Загрузил Садовникова Валя

Семинар 17.03.20 Непрерывный марковский анализ примеры

реклама
С ОДЕРЖАНИЕ
2
Дискретные марковские цепи
 Непрерывные марковские цепи

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
М АРКОВСКИЙ АНАЛИЗ
3




ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
применим в ситуации, когда будущее состояние системы
зависит только от ее текущего состояния.
используется для изучения краткосрочного и долгосрочного
поведения стохастических систем.
обычно используют для анализа ремонтопригодных систем,
которые могут работать во многих режимах, а в ситуациях, когда
применение анализа надежности отдельных блоков системы
нецелесообразно.
может быть использован для расчета эксплуатационной
готовности.
В АРИАНТЫ МАРКОВСКОГО
4
АНАЛИЗА



ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
дискретный - дискретные состояния и дискретное
время (цепь Маркова) - использует вероятности
перехода между состояниями;
непрерывный - дискретные состояния и непрерывное
время (непрерывная Марковская цепь) - использует
коэффициенты интенсивности перехода из
состояния в состояние.
другие варианты: непрерывные состояния и
дискретное время (Марковские
последовательности); непрерывные состояния и
непрерывное время.
О СНОВА МЕТОДА
5

На практике обычно используются Марковские цепи с
дискретным или непрерывным временем.

основан на понятии «состояния» (например, работоспособное и
неработоспособное состояния) и перехода между этими
состояниями во времени в предположении постоянной
вероятности перехода.
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
И СХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ
М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА
6



перечень различных состояний системы, подсистемы или
компонента (например, полное функционирование, частичное
функционирование или ухудшенное состояние, отказ);
точное понимание возможных переходов, которые необходимо
смоделировать;
скорость перехода из одного состояния в другое, обычно
представленная либо вероятностью перехода (Pi) для дискретных
событий, либо интенсивностью отказов (λ) и (или)
интенсивностью восстановления (μ) для непрерывных событий.
Состояние в текущий
момент времени
S1
S2
S3
S4
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Состояние в следующий момент времени
S1
S2
S3
Pi
λ
μ
S4
В ХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
7
МЕТОДА
При построении Марковских моделей сначала необходимо
выделить возможные состояния системы и собрать
данные для вычисления вероятностей переходов
системы из одного состояние в другое.
 Для описания переходов между состояниями используют
стохастическую матрицу вероятностей перехода,
которая является основой для проведения вычислений по
методу.
 Итогом проведенных расчетов является вывод о
вероятности стабильности системы во времени,
надежности системы. То есть, вероятности Pi пребывания
процесса в состояниях Si, и доли времени, которую процесс
проводит в каждом из состояний.

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
И СХОДНЫЕ ДАННЫЕ ПРИМЕРА
М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА ( ДИСКРЕТНОГО )
8

Система может находиться только в трех состояниях:
работоспособном (S1), ухудшенном (S2) и неработоспособном (S3).
Матрица переходов P:
Состояние в
текущий момент
времени

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Состояние в следующий момент
времени
S1
S2
S3
S1
0,95
0,04
0,01
S2
0,3
0,65
0,05
S3
0,2
0,6
0,2
Диаграмма Маркова: круги - состояния, стрелки – переходы.
Стрелки, замкнутые на одном состоянии, обычно не показывают, они
приведены для полноты представления.
Ц ЕЛЬ В ПРИМЕРЕ ДИСКРЕТНОГО
М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА
9
Определить вероятность нахождения системы в определенном
состоянии через n шагов. Например, с какой вероятность она
окажется неработоспособной (S3) через n шагов.
 Цепь Маркова называется неприводимой (эргодической), если
любое состояние Sj может быть достигнуто из любого другого
состояния Si за конечное число переходов.
 все состояния такой цепи называются сообщающимися, а граф
переходов является сильно связным.
 Процесс, порождаемый такой цепью, начавшись в некотором
состоянии, никогда не завершается. Система переходит из одного
состояния в другое с разной частотой, зависящей от переходных
вероятностей.
 В итоге основная характеристика эргодической цепи: вероятности
Pi пребывания процесса в состояниях Si, i = 1,..., n, и доля времени,
которую процесс проводит в каждом из состояний.
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
РАСЧЕТ ДИСКРЕТНОГО
10
МАРКОВСКОГО АНАЛИЗА



