Авторы: Шахов В. Г., Ляскин А. С. Механика жидкости и газа в аэрокосмической технике Введение ....................................................................................................................................................................................................... 1 1. Сведения о свойствах жидкостей и газов ....................................................................................................................................... 3 2. Основные сведения из кинематики жидкости и газа ................................................................................................................... 6 3. Уравнение неразрывности ................................................................................................................................................................ 11 4. Основы динамики жидкости и газа ................................................................................................................................................ 14 5. Сжимаемые и несжимаемые течения............................................................................................................................................. 21 6. Потенциальные течения .................................................................................................................................................................... 25 7. Вязкие течения и пограничный слой ............................................................................................................................................. 37 8. Аэродинамические характеристики профилей и крыльев конечного размаха .................................................................. 45 в несжимаемом потоке ........................................................................................................................................................................... 45 9. Изоэнтропические течения ............................................................................................................................................................... 58 10. Теория скач ков упло тнения............................................................................................................................................................ 64 11. Потенциальные течения идеального сжимаемого газа........................................................................................................... 71 12. Аэродинамические характеристики профилей и крыльев конечного размаха ................................................................ 77 в дозвуковом и свер хзвуковом потоках............................................................................................................................................. 77 13. Интерференция частей летательных аппаратов ........................................................................................................................ 91 14. Свер хзвуковой по граничный слой и аэродинамический нагрев ......................................................................................... 95 15. Аэродинамика разреженных газов ............................................................................................................................................. 102 Дополнительная литература ............................................................................................................................................................... 108 Введение Механика жидкости и газа, как и всякая наука, возникла и развивается в соответствии с потребностями практики. Отвечая запросам древних кораблестроителей, Архимед (287-212 гг. до н. э.) сформулировал законы плавания и устойчивости плавающих тел. Строительство каналов, плотин, шлюзов, фонтанов, дальнейшее развитие судостроения и мореплавания в XVII-XVIII вв. cлужило серьезным стимулом для развития гидромеханики. Именно в это время появились фундаментальные работы членов Петербургской академии наук Д. Бернулли (17001782) и Л. Эйлера (1707-1783). Бернулли ввел термин «гидродинамика», и его книга, вышедшая в свет в 1738 г., так и называлась. Эйлер вывел общие уравнения движения невязкой жидкости, которыми мы пользуемся и в настоящее время. Зарождение и развитие авиации в конце XIX и начале XX вв. Обусловили расширение работ по аэродинамике летательных аппаратов. И здесь прежде всего следует упомянуть профессора Н. Е. Жуковского (1847-1921). Формулы и профили Жуковского и теперь играют большую роль в аэродинамике. В связи с практическими проблемами повышения скорости полета самолетов, а затем и новых типов летательных аппаратов (ЛА) – ракет различного назначения, в середине XX столетия наступил период быстрого развития газовой динамики. При этом основополагающую роль в теории сыграла опубликованная в 1903 г. работа С. А. Чаплыгина (1869 - 1942) о газовых струях. Не имея достаточного места для подробного изложения истории развития механики жидкости и газа, ограничимся лишь перечислением фамилий отечественных и зарубежных исследователей, внесших существенный вклад. Это, кроме упомянутых выше, И. Ньютон, Ж.-Б. Лагранж, Г. Гельмгольц, Г. Кирхгоф, И. С. Громека, В. Кутта, Ф. В. Ланчестер, Л. Прандтль, Т. Карман, А. Буземан, Л. Крокко, М. А. Лаврентьев, М. В. Келдыш, Л. И. Седов, Н. Е. Кочин, С. А. Христианович, Л. Г. Лойцянский, А. А. Дородницын, Г. И. Петров и многие другие. Все материальные тела, в соответствии с молекулярно-кинетической теорией, имеют дискретное строение, состоящее из отдельных частиц (молекул, атомов и т. д.). Изучение движения всех этих частиц представляет колоссальные трудности даже с использованием современных суперЭВМ. Однако, в малых, по сравнению со всей исследуемой областью, объемах содержится очень большое число таких частиц. Это позволяет рассматривать некоторые осредненные свойства материальных сред как непрерывные функции пространственных координат и времени, что составляет суть гипотезы сплошности и позволяет исследовать движение таких сред средствами математического анализа, опирающегося на понятие непрерывных функций. Раздел теоретической механики, занимающийся изучением движения сплошных сред, называют механикой сплошных сред, а часть ее, относящаяся к жидким и газообразным средам, – механикой жидкости и газа. Изучение прикладных задач, связанных с движением жидкостей, составляет предмет гидродинамики, движение воздуха изучает аэродинамика, а движение различных газов – газовая динамика. При решении задач механики жидкости и газа (МЖГ), также как и задач теоретической механики, используют точные и приближенные математические приемы интегрирования основных дифференциальных уравнений, выражающих законы сохранения при движении жидкостей и газов. Значительная сложность явлений при этих движениях вынуждает широко использовать экспериментальные методы исследования. Обобщения результатов этих исследований приводит к эмпирическим, а иногда и полуэмпирическим теориям. При этом теория учит, как ставить эксперимент, как наиболее точно проводить измерения и, что особенно важно, как обобщать результаты отдельных экспериментов на целые классы явлений и устанавливать управляющие ими общие количественные закономерности. 1. Сведения о свойствах жидкостей и газов Основной механической характеристикой жидкости или газа является их плотность. Плотностью ρ называется масса жидкости или газа, заключенная в единице объема. В случае однородной жидкости или газа массой M в объеме W их плотность определяется формулой M . W (1) Удельным или объемным весом γ называют вес единицы объема жидкости или газа G , W (2) где G – вес жидкости или газа в объеме W. Связь между удельным весом γ и плотностью ρ с учетом очевидного равенства G = gM имеет вид G gM g . (3) Здесь и далее g – ускорение свободного падения тел. Если жидкости или газы неоднородны, то формулы (1) и (2) определяют лишь средние значения удельного веса или плотности в данном объеме. Для определения локального значения γ и ρ в рассматриваемой точке, занятой жидкостью или газом, следует рассматривать малый объем ΔW, масса и вес которого ΔM и ΔG соответственно, и находить пределы соответствующих отношений, когда объем стягивается в точку, т. е. lim W 0 M и W lim W 0 G , W (4) тогда как связь между ними остается прежней (3). Вязкость представляет собой свойство жидкостей или газов сопротивляться сдвигу или скольжению их слоев. Это свойство проявляется в том, что в жидкостях или газах при определенных условиях возникают касательные напряжения. Вязкость жидкостей – свойство, противоположное текучести: более вязкие жидкости (глицерин, смазочные масла и др.) являются менее текучими и наоборот. Согласно гипотезе, высказанной впервые И. Ньютоном в 1686 г., касательное напряжение в жидкости зависит от рода жидкости и характера течения и при слоистом течении изменяется прямо пропорционально так называемому поперечному градиенту скорости. В случае плоской безграничной стенки касательное напряжение η вычисляется по формуле du , dy (5) где μ – динамический коэффициент вязкости жидкости или газа; u – скорость жидкости или газа вдоль плоской безграничной стенки; y – пространственная координата, направленная нормально к плоской безграничной стенке. В случае произвольного течения соотношение (5) усложняется. Наряду с коэффициентом вязкости μ применяют еще так называемый кинематический коэффициент вязкости ν, равный . (6) Вязкость жидкостей уменьшается с ростом температуры, тогда как вязкость газов, наоборот, с повышением температуры возрастает. Объясняется это различием природы вязкости в жидкостях и газах. В газах вязкость обусловлена главным образом беспорядочным тепловым движением молекул, интенсивность которого увеличивается с температурой, приводя к возрастанию вязкости. В жидкостях вязкость вызывается силами молекулярного взаимодействия, которые с увеличением температуры уменьшаются, вызывая падение вязкости. Из других общих для газов и жидкостей свойств отметим их сжимаемость и температурное расширение. Сжимаемость или свойство тел изменять свой объем под действием давления наиболее ярко выражено у газов. Для них это свойство проявляется в том, что под действием сравнительно небольших давлений происходит заметное изменение плотности. В жидкостях при достаточно больших давлениях, имеющих место в различных устройствах, плотность настолько незначительно изменяется, что ее можно считать постоянной. Поэтому в большинстве случаев жидкости считаются несжимаемыми. Температурное расширение представляет собой свойство изменения объема при изменении температуры. В жидкостях это свойство проявляется слабо, за исключением случаев, когда она занимает весь объем сосуда, который подвергается нагреву или охлаждению. Газы имеют значительно большее температурное расширение, но его существенное влияние также проявляется в определенных условиях, например, при изучении так называемых свободно конвективных течениях. Жидкости и газы отличаются друг от друга тем, что газы стремятся занять весь предоставляемый им объем, тогда как жидкости могут легко менять форму объема, величина которого остается практически неизменной. В связи с этим жидкости обладают рядом свойств, не присущих газам. Так в отличие от газов, в которых по определению давления могут существовать лишь сжимающие напряжения, внутри жидкостей сопротивление растяжению, в соответствии с молекулярной теорией, может быть весьма значительным. Однако при опытах с тщательно очищенной и дегазированной водой в ней были получены значительно более низкие кратковременные напряжения растяжения, а технически чистые жидкости, содержащие взвешенные твердые частицы и мельчайшие пузырьки газов, не выдерживают даже незначительных напряжений растяжения. Поэтому считают, что напряжения растяжения в жидкостях невозможны, и в механике жидкости и газа рассматривают только сжимающие напряжения. На поверхности жидкости действуют силы поверхностного натяжения, стремящиеся придать объему жидкости сферическую форму и вызывающие некоторое дополнительное давление в жидкости. Это давление заметно сказывается лишь при малых размерах или когда другие силы малы или отсутствуют. Так в трубках малого диаметра это дополнительное давление вызывает подъем (или опускание) жидкости относительно нормального уровня, называемый капиллярностью. Это обстоятельство требует учета, например в жидкостных манометрах. В условиях значительного понижения силы тяжести или в невесомости поверхностное натяжение совместно со степенью смачиваемости жидкостью твердых поверхностей определяет форму объема, занятого жидкостью, что имеет первостепенное значение для работы различных устройств на борту искусственных спутников. В зависимости от характеристик растекания жидкость считается смачивающей или несмачивающей. Смачивающая жидкость в отличие от несмачивающей растекается по поверхности. Степень смачиваемости жидкостью твердых поверхностей характеризует так называемый краевой угол – угол между касательными к поверхности жидкости и контактирующей с ней поверхностью твердого тела. Для смачивающей жидкости краевой угол меньше 90°. При значении краевого угла больше 90° жидкость не растекается. Наконец испаряемость свойственна всем жидкостям. Одним из показателей, характеризующих испаряемость жидкости, является температура ее кипения при нормальном атмосферном давлении. Чем выше температура кипения, тем меньше испаряемость жидкости. Более полной характеристикой испаряемости следует считать давление (упругость) насыщенных паров, зависящее от температуры. Чем больше давление насыщенных паров при данной температуре, тем больше испаряемость жидкости. В некоторых случаях при движении жидкости происходят явления, связанные с изменением агрегатного состояния жидкости, т. е. с превращением ее в пар, а также с выделением из жидкости растворенных в ней газов. Примером таких явлений может служить кавитация. 2. Основные сведения из кинематики жидкости и газа Для задания положения и движения жидкости или газа существуют два способа, известные еще Л. Эйлеру. Первый, широко используемый Лагранжем и связанный с его именем, заключается в задании текущих значений координат частиц жидкости или газа как функций времени t, т. е. совпадает с применяемым в кинематике системы материальных точек. Другой способ, являющийся основным в исследования Л. Эйлера по гидродинамике и по этой причине названный его именем, значительно шире распространенный, чем метод Лагранжа, заключается в задании поля исследуемых характеристик течения. Так поле скоростей вектора скорости V с проекциями u, v и w в декартовой системе координат (x, y, z) можно описать как u u ( x, y , z , t ) , v v ( x, y , z , t ) , w w( x, y, z, t ) , (7) или V V ( x, y, z, t ) . С математической точки зрения описанные методы задания движения жидкости или газа эквивалентны; всегда можно от одного метода задания движения перейти к другому. В дальнейшем будет удобнее пользоваться методом Эйлера и задавать движение в форме (7). Поле скоростей является однородным, если векторы скорости во всех точках поля одинаковы. Поле скоростей называют стационарным, если оно не меняется с течением времени ( V t 0 ), в противном случае – нестационарным. Для более наглядного представления полей физических величин используют специальные приемы. Скалярное поле разбивается поверхностями уровня скалярной функции. Примерами являются изотермы – поверхности одинаковой температуры. В векторных полях рассматривают так называемые векторные линии. В МЖГ при рассмотрении векторного поля скоростей такими линиями являются линии тока (рис. 1) т. е. линии, в каждой точке которой в фиксированный момент времени вектор скорости жидкости или газа направлен по касательной к ним. Условие параллельности вектора скорости V в данной точке и дифференциала dr (dx, dy , dz ) (рис. 1) вектор-радиуса r этой точки приводит к следующим дифференциальным уравнениям для линий тока: dx u ( x, y, z, t ) dy v( x, y, z, t ) dz , t w( x, y, z, t ) const . (8) Так как в соотношениях (8) время входит как параметр, эти соотношения можно рассматривать как систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений (третье – следствие остальных). Рис. 1 К определению линии тока Через каждую точку поля скоростей в данный момент времени можно, вообще говоря, провести линию тока и притом только одну. Существуют, одна ко, и такие – их называют особыми – точки поля скоростей, через которые проходят две или бесчисленное множество линий тока. В этих точках скорость либо равна нулю и их называют критическими точками, либо принимает бесконечно большие значения. От линий тока следует отличать траектории движения частиц жидкости или газа, определяемые как геометрическое место точек последовательных положений отдельных частиц в пространстве в следующие друг за другом моменты времени. Их дифференциальные уравнения известны из курса теоретической механики, и им можно придать вид dx u ( x, y, z, t ) dy v( x, y, z, t ) dz w( x, y, z, t ) dt . (9) Здесь в отличие от соотношений (8) для линий тока время t будет таким же независимым переменным как x, y, z. Если поле скоростей стационарно, то время t не будет входить в проекции скоростей, исчезнут они и из уравнений (9), и они совпадут с (8). Отсюда следует, что в стационарных полях скоростей траектории и линии тока в любой момент времени совпадают. Проводя в данный момент времени через точки замкнутого контура C (рис. 2) линии тока, получим поверхность тока, заключающую внутри себя часть жидкости, называемую трубкой тока. В любой точке поверхности тока вектор скорости V направлен по касательной к линии тока, поэтому жидкость или газ не проникает сквозь поверхность тока. На этом основании можно заключить, что любая непроницаемая поверхность, помещенная в движущуюся жидкость, совпадает с одной из поверхностей тока. Рис. 2 Трубка тока В кинематике абсолютно твердого тела, представляющего простейший пример сплошной среды, имеет место теорема Эйлера о разложении вектора скорости V любой точки тела произвольных размеров на составляющую V0 поступательного движения вместе с произвольно выбранным полюсом O и вращательную составляющую с вектором угловой скорости . Аналогичная по содержанию теорема, учитывающая возможные деформации среды и по этой причине ограниченная применением к бесконечно малому объему, устанавливается для любой сплошной среды, в частности для жидкости или газа. Это так называемая первая теорема Гельмгольца: скорости точек элементарного объема сплошной среды складываются из скоростей квазитвердого и деформационного движений. При решении обратной задачи теоретической механики, когда по заданному полю вектора скорости V устанавливается выражение вектора угловой скорости вращения тела , приходят к новому векторному полю вектора, именуемого ротором, или вихрем вектора скорости и обозначаемого символом rot V . В декартовой системе координат проекции этого вектора имеют вид (rot V ) x 1 2 w y v , (rot V ) y z 1 2 u z w , (rot V ) z x 1 2 v x u . y (10) Если для простоты бесконечно малый объем сплошной среды в некоторый момент времени выбрать в виде параллелепипеда, то его деформационное движение можно представить в виде суммы, вызывающей растяжение или сжатие сторон этого объема и скашивание первоначально прямых углов сторон параллелепипеда. Движение жидкости или газа, сопровождаемое вращением отдельных их элементарных объемов, при котором 1 rot V 2 0 , называют вихревым, а сам вращающийся объем (иногда его угловую скорость) – вихрем. Если движение элементарных объемов среды сводится только к поступательному и деформационному, то такое движение именуют безвихревым. 