ÊÈÂÑÜÊÈÉ ÍÀÖIÎÍÀËÜÍÈÉ ÓÍIÂÅÐÑÈÒÅÒ
iìåíi ÒÀÐÀÑÀ ØÅÂ×ÅÍÊÀ
I.Ñ. Äîöåíêî, Î.I. ßêèìåíêî
Ìåòîäè÷íi ðåêîìåíäàöi¨
äî ïðàêòè÷íèõ çàíÿòü ç êóðñó
"Ìåòîäè ìàòåìàòè÷íî¨ ôiçèêè"
äëÿ ñòóäåíòiâ ôiçè÷íîãî ôàêóëüòåòó
Êè¨â 2006
Ìåòîäè÷íi ðåêîìåíäàöi¨ äî ïðàêòè÷íèõ çàíÿòü ç êóðñó "Ìåòîäè ìàòåìàòè÷íî¨ ôiçèêè"äëÿ ñòóäåíòiâ ôiçè÷íîãî ôàêóëüòåòó/ I.Ñ.Äîöåíêî,
Î.I.ßêèìåíêî, - Ê.: ÐÂÖ "Êè¨âñüêèé óíiâåðñèòåò", 2006. - 50 ñ.
Ðåöåíçåíòè:
Êè¨âñüêèé óíiâåðñèòåò iìåíi Òàðàñà Øåâ÷åíêà, 2006.
3
4
Çìiñò
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Âñòóï. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ìåòîä õàðàêòåðèñòèê. . . . . . . . . . . . .
Ìåòîä ðîçäiëåííÿ çìiííèõ . . . . . . . . . .
Çàäà÷i ç âèêîðèñòàííÿì δ -ôóíêöié. . . . . .
Ìåòîä ðîçäiëåííÿ çìiííèõ ç âèêîðèñòàííÿì
ñïåöiàëüíèõ ôóíêöié. . . . . . . . . . . . .
Iíòåãðàëüíi ðiâííÿííÿ. . . . . . . . . . . . .
5
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6
14
16
43
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
44
47
1. Âñòóï.
Òåîðåòè÷íi äîñëiäæåííÿ ðiçíîìàíiòíèõ ôiçè÷íèõ ïðîöåñiâ i ÿâèù â áàãàòüîõ âèïàäêàõ çâîäÿòüñÿ äî ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷, îñíîâíèìè ñêëàäîâèìè
ÿêèõ ¹ äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè äðóãîãî ïîðÿäêó. Ïðèêëàäàìè òàêèõ ðiâíÿíü ¹: õâèëüîâå ðiâíÿííÿ, ùî îïèñó¹ äèíàìiêó
ïîøèðåííÿ õâèëü ðiçíî¨ ïðèðîäè, ðiâíÿííÿ òåïëîïðîâiäíîñòi i äèôóçi¨,
ùî îïèñóþòü ïðîöåñè ïåðåíåñåííÿ â ñåðåðåäîâèùi òåïëîòè àáî ðå÷îâèíè,
ðiâíÿííÿ Ëàïëàñà i Ïóàñîíà, äîáðå âiäîìi ç ðîçäiëó "Åëåêòðîñòàòèêà",
òîùî. Êëþ÷îâå ðiâíÿííÿ êâàíòîâî¨ ìåõàíiêè ðiâíÿííÿ Øðüîäiíãåðà
òàêîæ ÿâëÿ¹ ñîáîþ äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè.
Îñíîâíi âëàñòèâîñòi äèôåðåíöiàëüíèõ ðiâíÿíü ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè ðîçãëÿíåìî ñïî÷àòêó íà ïðèêëàäi ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó ç äâîìà
íåçàëåæíèìè çìiííèìè, çàãàëüíèé âèðàç ÿêîãî ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿäi:
F (x, y, u, ux , uy , uxx , uxy , uyy ) = 0,
(1.1)
òîáòî öå äåÿêå ñïiââiäíîøåííÿ ìiæ íåçàëåæíèìè çìiííèìè x, y , øóêàíîþ ôóíêöi¹þ u(x, y), ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè ïåðøîãî ux , uy òà äðóãîãî
uxx , uxy , uyy ïîðÿäêiâ âiä øóêàíî¨ ôóíêöi¨. Òóò i íàäàëi äëÿ ñêîðî÷åí∂u
∂2u
íÿ âèêîðèñòîâóþòüñÿ òàêi ïîçíà÷åííÿ: ux ≡ ∂u
∂x , uy ≡ ∂y , uxx ≡ ∂x2 ,
2
2
∂ u
, uyy ≡ ∂∂yu2 . Ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿ (1.1) íàçèâà¹òüñÿ áóäü-ÿêà
uxy ≡ ∂x∂y
ôóíêöiÿ, ùî ïåðåòâîðþ¹ äàíå ðiâíÿííÿ â òîòîæíiñòü.
 óíiâåðñèòåòñüêîìó êóðñi ôiçèêè çàñòîñîâóþòüñÿ ïåðåâàæíî ëiíiéíi
äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ. Ëiíiéíi äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè ç äâîìà íåçàëåæíèìè çìiííèìè ñàìîãî
çàãàëüíîãî âèãëÿäó ïðåäñòàâëÿþòüñÿ âèðàçîì:
a11 uxx + 2a12 uxy + a22 uyy + b1 ux + b2 uy + cu = f,
(1.2)
äå êîåôiöi¹íòè aij , bi , c òà ôóíêöiÿ f çàëåæàòü òiëüêè âiä çìiííèõ x, y i
íå çàëåæàòü âiä øóêàíî¨ ôóíêöi¨ u òà ¨¨ ïîõiäíèõ. Ôóíêöiÿ f (x, y) ââàæà¹òüñÿ çàäàíîþ. ßêùî f (x, y) ≡ 0, òî ðiâíÿííÿ (1.2) íàçèâà¹òüñÿ îäíîðiäíèì. Êîåôiöi¹íòè a11 , a12 i a22 íàçèâàþòü êîåôiöi¹íòàìè ïðè ñòàðøèõ
ïîõiäíèõ (òîáòî ïðè ïîõiäíèõ íàéâèùîãî, â äàíîìó ðiâíÿííi, ïîðÿäêó).
×àñòî çàìiñòü çìiííèõ x, y â ðiâíÿííi (1.2) äîöiëüíî îáðàòè iíøi, íîâi
íåçàëåæíi çìiííi ξ, η , ùî ïîâ'ÿçàíi çi "ñòàðèìè" çìiííèìè ïåâíèì ÷èíîì:
ξ = ξ(x, y), η = η(x, y). Íåçàëåæíiñòü íîâèõ çìiííèõ ξ i η ìiæ ñîáîþ
6
âèçíà÷à¹òüñÿ óìîâîþ âiäìiííîñòi âiä íóëÿ ßêîáiàíó ïåðåõîäó äî íîâèõ
çìiííèõ:
¯
¯
¯ ξx ξy ¯
¯
¯
¯ ηx ηy ¯ = ξx ηy − ξy ηx /≡ 0.
(1.3)
Ïðè ïåðåõîäi âiä ñòàðèõ çìiííèõ äî íîâèõ ðiâíÿííÿ (1.1) àáî (1.2) ïåâíèì
÷èíîì ïåðåòâîðþ¹òüñÿ. Ïðè öüîìó ëiíiéíå ðiâíÿííÿ çàâæäè ïåðåòâîðþ¹òüñÿ â ëiíiéíå.  ïåðåòâîðåíîìó ðiâíÿííi øóêàíà ôóíêöiÿ, ¨¨ ïîõiäíi
i êîåôiöi¹íòè ðiâíÿííÿ çàëåæàòü âiä íîâèõ çìiííèõ. Øëÿõîì ïåâíîãî
öiëåñïðÿìîâàíîãî âèáîðó íîâèõ çìiííèõ ðiâíÿííÿ (1.2) ìîæíà ñóòò¹âî
ñïðîñòèòè, çâiâøè éîãî äî òèïîâîãî, òàê çâàííîãî êàíîíi÷íîãî âèäó. Â
çàëåæíîñòi âiä çíà÷åííÿ âèðàçó (äèñêðèìiíàíòó ) D = a212 − a11 a22 , ñêëàäåíîãî ç êîåôiöi¹íòiâ ðiâíÿííÿ (1.2), îñòàíí¹ âiäíîñèòüñÿ äî îäíîãî ç
òðüîõ òèïiâ.
Ïðè D > 0 ðiâíÿííÿ (1.2) ì๠íàçâó ðiâíÿííÿ ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó.
Áóäü-ÿêå ðiâíÿííÿ ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó øëÿõîì íàëåæíîãî âèáîðó íîâèõ
çìiííèõ ξ = ξ(x, y) i η = η(x, y) ìîæíà çâåñòè äî âiäïîâiäíîãî êàíîíi÷íîãî âèäó (ðîçãëÿäà¹òüñÿ âèïàäîê îäíîðiäíîãî ðiâíÿííÿ, êîëè f = 0):
uξη + b̄1 uξ + b̄2 uη + c̄u = 0.
(1.4)
Íàñòóïíèì ïåðåòâîðåííÿì, øëÿõîì âèáîðó iíøèõ çìiííèõ α = 12 (ξ + η),
β = 12 (ξ − η) ðiâíÿííÿ (1.4) ìîæíà ïðåäñòàâèòè â iíøié ôîðìi
uαα − uββ + b̃1 uα + b̃2 uβ + c̃u = 0,
(1.5)
ùî òàêîæ ââàæà¹òüñÿ êàíîíi÷íîþ.
ßêùî D < 0, òî ðiâíÿííÿ (1.2) íàçèâà¹òüñÿ ðiâíÿííÿì åëiïòè÷íîãî
òèïó i êàíîíi÷íèé âèä öüîãî ðiâíÿííÿ ïðåäñòàâëÿ¹òüñÿ âèðàçîì:
uξξ + uηη + b̄1 uα + b̄2 uβ + c̄u = 0.
(1.6)
ßêùî D = 0, òî ðiâíÿííÿ (1.2) ì๠íàçâó ðiâíÿííÿ ïàðàáîëi÷íîãî òèïó,
i êàíîíi÷íà ôîðìà òàêîãî ðiâíÿííÿ çàïèñó¹òüñÿ ó âèãëÿäi
uηη + b̄1 uα + b̄2 uβ + c̄u = 0.
(1.7)
Íàçâè "ãiïåáîëi÷íèé", "åëiïòè÷íèé" òà "ïàðàáîëi÷íèé" òèï íàäàíî
ðiâíÿííÿì, âèõîäÿ÷è ç àíàëîãi¨, ïðè ïîðiâíÿííi ç íàçâàìè êðèâèõ äðóãîãî
ïîðÿäêó, ùî îïèñóþòüñÿ êâàäðàòè÷íîþ ôîðìîþ çàãàëüíîãî âèäó
a11 x2 + 2a12 xy + a22 y 2 + b1 x + b2 y + c = 0.
7
(1.8)
ßêùî D = a212 − a11 a22 > 0, òî ðiâíÿííÿ (1.8) ¹ ðiâíÿííÿì ãiïåðáîëè,
ÿêùî D < 0, òî âiäïîâiäíà êðèâà ¹ åëiïñîì, ÿêùî D = 0 ïàðàáîëîþ.
Ñëiä çàóâàæèòè, ùî ðiâíÿííÿ ðiçíîãî òèïó âiäðiçíÿþòüñÿ îäíå âiä
îäíîãî íå òiëüêè çîâíiøíiì âèãëÿäîì, à ùî áiëüø ñóòò¹âî, âîíè ÿêiñíî âiäðiçíÿþòüñÿ õàðàêòåðîì ðîçâ'ÿçêiâ i îïèñóþòü ïðèíöèïîâî ðiçíi
ôiçè÷íi ïðîöåñè i ÿâèùà. Ðiâíÿííÿ ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó âèðàæàþòü äèíàìiêó õâèëüîâèõ ïðîöåñiâ, ðîçâ'ÿçêè òàêèõ ðiâíÿíü, çîêðåìà, îïèñóþòü
ïîøèðåííÿ çâóêîâèõ àáî åëåêòðîìàãíiòíèõ õâèëü à òàêîæ ñòîÿ÷i õâèëi â ðiçíèõ ñåðåäîâèùàõ. Ðiâíÿííÿ ïàðàáîëi÷íîãî òèïó îïèñóþòü ïðîöåñè äèôóçi¨ àáî ïîøèðåííÿ òåïëîòè. Ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿíü åëiïòè÷íîãî òèïó,
ÿê ïðàâèëî, îïèñóþòü ñòàöiîíàðíèé ðîçïîäië òåìïåðàòóðè â ñåðåäîâèùi,
ñòàöiîíàðíèé ðîçïîäië êîíöåíòðàöi¨ ðå÷îâèíè, àáî ðîçïîäië â ïðîñòîði
åëåêòðîñòàòè÷íîãî ïîòåíöiàëó ïðè çàäàíîìó ðîçïîäiëi çàðÿäiâ.
