Загрузил feniks-sokol96

Фотоника

реклама
Введение
Современный этап развития фотоники характеризуется тем, что
основными структурными объектами ее исследования становятся не
структуры из массивных кристаллических материалов, а выполненные на их
основе тонкие пленки, многослойные тонкопленочные структуры, нити,
наночастицы и наноточки. Малость размеров этих перечисленных структур в
каком-либо из геометрических направлений 𝛼, сравнимых по величине с
длиной волны де Бройля 𝛼 ≥ 𝜆𝑑𝐵 , согласно законам квантовой механики
приводит к изменению в них энергетического спектра носителей заряда.
Энергетический спектр становится дискретным при движении вдоль
направления, в котором имеется ограничение размера. Наличие этого
«размерного» квантования при определенных условиях может существенным
образом повлиять на физические свойства рассматриваемых квантоворазмерных структур и привести к возникновению у них совокупности
уникальных оптических и электрических свойств отличных от свойств,
наблюдаемых у объемных монокристаллических материалов.
Энергетический спектр наноразмерных структур
В твердых телах квантовой ограничение может быть реализовано в трех
пространственных направлениях. Количество направлений в твердотельной
структуре, в которых эффект квантового ограничения отсутствует,
используется в качестве критерия для классификации элементарных
наноструктур по трем группам. В связи с чем, среди низкоразмерных
наноструктур можно выделить три базовые элементарные структуры. Это
квантовые ямы, квантовые нити (или квантовые проволоки) и кантовые точки.
Эти элементарные структуры представляют собой кристаллический материал,
пространственно ограниченный в одном, двух и трех измерениях,
соответственно.
Уникальные физические свойства веществ в нанокристаллическом состоянии
обусловлены волновой природой частиц, например, электронов, поведение
которых подчиняется законам квантовой механики.
Для описания электрического спектра и волновых функций
низкоразмерных систем наиболее часто используется та или иная форма
метода эффективной массы (kP-теория возмущений), детально разработанного
для объемных твердых тел. Привлекательность этого подхода основана на том,
что он в ряде случаев позволяет получать аналитические результаты, явно
учитывающие граничные условия и форму наноразмерных структурных
элементов. Кроме того, в рамках kP-теории возмущений относительно легко
учесть взаимодействия электронной подсистемы низкоразмерных систем с
колебаниями решетки, статическими деформациями и внешними полями.
Данный подход позволяет объяснить многие качественные закономерности,
присущие низкоразмерным системам, даже на основе простейшей двухзонной
модели полупроводника, которая явно учитывает лишь одну зону
проводимости (𝐸𝑐 ) и одну валентную зону (𝐸𝑣 ).
Основная идея kP-теории возмущений заключается в том, что волновая
функция электрона (дырки) представляет собой линейную комбинацию
произведений быстро осциллирующих в области элементарной ячейки
кристалла блоховских амплитуд 𝑢(𝑟) и медленно меняющихся в масштабе
элементарной ячейки огибающих волновых функций 𝜓(𝑟).
Согласно зонной теории твердого тела энергетический спектр и
огибающие волновых функций носителей заряда во внешнем поле являются
решением стационарного уравнения Шредингера и=в приближении
эффективной массы
[−
ℎ 2
∇ + 𝑉(𝑟)] 𝜓(𝑟) = 𝐸𝜓(𝑟),
2𝑚∗
(1)
где 𝑉(𝑟) – потенциальная энергия носителя заряда во внешнем поле
(потенциальная яма, ограничивающая движение заряженной частицы); 𝐸 –
полная энергия заряда, отсчитанная от края зоны носителя заряда в отсутствии
нижнего поля; 𝑚∗ - эффективная масса носителя заряда в окрестности края
соответствующей энергетической зоны; 𝜓(𝑟) – волновая функция
(огибающая).
Энергетический спектр носителей заряда в объемной
кристаллической структуре
Свободный электрон, движущийся в трехмерной системе, имеет
потенциальную энергию 𝑉(𝑟) = 0, а соответствующая ему волновая функция
описывается выражением
𝜓(𝑟) = exp(𝑖𝑘𝑟) = 𝑒𝑥𝑝 (
𝑖𝑝𝑟
),
ℏ
(2)
где 𝑘 – квази-волновой вектор.
