Движение связанных тел

Движение связанных тел
Задачи решаются применением законов Ньютона. Связанные тела представляют собой систему,
движущуюся с некоторым ускорением. Так как тела связаны, то их ускорения равны. Сила
натяжения одинакова на всем протяжении нити.
Возможные особенности задач:
В некоторых случаях удобно выбрать разные системы координат для разных тел.
Формулы для решения:
Законы Ньютона в векторной и скалярной формах:
Сила трения:
Уравнения движения в векторной и скалярной формах:
Алгоритм решения типовой задачи:
1. Кратко записываем условие задачи.
2. Изображаем условие графически в произвольной системе отсчета, указав действующие на тело
силы.
3. Корректируем и обозначаем на рисунке системы отсчета, вводя начало отсчета времени и
уточняя оси координат для сил и ускорения. Мы говором системы отсчета, потому что для каждого
тела может быть выбрана своя. Лучше направлять оси вдоль и перпендикулярно движению тел, а
отсчет времени начинать в момент нахождения тел в нуле координат.
4. Записываем в векторной форме второй закон Ньютона, уравнения других необходимых законов
и уравнения движения. Уравнения движения - это зависимости перемещения (пути) и скорости от
времени.
5. Записываем эти уравнения в скалярной форме: в проекциях на оси координат.
6. Решаем уравнения в общем виде.
7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.
8. Записываем ответ.
Примеры решения:
Задача 1.
К концам нити, перекинутой через неподвижный блок, подвешены два груза
массами 90 г и 110 г. Первоначально они находятся на одном уровне. С каким
ускорением движутся тела? На сколько опустится больший груз за 2 с?
Решение.
1. Кратко записываем условие задачи.
2,3. Изображаем условие графически, указав действующие на тело силы. Обозначаем на рисунке
систему отсчета. В данном случае достаточно одной оси.
4. Записываем в векторной форме второй закон Ньютона и уравнения движения.
5. Записываем эти уравнения в скалярной форме: в проекциях на оси координат.
6. Решаем уравнения в общем виде. Вычитаем первое уравнение из второго.
Подставляем в выражение для нахождения пройденного пути.
7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем. Переведем данные в систему СИ.
90 г=0,09 кг; 110 г=0,11 кг.
8. Ответ: тела будут двигаться с ускорением 0,98 м/с2 и за две секунды пройдут 1,84 метра.
Задача 2.
На концах нити, перекинутой через блок, подвешены тела разных масс. Под
действием силы тяжести каждый из грузов проходит за 2 с после начала
движения путь в 2 м. Определить массу меньшего груза, если масса большего
равна 5 кг.
Решение.
1. Кратко записываем условие задачи.
2,3 . Изображаем условие графически, указав действующие на тело силы. Обозначаем на рисунке
систему отсчета. В данном случае достаточно одной оси.
4. Записываем в векторной форме второй закон Ньютона и уравнения движения.
5. Записываем эти уравнения в скалярной форме: в проекциях на оси координат.
6. Решаем уравнения в общем виде. Вычитаем второе уравнение из первого.
Из уравнения движения находим ускорение.
7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем. Чтобы избежать громоздких выражений,
сначала найдем ускорение, а затем подставим его численное значение в выражение для массы
второго тела.
8. Ответ: масса второго тела 4,55 кг.
Задача 3.
Тело массой 2 кг скользит по горизонтальной поверхности стола под действием груза массой 0,5
кг, прикрепленного к вертикальному концу шнура, привязанного к телу и перекинутого через
неподвижный блок, закрепленный на краю. С каким ускорением движется тело? Трение не
учитывать.
Решение.
1. Кратко записываем условие задачи.
2. Изображаем условие графически. Обозначаем на
рисунке силы, действующие на каждое из тел и их
ускорения.
3. Корректируем и обозначаем на рисунке
систему отсчета, вводя начало отсчета
времени и уточняя оси координат для
силы и ускорения. Положительное
направление по оси ординат выбираем
вниз, для оси абсцисс - вправо.
4. Записываем в векторной форме второй
закон Ньютона для каждого из тел
Тела связаны нитью, поэтому абсолютные величины их ускорений равны.
5. Записываем эти же уравнения в скалярной форме: в проекциях на оси координат.
Для первого тела:
На ось "X".
Так как силы, действующие на первое тело и его ускорение перпендикулярны оси "Y", то их
проекции на эту ось равны нулю, и мы их не записываем.
Для второго тела.
Так как силы, действующие на второе тело и его ускорение перпендикулярны оси "X", то их
проекции на эту ось равны нулю, и мы их не записываем.
На ось "Y".
6. Решаем уравнения в общем виде. Учитываем, что в данном случае проекции на оси численно
равны длинам векторов, груз на столе движется именно силой натяжения нити, а ко второму грузу
приложена сила тяжести, то есть
получаем систему уравнений:
Откуда:
Складываем два уравнения, получаем:
7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.
8. Ответ: Ускорение тела 1,96 м/с2.
Задача 4.
На горизонтальном столе лежит деревянный брусок массой 500 г, который приводится в движение
грузом массой 300 г, подвешенным на вертикальном конце нити, перекинутой через блок,
закрепленный на конце стола. Коэффициент трения при движении бруска равен 0,2. С каким
ускорением будет двигаться брусок?
Решение.
1. Кратко записываем условие задачи.
2. Изображаем условие графически,
указав действующие на тела силы.
3. Обозначаем на рисунке систему отсчета. Одну
из осей направляем вдоль нормальной реакции
опоры.
4. Записываем в векторной форме второй закон
Ньютона и уравнения движения для каждого из тел.
Где R1 и R2 - равнодействующие
сил, действующих на каждое тело.
5. Записываем эти же уравнения в скалярной
форме: в проекциях на оси координат.
Записываем выражение для силы трения.
Учитываем, что некоторые проекции
обращаются в ноль, а другие равны
длинам векторов. Ускорения обоих тел
равны, так как они связаны.
F2 - это сила тяжести, равная mg. F1 - сила натяжения нити, то есть T.
6. Решаем уравнения в общем виде.
Подставляем выражение для силы трения в первое уравнение.
Сложим два уравнения:
7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.
8. Ответ: Ускорение грузов равно 2,45 м/с2.
Задача 5.
На вершине наклонной плоскости находится неподвижный блок, через который переброшена
невесомая нить с двумя брусками массами 3 и 2 кг. Брусок массой 3 кг, лежащий на наклонной
плоскости начинает двигаться вверх без трения
и за 2 с проходит путь в 2 м. Определить угол
наклона.
Решение.
1. Кратко записываем условие задачи.
2. Изображаем условие графически, указав
действующие на тела силы.
3. Обозначаем на рисунке системы отсчета. Для каждого тела выбираем свою. В первой системе
направляем одну ось вдоль наклонной плоскости, вторую - перпендикулярно ей. Во второй
системе достаточно ввести одну ось вдоль движения.
4. Записываем в векторной форме второй закон Ньютона для каждого тела и уравнение движения
для первого тела.
5. Записываем эти же уравнения в проекциях на оси координат. Учитываем сразу, что некоторые
проекции обращаются в ноль. Мы полагаем, что натяжение в разных местах нити одинаковое, а
ускорения грузов равны, так как грузы связаны между собой.
6. Решаем уравнения в общем виде. Складываем два первых уравнения, а из третьего сразу
находим ускорение.
Из первого уравнения находим синус угла, подставляем в него выражение для ускорения.
7. Подставляем величины в общее решение, вычисляем.