ßêùî êîåôiöi¹íòè aij , bi òà c â ðiâíÿííi (1.2) ¹ ñòàëèìè âåëè÷èíàìè, òîáòî íå çàëåæàòü âiä x i y , òî ïiñëÿ çâåäåííÿ äî êàíîíi÷íîãî âèäó
ðiâíÿííÿ çàëèøàþòüñÿ ðiâíÿííÿìè çi ñòàëèìè êîåôiöi¹íòàìè.
Êàíîíi÷íó ôîðìó ðiâíÿííÿ iç ñòàëèìè êîåôiöi¹íòàìè ìîæíà ùå äîäàòêîâî ñïðîñòèòè øëÿõîì çàìiíè øóêàíî¨ ôóíêöi¨: u(ξ, η) = eλξ+µη v(ξ, η).
Íàëåæíèì ïiäáîðîì çíà÷åíü ïàðàìåòðiâ λ i µ ðiâíÿííÿ çâîäèòüñÿ äî íàñòóïíîãî îñòàòî÷íîãî âèãëÿäó.
vξη + γv = 0, àáî vξξ − vηη + γv = 0 ðiâíÿííÿ ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó.
vξξ + vηη + γv = 0 ðiâíÿííÿ åëiïòè÷íîãî òèïó.
vηη + b̄2 vη + γv = 0 ðiâíÿííÿ ïàðàáîëi÷íîãî òèïó.
Òåîðåòè÷íå îáãðóíòóâàííÿ çâåäåííÿ ðiâíÿííÿ äî êàíîíi÷íîãî âèäó íàâåäåíå â [2].
Íà äîïîìîãó ïðàêòè÷íié ïðîöåäóði çâåäåííÿ ðiâíÿíü äî êàíîíi÷íîãî
âèäó íàâîäèìî ñõåìó, â ÿêié âiäîáðàæåíà ïîñëiäîâíiñòü äié äëÿ îòðèìàííÿ êàíîíi÷íîãî âèäó ðiâíÿííÿ.
8
Ñõåìà çâåäåííÿ äèôåðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó
ç äâîìà íåçàëåæíèìè çìiííèìè äî êàíîíi÷íîãî âèãëÿäó.
9
Çàñòîñóâàííÿ òàáëèöi äåìîíñòðó¹òüñÿ â íàñòóïíîìó ïðèêëàäi.
Ïðèêëàä 1
Çâåñòè äî êàíîíi÷íîãî âèäó ðiâíÿííÿ:
1
1
xuxx − yuyy + ux − uy = 0
2
2
• Ïîðiâíþ¹ìî äàíå ðiâíÿííÿ iç çàãàëüíèì âèðàçîì (1.2) äëÿ ëiíiéíîãî
äèôåðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó ç äâîìà íåçàëåæíèìè
çìiííèìè i âèçíà÷à¹ìî êîåôiöi¹íòè ðiâíÿííÿ: a11 = x, a12 = 0 ,
a22 = −y , b1 = 21 , b2 = − 12 , c = 0.
• Âèçíà÷à¹ìî äèñêðèìiíàíò D i âñòàíîâëþ¹ìî òèï ðiâíÿííÿ. D =
a212 − a11 a22 ⇒ D = xy. Çâiäñè âèäíî, ùî â çàëåæíîñòi âiä çíàêiâ
x òà y äèñêðèìiíàíò ìîæå áóòè äîäàòíiì àáî âiä'¹ìíèì.
y
Еліптичний
тип
Гіперболічний
тип
x
0
Гіперболічний
тип
Еліптичний
тип
Íà ïëîùèíi (x, y) âñòàíîâëþ¹ìî îáëàñòi â, ÿêèõ äèñêðèìiíàíò ìà¹
ïîñòiéíèé çíàê. Â ïåðøîìó êâàäðàíòi (x > 0, y > 0) òà â òðåòüîìó
êâàäðàíòi (x < 0, y < 0) äèñêðèìiíàíò D > 0 i, îòæå, äàíå ðiâíÿííÿ ¹ ðiâíÿííÿì ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó.  äðóãîìó (x < 0, y > 0) i â
÷åòâåðòîìó (x > 0, y < 0) êâàäðàíòàõ äèñêðèìiíàíò D < 0. Îòæå,
ðiâíÿííÿ âiäíîñèòüñÿ äî ðiâíÿíü åëiïòè÷íîãî òèïó. Âçäîâæ êîîðäèíàòíèõ îñåé ðiâíÿííÿ ì๠ïàðàáîëi÷íèé òèï (D = 0).
Âèçíà÷à¹ìîñü, ç îáëàñòþ â ÿêié òðåáà çâåñòè ðiâíÿííÿ äî êàíîíi÷íîãî âèäó. Îáåðåìî, íàïðèêëàä, ïåðøèé êâàäðàíò, òîáòî îáëàñòü
äå x > 0 i y > 0.
• Çàïèñó¹ìî õàðàêòåðèñòè÷íå ðiâíÿííÿ:
p
√
√
xy
y
a12 ± a212 − a11 a22
dy
dy
dy
=
⇒
=±
, àáî
= ±√
dx
a11
dx
x
dx
x
Äâîì çíàêàì "+" òà "−" âiäïîâiäàþòü äâà ðiçíi õàðàêòåðèñòè÷íi
ðiâíÿííÿ:
1) y 0 =
√
√
√ √
y/ x, 2) y 0 = − y/ x.
10
• Iíòåãðó¹ìî äèôåðåíöiàëüíi ðiâíÿííÿ ïåðøîãî ïîðÿäêó i çíàõîäèìî
âiäïîâiäíi çàãàëüíi iíòåãðàëè:
½ √
½√
√
√
2 x − 2 y = C̃1
x − y = C1
√
√
àáî
√
√
x + y = C2 .
2 x + 2 y = C̃2 ,
Çãiäíî òåîði¨, íîâi çìiííi ξ òà η îáèðàþòüñÿ ôîðìàëüíîþ çàìiíîþ
√
√
√
√
C1 → ξ , C2 → η : ξ = x − y , η = x + y , àáî
½
1
1
ξ = x2 − y 2
1
1
η = x2 + y 2 .
• Äëÿ çíàõîäæåííÿ êîåôiöi¹íòiâ ïåðåòâîðåíîãî ðiâíÿííÿ ïîïåðåäíüî
çíàõîäèìî ÷àñòèííi ïîõiäíi:
ξx = 12 x−1/2
ξxx = − 14 x−3/2
ξy = − 21 y −1/2
ξyy = 41 y −3/2
ξxy = 0
ηx = 12 x−1/2
ηxx = − 14 x−3/2
ηy = 12 y −1/2
ηyy = − 41 y −3/2
ηxy = 0.
• Îá÷èñëþ¹ìî êîåôiöi¹íòè ïåðåòâîðåíîãî ðiâíÿííÿ:
µ
¶2
µ
¶2
1
1 1
1
ā11 = a11 ξx2 +2a12 ξx ηy +a22 ξy2 = x
x−1/2 +0−y − y −1/2 = − = 0,
2
2
4 4
µ
¶2
µ
¶2
1 −1/2
1 −1/2
1 1
2
2
+0−y
= − = 0,
ā22 = a11 ηx +2a12 ηx ηy +a22 ηy = x
x
y
2
2
4 4
ā12 = a11 ξx ηx + a12 (ξx ηy + ξy ηx ) + a22 ξy ηy =
µ
¶µ
¶
¶µ
¶
1 −1/2
1 1 1
1 −1/2
1 −1/2
1 −1/2
x
x
+0−y − y
y
= + = ,
=x
2
2
2
2
4 4 2
1
1
b̄1 = L̂ξ = xξxx − yξyy + ξx − ξy =
2
2
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 −3/2
1 −3/2
1 1 −1/2
1
1 −1/2
=x − x
y
x
−y
+
−
− y
= 0,
4
4
2 2
2
2
1
1
b̄2 = L̂η = xηxx − yηyy + ηx − ηy =
2
2
µ
¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1 −3/2
1 −3/2
1 1 −1/2
1 1 −1/2
=x − x
x
y
−y − y
+
−
= 0,
4
4
2 2
2 2
µ
11
c̄ = c = 0.
Çàóâàæèìî, ùî â äàííîìó âèïàäêó îá÷èñëåííÿ êîåôiöi¹íòiâ ā11 òà
ā22 íå ¹ îáîâ'ÿçêîâèì, îñêiëüêè, çãiäíî òåîði¨ ó âèïàäêó ðiâíÿíü ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó öi êîåôiöi¹íòè çàâæäè äîðiâíþþòü íóëþ. Àëå áåçïîñåðåäí¹ îá÷èñëåííÿ êîåôiöi¹íòiâ ā11 òà ā22 äîçâîëÿ¹ ïåðåâiðèòè
ïðàâèëüíiñòü çíàõîäæåííÿ çàãàëüíèõ iíòåãðàëiâ õàðàêòåðèñòè÷íèõ
ðiâíÿíü.
• Âðàõîâóþ÷è îòðèìàíi çíà÷åííÿ íîâèõ êîåôiöi¹íòiâ, çàïèøåìî ïåðåòâîðåíå ðiâíÿííÿ:
2ā12 uξη = 0,
àáî îñòàòî÷íî:
uξη = 0.
 äàíîìó âèïàäêó, çàâäÿêè ñïåöiàëüíîìó âèáîðó êîåôiöi¹íòiâ aij i bi ,
êiíöåâèé âèðàç äëÿ ðiâíÿííÿ âèÿâèâñÿ íàéïðîñòiøèì ç óñiõ ìîæëèâèõ
äëÿ ðiâíÿíü ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó.  áiëüø çàãàëüíîìó âèïàäêó, ïiñëÿ âñiõ
íàâåäåíèõ âèùå îïåðàöié, ðiâíÿííÿ ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó íàáóâ๠âèãëÿäó:
2ā12 uξη + b̄1 uξ + b̄2 uη + c̄u = 0,
àáî ïiñëÿ äiëåííÿ íà 2a12 :
uξη + b̃1 uξ + b̃2 uη + c̃u = 0.
Òóò êîåôiöi¹íòè b̃1 , b̃2 òà c̃ ìîæóòü çàëåæàòè âiä ñòàðèõ çìiííèõ x òà y . Çà
äîïîìîãîþ îáåðíåíîãî ïåðåòâîðåííÿ, ç ðiâíîñòåé ξ = ξ(x, y), η = η(x, y)
ñòàði çìiííi âèðàæà¹ìî ÷åðåç íîâi: x = x(ξ, η), y = y(ξ, η) i ïiäñòàâëÿ¹ìî
â êîåôiöi¹íòè b̃1 , b̃2 òà c̃. Òîäi ðiâíÿííÿ çàïèøåòüñÿ âèêëþ÷íî ÷åðåç íîâi
çìiííi ξ òà η .
Àíàëîãi÷íî ìîæíà çâåñòè ðiâíÿííÿ äî êàíîíi÷íîãî âèäó i â iíøèõ êâàäðàíòàõ.
Äëÿ âïåâíåíîãî çàñâî¹ííÿ ìåòîäó ðåêîìåíäó¹òüñÿ ñàìîñòiéíî îïðàöþâàòè íàâåäåíi íèæ÷å çàâäàííÿ.
12
Çâåñòè äî êàíîíi÷íîãî âèäó òà ñïðîñòèòè ðiâíÿííÿ:
1.1. uxx − 2 sin xuxy + (2 − cos2 x)uyy = 0
1.2. x2 uxx − y 2 uyy − 2uy = 0
1.3. xuxx + yuyy + 2ux + 2uy = 0
1.4.
