Закон Био-Савар-Лапласа

ЗАКОН БИО-САВАР-ЛАПЛАСА.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ.
Силовыми характеристиками магнитного поля служат напряженность магнитного
поля и индукция магнитного поля или магнитная индукция. Связь между этими
характеристиками определяется выражением:
B   0 H (1)
Здесь  - магнитная проницаемость вещества (для вакуума и воздуха  = 1);0 – магнитная
постоянная (0 = 4.10-7 Гн/м), B – индукция магнитного поля или магнитная индукция, H
– напряженность магнитного поля. Определение магнитной индукции подчиняется закону
Био–Савара–Лапласа. Французские ученые, экспериментально исследуя магнитное поле
выяснили, что магнитная индукция зависит от геометрии проводника и прямо
пропорциональна величине силы тока в проводнике и обратно пропорциональна
расстоянию от проводника до точки, в которой измерялась индукция магнитного поля, а
Лаплас математически обобщил экспериментальные данные.
Векторный закон Био–Савара–Лапласа имеет вид:
dB 
  dlr  I
4
0
r
3
(2),
где dB – магнитная индукция поля (индукция магнитного поля), создаваемого элементом
проводника с током; dl – вектор, равный по модулю dl проводника и совпадающий по
направлению с током (элемент проводника); I – сила тока в проводнике; r – радиусвектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в
которой определяется.
В зависимости от геометрии проводника закон Био-Савара-Лапласа принимает
следующие конкретные выражения.
Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длинным прямым
проводником с током, на расстоянии r от проводника определяется соотношением:
r
I
B
 0 I
2 r
(3)
Магнитная индукция в центре кругового проводника радиуса R с током I равна
I
R
B
 0 I
2 R
(4)
1
Магнитная индукция поля, создаваемого проводником с током при
несимметричном положении точки, находящейся на кратчайшем
расстоянии r0 от проводника, в которой определяется магнитная
1
индукция, определяется формулой:
 0 I
(5)
cos  1  cos  2 
B
r0
I
4 r0
2
При симметричном расположении концов проводника относительно точки, в
которой определяется магнитная индукция,  сos 2  cos1  cos  , и, следовательно

I
r0
B
 0 I
cos 
2 r0
(6)

