Rehenie uravnenii s pomosh'
реклама
МБОУ Первомайская СОШ Исследовательская работа Тема: Решение уравнений с помощью неравенств Бернулли и Коши Выполнил: ученица 10 класса Николаева Виктория Руководитель: учитель математики Кулаева Лилия Минуровна с. Первомайское, 2015 г. 1 План: I. Введение……………………………………………………………………………………………………............3 II. Применение неравенства Бернулли…………………………………………………………………....4 III. Применение неравенства Коши…………………………………………………………………………...5 IV. Заключение…………………………………………………………………………………………………………...7 V. Список литературы……………………………………………………………………………………………….7 VI. Приложение…………………………………………………………………………………………………………..8 2 I. Введение. Выделены 4 основных метода решения уравнений: разложения на множители, замена переменной, переход от неравенства функции к равенству аргумента, функциональнографический. Помимо перечисленных методов существуют и специальные. Как правило, они используются в том случае, когда уравнение весьма затруднительно решается основными методами. Один из специальных методов решения-решение уравнений с помощью неравенств Бернулли и Коши. Неравенство Бернулли-теорема, которая формулируется в 3 этапа: Если h>-1, то при любом натуральном p выполняется: Если h>-1, и Если h>-1 и 0<p<1, то (1 h) p 1 ph , то (1 h) p 1 ph Замечание: равенство достигается тогда и только тогда, когда p=1 или h=0. Неравенство Коши-среднее геометрическое не превышает или равно среднему арифметическому. Равенство достигается при равенстве слагаемых. Выполняется при неотрицательных . Его можно переписать следующим образом: Цель работы: познакомиться с неравенствами Бернулли и Коши, научиться применять их. Задачи работы:научиться решать уравнения и задачи с помощью неравенства Бернулли и Коши. Актуальность моей работы заключается в том, что неравенства Бернулли и Коши значительно облегчают решения уравнений, которые трудно решить традиционным способом, а так же помогают значительно сократить время решения сложных уравнений. Это необходимо мне, т.к. я учусь в старшем классе. Методы исследования: -работа с источниками литературы -работа с Интернет-ресурсами -описательный 3 II. a) Применение неравенства Бернулли. Для того, чтобы использовать неравенство вида +…+ Бернули для решения уравнений =a нужно левую часть уравнения представить в виде суммы степений вида и к каждому слагаемому применить неравенство Бернулли. Если после преобразований получим, что левая часть исходного уравнения совпадает с его правой частью, то в силу привидённого замечания, делаем вывод, что p=1 или Пример: Решим уравнение: + =4. В левой части уравнения стоят корни чётной степени, а это значит, что ), значит имеет место неравенство , и , ( тоесть . Представим левую часть уравнения в виде суммы степени + = + 1 0 1 дают возможность применить неравенство Бернулли. 4 . Условия и + Получили, что , но неверно, следовательно решений нет. Ответ: решений нет. = 4. Получается, что 4 + б) Рассмотрим теперь применение неравенства Бернулли к +…+ степеней = 2, но это уравнению вида . Обе части уравнения представим в виде сумм + вида . Затем к левой и правой частям уравнения применим неравенство Бернулли. Если после преобразований они совпадут, то определяем, при какие x выполняется равенство. Пример. Решим уравнение . уравнения в виде суммы степеней правой части исходного уравнения : Применим к обеим преобразования: частям + = + неравенство Представим Бернулли + (т.к часть . Приравняем её к + = левую . ) и выполним + Следовательно, левая часть исходного уравнения равна его правой части, если каждая из них равна 2, значит, равенство возможно, если: 4 Ответ: x=0. III. a) Применение неравенства Коши. Рассмотрим частный случай неравенство коши для n=2, то есть Или . Поскольку мы хотим воспользоваться неравенством для решения уравнений, нас интересует то, когда в неравенстве достигается равенство. Выясним это с помощью преобразований: отсюда следует, что , если . Для других значений n условия также обеспечивает обращения неравенство Коши в равенство. Пример: Решим уравнение: . Сразу учтём область определения неизвестного: x R, x 0. Исходя из вида левой части, можно догадаться, что целесообразно применить неравенство Коши для n=3. Но неравенство Коши выполняется для неотрицательных членов (множителей). Левая и правая части уравнения представляют собой нечетные функции. Отсюда следует, что корни уравнения -числа противоположные, поэтому достаточно решить уравнение для x>0. Преобразуем уравнение, умножив обе его части на x, так как . Рассмотрим левую часть и оценим её: , то есть ,а по условию . Таким образом, неравенство Коши обращается в равенство, а это возможно, если или , учитывая нечётность функций, входящих в уравнение, получаем Ответ: b) . . Рассмотрим теперь применение неравенства Коши для решения уравнений вида: 5 . Сначала оценим каждый арифметический корень левой части уравнения с учётом показателя степени корня, для чего подкоренное выражение представляют в виде произведения множителей, количество которых определяется показателем степени корня. Например, . Затем складывают полученные оценки и записывают неравенство. , где . Таким образом получают систему: , а из неё- неравенство каких x достигается равенство в неравенстве . Теперь остаётся определить, при . Пример: Решим уравнение: . Оценим каждый арифметический корень: . Найдём сумму полученных выражений: . С учётом исходного уравнения запишем систему: Отсюда , или . В полученном неравенстве при x=1 достигается равенство, следовательно, x=1 является единственным корнем. Ответ: x=1. 