Загрузил dimtanser2011

Поворот точки вокруг начала координат.

реклама
ТЕМА: ПОВОРОТ ТОЧКИ ВОКРУГ НАЧАЛА КООРДИНАТ.
На координатной плоскости рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в
начале координат. Такую окружность называют единичной окружностью.
Введём понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на
угол
рад, где
– это любое действительное число.
Отметим точку
Пусть
. Эта точка расположена на окружности.
.
Представим,
что
точка,
двигаясь
по
единичной
точки
против часовой стрелки, прошла путь длиной
обозначим
.
В таком случае будем говорить, что точка
поворота на угол
рад вокруг начала координат.
Теперь пусть
. В этом случае поворот на угол
стрелке. Точка пройдёт путь длиной модуль
Если же
окружности
от
. Конечную точку пути
получена из точки
путём
рад будем совершать по часовой
. Конечную точку пути обозначим
.
, то точка остаётся на месте.
Давайте рассмотрим некоторые примеры поворотов точки
Итак, при повороте точки
на угол
стрелки и получаем точку
рад мы совершаем движение против часовой
.
А при повороте точки
получаем точку
на некоторый угол.
на угол
.
рад мы двигаемся по часовой стрелке и
При повороте точки
стрелки на
на угол
рад трижды и окажемся в точке
При повороте точки
на
рад мы осуществим поворот против часовой
на угол
.
рад мы осуществим поворот по часовой стрелке
рад трижды и окажемся в точке
При повороте точки
окажемся в точке
При повороте точки
на угол
.
рад мы осуществим поворот по часовой стрелке и
.
на угол
стрелки и снова окажемся в точке
рад мы осуществим поворот против часовой
.
Ранее в курсе геометрии вы рассматривали углы от
до
. Теперь, используя
поворот точки единичной окружности вокруг начала координат, можно рассматривать
углы, которые больше
, а также отрицательные углы.
А задавать угол поворота надо в градусах или радианах? Угол поворота можно задавать
и в градусах, и в радианах. Так, например, поворот точки
же, что и поворот на
. А поворот на
– это поворот на
на угол
.
означает то
Далее приведена таблица поворотов на наиболее часто встречающиеся углы, выраженные
в радианной и градусной мере:
Обратите внимание, что при повороте на
в своё первоначальное положение.
, то есть на
А где окажется точка при повороте на
? При повороте на
точка также вернётся в своё первоначальное положение.
, точка возвращается
, то есть на
Давайте рассмотрим пример поворота на угол, который больше
угол
точка
путь .
. Представим
,
. Например, на
. Получается, что при повороте на этот угол
совершает три полных оборота против часовой стрелки и ещё проходит
Теперь рассмотрим пример поворота на угол
Представим
, то есть на угол меньший
.
. В этом случае точка совершает три полных оборота
по часовой стрелке и ещё проходит путь
в этом же направлении.
Получается, что при повороте точки
на угол
повороте на угол , а при повороте точки
что и при повороте на угол
Вообще, если угол
получаем ту же точку, что и при
на угол
получаем ту же точку,
.
можно представить как
, где
– целое число, то при
повороте на угол получаем ту же самую точку, что и при повороте на угол
.
Таким образом, можем сделать вывод, что каждому действительному
числу
соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая
поворотом точки
на угол
Однако одной и той же точке
рад.
единичной окружности соответствует бесконечное
множество действительных чисел
точки
Найдём
в точку
координаты
Представим
360° ∗ 4.
, где
– целое число, задающих поворот
.
точки,
полученной
поворотом
или в градусах
𝛼=
180
точки
∗
17𝜋
на
угол
.
= 1530° = 90° +
𝜋
2
Тогда при повороте точки на этот гол мы получим ту же самую точку, что и
при повороте на угол , то есть точку с координатами
.
Найдём
координаты
Представим
точки,
полученной
поворотом
точки
. Тогда при повороте на
самую точку, что и при повороте на
на
угол
.
мы получаем ту же
, то есть точку с координатами
.
Скачать