Магнитная индукция поля, создаваемая соленоидом в средней его части
N
I
L
или тороидом на его оси определяется формулой:
(7),
B   0 nI
N
где n 
(8),
L
n – количество витков соленоида или тороида на единицу длины.
В случае тороида
(9).
L  2R
R
I
2
Если магнитное поле создается несколькими источниками или несколькими
проводниками с током, то результирующая магнитная индукция определяется по
принципу суперпозиции как векторная сумма магнитных индукций каждого
проводника с током:
N
B   Bi
(10)
i 1
Направление магнитной индукции поля совпадает с касательной к силовым линиям
магнитного поля. Силовые линии магнитного поля – замкнутые концентрические
окружности, центр которых лежат на оси проводника с током. Направление силовых
линий определяется по правилу буравчика (или обычного винта с правой резьбой):
буравчик при закручивании надо вращать таким образом, чтобы его поступательное
движение совпадало с направлением силы тока. Тогда направление вращения
буравчика покажет направление силовой линии магнитного поля.
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
При решении задач на данную тему надо пользоваться общей методикой решения
задач, но существуют тонкости, которые необходимо учитывать в этом разделе
электромагнетизма. Порядок решения задач на нахождение индукции или
напряженности магнитного поля от одного или нескольких источников магнитного
поля следующий.
1. Записать условия задачи кратко и перевести все численные данные в единую
систему единиц.
2. Нарисовать рисунок. При этом следует помнить, что индукция или
напряженность магнитного поля – величины векторные, которые
характеризуются как величиной, так и направлением.
3. Для изображения вектора магнитной индукции или напряженности магнитного
поля необходимо нарисовать силовые линии магнитной индукции, проходящие
через точку пространства, в которой необходимо определить магнитную
индукцию, и изобразить их направление по правилу буравчика.
4. Вектор магнитной индукции, так же как и вектор напряженности поля будет
совпадать с касательной к силовым линиям в данной точке.
5. Если поле создается несколькими проводниками с током или несколькими
частями проводника с током, имеющим сложную геометрию, то
результирующую магнитную индукцию или напряженность следует искать по
принципу суперпозиции как векторную сумму всех напряженностей или
магнитных индукций поля..
6. Величину каждой магнитной индукции или напряженности определяют апо
закону Био-Савара-Лапласа в соответствии с геометрией проводника.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном
направлении токи I1 = 60 А и I2 = 30 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от
друга в воздухе . Определить магнитную индукцию B в точках:
1) А1, расположенной между проводниками с током на расстоянии d/2 от каждого
из них;
2) А2, расположенной на расстоянии d/2 от проводника с током I1 и на расстоянии
3d/2 от проводника с током I2;
3) А3,, расположенной на расстоянии R1 = 5 см от первого тока и на расстоянии R2
= 12 см от второго тока.
3
I1 = 60 А
I2 = 30 А
R1 = 5 см = 5.10-2 м
R2 = 12 см = 12. 10-2 м
d = 10 см = 10-1 м
Найдем магнитную индукция в точке А1.
Для этого нарисуем рисунок.
B2
y
I1
I2
+
A1
+
B=?
B1
Согласно принципу суперпозиции
d
B = B1 + B2
В проекции на выбранную ось y это уравнение примет вид:
B = B2 – B1.
прямого бесконечно длинного провода
 I
B1  0 1
2 d
2
 I
B2  0 2
2 d
2
 2I
 2I

B  B2  B1  0 2  0 1  0 I 2  I 1 
2 d
2 d
d
Подставив численные значения величин, получим значение магнитной
индукции в точке А1..
B = - 120 мкТл
Знак минус означает, что направление результирующей магнитной индукции
противоположно выбранной оси y.
Найдем магнитную индукция в точке А2
d
B1
y
B2
+
I2
+
A2
I1
d/2
d
По принципу суперпозиции магнитная индукция в точке А2 равна
B = B1 + B2,
а в проекции на ось y это уравнение примет вид:
B = B1 + B2.
4
Величина магнитной индукции от первого и второго тока определяется по закону
Био-Савара-Лапласа для прямого бесконечно длинного проводника с током:
 I
B1  0 1
2 d
2
 I
B2  0 2
2 3d
2
 2I
 2I
 
I 
B  B1  B2  0 1  0 2  0  I 1  2 
2 d
2 3d d 
3
Подставив численные значения величин, получаем:
B=200 мкТл.
Найдем магнитную индукция в точке А3.
d
y
I1
I2
+
+
r1
B

r2
B1
B2
 
A2
По принципу суперпозиции результирующая магнитная индукция равна векторной
сумме магнитных индукций:
B = B1 + B2
Модуль результирующей магнитной индукции можно получить по теореме
косинусов:
B 2  B12  B22  2 B1 B2 cos  ,
где  - угол между векторами B1 и B2. Cos  из геометрического треугольника:
d 2  r12  r22  2r1 r2 cos   
Величины каждой магнитной индукции получим из закона Био-Савара-Лапласа для
прямого бесконечно длинного проводника с током:
 I
B1  0 1
2 r1
 I
B2  0 2
2 r2
5
2
2
 I 
 I 
  I   I 