Обозначаем заданную матрицу переходов за один временной шаг Р
и назовем ее одношаговой матрицей перехода.
Вероятности переходов за два временных шага - двухшаговую
матрицу переходов можно получить, умножая одношаговую матрицу
саму на себя: Р(2) = Р × Р.
Вероятности умножаются т.к. события связанные
(зависимые): только после исходного события возникает
через промежуток времени следующее событие.
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
РАСЧЕТ ДИСКРЕТНОГО
11
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
МАРКОВСКОГО АНАЛИЗА

Обозначаем заданную матрицу переходов за один временной
шаг Р и назовем ее одношаговой матрицей перехода.

Вероятности переходов за два временных шага - двухшаговую
матрицу переходов можно получить, умножая одношаговую
матрицу саму на себя: Р(2) = Р × Р.

Трехшаговая матрица: Р(3) = Р × Р(2)

N-шаговая матрица: Р(n) = Р × Р(n-1)
РАСЧЕТ ДИСКРЕТНОГО
12
МАРКОВСКОГО АНАЛИЗА

Обозначаем заданную матрицу переходов за один временной шаг Р
и назовем ее одношаговой матрицей перехода.
Вероятности переходов за два временных шага - двухшаговую
матрицу переходов можно получить, умножая одношаговую матрицу
саму на себя: Р(2) = Р × Р.

Трехшаговая матрица: Р(3) = Р × Р(2)

N-шаговая матрица: Р(n) = Р × Р(n-1)

Если известно распределение вероятностей по состояниям в
начальный момент t = 0 и оно определяется вектор-столбцом q:

Тогда распределение
вероятностей через n шагов (t = n)
может быть определено:
q(n) = P(n) × q
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
РАСЧЕТ ПРИМЕРА
13

Определить вероятность нахождения системы в определенном
состоянии через n шагов. Например, с какой вероятность она
окажется неработоспособной (S3) через 3 шага.

Исходные данные:

Двухшаговая матрица:
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
РАСЧЕТ ПРИМЕРА
14

Исходные данные:

Двухшаговая матрица:

Трехшаговая матрица:
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
РАСЧЕТ ПРИМЕРА
15

Исходные данные:

Двухшаговая матрица:

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Трехшаговая матрица:
ИТОГ:
Вероятности нахождения
системы в состояниях S1, S2, S3
через 3 временных промежутка:
РАСЧЕТ ПРИМЕРА
16

Исходные данные:

Двухшаговая матрица:

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Трехшаговая матрица:
ИТОГ:
Вероятности нахождения
системы в состояниях S1, S2, S3
через 3 временных промежутка:
П РЕДЕЛЬНОЕ
М АРКОВА
( ДИСКРЕТНОЙ )
ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ЦЕПИ
17



ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
ПОВЕДЕНИЕ
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно
долго, то возникает вопрос о предельном поведении
вероятностей:
Pi(t), t → ∞.
Для эргодических цепей в этом случае наступает
стационарный режим, при котором переходная матрица
перестает меняться.
Все ее столбцы матрица переходов P(n) , n  ∞, станут
одинаковыми и равными стационарному (неподвижному)
вектору вероятностей, задающему стационарное
вероятностное распределение состояний и не зависят от
распределения вероятностей состояний системы в начальный
момент времени, т.е. Pi = const.
Н АЙДЕМ
СТАЦИОНАРНОЕ
ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
18
(Р 1 , Р 2 , Р 3 )



ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Pi - вероятность постоянного нахождения системы в состоянии Si,
i=1, 2, 3.
Т.к. события Si несовместны, а система без памяти, т.е. переход
обусловлен только текущим состоянием, предыдущий переход (в
текущее состояние) и следующий переход осуществляются
независимо, и можно определить полные вероятности перехода в
каждое из состояний:
Но, первые три уравнения зависимы, поэтому исключаем одно из
них (например - третье) и добавляем четвертое, получаем:
Н АЙДЕМ
СТАЦИОНАРНОЕ
ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
19
(Р 1 , Р 2 , Р 3 )
то есть:
Решаем матричное уравнение:
, причем определитель
матрицы A должен быть отличен от 0.
Тогда получаем: Р1 = ……, Р2 = ……. и Р3 = …….
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Н АЙДЕМ
СТАЦИОНАРНОЕ
ВЕРОЯТНОСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
20
(Р 1 , Р 2 , Р 3 )
то есть:
Решаем матричное уравнение:
, причем определитель
матрицы A должен быть отличен от 0.
Тогда получаем: Р1 = 0,85, Р2 = 0,13 и Р3 = 0,02.
Значит, система является полностью функционирующей в течение
85% времени, в ухудшенном состоянии в течение 13% времени и в
состоянии отказа в течение 2% времени
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Н ЕПРЕРЫВНЫЙ М АРКОВСКИЙ
21
АНАЛИЗ


ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Непрерывный Марковский анализ - дискретные состояния и
непрерывное время (непрерывная Марковская цепь) - использует
коэффициенты интенсивности перехода из состояния в
состояние.
Исходные данные:

перечень различных состояний системы, подсистемы или
компонента (например, полное функционирование, частичное
функционирование или ухудшенное состояние, отказ);

точное понимание возможных переходов, которые необходимо
смоделировать;

скорость перехода из одного состояния в другое, обычно
представленная либо вероятностью перехода (Pi) для дискретных
событий, либо интенсивностью отказов (λ) и (или)
интенсивностью восстановления (μ) для непрерывных событий.
И НТЕНСИВНОСТЬ ОТКАЗОВ
22

Интенсивность отказов λ (t) это условная плотность вероятности
возникновения отказа объекта, которая определяется для
рассматриваемого момента времени при условии, что до этого
момента отказ не возник.
где P(t)- вероятность безотказной
работы системы. Это основной
закон надежности.
Если λ=const то
P(t)= exp(-λ*t)
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
П РИМЕР ИНТЕНСИВНОСТИ
23
ОТКАЗОВ

P(t)= exp(-λ*t)

Т.е. вероятность безотказной работы системы подчиняется
экспоненциальному закону распределения времени
безотказной работы и одинакова за любой одинаковый
промежуток времени в период нормальной эксплуатации.

Если P(t) = const = P = 0,85 то для любого t ( для простоты t=1)
λ =  ln(0,85) = 0,16
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
24
И НТЕНСИВНОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ


Интенсивность восстановления (tв) - условная плотность
вероятности восстановления объекта в момент времени tв,
отсчитываемого от момента начала восстановления, при условии,
что до этого момента восстановления объекта не произошло (ГОСТ).
Интенсивность восстановления — количество ремонтов
(устраненных отказов) в единицу времени:
где n — число восстановленных элементов; tBj — продолжительность
восстановления i-го элемента.
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
П РИМЕР ИНТЕНСИВНОСТИ
25
ВОССТАНОВЛЕНИЯ
При экспоненциальном распределении времени восстановления
(аналогично - как в отказах) при допущении: интенсивность
восстановления = const, будем иметь:

Тв=1/ или  = 1/Тв
где Тв – время восстановления работоспособности системы.

