Салмин Финансовые Вычисления

Федеральное агентство морского и речного транспорта
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Волжская государственная академия водного транспорта
Кафедра «Финансы и кредит»
П.С. Салмин, С.П. Салмин, В.И. Олюнин
Финансовые вычисления
Методическая разработка по изучению курса
«Финансовые вычисления» для студентов
очного и заочного отделения направления
080100.62 «Экономика»
Нижний Новгород
Издательство ФГОУ ВПО «ВГАВТ»
2014
УДК
Рецензент: Пумбрасова Н.В., доцент кафедры финансов и кредита, кандидат экономических наук.
Салмин, П.С., Салмин С.П., Олюнин В.И.
Финансовые вычисления. / П.С. Салмин., С.П. Салмин., В.И.
Олюнин – Н. Новгород: Изд-во ФБОУ ВПО «ВГАВТ», 2014. – 63 с.
Представлен теоретический материал, типовые вычисления,
теоретические вопросы и задания для самостоятельного решения
по основным разделам дисциплины «Финансовые вычисления», в
том числе с применением электронных таблиц MS Excel.
Пособие необходимо для выработки навыков практического
применения теоретических знаний при ведении финансовых расчетов.
Для студентов, обучающихся по программе бакалавриата «Экономика».
© ФГОУ ВПО «ВГАВТ», 2014
2
Введение
Финансовые вычисления базируются на трёх основных аналитических подходах: планировании денежных средств с учетом фактора времени (концепция стоимости денег во времени), оценке
стоимости активов и управлении риском, куда входит и портфельная теория. Ядро каждого из этих основных элементов состоит из
ряда базовых законов и принципов, которые применимы к любой
соответствующей подобласти. В данном пособии рассматриваются
теоретические вопросы, типовые вычисления, и задания для самостоятельного решения по основному блоку расчетов стоимости денег во времени.
Предлагаемый материал посвящен базовым понятиям количественного финансового анализа, включающего в себя определение
видов начисления процентов и простых процентных ставок, а также подходы к определению реальной доходности с учетом инфляции. Далее рассматриваются задачи, базирующиеся на концепции
стоимости денег во времени. В этом разделе приведены упражнения, позволяющие оценить стоимость различных видов инвестиций
с позиции их временной структуры. Здесь приводятся примеры,
суть которых сводится к тому, что любые доходы от вложения денег могут быть реинвестированы с той же доходностью, то есть для
их оценки используются формулы сложных процентов. Эти примеры также включают в себя методику анализа денежных потоков,
необходимых, например, для расчета графиков платежей по кредитам.
Дисциплина «Финансовые вычисления» является базисом для
изучения таких профессиональных курсов как «Деньги, кредит,
банки», «Инвестиции», «Рынок ценных бумаг», «Оценка стоимости
бизнеса» и ряда других.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по программе бакалавриата «Экономика».
3
Содержание и виды процентов и ставок.
Одна и та же сумма денег неравноценна в разные периоды
времени. Это связано со способностью денег приносить доход при
их инвестировании. Учет временного фактора в финансовых операциях осуществляется путем начисления процентов. Начисленные
проценты увеличивают первоначальную стоимость, образуя конечную (наращенную) стоимость:
S = P+I ,
(1)
где P – первоначальный капитал; I – сумма процентов (процентных
денег).
Для того чтобы определить сумму процентов и конечную стоимость, в первую очередь, необходимо узнать, за какой временной
интервал должны быть начислены проценты.
Фиксированный отрезок времени, за который начисляются
проценты, называется периодом начисления.
Период начисления – это временной интервал, за который начисляется процентный доход (как правило, количество дней в
периоде).
Рис.1. Периоды начисления процентного дохода.
4
Для определения процентного дохода за определенный период
времени используются два подхода:
1. Точные проценты – точное количество дней в периоде начисления и в году (365 или 366).
2. Обыкновенные проценты – по 30 дней в каждом месяце, 360
дней в году.
Количество дней (месяцев, кварталов и т.д.) в периоде и в году
необходимы для расчетов, так как ставки, по которым они (расчеты) осуществляются, как правило, устанавливаются за 1 год, а периодом начисления может выступать любой временной интервал
Для определения суммы процентов (I) необходимо знать базу
расчета (первоначальная или конечная стоимость), ставку (процентная, учетная) и период начисления.
Ставка процента – отношение суммы процентов, выплачиваемых за определенный период времени, к некоторому базовому
капиталу, выраженное в процентах или коэффициентом. В качестве базы расчета ставки может использоваться либо первоначальный капитал, либо наращенная стоимость.
То есть, для вычислений могут применяться два вида процентов:
1. Антисипативные.
2. Декурсивные.
Антисипативные проценты:
I = P⋅
t
⋅i ,
T
где
I – процентный доход в денежных единицах;
P – первоначальная стоимость в денежных единицах;
i – годовая процентная ставка (десятичной дробью);
t – количество дней в периоде начисления;
T – количество дней в году.
5
(2)
Тогда наращенная (конечная) стоимость:
S = P + P⋅
t
t 

⋅ i = P 1 + ⋅ i  ,
T
 T 
(3)
I S−P
,
=
P
P
(4)
Процентная ставка определяется следующим образом:
=
i
Процентная ставка – отношение процентного дохода к первоначальной стоимости. Проценты, исчисленные по процентной
ставке, называются антисипативными.
Декурсивные проценты:
D =S⋅
t
⋅d ,
T
(5)
где
D – дисконт (процентный доход) в денежных единицах;
S – наращенная стоимость в денежных единицах;
d – учетная ставка (десятичной дробью).
Тогда наращенная (конечная) стоимость:
S = P+S⋅
t
P
,
⋅d ⇒ S =
t
T
1− ⋅ d
T
(6)
Учетная ставка определяется следующим образом:
=
d
D S−P
,
=
S
S
(7)
Учетная ставка – отношение процентного дохода (дисконта) к
наращенной (конечной) стоимости. Проценты, исчисленные по
процентной ставке, называются декурсивными.
6
То есть, начисление процентного дохода (дисконта) и его дальнейшее сложение с первоначальной стоимостью называется наращением стоимости и определяется выражениями (1), (3) и (6).
Возможна и обратная операция определения первоначальной
стоимости исходя из её конечного значения. Такая операция называется дисконтирование.
Дисконтирование может осуществляться как по процентной,
так и по учетной ставке.
Дисконтирование по процентной ставке:
P=
S
,
t 

1 + ⋅ i 
 T 
(8)
Поскольку наращение стоимости по учетной ставке представляет собой результат деления первоначальной стоимости на коэффициент, меньший единицы (6), то дисконтирование будет представлять собой произведение конечной стоимости на такой же коэффициент (9):
Дисконтирование по учетной ставке:
t


P= S 1 − ⋅ d  ,
 T 
(9)
Очевидно, что при равенстве ставок, результаты наращения
стоимости или дисконтирования будут разными. Для того чтобы
получить одинаковый результат при осуществлении этих операций
используется понятие эквивалентности ставок.
Эквивалентность ставок означает такие их значения, при которых конечная и начальная стоимость или процентный доход,
полученный по ним одинаковы.
Для того чтобы выразить значения эквивалентных ставок необходимо приравнять выражения (3) и (6), или (8) и (9) друг другу:
7
t 
P

S= P 1 + ⋅ i =
⇒
 T  1− t ⋅ d
T
d
,
t
1− ⋅ d
T
i
,
d=
t
1+ ⋅i
T
i=
(10)
(11)
Таким образом, основным отличием процентной и учетной ставок (выражения (4) и (7)) является база начисления процентного
дохода. В первом случае – это первоначальная стоимость, во втором – конечная (наращенная).
Другими словами, при равенстве процентной и учетной ставок,
процентный доход будет больше, если использовать учетную ставку. А для того чтобы получить одинаковые результаты начисления
процентов, нужно воспользоваться выражениями (10) и (11).
Примеры решения задач.
1. На банковский депозит 10 октября вносится 100 тыс.р. сроком на
6 месяцев. Годовая процентная ставка составляет 6%. Следующий
за датой открытия депозита год является високосным. Определить
приблизительную величину процентов, которую получит вкладчик,
а также точные проценты и конечную стоимость депозита.
Дано:
t0 = 10.10 – дата открытия вклада;
tn = 10.04 – дата погашения вклада;
T1 = 365 дн. – количество дней в не високосном году;
T2 = 366 дн. – количество дней в високосном году;
P = 100000 р. – первоначальная стоимость вклада;
i = 0,06 – годовая процентная ставка.
Iоб = ?, Iточн = ?, Sточн = ?
8
Решение:
Для определения приблизительной величины процентного дохода воспользуемся обыкновенными процентами. Для этого достаточно знать, что срок вклада составляет 6 месяцев, то есть половину года. Тогда процентная ставка, по которой будем определять
доход, будет равна половине годовой процентной ставки:
=
I 100000 ⋅
6
⋅ 0,=
06 3000 р.
12
Для определения точных процентов, во-первых, необходимо
посчитать точное количество дней в каждом году:
t1 = 21 + 30 + 31 = 82 дня в не високосном году;
t2 = 31 + 29 + 31 + 10 = 101 день в високосном году.
Тогда, процентный доход в не високосном году составит:
I=
100000 ⋅
1
82
⋅ 0, 06
= 1347,95 р.
365
В високосном:
I=
100000 ⋅
2
101
⋅ 0, 06
= 1655, 74 р.
366
Сумма процентов:
I = I1 + I 2 =1347,95 + 1655, 74 = 3003, 68 р.
Конечная стоимость депозита:
S = P + I = 100000 + 3003, 68 = 103003, 68 р.
9
2. Какую сумму необходимо внести на банковский депозит 5 апреля, чтобы к 12 июля того же года получить 148 тыс.р. Ставка по
депозиту 5,5%. Год не високосный.
Дано:
t0 = 05.04 – дата открытия вклада;
tn = 12.06 – дата погашения вклада;
T = 365 дн. – количество дней в году;
S = 148000 р. – конечная стоимость вклада;
i = 0,055 – годовая процентная ставка.
P=?
Решение:
Определяем количество дней в периоде начисления:
t = 25 + 31 + 30 + 12 = 98 дней.
В соответствии с выражением (8) определяем первоначальную
стоимость депозита:
=
P
S
148000
=
= 145846, 27 р.
t  
98