1 ∂
x ∂x
¡ ∂u ¢
x ∂x +
1 ∂2u
x2 ∂y 2
=0
1.5. (1 + x2 )2 uxx + uyy + 2x(1 + x2 )ux = 0
1.6. x2 uxx − 2xyuxy − y 2 uyy + xux + uy = 0
1.7. uxx + yuyy = 0
1.8. xuxx + 2xuxy + (x − 1)uyy = 0
1.9. yuxx + xuyy = 0
1.10. signx uxx + 2uxy + signy uyy = 0
1.11. x2 uxx + 2xyuxy + y 2 uyy = 0
1.12. e2x uxx + 2ex+y uxy + e2y uyy − u = 0
1.13. xuxx + 2xuxy + (x − 1)uyy = 0
1.14. xuxx + yuyy + 2ux + 2uy = 0
1.15. uxx + xyuyy = 0
1.16. uxx + uxy − 2uyy − 3ux − 15uy + 27x = 0
1.17. uxx + 2uxy + 5uyy − 32u = 0
1.18. uxx − 2uxy + uyy + ux + uy − u = 0
1.19. uxy + 2uyy − ux + 4uy + u = 0
1.20. uxx − 4uxy + 5uyy − 3ux + uy + u = 0
13
2. Ìåòîä õàðàêòåðèñòèê.
2.1.  ìîìåíò ÷àñó t = 0 íåîáìåæåíà ñòðóíà áóëà çáóäæåíà âiäõèëåííÿì,
çîáðàæåíèì íà ðèñóíêó. Íàìàëþâàòè ïðîôiëi ñòðóíè äëÿ ìîìåíòiâ
kc
÷àñó tk = 4a
, k = 0, 1, 2, 3, 5.
2.2. Ïî íåîáìåæåíié ñòðóíi áiæèòü õâèëÿ ϕ(x − at), äå ϕ íåçàëåæíà
ôóíêöiÿ. Ïðèéíÿâøè öþ õâèëþ çà ïî÷àòêîâå çáóðåííÿ ñòðóíè ïðè
t = 0, çíàéòè ñòàí ñòðóíè ïðè t > 0.
2.3. Áåçìåæíà ñòðóíà â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò íà äiëÿíöi x ∈ [−c, c] ìà¹
ôîðìó ñèìåòðè÷íî¨ ïàðàáîëè. (a) Çíàéòè ïðîôiëü ñòðóíè (àíàëiòè÷íèé âèðàç äëÿ çìiùåííÿ u(x, t)) ó áóäü-ÿêèé ìîìåíò t > 0. (á)
Çíàéòè çìiùåííÿ òî÷îê ñòðóíè ç ðiçíèìè çíà÷åííÿìè êîîðäèíàòè x.
2.4.  ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó ÷àñòèíà x ∈ [−c, c] íåîáìåæåíî¨ ñòðóíè
ìàëà ïîïåðå÷íó øâèäêiñòü v0 , âñi iíøi ÷àñòèíè ñòðóíè ìàëè íóëüîâó
øâèäêiñòü. (à) Çíàéòè àíàëiòè÷íi ôîðìóëè äëÿ çìiùåííÿ ñòðóíè ç
ðiçíèìè çíà÷åííÿìè êîîðäèíàòè ïðè t > 0. (á) Íàìàëþâàòè ïðîôiëi
kc
ñòðóíè äëÿ ìîìåíòiâ ÷àñó tk = 4a
, k = 0, 2, 4, 6.
2.5.  ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó â òî÷öi x = x0 ïî íåîáìåæåíié ñòðóíi
âäàðèëè âóçüêèì ìîëîòî÷êîì, íàäàâøè ñòðóíi iìïóëüñ I . Çíàéòè
âiäõèëåííÿ u(x, t) òî÷îê ñòðóíè âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè ïðè t > 0,
ÿêùî ïî÷àòêîâi çìiùåííÿ òî÷îê ñòðóíè äîðiâíþþòü íóëþ.
14
2.6. Íàïiâîáìåæåíà ñòðóíà â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó ì๠ôîðìó, ùî
kc
çîáðàæåíà íà ðèñóíêó. Íàìàëþâàòè ïðîôiëü ñòðóíè ïðè tk = 2a
,
k = 0, 2, 3, 4, 7, ÿêùî (à) ñòðóíà çàêðiïëåíà íà êiíöi; (á) ñòðóíà ìà¹
âiëüíèé êiíåöü.
2.7. Çíàéòè âiäõèëåííÿ âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè u(x, t) ñòðóíè äîâæè-
íîþ l, ÿêùî êiíöi x = 0, x = l çàêðiïëåíi, ïî÷àòêîâà øâèäêiñòü
äîðiâíþ¹ íóëþ, à ïî÷àòêîâå çìiùåííÿ çàäàíå: u(x, 0) = A sin(πx/l)
ïðè x ∈ [0, l].
2.8. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó 2.5 äëÿ íàïiâîáìåæåíî¨ ñòðóíè ç çàêðiïëåíèì êiíöåì.
15
3. Ìåòîä ðîçäiëåííÿ çìiííèõ
Ìåòîä ðîçäiëåííÿ çìiííèõ, àáî ìåòîä Ôóð'¹, ¹ ïîòóæíèì i íàéáiëüø ïîøèðåíèì çàñîáîì ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷íî¨ ôiçèêè. Îïàíóâàííÿ äàíîãî ìåòîäó ¹ ïåðåäóìîâîþ çàñâî¹ííÿ ðiçíîìàíiòíèõ ïèòàíü òåîðåòè÷íî¨ i ìàòåìàòè÷íî¨ ôiçèêè. Çîêðåìà, çàäà÷à íà âëàñíi çíà÷åííÿ, àáî
çàäà÷à Øòóðìà-Ëióâiëëÿ, ùî ¹ îáîâ'ÿçêîâîþ ñêëàäîâîþ ìåòîäó ðîçäiëåííÿ çìiííèõ, ìiñòèòü â ñîái êëþ÷ äî ðîçóìiííÿ êâàíòóâàííÿ (íàáóòòÿ
äèñêðåòíèõ ìîæëèâèõ çíà÷åíü) ôiçè÷íèõ âåëè÷èí â êâàíòîâié ìåõàíèöi.
Òèïîâèìè çàäà÷àìè, äî ðîçâ'ÿçóâàííÿ ÿêèõ çàñòîñîâó¹òüñÿ ìåòîä ðîçäiëåííÿ çìiííèõ, ¹ êðàéîâi çàäà÷i â îáìåæåíèõ îáëàñòÿõ ç ðiâíÿííÿìè
ãiïåðáîëi÷íîãî, ïàðàáîëi÷íîãî i åëiïòè÷íîãî òèïiâ. Åôåêòèâíiñòü ìåòîäó
ïîëÿã๠ó ñóòò¹âîìó ñïðîùåííi çàäà÷i øëÿõîì çâåäåííÿ ïðîáëåìè ðîçâ'ÿçóâàííÿ äèôåðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè äî ðîçâ'ÿçóâàííÿ çâè÷àéíîãî äèôåðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ. Áåçïîñåðåäíüî ñàì ìåòîä ÿâëÿ¹ ñîáîþ ïåâíó ïîñëiäîâíiñòü äié, ÿêi çà ñâî¹þ ñóòòþ îäíàêîâi
äëÿ ðiçíèõ çàäà÷, íåçàëåæíî âiä ¨õ ôiçè÷íîãî çìiñòó i ñêëàäíîñòi. Îòæå,
çìiñò ìåòîäó ðîçäiëåííÿ çìiííèõ ìîæíà ïîÿñíèòè íà ïðèêëàäi äîñèòü
ïðîñòî¨ ôiçè÷íî¨ çàäà÷i.
Çàäà÷à ïðî âiëüíi êîëèâàííÿ îáìåæåíî¨ ñòðóíè.
Îáãîâîðèìî ôiçè÷íèé çìiñò çàäà÷i, òà ñôîðìóëþ¹ìî ¨¨ ïîâíó ìàòåìàòè÷íó ïîñòàíîâêó. Íàòÿãíóòà ñòðóíà äîâæèíîþ l, ùî çàêðiïëåíà æîðñòêî
íà êiíöÿõ, ìîæå êîëèâàòèñü â ïîïåðå÷íîìó âiäíîñíî ñòðóíè íàïðÿìêó.
Íåõàé â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò t0 = 0 êîæíà òî÷êà ñòðóíè çìiùåíà â ïîïåðå÷íîìó íàïðÿìêó íà âåëè÷èíó u(x, 0) = ϕ(x) i ðóõà¹òüñÿ iç øâèäêiñòþ
ut (x, 0) = ψ(x), äå x êîîðäèíàòà òî÷êè â ñòàíi ñïîêîþ ñòðóíè â ïîëîæåííi ðiâíîâàãè. Ïî÷àòêîâi âiäõèëåííÿ âñiõ òî÷îê ñòðóíè i ïî÷àòêîâi
øâèäêîñòi ëåæàòü â îäíié ïëîùèíi (ïëîùèíà (u, x)). Îòæå, çðîçóìiëî
ùî êîëèâàííÿ ñòðóíè áóäå âiäáóâàòèñü â òié ñàìié ïëîùèíi. Ââàæà¹ìî,
ùî íà ñòðóíó â ïîïåðå÷íîìó íàïðÿìêó íå äiþòü íiÿêi çîâíiøíi ñèëè. Ïiä
16
äi¹þ âíóòðiøíiõ ñèë, âíàñëiäîê ïî÷àòêîâîãî çìiùåííÿ âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè i âíàñëiäîê íàÿâíîñòi ïî÷àòêîâî¨ øâèäêîñòi, òî÷êè ñòðóíè áóäóòü
ïåâíèì ÷èíîì êîëèâàòèñü íàâêîëî ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè. Çàäà÷à ïîëÿãà¹
â òîìó, ùîá çíàéòè çìiùåííÿ u(x, t) áóäü-ÿêî¨ òî÷êè ñòðóíè 0 < x < l â
äîâiëüíèé ìîìåíò ÷àñó t > 0.
Ìàòåìàòè÷íå ôîðìóëþâàííÿ äàíî¨ çàäà÷i ñòèñëî çàïèñó¹òüñÿ ó âèãëÿäi:
utt = a2 uxx , 0 < x < l, t > 0,
(3.1)
½
½
u(0, t) = 0,
u(l, t) = 0;
(3.2)
u(x, 0) = ϕ(x),
ut (x, 0) = ψ(x).
(3.3)
Øóêàíà ôóíêöiÿ u(x, t) çàëåæèòü âiä äâîõ çìiííèõ: êîîðäèíàòè x i ÷àñó t.
Äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè (3.1)
îïèñó¹ äèíàìiêó ïðîöåñó êîëèâàíü ñóêóïíîñòi óñiõ òî÷îê ñòðóíè. Ïðè
âèâåäåííi äàíîãî ðiâíÿííÿ âðàõîâàíî äðóãèé çàêîí Íüþòîíà i çàêîí Ãóêà,
i êðiì òîãî, ââàæàëîñü, ùî âíóòðiøí¹ òåðòÿ âiäñóòí¹ i, ÿê çàçíà÷åíî âèùå,
âiäñóòíi çîâíiøíi ñèëè. Ïàðàìåòð a, ùî âõîäèòü â ðiâíÿííÿ, çàëåæèòü âiä
ñèëè íàòÿãó
ñòðóíè T i ëiíiéíî¨ ãóñòèíè (ìàñè îäèíèöi äîâæèíè) ñòðóíè
p
ρ: a = T /ρ. Êðàéîâi óìîâè (3.2) âiäîáðàæàþòü ôiçè÷íi óìîâè íà êiíöÿõ
ñòðóíè, à ñàìå: êiíöi ñòðóíè æîðñòêî çàêðiïëåíi, îòæå, çìiùåííÿ òî÷îê,
ùî ìàþòü êîîðäèíàòè x = 0, x = l, äîðiâíþþòü íóëþ â óñi ìîìåíòè ÷àñó
t > 0.
Çìiñò ïî÷àòêîâèõ óìîâ (3.3) ç'ÿñîâàíî âèùå. Ïðè ìàòåìàòè÷íîìó ôîðìóëþâàííi çàäà÷i ñëiä îáîâ'ÿçêîâî âêàçàòè òàêîæ ìåæi, â ÿêèõ íàáóâàþòü
çíà÷åíü íåçàëåæíi çìiííi x i t.
