ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Контрольная работа по рядам Вариант 1 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∞ 4n 2 + 3n + 1 . ∑ 2 n =1 8n − 2n + 3 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 2n а) Признак Даламбера ; ∑ 10 n =1 n n ∑ ; n =1 2n + 1 ∞ 1 ; ∑ 2 2 1 n n + n =1 ( ) ∞ б) Признак Коши в) Признак сравнения 2n ∑ ( 2n + 1) ∞ 1 . −1 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд n ∞ ( −1) . ∑ n =1 ( 3n − 2 ) 4. Найти область сходимости степенного ряда n ∞ n 2 ( x − 3) . ∑ 2 n =1 ( n + 1) 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда 1 f ( x ) = , x0 = −2. x 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью г) Интегральный признак n =1 α =0,001 ∫ cos 2 1 xdx. 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: + y′ = x y 2= , y ( 0 ) 1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье −2, − π ≤ x ≤ 0, f ( x) = 0 < x ≤ π. 2, 57 Вариант 2 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся n ∞ 3n + 4 ∑ . n − 5 28 n =1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 2n − 1 а) Признак Даламбера ; ∑ n =1 ( 2n )! 4 ∑ ; n =1 3n + 1 ∞ 1 ; ∑ n =1 ln (1 + n ) ∞ б) Признак Коши в) Признак сравнения г) Интегральный признак 2n ∑ ( n + 1) ∞ n n =1 3 . 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд n ∞ ( −1) ( 5n − 1). ∑ 5n + 3 n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда 5 ∞ ( n + 1) x 2 n . ∑ 2n + 1 n =1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда = f ( x ) 3= x , x0 1. 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью α =0,001 −x ∫ e dx. 1 2 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: y′ = x 2 − y 2 − e x , y ( 0 ) = 0. 8. Разложить функцию в ряд Фурье f (= x ) x, − π < x < π. 58 Вариант 3 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∑ ∞ 3 n5 − n3 + 1 n + 2n + 2 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 3n ⋅ n! а) Признак Даламбера ; ∑ n n =1 n ∞ 2n б) Признак Коши ; ∑ n n + ln 1 ( ) n =1 n =1 6 4 4 . ∑n ∞ 1 ; 1 + 2n n =1 ∞ 1 г) Интегральный признак . ∑ 2 n =1 n +n 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд n 1 n −1) 2 + ∞ ( n . ∑ n 5 n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда n ∞ ( x + 2) . ∑ n n =1 ( 2n + 1) ⋅ 3 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда в) Признак сравнения = f ( x) = x , x0 4. 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью = α 0,001 + ∫ ln (1 1 4 0 ) x dx. 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: + y′ = x 2 y, = y ( 0 ) 1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье f= ( x ) x 2 , − π < x < π. 59 Вариант 4 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∞ 3n15 − 4n3 + 5 . ∑ 5 10 n =1 8 − 6n − 3n 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ n3 + 1 а) Признак Даламбера ; ∑ n n =1 2 2n + 2 б) Признак Коши ∑ ; n =1 3n + 1 ∞ 2n в) Признак сравнения ; ∑ n n =1 5 + 3 ∞ 1 . г) Интегральный признак ∑ 2 n − 1 n =1 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд n +1 ∞ ( −1) . ∑ 3 n =1 n n 4. Найти область сходимости степенного ряда n ∞ 4n ( x + 1) . ∑ n n =1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда πx = f ( x ) sin = , x0 2. 4 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью ∞ α =0,001 n ∫e 1 − x2 4 dx. 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: +y′ = xy e x , = y ( 0 ) 0. 8. Разложить функцию в ряд Фурье f (= x ) x2 , − 1 < x < 1. 60 Вариант 5 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∞ 2n − 1 . ∑ 2 n n =1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ ( n + 1)!; а) Признак Даламбера ∑ n n =1 2 ⋅ n n б) Признак Коши ∑ ; n =1 n + 1 ∞ 1 в) Признак сравнения ; ∑ n n =1 n ⋅ 4 ∞ 1 . г) Интегральный признак ∑ 2 n =1 n − 2n + 2 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд ∞ n2 ( −1) ∑ ( 2n − 1) . ∞ n =1 n 2 4. Найти область сходимости степенного ряда n ∞ ( x − 5) . ∑ n =1 ( n + 4 ) ln ( n + 4 ) 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда = f ( x) = x , x0 4. 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью sin x ∫0 x dx. 