2 ( k − k0 ) 2 прене0
2
бречь нельзя, то ширина импульса электромагнитного излучения будет изменяться в процессе распространения (уширяться) [7].
порядков малости. Если членом второго порядка
(
)
·····························································
Контрольные вопросы по главе 2
·····························································
1. Запишите уравнения Максвелла в дифференциальной форме. Поясните физический смысл уравнений.
2. Запишите материальные уравнения. Укажите граничные условия для
электрического и магнитного полей.
3. Выведите одномерное волновое уравнение для немагнитной среды.
4. Запишите уравнение плоских скалярных волн как решение одномерного волнового уравнения.
5. Запишите уравение гармонической волны, укажите параметры гармонической волны.
28
6. Расскажите о плоской волне, распространяющейся в произвольном
направлении.
7. Запишите уравнение, описывающее ЭМ плоские волны.
8. Запишите уравнения Максвелла для ЭМ плоских волн.
9. Что такое поляризованная волна?
10. Чем обусловлена поляризация ЭМ волн?
11. Назовите основные виды поляризации ЭМ плоских волн.
12. Запишите закон сохранения энергии для ЭМ волн. Что такое вектор
Пойнтинга?
13. Что произойдет, если ограничить волну в пространстве? Во времени?
14. Что такое волновой пакет? Дайте определение групповой скорости.
29
3 Энергетические состояния квантовых систем
·····························································
Строгая квантово-механическая теория излучения и поглощения света, развитая П. Дираком в 1927–1930 гг., базируется на положениях, сформулированных в работах М. Планка, А. Эйнштейна,
Н. Бора и др. В квантовой электронике часто используется более
простое, так называемое полуклассическое описание процессов излучения, согласно которому система «излучающая частица – излучение» разбивается на две части: свойства частицы (совокупности
частиц) описываются законами квантовой механики, а излучение
представляется в виде волн с позиции классической физики.
Согласно такому полуклассическому описанию элементарными излучателями являются атомы, ионы, молекулы, рассматриваемые с позиций квантовой механики как квантовые системы, состоящие из связанных микрочастиц (например, атом состоит из ядра и электронов, связанных силами электрического взаимодействия). Важнейшим свойством таких систем является то, что их
внутренняя энергия, т. е. энергия, не связанная с движением системы как целого, может принимать только определенные дискретные
значения Е0, Е1, Е2, …, Еn, определяемые решением соответствующих уравнений Шредингера. Совокупность возможных для данной
квантовой системы энергетических уровней называется энергетическим спектром, который можно изобразить графически в виде
набора горизонтальных прямых, пронумерованных снизу вверх и
характеризуемых определенной энергией. Обычно энергию выражают в джоулях, обратных сантиметрах или электронвольтах
(1 эВ = 8 066 см −1 = 1,6 ⋅10−19 Дж ) .
·····························································
·····························································
Состояние с наименьшей энергией, являющееся наиболее
устойчивым, называется основным. Все другие состояния, которым соответствует большая внутренняя энергия, называются
возбужденными. Если на среду не действуют внешние факторы
(температура, облучение, электрическое поле и т. д.), все частицы
30
находятся в основном сотоянии и система называется невозбужденной.
·····························································
В общем случае можно представить, что несколько различных невозбужденных состояний характеризуются одним и тем же значением внутренней
энергии. В этом случае говорят, что эти состояния вырождены, а степень вырождения (или статический вес q) равна числу состояний, соответствующих
данному энергетическому уровню.
·····························································
Мгновенный, скачкообразный переход с уровня Еi на уровень
Еk называется квантовым переходом. Квантовый переход сопровождается поглощением или выделением энергии. Случай Еk > Ei
соответствует ее поглощению. Квантовый переход с испусканием
или поглощением фотона называется оптическим.
·····························································
Энергия фотона определяется известным соотношением Бора:
hv = Ei − Ek . Определить все возможные для данной квантовой системы переходы можно лишь при условии, что нам известен ее энергетический спектр.
Подобная задача решается в соответствующих разделах курса «Статистическая
физика и квантовая механика», поэтому воспользуемся результатами этого решения.
Как известно, наиболее простую структуру энергетического спектра имеет атом водорода, который является классическим «модельным» объектом в
квантовой механике и служит основой для описания свойств более сложных:
атомов, ионов и молекул. Дискретный характер энергетического спектра атома
водорода является следствием решения уравнения Шрёдингера. В процесс его
решения вводятся квантовые числа n, l, ml, ms, s, определяющие собственные
состояния атома водорода (для атома водорода понятия «собственное состояние атома» и «состояние электрона в атоме» эквивалентны, поскольку в нем
имеется только один электрон).
При заданном n квантовое число l принимает значения 0, 1, 2, …, n − 1 , а
соответствующие состояния принято обозначать строчными буквами латинского алфавита s, р, d, f, g, h, ... Квантовое число ml определяет проекцию вектора
орбитального механического момента количества движения Ml на выделенное
31
направление z: M lz = ml ћ . При заданном l квантовое число принимает значения от −l до +l через единицу (всего 2l + 1 значений).
Собственный момент количества движения электрона (спин) Ms и его
проекция на избранное направление в пространстве z характеризуются квантовыми числами s и ms. Для атома водорода s может принимать только одно значение s = 1 / 2 . При этом значение Ms фиксировано: M s = s( s + 1)ћ = 0,866ћ .
В связи с этим квантовое число s можно опустить (однако для более сложных
атомов этого делать нельзя).
Аналогично ml спиновое число ms может принимать дискретные значения
от +s до –s через единицу: для атома водорода ms = ± 1 / 2 .
Значения квантовых чисел n, l, ml ms полностью определяют состояние
электрона в атоме водорода. Причем его внутренняя энергия зависит только от
n, а уровню с заданным n соответствуют 2n2 состояний, отличающихся значениями l, ml и ms. Состояния с заданными значениями n и l принято обозначать
как 1s, 2 s , 2р, 3 s и т. д.
Спин-орбитальное взаимодействие приводит к расщеплению уровней
n ≥ 2 на ряд близко расположенных подуровней тонкой структуры, т. е. к частичному снятию вырождения.
Вместо рассматриваемых по отдельности независимых моментов количества движения – орбитального и спинового – можно ввести полный момент количества движения Mj, равный векторной сумме М l + М s , а также проекцию
этого суммарного момента на ось z . В этом случае необходимо использовать
два новых квантовых числа j и mj, т. е. j = l + s , l + s − 1 , l + s − 2, ... , | l − s | ;
m j = j , j − 1, ..., − j . Уровни энергии с заданными n, l и j вырождены по квантовому числу mj, причем кратность вырождения равна g = 2 j + 1 .
В первом приближении, называемом одноэлектронным, энергия электронов в многоэлектронных атомах определяется их движением в некотором эффективном поле, созданном ядром вместе с остальными электронами. В этом
случае каждое состояние электрона можно характеризовать квантовыми числами n, l, ml, s, ms по аналогии с атомом водорода. При этом энергия электрона
оказывается зависящей не только от n, но и от l; от ml и ms она по-прежнему не
зависит.
Электроны с заданными n и l имеют одинаковую энергию и образуют
электронную оболочку, обозначаемую символами 1s2, 2 p 5 , 3 d 7 и т. д. (индекс
32
вверху указывает число электронов в данной оболочке). Электроны с заданным
n образуют электронные слои, обозначаемые буквами К , L, М, N, ... соответственно при n = 0, 1, 2, 3, ... и заполняемые 2 n 2 электронами.
Заполнение электронных оболочек и слоев в сложных атомах происходит
в соответствии с известным принципом Паули, согласно которому в каждом
квантовом состоянии не может находиться более одного электрона. Поскольку
для каждой оболочки значения чисел n и l одинаковы, пары значений ml и ms
должны различаться. Число таких пар (степень вырождения) g = 2(2l + 1) , равное при l = 0, 1, 2, 3… соответственно 2, 6, 10, 14, … определяет число электронов в целиком заполненной оболочке.
Распределение электронов по оболочкам характеризует электронную
конфигурацию атома, которая может быть нормальной и возбужденной.
Например, для атома гелия (He) наряду с нормальной конфигурацией 1s2 возможны возбужденные 1s2s, 1s2p (возбужден один электрон), а также 2 s 2 , 2 s 2 p
(возбуждены оба электрона). Нормальная электронная конфигурация для атома
азота ( z = 7 ) будет 1s2 2s2 2р3, а для атома натрия 1s22s22p63s1.
Обычно целиком заполненные оболочки не указывают, так как характер
их заполнения очевиден. Запись электронной конфигурации в таком случае
упрощается. Например, для атома натрия и азота она соответственно выглядит
так: 3s1, 2р3. Отметим, что для атомов переходных элементов с частично заполненными внутренними оболочками картина оказывается значительно сложнее.
Энергетическое состояние сложного атома как целого можно характеризовать также с помощью квантовых чисел, набор которых определяется характером взаимодействия, присущим рассматриваемому атому. Рассмотрим два
возможных варианта.
1. Для большинства атомов между электронами устанавливается связь
Рассела – Саундерса, называемая также нормальной или (L, S ) -связью. В этом
случае орбитальные моменты электронов Mli складываются в полный орбитальный момент атома ML, их спиновые моменты Msi – в полный спиновый момент атома Ms, а ML и Ms – в полный момент атома MJ.
Значения этих моментов определяются квантовыми числами L, S, J :
M L = ћ L( L + 1);
M S = ћ S ( S + 1) ;
M J = ћ J ( J + 1).
Энергетическое состояние атома с заданными квантовыми числами L и S
называют спектральным термом. Кратность вырождения каждого терма равна
( 2 L + 1) ⋅ ( 2 S + 1) . Учет спин-орбитального взаимодействия приводит к частич-
33
ному снятию вырождения и расщеплению терма с заданными L и S на ряд энергетических подуровней, имеющих различные значения J и образующих так
называемые мультиплеты. Терм с заданными L и S расщепляется на (2S + 1)
при L > S и (2 L + 1) при L < S подуровня, каждый из которых остается вырожденным по числу M J . Кратность вырождения равна 2 J + 1 .
При нахождении L, S, J учитывают принцип Паули, а также то обстоятельство, что для целиком заполненных оболочек L = S = J = 0 . Это связано c
тем, что орбитальный и спиновый моменты электронов, образующих замкнутые электронные оболочки, компенсируют друг друга. Поэтому необходимо
учитывать только электроны частично заполненных оболочек.
Символика энергетических состояний многоэлектронных атомов подобна
символике, принятой для атома водорода: состояния с различными квантовыми
числами L = 0, 1, 2, 3, ... обозначаются большими буквами латинского алфавита
S, Р, D, F, G, ... соответственно. Индекс справа внизу указывает значение квантового числа J; слева вверху приводится число 2 S + 1 , характеризующее мультиплетность уровня. Иногда индексом 0 справа вверху обозначают нечетность
электронной конфигурации, четные состояния не отмечаются (электронная
конфигурация является нечетной, если содержит нечетное число электронов с
нечетным l , т. е. р, f... электроны). Например, символ 2 Р 0 3 / 2 означает уровень
нечетного состояния с L = 1, J = 3 / 2 и S = 1 / 2 , а символ 1D 2 соответствует
состоянию с L = 2 , J = 2 , S = 0 и четной электронной конфигурацией. Отметим, что для целиком заполненных оболочек с конфигурациям s2, р6, d 1 0 , ...
всегда имеется только один терм 1 S 0 .
Таким образом, зная электронную конфигурацию и квантовые числа L, S,
J , можно полностью определить состояние атома.
2. В некоторых атомах энергия спин-орбитального взаимодействия превышает энергию электростатического отталкивания электронов в электронной
оболочке. Это соответствует так называемой (j, j)-связи. В этом случае сначала
для каждого электрона складываются его орбитальный Мli и спиновый Мsi моменты в полный момент данного электрона Мji. Затем полные моменты отдельных электронов складываются в полный момент атома MJ.
При (j, j)-связи квантовые числа L и S теряют смысл в отличие от квантового числа J, которое его сохраняет. Отметим, что резко выраженная (j, j)-связь
встречается редко. Поскольку число энергетических состояний атома не зави-
34
сит от типа связи, определяющей лишь относительное расположение уровней
энергии, на практике условно используют одну и ту же ( L , S ) символику.
Для ионов сохраняется систематика энергетических уровней, введенная
для нейтральных атомов. Электронная конфигурация и собственное состояние
атомов с атомным номером z, у которых удалены n электронов, и нейтральных
атомов с атомным номером z ' = z − n , будут аналогичны. Хотя энергетические
уровни иона, содержащего z − n электронов, могут в точности и не совпадать с
уровнями нейтрального атома с таким же числом электронов, общий характер
энергетического спектра и закономерности в его структуре, а также систематика термов будут одинаковыми.
Энергетические спектры молекул значительно сложнее, чем атомов, так
как кроме движения электронов вокруг атомных ядер происходит колебание
ядер (вместе с окружающими их электронами) около положения равновесия, а
также вращательное движение молекулы как целого.
В соответствии с законами квантовой механики энергия всех видов внутреннего движения в молекуле квантуется, т. е. принимает только определенные
значения. Полная энергия молекулы E может быть представлена в виде суммы
квантованных значений электронной энергии Еэл, колебательной Екол и вращательной Евр: Е = Еэл + Екол + Eвр .
Значения
Еэл,
Екол,
Eвр
связаны
соотношением
Eэл : Eкол : Eвр ≅
≅ 1: m
: m /M , где m – масса покоя электрона; М – суммарная масса ядер
M
атомов, составляющих молекулу.
Обычно m /М = 10−5 –10−3 , а Е эл составляет величину порядка нескольких
электронвольт, следовательно, Екол =10−2 –10−1 эВ , Eвр = 10 −5 –10 −3 эВ .
Электронные уровни молекулы характеризуют квантовым числом S , определяющим абсолютную величину полного спинового момента всех электронов. Для химически устойчивых молекул, имеющих, как правило, четное число
электронов, S = 0,1, 2, ... уровни с S = 0 называют синглетными. Если S = 1 , то
уровни будут триплетными, поскольку их мультиплетность равна 2 S + 1 = 3 .
Классификация электронных термов молекул основана на тех же принципах, что и для многоэлектронного атома. Однако есть одно существенное отличие: как правило, электрическое поле молекул не центрально-симметричное,
как у атомов, а обладает аксиальной симметрией. Поэтому закон сохранения
полного орбитального момента электронов не выполняется и классификация
35
термов по квантовому числу L лишена физического смысла. В то же время проекция орбитального момента на ось симметрии сохраняется. Соответствующее
орбитальное квантовое число молекулы обозначают Λ. Оно может принимать
значения 0, 1, 2, ..., а термы, соответствующие этим значениям, обозначают
прописными буквами греческого алфавита Σ, Π, ∆, ...
Аналогом квантовых чисел j и J для атомов является внутреннее квантовое число молекулы Ω = [Λ + S ] . Обозначение молекулярного терма в этом случае имеет вид 2S+1ΛΩ .Число 2 S + 1 при S ≠ 0 указывает мультиплетность терма.
Важное значение имеет характер расположения колебательных уровней.
Наибольшей простотой отличаются двухатомные молекулы типа N2, О 2 , Н2,
которые можно рассматривать как линейный гармонический осциллятор, частота колебаний которого совпадает с классической частотой малых упругих
колебаний ω0 = k /M ( k – коэффициент упругой связи в молекуле). Как известно, энергетический спектр такого осциллятора представляет собой совокупность равноудаленных друг от друга уровней, описываемых выражением
вида E = hν 0 (V + 1 / 2) , где V = 0, 1, 2, ... есть колебательное квантовое число.
Многоатомные молекулы, состоящие из N ≥ 3 атомов, имеют f колебательных степеней свободы: f = 3N − 5 для линейных и f = 3 N − 6 для нелинейных молекул. В них возможны f нормальных колебаний с частотами
ν i (i = 1, 2, …, f ) , и соответственно структура колебательных уровней имеет боf
лее сложный вид: Екол = ∑hν i (Vi + 1 / 2 ) .
i =1
Наличие вращательного движения молекулы как целого приводит к расщеплению каждого колебательного уровня на вращательные подуровни с квантованными значениями энергии: Евр = ВK (K + 1) , где K = 0, 1, 2... есть вращательное квантовое число; В = ћ / (2 I ) – вращательная постоянная; I – момент
инерции молекулы. Возможные значения вращательного момента количества
движения молекулы равны M вр = ћ K ( K + 1) .
Расстояние между соседними вращательными уровнями энергии увеличивается с ростом K (или Eвр), поскольку ∆Eвр = Ek +1 − Ek = 2B( K + 1) . Кратность вырождения вращательного состояния равна 2 K + 1 .
Определение энергетического спектра кристалла как многоядерной и
многоэлектронной системы возможно лишь приблизительно. Наиболее часто
используют адиабатическое и одноэлектронное приближения. Суть первого
36
заключается в том, что вследствие сильного различия в массах и скоростях
электронов и ядер можно рассматривать их движение отдельно и независимо
друг от друга. Отклонения от адиабатического приближения типа электронфононного взаимодействия могут быть при необходимости учтены с помощью
хорошо разработанных методов теории возмущения.
В одноэлектронном приближении рассматривается независимое движение каждого из электронов в усредненном поле не только ядер, но и остальных
электронов. Другими словами, взаимодействие данного электрона со всеми
другими электронами и ядрами заменяется воздействием на него стационарного
электрического поля, называемого самосогласованным.
Как и в случае многоэлектронных атомов, такое движение описывается
одноэлектронной волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шрёдингера:
(3.1)
Hˆ Ψ = − ћ 2 /(2m ) ∇ 2 Ψ + V ( r ) Ψ = E Ψ ,
(
)
где V ( r ) – самосогласованный потенциал, создаваемый усредненным в пространстве зарядом всех электронов и ядер.
Пространственная периодичность кристаллической решетки обусловливает новый тип симметрии потенциала V (r ) , отличный от сферической или аксиальной
симметрии
атомов
или
молекул:
V ( r + R) = V ( r ) ,
где
R = n1a1 + n2a2 + n3a3 ; n 1 , n 2 , n 3 – любые целые числа, a1, a2 , a3 – базисные
единичные векторы, образующие элементарную ячейку кристалла.
Такая симметрия, называемая трансляционной, определяет важнейшее
свойство волновой функции, описывающей движение электронов в кристалле.
Это свойство определяется теоремой Блоха, которая гласит: собственные состояния Ψ одноэлектронного гамильтониана (3.1) могут быть выбраны в виде
произведения функции eikr на периодическую функцию U nk (r ) , где r – период решетки; k – волновой вектор. Это означает, что волновая функция электрона, движущегося в периодическом поле, представляет собой модулированную плоскую волну и состояние электрона определено по всему кристаллу.
Поскольку с каждым из собственных состояний оператора Ĥ связан некоторый волновой вектор k , его можно рассматривать как квантовое число, определяющее состояние рассматриваемой системы. Собственные значения энергии E в (3.1) для состояния Ψk будут зависеть от k аналогично тому, как они
37
зависели от квантовых чисел n, l, ml, … в атоме. Однако число k может принимать непрерывный, точнее квазинепрерывный, ряд значений в отличие от дискретных квантовых чисел n , l, ml, ... В связи с этим энергетическое состояние
электронов в кристалле характеризуется семейством непрерывных функций
En (k ) . Эти функции определяют зонную структуру кристалла.
Совокупность всех электронных уровней, описываемых функцией En (k )
при заданном n, называют энергетической зоной (иногда n рассматривают как
второе квантовое число, поскольку при заданном k уравнение (3.1) может
иметь не одно, а бесконечное множество решений с собственными дискретными значениями. В этом случае n означает номер зоны).
Зная зависимость En (k ) , можно найти скорость движения электрона в
∂2E
1 ∂E
2
кристалле v =
, его эффективную массу m 2 = ℏ и квазиимпульс
ℏ ∂k
∂k
p = ћk , т. е. предсказать электрофизические и оптические свойства кристалла.
3.1 Оптические спектры испускания
Вид оптических спектров испускания (поглощения) атомов, ионов, молекул определяется их энергетическими спектрами, а также внешними факторами
(температурой, давлением и т. д.).
Спектры испускания I = f (λ) можно получить, разлагая излучение светящегося вещества по длинам волн и измеряя интенсивность света при различных λ.
Для атомов и ионов характерны линейчатые спектры, состоящие из отдельных спектральных линий, характеризуемых длиной волны (частотой) и
волновым числом 1 / λ = v /с . Количество таких линий и их расположение по
шкале λ ( v ) может быть рассчитано, если известна структура энергетических
уровней данного атома или иона. Однако следует учитывать, что не все квантовые переходы разрешены. Существуют так называемые правила отбора, определяющие возможные квантовые переходы в атомах, ионах и молекулах. Так, в
случае атомов с одним внешним электроном разрешены лишь те переходы, для
которых квантовое число l изменяется на 1 ( ∆l = ±1) . В сложных атомах для
разрешенных переходов ∆L = 0, ±1 , a ∆S = 0 . Для молекул и кристаллов существуют специфические правила отбора, связанные с симметрией равновесных
конфигураций молекул или кристаллической решетки.
38
Наиболее простую структуру имеют спектры испускания атома водорода.
В них отдельные линии могут быть сгруппированы в так называемые спектральные серии, получаемые при всевозможных квантовых переходах с нескольких вышележащих уровней энергии на один и тот же нижележащий уровень. В пределах одной серии расстояние между спектральными линиями
уменьшается в сторону больших частот, т. е. линии сходятся к границе серии
максимальной для этой серии частоты. Это описывается известной формулой
(
)
Бальмера: 1 / λ = R n −j 2 − nk−2 , где R – постоянная Ридберга; n j , n k – значения
главного квантового числа n для уровней энергии, между которыми осуществляется переход. Для каждой спектральной серии n j = const , а nk = n j + 1,
n j + 2, ... . Так, при n j = 1 и nk = 2, 3, ... получается серия Лаймана, расположенная в далекой УФ области спектра, а при ni = 2 , nk = 3, 4, ... – серия Бальмера,
лежащая в видимой и УФ областях, причем спектральная линия с
λ = 0,6563 мкм является наиболее интенсивной. При n j = 3 и n j = 4 образуются соответственно серии Пашена и Брэкета, расположенные в ИК области.
Более сложную структуру имеют спектры щелочных и щелочноземельных элементов, атомов гелия, а также ряда элементов III группы Периодической таблицы Менделеева, в которых «снимается» вырождение уровней по
квантовому числу l. За счет этого количество спектральных линий значительно
увеличивается, а закономерности в их расположении усложняются.
Наиболее сложные спектры с числом спектральных линий до нескольких
тысяч принадлежат атомам с недостроенными d- и f-оболочками.
Для свободных или слабосвязанных молекул вещества типичны полосатые спектры испускания, состоящие из отдельных полос различной интенсивности, охватывающих некоторый интервал длин волн ∆λ в УФ, видимой и ИК
областях спектра. При достаточно высокой разрешающей способности спектральных приборов полосы распадаются на совокупность отдельных тесно расположенных линий, связанных с квантовыми переходами между вращательными подуровнями.
Для твердых тел характерны сплошные спектры испускания, что обусловлено не только огромным числом ионов, образующих кристаллическую решетку, но и их взаимным влиянием. Внешний вид спектров испускания твердых
тел определяется квантовыми переходами между энергетическими зонами.
39
Индивидуальность оптических спектров испускания широко используется для исследования строения и состава вещества с помощью хорошо разработанных в настоящее время методов спектроскопии и спектрального анализа.
Спектры поглощения (абсорбционные спектры), наблюдаемые при прохождении света через вещество с последующим его разложением по длинам
волн, так же, как и спектры испускания, тесно связаны с энергетическими спектрами вещества. Поглощение фотона сопровождается квантовым переходом на
более высокий энергетический уровень. Каждому такому переходу отвечает
спектральная линия поглощения, совокупность которых представляет собой
спектр поглощения. Спектры поглощения могут быть линейчатыми (для изолированных атомов и ионов), полосатыми (для молекул) и сплошными (для твердых тел, плазмы, сжатых газов).
3.2 Элементарные процессы взаимодействия
оптического излучения с веществом
Рассмотрим более подробно квантовые переходы, которые могут происходить между двумя произвольно выбранными состояниями j и k. Соответствующие этим состояниям энергетические уровни обозначим через Е j и E k , а их
населенности (плотность атомов, находящихся на соответствующем уровне
атомов/м3) – через Nj и Nk. В первую очередь нас будут интересовать оптические квантовые переходы, т. е. переходы, сопровождающиеся излучением или
поглощением фотонов.
Возможны три типа оптических переходов: спонтанные, вынужденные с
излучением и вынужденные с поглощением.
Самопроизвольные квантовые переходы микрочастиц из возбужденного
состояния в основное или другое возбужденное состояние с меньшей энергией
называются спонтанными, а излучение, сопровождающее такие переходы, –
спонтанным (рис. 3.1, а ) . Точно предсказать момент спонтанного перехода
принципиально невозможно, поэтому будем говорить лишь о вероятности таких переходов.
Рис. 3.1 – Типы переходов атомов из одного состояния в другое
40
Вероятность спонтанных переходов Wсп не зависит от спектральной плотности энергии внешнего электромагнитного излучения ρν и пропорциональна
времени: dWсп = Ajk dt , где A jk – коэффициент Эйнштейна для спонтанных переходов.
Скорость спонтанных переходов dN j /dt определяется не только их вероятностью, но и населенностью исходного уровня: (dN j /dt )сп = Ajk N j . Из данного выражения следует, что коэффициент Эйнштейна определяет число спонтанных переходов в единицу времени, приходящихся на одну возбужденную
частицу с энергией Еj. Интегрируя это выражение по времени, получаем
N j (t ) = N j (t = 0) exp(−t /τ jk ), где через τ jk обозначена величина, обратная А jk .
За время τ jk , называемое средним временем жизни частиц в возбужденном состоянии, их количество уменьшается за счет спонтанных переходов в е раз.
Так как при каждом спонтанном переходе излучается фотон с энергией
hv jk = Е j – Еk , объемная плотность мощности спонтанного излучения равна
Pсп = hv jk Ajk N j = hv jk Ajk N j (t = 0)exp(−t /τ jk ).
(3.2)
Выражение (3.2) указывает на возможность определения τ jk и, следовательно, A jk экспериментальным путем.
Поскольку спонтанные переходы происходят хаотически и независимо
друг от друга и внешнего излучения, то излучаемые при этом фотоны имеют
различные фазы, направления распространения и состояния поляризации. Другими словами, спонтанное излучение, характерное для обычных не лазерных
источников света, ненаправлено, неполяризованно и некогерентнно.
Переход частицы из возбужденного состояния в состояние с меньшей
энергией может быть ускорен внешним электромагнитным излучением, частота
которого удовлетворяет условию hv jk = Е j − Еk . В этом случае квантовые переходы и возникающее излучение называются вынужденными (индуцированными) (рис. 3.1, б).
Как уже отмечалось, вынужденное излучение, существование которого
было постулировано А. Эйнштейном еще в 1916 г., является физической основой квантовой электроники.
Вероятность вынужденных переходов определяется спектральной плотностью энергии внешнего излучения:
dWвын = B jk ρvdt,
(3.3)
41
где B jk – коэффициент Эйнштейна для вынужденных переходов, не зависящий
от ρv и времени.
Физический смысл коэффициента B jk ясен из выражения (3.3): он численно равен вероятности вынужденных переходов в единицу времени при единичной спектральной плотности энергии излучения.
Число вынужденных переходов в единицу времени (dN j /dt )вын = B jk ρv N j .
Отсюда следует еще одно определение коэффициента Эйнштейна для вынужденных переходов: B jk равен числу вынужденных переходов в единицу времени, приходящихся на одну возбужденную частицу с энергией Еj, при единичной
спектральной плотности внешнего излучения.
Характерной особенностью вынужденного излучения является его полная
тождественность внешнему излучению по частоте, фазе, направлению распространения и поляризации.
Как видно из рисунка 3.1, б , к одному фотону, стимулирующему вынужденный переход, добавляется абсолютно тождественный фотон, излучаемый в
процессе этого перехода. На языке волновой оптики такой процесс обеспечиc
вает формирование электромагнитной волны длиной λ jk =
, являющейся
v jk
точной, только усиленной копией исходной волны. С ростом числа вынужденных переходов интенсивность волны возрастает, в то время как ее частота, фаза, поляризация и направление распространения остаются неизменными. Другими словами, в процессе вынужденных переходов Е j → Еk происходит когерентное усиление электромагнитного излучения на частоте v jk .
Разумеется, возможны и обратные переходы типа Еk → Е j , когда фотоны
с энергией hv jk исчезают. Такие переходы, связанные с резонансным поглощением излучения, называются вынужденными переходами с поглощением и характеризуются коэффициентом Эйнштейна Bkj (рис. 3.1, в).
Вероятность вынужденных переходов с поглощением и их скорость можно найти следующим образом: dWпогл = Bkjρv dt ; (dNk Idt )погл = Bkjρv Nk .
Коэффициенты Эйнштейна A jk , B jk , Bkj являются постоянными величинами, характеризующими свойства конкретных квантовых переходов. Они связаны между собой двумя соотношениями:
42
g k Bkj = g j B jk ;
8πhv 3 g k
Aik =
.
c3 g j
(3.4)
Физический смысл первого соотношения (3.4) заключается в том, что при
ρν = const процессы вынужденного излучения и поглощения (в пересчете на
одно невырожденное состояние) равновероятны.
Из второго соотношения (3.4) следует, что вероятность спонтанных переходов не зависит от температуры и пропорциональна ν3. Поэтому спонтанное
излучение особенно заметно в оптическом диапазоне спектра, в то время как в
радиодиапазоне им можно попросту пренебречь. Кроме того, в оптическом
диапазоне в равновесных условиях вероятность вынужденных переходов исчезающе мала по сравнению со спонтанными. Так, при v = 5 ⋅ 1014 Гц (λ = 0,6 мкм)
и T = 300 K ρν В jk /А jk ≅ 10 −100 . В связи с этим вынужденное излучение в этой
области спектра долгое время просто не учитывалось.
Прежде чем перейти к анализу условий, при которых вынужденное излучение может играть доминирующую роль, отметим, что введенные ранее коэффициенты Эйнштейна носят интегральный характер, поскольку связаны лишь с
фактом испускания или поглощения фотонов в результате соответствующих
квантовых переходов. На самом деле эти коэффициенты частотно-зависимы.
В связи с этим пользуются дифференциальными коэффициентами Эйнштейна,
обозначаемыми малыми буквами a jk (v), b jk (v), bkj (v) . Все ранее выведенные
соотношения справедливы и для них.
Для статистических расчетов наряду с коэффициентами Эйнштейна B jk и
Bkj применяют величины эффективного поперечного сечения излучательного
( σ jk ) и поглощательного ( σkj ) переходов, определяемых отношением числа фотонов, испускаемых (поглощаемых) одной микрочастицей в единицу времени, к
интенсивности излучения I (v) . Эффективные поперечные сечения σ jk и σkj
связаны
между
собой
соотношениями
вида
g j σ jk = gk σkj
или
σ jk = σkj = (hv /c) B jk , при g j = gk = 1.
3.3 Принцип квантового усиления электромагнитных волн
В основе принципа квантового усиления электромагнитных волн лежат
процессы взаимодействия вещества с электромагнитным полем. Как известно,
43
энергия элементов вещества, например атомов или молекул, квантована. Частицы могут обладать лишь дискретными значениями энергии E1, E2, E3 и т. д.,
образующими систему энергетических уровней (рис. 3.2). Когда мы имеем не
одну частицу, а их совокупность, то они распределяются по системе уровней
так, что на уровне E1 оказывается N1 частиц, E2 – N 2 и т. д. [7].
Рис. 3.2 – Распределение частиц по энергетическим уровням для оптического
(1) и СВЧ (2) диапазонов в условиях термодинамического равновесия
В условиях термодинамического равновесия распределение числа частиц
по уровням, или по энергиям, подчиняется закону Больцмана:
E
N me ( Em ) = C exp − m ,
kT
(3.5)
где C – константа, T – абсолютная температура, k = 1,3807 ⋅ 10−23 Дж/К – постоянная Больцмана. Эту зависимость изобразим на рисунке 3.2 для двух характерных диапазонов – оптического и СВЧ. Для этого найдем из постулата Бора
расстояние между уровнями с номерами m и n:
Em − En = ℏωmn ,
(3.6)
где ℏ = 1,05 ⋅ 10−34 Дж ⋅ с – постоянная Планка, ωmn – частота перехода между
уровнями. В оптическом диапазоне выполняется условие ℏωmn >> kT , поэтому
практически все частицы находятся на нижнем уровне с энергией E1 (кривая 1
на рис. 3.2). В диапазоне СВЧ выполняется обратное условие, ℏωmn << kT , и
населенность уровней изменяется по линейному закону:
44
E
(3.7)
N me ≅ C 1 − m .
kT
Во всех случаях при термодинамическом равновесии число частиц на
любом верхнем уровне меньше, чем на любом нижнем. Представим, что рассматриваемая система частиц находится в электромагнитном поле с частотой
ω = ω 21 , вызывающем переходы между энергетическими уровнями 1 и 2. Тогда,
как известно из физики, между полем и веществом будет происходить эффективное резонансное взаимодействие. Во-первых, поле будет индуцировать переходы частиц, находящихся в состоянии 1, в состояние 2. При этом переходе
частица «отбирает» у поля квант энергии ℏω , то есть происходит поглощение
электромагнитной энергии веществом.
Найдем поглощаемую веществом мощность Pпогл, считая, что вероятность индуцированного полем перехода одной частицы в единицу времени из
состояния 1 в состояние 2 равна W. Тогда общее число переходов, совершенное
в единицу времени, будет N1W , а общая поглощаемая веществом мощность составит
Pпогл = N1W ℏω.
(3.8)
Одновременно с этим электромагнитное поле будет вынуждать частицы,
находящиеся в состоянии 2, к переходу в состояние 1. При каждом переходе
частиц сверху вниз излучается квант энергии ℏω . Главная особенность этого
процесса в том, что излученное поле при таком вынужденном переходе сверху
вниз является точной копией поля, вызвавшего переход. Оно совпадает с ним
по частоте, фазе, поляризации и направлению распространения. Рассмотренный процесс излучения электромагнитных волн носит название индуцированного, или вынужденного, излучения и является основой работы квантовых
устройств.