1 Векторному полю вектора соответствуют свои векторные rot V или rot V 2 линии, называемые вихревыми линиями, которые аналогично линиям тока являются линиями, в каждой точке которых в выбранный момент времени касательная совпадает по направлению с вектором или . Подобно поверхности тока строится вихревая поверхность, а ограниченную ею часть жидкости, участвующей во вращении, называют вихревой трубкой. В соответствие с второй теоремой Гельмгольца поток вектора или сквозь любое поперечное сечение вихревой трубки одинаков в данный момент времени вдоль всей трубки. Из второй теоремы Гельмгольца следует, что вихревые трубки не могут заканчиваться внутри жидкости или газа, так как при этом или должны были бы становиться бесконечными. Отсюда вихревые трубки могут иметь вид замкнутых колец, либо начинаться и оканчиваться на поверхностях раздела твердой поверхности и жидкости или жидкости и газообразной среды, либо один из концов вихревой трубки может уходить в бесконечность. Для нахождения вектора вихря или при экспериментальных исследованиях приходится прибегать к численному дифференцированию измеренных компонент вектора скорости в соответствие с формулами (10), что приводит к большим ошибкам. Теорема Стокса позволяет заменить интенсивность вихревой трубки, вычисляемой как поток вектора или сквозь любое поперечное сечение вихревой трубки, равной ей циркуляцией скорости по контуру, расположенному на поверхности вихревой трубки и один раз ее опоясывающему. Циркуляция вектора скорости V по произвольному контуру C (рис. 3) определяется криволинейным интегралом вдоль контура C: B AB A V dr . (11) В случае замкнутого (B → A), самого себя не пересекающего контура C циркуляция обозначается символом V dr . C (12) C Направление обхода контура C выбирается таким, чтобы ограниченная контуром поверхность оставалась при обходе слева. Рис. 3 К определению циркуляции скорости Вихревая трубка, заключающая внутри себя завихренные части жидкости, может быть окружена жидкостью, частицы которой не вращаются вокруг своих осей, а движутся поступательно по замкнутым, в том числе круговым траекториям. В этом случае для определения интенсивности вихревой трубки достаточно вычислить циркуляцию скорости по любому контуру, один раз охватывающему трубку. По измеренной циркуляции по замкнутому контуру в поле скоростей можно судить не о наличии или отсутствии внутри его вихревых трубок, а лишь о суммарной их интенсивности. Равенство нулю циркуляции скорости по замкнутому контуру не позволяет сделать заключение об отсутствии вихревых трубок, так как внутри этого контура могут быть вихревые трубки с различными направлениями вращения, которым соответствуют разные по знаку интенсивности. 3. Уравнение неразрывности В ньютоновской механике масса жидкого, т. е. состоящего во все время движения из одних и тех же частиц, объема сохраняет постоянную величину. Это положение называют законом сохранения массы. Масса элементарного объема жидкости или газа непосредственно следует из определения плотности среды (4) W, M (13) а масса M выделенного в среде конечного объема W находится интегрированием выражения (13) dW . M (14) W В соответствии с законом сохранения массы M const . W Отсюда, дифференцируя это соотношение по времени t, имеем d ( M) dt d ( dt W) d dt W d W dt 0. (15) Деля выражение (15) на ΔW и переходя к пределу при ΔW → 0, получаем d dt lim W 0 1 d( W ) W dt 0. (16) Второй член в уравнении (16) носит название скорости относительного объемного расширения среды в данной точке . lim W . , т. е. 1 d( W ) . W dt 0 (17) Вычисление скорости относительного объемного расширения среды по формуле (17) приводит к так называемой скалярной пространственной производной векторной функции вектора скорости V , обозначаемой как div V . Эта производная носит название дивергенции. В декартовой системе координат величина этой производной определяется формулой div V u x v y w . z (18) (Введенная ранее величина rot V является векторной пространственной производной той же векторной функции.) С учетом сказанного уравнение (16) принимает вид d dt div V 0. (19) С точки зрения Эйлера, наряду с заданием вектора скорости V в виде (7), аналогичное задание имеет место и для других параметров жидкости или газа. Поэтому плотность ρ является функцией времени t и пространственных координат x, y, z: ρ = ρ(x, y, z, t). В свою очередь, при движении жидкой частицы плотностью ρ происходит изменение ее пространственного положения, что необходимо учитывать при дифференцировании по переменной t. В соответствии с формулой дифференцирования сложной функции имеем d dt dx x dt t dy y dt dz . z dt (20) Используя кинематические соотношения (9) dx , v dt u dy , w dt dz , dt выражение (20) перепишем в виде d dt u t x v y w z . (21) Величина, стоящая в левой части соотношения (21), т. е. dρ/dt, носит название полной производной плотности по времени. Так как она характеризует изменение во времени плотности частицы жидкости или газа, то ее называют еще материальной или субстанциональной производной. Частная производная ∂ρ/∂t характеризует изменение плотности в единицу времени в данной точке пространства x, y, z и называется местной или локальной производной плотности. Последние три слагаемые в формуле (21) описывают изменение плотности, зависящее от движения частицы и называемые конвективной производной. Введем еще одну пространственную производную – векторную пространственную производную скалярной функции, – называемую вектором-градиентом, или кратко градиентом. На примере плотности в декартовой системе координат проекции этого вектора есть (grad ) x x , (grad ) y y , (grad ) z z . (22) Использование формулы скалярного произведения двух векторов три последних слагаемых в (21), т. е. конвективную производную, позволяет записать в форме u x v y w z V grad . (23) Тогда уравнение неразрывности (19) принимает вид t V grad div V 0. (24) Вспоминая формулу дифференцирования произведения двух функций и используя (18) и (23), сумму двух членов последних членов уравнения (24) можно представить как V grad div V ( u) x ( v) y ( w) z div( V ) , а уравнение неразрывности t div( V ) 0. (25) Уравнение (25) представляет собой другой вид уравнения неразрывности (19), в которой отсутствует индивидуальная производная плотности по времени. Если поле плотности стационарно (∂ρ/∂t = 0), уравнение неразрывности примет вид (26) div( V ) 0 , или в проекциях скорости в декартовых координатах ( u) x ( v) y ( w) z 0. (27) Наконец, в случае постоянной плотности (однородная несжимаемая среда) получим уравнение несжимаемости жидкости divV 0 или u x v y w z 0. (28) 4. Основы динамики жидкости и газа В динамике жидкости и газа рассматривают два вида действующих на частицы среды сил: объемные (иногда их еще называют массовыми) и поверхностные. Под объемными силами понимают силы, действующие на элементы объема, как, например, силы веса, тяготения, инерции, электростатического притяжения или отталкивания, силы действия магнитного и электрического поля на частицы среды. К поверхностным относят силы, которые действуют на элементы поверхности, ограничивающий объем, как, например, силы давления или силы внутреннего трения (вязкости) в среде. В качестве поверхности, ограничивающей объем среды, могут выступать любые поверхности, в том числе и мысленно проведенные внутри объема, занятого жидкостью или газом. В МЖГ имеют дело не с самими силами, а с их плотностями. Плотность распределения объемных сил f в данной точке среды равна пределу отношения вектора F сил, приложенных к точкам малого объема ΔW, заключающего в себе данную точку, к массе ΔM = ρΔW, когда объем ΔW стремится к нулю, сохраняя внутри себя рассматриваемую точку, т. е. f lim M 0 F M lim W 0 F . W Так как по закону Ньютона сила равна произведению массы тела на его ускорение, то в случае силы тяжести f g , где g – вектор ускорения свободного падения. Аналогично, поверхностные силы задаются вектором напряжения P , p lim S 0 S где P – главный вектор сил, приложенных со стороны среды к выделенной в ней малой площадке ΔS. Напряжения, как это следует из последнего соотношения, измеряют в Н/м2 . Отметим, что вектор f является однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т. е. образует векторное поле, тогда как вектор p принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентации площадки, к которой приложено напряжения, и, таким образом, векторного поля не образует. Отличая лицевую и тыльную стороны площадки ΔS, включающей рассматриваемую точку M жидкости или газа, проведем к лицевой стороне единичный вектор нормали n (рис. 4). Тогда вектор напряжения поверхностных сил, действующих на лицевую сторону площадки, будем обозначать как pn , индекс n у вектора напряжения указывает на то, что поверхностные силы приложены к лицевой стороне площадки с ортом нормали n . Наоборот, к тыльной стороне площадки, согласно закону действия и противодействия, будут приложены поверхностные силы, вектор напряжения которых есть pn . Рис. 4 К определению вектора напряжений Вырежем в движущейся среде элементарный тетраэдр MABC с вершиной в данной точке M, с основанием в форме треугольника ABC, образованного пересечением наклонной плоскости с тремя координатными плоскостями, и боковыми гранями, расположенными в координатных плоскостях (рис. 5). Обозначим площадь треугольника ABC через dSn, а площади треугольников BMC, AMC и AMB, представляющих собой проекции треугольника ABC на координатные плоскости, соответственно dSx , dSy, dSz, причем индексы x, y, z при этих площадках, также как и при напряжениях px , py , pz , приложенных к этим площадкам, обозначают оси, перпендикулярные площадкам. Рис. 5 К определению свойств вектора напряжений Напишем уравнение движения центра инерции системы жидких частиц, заполняющих рассматриваемый бесконечно малый тетраэдр. Пусть общая масса этой системы жидких частиц равна dM, а плотность поверхностных сил, принимаемая постоянной в бесконечно малом объеме, есть f , тогда V C dM f dM pn dSn px dSx p y dSy pz dSz , (29) где V C – вектор ускорения центра инерции тетраэдра. При последних трех членах в правой части уравнения (29) стоят знаки минус, так как ориентации боковых граней задаются ортами декартовой системы координат i , j , k , которые являются внутренними по отношению к поверхности тетраэдра. В уравнении (29) член слева и первое слагаемое справа являются величинами третьего порядка малости, так как они содержат элементы массы, пропорциональные объему dW. Остальные члены, содержащие элементы поверхности dSn, dSx , dSy, dSz, являются малыми второго порядка. Тогда, оставляя в уравнении (29) лишь малые второго порядка малости, будем иметь pn dSn px dSx p y dSy Так как dSn cos(n, x) pz dSz . (30) dSn cos(n, z ) nz dSn , где nx , ny, nz обозначают косинусы углов единичной нормали n с осями координат, после dSx nx dSn , dSy dSn cos(n, y) ny dSn , dSz сокращения обеих частей уравнения (30) на dSn получим выражение pn nx px ny py nz pz , (31) или в проекциях на оси декартовых координат, pnx nx pxx ny pyx nz pzx , pny nx pxy ny pyy nz pzy , pnz nx pxz ny pyz nz pzz . Вспоминая определение (32) напряжений px , p y , pz , отметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжениях pxx , pxy, … обозначает ось, перпендикулярно к которой ориентирована площадка dS, второй – ось, на которую спроектировано это напряжение. Например, pxz обозначает проекцию на ось z напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной к оси x. Величины с одинаковыми индексами pxx , pyy, pzz, представляющие проекции векторов напряжений px , p y , pz на нормали к соответствующим площадкам, называют нормальными напряжениями, а проекции pxy, pxz, … на оси, лежащие в плоскости площадок, – касательными напряжениями. Из соотношений (32) следует, что напряженное состояние в рассматриваемой точке пространства, занятого средой, описывается совокупностью девяти величин pxx p yx pzx pxy p yy pzy . (33) pxz p yz pzz Эти соотношения обладают определенными свойствами, что позволило связать их с тензором напряжений P, компоненты которого определяются таблицей pxx pxy pxz P p yx p yy p yz . (34) pzx pzy pzz В большинстве жидкостей и газов отсутствуют объемные и поверхностные пары сил. Если записать уравнение равенства нулю главного момента приложенных сил к тетраэдру MABC, взятому в таких средах, то можно показать, что pxy pyx , pxz pzx , pyz pzy . Равенства (35) выражают (35) теорему о взаимности касательных напряжений и устанавливают факт, что компоненты тензора напряжений не зависят от порядка индексов, а это означает симметричность тензора напряжений. Таким образом, из девяти компонент тензора напряжений различными яв ляются только шесть и можно менять порядок индексов при компонентах тензора напряжений, т. е. для таких сред таблицы (33) и (34) выражают компоненты одного и того же тензора. Выделим в жидкости произвольный конечный жидкий объем W (рис. 6). Если dW – элемент объема, содержащий точку M со скоростью V , то вектор его количества движения dK равен dK V dW , а главный вектор количества движения во всем объеме W определяется как K V dW . W (36) Рис. 6 К выводу уравнения количества движения жидкого объема Главные векторы внешних объемных и поверхностных сил будут соответственно равны f dW и (37) pn dS . W S Тогда в соответствие с теоремой об изменении количества движения и с учетом соотношений (36) и (37) приходим к равенству d V dW dt W d dt W f dW W pn dS . (38) S Преобразуем левую часть последнего равенства d d dV V dW ( V dW ) dW V ( dW ) . dt dt W dt W W Последний интеграл по условию сохранения массы (15) равен нулю, поэтому d dV V dW dW . (39) dt W dt W В последнем члене правой части (38) произведем замену pn его выражением (31) и воспользуемся теоремой Гаусса – Остроградского, связывающей интеграл по замкнутой поверхности с интегралом по ограниченному этой поверхностью объему. Будем иметь следующий результат: pn dS S ( nx p x S ny p y nz pz ) dS W px x py y pz dW . z (40) Подставляя в равенство (38) соотношения (39) и (40), перенося все члены в левую часть уравнения и объединяя интегралы, получим W dV dt py px x f pz dW z y 0. В силу произвольности объема интегрирования W из предыдущего выражения приходим к уравнению динамики жидкости или газа или, просто, к уравнению движения в напряжениях: py dV px pz . (41) f dt x y z Для записи этих уравнений в декартовой системе координат используем формулу вычисления полной производной скалярной функции (21). В данном случае в формулу (21) вместо плотности ρ необходимо подставить проекции вектора скорости V . В результате из (41) следуют u t u u x v u y w u z fx v t u v x v v y w v z fy w t u w x v w y w w z pxx x p yx pxy p yy pzy x y z fz pxz x y p yz y pzx , z , (42) pzz , z где fx , fy, fz – проекции вектора плотности распределения объемных сил f . При движении газа с большими скоростями происходит обмен энергией между его частицами, поэтому полная система уравнений динамики газа должна включать уравнение энергии, являющееся выражением закона сохранения энергии. В соответствие с этим законом изменение полной энергии рассматриваемой частицы за время dt равно сумме работы приложенных к ней внешних сил и подведенной теплоты. Полная энергия частицы dE складывается из кинетической энергии ее поступательного движения и внутренней энергии dE V2 2 U dM V2 2 U dW , где U – плотность внутренней энергии или удельная внутренняя энергия среды в рассматриваемой точке. Элементарные работы массовых и поверхностных сил, действующих на частицу, равны ( f V ) dM f V dW и pn V dS . Если q – удельное количество теплоты, подведенное к частице извне, то количество теплоты, подведенное к этой частице извне, определяется соотношением q dW . q dM Тогда закон сохранения энергии жидкого объема W может быть записан как d dt W V2 2 f V dW E dW W pn V dS S q dW . (43) W Левую часть уравнения (43) по аналогии с соотношением (39), используя закон сохранения массы (15), преобразуем к виду d dt W V2 2 E dW W d V2 dt 2 E dW , а поверхностный интеграл в правой части равенства (43), как и при выводе формулы (40), может быть превращен в объемный: pn V dS div ( PV )dW . S W Подставляя написанные выражения в уравнение (43) и учитывая, как и выше, произвольность объема W, получим уравнение энергии в дифференциальной форме d V2 dt 2 E f V div ( PV ) q. (44) Дифференциальные уравнения неразрывности (25), количества движения (41) и энергии (44) выполняются для любых движений жидкостей или газов, не обладающих объемными и поверхностными парами сил. Однако различные жидкости и газы при одних и тех же внешних условиях ведут себя по-разному. Добавление соответствующих граничных условий недостаточно, так как число уравнений меньше числа входящих в них неизвестных, т. е. система незамкнута. Построение замкнутой системы уравнений связано с установлением дополнительных соотношений между параметрами данной среды. 