⋅ 0, 055 
1 + ⋅ i  1 +
 T   365

3. Для задачи №2 определить процентную ставку, если сумма первоначального вклада составляет 140 тыс.р. Другими словами, под
какую процентную ставку нужно внести на депозит 140 тыс.р.,
чтобы через 98 дней получить 148 тыс.р. Определить учетную
ставку, эквивалентную процентной. Результаты проверить.
Дано:
t = 98 дн. в периоде начисления;
T = 365 дн. – количество дней в году;
P = 140000 р. – начальная стоимость вклада;
S = 148000 р. – конечная стоимость вклада.
i = ?, dэкв = ?
10
Решение:
Для определения величины годовой процентной ставки воспользуемся выражением (2):
I = P⋅
t
I ⋅ T 8000 ⋅ 365
⋅i ⇒ i =
=
= 0, 2128279883
T
P ⋅ t 140000 ⋅ 98
Проверим полученный результат. Для этого воспользуемся выражением (3):
t 
98



S= P 1 + ⋅ i = 140000 1 +
⋅ 0, 2128279883 = 148000 р.
 T 
 365

Рассчитаем учетную ставку, эквивалентную годовой процентной ставке по формуле (11):
d
=
0, 2128279883
i
=
= 0, 2013237727
98
t
1+ ⋅i 1+
⋅ 0, 2128279883
365
T
Для проверки полученного результата воспользуемся выражением (9):
t
98




P= S 1 − ⋅ d = 148000 1 −
⋅ 0, 2013237727 = 140000 р.
 T 
 365

4. За проданный товар, покупатель выписывает продавцу вексель с
погашением через некоторое фиксированное время. Стоимость товара составляет 100 денежных единиц. Вексельная сумма (сумма
погашения) – 120 денежных единиц. Продавец имеет возможность
переуступить вексель финансовому посреднику (банку). За эту
операцию банк возьмёт дисконт по учётной ставке 20% за указанный период (до погашения векселя). Определить сколько продавец
получит денег в банке при учёте векселя и дисконт в пользу банка.
11
Какова должна быть вексельная сумма, чтобы продавец при учёте
векселя получил 100 д.е. Рассмотреть альтернативный вариант непосредственного кредитования покупателя в банке по процентной
ставке.
Дано:
P0 = 100 д.е. – стоимость товара;
S0 = 120 д.е. – вексельная сумма;
d = 0,2 – учетная ставка банка.
P = ?, D = ?, S =?, iэкв = ?
Для более полной детализации условий сделки, представим её
условия и процесс исполнения в виде схемы (Рис.2).
Рис.2. Схема сделки к задаче №4.
Движение товара от продавца к покупателю, передача векселя
продавцу, а затем банку, выплата банком продавцу денег за вексель
обозначено стрелками и пронумеровано от 1 до 4. Эти процессы
происходят в одно и то же время.
Через определенный срок вексель будет предъявлен банком покупателю (5), а покупатель должен будет заплатить полную сумму
(6), указанную в векселе (вексельную сумму S).
12
Решение:
Дисконт в пользу банка определяется по формуле (5). Поскольку учётная ставка указана за период, равный времени до погашения
векселя, корректировать её не нужно:
D = S ⋅ d = 120 ⋅ 0, 2 = 24 д.е.
Тогда сумма, которую получит продавец в банке за этот вексель, будет равна:
P = S − D =120 − 24 =96 д.е.
Также сумму, которую получит продавец можно посчитать по
формуле (9):
P = S (1 − d ) = 120 (1 − 0, 2 ) = 96 д.е.
Очевидно, что полученная сумма не устроит продавца, поскольку она меньше стоимости товара. Поэтому необходимо пересчитать вексельную сумму. Для этого воспользуемся выражением
(6):
=
S
P
100
=
= 125 д.е.
1 − d 1 − 0, 2
Проверим полученный результат:
D = 125 ⋅ 0, 2 = 25 д.е.
Действительно, в этом случае продавец получит в банке ровно
100 д.е. В соответствии с выражением (9):
P = 125 (1 − 0, 2 ) = 100 д.е.
Несложно заметить, что в отсутствие денег покупатель может
непосредственно обратиться в банк за кредитом, чтобы рассчитаться с продавцом в денежной форме. Однако кредит, как правило,
13
выдаётся по процентной ставке, поэтому принимать решение по
величине учётной ставки было бы не корректным. В этом случае
необходимо рассчитать процентную ставку, эквивалентную учётной. Для этого воспользуемся выражением (10) без учета количества дней в периоде:
=
i
d
0, 2
=
= 0, 25
1 − d 1 − 0, 2
Полученный результат несложно проверить, воспользовавшись
одной из приведенных выше формул.
Итак, если процентная ставка по кредиту превышает 25%, то
покупателю выгодней рассчитаться векселем. И наоборот, если
ставка по кредиту ниже 25%, то его обслуживание (процентные
платежи) обойдётся дешевле.
5. В уплату за погрузо-разгрузочные работы в порту, 12 июня судоходная компания выписывает вексель, который должен быть оплачен 24 сентября того же года, и сумма погашения по которому
составляет 560 тыс. рублей. Стоимость работ составляет 540 тыс.
рублей. Порт имеет возможность сразу учесть (погасить) этот вексель в банке, учетная ставка которого по такого вида обязательствам составляет 18% годовых. Определить, какую сумму получит
порт, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Какова
должна быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя порт получил 540 тыс. рублей. Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке. Год не високосный.
Дано:
t0 = 12.06. – дата выдачи векселя
tn = 24.09. – дата погашения векселя
T = 365 дн. – дней в году
S0 = 560 000 р. – вексельная сумма
P0 = 540 000 р. – стоимость работ
dгод = 0,18 – годовая учетная ставка
P = ?, D = ?, Sd = ?, iэкв = ?
14
Рис.3. Схема сделки к задаче №5.
Решение:
1. Количество дней в периоде начисления:
t = (30 – 12) + 31 + 31 + 24 = 104 дня.
2. Дисконт в пользу банка:
D
= 560000 ⋅
104
⋅ 0,18
= 28 721,10 р.
365
3. Сумма, которую получит порт в банке:
P = S − D =560000 − 28721,10 =531278,90 р.
Также сумму, которую порт получит в банке можно посчитать
по формуле дисконтирования (9):
t


 104

⋅ 0,18 = 531278, 90 р.
P= S 1 − ⋅ d = 560000 1 −
 T 
 365

Тогда дисконт в пользу банка:
15
D = S − P = 560000 − 531278,90 = 28721,10 р.
Так как стоимость работ составляет 540000 р., вексельную сумму необходимо пересчитать:
4. Новая вексельная сумма:
S
=
540000
P
=
= 569192,56 р.
104
t
1− ⋅ d 1−
⋅ 0,18
365
T
5. Проверим полученный результат:
104
⋅ 0,18
= 29192,56 ⇒
365
540000 р.
⇒P=
D 569192,56 ⋅
=
или
 104

P 569192,56 1 −
=
=
⋅ 0,18  540000 р.
 365

5. Процентная ставка, эквивалентная учётной:
iэкв
=
d
0,18
=
= 0,1897308536
t
104
1− ⋅ d 1−
⋅ 0,18
T
365
6. Проверка:
t 