B   0 1    0 2   2 0 1  0 2  cos   0
2
 2 r1 
 2 r2 
 2 r1  2 r2 
I 12 I 22 2 I 1 I 2 (d 2  r12  r22 )


r1 r2
2r1 r2
r12 r22
Подставив численные значения, получим:
B=
Задача 2. Длинный провод с током I = 50 А изогнут под углом =2/3 и находится в
воздухе. Определить магнитную индукцию в точке А1, находящуюся на продолжении
одной из сторон угла на расстоянии d = 5 см от его вершины, и в точке А2,, находящейся
на биссектрисе угла на расстоянии d = 5 см от его вершины.
Для определения индукции магнитного поля в
точке А1 нужно разбить фигуру на два участка 1
А2
и 2. По принципу суперпозиции результирующая
1
магнитная индукция будет равна векторной

d
r0
сумме магнитных индукция от первого и второго
участков провода:
А1 d
2
B  B1  B2
Магнитная индукция В2 = 0, как следует из закона Био-Савара-Лапласа ,согласно
которому в точках, лежащих на оси проводника dВ = 0 ( dI  r  0 ).Магнитную индукцию
B2 найдем, воспользовавшись формулой закона Био-Савара-Лапласа для проводника
конечной длины с несимметричной точкой, в которой ищем магнитную индукцию,
 0 I
cos  1  cos  2 
B
4 r0
Для этого надо найти величину r0 – кратчайшего расстояния от точки до проводника.
r0  d sin   2  d sin 
3
3
,  2  2
1  0
3
Для точки А1 магнитная индукция равна:
 0
 0
I
I
B
cos 0  cos 2

1  cos 
3
3


4 d sin
4 d sin
3
3
B = 17 мТл.
Найдем магнитную индукцию в точке А2. По принципу суперпозиции В = В1 + B2/
По правилу буравчика магнитная индукция будет лежать вдоль прямой,
перпендикулярной плоскости чертежа, и направлена на нас.
 0 I

cos  11  cos  21   0 I cos  12  cos  22  
B  B1  B 2 
4 r01
4 r02

 





 
 
 

 
  

 0
 0
I
I
cos 0  cos 2

cos   cos  
3
3
4 d sin 
4 d sin 
3
3
 

 
  
 
   
 0
 0
I
I
1  cos   cos   1 
cos   1
3
3
3
4 d sin 
2 d sin 
3
3
 
B = 35 мТл.
6
 
 
Задача3.Бесконечно длинный проводник, находящийся в воздухе, изогнут так, как это
показано на рисунке. Радиус дуги R = 10 см. Определить магнитную индукцию поля,
создаваемого в точке О током I = 80 А, текущем в этом проводнике.
I = 80 А
1
R = 0,1 м
B=?
R
2
3
I
Рисунок
Для решения задачи разделим проводник на три участка. Тогда по принципу
суперпозиции результирующая индукция поля будет равна векторной сумме магнитных
индукций от каждого участка. Применив правило буравчика для каждого участка
проводника можно увидеть, что все они направлены вдоль прямой, перпендикулярной
плоскости чертежа на нас и следователь векторное сложение можно заменить скалярным
сложением: B = B1 + B2 + B3 Причем B3 = 0 (см. предыдущую задачу).Найдем индукцию
магнитного поля для каждого участка
 0 I



cos  1  cos  2   0 I cos 0  cos  2  0 1  0  0 I
B1 
4 R
4 R
4
4 R
1  0 I  0 I
B2 

2 2 R
4 R
 0 I  0 I  0  1   
B




4 R
4 R 4R   
B = 4,14 мкТл.
Задача 4.По тонкому проводящему кольцу, находящемуся в воздухе, радиуса R =
10 см течет ток I = 80 А. Найти магнитную индукцию в точке А, Равноудаленной от
всех точек кольца на расстояние, а = 20 см.
R = 0,1 м
Для решения задачи воспользуемся законом Био-Савара-Лапласа:
 0 I dIr 
I = 80 А
,
dB 
4 r 3
а = 0,2 м
где dB – магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в
точке, определяемой радиусом-вектором r.
B=?