5. Сжимаемые и несжимаемые течения Идеальной жидкостью или идеальным газом называют такую среду, в которой вектор напряжения pn на любой площадке с нормалью n ортогонален площадке, т. е. pn параллелен n . В таких жидкостях или газах обращаются в нуль все касательные напряжения pxy pyx pxz pzx pyz pzy 0, а выражения нормальных напряжений имеют вид pn pn n, px px i , p y p y j , pz pz k . (45) Используя вышеперечисленные соотношения и равенства (32), найдем pxx pyy pzz pn , (46) т. е. нормальные напряжения в идеальных жидкостях и газах не зависят от ориентации поверхности. В случае неподвижных жидкостей или газов, обладающих вязкостью, также не будут возникать касательные напряжения и для них будут справедливы соотношения (46), которые выражают закон Паскаля. Общее значение нормальных напряжений в данной точке среды, взятое со знаком минус, называют давлением в этой точке и обозначают буквой p, так что pxx p yy pzz pn p. (47) Выбранный в (46) знак минус обеспечивает положительность давления p, т. к. считается невозможным возникновение в жидкостях или газах растягивающих напряжений (см. п. 1). Тензор напряжений в идеальных жидкостях или газах, согласно (47), имеет таблицу p 0 0 1 0 0 0 p 0 p 0 1 0 , 0 0 1 0 0 p т. е. обладает сферической симметрией. Можно положить P pE, (48) где E – тензорная единица. Дальнейшим упрощением модели жидкости или газа служит предположение об их несжимаемости. В несжимаемой жидкости плотность ρ есть некоторая постоянная, которая считается известной. Уравнение неразрывности (25) переходит в уравнение несжимаемости (28). Учитывая (45), (47) и вспоминая определение вектора-градиента (22), можно записать py px pz p p p i j k grad p . x y z x y z После этого уравнение движения невязкой жидкости или газа – уравнение Эйлера принимает вид dV dt f 1 grad p , (49) или в декартовой системе координат u t u u x v u y w u z fx 1 p , x v t u v x v v y w v z fy 1 p , y w w w u v t x y w w z fz (50) 1 p . z В системе из четырех уравнений (уравнение несжимаемости (28) и уравнения Эйлера (50)) неизвестными являются четыре величины: u, v, w, p, зависящая каждая от аргументов x, y, z, t. Величины fx , fy, fz являются заданными функциями тех же аргументов. Таким образом, задача исследования течения несжимаемых жидкостей или газов является замкнутой. В случае движения сжимаемых жидкостей или газов плотность ρ является пятой неизвестной функцией и вместо уравнения несжимаемости (28) необходимо использовать уравнение неразрывности (25). Для исследования движения сжимаемой среды в общем случае оказывается необходимым учет нового фактора – обмена энергией, как между частицами среды, так и между ними и внешней средой. Поэтому необходимо привлечение уравнения энергии (44). В дальнейшем ограничимся случаем совершенных газов, в которых давление p, плотность ρ и температура T связаны уравнением Клапейрона RT , p (51) где R – некоторое постоянное число, называемое газовой постоянной, различное для разных газов. Для совершенных газов, определяя температуру, как характеристику средней энергии, приходящейся на одну степень свободы в хаотическом тепловом движении, удельную внутреннюю энергию U можно представить в виде U cvT const . (52) Значение постоянной в равенстве (52) несущественно, так ка к нас интересует изменение удельной внутренней энергии, а не сама ее величина. Поэтому в дальнейшем эту постоянную будем опускать. Коэффициент пропорциональность cv, входящий в (52), имеет простой физический смысл – он представляет собой количество тепла, которое необходимо подвести к единице массы среды, чтобы при постоянном объеме поднять ее температуру на один градус. Поэтому cv называется теплоемкостью при постоянном объеме или изохорной теплоемкостью. Количество тепла, которое необходимо подвести к единице массы среды, чтобы при постоянном давлении поднять температуру на один градус, называется теплоемкостью при постоянном давлении или изобарной теплоемкостью и обозначается через cp . Для совершенного газа теплоемкости при постоянном давлении и объеме и газовая постоянная связаны формулой R. c p cv (53) Теплоемкости при постоянном давлении и объеме определяют так называемый показатель адиабаты κ = cp /cv, с помощью которого можно связать давление и плотность для двух состояний в адиабатическом процессе, при котором отсутствует теплообмен с внешней средой. В общем случае, когда можно установить некоторую связь между плотностью и давлением, имеет место термодинамический процесс, называемый баротропным. Для него вместо давления p можно ввести в рассмотрение однозначно связанную с ним функцию давления dp . (54) Когда массовые силы обладают потенциалом Ф, т. е. вектор плотности массовых сил f определяется как f grad , то уравнение Эйлера (49) для стационарного течения имеет своим интегралом так называемый интеграл Бернулли V2 2 const . (55) Это равенство выполняется как вдоль линий тока, так и вдоль вихревых линий. Численные значения постоянных в (55) на каждой линии тока или вихревой линии различны. Это же равенство (55) имеет место и для частного случая безвихревого движения, когда 1 rot V 0 и тогда численное значение постоянной одинаково для всех точек области 2 течения. Когда тепло извне к частице не подводится (q = 0) и можно пренебречь влиянием сил тяжести (f = 0), в стационарных течениях идеального совершенного газа уравнение энергии (44) вдоль любой линии тока имеет интеграл V2 i 2 const , (56) где i = cp T – удельная энтальпия или, кратко, энтальпия газа, а постоянная в (56) может принимать различные значения на разных линиях тока. 6. Потенциальные течения Рассмотрим один частный, но весьма важный случай движения жидкости или газа, которое происходит без вращения частиц. Так как в этом случае rotV 0 , то из соотношений (10) получается, что w y v , z u z w , x Простой v x u . y подстановкой (57) можно проверить, что последним равенствам можно удовлетворить, если существует такая скалярная функция θ = θ(x, y, z, t), с помощью которой компоненты вектора скорости V выражаются как u x , v Вспоминая , w y z определение . (58) вектора-градиента скалярной функции (22), записываются в виде, применимым для любой системы координат, V grad . равенства (58) (59) Отсюда понятно, почему введенная выше функция θ носит название потенциала скоростей. Так как условие 0 означает отсутствие вихрей в рассматриваемом течении, то изложенное выше позволяет заключить, что безвихревое течение является потенциальным. Верно и обратное – потенциальное течение будет безвихревым. В данном параграфе ограничимся случаем несжимаемых потенциальных течений. Подставляя в уравнение несжимаемости (28) вместо компонент скорости их выражения через потенциал скоростей, получим 2 2 2 x2 y2 z2 0. (60) Таким образом, потенциал скоростей в случае несжимаемых жидкостей или газов удовлетворяет уравнению Лапласа. Пусть имеется n потенциальных течений с потенциалами скоростей θk , 1 ≤ k ≤ n, которые, как только что установлено, являются решениями уравнения Лапласа 2 x 2 k 2 y 2 k 2 k z2 0 (1 k а скорости этих течений есть Vk grad k (1 k n) . n) , (61) (62) Сложим все n уравнений Лапласа (61); т. к. они линейные, то, заменяя сумму производных производной суммы, приходим к равенству 2 n x2 k 1 k 2 n y2 k 1 k 2 n z2 k 1 k 0, (63) которое, после введения обозначения n k , (64) k 1 переходит в (60). Это означает, что любой потенциальный поток идеальной несжимаемой среды можно представить как результат наложения друг на друга более простых потенциальных течений. Для результирующего потенциального течения с потенциалом θ скорость находится по формуле (59). С помощью равенства (64) и формул (62) из (29) следует, что V n grad grad n k k 1 n grad k k 1 Vk . k 1 Из последнего соотношения следует, что при наложении потенциальных потоков скорость результирующего потока является векторной суммой скоростей составляющих потоков. Описанный выше метод получения сложных потенциальных течений носит название метода наложения потенциальных потоков. Рассмотрим простейшие плоские потенциальные течения несжимаемой среды. Уравнение несжимаемости (28) для плоских несжимаемых, не обязательно потенциальных, течений принимает вид u x v y 0. (65) Простой подстановкой можно убедиться, что этому уравнению тождественно удовлетворяет некоторая функция ψ = ψ(x, y), если u y , v x . (66) Вспоминая дифференциальные уравнения линий тока (8), которые в случае плоских течений сводятся к одному, записанному в форме 0, u dy v dx и подставляя в него соотношения (66), получаем x dx y dy 0 . Так как полный дифференциал функции ψ есть (67) d x dx y dy , то условие (67) означает равенство нулю dψ вдоль линии тока, или постоянство функции ψ вдоль линии тока, поэтому эту функцию называют функцией тока. Два первых равенства (58) в плоских потенциальных течения х выпадают из рассмотрения. После подстановки в последнее из этих равенств вместо компонент скорости их выражения через функцию тока (66) получаем 2 2 x2 y2 0, (68) т. е. в плоских потенциальных течениях несжимаемых жидкостей или газов функция тока, также как и потенциал скоростей, удовлетворяет уравнению Лапласа. Соотношения (58) и (66) позволяют установить следующую связь между производными потенциала скоростей и функции тока: x y , y x , (69) которая является условием ортогональности линий тока ψ = const и линий постоянных значений потенциала скоростей – эквипотенциалей θ = const в каждой точке потенциального течения несжимаемой среды и условием существования аналитической функции w(z) одной комплексной переменной z = x + iy, определяемой соотношением ( x, y ) i ( x, y ) . w( z ) (70) Здесь и далее в этом параграфе w, z, i имеют другой смысл, а именно, w(z) – комплексный потенциал, z – комплексная переменная, i 1 – мнимая единица. Рассмотрим производную dw/dz комплексного потенциала по комплексному аргументу dw dz x i x y i y u iv , (71) где использованы (58) и (66). Каждому комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с проекциями, соответственно равными действительной и мнимой частям этого комплексного числа. Далее в этом параграфе буквой V будем обозначать комплексную скорость V = u + iv, а для величины скорости используем обычное обозначение модуля скорости V u 2 v2 . Тогда сопряженная скорость V* , определяемая как V u iv, (72) из равенства (71) оказывается равной производной от комплексного потенциала по комплексной координате dw . dz V (73) Если θ – угол между V и осью Ox, то V u iv V V (cos u iv V ei , i sin ) V (cos i sin ) (74) Vei . Отделяя в произвольной функции комплексной переменной w(x) действительную Re и мнимую Im части, получим потенциал скоростей θ(x, y) и функцию тока ψ(x, y) некоторого плоского потенциального течения ( x, y ) Re w( z ), ( x, y ) Im w( z ) . (75) Приравнивая функцию θ(x, y) различным постоянным ( x, y ) C, (76) получим семейство эквипотенциалей, а семейство линий тока определяет равенство ( x, y ) C' . (77) Приведем несколько примеров простейших плоских потоков идеальной несжимаемой жидкости. По известным выражениям комплексного потенциала таких течений в соответствии с (75) определяются потенциалы скоростей и функции тока, а по (72) и (73) – распределение скорости. Однородный поток с вектором скорости V (u , v ) , направленный к оси Ox под углом θ∞ (рис. 7), характеризуется соотношениями: w( z ) V z, V u u x v y, iv V e i v x u y, V V (cos V u i sin ), iv . Очень часто удобно направление оси Ox выбирать совпадающим с направлением скорости однородного потока (θ∞ = 0). В этом случае w( z) u z, V V u , u x, u y, V u . (78) Течение, вызванное источником или стоком, находящимся в начале координат (рис. 8) и обладающим секундным объемным расходом Q, имеет комплексный потенциал, описываемый логарифмической функцией комплексной переменной с действительным множителем: w( z ) Q ln z, 2 Q ln r , 2 Q , V 2 Q , V 2 z Q . 2 r (79) Рис. 7 Линии тока и эквипотенциали однородного потока В этих соотношениях Q – действительная величина, положительная в случае источника и отрицательная в случае стока; r, ε – полярные координаты (z = reiε ). Рис. 8 Линии тока и эквипотенциали для течения, вызванного источником (а) или стоком (б) Если в формуле для комплексного потенциала перед логарифмом стоит мнимый множитель, то он описывает течение, образованное вихрем, расположенным в начале координат (рис. 9), для которого w( z ) 2 i ln z, 2 , 2 ln r , V 2 iz , V 2 r , (80) где Г – действительная величина, равная циркуляции скорости по любому контуру, охватываемому один раз начало координат. Когда Г > 0, жидкость движется по концентрическим окружностям в направлении против движения часовой стрелки (рис. 9), при Г < 0 движение жидкости происходит по часовой стрелке. Рис. 9 Линии тока и эквипотенциали для течения, образованного вихрем Метод наложения потенциальных потоков (6) позволяет получать новые потоки. Так, складывая потоки источника и стока одинаковой мощности (79), размещенных по оси Ox симметрично относительно начала координат O в точках с абсциссами ±h, при предельном переходе (h → 0, |Q| → ∞, Q·2h стремится к конечной величине m) получаем w( z ) lim h 0, Q Q 2h m , Q 2h ln( z h) ln( z h) 2 2h m d ln z 2 dz m , 2 z (81) откуда следует: mx 2 (x2 y 2 ) mx , 2 r my 2 (x2 y2 ) my , V 2 r m , V 2 z2 m . 2 r2 Конечная величина m называется моментом диполя; значение m>0 (82) соответствует расположению стока с положительной стороны оси Ox, m < 0 – противоположному случаю. Картина линий тока и эквипотенциалей для течения, вызванного диполем в начале координат, приводится на рис. 10. Рис. 10 Линии тока и эквипотенциали для течения, вызванного диполем Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра радиуса a потоком вдоль оси Ox (рис. 11) можно получить наложением однородного потока (78) на поток диполя (81) и (82) при m = 2πa2 u∞. Тогда w( z ) u z 2 a 2u 1 2 z u z a2 . z Рис. 11 Линии тока при бесциркуляционном обтекании цилиндра (83) Нулевая линия тока (ψ = 0) для этого течения представляется двумя кривыми. Одна из них окружность x2 + y2 = a2 радиуса a с центром в начале координат; другая – ось Ox (y = 0). Скорость V* в произвольной точке потока (83) равна V dw a2 u 1 2 . dz z Отсюда распределение скоростей по контуру окружности z = aeiε определяется формулой V 2u sin , (84) где ε – полярный угол между радиусом окружности и осью Ox. В точках A (ε = π) и B (ε = 0) скорости равны нулю. Эти точки, как уже отмечалось в п. 2, называются критическими точками потока. При направлении движения, указанном на рис. 11, точка A называется передней критической точкой, точка B – задней. В точках C и D миделевого сечения цилиндра (ε = ±π/2) скорость на поверхности цилиндра принимает максимальное значение, равное Vmax 2u , т. е. удвоенной скорости набегающего потока. Распределение давления в потоке и, в частности, по контуру цилиндра может быть представлено в форме коэффициента давления cp p p . 1 u2 2 (85) Через p∞ обозначено давление в набегающем потоке. Применяя теорему Бернулли в форме (55), где отброшен член с потенциалом массовых сил, как несущественный в задачах МЖГ, и при вычислении функции давления (54) учтено постоянство плотности для несжимаемых жидкостей и газов, и определяя константу как p 1 2 u 2 , найдем в рассматриваемом случае 2 cp V 1 u2 1 4 sin 2 . (86) Полученное распределение давления по контуру окружности (рис. 12), как это прямо следует из симметрии обтекания по отношению к осям Ox и Oy, результирующей силы не дает, что составляет суть парадокса Даламбера. Рис. 12 Картина распределения давления по поверхности цилиндра при бесциркуляционном обтекании Циркуляционное обтекание круглого цилиндра получается наложением вихря с циркуляцией Г (80) на бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра (83). Комплексный потенциал составного движения будет w( z ) u z a2 z 2 i ln z , (87) что при Г > 0 соответствует направлению циркуляционного движения по часовой стрелке. Определим сопряженную скорость V dw a2 u 1 2 dz z 2 iz , откуда для точек на контуре окружности V u 2 sin 2 u a . (88) В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания. а) Циркуляция мала: Г < 4πau∞. В этом случае на контуре окружности существуют две критические точки, в которых V = 0. Их положения из соотношения (88) определяются значениями полярного угла, при котором sin 4 au . (89) Рис. 13 Схема линий тока при циркуляционном обтекании цилиндра Положение критических точек показано на рис. 13, а. При уменьшении Г до нуля критические точки будут перемещаться, стремясь занять положения на пересечении окружности с осью Ox, как это и должно быть при Г = 0. б) Промежуточный случай: Г = 4πau∞. Положение критических точек на контуре цилиндра, определяемое равенством (89), удовлетворяет условию sinε* = -1, откуда следует, что критические точки совпадают и находятся на оси Oy, где ε* = -π/2 (рис. 13, б). в) Циркуляция велика: Г > 4πau∞. В этом случае в выражении (89) окажется sinε* < -1, что невозможно. Это означает отсутствие критических точек на контуре цилиндра. Критическая точка A будет лежать вне круга на отрицательной стороне мнимой оси, а критическая точка B – на той же оси, но внутри круга (рис. 13, в). Найдем коэффициент давления на контуре цилиндра. Из (85) и (88) будет 2 cp 1 2 sin 2 au . (90) При циркуляционном течении в соответствии с формулой (90) симметрия распределения давления по окружности нарушается относительно оси Ox (рис. 14) при сохранении симметрии относительно оси Oy. В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра R будет отличен от нуля и направлен вдоль оси Oy. Над цилиндром скорость больше, а давление, согласно уравнению Бернулли, меньше; под цилиндром, наоборот, скорость меньше, а давление больше. Это приводит к тому, что главный вектор си л давления R будет направлен по оси Oy в положительную сторону (вверх). Рис. 14 Картина распределения давления при циркуляционном обтекании цилиндра для Г/(4πau∞) = 1/8 Тогда проекция R на ось Oy, вычисляемая как 2 Ya p n y ds a p sin d , 0 где ds = adε – элемент дуги контура окружности, после подстановки в выражение Ya значения p по уравнению Бернулли и (90) оказывается равной Ya a2 2u sin 2 0 2 2 a sin d u . (91) Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при циркуляционном обтекании сопротивления нет, но возникает поперечная сила. Ее называют подъемной силой. Выражение (91) для Ya является частным случаем общей теоремы Н. Е. Жуковского о подъемной силе: в плоскопараллельном безвихревом потоке идеальной несжимаемой жидкости на произвольный контур действует сила, равная произведению плотности жидкости на величину скорости набегающего потока и величину наложенной циркуляции. Направление этой силы (рис. 14) определяется поворотом на 90° вектора скорости набегающего потока V в сторону противоположную циркуляции. Н. Е. Жуковский своей теоремой впервые установил вихревую природу подъемной силы. Для определения этой силы Жуковский заменяет обтекаемый плоский контур некоторым воображаемым жидким контуром, ограниченным замкнутой линией тока, внутри которого находятся вихри. Такие вихри он назвал присоединенными. Идея присоединенного вихря и дополнительное допущение, позволяющее определять интенсивность присоединенных вихрей, составляют основу теории профиля и крыла (см. далее). 