6 IV. Заключение. Неравенства Бернулли и Коши значительно облегчают решение уравнений, которые трудно решить традиционным способом. Позволяют получить дополнительные знания в области математики. Значительно сокращают время решения сложных уравнений. Список используемой литературы: V. 1. Вавилов. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. «Наука» 1987 г. 2. Большая советская энциклопедия по математике. Том № 1 и № 3. 3. Журнал «Математика в школе» № 1 2002 г. 4. Л.И. Терехина, И.И. Фикс. Высшая математика. Часть 2. Томск 2002 г. 5. http://enc-dic.com/enc_math/Koshi-zadacha-1582.html 6. http://www.math10.com/ru/algebra/neravenstva-sarevnovania.html 7. http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/ 8. http://ru.math.wikia.com/wiki/ 7 Приложение. Применение неравенств Коши. 1. Решить уравнение: Решение. Очевидно, что левая часть уравнения представляет собой функцию, которая определена при условиях и . Отсюда Пусть Тогда исходное уравнение примет вид: Поскольку . . С учётом обозначения , приведём последнее уравнение к виду Учитывая, что каждое слагаемое левой части неотрицательное, оценим левую часть: Теперь ясно, что исходное уравнение равносильно системе Неравенство этой системы обращается в равенство тогда,когда , т.е. Дальнейшее рассуждение легко записать чисто символически: Оба полученных корня принадлежат промежутку Ответ: 8 2. Решите в целых числах уравнение: Решение. Левая часть исходного уравнения представляет собой сумму неотрицательных выражений, поэтому можно воспользоваться неравенством Коши: двух Cучётом исходного уравнения имеем: От последнего неравенства легко перейти к неравенству Отсюда Подставим в исходное уравнение, получим При обозначении Предыдущее равенство примет вид . Вернёмся к исходной переменной : . Тогда и Полученные x,yцелыми не являются, следовательно, в целых числах решений нет. Ответ: решений нет. 3. Решить уравнение Решение. Оценим каждый арифметический корень левой части уравнения. В силу неотрицательности, имеем: , . Найдём сумму полученных выражений: , т.е Преобразуем теперь правую часть исходного уравнения: . Сведя воедино найденные оценки левой и правой и частей исходного уравнения , запишем систему: , Откуда и, следовательнo, x=3. Остаётся проверить, удовлетворяет ли найденное значение xО.Д.З.неизвестного. Из условий Следует, что Ответ: x=3 , т.е . 9 4. Задача. Требуется изготовить бак с крышкой объёмом , имеющий квадратное основание. Сварка швов проводится по всему основанию и одному боковому ребру. Стоимость сварки составляет 10 руб. за 1 м., а стоимость жести-20 руб. за 1 .Установить размеры бака, при которых его стоимость будет наименьшей. Решение. Обозначим буквой xсторону основания бака. Его высоту выразим из формулы : . Тогда площадь поверхности бака с крышкой находим по формуле: , А длина свариваемых швов . Стоимость изготовления . Стоимость работ будет минимальной при наименьшем значении функции f(x): . После перегруппировки получаем: . Найдём наименьшее значение этой функции на промежутке . Возможны два способа решения: с помощью производной и с помощью неравенства Коши. Итак, применим неравенство Коши к выражениям, стоящим в скобках: . Функция принимает наименьшее значение, когда достигается равенство, т.е при и . Наименьшее значение функция достигает при x=0,5 , тогда h=1м. Ответ:x=0,5 м ; h=1м. 5. Решить уравнение Используем неравенство Коши: 10 - первоначальное уравнение Неравенство Коши превратится в равенство при условии: Ответ: 11 Применение неравенств Бернулли. 1. Решить уравнение: ,при условии, что . Решение представим левую часть уравнения в виде суммы степеней: . Поскольку основание степени с дробным показателем не отрицательно, заключаем, что . Тогда для выражений , к тому же выполняются условия: и . Значит, можно применить неравенство Бернулли и записать: и . Теперь можно рассмотреть сумму: . Так как , равенство возможно, если Отсюда Ответ: 2. . . . Решите в целых числах уравнение: Решение. Функция определена при . Следовательно, целых решений отрицательных корней уравнение не имеет. Проверим, существует ли корень, равный нулю. В самом деле, при x=0 уравнение принимает вид ,т.е 0=0. Следовательно, x=0 – корень уравнения. Остаётся установить, не имеет ли уравнение положительных корней. Преобразуем: 12 Получаем В неравенстве равенство достигается или при x=1 или при 9x+1=0, т.е при Второе значение xне входит в О.Д.З. неизвестной в исходном уравнении. Ответ: x=0 x=1. 3. Решить уравнение Используем неравенство Бернулли: Неравенство Бернулли превратится в равенство при условиях x=0 Ответ: x=0 13