 
7
Выделим на кольце элемент dI и от
dB2
dB
dB1
а
R
r


I
dI
него в точку А проведем радиусвектор r. Вектор dB направим в
соответствии с правилом
буравчика.
Согласно принципу суперпозиции
Магнитных полей, магнитная
индукция B в точке А определяется
интегралом
B   dB ,где L  2R
L
Разложим вектор dB на две
составляющие: перпендикулярную
плоскости кольца dB2 и
параллельную этой плоскости dB1.
Тогда
B   dB1   dB 2
L
Заметив, что
 dB
1
L
 0 из соображений симметрии и что dB2 от различных элементов dl
L
сонаправлены, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:
2R
 0 Idl
B   dB2   dB cos   
4 r 2
L
0
(поскольку dl перпендикулярен r и, следовательно sin   1 ). Таким образом,
2R
 0 I
 0 I cos  2R
B
cos

dl

0
4 r 2
4r 2
R
R
r  R 2  a 2 ; r 2  R 2  a 2 ; cos   
r
R2  a2
Окончательно получим
B
 0 IR 2
 0 IR 2

3
2R 2  a 2  R 2  a 2  2R 2  a 2  2
Подставив численные значения, получим
B = 6,3 мкТл.
8
Задача 5.Определить магнитную индукцию поля, созданного соленоидом длиной L=5 см и
радиусом витка R =2 см , в точке, отстоящей от конца соленоида на расстояние а = 0,5
см, если по соленоиду протекает ток I = 50 А.Cоленоид имеет N =20 витков.
R = 0,02 м = 2.10-2 м
dL
L = 0,05 м = 5.10-2 м
. -3
а = 0,005 м = 5 10 м
I = 50 А
2
R
А
d
1
1
а
L
Рассчитаем магнитную индукцию в точке А.Для этого выберем на соленоиде
элемент dL, содержащий n = N/L витков на единицу длины. При токе I его можно
рассматривать как круговой ток IndL, для которого магнитная индукция равна (см.
предыдущую задачу):
 0 IR 2 ndL
dB 
,
3
2
2 2
2R  a 
так как
R2
Rd 
L  Rctg , dL  
и R 2  a 2  
sin 
sin 2 
Окончательно получаем:

 0 IN 2
 0 IN
cos  2  cos  1  ,
B
sin d 

2 L 1
2L
где сos 1 
R
L  a 
и  cos  2  cos   2  
 R2
Подставив численные значения, получим B = 2,5 мТл.
2
R
R  a2
2
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Определить магнитную индукцию в центре витка, находящегося в воздухе, с током
40 А, если диаметр витка 20 см.
2. На сколько отличается напряженность магнитного поля, созданного круглой
петлей, длиной 628 см, в центре петли и прямым проводником той же длины в
точке, равноудаленной от концов проводника, на расстоянии, равном радиусу
петли, если они находятся в воздухе. По петле и проводнику проходит одинаковый
ток, равный 50 А.
3. По проводу, согнутому в виде кольца, находящегося в воздухе, радиусом 1 м, течет
ток 1 А. Найти напряженность и индукцию магнитного поля:
a. в центре кольца;
b. в точке, лежащей на перпендикуляре к плоскости кольца, восстановленном
из его центра на расстоянии 200 см от цетра кольца.
9
4. По теории Бора электрон в атоме водорода двигается вокруг ядра по круговой
орбите, радиус которой 5,3.10-9 см. Определить, какое магнитное поле возникает
при этом в центре орбиты, если скорость движения электрона равна 106 м/с, а
величина заряда электрона составляет 1,6.10-19 Кл.
5. По тонкому проводнику, изогнутому в виде правильного треугольника со стороной
10 см идет ток 2 А. Определить индукцию и напряженность магнитного поля в
центре треугольника, учитывая, что треугольник находится в воздухе.
6. Тонкий проводник, имеющий форму равнобедренного прямоугольного
треугольника с катетом 0,2 м, находится в воздухе. По нему течет ток 4 А.
Определить магнитную индукцию поля, созданного проводником в точках:
1. в середине гипотенузы;
2. в вершине прямого угла треугольника.
7. Тонкий проводник имеет форму квадрата со стороной 0,5 м, по которому течет ток
5 А. Определить напряженность магнитного поля, созданного проводником, в
точке пересечения диагоналей.
8. Проводник, согнутый в виде прямоугольника со сторонами, а = 0,2 м, b = 0,4 м,
находится в воздухе. По нему течет ток I = 2 А. Определить индукцию магнитного
поля, созданного проводником в точке пересечения диагоналей.
9. Находящийся в воздухе, тонкий проводник согнут в виде правильного
шестиугольника со стороной 0,8 м, по которому течет ток 0,5 А. Определить
индукцию магнитного поля, созданного проводником, в центре шестиугольника.
10. По бесконечно длинному прямому проводу, согнутого под углом 1200, течет ток 30
А. Определить напряженность магнитного поля в точке лежащей на биссектрисе
угла и удаленной от вершины на расстояние 6 см. Чему будет равна напряженность
в указанной точке, если угол изгиба уменьшится в 2 раза?
11. Чему равна напряженность поля, созданного бесконечно длинным прямым
проводом, находящимся в воздухе и согнутым под углом 600, в точке, лежащей на
продолжении одной из сторон на расстоянии 6 см от его вершины, если по
проводнику течет ток 30 А?
12. По проводнику, изогнутому в виде окружности, течет ток. Напряженность
магнитного поля в центре окружности 20 А/м. Не изменяя силы тока в проводнике,
ему придали форму квадрата. Определить напряженность магнитного поля в точке
пересечения диагоналей этого квадрата
13. Определить индукцию и напряженность магнитного поля, созданного соленоидом,
намотанным на картонный каркас ( = 1) в точке, лежащей на оси соленоида на
середине его длины, которая в 4 раза больше его радиуса. Обмотка соленоида
содержит один слой плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром
0,2 мм (толщиной изоляции пренебречь). По соленоиду протекает ток 20 А.
14. Обмотка соленоида, длина которого значительно больше его диаметра, содержит
два слоя плотно прилегающих друг к другу витков провода диаметром 0,5 мм.
Определить напряженность магнитного поля на оси соленоида, если по проводу
идет ток 0,5 А.
15. Два одинаковых витка радиусом 0,5 м расположены вертикально и горизонтально
так, что их центры совпадают. По ним протекают токи 5 А и 10 А соответственно.
Определить величину и направление к вертикали результирующего вектора
напряженности магнитного поля в центре витков. Магнитное поле Земли не
учитывать.
10
16. По двум параллельным проводам, находящимся в воздухе текут в одинаковых
направлениях токи 3 А и 5 А. Определить напряженность и индукцию магнитного
поля в точке, удаленной от первого провода на 12 см и от второго на 16 см.
Расстояние между проводами равно 0,3 м. Решить задачу в случае, если токи текут
в противоположных направлениях.
17. Тонкий диск из диэлектрика, радиус которого равен 90 см, равномерно заряжен
