Иллюстративный материал к практическим занятиям по курсу ДПиОК Расчет мембран Плоские мембраны Плоской мембраной принято называть пластинку обычно круглой формы, способную деформироваться под действием нагрузки. Плоская мембрана относится к манометрическим упругим элементам, поскольку ее рабочей нагрузкой, как правило, является гидростатическое давление. Во многих манометрических приборах мембраны служат для преобразования давления в перемещение или усилие. С помощью мембран можно измерять давления от нескольких миллиметров водяного столба до сотен атмосфер. Плоские мембраны Плоские мембраны Уравнение упругой поверхности плоской мембраны при малых перемещениях Прогиб 0 центра мембраны (r = 0) - Цилиндрическая жесткость Плоские мембраны y y Коэффициент запаса nt экв экв 2 pR 0.666 2 h – допускаемое напряжение 2 Допускаемое давление Допускаемого прогиб h pдоп 1,5 2 R 4 pR 0 3 5.86 E h ЗАДАЧА Определить коэффициент запаса мембраны нагруженной давлением р = 4 МПа. Размер мембраны R = 15 мм, h = 1 мм. Материал – сплав 36НХТЮ, Е = 2,1105 МПа, предел упругости у = 700 МПа. Какие размеры будет иметь мембрана при увеличении коэффициента запаса вдвое, но при том же прогибе? РЕШЕНИЕ Наибольшее эквивалентное напряжение можно определить из выражения: экв pR 0.666 4 15 0.666 2 600МПа 2 h 1 2 2 Коэффициент запаса: y 700 nt 1.17 экв 600 РЕШЕНИЕ Прогиб мембраны определим Чтобы коэффициент запаса увеличился вдвое (до 2,34, требуется изменить рабочий радиус и толщину мембраны (R1 и h1). РЕШЕНИЕ Для увеличения коэффициента запаса в два раза эквивалентное напряжение должно быть вдвое снижено у nt экв . если n1 2n следовател ьно nt1 у экв 2 РЕШЕНИЕ Из выражения 2 R1 2 h1 выразим 2 R1 300 112,6 отсюда 2 4 0,666 h1 R1 112.6 h1 2 2 РЕШЕНИЕ По условиям задачи прогиб мембраны должен остаться неизменным, т.е. p R1 0 0.164. 3 5.86 E h1 4 Подставляем значения Р и Е в последнее выражение 4 R1 0.164 3 5 5.86 2.110 h1 4 РЕШЕНИЕ 4 R1 0,164 3 5 5.86 2.1 10 h1 4 2 2 4 112.6 h1 0.164 3 5 5.86 2.1 10 h1 4 112.6 h1 0.164 3 5 5.86 2.1 10 h1 2 4 4 112.6 2 h1 0.164 5 5.86 2.1 10 РЕШЕНИЕ Из последнего выражения определяем h1 4 112.6 h1 0.164 5 5.86 2.110 0.164 5.86 2.1105 h1 4( мм) 2 4 112.6 2 Определяем радиус мембраны R1 112.6 h1 2 2 R1 112.6 4 2 42,4( мм) РЕШЕНИЕ R1=42,4 мм и h1 = 4 мм. Таким образом, по сравнению с прежними размерами рабочий радиус мембраны должен быть увеличен в 2,82 раза, а толщина в 4 раза. ЗАДАЧА Обосновать выбор материала для мембраны нагруженной давлением р = 0,5МПа. Размер мембраны: R = 20 мм, h = 0,6 мм, коэффициент запаса nt =3; прогиб упругого элемента w0 =0,3 мм. Оценить возможность использования мембраны в качестве измерительного УЭ для измерения давления в диапазоне 100кПа0,5МПа. РЕШЕНИЕ Из уравнения 4 pR 0 3 5.86 Eh зная прогиб мембраны, ее геометрические размеры и максимальную нагрузку, определяем модуль упругости материала: pR 4 0,5 204 4 E 21 10 МПа 3 3 0 5.86h 0.3 5.86 0.6 Решение Рассчитаем pR 2 0,5 202 экв 0,666 2 0.666 370МПа 2 h 0.6 Зная значения коэффициента запаса и экв y nt экв у nt экв 2,13 800 1100МПа Решение Оценим возможность использовать УЭ в качестве измерительного в заданном диапазоне pR 0,1 20 0 0,06 мм 3 4 3 5.86 Eh 5,86 2110 0,6 4 4 Задача Определить радиус и прогиб мембраны нагруженной давлением р =6 МПа. Толщина мембраны h = 1,5 мм, коэффициент запаса nt=2,4. Материал – сплав 36НХТЮ8М: Е=21104 МПа, предел упругости у = 850 МПа. РЕШЕНИЕ Если у у 850 nt экв 354.2МПа экв nt 2.4 Из уравнения экв pR 0.666 2 h 2 находим экв h 2 354.2 1.52 796.95 R 14 мм 0.666 p 0.666 6 3.996 Задача Определить коэффициент запаса мембраны нагруженной давлением р = 250 кПа. Размер мембраны R = 50 мм, h = 1,5 мм. Материал – сплав 36НХТЮ8М, Е=21104 МПа, предел упругости у = 950 МПА. Какие размеры будет иметь мембрана при уменьшении коэффициента запаса вдвое, но при том же прогибе?