Тогда полная энергия электрона равна его кинетической энергии,
величина которой в соответствии с пространственными компонентами его
квазиимпульса 𝑝 = (𝑝𝑥 , 𝑝𝑦 , 𝑝𝑧 ) составляет:
1
ℏ2
2
2
2
𝐸=
(3)
(𝑝𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑝𝑧 ) =
(𝑘𝑥2 + 𝑘𝑦2 + 𝑘𝑧2 ).
∗
∗
2𝑚
2𝑚
В результате, для прямозонной кристаллической структуры зависимость
энергии электрона вблизи краев зоны проводимости и валентной зоны будет
описываться выражениями:
𝑝2
ℏ2 𝑘 2
𝐸𝑐 (𝑝) = 𝐸𝑔 +
= 𝐸𝑔 +
,
2𝑚𝑒∗
2𝑚𝑒∗
(4)
𝑝2
ℏ2 𝑘 2
𝐸𝑣 (𝑝) = −
=−
,
2𝑚ℏ∗
2𝑚ℏ∗
(5)
где 𝐸𝑔 – энергия запрещенной зоны; 𝑚𝑒∗ , 𝑚ℏ∗ - эффективные массы электрона и
дырки, соответственно.
На рисунке показана дисперсионная зависимость для прямозонного
полупроводника
Плотность состояний электронов в энергетической зоне
При
исследовании
оптических
спектральных
характеристик
кристаллических веществ важной величиной является плотность состояний
носителей в той или иной энергетической зоне. Предположим, что свободные
электроны занимают условный кубический объем (ящик) со стороной грани
длиной 𝐿. Считая объем кристалла бесконечно большим, введем граничные
условия для волновой функции:
𝜓(𝑥 + 𝐿) = 𝜓(𝑥),
(6)
которые аналогичным образом выполняются и для других направлений 𝑦 и 𝑧.
С учетом (2) и (4) имеем: 𝜓(𝑥 + 𝐿) = 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝐿 = 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥 , откуда
получаем:
𝑘𝑥 = ±𝑛𝑥
2𝜋
,
𝐿
(7)
где 𝑛𝑥 – целое число.
Согласно (3) энергия электрона квадратично зависит от величины его
квазиволнового вектора 𝑘 и не зависит от направления его движения, а
каждому его состоянию соответствует точка в пространстве квазиимпульсов
(рис. 3). Причем каждой точке соответствует наличие двух электронов,
имеющих противоположно направленные импульсы.
Каждое состояние электрона в пространстве квазиимпульсов отдельно
2𝜋
друг от друга расстоянием . Поэтому можно считать, что каждый электрон
𝐿
2𝜋
занимает в этом пространстве ячейку с элементарным объемом ( )3 . Тогда
𝐿
число электронов в объеме квазипространства, ограниченном сферой радиуса
𝑘, будет равно
4𝜋𝑘 3 /3
𝑉
𝑁=2
= 3 𝑘3,
2𝜋
3𝜋
( )3
𝐿
(8)
множитель 2 учитывает тот факт, что в элементарном объеме могут
находиться два электрона с противоположными направлениями спина.
2𝑚∗ 𝐸 1
Из (3) находим значение для 𝑘 = ( 2 )3 . Подставляя это выражение в
ℏ
(8), получаем зависимость для функции плотности состояний электронов:
𝑑𝑁
𝑑 𝑉 2𝑚∗ 𝐸 3
𝑉 2𝑚∗ 3 1
2
𝐷3𝐷 (𝐸) =
=
(
) ] = 2(
)2 𝐸 2 .
[
𝑑𝐸 𝑑𝐸 3𝜋 2 ℏ2
2𝜋
ℏ
(9)
На рис. 4 показана зависимость плотности состояний электронов в
прямозонном полупроводнике, как функции его энергии, нормированной на
величину энергии Ферми (𝐸𝐹 ).
Скачать