МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ П.Г.ДЕМИДОВА»
Математический факультет
Кафедра математического анализа
Отчет по практике
Студентки Марасановой Анастасии Михайловны
Курс 4, форма обучения: очная, бюджетная, учебная группа ПМИ-42 БО
Направление подготовки (специальность): 010302 Прикладная математика и информатика
Вид практики: практика по получению профессиональных умений и опыта
профессиональной деятельности
Сроки практики: с 28.04.20 по 12.05.20 (2 недели)
База практики: Кафедра математического анализа
Руководитель практики от организации – базы практики: Кубышкин Евгений Павлович
Ярославль 2020 г.
Содержание
1 Отзыв руководителя
3
2 Постановка задач
4
3 Процесс работы
5
3.1
Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3.2
Вырожденная гипергеометрическая функция 1 F1 (a, b, z) и графики функции Ψ(λ, p)
6
3.3
Метод D-разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
4 Заключение
14
2
1
Отзыв руководителя
Студентка 4 курса математического факультета Ярославского государственного универси-
тета им. П. Г. Демидова Марасанова Анастасия Михайловна за время прохождения практики
(с 28.04.2020 по 12.05.2020) на кафедре математического анализа выполнила все требования руководителя практики.
В рамках прохождения практики Марасановой А.М. были выполнены следующие задания:
• Изучение частного случая задачи, рассматриваемой в дипломной работе.
• Написание программы вычисляющей 1 F1 (a, b, z) - вырожденную гипергеометрическую функцию и построение графиков функции Ψ(λ, p).
• Ознакомление с методом D-разбиения и реализация его в программе.
За время прохождения практики Марасанова Анастасия показала хороший уровень теоретической подготовки, полученный за время обучения в университете. Более всего проявились
навыки программирования, а также анализа и аналитического подхода для решения разных
задач.
К выполнению всех заданий подходила добросовестно и с ответственностью. Показала стремление к получению новых знаний.
В целом работа Марасановой А.М. заслуживает оценки отлично.
Профессор, Доктор физико-математических наук Кубышкин Е.П.
3
2
Постановка задач
• Изучение частного случая задачи, рассматриваемой в дипломной работе.
• Написание программы вычисляющей 1 F1 (a, b, z) - вырожденную гипергеометрическую функцию и построение графиков функции Ψ(λ, p).
• Ознакомление с методом D-разбиения и реализация его в программе.
4
3
Процесс работы
3.1
Постановка задачи
Рассматривается уравнение:
λ2 + a0 λ + ωk2 (1 − µΨ(λ − iΩ, p)) = 0,
(1)
3 3 λ2
1 1 λ2
λ Γ( 43 )
F
(
Ψ(λ, p) = 1 F1 ( , ,
)− √
, ,
),
1 1
4 2 4pj
pj Γ( 14 )
4 2 4pj
(2)
где
где Γ( 14 ) = 3.625600, Γ( 43 ) = 1.225417, а 1 F1 (a, b, z) - вырожденная гипергеометрическая функция.
5
3.2
Вырожденная гипергеометрическая функция 1 F1 (a, b, z) и графики
функции Ψ(λ, p)
Определение 1 Вырожденная гипергеометрическая функция или функция Куммера - решение вырожденного гипергеометрического уравнения zy 00 + (b − z)y 0 + ay = 0.
Γ(b)
1 F1 (a, b, z) =
Γ(a)Γ(b − a)
Z1
ta−1 (1 − t)b−a−1 ezt dt,
(3)
0
аналитическая в области Reb > 0 и Rea > 0 при любых z.
Вырожденная гипергеометрическая функция может быть определена с помощью так называемого ряда Куммера:
∞
a(a + 1) z 2
(a)k z k X (a)k z k
az
+
+ ··· +
=
,
1 F1 (a, b, z) = 1 +
b 1!
b(b + 1) 2!
(b)k k!
(b)k k!
k=0
(4)
где (a)k = a(a + 1)(a + 2) · · · (a + k + 1), a0 = 1, a1 = a и (b)k = b(b + 1)(b + 2) · · · (b + k + 1), b0 = 1,
b1 = b, a и b - параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения,
кроме b = 0, −1, −2, ... и z - комплексное переменное.
Доказательство.
Разложение в ряд по степеням z вырожденной гипергеометрической функции получаем, с помощью равенства
zt
e =
∞
X
(zt)k
k=0
k!
,
(5)
справедливым для всех z. Подставив (5) в выражение для 1 F1 (a, b, z), получаю:
1 F1 (a, b, z)
=(
∞
P
k=0
zk
k!
Z1
|0
=
Γ(b)
Γ(a)Γ(b−a)
R1
ta−1 (1 − t)b−a−1 ezt dt =
0
Γ(b)
tk+a+1 (1 − t)b−a−1 dt) Γ(a)Γ(b−a)
=
{z
∞
P
k=0
(a)k z k
.
(b)k k!