 104

S= P 1 + ⋅ i = 540000 1 +
⋅ 0,1897308536 = 569192,56 р.
 T 
 365

16
Задачи для самостоятельного решения.
6. Определить сумму погашения и начисленных процентов по банковскому депозиту со следующими параметрами (Таблица 1):
Таблица 1.
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Дата
открытия
01.04.2014
09.09.2014
15.09.2014
08.10.2014
12.09.2014
07.10.2014
10.10.2014
20.09.2014
01.09.2014
26.09.2014
23.08.2011
12.07.2011
Дата
погашения
07.01.2015
10.02.2015
23.01.2015
31.12.2014
27.11.2014
28.02.2015
30.01.2015
15.12.2014
19.12.2014
18.02.2015
29.02.2012
15.05.2012
Сумма
(руб.)
3897126
1025649
12304970
15000321
8946321
4500286
7542000
25430129
32100054
5479316
4560012
7500367
Процентная
ставка
0,05
0,07
0,09
0,11
0,13
0,15
0,17
0,19
0,21
0,23
0,065
0,07
Расчеты произвести средствами MS Excel.
7. Какую сумму необходимо внести на банковский депозит в указанный момент времени, чтобы к определенной дате получить требуемую сумму. Расчеты произвести при помощи таблицы 2 в MS
Excel.
Таблица 2.
Вариант
Дата
открытия
Дата
погашения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
05.04.2015
19.09.2015
17.09.2015
18.10.2015
12.09.2015
17.10.2015
10.10.2015
25.09.2015
03.09.2015
16.09.2015
10.01.2016
20.02.2016
23.02.2016
31.12.2015
17.11.2015
28.02.2016
30.01.2016
22.12.2016
29.12.2015
28.02.2016
17
Сумма
погашения
(руб.)
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
1000000
Процентная
ставка
0,045
0,092
0,075
0,086
0,094
0,085
0,063
0,059
0,047
0,067
8. Определить величину процентной ставки по данным таблицы 3.
Таблица 3.
Вариант
Дата
открытия
Дата
погашения
Первоначальная
сумма (руб.)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
05.04.2014
19.09.2014
17.09.2014
18.10.2014
12.09.2014
17.10.2014
10.10.2014
25.09.2014
03.09.2014
16.09.2014
10.01.2015
20.02.2015
23.02.2015
31.12.2014
17.11.2014
28.02.2015
30.01.2015
22.12.2015
29.12.2014
28.02.2015
100000
200000
300000
400000
500000
600000
700000
800000
900000
1000000
Сумма
погашения
(руб.)
107000
207500
312800
406750
509000
617500
718000
879300
925000
1032000
Расчеты произвести средствами MS Excel. Определить учетные
ставки, эквивалентные процентным. Результаты проверить.
9. В уплату за погрузо-разгрузочные работы в порту, 12 июля судоходная компания выписывает вексель, который должен быть оплачен 24 сентября того же года, и сумма погашения по которому составляет 560 тыс. рублей. Стоимость работ составляет 540 тыс.
рублей. Порт имеет возможность сразу учесть (погасить) этот вексель в банке, учетная ставка которого по такого вида обязательствам составляет 18% годовых. Определить, какую сумму получит
порт, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Какова
должна быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя порт получил 540 тыс. рублей. Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке. Год не високосный.
10. В уплату за горюче-смазочные материалы, 10 мая транспортная
компания выписывает вексель, который должен быть оплачен 29
августа того же года, и сумма погашения по которому составляет
510 тыс. рублей. Стоимость ГСМ составляет 480 тыс. рублей. Поставщик ГСМ имеет возможность сразу учесть (погасить) этот вексель в банке, учетная ставка которого по таким обязательствам составляет 20% годовых. Определить, какую сумму получит поставщик, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Какова
18
должна быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя поставщик получил 480 тыс. рублей. Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке. Год високосный.
11. В уплату за песок и гравийную массу, дорожно-строительная
компания выписывает вексель 30 апреля, который должен быть
оплачен 7 октября того же года, и сумма погашения по которому
составляет 890 тыс. рублей. Стоимость песка и гравмассы составляет 830 тыс. рублей. Поставщик материалов имеет возможность
сразу учесть (погасить) этот вексель в банке. Учетная ставка банка
по такого вида обязательствам составляет 16% годовых. Определить, какую сумму получит поставщик, учитывая вексель в банке и
дисконт в пользу банка. Какова должна быть вексельная сумма,
чтобы при учете векселя поставщик получил 830 тыс. рублей. Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной
ставке. Год не високосный.
12. Судоходная компания оказывала заказчику транспортные услуги по перевозкам сухих грузов. Заказчик 18 июня выписал компании (поставщику услуг) вексель на сумму 795 тыс. рублей с погашением 25 октября того же года. Стоимость транспортных услуг
составила 750 тыс. рублей. Судоходная компания могла сразу
учесть (погасить) этот вексель в банке. Учетная ставка банка по
такого вида обязательствам на 18 июня составила 17% годовых.
Определить, какую сумму получила бы судоходная компания, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Какова должна
быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя судоходная компания получила 750 тыс. рублей. Определить процентную ставку,
эквивалентную банковской учетной ставке. Год високосный.
13. Компания оказала заказчику услуги по перевозкам грузов. Заказчик 5 мая выписал транспортной компании вексель на сумму
390 тыс. рублей с погашением 9 сентября того же года. Стоимость
транспортных услуг составила 370 тыс. рублей. Транспортная компания могла сразу учесть (погасить) этот вексель в банке. Учетная
ставка банка по такого вида обязательствам на 5 мая составляла
21% годовых. Определить, какую сумму получила бы транспортная
компания, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Ка-
19
кова должна быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя
транспортная компания получила 370 тыс. рублей. Определить
процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке.
Год не високосный.
14. В уплату за песок и гравийную массу, дорожно-строительная
компания выписывает вексель 7 марта, который должен быть оплачен 12 июня того же года, и сумма погашения по которому составляет 710 тыс. рублей. Стоимость песка и гравмассы составляет 680
тыс. рублей. Поставщик материалов имеет возможность сразу
учесть (погасить) этот вексель в банке. Учетная ставка банка по
такого вида обязательствам составляет 19% годовых. Определить,
какую сумму получит поставщик, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Какова должна быть вексельная сумма, чтобы
при учете векселя поставщик получил 680 тыс. рублей. Определить
процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке.
Год високосный.
15. В уплату за погрузо-разгрузочные работы в порту, 23 апреля
судоходная компания выписывает вексель, который должен быть
оплачен 1 августа того же года, и сумма погашения по которому
составляет 730 тыс. рублей. Стоимость работ составляет 700 тыс.
рублей. Порт имеет возможность сразу учесть (погасить) этот вексель в банке, учетная ставка которого по такого вида обязательствам составляет 16% годовых. Определить, какую сумму получит
порт, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Какова
должна быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя порт получил 700 тыс. рублей. Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке. Год не високосный.
16. Компания оказала заказчику услуги по перевозкам грузов. Заказчик 11 мая выписал транспортной компании вексель на сумму
815 тыс. рублей с погашением 13 сентября того же года. Стоимость
транспортных услуг составила 760 тыс. рублей. Транспортная компания могла сразу учесть (погасить) этот вексель в банке. Учетная
ставка банка по такого вида обязательствам на 11 мая составляла
22% годовых. Определить, какую сумму получила бы транспортная
компания, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка. Ка-
20
кова должна быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя
транспортная компания получила 760 тыс. рублей. Определить
процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке.
Год високосный.
17. В уплату за горюче-смазочные материалы, 14 мая транспортная
компания выписывает вексель, который должен быть оплачен 28
августа того же года, и сумма погашения по которому составляет
425 тыс. рублей. Стоимость ГСМ составляет 410 тыс. рублей. Поставщик ГСМ имеет возможность сразу учесть (погасить) этот вексель в банке, учетная ставка которого по такого вида обязательствам составляет 15% годовых. Определить, какую сумму получит
поставщик, учитывая вексель в банке и дисконт в пользу банка.
Какова должна быть вексельная сумма, чтобы при учете векселя
поставщик получил 410 тыс. рублей. Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной ставке. Год не високосный.
18. Судоходная компания оказывала заказчику транспортные услуги. Заказчик 26 февраля выписал компании (поставщику услуг)
вексель на сумму 855 тыс. рублей с погашением 19 июня того же
года. Стоимость транспортных услуг составила 800 тыс. рублей.
Судоходная компания могла сразу учесть (погасить) этот вексель в
банке. Учетная ставка банка по такого вида обязательствам на 26
февраля составила 23% годовых. Определить, какую сумму получила бы судоходная компания, учитывая вексель в банке и дисконт
в пользу банка. Какова должна быть вексельная сумма, чтобы при
учете векселя судоходная компания получила 800 тыс. рублей. Определить процентную ставку, эквивалентную банковской учетной
ставке. Год високосный.
Контрольные вопросы к разделу «Содержание и виды
процентов и ставок».
Дайте определение терминам, приведите для них расчетные
формулы и ответьте на поставленные вопросы:
1.
2.
Наращенная (конечная) стоимость;
Период начисления процентного дохода;
21
Процентная и учетная ставки;
Обыкновенные и точные проценты;
Дисконтирование;
Эквивалентные ставки, их экономический смысл;
Вывести формулы для определения эквивалентных ставок;
Как соотносятся процентная и учетная ставки при их эквивалентности?