Заметим, что переход частицы с верхнего уровня на нижний может быть
и самопроизвольным (спонтанным), при котором частица сама по себе совершает переход. Излученный при таком переходе квант не согласован с исходным
ни по фазе, ни по поляризации, ни по направлению распространения. Частота
спонтанного излучения может быть произвольной в некотором спектральном
интервале вблизи ω 21 .
Подсчитаем теперь мощность, излучаемую частицами при вынужденных
переходах 2 → 1, учитывая, что вероятности индуцированных переходов одной
частицы сверху вниз и снизу вверх в единицу времени одинаковы:
45
Pизл = ℏωWN 2 .
Суммарная мощность, поглощаемая частицами вещества, равна:
PΣ = Pпогл − Pизл = ℏωW ( N1 − N 2 ).
(3.9)
(3.10)
Так как в условиях термодинамического равновесия всегда N1e > N 2e , то
PΣ > 0 , что соответствует поглощению электромагнитных волн обычными средами. Если же создать состояние вещества, при котором выполняется условие
N 2 > N1 ,
(3.11)
то в этом случае среда не поглощала бы, а усиливала электромагнитное поле
( PΣ < 0) . В создании ситуации, соответствующей неравенству (3.11), и состоит
основная идея получения квантового усиления. Оказывается, существует достаточно много способов достижения такого состояния вещества, при котором
энергетически более высоко лежащие уровни имеют большую заселенность,
чем низко лежащие.
·····························································
Эта ситуация носит название состояние инверсии населенностей энергетических уровней.
·····························································
В нашем курсе мы изучим ряд способов создания инверсии населенностей, реализуемых в различных квантовых приборах.
·····························································
Приборы квантовой электроники, генерирующие оптическое
излучение, принято называть лазерами (laser), по первым буквам
английского словосочетания «light amplification by stimulated emission of radiation» – усиление света посредством индуцированного
излучения.
·····························································
Таким образом, принцип квантового усиления электромагнитных волн
заключается в создании в веществе состояния инверсии населенностей и в использовании индуцированных переходов [7].
3.4 Описание квантовых ансамблей и процессов релаксации
Для реализации принципа квантового усиления ЭМВ используются переходы между уровнями в квантовых системах, т. е. в М-системах, состоящих из
большого числа µ-систем. Квантовые µ-системы описываются на языке квантовой механики, а их совокупность – на основе подходов статистической физики.
46
В статистической физике существует понятие статистического ансамбля –
совокупности объектов, разница между которыми допускается лишь в микроскопических деталях. Исследуя среднее по ансамблю, можно судить о наиболее
вероятном результате измерения.
·····························································
Простейший пример ансамбля – чистый ансамбль – ансамбль тождественных изолированных µ-систем, которые описываются единственной волновой функцией.
Совокупность нескольких чистых ансамблей, каждый из которых описывается своей волновой функцией до образования совокупности, – называется смешанным ансамблем.
·····························································
Пусть мы имеем чистый ансамбль. Тогда среднее значение любой физической величины можно найти по общей формуле:
∞
∞
∞
Fср = ∫FdP = ∫ FΨ ΨdV = ∫ Ψ FΨdV = ∫ Ψ*FˆΨdV .
*
−∞
*
−∞
(3.12)
−∞
Здесь dP = Ψ*ΨdV – вероятность обнаружения конкретного значения величины F, исходя из вероятностного смысла Ψ – функции. Обозначение
F̂ Ψ = F Ψ указывает, что F – собственное значение соответствующего оператора F̂ .
При вычислении средних значений физических величин каждой физической величине приходится сопоставлять некоторое дифференциальное выраже
∂
∂
∂
ние по правилу F ( x, y , z , Px, Py , Pz ) → F x, y , z , −iℏ ; − iℏ ; − iℏ .
∂x
∂y
∂z
∂
.
∂x
Это последнее выражения мы будем записывать так же, как и саму величину, но чтобы избежать путаницы, будем ставить над ним шляпку. Например,
∂
Px → −iℏ = Pˆx
∂x
или
Например, проекции импульса Px → выражение −iℏ
∂
∂
∂
F ( Px , Py , Pz ) → F −iℏ ; − iℏ ; − iℏ = Fˆ .
∂x
∂y
∂z
47
Такого рода выражения, соответствующие физическим величинам, называются операторами величин. Таким образом, мы приходим к понятиям оператора импульса, оператора энергии и т. д. Согласно правилу, установленному
выше, среднее значение любой физической величины можно посчитать по
формуле (3.12):
F = ψ*Fˆ ψdV .
ср
∫
Несмотря на большое многообразие физических величин, операторы всех
величин имеют ряд общих свойств. Чтобы выяснить эти свойства, дадим два
следующих определения:
1. Оператор F̂ называется линейным, если
Fˆ (U1 + U 2 ) = FˆU1 + FˆU 2 .
а)
ˆ ),
б)
Fˆ (CU ) = C ( FU
(3.13)
(3.14)
где C – постоянная.
·························
Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
Примером может служить оператор
∂
Pˆx → −iℏ .
∂x
·······································································
В самом деле,
∂
∂
∂
Pˆx (U1 + U 2 ) = −iℏ (U1 + U 2 ) = −iℏ U1 − iℏ U 2 = PˆxU1 + PˆxU 2 ,
∂x
∂x
∂x
∂
∂
Pˆx (CU ) = − iℏ CU = C −iℏ U = C PˆxU
∂x
∂x
и, как видно, равенства (2) и (3) выполнены.
(
)
2. Оператор F̂ называется самосопряженным или эрмитовым, если
*
ˆ ( x)dx = U ( x) Fˆ *U * ( x)dx
(3.15)
1
2
∫U 2 ( x) FU
∫1
и интеграл берется по всем возможным x. Примером самосопряженного оператора может служить тот же оператор Pˆ .
x
+∞
U 2* ( x) PˆxU1 ( x) dx
−∞
∫
=
−iℏU1U 2∗ |+∞
−∞
+∞
∂U 2*
− ∫ ( −iℏU1 )
dx =
∂
x
−∞
48
*
+∞
+∞
∂U 2*
∂ *
* *
= ∫ U1 + i ℏ
dx = ∫ U1 −iℏ U 2 dx = ∫ U1Pˆx U 2 dx.
∂x
∂x
−∞
−∞
−∞
Оказывается, что оператор любой физической величины есть линейный и
самосопряженный оператор.
Определим действия над операторами. Операторы можно складывать:
+∞
Aˆ + Bˆ = Cˆ ,
так что
CUˆ = AUˆ + BUˆ ,
вычитать и умножать.
ˆ ˆ есть новый оператор Ĉ , действие которого
Произведение операторов AB
на любую функцию ψ вначале B, а затем действие на результат оператором Â,
т. е. если
ˆ ˆ,
Cˆ = AB
то
Сˆ ψ = Aˆ ( Bˆ ψ).
Легко заметить, что произведение операторов зависит от порядка сомножителей и
ˆ ˆ ≠ BA
ˆ ˆ.
AB
Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
·························
∂
Aˆ = ; iˆ = x;
∂x
ˆ ˆ ψ = ∂ ( xψ) = x ∂ψ + ψ;
AB
∂x
∂x
∂ψ
B̂Aˆ = x ;
∂x
ˆ ˆ − BA
ˆ ˆ ) ψ = ψ,
( AB
(
)
ˆ ˆ − BA
ˆ ˆ = I . Таким образом, алгебра операторов некомт. е. в данном случае AB
мутативна, т. е. в ней результат произведения зависит от порядка сомножителей. Заметим, что оператор
ˆ ˆ − BA
ˆˆ
Fˆ = AB
(3.16)
называется коммутатором операторов Â и B̂ . Если
49
ˆ ˆ = BA
ˆ ˆ,
AB
(3.17)
то говорят, что операторы коммутируют. Их коммутатор равен нулю.
·······································································
3.5 Представления функций состояния
Полученные ранее соотношения позволяют решать большое число задач,
возникающих в квантовой механике. Тем не менее существует ещё один способ
нахождения точных и средних значений физических величин. Этот способ, основанный на использовании матриц, оказывается более удобным при проведении конкретных расчетов.
Основной величиной, с которой мы имели дело, до сих пор была волновая
функция ψ(x, y, z , t ) , которую для простоты записи далее будем просто писать в
виде ψ( x, t ) . Эта функция характеризует положение частицы в пространстве, её
координаты, так как ψ
2
в какой-то точке пропорционально вероятности
нахождения частицы в этой точке. Будем говорить, что записанная таким образом волновая функция задана в «координатном представлении» или в
«X-представлении».
Рассматривая вместо координаты X импульс частицы P или энергию E,
или любую величину F, мы можем ввести некоторую величину C(P) или же
C(E), квадрат модуля которой пропорционален вероятности того, что частица
имеет импульс, равный P, или энергию, равную Е. Как эти величины вводятся,
известно из принципа суперпозиции состояний. Действительно, чтобы определить C(Р), достаточно разложить ψ( x, t ) по волновым функциям ψ p ( x) состояний, в каждом из которых импульс принимает определенное значение.
ψ( x, t ) = ∫C ( P, t )ψ p ( x)dP.
(3.18)
При этом спектральная плотность C ( P, t ) может быть найдена с помощью
обратного преобразования Фурье:
C ( P, t ) = ∫ψ( x, t )ψ*p ( x)dx .
(3.19)
2
Принцип суперпозиции состояний утверждает, что величина C ( P ) пропорциональна вероятности того, что импульс частицы равен P. В этом смысле
C ( P, t ) относится к переменной P, так же как ψ( x, t ) относится к переменной x.
Очевидно, C ( P, t ) описывает состояние частицы столь же полно, сколько и ψ, и
50
поэтому с полным основанием мы можем говорить, что C ( P, t ) есть также волновая функция, но только зависящая от P. На самом деле две предыдущие формулы настолько тесно связывают функции C ( P, t ) и ψ( x, t ) между собой, что
нет необходимости противопоставлять эти две функции. Общепринято говорить, что обе эти величины дают одну и ту же волновую функцию, но записанную в разных представлениях. Функция ψ( x, t ) есть волновая функция в
X-представлении, тогда как C ( P, t ) есть волновая функция в P-представлении
или в импульсном представлении.
Аналогично можно описать состояние, взяв за независимую переменную
энергию Е. Пусть, например, Е имеет дискретный спектр Е1, Е2 , Е3 , …, причем
собственным значениям En соответствуют собственные функции ψ n ( x, t ) . В соответствии с принципом суперпозиции состояний можно записать:
ψ( x, t ) = С1ψ1 + С2 ψ 2 + ... ∑Cn (t ) ψ n ( x ).
(3.20)
n
Ранее уже установлено, что квадрат модуля Cn (t )
2
пропорционален ве-
роятности того, что энергия частицы E равна En. Поэтому совокупность коэффициентов Cn (t ) можно принять за волновую функцию в E-представлении или
в энергетическом представлении.
Волновую функцию в E-представлении легко найти, если известна волновая функция в Х-представлении. Чтобы это сделать, домножим последнее соотношение на ψ*k ( x) и проинтегрируем по x:
∫ψk ( x)ψ( x, t )dx = ∑n Cn (t )∫ψn ( x)ψk ( x)dx.
*
*
Интеграл в правой части равен нулю при всех n ≠ k по условию ортогональности, а
∫ ψk
2
dx = 1.
В результате получаем:
Сk (t ) = ∫ψ*k ( x)ψ n ( x, t )dx,
(3.21)
что и дает волновую функцию в E-представлении.
Вывод из нашего анализа следующий.
Волновая функция может быть записана в произвольном представлении,
причем вероятность найти какое-либо значение независимой переменной равна
квадрату модуля волновой функции в представлении этой переменной.
51
Совокупность чисел Сk из (3.21) удобно представить в виде таблицы
столбовой матрицы:
C1
C2
C3
.
.
.
.
Записанную так волновую функцию Дирак предложил обозначить символом |ψ>. Она называется вектором состояния. В дополнение к вектору состояния вводится также строчная матрица <ψ|, имеющая вид:
С1*С2*С3* ,… ,
где звездочка означает комплексное сопряжение. Матрица <ψ| называется совектором состояния.
В общем случае элементы Сk матриц |ψ> могут быть любыми. Наиболее
простой вид |ψ> достигается в том случае, когда ψ является собственной функцией некоторого оператора L̂ и записывается в L-представлении. Действительно, пусть, например, ψ = ψ1 , где ψ1 – первая собственная функция оператора L̂ .
Запишем ψ в L-представлении. Для этого необходимо вычислить все Сk , и согласно (3.21)
Сk = ∫ψ*k ( x)ψ1 ( x)dx.
Так как собственные функции оператора L̂ ортогональны, то последний
интеграл равен нулю для всех k, кроме k = 1 . При k = 1 интеграл равен 1. Таким
образом, Сk = 0 при k ≠ I и С1 = 1 вектор состояния |ψ1> будет иметь вид:
1
0
0
| ψ1 > = 0 .
.
.
.
Аналогичным образом для ψ2 получим
52
0
1
0
| ψ2 > = 0
.
.
.
и т. д. можно записать любой из векторов | ψ S > .
3.6 Операторы в произвольном представлении
Мы уже знаем, что каждой физической величине можно поставить в соответствие некоторый оператор. Однако введенные нами операторы могут действовать лишь на функции координат, т. е. на волновые функции в
X-представлении. Например, оператор импульса Px:
∂
Pˆx = −iℏ .
∂x
Оператор кинетической энергии:
ℏ2 ∂ 2
2m ∂x 2
и т. д. Можно говорить поэтому, что все приведенные нами до сих пор операторы определены лишь в Х-представлении. При этом становится очевидным, что
если совершается переход от волновых функций в Х-представлении к волновым
функциям, скажем, в E-представлении, то и операторы необходимо перевести в
это новое представление. Осуществим такой переход и запишем некоторый
T̂ = −
произвольный оператор L̂ в энергетическом представлении.
Пусть ψ(x) – произвольная функция Х, а φ(х) связана с ψ(x) соотношением
φ( x) = Lˆ ψ( x).
(3.22)
Это соотношение дает нам правило, по которому каждому ψ(x) сопоставляется φ(х) и, следовательно, определяет оператор L̂ в X-представлении. Чтобы
записать L̂ в E-представлении, разложим φ и ψ по собственным функциям оператора энергии:
φ( x ) = ∑bn ψ n ( x ); ψ x = ∑Cn ψ n –
n
и подставим эти соотношения в (1):
n
53
∑bnψn ( x) = ∑Cn Lˆ ψn ( x).
n
n
Далее домножаем на ψ*m и интегрируем по Х:
∑bn ∫ψ*mψndx = bm ,
n
∑Cn ∫ψ*m Lˆ ψndx = ∑LmnCn ,
n
n
где
Lmn = ∫ψ*m Lˆ ψ n dx ,
(3.23)
bm = ∑LmnCn .
(3.24)
и окончательно
n
В этом соотношении множества bm есть волновая функция φ, а множество
Cn есть волновая функция ψ в E-представлении, совокупность чисел Lmn показывает, каким образом из волновой функции ψ в E-представлении может быть
найдена волновая функция φ в том же представлении. Задание чисел Lmn в Eпредставлении эквивалентно заданию самого оператора L̂ . Поэтому совокупность чисел Lmn можно отождествить с оператором L̂ в E-представлении.
Эту совокупность чисел Lmn представим в виде таблицы чисел или матрицы.
L11 L12 L13 … L1m
L21 L22 L23 … L2 m
Lˆ = L31 L32 L33 … L3m .
…………………
Ln1 Ln 2 Ln3 … Lnm
(3.25)
При этом числа Lmn называются матричными элементами оператора L̂ .
Таким образом, в общем случае в произвольном представлении операторы физических величин изображаются матрицами.
Структура матриц, изображающих операторы физических величин, может быть весьма произвольной. Однако есть общее свойство этих матриц, которое вытекает из условия самосопряженности операторов физических величин.
В самом деле, используя это условие, можно выражение из матричного элемента Lmn преобразовать следующим образом:
Lmn = ∫ψ*m Lˆ ψ n dV = ∫ψ n Lˆ*ψ*m dV =
{∫ψ Lˆ ψ
*
n
m dV
}
*
= L*nm .
54
Таким образом, для всех матриц, изображающих операторы физических
величин, должно выполняться условие:
Lmn = L*nm .
(3.26)
В остальном вид этих матриц может быть любым. Наиболее простым он
получается в том случае, когда оператор L̂ записывается в своем собственном
представлении. Так как при этом ψn являются собственными функциями оператора L , то
Lˆ ψn = Ln ψn ,
где Ln – собственное значение L̂ .
В результате
Lmn = ∫ψ*m Lψ n dV = Ln ∫ψ*m ψn dV = Lnδmn .
(3.27)
В силу ортогональности собственных функций ψm и ψn величина δmn = 0 ,
если m ≠ n , и равна 1 при m = n . Таким образом, оператор L в своем собственном представлении изображается матрицей вида
L1 0 0…
0 L2 0…
L = 0 0 L3 … .
…………
…………
(3.28)
Как видно, отличными от нуля являются лишь диагональные элементы
матрицы, причем эти элементы равны собственным значениям оператора L .
3.7 Расчет средних и точных значений физических величин
при использовании операторов в матричной форме
Пусть F есть физическая величина, средним значением которой мы сейчас интересуемся. Пусть рассматриваемое нами состояние характеризуется
волновой функцией ψ. Тогда
F = ψ* FˆψdV .
ср
∫
Перейдем теперь от Х-представления к некоторому другому, например к
E-распределению. Для этого мы должны разложить ψ по собственным функциям ψn оператора энергии
ψ = ∑Сn ψ n ,
55
причем совокупность Сn дает нам вектор |ψ> в Е-представлении:
C1
C2
C3
| ψ >= . .
.
.
.
Подставляя выражение для ψ под знак интеграла, получим:
F =
C * ψ* Fˆ C ψ dV =
C * C ψ* Fˆ ψ dV
ср
∫∑
m
m
∑
m
n
∑∑
n
n
m
m
n
n
∫
m
n
Fmn
или
Fср = ∑∑Cm* FmnСn .
m
(3.29)
n
Это и есть окончательная формула для вычисления средних значений F в
произвольном (энергетическом) представлении. Ее можно переписать еще в одной форме. Просуммируем по n
F C = Fˆ | ψ > ,
∑
mn
n
{
}
n
{
}
где Fˆ | ψ >
m
m
есть элемент матрицы Fˆ | ψ > .
В результате
∑Cm* ∑FmnCn =< ψ | F | ψ > ,
m
n
и окончательно
Fср =< ψ | F | ψ > .
(3.30)
Эта форма записи годна для любого представления. Сравнивая (3.30) и
(3.12), получим
(3.31)
< ψ | F | ψ >= ∫ψ* Fˆ ψdV .
Если, в частности, положить F = 1, то будет
< ψ | ψ >= ∫ψ*ψdV .
(3.32)
Вообще скалярное произведение φ и ψ можно записать в виде
< φ | ψ >= ∫φ*ψdV .
(3.33)
56
Рассмотрим теперь способ определения точных значений физической величины F. Мы должны решить уравнение
Fˆψ = Fψ.
(3.34)
Или, переходя к произвольному представлению,
Fˆ ψ >= F ψ > .
(3.35)
Расписывая это равенство в явном виде, получим:
F11C1 + F12C2 + F13C3 + … = FC1
F C + F C + F C + … = FC
22 2
23 3
2
21 1
…………………………………… .
F C + F C + F C + … = FC
k2 2
k3 3
k
k1 1
……………………………………
(3.36)
Это есть однородная система алгебраических уравнений.
Известно, что ее решение отлично от нуля только в одном случае, когда
определитель системы равен нулю, т. е. должно быть
F11 − F , F12 , F13 ,………
F21 , F22 − F , F23 ,………
= 0.
F31 , F32 , F22 − F ,………
………………………………
(3.37)
Равенство (3.37) представляет собой алгебраическое уравнение относительно неизвестных нам точных значений физической величины L. Раскрывая
определитель в (3.37), можно выписать это уравнение в полном виде. Оно
называется секулярным уравнением. Решая секулярное уравнение, мы получим
точные значения F, а подставляя затем найденные F в (3.36), получим уравнение для определения собственных функций ||Ci||.
В полученном результате состоит основной смысл перехода от
Х-представления к некоторому другому представлению. Если при отыскании
точных значений F в Х-представлении нам необходимо было бы решать дифференциальное уравнение (3.34), то при переходе к произвольному представлению отыскание F сводится к решению алгебраического уравнения (3.37), что,
очевидно, является более простой задачей.
·························
Пример · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
В некотором представлении оператор энергии Ĥ частицы имеет вид
57
Hˆ =
0
2i
− 2i
1
.
Определить точные значения энергии Е.
Решение.
Для отыскания E по правилу (3.37) составляем секулярное уравнение:
0−Е
2i
− 2i 1 − Е
= 0.
Раскрывая определитель, получим для E квадратное уравнение:
Е 2 − Е − 2 = 0.
Откуда
1
1
1 3
±
+2= ± .
2
4
2 2
Как видно, частица имеет два энергетических уровня:
Е=
Е1 = 2,
Е2 = −1.
·······································································
Как уже говорилось выше, простейшим примером ансамбля может служить ряд тождественных микроскопических объектов, каждый из которых описывается одной и той же волновой функцией ψ. Такой ансамбль называется ансамблем чистых состояний.
·····························································
В качестве другого примера можно рассмотреть совокупность тождественных М-систем, находящихся при одной и той
же температуре Т. Начальные условия в этом ансамбле могут
быть любыми. Независимо от них ансамбль будет стремиться к
некоторому стационарному состоянию, определяемому лишь типом системы и температурой Т. Этот конечный ансамбль называется термостатированным ансамблем.
·····························································
Термостатированный ансамбль является примером ансамбля, находящегося в состоянии равновесия. Однако если резко изменить температуру термостата от T до Т ′ , равновесие нарушится и система будет стремиться к некоторому новому состоянию равновесия, определяемому новой температурой Т ′ .
Этот переход ансамбля из одного состояния равновесия в другое называется
релаксацией. Вообще ансамбли, находящиеся в состоянии релаксации, называ-
58
ются неравновесными, они также используются для построения квантовых
устройств.
Исходя из изложенного, можно сформулировать основные задачи, подлежащие решению.
1. Найти величину, которую можно принять за характеристику статических свойств М-систем. Иначе говоря, необходимо найти величину,
играющую для М-систем ту же роль, что и волновая функция ψ при
рассмотрении μ-систем.
2. Найти методику расчета поведения М-систем как в состоянии равновесия, так и в состоянии релаксации. Иначе говоря, нам нужно установить правило вычисления физических величин, характеризующих
М-систему как в состоянии равновесия, так и при релаксации.
Сразу оговоримся, что при рассмотрении второй задачи мы ограничимся
лишь чисто феноменологическим её решением.
3.8 Смешанный ансамбль и матрица плотности
Чтобы найти способ описания сложных ансамблей, начнем с простого
случая и, далее, будем усложнять его.
Пусть мы имеем ансамбль, каждый из элементов которого представляет
изолированную систему. В качестве такого элемента могут выступать атом или
молекула либо некоторая совокупность взаимодействующих атомов или молекул. Поскольку любой из элементов изолирован, он может быть описан некоторой волновой функцией φ( x, t ) , зависящей от координат и времени (под х будем понимать совокупность координат всех частиц, входящих в данный элемент).
Если волновые функции φ всех элементов ансамбля одинаковы, то, очевидно, мы имеем дело с ансамблем чистых состояний. Среднее значение любой
физической величины F можно тогда найти по полученной ранее общей формуле
F =< φ Fˆ φ > .
ср
Имея два или более чистых ансамбля, можно образовать более сложный
ансамбль. Допустим, что в первом ансамбле чистых состояний с волновой
функцией φ1 имеется N1 элементов и во втором ансамбле с волновой функцией φ2 число элементов равно N2.
59
Помещая эти два ансамбля рядом, мы получим более сложный ансамбль
из N1 + N 2 элементов (рис. 3.3). Такой ансамбль называется смешанным.
N
φ1 ,φ1,φ1 ,…φ 2 ,φ 2 ,φ2 ,…
N1
N2
Рис. 3.3 – Смешанный ансамбль, состоящий из двух чистых
Как найти среднее значение физической величины F в смешанном ансамбле? Можно поступать следующим образом. Измеряя F у некоторого конкретного элемента ансамбля, мы произведем измерение либо над элементом с волновой функцией φ1, либо над элементом с волновой функцией φ2. Группируя
все измерения, которые были выполнены над элементами с волновой функцией φ1, можно найти их среднее:
F =< φ Fˆ φ > .
1
1
1
Аналогично для второй группы измерений среднее F будет
F =< φ Fˆ φ > .
2
2
2
Среднее по всему ансамблю, очевидно, будет равно сумме произведений
Fi на вероятности измерения в i-й группе Wi. Эта последняя есть просто отношение числа элементов в i-й группе к полному числу элементов в ансамбле N,
т. е.
Fср = FW
1 1 + F2W2
(3.38)
и
Ni
.
(3.39)
N
Аналогичным образом может быть найдено среднее значение F для смешанного ансамбля, включающего в себя любое число чистых ансамблей.
В этом общем случае формула (3.38) заменяется соотношением
Wi =
Fcp = ∑Wm Fm ,
(3.40)
m
где сумма содержит столько слагаемых, сколько чистых ансамблей использовано для построения смешанного ансамбля.
Смешанный ансамбль является более общим, чем ансамбль чистых состояний. Чтобы его образовать, необходима не одна, а целый набор волновых
60
функций. Можно строго показать, что описание смешанного ансамбля единственной волновой функцией невозможно.
Формулу (3.40) для Fcp удобно переписать в другой форме. Для этого
представим волновые функции φm в виде матриц
am1
am 2
am3
| φ m >= am 4 ≡ amk
.
.
.
и подставим эти матрицы в выражение для среднего значения Fm. Тогда получим (см. формулу (3.29)):
*
Fm = ∑amn
Fnk amk ,
(3.41)
n.k
где Fnk – матричные элементы оператора F̂ . Подставляя (3.41) в (3.40) и изменяя порядок суммирования, найдем
*
Fср = ∑Fnk ∑Wm amn
amk .
n.k
(3.42)
m
Введем обозначение
*
ρ kn = ∑Wm amk amn
.
(3.43)
m
·····························································
Величины ρkn образуют квадратную матрицу, называемую
матрицей плотности. Тогда
Fср = ∑∑Fnk ρ kn .
n
(3.44)
k
·····························································
Величины (3.44) можно записать в еще более компактном виде. Для этого
заметим, что сумма по k произведений Fnk ρ kn есть диагональный nn-й матричный элемент матрицы, равной произведению ( Fˆ ρ̂) . Тогда (3.44) примет вид:
ˆ
Fcp = ∑( Fˆρ).
n
Сумма диагональных элементов любой матрицы Â называется следом
(шпуром) этой матрицы, обозначается как SpAˆ , т. е. по определению
61
SpAˆ = ∑Ann .
n
Используя это определение, окончательно находим
F = Sp ( Fˆ ρ̂ ).
cp
(3.45)
·····························································
Соотношение (3.45) – одно из важнейших в статической физике. Оно утверждает, что среднее значение любой величины, характеризующей смешанный ансамбль, можно вычислить, если известна матрица плотности этого ансамбля. Таким образом, матрица
плотности полностью определяет статические свойства ансамбля.
В этом смысле можно утверждать, что для смешанных ансамблей
матрица плотности играет ту же роль, что и волновая функция ψ
для чистых ансамблей.
·····························································
Каков физический смысл матрицы плотности? Проще всего его установить для диагональных элементов ρnn . Из (3.43) имеем:
2
ρ nn = ∑ amn Wm .
m
Предположим, что мы работаем в энергетическом представлении. Тогда
| amn |2 есть вероятность того, что система с φm волновой функцией находится на
энергетическом уровне Еn. Суммирование по m усредняет эту вероятность по
всему ансамблю. В результате можно утверждать, что диагональный элемент
ρnn матрицы плотности дает среднюю по ансамблю вероятность нахождения
системы на уровне с энергией Еn. Эта вероятность, с другой стороны, может
быть подсчитана как отношение числа системы Nn на n-м энергетическом
уровне к полному числу систем в ансамбле, т. е.
N
ρ nn = n .
(3.46)
N
Как видно, диагональные элементы матрицы плотности определяют распределение частиц по энергетическим уровням. Так, например, если в системе
частиц с тремя энергетическими уровнями величина ρ11 = 0,5 ; ρ 22 = 0,3 ;
ρ33 = 0,2 , то можно утверждать, что на уровне с энергией Е2 – 30% частиц и на
уровне с энергией Е3 – 20%.
Как из формулы (3.45), так и из соотношения (3.46) следует одно важное
свойство матрицы:
62
Spρ̂ = 1.
(3.47)
В самом деле, полагая в (3.45) F ≡ 1, из (3.45) получим (3.47).
С другой стороны,
Spρˆ = ∑ρ nn = ∑
n
n
Nn 1
=
N
N
∑N n = 1,
n
что следует из определения (3.46). Равенство Spρ̂ = 1 означает, что нахождение
частицы где-либо в системе энергетических уровней Еn есть достоверное событие и вероятность его равна 1.
В недиагональные матричные элементы ρnk входят величины аmk и amn,
относящиеся к различным состояниям. Поэтому обнаружить физический смысл
этих элементов не так просто, как для ρnn. Тем не менее недиагональные элементы ρ̂ также требуются для отыскания физических величин. Далее мы увидим, что средние по ансамблю некоторых физических величин (например,
электрический дипольный момент) прямо пропорциональны недиагональным
элементам ρnk.
В заключение следует отметить, что матрица плотности – одна из наиболее важных величин в теории квантовых устройств как СВЧ, так и оптического
диапазона волн.
3.9 Уравнение движения для матрицы плотности
смешанного ансамбля
Запишем матричный элемент матрицы плотности:
*
ρ kn = ∑Wm amk amn
.
m
Продиффиренцируем его по времени:
* damk
dρ kn
da*
= ∑Wm amn
+ amk mn .
dt
dt
dt
m
(3.48)
*
damk
damn
Производные
и
в (3.48) исключим, используя уравнение Шреdt
dt
дингера
d | Ψm >
Hˆ | Ψ m > = iℏ
–
dt
или расписывая в явном виде:
da
(3.49)
iℏ mk = ∑H ks ams .
dt
s
63
Заменив индекс k на n и взяв комплексное сопряжение, получим
*
damn
* *
−iℏ
= ∑H ns
ams .
dt
s
(3.50)
*
Но оператор Ĥ самосопряженный, т. е. H ns
= H sn .
Тогда из (3.48), используя (3.49) и (3.50), получим
dρ
iℏ kn = ∑ ( H ks ρ sn − ρ ks H sn ) .
dt
s
(3.51)
И, наконец, заметим, что
•
∑ H ksρ sn
– матричный элемент kn произведения матриц Hˆ ρ̂ ;
s
•
∑ ρ ks H sn
– матричный элемент kn произведения матриц ρ̂Ĥ .
s
Обобщим этот вывод и получим:
dρˆ
iℏ = Hˆ ρˆ − ρ̂Hˆ .
(3.52)
dt
Выражение справа – это коммутатор. Тогда
dρˆ i
= ρˆ Hˆ .
(3.53)
dt ℏ
Самый простой случай матрицы плотности – матрица плотности, не зависящая от времени:
dρˆ
=0
=> ρ̂Hˆ = 0.
dt
В стационарном состоянии в энергетическом представлении Ĥ и ρ̂ описываются диагональными матрицами:
ρkn = f ( En )δkn ;
H kn = Enδkn .
3.10 Термостатированный ансамбль
Рассмотрим систему частиц, находящихся при температуре T0.
Кристалл рубина, представляющий собой кристаллическую матрицу
Al2O3 (корунд), в котором небольшая часть ионов Al (~3 ·10-4 от полного числа)
замещена ионами Cr3+ (Al2O3 : Cr3+). Весь объем кристалла можно разбить на
части, в каждой из которой находится один ион Cr3+. Окружающая его решетка
играет роль термостата, поддерживающего температуру T0. Такая система частиц (Cr3+) является термостатированным ансамблем.
64
·····························································
Если систему вывести из состояния равновесия, то распределение частиц по уровням энергии будет отличаться от больцмановского. Однако после прекращения воздействия она будет стремиться к прежнему равновесному состоянию, определяемому температурой T0. Такой переход системы частиц из неравновесного
состояния в равновесное называется релаксацией [7].
·····························································
В состоянии теплового равновесия структура матрицы плотности термостатированного ансамбля такая же, как и у смешанного ансамбля. В энергетическом представлении эта матрица является диагональной. То есть ρekn = ρennδkn ,
здесь e означает тепловое равновесие.
N ne
=
.
N
С другой стороны, распределение по энергиям систем в равновесии подρenn
чиняется закону Больцмана:
N ne
~e
−
En
kT
.
Но Nne должно быть пропорционально количеству различных состояний
системы, обладающих энергией En. Обозначим его gn – кратность вырождения. Значит
N ne
= Cg ne
−
En
kT .
(3.54)
Константу C можно найти из условия, что
∑Nn = N , где
N – полное
число систем.
C ∑g n e
−
En
kT
= N.
n
N
C=
∑ ng n e
−
En
kT
.
(3.55)
.
(3.56)
И окончательно
ρenn =
g ne
−
En
kT
∑ ng n e
−
En
kT
65
Это выражение дает вероятность нахождения системы на энергетическом
уровне En. Этот уровень включает в себя gn одинаковых по энергии подуровней.
Распределение систем по подуровням равновероятно. Следовательно
e
ρ ess =
−
Es
kT
∑ ng n e
−
En
kT
.
(3.57)
Вероятность ρess нахождения на s-м подуровне в gn раз меньше ρenn , где
Es = En .
Зная матрицу плотности можно вычислить среднее значение любой физической величины для ансамбля в тепловом равновесии:
∑
Fср = Sp Fˆρ̂e = ∑Fs ,k ρ eks = ∑Fssρess = s
( )
s ,k
s
−
Es
kT
−
En
kT
Fss e
∑ ng n e
.
(3.58)
Для вычисления Fср достаточно знать положение энергетических уровней
системы и диагональные элементы оператора F̂ в E-представлении.
При релаксации система частиц обменивается энергией с термостатом.
При таком обмене не происходит излучения или поглощения электромагнитного поля. Такие переходы называют безызлучательными или тепловыми.