7. Вязкие течения и пограничный слой Все реальные жидкости обладают определенной вязкостью, которая проявляется при деформации в виде внутреннего трения. Как отмечалось в п. 2, деформационное движение можно представить в виде суммы, вызывающей растяжение или сжатие объема среды и скашивание первоначально прямых углов между линиями, состоящими во время движения из одних и тех же частиц среды. Такое движение характеризуется тензором скоростей деформаций S . В декартовой системе координат компоненты этого тензора определяются таблицей u x Sxx Sxy Sxz S S yx S yy S yz Szx Szy Szz 1 2 1 2 v x u y 1 2 w x u z u y v x v y 1 2 w y 1 2 u z w x 1 2 v z w y v z . (92) w z Обобщение закона Ньютона (5) в случае изотропной среды можно записать в виде линейной связи между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций, выражаемой для изотропной среды тензорным соотношением P 2 S (p 2 3 div V ) E . (93) В соотношении (93) пренебрегается так называемой второй вязкостью, так как она оказывает существенное влияние на быстро развивающиеся процессы в газе, которые мы рассматривать не будем. В случае изотермического движения несжимаемой вязкой жидкости выполняется условие (28) и соотношение (93) принимает вид P 2 S pE. Подставляя эту связь в (41) и используя (92), приходим к уравнению изотермического движения вязкой несжимаемой жидкости в векторной форме dV 1 f grad p V, (94) dt где символ V – лапласиан V – обозначает вектор с проекциями Δu, Δv, Δw, а ν* = μ/ρ называется кинематическим коэффициентом вязкости (использование не общепринятого обозначения кинематического коэффициента вязкости со звездочкой в нижнем индексе связано с очень похожим очертанием греческой буквы «ню» с проекцией v). Уравнение (94), называемое уравнением Навье-Стокса, отличается от уравнения Эйлера (49) наличием члена V . При решении задач МЖГ в качестве исходных данных выступает значение скорости набегающего потока V∞ и ее направление, а также некоторый размер обтекаемого тела L, который принимают за характерный. Тогда из соображений размерностей для рассматриваемой жидкости с известной величиной кинематического коэффициента вязкости ν* может быть образован безразмерный комплекс, например V∞L/ ν* , который носит название числа Рейнольдса Re, т. е. Re V L . (95) Число Рейнольдса характеризует отношение инерционных и вязких сил и играет большую роль при изучении движений вязких жидкостей и газов. От числа Рейнольдса зависит, в частности, коэффициент сопротивления различных тел, обтекаемых потоком вязкой жидкости или газа. Наблюдения показывают, что для вязкой жидкости возможны две существенно разные формы движения. Одна из них носит название ламинарной, а другая – турбулентной. Ламинарный режим характерен для малых скоростей течения, турбулентный – для сравнительно больших. Условия, которые управляют переходом течения из одной формы в другую, впервые были экспериментально установлены О. Рейнольдсом. Это условие можно охарактеризовать критическим числом Рейнольдса Reкр , для подсчета которого используется формула (95), а характерные значения скорости и линейного размера выбираются исходя из решаемой задачи. При ламинарном режиме течения каждая частица потока жидкости или газа движется вдоль плавно изменяющейся траектории, определяемой, в основном, геометрией стенок, ограничивающих поток. Именно для ламинарного режима течения применим обобщенный закон Ньютона (93) и уравнения изотермического движения вязкой несжимаемой жидкости (94). Турбулентный режим течения характеризуется тем, что мгновенные значения скорости и давления испытывают случайные пульсации во времени. Наличием пульсаций скорости в турбулентном потоке обусловлены дополнительные нормальные и касательные напряжения. Механизм турбулентного течения очень сложен и еще полностью не изучен. Поэтому расчетные методы турбулентных течений в большей или меньшей мере используют эмпирическую информацию, полученную в экспериментальных исследованиях. Так как коэффициент кинематической вязкости воздуха мал, то типичные значения числа Рейнольдса очень большие, порядка 106 …108 и выше. В этих условиях вязкость существенно влияет на течение только в тонком слое, прилегающем к поверхности обтекаемого тела, называемом пограничным слоем, и в следе (рис. 15). Вне этих областей влияние вязкости практически не проявляется. Понятие пограничного слоя ввел Л. Прандтль. Рис. 15 Обтекание тела вязким газом или жидкостью Характерной особенностью течения жидкости или газа в пограничном слое, возникающем при обтекании тел, является быстрое возрастание касательной к поверхности составляющей скорости от нуля («прилипание» частиц среды к поверхности) до значения этой скорости при обтекании рассматриваемого тела невязкой жидкостью или газом. Расстояние, измеренное по нормали от поверхности тела до точки, в которой местная касательная составляющая скорости отличается на малую величину (обычно равную 1%) от скорости при обтекании этого тела невязкой жидкостью или газом, называют толщиной пограничного слоя и обозначают δ. Давление по толщине пограничного слоя практически не меняется и равно давлению на его внешней границе, что является следствием малости толщины пограничного слоя по сравнению с радиусом кривизны обтекаемых поверхностей. Обычно пренебрегается взаимным влиянием пограничного слоя и невязкого течения, тогда давление внутри пограничного слоя равно давлению на обтекаемой поверхности при ее обтекании невязкой средой. Перечисленные особенности пограничного слоя позволяют существенно упростить полные уравнения движения вязких сред – уравнения Навье-Стокса. Так в случае плоского стационарного течения несжимаемой жидкости или газа, когда параметры потока зависят от двух переменных, например x и y, вместо (94) будем иметь: u u x u v y dU U dx 2 u , x2 (96) которое должно быть дополнено уравнением несжимаемости (65). В уравнении (96) введено обозначение U для касательной к поверхности составляющей скорости при ее обтекании невязкой жидкостью или газом. Течение в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбулентным. Вспоминая формулу Ньютона для касательного напряжения (5), уравнение движения в пограничном слое (96) можно переписать в виде u u x v u y U dU dx 1 y , (97) которое одинаково применимо как для ламинарного, так и для турбулентного режима течения в пограничном слое. Различие заключается в дополнительной связи между касательным напряжением η и скоростью u внутри пограничного слоя. Хотя система дифференциальных уравнений с частными производными, описывающая движение жидкости в пограничном слое, значительно проще уравнений Навье-Стокса, ее интегрирование требует применение численных методов. Т. Карман еще больше упростил задачу. Для формулировки расчетных уравнений он применил так называемый метод контрольного объема. В дальнейшем его уравнение, называемое интегральным соотношением пограничного слоя, было получено формальными преобразованиями системы уравнений (97) и (65). Один из возможных видов этого соотношения можно записать как d dx 1 dU (2 H ) U dx 0 U2 , (98) в котором η0 – касательное напряжение на обтекаемой поверхности, δ** – толщина потери импульса, H = δ* /δ** – формпараметр профиля скорости, δ* – толщина вытеснения. Условные толщины δ* и δ** вычисляются по формулам 1 0 u dy и U u u 1 dy . U 0U (99) Строго говоря, условной толщиной является толщина пограничного слоя δ (см. определение выше). Так как вне пограничного слоя подынтегральные выражения в (99) равны нулю, то толщины δ* и δ** не зависят от условия определения δ. Так как скорость течения внутри пограничного слоя меньше, чем при невязком движении, то и расход жидкости или газа через сечение пограничного слоя меньше, чем при обтекании тела невязкой средой. Мерой уменьшения расхода служит толщина вытеснения δ*. Толщина вытеснения определяет также расстояние по нормали к поверхности тела, на которое вследствие влияния вязкости смещаются линии тока, соответствующие обтеканию этого тела потоком невязкой жидкости или газа. δ** характеризует Толщина потери импульса изменение количества движения движущейся среды, протекающей через рассматриваемое сечение пограничного слоя, вследствие действия сил трения. Интегральное соотношение (98) является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого представляет простую задачу. Однако оно содержит три неизвестные величины (δ** , H, η0 ) и для его интегрирования необходимы дополнительные связи между этими неизвестными (скорость невязкого течения U в теории пограничного слоя считается заданной). Наиболее просто задача интегрирования уравнения (98) решается для случая продольного обтекания плоской пластины, когда U = V∞ = const. Интегрирование (98) для такой задачи выполняется до конца аналитически и толщина пограничного слоя изменяется вдоль пластины по закону 12 x 5,0 (100) V x для ламинарного пограничного слоя и 15 x 0,37 (101) V x для турбулентного пограничного слоя. В выражениях (100) и (101) координата x измеряется вдоль поверхности пластины от ее передней кромки. Вспоминая определение числа Рейнольдса (95), комплекс, входящий в формулы для толщины пограничного слоя δ, может быть назван местным числом Рейнольдса Rex = V∞x/ν* . Для ламинарного режима приближенная формула (100) практически совпадает с точной формулой, полученной Блазиусом при точном интегрировании системы дифференциальных уравнений с частными производными (96) и (65). Поэтому ее можно использовать во всем диапазоне чисел Рейнольдса ламинарного режима. Применимость формулы (101) в силу приближенности дополнительной информации, используемой при ее получении, ограничивается условием Rex < 5·106 . Зная зависимость напряжения трения на поверхности пластины η0 = η0 (x), можно вычислить силу одностороннего сопротивления трения пластины длиной b и шириной l по формуле b F l 0 0 ( x ) dx . В МЖГ вместо сил рассматривают их коэффициенты, которые являются безразмерными величинами, независящими от размеров тела и скорости потока. Если коэффициент сопротивления трения плоской пластины определить как F , V2 bl 2 cF то для ламинарного пограничного слоя cF 1,328 Re1 2 , (102) а для турбулентного cF 0,074 Re1 5 . (103) В этих формулах число Рейнольдса вычисляется по длине пластины: Re = V∞b/ν* . Формула (103) справедлива при Re < 5·106 . Более универсальна эмпирическая формула Прандтля-Шлихтинга cF 0,455 (lg Re)2,58 , (104) которую можно использовать при 2,5·105 < Re < 5·108 . В общем случае при турбулентном режиме течения в пограничном слое на величину cF существенное влияние оказывает шероховатость обтекаемой поверхности. Когда высота бугорков шероховатости значительно меньше так называемого вязкого подслоя, коэффициент сопротивления трения шероховатой пластины рассчитывается по формулам (103) или (104). В вязком подслое молекулярные процессы обмена преобладают над турбулентными. Его образование является следствием демпфирующего влияния стенки. Течение в вязком подслое похоже на течение при ламинарном режиме, поэтому его ранее называли ламинарным подслоем. Толщина ламинарного подслоя очень мала, она составляет величину порядка одного процента толщины пограничного слоя. Обычно пограничный слой бывает смешанным. На передней части тела пограничный слой ламинарный, а далее он может стать турбулентным. Переход от ламинарного к развитому турбулентному течению происходит в переходной области. Обычно протяженность этой области невелика. Поэтому полагают, что переход ламинарного течения в турбулентное происходит скачкообразно в некотором сечении, продольная координата которого xt такова, что местное число Рейнольдса Rex становится равным критическому Ret = V∞xt/ν* . Если значение Ret известно, то относительную координату точки перехода находят по формуле xt xt b Ret . Re Величина Ret для пластины зависит от многих факторов. Здесь этот вопрос не рассматривается. Зная положение точки перехода xt , с помощью формул (102), (103) или (104) можно рассчитать суммарный коэффициент сопротивления трения плоской пластине при смешанном пограничном слое в несжимаемом потоке. На рис. 16 приведены результаты таких расчетов для ряда значений xt . Рис. 16 Зависимость удвоенного коэффициента сопротивления трения плоской пластины для несжимаемого газа или жидкости Пограничный слой не всегда прилегает к обтекаемой поверхности на всем ее протяжении. Он может отойти от поверхности, не доходя до кормовой части тела. Такие течения называют отрывными (рис. 17). При обтекании криволинейной поверхности давление вначале убывает (до сечения AA´, рис. 17). Вниз по течению за сечением AA´ давление возрастает. Частицы пограничного слоя, перемещаясь от этого сечения вниз по течению, затрачивают энергию для преодоления возрастания давления. Это приводит к уменьшению кинетической энергии, а, следовательно, и скорости частицы. Частицы, движущиеся вблизи стенки, имеют меньшую кинетическую энергию, быстрее ее израсходуют и затормозятся (сечение SS´). Ниже этого сечения возрастание давления вызовет у поверхности обратное движение жидкости или газа, навстречу основному потоку. В результате основной поток отделится от поверхности, произойдет отрыв потока. Точка S на обтекаемой поверхности называется точкой отрыва пограничного слоя. Рис. 17 Отрыв пограничного слоя от обтекаемой поверхности 8. Аэродинамические характеристики профилей и крыльев конечного размаха в несжимаемом потоке Профилем крыла называют сечение крыла плоскостью, параллельной плоскости симметрии крыла, летательного аппарат или плоскости, принятой за базовую. Чаще всего под хордой профиля понимают отрезок прямой, соединяющей наиболее удаленные точки контура профиля (рис. 18), и обозначают b. Переднюю точку хорды профиля называют передней кромкой, а заднюю точку – задней кромкой. Рис. 18 Геометрические параметры профиля Толщина профиля c определяется как максимальное расстояние между точками профиля на верхней и нижней сторонах, измеренное по перпендикуляру к его хорде. Относительной толщиной профиля c называется отношение c c b . Положение максимальной толщины на профиле определяется ее абсциссой xc, измеренной от передней кромки вдоль хорды. Относительная координата максимальной толщины профиля выражается в долях хорды xc xc b . Для определения кривизны или вогнутости профиля проводят среднюю линию профиля, для чего на хорде выбирается произвольное число точек, через которые проводят перпендикуляры к хорде. Середины отрезков этих перпендикуляров, ограниченных верхней и нижней сторонами профиля, определяют его среднюю линию. Максимальное расстояние средней линии от хорды, т. е. стрелка ее прогиба f, определяет кривизну профиля. Отношение f f b называется относительной кривизной или вогнутостью профиля. Положение стрелки f определяется абсциссой максимальной кривизны xf или ее относительной величиной xf xf b . Все относительные геометрические выражаются в процентах хорды. характеристики профиля c , xc , f , x f часто Толщина профиля крыльев колеблется от 2 до 20 %. Кривизна у профилей обычно не превышает 1...2 и редко 3...4 %; кривизна симметричных профилей равна нулю. Формы крыльев в плане, оказывающие значительное влияние на их аэродинамические свойства, очень разнообразны. На рис. 19 представлены некоторые из них. Рис. 19 Формы крыльев в плане Основными геометрическими характеристиками крыла являются его размах l, площадь в плане S, корневая b0 и концевая bк хорды и стреловидность χ (рис. 20). Стреловидность крыла обычно определяется углами стреловидности передней кромки крыла χ0 , задней кромки χ1 и линии фокусов χ1/4 , условно проводимой через концы четвертей хорд крыла, откладываемых от передней кромки. Для прямой стреловидности (рис. 19, в) угол стреловидности принимается положительным, для обратной (рис. 19, г) – отрицательным. Стреловидность у некоторых крыльев может изменяться по размаху (крылья с переменной стреловидностью). Рис. 20 Геометрические параметры крыла Относительное удлинение, или короче удлинение крыла λ произвольной формы в плане определяется по формуле λ = l 2 /S; в случае прямоугольного крыла λ = l/b. Отношение корневой хорды крыла b0 к концевой bк называется относительным сужением, или короче сужением η, т. е. η = b0 /bк. Рис. 21 Составляющие аэродинамической силы крыла и центр давления Аэродинамическими характеристиками профиля называются аэродинамические характеристики элемента крыла бесконечного размаха. В общем случае вектор полной аэродинамической силы Ra , действующей на профиль, можно разложить на две составляющие (рис. 21). В скоростной системе координат это сила сопротивления Xa , действующая вдоль оси x, направленной параллельно скорости набегающего потока, и подъемная сила Ya , действующая вдоль оси y, которая перпендикулярна скорости набегающего потока. По аналогии с введенным выше коэффициентом сопротивления трения коэффициент сопротивления cxa и коэффициент подъемной силы cya определяются как cxa Xa и c ya 1 V2S 2 Ya . 1 V2 S 2 (105) В этих формулах в качестве характерной площади S для подсчета коэффициентов cxa и cya используется площадь части крыла бесконечного размаха единичной длины, т. е. S = b·1. Угол, образованный направлением скорости набегающего потока и хордой профиля, называют углом атаки α. На рис. 21 он положителен. Точку приложения полной аэродинамической силы Ra условно принимают в точке пересечения ее с хордой (точка D на рис. 21). Эта точка носит название центр давления. Его координата x д, измеренная вдоль хорды профиля, определяет относительную координату центра давления xд xд b . Аэродинамические свойства профиля оцениваются его аэродинамическим качеством, или кратко качеством K. Аэродинамическим качеством профиля называется отношение подъемной силы к силе лобового сопротивления K = Ya /Xa , или, используя соотношения (105), отношение аэродинамических коэффициентов K = cya /cxa . Эта величина представляет собой тангенс угла наклона полной аэродинамической силы Ra к направлению скорости набегающего потока (см. рис. 21) Момент полной аэродинамической силы относительно передней кромки крыла Mza называется продольным моментом или аэродинамическим моментом тангажа. Момент Mza считается положительным, если он стремится повернуть крыло в сторону увеличения угла атаки α, и отрицательным – в обратную сторону. Положительный момент называется кабрирующим, а отрицательный – пикирующим. Коэффициент момента тангажа в общем случае связан с действующим моментом тангажа соотношением cmza M za , 1 V2 S L 2 (106) где L – условное плечо момента (для профиля это хорда b). Как уже упоминалось ранее, согласно теореме Н. Е. Жуковского подъемную силу, действующую на профиль, можно рассматривать как силу, действующую на один или систему вихрей, находящихся в потоке жидкости или газа. Это обстоятельство лежит в основе теоретических методов определения подъемной силы и продольного момента, действующих на тонкий профиль, установленный под малым углом атаки к скорости набегающего потока. При установившемся поступательном движении коэффициент подъемной силы профиля определяется соотношением c ya c ya ( где c ya 0 ), dc ya d (107) 2 – производная коэффициента подъемной силы по углу атаки; α0 – угол атаки, при котором cya = 0. Угол α0 зависит от формы средней линии и практически не зависит от толщины профиля. Если профиль симметричный, то α0 = 0. Рис. 22 График зависимости коэффициента подъемной силы от угла атаки На рис. 22 штриховой линией показана теоретическая зависимость cya от α, задаваемая соотношением (107), сплошной линией – типичная экспериментальная зависимость. Абсолютная величина α0 и наклон кривой cya (α), измеренные в аэродинамической трубе, оказываются меньше, чем это предсказывается теорией, и составляют примерно 85...90% теоретических данных. Различие между приведенными величинами объясняется влиянием сил вязкости. С ростом угла атаки экспериментальные значения cya возрастают почти точно по линейному закону. При значениях α, превышающих 8...15°, эта зависимость отклоняется от линейной и после достижения своего максимального значения cya начинает убывать. Угол, при котором cya достигает максимального значения (максимальный коэффициент подъемной силы cyamax ), называется критическим углом атаки αкр . При углах атаки, приближающихся к αкр , профиль перестает плавно обтекаться, так как возникающие большие градиенты давления на верхней стороне вызывают отрыв пограничного слоя (рис. 23). Рис. 23 Отрыв потока от поверхности профиля при критическом угле атаки Коэффициент продольного момента профиля cmz принято представлять в виде зависимости от cya . В результате получается график, который в диапазоне линейной зависимости cya от α чрезвычайно близок к прямой, следующей из теории (рис. 24). Теория профиля для этой прямой дает уравнение cmz cmz 0 m cya , где коэффициент продольного момента при нулевой подъемной силе (108) cmz0 f , а коэффициент m = -0,25. В действительности cmz0 получается по абсолютной величине значительно меньше из-за влияния вязкости, не учитываемого в теории. Рис. 24 Зависимость коэффициента продольного момента профиля от коэффициента подъемной силы Относительная координата центра давления с учетом соотношения (108) может быть найдена по формуле xд cmz c ya m cmz 0 . c ya (109) Для симметричного профиля cmz0 = 0, тогда из (109) следует постоянство положения центра давления на хорде. Если cmz0 ≠ 0, то центр давления перемещается вдоль хорды с изменением cya и при cya = 0 он уходит в бесконечность. На хорде профиля можно найти такую точку, относительно которой продольный момент на линейном участке его зависимости от подъемной силы равен одной и той же величине. Эта точка называется фокусом профиля. Для того, чтобы точка F (рис. 25) была фокусом, необходимо, чтобы xF m. (110) Возвращаясь к формуле (109), видим, что для симметричного профиля (cmz0 = 0) центр давления и фокус совпадают. Рис. 25 К определению фокуса профиля При безотрывном обтекании профиля идеальным несжимаемым потоком коэффициент его лобового сопротивления равен нулю. В реальной вязкой среде возникают сопротивление трения и вызванное вязкостью сопротивление давления. В первом приближении сопротивление трения равно сопротивлению двустороннего трения плоской пластины длиной, равной хорде профиля b. Минимальное сопротивление профиля будет при так называемом безударном обтекании. В этом случае коэффициент сопротивления профиля, обозначаемый как cxa0 , можно рассчитать по приближенной формуле cxa0 2 cF c , (111) где коэффициент одностороннего трения плоской пластики cF можно определить по соотношениям (102)...