9. Как будут соотноситься результаты наращения стоимости при
равенстве процентной и учетной ставок?
10. Как будут соотноситься результаты дисконтирования при равенстве процентной и учетной ставок?
11. Сколько раз (периодов начисления) можно начислять процентный доход по учетной ставке (для одного контракта)?
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Инфляция и реальные процентные ставки.
(лат. Inflatio — вздутие) — повышение общего
уровня цен на товары и услуги. По истечению некоторого времени
за одну и ту же сумму денег при инфляции, можно будет купить
меньше товаров и услуг, чем прежде. В этом случае говорят, что за
прошедшее время покупательная способность денег снизилась,
деньги утратили часть своей реальной стоимости.
Для достоверного сравнения экономических показателей в различные периоды времени необходимо, чтобы цены на товары, услуги и активы корректировались с учетом уровня инфляции. Исходя из этого, различаются так называемые номинальные цены (nominal prices), то есть цены в том виде, как они указаны на ценниках
товаров и услуг, и реальные цены (real prices), отражающие покупательную способность денег.
Точно так же, как различаются реальные и номинальные цены,
различаются реальные и номинальные процентные ставки. Номинальная процентная ставка (nominal interest rate) представляет собой процентную ставку, по которой заемщик обещает кредитору
выплачивать процентный доход, или ставку, по которой кредитор
предлагает воспользоваться ссудой. Реальная ставка доходности
(real rate of return) – это заработанная кредитором номинальная
процентная ставка, откорректированная с учетом изменения покупательной способности денег.
22
Для того чтобы измерить инфляцию, используют «Индекс потребительских цен».
Индекс потребительских цен (индекс инфляции, англ. Consumer Price Index, CPI) — один из видов индексов цен, созданный для
измерения среднего уровня цен на товары и услуги (потребительской корзины) за определенный период в экономике.
Индекс потребительских цен рассчитывается как частное суммы произведений цен текущего года на выпуск базового года к
сумме произведения уровня цен и выпуска базисного года (12).
∑ (Q
CPI =
∑ (Q
0
0
⋅ Pt )
⋅ P0 )
,
(12)
Количественные характеристики в числителе и знаменателе
одинаковы и характеризуют уровень потребления за определенный
период (например, за месяц или год). Стоимость товаров (работ,
услуг) в числителе представлена средними значениями в анализируемом периоде, в знаменателе – в базовом (предыдущем году).
Индекс потребительских цен рассчитывается по стоимости потребительской корзины [3].
Уровень инфляции определяется по формуле (13).
=
iinf CPI − 1 ,
(13)
Примеры решения задач.
19. Депозит на сумму 100 тыс.р. принес своему владельцу 10% годовых. За этот же год индекс потребительских цен составил 1,08.
Определить реальную доходность инвестора.
Дано:
CPI = 1,08
inom = 0,10 – номинальная ставка;
P = 100000 р. – первоначальная стоимость.
r=?
Решение:
Исходя из выражения (13), уровень инфляции за прошедший
год составил 8%.
23
Реальная доходность, как и любая другая процентная ставка,
определяется по формуле (4):
r=
I S−P S
=
=
−1
P
P
P
Наращенная стоимость (конечная стоимость депозита) определяется следующим образом:
S = P(1 + inom ) =100000(1 + 0,1) =110000 р.
Первоначальная стоимость в отсутствии инфляции осталась бы
без изменений. Однако известно, что покупательная способность
денег за указанный период снизилась.
Тогда:
r=
100 (1 + 0,1)
S
−1 =
− 1 = 0, 01851851
P
100 (1 + 0, 08 )
То есть реальная доходность меньше 2-х процентов, а не 2, как
это могло бы показаться. Более того, при достаточно высоких темпах инфляции разницу в числителе придётся делить на достаточно
большой коэффициент, в чём несложно убедиться следующим образом:
В формальном виде реальная доходность равна:
r=
P (1 + inom )
i −i
S
−1 =
− 1 = nom inf
P
P (1 + iinf )
1 + iinf
то есть
=
r
i −i
1 + inom
=
− 1 nom inf ,
1 + iinf
1 + iinf
(14)
Если уровень инфляции низкий, то и знаменатель выражения
(14) на разницу между номинальной ставкой и уровнем инфляции
влияет мало. Если уровень инфляции достаточно высок, то и доходность снизится весьма существенным образом!
Поэтому, в практике финансового менеджмента, в качестве
требуемой доходности инвестора берётся именно ставка, очищенная от инфляции, и дающая реальное представление об уровне доходности тех или иных операций.
24
Задачи для самостоятельного решения (ответы см. в [4]).
20. Определить реальную годовую доходность по облигациям ОАО
«РЖД», если номинальная процентная ставка составляет 14 % в
год, а уровень инфляции – 8 % в год.
21. Для задачи 20 определить, какой должна быть ставка доходности, указанная в облигациях, чтобы обеспечить инвестору реальную доходность не ниже 12 % годовых.
22. Транспортная компания размещает 1,5 млн. р. на банковском
депозите сроком на 0,5 года. Ставка доходности по депозиту составляет 8 % годовых. Прогнозируемый уровень инфляции 12 % в
год. Определить реальную доходность по депозиту за полгода.
23. Для задачи 22 определить, какой должна быть ставка доходности по депозиту, чтобы обеспечить инвестору реальную доходность 2 % годовых.
24. В уплату за песок и гравийную массу, компания выписывает
вексель, который должен быть оплачен через 1 год и сумма погашения по которому составляет 850 тыс. р. Стоимость песка и гравийной массы составляет 680 тыс. р. Прогнозируемый уровень инфляции 20 % годовых. Определить ожидаемую реальную доходность держателя векселя.
25. Компания оказала заказчику услуги по перевозкам грузов. Заказчик выписал транспортной компании вексель на сумму 407 тыс.
р. с погашением через 6 месяцев. Стоимость услуг составила 370
тыс. р. Прогнозируемый на ближайшие полгода уровень инфляции
составляет 6 %. Определить реальную доходность по векселю за
полгода.
26. Какую величину составил уровень инфляции, если номинальная
доходность составила 15% годовых, а реальная – всего 5%?.
27. Для задач 9-18 определить реальную годовую доходность банка, если инфляция за указанный год составила 10%.
25
Контрольные вопросы к разделу «Инфляция и реальные
процентные ставки».
1.
2.
3.
4.
5.
Определение инфляции.
Индекс потребительских цен.
Номинальные и реальные цены.
Определение реальной процентной ставки.
Требуемая доходность инвестора.
Стоимость денег во времени.
Одна и та же сумма денег не эквивалентна друг другу в разные
моменты времени, несмотря на одинаковый номинал. Этот тезис
несложно проиллюстрировать следующим примером (Рис.4):
Рис.4. Стоимость денег во времени.
Имеется два однонаправленных платежа по тысяче долларов каждый. Первый осуществляется в нулевой момент времени (другими словами, сейчас), а второй через два временных периода (потом). Какой из этих двух платежей представляет большую ценность?
Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим две возможные ситуации.
1. ЛПР (лицо, принимающее решение) является плательщиком. Поэтому ему выгоднее отдать деньги потом (в противном случае, он останется без денег). То есть первый платёж для него представляет большую ценность.
26
2. ЛПР является получателем платежей. Из тех же соображений, ему выгоднее получить деньги сразу, а не потом.
Таким образом, наличие денег – предпочтительнее их отсутствия, а платёж, осуществляемый раньше по времени,
имеет большую ценность, чем платёж, осуществляемый позже.
В связи с этим следует отметить следующее свойство денежных платежей:
Платежи, даже одинаковые по своей номинальной стоимости, не сопоставимы в разные моменты времени. Другими словами, такие платежи свойством аддитивности 1 не
обладают.
Поскольку деньги имеют свойство приносить доход при
их инвестировании, разницу в их стоимости можно измерить
при помощи процентов (процентного дохода, полученного по
ставке требуемой доходности).
Введем следующие обозначения:
FV (Future Value) – будущая стоимость денег;
PV (Present Value) – современная стоимость денег.
Рассмотрим следующий пример. На банковский депозит
вносится сумма 10000 рублей, сроком на 3 месяца и ставкой
12% годовых.
Денежный поток (Cash Flow) по депозиту будет выглядеть
следующим образом:
Аддитивность (лат. additivus — прибавляемый) – свойство величин, состоящее в
том, что значение величины, соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям, в некотором классе возможных разбиений объекта на части.
1
27
Рис.5. Денежный поток (Cash Flow) по депозиту.
Величину платежей (Рис.5) несложно определить по формулам обыкновенных процентов, рассмотренных в первом
разделе (2).
Можно ли сказать, что будущая стоимость этого депозита
равна сумме платежей по нему или, другими словами, 10300
рублям?
Процентные платежи в точках 1, 2 и 3, а также выплата
основного долга в точке 3 (10000 рублей) свойством аддитивности не обладают. Поэтому попробуем определить будущую
стоимость депозита исходя из следующих соображений.
Сначала формализуем условия этой задачи:
Дано:
PV = 10000 р. – современная стоимость депозита;
APR (Annual Percentage Rate) = 0,12 – годовая процентная
ставка;
t = 3 месяца (обыкновенные проценты);
m = 12 раз в год – частота начисления процентного дохода;
n = 1 / 4 года – количество лет.
FV = ? – будущая стоимость депозита через три месяца.
Решение:
Стоимость депозита будет возрастать от точки к точке (через
каждый период начисления), и прибавлять не только к первона28
чальной (современной) стоимости, но и к процентному доходу, получаемому в каждый момент времени, кроме последнего (Рис.5).
1. Будущая стоимость в точке 1:
FV1 = 10000(1 + 0,12/12) = PV(1 + APR/m);
2. Будущая стоимость в точке 2:
FV2 = FV1(1 + 0,12/12);
3. Будущая стоимость в точке 3:
FV3 = FV2(1 + 0,12/12) = 10000(1 + 0,12/12)3
То есть будущая стоимость денег задаётся выражением для
геометрической прогрессии. В формальном виде:
APR 