3.11 Описание релаксации
Если термостатированный ансамбль вывести из состояния темодинамического равновесия, то он с течением времени будет переходить опять в равновесное состояние.
Однако уравнение
dρˆ i
= ρˆ Hˆ
(3.59)
dt ℏ
не может быть использовано для описания процессов релаксации. Покажем это.
i
i
(3.60)
ρɺ kn = ρˆ Hˆ = ∑(ρ km H mn − H kmρ mn ).
kn
ℏ
ℏ m
Для ρkn в энергетическом представлении имеем
Тогда
H mn = 0, m ≠ n;
H km = 0, k ≠ m.
H mn = En , m = n;
H km = Ek , m = k .
66
i
i
i
ρɺ kn = (ρ kn En − Ek ρ kn ) = ρ kn ( En − Ek ) = − ( Ek − En )ρ kn .
ℏ
ℏ
ℏ
E − En
= ωkn , получим
Обозначим k
ℏ
ρɺ kn + iωknρ kn = 0.
(3.61)
Запишем это уравнение отдельно для диагональных и недиагональных
элементов:
ρɺ nn = 0, => ρ nn = const.
(3.62)
ρɺ kn + iωknρkn = 0, => ρ kn = Ckne−iωknt .
(3.63)
Из решения уравнения (3.61) следует, что модуль ρkn = Ckn = const и от
времени не зависит. То есть система, выведенная из состояния равновесия, обратно в состояние теплового равновесия не приходит. Однако эксперимент показывет, что при приближении системы к состоянию равновесия все недиагональные элементы матрицы плотности стремятся к нулю. Это связано с тем, что
рассматриваемые микросистемы взаимодействуют с термостатом. Для того
чтобы согласовать уравнение с экспериментом, необходимо ввести в уравнение
дополнительный член, ответственный за взаимодействие с термостатом.
Члены, ответственные
dρˆ i
= ρˆ Hˆ +
.
за
взаимодействие
с
термос
т
а
то
м
dt ℏ
ρkn
Учтем действие термостата феноменологически. Опыт показывает, что
стремится к нулю по экспоненциальному закону. Это можно учесть добав-
лением слагаемого ρ kn /τ kn в уравнение (3.63):
ρɺ kn +
ρ kn
+ iω knρ kn = 0,
τ kn
(3.64)
где τ kn – время релаксации, определяемое из эксперимента. Решение уравнения
(3.64) запишем в виде:
ρ kn (t ) = Ckn e
Причем ρ kn = Ckn e
−
t
τ kn
−
t
τ kn − iωknt
e
.
. За время τ kn элементы матрицы плотности по мо-
дулю уменьшаются в e раз. Числа τ kn образуют квадратную матрицу, ввиду самосопряженности матрицы плотности ρ̂ :
τ kn = τ nk .
(3.65)
67
Обратимся теперь к уравнению (3.62). Примем, что действие термостата
состоит в индуцировании переходов между различными состояниями системы.
Пусть Γ kn – вероятность перехода под действием термостата для одной частицы в единицу времени с уровня k, характеризуемого энергией Ek, на уровень с
энергией En. Тогда относительное число систем, совершающих переход с уровня k на уровень n, будет равно Γ knρ kk . Здесь ρkk относительное число частиц на
уровне k. Общее относительное число частиц, перешедшее в единицу времени с
уровня k на все n-е уровни, будет равно
∑Γ knρkk .
n
Число частиц, приходящих на k-й уровень, равно
∑Γ nk ρ nn . В результате
n
для скорости изменения числа частиц на уровне k получаем:
dρ kk
= ∑ ( Γ nk ρ nn − Γ knρ kk ) .
dt
n
(3.66)
Это уравнение и является искомым уравнением и обобщает соотношение
(3.60) на случай системы, взаимодействующей с термостатом. В частном случае
термодинамического равновесия ρ̂ = ρ̂e и не зависит от времени. Поэтому сумма в правой части уравнения (3.66) равна нулю. Обычно постулируется, что в
этой сумме равно нулю каждое слагаемое:
Γ nk ρenn = Γ knρekk .
(3.67)
Это равенство выражает принцип детального равновесия и ограничивает
возможные значения Γ nk . При учете только тепловых переходов ρenn и ρekk могут быть найдены из закона Больцмана:
ρenn =
g ne
−
En
kT
∑ ng n e
E
g n Γ nk exp − n
kT
−
En
kT
;
Ek
= g k Γ kn exp −
kT
;
gk
E − Ek
Γkn exp n
(3.68)
.
gn
kT
Таким образом, вероятность тепловых (или безызлучательных) переходов
сверху вниз всегда больше, чем для перехода снизу вверх.
Γnk =
68
3.12 Общее уравнение для матрицы плотности
Рассмотрим теперь более сложный случай термостатированного ансамбля, элементы которого взаимодействуют и с внешним высокочастотным полем. В этом случае гамильтониан Ĥ может быть представлен в виде суммы:
Hˆ = Hˆ 0 + Vˆ ,
(3.69)
где Ĥ0 – гамильтониан системы в отсутствие поля и V̂ – оператор энергии взаимодействия с внешним полем. Общее уравнение движения для матрицы плотности может быть представлено в виде
Члены, ответственные
dρˆ i
i
ˆ Hˆ 0 + ρ,
ˆ Vˆ +
= ρ,
ℏ
за взаимодействие с термостатом .
dt ℏ
(3.70)
Распишем это уравнение отдельно для диагональных и недиагональных
элементов:
dρ mm
i
(3.71)
= ∑ ( ρ nn Γ nm − ρ mm Γ mn ) + ∑ ( ρ msVsm − Vms ρ sm ) ,
dt
ℏ
n≠m
s
dρ mn ρ mn
i
+
+ iω mnρ mn = ∑(ρ msVsm − Vms ρ sm ),
dt
τ mn
ℏ s
(3.72)
Γnk ρenn = Γ knρekk ,
(3.73)
τ nm = τ mn ,
(3.74)
Spρ̂ = 1.
(3.75)
Система уравнений (3.71)–(3.75) является основой для рассмотрения работы квантовых устройств. Все основные характеристики квантовых усилителей и генераторов могут быть найдены при совместном решении этой системы
с системой уравнений Максвелла [7].
·····························································
Контрольные вопросы по главе 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
·····························································
Какое состояние называется основным? Какое возбужденным?
Поясните значение квантовых чисел n, l, ml, ms, s.
Напишите нормальную электронную конфигурацию для атома натрия.
Что такое адиабатическое и одноэлектронное приближение?
Запишите уравнение Шредингера для стационарных состояний.
Какие спектры испускания характерны для атомов? Для молекул? Для
твердых тел?
69
7. Дайте определение населенности энергетического уровня.
8. Перечислите все типы оптических переходов.
9. Чем определяется вероятность спонтанного перехода?
10. Чем определяется вероятность вынужденного перехода?
11. При каких условиях среда поглощает проходящий свет, а при каких
усиливает его?
12. В чем заключается принцип квантового усиления света?
13. Что такое чистый ансамбль? Что такое смешанный ансамбль?
14. Опишите свойства операторов, используемых в квантовой физике.
15. Что называется вектором состояния? Что называется совектором состояния?
16. Как записать оператор в произвольном состоянии?
17. Что представляет собой оператор в собственном состоянии?
18. Запишите формулу для вычисления средних значений физической величины в произвольном представлении.
19. Укажите способ определения точных значений физической величины.
20. Запишите выражение для матрицы плотности.
21. Как определить среднее значение физической величины для смешанного ансамбля, зная матрицу плотности?
22. Чему равен шпур матрицы плотности?
23. Запишите уравнение движения для матрицы плотности.
24. Дайте определение термостатированного ансамбля.
25. Запишите принцип детального равновесия. Какие тепловые переходы
более вероятны: сверху вниз или снизу вверх?
26. Запишите общее уравнение для матрицы плотности.
70
4 Взаимодействие электромагнитного излучения
с веществом
4.1 Электрические и магнитные дипольные моменты
и энергия взаимодействия микрочастиц с внешним полем
Рассмотрим взаимодействие электромагнитного поля с элементами вещества – атомами, молекулами или ионами. Такое взаимодействие возможно благодаря наличию у них дипольных, квадрупольных и мультипольных электрических и магнитных моментов. Для нейтрального атома, содержащего ядро и отрицательно заряженный электрон, дипольный момент равен:
p = er ,
(4.1)
где r – радиус-вектор, соединяющий ядро с электроном, e – элементарный
электрический заряд. Для более сложного атома полный дипольный момент
может быть получен как векторная сумма частных моментов.
Если рассматриваемый атом находится во внешнем поле с электрической
напряженностью E , то энергия взаимодействия диполя с полем равна:
V = − p ⋅ E.
(4.2)
При квантовомеханическом рассмотрении величины p , r и E нужно заменить операторами. Мы будем пользоваться полуклассическим приближением,
когда поле рассматривается классически (не квантуется):
⌢
⌢
V = − p ⋅ E,
(4.3)
⌢
⌢
где p = er – оператор электродипольного момента. В энергетическом пред⌢
ставлении p изображается матрицей с элементами:
⌢
(4.4)
pmn = ∫ ψ*merψ n dV ,
V
где ψm (r , t ) – собственные функции оператора энергии.
Обычно функции ψm , входящие в (4.4), обладают определенной четностью, то есть каждая из этих функций либо четная, либо нечетная функция координат. Тогда при m = n произведение ψ*m ψm = ψm
2
является четной функци-
ей, а ψ*m rψ m – нечетная функция. Поэтому диагональные матричные элементы
оператора электродипольного момента равны нулю:
71
pmm = 0.
(4.5)
Кроме того, те pmn , которые соответствуют состояниям с одинаковой
четностью, также равны нулю. Это означает, что электродипольные переходы
между состояниями с одинаковой четностью запрещены.
Если атом (частица) обладает магнитным моментом µ , то он также будет
взаимодействовать с электромагнитным полем:
⌢
⌢
V = −µ ⋅ H –
(4.6)
за счет составляющей H .
pmn
Самым сильным является электродипольное взаимодействие. Если же
= 0 , то следует учесть магнитодипольное взаимодействие. При pmn = 0 и
µ mn = 0 взаимодействие частицы с полем является слабым и осуществляется за
счет квадрупольных и мультипольных электрических моментов.
4.2 Двухуровневая система микрочастиц во внешнем поле.
Основные уравнения. Вероятности индуцированных переходов
Рассмотрим ансамбль микрочастиц, находящихся во внешнем электромагнитном поле. Полагаем, что у данных частиц имеется пара энергетических
уровней 1 и 2, расстояние между которыми E2 − E1 = ℏω21 соответствует частоте ω21 ≅ ω , близкой к частоте приложенного поля ω. Тогда наличием всех прочих уровней можно пренебречь и рассматривать данную систему как двухуровневую.
Нас интересует мощность P, поглощаемая веществом, которая, как было
показано ранее, равна:
P = ℏωW ( N1 − N 2 ).
(4.7)
Здесь нам неизвестны как вероятность индуцированных переходов, так и
населенности уровней N1 и N2. Последние можно выразить через диагональные
элементы матрицы плотности: Nk = ρkk N , где N – полное число частиц. Таким
образом, расчет поглощаемой мощности связан с решением уравнений для мат⌢
рицы плотности. В случае двухуровневой системы общие уравнения для ρ существенно упрощаются. Найдем вначале матричные элементы оператора энергии взаимодействия микрочастицы с полем:
V11 = − p11 ⋅ E = 0, V22 = − p22 ⋅ E = 0,
V12 = − p12 ⋅ E , V21 = − p21 ⋅ E.
(4.8)
72
С учетом этого запишем уравнения для матричных элементов ρ11 и ρ12 :
dρ11
i
= Γ 21ρ 22 − Γ12ρ11 + ( ρ12V21 − V12ρ 21 ) ;
dt
ℏ
dρ12 ρ12
i
+
− iω21ρ12 = ( ρ11V12 − V12ρ22 ) ,
dt
τ
ℏ
где учтено: τ12 = τ 21 = τ .
(4.9)
(4.10)
Уравнения (4.9) и (4.10) содержат 4 неизвестных, ρ11 , ρ22 , ρ12 и ρ 21 . Поэтому к ним нужно добавить еще 2 уравнения. В качестве таковых можно ис⌢
пользовать общее соотношение, Spρ = 1 , которое в данном случае имеет вид:
ρ11 + ρ22 = 1,
(4.11)
*
ρ12
= ρ21
(4.12)
⌢
и учесть условие самосопряженности матрицы ρ :
Система уравнений (4.9)–(4.12) позволяет определить все элементы матрицы плотности.
Для ее решения выпишем в явном виде значения Vik . Для поля
E(t ) = Em cos(ωt ) имеем:
p12 ⋅ Em
(4.13)
[exp(iωt ) + exp(−iωt )].
2
Входящая в уравнение (4.10) вынуждающая сила в этом случае содержит
две составляющие, пропорциональные exp(iωt ) и exp(−iωt ) . Поскольку собV12 = −
ственные колебания системы, определяемые левой частью (однородным уравнением), происходят по закону exp( − t τ)exp(iω21t ) , то основной вклад в решение даст «резонансное» слагаемое в (4.13), пропорциональное exp(iωt ) :
p12 ⋅ Em
exp(iωt ).
2
Из условия самосопряженности находим:
V12 ≅ −
V21 = V12*
*
p12
⋅ Em
exp(−iωt ).
=−
2
(4.14)
(4.15)
m
m
Отыскивая решение в виде ρ12 = ρ12
exp(iωt ) , где ρ12
– медленно меняю-
щаяся функция времени, так что ее производной можно пренебречь, из (4.10)
находим:
m
ρ12
=−
(i ℏ)( p12 ⋅ Em 2)
(ρ11 − ρ 22 ).
1 τ + i (ω − ω21 )
(4.16)
73
Учитывая соотношение
[ (− i
ℏ)V12ρ 21 ] = [ (i ℏ)V21ρ12 ] , найдем последний
*
член в правой части уравнения (4.9):
2
i
1 p12 ⋅ Em
1
1
(ρ12V21 − V12ρ 21 ) = −
+
(ρ11 − ρ 22 ) =
ℏ
4
ℏ
1
τ
(ω
ω
)
1
τ
(ω
ω
)
i
i
+
−
−
−
21
21
=−
(1 / 2τ) ( p12 ⋅ Em ) ℏ
1 / τ 2 + (ω − ω21 )2
2
(ρ11 − ρ 22 ).
Подставляя это выражение в (4.9) и вводя обозначения:
2
W=
Λ / (2τ)
1/ τ2 + (ω − ω21 )
, Λ=
2
p12 ⋅ Em
,
ℏ
(4.17)
окончательно получаем:
dρ11
= (Γ 21 + W )ρ 22 − (Γ12 + W )ρ11.
(4.18)
dt
Рассмотрим физический смысл членов, входящих в данное уравнение.
В левой части определяется относительная скорость изменения числа частиц на
нижнем уровне с энергией E1. Первый член в правой части характеризует приток частиц на данный уровень. Тепловые (безизлучательные) переходы имеют
вероятность Γ21 , а величина W определяет, очевидно, вероятность индуцированного перехода одной частицы в единицу времени. Второе слагаемое в правой
части (4.18), характеризующее отток частиц с уровня 1, показывает, что вероятности индуцированного перехода сверху вниз и снизу вверх одинаковы, и в
случае двухуровневой системы частиц определяются формулами (4.17) [7].
Определим мощность, поглощаемую двухуровневой системой, для стационарного случая, когда dρ11 dt = dρ 22 dt = 0 . Из (4.18) получаем:
(Γ 21 + W )ρ 22 − (Γ12 + W )ρ11 = 0.
(4.19)
Используя соотношение ρ11 + ρ22 = 1 , находим:
ρ11 =
Γ 21 + W
Γ12 + W
, ρ 22 =
;
Γ 21 + Γ12 + 2W
Γ 21 + Γ12 + 2W
ρ11 − ρ 22 =
Γ 21 − Γ12
.
Γ 21 + Γ12 + 2W
(4.20)
(4.21)
Но Γ12 и Γ 21 не являются независимыми, а связаны уравнением детального равновесия:
e
Γ12ρ11
= Γ 21ρe22 .
Переписывая уравнение детального равновесия в виде:
74
e
ρ11
ρe22
=
= T1 ,
Γ 21 Γ12
(4.22)
где величина T1 имеет размерность времени и характеризует скорость релаксации за счет взаимодействия с термостатом, вместо (4.21) можно получить:
1
e
(4.23)
− ρ e22 ).
ρ11 − ρ 22 =
(ρ11
1 + 2WT1
Таким образом, поглощаемая двухуровневой системой мощность может
быть найдена в виде:
W
e
(ρ11
P = ℏω 21W ( N1 − N 2 ) = ℏω 21WN (ρ11 − ρ 22 ) = ℏω 21 N
− ρ e22 ). (4.24)
1 + 2WT1
4.3 Анализ поглощения электромагнитного поля
двухуровневой системой. Эффект насыщения
Применим общее выражение (4.24) для анализа двух предельных случаев.
1. Слабое поле, вероятность индуцированного перехода W << 1 / T1 . Тогда
слагаемым 2WT1 в знаменателе можно пренебречь. Подставляя в (4.24) для этого случая W из формулы (4.17), получаем:
P = ℏω21N
(
e
ρ11
− ρe22
) 1/τ
2
Λ /(2τ)
2
+ (ω − ω21 )2
.
(4.25)
Отсюда видно, что мощность, поглощаемая от поля веществом, пропорциональна квадрату напряженности внешнего поля, а значит, пропорциональна
его мощности. Такая связь характерна для линейной электродинамики, когда
параметры среды не зависят от величины поля.
Частотная зависимость поглощаемой мощности описывается функцией
1/(πτ)
(4.26)
g (ω) = 2
,
1/τ + (ω − ω 21 ) 2
называемой кривой Лоренца, совпадающей по виду с резонансной кривой простого колебательного контура (рис. 4.1). Максимум поглощения достигается
при частоте внешнего поля ω = ω 21 . Полуширина кривой ∆ω по уровню 0,5
равна ∆ω = 1/τ . Отсюда следует, что время релаксации τ можно определить
экспериментально, если снять частотную зависимость поглощаемой мощности.
2. Сильное поле, вероятность индуцированного перехода W сравнима с
вероятностью переходов под действием термостата 1/T1. В этом случае из (4.24)
и (4.17) получаем:
75
e
P = ℏω21 N (ρ11
− ρ e22 )
1 2
Λ
2τ
1
T1 2
2
(ω
ω
)
+
−
+
Λ
21
τ
τ2
.
(4.27)
Рис. 4.1 – Частотная зависимость поглощаемой мощности
Отсюда видно, что связь между мощностями внешнего поля и поглощае2
мой веществом нелинейна. Когда внешнее поле очень велико ( Λ → ∞) , мощность поглощения не зависит от внешнего поля и равна:
1
e
Psat = ℏω 21 N (ρ11
− ρ e22 )
.
2T1
(4.28)
Величина предельной мощности поглощения определяется скоростью, с
которой энергия передается термостату, 1/T1. График зависимости поглощае2
2
мой мощности от мощности падающего излучения Pinp ~ Em ~ Λ схематично
изображен на рисунке 4.2. Область I на этом рисунке соответствует линейной
электродинамике (слабое поле). В области III поглощенная веществом мощность не зависит от входной мощности. Говорят, что вещество в этой области
просветляется – почти все излучение проходит через образец.
·····························································
Нелинейность зависимости поглощаемой мощности от падающей мощности называют эффектом насыщения.
·····························································
76
Физической причиной насыщения является выравнивание населенностей
уровней ρ11 и ρ22 при увеличении вероятности индуцированных переходов W.
Действительно, из (4.23) получаем:
e
ρ11 − ρ 22 ≅ (ρ11
− ρ e22 )
1
–
2WT1
(4.29)
и видим, что разность населенностей уровней (ρ11 − ρ 22 ) → 0 при WT1 → ∞ .
Рис. 4.2 – Зависимость мощности, поглощаемой веществом,
от входной мощности
4.4 Спонтанные переходы
В п. 4.2 и 4.3 учитывались только индуцированные и тепловые (безызлучательные) переходы. Кроме них существуют спонтанные (самопроизвольные)
переходы с верхнего на нижний уровень. При Em > En имеем:
Amn ≠ 0,
Anm = 0,
(4.30)
где Amn – вероятность спонтанного перехода одной частицы в единицу времени
с m-го на n-й уровень. Следует напомнить, что при спонтанном переходе излучается поле с произвольной фазой, поляризацией и направлением распространения во всем телесном угле. Частотная зависимость мощности спонтанного
излучения определяется функцией g (ω) = (1/πτ)/ 1/τ 2 + (ω − ω 21 ) 2 , где τ = 1/A21 .
Вероятность спонтанного перехода была найдена А. Эйнштейном из анализа
формулы Планка для равновесного излучения абсолютно черного тела в виде (в
системе единиц СГСЕ):
3
8πν 21
A21 = 3 B,
c
(4.31)
77
где B = [(4π 2 ) / (3ℏ 2 )] p12
2
– коэффициент Эйнштейна и ν 21 – частота перехода
в Гц.
Равновесное излучение абсолютно черного тела можно представить как
результат спонтанных переходов 2→1 и вынужденных им переходов 1→2 и
2→1. Плотность вероятности индуцированных переходов под действием немонохроматического
излучения
с
частотой
ω определяется
выражением
W21ω = W12ω = Bρ ω , где ρ ω – спектральная плотность энергии излучения, а
N 2e < N1e в равновесном состоянии. Поэтому для равенства числа переходов
2→1 и 1→2 спонтанные переходы должны обязательно существовать.
3
Отметим, что A21 ~ ν 21
. Поэтому очень велико значение спонтанных пере-
ходов для оптического диапазона. Для безызлучательных переходов вероятность Γmn велика при ℏωmn ~ kT . Это означает, что их роль является определяющей в СВЧ-диапазоне, где Γ mn >> Amn , и мала в оптическом диапазоне, где
Γ mn << Amn .
4.5 Балансные уравнения
Одна из задач квантовой электроники – нахождение распределения числа
частиц по энергетическим уровням. Её строгое решение может быть проведено
на основе общих уравнений для матрицы плотности и электромагнитного поля,
когда учитывается динамика как диагональных, так и недиагональных элементов. Существует приближенный подход, когда используются балансные (кинетические) уравнения для числа частиц на энергетических уровнях. Вспомним в
качестве примера уравнения для двухуровневой схемы:
dρ11
= Γ 21ρ22 − Γ12ρ11 + Wρ22 − Wρ11.
dt
Здесь не учтены спонтанные переходы и наличие других уровней. В общем случае запишем следующее балансное (кинетическое) уравнение:
dN m
= ∑ (Γ nm N n − Γ mn N m ) +
dt
n≠m
(4.32)
+ ∑ Wnm ( N n − N m ) + ∑ ( Anm N n − Amn N m ).
n≠ m
n≠ m
Данная методика, основанная на уравнениях баланса, будет использоваться нами довольно часто при анализе энергетических характеристик лазеров [7].
78
·····························································
Контрольные вопросы по главе 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
·····························································
Напишите оператор энергии взаимодействия атома с внешним полем.
Как изменяется населенность уровня в двухуровневой системе, находящейся во внешнем поле сил?
Запишите выражение для вероятности индуцированного перехода.
Как изменяется мощность, поглощаемая веществом от входной мощности?
С чем связан эффект насыщения?
В каком диапазоне частот велика роль спонтанных переходов?
Запишите балансные уравнения для двухуровневой системы.
79
5 Общие вопросы построения лазеров
5.1 Особенности оптического диапазона
1. В оптическом диапазоне ℏωmn >> kT и населенность верхних уровней
близка к нулю в состоянии термодинамического равновесия:
N me
ℏω
= exp − mn .
e
Nn
kT
Все частицы в равновесном состоянии сосредоточены на нижнем энергетическом уровне, N1e ≈ N .
3
.
2. Велика роль спонтанных переходов, поскольку Amn ~ ν mn
3. Размеры оптических резонаторов существенно превышают длину волны: λ << a, b, L , или λ << a, L , или λ << L , где a, b и L – размеры резонатора по
осям x, y и z соответственно. Это необходимо для обеспечения достаточной
мощности лазеров, которая пропорциональна числу активных частиц в рабочем
веществе, Pout ~ N . В газовых лазерах плотность таких частиц мала, и для достижения заметных мощностей используются резонаторы длиной от нескольких сантиметров до десятков метров. В твердотельных лазерах плотность активных частиц ограничена необходимостью обеспечения узких спектральных
линий примесных ионов, уровни которых расположены в запрещенной зоне.
Концентрация Cr3+ в Al2O3 (рубин), например, не должна превышать
0,05 вес. %. Поэтому типичные размеры активной среды и резонаторов здесь
составляют несколько сантиметров. Некоторые кристаллические матрицы допускают большую концентрацию активных ионов и позволяют реализовать лазеры на микрокристаллах с миллиметровыми размерами.
Очень высока плотность активных частиц (электронов и дырок) в полупроводниках, где используются переходы между зонами. Размер резонатора
полупроводникового лазера может составлять доли миллиметра [7].
5.2 Усиление оптического излучения
Рассмотрим однородную среду, состоящую из N0 микрочастиц, распределенным по двум дискретным энергетическим уровням Ek и En. На такую среду в
направлении оси z падает плоская волна с интенсивностью I вх и частотой
ℏωkn = Ek − En (см. рис. 5.1, а). В каждом элементарном слое dz происходит уве-
80
личение интенсивности волны на величину dIвын вследствие вынужденных переходов Ek – En и ее уменьшение на величину dIпогл за счет обратных переходов
En – Ek . Спонтанное излучение можно исключить из рассмотрения, поскольку,
во-первых, оно не связано с интенсивностью падающей волны и, во-вторых,
равномерно распределяясь по всем направлениям, вносит незначительный
вклад в интенсивность направленного вдоль оси z потока.
Изменение интенсивности излучения по мере прохождения его через слой
dz можно записать в виде:
ℏω
dI = dI вын − dI погл = kn Bkn ( N k − N n g k /g n ) Idz.
(5.1)
c
В естественных условиях в соответствии с распределением Больцмана
всегда N k − N n g k /g n < 0, т. е. распространение излучения в среде обязательно
сопровождается уменьшением его интенсивности. Интегрируя выражение (5.1),
получаем закон Бугера – Ламберта:
I ( z ) = I вх exp(−kz ),
hν kn
Bkn ( N n g k /g n − N k ) – показатель поглощения среды.
c
Для того чтобы среда усиливала падающее на нее излучение (dI ) > 0,
где k =
необходимо, чтобы ( N k − N n g k /g n ) > 0 или в отстутствии вырождения N k > N n .
Другими словами, равновесное распределение населенностей должно быть
нарушено таким образом, чтобы состояния с большей энергией были заселены
сильнее, чем состояния с меньшей энергией.
Среда, находящаяся в неравновесном состоянии, при котором распределение населенностей хотя бы для двух уровней энергии инвертировано (обращено) по отношению к распределению Больцьмана, называется инверсной. Такие среды обладают отрицательным поглощением в соответствии с (5.1) и
называются активными. Коэффициент квантового усиления α = − k часто связывают с величиной ∆N = N k − N n g k /g n , называемой плотностью инверсной
населенности:
ℏωkn
Bkn∆N .
(5.2)
c
При учете потерь излучения за счет поглощения и рассеяния на неоднородностях среды, характеризуемых коэффициентом потерь β, интенсивность
будет нарастать экспоненциально:
α=
81
I ( z) = Iвх exp[ (α − β) z ].
(5.3)
Таким образом, создание инверсной среды (α > 0, Nk > N j ) является необходимым, но не достаточным условием усиления оптического излучения.
Нужно, чтобы коэффициент квантового усиления α превышал коэффициент
потерь β в среде. Коэффициент квантового усиления α зависит как от частоты,
так и от интенсивности излучения. Зависимость α от интенсивности распространяющегося в инверсной среде излучения приводит к эффекту насыщения
усиления, играющему важную роль в приборах квантовой электроники. По мере
возрастания интенсивности вынужденного излучения происходит выравнивание населенностей рабочих уровней, уменьшение плотности инверсии ∆N и,
следовательно, коэффициента α , стремящегося к значению насыщения αнас .
Это обстоятельство ограничивает максимальную величину интенсивности, которая может быть получена в инверсной среде.
5.3 Принцип действия лазера
В основе одного из наиболее распространенных методов генерации незатухающих колебаний, хорошо разработанного в электронике и радиотехнике,
лежит использование усилительного элемента, охваченного положительной обратной связью. В квантовой электронике в качестве усилительного элемента
используется активная среда, а положительную обратную связь обеспечивает
оптический резонатор, образованный в простейшем случае обращенными друг
к другу отражающими поверхностями (зеркалами). Оптическое излучение, которое распространяется в направлении, перпендикулярном к зеркалам резонатора, будет поочередно отражаться от них и усиливаться при каждом проходе
через активную среду. Такие многократные проходы излучения через одну и ту
же среду эквивалентны увеличению ее протяженности и обеспечивают получение больших коэффициентов усиления при относительно малых длинах активной среды (l < lkp ) . Для вывода излучения одно из зеркал делают полупрозрачным. Изменяя коэффициент его отражения, можно регулировать величину обратной связи.
·····························································
Генератор излучения в оптическом диапазоне называется лазером. В соответствии с ГОСТ 15093–75 лазер – это генератор
электромагнитного излучения оптического диапазона, принцип
действия которого основан на использовании вынужденного излу-
82
чения. Структурная схема лазера, представленная на рисунке 5.1,
включает три основных элемента: лазерную активную среду (активную среду), систему накачки и оптический резонатор.
·····························································
Рис. 5.1 – Структурная схема лазера
Приведем еще несколько полезных определений, регламентированных
ГОСТ 15093–75.
·····························································
Среда, в которой создана инверсная населенность хотя бы
для одной пары энергетических уровней и которая способна усиливать излучение на частоте лазерного перехода, называется лазерной активной средой. Квантовые переходы между уровнями с инверсной населенностью называются лазерными переходами.
Процессы, приводящие к возникновению инверсной населенности в активной среде, называются накачкой, а физическая система, обеспечивающая эти процессы, – системой накачки. Вещество, в котором в процессе накачки может быть создана лазерная
активная среда, называется лазерным веществом.
Оптический резонатор – это система отражающих, преломляющих, фокусирующих, дисперсионных и других оптических
элементов, в пространстве между которыми могут возбуждаться определенные типы колебаний электромагнитного поля оптиче-
83
ского диапазона, называемые собственными колебаниями, или модами, резонатора.
·····························································
Естественно, не всякая система «усилительная среда – резонатор» является генератором. Необходимо еще выполнение условия самовозбуждения, смысл
которого для лазера заключается в том, что потери энергии оптического излучения за один проход через активную среду должны быть скомпенсированы
усилением за этот же проход. При этом в общий баланс должны быть включены как потери энергии на излучение, вышедшее за пределы резонатора (полезные потери), так и паразитные потери на рассеяние излучения, его поглощение
в активной среде и зеркалах резонатора.
Определим условие самовозбуждения лазера в общем случае: пусть оптическое излучение распространяется между двумя зеркалами с коэффициентами
отражения r1 и r2 (см. рис. 5.1). Если интенсивность начальной волны у зеркала 1 обозначить как I10, то на основании (5.3) можно определить, как изменится
ее интенсивность за один проход через усилительную среду к зеркалу 2:
I 2 = I10 exp[(α − β)l ] . От зеркала 2 отразится излучение, интенсивность которого
зависит от его коэффициента отражения: I 20 = r2 I 2 . Интенсивность излучения,
вернувшегося к зеркалу 1, определяется аналогично: I1 = I 20 exp[ (α − β)l ] =
′ = r1I1 =
= r2 I10exp [ (α − β)2l ] . Обратно отразится часть излучения, равная I10
= r1r2 I10 exp [ (α − β)2l ] . Очевидно, что излучение будет незатухающим, если
′ или r1r2 exp[ (α − β)2l ] = 1. Отсюда следует условие самовозбуждения лаI10 = I10
зера, которое может быть записано в виде:
1
1
α = β + ln
.
2l r1r2
(5.4)
Из формулы (5.4) следует, что генерация незатухающих колебаний возможна при условии, согласно которому коэффициент квантового усиления превышает суммарный коэффициент потерь в резонаторе и в активной среде.
Поскольку в соответствии с выражением (5.2) α ≅ ∆N , условие самовозбуждения выполняется при достижении некоторой пороговой плотности инверсии ∆Nпор. В этом случае генерация излучения начнется из любого спонтанно излученного кванта, частота которого совпадает с частотой лазерного перехода.
84
Отметим, что принцип квантового усиления отличается от классического,
использующего свойства автоколебательных систем. Усиление в данном случае
достигается в результате суммирования энергий излучения огромного множества идентичных элементарных колебательных систем, в качестве которых используются атомы, ионы или молекулы вещества. Нужные фазовые соотношения при таком суммировании выполняются автоматически за счет физической
природы процессов вынужденного испускания, обеспечивающей когерентность
усиления. Роль свободных колебаний в момент «запуска» играют соответствующие спонтанные переходы. Энергия, необходимая для возбуждения частиц с
целью создания инверсной населенности, поступает от системы накачки.
5.4 Элементарная теория открытых оптических резонаторов
Любой резонатор можно рассматривать как колебательную систему, в которой возможно накопление энергии электромагнитных колебаний. Способность резонатора сохранять накопленную энергию характеризуется величиной
его добротности Q – интегральной характеристикой, определяемой отношением
запасенной резонатором энергии Wзап к энергии, теряемой им за период
Wпот : Q = 2πWзап /Wпот . Например, потери энергии в колебательном контуре –
простейшем электромагнитном резонаторе – складываются из тепловых потерь
в его элементах, пропорциональных
2πν 0 , и потерь на излучение в окружаю-
щее пространство.
Через добротность Q можно выразить другие параметры резонансной системы. Так, спектральная ширина резонансной линии на уровне 0,5 максимальной
интенсивности
равна
∆ν p =ν 0 /Q ,
степень
монохроматичности
∆ν р /ν 0 = Q −1 , а постоянная затухания резонатора τ р , определяющая то время,
за которое плотность энергии в резонаторе уменьшится в е раз, равна
τ р = Q/(2πν 0 ).