количеством электричества 3 Кл. Диск вращается вокруг оси, проходящей через
его центр и перпендикулярной плоскости диска, делая 180 об/мин. Определить
индукцию магнитного поля в центре диска (опыт Эйхенвальда).
18. Ток течет по проволочному кольцу радиусом 20 см, сделанному из медной
проволоки (удельное сопротивление меди  = 1,7.10-8 Ом.м) и создает в центре
кольца магнитное поле напряженностью 4,6 А/м. Какая разность потенциалов
приложена к концам проволоки?
19. Два бесконечно длинных прямых провода с токами по 1 А скрещены под прямым
углом так, что кратчайшее расстояние между ними 10 см. Найти напряженность
магнитного поля в точке, удаленной от каждого проводника на 10 см, и в точке,
находящейся посередине между проводниками.
20. По плоскому контуру,
R
находящемуся в воздухе и
представляющему собой
O
согнутый как показано на
рисунке, бесконечно длинный
проводник, течет ток 10 А.
I
Определить индукцию
магнитного поля в точке О. Радиус изогнутой части равен 20 см.
21. Вычислить напряженность магнитного поля, создаваемого отрезком АВ
прямолинейного проводника с током 20 А, в точке С, расположенной на
перпендикуляре к середине этого отрезка на расстоянии 5 см от него. Отрезок АВ
виден из точки С под углом 600.
22. Тонкий проводник согнут в виде ромба со стороной 0,6 м и острым углом 600. По
проводнику течет ток 5 А, создавая магнитное поле. Найти напряженность
магнитного поля в точке пересечения диагоналей ромба.
23. К вершинам А и В проволочного ромба АВСД, находящегося в воздухе, подведены
провода от источника (см. рисунок). Амперметр показывает ток 5 А. Ветвь АСВ
сделана из провода, диаметр которого вдвое больше
диаметра провода АДС (d1 = 2d2). Сторона
А
ромба равна 0,6 м, угол САД = 600. Найти
магнитную индукцию в точке
А
пересечения диагоналей ромба.
24. Тонкое кольцо, внешний радиус которого
r1 = 60 см, а внутренний r2 = 30 см,
из диэлектрика равномерно заряжен
Д
С
количеством электричества q = 3Кл.
Кольцо вращается вокруг оси, проходящей
через его центр и перпендикулярной
В
плоскости кольца, делая n = 180 об/мин,
и находится в воздухе. Определить
магнитную индукцию в центре кольца.
25.
11
25. Два круговых витка, первый радиусом r1 =2см и второй радиусом r2 = 3 см,
расположены в параллельных плоскостях так, что прямая, соединяющая их центры,
перпендикулярна этим плоскостям. По второму витку проходит ток I2 = 1 А. Какой
ток должен проходить по первому витку, чтобы магнитная индукция в точке,
лежащей на оси витков на равном расстоянии от их центров, было равно нулю?
26. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I1 = 3,14 А. Круговой
виток расположен так, что плоскость витка параллельна прямому проводнику, а
перпендикуляр, опущенный на него из центра витка, является нормалью и к
плоскости витка. По витку проходит ток I2 = 3А. Расстояние от центра витка до
прямого проводника равно d = 20 см. Радиус витка r = 30 см. Найти магнитную
индукцию в центре витка, если провод и виток находятся в воздухе.
27. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток I1 = 2 А. Проводник
изогнутый в виде квадрата со стороной а = 30 см расположен так, что плоскость
квадрата параллельна прямому проводнику, а перпендикуляр, опущенный из
центра квадрата является нормалью к проводнику. Расстояние от центра квадрата
до проводника равно d = 30 см. По квадрату течет ток I2 = 4 А. Определить
напряженность магнитного поля, созданного проводником и квадратом в центре
квадрата.
28. Прямой бесконечно длинный проводник, по которому протекает ток I1 = 3,14 А, и
круговой виток, плоскость которого параллельна проводнику, а перпендикуляр,
опущенный на проводник из центра витка, является и перпендикуляром к
проводнику. Расстояние от центра витка до прямого проводника равно радиусу
витка d = r = 30 см. Найти, какой ток I2 должен протекать по витку, чтобы в его
центре магнитная индукция была направлена под углом  = 600 к оси витка, если
виток и проводник находятся в воздухе.
29. Ток силы I = 6,28 А циркулирует в
контуре, имеющем форму
равнобочной трапеции (см.
рисунок). Отношение оснований
L
трапеции равно 2,00. Найти
А
I
I
магнитную индукцию в точке А,
лежащей в плоскости трапеции.
Меньшее основание трапеции L =
100 мм, расстояние b = 50,0 мм.
b
Трапеция находится в воздухе.
30. По плоскому контуру, изогнутому
по контуру, изображенному на рисунке, из
тонкого провода течет ток I = 100 А.
Определить магнитную индукцию поля,
создаваемого этим током в точке О, если R = 10
см. Контур находится в воздухе.
12