V Ижевский командный турнир математиков

Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Республиканский ресурсный центр по математике
Центр математического образования школьников, УдГУ
V Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 15 марта 2013 г., 6 класс, высшая лига
1. На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них, то
сумма девяти оставшихся оказалась равна 2013. Какие числа остались на доске?
2. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит правду, а если 4 точки – то она всегда лжет, а других божьих коровок на полянке не было.
Первая божья коровка сказала: "У нас у каждой одинаковое количество точек на спине". Вторая сказала: "У всех вместе на спинах 30 точек". – "Нет, у всех вместе 26 точек на спинах", – возразила третья. "Из этих троих ровно одна сказала правду", – заявила каждая из остальных божьих коровок.
Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?
3. Можно ли отметить на плоскости несколько точек и прямых так, чтобы каждая отмеченная точка
лежала ровно на 10 прямых и на каждой прямой лежало ровно 10 точек?
4. Есть множество шариков разных весов по два шарика каждого цвета: два красных, два синих, два
белых, два серо-буро-малиновых и так далее... На левую чашку весов положили несколько шариков
разных цветов, а на правую - шарики тех же цветов. При этом левая чашка
перевесила, но оказалось, что если взять и поменять местами два шарика
одного цвета, то либо весы придут в равновесие, либо перевесит правая
чашка. Сколько шариков могло лежать на весах?
5. Имеются два сосуда ёмкостью 1 л и 2 л. Из содержимого приготовили 0,5 л
смеси, содержащей 40% яблочного сока, и 2,5 л смеси, содержащей 88% яблочного сока. Каково процентное содержание яблочного сока в сосудах?
6. Вася подсчитал произведение ненулевых цифр у каждого из чисел от 1 до
1000000. Затем он сложил все эти 1000000 произведений. Докажите, что полученная сумма делится
на 23.
7. На клетчатой бумаге нарисовали шестиугольник и частично закрасили его серым
цветом (см. рисунок). Какая часть шестиугольника имеет большую площадь: закрашенная или незакрашенная? Обоснуйте свой ответ.
8. Друзья Петя и Ваня любят ходить друг к другу в гости. Петя всегда идёт с постоянной скоростью, а Вася увеличивает скорость на одну и ту же величину, как только проходит очередную треть пути. При этом скорость Васи на второй трети пути совпадает со скоростью Пети. У кого дорога занимает меньше времени?
9. 40 путешественников выехали из Петербурга: двое 1-го января, двое 2-го января, …, двое 20-го января. Вернулись они в феврале: двое 1-го февраля, двое 2го февраля, …, двое 20-го февраля. Все путешественники уезжали в полдень и
приезжали тоже в полдень. Докажите, что какие-то двое потратили на путешествие поровну дней.
10. На шахматной доске отмечено 37 клеток. Докажите, что если на отмеченные
клетки можно поставить 8 не бьющих друг друга ладей, то это можно сделать
хотя бы двумя способами.
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Республиканский ресурсный центр по математике
Центр математического образования школьников, УдГУ
V Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 15 марта 2013 г., 6 класс, первая лига
1. Ребенок поставил четыре одинаковых кубика так, что буквы на сторонах кубиков, обращенных к нему, образуют его имя (см. рисунок). Нарисуйте, как расположены остальные
буквы на данной развертке кубика и определите, как зовут ребенка.
2. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда говорит
правду, а если 4 точки – то она всегда лжет, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья
коровка сказала: "У нас у каждой одинаковое количество точек на спине". Вторая
сказала: "У всех вместе на спинах 30 точек". – "Нет, у всех вместе 26 точек на спинах", – возразила третья. "Из этих троих ровно одна сказала правду", – заявила
каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на
полянке?
3. Старательный мальчик Вася решил исследовать, на сколько меняется сумма
цифр числа при его увеличении на 2. С этой целью для каждого из чисел от 1 до 1
000000000 он выписал в тетрадочку это изменение (например, для числа 15 он
выписал 2, а для числа 38 он выписал отрицательное изменение -7). Чему равна сумма всех выписанных
Васей чисел?
4. 1 сентября на перемене учительница оставила на столе классный журнал и дети стали выставлять туда
оценки. Каждая девочка поставила 18 пятерок, а каждый мальчик – 11 двоек. В результате у каждой девочки появилось 7 оценок, а у каждого мальчика - 21 оценка. Кого было больше:мальчиков или девочек?
5. В семье Ивановых 4 человека: папа, мама, сын и дочь. Их зовут Саша, Женя, Валя и Егор. Как-то за
семейным столом некоторые из них сделали по два утверждения, причем каждый ровно единожды
сказал правду:
Саша: Женя старше всех. Валя – дочь Егора.
Егор: Женя и Саша – разного пола. Они мои родители.
Женя: Я – отец Егора. Я – дочь Вали.
Восстановите имена и отчества детей.
6. В календаре планеты Драконов все месяцы содержат одинаковое число дней. Через
100 дней после 20-го дня месяца будет 15-й день месяца, а через 75 дней после
предпоследнего дня месяца будет 4-ый день месяца. Сколько дней в драконьем месяце?
7. На клетчатой бумаге нарисовали шестиугольник и частично закрасили его серым
цветом (см. рисунок). Какая часть шестиугольника имеет большую площадь: закрашенная
или незакрашенная? Обоснуйте свой ответ.
8. 40 путешественников выехали из Петербурга: двое 1-го января, двое 2-го января, …, двое 20-го января.
Вернулись они в феврале: двое 1-го февраля, двое 2-го февраля, …, двое 20-го февраля. Все
путешественники уезжали в полдень и приезжали тоже в полдень. Докажите, что какие-то двое
потратили на путешествие поровну дней. .
