Вечные теоремы. Великие задачи математики. Выполнили: студентки гр. БУ-15 Маслова Олеся и Сомова Кристина Преподаватель: Мальцева В.Н. Введение: Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много… Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась. В Европе сложилось разделение на гуманитарные и естественные науки по степени влияния математики на эти части. Теорема Пифагора. Во времена Пифагора теорема звучала так: « Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах» Или « Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Современная формулировка « В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Значение теоремы Пифагора. Теорема Пифагора- это одна из самых важных теорем геометрии. Значение её состоит в том, что из неё или с её помощью можно вывести большинство теорем геометрии. Самое простое доказательство Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке. Сторона квадрата равна a + c. Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum - ослиный мост, или elefuga - бегство «убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также «ветряной мельницей», составляли стихи, вроде «Пифагоровы штаны на все стороны равны», рисовали карикатуры. Теорема Ферма В прошлом двадцатом веке случилось событие, равного по масштабу которого в математике не было за всю историю. 19-го сентября 1994 года была доказана теорема, сформулированная Пьером де Ферма (16011665) более 350-ти лет назад в 1637 году. Она известна также как « последняя теорема Ферма» или как « большая теорема Ферма», поскольку есть ещё так называемая “малая теорема Ферма” . Её доказал 41- летний , до этого момента в математическом сообществе ничем особо непримечательный, и по математическим меркам уже не молодой , профессор Принстонского университета Эндрю Уайлс. Эта теорема связана с весьма знаменательным уравнением Xⁿ +Yⁿ = Zⁿ Великая теорема Ферма утверждает, что при значениях параметра «n» (степени уравнения), превышающих двойку, целочисленных решений (X,Y,Z) данного уравнения не существует (кроме, конечно, когда все эти переменные равны нулю одновременно). Доказательство теоремы Ферма Механизм пересчета оптимизируется с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея, связавшим потенциальное решение уравнения Ферма с произвольным показателем «n» с другим уравнением. Это новое уравнение задается специальной кривой. y²+x (x-aⁿ) (x+bⁿ)= 0 Но таких кривых не существует при n>2. В этом случае следовала бы великая теорема Ферма. Теперь посмотрим на кривую Фрея с другой стороны, как на инструмент пересчета целых точек в евклидовом пространстве. Следовательно, кривая будет играть роль формулы. Уайлс изобретает инструменты (специальные алгебраические конструкции) для контроля этого пересчета. Тонкий инструментарий Уайлса и составляет центральное ядро и основную сложность доказательства. Самым неожиданным эффектом доказательства оказывается достаточность использования только одной «фреевской» кривой. Самое главное в том, что эти инструменты «минимальны», те есть их нельзя упростить. Именно осознание Уайлсом этой нетривиальной «минимальности» и стало решающим финальным шагом доказательства Редукции Ферма и Уайлса соответствует приведение законов сохранения пересчета точек к закону простейшего вида. Этот простейший пересчет как геометрически, так и алгебраически представляется качением именно сферы по плоскости. Поскольку сфера и плоскость – «минимальные» двумерные геометрические объекты. На рисунке линейное движение центра сферы «считает» целые очки на плоскости, а ее угловое (или вращательное) движение обеспечивает пространственный компонент пересчета. Кривая Фрея «кодирует» наиболее красивый с эстетической точки зрения пересчет целых точек в пространстве, напоминающий движение по винтовой лестнице. Если следить за кривой, которую заметает некоторая точка сферы за один период, то обнаружится, что отмеченная точка заметет кривую, изображенную на рисунке, напоминающую «двойную пространственную синусоиду»- пространственный аналог графика. Этот и есть график нашего тестирующего пересчета. Решающим моментом интерпретации оказывается о обсоятельство. Что аналогом закона сохранения для малой теоремы Ферма оказывается уравнение Большой теоремы Ферма именно в случае n=2. Вывод: Сила доказательства Уайлса в том, что оно является не просто формально-логическим рассуждением. А представляет широкий и мощный метод. Это творение представляет собой не отдельный инструмент для доказательства одного отдельно взятого результата, а прекрасный набор хорошо подобранных инструментов, позволяющий «раскалывать» самые разнообразные задачи. Великие задачи Проблема Кука (сформулирована в 1971 году) Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения. Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки. Эта проблема также является одной из нерешенных задач из области логики и информатики. Ее решение могло бы революционным образом изменить основы криптографии, используемой при передаче и хранении данных. 2. Гипотеза Римана (сформулирована в 1859 году) Некоторые целые числа не могут быть выражены как произведение двух меньших целых чисел, например 2, 3, 5, 7 и так далее. Такие числа называются простыми и играют важную роль в чистой математике и ее приложениях. Распределение простых чисел среди ряда всех натуральных чисел не подчиняется никакой закономерности. Однако немецкий математик Риман высказал предположение, касающееся свойств последовательности простых чисел. Если гипотеза Римана будет доказана, то это приведет к революционному изменению наших знаний в области шифрования и к невиданному прорыву в области безопасности Интернета. 3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (сформулирована в 1960 году) Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным. 4. Гипотеза Ходжа (сформулирована в 1941 году) В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов. 5. Уравнения Навье - Стокса (сформулированы в 1822 году) Если плыть в лодке по озеру, то возникнут волны, а если лететь в самолете, в воздухе возникнут турбулентные потоки. Предполагается, что эти и другие явления описываются уравнениями, известными как уравнения Навье - Стокса. Решения этих уравнений неизвестны, и при этом даже неизвестно, как их решать. Необходимо показать, что решение существует и является достаточно гладкой функцией. Решение этой проблемы позволит существенно изменить способы проведения гидро- и аэродинамических расчетов. 6. Проблема Пуанкаре (сформулирована в 1904 году) Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Доказать, что односвязна только сфера, оказалось настолько трудно, что математики ищут правильный ответ до сих пор. 7. Уравнения Янга - Миллса (сформулированы в 1954 году) Уравнения квантовой физики описывают мир элементарных частиц. Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из уравнений Янга - Миллса следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц. Ссылки: http://www.myshared.ru/slide/165060/ http://ppt4web.ru/geometrija/teorema-pifagora2.html http://e-libra.ru/read/164606-velikaya-teorema-ferma.html http://www.kabanik.ru/page/seven-of-the-great-mathematical-problems