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Например, при Тв = 1 час.  = 1
Тв = 0,5 час.  = 2
М ОДЕЛЬ К ОЛМОГОРОВА : ВЕРОЯТНОСТИ
26
СОСТОЯНИЙ И ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ И
ВОССТАНОВЛЕНИЙ
S0, S1 – работоспособное и
неработоспособное состояния системы
λ - интенсивность отказов
 - интенсивность восстановления
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
П РИМЕР НЕПРЕРЫВНОГО
М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА
27



ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Рассмотрим ситуацию, когда система состоит из двух
последовательных элементов, т.е. для работоспособности
системы оба элемента должны находиться в работоспособном
состоянии.
Элементы могут быть в работоспособном состоянии или в
состоянии отказа.
Работоспособность системы зависит от состояния элементов.
Возможны следующие состояния элементов:
 S1. Оба элемента находятся в работоспособном состоянии;
 S2. Один элемент отказал и находится на восстановлении, а
другой находится в работоспособном состоянии;
 S3. Оба элемента отказали и находятся на восстановлении.
Найти вероятность того, что система будет находится в
стационарном работоспособном состоянии.
Д ИАГРАММА СОСТОЯНИЯ
28
ПЕРЕХОДА


Интенсивность отказа каждого элемента - λ,
Интенсивность восстановлений - μ, и они являются постоянными.

Интенсивность перехода из S1 в S2 равна 2λ, т.к. отказ любого из двух
элементов приводит систему в S2 ( а эти события независимы).

Для перехода из S2 в S1, равно как и для перехода из S3 в S2, требуется
восстановление одного элемента с интенсивностью μ.

Переход из S2 в S 3 происходит при отказе одного элемента с интенсивностью λ.

Сумма интенсивностей переходов (по исходящим стрелкам) для каждого
состояния должна быть равна нулю. Отсюда можно определить интенсивность
остальных переходов.
ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
М АТРИЦА ПЕРЕХОДОВ
29

Пусть Pi(t) - вероятность нахождения системы в начальном состоянии i
в момент времени t, Pi(t + δt) - вероятность нахождения системы в
конечном состоянии в момент времени (t + δt). Тогда:

Нулевые значения в таблице возникают потому, что переходы из
состояния S1 в состояние S3 или из состояния S3 в состояние S1
невозможны.
Сумма в столбце переходной матрицы должна быть равна нулю.

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
У РАВНЕНИЯ , ХАРАКТЕРИЗУЮЩИЕ
СИСТЕМУ ( ВРЕМЯ НЕПРЕРЫВНО )
30

Система уравнений в непрерывном случае имеет вид:
Если dt ∞, то dPi/dt  0, что позволяет упростить уравнения.
 Аналогично дискретному случаю, необходимо одно уравнение
исключить ( проще второе) и в качестве третьего использовать
дополнительное уравнение
 В итоге:

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
В ЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ
М АРКОВСКОГО АНАЛИЗА
31



ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Уравнение работоспособности A(t) = P1(t) + P2(t) можно записать в
виде: A = P1 + P2
То есть, вероятность пребывания системы в работоспособном
состоянии
Выходными данными Марковского анализа являются вероятности
пребывания системы в различных состояниях, то есть оценки
вероятностей отказа и/или безотказной работы системы.
П ЛЮСЫ И МИНУСЫ МЕТОДА
32




ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Плюсы:
Марковский анализ позволяет вычислять вероятности состояний
систем с восстановлением и множественными состояниями
деградации.
Минусы:
должны выполняться предположения о постоянстве
вероятностей перехода и статистической независимости всех
рассматриваемых событий (т. е. будущие состояния не зависят от
прошлых состояний, за исключением непосредственно
предшествующего состояния).
возможны только два состояния элементов системы: отказ и
восстановление. Необходимо знать все вероятности перехода.
Работа с методом невозможна без знания операций с матрицами и
системами линейных алгебраических уравнений.
П РИМЕРЫ
33

ОВЧИННИКОВА К.Р. 2020
Определить время Тв для системы, представленной диаграммой
Маркова (см.рис.), которое предоставляется для восстановления
работоспособности системы, если известно что интенсивность
отказов λ = λ*, и требуемая вероятность пребывания системы в
работоспособном состоянии А = А* :
Вариант
λ*
А*
Вариант 1
0,16
0,90
Вариант 2
0,16
0,85
Вариант 3
0,16
0,80
Вариант 4
0,16
0,95
Скачать