FV PV 1 +
=

m 

m×n
,
(15)
Применительно к рассматриваемой задаче:
12×
 0,12 
FV =10000 1 +

12 

1
4
=10303, 01р.
Таким образом, будущая стоимость денег не может определяться простым сложением первоначальной стоимости и
начисленных процентов, если периодов начисления больше
одного.
Также здесь возможна и обратная операция – дисконтирование.
Капитализация – это определение будущей стоимости по
формуле (15).
APR 

1 +

m 

m×n
– множитель капитализации.
29
Операция дисконтирование задаётся следующим выражением:
PV =
(
FV
1 + APR
где
APR 

1 +

m 

m
)
m×n
,
(16)
− m×n
– множитель дисконтирования.
Очевидно, что чем чаще начисляется процентный доход
(чем короче период начисления), тем больше окажется годовой результат или будущая стоимость. То есть, чем больше
частота начисления, тем выше годовой эффект.
В некоторых случаях применяется так называемое непрерывное начисление процентного дохода, когда частота начисления m стремиться к бесконечности.
Рассмотрим непрерывную капитализацию процентов подробнее:
APR 

FV =
lim PV 1 +

m →∞
m 

m×n
APR
APR 

=
, m = =
a =
m
a 

APR×n
1


=
PV lim (1 + a ) a 
=
PV ⋅ e APR×n
a →0


Как видно из выражения будущая стоимость денег при
непрерывном начислении процентов представляет собой произведение первоначальной (современной) стоимости на второй замечательный предел (равный числу Эйлера) в степени,
равной произведению ставки на количество лет (сила роста).
FV
= PV ⋅ e APR×n ,
30
(17)
Тогда будущая стоимость рассмотренного депозита:
0,12⋅
FV =
PV ⋅ e APR×n10000 ⋅ 2, 71828183
1
4
=
10304,55
Рис.6. Непрерывное начисление процентов.
В отличие от дискретного начисления процентов, в случае
непрерывного начисления стоимость денег можно вычислить
в любой временной точке на кривой, представленной на рисунке 6.
Возвращая к первому примеру данного раздела (Рис.4),
нужно отметить следующее. Чтобы платежи обладали свойством аддитивности, можно сделать следующее (Рис.7):
1. Капитализировать первый платеж до точки 2.
2. Дисконтировать второй платеж до точки 0.
3. Капитализировать первый платеж и дисконтировать второй
платеж до точки 1.
31
Рис.7. Аддитивность платежей.
Итак, концепция стоимости денег во времени (TVM) заключается в следующем:
Любой процентный доход, полученный с заданной доходностью, может быть реинвестирован (ещё неоднократно
вложен) с, как минимум, такой же доходностью и периодичностью.
Как уже отмечалось, при начислении процентного дохода
с капитализацией m раз в году, годовой эффект (будущая
стоимость или процентный доход за год) зависят от частоты
начисления процентов. Поэтому, для сопоставления доходности операций с различной частотой начисления или для определения годового эффекта капитализации (дисконтирования)
будем использовать эффективную ставку EFF, определяемую
исходя из равенства:
m×n
APR 
n

FV =
PV 1 +
PV (1 + EFF )
 =
m 

Тогда эффективная ставка будет определяться следующим
образом:
32
APR 

FV =
PV 1 +

m 

APR 

1 +

m 

m×n
m×n
=
PV (1 + EFF )
n
1
1
m×n
APR   n 
n n
n 

1 + EFF )
=
(1 + EFF ) , 1 +
  =
(

m  

m
APR 

1 + EFF ⇒
1 +
 =
m 

m
APR 

EFF =
1 +
 −1 ,
m 

(18)
Для непрерывного начисления процентов эффективная
ставка равна:
EFF
= e APR − 1 ,
(19)
Примеры решения задач.
28. Составить план капитализации 100 тыс. р., внесенных на
депозитный счет в банке сроком на 2 года по ставке 12 % годовых с ежемесячным начислением процентного дохода. Определить эффективную ставку. Рассчитать будущую стоимость для непрерывного начисления процентов.
Дано:
PV = 100000 р.,
APR = 0,12,
n = 2, m = 12,
m→∞
FV = ?
33
Решение представлено в таблице 2.
Номер периода
Будущая стоимость, р.
t
APR 

FVt = PV 1 +

m 

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
t
100 000,00
101 000,00
102 010,00
103 030,10
104 060,40
105 101,01
106 152,02
107 213,54
108 285,67
109 368,53
110 462,21
111 566,83
112 682,50
113 809,33
114 947,42
116 096,90
117 257,86
118 430,44
119 614,75
120 810,90
122 019,00
123 239,19
124 471,59
125 716,30
126 973,46
EFF = (1 + 0 ,12 12 ) − 1 = 0 ,126825
12
Проверим полученный результат:
34
Таблица 2
Процентный доход,
р.
I t = FVt − PV
0,00
1 000,00
2 010,00
3 030,10
4 060,40
5 101,01
6 152,02
7 213,54
8 285,67
9 368,53
10 462,21
11 566,83
12 682,50
13 809,33
14 947,42
16 096,90
17 257,86
18 430,44
19 614,75
20 810,90
22 019,00
23 239,19
24 471,59
25 716,30
26 973,46
FV = 100 000, 00 (1 + 0,126825 ) = 126 973, 46 р .
2
При непрерывном начислении процентов будущая стоимость в
конце второго года составит:
FV =
100000 ⋅ 2, 718281830,12⋅2 =
127124,92 р.
29. Определить эффективную ставку, если первоначальная стоимость вложений составляет 100 тыс.р., годовая процентная ставка –
20%, срок вложений – 1 год, частота начисления процентов – 2 раза
в год.
Дано:
PV = 100 000 р.
APR = 0,2
n = 1 год
m = 2 (1 раз в полугодие)
FV = ?, EFF = ?, FVEFF = ?
Решение:
1. Будущая стоимость по годовой процентной ставке составляет:
FV= 100 000 (1 + 0, 2 / 2) 2 = 121 000 р. ;
2. Эффективная ставка:
121000 − 100000
 0, 2 
EFF = 1 +
= 1,12 − 1 = 0, 21 ;
 −1 =
2 
100000

2
3. Будущая стоимость по эффективной ставке:
FV
=
100 000 (1 + 0, 21
=
) 121 000 р.
Задачи для самостоятельного решения
30. Заём на сумму 9 000 000,00 р. погашается через 4 года. Ставка
19 % годовых. Определить будущую стоимость в конце срока
займа, если начисление процентов производится один раз в полугодие. Рассчитать эффективную ставку. Определить будущую
стоимость по эффективной ставке.
35
31. Долговое обязательство, погашаемое через 3 года по цене 180
млн. р., предполагает ежеквартальное начисление процентов по
ставке 15 % годовых. Определить современную стоимость обязательства, эффективную ставку доходности и современную стоимость по эффективной ставке.
32. Для задачи 28 определить будущую стоимость из точки 5 – в
точке 19, из точки 8 – в точке 15, из точки 10 – в точке 20, из точки
12 – в точке 23 и из точки 15 – в точке 24. Результаты проверить по
таблице 2.
33. Для задачи 28 определить современную стоимость из точки 24 –
в точке 13, из точки 18 – в точке 14, из точки 15 – в точке 8, из точки 12 – в точке 3 и из точки 10 – в точке 0. Результаты проверить
по таблице 2.
34. Составить помесячный план капитализации 350 тыс. р. за 3 года
по ставке 15 % годовых с непрерывным начислением процентного
дохода. Определить эффективную ставку. Результаты проверить.
Построить график капитализации.
Контрольные вопросы к разделу «Стоимость денег во
времени».
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Аддитивность денежных платежей.
Будущая стоимость денег.
Современная стоимость денег.
Капитализация.
Дисконтирование.
Дискретное и непрерывное начисление процентов.
Эффективная ставка доходности.
Эффективная ставка при непрерывном начислении процентов.
Денежные потоки и оценка аннуитетов.
Денежный поток – это последовательность величин (отрицательных и положительных) самих платежей и моментов
36
времени, в которые они осуществлены. Элементы денежного
потока со знаком плюс – это поступления; платежи со знаком
минус представляют собой выплаты.
Денежный поток называется конечным или бесконечным
в зависимости от количества элементов в нем.
Аннуитет – денежный поток, все члены которого – равные величины одного знака, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны.
Аннуитет постнумерандо – платежи, которые осуществляются в конце каждого временного интервала (Рис.8).
Рис.8. Аннуитет постнумерандо.
Аннуитет пренумерандо – платежи, которые осуществляются в начале каждого временного интервала.
37
Рис.9. Аннуитет пренумерандо.
Примеры решения задач.
35. Сколько нужно откладывать на банковский счет (депозит) с
ежемесячной капитализацией процентного дохода, чтобы через 2
года накопить требуемую сумму. Например, годовая процентная
ставка составляет 12% годовых, а требуемая сумма 1 млн. рублей.
Дано:
FV = 1 000 000 руб. – будущая стоимость депозита;
APR = 0,12 – годовая процентная ставка;
n = 2 года, m = 12 – частота начисления процентов.
a = ? – ежемесячный взнос на депозит (аннуитет), кроме последнего платежа
Решение:
Произведём замену: m x n = N, APR / m = i
Для того чтобы определить будущую стоимость денежного потока, нужно каждый его элемент привести (капитализировать) к
последней точке временной оси (Рис.10). После этого платежи станут обладать свойством аддитивности, и их можно будет сложить:
FVa = a (1 + i )
N −1
N
+  + a (1 + i ) + a (1 + i ) + a = a ∑ (1 + i )
2
t =1
38
N−t
Обозначим сумму множителей капитализации через F:
n
F = ∑ (1 + i )
N −t
= (1 + i )
N −1
+ (1 + i )
N −2
t =1
+  + (1 + i ) + 1.
1
Рис.10. Будущая стоимость аннуитета.
Умножим левую и правую часть F на множитель капитализации в первой степени:
F = (1 + i )
N −1
+ (1 + i )
N −2
+  + (1 + i ) + 1 ⋅ (1 + i )
1
F (1 + i ) = (1 + i ) + (1 + i )
N
N −1
+ (1 + i )
N −2
+  + (1 + i ) + (1 + i )
2
Из полученного результата вычтем F:
F (1 + i ) − F = (1 + i ) + (1 + i )
N
(
− (1 + i )
N −1
+ (1 + i )
(1 + i )
⇒F=
i
N
−1
N −2
N −1
+ (1 + i )
)
N −2
+  + (1 + i ) + (1 + i ) −
2
+  + (1 + i ) + 1 ⇒ F ⋅ i = (1 + i ) − 1 ⇒
1
N
,
Будущая стоимость аннуитета в формальном виде (20):
m×n
 APR 
1 +
 −1
1+ i ) −1
(
m 