Ïiä êîðåêòíîþ ïîñòàíîâêîþ çàäà÷i ðîçóìiþòü íàñòóïíå: êiëüêiñòü
óìîâ, ùî äîäàþòüñÿ äî ðiâíÿííÿ (3.1), ïîâèíà áóòè òàêîþ, ùîá, ç îäíîãî áîêó, íå áóëî çàéâèõ, iíàêøå ðîçâ'ÿçêó ìîæå íå iñíóâàòè âçàãàëi, à
ç iíøîãî áîêó, öÿ êiëüêiñòü ïîâèíà áóòè äîñòàòíüîþ, ùîá ðîçâ'ÿçîê áóâ
îäíîçíà÷íèì. Îòæå, ïðè êîðåêòíié ïîñòàíîâöi ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i iñíó¹ i âií
ëèøå îäèí. Ïðè ìàòåìàòè÷íîìó ôîðìóëþâàííi ôiçè÷íî¨ çàäà÷i äîäàòêîâi óìîâè âiäîáðàæàþòü ðåàëüíi ôiçè÷íi óìîâè i iíòó¨öiÿ ôiçèêà äîïîìàãà¹
ïîñòàâèòè çàäà÷ó êîðåêòíî.
 ìàòåìàòè÷íié ôiçèöi ðîçâ'ÿçó¹òüñÿ íå ðiâíÿííÿ, à çàäà÷à â öiëîìó.
Îòæå, ðîçâ'ÿçóâàòè çàäà÷ó ñëiä ïî÷èíàòè ëèøå ïiñëÿ ¨¨ ïîâíîãî êîðåêòíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ôîðìóëþâàííÿ. Îñêiëüêè çàäà÷ó (3.1)-(3.3) ñôîð17
ìóëüîâàíî ïîâíiñòþ i êîðåêòíî, òî íàñòóïíèì åòàïîì ¹ ðîçâ'ÿçàííÿ çàäà÷i, i äëÿ öüîãî çàñòîñó¹ìî ñàìå ìåòîä ðîçäiëåííÿ çìiííèõ.
Ïðîöåñ ðîçâ'ÿçóâàííÿ ðîçiá'¹ìî íà äåêiëüêà ïîñëiäîâíèõ êðîêiâ. Ñïî÷àòêó ïîñòàâèìî çàâäàííÿ íå â ïîâíîìó îáñÿçi çàäà÷i, à ñôîðìóëþ¹ìî
òàê çâàíó îñíîâíó äîïîìiæíó çàäà÷ó :
Çíàéòè íåòðèâiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ (3.1), ùî çàäîâîëüíÿþòü
êðàéîâèì óìîâàì (3.2) i ìàþòü âèãëÿä äîáóòêó äâîõ ôóíêöié:
u(x, t) = X(x) · T (t),
(3.4)
êîæíà ç ÿêèõ (X(x) òà T (t)) çàëåæèòü ëèøå âiä îäíi¹¨ íåçàëåæíî¨
çìiííî¨ (ëèøå âiä x àáî âiä t).
Òóò ïiä âèðàçîì íåòðèâiàëüíi ðîçâ'ÿçêè, ÿê öå çâè÷àéíî ïðèéíÿòî,
ðîçóìiþòü ðîçâ'ÿçêè, ùî íå äîðiâíþþòü íóëþ òîòîæíî: u(x, t) ≡
/ 0. Çàóâàæèìî, ùî â îñíîâíié äîïîìîæíié çàäà÷i ïî÷àòêîâi óìîâè äî óâàãè íå
áåðóòüñÿ. Äàëi âèìàãà¹ìî, ùîá ôóíêöiÿ u(x, t) çàäîâîëüíÿëà ðiâíÿííþ
(3.1), äëÿ öüîãî ïiäñòàâèìî â ðiâíÿííÿ (3.1) ôóíêöiþ u(x, t) ó âèãëÿäi
(3.4). Ïîõiäíi ïî ÷àñó t ïîçíà÷èìî êðàïêàìè, à ïîõiäíi ïî êîîðäèíàòi x
øòðèõàìè: äâi êðàïêè i äâà øòðèõè îçíà÷àòèìóòü âiäïîâiäíi ïîõiäíi
äðóãîãî ïîðÿäêó:
X(x) · T̈ (t) = a2 X 00 (x) · T (t).
Ðîçäiëèìî ëiâó i ïðàâó ÷àñòèíè îòðèìàíî¨ ðiâíîñòi íà âèðàç a2 X(x)T (t).
Òîäi ìà¹ìî:
T̈ (t)
X 00 (x)
=
.
a2 T (t)
X(x)
(3.5)
Çàóâàæèìî, i íà öüîìó çðîáèìî íàãîëîñ, ùî ðiâíiñòü (3.5) ì๠âèêîíóâàòèñü ïðè âñiõ çíà÷åííÿõ 0 < x < l, t > 0. Âíàñëiäîê íàâåäåíèõ äié
çìiííi â ðiâíîñòi (3.5) ðîçäiëèëèñü (çâiäñè íàçâà ìåòîäó ðîçäiëåííÿ çìiííèõ): ëiâà ÷àñòèíà ðiâíîñòi çàëåæèòü òiëüêè âiä t, ïðàâà ÷àñòèíà òiëüêè
âiä x.
Íàãàäà¹ìî, ùî çìiííi x i t ¹ íåçàëåæíèìè îäíà âiä îäíî¨. ßêùî, íàïðèêëàä, çàôiêñóâàòè äåÿêå çíà÷åííÿ x = x0 , à t çìiíþâàòè, òî ðiâíiñòü
(3.5) íå ïîðóøó¹òüñÿ:
X 00 (x0 )
T̈ (t)
=
.
a2 T (t)
X(x0 )
Ïðè ôiêñîâàíîìó çíà÷åííi x = x0 ïðàâà ÷àñòèíà ðiâíîñòi ¹ äåÿêîþ êîíñòàíòîþ. Ïîçíà÷èìî ¨¨ ÷åðåç (−λ). Çíàê "−" òóò íå ì๠ïðèíöèïîâîãî
18
çíà÷åííÿ, îñêiëüêè λ ìîæå áóòè ÿê äîäàòíiì, òàê i âiä'¹ìíèì. Òîäi äëÿ
âñiõ t > 0 ìà¹ìî:
T̈ (t)
= −λ,
a2 T (t)
à ç óðàõóâàííÿì (3.5) ìà¹ìî òàêîæ:
X 00 (x)
= −λ.
X(x)
Îòæå, íàñëiäêîì ðîçäiëåííÿ çìiííèõ ¹ ðiâíiñòü:
T̈ (t)
X 00 (x)
=
= −λ,
a2 T (t)
X(x)
ùî åêâiâàëåíòíî ñóêóïíîñòi äâîõ ðiâíÿíü:
T̈ (t) + λa2 T (t) = 0,
(3.6)
X 00 (x) + λX(x) = 0.
(3.7)
Âiäòåïåð çàìiñòü ðiâíÿííÿ (3.1) ç ÷àñòèííèìè ïîõiäíèìè ìà¹ìî ñïðàâó
iç çâè÷àéíèìè äèôåðåíöiàëüíèìè ðiâíÿííÿìè (3.6) òà (3.7), ïîâ'ÿçàíèìè
ìiæ ñîáîþ ëèøå ñïiëüíèì ïàðàìåòðîì ðîçäiëåííÿ λ. Äîáóòîê äîâiëüíîãî ðîçâ'ÿçêó ðiâíÿííÿ (3.6) íà äîâiëüíèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (3.7) îáîâ'ÿçêîâî áóäå ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿ (3.1). Â îñíîâíié äîïîìiæíié çàäà÷i
âèìàãà¹òüñÿ òàêîæ, ùîá öåé ðîçâ'ÿçîê çàäîâîëüíÿâ êðàéîâi óìîâè (3.2):
u(0, t) = X(0) · T (t) = 0;
u(l, t) = X(l) · T (t) = 0
(3.8)
ïðè âñiõ çíà÷åííÿõ t > 0. ßêùî ïîêëàñòè T (t) ≡ 0, òî êðàéîâi óìîâè
(3.2) çàäîâîëüíÿþòüñÿ, àëå ïðè öüîìó ðîçâ'ÿçîê u(x, t) = X(x) · T (t) äîðiâíþ¹ íóëþ òîòîæíî, òîáòî ðîçâ'ÿçîê ¹ òðèâiàëüíèì, ùî ïðîòèði÷èòü
îäíié ç óìîâ îñíîâíî¨ äîïîìiæíî¨ çàäà÷i. Îòæå, äëÿ òîãî, ùîá ðîçâ'ÿçîê áóâ íåòðèâiàëüíèì i îäíî÷àñíî ùîá óìîâè (3.2) âèêîíóâàëèñü, òðåáà
ïîêëàñòè: X(0) = 0 i X(l) = 0.
Ðîçãëÿíåìî òåïåð ðiâíÿííÿ (3.7) ðàçîì ç óìîâàìè, ùî íàêëàäàþòüñÿ
íà ôóíêöiþ X(x):
X 00 (x) + λX(x) = 0, 0 < x < l.
½
X(0) = 0,
X(l) = 0.
19
(3.9)
(3.10)
Ìè ïðèéøëè äî îêðåìî¨ çàäà÷i, òàê çâàíî¨ çàäà÷i íà âëàñíi çíà÷åííÿ,
àáî çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ. Ñôîðìóëþ¹ìî çìiñò öi¹¨ çàäà÷i:
Çíàéòè òàêi çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà λ, ïðè ÿêèõ iñíóþòü
íåòðèâiàëüíi ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ (3.9), ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâàì (3.10), à òàêîæ çíàéòè ñàìi öi ðîçâ'ÿçêè.
Çàóâàæèìî, ùî ðîçâ'ÿçêè ðiâíÿííÿ (3.9) iñíóþòü ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ λ. Àëå ðîçâ'ÿçêè, ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâàì (3.10), iñíóþòü ëèøå
ïðè ïåâíèõ λ. Çíà÷åííÿ λ, ïðè ÿêèõ iñíóþòü íåòðèâiàëüíi ðîçâ'ÿçêè (3.9)(3.10), íàçèâàþòüñÿ âëàñíèìè çíà÷åííÿìè çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ, à
ñàìi ðîçâ'ÿçêè, ùî âiäïîâiäàþòü öèì âëàñíèì çíà÷åííÿì âëàñíèìè
ôóíêöiÿìè.
Çàäà÷à Øòóðìà-Ëióâiëëÿ ¹ ñêëàäîâîþ ÷àñòèíîþ îñíîâíî¨ äîïîìiæíî¨
çàäà÷i. Îáîâ'ÿçêîâèìè ðèñàìè çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ ¹ íàÿâíiñòü ïàðàìåòðà i äîäàòêîâèõ óìîâ, ùî íàêëàäàþòüñÿ íà ðîçâ'ÿçêè äèôåðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ.
Çîñåðåäèìîñü òåïåð íà ðîçâ'ÿçàííi çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ (3.9)-(3.10).
Äëÿ öüîãî òðåáà ñïî÷àòêó çàïèñàòè çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (3.9).
Âèãëÿä öüîãî ðîçâ'ÿçêó çàëåæèòü âiä òîãî, ÷è ¹ çíà÷åííÿ ïàðàìåòðó λ
äîäàòíiì, âiä'¹ìíèì ÷è âîíî äîðiâíþ¹ íóëþ. Ðîçãëÿíåìî ïîñëiäîâíî öi
òðè âèïàäêè îêðåìî.
1. Íåõàé λ < 0. Òîäi çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (3.9) ì๠âèãëÿä:
√
√
|λ|x
− |λ|x
+ Be
.
X(x) = Ae
(3.11)
Ç'ÿñó¹ìî, ÷è iñíóþòü òàêi çíà÷åííÿ êîåôiöi¹íòiâ A i B , ïðè ÿêèõ ðîçâ'ÿçîê (3.11) çàäîâîëüíÿ¹ êðàéîâèì óìîâàì (3.10). Çàóâàæèìî, ùî A i B
íå ïîâèííi îäíî÷àñíî äîðiâíþâàòè íóëþ, îñêiëüêè ïðè A = 0 i B = 0
ðîçâ'ÿçîê X(x) ≡ 0 ¹ òðèâiàëüíèì, ùî ïðîòèði÷èòü óìîâi çàäà÷i ØòóðìàËióâiëëÿ.
Îòæå, ç êðàéîâèõ óìîâ (3.10) ìà¹ìî:
½
(
X(0) = 0
⇒
X(l) = 0
A+
√B = 0
Ae
|λ|l
+ Be
−
√
|λ|l
= 0.
