2 тур задачиx

Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Центр математического образования школьников, УдГУ
IV Ижевский командный турнир математиков
2 тур, 4 февраля 2012 г., 6 класс, высшая лига
1. После дискотеки девочки пришли к выводу, что Дима танцевал с четырьмя девочками, Глеб – с тремя, а каждый из остальных мальчиков – с пятью. С другой
стороны, Лиза танцевала с шестью мальчиками, Полина – с семью, а каждая из
остальных девочек – с десятью мальчиками. Докажите, что кто-то ошибся.
2. Найдите все такие натуральные числа, произведение всех делителей которых
равны 2225·3100
3. В Стране Чудаков 9 городов, из каждого выходит 3 или 4 прямые авиалинии в другие города. Но при
этом есть город, до которого из столицы никак не долететь». Сколько авиалиний может быть в Стране
Чудаков?
4. Раствор спирта, содержащий 20% примесей, подожгли. Спирт выгорает, а примеси — нет. Смесь перестала гореть, когда содержание спирта стало равняться 40%. В сколько раз уменьшился объем смеси?
5. Встретились как-то два рыцаря и два лжеца. Один из них сказал «Я – счастливый рыцарь!», второй ответил: «А я – счастливый лжец!». Третий сказал: «Ровно двое из нас счастливы», а четвертый возразил:
«Все мы несчастны». Определите, кто из них кто. (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут)
6. На белой доске размером 4n двое по очереди красят по одной клетке, причем никакие две закрашенные клетки не должны граничить между собой по вертикали, горизонтали или диагонали и никакую
клетку нельзя красить второй раз. Проигрывает тот, кто не може т сделать очередной ход без нарушения
правил. Кто выигрывает при правильной игре: тот, кто делает первый ход,
или его партнер?
7. Шестиклассник разрезал бумажный квадрат на прямоугольники периметра 6 см, а семиклассник – точно такой же квадрат на прямоугольники
периметра 7 см. Может ли у восьмиклассника получиться больше прямоугольников?
8. В Солнечном городе 6 улиц: на трех из них живут только коротышкидевочки, а трех других коротышки-мальчики. Улицы в городе либо параллельны, либо пересекаются под прямым углом. На каждом перекрестке, где пересекаются улицы девочек, построен салон красоты. На каждом перекрестке улиц мальчиков построен стадион, а на остальных перекрестках — школы. Сколько школ может быть в Солнечном городе, если в нем есть и стадионы,
и салоны красоты?
9. Кузя прямолинейным разрезом разделил выпуклый бумажный 67-угольник на
два, затем так же разрезал один из двух получившихся, затем - один из трех получившихся и т.д. В итоге у него получилось восемь n-угольников. Чему может равняться n (перечислите все возможности)?
10. Петя написал на доске несколько (больше одного) натуральных чисел (среди
которых могли быть и равные). Затем Вася для каждых двух записанных Петей чисел записал на той же доске их сумму (сумма записывалась, даже если на доске
уже было равное ей число). После этого оказалось, что сумма всех записанных на доске чисел равна 289.
Сколько чисел написал на доске Петя?
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Центр математического образования школьников, УдГУ
IV Ижевский командный турнир математиков
2 тур, 4 февраля 2012 г., 6 класс, первая лига
1. Раствор спирта, содержащий 20% примесей, подожгли. Спирт выгорает, а примеси —
нет. Смесь перестала гореть, когда содержание спирта стало равняться 40%. В сколько раз
уменьшился объем смеси?
2. В печатном станке сломалась цифра “3”, поэтому в типографии решили нумеровать страницы, используя только числа без “3”:1, 2, 4, …, 28,
29, 40, 41, 42 и т.д. Какой номер будет иметь 2012-я (в обычной нумерации) страница?
3. Гриша взял бумажный треугольник и вырезал из него квадрат (см. рисунок). Известно, что периметр треугольника был равен 17, а периметр полученной фигуры 23. Найдите площадь новой фигуры, если
площадь треугольника была равна 25.
4. Катя на выполнение домашнего задания тратит на 10% больше времени, чем Лена, а
Маша тратит на 10% меньше времени, чем Катя. Кто из девочек быстрее всего делает домашнее задание?
5. Маша составила два числа: в одном были только единицы и семерки, а в другом —
только двойки и тройки, причем в каждом из чисел не все цифры были одинаковы. Могло
ли так быть, что одно из этих чисел делится на другое?
6. Сегодня 4 февраля 2012 года, Заметим, что номер дня делится на номер месяца ( то
есть 4 делится на 2). А сколько всего дней с подобными свойствами
существует в 2012 году?
7. Петя, Вася и Юра были на олимпиаде по математике, причём кто-то
из них получил на ней первое место (оно
было одно). После олимпиады они сказали
своему учителю. Петя: «В олимпиаде победил Юра». Юра: «Я не был на награждении». Вася: «А вот я там был». Известно, что
правду сказал только победитель олимпиады. Кто это?
8. Запись положительного числа, кратного трем, состоит только
из цифр 4 и 5. Сумма всех его цифр делится на 7. Найдите наименьшее такое число.