·····························································
С увеличением частоты колебаний до 1 ГГц и выше
(λ < 30 см) колебательный контур теряет резонансные свойства в
связи с резким возрастанием потерь на излучение в окружающее
пространство. В этом случае необходимо использовать так называемые объемные резонаторы, представляющие собой замкнутые металлические полости с линейными размерами, кратными λ/2, внутри
85
которых могут возбуждаться электромагнитные колебания определенных длин волн и структуры. Такие колебания называются собственными колебаниями объемного резонатора, или модами.
·····························································
Мода резонатора представляет собой стационарную конфигурацию электромагнитного поля, которая удовлетворяет соответствующим уравнениям
Максвелла и граничным условиям. Спектральная ширина каждой моды ∆νM,
определяемая добротностью резонатора ∆ν M = ν 0 /Q , мала, поскольку в СВЧ
диапазоне Q ≅103 – 104 . Поэтому несложно подобрать такую геометрию объемного резонатора, которая обеспечивает его частотный спектр в виде нескольких
(или единственной) узких спектральных линий, удаленных друг от друга на
значительное расстояние.
Возникает вопрос: можно ли использовать объемные резонаторы в оптическом диапазоне, где λ изменяется от единиц до долей микрометра? Ответ будет отрицательным по нескольким причинам. Если оставить геометрические
размеры резонатора неизменными, то a, b, L намного больше λ и V >> λ3 , что
приведет к резкому увеличению числа одновременно возбуждаемых мод. Одновременно с этим наблюдается и расширение спектральной линии каждой моды. В результате резонансные линии перекрываются, образуя непрерывный
спектр, т. е. резонатор теряет свои резонансные свойства.
Использование объемных резонаторов с размерами a, b, L, примерно равными λ, также невозможно, так как, во-первых, существуют определенные технические трудности изготовления резонаторов столь малых размеров, вовторых, для выполнения условия самовозбуждения потребуется активная среда
с очень большим коэффициентом усиления, к тому же ее малый объем не позволит получить достаточную мощность (энергию) излучения.
·····························································
В настоящее время наибольшее распространение получили
открытые оптические резонаторы, представляющие собой в простейшем случае два зеркала на расстоянии L друг от друга. Между
зеркалами помещается активное вещество. Зеркала могут быть
плоскими и параллельными друг другу, в этом случае имеем так
называемый резонатор Фабри – Перо (рис. 5.2).
Наименьшие потери в этом резонаторе имеют световые волны, распространяющиеся под малыми углами к его оси z. Их супер-
86
позиция и определяет собственные типы колебаний в резонаторе,
или моды резонатора.
·····························································
В общем случае для нахождения резонансных частот и структуры светового поля резонатора расчеты проводятся с использованием уравнений Максвелла и граничных условий или принципа Гюйгенса – Френеля. Однако некоторые важные характеристики можно получить в приближении геометрической
оптики [7].
Рис. 5.2 – Резонатор Фабри – Перо
Будем считать зеркала имеющими большие поперечные размеры a и b по
сравнению с длиной волны, но являющиеся сравнительно малыми относительно расстояния между ними, так что справедливы неравенства a, b << L и
a 2 , b 2 >> λL . Поле в таком резонаторе можно представить в виде суперпозиции
плоских волн с волновыми векторами k , близкими по направлению с осью z.
Резонатор будет поддерживать поле в резонаторе (т. е. обладать минимальными
потерями) для волн, отражающихся от зеркал и распространяющихся в противоположных направлениях точно вдоль его оси, если фаза поля при двукратном
обходе по резонатору изменяется на 2πq :
ωqt2прох = q2π, q = 0,1, 2, …
(5.5)
Учитывая, что t2прох = 2L/c, получаем
πc
c
; ∆f =
.
(5.6)
L
2L
Индекс q = (ωq L)/(πc) = L/(λ/2) характеризует число полуволн, укладыωq = q
πc
;
L
∆ω = ω q − ωq −1 =
вающихся вдоль оси резонатора, и называется продольным (или аксиальным)
индексом. Для L = 1 м и λ = 0,5 мкм имеем: q = 4 ⋅ 106. Спектр резонансных частот для собственных колебаний такого типа, представляющих однородные
стоячие волны в резонаторе Фабри – Перо и относящихся к так называемым
продольным (или аксиальным) модам, является эквидистантным (рис. 5.3) [7].
87
Рис. 5.3 – Спектр продольных мод резонатора Фабри – Перо
Однако использованный подход не учитывает дифракционных явлений,
связанных с конечными поперечными размерами зеркал. Приближенное рассмотрение на основе сведения волнового уравнения к параболическому уравнению показывает, что электромагнитное поле в резонаторе Фабри – Перо с прямоугольными зеркалами может быть представлено в виде суперпозиции плоских волн:
(
)
(
)
E ( r , t ) = Em + cos ωt − kr + φ mnq + Em − cos ωt − kr + φ mnq ,
(5.7)
где вектор
имеет проекции:
π
π
π
k x = ± (m + 1), k y = ± (n + 1), k z = q,
(5.8)
a
b
L
а m, n, и q – положительные целые числа. Использование приближенных граничных условий, предполагающих обращение в ноль поля на поверхности зеркал (при z = 0, L ) и на их краях (при x = 0, a и y = 0, b ), а также неравенств
a2 , b2 >> λL , позволяет представить структуру светового поля в резонаторе в
виде стоячих волн следующего вида:
π
π
π
Emnq ( x, y , z , t ) = E0 cos(ω mnqt )sin (m + 1) x sin ( n + 1) y sin qz . (5.9)
a
b
L
Таким образом, распределение полей различных мод в резонаторе можно
характеризовать одним аксиальным индексом q и двумя поперечными индексами m и n. Поскольку поперечные размеры зеркал значительно меньше расстояния между ними, световое поле мод принято считать поперечноэлектромагнитным и обозначать как TEMmnq. В лазерных резонаторах обычно
поперечные индексы невелики (m, n ~ 0 ÷ 5) , в то время как аксиальные индек-
сы, как отмечалось выше, имеют порядок q ~ 106 .
Совокупность типов колебаний, характеризуемых одной парой поперечных индексов m и n, принято называть поперечной модой. Такой поперечной
моде могут соответствовать несколько типов колебаний, отличающихся продольным индексом q. При рассматриваемой прямоугольной симметрии индексы m и n соответствуют числу перемен знака поля вдоль каждой поперечной
88
оси (x и y). Низший тип колебаний TEM00q (так называемая основная, или фундаментальная, мода) не содержит изменений знака поля.
Резонансная частота ωmnq для соответствующей моды резонатора может
быть найдена из дисперсионного уравнения (2.38). Для волнового вектора с
проекциями, определяемыми формулами (5.8), находим:
ωmnq = πc
(m + 1) 2 (n + 1)2 q 2 qπc
(m + 1) 2 L2 (n + 1)2 L2
+
+
≅
+
+
=
1
L
a2
b2
L2
q 2a 2
q 2b 2
x
πc (m + 1) 2 πcL (n + 1) 2 πcL
= 1+ x ≈1+ +… = q +
+
.
L
2
2q
2q b 2
a2
Из
выражения
(5.10)
можно
получить
разность
(5.10)
частот
∆ωq = ωmnq+1 − ωmnq = πc /L между двумя соседними модами, имеющими одни и
те же значения поперечных индексов m и n, но различающихся на единицу аксиальными индексами q. Как видно, данный межмодовый интервал, называемый разностью частот между двумя последовательными продольными модами, совпадает с полученным ранее результатом на основе рассмотрения поля в
виде плоских волн, распространяющихся точно вдоль оси в резонаторе Фабри –
Перо (5.6).
Отметим, что поле основной моды TEM00q в рассматриваемом приближении представляется в виде суперпозиции плоских волн, имеющих отличные от
нуля поперечные составляющие волнового вектора k x = ± π/a и k y = ±π/b . Оно
обладает угловой расходимостью дифракционного характера, которая может
быть оценена как Θdx ~ 2k x /k z ≈ (2π/a)/(2π/λ) = λ/a по оси x и Θdy ~ 2k y /kz ≈ λ/b
по оси y.
5.5 Добротность резонатора
Потери в резонаторе связаны как с неидеальностью резонатора, так и со
связью с нагрузкой (полезные потери, связанные с выводом излучения). Для вывода энергии одно или оба зеркала резонатора делаются частично прозрачными. Уменьшение энергии в резонаторе за один полный проход равно:
∆W = −W (1 − r ),
(5.11)
где r = R1R2 – коэффициент отражения зеркал, а R1 и R2 относятся к зеркалам 1
и 2 (рис. 5.2). Затухание энергии в колебательной системе определяется через ее
добротность Q:
89
ω
W = W0 exp − t ,
Q
(5.12)
следовательно,
dW = −W
ω
dt.
Q
Отсюда получаем, приравнивая ∆W и dW, при dt = 2 Ln /c :
2 Lωn
4πLn
Q=
=
,
(1 − r )c λ(1 − r )
(5.13)
(5.14)
где n – показатель преломления среды, заполняющей резонатор. Оценим порядок величины добротности реального резонатора. Для r = 0,5 , λ = 1 мкм,
L = 1 м, n = 1 получаем Q = 2 ⋅ 107 .
Внутренние потери связаны с дифракцией на зеркалах, непараллельностью зеркал, шероховатостью их поверхности и т. д. Оценим влияние дифракции на добротность резонатора. Из физики известно, что угол дифракционной
расходимости излучения равен:
λ
θ dif ≈ ,
(5.15)
D
где D – размер зеркала. Вероятность того, что свет выйдет из резонатора за счет
дифракции, равна отношению θdif к угловому размеру зеркала:
θ dif
λL
.
D /L D 2
Эта вероятность должна суммироваться с вероятностью (1–r) выхода
энергии через зеркала:
4πLn
(5.16)
Q=
.
λL
λ 1 − r + 2
D
=
Для λ = 0,5 мкм, D = 10 мм, L = 1 м, n = 1 имеем: λL /D 2 = 0,5 ⋅ 10 −2 .
В твердотельных лазерах λL /D 2 << (1 − r ) , а в случае газовых лазеров они сравнимы. Поэтому дифракционные потери в оптических резонаторах газовых лазеров играют существенную роль.
На добротность резонатора влияет и перекос зеркал (рис. 5.4). Можно показать, что расстройка β не должна превышать величину β < 2 D(1 − r ) 2 /L , чтобы исключить это влияние. Для реальных лазеров допускается перекос зеркал в
единицы-десятки угловых секунд.
90
Рис. 5.4 – Влияние перекоса зеркал на распространение лучей
в резонаторе Фабри – Перо
5.6 Волновая теория открытых резонаторов
Строгое решение, определяющее собственные колебания (моды) резонатора, основано на использовании уравнений Максвелла и граничных условий.
Более простой подход базируется на последовательном применении принципа
Гюйгенса – Френеля, поскольку все размеры существенно превышают длину
волны и поле носит поперечный характер.
Расчеты показывают, что в резонаторе устанавливаются различные типы
поперечно-электромагнитных (ТЕМ) колебаний, характеризующихся тремя индексами m, n и q. Резонансные частоты определяются выражением:
πc c
ωmnq = q − φ mn ,
(5.17)
L L
где φ mn – фазовый сдвиг за один проход резонатора для данного типа колебаний.
Отметим,
что
межмодовое
расстояние
для
продольных
мод
∆ωq = ωmnq+1 − ωmnq = πc L – то же самое, что и из элементарной теории. Индексы m и n указывают число изменений знака поля на поверхностях зеркал вдоль
осей x и y соответственно, а q равно числу полуволн, укладывающихся вдоль
координаты z. Индексы m и n называют поперечными, а q – продольным (аксиальным) индексом.
Примеры распределения поля на зеркалах резонатора представлены на
рисунке 5.5. Обычно m и n принимают значения от 0 до ~10, а q = 105 – 106 .
Расстояние между модами с одним продольным и с различными поперечными
индексами составляет от единиц до десятков кГц (иногда сотни кГц). Расстояние между продольными модами много больше и составляет сотни МГц.
91
Рис. 5.5 – Распределения светового поля на зеркале резонатора
для различных мод
В активном резонаторе помещено вещество, способное усиливать электромагнитные волны. Оно обладает определенной спектральной характеристикой – усиливает лишь те моды пассивного резонатора, которые попадают в
пределы спектральной линии усиления вещества (рис. 5.6).
Рис. 5.6 – Спектральные характеристики активного резонатора
Генерируют лишь те моды, для которых усиление больше потерь. Для
He-Ne-лазера ширина спектральной линии вещества составляет ~800 МГц, для
твердотельных лазеров – 30–40 ГГц. Поэтому одновременно могут генерироваться многие моды.
5.7 Классификация оптических резонаторов
Кроме резонаторов Фабри – Перо используются и резонаторы со сферическими зеркалами. Рассмотрим основные типы таких двухзеркальных резонаторов.
92
1. Конфокальный резонатор: оба зеркала имеют радиус кривизны
Rɶ1 = Rɶ2 = L (рис. 5.7, а).
2. Полуконфокальный: Rɶ1 = 2L, Rɶ2 = ∞ (плоское зеркало) (рис. 5.7, б).
3. Концентрический: Rɶ = Rɶ = L 2 (рис. 5.7, в).
1
2
4. Неконфокальные резонаторы с произвольным соотношением радиусов кривизны зеркал и расстояния между ними.
Рис. 5.7 – Конфигурация конфокального (а), полуконфокального (б)
и концентрического (в) резонаторов
Достоинства резонаторов со сферическими зеркалами: в ряде случаев они
обладают меньшими дифракционными потерями, чем резонаторы Фабри –
Перо; они менее критичны к точности настройки; в них возможно существование поперечных мод высоких порядков.
В неконфокальных резонаторах дифракционные потери сильно зависят от
соотношения L и Rɶ . В некоторых случаях резонатор может стать неустойчивым, то есть иметь большие дифракционные потери. На рисунке 5.8 приведена
диаграмма для качественной оценки величины дифракционных потерь в резонаторах с произвольным соотношением L и Rɶ .
Отметим, что резонаторы Фабри – Перо [точка ( −1, −1) ], конфокальный
(0,0) и концентрический (1,1) находятся на границе устойчивости. Здесь небольшие изменения длины резонатора или кривизны зеркал приводят к большим дифракционным потерям.
93
Рис. 5.8 – Диаграмма для качественной оценки дифракционных потерь.
Заштрихованные области соответствуют большим потерям в резонаторе
Наиболее распространен полуконфокальный резонатор (−1/2, −1) . Имеет
низкие потери и мало критичен к изменению длины. Плоское зеркало используется в качестве выходного, обеспечивая плоский волновой фронт генерируемого пучка.
В резонаторах кольцевого типа световые волны распространяются в двух
направлениях – по часовой стрелке и против ее движения. Обычно используются трехзеркальные и четырехзеркальные схемы. Четырехзеркальный резонатор
изображен на рисунке 5.9.
Рис. 5.9 – Четырехзеркальный кольцевой оптический резонатор
94
5.8 Селекция типов колебаний в оптических резонаторах
Генерация многих продольных и поперечных типов колебаний существенно ухудшает такие характеристики лазеров, как монохроматичность, когерентность и направленность излучения. Поэтому применяют различные способы подавления как высших поперечных мод, так и всех, кроме одной, продольных мод.
·····························································
Если лазер работает на одной продольной моде и основном
поперечном типе колебаний, то такой режим называют одночастотным.
При работе лазера на основной поперечной моде TEM00q его
режим работы называют одномодовым.
·····························································
Поперечные типы колебаний высших порядков можно отсечь, помещая в
резонатор диафрагму (рис. 5.10). Применяются для селекции поперечных мод
конфокальные резонаторы, находящиеся на границе устойчивости. Используются и неустойчивые резонаторы, у которых одно из зеркал является плоским, а
другое – выпуклым.
Рис. 5.10 – Резонатор Фабри – Перо с селектором поперечных мод
в виде диафрагмы
Селекция продольных мод часто осуществляется применением связанных
резонаторов (рис. 5.11).
Рис. 5.11 – Составной резонатор Фабри – Перо
95
Резонансные частоты данных резонаторов определяются выражениями:
πc
πc
ω q1 =
q1 , ω q 2 =
q2 .
L1
L2
Максимальная добротность связанных резонаторов будет иметь место
при совпадении частот ωq1 = ωq 2 . В генерацию будет выходить продольная мода с наивысшей добротностью. Именно таким образом реализуется одночастотная генерация.
5.9 Характеристики лазерного излучения
Когерентность и монохроматичность
Лазерное излучение обладает рядом замечательных свойств – высокой
когерентностью и монохроматичностью. Степень монохроматичности – это отношение ширины спектра частот, генерируемых источником, к центральной частоте, δf /f 0 . Ширина спектра δf определяется шириной линии излучения (люминесценции) и числом мод, входящих в генерацию. Наименьшая ширина
спектра достигается при работе лазера в одночастотном режиме. Наилучшие
результаты – δf составляет единицы Гц. При f 0 ~ 1014 ÷ 1015 Гц степень монохроматичности достигает значений δf /f0 ~ 10−14 .
·····························································
Когерентностью называют согласованное протекание во
времени нескольких волновых процессов или свойство, отражающее стабильность фазы одной или нескольких электромагнитных
волн.
·····························································
Когерентность характеризует, например, способность электромагнитных
волн интерферировать друг с другом. Рассмотрим интерференцию двух волн,
осуществляемую, например, с помощью интерферометра Юнга (рис. 5.12).
В интерференционной картине будут наблюдаться максимумы (при
k (r2 − r1 ) − (ψ2 − ψ1 ) = 2πp ; k = 2π/λ – волновое число, ψ1, ψ2 – начальные фазы
светового поля для щелей 1 и 2) и минимумы (при k ( r2 − r1 ) − (ψ 2 − ψ1 ) =
= (2 p + 1)π ). Существует понятие контрастности интерференционной картины:
m=
I max − I min
,
I max + I min
(5.18)
96
где Imax и Imin – интенсивности света в ее максимумах и минимумах. Контрастность интерференционной картины определяет ее видность (рис. 5.13).
Рис. 5.12 – Интерференция света в опыте Юнга
Рис. 5.13 – Распределение интенсивности света в интерференционной картине
при ее различных контрастах
При m = 1 излучение полностью когерентно, при m = 0 – полностью некогерентно. Для всех реальных источников света m < 1 , что связано с двумя причинами:
1. Излучение не строго монохроматично.
2. Источник излучения имеет конечные размеры, причем фазы волн, испускаемых из разных точек источника, отличаются друг от друга.
В этом случае разность фаз ψ2 − ψ1 = ∆ψ(t ) для двух пространственно
разделенных точек не является постоянной во времени (частичная
пространственная когерентность).
97
Для того чтобы определить величины, которыми принято характеризовать временную когерентность, рассмотрим интерференцию излучения с конечной степенью монохроматичности при ψ 2 − ψ1 = 0 . При ширине спектра излучения δf ≠ 0 условие k∆r = (2π/λ)(r2 − r1 ) = (ω/c)(r2 − r1 ) = (2πf /c)∆r = 2πp выполняется в некоторой области ∆r . Для количественной оценки учтем, что частицы вещества излучают не непрерывно, а в течение некоторых интервалов
времени, расстояния между которыми случайны (рис. 5.14).
Часть сигнала, в течение которой его фаза меняется непрерывно, называется цугом – за это время временная когерентность сохраняется. Длина цуга τc
обратно пропорциональна ширине спектра излучения:
1
τc = ,
(5.19)
δf
то есть связана со степенью монохроматичности. Время τ c называют временем
когерентности, а длину цуга в пространстве lc = cτc = c /δf = λ 02 /δλ – длиной когерентности.
Рис. 5.14 – Цуги излучения нескольких микрочастиц
Очевидно, что контрастная интерференционная картина получается в том
случае, когда изменение разности фаз, d (k∆r ) = (2π/λ 02 )δλ∆r , связанное с конечной шириной спектра δλ , будет много меньше, чем 2π . Отсюда получаем:
λ 02
; ∆r << lc .
(5.20)
δλ
Таким образом, для получения контрастной интерференционной картины
разность хода волн должна быть много меньше длины когерентности. Какова
же длина когерентности различных источников света? Для белого света
∆r <<
δf ~ 1014 Гц, τс ~ 10−14 с, lc ~ 1 мкм. Для многомодового гелий-неонового лазера
98
λ0 = 0,633 мкм, δf ~ 5 ⋅108 Гц, τс ~ 2 ⋅10−9 с, lc ~ 60 см. Для одночастотного лазера при δf ~ 15 Гц имеем τс ~ 6,7 ⋅ 10−2 с и lc ~ 2 ⋅ 107 м.
Данное свойство временной когерентности очень важно для голографии.
Схема записи голограммы Лейта и Упатниекса представлена на рисунке 5.15.
На фотопластинку падает как опорная волна R, так и предметная волна S
от объекта. Интерференционная картина этих волн фиксируется на фотопленке
в виде функции пропускания. После экспонирования, проявления, закрепления,
промывки и просушки она играет роль дифракционной решетки, на которой
при дифракции опорной волны создаются рассеянные волны в том же направлении, что и сигнальные волны, «пронизывающие» фотопленку. У наблюдателя
создается иллюзия, что за пластинкой находится объект, имеющий объем, тот,
который находился в данном месте при записи голограммы. Естественно, здесь
∆r должно быть существенно меньше lc. Чем больше длина когерентности лазера, тем больше глубина сцены, которую можно запечатлеть на голограмме.
Рис. 5.15 – Схема записи голограмм по методу Лейта и Упатниекса
Пространственная когерентность связана со стабильностью фазы излучения в плоскости поперечного сечения пучка. Если лазер генерирует основную
поперечную моду TEM00q, то фазовый фронт пучка близок к плоскому, то есть
фаза остается постоянной по всему сечению. Большую роль пространственная
когерентность играет при создании направленного излучения и при фокусировке лазерных пучков.
Как пространственная, так и временная когерентность лазерного излучения определяется использованием индуцированных переходов для его генера-
99
ции – частота, фаза и направление распространения излучения являются согласованными для всего объема активного вещества.
Расходимость лазерных пучков
Расходимость выходного пучка минимальна при генерации лазера на основной поперечной моде TEM00q. В этом случае фазовый фронт излучения на
выходном зеркале является плоским, а амплитуда падает от центра к краям
пучка по закону Гаусса:
r2
(5.21)
E ( r ) = exp − 2 ,
2
r
0
где радиус r0 характеризует поперечный размер пучка (при r = r0 интенсивность
уменьшается в e раз). Угол дифракционной расходимости такого гауссова пучка (рис. 5.16) определяется приближенным выражением:
Θ диф =
2 2 λ
λ
≈
,
π 2r0 D0
(5.22)
где D0 = 2r0 определяет эффективный диаметр пучка в области его наименьшего сечения, то есть на выходном зеркале. Для уменьшения расходимости необходимо расширить пучок с помощью коллиматора, например линзового
(рис. 5.17) или зеркального [7].
Рис. 5.16 – Дифракционная расходимость светового пучка
Рис. 5.17 – Линзовый коллиматор
100
В рассматриваемом случае линзовый коллиматор увеличивает апертуру
пучка в D2 /D1 = F2 /F1 раз. Оценим угловую расходимость при λ = 0,5 мкм и
D0 = 50 см: Θдиф ≈ 1 мкрад. На расстоянии R = 400 000 км это дает освещенное
пятно с размером Dосв = RΘдиф = 400 м.
Пример использования – оптическая локация Луны. Для увеличения интенсивности отраженного пучка можно использовать систему уголковых отражателей (рис. 5.18) [7].
Рис. 5.18 – Решетка уголковых отражателей (а) и ход лучей при отражении (б)
Фокусировка лазерных пучков
Схема, иллюстрирующая фокусировку лазерного пучка с гауссовым распределением амплитуды, имеющего эффективный диаметр пучка D и плоский
волновой фронт, показана на рисунке 5.19. Для этой цели здесь используется
тонкая положительная линза с фокусным расстоянием F, расположенная на
расстоянии f1 от выходного зеркала лазера.
Рис. 5.19 – Фокусировка лазерного пучка
После прохождения линзы пучок сохраняет гауссов профиль, но имеет
другой эффективный диаметр d в области его наименьшего сечения (перетяж-
101
ки пучка), расположенного на расстоянии f2 от нее. Эти параметры пучка, преобразованного линзой, определяются следующими выражениями:
DF
(5.23)
;
d=
2
2
2
( f1 − F ) + πD / ( 4λ )
f2 = F +
( f1 − F ) F 2
2
–
(5.24)
( f1 − F ) + πD /(4λ)
и зависят от соотношения между параметром конфокальности фокусируемого
2
2
пучка z0 = πD 2 / ( 4λ ) и расстоянием f1 − F между выходным зеркалом и передней фокальной плоскостью линзы. Для пучка с эффективным диаметром
D > 2 мм и длиной волны λ = 0, 6328 мкм, излучаемого гелий-неоновым лазером, параметр конфокальности можно оценить как z0 > 5 м. В случае выполнения неравенства z0 >> f1 − F соотношения (5.23) и (5.24) существенно упрощаются:
4F
F
≈ 1,27λ , f 2 ≈ F .
(5.25)
πD
D
Параметр F/D определяет угловую апертуру линзы. Поскольку легко достигаемая угловая апертура имеет значения F /D ~ 2 , то эффективный размер
пятна в фокальной плоскости линзы составляет ~ 2,5λ . Для гелий-неонового
d ≈λ
лазера ( λ = 0, 633 мкм) размер пятна составит ~ 1,2 мкм.
Применения сфокусированных лазерных пучков: запись и хранение информации в цифровой форме (лазерные диски); обеспечение высоких плотностей мощности лазерного излучения для технологических целей и другие.
Например, легко подсчитать, что гелий-неоновый лазер с мощностью 50 мВт
обеспечивает в фокальном пятне интенсивность 5 ⋅ 104 Вт/мм2. Кстати, хрусталик человеческого глаза является очень хорошей положительной линзой. Поэтому нужно быть осторожным с лазерным излучением и избегать попадания
прямого (не рассеянного) излучения в глаза.
Энергетические и временные характеристики лазеров
Лазеры генерируют в следующих режимах генерации: непрерывный, моноимпульсный и периодический.
Основная характеристика лазера в непрерывном режиме – выходная
мощность Pвых. Минимальная выходная мощность составляет ~ 0, 2 мВт. Мак-
102
симальная мощность, достигнутая в настоящее время в химических лазерах на
HF и DF, составляет 1 МВт.
В моноимпульсном режиме основными характеристиками являются энергия Wимп, длительность импульса τимп и мощность Pимп = Wимп /τ имп . Пример: эксимерный
фторкриптоновый
лазер имеет параметры:
Wимп = 104 Дж и
τ имп = 1 мкс. Его мощность в импульсе составляет Pимп = 1010 Вт. Минимальная
достигнутая длительность импульса составляет τимп = 8 ⋅ 10−15 с. Максимальная
мощность в импульсе, полученная к настоящему времени, равна ~ 1013 Вт.
Периодический режим имеет дополнительный параметр – частота следования импульсов fимп = 1/Tимп . Она может быть и достаточно малой, например
fимп = 0,1 Гц ( Tимп = 10 с). В режиме синхронизации продольных мод лазер генерирует импульсы с частотой повторения fимп = c / (2 L) , где L – длина резонатора. При L = 1 мм (полупроводниковый лазер) f имп = 1,5 ⋅ 1011 Гц. Реально в
инжекционных полупроводниковых лазерах сейчас легко достигается частота
повторения f имп ~ 109 Гц [7].
5.10 Уширение спектральных линий
Естественная ширина спектральной линии
Как отмечалось ранее, при переходе частицы с верхнего (p) на нижний (n)
уровень излучение происходит в течение конечного времени жизни τp на данном верхнем уровне:
t
E (t ) = Em exp − exp(iω pnt ).
τp
Если переход возможен только на единственный нижний уровень и никакие внешние факторы на частицу не действуют, то время жизни определяется
вероятностью спонтанного перехода Apn и равно τ p = 1/Apn . Если же существуют возможности перехода и на другие нижние уровни спонтанно, то уравнение
баланса для населенности уровня p принимает вид:
dN p
dt
= −( Apn + Apk + Apl + ...) N p .
(5.26)
103
Таким образом, 1/τ p = Apn + Apk + Apl + ... = 1/τ pn + 1/τ pk + 1/τ pl + ... и время
жизни сокращается по сравнению со случаем единственного нижнего уровня.
Спектральная линия излучения в данном случае имеет вид кривой Лоренца:
1/(πτ p )
(5.27)
g (ω) = 2
,
1/τ p + (ω − ω pn ) 2
удовлетворяющей условию нормировки:
∞
∫ g (ω)dω = 1.
(5.28)
−∞
Ширина этой линии по уровню 0,5 от максимума равна 2∆ω , где
∆ω = 1/τ p (рис. 5.20).
·····························································
Ширина спектральной линии, обусловленная только спонтанными переходами, называется естественной шириной спектральной линии, а время τ p – естественным временем жизни
частицы на верхнем уровне p.
·····························································
Ширина данной спектральной линии 2∆ω определяет тот предел, уже которого спектральная линия быть не может.
Рис. 5.20 – Нормированная спектральная линия излучения,
соответствующая спонтанным переходам, при ω pn τ p = 10π
Однородное уширение спектральной линии
Время жизни на верхнем уровне может быть существенно сокращено за
счет безызлучательных (тепловых) переходов под действием термостата.
104
В твердых телах такие процессы связаны с взаимодействием примесных центров (пример – ионы Cr3+, замещающие атомы Al в Al2O3) с колебаниями решетки. В газах тепловые переходы происходят при соударениях частиц друг с
другом и со стенками сосуда, в котором они находятся. Частота перехода в
этом случае не изменяется, и происходящее за счет уменьшения времени жизни уширение спектральной линии называют однородным.
Форма спектральной линии g (ω) при этом также не изменяется и описывается кривой Лоренца. Величина уширения может быть как малой, так и очень
большой.
Неоднородное уширение спектральной линии
Неоднородно уширенные спектральные линии наблюдаются в том случае,
когда частота перехода для различных частиц не является постоянной. Примером может служить различие в частотах квантов, излучаемых движущимися
частицами в газах, связанное с эффектом Доплера. Такое неоднородное уширение называют доплеровским уширением. Другая причина неоднородного уширения, наблюдаемого в твердых телах, связана с расщеплением энергетических
уровней примесных центров за счет эффектов Штарка (во внешнем и внутрикристаллическом электрическом поле) и Зеемана (в магнитном поле) в условиях взаимодействия с кристаллической решеткой и ее неидеальности.
В стеклах каждый примесный активный центр находится в своем (случайном)
окружении, то есть в случайном электрическом поле. В этом случае неоднородное уширение спектральной линии особенно велико.
Неоднородно уширенную спектральную линию можно представить как
совокупность однородно уширенных линий Лоренца с различными частотами
перехода. Вклад каждой из этих элементарных линий пропорционален числу
частиц, имеющих данную частоту перехода. Форму такой неоднородно уширенной спектральной линии излучения чаще всего описывают с помощью кривой Гаусса [7].
·····························································
Контрольные вопросы по главе 5
·····························································
1. Поясните особенности оптического диапазона.
2. Поясните принцип усиления оптического излучения.
105
3. Опишите принцип действия лазера. Нарисуйте структурную схему лазера. Запишите условие самовозбуждения лазера.
4. Что такое открытый резонатор?
5. По каким причинам в оптическом диапазоне волн используются открытые резонаторы?
6. Что такое моды открытого резонатора?
7. Что такое поперечные типы колебаний ОР?
8. Приведите примеры распределений амплитуды и фазы поля на зеркалах резонатора.
9. Каким образом определяются резонансные частоты ОР?
10. Приведите условие устойчивости открытого резонатора. Что такое
G-диаграмма?
11. Приведите примеры устойчивых ОР.
12. Приведите примеры неустойчивых ОР.
13. Что такое перетяжка пучка, расходимость пучка?
14. Каким образом формируется спектр излучения лазера?
15. Что такое добротность оптического резонатора?
16. Укажите виды потерь энергии в резонаторе. Какие виды потерь являются полезными?
17. Каким образом производится селекция продольных мод?
18. Каким образом производится селекция поперечных мод?
19. Как определить угол дифракционной расходимости гауссового пучка?
20. Как производится фокусировка лазерных пучков?
21. От каких факторов зависит ширина спектральной линии?
22. Как оценить естественную ширину спектральной линии?
23. Чем определяется однородное уширение спектральной линии?
24. Чем определяется неоднородное уширение спектральной линии?
106
6 Твердотельные лазеры
В твердотельных лазерах состояние инверсии населенностей реализуется
между энергетическими уровнями активных частиц (активаторов), в качестве
которых используются ионы, внедренные в диэлектрические кристаллы или
стекла. Для создания инверсии населенностей используется оптическая накачка
с помощью газоразрядных ламп, полупроводниковых светодиодов и лазеров.
Коэффициент полезного действия (КПД) твердотельных лазеров не превышает
нескольких процентов при ламповой накачке и может достигать значения
~ 30% при использовании в качестве источника накачки инжекционных лазеров. Спектральный диапазон излучения для твердотельных лазеров ограничен
оптической прозрачностью кристаллов и стекол, в которые внедрены активные
ионы. Поэтому такие лазеры генерируют излучение в ближней ультрафиолетовой, видимой и ближней инфракрасной областях спектра.
6.1 Схемы функционирования твердотельных лазеров
Используемые в твердотельных лазерах ионы активаторов обладают
сложным энергетическим спектром. Однако реализующиеся схемы переходов
частиц между используемыми уровнями позволяют рассматривать в качестве
моделей так называемые трехуровневую и четырехуровневую схемы реализации
состояния инверсии населенностей.
Трехуровневая схема иллюстрируется рисунком 6.1. В условиях термодинамического равновесия практически все частицы расположены на нижнем
(основном) энергетическом уровне с энергией E1, то есть N1e ~ N . Населенности лежащих выше уровней 2 и 3 близки к нулю, N 2 e ≈ 0 , N 3e ≈ 0 . Верхнее
энергетическое состояние 3 представляет систему близко расположенных уровней, заселение которых происходит под действием оптического излучения
накачки, переводящей на них частицы с основного энергетического уровня.
Условно это показано несколькими вертикальными стрелками, отражающими
отдельные спектральные компоненты немонохроматического излучения накачки.
Сколько таких стрелок останется при монохроматическом источнике
накачки? Только одна.