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: − y′ = 2 x 0,1= y 2 , y ( 0 ) 1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье f= ( x ) x3 , − π < x < π . α =0,001 1 5 61 Вариант 6 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся 2 ∞ ( n + 1) . ∑ 4 2 n =1 n + 2n + 1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости 2 ∞ 3n −1 а) Признак Даламбера ; ∑ n2 n =1 2 n + 1 n 1 б) Признак Коши ∑ ; n =1 n e ∞ 1 в) Признак сравнения ; ∑ n n =1 ∞ 1 . г) Интегральный признак ∑ 3 n =1 n ln n 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд ∞ ∑ ∞ ( −1) n n +1 . n −1 3 n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда n ∞ ( 3n − 2 )( x − 3) . ∑ 2 n =1 ( n + 1) ⋅ 2n+1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда 1 f ( x) = 2 , x0 = − 4. x + 3x + 2 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью α =0,001 ∫e 1 x dx. 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: = y′′ x 2 y= , y ( 0 ) 1,= y′ ( 0 ) 1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье −2, − π < x < 0, f ( x) = 0 < x < π. 3, 62 Вариант 7 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∞ n2 . ∑ n n =1 2 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 5n−1 а) Признак Даламбера ; ∑ n =1 ( n − 1)! 3n + 2 б) Признак Коши ∑ ; n =1 5n − 1 ∞ 5n − 1 в) Признак сравнения ; ∑ n n =1 6 + 4 ∞ 1 . г) Интегральный признак ∑ 3 n =1 ( n + 1) 2 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд n ∞ ( −1) ln 2 n . ∑ n n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда 2 n +1 ∞ n5 ( x + 5 ) . ∑ ( n + 1)! n =1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда 1 f ( x) = , x0 = − 2. x+3 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью ∞ = α 0,001 + n ∫ ln (1 1 2 0 x 2 ) dx. 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: +y′ = x 2 y 2 ,= y ( 0 ) 0,1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье 1, − π ≤ x ≤ 0, f ( x) = 2, 0 < x ≤ π. 63 Вариант 8 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся n3 + 1 . ∑ 2 n =1 n + 1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 2n а) Признак Даламбера ; ∑ n =1 ( n + 2 )! ∞ ∑ ( 3n + 4 ) ∞ б) Признак Коши 3n n =1 n ; 7n в) Признак сравнения ; ∑ n n =1 8 + 3 ∞ n +1 . г) Интегральный признак ∑ 2 1 + n n =1 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд ∞ n n ( −1) ∑ . 2n + 9 n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда ∞ ∑ ∞ ( x + 2) n . nn 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда πx f ( x ) = sin , x0 = −2. 3 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью n =1 α =0,001 ∫ 1 3 x 2 cos xdx. 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: − == y′′ = xy , y ( 0 ) 1, y ( 0 )′ 0. 8. Разложить функцию в ряд Фурье x2 f (= x) , − 3 ≤ x ≤ 3. 2 64 Вариант 9 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся n3 − 1 . ∑ n =1 n + 1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ n +1 а) Признак Даламбера ; ∑ n n − 2 1 ! ( ) n =1 ∞ 3 2n 1 б) Признак Коши ∑ n; 2 n =1 2n − 1 ∞ 4n − 1 в) Признак сравнения ; ∑ n n =1 9 + 6 ∞ n . г) Интегральный признак ∑ 2 n =1 n + 1 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд ∞ 2 n ( −1) arcsin n . ∑ n n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда n n ∞ ( −1) ( x − 3) . ∑ ( n + 1) ⋅ 5n n =1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда 1 f ( x) = 2 , x0 = − 2. x + 4x + 7 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью ∞ = α 0,001 + n2 ∫ ln (1 1 2 0 x3 ) dx. 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: −y′ = x 2 xy,= y ( 0 ) 0,1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье 0 ≤ x < 1, x, f ( x) = 2 − x, 1 ≤ x ≤ 2. 65 Вариант 10 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∞ 4n − 3 . ∑ n + 2 n =1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ n2 а) Признак Даламбера ; ∑ n + 2 ! ( ) n =1 3n+3 б) Признак Коши ; ∑ n +1 n =1 5 ∞ 1 в) Признак сравнения ; ∑ n − 2 1 n =1 ∞ 1 г) Интегральный признак . ∑ n =1 ( 5n − 4 ) 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд ∞ ( −1) ∑ n ⋅ ln ∞ n −1 . n n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда 3 2n ∞ ( n − 2 ) ( x + 3) . ∑ 2n + 3 n =1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда f ( x ) = e x , x0 = −2. 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью α =0,001 2 ∫ cos 1 3 xdx. 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: y′ =x + x 2 + y 2 , y ( 0 ) =1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье 0, − 5 ≤ x ≤ 0, f ( x) = 0 < x ≤ 5. 