(104) или по графику рис. 16. Коэффициент ηc зависит от относительной толщины профиля c и положения точки перехода x t (рис. 26). Рис. 26 Зависимость коэффициента ηc от относительной толщины профиля и положения точки перехода При замене крыла конечного размаха присоединенным вихрем он должен был бы окончиться внутри жидкости на концах крыла, что противоречит теореме Гельмгольца о вихрях. В первом приближении крыло можно представить вихревой схемой, показанной на рис. 27. Эта схема обычно называется П-образным или подковообразным вихрем крыла. П-образный вихрь состоит из фиктивного присоединенного вихря и продолжающих его реальных свободных вихрей, которые начинаются у концов крыла и под прямым углом к размаху уходят от крыла назад. При такой схеме циркуляция Г вокруг крыла во всех сечениях и вокруг каждого из свободных вихрей будет одной и той же, что удовлетворяет упомянутой теореме Гельмгольца. Схема П-образного вихря хорошо согласуется с движением воздуха около крыла, наблюдаемая в опытах. Рис. 27 П-образная вихревая схема крыла Крыло с П-образным вихрем является крылом с постоянной циркуляцией по размаху. Опыт показывает, что подъемная сила Ya , а, следовательно, и циркуляция Г распределены по размаху крыла неравномерно. Обычно в середине крыла Г имеет большое значение, а у концов падает до нуля. Для того, чтобы не нарушалась теорема Гельмгольца, предполагают, что от присоединенного вихря вдоль всего размаха ответвляются элементарные свободные вихри, каждый из которых уносит с собой некоторую часть циркуляции dГ, уменьшая циркуляцию присоединенного вихря на эту величину. Таким образом, циркуляция постепенно убывает от Г0 в середине крыла до нуля на концах. В результате, позади крыла образуется сплошная вихревая пелена (рис. 28). Рис. 28 Вихревая пелена за крылом конечного размаха На некотором расстоянии от крыла вихревая пелена сворачивается в два вихревых жгута, которые легко обнаруживаются экспериментально. В конечном счете получаются так называемые вихревые усы за крылом, которые предполагаются П-образной схемой. Рис. 29 Сила индуктивного сопротивления Система свободных вихрей, сбегающих с крыла, индуцирует в окружающей среде некоторое поле скоростей. Вызванные свободными вихрями скорости vi направлены вертикально вниз и изменяются по размаху, увеличиваясь к концам. Обозначим среднюю по размаху скорость vi через vi ср . Результирующая от геометрического сложения скорости vi ср и скорости набегающего поступательного потока V∞ скорость V´∞ отклоняется вниз. В результате возникает скос потока у крыла (рис. 29). Средний по размаху крыла угол скоса Δα будет зависеть от величины средней вертикальной скорости vi ср : vi ср tg V . Поворот вектора скорости V∞ на угол Δα должен вызывать такой же поворот вектора подъемной силы (рис. 29), который, согласно теореме Жуковского, всегда направлен перпендикулярно истинному направлению скорости набегающего потока, т. е. V´∞. Тогда действительная подъемная сила Y´a в проекции на скоростную систему координат будет давать действительную поддерживающую силу Ya = Y´a cosΔα ≈ Y´a , которую и называют подъемной силой. Другая проекция силы Y´a , равная Xai = Ya tgΔα ≈ Ya Δα, будет направлена по потоку (в сторону, обратную движению крыла). Она называется индуктивным сопротивлением. Таким образом, оказывается, что у крыла конечного размаха, работающего в идеальной среде, т. е. при отсутствии трения и отрыва потока, все-таки появляется сопротивление особого рода благодаря скосу потока из-за влияния концов крыла. Формулы для нахождения среднего по размаху значения угла скоса потока Δα и коэффициента индуктивного сопротивления cxai могут быть представлены в виде c ya (112) и cxai 2 c ya . (113) Формула (113) является вполне правильной только для крыльев с эллиптическим распределением циркуляции по размаху крыла, у которых скос потока постоянен вдоль размаха и определяется формулой (112). Для всех других крыльев величины Δα и cxai несколько больше, чем для крыльев с эллиптическим распределением циркуляции по размаху крыла. Однако, эти отличия невелики. При малых углах атаки коэффициент подъемной силы крыла конечного размаха cya изменяется по линейному закону, как и для профиля (см. формулу (107)), если вместо геометрического угла атаки α использовать аэродинамический угол атаки αa = α - Δα. Тогда, учитывая соотношение (112), получаем c ya кр c ya ( a 0 ) c ya ( 0 ) c ya c ya кр 0 . Разрешая последнее соотношение относительно коэффициента подъемной си лы крыла конечного размаха cya кр , имеем c ya кр 1 c ya ( c ya 0 ). (114) Рис. 30 Влияние удлинения прямоугольных крыльев на зависимость коэффи циента подъемной силы от угла атаки Из формулы (114) производная cya кр по геометрическому углу атаки α находится как c ya c ya кр 1 c ya , откуда видно, что с уменьшением относительного удлинения крыла λ угол наклона кривой коэффициента подъемной силы крыла в функции угла атаки α убывает (рис. 30). При этом эксперимент показывает уменьшение cyamax и увеличение αкр с уменьшением λ. В случае крыльев малого удлинения (λ < 3) кривые cya (α) теряют свой линейный характер при малых углах атаки и приобретают характерную S-образность. Такой характер кривых объясняется тем, что торцовое перетекание потока с нижней поверхности крыла, где давление повышенное, на верхнюю, где образуется разрежение, приводит к срыву потока, особенно заметному при острых боковых кромках (рис. 31). Этот срыв создает вихревое разрежение, увеличивающее подъемную силу. Подъемная сила крыла малого удлинения при α ≈ 10˚ и выше создается в меньшей степени за счет циркуляции, связанной со сходом вихревой пелены с задней кромки, и в большей степени за счет срыва и вихревого обтекания боковых кромок. Рис. 31 Перетекание воздуха через боковые стороны и образование вихревых жгутов у треугольного крыла малого удлинения Лобовое сопротивление крыла конечного размаха складывается из профильного и вихревого сопротивлений. При безударном обтекании профильное сопротивление крыла минимально и его коэффициент можно найти с помощью формуле (111) по значениям средней хорды и средней толщины крыла. Для коэффициента вихревого или индуктивного сопротивления используется выражение (113). Таким образом, коэффициент сопротивления крыла конечного размаха описывается следующей зависимостью: cxa cxa0 cxai cxa0 2 c ya . (115) График зависимости между коэффициентами подъемной силы и сопротивления называют полярой первого рода (рис. 32). В дальнейшем будем называть ее просто полярой. Обычно на поляре проставляют углы атаки. В линейном диапазоне зависимости cya от α экспериментальные результаты подтверждают теоретическую формулу, расчет по которой на рис. 32 показан штриховой линией. Коэффициент пропорциональности перед cya2 в формуле (115), т. е. 1/(πλ), называют коэффициентом отвала поляры. Рис. 32 Поляра первого рода 9. Изоэнтропические течения В случае движения совершенных сжимаемых жидкостей или газов давление p, плотность ρ и температура T связаны уравнением Клапейрона (51), внутренняя энергия U определяется по формуле (52), теплоемкости при постоянном давлении и объеме и газовая постоянная удовлетворяют соотношению (53). В общем случае необратимых термодинамических процессов, имеющих место при движении газов, рассматривается еще одна термодинамическая характеристика – энтропия, удельная величина s которой для совершенных газов связана с давлением и плотностью как s p cv ln const. (116) Так как обычно интерес представляет изменение s, значение постоянной не существенно. Процессы, при которых энтропия не меняется, называются изоэнтропическими. Из (116) следует, что при изоэнтропическом процессе в совершенном газе p const . (117) Это уравнение называется уравнением изоэнтропы. Уравнение состояния (51) и уравнение изоэнтропы (117) позволяют записать для изоэнтропических процессов в совершенном газе p T const , 1 const . 1 T (118) 1 Малые возмущения давления в газе распространяются, не вызывая изменения энтропии, как упругие волны сжатия – разрежения со скоростью звука a dp . d (119) Видно, что a зависит от закона изменения плотности при изменении давления. Следовательно, скорость звука может служить характеристикой сжимаемости газа (чем выше скорость звука в среде, тем меньше ее сжимаемость). Для изоэнтропических процессов в совершенном газе из (117) и (119) получаем a p RT . (120) Рассмотрим установившееся течение невесомого идеального совершенного газа, полагая отсутствие теплообмена между его частицами. Такое течение является изоэнтропическим. Тогда уравнение энергии (24) имеет своим интегралом выражение (51). Учитывая очевидные соотношения p i 1 1 a2 RT 1 , (121) имеем i V2 2 V2 2 p const , 1 const , 1 RT V2 2 a2 const , V2 1 2 const . (122) Термодинамические параметры изоэнтропически заторможенного потока называются параметрами торможения и отмечаются как i 0 , p0 , ρ0 , T0 , a0 . Давление торможения p0 называют также полным давлением. Определяя постоянные в (122) из условий изоэнтропически заторможенного потока (V = 0), получаем следующие соотношения: i V2 2 V2 2 p i0 , 1 p0 1 , 0 1 V2 2 RT 1 RT0 , a2 V2 1 2 a02 1 . (123) Из соотношений (123) видно, что с ростом скорости потока V происходит уменьшение термодинамических параметров. Полагая в этих соотношениях i = p/ρ = T = a = 0, находим максимально возможное значение скорости потока Vmax Vmax 2 2i0 p0 1 2 1 0 2 RT0 1 a0 . (124) Используя эти формулы, из (123) получаем уравнения i V2 2 2 Vmax , 2 p 1 V2 2 2 Vmax , 2 1 V2 2 RT 2 Vmax , 2 a2 V2 1 2 2 Vmax . 2 (125) 2 Разделив обе части первого соотношения (125) на i0 Vmax 2 (см. формулу (124)), получим выражение i i0 V Vmax 1 2 . (126) Из формул (121) следует, что i/i 0 = T/T0 = a2 /a02 . Поэтому T T0 a2 a02 1 V Vmax 2 . (127) Теперь зависимости давления и плотности от скорости с учетом (118) примут следующий вид 1 p p0 1 V Vmax 2 1 , 1 0 V Vmax 2 1 . (128) Зависимости термодинамических параметров от скорости, построенные по формулам (126)...(128), показаны на рис. 33. Рис. 33 Зависимости термодинамических параметров от скорости Разделив обе части четвертого соотношения (125) на a2 /(κ - 1), получим равенство a02 a2 1 1 2 M2, (129) где M = V/a – число Маха, наряду с числом Рейнольдса являющееся основным критерием подобия. Число Маха, так же как и скорость звука, является мерой сжимаемости движущегося газа. В несжимаемом потоке скорость звука принимает бесконечно большое значение, поэтому для него M = 0. При M < 1 течение называют дозвуковым, при M > 1 – сверхзвуковым. Течение газа со скоростями, близкими к скорости звука, называют трансзвуковым или околозвуковым. Если M = 1, течение называют звуковым. Соотношение (129) позволяет последовательно получить формулы T0 T i0 i a02 a2 1 1 1 2 M 2, p0 p 1 1 2 M2 1 , 0 1 1 M2 1 . (130) При увеличении местной скорости потока от нуля до Vmax местная скорость звука убывает от a0 до нуля. Следовательно, при некоторой скорости потока должны выполняться условия: V = a, M = 1. Сечение, в котором местная скорость потока равна местной скорости звука, называют критическим. Все газодинамические параметры в этом сечении называют критическими и отмечают нижним индексом *. Полагая в соотношениях (129) и (130) M = 1, получаем формулы, связывающие критические параметры и параметры торможения a2 a02 1 T T0 i i0 2 1 , p p0 2 1 1 2 , 0 1 1 . (131) Для струйки с малым поперечным сечением F, в котором все параметры газа предполагаются постоянными, уравнение неразрывности можно записать в виде уравнения постоянства массового расхода ρVF = const. После его логарифмирования, последующего дифференцирования, исключения представленного в виде VdV dF F ( M 2 1) dp плотности с помощью уравнения Бернулли (55), , и некоторых преобразований следует равенство dV . V (132) Это уравнение устанавливает связь между относительным изменением площади сечения струйки dF/F и скорости dV/V и числом M. В дозвуковом потоке M < 1, и, следовательно, M2 – 1 < 0. Приращения площади dF и скорости dV имеют противоположные знаки. Это означает, что при расширении струйки (dF > 0) скорость уменьшается (dV < 0), а при сужении (dF < 0) – увеличивается (dV > 0). Когда поток сверхзвуковой (M > 1, M2 – 1 > 0), знаки приращений площади dF и скорости dV одинаковы. Следовательно, при расширении струйки скорость увеличивается, а при сужении – уменьшается. Из сказанного следует, что для непрерывного увеличения скорости от дозвуковой до сверхзвуковой площадь проходного сечения струйки должна сначала уменьшаться, а затем увеличиваться. Эти закономерности реализованы в сопле Лаваля (рис. 34). Для его нормальной работы (расчетный режим) необходимы следующие условия: самое узкое сечение сопла Лаваля AA должно быть критическим (скорость потока и скорость звука равны); давление на выходе из сопла pвых , определяемое формой сопла и параметрами торможения газа на его входе, равняется наружному давлению pн. При pвых > pн реализуется режим недорасширения. Течение внутри сопла на этом режиме не отличается от расчетного, но за выходным сечением струя продолжает расширяться. Условие pвых < pн соответствует режиму перерасширения. При этом на сверхзвуковом (расширяющемся) участке сопла образуется скачок уплотнения, при переходе через который течение становится дозвуковым. Рис. 34 Изменение скорости и давления в сопле Лаваля для pвых ≤ pн (1), pвых > pн (2) и в режиме трубки Вентури (3) Торможение сверхзвукового потока сопровождается появлением скачков уплотнения и ростом энтропии (см. следующий раздел). Поэтому параметры газа, наблюдаемые при физическом торможении сверхзвукового потока, нельзя считать его параметрами торможения. Но всегда можно осуществить изоэнтропический разгон газа из состояния покоя до заданной сверхзвуковой скорости. Параметры этого неподвижного газа и считают параметрами торможения сверхзвукового потока. Другим примером изоэнтропического течения служит случай обтекания выпуклого угла сверхзвуковым потоком. Рассмотрим однородный сверхзвуковой поток идеального газа, обтекающего выпуклый угол, образованный плоскими стенками AO и OB (рис. 35). Расчеты показывают, что поворот потока происходит плавно в пределах области между линиями слабых возмущений OC и OD. Такое течение называют течением Прандтля-Майера. Оно хорошо изучено. Имеются формулы, таблицы и графики, позволяющие легко определять значения газодинамических переменных во всей области течения. Угол θ, при повороте на который звуковой поток (M1 = 1) разгоняется до скорости Vmax , называют максимальным углом поворота потока θmax . Для воздуха (κ = 1,4) θmax = 130,4˚. Рис. 35 Обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком 10. Теория скачков уплотнения При движении тел со сверхзвуковой скоростью перед ними возникает ударная волна (рис. 36). Перед ударной волной газ не возмущен. Область между волной и телом является областью сильно возмущенного движения. Здесь давление, плотность и температура намного больше, чем в невозмущенном газе. Рис. 36 Движение тела со сверхзвуковой скоростью В обращенном движении, когда невозмущенный поток набегает на неподвижное тело (рис. 37), ударную волну называют скачком уплотнения. При пересечении скачка уплотнения давление, плотность и температура потока скачкообразно возрастают, а скорость и число Маха скачкообразно уменьшаются, причем скорость может изменить направление. Рис. 37 Обтекание тела сверхзвуковым потоком Угол между вектором скорости невозмущенного потока и плоскостью, касательной к скачку (не превышающий π/2), называют местным углом наклона скачка и обозначают β (рис. 37). Угол между векторами скорости до и после скачка обозначают θ и называют местным углом поворота потока. При обтекании тел с затупленной головной частью всегда возникают отсоединенные скачки уплотнения (рис. 37). На тонком заостренном теле (например, в форме клина) может образовываться присоединенный скачок (рис. 38). Рис. 38 Присоединенный скачок уплотнения В дальнейшем ограничимся рассмотрением плоских скачков уплотнения, имеющих вид бесконечной плоскости. Для них углы θ и β остаются постоянными вдоль скачка. Скачок называют прямым, если он перпендикулярен скорости потока, т. е. θ = π/2. В этом случае направление течения за скачком не изменяется (β = 0). В случае θ < π/2 имеем косой скачок уплотнения. Так как при возникновении скачков уплотнения нарушается предположение о непрерывности функций, описывающих изменение газодинамических параметров, нельзя применять уравнения неразрывности, движения и энергии, выведенные выше. Для таких течений можно использовать так называемый метод контрольного объема. Рис. 39 Контрольный объем для вывода основных соотношений на скачке уплотнения Выделим контрольный объем ABCDEGA (рис. 39), боковые грани которого ограничены линиями тока, а торцы AG и CD параллельны плоскости скачка. Так как все газодинамические параметры до скачка, отмеченные нижним индексом 1, и после скачка с нижним индексом 2 постоянны, закон сохранения массы принимает вид V , V 1 n1 (133) 2 n2 и, соответственно, проекции уравнения движения, выражающего закон изменения количества движения, и уравнение энергии запишутся как p1 2 1 n1 V V12 2 2 2 n2 V , (134) V V , V V 1 n1 t1 i1 p2 (135) 2 n2 t 2 V22 . 2 i2 (136) В последнем соотношении V12 Vn21 Vt12 , V22 Vn22 Vt 22 . Из уравнений (133) и (135) следует важное равенство Vt1 Vt 2 Vt , (137) которое означает, что касательная составляющая скорости при переходе через скачок не изменяется. Уравнение энергии (136) позволяет сделать заключение о постоянстве во всей области течения энтальпии торможения и связанных с ней соотношениями (121) других термодинамических параметров или их комбинаций i01 i02 i0 , T01 T02 T0 , a01 a02 a0 , p01 p02 01 02 . (138) Так как параметры торможения однозначно связаны с критическими параметрами формулами (131), то при переходе через скачок уплотнения сохраняют свои значения i * , T* , a* . Учитывая равенство (137) и связи (131), уравнение энергии можно записать в следующих эквивалентных формах Vn21 2 i1 1 Vn22 , 2 i2 1 2 n1 V 2 RT1 Vn21 2 p1 1 1 1 2 n2 2 1 V , 2 RT2 Vn22 2 p2 a 2 Vn21 1 2 a22 1 a2 1 2 Vt 2 , 2 Vn22 . 