(3.12)
Ìà¹ìî ñèñòåìó äâîõ àëãåáðà¨÷íèõ ðiâíÿíü âiäíîñíî íåâiäîìèõ A i B .
Îäíîðiäíà ñèñòåìà (3.12) ì๠íåòðèâiàëüíèé ðîçâ'ÿçîê (A i B íå äîðiâ20
íþþòü íóëþ îäíî÷àñíî), ÿêùî âèçíà÷íèê ñèñòåìè
¯
¯1
¯
∆ = ¯ √|λ|
¯e
l
1 √
e− |λ|
¯
¯
√
√
¯
− |λ| l
− e |λ|
¯=e
¯
l
l
äîðiâíþ¹ íóëþ. Áåçïîñåðåäíüî ç âèãëÿäó ïðàâî¨√÷àñòèíè öi¹¨√
ðiâíîñòi âèäíî, ùî â äàíîìó âèïàäêó ∆ 6= 0, îñêiëüêè e− |λ| l < 1, a e |λ| l > 1 çà
áóäü-ÿêèõ çíà÷åíü λ < 0.
Âèñíîâîê: ïðè λ < 0 çàäà÷à Øòóðìà-Ëióâiëëÿ (3.9), (3.10) íå ìà¹
ðîçâ'ÿçêiâ, òîáòî ïðè λ < 0 íå iñíó¹ âëàñíèõ çíà÷åíü, à îòæå íå iñíó¹
âiäïîâiäíèõ ¨ì âëàñíèõ ôóíêöié.
2. Íåõàé λ = 0. Òîäi ðiâíÿííÿ (3.9) íàáóâ๠âèãëÿäó
X 00 (x) = 0,
à éîãî ðîçâ'ÿçîê ¹ ëiíiéíîþ ôóíêöi¹þ x:
(3.13)
X(x) = Ax + B.
Ç óìîâ (3.10) ìà¹ìî:
½
X(0) = 0
⇒
X(l) = 0
½
B=0
Al = 0.
Îñêiëüêè l 6= 0, òî A = 0 i B = 0 îäíî÷àñíî; òîáòî, iñíó¹ ëèøå òðèâiàëüíèé ðîçâ'ÿçîê X(x) ≡ 0. Çâiäñè âèñíîâîê: λ = 0 íå ¹ âëàñíèì çíà÷åííÿì
çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ (3.9), (3.10).
Íàðåøòi, ðîçãëÿíåìî îñòàííié ç ìîæëèâèõ âèïàäêiâ.
3. Íåõàé λ > 0. ßê i â äâîõ ïîïåðåäíiõ âèïàäêàõ, çàïèøåìî çàãàëüíèé
ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (3.9):
X(x) = A cos
³√
´
λx + B sin
³√
´
λx
i âèìàãà¹ìî, ùîá âií çàäîâîëüíÿâ óìîâè (3.10):
½
(
X(0) = 0
⇒
X(l) = 0
A = 0³
√ ´
B sin
λl = 0.
(3.14)
ßêùî ïîêëàñòè B = 0, òî óìîâè (3.10) çàäîâîëüíÿòüñÿ, àëå òîäi A = 0
i B = 0 îäíî÷àñíî, òîáòî îòðèìà¹ìî òðèâiàëüíèé ðîçâ'ÿçîê X(x) ≡ 0,
ÿêèé íå ââàæà¹òüñÿ çà ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ.
21
Íà âiäìiíó âiä äâîõ ïîïåðåäíiõ, â äàííîìó âèïàäêó ¹ àëüòåðíàòèâà:
ââàæà¹ìî, ùî B 6= 0, òîäi
³√ ´
sin
λl = 0.
Òàêà ðiâíiñòü ì๠ìiñöå, ÿêùî
√
λl = πn, äå n = 1, 2, 3, ...
(3.15)
√
Âiä'¹ìíi öiëi çíà÷åííÿ n íå áåðóòüñÿ äî óâàãè, îñêiëüêè λl äîäàòíÿ
âåëè÷èíà.
Ç (3.15) âèïëèâà¹, ùî íåòðèâiàëüíi ðîçâ'ÿçêè çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ
iñíóþòü ëèøå ïðè ïåâíèõ çíà÷åííÿõ ïàðàìåòðà λ. Êîæíîìó çíà÷åííþ n
2
âiäïîâiä๠ñâî¹ çíà÷åííÿ λn = (πn/l) . Êîæíîìó çíà÷åííþ λn âiäïîâiäà¹
ôóíêöiÿ
³p ´
³ πn ´
Xn (x) = B̃n sin
λn l ⇒ Xn (x) = B̃n sin
x .
l
Ðîçâ'ÿçêîì çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ íàçèâà¹òüñÿ ñóêóïíiñòü âñiõ
âëàñíèõ çíà÷åíü λn i âiäïîâiäíèõ âëàñíèõ ôóíêöié Xn (x):
(
¡ ¢2
λn = πn
l
¡
¢
(3.16)
Xn (x) = B̃n sin πn
x
,
l
äå n = 1, 2, 3...; B̃n äîâiëüíà ñòàëà. Îòæå, çàäà÷à Øòóðìà-Ëióâiëëÿ
(3.9), (3.10) ì๠íåñêií÷åííó, çëi÷åííó ìíîæèíó âëàñíèõ ôóíêöié i âëàñíèõ çíà÷åíü. Çàóâàæèìî, ùî âñi âëàñíi çíà÷åííÿ çàäà÷i (3.9), (3.10) äîäàòíi.  îäíîìó ç íàñòóïíèõ ðîçäiëiâ áóäóòü ñôîðìóëüîâàíi çàãàëüíi
óìîâè çà ÿêèõ âñi âëàñíi çíà÷åííÿ çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ ¹ äîäàòíiìè.
Îñêiëüêè ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ çíàéäåíî, òî ïðîäîâæó¹ìî äàëi íåîáõiäíi äi¨ ùîäî ðîçâ'ÿçàííÿ îñíîâíî¨ äîïîìiæíî¨ çàäà÷i. Çâåðòà¹ìîñü òåïåð äî ðiâíÿííÿ (3.6). Íàãàäà¹ìî, ùî (3.6) i (3.7) ïîâ'ÿçàíi ñïiëüíèì ïàðàìåòðîì λ. Òîìó, îñêiëüêè ðîçâ'ÿçêè çàäà÷i ØòóðìàËióâiëëÿ iñíóþòü ëèøå çà ïåâíèõ äèñêðåòíèõ çíà÷åííü λn , òî¡ i ðiâíÿííÿ
¢2
(3.6) ñëiä ðîçâ'ÿçóâàòè òiëüêè ïðè òèõ ñàìèõ çíà÷åííÿõ λn = πn
, îòæå
l
ðiâíÿííÿ (3.6) òðåáà ïåðåïèñàòè ó âèãëÿäi:
T̈n (t) + λn a2 Tn (t) = 0,
àáî
T̈n (t) + ωn2 Tn (t) = 0,
22
(3.17)
äå ωn = πna
l . Iíäåêñ n ó ôóíêöi¨ Tn (t) îçíà÷à¹, ùî ðiçíèì çíà÷åííÿì λn
âiäïîâiäàþòü ðiçíi ôóíêöi¨ Tn (t).
Çàïèøåìî çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ (3.17):
Tn (t) = Cn cos (ωn t) + Dn sin (ωn t) .
Òîäi ôóíêöi¨
³ πn ´
un (x, t) = Xn (x) · Tn (t) = (An cos ωn t + Bn sin ωn t) · sin
x ,
l
(3.18)
¹ ÷àñòèííèìè ðîçâ'ÿçêàìè îñíîâíî¨ äîïîìiæíî¨ çàäà÷i. Òîáòî un (x, t),
n = 1, 2, ... ¹ ðîçâ'ÿçêàìè ðiâíÿííÿ (3.1), ùî çàäîâîëíÿþòü êðàéîâi óìîâè
(3.2) ïðè äîâiëüíèõ çíà÷åííÿõ êîíñòàíò An = Cn · B̃n , Bn = Dn · B̃n . Òàêèì
÷èíîì, îñíîâíó äîïîìiæíó çàäà÷ó ðîçâ'ÿçàíî, îñêiëüêè ðîçâ'ÿçêè (3.18)
çàäîâîëüíÿþòü âñiì âèìîãàì äàíî¨ çàäà÷i.
Îñêiëüêè ðiâíÿííÿ (3.1) ¹ ëiíiéíèì, êðàéîâi óìîâè (3.2) ¹ ëiíiéíèìè òà îäíîðiäíèìè, òî çà ïðèíöèïîì ñóïåðïîçèöi¨ äëÿ ëiíiéíèõ çàäà÷,
äîâiëüíà ëiíiéíà êîìáiíàöiÿ ÷àñòèííèõ ðîçâ'ÿçêiâ un (x, t):
³ πn ´
u(x, t) =
(An cos ωn t + Bn sin ωn t) · sin
x
l
n=1
∞
X
(3.19)
òàêîæ ¹ ðîçâ'ÿçêîì ðiâíÿííÿ (3.1), ùî çàäîâîëíÿþòü êðàéîâi óìîâè (3.2)
ïðè áóäü-ÿêèõ çíà÷åííÿõ êîíñòàíò An i Bn .
Âèêîíà¹ìî òåïåð îñòàííi äi¨ äëÿ îòðèìàííÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i (3.1)-(3.3)
ïðî êîëèâàííÿ îáìåæåíî¨ ñòðóíè. Ïîñòàâèìî ïèòàííÿ íàñòóïíèì ÷èíîì:
à ÷è íå ìîæíà "ïiäiáðàòè"çíà÷åííÿ êîåôiöi¹íòiâ An i Bn â (3.19) òàêèìè, ùîá ôóíêöiÿ un (x, t) ó âèãëÿäi (3.19) çàäîâîëüíÿëà á i ïî÷àòêîâèì
óìîâàì (3.3)? Îòæå, êîåôiöi¹íòè An i Bn ïîâèíi ìàòè òàêi çíà÷åííÿ, ùîá
âèêîíóâàëèñü ðiâíîñòi:
³ πn ´
x ,
u(x, 0) = ϕ(x) =
An sin
l
n=1
(3.20)
³ πn ´
ut (x, 0) = ψ(x) =
Bn ωn sin
x .
l
n=1
(3.21)
∞
X
∞
X
Çà ñâî¨ì çìiñòîì (3.20) i (3.21) ¹ ðîçêëàäîì çàäàíèõ ôóíêöié ϕ(x) i
ψ(x) â ðÿä Ôóð¹ çà ñèíóñàìè. Îòæå, äëÿ çíàõîäæåííÿ êîåôiöi¹íòiâ An
i Bn ìîæíà ñêîðèñòàòèñü âiäîìèìè ôîðìóëàìè äëÿ êîåôiöi¹íòiâ ðÿäó
Ôóð'¹.
23
Àëå, â çàãàëüíîìó âèïàäêó, âëàñíi ôóíêöi¨ çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ
Xn (x) íå çâîäÿòüñÿ äî òðèãîíîìåòðè÷íèõ ôóíêöié, i òîäi ðîçêëàäàííÿ â
ðÿä çà ôóíêöiÿìè Xn (x) íàçèâà¹òüñÿ ðîçêëàäàííÿì â óçàãàëüíåíèé ðÿä
Ôóð'¹. Çíàéäåìî çíà÷åííÿ êîåôiöi¹íòiâ An i Bn â (3.20) i (3.21) ñòàíäàðòíèì ìåòîäîì, ÿêèé âèêîðèñòîâó¹òüñÿ ïðè ðîçêëàäàííi ôóíêöié çà
âëàñíèìè ôóíêöiÿìè áóäü-ÿêî¨ çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ.
¡
¢
¡ πm ¢
Ñêîðèñòà¹ìîñü òèì, ùî ôóíêöi¨ Xn (x) = sin πn
x
i
X
(x)
=
sin
m
l
l x
îðòîãîíàëüíi ìiæ ñîáîþ íà âiäðiçêó x ∈ [0, l], ïðè m 6= n:
Z
l
0
³ πm ´
³ πn ´
l
x sin
x dx = δnm .
sin
l
l
2
Äîìíîæèìî ëiâó i ïðàâó ÷àñòèíè ðiâíîñòi (3.20) íà sin
ãðó¹ìî ïî x îòðèìàíi âèðàçè íà âiäðiçêó [0, l]:
Z
l
0
¡ πm ¢
l x i ïðîiíòå-
Z l
∞
³ πm ´
³ πn ´
³ πm ´
X
ϕ(x) sin
x dx =
An
sin
x sin
x dx =
l
l
l
0
n=1
=
∞
X
l
l
An δnm = Am .