,
=
FVa a= a
APR
i
m
N
39
(20)
Тогда ежемесячный взнос на депозит составит:
a
FV ⋅ APR
m
=
m×n
1 + APR
−1
m
(
)
1000000 ⋅ 0,12
12 37073, 47 р.
=
12×2
1 + 0,12
−1
12
)
(
Проверим полученный результат:
m×n
24
 APR 
 0,12 
1 +
 −1
1 +
 −1
m 
12 


FVa =
a
37073, 47 ⋅
1000000 р.
=
=
APR
0,12
m
12
36. Коммерческая организация собирается открыть новое бизнеснаправление, для которого требуется объект недвижимости, представленный на рынке. Собственник имущества в равной степени
расположен продать его за $500000 или сдать в аренду с ежемесячным платежом $10000. Необходимо принять решение о покупке
или аренде по критерию требуемой доходности.
Решение:
Произведём замену: m x n = N, APR / m = i
По условиям задачи необходимо либо сразу инвестировать
$500000 или заключить договор аренды с ежемесячным платежом
$10000. Для сопоставления этих величин, арендные платежи необходимо привести (дисконтировать) в точку осуществления инвестиции, то есть в начальный момент времени (Рис.11). После этого
платежи станут обладать свойством аддитивности, и их можно будет сложить:
N
a
a
a
-N
PVa =
+
+ +
=a ∑ (1 + i ) =a ⋅ F ′
2
N
1 + i (1 + i )
t =1
(1 + i )
Преобразуем сумму дисконтированного денежного потока следующим образом:
40
F ′ = (1 + i ) + (1 + i ) +  + (1 + i )
−1
−2
− N +1
+ (1 + i )
F ′ ⋅ (1 + i ) =1 + (1 + i ) + (1 + i ) +  + (1 + i )
−1
−2
−N
⋅ (1 + i )
− N +1
Вычтем из полученного результата F':
F ′ ⋅ (1 + i ) − F ′ =1 + (1 + i ) + (1 + i ) +  + (1 + i )
−1
(
−2
− (1 + i ) + (1 + i ) +  + (1 + i )
−1
−2
1 − (1 + i )
⇒ F′ =
i
−N
− N +1
) , F ′ ⋅ i =1 − (1 + i )
−
−N
⇒
−N
Рис.11. Современная стоимость аннуитета.
Современная стоимость аннуитета:
PVa =a ⋅ F ′ =a ⋅
1 − (1 + i )
−N
i
PVa= a ⋅
1 − (1 + APR m )
APR m
− m⋅n
,
(21)
Для принятия дальнейшего решения о выборе варианта финансирования деятельности, воспользуемся следующими рассуждениями. Исходя из условий задачи, наихудшим условием для потенциального арендатора является неограниченное количество платежей. Другими словами количество платежей в денежном потоке
стремится к бесконечности, или
41
m⋅n→∞
При N, стремящимся к бесконечности, необходимо найти следующий предел:
 1 − (1 + i )− N
lim PVa= lim  a
N →∞
N →∞ 
i