1 2 (139) Исключая из уравнения неразрывности (133), первого уравнения движения (134) и второй формы уравнения энергии (139) давления и плотности до и после скачка и учитывая равенство (137), приходим к основному соотношению для плоских скачков 1 2 Vt . 1 a2 Vn1Vn 2 (140) В случае прямого скачка уплотнения Vt = 0, Vn1 = V1 , Vn2 = V2 и вместо соотношения (140) имеем V1V2 a2 . (141) Так как V1 > a* , то из последнего равенства следует, что V2 < a* , т.е. за прямым скачком уплотнения скорость всегда дозвуковая. Причем, чем больше скорость перед скачком, тем меньше скорость за ним. Подставляя в (141) V1 = Vmax , получим предельную минимальную скорость за скачком 1 a . 1 Vmin 2 В случае воздуха, когда κ = 1,4, из полученной формулы находим, что Vmin 2 ≈ 0,41a* . Из сравнения формул (140) и (141) видно, что на косом скачке уплотнения нормальная составляющая скорости уменьшается в большей мере, чем на прямом. Однако поток за косым скачком уплотнения при малых β может остаться сверхзвуковым вследствие большого значения касательной составляющей скорости, не изменяющейся при переходе через скачок. Соотношения давлений, плотностей и температур до и после скачка находятся из уравнений (133), (134), (137), (139) и (51): p2 p1 2 1 2 1) M 12 sin 2 2 1 ( T2 T1 p2 p1 1 , 1 M12 sin 2 1 2 2 1 M12 sin 2 (142) 1 1 1 , (143) 1 1 ( 2 1) M12 sin 2 1 . 1 (144) Из этих формул следует, что с увеличением M1 sinβ давление и температура за скачком растут неограниченно. Плотность также увеличивается, но не беспредельно. При M1 sinβ → ∞ из (143) получаем 1 . 1 2 1 Для воздуха ρ2 /ρ1 → 6. Неизменность касательной и уменьшение нормальной составляющей скорости при переходе через скачок уплотнения приводят в общем случае к скачкообразному изменению не только величины, на и направления скорости. Из рис. 39 следует, что tg( ) Vn 2 tg . Vn1 Учитывая соотношения (140), (131), (129) и очевидные геометрические соотношения (см. рис. 39), получаем выражение tg( ) 2 1 1 M sin 2 2 1 1 tg . 1 (145) На рис. 40 приведен график этой зависимости. Штриховая линия здесь проведена через точки, соответствующие максимальным значениям θ, при которых скачок остается присоединенным и плоским. Рис. 40 Зависимость угла поворота потока от угла наклона скачка при различных числах Маха Из рисунка видно, что при заданном числе Маха каждому углу θ < θmax (M1 ) соответствуют два значения угла β. Дополнительные исследования показывают, что чаще всего реализуются слабые скачки уплотнения, которым соответствуют меньшие значения β. Штрихпунктирная линия на этом рисунке соединяет точки кривой, для которой M2 = 1. Если β оказывается в области, расположенной выше этой линии, то за скачком течение будет дозвуковым, если ниже – сверхзвуковым. На основании (138) при переходе через скачок остается неизменным отношение p0 /ρ0 . Однако полное давление p0 и плотность изоэнтропически заторможенного потока ρ0 за скачком будут меньше, чем до скачка. Это связано с необратимым переходом на скачке части кинетической энергии потока в теплоту. Потери полного давления на скачке характеризуют коэффициентом изменения полного давления p02 . p01 (146) По определению полные давления – давления изоэнтропически заторможенных потоков. Поэтому из формул (130), (142) и (146) выражение для ζ преобразуется к виду 1 2 1 2 1 M sin 1 1 2 1 2 1 2 1 M 1 sin 2 1 1 1 . На рис. 41 приведен график изменения ζ с ростом M1 sinβ. С увеличением M1 sinβ растет интенсивность скачка, увеличиваются потери кинетической энергии, приводящие к уменьшению давления торможения за скачком и снижению ζ. Рис. 41 Зависимость коэффициента изменения полного давления от параметра M1 sinβ Необратимые потери давления торможения за скачком вызывают увеличение энтропии в этой области течения. Использование формул (116), (138) и определения ζ позволяет получить формулу s s2 s1 cv ln p2 p1 1 2 cv ln . Так как при M1 sinβ > 1 коэффициент изменения полного давления ζ < 1, и из последней формулы следует, что Δs > 0, т. е. течения со скачками уплотнения – неизоэнтропические течения. 11. Потенциальные течения идеального сжимаемого газа Распространение возмущений давления от непрерывно действующего неподвижного точечного источника слабых возмущений, расположенного в точке O, в покоящемся газе (V = M = 0) происходит во всех направлениях с одинаковой скоростью a, образуя систему концентрических волн с центром в точке O (рис. 42). Рис. 42 Распространение слабых возмущений в неподвижном газе В дозвуковом потоке (0 < M < 1, 0 < V < a) волны возмущения давления, сохраняя сферическую форму, сносятся вниз по потоку со скоростью V и занимают последовательно положения, показанные на рис. 43. Здесь возмущения распространяются во все стороны, в том числе навстречу потоку, и с течением времени они охватывают весь поток. Рис. 43 Распространение слабых возмущений в дозвуковом потоке В звуковом потоке (M = 1, V = a) скорость сноса волн возмущения давления равна скорости увеличения их радиуса (V = a), и волны возмущений образуют семейство сфер, касающихся нормальной к направлению потока плоскости AA, проходящей через точку O (рис. 44). В этом случае возмущения распространяются только в области, лежащей вниз по потоку от указанной плоскости. Рис. 44 Распространение слабых возмущений в звуковом потоке В сверхзвуковом потоке (M > 1, V > a) волны возмущений за время t сносятся вниз по потоку на расстояния, превышающие их радиус, соответствующий этому моменту времени. Возмущения в этом случае распространяются в ограниченной области, огибающей всю последовательность волн возмущений. Эта огибающая имеет вид конуса с углом при вершине μ (рис. 45). Из данного рисунка следует, что угол μ удовлетворяет условию sin at Vt a V 1 . M Тогда tg 1 M2 1 . (147) Рис. 45 Распространение слабых возмущений в сверхзвуковом потоке Рассматриваемую поверхность называют конусом возмущений или конусом Маха, линии пересечения с плоскостями, проходящими через ось конуса, – линиями Маха, угол μ между линией Маха и вектором скорости невозмущенного потока – углом Маха. Из рис. 45 видно, что Vn a, V sin откуда следует, что нормальная к конусу возмущений скорость набегающего потока Vn будет равна скорости звука a. Для стационарного течения невесомого баротропного газа, когда p = p(ρ), уравнения неразрывности (26) и уравнение движения (49) с помощью соотношения (110) сводятся к виду (u 2 a2 ) u x (v 2 a2 ) v y ( w2 a2 ) w uv z u y v x vw v z w y wu w x u z 0 . (148) Величина a2 выражается через составляющие скорости с помощью четвертой формы уравнения энергии (125). Уравнение (148) справедливо как для безвихревого, так и вихрев ого движений. В случае безвихревого движения необходимо присоединить еще условие отсутствия вихря. Это условие эквивалентно тому, что существует потенциал скоростей θ = θ(x, y, z), с помощью которого компоненты вектора скорости V выражаются соотношениями (58). Тогда уравнение (148) принимает следующую форму: 2 (u 2 a 2 ) x2 2 (u 2 a 2 ) y2 2 ( w2 a 2 ) z2 2 2 uv x y 2 vw y z 2 wu z x 0. (149) Величина a2 снова исключается с помощью уравнения энергии. В соответствие с (58) составляющие скорости выражаются через частные производные потенциала скоростей θ. Таким образом, уравнение (149) – нелинейное дифференциальное уравнение относительно функции θ. Однако в него старшие производные искомой функции входят линейно, поэтому его называют квазилинейным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производными. В общем случае для решения такого уравнения требуется использование численных методов. Во многих аэрогазодинамических задачах большой интерес представляет определение возмущений, налагаемых на известное движение газа. В качестве такого движения чаще всего выбирается установившееся движение с постоянной скоростью u∞. Выберем систему координат, в которой эта скорость направлена параллельно оси x. Плотность, давление и температура при этом исходном движении также имеют постоянные значения и обозначаются соответственно через ρ∞, p∞ и T∞. Соответствующая скорость звука равна a∞, а число Маха – M∞ = u∞/a∞. Поле скоростей исходного течения определяется равенствами u u , v 0, w 0, которому отвечает потенциал скоростей θ∞ = u∞x. Если в этот однородный поток помещается некоторое твердое тело, например, крыло, оно вызывает возмущения исходного течения и изменяет поле его скоростей. Поле скоростей в присутствии тела можно представить как u u u, v v, w w . (150) Величины u´, v´ и w´ называют скоростями возмущения, а определяемое ими течение – возмущенным течением. Если вносимое в поток тело имеет малую относительную толщину и установлено в нем под малым углом атаки, то почти во всей области течения выполняется предположение u v w , , u u u 1. (151) Сделаем дополнительное предположение о том, что возмущенное течение безвихревое, так что существует потенциал возмущенного течения θ´, определяемый равенствами u x , v y , w z . (152) Подставляя в уравнение (149) равенства (150) и (152), учитывая предположение (151) и пренебрегая членами, содержащими квадраты и произведения скоростей возмущения, считая их малыми по сравнению с членами, содержащими первые степени, представим его в виде линейного уравнения (1 M 2 ) 2 2 2 x2 y2 z2 0. (153) Более точный анализ показывает, что уравнением (153) нельзя пользоваться при трансзвуковых течениях, когда M∞ → 1. Так как основное дифференциальное уравнение потенциального движения сжимаемого газа подверглось линеаризации, то уравнение Бернулли, эсвивалентное в этом случае уравнению энергии, также может быть упрощено. Существует несколько способов его линеаризации, которые приводят к одной и той же формуле p p u u. Тогда коэффициент давления для линеаризованных сжимаемых течений в соответствие с формулой (85) можно записать как cp 2 u . u (154) В качестве примера сверхзвукового потенциального течения рассмотрим обтекание тупых углов (рис. 46). Считая угол поворота потока во внешнюю сторону θ > 0 (рис. 46, а), а во внутренюю θ < 0 (рис. 46, б) малым, можно использовать линеаризованное уравнение (153). Веер волн разрежения в течении Прандтля-Майера (рис. 46, а) становится очень узким и можно принять, что он совпадает с линией Маха набегающего потока. В течении сжатия (рис. 46, б) изза малости угла поворота потока θ скачок уплотнения вырождается в слабую волну сжатия, наклоненную под углом Маха к направлению движения невозмущенного потока. Рис. 46 К определению изменения давления при отклонении сверхзвукового потока на малые углы Так как течение плоское, то его характеристики не зависят от координаты z и w = 0. В этом случае M∞ > 1 и уравнение (153) будет гиперболического типа, поэтому его решение можно искать в виде f1 ( 1 ) f2 ( 2 ) , где y x tg , а tgμ определяется в (147) для M∞. 1, 2 Функция f2 (ξ2 ) описывает распространение возмущений влево, т. е. навстречу набегающему потоку, что физически невозможно. Поэтому ее исключают из рассмотрения. Тогда составляющие возмущенных скоростей определяются как u f1 tg , v x y f1 . Точка над функцией f1 означает дифференцирование по переменной ξ1 . Исключая из двух последних равенств f1 , имеем v tg . u (155) Геометрические соображения, используя рис. 45, позволяют записать v tg u v . u u (156) В этом соотношении первый знак относится к течению разрежения (рис. 46, а), второй – к течению сжатия (рис. 46, б). Исключение из (155) и (156) составляющей возмущенной скорости v´ приводит к равенству u u tg , подставляя которое в выражение для коэффициента давления в линеаризованной задаче (154), получаем формулу cp 2 tg 2 M2 1 . (157) В соответствии с физикой явления в течениях с расширением (θ > 0) давление понижается и cp < 0, в течениях со сжатием (θ < 0) происходит возрастание давления и cp > 0, что согласуется с формулой (157). 12. Аэродинамические характеристики профилей и крыльев конечного размаха в дозвуковом и сверхзвуковом потоках Рассмотрим для простоты обтекание симметричного профиля, расположенного под нулевым углом атаки к скорости невозмущенного сжимаемого дозвукового потока невязкого газа. В этом случае нулевая линия тока перед и за профилем будет прямолинейной, совпадающей с осью x, вдоль которой направлена скорость u∞ набегающего потока (u∞ < a∞, M∞ < 1, см. рис. 47). Такое течение можно считать изоэнтропическим. Рис. 47 К определению критического числа Маха Перед профилем поток замедляется до нулевой скорости на передней кромке. Затем она возрастает вдоль поверхности профиля до максимальной скорости, большей скорости набегающего потока. После этого при безотрывном обтекании скорость снова убывает до нуля на задней кромке. В следе за профилем происходит рост скорости до ее значения в набегающем потоке. На рис. 47 такое изменение скорости показано сплошной линией. Так как в кормовой части профиля может возникать отрыв потока, то в области около задней кромки скорость снижается не до нуля (см. штрих-пунктирную линию на рис. 47). В соответствие с изоэнтропическими соотношениями (см. п. 9) при убывании скорости потока местная скорость звука возрастает и наоборот. Максимальное значение скорости звука будет в точках торможения потока. Наименьшее значение скорости звука достигается на поверхности профиля в точке максимума скорости (см. рис. 47). При некоторых значения числа Маха набегающего потока M∞ будет выполняться условие umax < amin . В этом случае во всей области потока течение будет дозвуковым. Если скорость набегающего потока возрастет до u´∞, то произойдут количественные изменения распределения местной скорости потока и местной скорости звука, показанные на рис. 47 штрих-пунктирной линией. При этом может оказаться, что u´max = a´min . Число Маха невозмущенного дозвукового потока, при котором где-либо на поверхности обтекаемого тела впервые местная скорость потока становится равной скорости звука, называется критическим числом Маха и обозначается через M* . Величина M* зависит от формы профиля и его относительной толщины c , расстояния максимальной толщины от передней кромки профиля xc и угла атаки. Для крыла конечного размаха критическое число Маха M* зависит еще от угла стреловидности и удлинения крыла. Так как местная скорость потока впервые станет равной скорости звука в той же точке на поверхности, в которой она имеет при заданной скорости набегающего потока максимальную величину, то в этой точке давление будет минимальным. Тогда минимальному значению давления соответствует минимум коэффициента давления cp min . Минимальное давление будет меньше давления в набегающем потоке, поэтому минимальное зачение коэффициента давления cp min < 0. С. А. Христианович установил связь между M* и минимальным коэффициентом давления на поверхности обтекаемого тела в условиях несжимаемого потока cp min нсж (рис. 48). Рис. 48 Зависимость критического числа Маха от минимального коэффициента давления в несжимаемом потоке В зависимости от величины числа Маха набегающего потока различают: – дозвуковые течения (M∞ < M* ); – трансзвуковые течения (M* < M∞ < 1,2); – сверхзвуковые течения (1,2 < M∞ < 5); – гиперзвуковые течения (M∞ > 5). Когда тонкий профиль установлен под малым углом атаки к скорости набегающего потока, можно использовать метод малых возмущений, описанный в предыдущем пункте. Потенциал скоростей возмущенного течения для дозвукового или сверхзвукового режима удовлетворяет уравнению (см. (153)) 2 2 x2 y2 (1 M 2 ) 0. (158) В дозвуковом потоке (M* < M∞ ≤ 1) уравнение (158) можно привести к уравнению Лапласа, производя следующую замену переменных x1 x, y1 y 1 M2 . (159) Переходя в (158) от переменных x, y к переменным x1 , y1 , приведем его к виду уравнения Лапласа: 2 2 x12 y12 0. Известно, (160) что уравнению Лапласа удовлетворяет потенциал скорости потока несжимаемой жидкости (см. п. 6). Переход от уравнения (158) к уравнению (160) с помощью замены переменных (159) позволяет, пользуясь уравнением Лапласа (160), найти потенциал скоростей потока несжимаемой жидкости θ(x1 , y1 ), обтекающий некоторый новый контур. Этот новый контур будет иметь ту же хорду b, что и исходный профиль. Все его поперечные координаты, следовательно, и толщина возрастут в 1 1 M 2 раз, так что максимальная толщина нового профиля c1 будет связана с максимальной толщиной исходного профиля c соотношением c1 c 1 M2 . (161) В таком же соотношении увеличивается и угол атаки α1 , т. е. 1 1 M2 . (162) Такие преобразования приводят к тому, что подъемная сила для профиля в сжимаемом газе и подъемная сила для утолщенного профиля, установленного под увеличенным углом атаки в несжимаемой жидкости, одинаковы. Если один и тот же профиль располагается при равных углах атаки в сжимаемом газе и несжимаемой жидкости, то между коэффициентами сил и моментов этих профилей существуют следующие связи: c ya c ya нсж 1 M 2 , c ya c ya нсж 1 M 2 , cmz cmz нсж 1 M2 . (163) Первое и последнее соотношения в (163) позволяют заключить, что фокус профиля в дозвуковом потоке не зависит от M∞, т. е. xF xF нсж , (164) так как увеличение подъемной силы и продольного момента происходит в одинаковой мере. В этом диапазоне чисел Маха с ростом M∞ сопротивление трения профиля убывает, а сопротивление давления возрастает. Для профилей средней толщины эти тенденции примерно одинаковые и их коэффициент сопротивления в дозвуковом потоке остается приблизительно постоянным. В случае тонких профилей возрастание сопротивления давления происходит медленнее уменьшения сопротивления трения, что приводит к незначительному уменьшению их коэффициентов сопротивления. При обтекании толстых профилей коэффициент сопротивления слабо возрастает, так как сопротивление давления увеличивается быстрее, чем снижается сопротивление трения. В трансзвуковом диапазоне чисел Маха (M* < M∞ < 1,2) возникают зоны местных сверхзвуковых скоростей, которые замыкаются местными скачками уплотнения. При этом наличие необратимых потерь в скачках уплотнения вызывает дополнительное сопротивление, называемое волновым сопротивлением. Коэффициент лобового сопротивления cxa начинает резко возрастать, увеличиваясь в несколько (иногда в 15...20) раз. Зона местных сверхзвуковых скоростей при α > 0 вначале образуется на верхней поверхности профиля. Это приводит к повышению давления за замыкающим ее скачком уплотнения, что вызывает уменьшение коэффициента подъемной силы по сравнению с зависимостью (163). С ростом M∞ интенсивность скачка увеличивается, увеличиваются и вызванные им потери подъемной силы, что приводит к снижению cya или c ya . Затем появляется местная сверхзвуковая зона снизу. Повышение давления за замыкающим ее скачком вначале замедляет уменьшение подъемной силы, а затем приводит к ее росту. Фокус крыла в трансзвуковом диапазоне чисел M∞ начинает резко перемещаться вдоль хорды профиля. Обычно сначала он передвигается вперед, а затем назад. Описанные выше изменения аэродинамических характеристик профиля вместе с вызывающими их причинами принято называть волновым кризисом. В серхзвуковом потоке M∞ > 1 и уравнение для потенциала возмущенных скоростей (160) становится гиперболическим в противоположность дозвуковому режиму, когда оно является эллиптическим. Это приводит к тому, что картины течения около всякого тела, в том числе около профиля, в дозвуковом и сверхзвуковом потоках оказываются различными. Если в сверхзвуковой поток поместить тонкую пластину ( c 0 ), поставив ее под некоторым малым углом атаки, то картина ее обтекания представлена на рис. 49. Волна сжатия (слабый скачок уплотнения) появится снизу, где линии тока образуют углы, меньшие 180˚. Сверху, где происходит поворот потока около угла, большего 180˚, возникнет веер волн разрежения. Вдоль самой пластины, как сверху, так и снизу поток остается параллельным, давления и скорости постоянны вплоть до задней кромки, где поворот потока происходит в обратном порядке. Рис. 49 Картина обтекания плоской пластины под малым углом атаки в сверхзвуковом потоке Так как на передней кромке пластины сверху поток поворачивается на угол θв = α, а снизу – на угол θн = -α, то по формуле (157) коэффициенты давления на верхней и нижней поверхностях пластины равны соответственно cp в 2 M2 1 , cp н 2 M2 1 . Результирующая аэродинамическая сила давления будет перпендикулярна пластине, или ее хорде. Такая сила называется нормальной силой и обозначается через Y. Коэффициент этой нормальной силы cy равняется площади фигуры, образованной графиком распределения коэффициента давления на профиле единичной хорды. Для плоской пластины соответствующий подсчет можно произвести непосредственно (см. рис. 49); в результате имеем cy 4 M2 1 . (165) С учетом малости угла атаки коэффициент подъемной силы cya = cycosα ≈ cy и тогда, используя формулу (165), запишем cya 4 M2 1 4 , cya M2 1 . (166) Проекция нормальной силы пластины на направление скорости набегающего потока название волнового индуктивного сопротивления, а его коэффициент определяется как cxa вi cy sin cy . Тогда с учетом (165) получим 4 cxa в i 2 M2 1 . (167) Если из выражений для cya и cxa в i исключить угол α, то получается следующая формула: M2 1 2 c ya , 4 cxa в i что означает, как и для индуктивного сопротивления крыла конечного размаха в несжимаемом течении, квадратичную связь между индуктивной составляющей волнового сопротивления профиля в сверхзвуковом потоке и подъемной силой. Так как давление распределено по длине пластины равномерно, то точка приложения результирующей сил давления, а следовательно и фокус находятся в средней точке хорды, т. е. xF 1 . 