2
2
n=1
Çâiäñè:
Z
³ πm ´
2 l
ϕ(x) sin
x dx, m = 1, 2, 3...
(3.22)
Am =
l 0
l
Îñêiëüêè m i n ïðîáiãàþòü îäíó i òó ñàìó ìíîæèíó çíà÷åíü: m = 1, 2, 3...;
n = 1, 2, 3..., òî â (3.22) ìîæíà çàìiíèòè m íà n:
Z
³ πn ´
2 l
An =
ϕ(x) sin
x dx.
(3.23)
l 0
l
Âèêîðèñòîâóþ÷è àíàëîãi÷íó ïðîöåäóðó ïî âiäíîøåííþ äî ðiâíÿííÿ (3.21)
îòðèìà¹ìî:
l
ω n Bn =
2
Z
l
0
³ πn ´
ψ(x) sin
x dx,
l
çâiäñè:
Z l
³ πn ´
2
Bn =
ψ(x) sin
x dx.
(3.24)
ωn l 0
l
Òàêèì ÷èíîì, âñi êîåôiöi¹íòè An i Bn âèçíà÷åíi îäíîçíà÷íî çãiäíî
(3.23) i (3.24) i, îòæå, ôóíêöiÿ (3.19) ¹ ¹äèíèì ðîçâ'ÿçêîì çàäà÷i (3.1)(3.3) ïðî âiëüíi êîëèâàííÿ îáìåæåíî¨ ñòðóíè.
24
Ôiçè÷íà iíòåðïðåòàöiÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i.
Îòðèìàííÿ ìàòåìàòè÷íîãî âèðàçó äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i ìàòåìàòè÷íî¨
ôiçèêè äîçâîëÿ¹ ïåðåéòè äî íàñòóïíîãî åòàïó òåîðåòè÷íîãî äîñëiäæåííÿ ôiçè÷íîãî ïðîöåñó. Âñåái÷íèé àíàëiç öüîãî âèðàçó ä๠ìîæëèâiñòü âèÿâèòè âëàñòèâîñòi òà õàðàêòåðíi îñîáëèâîñòi, ïðèòàìàííi áåçïîñåðåäíüî
äàíîìó ÿâèùó, äîçâîëÿ¹ íàäàòè éîìó ÿêiñíå òëóìà÷åííÿ òà ïðîâåñòè àíàëîãi¨ ç iíøèìè ïðîöåñàìè òà ÿâèùàìè.
Ðîçãëÿíåìî îêðåìèé äîäàíîê â ðîçâ'ÿçêó (3.19) íàøî¨ çàäà÷i:
³ πn ´
un (x, t) = {An sin ωn t + Bn cos ωn t} sin
x ,
(3.25)
l
òà ïðåäñòàâèìî éîãî ó âèãëÿäi:
³ πn ´
un (x, t) = αn · sin
x · cos(ωn t + δn ),
(3.26)
l
p
n
äå αn = A2n + Bn2 , δn = −arctg B
An .
Âèðàç (3.26) ì๠òèïîâèé âèãëÿä ôóíêöi¨, ùî îïèñó¹ ñòîÿ÷i õâèëi. Ç
íüîãî âèïëèâà¹, ùî âñi òî÷êè ñòðóíè çäiéñíþþòü ãàðìîíi÷íi êîëèâàííÿ
ç îäíi¹þ i òi¹þ æ ÷àñòîòîþ ωn . Àìïëiòóäà êîëèâàíü u0 = |αn sin(πnx/l)|
çàëåæèòü âiä êîîðäèíàòè x, îòæå, âçàãàëi êàæó÷è, ðiçíi òî÷êè ñòðóíè
êîëèâàþòüñÿ ç ðiçíèìè àìïëiòóäàìè.
Òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè xk = k nl , (k = 0, 1, 2, ..., n), äëÿ ÿêèõ sin(πnx/l) =
0, çàëèøàþòüñÿ íåðóõîìèìè âïðîäîâæ âñüîãî ïðîöåñó, òîáòî àìïëiòóäà
êîëèâàíü äàíèõ òî÷îê äîðiâíþ¹ íóëþ. Òàêi òî÷êè íàçèâàþòü âóçëàìè
ñòîÿ÷î¨ õâèëi.
(2m+1)l
Òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè xm = 2n (m = 0, 1, 2, ..., n − 1), äëÿ ÿêèõ
| sin(πnx/l)| = 1, êîëèâàþòüñÿ ç ìàêñèìàëüíîþ àìïëiòóäîþ, ùî äîðiâíþ¹
αn . Òàêi òî÷êè íàçèâàþòü ïó÷íîñòÿìè ñòîÿ÷î¨ õâèëi.
Âiäñòàíü ìiæ äâîìà ñóñiäíiìè âóçëàìè, òàê ñàìî, ÿê âiäñòàíü ìiæ äâîìà ñóñiäíiìè ïó÷íîñòÿìè, äîðiâíþ¹ ∆x = l/n, i êîæíà ïó÷íiñòü çíàõîäèòüñÿ ïîñåðåäèíi ìiæ äâîìà ñóñiäíiìè âóçëàìè. Ôàçà êîëèâàíü òî÷îê
ñòðóíè çàëåæèòü âiä çíàêó sin(πnx/l):
½
ωn t + δn ,
ÿêùî sin(πnx/l) > 0,
(3.27)
ϕn (t) =
ωn t + δn ± π, ÿêùî sin(πnx/l) < 0.
Îñêiëüêè ôóíêöiÿ sin(πnx/l) çìiíþ¹ çíàê ("+" íà "−" àáî íàâïàêè) ëèøå ó âóçëàõ, òî çãiäíî (3.27) âñi òî÷êè ñòðóíè ìiæ ñóñiäíiìè âóçëàìè
xk , xk+1 êîëèâàþòüñÿ ó ôàçi: â ïðîöåñi êîëèâàííÿ âîíè îäíî÷àñíî ïðîõîäÿòü ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè i îäíî÷àñíî äîñÿãàþòü (êîæíà òî÷êà ñâîãî)
ìàêñèìàëüíîãî âiäõèëåííÿ âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè.
25
Ôàçè êîëèâàíü òî÷îê, ùî ðîçòàøîâàíi ïî ðiçíi áîêè âóçëà, âiäðiçíÿþòüñÿ, ÿê âèäíî ç (3.27), íà ∆ϕ = ±π , òîáòî òàêi òî÷êè êîëèâàþòüñÿ
ó ïðîòèôàçi. Âîíè îäíî÷àñíî ïðîõîäÿòü ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè (ç ïðîòèëåæíèìè íàïðÿìàìè øâèäêîñòåé) i îäíî÷àñíî äîñÿãàþòü ìàêñèìàëüíîãî
âiäõèëåííÿ (àëå ïî ðiçíi áîêè) âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè. Ïðîôiëü ñòðóíè,
ùî êîëèâà¹òüñÿ çà çàêîíîì (3.25), â áóäü-ÿêèé ìîìåíò ÷àñó ÿâëÿ¹ ñîáîþ
ñèíóñî¨äó:
³ πn ´
un (x, t) = γn (t) · sin
x ,
(3.28)
l
äå γn (t) = αn · cos(ωn t + δn ). Ïiä ÷àñ êîëèâàííÿ âiäáóâà¹òüñÿ ïåðiîäè÷íå
ïåðåòâîðåííÿ ïîòåíöiàëüíî¨ åíåðãi¨ ñòðóíè â êiíåòè÷íó i íàâïàêè.  ìîìåíò íàéáiëüøîãî âiäõèëåííÿ ñòðóíè âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè êiíåòè÷íà
åíåðãiÿ äîðiâíþ¹ íóëþ, à ïîòåíöiàëüíà äîñÿã๠ñâîãî íàéáiëüøîãî çíà÷åííÿ. Øâèäêîñòi âñiõ òî÷îê ñòðóíè â òàêèé ìîìåíò äîðiâíþþòü íóëþ.
Ïðè ïðîõîäæåííi òî÷îê ñòðóíè ÷åðåç ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè êiíåòè÷íà
åíåðãiÿ äîñÿã๠ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åííÿ, à ïîòåíöiàëüíà åíåðãiÿ ñò๠ìiíiìàëüíîþ.
Çíàéäåìî ïîâíó åíåðãiþ ñòðóíè, ùî êîëèâà¹òüñÿ çà çàêîíîì (3.25). Çà
íóëüîâèé ðiâåíü ïîòåíöiàëüíî¨ åíåðãi¨ âiçüìåìî ¨¨ ìiíiìàëüíå çíà÷åííÿ.
Òîäi ïîâíà åíåðãiÿ êîëèâàíü ñòðóíè äîðiâíþ¹ ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åííþ
êiíåòè÷íî¨ åíåðãi¨: E = Ekmax .
Êiíåòè÷íà åíåðãiÿ ñòðóíè îá÷èñëþ¹òüñÿ ÿê ñóìà (iíòåãðàë) êiíåòè÷íèõ
åíåðãié îêðåìèõ íåñêií÷åííî-ìàëèõ åëåìåíòiâ ñòðóíè
Z l 2
v (x)
Ek =
ρ
dx,
2
0
äå ρ ëiíiéíà ãóñòèíà ñòðóíè (ρdx ìàñà åëåìåíòà ñòðóíè äîâæèíîþ
dx).
Øâèäêiñòü òî÷îê ñòðóíè
³ πn ´
∂un
v=
= −αn ωn sin
x sin(ωn t + δn ),
∂t
l
à ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ øâèäêîñòi (çà àáñîëþòíîþ âåëè÷èíîþ) äîñÿã๡
¢
òüñÿ â ìîìåíò ÷àñó, êîëè | sin(ωn t+δn )| = 1. Òîäi |vmax (x)| = αn ωn | sin πn
x
|,
l
à ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ êiíåòè÷íî¨ åíåðãi¨
Z
Z l 2
ραn2 ωn2 l 2 ³ πn ´
vmax (x)
max
dx =
sin
x dx =
Ek =
ρ
2
2
l
0
0
ραn2 ωn2 l
M αn2 ωn2
M (A2n + Bn2 )ωn2
=
=
=
,
2 2
4
4
26
äå M = ρl ìàñà ñòðóíè.
Òàêèì ÷èíîì, ïîâíà åíåðãiÿ êîëèâàíü ñòðóíè E = Ekmax = 41 M (A2n +
Bn2 )ωn2 ïðîïîðöiéíà ¨¨ ìàñi, êâàäðàòó àìïëiòóäè òà êâàäðàòó ÷àñòîòè.
Îêðåìó ñòîÿ÷ó õâèëþ ç ïåâíîþ ÷àñòîòîþ ωn íàçèâàþòü ãàðìîíiêîþ.
Îòæå, ðîçâ'ÿçîê ó âèãëÿäi (3.19) çàäà÷i ïðî êîëèâàííÿ ñòðóíè ÿâëÿ¹ ñîáîþ ñóïåðïîçèöiþ ñòîÿ÷èõ õâèëü, àáî, iíàêøå êàæó÷è, ñóïåðïîçèöiþ ãàðìîíiê. ×àñòîòè ωn = πna
l , ùî âiäïîâiäàþòü îêðåìèì ãàðìîíiêàì, íàçèâàþòüñÿ âëàñíèìè ÷àñòîòàìè êîëèâàíü
p ñòðóíè. Îñêiëüêè ïàðàìåòð a, ùî
âõîäèòü â ðiâíÿííÿ (3.1), äîðiâíþ¹ T /ρ, òî
s
ωn =
πn
l
T
, (n = 1, 2, 3, ...).
ρ
(3.29)
Êîëèâàííÿ ñòðóíè ñïðèéìà¹òüñÿ íàìè çàâäÿêè çâóêó, ÿêèé âèä๠ñòðóíà
ó âèãëÿäi íàêëàäàííÿ ïðîñòèõ òîíiâ, ùî âiäïîâiäàþòü îêðåìèì ñòîÿ÷èì
õâèëÿì. Âèñîòà òîíó çàëåæèòü âiä ÷àñòîòè êîëèâàíü, à ñèëà òîíó âèçíà÷à¹òüñÿ åíåðãi¹þ ñòîÿ÷î¨ õâèëi, à îòæå, àìïëiòóäîþ êîëèâàíü.