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Центр математического образования школьников, УдГУ
IV Ижевский командный турнир математиков
2 тур, 4 февраля 2012 г., 7 класс, высшая лига
1. После дискотеки девочки пришли к выводу, что Дима танцевал с четырьмя девочками, Глеб – с тремя, а каждый из остальных мальчиков – с
пятью. С другой стороны, Лиза танцевала с шестью мальчиками, Полина – с
семью, а каждая из остальных девочек – с десятью мальчиками. Докажите,
что кто-то ошибся.
2. Существует ли такое натуральное число, у которого произведение всех
2
2
делителей равно 2𝑎 ∙ 3𝑏 ?
3. Иван нарисовал пятиугольник и в его вершинах написал 5 различных натуральных чисел. Затем на
каждой стороне этого пятиугольника он написал наименьшее общее кратное чисел, написанных в
вершинах этой стороны и заметил, что все записанные на сторонах пять чисел равны. Какое
наименьшее число Иван мог написать на сторонах?
4. С конечной последовательностью нулей и единиц разрешается производить следующую операцию: заменять 01 на 10...0 (число нулей на каждом шаге произвольно). Может ли для некоторой
начальной последовательности процесс замен продолжаться бесконечно?
5. На стороне ОА угла АОВ взяты точки А1, А2 и А3 так, что А1А2=2А2А3. На стороне ОВ того же угла взяты точки В1, В2 и В3 так, что В1В2=2В2В3. Пусть С1, С2, С3 – середины отрезков А1В1, А2В2, А3В3 соответственно. Докажите, что С1С2=2С2С3.
6. Поверхность кубика 333 разлинована на единичные квадратики. Какое наибольшее число квадратиков можно закрасить так, чтобы среди них не было двух, имеющих общую сторону?
7. Два игрока по очереди красят клетки доски 33. Вначале все клетки белые. Первый игрок красит
клетки в красный, а второй – в синий цвет. За один ход каждый может закрасить не более трех клеток, из которых не более одной небелой. Первый игрок хочет получить красный квадрат 22. Может
ли второй ему помешать?
8. В футбольном турнире, проходящем в два этапа, участвуют 16 команд. В первом этапе все команды играют между собой двухкруговой турнир (каждая команда с каждой
играет два матча). Во втором этапе первые восемь команд играют между
собой двухкруговой турнир, и последние восемь команд играют между собой двукруговой турнир. Какая наибольшая разница очков может быть
между очками первой команды первой восьмерки, и первой команды второй восьмерки в конце турнира, если за победу в каждом матче дается 3, за
ничью 1 и за поражение 0 очков (очки после первого этапа сохраняются)?
9. Пусть 0 < a < b < c < 1. Докажите, что 1 – (1 – a)(1 – b)(1 – c) > c
10. Петя написал на доске несколько (больше одного) натуральных чисел (среди которых могли быть
и равные). Затем Вася для каждых двух записанных Петей чисел записал на той же доске их сумму
(сумма записывалась, даже если на доске уже было равное ей число). После этого оказалось, что
сумма всех записанных на доске чисел равна 289. Сколько чисел написал на доске Петя?
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Центр математического образования школьников, УдГУ
IV Ижевский командный турнир математиков
2 тур, 4 февраля 2012 г., 7 класс, первая лига
1. Средний рост восьми баскетболистов равен 195 см. Какое наибольшее
количество из этих игроков м ожет быть ниже, чем 191 см?
2. Существует ли натуральное число, произведение всех делителей которого равно 22012?
3. Среди 9 монет 8 настоящих, а одна фальшивая – на 1г легче. Есть трое
чашечных весов, но одни из них сломаны – одна из чашек тяжелее другой
на 1 г. Как с помощью четырех взвешиваний определить фальшивую монету? Сломанные весы по внешнему виду отличить нельзя.
4. В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1; пересекающиеся в точке М. Докажите, что
AC=BC тогда и только тогда, когда периметры треугольников AMС и BMС равны.
5. Есть девять карточек с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Разрешается взять несколько из них,
выложить в ряд в каком-либо порядке и расставить между некоторыми скобки и знаки арифметических действий ( например, можно получить выражение 123·456+7). Какое наименьшее количество карточек надо использовать, чтобы получить выражение, равное 2012.
6. Когда троллейбус выехал из автобусно-троллейбусного парка, то троллейбусов в парке осталось 1/4 от всего транспорта в
нем. Но когда троллейбус вернулся в парк, троллейбусы стали
составлять уже треть всего транспорта. Сколько автобусов было
в парке, если известно, что пока троллейбус следовал по
маршруту, ни один автобус и ни один троллейбус не выехал и
не въехал в парк?
7. На дощечке написано два числа: с левой стороны написано
число 17, а с правой – число 5. За один ход можно прибавить
к числу, написанному с левой стороны, целое число, а число, написанное с правой стороны,
умножить на то же самое число. Как уравнять числа на разных сторонах дощечки, сделав не более пяти ходов?
8. Петя, Вася и Юра были на олимпиаде по математике, причём кто-то из них получил на ней первое место (оно было
одно). После олимпиады они сказали своему учителю. Петя: «В олимпиаде победил Юра». Юра: «Я не был на награждении». Вася: «А вот я там был». Известно, что правду сказал
только победитель олимпиады. Кто это?