2 Анализ обтекания тонкого профиля ( c (168) 0 ) приводит к тем же формулам (165)...(168), независимо от его формы и величины c . По формуле (167) для α = 0 следует равенство нулю коэффициента волнового индуктивного сопротивления. Однако, если c 0 , перед профилем при α = 0 будут образовываться слабые скачки уплотнения (рис. 50), что приведет к волновому сопротивлению, которое называют волновым нулевым сопротивлением Xa в 0 . Рис. 50 Картина обтекания ромба под нулевым углом атаки в сверхзвуковом потоке Для ромба при α = 0 качественная картина обтекания представлена на рис. 50. Вдоль каждой стороны ромба скорость и давление не меняются. Углы поворота потока относительно направления невозмущенного потока на передней части профиля как сверху, так и снизу будут одинаковыми и равными θ1 = -α. На кормовой его части эти углы равны θ2 = α. В результате простых подсчетов с использованием формулы (157) и малости угла α приходим к следующему выражению для коэффициента волнового нулевого сопротивления ромбического профиля в сверхзвуковом потоке: 4c 2 cxa в 0 M2 1 . (169) Если профиль имеет форму, отличную от ромба, то линейная теория приводит к формуле cxa в 0 4c 2 K M2 1 , (170) где K – коэффициент формы профиля. Наименьшее значение K = 1 имеет место для ромбического профиля, когда (170) переходит в (169). Для всех остальных профилей K > 1. Волновое сопротивление Xa в состоит из суммы волнового индуктивного и волнового нулевого сопротивлений, поэтому его коэффициент сопротивления с учетом (167) и (170) выражается как cxa в cxa в 0 cxa в i 4 c 2K 2 M2 1 . (171) На рис. 51 приведена качественная зависимость основных аэродинамических характеристик профиля в дозвуковом, трансзвуковом и сверхзвуковом диапазонах скоростей полета. Рис. 51 Качественная зависимость основных аэродинамических характеристик профиля во всем диапазоне изменения чисел Маха При переходе от профиля к крылу конечного размаха в основном изменяются две характеристики крыла: c ya и cxa i. Для стреловидного крыла с углом стреловидности по передней кромке χ0 в основном изменяется составляющая скорости потока по нормали к передней кромке крыла, что приводит к уменьшению его подъемной силы. Если сравнивать стреловидное и прямое крылья при одинаковых углах атаки и одинаковых формах профилей в сечениях, параллельных скорости набегающего потока, то их основные аэродинамические характеристики в несжимаемом потоке будут связаны между собой соотношениями cya cya прям cos 0 , cya cya прям cos 0 , cxa cxa прям , cmz cmz прям cos 0 . (172) Поскольку cmz и cya изменяются одинаково и пропорционально cosχ, то фокус стреловидного крыла сдвигается назад от носка корневой хорды на величину, равную λtgχ/4 хорды. При определении дозвуковых характеристик стреловидных крыльев конечного размаха дополнительно следует учесть, что сжимаемость воздуха влияет на них только через поток, нормальный к передней кромке крыла, число Маха которого равно M∞cosχ. Тогда из соотношений (114), (163) и (172) можно записать c ya нсж c ya кр 1 tg 2 M 2 c ya нсж . (173) При χ = 0 и M∞ = 0 эта формула переходит в формулу (114), справедливую для прямого крыла и несжимаемого потока. Поделив обе части равенства (173) на λ и выполнив преобразования, имеем c ya кр c ya нсж tg 0 1 1 M tg 0 2 . 2 (174) c ya нсж Коэффициент индуктивного сопротивления для всех крыльев конечного размаха в дозвуковом сжимаемом потоке может быть с достаточной точность выражен той же формулой (113), что и в несжимаемом потоке. Обтекание крыла сверхзвуковым потоком сопровождается образованием около него систем слабых скачков уплотнения и волн разрежения, которые создают качественно иную, чем на дозвуковых скоростях, картину распределения давления. На рис. 52 показана часть передне-боковой кромки крыла произвольной формы в плане. Каждая точка кромки является источником возмущений, распространяющихся внутри конических волн, следы которых на плоскости рисунка показаны штриховыми линиями. Рис. 52 Дозвуковая и сверхзвуковая кромки крыла Часть кромки BD встречает невозмущенный поток, другая его часть AB встречается с потоком, предварительно прошедшим через волны, возникающие в точках кромки, расположенных выше по течению. Скорости, давления и другие параметры газа в этой части потока начнут изменяться еще до того, как частицы газа подойдут к кро мке AB, подобно тому, как это происходит при дозвуковом обтекании. Из рис. 52 видно, что на кромке AB касательная к кромке крыла образует с направлением скорости u∞ слишком острый угол γ < μ∞. Поэтому составляющая скорости, нормальная к кромке, Vn u sin u sin u 1 M u a u a , т. е. нормальная составляющая меньше скорости звука в невозмущенном потоке Vn < a∞. Такие кромки принято называть дозвуковыми. Наоборот, участок BD, как видно из того же рисунка, встречает поток под углами γ > μ∞, поэтому во всех точках этого участка кромки Vn > a∞. Такие участки кромки называют сверхзвуковыим. Простейшей формой крыла конечного размаха является форма тонкой прямоугольной пластины (рис. 53). Передняя кромка такого крыла будет сверхзвуковой, а боковые – дозвуковыми. Возмущения от боковых кромок будут распространяться внутри конусов Маха с вершинами в угловых точках крыла a и a1 . Это приведет, как и в дозвуковом потоке, к выравниванию давлений и перетеканию воздуха с нижней поверхности на верхнюю, вызванное повышением давления снизу и разрежением сверху крыла. Рис. 53 Концевые конусы возмущения на прямоугольном крыле Перетекание вдвое уменьшает подъемную силу на концах крыла по сравнению с той, которую они имели, если бы данное крыло являлось частью крыла бесконечного размаха. Коэффициент подъемной силы прямоугольного крыла находится по формуле c ya кр 1 tg 2 c ya 1 . (175) Заменяя в (175) tgμ∞ его выражением через M∞ по соотношению (147) и используя формулу (165) для коэффициента подъемной силы профиля в сверхзвуковом потоке, получаем c ya кр 4 M 2 1 1 1 2 Величину M2 1 . (176) M 2 1 называют эффективным удлинением крыла в сверхзвуковом потоке. Аналогично, величина 1 M 2 , входящая в (174), может быть названа эффективным удлинением крыла в дозвуковом потоке. Коэффициент волнового индуктивного сопротивления для пластинчатого крыла, как и для профиля, находится по формуле cxa вi c ya кр c ya кр 2 . Аэродинамические характеристики треугольного пластинчатого крыла сильно зави сят от того, будет крыло обтекаться в режиме с дозвуковыми или сверхзвуковыми передне-боковыми кромками (рис. 54). Если ввести отношение n tg tg 1 tg 0 tg M2 1 tg 0 M2 1 , tg 0 (177) то треугольное крыло будет обтекаться в режиме с дозвуковыми передне-боковыми кромками, когда n > 1. В случае сверхзвуковых передне-боковых кромок треугольного крыла n < 1. Рис. 54 Треугольное крыло с дозвуковыми и сверхзвуковыми кромками Анализируя приведенные выше соотношения для c ya кр , можно сделать вывод, что эта аэродинамическая характеристика крыла зависит от числа M∞, формы крыла в плане, характеризуемой для трапециевидных крыльев удлинением λ, сужением η и углом стреловидности χ. Таким образом, c ya кр f (M , , , ) . Из формул линейной теории (174), (176) и (177) последнее соотношение можно преобразовать к виду c ya кр F M 2 1 , tg , Результаты . обработки (178) экспериментальных данных показали, что в качестве характерного угла стреловидности в (178) следует брать угол стреловидности по линии, проходящей через середины хорд, т. е. χ0,5 . В этом случае влияние относительного сужения крыла η на c ya кр менее значительно. В трансзвуковой области отношение c ya кр существенно зависит от параметра 3 с. На рис. 55 в качестве примера приводится график зависимости c ya кр для λtgχ0,5 = 1. Из этого рисунка видно, что стреловидное крыло не имеет провала несущих свойств в трансзвуковой области, характерной для профиля и нестреловидного крыла большого удлинения (см. рис. 51). Рис. 55 График изменения несущих свойств крыла во всем диапазоне изменения чисел Маха Коэффициент волнового нулевого сопротивления cxa в 0 кр крыла с произвольным симметричным профилем можно рассчитать по формуле cxa в 0 кр (сxa в 0 кр ) ромб 1 ( K 1) , где (cxa в 0 кр )ромб – коэффициент волнового нулевого сопротивления крыла с ромбическим профилем (см. рис. 56), зависящий от параметров η, λtgχс и 3 c , причем угол χс отсчитывается от линии максимальных толщин крыла с данным профилем, а не с ромбическим; K – коэффициент формы профиля (см. формулу (170); вспомогательная функция θ зависит от разности ( M2 1 tg c ) и показана на рис. 57. Рис. 56 Зависимость коэффициента волнового сопротивления крыльев с ромбическим профилем от геометрических параметров и числа Маха Рис. 57 Зависимость коэффициента, учитывающего характер линии максимальных толщин крыла, от геометрических параметров и числа Маха При дозвуковой и звуковой линии максимальных толщин ( значение θ принимают равным нулю. Когда ( M2 1 tg c ) M2 1 , функция θ → 1. tg ) 0 13. Интерференция частей летательных аппаратов Аэродинамические характеристики летательного аппарата не являются простой суммой аэродинамических характеристик его изолированных частей. В результате взаимного влияния расположенных близко друг к другу в потоке воздуха тел картина обтекания каждого из этих тел изменяется. В одних случаях это взаимовлияние, или интерференция, может быть благоприятным, и тогда говорят о положительной интерференции, или неблагопрятным, когда интерференцию считают отрицательной. Увеличение сопротивления крыла на дозвуковых скорост ях обусловлено наличием сопряжений крыла с корпусом летательного аппарата, с гондолами двигателей и происходит главным образом из-за влияния частей летательного аппарата, соединяющихся с крылом. Рост индуктивного сопротивления крыла учитывается введением э ффективного удлинения крыла λэф вместо геометрического удлинения λ в формулу (113). Эффективное удлинение определяется по формуле ' эф 1 S0 S , где S0 – площадь крыла, занятая корпусом, мотогондолами и другими частями летательного аппарата, размещенными на крыле. Кроме того, вследствие сопряжения крыла с корпусом и другими частями возрастает профильное сопротивление крыла. Это обусловлено тем, что в месте стыка крыла с фюзеляжем вблизи задней кромки крыла образуется диффузорный участок, где возникает отрыв пограничного слоя. При расчете профильного сопротивления его увеличение вследствие интерференции обычно определяется по формуле c xa0 кр c xa0 из .кр 1 k инт S0 , S где cxa0 из.кр – коэффициент сопротивления изолированного крыла, kинт – коэффициент интерференции. Чем большая часть крыла занята корпусом и другими частями, тем меньшая поверхность крыла обтекается потоком и, следовательно, полный коэффициент сопротивления уменьшается. Отрицательные явления, связанные с взаимным влиянием крыла и корпуса, учиты ваются коэффициентом интерференции, который меньше единицы. Чем меньше коэффициент интерференции, тем больше коэффициент сопротивления крыла cxa0 кр . Для летательного аппарата схемы низкоплан kинт = 0,25…0,6, для среднеплана – kинт = 0,85 и для высокоплана kинт = 1. Аналогично учитывается влияние корпуса на горизонтальное и вертикальное оперение. При определении аэродинамических характеристик как горизонтального, так и вертикального оперения необходимо учитывать уменьшение скорости за крылом, расположенным выше по потоку от оперения. Скоростной напор у горизонтального оперения, осредненный вдоль его размаха, может уменьшиться на 20 и более процентов. С уменьшением удлинения горизонтального оперения торможение потока увеличивается. Кроме того, при полете летательного аппарата скос потока, имеющий место за крылом, достигает горизонтального оперения и существенно изменяет его действительный угол атаки. Угол скоса потока в области горизонтального оперения увеличивается с ростом угла атаки или коэффициента подъемной силы крыла и с уменьшением удлинения крыла и уменьшается с увеличением расстояния от крыла до горизонтального оперения. На угол скоса у горизонтального оперения оказывает влияние расположение горизонтального оперения по высоте относительно крыла. С ростом расстояния до плоскости расположения крыла угол скоса потока уменьшается. При аэродинамическом расчете дозвуковых летательных аппаратов обычно принимают, что подъемная сила системы крыло-корпус равна подъемной силе условных изолированных крыльев, образованных продолжением передней и задней кромок консолей до плоскости симметрии. Такое предположение хорошо подтверждается опытом при небольших значениях отношения диаметра корпуса D к размаху крыла D D l и при малых числах Маха полета. У современных сверхзвуковых летательных аппаратов отношение D/l доходит до 0,3…0,5. В этом случае замена системы крыло-корпус изолированными крыльями может привести к значительным ошибкам в определении подъемной силы. Рассмотрим комбинацию крыло-корпус, установленную в потоке под углом атаки α (рис. 58). Для простоты предположим, что на корпусе в форме бесконечно длинного кругов ого цилиндра крыло закреплено по схеме среднеплана. Разложим набегающий на комбинацию невозмущенный поток со скоростью V∞ на две составляющие: направленную вдоль оси корп уса со скоростью Vx∞ = V∞cosα и нормально к ней со скоростью Vy∞ = V∞sinα. При обтекании корпуса этим поперечным потоком его скорость v увеличивается по сравнению с Vy∞. Рис. 58 Схема обтекания комбинации крыло – фюзеляж Полагая скорости Vy∞ малыми, из теории потенциального обтекания цилиндра поперечным потоком со скоростью Vy∞ = V∞sinα для местных скоростей обтекания вдоль оси OZ в плоскости OXZ можно получить (см. п. 6) v V 1 r02 sin z2 , где r0 – радиус цилиндра, z – координата рассматриваемой точки на оси OZ. Из последнего соотношения видно, что в точках на поверхности цилиндра, т. е. при z = r0 , поперечные скорости обтекания в два раза больше, чем Vy∞, а вдали от цилиндра стремятся к этой величине. Увеличение поперечной скорости обтекания v вблизи цилиндрического корпуса вызывает увеличение местных углов атаки. Вследствии этого возрастает и подъемная сила сечений, причем тем больше, чем ближе сечение крыла к поверхности корпуса. Наибольший прирост подъемной силы за счет интерференции реализуется в схеме среднеплана. В свою очередь, крыло оказывает влияние на обтекание корпуса. При положительном угле атаки повышенное давление с нижней поверхности крыла передается на нижнюю поверхность корпуса, а пониженное давление с верхней поверхности крыла – на верхнюю поверхность корпуса. В результате на корпусе образуется дополнительная подъемная сила, вызванная влиянием крыла. На дозвуковых скоростях этот прирост реализуется на всем корпусе, так как возмущения распространяются во все стороны. На сверхзвуковых скоростях возмущения распространяются только вниз по потоку, поэтому подъемная сила на корпусе увеличивается только в области, ограниченной конусами Маха, выходящими из начала бортовой хорды каждой консоли, и, следовательно, зависит от числа Маха набегающего потока. При трансзвуковых и сверхзвуковых режимах полета минимальное волновое сопротивление летательного аппарата обеспечивается при выполнении так называемого правила площадей. По этому правилу, следующему из линейной теории сверхзвуковых течений, волновое нулевое сопротивление всего летательного аппарата определяется в основном распределением площадей его поперечных сечений вдоль продольной оси. Для того чтобы сопротивление летательного аппарата было наименьшим, эпюра площадей поперечных сечений летательного аппарата вдоль его продольной оси должна быть возможно более плавной (рис. 59). Рис. 59 Комбинация крыло – фюзеляж, выполненная без учета правила площадей (1) и с учетом этого правила (2) Внезапное увеличение объема тела, например, в месте неплавного сопряжения крыла с корпусом, необходимо компенсировать уменьшением объема других элементов компоновки. Поэтому применение правила площадей приводит к характерному «поджатию» корпуса в зоне сопряжения крыла и корпуса (см. рис. 59, б). Эксперименты показывают, что при скорости полета, соответствующей числу M∞ = 0,95…1,05, «поджатие» корпуса снижает увеличение сопротивления на 60…80% (рис. 60). При дальнейшем увеличении скорости полета эффект от применения правила площадей уменьшается и при M∞ = 1,7…2,0 он исчезает. Рис. 60 Эффект применения правила площадей 14. Сверхзвуковой пограничный слой и аэродинамический нагрев При движении летательного аппарата в атмосфере частицы газа, примыкающие к стенке, увлекаются стенкой или, что одно и то же, при обтекании аппарата из-за трения тормозятся у стенки. Процесс торможения сопровождается выделением тепла и диссипацией кинетической энергии потока. Если скорость полета достаточно велика, то вблизи стенки образуется слой газа с высокой температурой, нагревающей поверхность аппарата. Температура газа может достигнуть значений, близких к значениям температуры торможения: T0 T 1 1 2 M2 . (179) Здесь T∞ – температура набегающего потока газа. Уже при числах M∞ > 2,5 температура в простеночном слое газа может достигнуть 575 K, что связано с переходом от обычно применяемых в авиационных конструкциях дюралюминиевых сплавов к более теплостойким материалам. При M∞ > 5 стальные конструкции должны защищаться специальными покрытиями, а при M∞ > 10 не всегда удается создать необходимую