Çãiäíî (3.29) ñàìèé íèçüêèé òîí, ÿêèé ìîæå óòâîðþâàòè ñòðóíà, âiäïîâiä๠íàéìåíøié ç óñiõ ìîæëèâèõ âëàñíèõ ÷àñòîò ñòðóíè:
s
ω1 =
π
l
T
,
ρ
(3.30)
i íàçèâà¹òüñÿ îñíîâíèì òîíîì ñòðóíè. Ðåøòà òîíiâ, ÷àñòîòè ÿêèõ ¹ êðàòíèìè ω1 , íàçèâàþòüñÿ îáåðòîíàìè. Òåìáð çâóêó çàëåæèòü âiä íàÿâíîñòi, ïîðÿä ç îñíîâíèì òîíîì, îáåðòîíiâ, à òàêîæ âiä ðîçïîäiëó åíåðãi¨ ïî
ãàðìîíiêàõ. ßê âèäíî ç (3.30), ÷àñòîòà îñíîâíîãî òîíó (à òàêîæ îáåðòîíiâ) çàëåæèòü âiä äîâæèíè ñòðóíè, ëiíiéíî¨ ãóñòèíè (àáî ìàñè) òà âiä
ñèëè íàòÿãó ñòðóíè.
Íàïðèêiíöi çàóâàæèìî, ùî çàäà÷i ïðî âiëüíi ìåõàíi÷íi êîëèâàííÿ (ïîâçäîâæíi) â ïðóæíüîìó ñòåðæíi, êîëèâàííÿ ïîâiòðÿ â òðóáöi, êîëèâàííÿ
ñòðóìó i íàïðóãè â ïðîâiäíèêàõ, àáî ïðî åëåêòðîìàãíiòíi êîëèâàííÿ â
ðåçîíàòîðàõ, àáñîëþòíî iäåíòè÷íi ùîéíî ðîçãëÿíóòié çàäà÷i ïðî ïîïåðå÷íi êîëèâàííÿ ñòðóíè. Îêðåìi ôðàãìåíòè äàíî¨ çàäà÷i ïîâòîðþþòüñÿ
ó ñàìèõ ðiçíîìàíiòíèõ çàäà÷àõ òåîðåòè÷íî¨ ôiçèêè. Çîêðåìà, â êâàíòîâié ìåõàíiöi äèñêðåòíi çíà÷åííÿ åíåðãi¨, ìîìåíòó êiëüêîñòi ðóõó, òîùî
âèíèêàþòü â êâàíòîâié ìåõàíiöi ÿê âëàñíi çíà÷åííÿ âiäïîâiäíèõ çàäà÷
Øòóðìà-Ëióâiëëÿ.
27
Çàëåæíiñòü ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i ïðî êîëèâàííÿ ñòðóíè âiä âèáîðó êðàéîâèõ óìîâ.
Çìiíèìî òåïåð êðàéîâó óìîâó íà îäíîìó ç êiíöiâ ñòðóíè: ââàæà¹ìî,
ùî ëiâèé êiíåöü ñòðóíè çàëèøà¹òüñÿ çàêðiïëåíèì, à ïðàâèé êiíåöü âiëüíèì. Ñëîâî "âiëüíèé" íå ñëiä òóò ðîçóìiòè áóêâàëüíî. Äiéñíî, äëÿ òîãî,
ùîá ñòðóíà ìîãëà êîëèâàòèñü, òðåáà çàáåçïå÷èòè íàòÿã ñòðóíè äåÿêîþ
ñèëîþ T , ùî ïðèêëàäåíà äî êiíöÿ ñòðóíè â ïîâçäîâæíîìó íàïðÿìêó. Îòæå, "âiëüíèé" â äàíîìó âèïàäêó îçíà÷à¹, ùî êiíåöü ñòðóíè ìîæå âiëüíî
çìiùóâàòèñü â ïîïåðå÷íîìó ïî âiäíîøåííþ äî íåéòðàëüíîãî ïîëîæåííÿ
ñòðóíè íàïðÿìêó, i íà êiíåöü ñòðóíè â ïîïåðå÷íîìó íàïðÿìêó íå äi¹ íiÿêà
ñèëà. Ñõåìó ðåàëiçàöi¨ êðàéîâèõ óìîâ òàêîãî òèïó âêàçàíî íà ðèñóíêó:
ëiâèé êiíåöü ñòðóíè (x = 0) çàêðiïëåíèé æîðñòêî, à ïðàâèé çà äîïîìîãîþ êiëüöÿ (ìàñîþ ÿêîãî íåõòó¹ìî), ùî ìîæå áåç òåðòÿ êîâçàòè âçäîâæ
íàïðàâëÿþ÷îãî ñòåðæíÿ ó âåðòèêàëüíîìó íàïðÿìêó. Ìàòåìàòè÷íå ôîðìóëþâàííÿ äàíî¨ çàäà÷i âiäðiçíÿ¹òüñÿ âiä (3.1)-(3.3) òiëüêè îäíi¹þ êðàéîâîþ óìîâîþ: u(l, t) = 0 ñëiä çàìiíèòè íà ux (l, t) = 0, ùî ïðèçâîäèòü
äî çàìiíè âiäïîâiäíî¨ óìîâè X(l) = 0 íà iíøó óìîâó X 0 (l) = 0 â çàäà÷i
Øòóðìà-Ëióâiëëÿ (3.9), (3.10). Äîòðèìóþ÷èñü ðîçãëÿíóòî¨ âèùå ñõåìè
ðîçâ'ÿçóâàííÿ çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ, ïðèõîäèìî äî âèñíîâêó, ùî ïðè
λ < 0 i λ = 0 i â äàíîìó âèïàäêó íå iñíó¹ âëàñíèõ çíà÷åíü (à îòæå,
i âëàñíèõ ôóíêöié). Ïðè λ > 0 çàñòîñîâó¹ìî äî çàãàëüíîãî ðîçâ'ÿçêó
ðiâíÿííÿ (3.9)
√
√
X(x) = A cos( λx) + B sin( λx)
êðàéîâi óìîâè X(0) = 0, X 0 (l) = 0 i ïðèõîäèìî äî ñèñòåìè ðiâíÿíü
âiäíîñíî êîåôiöi¹íòiâ A i B :
½
A√
= 0, √
B λ cos( λ l) = 0.
Îñêiëüêè λ > 0 i B 6= 0√(ðîçâ'ÿçîê íåòðèâiàëüíèé), òî ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ ñèñòåìè ìà¹ìî: cos( λ l) = 0 i çâiäñè çíàõîäèìî âëàñíi çíà÷åííÿ
28
i âëàñíi ôóíêöi¨ çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ:
µ
¶
π(2n + 1)
λn =
, Xn (x) = B̃n sin
x ,
(3.31)
2l
√
(n = 0, 1, 2, ...). Âëàñíi ÷àñòîòè ñòðóíè ωn = λn · a = π(2n+1)a
âèçíà÷àþ2l
òüñÿ âèãëÿäîì ðiâíÿííÿ (3.17) ç âðàõóâàííÿì íîâèõ çíà÷åíü λn .
Òàêèì ÷èíîì, ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i ïðî êîëèâàííÿ ñòðóíè ó âèïàäêó, êîëè
îäèí (ëiâèé) êiíåöü ñòðóíè çàêðiïëåíèé, à äðóãèé (ïðàâèé) âiëüíèé, ìà¹
âèãëÿä
µ
¶
∞
X
π(2n + 1)
u(x, t) =
(An cos ωn t + Bn sin ωn t) sin
x ,
(3.32)
2l
n=0
π(2n + 1)
2l
¶2
µ
äå êîåôiöi¹íòè ðÿäó îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè:
¶
π(2n + 1)
ϕ(x) sin
x dx,
2l
0
µ
¶
Z l
π(2n + 1)
2
ψ(x) sin
Bn =
x dx.
ωn l 0
2l
2
An =
l
Z
l
µ
ßê i â ïîïåðåäíüîìó âèïàäêó (êiíöi ñòðóíè çàêðiïëåíi), ðîçâ'ÿçîê (3.31)
ÿâëÿ¹ ñîáîþ ñóïåðïîçèöiþ ñòîÿ÷èõ õâèëü àáî ãàðìîíiê. Ðiçíèöÿ ïîëÿãà¹
ëèøå â ðîçòàøóâàííi âóçëiâ i ïó÷íîñòåé, à òàêîæ â çíà÷åííÿõ âëàñíèõ
÷àñòîò ñòðóíè.
Çãiäíî (3.31) âóçëè ñòîÿ÷î¨ õâèëi ç âëàñíîþ ÷àñòîòîþ ωn ðîçòàøîâàíi
2k
â òî÷êàõ xk = 2n+1
·l, (k = 0, 1...n), à ïó÷íîñòi â òî÷êàõ xm = 2m+1
2n+1 ·l , (m =
0, 1...n). Îòæå, ïðè äîâiëüíîìó çíà÷åííi n íà ëiâîìó êiíöi ñòðóíè çàâæäè
áóäå âóçîë, à íà ïðàâîìó ïó÷íiñòü. Íàéìåíøà ÷àñòîòà ãàðìîíiêè, ùî
çàä๠òîí çâó÷àííÿ ñòðóíè, ω0 = πa
2l . Îñêiëüêè ïàðàìåòð a ì๠çìiñò
øâèäêîñòi ïîøèðåííÿ õâèëü â ñòðóíi, òî ÷àñòîòi ω0 âiäïîâiä๠äîâæèíà
2πa
õâèëi λ̃0 = 2πa
ω0 = πa/(2l) = 4l . Îòæå, ïðè êîëèâàííi ç íàéìåíøîþ âëàñíîþ
÷àñòîòîþ ω0 íà äîâæèíi ñòðóíè âêëàäà¹òüñÿ ëèøå ÷âåðòü äîâæèíè õâèëi
l = λ̃0 /4, â òîé ÷àñ, ÿê ó âèïàäêó îáîõ çàêðiïëåíèõ êiíöiâ ïîëîâèíà
äîâæèíè õâèëi. Ç ðiâíîñòi (3.31) âèïëèâà¹, ùî âñi âëàñíi ÷àñòîòè ñòðóíè
êðàòíi íàéìåíøié ÷àñòîòi
ωn = (2n + 1)ω0 ,
i êîåôiöi¹íòè êðàòíîñòi ¹ öiëèìè íåïàðíèìè ÷èñëàìè.
29
Êîðîòêî îáãîâîðèìî òåïåð ñïåöèôiêó çàäà÷i ç êðàéîâèìè óìîâàìè,
ùî âiäïîâiäàþòü ñèòóàöi¨, êîëè îáèäâà êiíöi ñòðóíè âiëüíi.
Ïîâòîðþþ÷è äi¨, ðîçãëÿíóòi ðàíiøå, ïðèõîäèìî äî çàäà÷i ØòóðìàËióâiëëÿ
X 00 (x) + λX(x) = 0, 0 < x < l
X 0 (0) = 0,
0
X (l) = 0.
(3.33)
Ëåãêî ïåðåêîíàòèñü, ùî i â äàíîìó âèïàäêó íå iñíó¹ âëàñíèõ çíà÷åíü
i âëàñíèõ ôóíêöié ïðè λ < 0. Ðîçâ'ÿçêàìè çàäà÷i (3.33) λ > 0 ¹ âëà2
ñíi çíà÷åííÿ
¡ πn ¢ λn = (πn/l) , ÿêèì âiäïîâiäàþòü âëàñíi ôóíêöi¨ Xn (x) =
An cos l x .
Íà âiäìiíó âiä äâîõ ïîïåðåäíiõ âàðiàíòiâ êðàéîâèõ óìîâ, âèÿâëÿ¹òüñÿ,
ùî êîëè îáèäâà êiíöi ñòðóíè âiëüíi, òî λ = 0 òàêîæ ¹ âëàñíèì çíà÷åííÿì.
Äiéñíî, ïðè λ = 0 çàäà÷à Øòóðìà-Ëióâiëëÿ ì๠âèãëÿä:
00
X (x) = 0, 0 < x < l
X 0 (0) = 0,
0
X (l) = 0.