107
Рис. 6.1 – Трехуровневая схема достижения инверсии населенностей
в твердотельном лазере при накачке немонохроматическим излучением
Время жизни частиц на уровне 3 очень мало – в лазере на рубине, для которого реализуется именно трехуровневая схема, при комнатной температуре
τ 3 ~ 10 −8 с. Частицы с третьего уровня переходят на метастабильный (с боль-
шим временем жизни) уровень 2, где за счет этого могут накапливаться.
Например, в лазере на рубине τ 2 = 3, 4 мс при T = 300 K . После выполнения
условия N 2 > N1 ( N 2 > N /2 в рассматриваемой схеме) реализуется состояние
инверсии населенностей и на переходе 2 → 1 возникает сильное спонтанное
излучение (люминесценция). Некоторые из излучаемых спонтанно фотонов соответствуют модам оптического резонатора, в который помещается активный
элемент. Эти фотоны являются затравочными – они имеют максимальное время
жизни в резонаторе, и вызываемые ими индуцированные переходы частиц
между уровнями 2 и 1 становятся преобладающими над спонтанными переходами 2 → 1 . В результате лазер генерирует когерентные оптические колебания,
но только на тех модах резонатора, для которых испускаемая энергия будет
больше потерь.
Трехуровневая схема имеет значительный недостаток – для нее принципиально существует порог генерации, т. е. минимально необходимая энергия
накачки. Она требуется для обеспечения инверсии населенностей, реализую-
108
щейся при переводе на второй уровень (верхний уровень рабочего перехода)
более половины частиц. Это делает ее невыгодной энергетически.
Отметим, что не все частицы, заброшенные накачкой на верхний уровень,
переходят на уровень 2. Доля частиц, попавших на верхний уровень рабочего
перехода, от их полного числа, заброшенных накачкой на верхний уровень,
называется квантовым выходом. Для лазера на рубине квантовый выход может достигать значения η = 0,8 .
Четырехуровневая схема реализации состояния инверсии населенностей изображена на рисунке 6.2. Как и в предыдущем случае, в равновесном
состоянии все частицы находятся в основном энергетическом состоянии, а
населенности остальных уровней, второго, третьего и четвертого, близки к нулю.
Рис. 6.2 – Четырехуровневая схема достижения инверсии населенностей
в твердотельном лазере при монохроматическом источнике накачки
Поэтому достаточно небольшого количества частиц, переведенных
накачкой с уровня 1 на уровень 4, чтобы после их безызлучательного перехода
на уровень 3 между уровнями 3 и 2 возникло состояние инверсии населенностей. Индуцированные переходы частиц 3 → 2 обеспечивают генерацию лазерного излучения с частотой ω изл = ω 32 = ( E3 − E 2 ) /ℏ , а большая вероятность
безызлучательного перехода 2 → 1 способствует опустошению уровня 2 и сохранению состояния инверсии населенностей.
По четырехуровневой схеме создания инверсия неселенностей достигается в большинстве современных твердотельных лазеров. Это лазеры на кристал-
109
лах и стеклах, активированных трехвалентными ионами неодима Nd3+; сапфиртитановый лазер (Al2O3:Ti3+); волоконные усилители и лазеры на кварцевом волокне, легированном ионами эрбия Er3+ и другие. Преимущество четырехуровневой схемы проявляется в более низком уровне накачки, при котором в лазере
возникает генерация (пороговая энергия или мощность накачки), и в большей
выходной мощности, чем для трехуровневой схемы. Например, для лазера на
рубине в непрерывном режиме достигнута выходная мощность ~ 5 Вт, в то
время как в лазере на алюмоиттриевом гранате с неодимом (Y3Al5O12:Nd3+) она
может составлять 200 Вт.
6.2 Системы накачки твердотельных лазеров
В системе накачки твердотельных лазеров можно выделить 3 основных
элемента:
1. Источник излучения накачки, световое излучение которого обеспечивает создание инверсии населенностей на рабочем переходе.
2. Осветительная система, с помощью которой излучение накачки концентрируется на активном элементе.
3. Блок питания источника накачки.
·····························································
К источникам света для накачки предъявляются требования
высокой эффективности преобразования электрической энергии в
световую и хорошего согласования спектра излучения со спектром
поглощения примесных центров в активном элементе.
В качестве некогерентных источников накачки наибольшее
распространение получили газоразрядные лампы стержневой конструкции (рис. 6.3).
·····························································
Рис. 6.3 – Газоразрядная лампа стержневой конструкции
110
Такие лампы должны выдерживать большие значения подводимой электрической мощности, без их разрушения.
Для накачки импульсных лазеров на рубине используются ксеноновые
лампы сверхвысокого давления с энергией излучения в импульсе, составляющей до нескольких тысяч джоулей. Для накачки непрерывных лазеров на
алюмоиттриевом гранате с неодимом эффективными являются лампы с криптоновым наполнением. Суммарный коэффициент полезного действия, с учетом
эффективностей согласования спектров и преобразования электрической энергии в световую, для газоразрядных ламп составляет от 15 до 35%.
Среди когерентных источников накачки наибольшее распространение
получили инжекционные лазерные диоды, коэффициент полезного действия
которых достигает 60%. Для лазеров на алюмоиттриевом гранате с неодимом
эффективно использование такой диодной накачки с помощью инжекционных
лазеров на основе GaAs, которые обеспечивают квантовый выход η→1 при
накачке в полосу поглощения излучения с длиной волны 0,9 мкм.
Для лазеров с накачкой некогерентным излучением в качестве осветительной системы используются, как правило, отражатели в виде эллиптического цилиндра (рис. 6.4). В основе функционирования этой системы лежит свойство, состоящее в том, что всякий луч, проходящий через фокальную ось, после
отражения от поверхности эллиптического цилиндра обязательно пройдет через
его вторую фокальную ось. Если на одну фокальную ось поместить лампу
накачки, а на другую активный элемент, то будет происходить эффективная
концентрация светового излучения в активном элементе.
Рис. 6.4 – Осветительная система твердотельного лазера на основе отражателя
в виде эллиптического цилиндра
111
Поверхность эллиптического цилиндра полируется и покрывается высокоотражающим покрытием, например серебром или алюминием. Эффективность такой осветительной системы, характеризующей отношение светового
потока, падающего на активный элемент, к полному потоку, излучаемому лампой накачки, может достигать 70%. Потери связаны, в первую очередь, с конечными поперечными размерами газоразрядного промежутка лампы накачки и
с отличием коэффициента отражения покрытия от единицы.
6.3 Балансные уравнения и режим непрерывной генерации
в твердотельных лазерах
Для анализа энергетических характеристик лазера воспользуемся балансными уравнениями (см. п. 5.5) для числа частиц на верхнем и нижнем уровнях
рабочего перехода. Для трехуровневой схемы это уровни 1 и 2, а для четырехуровневой – 2 и 3. Пренебрежем безызлучательными переходами между этими
уровнями и примем, что квантовый выход накачки η = 1 , то есть все частицы,
заброшенные на третий (четвертый) уровень, оказываются на верхнем уровне
рабочего перехода. Это позволяет ввести вероятность перехода одной частицы
в единицу времени Wнакач с основного уровня 1 на уровень 2 (3) под действием
накачки. Тогда для трехуровневой схемы уравнения баланса можно представить в виде:
dN1
N
= bm( N 2 − N1 ) + 2 − Wнакач N1,
(6.1)
dt
τ
dN 2
N
= −bm( N 2 − N1 ) − 2 + Wнакач N1 ,
(6.2)
dt
τ
где τ = 1 / A21 , и вероятность индуцированного перехода на рабочем переходе
для одной частицы в единицу времени выражена через число фотонов m в резонаторе: W21 = W12 = W = bm .
Считая выполняющимся условие N1 + N 2 = N , введем новую переменную
n = N 2 – N1 – разность населенностей уровней на рабочем переходе. Вычитая
первое
уравнение
из
второго
и
учитывая
соотношения
2N1 = N − n ,
2 N 2 = N = n , получаем:
1
1
dn
= −2bmn − Wнакач + n + Wнакач − N .
dt
τ
τ
(6.3)
112
Сюда необходимо добавить уравнение для m. В резонаторе без активного
вещества и для единственной моды имеем:
dm
m
=− ,
dt
τR
где τ R = Q / ω – время затухания поля в резонаторе. При наличии активного
вещества число фотонов в резонаторе изменяется за счет индуцированных переходов. Учтем, что изменение разности населенностей в единицу времени за
счет индуцированных переходов равно 2bmn, а также то, что при каждом переходе число фотонов в резонаторе меняется на ∆m = ±1 , а разность населенностей на ∆n = ±2 . Поэтому для числа фотонов имеем:
dm
m
(6.4)
= bmn − .
τR
dt
Уравнения (6.3) и (6.4) образуют замкнутую систему, описывающую динамику генерации лазерного излучения для трехуровневой схемы функционирования твердотельного лазера в рамках принятых приближений.
Аналогичные уравнения для четырехуровневой схемы функционирования
могут быть получены с учетом того, что n = N 3 , поскольку N 2 = 0 ; с использованием замен в (6.2) N 2 → N 3 = n , N1 → N 2 = 0 в первых двух членах в правой
части и N1 → N – n в третьем члене:
dn
n
= −bmn − + Wнакач ( N − n),
dt
τ
dm
m
= bmn − .
τR
dt
(6.5)
(6.6)
Рассмотрим далее стационарные решения, когда dn / dt = 0 и dm / dt = 0 .
Для трехуровневой схемы получаем:
1
1
1
m bn − = 0, − 2bmn − Wнакач + n + Wнакач − N = 0.
τR
τ
τ
Система уравнений (6.7) имеет два решения:
W
−1/ τ
m = 0, n = накач
N,
Wнакач + 1 / τ
m=
где введены обозначения:
N 2порог
τ
τ R (α − 1), n =
1
,
bτ R
(6.7)
(6.8)
(6.9)
113
1
1
Wнакач
1 N + 1 / (bτ R )
, Wпорог = ⋅
.
N 2порог = N +
, α =
2
τ N − 1 / (bτ R )
bτ R
Wпорог
(6.10)
В режиме 1 m = 0 , то есть лазерная генерация отсутствует. С ростом
накачки Wнакач разность населенностей n возрастает, и при Wнакач > > 1 / τ происходит полная перекачка частиц на уровень 2, n = N .
Существование режима 2 возможно при α > 1 , Wнакач > Wпорог (при α < 1
m < 0 , что не имеет физического смысла). В этом случае существует лазерная
генерация, m > 0 . Разность населенностей в этом режиме не зависит от накачки, а выходная мощность, которая пропорциональна числу фотонов, Pвых ~ m ,
линейно связана с мощностью накачки, которая пропорциональна Wнакач.
Проверка найденных стационарных решений на устойчивость показывает, что при α < 1 устойчив режим 1, а при α > 1 – режим 2.
Анализ стационарных решений системы уравнений (6.5) и (6.6) для четырехуровневой схемы для режима генерации 2 дает те же соотношения (6.9) для
разности населенностей n и числа фотонов в резонаторе m, но при других пороговых значениях населенности верхнего уровня и накачки:
1
1 1 / (bτ R )
(6.11)
, Wпорог = ⋅
.
N 3порог =
bτ R
τ N − 1 / (bτ R )
Как следует из сравнения соотношений (6.10) и (6.11), при одинаковых
значениях времени жизни частиц на верхнем уровне рабочего перехода τ пороговое значение мощности накачки, пропорциональное Wпорог, для четырехуровневого лазера значительно меньше, чем для лазера, в котором используется
трехуровневая схема функционирования.
Оценим выходную мощность непрерывного лазера. Полную мощность,
рассеиваемую в резонаторе и излучаемую через выходное зеркало, можно оценить как ℏ ω m / τ R . Если τ c – время жизни фотонов в резонаторе, обусловленное потерями на излучение через зеркало, а τ0 – время жизни за счет всех других причин, то эти времена связаны соотношением:
1
1 1
= + .
τ R τc τ0
Поэтому для трехуровнего лазера выходная мощность может быть оценена как
Pвых =
N 2порог
ℏω
τ
(α − 1) R ℏω.
m=
τc
τ
τc
(6.12)
114
Численные расчеты по формуле (6.12) показывают, что выходная мощность лазера на рубине должна быть порядка 10 Вт. Это близко к экспериментально полученному значению 5 Вт.
Расчеты для четырехуровневого лазера на алюмоиттриевом гранате с
неодимом дают значения выходной мощности в сотни ватт, соответствующие
экспериментально полученным данным.
6.4 Режим свободной генерации
·····························································
Режим свободной генерации – это режим, в котором отсутствуют какие-либо воздействия на активный элемент и оптический
резонатор, кроме системы накачки, и в резонаторе нет нелинейных
элементов.
·····························································
Он может быть реализован в твердотельных лазерах при разряде батарей
конденсаторов через лампу накачки. Длительность импульса накачки составляет около 1 мс, а лазерная генерация начинается с задержкой, необходимой для
достижения пороговой разности населенностей n. Как правило, лазерное излучение генерируется в этом режиме в виде нерегулярной последовательности
импульсов, называемых «пичками». Их длительность составляет от 0,1 до
1 мкс, а средний период следования имеет порядок 10 мкс.
Для анализа временного характера лазерного излучения в режиме свободной генерации воспользуемся системой уравнений (6.5) и (6.6) для четырехуровневой схемы реализации состояния инверсии населенностей, полученной в
одномодовом приближении:
dn
n
= −bmn − + Wнакач ( N − n),
dt
τ
dm
m
= bmn − .
dt
τR
В качестве математической модели импульса накачки используем следующую его временную зависимость:
t2
2π
Wнакач (t ) = W0 sin
t exp − 2 .
T
имп
τ имп
(6.13)
Временная форма импульса накачки при W0 = 500 с −1 , Tимп = 2 мс и
τ имп = 0, 2 мкс представлена на рисунке 6.5.
115
Рис. 6.5 – Форма импульса накачки
Численный анализ нелинейной системы уравнений (6.5) и (6.6) для параметров активного элемента и оптического резонатора τ = 1 мс, b = 4 ⋅ 10 −12 м3/с,
N = 5 ⋅ 10 22 м–3, τ R = 20 нс при начальных условиях n(0) = 0 и m (0) = 1015 м–3
приводит к зависимостям m(t) и n(t), представленным на рисунке 6.6 для интервала времени от 0 до 0,5 мс. Разность населенностей колеблется около своего
порогового значения благодаря конкуренции накачки и индуцированного излучения, которое быстро, в течение генерируемого импульса, опустошает верхний
уровень рабочего перехода. Для перевода накачкой частиц на этот уровень требуется гораздо большее время, поэтому нарастание n(t) происходит гораздо
медленнее, чем ее падение.
Рис. 6.6 – Динамика изменения разности населенностей и числа фотонов
в резонаторе в режиме свободной генерации
Структура первого из генерируемых импульсов показана на рисунке 6.7.
В указанных условиях он генерируется при достижении накачкой порогового
116
значения разности населенностей (около 1, 22 ⋅ 1019 м–3). Однако начало развития генерации, происходящее по экспоненциальному закону, трудно прослеживается по данному рисунку. Максимум излучения наблюдается, когда разность
населенностей падает до порогового значения nпорог = 1 / (bτ R ) (см. уравнение (6.6)).
Рис. 6.7 – Динамика изменения разности населенностей и числа фотонов
в резонаторе вблизи первого генерируемого лазерного импульса
При определенных параметрах активного вещества и резонатора генерируемые импульсы могут иметь постоянную величину в пределах большей части
импульса накачки. Однако приближение одной генерируемой моды резонатора
обычно не выполняется, и генерируемые в режиме свободной генерации «пички» носят хаотический характер.
В режиме свободной генерации твердотельные лазеры имеют энергию
излучения от сотых долей до тысяч джоулей, а их коэффициент полезного действия может достигать нескольких процентов. Применяются такие лазеры в
технологических установках, в частности для пробивания отверстий малого
диаметра и подгонки резисторов в интегральных схемах.
6.5 Лазеры с модуляцией добротности резонатора
Для ряда приложений, таких как дальнометрия и оптическая локация,
требуется иметь моноимпульс лазерного излучения длительностью менее 1 мкс.
Моноимпульсы излучения длительностью от 10 до 100 нс генерируются лазерами с модулированной добротностью резонатора.
Принцип действия таких лазеров состоит в следующем.
117
Как следует из рассмотрения режима свободной генерации, «пичок»
начинается в момент, когда нарастающая разность населенностей становится
равной пороговому значению. Максимум излучения «пичка» приходится на
момент времени, когда она падает до порогового значения. В этом промежутке
разность населенностей достигает максимума. Очевидно, что энергия, излученная в «пичке», определяется тем, насколько разность населенностей превысит
свое пороговое значение. При свободной генерации эта разность мала, и излученная в одном «пичке» энергия тоже невелика. Чтобы ее увеличить, поступают следующим образом.
Добротность резонатора уменьшают настолько, чтобы разность населенностей не достигала порогового значения даже при высоких уровнях накачки.
В некоторый момент времени потери выключаются, и добротность резонатора
резко возрастает. Для образовавшегося высокодобротного резонатора величина
nпорог достаточно мала, а разность n – nпорог достигает большой величины. В результате генерируется мощный импульс света малой длительности.
Динамику генерации моноимпульса рассмотрим на основе уравнений
(6.5) и (6.6), полагая на первом этапе добротность резонатора низкой. Из полученной временной зависимости разности населенностей находим ее максимальное значение nmax и время его достижения. Далее полагаем, что добротность резонатора включается мгновенно при t = 0 и используем полученное
значение nmax в качестве начального, n(0). При этом в уравнении (6.5) можно
опустить последние два члена в правой части, считая, что во время генерации
моноимпульса вероятности индуцированных переходов значительно превышают вероятности спонтанных переходов и переходов частиц на верхний уровень
за счет накачки. В этом случае уравнения принимают вид:
dn
dm
m
(6.14)
= −bmn,
= bmn − .
τR
dt
dt
Воспользуемся описанной методикой для численного анализа моноимпульсной генерации лазера с модулированной добротностью, с параметрами
активного элемента и накачки τ = 3 мс, b = 4 ⋅ 10 −12 м3/с, N = 5 ⋅ 10 22 м–3, для резонатора, имеющего начальное время затухания поля τ R = 2 нс, при начальных
условиях n(0) = 0 и m (0) = 1014 м–3. Импульс накачки с временной зависимостью, определяемой формулой (6.13), и с параметрами, приведенными выше в
п. 6.4, приводит к эволюции разности населенностей, показанной на рисунке 6.8.
118
Рис. 6.8 – Временная зависимость разности населенностей в лазере
с низкодобротным резонатором
Полагаем
далее,
что
добротность
резонатора
«включается»
при
t = 400 мкс, когда разность населенностей имеет значение n = 1,342 ⋅ 10 20 м–3.
Для времени затухания поля в резонаторе τ R = 100 нс и указанного значения
«начальной» разности населенностей n (0) = 1,342 ⋅ 10 20 м–3 численное решение
системы уравнений (6.14) дает временные зависимости, представленные на рисунке 6.9.
Рис. 6.9 – Динамика изменения разности населенностей и числа фотонов
в резонаторе в режиме модуляции добротности
Как видно, в этом случае генерируется моноимпульс излучения с длительностью ~ 20 нс по уровню половинной мощности. Характерно, что макси-
119
мальное число фотонов в резонаторе составляет примерно половину от максимально достигнутого значения разности населенностей. Оценки показывают,
что энергия в импульсе для таких лазеров составляет от единиц до десятков
джоулей, а импульсная мощность может достигать сотен мегаватт. Это делает
такие лазеры чрезвычайно полезными для многих приложений.
Способы модуляции добротности резонатора
Самый простой способ заключается во вращении одного из зеркал резонатора вокруг оси (рис. 6.10).
Потери в резонаторе будут высокими до тех пор, пока зеркала не станут
параллельными друг другу. Скорость вращения должна составлять от 20 до
30 тысяч оборотов в минуту, а импульс накачки быть синхронизованным с этим
вращением таким образом, чтобы максимальная добротность «включалась» во
время достижения разностью населенностей своего максимума. На практике в
качестве вращающегося отражателя используют призму полного внутреннего
отражения.
Рис. 6.10 – Модуляция добротности резонатора
с помощью вращающегося зеркала
Более удобны в управлении активные внутрирезонаторные оптические модуляторы потерь, в качестве которых чаще всего используются электрооптические и акустооптические модуляторы света (рис. 6.11). Принцип действия этих модуляторов основан на изменении показателя преломления среды
под действием приложенного электрического поля (электрооптический эффект)
или акустических колебаний (фотоупругий эффект).
Пассивные внутрирезонаторные модуляторы потерь представляют
собой насыщающиеся поглотители, принцип действия которых основан на просветлении среды под действием светового излучения. Это явление, называемое
эффектом насыщения, рассмотрено выше в п. 4.3.
120
Рис. 6.11 – Модуляция добротности с помощью внутрирезонаторного активного
электрооптического модулятора потерь
6.6 Синхронизация продольных мод
и генерация ультракоротких импульсов
Многие лазеры, в том числе и твердотельные, генерируют одновременно
большое количество продольных мод. Фазы этих мод могут быть случайными
относительно друг друга, и тогда какая-либо связь между ними в выходном излучении отсутствует. Однако усложнением схемы лазера можно добиться
жесткой связи между их фазами колебаний – в этом случае реализуется режим
синхронизации мод. Рассмотрим, к чему приводит жесткая фазовая связь на
примере пяти эквидистантных мод, фазы которых совпадают при t = 0 . Для
наглядности изобразим временные зависимости для сигналов, у которых соседние частоты отличаются на 10% (рис. 6.12).
Рис. 6.12 – Временные зависимости для пяти гармонических колебаний
с одинаковыми амплитудами и с частотами f m = f 0 (1 ± 0,1 p ) ; р = 0, 1, 2
121
Как видно, амплитуда суммарного сигнала при t = 0 увеличивается в
5 раз, а мощность, как квадратичная величина, увеличится в 25 раз по сравнению с мощностью единичного сигнала. Если сигналы не будут сфазированными и когерентными (стабильными по фазе), то они будут складываться не по
амплитуде, а по интенсивности, которая в этом случае увеличится только в
5 раз.
Реально в лазерах отличия частот соседних мод составляют значительно
меньшую величину, а число мод, которые удается синхронизовать, достигает
100 и более. Однако для наглядности ограничимся суммированием девяти эквидистантных мод с частотами, отличающимися на 2% (рис. 6.13).
Рис. 6.13 – Временная зависимость для сигнала, образованного интерференцией
девяти эквидистантных синхронизованных мод,
с межмодовым интервалом 0,02f0
Таким образом, в режиме синхронизации мод лазер генерирует излучение
в виде импульса, основная энергия которого сосредоточена в небольшом временном (пространственном) интервале. Анализ показывает, что длительность
такого импульса обратно пропорциональна числу синхронизованных мод Ns и
межмодовому интервалу ∆f = c / (2 L) : τ p = l / ( N s ∆f ) = 2 L / (cN s ) = T p / N s , где
за Tр обозначено время двойного прохода света по резонатору, являющееся одновременно периодом повторения синхронизованных импульсов (рис. 6.14).
Для реализации режима синхронизации мод используется внутрирезонаторная модуляция оптических потерь по схеме, изображенной на рисунке 6.11.
122
Рис. 6.14 – Временная зависимость для сигнала, образованного интерференцией
девяти эквидистантных синхронизованных мод,
с межмодовым интервалом 0,02f0, при интервале наблюдения от –60/f0 до 60/f0
Однако электрический сигнал, подаваемый на оптический модулятор,
должен обеспечивать большую добротность резонатора с периодом повторения, равным Tp, а сам модулятор нужно размещать на минимальном расстоянии
от зеркала резонатора. В этом случае синхронизованный импульс, проходя модулятор потерь в прямом направлении в момент, когда его пропускание близко
к максимальному, доходит до зеркала, отражается и успевает пройти в обратном направлении также при малых потерях. Далее этот импульс проходит через
активное вещество, усиливается в нем за счет индуцированных переходов, после отражения от второго зеркала снова усиливается и приходит к модулятору
потерь в тот момент времени, когда потери в нем снова минимальны. Следует
отметить, что при наличии описанной выше схемы внутрирезонаторной модуляции потерь режим генерации синхронизованных импульсов устанавливается
автоматически, как наиболее выгодный с точки зрения баланса амплитуд, благодаря свойствам индуцированного излучения. От точности совпадения межмодового интервала и частоты модуляции потерь зависит число синхронизованных мод, а значит, и длительность генерируемых импульсов. Реально достижима синхронизация десятков и сотен продольных мод. При длине резонатора 1 м и синхронизации 100 мод легко получить, что генерируемые импульсы
можно считать ультракороткими, поскольку их длительность составит величину τ p = 30 пс.
123
6.7 Рубиновый лазер
Рубиновый лазер, созданный Г. Х. Мейманом (США) в 1960 г., открыл
эру генераторов когерентного излучения оптического диапазона. Благодаря
уникальным оптическим и физико-механическим свойствам рубин и сейчас является наиболее распространенным лазерным материалом. Он представляет собой кристалл α-корунда (Al2O3), в котором часть атомов алюминия замещена
трехзарядными ионами хрома. В лазерах используют только искусственно синтезированные бледно-розовые рубины с содержанием ионов хрома около
0,05%.
Так как система Cr3+: Al2O3 работает по трехуровневой схеме, инверсия
населенности достигается только при возбуждении 50% ионов Cr3+ (рис. 6.15).
Это приводит к высокому порогу генерации. Рубиновые лазеры могут работать
в импульсном или непрерывном режиме. Из-за низкого КПД (около 0,1%) рубиновый лазер непрерывного действия неэкономичен по сравнению с другими
твердотельными лазерами непрерывного действия. При работе в импульсном
режиме без модуляции добротности выходное излучение лазера состоит из повторяющихся «пичков» длительностью около 1 мкс с большой мощностью в
максимумах. Излучение рубинового лазера характеризуется большой мощностью при невысоком качестве излучения (неоднородное распределение по поперечному сечению, пичковый характер излучения) [8].
Рис. 6.15 – Схема энергетических уровней хрома в кристалле рубина
Типичная схема конструкции рубинового лазера приведена на рисунке 6.16.
124
Рис. 6.16 – Конструкция рубинового лазера
6.8 Неодимовый стеклянный лазер
Этот лазер излучает в ближайшем ИК-диапазоне ( l = 1, 06 мкм). В качестве активных ионов в стекло, используемое в качестве матрицы, вводят ионы
Nd3+ с массовым содержанием 0,5–8%. Nd-лазер работает по четырехуровневой
схеме. Поскольку нижний лазерный уровень почти не заселен, то этот тип лазеров обладает относительно низкой пороговой мощностью (200 Вт), в результате
чего нетрудно осуществить непрерывный режим работы. Для оптической
накачки преимущественно применяют стержневые импульсные лампы с эллиптическим отражателем.
Из-за особой структуры активного вещества лазеры на неодимовом стекле лучше всего подходят для генерации пикосекундных импульсов в режиме
синхронизации мод. В этом режиме достигнуты максимальные мощности 1012–
1013 Вт. Лазеры со стеклянной матрицей имеют ряд преимуществ – большие
размеры стержней, простота изготовления, высокая оптическая однородность.
В то же время по сравнению с ионными кристаллами стекла имеют более низкую теплопроводность и более высокий коэффициент термического расширения, что ограничивает сверху частоту повторения импульсов. Кроме неодима,
лазеры на стекле могут быть активированы и другими редкоземельными ионами (иттербий, эрбий, гольмий, европий и др.).
6.9 Nd-ИАГ-лазеры
В настоящее время лазер этого типа является важнейшим твердотельным
лазером. Он характеризуется тем, что при относительно простой конструкции
достигаются высокие мощности в импульсном режиме при высокой частоте
следования импульсов (до 10 кГц) или даже в непрерывном режиме. Алюмоиттриевый гранат является уникальным лазерным материалом, так как обладает
высокой теплопроводностью, большой твердостью и хорошими оптическими
125
характеристиками. Кристалл граната является матрицей, которая может быть
активирована перечисленными выше редкоземельными элементами. Физический принцип получения инверсии населенности в этом лазере совпадает с лазером на стекле с неодимом. Отличие заключается в использовании кристаллической матрицы (Y3Al5O12), а не аморфной (стекло). Активирование Y3Al5O12
ионами Nd3+ составляет 0,5–3,5%.
Возбуждение среды происходит с помощью оптической накачки: в импульсном режиме – ксеноновыми импульсными лампами с цилиндрическим отражателем; в непрерывном режиме – галогенными лампами и криптоновыми
дуговыми лампами с эллиптическими отражателями. Пороговая энергия составляет менее 5 Дж. Максимальная мощность лазерного излучения в импульсном режиме достигает 109 Вт, в непрерывном режиме 500 Вт. КПД составляет
примерно 1%.
6.10 Волоконные лазеры
Логическим развитием твердотельных лазеров стали волоконные лазеры,
где в качестве систем накачки используются лазерные диоды. Эти источники
были разработаны для телекоммуникационных систем волоконной связи, где
они применяются в качестве усилителей сигналов. Представьте себе, что кристалл, в котором происходит генерация полезного лазерного излучения, как бы
растянут на несколько десятков метров и представляет собой сердцевину волокна диаметром несколько микрон, которая находится внутри кварцевого волокна. Излучение диодов направляется в кварцевое волокно, и на всем его протяжении происходит оптическая накачка сердцевины.
Применение лазерного стекла в качестве активного элемента в твердотельных лазерах известно давно. В отличие от кристаллов, лазерные стекла
имеют неупорядоченную внутреннюю структуру. Наряду со стеклообразующими компонентами SiO2, B2O3, P2O5, BeF2, в них содержатся Na2O, K2O, Li2O,
MgO, CaO, BaO, Al2O3, Sb2O3. Активными примесями чаще всего служат ионы
неодима Nd3+; используются также гадолиний Gd3+, эрбий Er3+, гольмий Но3+,
иттербий Yb3+. Концентрация ионов неодима Nd3+ в стеклах доходит до 6% (по
массе).
В лазерных стеклах достигается высокая концентрация активных частиц.
Другим достоинством таких стекол является возможность изготовления активных элементов больших размеров практически любой формы и с очень высокой
оптической однородностью. К недостаткам использования стекол в качестве
126
лазерных материалов следует отнести относительно широкую полосу генерации и низкую теплопроводность, препятствующую быстрому отводу тепла при
мощной оптической накачке.
Волоконные лазеры были разработаны сравнительно недавно, в
1980-х г. В настоящее время известны модели волоконных технологических лазеров мощностью до 30 кВт. Эти устройства имеют невысокую стоимость, компактны, удобны для сопряжения с магистральным волокном при минимуме
вносимых потерь. Сегодня эти устройства достигли уровня характеристик, в
первую очередь, мощности, надежности, позволяющих с успехом использовать
их для решения различных задач лазерной обработки материалов. Они представляют собой практически идеальные преобразователи световой энергии лазерных диодов накачки в лазерное излучение с рекордным эффективным КПД,
достигающим 65%.
Основой волоконных лазеров является активное волокно, то есть волокно, легированное редкоземельными элементами.
Первые волоконные лазеры были созданы на кварцевых волокнах, легированных ионами неодима.
Лазерное волокно длиной до нескольких десятков метров, как правило,
состоит из двух волокон: центрального и внутреннего. Волокно в разрезе представлено на рисунке 6.17.
Рис. 6.17 – Сечение волокна: 1 – сердцевина, легированная редкоземельным
элементом; 2 – кварцевое волокно; 3 – полимерная оболочка;
4 – внешнее защитное покрытие
Внутреннее волокно 1, содержащее активные ионы (например, ионы иттербия), имеет диаметр несколько десятков микрометров и находится внутри
кварцевого (центрального) волокна 2 диаметром 400–600 мкм. Внутренние
стенки волокна покрыты светоотражающим слоем, поэтому движущийся поток
127
квантов претерпевает многократное отражение. Все световые волны, многократно отражаясь, накладываются, тем самым образуя стоячую волну.
Длина волны излучения определяется типом легирующих ионов, а ширина спектра генерации зависит от материала, в который они введены. Используя
различные редкоземельные элементы в качестве добавок и подбирая состав волокна, можно получить большой набор генерируемых длин волн, в том числе
1,3 и 1,5 мкм, а также перспективный в будущем диапазон среднего ИКизлучения – 2–3 мкм. Для увеличения мощности излучения волоконных лазеров следует увеличивать концентрацию ионов легирующей примеси.
В волоконном лазере накачка осуществляется лазерными полупроводниковыми диодами с одномодовым излучением.
Схема конструкции волоконного лазера приведена на рисунке 6.18.
Рис. 6.18 – Схема волоконного лазера: 1 – торцевое зеркало; 2 – оптическое
кварцевое волокно; 3 – активированное световедущее волокно;
4 – светоотражающее покрытие; 5 – защитная оболочка; 6 – лазерный луч;
7 – фокусирующая линза; 8 – светодиоды
Излучение лазерных диодов накачки (8) вводится в кварцевое волокно (2), через которое осуществляется накачка активных ионов, на которых происходит генерация лазерного излучения. На торцах волокна размещен оптический резонатор (два зеркала, одно из которых полупрозрачное). Через полупрозрачное зеркало выходит идеальный одномодовый лазерный пучок с весьма
равномерным распределением мощности, что позволяет сфокусировать излучение в пятно малого размера.
Главная особенность этого лазера состоит в том, что излучение здесь
рождается в тонком, диаметром всего 68 мкм, волокне (сердцевине), которое
128
находится внутри кварцевого волокна диаметром 400–600 мкм. Излучение лазерных диодов накачки вводится в кварцевое волокно и распространяется вдоль
всего сложного составного волокна, имеющего в длину несколько десятков
метров.
Общую длину волокна и количество лазерных диодов выбирают исходя
из требуемой мощности и эффективности. Стоит также отметить, что ряд таких
свойств излучения волоконных лазеров, как, например, характер поляризации
пучка, делают удобным и надежным управление этим излучением с помощью
акустооптических устройств и позволяют реализовать многолучевые схемы записи изображений.
Поскольку оптическая накачка идет по всей длине волокна, то отсутствуют такие свойственные обычным твердотельным лазерам эффекты, как
термолинза в кристалле, искажения волнового фронта вследствие дефектов самого кристалла, нестабильность луча во времени и др., которые всегда препятствовали достижению максимальных возможностей твердотельных систем. Сами принципы строения и работы волоконного лазера гарантируют высокие эксплуатационные характеристики и делают данные устройства совершенными
преобразователями светового излучения в лазерное.
