Неравновесная статистическая физика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Московский физикотехнический институт
(государственный университет)
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
____________Ю.А.Самарский
______________ июня 2002 г.
ПРОГРАММА
по курсу ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
по направлению 511600
для всех факультетов
кафедра теоретической физики
курс V
семестр IX
лекции 34 часа
Экзамен
IX семестр
практические (семинарские)
занятия 34 часа
Зачет
нет
лабораторные занятия нет
Самостоятельная работа
2 часа в неделю
ВСЕГО ЧАСОВ
68
Программу и задание составил д.ф.-м.н., проф. Р.О. Зайцев
Программа обсуждена на заседании
кафедры теоретической физики
18 мая 2002 года
Заведующий кафедрой
Ю.М. Белоусов
НЕРАВНОВЕСНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
А. Классическая теория
I. Уравнение Больцмана
Функция распределения. Законы сохранения. Н-теорема. Равновесное и локально-равновесное распределение.
5-моментное приближение. Линеаризованное уравнение
Больцмана. Схема метода Чепмена-Энскога. -приближение.
Сдвиговая вязкость и теплопроводность в -приближении.
Звук в вязкой жидкости.
II. Кинетические уравнения ФоккераПланка
Общий вид. Интеграл столкновений в форме Ландау. Уравнение ФоккераПланка. Уравнение Ланжевена.
III. Кинетическое уравнение для легких частиц в тяжелом
газе
Коэффициенты переноса в -приближении. Плотность источников тепла.
IV. Уравнение Власова
Диэлектрическая проницаемость максвелловской плазмы.
Затухание Ландау. Ионный звук. Флуктуации полей. Дебаевские поправки к термодинамическим потенциалам.
V. Установление равновесия в ионизованных газах
Кольцевое суммирование. Уравнение БалескуЛеннарда.
Термодинамические свойства при низкой температуре.
Б. Квантовая теория
VI. Диаграммная техника для неравновесных процессов
Запаздывающая, причинная и опережающая функции Грина.
Квантовомеханическое усреднение двухкомпонентных вре2
менных функций Грина. Система уравнений Келдыша и переход к уравнениям для функции распределения.
VII. Уравнения КадановаБейма
Аппроксимация Хартри и уравнение Больцмана. Обобщённое
уравнение Больцмана. Квазиравновесные явления и распространение звука.
VIII. Флуктуационно-диссипативная теорема
Формулы Кубо для линейного отклика. Соотношения Челлена-Вельтона. Флуктуационно-диссипационная теорема для
ток-токового коррелятора. Формула Найквиста. Белый шум.
IX. Диффузионные процессы при низкой температуре
Вычисление коррелятора плотность-плотность. Уравнения
электродинамики в металлах. Аномальный скин-эффект и
эффект Кондо. Диффузоны, купероны и теплопроводностные
моды. Соотношение Эйнштейна. Вычисление четырёхтоковых корреляторов. 1/f-шум при низких температурах.
X. Неравновесные флуктуации параметра порядка
Вычисление третьего коэффициента в нестационарных уравнениях ГинзбургаЛандау. Динамический критический индекс и попытки его вычисления.
XI. Неравновесные процессы в сверхпроводниках
Вычисление аномальных функций Грина. Квантовая теория
туннельного эффекта. Туннельный ток между сверхпроводником и нормальным металлом. Микроскопическая теория
эффекта Джозефсона.
3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ландау Л.Д., .Лифшиц Е.М. Статистическая физика.
Ч.1. М.: Наука, 1995.
2. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Статистическая физика.
Ч.2.  М.: Наука, 1978.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Физическая кинетика.  М.:
Наука, 2001.
4. Абрикосов А.А. Основы теории металлов.  М.: Наука,
1987.
5. Кубо Р. Статистическая механика.  М.: Мир, 1967.
6. Каданов Л., Бейм Г. Квантовая статистическая механика.
 М.: Мир, 1964.
7. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая
механика.  М.: Мир, 1978.
8. Горелкин В.Н., Минеев В.П. Введение в физическую кинетику: Учеб. пособие.  М.: МФТИ, 1989.
9. Зайцев Р.О., Орлов В.Г. Теория высокотемпературной
сверхпроводимости: Учеб. пособие.  М.: МФТИ, 1993.
10. Горелкин В.Н., Минеев В.П. Дополнительные главы
физической кинетики: Учеб. пособие.  М.: МФТИ, 1990.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ПОНЯТИЯ
I. Кинетика газа
Функция распределения f t , v, r  :
 f t , v, r  dv  nt , r   n ,  vf t , v, r dv  n v  nV  j .
4
Среднее любой одночастичной величины at , v, r 
 at , v, r  f t , v, r dv  a
 f t , v, r dv
или  at , v, r  f t , v, r dv  n a .
Тепловая скорость u  v  v  v  V .
Плотность внутренней энергии  E  nm
u2
,
2
потока тепла Qk  nm u 2 u k / 2 .
Тензор давлений  ik  nm ui uk .
Уравнение Больцмана:


f
f Fi f
Lf 
 vi

 I ст f ;
t
ri m vi

I f   W 1,2;1' ,2' f 1' f 2'  f 1 f 2dv 2 dv1' dv '2 ;
 na
t



 nvi a
 n La   aI ст fdv
ri
Субстанциональная производная
d

  V .
dt t

ns  div vns  q s  0 ,
t

s   ln  f / e , q s    ln  f / e I ст fdv .
H-теорема:
Гидродинамическая форма законов сохранения
5


 n
  
 n    div V
 div nV   0




t


d
1  ik Fi
 Vi    

  второй закон Ньютона
dt  2   nm rk
m
dE
dS
dV

T
p
 u  
1 Qk  ik Vi  
dt
dt
dt
 2    nm r  mn r 
k
k 

Локально-равновесная функция распределения (ЛРР):
 m 
f 0  n

 2T 
u2
3/ 2
 mv  V 2 
exp 
,
2
T


3
0
 T ,  ik
 nTik .
2
2
Линеаризованное уравнение Больцмана: f  f 0 1   ,

L ln f 0   1'  2'  1  2f 0 2 v12 ddv 2
m
0
 mu 2 5 


m
 V 
 u T
,
L ln f 0  ui u k  ik u 2  i  
  k
T
3
2
2
T

r

 rk 
k


в -приближении для однокомпонентного газа

f  f0
, f  f 0  Lf 0 ,

 V V
V 
2
 ik  nT ik   i  k  ik l  ,
ri 3
rl 
 rk
T
5 nT
Qi   
,   nT,  
.
2 m
ri
I ст f 
II. -приближение для легких частиц в тяжелом
газе

f  f 0  Lf 00 , где f 00  ЛРР при V  0 .
6

 1  nv tr  nv  1  cos  d .
0
Проводимость металлов
1
, T   D
e 2 N tr T

~ 1
m
, T   D

 T 5
Теплопроводность металлов
const, T   D
 2 NTtr 

~ 1
, T   D
3m

 T2
Закон ВидеманаФранца при T   D
  2T
.

 3e 2
III. Общий вид потоков в феноменологической
гидродинамике
 V V
V 
V
2
 ik  p ik  '  i  k   ik l   ' '  ik l ,
ri 3
rl 
rl
 rk
T
Qi   
, J  V .
ri
Скорость диссипации механической энергии:   Tq s ,
V
1
 ik  pik  i  Qk   1  .
T
rk
rk  T 
cp T
 p 
Звук в газе (жидкости):   ck , c 2    
,
   S cV M
qs  
7
2 
2  4
m
'' '
c p cv
c 3  3

.


IV. Уравнения ФоккераПланкаЛандау
f s

0,
t p
где для уравнения ФоккераПланка
s   A f 



B f ,
p
A   q wp, q  dq, B 
где для уравнения Ландау
1
 q q wp, q dq,
2

f p'
f p 
s     f a p  b
 f b p' a C dp' ,
p 
p'
b 



v  v' v  v'
1 

C  C   
2
2 
v  v'

.


В общем случае
C  C 
1 2
 q v  v' d .
2
Для кулоновского газа интеграл столкновений Ландау определяется интегралом БалескуЛеннарда:

C  2ea eb 2  d


  kv  kv'
k  k max
V. Матрица плотности Вигнера  t , r1, r2 
k k dk
k 4  l , k 
r
r

nt , R, p    e  ipr  t , R  , R   dr ,
2
2

8
2
.
Np   nt , R, p dR ,
N t , R    nt , R, p  dp  t , R, R  .
VI. Квантовое кинетическое уравнение
G
G   
G

G   
,
G   

r, t; r ' , t '  i   r ' , t '  r, t  ,
G

r, t; r' , t '  i   r, t  r' , t ' ,
G



r, t; r', t '  t  t 'G
r, t; r' , t '  t 't G
r, t; r', t ' ,
G



r, t; r' , t '  t  t 'G
r, t; r' , t '  t 't G
r, t; r' , t ' .
G
d
,
2
r

r
 
G,p t , R    e i  ipr G,p  t  , R  ; t  , R   drd .
2
2
2
 2
0

1 
  4
 
G 0,1 G1,2   z   X1  X 2     z 1,3G3,2 d 4 X 3 ,



1 


G*0 0,2 G1,2   z  4  X1  X 2    G(1,3)(3,2) z d 4 X 3 ,
nt , R, p   i  G,p t , R 




G 0,2  G 0 0,1
0
*
1
1
 1

 i   r  R  .
 t m

В отсутствие внешних полей и взаимодействий:
9

G0 p  
 
 
nF p
 1  nF p


    p  i     p  i

  2i 1  n F  p     p



  
 
  .