 a a⋅m
= =
,
 i APR

(22)
Для принятия решения о покупке или аренде недвижимости
необходимо составить соотношение стоимостей в точке анализа
(т.0):
$500 000 =
$10 000
i
Ставка, при которой выполняется это равенство, составляет:
i = 0,02 или APR = 0,24
Если предположить, что существующий бизнес приносит собственникам 36% годовых (требуемая доходность) без приобретения
новых бизнесов, то стоимость (даже бесконечных) арендных платежей будет равна:
$10 000 ⋅12 $10 000
=
 $500 000
0,36
0, 03
Другими словами, если расширять существующий бизнес на
$500000, при доходности в 3% в месяц, компания заработает:
$500 000 ⋅
0,36
$15000
=
12
Таким образом, если существующая доходность компании
больше, чем 24% годовых, то стоимость даже бесконечного потока
арендных платежей в точке принятия решения меньше чем
$500000.
Если требуемая доходность меньше или равна 24%, необходимы дополнительные параметры для анализа.
37. Кредит выдается заёмщику на 2 года с отсрочкой первого платежа на полгода, то есть первый платеж по кредиту должен быть
осуществлен в конце 7-го месяца. Сумма кредита составляет 1 млн.
рублей. Ставка APR = 0,24. Проценты начисляются ежемесячно.
Определить величину ежемесячного аннуитетного платежа.
42
Дано:
PV = 1000000 руб. – сумма, выдаваемого кредита;
APR = 0,24 – годовая процентная ставка;
n = 2 года, m = 12 – частота начисления процентов;
q = (24 – 6) = 18 – количество платежей в денежном потоке
a = ? – ежемесячный платеж за кредит (аннуитет).
Решение:
Для правильного использования выражений для определения
стоимости аннуитета в той или иной точке, спроецируем платежи,
соответствующие условиям задачи на ось, начинающуюся с нуля
(Рис.12)
Рис.12. Проекция денежного потока (аннуитета постнумерандо).
Тогда в точке 6 (соответствует точке 0 на нижнем графике)
стоимость денежного потока будет определяться по формуле современной стоимости аннуитета (21):
1 − (1 + APR m )
PVa =
a⋅
APR m
− m⋅n
1 − (1 + 0, 24 12 )
=
a⋅
0, 24 12
43
−18
С другой стороны, стоимость кредита для точки 6 должна быть
капитализирована по формуле (15):
FV6 = 1000000 (1 + 0,24/12)6 = 1126162,42 р.
Рис.13. Равенство стоимостей в точке анализа.
Тогда для точки, в которой проводится анализ (точка 6) можно
составить следующее уравнение:
(
1 000 000 1 + 0,24
12
)
6
1 − (1 + 0, 24 12 )
=
a⋅
0, 24 12
−18
Откуда
1 000 000 (1 + 0, 24 12 ) ⋅ 0, 24 12 1126162, 42 ⋅ 0, 02
=
=
−18
−18
1 − (1 + 0, 24 12 )
1 − (1 + 0, 24 12 )
6
a
= 75117, 40 р.
2-й способ решения:
Определим стоимость аннуитета относительно нулевой точки
(Рис. 14).
Для этого, современную стоимость аннуитета в точке 6 дополнительно продисконтируем до точки 0 и приравняем стоимости
кредита:
44
a⋅
1 − (1 + 0, 24 12 )
0, 24 12
−18
⋅
1
(1
+ 0,24 12 )
6
=
1000000 р.
Рис.14. 2-й способ решения задачи 37.
Тогда:
1 000 000 (1 + 0, 24 12 ) ⋅ 0, 24 12 1126162, 42 ⋅ 0, 02
=
=
−18
−18
1 − (1 + 0, 24 12 )
1 − (1 + 0, 24 12 )
6
a
= 75117, 40 р.
3-й способ решения:
Стоимость аннуитета и кредита приравняем друг другу в точке
24. В этом случае воспользуемся формулами будущей стоимости
как единичного платежа (15), так и аннуитета (20):
Рис.15. 3-й способ решения задачи 37.
45
(1 + 0, 24 12 )
a⋅
18
0, 24 12
−1
1 000 000 (1 + 0,24 12 )
=
24
1 000 000 (1 + 0, 24 12 ) ⋅ 0, 24 12
75117, 40 р.
=
18
(1 + 0, 24 12 ) − 1
24
a
На основании рассмотренного примера следует отметить два
важных замечания по использованию формул современной и будущей стоимости аннуитета:
1) Показатель степени в формулах будущей и современной равен
количеству
элементов
денежного
потока
q;
2) Выражение для современной стоимости аннуитета действительно для точки за 1 период начисления до первого платежа
(т.6 для рассматриваемой задачи).
38. Кредит выдается заёмщику на 2 года с отсрочкой первого платежа на полгода. Сумма кредита составляет 1000000 р. Проценты
начисляются ежемесячно. Платеж по кредиту составляет 75117,40
р. Определить годовую процентную ставку.
Дано:
PV = 1000000 р. – сумма, выдаваемого кредита;
a = 75117,40 р. – ежемесячный платеж за кредит (аннуитет).;
n = 2 года – срок кредита;
m = 12 – частота начисления процентов;
q = (24 – 6) = 18 – количество платежей в денежном потоке;
APR = ? – годовая процентная ставка.
Решение:
Для решения воспользуемся методом линейной интерполяции:
1. Записывается уравнение для стоимости аннуитета в одной из
точек (напр. в т.0):
46
75117, 40 ⋅
1 − (1 + APR 12 )
−18
⋅
APR 12
1
(1
+ APR 12 )
6
1000000 р.
=
Получили современную стоимость аннуитета в точке ноль,
равную стоимости кредита на момент его выдачи.
2. Подбираются значения APR таким образом, чтобы одно значение давало сумму большую, чем стоимость аннуитета в заданной
точке, а другое – меньшее:
75117, 40 ⋅
1 − (1 + 0,1 12 )
−18
⋅
0,1 12
1
(1
+ 0,1 12 )
=
1190012,68 р.
6
Поскольку современная стоимость обратно пропорциональна
ставке дисконтирования, ставку нужно увеличить, например до
20%:
75117, 40 ⋅
1 − (1 + 0, 2 12 )
−18
0, 2 12
⋅
1
(1
+ 0, 2 12 )
6
=
1050366,20 р.
Так как значение получилось опять более 1 000 000 рублей,
ставку нужно снова увеличить, например до 30%:
75117, 40 ⋅
1 − (1 + 0,3 12 )
0,3 12
−18
⋅
1
(1
+ 0,3 12 )
6
=
929717,58 р.
Полученное значение получилось меньше 1000000 р.
3. Проиллюстрируем полученные значения современной стоимости от ставок следующим графиком (Рис.16).
4. Из свойств подобия двух прямоугольных треугольников,
∆ABC и ∆CDE определяется приближенное значение APR0, как
пересечение прямой, соединяющей точки B и D с прямой AE, характеризующей значение стоимости аннуитета в 1000000 р.
(Рис.16).
Для этого составляется следующая пропорция:
AC
AB
=
AE
AB + DE
47
Рис.16. График зависимости стоимости аннуитета от ставки
дисконтирования.
В числовых данных:
APR0 − 0, 2
0,3 − 0, 2
=
1050366, 20 − 1000000 1050366, 20 − 929717,58
5. Из полученной пропорции определяем значение APR0:
APR0 =0, 2 +
1050366, 20 − 1000000
⋅ ( 0,3 − 0, 2 ) ≈ 0, 2418
1050366, 20 − 929717,58
Полученное приближенное значение находится в интервале,
равном 10%, поэтому нельзя однозначно определить превышает,
или наоборот ниже чем, например, 24% реальное значение искомой
ставки.
Поэтому интервал поиска необходимо сократить, как минимум
до 1-го процента.
6. На этом этапе целесообразно выбрать APR0 , полученную на
предыдущем:
48
75117, 40 ⋅
1 − (1 + 0, 2418 12 )
−18
⋅
0, 2418 12
1
(1
+ 0, 2418 12 )
6
997801,67 р.
=
Как видно, полученное значение наиболее близко к искомому
результату, по сравнению с предыдущими. Но это значение получилось меньше 1000000 р., поэтому ставку необходимо снизить,
например, до 24%:
75117, 40 ⋅
1 − (1 + 0, 24 12 )
0, 24 12
−18
⋅
1
(1
+ 0, 24 12 )
6
=
1000000 р.
Настолько точный результат получился за счет того, что условия данной задачи были сформулированы исходя из предыдущей,
где ответ был получен на основании искомой ставки.
В действительности, для определения ставки этим методом
требуется, как минимум, две итерации, а точность вычислений обратно пропорциональна интервалу между выбираемыми ставками.
Для дальнейшего определения значения APR0 , необходимо
проводить аналогичные расчеты до тех пор, пока интервал, в котором находится искомая ставка, не станет меньшим либо равным
1%. При этом одна из границ интервала должна быть выражена в
целых процентах.
В общем виде алгоритм нахождения ставки методом линейной
интерполяции выглядит следующим образом:
1. Подбираются значения ставки дисконтирования таким образом,
чтобы при первой ставке результат (PV) был больше заданного, а
при второй – меньше. При этом, если PV получилась больше заданной – ставку необходимо увеличить, и, наоборот, если меньше,
то ставку нужно уменьшить.
2. На графике зависимости стоимости от годовой процентной ставки отметить значения ставок APR1 и APR2 при которых значения
PV1 и PV2 больше и, соответственно, меньше заданного значения
PV0 , построить подобные треугольники ∆ABC и ∆CDE и составить
необходимую пропорцию:
49
AC
AB
=
AE
AB + DE
(Рис.17).
Рис.17. Графическая интерпретация метода линейной
интерполяции.
3. Из полученной пропорции определяется приближенное значение
APR0:
APR0 =APR1 +
PV1 − PV0
⋅ ( APR2 − APR1 ) ,
PV2 − PV1
(23)
4. Полученное значение APR0 выбирается в качестве ставки дисконтирования для следующей итерации. Вычисления необходимо
производить до тех пор, пока интервал от APR1 до APR2 не станет
меньшим либо равным 1%.
50
Решение средствами MS Excel:
Для решения такого рода задач, в табличном процессоре MS Excel
имеется встроенная функция, позволяющая определить параметры
задачи по алгоритму, аналогичному приведенному выше.
1. Ввод начальных данных (Рис.18):
Рис.18. Ввод начальных данных в MS Excel.
2. Ввод формулы:
В ячейку B9 вводится выражение для стоимости кредита в т.0.:
=B3*(1-(1+B8/B4)^(-B6))/(B8/B4)/(1+B8/B4)^(B4*B5-B6) (Рис.19).
Рис.19. Ввод формулы для определения параметра в MS Excel.
51
3. Подбор параметра:
Чтобы избежать в выражении для современной стоимости аннуитета деления на 0, в ячейке B8 устанавливаем значение ставки 0,1
(Рис.19).
Рис.20. Подбор параметра в MS Excel.
4. Результат подбора параметра (Рис.21):
Рис.21. Результат подбора параметра.
Приближенное значение ставки получилось за счет округления
аннуитетного платежа.
52
39. Кредит выдается заёмщику с отсрочкой первого платежа на 6
месяцев. Сумма кредита составляет 1000000 р. Платеж по кредиту
составляет 75117,40 р. ежемесячно. Годовая процентная ставка –
24%. Определить количество платежей и срок займа.
Решение:
Стоимость кредита определяется современной стоимостью аннуитета:
1 − (1 + APR m )
PVa =
a⋅
APR m
− m⋅n
1 − (1 + i )
=
a⋅
i
−q
где
i – процентная ставка за 1 интервал начисления;
q – количество платежей;
стоимость аннуитета в точке анализа:
=
PVa PV (1 + i )
t
PVa 1 − (1 + i )
=
a
i
PVa ⋅ i
−q
=1 − (1 + i )
a
PV ⋅ i
−q
1− a
(1 + i ) =
a
PV ⋅ i
1
= 1− a
q
a
(1 + i )
−q
(1 + i )
q
1
=
1 − PVa ⋅ i a
Логарифмируем левую и правую часть уравнения:
1
q
ln (1 + i ) =
ln
1 − PVa ⋅ i a
Тогда
ln
q ⋅ ln (1 + i ) =
1
1 − PVa ⋅ i a
53
q=
ln (1/ (1 − PVa ⋅ i a ) )
ln (1 + i )
,
(24)
Подставляя данные в выражение (24) получим количество платежей:
q
((
))
ln 1 1 − 1 000 000 (1 + 0, 02 ) ⋅ 0, 02 75117, 40
= 18
ln (1 + 0, 02 )
6
Добавив к полученному результату 6 месяцев отсрочки, получаем 24 месяца или 2 года.
Задачи для самостоятельного решения
40. Определить стоимость равных сумм вложений на банковский