Мощность волоконного лазера, применяемого для технологических целей, должна составлять от 100 ватт до десятков киловатт. Излучение такой
мощности получают сочетанием многокаскадного усиления в волокнах с набором мощности излучения от нескольких лазеров с меньшей мощностью.
Волоконный лазер со ступенчатым усилением показан на рисунке 6.19.
Принцип работы такого лазера заключается в следующем. Сначала накачивается задающий волоконный лазер 1 с помощью излучения светодиодов 7,
пропущенного через фокусирующие системы светодиодов 8. Затем световое
излучение передается по световому волокну 2 к изолятору. От изолятора излучение передается мощному волоконному лазеру первой ступени 4, накачивая
его, а от лазера первой ступени соответственно к мощному волоконному лазеру
второй ступени 5, который тоже накачивается. После фокусировки из лазера
второй ступени выходит конечный лазерный луч 6.
С помощью такого лазера можно получить мощность излучения до
100 Вт. При этом КПД лазера составляет до 23%. В этом случае наблюдается
весьма малое тепловыделение (около 8…10 Вт). Это дает возможность использовать воздушное охлаждение и исключить применение сложных систем водяного охлаждения, что присуще другим типам технологических лазеров.
129
Рис. 6.19 – Схема многокаскадного усиления в волокнах путем набора мощности излучения от нескольких лазеров с меньшей мощностью:
1 – задающий волоконный лазер; 2 – соединяющее световое волокно;
3 – изолятор; 4 – мощный усиливающий волоконный лазер первой ступени;
5 – мощный усиливающий волоконный лазер второй ступени;
6 – лазерный луч; 7 – светодиоды; 8 – фокусирующие системы светодиодов
Лазеры на оптических волокнах, легированных ионами редкоземельных
элементов, с оптической накачкой обладают рядом преимуществ:
•
благодаря волоконной структуре волоконные лазеры имеют низкие
пороги генерации;
•
их удобно использовать в качестве источников излучения ВОЛС из-за
простоты сопряжения с волокном линии;
•
эффективно использование направленных разветвителей для расщепления пучка, так как при этом исключаются дифракционные потери на
апертурах объемных элементов;
•
излучение лазера можно фокусировать с помощью стеклянных линз;
•
излучение может передаваться по волокну на большие расстояния,
при этом сама лазерная установка может находиться в удобном для
работы месте, а волокно от лазерной установки уже непосредственно
протягивается на рабочее место;
•
возможность создания излучателей высокой мощности (десятки киловатт) путем объединения излучений нескольких волоконных лазеров в
одно;
•
излучение эффективно поглощается металлами;
•
для волоконных лазеров практически не требуется такое техническое
обслуживание, как настройка, юстировка, чистка и др.;
•
допускает размещение в обычных рабочих помещениях цехов без учета специальных требований;
130
• срок работы до 100 000 часов.
Волоконный лазер является наилучшим преобразователем лазерной энергии, он эффективен, технологичен, имеет существенные преимущества перед
другими лазерными установками и наивысший эффективный КПД. В последнее
время волоконные лазеры активно вытесняют традиционные лазеры из таких
областей применения лазерной техники, как, например, лазерная резка и сварка
материалов, маркировка и обработка поверхностей, полиграфия и скоростная
лазерная печать. Их используют в лазерных дальномерах и трехмерных локаторах, аппаратуре для телекоммуникаций, в медицинских установках и других
сферах промышленных и военных комплексов. Так же, как и в случае твердотельных неодимовых лазеров, в волоконных лазерах может использоваться эффект умножения частоты, позволяющей работать на второй и третьей гармониках.
·····························································
Контрольные вопросы по главе 6
·····························································
1. Опишите трехуровневую схему активной среды твердотельного лазера и происходящие в ней процессы.
2. Опишите четырехуровневую схему активной среды твердотельного
лазера и происходящие в ней процессы.
3. Расскажите о системах оптической накачки твердотельных ОКГ. Чем
обеспечивается высокая эффективность систем оптической накачки?
4. Запишите балансные уравнения для трехуровневой схемы функционирования твердотельного лазера.
5. Запишите балансные уравнения для четырехуровневой схемы функционирования твердотельного лазера.
6. Опишите особенности режима свободной генерации.
7. Опишите процесс формирования гигантского импульса в режиме модуляции добротности.
8. Укажите основные методы модуляции добротности.
9. Рассмотрите режим синхронизации мод, укажите причины получения
коротких мощных импульсов.
10. Перечислите особенности рубинового лазера.
11. Назовите особенности лазера на иттрий-алюминиевом гранате.
12. Расскажите об особенностях волоконных лазеров.
131
7 Газовые лазеры
В качестве активных сред для газовых лазеров пригодны все газообразные при комнатной температуре элементы, большое число элементов в парообразном состоянии (например, пары металлов), большое число молекул. При создании инверсии населенности широко используется ударное возбуждение излучающих состояний при столкновениях атомов и молекул с электронами в газовых разрядах и электронных пучках. При этом большую роль обычно играют
ступенчатые процессы с участием метастабильных атомов и молекул. Для лазеров, работающих на колебательных переходах в молекулах, может быть использована химическая или газодинамическая накачка. Примерная конструкция
газового лазера приведена на рисунке 7.1.
Рис. 7.1 – Принципиальная схема газоразрядного лазера: 1 – источник питания
разряда; 2 – оптический резонатор; 3 – активный элемент;
4 – лазерное излучение
Активная среда находится в пределах лазерной трубки, длина зоны возбуждения достигает от нескольких сантиметров до 200 м (типично 0,3–1,5 м), а
диаметр лазерной трубки 0,1–50 см (типично 0,1–2 см), наполнение газа стационарное или в проточной системе. Охлаждение газа, т. е. отвод тепловых потерь, происходит с помощью воздушного охлаждения при малой мощности; водяного охлаждения при средней и высокой мощности; быстрой замены газа при
очень высокой мощности. По сравнению с твердотельным лазером, газовый лазер, благодаря лучшей однородности активной среды и более узкой ширине лазерной линии, имеет более высокие параметры излучения относительно длины
когерентности, стабильности интенсивности излучения, расходимости пучка и
однородности по поперечному сечению. Предельные физико-технические параметры газовых лазеров приведены в таблице 7.1. Спектральные свойства ла-
132
зерного излучения в основном определяются сильным неоднородным (доплеровским) уширением. При этом изменение доплеровской ширины в зависимости от длины волны равно:
•
∆ν = 50 МГц для l = 10,6 мкм (СО2-лазер);
•
∆ν = 1,5 ГГц для l = 0,633 мкм (Не-Nе-лазер);
• ∆ν = 3,5 ГГц для l = 0,448 мкм (Аr+-лазер).
Неоднородное уширение приводит к тому, что газовый лазер излучает на
большом числе собственных мод и в результате образуется спектрально относительно широкая линия. Одномодовый режим работы лазера может быть достигнут, наряду с применением частотно-селективных элементов, с помощью
коротких резонаторов [8].
Таблица 7.1 – Предельные параметры газовых лазеров
Параметр
Мощность в непрерывном
режиме, кВт
Энергия импульса излучения,
кДж
Импульсная мощность, ТВт
Длительность импульса, пс
КПД, %
Минимальная длина волны, нм
Максимальная длина волны, мм
Значение
Тип лазера
400
Газодинамический CO2-лазер
70
Быстропроточный CO2-лазер
20
30
50
ТЕА-лазер на CO2
ТЕА-лазер на CO2
Лазер на галогенидах инертных
газов
H2-лазер
CH3Br-лазер
116
1,965
7.1 Особенности газов как активного вещества для лазеров
Для газовых активных лазерных сред характерны следующие особенности:
1. Из-за малой плотности газовая среда отличается высокой оптической
однородностью. Потери на рассеяние и поглощение здесь гораздо ниже, чем в твердотельных средах. Это позволяет использовать газонаполненные трубки длиной в несколько метров. Оптическая однородность обеспечивает и более высокую пространственную когерентность
излучения.
2. Узкие спектральные линии атомов и молекул, уширение которых в основном обусловлено эффектом Доплера, позволяют получить высокую монохроматичность излучения.
133
3. Вследствие малой плотности газа удельный энергосъем (энергия с
единицы объема) намного меньше, чем у твердотельных и полупроводниковых лазеров. Поэтому активные элементы газовых лазеров
имеют значительно большие размеры, чем у твердотельных и полупроводниковых лазеров той же мощности.
4. Способы создания инверсии населенностей в газовых средах отличаются большим разнообразием.
Перечислим некоторые способы реализации инверсии населенностей в
газах:
•
в газовом разряде, за счет столкновений между электронами и невозбужденными частицами, а также при столкновениях между возбужденными и невозбужденными частицами;
•
при оптической накачке;
•
за счет химических реакций, при которых образуются атомы или радикалы в возбужденных состояниях;
•
при диссоциации молекул и образовании в этом случае атомов в возбужденных состояниях;
•
при охлаждении предварительно нагретой газовой смеси (газодинамические лазеры);
•
при использовании квазимолекул, или эксимерных комплексов атомов, существующих только в возбужденных состояниях [8].
7.2 Механизмы возбуждения газоразрядных лазеров
В газоразрядных лазерах возбуждение атомов, молекул или ионов на
верхние уровни осуществляется за счет электрического разряда на постоянном
токе или ВЧ разряда. Основными процессами, создающими инверсию населенностей в газовом разряде, являются столкновения 1-го или 2-го рода.
Столкновения 1-го рода – наиболее существенный механизм заселения
возбужденных состояний атомов, ионов и молекул в газовом разряде. При таких процессах электроны газового разряда сталкиваются с частицами в невозбужденном состоянии (e + A → A* + e ) и при неупругом соударении передают
свою кинетическую энергию, которая переходит во внутреннюю энергию частицы. Обозначим за 1 / θ mn вероятность перехода одной частицы в единицу
времени с m-го на n-й уровень за счет столкновения с электроном ( θ mn – время
между двумя последовательными столкновениями, приводящими к данному
134
переходу). Для трехуровневой схемы изобразим возможные переходы
(рис. 7.2). Как видим, схема достаточно сложна для анализа. Анализ, проведенный на основе балансных уравнений, показывает, что для достижения инверсии
населенностей в непрерывном режиме должно выполняться условие τ 3 >> τ 21 ,
где время жизни на третьем уровне определяется из выражения:
τ 3 −1 = τ 31−1 + τ 32 −1.
Рис. 7.2 – Схема переходов в газоразрядном лазере за счет столкновений
1-го рода
Число газовых сред, для которых это условие выполняется, невелико. Однако инверсия населенностей во многих газовых средах за счет столкновений
1-го рода может быть получена в импульсном режиме. Изменение населенностей уровней в таком лазере во времени изображено на рисунке 7.3.
Здесь генерация возникает на начальном и конечном участках импульса
накачки. Ее длительность составляет 10–8–10–9 с. Примером могут служить лазеры на парах меди и бромида меди, генерирующие в видимом диапазоне на
длинах волн 510,6 нм (зеленая линия) и 578,2 нм (желтая линия).
Газоразрядная трубка такого лазера изготавливается из керамики Al2O3,
возбуждение разряда от конденсатора, заряженного до 15–20 кВ. Для обеспечения требуемого давления паров меди температура внутри трубки должна составлять ~ 1 500°C . Средняя мощность составляет единицы-десятки ватт, коэффициент полезного действия ~3%. Частота следования импульсов может достигать 20 кГц, длительность импульса составляет ~20 нс.
135
Столкновения 2-го рода происходят в смеси газов. Частицы одного из газов (вспомогательного газа «A») за счет столкновений 1-го рода переходят в
возбужденное метастабильное состояние.
Рис. 7.3 – Временные зависимости тока разряда, населенностей уровней
и разности населенностей на рабочем переходе
Энергия этого метастабильного состояния близка к энергии возбужденного уровня частиц другого газа, который является основным (рабочим газом «B»). В результате неупругого столкновения частицы «A» с частицей «B»
происходит резонансная передача энергии от «A» к «B»:
B + A * → B* + A.
136
B
Вероятность этого процесса велика при ℏω A21 = ℏω31
(рис. 7.4).
Между уровнями 3 и 2 газа «B» в результате накопления частиц на
уровне 3 может возникать инверсия населенностей. Анализ показывает, что для
достижения инверсии населенностей возбуждение частиц «B» должно происходить в основном за счет столкновений 2-го рода, причем τ 3B должно быть
больше, чем τ B2 . Кроме того, плотность (число в единице объема) атомов «А»
должна превышать плотность атомов «B».
Рис. 7.4 – Схема переходов в газоразрядном лазере при столкновениях 2-го рода
Среди газоразрядных лазеров различают атомарные, ионные и молекулярные лазеры, использующие соответственно энергетические уровни атомов,
ионов и молекул.
7.3 Атомарный гелий-неоновый лазер
Самым распространенным лазером на атомных переходах является НеNe-лазер. Этот лазер может работать в непрерывном режиме с малыми выходными мощностями. Он отличается небольшими размерами, простой и надежной
конструкцией. В Не-Nе-лазере возможна генерация на многочисленных переходах между электронными уровнями атома неона. Наиболее употребительны
лазеры с длиной волны излучения 632,8 нм.
В гелий-неоновом лазере инверсия населенностей достигается между
энергетическими уровнями атомов неона (Ne) за счет столкновений 2-го рода с
атомами вспомогательного газа гелия (He). Упрощенная схема энергетических
уровней этих газов приведена на рисунке 7.5.
137
Рис. 7.5 – Энергетические уровни атомов гелия и неона и схема,
поясняющая переходы для He-Ne-лазера
В основном энергетическом состоянии атом гелия содержит 2 электрона
и имеет конфигурацию 1s2. Возбужденное состояние He реализуется за счет
столкновений с электронами (1-го рода), и ему соответствует электронная конфигурация 1s2s. Этой конфигурации соответствуют два энергетических уровня,
которые принято обозначать 21S0 и 23S1. Излучательные переходы с этих уровней в основное состояние запрещены (ввиду одинаковой четности волновых
функций) и они являются метастабильными, запасая энергию, получаемую при
столкновениях 1-го рода. Времена жизни для состояний 21S0 и 23S1 составляют
5·10–6 и 10–4 с, соответственно.
Основное состояние атома Ne характеризуется электронной конфигурацией 1s22s22p6. При возбуждении неона один электрон из оболочки 2p, в зависимости от полученной атомом энергии, переходит в состояния 3s, 3p, 4s, 4p
или 5s, которым соответствуют изображенные на рисунке 7.4 электронные
конфигурации 1s22s22p53s, 1s22s22p53p, 1s22s22p54s, 1s22s22p54p и 1s22s22p55s. Все
конфигурации типа 2p5Ns (N = 3, 4, 5) имеют 4 энергетических подуровня, а
2p5Np – 10 подуровней. В гелий-неоновом лазере используется тлеющий газовый разряд. За счет столкновений с электронами, как уже отмечалось, атомы He
переходят в метастабильные возбужденные состояния 21S0 и 23S1, энергетическое положение которых близко к таковому для состояний 2p55s и 2p54s атомов
138
Ne. Поэтому при столкновениях 2-го рода происходит резонансная передача
энергии, и атомы неона переходят в эти возбужденные состояния. Лазерная генерация может происходить на переходах 2p55s → 2p54p (λ = 3,39 мкм),
2p55s → 2p53p (λ = 0,633 мкм) и 2p54s → 2p53p (λ = 1,15 мкм). Соответствующим подбором интерференционных зеркал резонатора можно получить излучение на любой из этих длин волн. Опустошение нижних лазерных уровней 2p54p
и 2p53p происходит за счет излучательных переходов в состояние 2p53s, имеющих большое время жизни. Накопление частиц на этом уровне нежелательно, а
переход находящихся на нем частиц в основное состояние с конфигурацией 2p6
происходит, как правило, при их столкновении со стенками сосуда. По этой
причине работа гелий-неонового лазера критична к диаметру разрядной трубки,
размер которой не должен превышать 10 мм.
Свойства Не-Nе-лазера типичны для газовых лазеров и характеризуются
большой длиной когерентности, высокой монохроматичностью, хорошим качеством пучка. Мощность гелий-неоновых лазеров обычно составляет 0,5–50 мВт
и их использование связано, в основном, с измерительной техникой, голографией и т. д. [8].
7.4 Лазеры на парах металлов
Среди лазеров на переходах в атомах лазеры на парах металлов занимают
важное место. Дело в том, что металлы обладают наиболее подходящей структурой энергетических уровней с точки зрения получения высокого квантового
КПД. В качестве лазерного обычно используется переход из резонансного в метастабильное состояние. Такие лазеры могут работать только в импульсном режиме, так как время жизни нижнего состояния больше, чем верхнего. Они получили название лазеров на самоограниченных переходах.
В настоящее время получена генерация на парах многих металлов – меди,
золота, свинца, марганца, таллия, висмута, железа, бария, кальция, стронция и
других. Промышленное значение имеют в основном лазеры на парах меди и
меди – золота. Лазеры на парах меди дают излучение в зеленой (510,6 нм) и
желтой (578,2 нм) областях спектра. В присутствии паров золота появляется
красная линия (627,8 нм), т. е. излучение лазера становится трехцветным. Такие
лазеры имеют среднюю мощность излучения до 20 Вт, а импульсную до
200 КВт при длительности импульса 20–30 нс. Трудности создания лазеров на
парах металлов обусловлены высокой рабочей температурой (до 1 700 К) ак-
139
тивного объема и необходимостью обеспечения мощных коротких импульсов
накачки в газовом разряде при частоте повторения в десятки килогерц.
7.5 Ионный аргоновый лазер
В ионных лазерах инверсия населенностей достигается между возбужденными уровнями ионов. Характерным примером является аргоновый лазер.
Считается, что возбуждение частиц в аргоновом лазере происходит в два этапа.
Сначала атомы Ar, сталкиваясь с электронами в газоразрядной плазме, ионизируются. Затем при втором столкновении, тоже 1-го рода, происходит возбуждение иона Ar, при котором один электрон переходит из 3p в 4p-оболочку:
Ar + e → Ar + + 2e,
Ar + + e → (Ar + ) * + e.
Упрощенно схема уровней Ar изображена на рисунке 7.6.
Рис. 7.6 – Схема уровней в ионном аргоновом лазере
На самом деле уровни 3p44p и 3p44s состоят из множества подуровней,
поэтому аргоновый лазер может генерировать на многих переходах между подуровнями этих состояний в диапазоне от 0,46 до 0,52 мкм, то есть в синезеленой области спектра.
Для ионизации газа аргоновый лазер требует пропускания через трубку
токов очень большой плотности, до нескольких тысяч А/см2. Для увеличения
плотности тока в таком сильноточном дуговом разряде трубка делается малого
диаметра, 1–3 мм. Разрядная трубка-капилляр выполняется из бериллиевой керамики или графита. Как правило, аргоновые лазеры работают с водяным
охлаждением. Для уменьшения бомбардировки стенок трубки ионами и элек-
140
тронами используют продольное магнитное поле, которое концентрирует заряженные частицы на оси разрядного элемента.
Положительные ионы Ar+, двигаясь к катоду, увеличивают свою концентрацию вблизи него. Для компенсации перекачки газа анодную и катодную полости соединяют между собой более длинным капилляром, в котором не происходит разряда, и обеспечивается обратная циркуляция газа. Вследствие однонаправленного движения ионов аргона в разрядном промежутке контур спектральной линии излучения имеет асимметричную форму.
Аргоновые лазеры являются самыми мощными непрерывными лазерами
в видимом диапазоне, обеспечивая выходную мощность от единиц до сотен
ватт. Недостатками являются малый коэффициент полезного действия (~0,1%)
и сроки службы, не превышающие сотен часов.
К другим типам ионных лазеров, достаточно часто используемых, относятся гелий-кадмиевый (λ = 0,4416 и 0,325 мкм) и криптоновый (λ = 0,6471,
0,616, 0,5682 и 0,35 мкм).
7.6 Молекулярные лазеры
Генерация лазерного излучения была получена на большом количестве
молекул и их излучение охватывает ультрафиолетовый, видимый и инфракрасный диапазон спектра. Рассмотрим некоторые наиболее часто используемые
типы молекулярных лазеров.
7.6.1 Газовые лазеры в УФ-диапазоне (N2 и Н2-лазеры)
Азотный лазер является высокомощным лазером с коротким временем
нарастания импульса, с высокой частотой следования импульсов. Из-за незначительного времени жизни верхнего уровня инверсия заселенности достигается
только при возбуждении короткими импульсами (< 15 нс). Для достижения высоких энергий в импульсе требуется большая электрическая мощность возбуждения. Благодаря очень быстрому усилению в активной среде, из-за чего вся
инверсная населенность снимается в один проход, N2-лазер может работать без
резонатора. Рабочая длина волны азотного лазера составляет 337,1 нм.
Н2-лазер является мощным импульсным лазером в вакуумном УФдиапазоне (рабочие длины волн 116, 123, 160 нм) с малой длительностью импульса. По принципу действия он аналогичен азотному [8].
141
7.6.2 Молекулярный лазер на углекислом газе
Низкий коэффициент полезного действия атомарных и ионных лазеров,
работающих в непрерывном режиме, обусловлен следующими причинами.
Возбуждение газовой смеси происходит на высоко расположенные электронные уровни, так что отношение энергии генерируемых квантов к энергии
возбуждения не превышает 0,1. Кроме того, не все электроны газового разряда
имеют достаточную энергию для возбуждения верхнего рабочего уровня.
В существующих атомарных и ионных лазерах доля электронов, имеющих такую энергию, относительно мала, а основная часть энергии источника питания
тратится электронами на возбуждение самых низких уровней. В результате
суммарный коэффициент полезного действия составляет доли процента.
Для повышения коэффициента полезного действия выгодно в качестве
рабочих использовать низко расположенные энергетические уровни частиц.
Наиболее подходящими с этой точки зрения являются возбужденные колебательные уровни молекул.
Как известно, любая молекула совершает колебательные и вращательные
движения. Энергия этих движений квантована таким образом, что разрешены
лишь состояния с определенными ее значениями. Обычно энергия вращательного движения меньше энергии колебательного движения. Поэтому одному колебательному энергетическому состоянию с квантовым числом ν соответствует
много вращательных состояний, характеризующихся квантовыми числами j,
отличающимися на единицу. Подобно электронным состояниям атома, молекула имеет основное невозбужденное колебательное состояние с минимальной
энергией и возбужденные состояния.
Рассмотрим молекулу CO2, которая представляет из себя линейную цепочку, в центре которой располагается атом углерода. Атомы в молекуле могут
совершать колебания около положения равновесия (рис. 7.7).
Молекула CO2 имеет 3 типа колебаний:
1. Симметричный тип колебания. Атомы кислорода колеблются вдоль
оси молекулы симметрично относительно атома углерода.
2. Асимметричный (антисимметричный) тип колебания. При этом атом
углерода колеблется вдоль продольной оси молекулы.
3. Деформационные типы колебания. В этом случае атом углерода колеблется в направлении, перпендикулярном продольной оси молекулы. Данный тип колебания является двукратно вырожденным, по-
142
скольку при этом имеется два взаимно перпендикулярных направления колебаний.
Рис. 7.7 – Типы колебаний молекулы углекислого газа
Все вышеперечисленные типы колебаний обозначаются соответственно
тремя цифрами: ν 00 0; 0 00 ν; 0 νl 0. В этих обозначениях ν – число квантов, запасенных в данном виде колебаний (номер колебательного уровня), а l – поляризация деформационного колебания. Если число ν стоит первым в тройке
цифр, то этот уровень соответствует симметричному типу колебаний. Когда не
равна нулю последняя цифра, то это означает, что уровень относится к асимметричному виду колебаний, а когда средняя – к деформационному колебанию.
Расстояния между колебательными уровнями одного вида колебаний всегда
одинаковы, то есть их спектр является эквидистантным.
Основное состояние молекулы CO2 обозначается 0 00 0 (рис. 7.8).
Рис. 7.8 – Схема уровней в молекулярном лазере на CO2
Самым низким возбужденным уровнем молекулы CO2 является уровень
01 0 (деформационное колебание). Далее идут 0 20 0, 0 22 0, 1 00 0, 0 00 1 и так
1
143
далее. Обычно частоты переходов между различными колебательными состояниями молекул лежат в миллиметровой и инфракрасной областях спектра. В
лазерах на CO2 используются колебательно-вращательные переходы 0 00 1→1
00 0 и 0 00 1→0 20 0 (λ = 10,6 и 9,6 мкм, соответственно). Инверсия населенностей в стационарном режиме на колебательно-вращательных переходах молекулы CO2 реализуется за счет того, что скорость разрушения колебательных состояний 1000 и 0200 много больше скорости разрушения состояния 0001. Вероятность перехода молекулы с уровня 1000 вниз возрастает при введении в газовую смесь атомов гелия, которые при столкновении с CO2 разрушают это состояние. Вероятность же разрушения состояния 0001 при столкновениях с He
мала.
Возбуждение молекул CO2 на верхние уровни для достижения инверсии
населенностей осуществляется, в основном, за счет столкновений 2-го рода.
В качестве вспомогательного газа используется азот, молекулы которого (N2)
находятся на возбужденных колебательных уровнях (рис. 7.9).
Рис. 7.9 – Колебательные энергетические уровни молекул азота
и углекислого газа и схема, поясняющая переходы для лазера на CO2
Эффективные сечения соударений молекул СО2 и N2 с электронами максимальны в области энергий 1,5–2 эВ. Функция возбуждения электронов в разряде CО2 – N2 имеет максимум также в данной области энергий. Благодаря этому эффективность использования электронов в разряде чрезвычайно высока и
144
достигает 70–80%. Поэтому КПД лазера определяется практически только
квантовой эффективностью лазерных переходов, составляющих 41 и 45,5% для
переходов с длиной волны 9,6 и 10,6 мкм соответственно.
В газоразрядных лазерах на CO2 реализуется высокий коэффициент полезного действия, достигающий 30%. Это объясняется тем, что, во-первых, как
сказано выше, отношение энергии излучаемого кванта к необходимой для возбуждения верхнего рабочего уровня составляет ~0,4. Во-вторых, почти вся
энергия электронов газового разряда идет на возбуждение как молекул N2, так и
самих CO2. Кроме того, колебательные уровни молекул азота являются эквидистантными. Практически любое возбужденное состояние молекулы N2 способно передать колебательный квант невозбужденной молекуле CO2, переходя в
ближайшее нижнее состояние. Таким образом, одна молекула N2, переведенная
в самое верхнее колебательное состояние, может при столкновениях возбудить
несколько молекул CO2. Особенностью молекулы CO2 является большое время
жизни верхнего лазерного уровня 0001. Благодаря этому верхний уровень в отсутствие генерации служит накопителем возбужденных молекул. Поэтому в лазерах на молекулах CO2 с модуляцией добротности резонатора возможно получение мощных моноимпульсов.
Значительную роль в процессах возбуждения и релаксации системы
СO2 – N2 играет третья газовая компонента – He. С одной стороны, гелий как
газ с высоким потенциалом ионизации повышает электронную температуру до
оптимальных величин (1,5–2 эВ), а с другой стороны, способствует распаду
нижних уровней 100 и 010 в результате неупругих соударений. Наконец, гелий
вследствие высокой теплопроводности снижает температуру газовой смеси.
Последнее обстоятельство имеет особо важное значение для молекулярных лазеров, поскольку расстояние между основными (0000) и нижними лазерными
уровнями (1000 и 0200) невелико (около 0,16 эВ). В связи с этим по мере роста
температуры газовой смеси в соответствии с распределением Стефана – Больцмана населенность нижних уровней увеличивается быстрее, чем верхних, и инверсия падает. Кроме того, с увеличением температуры значительно уменьшается время жизни верхнего лазерного уровня из-за столкновений возбужденных
молекул. Поэтому при нагреве газовой смеси до температур 500–700°С генерация срывается. Практически нежелателен нагрев выше 200°С.
Спектральные характеристики излучения определяются преимущественно доплеровским механизмом уширения. Для СO2-лазеров такое уширение, как
правило, не превышает 100 МГц, поэтому они могут работать в одночастотном
145
режиме с высоким уровнем выходной мощности. Наличие густо расположенных вращательных уровней позволяет получить генерацию на большом количестве (примерно 100) отдельных спектральных линий, расположенных друг от
друга на расстоянии от 1 до 10 нм.
Конструктивно СO2-лазеры могут выполняться в так называемых отпаянном (а) и прокачном (б) вариантах (рис. 7.10).
Типичная мощность излучения на метр активной среды в отпаянных
трубках составляет 20–30 Вт/м. Промышленностью освоены модели, у которых
мощность излучения в непрерывном режиме варьируется в пределах от 1 до
100 Вт.
Рис. 7.10 – Типичная конструкция CO2-лазера
Проведенные исследования (в Физическом институте АН СССР, Институте атомной энергии им. И. В. Курчатова) позволили создать мощные и компактные СО2-лазеры нового поколения. В них в результате непрерывной поперечной прокачки газовой смеси удалось значительно увеличить мощность,
снимаемую с единицы длины активной среды. Устройства такого типа размером с письменный стол позволяют получать десятки киловатт мощности непрерывного излучения в течение многих часов работы.
В настоящее время проводятся интенсивные исследования, направленные
на увеличение мощности излучения, снимаемой с единицы объема активной
среды. Наиболее естественный путь – повысить давление газовой смеси. Однако это сделать непросто, поскольку при повышении давления использование
самостоятельного электрического разряда для возбуждения больших объемов
газа становится невозможным из-за его неустойчивости, «шнурования» и т. д.
146
Кроме того, необходимость поддержания оптимального отношения Е / р требует соответствующего увеличения напряжения на электродах. При этом резко
увеличивается концентрация электронов в плазме и инверсия снижается.
Существуют два подхода к решению данной проблемы. Первый связан с
использованием поперечной схемы возбуждения разряда по отношению к оси
оптического резонатора. Лазеры с подобной схемой возбуждения появились в
1969 г. и получили название ТЕА-лазеров (от англ. Transversly Excited Atmospheric). Использование поперечного разряда вместо продольного позволило
поднять давление рабочей смеси вплоть до атмосферного, существенно уменьшить напряжение поджига и поддержания разряда, резко повысить скорость
прокачки рабочей смеси и соответственно отвода теплоты, уменьшить осаждение на зеркала резонатора продуктов распыления электродов.
ТЕА-лазеры работают, как правило, в импульсном режиме с высокими
энергией (до 1 кДж), мощностью излучения в импульсе (до 20 ГВт) и КПД
(около 10%). Длительность импульсов излучения может изменяться от 1 мкс до
1 с, а частота повторения импульсов – от 1 до 100 Гц и выше, причем при малых частотах следования импульсов прокачка газовой смеси не обязательна.
Второй подход, связанный с использованием несамостоятельных видов
разряда, привел к созданию электроионизационных и фотоионизационных лазеров. В них ионизация газа происходит под действием пучка электронов с
энергией 100–500 кэВ или УФ-излучения, что позволяет возбуждать большие
объемы газа (до 100 л) при высоких давлениях, достигающих 104 кПа. Мощность излучения, снимаемая с единицы объема активной среды, увеличивается
в 105–106 раз по сравнению с обычными газоразрядными СО2-лазерами.
Однако электроионизационным лазерам присущи существенные недостатки:
1) необходимость использования ускорителя электронов, работа которого
сопровождается сильным рентгеновским излучением;
2) вакуумный объем камеры ускорителя и рабочий объем, находящийся
под высоким давлением, разделяет тонкая, легко повреждаемая металлическая фольга, через которую вводится пучок электронов. В этом
причина низкой надежности всего устройства.
В связи с этим определенные преимущества имеет метод предионизации
рабочей смеси с помощью УФ-излучения от специальных источников.
В последнее время много внимания уделяется разработке СО-лазеров,
применение которых в ряде случаев оказывается более предпочтительным. Из-
147
лучение СО-лазеров сосредоточено в области 5–5,4 мкм, хорошо проходит через атмосферу и сравнительно глубоко проникает в диэлектрические материалы. Кроме того, квантовый КПД молекул СО выше, чем СО2, и достигает 50%.
7.6.3 Газодинамические лазеры
Создание газодинамических лазеров (ГДЛ) явилось значительным достижением в развитии сверхмощных лазеров непрерывного действия.
Активное вещество газодинамического лазера представляет собой смесь
азота и двуокиси углерода. Инверсная населенность энергетических уровней в
этом лазере создается за счет дифференцированной колебательной релаксации,
вызываемой столкновением молекул в процессе сверхзвукового расширения газа. Согласно теоретическим расчетам, газодинамические лазеры способны создавать непрерывное лазерное излучение мощностью в несколько сот тысяч киловатт в области инфракрасного излучения.
В газодинамическом лазере применяется тепловая накачка за счет сгорания окиси углерода и реактивный принцип истечения активного вещества. Лазерная камера напоминает по внешнему виду камеру сгорания реактивного
двигателя. Она снабжена сужающимся и расширяющимся соплом, назначение
которого состоит в получении за соплом пониженных температур и давления
газа в целях создания инверсной населенности энергетических уровней.
Принцип работы газодинамического лазера основан на расширении газовой смеси и резком снижении ее температуры и давления за время, гораздо
меньшее, чем это требуется для протекания процессов колебательной релаксации верхнего энергетического уровня лазерной системы.
Принцип действия газодинамических лазеров на углекислом газе показан
на рисунке 7.11.
В смесительной камере 1 лазера находится смесь нагретых газов (углекислого газа – 75%, азота – 22% и водяных паров – 3%). Поскольку в процессе
генерации газовая смесь должна постоянно истекать из камеры, то для такого
истечения газов могут быть использованы различные способы, и в частности
нагревание в газообменном аппарате, сжигание соответствующего топлива и
т. д.
148
Рис. 7.11 – Схема газодинамического лазера на молекулах СО2
Возбужденные молекулы азота передают колебательную энергию молекулам углекислого газа. Давление и температура в смесительной камере достигают соответственно 1,7 МПа (17 атм) и 1 400 К. Скорость истечения смеси газов за соплом 2 составляет 1360 м/с, в результате чего в лазерной камере 3 (область расширения сопла) давление и температура понижаются соответственно
до 104 Па (0,1 атм) и 350 К. Вытекающие газы поступают в область генерации 4, которая находится вне камеры лазера. Температура и давление газовой
смеси падают настолько быстро, что энергия колебаний стимулированных молекул «замораживается» в состоянии высокой энергии. Вследствие этого повышается инверсная населенность уровней возбужденных молекул азота в области 3 при сохранении ими энергии колебаний, которой они обладали при
первоначальной температуре «замороженного» газового потока до сопла
(1 400 К).