1, 66 Вариант 11 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∞ sin n −1 . ∑ n −1 n =1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 3n а) Признак Даламбера ; ∑ n n =1 ( n + 1)!4 n +1 3 б) Признак Коши ∑ ; n =1 n + 2 2 ∞ 2n − 1 в) Признак сравнения ; ∑ n n =1 5 + 1 ∞ 1 . г) Интегральный признак ∑ 2 n =1 n + 4n + 9 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд ∞ n2 n − 1 ( ) 2 . ∑ n =1 2n + 5 4. Найти область сходимости степенного ряда n 2n ∞ ( −1) ( x − 2 ) . ∑ 2n n =1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда ∞ n n f ( x ) = e , x0 = −1. 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью x 2 α =0,001 ∫ arctg x dx. 1 2 2 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: −y′ = 2 x y 2 ,= y ( 0 ) 0. 8. Разложить функцию в ряд Фурье x , − 3 ≤ x ≤ 3. f (= x) 3 67 Вариант 12 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся n ∞ n+2 ∑ . n n =1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 6n n 2 − 1 ( ); а) Признак Даламбера ∑ n! n =1 n +1 1 ∑ n; 3 n =1 n ∞ 1 ; ∑ n =1 n n2 + 1 ∞ б) Признак Коши в) Признак сравнения n2 ( ) 1 − 1n г) Интегральный признак e . ∑ 2 n =1 n 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд ∞ ∑ ∞ ( −1) n +1 n2 . 2n 4. Найти область сходимости степенного ряда n ∞ ( x − 1) . ∑ n n =1 n ⋅ 9 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда 1 f ( x ) = 2 , x0 = −2. x −1 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью n =1 = α 0,001 + ∫ 1 4 3 1 x 2 dx. 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: y−′ = y 3 x, = y ( 0 ) 1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье f ( x ) = 2 − x, − 2 ≤ x ≤ 2. 68 Вариант 13 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∞ 8n3 − 1 . ∑ 3 n =1 2n + 1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 3 n ⋅ n! а) Признак Даламбера ; ∑ 3n n =1 б) Признак Коши в) Признак сравнения 2n + 2 2 ∑ ; n =1 3n − 6 ∞ 1 ∞ ∑ n =1 3 ∑ ∞ n (n 2 + 3) n 2 ; n . + 1 n n =1 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд г) Интегральный признак ( −1) ∑ 7n − 1 . ∞ n =1 n −1 4. Найти область сходимости степенного ряда 2 n +1 ∞ ( x − 5) . ∑ 3n + 8 n =1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда π = f ( x ) cos = x, x0 . 2 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью sin x 2 α =0,001 ∫0 x 2 dx. 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: x 2 2 y,= y ( 0 ) 1. −y′ = 8. Разложить функцию в ряд Фурье f ( x ) = 2 − x, 0 ≤ x ≤ 2. 1 2 69 Вариант 14 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∑ n3 + 2n ∞ n −1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ 2n ⋅ n! а) Признак Даламбера ; ∑ nn n =1 n =1 . 2 3 2n + 3 ∑ ; n =1 n + 4 ∞ 1 ; ∑ n ( n + 1) n =1 ∞ б) Признак Коши в) Признак сравнения ∑n n 2n + 3 . + 3n + 4 n =1 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд ∞ 1 n . ( −1) ∑ 3n − 4 n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда ∞ г) Интегральный признак 2 ( x + 5) . ∑ n n =1 4 ( 2n − 1) ∞ 2 n −1 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда π 2 = f ( x ) cos = x, x0 . 4 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью α =0,001 ∫1+ x 1 2 dx 2 . 0 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: y′ = −x 2 y 2 e x , = y ( 0 ) 0. 8. Разложить функцию в ряд Фурье − 10 ≤ x < 0, 10, f ( x) = 10 − x, 0 ≤ x ≤ 10. 70 Вариант 15 1. Пользуясь необходимым признаком сходимости числовых рядов, выяснить, является ли ряд заведомо расходящимся ∞ 3n . ∑ + 2 n 1 n =1 2. Исследовать на сходимость следующие ряды, используя указанные признаки сходимости ∞ nn а) Признак Даламбера ; ∑ n 3 ! n n =1 n+2 2n ∑ ; n n =1 ∞ 1 ; ∑ n n =1 ( n + 1) 2 ∞ б) Признак Коши в) Признак сравнения г) Интегральный признак n2 ∑4+n ∞ n n =1 2 . 3. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) ряд n ∞ ( −1) 5n . ∑ e5 n n =1 4. Найти область сходимости степенного ряда n ∞ ( x − 2) . ∑ n n =1 ( 3n + 1) ⋅ 2 5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x0 следующую функцию, написав первые шесть членов ряда 1 f ( x ) = 2 , x0 = −1. x 6. Вычислить заданный интеграл с заданной точностью α =0,001 ∫ 1 4 x3 dx 1+ x 7. Решить дифференциальное уравнение с помощью рядов: y′ = +0,2 x y 2 , = y ( 0 ) 1. 8. Разложить функцию в ряд Фурье f ( x ) = 4 − x, − 4 ≤ x ≤ 4. 3 . 0 71