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Республиканский ресурсный центр по математике
Центр математического образования школьников, УдГУ
V Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 15 марта 2013 г., 7 класс, высшая лига
1. На доске были написаны 10 последовательных натуральных чисел. Когда стёрли одно из них,
то сумма девяти оставшихся оказалась равна 2013. Какие числа остались на доске?
2. Внутри равностороннего треугольника ABC выбраны точки P и Q таким образом, чтобы четырёхугольник APQC был выпуклым, AP = PQ = QC и  PBQ = 30°. Докажите, что AQ = BP.
3. Можно ли отметить на плоскости несколько точек и прямых так, чтобы каждая отмеченная
точка лежала ровно на 2013 прямых и на каждой прямой лежало ровно 2013 точек?
4. Имеются два сосуда ёмкостью 1 л и 2 л. Из содержимого приготовили 0,5 л смеси, содержащей 40% яблочного сока, и 2,5 л смеси, содержащей 88% яблочного сока. Каково процентное содержание яблочного сока в сосудах?
5. Докажите, что существует бесконечно много таких натуральных значений n, что число
nn+(2n)2n+1 имеет не меньше трех различных простых делителей.
6. Друзья Петя и Ваня любят ходить друг к другу в гости. Петя всегда идёт с постоянной скоростью, а Вася увеличивает скорость на одну и ту же величину, как только проходит очередную треть пути. При этом скорость Васи на второй трети пути
совпадает со скоростью Пети. У кого дорога занимает меньше времени?
7. На доске написано число 2. Петя и Вася играют в такую игру. Петя
записывает на доску число, делящееся на 2, затем Вася выписывает число,
делящееся на 3, затем Петя – число, делящееся на 4 и т.д. При этом новое
число можно получить из предыдущего либо дописав одну цифру в конец,
либо стерев последнюю цифру предыдущего числа, либо переставив цифры
предыдущего числа (оставлять число без изменения нельзя). Проигрывает
тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
8. На шахматной доске отмечено 37 клеток. Докажите, что если на отмеченные клетки можно поставить 8 не бьющих друг друга ладей, то это можно сделать хотя бы двумя
способами.
9. На прямой взяты четыре точки KLMN (именно в этом порядке) и вне прямой взята точка О так,
что KL = LM = MN, KON = 121°.Известно также, что OM > KL. Что больше – OL или MN?
10. Есть множество шариков разных весов по два шарика каждого цвета: два
красных, два синих, два белых, два серо-буро-малиновых и так далее... На
левую чашку весов положили несколько шариков разных цветов, а на правую
- шарики тех же цветов. При этом левая чашка перевесила, но оказалось, что
если взять и поменять местами два шарика одного цвета, то либо весы придут в равновесие, либо перевесит правая чашка. Сколько шариков могло лежать на весах?
Ижевский клуб интеллектуальных игр «Что? Где? Когда?»
МБОУ Экономико-математический лицей № 29 г. Ижевска
Республиканский ресурсный центр по математике
Центр математического образования школьников, УдГУ
V Ижевский командный турнир математиков
1 тур, 15 марта 2013 г., 7 класс, первая лига
1. Ребенок поставил четыре одинаковых кубика так, что буквы на сторонах
кубиков, обращенных к нему, образуют его имя (см. рисунок). Нарисуйте,
как расположены остальные буквы на
данной развертке кубика и определите, как зовут ребенка.
2. На полянке собрались божьи коровки. Если у божьей коровки на спине 6 точек, то она всегда
говорит правду, а если 4 точки – то она всегда лжет, а других божьих коровок на полянке не было. Первая божья коровка сказала: "У нас у каждой одинаковое количество точек на спине". Вторая сказала: "У всех вместе на спинах 30 точек". – "Нет, у всех вместе 26 точек на спинах", – возразила третья. "Из этих троих ровно одна сказала правду", – заявила каждая из остальных божьих коровок. Сколько всего божьих коровок собралось на полянке?
3. Точка E – середина основания AD трапеции ABCD. Отрезки BD и CE пересекаются в точке F. Известно, что прямая AF перпендикулярна BD. Докажите,
что BC = FC.
4. Имеются два сосуда ёмкостью 1 л и 2 л. Из содержимого приготовили 0,5
л смеси, содержащей 40% яблочного сока, и 2,5 л смеси, содержащей 88%
яблочного сока. Каково процентное содержание яблочного сока в сосудах?
5. Вася подсчитал произведение ненулевых цифр у каждого из чисел от 1 до
1000000. Затем он сложил все эти 1000000 произведений. Докажите, что полученная сумма делится на 23.
6. В семье Ивановых 4 человека: папа, мама, сын и дочь. Их зовут
Саша, Женя, Валя и Егор. Как-то за семейным столом некоторые из
них сделали по два утверждения, причем каждый ровно единожды
сказал правду:
Саша: Женя старше всех. Валя – дочь Егора.
Егор: Женя и Саша – разного пола. Они мои родители.
Женя: Я – отец Егора. Я – дочь Вали.
Восстановите имена и отчества детей.
7. Друзья Петя и Ваня любят ходить друг к другу в гости. Петя всегда идёт с постоянной скоростью, а Вася увеличивает скорость на одну и ту же величину, как только проходит очередную
треть пути. При этом скорость Васи на второй трети пути совпадает со скоростью Пети. У кого дорога занимает меньше времени?
8. Можно ли подобрать три попарно различных числа a, b, c так, чтобы все три прямые y = ax+a2,
y = bx+b2, y = cx+c2 проходили через одну точку?