}
Γ(k+a)Γ(b−a)
Γ(k+b)
6
Написав программу, вычисляющую эту функцию с помощью ряда Куммера, смотрим какие
графики функции Ψ(λ, p) получаются при действительных и комплексных значениях λ.
При заданном значении p=1. На (Рис.1) изображён график при действительном значении λ.
На (Рис.2) изображены два графика, при комплексном значении λ. Синий график отвечает за
вещественную часть функции, а красный за мнимую. На следующих изображениях обозначения
сделаны таким же образом.
Рис. 1 λ - действительное число.
Рис. 2 λ - комплексное число.
При заданном значении p=10.
Рис. 3 λ - действительное число.
Рис. 4 λ - комплексное число.
7
При заданном значении p=0,1.
Рис. 5 λ - действительное число.
Рис. 6 λ - комплексное число.
8
3.3
Метод D-разбиения
Определение 2 Метод D-разбиения - способ построении области устойчивости линейной системы автоматического управления по некоторому параметру, т.е. определение границ допустимых изменений параметров, при которых система автоматического управления
не теряет устойчивости.
Для линейной системы требуется определить диапазон изменения некоторого параметра, в
котором система сохраняет устойчивость.
В рамках поставленной задачи необходимо было рассмотреть уравнение:
λ2 + a0 λ + ωk2 (1 − µΨ(λ − iΩ, p)) = 0. Полагая λ = iσ, −∞ < σ < ∞ и выделяя вещественную
и мнимую части. В результате
σ 2 + ωk2 (1 − µΨc (σ − Ω, pj )) = 0,
(6)
a0 σ = µωk2 Ψs (σ − Ω, pj ) = 0.
(7)
Положив σ − Ω = σ1 , имеем
1
Ω = −σ1 ± ωk (1 − µΨc (σ1 , p)) 2 ,
a0 = µωk
Ψs (σ1 , p)
1
(1 − µΨc (σ1 , p)) 2
,
(8)
(9)
где Ψ(iσ, p) = Ψc (σ, p) + iΨs (σ, p).
Получив формулы и записав их в программу, строим функцию a0 (Ω). Для этого сначала
вычисляем Ω, изменяя σ1 , от 0 до −10, шагом −0, 05. Берём ωk = k 2 , k = 1, 2, 3, 4.
9
Далее изменяя параметр p получаем такие графики:
Рис. 7 p = 0, 1.
Рис. 8 p = 1.
10
Рис. 9 p = 10.
Чтобы увеличить точность вычислений немного меняем способ вычисления σ1 . Для этого
используем следующий алгоритм:
1. Из уравнения
1 1 (σ − Ω)2 1
σ = ωk (1 − µ1 F1 ( , , −
)) 2 ,
4 2
4pj
(10)
где ωk = k 2 , k = 1, 2, 3, 4. Определяем функцию σ = σ(Ω), которая задана неявно, следую2
1
щим образом, g1 (σ) = σ, g2 (σ) = ωk (1 − µ1 F1 ( 41 , 12 , − (σ−Ω)
)) 2 .
4pj
2. Функция σ = σ(Ω) строится следующим образом:
1
1
• Полагаем σ0 = ωk (1 − µ) 2 и Ω(σ0 ) = Ω0 = ωk (1 − µ) 2 . Далее даём приращение Ω, то
есть Ω1 = Ω0 + ∆ (∆ = 0, 05).
• Из уравнения (10) находим σ1 . Для этого вычисляем значения функции σ − g2 (σ) при
σ0 6 σ 6 ωk и смотрим точку перемены знака, а затем с помощью метода деления
отрезка пополам находим корень уравнения σ1 − g2 (σ1 ) = 0. В результате Ω1 ⇒ σ1 .
Полагаем Ω2 = Ω1 + ∆.
• Далее находим σ2 , σ3 , .... И в результате строим функцию σ = σ(Ω).
11
3. Подставляем полученную функцию σ(Ω) в
3 3 (σ(Ω) − Ω)2
ωk2 Γ( 34 ) σ(Ω) − Ω
)
a0 = −µ √
1 F1 ( , , −
pj Γ( 12 ) σ(Ω)
4 2
4pj
и строим графики a0 (Ω).
Также изменяем параметр p:
Рис. 10 p = 0, 1.
12
(11)
Рис. 11 p = 1.
Рис. 12 p = 10.
13
4
Заключение
Во время прохождения практики мне пригодились знания, полученные мной на занятиях,
как в области математики, так и в области программирования.
Мною была изучена поставленная мне задача. Реализована программа, отвечающая заданным требованиям. Изучен и реализован метод D-разбиения. В ходе практики я улучшила навыки программирования. Так как они требовались для решения реальной задачи, приходилось
самостоятельно изучать новые методы и способы реализации тех или иных проблем.
Опыт, полученный за это время, не пройдет даром, а наоборот поможет мне, в написании
дипломной работы.
14