  1 nF pi   nFpi 
2in F  p     p
p
p
VII. Уравнения Максвелла для металла или
полупроводника
4
j,
c
1 A
1 A 

e   
, j     
,
c t
c t 

 
1
A 


 D   div
 , h  rot A .
t
t
c
t 

div e  4   2    , rot h 
Соотношение Эйнштейна:
 2 D  4 .
Формулы, предполагающиеся известными из
предшествующих курсов
1. "Золотое" правило Ферми:
dw fi 
2.


2
2
F fi  Ei  E j .

Формула Сохоцкого:
1
1
 P  i( z );   0,   0  .
z  i
z
3. Представление Гейзенберга:



iHt /   sh
 iHt / 
,
At  e
A t e
10



 
dAt
At
 i
 i
 H t , At . .
dt
t


4. Вторичное квантование бозе-частиц со спином 0
Ненулевые матричные элементы:
 



... N p ... bp ... N p  1 ... 

 ... N p  1 ... bp ... N p ...  N p .


 
Перестановочные соотношения:
b , b   b
b , b   


p
p'

 
 
p bp '  bp ' bp  bp , bp '  0,
p

p'
pp ' .
5. Вторичное квантование фермионов со спином 1/2
Ненулевые матричные элементы:





..., np  1 ... ap ... np  0 ... 





... np  0 ... ap ... np  1 ...   1 p .
Здесь   ,  p 
t 1
 nk ,
где t  номер состояния
k 1
( p ), ( t1 )  номер состояния, предыдущего по
счету.
Перестановочные соотношения:
a
a

 



 


 
p , a'p '  ap a'p '  a'p ' ap  ap , a'p '  0,

p , a'p'
, '  p, p' .
Операторы квантованного поля (нерелятивистское
приближение):
 



  r    ap   r  ,   r    ap * r  .

p
11
p
Перестановочные соотношения:
  r ,  ' r'   0 ,



r ,   r' 
  r ,  ' r'  'r  r' .
'
 0 ,
6. Взаимодействие электронов во вторичном квантовании
Оператор числа частиц:

 
r   r  dr   a, p a, p .
N    

p,   
Гамильтониан невзаимодействующих
электронов:



 
1
 
H0 
  p k   r  p k   r  dr 
2 m , k
.
p2  
 
a , p a , p
p,  2m
Нерелятивистское взаимодействие с внешним полем
U r  :



U      r U r    r  dr 


1
 
 U pp '  a, p a, p' .
V p, p '

Нерелятивистское электрон-электронное
взаимодействие:
 1




V     1 r 1   2 r 2 r 1 r 2  2 r 2  1 r 1 dr1dr2 
2 1,2

1
2V

p1 ,p 2 ,p 3 , p 4




p 3  p1   a 1,p1 a 2 ,p 2 a 2 ,p 4 a 1,p3 .
1 , 2
p1 p 2  p3 p 4 ,
12
7. Гамильтонан БКШ:

  

V   g / V   ap a p a p ' ap ' .
p ,p '
8. Взаимодействие электронов с акустическими фонона~):
ми ( q  cl q  

U w 
p ,q ,
1.
2.
3.
4.
5.
6.