При дальнейшем снижении давления возбужденные молекулы азота
сталкиваются с молекулами углекислого газа и передают им свою энергию колебаний. Получившие энергию возбужденные молекулы углекислого газа создают когерентное монохроматическое излучение на волне 10,6 мкм.
Генерация лазерного излучения происходит в области 4, где расположен
резонатор, состоящий из плоских медных зеркал 5. В газодинамических лазерах
зеркала оптического резонатора нуждаются в интенсивном охлаждении из-за
довольно большого коэффициента поглощения излучения медных зеркал. Таким образом, в объемном оптическом резонаторе лазера 4 и 5 путем возбуждения молекул углекислого газа генерируется излучение с длиной волны 10,6 мкм
в режиме непрерывного излучения. Первый газодинамический лазер развивал
149
мощность генерации в непрерывном режиме около 60 кВт. Существуют газодинамические лазеры, мощность которых превышает 200 кВт.
Газодинамические лазеры имеют сравнительно низкий КПД, который в
настоящее время достигает 10–15%. Это объясняется неэффективностью первоначального нагревания газовой среды. Одним из способов повышения КПД
газодинамических лазеров является применение замкнутого цикла, при котором
отработавшая (но еще горячая) газовая смесь возвращается обратно в камеру
сгорания, или другого источника нагревания.
К недостаткам газодинамических лазеров следует также отнести их
большие габариты, потребление большого количества горючего, сильный шум
при работе, что отрицательно сказывается на обслуживающем персонале.
Дальнейшим развитием газодинамических лазеров являются электроаэродинамические лазеры, в которых возбуждение молекул азота осуществляется в электрической дуге. КПД таких лазеров достигает 30%, а выходная мощность – до 100 КВт.
7.7 Эксимерные лазеры
Класс импульсных газовых лазеров, объединенных названием «эксимерные», возник сравнительно недавно. Лазеры этого класса работают на переходах между двумя термами молекулы, нижний из которых является отталкивательным и составлен обычно из атомов в основном состоянии. Верхний терм
лазерного перехода имеет потенциальный минимум (рис. 7.12), где r – расстояние между ядрами молекул.
Рис. 7.12 – Схема потенциальных кривых эксимерных молекул
150
Такие молекулы существуют только в возбужденном состоянии, откуда и
происходит название этого типа лазеров. Особенности работы этого лазера состоят в следующем. В результате процессов в возбужденном газе образуется
эксимерная молекула в электронно-возбужденном состоянии на некотором колебательном уровне. Линия излучения такой молекулы относительно широка.
Ширина линии испускания перехода в эксимерном лазере на несколько порядков превышает значение этой величины для других типов лазеров. Таким образом, сечение индуцированного излучения для перехода в эксимерном лазере
весьма мало и этот лазер может работать только при относительно высокой интенсивности накачки. Поэтому существующие эксимерные лазеры работают
только в импульсном режиме. По той же причине эксимерные лазеры появились значительно позже других типов лазеров.
Впервые описанный механизм создания инверсной заселенности был реализован Н. Г. Басовым с сотрудниками в жидком ксеноне, на переходах между
возбужденным (метастабильным) и основным (отталкивательным) термами молекулы Xe2. В дальнейшем генерацию на молекулярном ксеноне осуществили в
плотном газе при давлении, в десятки раз превышающем атмосферное. Интерес
к эксимерным лазерам резко возрос с 1975 г., когда, с одной стороны, было показано, что возбужденные эксимерные молекулы моногалогенидов инертных
газов могут интенсивно образовываться при тушении метастабильных атомов
инертного газа галоидосодержащими молекулами, а с другой стороны, были созданы первые мощные эксимерные лазеры с выходной мощностью импульса
несколько джоулей. В настоящее время существуют эксимерные лазеры с энергией импульса до 300 Дж при длительности импульса порядка 50 нс и КПД =
= 10% (эти лазеры могут работать на переходах с длинами волн 193,3; 248,4 и
353 нм). Указанные параметры являются рекордными для всех лазеров видимого и ультрафиолетового диапазонов.
Эксимерные лазеры являются, как правило, ультрафиолетовыми лазерами
и перекрывают широкую область спектра. Кроме того, из-за большой ширины
линии перехода эксимерные лазеры могут работать как перестраиваемые в достаточно широкой области спектра.
Можно надеяться, что на основе эксимерных лазеров будет создан класс
перестраиваемых лазеров, длина волны которых плавно перекроет всю область
длин волн, начиная от границы видимого спектра (~400 нм) до 200 нм.
151
7.8 Химические лазеры
В химических лазерах генерация электромагнитного излучения происходит в результате протекания химических реакций. Так, при взаимодействии
фтора и водорода (дейтерия), активированном нагретым в дуговом разряде азотом, создается инверсная населенность возбужденных молекул HF или DF,
обеспечивающая лазерное излучение на длинах волн 2,6–3,5 или 3,6–5 мкм.
В хемолазерах с переносом энергии возбужденные молекулы фтористого водорода или дейтерия передают свою энергию молекулам углекислого газа, и
наблюдается лазерное излучение последних на длине волны 10,6 мкм. Известны химические лазеры, работа которых инициируется ударной или взрывной
волной, а также электрическим разрядом. Фотодиссоционные лазеры также являются частным случаем химических лазеров. Основным процессом, приводящим к появлению инверсной заселенности в хемолазере является химическая
реакция, в результате которой образуются атомы, молекулы или радикалы в
возбужденном состоянии. Наиболее известный хемолазер – на фотодиссоциации молекул CF3J [8].
152
8 Другие типы лазеров
8.1 Полупроводниковые лазеры
р-n-(полупроводниковый)-диод – основной элемент полупроводникового
лазера. Действие лазера основано на том, что при прямом смещении электроны
инжектируются в p-область, где происходит их излучательная рекомбинация с
имеющимися там дырками. Для создания состояния с инверсией населенностей
необходима большая концентрация дырок в валентной зоне, что достигается
увеличением концентрации легирующей акцепторной примеси. Для того чтобы
инжекция электронов в p-область превышала инжекцию дырок в n-область (где
рекомбинация безызлучательная, а следовательно, ток дырок в n-область целиком относится к потерям), необходимо, чтобы концентрация донорной примеси
в n-области была выше концентрации акцепторной примеси в p-области. Таким
образом, для получения состояния с инверсией населенностей в p-области
необходима высокая степень легирования примесями обеих областей p-nперехода.
Излучателем является узкая часть p-области, прилегающая к p-nпереходу. Конструкция лазерного диода показана на рисунке 8.1. Зеркалами являются гладкие грани самого полупроводникового кристалла, получаемые
обычно скалыванием его краев. Вынужденное излучение происходит параллельно р-n-переходу (рис. 8.1). Типичными размерами лазерного кристалла являются (мкм): длина 100–500, ширина 200–400, высота 80–100, толщина области рекомбинации 1–3.
Рис. 8.1 – Схематическое изображение конструкции полупроводникового
(инжекционного) лазера
153
Материалом для полупроводниковых лазеров могут быть соединения типа: А В5 (GaN, GaSb, InP, GaInAs и т. д.), А4В4 (PbS, PbTe, PbSSe и т. д.), А2В6
(ZnO, CdS, ZnCdS и т. д.), А3В6 (GaSe, InSe и т. д.).
Инжекционные лазеры по сравнению с другими типами лазеров отличаются высоким КПД (до 80%), простотой возбуждения, малыми размерами, низким напряжением накачки, высокой надежностью.
Изменяя состав активной среды, можно варьировать длину волны излучения в широком интервале. Меньшую перестройку длины волны в данном материале можно осуществлять за счет изменения температуры, давления, напряженности магнитного поля.
В пределах участка непрерывной перестройки частоты инжекционный
лазер характеризуется очень высоким спектральным разрешением. Ширина линии достигает 10–5–10–6 см. Мощность излучения в многомодовом режиме составляет несколько милливатт, в одномодовом режиме около 0,1–1 мВт. Созданы промышленные полупроводниковые лазеры мощностью несколько ватт и
интегральные лазерные решетки мощностью десятки ватт. Одна из важных
проблем полупроводниковых лазеров – создание приборов для коротковолнового диапазона. В настоящее время созданы лазеры для синей области спектра
на основе нитрида галлия, материалов группы А2В6. Следует отметить, что в
последнем случае имеются значительные трудности при создании n-p-перехода,
и лазерные диоды реализуются на переходе полупроводник – металл (диоды
Шотки).
3
8.2 Жидкостные лазеры
В жидкостных лазерах вынужденное излучение возникает на флуоресцентном переходе в молекулах органического красителя. Концентрация красителя составляет 0,005–0,0001 моль/л.
Электронные состояния красителей имеют многочисленные колебательные и вращательные уровни, которые за счет взаимодействия друг с другом и
соседними молекулами (растворителя) так сильно уширены, что переходы
между электронными состояниями в спектре флуоресценции образуют широкие полосы.
Создание инверсии населенностей происходит с помощью оптической
накачки. В качестве мощного источника света используют либо импульсные
лампы, либо лазеры (азотные, Nd-ИАГ, ионные) (рис. 8.2).
154
Рис. 8.2 – Примерная конструкция жидкостного лазера
Лазеры на красителях генерируют электромагнитное излучение в спектральном диапазоне от 0,32 до 1,22 мкм. КПД этих лазеров порядка 1%. Обычно жидкостные лазеры работают в импульсном режиме. Наиболее важным
свойством лазеров на красителях является возможность перестройки частоты
излучения в широких пределах (с одним красителем – несколько десятков
нанометров). Более широкая перестройка частоты может осуществляться изменением состава, концентрации и температуры раствора.
Достоинства жидкостных лазеров: возможность перестройки частоты;
малая расходимость излучения; высокая степень пространственной когерентности.
Недостатки: малый КПД; малая монохроматичность; низкая степень временной когерентности. Большая ширина линии генерации может быть отнесена
и к достоинствам с точки зрения использования их в режиме синхронизации
мод: таким образом получены световые импульсы длительностью около
1 пс [8].
·····························································
Контрольные вопросы по главам 7, 8
·····························································
1. Укажите основные параметры и особенности следующих лазеров:
•
гелий-неонового;
•
на смеси углекислый газ – азот – гелий;
155
2.
3.
4.
5.
6.
7.
•
газодинамического;
•
химического;
•
ионно-аргоновых;
•
азотного;
•
эксимерных;
•
полупроводниковых;
• на красителях.
Укажите функции гелия в гелий-неоновом лазере.
На каких переходах молекул углекислого газа происходит генерация?
Почему активная среда лазера на углекислом газе содержит азот и гелий?
Укажите, в смесях каких газов при разряде могут образовываться эксимерные молекулы.
В чем состоит принцип работы полупроводникового лазера?
Укажите основное достоинство жидкостных лазеров.
156
9 Интегральная оптоэлектроника
9.1 Историческая справка
Создание лазеров стимулировало в начале 1960-х гг. большой интерес к
оптическим системам связи. Активные исследования в этой области, однако,
сменились затишьем, поскольку исследователи столкнулись со значительными
трудностями. Оптические элементы, фотоприемники, управляющие устройства
не допускали создание надежно функционирующих оптических систем, не было также пригодной передающей среды. Передача в открытой атмосфере, как
известно, является ненадежной, а потери в существовавших тогда волоконных
световодах составляли порядка 1 000 дБ/км.
К концу 1960-х гг., однако, были созданы как пригодные для оптической
связи волоконные световоды (потери меньше 20 дБ/км), так и удобные источники света – светодиоды и лазеры, работающие при комнатных температурах в
непрерывном режиме, на основе арсенида галлия (GaAs). Кроме того, появились теоретические и экспериментальные работы, показывающие возможность
реализации тонкоплёночных оптических устройств, выполняющих функции
пассивных оптических элементов (волноводов, линз, призм и т. д.), управляющих элементов (электрооптических, акустооптических модуляторов и т. д.).
Эти работы положили начало новой области, известной сейчас как интегральная оптоэлектроника [1].
9.2 Основные физические принципы
интегральной оптоэлектроники
Интегральная оптоэлектроника рассматривает разнообразные явления,
связанные с распространением света, его преобразованием и генерированием в
волноводных структурах на основе тонких (т. е. сравнимых с длиной волны λ)
диэлектрических и полупроводниковых слоёв. В настоящее время диапазон λ,
который представляет наибольший интерес для интегральной оптоэлектроники, – от 0,1 до 10 мкм. Интегральная оптоэлектроника предполагает создание
интегральных оптических схем, подобно интегральным микросхемам, на единой подложке. Такие интегральные оптические системы обладают целым рядом
преимуществ перед обычными «объёмными» оптическими системами. Вопервых, они могут быть сделаны очень компактными – обладать малыми габа-
157
ритами и весом. Во-вторых, они не будут бояться вибраций. Далее, они должны
хорошо сопрягаться с электронными и акустоэлектронными планарными
устройствами (такие системы, возможно, получат название «интегральные акустоэлектронные»). Для создания интегральных (планарных) оптических
устройств подходит планарная технология микроэлектроники, достаточно хорошо разработанная к настоящему времени.
Рассмотрим теперь кратко некоторые основные физические принципы, на
которых базируется интегральная оптоэлектроника.
Волноводное распространение света в тонких слоях происходит путём
полного внутреннего отражения (рис. 9.1).
Рис. 9.1 – Тонкоплёночный волновод
Оптический волновод, например, может представлять тонкую диэлектрическую плёнку с коэффициентом преломления n0 , нанесённую на подложку с
коэффициентом преломления n1 ⟨ n0 . Световой луч, падая на границу раздела
плёнка – подложка под углом θ 0 ⟩ θ1 , где θ1 – критический угол, испытывает
полное внутреннее отражение. Точно так же он будет отражаться и от границы
плёнка – воздух. Затухание, которое испытывает свет при таком распространении по плёночному волноводу, может быть очень малым – менее 0,1 дБ/см.
Ввод излучения в волновод может осуществляться, например, с помощью
помещённой на него с зазором δ призмы из материала с коэффициентом преломления n3 (рис. 9.2). В месте контакта плёнки с призмой происходит нарушение полного внутреннего отражения (преломление), распространяющегося в
призме света, в плёнку. Из закона Снеллиуса легко найти угол θ 3 :
158
sin θ 3 =
n0
⋅ sin θ 0 .
n3
Рис. 9.2 – Призменный ввод излучения в оптический волновод
Обычно применяют призмы с n3 ⟩ n0 , т. к. sin θ 0 может быть близок к единице. Связь между световыми полями в призме и плёнке осуществляется за
счёт проникновения в плёнку экспоненциально спадающих полей, имеющих
место при полном внутреннем отражении (часто это явление называют туннелированием, а такой ввод – туннельным).
В плоскости плёнки волноводные световые пучки могут преобразовываться различными пассивными и модулирующими элементами. Например, если в подложке сначала сделать сферическое углубление, а затем нанести плёнку, то волноводный световой пучок, проходя над углублением, испытывает
квадратичный по сечению фазовый сдвиг и фокусируется на некотором расстоянии f (рис. 9.3). Такой элемент является планарной линзой (геодезической,
т. к. роль линзы играет углубление).
Рис. 9.3 – Геодезическая планарная линза
159
Легко реализуются в планарных устройствах также электрооптические и
акустооптические модуляторы. Последний приведён на рисунке 9.4.
Рис. 9.4 – Акустооптический модулятор
Здесь торцевой преобразователь 1 возбуждает в подложке упругие поверхностные волны (УПВ), которые изменяют показатель преломления волноводного слоя по периодическому закону и, таким образом, создают фазовую
дифракционную решётку. Волноводный световой пучок 2, падая под углом
Брэгга θ Б на эту решётку, испытывает дифракцию. Дифрагированный луч 3
оказывается в результате промодулирован сигналом, подаваемым на преобразователь 1. Модуляция может быть амплитудной или частотной. Кроме того,
угол отклонения 2θ Б пучка 3 зависит от частоты УПВ, что позволяет осуществлять сканирование световых пучков в планарных волноводах.
Если в качестве подложки используется полупроводник, например кремний, то здесь реализуются интегральные фотоприёмники (рис. 9.5).
Рис. 9.5 – Интегрально-оптический фотодетектор
160
В n-кремнии создаётся p-область для детектирования света. Поверхность
кремния окислена, так что на ней образуется плёнка SiO 2 толщиной ~1 мкм.
Сверху наносится волновод (из стекла или Si 3 N 4 ) так, чтобы свет, распространяясь по нему, попадал на p-n-переход. Далее наносятся электроды для съёма
фототока с p-n-перехода. Буферный слой SiO 2 предотвращает поглощение света, распространяющегося по волноводу, в кремнии.
Наиболее «интегральные» инжекционные лазеры реализованы в настоящее время на основе гетероструктур GaAlAs. Рассмотрим схему интегрального
гетеролазера на основе двойной гетероструктуры (ДГС) (рис. 9.6).
На границе слоёв n-GaAlAs – p-GaAs происходит излучательная рекомбинация инжектированных электронов и дырок. Так как у GaAlAs шире запрещённая зона, то область излучательной рекомбинации ограничена тонким
(~0,3 мкм) слоем p-GaAs. Кроме того, коэффициент преломления у слоёв
GaAlAs меньше, чем у GaAs. Поэтому в этом слое возникает волноводный эффект и свет также в основном распространяется в p-GaAs, где созданы условия
инверсии населённостей [1].
Рис 9.6 – Инжекционный гетеролазер на основе ДГС
Рассмотрение интегрально-оптических элементов можно продолжить, мы
лишь рассмотрели некоторые их них и использованные в них физические принципы. Естественно, что каждый элемент требует более подробного рассмотрения, что мы и попытаемся сделать в учебном пособии. Кроме элементов интегральной оптоэлектроники мы изучим также некоторые методы измерения параметров волноводов, технологию изготовления этих элементов, а также вопросы их «интеграции» (объединения) в интегральные оптические схемы [1].
161
9.3 Достижения и перспективы интегральной оптоэлектроники
Рассмотрим кратко основные достижения интегральной оптоэлектроники:
1) реализованы диффузионные волноводы с потерями менее 1 дБ/см в
ниобате и танталате лития, применяемые в акустооптических и электрооптических устройствах;
2) реализованы пленочные волноводы из стекла Corning и Si3N4 на окисленном кремнии, применяемые в фотоприемных устройствах, с потерями менее 0,1 дБ/см;
3) реализованы на различных подложках пленки из органических материалов
(винилтриметилсилан
(ВТМС),
гексаметилдисилоксан
(ГМДС), полистирол, полиуретан и т. д.) с потерями 0,1–1,0 дБ/см;
4) реализованы эпитаксиальные волноводы на GaAs с потерями
< 4 дБ/см для гетеролазеров;
5) реализованы волноводы на основе ИЖГГ (иттрий-железогаллиевого
граната) для магнитооптических устройств;
6) разработана технология изготовления полосковых волноводов шириной до 2 мкм;
7) разработаны методы ввода излучения – призменный, дифракционный
и другие, обеспечивающие эффективность более 90%;
8) разработаны элементы связи между планарными и полосковыми волноводами, между волноводами и оптическими волокнами;
9) разработаны широкополосные, быстродействующие электрооптические, магнитооптические и акустооптические устройства управления
излучением в планарных и полосковых волноводах с рекордно малыми управляющими мощностями;
10) разработаны пассивные элементы интегральной оптики – линзы, коллиматоры, призмы, расщепители лучей, отражатели, преобразователи
мод, направленные ответвители и т. д.;
11) разработаны интегральные фотоприемники для полосковых и планарных волноводов;
12) разработаны инжекционные интегральные гетеролазеры и планарные
лазеры на органических красителях;
13) разработаны методы стыковки-гибридизации объемных фотоприемников и лазеров с планарными и полосковыми волноводами;
14) исследованы нелинейные оптические эффекты в планарных и полосковых волноводах.
162
Разумеется, это только краткий перечень, практически каждый месяц
список достижений интегральной оптоэлектроники пополняется. Однако осталось много нерешенных проблем. Например, до сих пор не создана полностью
интегральная оптическая схема. По-видимому, как и в радиоэлектронике, первым этапом будет создание гибридно-интегральных схем. Некоторые такие
схемы уже созданы, например акустооптический анализатор спектра радиосигналов, изображенный на рисунке 9.7. Он представляет собой кристалл ниобата
лития, в котором сделаны геодезические линзы 2 и 5, сформирован диффузией
Ti оптический волновод и нанесен встречно-штыревой преобразователь 3, преобразующий радиосигнал в упругую поверхностную волну (УПВ). Объемными
элементами здесь являются инжекционный лазер 1 и позиционночувствительный фотоприемник 6 (линейка ПЗС). Первый создает в волноводе
непрерывное когерентное световое излучение, которое формируется линзой 2 в
параллельный пучок, дифрагирует на фазовой решетке, созданной УПВ, и фокусируется линзой 5 на элемент фотоприемника 6. Расстояние х между дифрагированным и недифрагированным лучами в фокальной плоскости линзы 5,
пропорционально углу дифракции θ и фокусному расстоянию F:
x ≈ θF =
λ
λF
F=
f,
v
Λ
где λ – длина волны света, Λ – длина УПВ, v – скорость УПВ, f – частота
радиосигнала.
Рис. 9.7 – Гибридно-интегральный АОАС радиосигналов
Если сигнал, подаваемый на преобразователь 3, немонохроматический, то
каждой спектральной составляющей на фотоприемнике 6 будет соответствовать свой дифракционный максимум.
Чтобы сделать такое устройство (акустооптический анализатор спектра –
АОАС) полностью интегральным, необходим полифункциональный материал
163
подложки, который позволял бы генерировать и детектировать когерентное излучение, создавать на нем высококачественные оптические волноводы, обладал
бы хорошими пьезоэлектрическими и акустооптическими свойствами.
Более сложные устройства потребуют наличия также хороших электрооптических, магнитооптических и других качеств. В настоящее время материала, который обладал бы подобными свойствами, не найдено.
Несмотря на то что рассмотренный АОАС является гибридным, по габаритам и весу он значительно меньше такого устройства в объемном исполнении
и требует на порядок меньших управляющих мощностей. Следует ожидать, повидимому, дальнейших успехов в поисках путей реализации интегральных оптических схем с широкими функциональными возможностями.
9.4 Планарные волноводы
9.4.1 Классификация оптических волноводов
Рассмотрим вначале классификацию волноводов. Планарными мы будем
называть волноводы, ограниченные лишь в одном направлении (рис. 9.8).
В данном случае волноводный слой с показателем преломления n0 ограничен в
направлении Х и имеет толщину h. Подложку с показателем преломления n1
считаем неограниченной в направлении − X , а покровный слой с показателем
преломления n2 – неограниченным в направлении + Х . Чаще всего покровным
слоем служит воздух, и n2 = 1 . Планарные волноводы разделяются на пленочные и градиентные.
Рис. 9.8 – Планарный волновод
164
Будем считать, что в пленочных волноводах n0 не зависит от координаты х. Такой волновод реализуется нанесением на подложку, выполненную из
одного материала (например, стекла), тонкой пленки из другого материала
(например, Ta2O5, стекла с большим показателем преломления). В градиентных
волноводах n0 изменяется плавно в пределах волноводного слоя вдоль оси X,
т. е. n0 = n0 ( x ) . Такие волноводы можно создать, например, диффузией металла
в подложку (например, Ti в LiNbO3). При этом образуется приповерхностный
слой с увеличенным показателем преломления, в котором свет может распространяться путем полного внутреннего отражения от границы волноводного
слоя с покровным и путем рефракции в волноводном слое, являющимся оптически неоднородной средой (рис. 9.9).
Рис. 9.9 – Распространение света по градиентному волноводу,
в приближении геометрической оптики
Кроме планарных волноводов в интегральной оптоэлектронике применяются полосковые волноводы, которые ограничены не только в направлении Х,
но и в направлении Y, поперечные размеры волноводного слоя сравнимы с длиной световой волны. Подробнее полосковые волноводы мы рассмотрим позднее.
Распространение света в оптических волноводах может быть рассмотрено
с позиций волновой и геометрической оптики. Геометрическая оптика позволяет наглядно описать картину явлений и существенно упростить ту или иную задачу. Волновая оптика предполагает последовательное применение уравнений
электродинамики (уравнений Максвелла, материальных уравнений и т. д.) и является более строгой. В целом эти два подхода хорошо дополняют друг друга,
поэтому мы сначала рассмотрим геометрическую оптику планарных волноводов, а затем – электромагнитную теорию. В этом разделе мы изучим также механизмы потерь в оптических волноводах.
165
9.4.2 Геометрическая оптика планарных волноводов
Классификация мод планарного волновода
Рассмотрим пленочную волноводную структуру (рис. 9.8), состоящую из
пленки, подложки и покровного материала с показателями преломления n0, n1,
n2 соответственно. Обычно справедливо неравенство n0>n1>n2, и поэтому существуют два критических угла – на границе пленка – покровный слой (Θ2) и на
границе пленка – подложка (Θ1). В зависимости от угла падения Θ из пленки на
ее границы можно выделить три случая:
а) при Θ < Θ1 , Θ 2 полное внутреннее отражение отсутствует, и свет частично проходит через пленку в подложку и в покровную среду
(рис. 9.10, а), преломляясь в соответствии с законом Снеллиуса.
В этом случае волноводное распространение света отсутствует, а соответствующее распределение поля называется излучательной модой;
б) если угол Θ1 > Θ > Θ 2 , то распространяющаяся в подложке волна преломляется на границе раздела пленка – подложка, испытывает полное
внутреннее отражение на границе пленка – покровный слой, преломляется снова в подложку. В этом случае волноводное распространение
света также отсутствует, а соответствующее распределение поля
называется излучательной модой подложки (рис. 9.10, б);
в) наконец, при Θ > Θ1 , Θ 2 на обеих границах пленки свет будет испытывать полное внутреннее отражение и при некоторых дискретных
углах Θ, как мы увидим дальше, будет распространяться в пленке
волноводным образом по зигзагообразному пути. Этот случай
(рис. 9.10, в) соответствует волноводной моде.
Моды планарного волновода подразделяются также на поперечноэлектрические (ТЕ) и поперечно-магнитные (ТМ). Для ТЕ-мод отличны от нуля
компоненты поля Ey, Hx и Нz, а для ТМ-мод – Нy, Еx, Еz. Это следует из электромагнитной теории, которую мы рассмотрим позже. В анизотропных волноводах
возможно также существование гибридных мод, когда отличны от нуля в общем случае все шесть компонент электромагнитного поля моды.
166
Рис. 9.10 – Моды пленочного волновода
Волноводные моды тонкопленочного волновода
Рассмотрим тонкопленочный волновод из оптически изотропного материала (рис. 9.11). С точки зрения геометрической оптики поле в волноводном
слое можно представить в виде двух плоских волн, которые распространяются
в волноводе по зигзагообразному пути, испытывая на границах слоя полное
внутреннее отражение:
(9.1)
( E , H )~( E m , H m ) exp(i (ω t − kn0 ( ± x cos Θ + z sin Θ ))),
ω 2π
=
– волновое число света в вакууме.
c λ
Постоянная распространения β волноводной моды и ее фазовая скорость
где k =
v , как видно из (9.1), определяется выражением:
167
β=
ω
= kn0 sin Θ.
v
(9.2)
Рис. 9.11 – Зигагообразное распространение света в тонкопленочном волноводе
Угол Θ, при котором существует распределение поля, отвечающее волноводной моде, найдем из следующих соображений. Рассмотрим поперечное сечение волновода плоскостью z = const и просуммируем фазовые сдвиги, которые появляются при движении волны от нижней границы пленки x = 0 к границе x = h и обратно. Для получения самосогласованной картины распределения
поля необходимо, чтобы суммарный фазовый сдвиг за такой цикл распространения волны был кратным 2π:
(9.3)
2kn0h cos Θ − φ1 − φ2 = 2πρ,
где ρ = 0,1, 2, ... (целое число).
В левой части первый член – набег фазы при проходе волны от границы
x = 0 к границе x = h и обратно к границе x = 0 ; φ1 и φ2 – фазовые сдвиги при
полном внутреннем отражении от подложки и покровного слоя соответственно.
Из формул Френеля для отраженного света запишем для ТЕ- и ТМ-волн:
2
n02 sin 2 Θ − n1,2
φ = 2arctg 2
;
n0 − n02 sin 2 Θ
φ
TM
1,2
ТЕ
1,2
(9.4)
n 2 sin 2 Θ − n 2 n 2
1,2
= 2arctg 02
⋅ 20 .
2
2
n0 − n0 sin Θ n1,2
(9.5)
Введем так называемый эффективный показатель преломления n* :
n* =
β
= n0 sin Θ.
k
(9.6)
168
Учитывая (9.4)–(9.6), из (9.3) получим дисперсионные уравнения, определяющие эффективный показатель преломления n * (а значит и β) как функцию
длины волны света λ и толщины пленки h:
2π
1
×
h=
λ
2
*2
n0 − n
(9.7)
χ
χ
*2
2
*2
2
n
n
n − n1
n − n2
× πρ + arctg 0 ⋅
+ arctg 0 ⋅
,
2
*2
2
*2
n
n
1
2
n0 − n
n0 − n
где χ = 0 для ТЕ-волн, χ = 2 для ТМ-волн, число ρ = 0,1, 2... определяет номер
моды, например ТЕ0, ТЕ1, ТМ0 и т. д.
Проанализируем (9.7).
1. Каждой моде соответствует свой эффективный показатель преломления nρ* = nρ sin Θρ и свой угол Θρ , под которым свет распространяется в пленке.
2. Эффективный показатель преломления волноводной моды изменяется в
пределах
nρ > nρ* > n1,
(9.8)
*
т. к. sin Θ < 1 . При nρ < n1 в структуре имеют место излучательные моды подложки.
3. Нарисуем примерный вид зависимости
nρ* от h (рис. 9.12) для асим-
λ
метричной волноводной структуры, у которой n1 > n2 . Для каждой моды существует критическая толщина, при которой наступает отсечка для данной волноводной моды (когда nρ* = n1 ). При этом условии из (9.7) найдем:
χ
n0 n12 − n22
πρ + arctan
.
(9.9)
2
2
n
n
−
n
1
0
1
4. Минимальная толщина волновода соответствует ТЕ0-моде, т. к. для нее
χ = 0 и ρ = 0.
1
h
=
λ min 2π n02 − n12
5. Для симметричной волноводной структуры с n1 = n2 для мод с номером
ρ = 0 отсечка отсутствует и при h → 0 .
6. Чем больше толщина волновода, тем большее число мод может в нем
распространяться.
169
7. Для конкретной структуры с ростом номера моды p уменьшается как
эффективный показатель преломления nρ* , так и угол распространения Θρ .
Рис. 9.12 – Дисперсионные зависимости для тонкопленочного волновода
Эффективная толщина волновода
При полном внутреннем отражении, как известно, в оптически менее
плотной среде распространяются неоднородные плоские волны, амплитуда которых экспоненциально уменьшается с удалением от границы. С точки зрения
геометрической оптики можно считать, что зигзагообразный луч как бы проникает на глубину x1 и x 2 в подложку и покровную среду, соответственно
(рис. 9.13). В продольном направлении луч как бы сдвигается на величину 2Z1 и
2Z2. Это явление в иностранной литературе носит название «эффект Гуса –
Хэнхена».
Рис. 9.13 – Эффект Гуса – Хэнхена
Такое представление основано на том, что отраженная волна приобретает
фазовые сдвиги φ1 и φ 2 . Таким образом, электромагнитная энергия распро-
170
страняется не только по волноводному слою, но и в прилегающих областях,
т. е. существует эффективная толщина волновода, по которой переносится основная часть энергии моды.
Величины x1 и x 2 найдем, когда будем рассматривать волновую теорию,
как
1
1
и
, где γ1 и γ 2 – постоянные затухания поля в направлении X в подγ1
γ2
ложке и покровной среде соответственно. Эффективная толщина волновода
определяется как сумма:
hэф = h + x1 + x2 = h +
1 1
+ .
γ1 γ 2
(9.10)
Градиентные планарные волноводы
Найдем дисперсионное уравнение для волновода с плавным изменением
показателя преломления:
(9.11)
n ( x ) = n1 + ∆ n0 f ( x ),
где n1 – показатель преломления подложки; ∆n0 << n1 – приращение показателя
преломления волновода на границе с покровной средой; f ( x) – монотонно
уменьшающаяся непрерывная функция:
f ( x ) = 1, при x = 0,
f ( x ) = 0, при x = −∞.
(9.12)
Ход лучей в таком волноводе изображен на рисунке 9.14.
Рис. 9.14 – Распространение световых лучей
в градиентном планарном волноводе
Волновой вектор в произвольной точке траектории луча может быть разложен на две составляющие:
171
k z = β,
2
2
2
2
*2
k x = K ⋅ n ( x ) − β = n ( x ) − n ,
(9.13)
где k = 2π/λ .
При выводе (9.13) мы воспользовались приближением геометрической
оптики, считая, что результирующий волновой вектор равен k ⋅ n( x) . В этом
приближении набег фазы волны при прохождении от x = 0 до так называемой
точки поворота x0p равен:
x 0p
∆φ = − k ∫ n 2 ( x ) − ( n*p ) 2 dx.
(9.14)
0
Условия применимости этого приближения, именуемого в литературе
«приближение ВКБ» (Вентцеля – Крамерса – Бриллюэна), возможно, вам
встречались ранее в других курсах. Запишем их без вывода:
−1
k n2 ( x) − (n*p ) 2 ∂ n 2 ( x) − (n*p ) 2 << 1,
(9.15)
∂x
(
1
2k
)
x0
∫ n
0
2
( x)
1
* 2 −2
− ( n p )
1
∂2 2
* 2 −4
dx << 1.
n
(
x
)
−
(
n
p)
∂x 2
(9.16)
Выражения (9.15) и (9.16) ограничивают, по сути дела, величину первой и
второй производной от k x по сравнению с этой величиной. Заметим, что в точке поворота x0 выполняется условие:
k x = 0,
n ( x 0 ) = n* ,
(9.17)
а неравенства (9.15), (9.16) не выполняются.
Более строгое рассмотрение показывает, что в точке поворота волна приπ
обретает дополнительный фазовый сдвиг φ 2 ≈ .