конструкцию. Наконец, при еще более высоких скоростях полета температура газа у стенки и тепловые потоки становятся такими большими, что приходится допускать унос вещества самой поверхности в силу плавления, сублимации и др. Высокие температуры, возникающие в пограничном слое и передающиеся движущемуся телу, оказывают обратное влияние на пограничный слой, изменяя его толщину δ и напряжение трения η0 на стенке. Поэтому невозможно правильно рассчитать эти величины без учета нагрева. И наоборот, невозможно точно рассчитать нагрев, не имея данных о структуре и характеристиках пограничного слоя. Поскольку при больших скоростях температура в пограничном слое изменяется существенно, то оказывается переменной и плотность газа. Вследствие того, что давление по сечению пограничного слоя примерно постоянно, плотность в пограничном слое изменяется обратно пропорционально температуре. Из уравнения состояния получаем p . RT При этих условиях по сечению пограничного слоя оказываются переменными вязкость μ(T) и теплопроводность λ(T). С увеличением температуры μ и λ возрастают. Из-за нарушения адиабатичности движения в пограничном слое, вызываемого вязкостью газа, его температура около стенки будет несколько ниже, чем это следует из формулы (179). Если обтекаемая поверхность будет теплоизолирована, то теплота не сможет отводиться от поверхности тела или излучаться ею в окружающее пространство и ее температура достигнет так называемой равновесной температуры или температуры адиабатического восстановления. Величина этой температуры восстановления Tr зависит от числа Маха M∞ (в общем случае от числа Маха на границе пограничного слоя) и от рассеяния кинетической энергии течения в пограничном слое вследствие трения и теплообмена: Tr T 1 r 1 2 M2 , (180) где r = (Tr - Te)/(T0 - Te) – коэффициент восстановления, представляющий собой отношение прироста температуры при адиабатическом торможении в пограничном слое (Tr - Te) и в идеальном внешнем и невязком потоке (T0 - Te), здесь Te – температура на внешней границе пограничного слоя. Величина r зависит от числа Прандтля Pr = μCp /λ. Число Прандтля представляет собой отношение количества тепла, выделяемого за счет работы сил молекулярного трения, к количеству тепла, уносимого молекулами при непрерывном перемещении. Для воздуха число Pr изменяется от 0,72 при очень низких температурах до 0,65 при высоких. Ввиду того, что оно изменяется очень мало, его считают постоянной величиной, равной осредненному его значению 0,72. Коэффициент восстановления температуры приближенно можно определить по формуле r как r 3 в ламинарном пограничном слое Pr , а в турбулентном пограничном слое – Pr . Для воздуха в ламинарном и турбулентном пограничных слоях принимаются r = 0,85 и r = 0,90 соответственно. Подставляя эти значения коэффициента восстановления температуры в формулу (180) и полагая для воздуха κ = 1,4, получаем для ламинарного пограничного слоя Tr T (1 0,17M 2 ) , для турбулентного пограничного слоя Tr T (1 0,18M 2 ) . Из этих формул следует, что поверхность, обтекаемая турбулентным пограничным слоем, будет нагреваться сильнее, чем поверхность, обтекаемая ламинарным слоем. Формула (179) дает максимальную величину повышения температуры плоской стенки при больших скоростях полета и кладется в основу расчета аэродинамического нагрева различных сверхзвуковых летательных аппаратов. По этой формуле температура поверхности тела или, точнее говоря, температура газа у стенки очень быстро (по квадратичной параболе) растет с возрастанием числа Маха полета M∞. Распределения температуры при малых скоростях полета, когда энтальпия газа значительно больше кинетической энергии (M∞ < 1), представлены на рис. 61. Как видно, для различных случаев теплообмена (qw = 0 – теплоизолированная стенка, qw > 0 – стенка охлаждена, qw < 0 – стенка нагрета) при приближении к стенке значения температуры газа в пограничном слое монотонно стремятся к значению, равному температуре стенки. Рис. 61 Профиль температур в тепловом пограничном слое при малых скоростях потока для изотермического течения (Tw1 ), а также для охлаждаемой (Tw2 ) и нагреваемой (Tw3 ) стенок При больших скоростях потока (M∞ >> 1) примерный характер распределения температуры по сечению пограничного слоя в случае теплоизолированной стенки показан на рис. 62. Рис. 62 Распределение температуры в пограничном слое при больших скоростях потока в случае теплоизолированной стенки Распределение температуры в пограничном слое существенно изменится при наличии подвода или отвода тепла. При охлаждении стенки максимальная температура в пограничном слое меньше температуры восстановления. Поскольку у стенки температура снижается вследствие отвода теплоты внутрь тела, то в этом случае температура газа имеет максимальное значение внутри пограничного слоя, примерный профиль температур представлен на рис. 63. Рис. 63 Распределение температуры в пограничном слое при больших скоростях потока при охлаждении стенки При нагревании стенки до температуры, превышающей температуру восстановления (Tw > Tr), появляется тепловой поток от стенки к пограничному слою. Это вызывает увеличение температуры внутри пограничного слоя (рис. 64). Рис. 64 Распределение температуры в пограничном слое при больших скоростях потока при нагревании стенки В общем случае толщина температурного пограничного слоя, т. е. слоя, где происходит основное изменение температуры, не совпадает с толщиной динамического пограничного слоя, определяемого как область изменения скорости. При больших скоростях характеристики пограничного слоя, т. е. формы профилей скорости, напряжения трения, толщина слоя и т. д., находятся под сильным влиянием сжимаемости. Так как давление в одном и том же поперечном сечении пограничного слоя одно и то же, то из уравнения состояния следует, что плотности и температуры в любом поперечном сечении связаны зависимостью e Te , T где ρe – плотность газа на внешней границе слоя. Из этой формулы следует, что при больших числах M вследствие нагрева газа у стенки плотность ρw сильно уменьшается по сравнению с плотностью на внешней границе. Как уже отмечалось, коэффициент вязкости воздуха μ увеличивается с ростом температуры. Поэтому в тонком пограничном слое на поверхности тела, движущегося с большими скоростями, имеется сильное возрастание кинематической вязкости жидкости ν* = μ/ρ в направлении от внешней границы к стенке. Средняя величина кинематической вязкости ν* в пограничном слое в несколько раз больше, чем на внешней границе слоя. Так как толщина пограничного слоя δ находится в прямой зависимости от кинематической вязкости ν* , то с ростом числа M толщины ламинарного и турбулентного пограничных слоев сильно возрастают. Меняется также и форма профилей скорости, которые находятся в тесной связи с профилями температуры, так как температура увеличивается за счет уменьшения скорости по мере приближения к стенке. Влияние сжимаемости на коэффициент сопротивления трения плоской пластины при продольном обтекании обычно описывают коэффициентом ηM, определяемым как M cF (c F ) M , 0 где cF – коэффициент сопротивления пластины при заданном числе M∞, а (cF)M=0 – коэффициент сопротивления пластины при том же числе Re, но в несжимаемом потоке (M∞ = 0). Тогда для случая ламинарного пограничного слоя этот коэффициент ηM с учетом сжимаемости и теплоотдачи можно определить по приближенной формуле 1 M T 0,45 0,55 w Te 0 ,12 0,09( . 1) M 2 Pr Ценность этой формулы состоит в том, что она показывает влияние на трение каждого из трех факторов: Tw /Te, числа M∞ и числа Прандтля Pr в отдельности. На рис. 65 приведен график (линия 1) этой зависимости для теплоизолированной стенки Tw/Te = 1. Рис. 65 Зависимость коэффициента влияния сжимаемости от числа Маха для ламинарного (1) и турбулентного (2) пограничного слоя Турбулентный пограничный слой также подвержен влиянию числа M и теплоотдачи через стенку. Но это влияние имеет свои особенности. Толщина турбулентного слоя по сравнению с толщиной ламинарного слоя значительно меньше зависит от вязкости. Поэтому с ростом числа M толщина турбулентного слоя нарастает значительно медленнее, чем ламинарного. Вследствие этого напряжение трения турбулен тного слоя будет убывать быстрее по числу M∞, чем ламинарного. Соответствующая величина коэффициента ηM для турбулентного слоя представлена кривой 2 на рис. 65. Для вычисления коэффициента ηM при турбулентном обтекании используют приближенную формулу M 1 . (1 0,1 M 2 ) 2 / 3 Трудности расчета турбулентного пограничного слоя при сжимаемом течении возрастают по двум причинам. Первая, имеющая место в ламинарном пограничном слое, является следствием влияния, оказываемого на течение числом M∞ набегающего потока и температурой Tw обтекаемой стенки. Вторая причина связана с некоторой противоречивостью экспериментальных данных, что затрудняет разработки приближенных моделей турбулентности Среди многочисленных способов решения задачи о пограничном слое сжимаемого потока особенно часто применяют метод так называемой эффективной или определяющей температуры. Основная идея этого метода состоит в том, что законы сопротивления, полученные для несжимаемого течения, сохраняются и для сжимаемого, если только для плотности и коэффициента вязкости ввести их значения, соответствующие подходящим образом выбранной определяющей температуре T* . Значение этой температуры T* обычно лежит между максимальным и минимальным значениями T внутри пограничного слоя. Наиболее часто определяющую температуру T* вычисляют по формуле Эккерта: T T0 0,5 (Tw Te ) 0,22 (Tr Te ) . Если режим полета летательного аппарата непрерывно меняется, то еще одним фактором, существенно влияющим на характеристики пограничного слоя в сжимаемом потоке, является нестационарность, т. е. изменения поля течения и температур во времени. В этом случае реальные характеристики могут сильно отличаться от характеристик, вычисленных по формулам данного раздела. 15. Аэродинамика разреженных газов При движении летательных аппаратов на больших высотах большое значение приобретает аэродинамика разреженных газов. Основная особенность аэродинамики разреженных газов заключается в том, что в этом случае нельзя пользоваться гипотезой сплошности (непрерывности) среды. В условиях разреженного газа необходимо учитывать его молекулярную структуру. При этом газ можно рассматривать как совокупность движущихся по всевозможным направлениям молекул, сталкивающихся постоянно друг с другом и с поверхностью обтекаемого тела. Молекулярная структура газа может быть охарактеризовано длиной свободного пробега молекул в промежутке между последовательными столкновениями. Поскольку скорости хаотического движения отдельных молекул могут изменяться в широких пределах, то длина свободного пробега для различных молекул также различна. Поэтому обычно рассматривают среднюю длину свободного пробега молекул. Эта длина зависит от числа молекул в единице объема (от плотности среды), скорости хаотического движения (температуры газа) и от размеров самих молекул. Из кинетической теории газов среднюю длину свободного пробега молекул можно вычислить по формуле l 1,225 a . (181) Из расчетов по этой формуле следует, что средняя длина свободного пробега молекул на высотах порядка 80 км несколько менее 0,5 см, на высотах порядка 120 км она достигает уже нескольких метров, а на больших высотах порядка 200 км равна сотням метров. Безразмерное отношение средней длины свободного пробега молекул l к характерному для данной задачи линейному размеру L (например, хорда профиля, длина корпуса и т. д.) называется числом Кнудсена и обозначается через Kn = l/L. Подставляя сюда l по формуле (181), получим Kn l 1,255 L M . Re (182) При исследовании пограничного слоя в разреженном газе характерным линейным размером рассматриваемой области является толщина пограничного слоя δ. Поэтому для характеристики степени разреженности среды в этом случае необходимо использовать число Кнудсена, определяемое как Kn = l/δ. При достаточно больших числах Рейнольдса для ламинарного пограничного слоя из соотношения (100) L 1 , Re тогда, снова используя формулу (181), Kn l l L L M . Re (183) При очень малых значениях числа Рейнольдса (Re < 100) толщина пограничного слоя порядка характерного линейного размера тела L. В этом случае Kn M . Re (184) Из формул (182)...(184) следует, что степень разрежения среды характеризуется отношениями M Re или M Re , которые называются параметрами разрежения. Принято следующее деление газовых течений на основные области. Если l/δ < 0,01 или M Re < 0,01 – область обычной аэрогазодинамики. При 0,01 < l/δ < 1 (0,01 < M Re < 1) – течение со скольжением. Для чрезвычайно большой разреженности среды, когда l/L > 10 (M∞/Re > 10), тело находится в свободно-молекулярном потоке. На рис. 66 приведены области течения газа в зависимости от значений чисел Маха M∞ и Рейнольдса Re. Из рисунка видно, что при заданном значении числа M∞ изменение величины числа Re может привести к изменению области потока. Рис. 66 Границы областей свободно-молекулярного (1) и переходного (2) течения, течения со скольжением (3) и течения сплошной среды (4) в зависимости от значений чисел Маха и Рейнольдса О различиях в характере течения при различных режимах можно судит по рис. 67, на котором приведены результаты численного моделирования методами молекулярной газовой динамики обтекания сферы при постоянном числе Маха M∞ = 10 и различных числах Кнудсена, соответствующих течению сплошной среды, переходному течению и свободно-молекулярному течению. На этих рисунках красными точками показаны молекулы, непосредственно провзаимодействовашие с обтекаемым телом (столкнувшиеся с поверхностью), желтым – косвенно проивзаимодействовавшие (столкнувшиеся с молекулами, которые непосредственно взаимодействовали с обтекаемым телом), синим – невзаимодействовавшие с обтекаемым телом. В свободно-молекулярном потоке при расчете обтекания тел можно пренебречь изменением движения вследствие соударения молекул друг с другом по сравнению с соответствующим изменением от соударения с телом. Исследования в области свободномолекулярного течения проводятся методами кинетической теории газов. В свободномолекулярном потоке частицы газа не взаимодействуют между собой и пограничного слоя фактически нет. При течениях со скольжением скорость потока у стенки не равна нулю, а газ скользит по поверхности с конечной скоростью. В пограничном слое скорость потока изменяется от скорости скольжения до скорости на границе пограничного слоя. При этом температура газа у стенки не равна температуре поверхности тела. В переходной области от течения со скольжением до свободно-молекулярного потока происходят чрезвычайно сложные явления. Здесь одинаково важно как взаимодействие молекул друг с другом, так и соударение молекул с поверхностью тела, поэтому необходимо учитывать взаимодействие отраженных молекул с молекулами набегающего потока. В области течения со скольжением уравнения Навье-Стокса и уравнения пограничного слоя, вообще говоря, не применимы. Эти уравнения должны быть дополнены членами, учитывающими влияние разрежения. Кроме того, граничные условия задачи должны быть записаны с учетом явления скольжения. В общем случае для определения скорости скольжения и температуры газа у стенке необходимо кроме средней длины свободного пробега молекул знать производную от температуры вдоль поверхности и коэффициенты аккомодации и отражения. Наиболее вероятными схемами отражения молекул от поверхности являются диффузное и зеркальное (результаты численного моделирования, представленные на рис. 67, получены в предположении диффузного отражения). а) б) в) Рис. 67 Численное моделирование обтекания сферы а) потоком сплошной среды (Kn = 0,01), б) в переходном режиме (Kn = 1), в) свободно-молкулярным потоком (Kn = 10) При диффузном отражении молекулы газа при столкновении с телом передают всю кинетическую энергию телу, адсорбируются, т. е. поглощаются поверхностью тела на некоторое время, в течение которого происходит уравнивание температуры газа и стенки, а затем отражаются от поверхности по произвольному направлению со средней скоростью, соответствующей температуре поверхности тела. При зеркальном отражении угол отражения равен углу падения молекулы. При этом тангенциальная составляющая скорости остается неизменной, а нормальная составляющая меняет направление при неизменной величине. Коэффициент отражения представляет собой отношение числа диффузно отраженных молекул ко всему числу отраженных молекул. При зеркальном отражении коэффициенты аккомодации и отражения равны нулю, а при диффузном – они близки к единице. Так как в свободно-молекулярном потоке тело не влияет на набегающий поток, то принимают, что распределение скоростей молекул в набегающем и отраженном потоках подчиняется классическому распределению Максвелла, а вычисление аэродинамических сил и теплового потока можно производить отдельно от налетающих и отраженных молекул. Понятие скорости звука для свободного потока молекул теряет смысл, поскольку звуковые волны, т. е. распространяющиеся в среде последовательные волны сжатия и разрежения малой интенсивности, в сильно разреженном газе не могут существовать из-за слишком большой длины свободного пробега молекул. Вместа числа Маха M∞ используется безразмерный параметр – аналог числа Маха S V Vs 2 M , равный отношению скорости полета V∞ к наиболее вероятной скорости молекул Vs относительно некоторой неподвижной системы координат. На рис. 68 и 69 приведены результаты расчета коэффициента сопротивления c xa для тел простейшей формы в свободно-молекулярном потоке в функции безразмерного параметра S∞. Хотя значения cxa довольно велики, но из-за малой плотности аэродинамические силы в разреженном газе ничтожно малы. Хотя аэродинамические силы на очень больших высотах ничтожно малы и ими часто пренебрегают, в некоторых случаях (например, при длительном полете искусственного спутника) даже небольшая сила лобового сопротивления сказывается на траектории полета и времени существования космического объекта на этой траектории. Рис. 68 Коэффициент сопротивления плоской пластины в свободно-молекулярном потоке при диффузном отражении Рис. 69 Коэффициент сопротивления сферы в свободно-молекулярном потоке при диффузном (1) и зеркальном (2) отражении Дополнительная литература 1. Аэрогидромеханика: Учебник для студентов высших технических учебных заведений/ Е. Н. Бондарев, В. Т. Дубасов, Ю. А. Рыжов и др. – М.: Машиностроение, 1993. – 608 с. 2. Аэродинамика летательных аппаратов: учебник для вузов/ Г. А. Колесников, В. К. Марков, А. А. Михайлюк и др. – М.: Машиностроение, 1993. – 544 с. 3. Основы прикладной аэрогазодинамики. В 2 кн. Кн. 1. Аэродинамика крыла (профиля), корпуса и их комбинаций: Учеб. Пособие для техн. вузов/ Н. Ф. Краснов, Е. Э. Боровский, А. И. Хлупнов. М.: Высш. шк., 1990. – 336 с. 4. Основы прикладной аэрогазодинамики. В 2 кн. Кн. 2. Обтекание тел вязкой жидкостью. Рулевые устройства: Учеб. Пособие для втузов./ Н. Ф. Краснов, В. Н. Кошевой, В. Ф. Захарченко и др. – М.: Высш. шк., 1991. – 358 с. 5. Петров К. П. Аэродинамика тел простейших форм. М.: Факториал, 1998. – 432 с. 6. Петров К. П. Аэродинамика транспортных космических систем. М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 368 с.