 q / 2V apq, ap, bq  bq .
Задачи
Для однокомпонентного газа получить в -приближении явное выражение для коэффициентов теплопроводности и вязкости. Найти коэффициент Чепмена.
Воспользовавшись результатами задачи 1 и уравнениями НавьеСтокса, найти коэффициент затухания звука.
Вычислить время релаксации  при рассеянии электронов на экранированной примеси в полупроводнике.
Для электронов в полупроводнике найти коэффициенты, определяющие ток и поток энергии. Записать коэффициент, определяющий поток тепла при отсутствии тока заряда (закон ВидеманаФранца). Проверить выполнение соотношений Онсагера. Считать, что
справедливы: -приближение, модель свободных
электронов и больцмановская статистика и   Av k
(k= 0, - 1).
Определить коэффициент диффузии тяжелой сферической частицы в газе. Рассмотреть случаи: а) R>>,
б) R<<, где   длина свободного пробега молекулы
газа.
Вычислить коэффициенты в уравнении типа ФоккераПланка по энергии для легких частиц в тяжелом
газе. Убедиться, что стационарное решение этого
уравнения соответствует равновесной функции распределения.
13
7. Вычислить коэффициенты в кулоновском интеграле
столкновений Ландау с учётом пространственной и
временной дисперсии диэлектрической проницаемости. Выделить особенности, связанные с обменом
плазмонами.
8. Определить скорость передачи энергии электронов к
ионам двухкомпонентной однозарядной (z i =1) плазмы, считая разность температур электронов и ионов
малой по cравнению с их суммой.
9. Определить закон дисперсии продольных и поперечных колебаний плазмы.
10. Проверить, что равновесные распределения Ферми и
Бозе являются стационарными решениями квантового
кинетического уравнения с парным взаимодействием.
11. Определить температурную и частотную зависимость
времени жизни электронных возбуждений в низкотемпературном пределе.
12. В диффузионном приближении найти  l , k  и
13.
14.
15.
16.
 t , k  .
Используя явное выражение для диэлектрической
проницаемости плазмы, определить явный вид интеграла столкновений Ландау, происходящего за счёт
обмена плазмонами.
Записать для электрон-фононной системы кинетическое уравнение и убедиться, что равновесные распределения Ферми и Бозе являются стационарными решениями.
Используя явный вид электрон-фононного интеграла
столкновений, определить явный вид температурной
зависимости электро- и теплопроводности. (Фононы
считать равновесными).
Используя явный вид электрон-электронного интеграла столкновений, определить явный вид температурной зависимости электро- и теплопроводности.
14
17. Вычислить проводимость и коэффициент диффузии
при T = 0 для неидеального металла со сферической
поверхностью Ферми.
18. С помощью уравнения Больцмана, записанного в 
приближении, найти комплексную проводимость   .
19. C помощью уравнения Больцмана, записанного в приближении, найти квадратичный ток-токовый коррелятор. Определить спектральный состав токовых
шумов и получить формулу Найквиста.
20. При заданной диэлектрической проницаемости, с помощью ФДТ и уравнений Максвелла, определить
спектральный состав флуктуаций электрического поля.
21. Вычислить нестационарную поправку к уравнениям
электростатики в металлах. Используя результаты
предыдущей задачи, записать уравнение непрерывности для плотности электрического заряда. Записать
соотношение Эйнштейна для металла.
22. Используя контактное спин-спиновое взаимодействие,
вычислить обратное время релаксации электрона на
парамагнитных примесях с заданным спином S . Выделить низкотемпературную логарифмическую особенность (эффект Кондо).
23. Используя кинетическое уравнение для металла в заданном поперечном электрическом поле (div e  0 ) и
при заданном обратном времени релаксации, получить
интегральное соотношение между током и полем.
Определить глубину проникновения для предельно
чистого металла (аномальный скин-эффект).
24. Используя  -образный вид взаимодействия с примесью, а также u-v-преобразование, определить температурную зависимость коэффициента теплопроводности
сверхпроводника.
25. Используя уравнения движения в форме Гейзенберга,
определить компоненты Фурье запаздывающей, опе15
26.
27.
28.
29.
режающей и причинной функций Грина для электронов в металле при конечной температуре. В переделе
T  0 установить связь с фейнмановской теорией позитрона.
Используя результаты предыдущей задачи в качестве
нулевого приближения, определить все три функции
Грина для неидеального металла, содержащего неподвижные примеси. Результаты выразить через обратное время релаксации по импульсу.
К контакту между двумя различными металлами приложена разность потенциала V. Используя туннельный гамильтониан, вычислить величину тока через
контакт.
Используя u-v-преобразование, а также уравнения
движения Гейзенберга, записать нормальные и аномальные функции Грина для идеального сверхпроводника. Установить связь с теорией Л.П. Горькова.
Используя обобщённое u-v-преобразование с произвольной фазой, вычислить ток через контакт между
двумя сверхпроводниками, между которыми отсутствует разность потенциалов (эффект Джозефсона).
30. Используя определение  
g
V


 ap, t  a p,   t  ,
p
записать линеаризованную часть нестационарного
уравнения ГинзбургаЛандау для неидеальных сверхпроводников.
Срок сдачи задания: 14.12–19.12 2002 г.
Подписано в печать 07.06.02.
Формат 6084 116. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0.Тираж 150 экз. Заказ N Ф-312.
Московский физико-технический институт
(государственный университет)
ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ
141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9
16