2
Сдвиг фазы волны при отражении от границы x = 0 найдем из формул
(9.5) и (9.4). Поскольку ∆n0 << n1 , а знаменатель n ( x ) − n*2 ~ ∆ n0 по порядку величины, при этом числитель n* − n1 << ∆n0 , получим, что φ1 ≈ π .
С учетом этого дисперсионное уравнение в ВКБ-приближении запишется:
2 ∆φ = 2πp + φ1 + φ 2
или
x0p
3
k ∫ n 2 ( x) − ( n*p ) 2 dx = π p + ,
4
0
(9.18)
172
где x0p – координата точки поворота моды с номером p, p – номер моды.
Преобразуем (9.18), учитывая (9.11), (9.17) и условие ∆n0 << n1 :
2
2
0
n02 ( x) − n*2
p ≅ n1 + 2 ⋅ ∆n0 ⋅ n1 ⋅ f ( x ) − n1 − 2 ⋅ n1 ⋅ ∆n0 ⋅ f ( x p ) =
= 2 ⋅ n1 ⋅ ∆n0 ⋅ f ( x) − f ( x 0p ),
(9.19)
x 0p
3
f ( x) − f ( x 0p ) ⋅ dx = π p + .
4
0
Если известны ∆n0 , f ( x ) , то из (9.19) численным расчетом можно найти
k ⋅ 2 ⋅ n1 ⋅ ∆n0 ⋅ ∫
точку поворота x0p , а значит и n*p – эффективный показатель преломления.
Заметим, что с увеличением номера моды p величина x0p увеличивается.
9.4.3 Электромагнитная теория планарных волноводов
9.4.3.1 Волновые уравнения для планарных волноводов
При описании распространения монохроматических световых волн с частотой ω в планарных волноводах будем исходить из уравнений Максвелла для
комплексных амплитуд:
∇ × E = −iωµ ⋅ H ,
(9.20)
∇ × H = −iωε ⋅ E.
(9.21)
Ограничимся рассмотрением диэлектрических волноводов на основе немагнитных сред, для которых компоненты тензора магнитной проницаемости µ
имеют вид: µ ij = µ 0δij , где µ 0 – магнитная постоянная и δ ij – компоненты единичного тензора второго ранга.
Диэлектрическая проницаемость ε в общем случае является тензором
второго ранга. Будем рассматривать среды, в которых оси координат (рис. 9.8)
совпадают с главными осями тензора ε:
ε1
ε= 0
0
0
ε2
0
0
0 ,
ε3
(9.22)
причем в общем случае ε1 ≠ ε 2 ≠ ε 3 .
Такой вид ε имеет в изотропной среде и кубических кристаллах (тогда
ε1 = ε 2 = ε 3 ), и в частных случаях в одноосных и двуосных кристаллах.
173
Для планарных волноводов (рис. 9.8) рассматриваем волны, у которых
d
= 0 , и которые распространяются вдоль оси Z:
поля не зависят от y, т. е.
dy
Ep
=
Hp
E pm ( x)
H pm ( x)
exp(−iβ p z ).
Подставляя в (9.20) Ε и Η из (9.23), получим:
iβE y = −iωµ 0 H x ,
−iβEx −
(9.23)
(9.24)
∂Ez
= −iωµ 0 H y ,
∂x
(9.25)
= −iωµ 0 H z .
(9.26)
∂E y
∂x
Аналогично, из (9.21):
iβH y = iωε1 E x ,
−iβH x −
∂H z
= iωε 2 E y ,
∂x
(9.27)
(9.28)
∂H y
= iωε 3 Ez .
(9.29)
∂x
Уравнения (9.24), (9.26), (9.28) образуют систему, которая содержит только составляющие поля Ey , H x , H z , и описывают ТЕ-волны. Уравнения (9.25),
(9.27), (9.29) описывают ТМ-волны, у которых имеются составляющие поля
H y , Ex и E z .
Подставим в (9.29) H x и H z из (9.24) и (9.26) и преобразуем его в волновое уравнение для электрической компоненты Ey (ТЕ-волны):
∂2Ey
∂x
2
(
)
+ n y2k 2 − β 2 E y = 0,
(9.30)
где ny2k 2 = ny2ε 0µ 0ω2 = ε 2µ 0ω2 и n y – показатель преломления среды для волн,
2π
.
λ
Составляющие магнитного поля TE-волн H x и H z связаны с компонен-
поляризованных по оси y, k =
той Ey соотношениями:
Hx = −
β
i ∂E y
Ey , H z =
.
ωµ 0
ωµ 0 ∂x
(9.31)
174
Волновое уравнение для составляющей магнитного поля H y (ТМ-моды)
получим из (9.25), подставляя туда E x и E z из (9.27) и (9.29):
nx2
∂ 1 ∂H y
2 2
2
2
+ nx k − β H y = 0,
∂x nz ∂x
(
)
(9.32)
где n x2 = ε1 / ε 0 , nz2 = ε 3 / ε 0 , а n x и n z – коэффициенты преломления для волн с
поляризацией по x и по z соответственно. Компоненты электрического поля Е Х
и ЕZ в TM-волне выражаются через составляющую Н y :
Ex =
β
i ∂H y
H
E
,
=
−
.
y
z
ωε 0 nx2
ωε 0 nz2 ∂x
(9.33)
Таким образом, мы получили волновые уравнения (9.30), (9.32) для ТЕ- и
ТМ-мод планарных волноводов.
9.4.3.2 Моды тонкопленочного волновода
Для тонкопленочного волновода коэффициенты преломления всех сред
не зависят от координаты x и, если n x = n z , уравнения (9.30) и (9.32) имеют
одинаковый вид.
Рассмотрим подробно ТЕ-волны. Общее решение уравнения (9.30) для
поля в волноводе, подложке и покровной среде имеет вид:
E y( N ) ( x, z) = [ AN exp(−iχ N x) + BN exp(iχ N x)] exp(−iβz ),
(9.34)
где χ N = nN2 y k 2 − β 2 , а индекс N = 0,1 и 2 – соответствует пленке, подложке и
покровному слою соответственно. Постоянная распространения β вдоль оси Z
должна быть одинаковой во всех трех средах, чтобы выполнялись граничные
условия.
Рассмотрим вначале волноводные моды, для которых выполняются условия:
χ 02 = n02 y k 2 − β 2 > 0,
χ12 = n12y k 2 − β 2 = − γ12 < 0,
χ 22 = n22 y k 2 − β 2 = − γ 22 < 0.
В этом случае решения уравнения (9.34) принимают вид:
(9.35)
175
E y(1) = A1 exp(γ1 x), при x ≤ 0,
E y( 0) = A0 exp(−iχ 0 x) + B0 exp(iχ 0 x), при 0 ≤ x ≤ h,
(9.36)
E y(2 ) = B2 exp [ − γ 2 ( x − h) ] , при x ≥ h.
Здесь мы учли, что поле при x → ∞ должно стремиться к нулю, и положили произвольные постоянные A2 и B1 равными нулю.
Для нахождения постоянных A1, A0 и B0, B2 воспользуемся условием непрерывности тангенциальных компонент на границах сред:
E y(1) = E y(0)
x =0 ,
(9.37)
H z(1) = H z(0)
x =0 ,
(9.38)
E y(2) = E y(0)
x =h ,
(9.39)
H z(2) = H z(0)
x=h .
(9.40)
Из условий (9.37) и (9.39) с учетом решений (9.36) следует:
A1 = A0 + B0 ,
(9.41)
(9.42)
B2 = A0 exp( −iχ 0 h ) + B0 exp(iχ 0 h ).
Применение граничных условий (9.38) и (9.40) с использованием соотношений (9.31) и (9.36) позволяет записать следующие уравнения:
(9.43)
γ1 A1 = − iχ 0 A0 + iχ 0 B0 ,
− γ 2 B2 = − iχ 0 exp( − χ 0 h ) A0 + iχ 0 exp(iχ 0 h ) B0 .
(9.44)
Уравнения (9.41)–(9.44) образуют систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных A1 , A0 , B0 , B2 , и ее определитель должен быть равен нулю:
∆TE =
1
−1
−1
γ1
0
iχ 0
− exp(−iχ 0 h)
−iχ 0
− exp(iχ 0h)
0
0
0
= 0.
1
(9.45)
iχ 0 exp(−iχ 0h) −iχ 0 exp(iχ 0 h) − γ 2
Раскрывая уравнение (9.45) и преобразуя его, можно получить дисперсионное уравнение для ТЕ-мод:
γ
γ
χ 0 h = arctan 2 + arctan 1 + pπ,
χ0
χ0
p = 0,1, 2, ...
(9.46)
Учитывая, что β 2 = k 2 ( n* ) 2 , и выражая из (9.35) параметры волноводной
моды χ 0 , γ1 и γ 2 , из уравнения (9.46) получаем:
176
(n* ) 2 − n12y
(n* )2 − n22y
pπ + arctan 2
. (9.47)
kh =
+ arctan 2
* 2
* 2
2
* 2
−
(
)
−
(
)
n
n
n
n
n0 y − (n )
0y
0y
Выведенное на основе электромагнитной теории дисперсионное уравнение для ТЕ-волн (9.47) совпадает с полученным в приближении с геометрической оптики уравнением (9.7).
Чтобы найти постоянные A0 и B0 , через A1 можно воспользоваться урав-
1
нениями (9.41) и (9.43). Далее из (9.42) и (9.44) нетрудно найти B2 . В результате решение для волноводных ТЕ-мод приводится к виду:
φ
E1y = E0eγ 1x cos 1 , x ≤ 0,
2
φ
E y0 = E0 cos χ 0 x − 1 , 0 ≤ x ≤ h,
2
− γ ( x − h)
φ
E y2 = E0e 2
cos 2 , x ≥ h,
2
(9.48)
где фазовые сдвиги ϕ1 и ϕ2 определяются из (9.4).
Аналогично можно найти распределение поля излучательных мод подложки:
φ1
= E1 cos χ1 x +
, x ≤ 0,
2
φ
E y0 = E0 cos χ 0 ( x − h) + 2 , 0 ≤ x ≤ h,
2
E1y
(9.49)
E y2 = E2e − γ 2 ( x −h ) , h ≤ x,
где для нахождения амплитуд E1, E0, и E2 следует воспользоваться граничными
условиями (9.37)–(9.40) при заданном значении постоянной распространения β
из интервала kn0 > β > kn1 .
Запишем также решения для поля ТМ-мод для волновода с n x = n z , когда
вид уравнений (9.30) и (9.32) одинаков:
φ
H 1y = E0 cos 1 e γ1x , x ≤ 0,
2
φ
H y0 = H 0 cos χ 0 x − 2 , 0 ≤ x ≤ h,
2
φ
H y2 = H 0 cos 2 e− γ 2 ( x −h ) ,
2
x ≤ h.
(9.50)
177
9.4.3.3 Свойства мод тонкопленочного волновода
1. Распределение электрических и магнитных полей в пленочной волноводной структуре для ТЕ- и ТМ-мод.
Рис. 9.15 – Распределение электрической компоненты для мод TE0 (а), TE1 (б)
и TE2 (в) в тонкопленочном волноводе
Распределение поля Е у в ТЕ-модах изображено на рисунке 9.15. Аналогичный вид будет иметь и распределение Н у для ТМ-мод, как следует из (9.49)
и (9.50). Хорошо видно, что число нулей в распределении поля Е у в волноводе
равно порядку волноводной моды. Отметим также, что с увеличением порядка
моды поля на границе пленка – подложка и пленка – покровная среда возрастают.
2. Ортогональность мод волновода.
Как волноводные, так и излучательные моды ортогональны между собой.
Свойство ортогональности очень важно, оно лежит в основе многих волноводных теорий (теория возбуждения волновода, теория возмущения волновода и
т. д.) и присуще всем волноводам – планарным и полосковым. Для двух мод,
распространяющихся в одном направлении:
E1
H1
=
E p ( x, y )
H p ( x, y )
exp(−iβ p z ),
E2
H2
=
Em
exp(−iβ m z ),
Hm
где p и m – совокупность поперечных индексов мод, соотношение ортогональности и нормировки (ортонормировки) имеет вид:
∞
P=
∫ ( Etp × Htm ) dxdy = z0δ pm ,
(9.51)
−∞
где t – обозначает поперечные составляющие поля, P – кросс-мощность, переносимая вдоль волновода (усредненная по времени мощность), δ pm – символ
178
Кронекера, z0 – орт используемой системы координат. В данном выражении Etp
и H tm нормируются на единичную мощность P .
3. Мощность, переносимая по планарному волноводу ТЕ- и ТМ-модами.
В планарном волноводе определим мощность, переносимую модой на
единицу ширины волновода, как
∞
P=
∞
∫ S z dx = ∫
−∞
Et × H t* dx,
(9.52)
−∞
где Sz – z-компонента вектора Умова – Пойнтинга. Для ТЕ-мод она определяется как:
S z = − E y ⋅ H x* ,
(9.53)
откуда с учетом формулы (9.31) получим:
β
Sz =
⋅ E y2 .
ωµ 0
(9.54)
Используя выражения для полей (9.49), найдем из (9.52) мощность на
единицу ширины волновода:
0
β
(1)
P=
∫ Ey
ωµ 0 −∞
( )
βE02
=
2ωµ 0
2
h
dx + ∫
0
(
)
2
E y(0)
∞
(
dx + ∫ E y(2)
h
)
2
dx =
1
1
cos φ1 sin φ1 cos φ 2 sin φ 2
+
+
+
+
+
h +
.
2γ
2γ
2γ
2χ
2γ
2χ
1
2
1
0
2
0
φ γ
Учитывая, что tg 1,2 = 1,2 , а также формулу из тригонометрии
2 χ0
tg
φ (1 − cosφ )
=
, получаем:
2
sin φ
P=
β
1 1 1
ε
TE
E02 h + + = n* 0 E02 hэфф
,
2ωµ 0
γ
γ
µ
2
1
2
0
(9.55)
TE
– эффективная толщина волновода для ТЕ-мод, введенная выше на осгде hэфф
нове представлений геометрической оптики и определяемая соотношением
(9.10).
Пользуясь такой же методикой, можно вычислить мощность, переносимую ТМ-модой, на единицу ширины волновода:
179
∞
β
1
1 n* µ 0 2 TM
2 1
P = ∫ Ex H y dx =
H0 2 h +
H 0 hэфф ,
+
= 2
q
q
2ωε
γ
γ
ε
n
n
2
0
1 1
2 2
0
0
0
−∞
(9.56)
где q1 и q 2 – так называемые коэффициенты приведения:
2
2
2
2
n* n*
q1 = + − 1;
n0 n1
(9.57)
n* n*
q2 = + − 1.
n0 n2
9.4.3.4 Волновые уравнения для градиентных планарных волноводов
Рассмотрим распространение ТЕ-волн в волноводе с экспоненциальным
профилем показателя преломления:
x
(9.58)
n( x ) = ns + ∆n0 f ( x ) = ns + ∆n0 exp ,
d
где ns – показатель преломления подложки, параметр профиля d – примерно
соответствует глубине диффузии, а ∆ n0 характеризует максимальное приращение показателя преломления волноводного слоя, имеющего место на границе с
покровной средой.
При этом волновое уравнение (9.30) примет вид:
d 2Ey
2
x
2
2 2
(9.59)
+
2
exp
−
β
−
∆
k
n
n
k
ns E y = 0.
0
s
dx 2
d
x
Введем новую переменную η = , тогда (9.59) можно привести к виду:
d
(
d 2Ey
dη2
+ ( b exp η − c ) E y = 0,
(
)
(9.60)
)
где b = 2 k 2 ∆n0 ns d 2 , c = d 2 γ 2s = d 2 β 2 − k 2 ns2 , а параметр γ s определяет затухание поля в подложке.
Решение (9.60) хорошо известно и выражается через цилиндрические
функции:
η
E y = AZ v 2 b exp ,
2
где v = 2 c и A – произвольная константа.
(9.61)
180
Из условия конечности поля E y → 0 при x → −∞ находим, что ему удовлетворяют функции Бесселя. Находя v и подставляя ее в (9.61), получим:
d
x
E y = AJ 2 dγ s 4π 2ns ∆n0 exp
.
λ
2d
Для покровной среды решение нам известно:
E y(2) = B exp(− γ 2 x), x ≥ 0.
(9.62)
(9.63)
Приравнивая тангенциальные компоненты полей E y и E y(2) , H z и H z(2)
(их находим из (9.31) при x = 0 ), получим дисперсионное уравнение:
J 2 dγ s −1 (ξ ) − J 2 dγ s +1 (ξ )
γ 2λ
=−
,
J 2 dγ s (ξ)
π 2ns ∆n0
(9.64)
d
где ξ = 4π 2ns ∆n0 .
λ
Рис. 9.16 – Распределение электрического поля мод с номерами p = 0 и p = 4
по глубине волновода с экспоненциальным профилем показателя преломления
В уравнение (9.64) входят постоянные затухания: γ s = k ( n* ) 2 − ns2 и
γ 2 = k (n* ) 2 − n22 , в которых неизвестным является n ∗ – эффективный показатель преломления моды. Это уравнение может быть решено численно. Существует приближенный метод – для малых ∆n , когда правая часть (9.64) много
больше, чем любые значения функции Бесселя в левой части. Тогда считается,
что знаменатель в левой части (9.64) равен нулю, и n ∗ легко находится. Типичные картины распределения поля в волноводе имеют вид, показанный на рисунке 9.16. Отсюда можно сделать вывод, что эффективная толщина данного
волновода с увеличением номера моды увеличивается, а осцилляции поля
181
нарастают по мере углубления в волноводный слой. Что касается ТМ-волн, то
уравнение (9.32) можно привести к виду:
∂2H y
∂x 2
2 ∂nz ∂H y nz2 2 2
−
+ 2 nx k − β 2 H y .
nz ∂x ∂x
nx
(
)
(9.65)
Это уравнение будет иметь такой же вид, как и (9.30), если градиент показателя преломления n z будет достаточно мал.
n3
∂nz
<< z2 nx2 k 2 − β 2
∂x
2nx
(
Hy
) ( ∂H
y
/ ∂x
)
.
(9.66)
В этом случае вид решения для ТМ-волн будет таким же, как и для ТЕволн.
К сожалению, аналитическое решение уравнений (9.30) и (9.32) возможно
далеко не всегда. Исключение составляют профили:
1 x2
а) параболический, с n( x) = n0 1 −
;
(9.67)
2
2
x
0
∆n
б) 1 ch 2 , где n( x ) =
.
(9.68)
2 2x
ch
h
Если профиль показателя преломления имеет другой вид (например,
функций Гаусса или дополнительной функции ошибок), то решение уравнений
(9.30) и (9.32) проводится методом ВКБ или численными методами решения
дифференциальных уравнений.
9.5 Полосковые волноводы
Рассмотренные ранее планарные волноводы не ограничивают распространение света в плоскости волновода. Если ввести такое ограничение
(например, по оси Y в используемой системе координат), то получим полосковые (или трехмерные) волноводы. Именно такая конфигурация во многих случаях наиболее полно соответствует основной концепции интегральной оптики –
созданию сложных оптических схем на единой подложке. В большинстве случаев (например, в таких устройствах, как волноводные оптические модуляторы,
лазеры, нелинейные элементы) полосковая геометрия позволяет значительно
снизить управляющие мощности и напряжения.
Ограничение волноводной плоскости «в ширину» (по оси Y) может быть
достигнуто различными методами. В качестве примера рассмотрим волноводы
четырех типов, изображенные на рисунке 9.17. Такие волноводы, так же как и
182
планарные, могут быть пленочными и градиентными. Пленочные волноводы –
это те, у которых n0 не зависит от x и y . В градиентных волноводах
n0 = n ( x , y ) или n0 = n ( x ) . Обе эти структуры используют окружающий полоску
волновод, т. е. планарные волноводы с обеих сторон полоски обеспечивают
распространение по крайней мере одной волноводной моды.
Рис. 9.17 – Конфигурация полосковых волноводов: приподнятый (а);
внедренный (б); гребневый (в); составной (г)
Анализ полосковых волноводов значительно сложнее, чем планарных, и
точные аналитические решения для мод полосковых волноводов отсутствуют.
Перечислим основные результаты, полученные для полосковых волноводов к
настоящему времени:
1) для пленочных волноводов, внедренных в однородную среду с более
низким показателем преломления (т. е. для n1 = n2 ), сделаны численные расчеты. В. Шлоссер и Х.-Г. Унгер описали численный метод анализа таких волноводов вдали от отсечки и для большого отношения
ширины к высоте. Для волноводов с отношением ширины к высоте от
1 до 2 Дж. Гоелл воспользовался цилиндрическими функциями;
2) Е. Маркатили получил приближенные аналитические решения, применимые к многочисленному классу полосковых волноводов, когда частоты отсечки лежат достаточно далеко от частоты возбуждаемой моды;
183
3) разработан метод эффективного показателя преломления, дающий для
гребенчатых и составных волноводов хорошее согласие с экспериментом.
Рассмотрим применение метода эффективного показателя преломления
для анализа волновода гребенчатого типа (рис. 9.18). В области гребня толщина
пленки h′′ больше, чем h′ вокруг гребня, поэтому эффективный показатель
преломления ( n* )′′ в области гребня больше, чем ( n* )′ . Мы считаем волновод в
области гребня близким к планарному, поэтому для нахождения ( n* )′ и ( n* )′′
можно воспользоваться дисперсионным уравнением (9.7). Теперь полосковый
волновод мы представим в виде симметричного планарного волновода, изображенного на рисунке 9.18 вверху, с n0′ = ( n* )′′ , n1′ = n2′ = ( n* )′ и толщиной a .
Мы как бы принимаем пленку слева и справа от гребня за подложку и покровную среду.
Рис. 9.18 – Полосковый волновод гребенчатого типа:
планарная модель (а); поперечное сечение (б)
Подставляя теперь в (9.7) вместо n0′ → ( n* )′′, n2′ = n1′ → ( n* )′ и вместо
h → a , найдем численным расчетом эффективный показатель преломления m-й
поперечной моды полоскового волновода ( n* )′′m → n* . Обычно пленку, окружающую гребень, считают одномодовой. Тогда моды полоскового волновода нумеруются двумя индексами – p (по оси X) и m – (по оси Y). Эти индексы указывают число нулей в распределении поля по оси X и Y соответственно в по-
184
лосковом волноводе. В области вне гребня, как и в планарном волноводе, поля
моды спадают по экспоненциальному закону. В полосковых волноводах сущеx
, и поле такой моды имествуют два набора мод. Одни обозначаются через E pm
ет две «сильные» компоненты E x и H y . Составляющие H x , H z , E y , E z в этой
y
моде малы по величине. Второй набор имеет обозначение E pm
, «сильные» ком-
поненты здесь E y , H x , а слабые – H y , H z , E x , E z . Распределение компонент
поля E ( x, y ) в некоторых модах приведено на рисунке 9.19 для пленочного
волновода погруженного типа. В градиентных полосковых волноводах структура поля будет иметь более сложный вид [1].
Рис. 9.19 – Поперечные распределения компонент поля (слева) и интенсивности
света (справа) для некоторых мод полоскового волновода погруженного типа
185
·····························································
Контрольные вопросы по главе 9
·····························································
1. Укажите основные физические принципы, на которых базируется интегральная оптоэлектроника.
2. Что такое планарный волновод?
3. Чем отличаются пленочный и градиентный волноводы?
4. Изобразите, как распространяется свет в градиентном волноводе.
5. Какое распределение светового поля в планарном волноводе назывется излучательной модой?
6. Какое распределение светового поля в планарном волноводе назывется излучательной модой подложки?
7. Какое распределение светового поля в планарном волноводе назывется волноводной модой?
8. Объясните эффект Гуса – Хэнхена.
9. Какие уравнения описывают ТЕ- и ТМ-моды планарных волноводов?
10. Изобразите распределение электрических и магнитных полей в пленочной волноводной структуре для ТЕ- и ТМ-мод.
11. Изобразите возможные конфигурации полосковых волноводов.
186
Заключение
Перспективы применения лазеров настолько широки, что трудно назвать
область науки или техники, где оптические квантовые генераторы не применяются или не будут применяться. По словам создателя первого лазера американского ученого Т. Меймана, когда будет решена задача управления лучом лазера
и обеспечения приемлемого КПД, их применение будет ограничено, в сущности, лишь воображением и изобретательностью инженеров.
Дальнейшее развитие науки, техники и производства в настоящее время
неразрывно связано с использованием открытий и достижений в области лазерной техники. Уже в настоящее время лазеры широко применяются в метрологии и измерительной технике, мониторинге окружающей среды, космической
технике, технологии обработки материалов, химической технологии и химическом анализе, медицине, сельском хозяйстве, строительстве, военной технике,
интегральной и волоконной оптике, информационных системах, и везде их использование дает поразительные результаты. Так, без лазеров невозможно развитие и применение практической голографии.
Однако это только начало использования свойств лазерного излучения.
В будущем лазеры найдут еще более широкое применение. Создаются все более совершенные лазерные системы с различными принципами работы, использующие в качестве активного вещества новые материалы, смеси различных веществ. В ближайшее время можно ожидать широкого распространения портативных, сравнительно экономичных, надежных в эксплуатации и достаточно
мощных полупроводниковых, жидкостных и химических лазеров, излучающих
энергию в широком диапазоне волн. Уже решается вопрос о получении лазерного излучения в рентгеновской области, а также в области γ-излучения.
187
Литература
1. Никонов Н. В., Шандаров С. М. Волноводная фотоника : учеб. пособие, курс лекций. СПб : СПбГУ ИТМО, 2008. – 142 с.
2. Пихтин А. Н. Оптическая и квантовая электроника : учебник для вузов. – М. : Высш. шк., 2001. – 573 с.
3. Коваленко Е. С., Пуговкин А. В., Тихомиров А. А. Введение в квантовую электронику. – Томск : Изд-во ТГУ, 1974. – 432 с.
4. Смирнов А. Г. Квантовая электроника и оптоэлектроника : учеб. пособие для вузов. – Минск : Высш. шк., 1987. – 196 с.
5. Ярив А. Квантовая электроника : пер. с англ. / под ред. Я. И. Ханина. –
2-е изд. – М. : Сов. радио, 1980. – 208 с.
6. Малышев В. А. Основы квантовой электроники и лазерной техники :
учеб. пособие для вузов. – М. : Высш. шк., 2005. – 543 с.
7. Шандаров С. М., Башкиров А. И. Введение в квантовую и оптическую
электронику : учеб. пособие. – Томск : Изд-во ТУСУР, 2007. – 94 с.
8. Светцов В. И. Оптическая и квантовая электроника : учеб. пособие. –
Иваново : Иван. гос. хим.-техн. ун-т, 2004. – 122 с.
9. Ярив А., Юх П. Оптические волны в кристаллах. – М. : Мир, 1987. –
616 с.
10. Явтушенко М. С. Динамика оптических импульсов в неоднородных
по длине одно- и двухмодовых световодах : дис. ... канд. физ.-мат.
наук : 01.04.05 / Явтушенко Марина Сергеевна. – Ульяновск, 2009. –
140 с.
188
Глоссарий
p-n-переход – область полупроводника, в которой имеет место пространственное изменение типа проводимости от электронной n к дырочной p.
Анизотропная среда – среда, в которой физические свойства вещества зависят от направления.
Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в
одинаковой фазе.
Волновод – устройство или канал в неоднородной среде, вдоль которого
могут распространяться направленные волны.
Волновой пакет – распространяющееся волновое поле, занимающее в
каждый момент времени ограниченную область пространства.
Волновой фронт – поверхность, на всех точках которой волна имеет в
данный момент времени одинаковую фазу.
Волоконная оптика – раздел оптики, в котором рассматривается передача
света и изображения по световодам и волноводам оптического диапазона, в
частности по многожильным световодам и пучкам гибких волокон.
Время жизни носителя – средняя продолжительность жизни квазичастиц
в твердом теле и в жидком гелии, в частности неравновесных электронов проводимости и дырок в полупроводниках, определяемая процессами рекомбинации электронов и дырок. Она зависит от природы кристалла, от температуры,
характера и концентрации примесей.
Вырожденные состояния – состояния, в которых некоторая физическая
величина L, характеризующая данную систему, имеет одинаковое значение для
различных состояний системы.
Гамильтониан, оператор Гамильтона – оператор, соответствующий Гамильтона функции.
Голограмма – зарегистрированная интерференционная картина.
Динамическая голография – способ записи и восстановления волнового
поля, основанный на регистрации интерференционной картины.
Дисперсия волн – зависимость фазовой скорости vф гармонической волны
от ее частоты ω.
Дисперсия света – зависимость показателя преломления n вещества от
частоты ν (длины волны λ).
189
Дифракционная решетка – оптический прибор, представляющий собой
периодическую структуру из большого числа регулярно расположенных элементов, на которых происходит дифракция света.
Дифракция – направленность параллельных и равноотстоящих штрихов,
нанесенных на плоскую или вогнутую оптическую поверхность.
Диэлектрическая проницаемость среды – величина ε, характеризующая
поляризацию диэлектриков под действием электрического поля Е.
Длина когерентности – расстояние, при прохождении которого две или
несколько волн утрачивают когерентность.
Добротность резонатора – величина, характеризующая резонансные
свойства линейной колебательной системы.
Дуговой разряд – самостоятельный квазистационарный электрический
разряд в газе.
Дырка – квантовое состояние, не занятое электроном в энергетической
зоне твердого тела.
Изотропная среда – среда, в которой ее свойства не зависят от направления.
Индуцированный переход – вынужденный переход.
Инжекция носителей – проникновение неравновесных (избыточных) носителей заряда в полупроводник или диэлектрик под действием электрического
поля.
Интегральная оптика – раздел современной оптики, основной задачей
которого является изучение и использование особенностей генерации, распространения и преобразования световых волн в тонких слоях прозрачных материалов, а также разработка принципов и методов создания и интеграции оптических и оптоэлектронных волноводных элементов, способных эффективно
управлять световыми потоками.
Интерференция – пространственное перераспределение энергии светового излучения при наложении двух или нескольких световых волн.
Квантовый усилитель света – усилитель электромагнитных волн радиодиапазона, основанный на вынужденном излучении возбужденных атомов, молекул, ионов.
Квантовый переход – скачкообразный переход квантовой системы из одного состояния в другое.
190
Когерентное излучение – излучение, при котором происходит согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или
волновых процессов.
Коллиматор – оптическое устройство для получения пучков параллельных лучей.
Кратность вырождения – число вырожденных состояний для данного
значения энергии.
Лазер – устройство, генерирующее когерентные электромагнитные волны
за счет вынужденного испускания или вынужденного рассеяния света.
Магнитная проницаемость среды – физическая величина, характеризующая изменение магнитной индукции В среды при воздействии магнитного поля Н.
Магнитный дипольный момент – величина, характеризующая магнитные
свойства вещества.
Матрица плотности – оператор, при помощи которого можно вычислить
среднее значение любой физической величины.
Мода колебаний – тип колебания в распределенных колебательных системах.
Накачка – процесс создания неравновесного состояния вещества под воздействием электромагнитного поля.
Напряженность электрического поля – векторная величина Е, являющаяся основной количественной характеристикой электрического поля.
Населенность уровня – число частиц в единице объема вещества.
Нелинейная оптика – раздел оптики, охватывающий исследования распространения мощных световых пучков в твердых телах, жидкостях и газах.
Оператор – служит для сопоставления с определенной волновой функцией.
Оптика – раздел физики, в котором изучаются оптическое излучение
(свет), процессы его распространения и явления, наблюдаемые при взаимодействии света и вещества. Оптическое излучение представляет собой электромагнитные волны, и поэтому оптика – часть общего учения об электромагнитном
поле (электродинамики).
Плоская волна – волна, у которой направление распространения одинаково во всех точках пространства.
191
Полупроводниковый инжекционный лазер – лазер на основе полупроводникового кристалла, в котором используются излучательные квантовые переходы между энергетическими зонами.
Поляризация – характеристика оптического излучения, описывающая поперечную анизотропию световых волн.
Резонатор – колебательная система, способная совершать колебания
максимальной амплитуды (резонировать) при воздействии внешней силы.
Рекомбинация – исчезновение пары «электрон проводимости – дырка» в
результате перехода электрона из зоны проводимости в валентную зону.
Релаксация – процесс установления термодинамического равновесия в
макроскопических физических системах.
Скалярная величина – физическая величина, которая описывается функцией, в каждой точке пространства не изменяющейся при повороте системы
координат.
Спин-орбитальное взаимодействие – взаимодействие частиц, зависящее
от величины и взаимной ориентации их орбитального и спинового моментов
количества движений.
Статистический ансамбль – совокупность очень большого числа одинаковых физических систем многих частиц, находящихся в одинаковых состояниях.
Стоячая волна – периодическое или квазипериодическое во времени
синфазное колебание с распределением амплитуды.
Суперпозиция – результат суммирования, наложения друг на друга.
Тлеющий разряд – вид стационарного самостоятельного электрического
разряда в газах.
Ток смещения – скорость изменения во времени t электрической индукции D.
Фотон – элементарная частица, квант электромагнитного излучения.
Фотоприемник – приемник оптического излучения.
Фотоупругий эффект – возникновение оптической анизотропии в первоначально твердых телах.
Фотоупругость – следствие зависимости диэлектрической проницаемости вещества от деформациии.
Частота перехода – величина, равная числу периодов колебаний, совершаемых в единицу времени.
192
Эксимерная молекула – молекула, существующая только в электронновозбужденном состоянии.
Электрический заряд – источник электромагнитного поля, связанный с
материальным носителем.
Электромагнитная индукция – возникновение ЭДС в проводящем контуре, находящемся в переменном магнитном поле или движущемся в постоянном
магнитном поле.
Электрон – материальный носитель наименьшей массы и наименьшего
электрического заряда в природе.
Электрооптический эффект – изменение оптических свойств среды под
действием электрического поля.
Энергетический спектр – совокупность колебаний, на которые может
быть разложено колебательное движение.
Эффект Доплера – изменение частоты колебаний ω или длины волны λ,
воспринимаемой наблюдателем, при движении источника колебаний и наблюдателя относительно друг друга.
Эффект Зеемана – расщепление уровней энергии и спектральных линий
атома и других атомных систем в магнитное поле.
Эффект Штарка – расщепление спектральных линий атомов, молекул и
других квантовых систем в электрическом поле.
Эффективное сечение – величина, характризующая вероятность перехода
системы двух сталкивающихся частиц в результате их рассеяния.