депозит в течение 2 лет (раз в год), если известна их будущая стоимость, равная $720 000,00. Ставка доходности 20 % годовых. Определить альтернативный вариант единовременных вложений.
41. Определить значения одинаковых сумм поступлений на банковские счета в конце каждого года, начиная с 3-го, в течение 7 лет,
если их будущая стоимость должна составить $700000 при ставке
доходности 10 % годовых, а также современную стоимость аннуитета в начале 1-го года.
42. Определить, чему должны быть равны в конце каждого года
одинаковые суммы поступлений на банковские счета, начиная с 4го года, в течение 6 лет, если их будущая стоимость должна составить 750 млн. р. Ставка доходности 8 % годовых. Определить современную стоимость аннуитета в начале 1-го года.
43. Кредит 500 тыс. р. выдан компании на 2 года, с ежемесячным
начислением процента по ставке 24 % годовых. Заемщик обязуется
ежемесячно погашать кредит равными платежами. Определить
сумму выплат и эффективную ставку кредитора.
54
44. Выдан кредит 1500000 р. на 1,5 года, с ежемесячным начислением
процента по ставке 18 % годовых. Заемщик обязуется ежемесячно
погашать кредит равными платежами. Определить сумму выплат и
эффективную ставку кредитора.
45. Кредит выдан в размере 10 млн. р. на 3 года, с ежемесячным
начислением процента по ставке 18 % годовых. Кредитным соглашением предусмотрено, что заемщик начинает ежемесячно погашать кредит равными платежами, по прошествии одного года с
момента получения кредита, в конце каждого последующего месяца. Определить сумму выплат по кредиту.
46. Выдан кредит 8 млн. р. на 2 года, с ежемесячным начислением
процента по ставке 15 % годовых. Кредитным соглашением предусмотрено, что в течение первых 6 месяцев заемщик ничего не выплачивает кредитору, а, начиная с конца 7-го месяца 1-го года,
ежемесячно погашает кредит равными платежами. Определить
сумму выплат.
47. 1 декабря привлекается кредит на сумму 12 млн. р., сроком на
10 месяцев. Погашаться данный кредит будет, начиная с начала мая
следующего года по сентябрь включительно, равными ежемесячными платежами. Определить размер платежа, если ставка по кредиту составляет 12 %, а начисление процентов производится ежемесячно.
48. Продается сухогруз типа река-море за $2 500 000,00. Судоверфь
предлагает следующие варианты:
1. Покупатель платит $300000 сразу, а остаток в течение 5 лет, равными месячными платежами. Процентная ставка за предоставленный кредит APR = 1,9 %. Чему равен месячный платеж?
2. Стоимость судна оплачивается сразу, и покупатель получает
скидку 8 %. Стоит ли платить сразу или лучше взять кредит? Предположите, что требуемая доходность покупателя APR = 5 % при
ежемесячном начислении процентов.
49. Судоходная компания решила купить круизный катер, и ей необходимо занять $100000. Банк, в который она обратилась, предла55
гает взять кредит с погашением его в течение 30 лет. Количество
ежемесячных платежей – 360. Если процентная ставка по кредиту
равна 12 % годовых, то какова сумма месячного платежа? Другой
банк предлагает 15-летний кредит с ежемесячной выплатой по
$1100. Какой заем для судоходной компании выгодней?
50. На модернизацию оборудования прогулочного судна выдан кредит 1500000 р. на 1,5 года, с ежемесячной выплатой 95 708,67 р. Определить годовую процентную ставку методом линейной интерполяции. Результат проверить средствами MS Excel.
51. Судоходной компании на капитальный ремонт судна выдан
кредит в размере 10 млн. р. на 3 года, с ежемесячным платежом
596901,64 р. Кредитным соглашением предусмотрено, что заемщик
начинает погашать кредит с момента ввода судна в эксплуатацию,
через один год с момента получения кредита, в конце каждого последующего месяца. Определить APR.
52. Речному порту на приобретение портального крана выдан кредит 8 млн. р. на 2 года, с ежемесячными платежами 537698,56 р.
Кредитным соглашением предусмотрено, что в течение первых
6 месяцев заемщик ничего не выплачивает кредитору, а, начиная с
конца 7-го месяца 1-го года, ежемесячно погашает кредит. Определить APR.
53. Для задачи 39 определить количество платежей при помощи
подбора параметра MS Excel.
Контрольные вопросы к разделу «Денежные потоки и оценка
аннуитетов».
1.
2.
3.
Определение денежного потока.
Аннуитет пре- и постнумерандо.
Будущая стоимость аннуитета (депозит с капитализацией процентного дохода и возможностью внесения на него дополнительных платежей).
56
4.
5.
6.
7.
Современная стоимость аннуитета, в том числе бесконечного
(выбор альтернативы покупки или аренды недвижимости).
Правила использования выражений будущей и современной
стоимости аннуитета (проиллюстрировать примером).
Определение процентной ставки при заданных параметрах аннуитета.
Определение сроков (количества платежей) при заданных параметрах аннуитета (MS Excel).
Амортизация кредитов.
Амортизация кредита – это план его фактического погашения.
Как правило, при этом используются две основные схемы и их
производные. Это погашение кредита убывающими платежами с
начислением простых процентов и аннуитетные схемы. Также как
и в предыдущем разделе сразу рассмотрим эти варианты на конкретных примерах.
Примеры решения задач.
54. Кредит на сумму 12 млн. р. выдан сроком на 1 год с ежемесячным начислением простого процента по ставке APR = 24% на остаток долга. Существует альтернативный вариант получения кредита
на ту же сумму и срок, также с ежемесячным начислением по ставке APR = 24%, но погашение осуществляется аннуитетными платежами. Необходимо составить планы погашения (амортизации) кредита.
Дано:
PV0= 12000000 р. – сумма выдаваемого кредита;
APR = 0,24 – годовая процентная ставка;
n = 1 год, m = 12 – частота начисления процентов;
Составить графики погашения кредита двумя способами (обычный
и аннуитет).
57
Решение:
1. Убывающие платежи.
Ежемесячный платеж в погашение основного долга:
a
=
PV0 12 000 000
=
= 1000 000 р.
m⋅n
12
Остаток долга будет рассчитываться по формуле (25):
PVt = PV0 − at ( t − 1) ,
(25)
Согласно этой схеме остаток долга будет уменьшаться:
=
PV1 12 000 000 − 1000 000=
(1 − 1) 12 000 000 р.
PV2 12 000 000 − 1000 000=
=
( 2 − 1) 11000 000 р.
=
PV3 12 000 000 − 1000 000=
( 3 − 1) 10 000 000 р.
и т.д.
Процентный платёж будет определяться по формуле (26):
=
I t PVt ⋅
APR
,
m
(26)
0, 24
I1 12
=
000 000
240 000 р.
12
0, 24
I 2 11000
=
000
220 000 р.
12
0, 24
I 3 10
=
000 000
200 000 р.
12
и т.д.
Тогда платежи по кредиту будут определяться как сумма ежемесячной выплаты основного долга и процентов:
PMTt= a + I t ,
58
(27)
PMT1 = 1240 000 р.
PMT2 = 1220 000 р.
PMT3 = 1200 000 р.
и т.д.
В табличной форме (табл.3):
Таблица 3
2. Аннуитетные платежи.
Платёж по кредиту в этом случае составит:
a
PV0 ⋅ APR
12 000 000 ⋅ 0, 24 12
m
1 134 715,16 р.
=
=
− m⋅n
−12⋅1
1 − (1 + 0, 24 12 )
1 − 1 + APR
m
(
)
Однако необходимо разделить аннуитетный платеж на составляющие:
1. Процентный платеж;
2. Выплату в погашение основного долга.
Эта необходимость связана с определением процентных доходов кредитора и, соответственно, расходов на обслуживание долга
59
заёмщика. В это же время платежи и поступления на счета сумм
основного долга являются только движением денег, и на финансовые результаты непосредственно не влияют.
Для определения процентных платежей также воспользуемся
суммой остатка основного долга. Она рассчитывается следующим
образом:
=
PVt PVt −1 − bt −1 ,
(28)
где PVt – остаток основного долга,
bt – выплата в погашение основного долга.
Остаток долга на конец 1-го месяца:
PV=
PV0 − b0= 12 000 000 − 0= 12 000 000 р.
1
Таблица 4
Процентный платеж (26):
I1 =PV1 ⋅
APR
0, 24
=12 000 000 ⋅
=240 000 р.
m
12
Выплата основного долга:
bt =
a − I t , b1 =
1134 715,16 − 240 000 =
894 715,16 р.
60
2-й месяц:
PV2 =12 000 000 − 894 715,16 =11105 284,84 р.
=
I 2 11105 284,84=
⋅ 0, 02 222105, 70 р=
., b2 912 609, 46 р.
и т.д.
Результаты представлены в таблице 4.
Задачи для самостоятельного решения
55. По данным таблицы 5 разработать планы амортизации кредита
убывающими и аннуитетными платежами.
Таблица 5
Годовая
Частота на№
Сумма
процентная
Кол-во
числения
вариа
кредита,
ставка, APR,
лет, (n)
процентного
нта
PVa, (руб.)
(%)
дохода, (m)
1
12 000 000
14
2
12
2
18 000 000
23
6
4
3
24 000 000
11
2
12
4
30 000 000
15
6
4
5
36 000 000
20
2
12
6
42 000 000
17
6
4
7
48 000 000
19
2
12
8
54 000 000
21
6
4
9
60 000 000
16
2
12
10
66 000 000
22
6
4
Контрольные вопросы к разделу «Амортизация кредитов».
1.
2.
3.
4.
Для чего платеж по кредиту разделяется на составляющие –
процентный платеж и выплата основного долга?
Обычная схема погашения кредита (привести пример амортизации за первые три месяца);
Аннуитетная схема погашения кредита (привести пример
амортизации за первые три месяца);
Сравнительная характеристика схем амортизации кредита.
61
Литература
1. Самаров К.Л. Финансовая математика. Учебно-методическое
пособие для студентов. - М.: Учебный центр "Резольвента", 2010.
[Электронный ресурс]: http://window.edu.ru/resource/470/69470;
2. Никулин, А.Н. Финансовая математика ценных бумаг: учебное
пособие / А.Н. Никулин, И.В. Карпухин. - Ульяновск: УлГТУ,
2011.ISBN/ISSN:978-5-9795-0864-1. [Электронный ресурс]:
http://window.edu.ru/resource/241/77241;
3. Федеральный закон № 44-ФЗ «О потребительской корзине в целом по Российской Федерации» от 10.03.06 (с изм. от 08.12.2010 N
332-ФЗ) / Консультант Плюс. [Электронный ресурс]:
http://base.consultant.ru/cons/cgi/online.cgi?req=doc;base=LAW;n=593
21.
4. Салмин П.С., Олюнин В.И. Сборник задач по финансовым вычислениям в транспортной отрасли: учебное пособие / В.И. Олюнин, П.С. Салмин. — Н.Новгород: Изд-во ФГОУ ВПО «ВГАВТ»,
2006.
62
Оглавление
Введение ................................................................................................. 3
Содержание и виды процентов и ставок. ............................................ 4
Инфляция и реальные процентные ставки. ....................................... 22
Стоимость денег во времени. ............................................................. 26
Денежные потоки и оценка аннуитетов. ........................................... 36
Амортизация кредитов. ....................................................................... 57
Литература ........................................................................................... 62
63