Çàãàëüíèì ðîçâ'ÿçêîì äèôåðåíöiàëüíîãî ðiâíÿííÿ ¹ ëiíiéíà ôóíêöiÿ X(x) =
C + Dx, à ç êðàéîâèõ óìîâ âèïëèâà¹: X 0 (0) = D = 0, X 0 (l) = D = 0. Îòæå, âëàñíîìó çíà÷åííþ λ = λ0 = 0 âiäïîâiä๠âëàñíà ôóíêöiÿ X0 (x) = C ,
ÿêà íå äîðiâíþ¹ òîòîæíüî íóëþ. Ïðè λ = 0 ðiâíÿííÿ (3.6) íàáóâ๠âèãëÿäó T̈ = 0, ðîçâ'ÿçêàìè ÿêîãî ¹ ôóíêöiÿ
T0 (t) = Ã0 + B̃0 t.
Òàêèì ÷èíîì, ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i ïðî êîëèâàííÿ îáìåæåíî¨ ñòðóíè ç âiëüíèìè êiíöÿìè ì๠âèãëÿä
u(x, t) = A0 + B0 t +
µ
¶
∞
X
π(2n + 1)
+
(An cos ωn t + Bn sin ωn t) sin
x , (3.34)
2l
n=1
30
äå êîåôiöi¹íòè ðÿäó îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè
1
A0 =
l
Z
l
0
1
ϕ(x)dx, Bn =
l
Z
l
ψ(x),
0
Z
Z l
³ πn ´
³ πn ´
2
2 l
ϕ(x) cos
x dx, Bn =
ψ(x) cos
x dx.
An =
l 0
l
ωn l 0
l
Âëàñíi ÷àñòîòè êîëèâàíü ñòðóíè ωn = πna
l .
Ïîÿñíèìî ôiçè÷íèé çìiñò ïåðøèõ äâîõ äîäàíêiâ â ïðàâié ÷àñòèíi (3.34).
Rl
ßêùî 0 ϕ(x)dx 6= 0, òî ïðè t = 0 öåíòð ìàñ ñòðóíè áóäå çìiùåíèé ó âåðòèêàëüíîìó íàïðÿìêó íà âåëè÷èíó
Rl
Z l
ρϕ(x)dx
1
ũ0 = 0 R l
=
ϕ(x)dx = A0 .
l
0
0 ρdx
Îñêiëüêè íà ñòðóíó ç âiëüíèìè êiíöÿìè â ïîïåðå÷íîìó íàïðÿìêó íå äiþòü çîâíiøíi ñèëè, òî çìiùåííÿ öåíòðó ìàñ çàëèøà¹òüñÿ ïîñòiéíèì â ÷àñi
i êîëèâàííÿ ñòðóíè âiäáóâàþòüñÿ âæå íàâêîëî çìiùåíîãî ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè, òîáòî, äî çìiùåíü, ïîâ'ÿçàíèõ ç êîëèâàííÿìè, áóäå äîäàâàòèñü
ïîñòiéíå â ÷àñi çìiùåííÿ AR0 .
l
Ïðèïóñòèìî òåïåð, ùî 0 ψ(x)dx 6= 00. Òîäi ïðè t = 0 iìïóëüñ öåí-
Rl
òðó ìàñ ñòðóíè äîðiâíþ¹ 0 ρψ(x)dx i, îñêiëüêè çîâíiøíi ñèëè (ïîïåðå÷íi) âiäñóòíi, iìïóëüñ ñòðóíè çàëèøà¹òüñÿ íåçìiííèì, òîáòî íà êîëèâàííÿ
ñòðóíè íàêëàäà¹òüñÿ ðiâíîìiðíèé ðóõ âñi¹¨ ñòðóíè çi øâèäêiñòþ
Rl
ρψ(x)dx 1
v0 = 0 R l
=
l
ρdx
0
Z
l
ψ(x)dx = B0 .
0
Îòæå, ÿêùî êiíöi ñòðóíè âiëüíi, òî äëÿ êîëèâàíü ñòðóíè, çà ïåâíèõ óìîâ,
äîäà¹òüñÿ çìiùåííÿ â ïîïåðå÷íîìó íàïðÿìêó, ùî çàëåæàòü âiä ÷àñó çà
çàêîíîì ū = A0 +B0 t, ùî i çíàéøëî ñâî¹ âiäîáðàæåííÿ ó ðîçâ'ÿçêó (3.34)
Êîëèâàííÿ ñòðóíè ïiä äi¹þ çîâíiøíiõ ñèë.
 ïîïåðåäíiõ ðîçäiëàõ ðîçãëÿíóòî âiëüíi êîëèâàííÿ ñòðóíè, òîáòî êîëèâàííÿ ñïðè÷èíåíi ëèøå âíóòðiøíiìè ñèëàìè ïðóæíîñòi òà ñèëàìè ðåàêöi¨ íà êiíöÿõ ñòðóíè â òî÷êàõ ¨¨ çàêðiïëåííÿ. Ðîçãëÿíåìî òåïåð ïðîöåñ
êîëèâàííÿ îáìåæåíî¨ ñòðóíè ïiä äi¹þ çàäàíî¨ ñèëè, ùî çàëåæèòü âiä ÷àñó i ðîçïîäiëåíà ïî ñòðóíi ç ëiíiéíîþ ãóñòèíîþ F (x, t). Ñèëè, ïðèêëàäåíi
ó âñiõ òî÷êàõ, ëåæàòü â îäíié ïëîùèíi i ìàþòü íàïðÿì, íîðìàëüíèé äî
31
íåéòðàëüíîãî ïîëîæåííÿ ñòðóíè. Çi çìiñòó ëiíiéíî¨ ãóñòèíè F (x, t) âèïëèâà¹, ùî íà äîâiëüíèé åëåìåíò ñòðóíè äîâæèíîþ dx äi¹ åëåìåíòàðíà
ñèëà F (x, t)dx. Çà âiäñóòíîñòi iíøèõ ñèë, äàíèé åëåìåíò dx, ìàñà ÿêîãî
F (x,t)dx
F (x,t)
äîðiâíþ¹ dm = ρdx, ðóõàâñÿ á ç ïðèñêîðåííÿì f (x, t) = dm = ρ .
 äiéñíîñòi â ïðîöåñi êîëèâàííÿ ñòðóíè íà âèäiëåíèé åëåìåíò dx äiþòü
òàêîæ çìiííi ñèëè ç áîêó iíøèõ åëåìåíòiâ ñòðóíè, ç ÿêèìè äàíèé åëåìåíò
çíàõîäèòüñÿ â êîíòàêòi. Ó ñâîþ ÷åðãó, çà òðåòiì çàêîíîì Íüþòîíà, åëåìåíò äi¹ íà ñóñiäíi åëåìåíòè, i â ðåçóëüòàòi âiäáóâà¹òüñÿ ñàìîóçãîäæåíèé
ðóõ óñiõ åëåìåíòiâ ñòðóíè.
Ùîá çîñåðåäèòèñü áåçïîñåðåäíüî íà âèâ÷åííi ñàìå íàñëiäêiâ äi¨ íà
ñòðóíó çîâíiøíüî¨ ñèëè, â äàíîìó ðîçäiëi ìàêñèìàëüíî ñïðîñòèìî çàäà÷ó. Áóäåìî ââàæàòè, ùî ïî÷àòêîâi âiäõèëåííÿ âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè
i ïî÷àòêîâi øâèäêîñòi òî÷îê ñòðóíè äîðiâíþþòü íóëþ, òîáòî â ìîìåíò
÷àñó t = 0 ñòðóíà çíàõîäèòüñÿ â ñòàíi ñïîêîþ â ñâî¹ìó ïîëîæåííi ðiâíîâàãè. Ââàæà¹ìî òàêîæ, ùî êiíöi ñòðóíè æîðñòêî çàêðiïëåíi, îñêiëüêè
çàäà÷ó ïðî âiëüíi êîëèâàííÿ ñòðóíè ñàìå ç òàêèìè êðàéîâèìè óìîâàìè
íàéáiëüø äîêëàäíî ðîçãëÿíóòî âèùå.
Ìàòåìàòè÷íà ïîñòàíîâêà çàäà÷i ïðî êîëèâàííÿ îáìåæåíî¨ ñòðóíè äîâæèíîþ l ïiä äi¹þ çîâíiøíiõ ñèë ç âðàõóâàííÿì êîíêðåòíèõ óìîâ, ñôîðìóëüîâàíèõ âèùå, íàáóâ๠âèãëÿäó:
utt = a2 uxx + f (x, t), 0 < x < l, t > 0,
½
u(0, t) = 0,
u(l, t) = 0;
½
u(x, 0) = 0,
ut (x, 0) = 0.
(3.35)
(3.36)
(3.37)
Íà âiäìiíó âiä ðiâíÿííÿ (3.1), ùî îïèñó¹ äèíàìiêó âiëüíèõ êîëèâàíü
ñòðóíè, äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ (3.35) ¹ íåîäíîðiäíèì ÷åðåç íàÿâíiñòü
ôóíêöi¨ f (x, t), çìiñò ÿêî¨ âæå íàìè îáãîâîðåíî.
Ðîçâ'ÿçîê çàäà÷i (3.35-3.37) áóäåìî øóêàòè ó âèãëÿäi ðÿäó çà âëàñíèìè
ôóíêöiÿìè çàäà÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ (3.9),(3.10)
u(x, t) =
∞
X
un (t) sin
n=1
³ πnx ´
l
.
(3.38)
Ìîæëèâiñòü òàêîãî ðîçêëàäó
ïîâíîòîþ îðòîãîíàëüíî¨ ïîñëi© îáóìîâëåíà
¡ πnx ¢ª
äîâíîñòi âëàñíèõ ôóíêöié sin l
â êëàñi íåïàðíèõ îáìåæåíèõ ôóíêöié. Îòæå, äîâiëüíó ôóíêöiþ u(x, t) (â äàíîìó âèïàäêó t ñëiä ðîçãëÿ32
äàòè ÿê ïàðàìåòð) ç öüîãî êëàñó ìîæíà ðîçêëàñòè â ðÿä (3.38), i öåé ðÿä
çáiãà¹òüñÿ ðiâíîìiðíî äî ôóíêöi¨ u(x, t).
¡ ¢
Äîöiëüíiñòü ðîçêëàäó ñàìå ïî ôóíêöiÿõ sin πnx
âèïëèâ๠ç òîãî, ùî
l
u(x, t), ïðåäñòàâëåíà ó âèãëÿäi ðÿäó (3.38), çàäîâîëüíÿ¹ öi óìîâè. Îñòàííié ôàêòîð ¹ âèðiøàëüíèì ïðè âèáîði ïîñëiäîâíîñòi ôóíêöié, çà ÿêèìè
ðîçêëàäà¹òüñÿ u(x, t). Îòæå, ÿêùî á, íàïðèêëàä, â çàäà÷i (3.35-3.37) êðàéîâi óìîâè (3.36) çàìiíèòè íà iíøi: u(0, t) = 0, ux (l, t) = 0 (òîáòî òàêi ùî
âiäïîâiäàþòü ñèòóàöi¨, êîëè ëiâèé êiíåöü ñòðóíè çàêðiïëåíèé,
´o
n ³ à ïðàâèé
π(2n+1)x
,
âiëüíèé), òî ôóíêöiþ u(x, t) ñëiä áóëî á ðîçêëàäàòè ïî sin
2l
òîáòî ïî âëàñíèì ôóíêöiÿì çàäi÷i Øòóðìà-Ëióâiëëÿ, ùî âèíèêàþòü â
çàäà÷i ïðî âiëüíi êîëèâàííÿ ñòðóíè, ç âiäïîâiäíèìè êðàéîâèìè óìîâàìè.
Ôóíêöiþ f (x, t) ç ðiâíÿííÿ (3.35) òàêîæ ïðåäñòàâèìî ó âèãëÿäi ðÿäó
∞
X
f (x, t) =
fn (t) sin
³ πnx ´
l
n=1
,
(3.39)
îá ðóíòîâóþ÷è òàêó ìîæëèâiñòü,
© ¡ πnx ¢ª ÿê i äëÿ ðîçêëàäó u(x, t), ïîâíîòîþ
ïîñëiäîâíîñòi ôóíêöié sin l
. Êîåôiöi¹íòè fn (t) â (3.39) çíàõîäèìî
àáñîëþòíî òàê ñàìî, ÿê i êîåôiöi¹íòè An â ðîçêëàäi (3.20):
2
fn (t) =
l
Z
l
f (x, t) sin
³ πnx ´
l
0
dx,
àáî çâàæàþ÷è íà ïîäàëüøå êîðèñòóâàííÿ öèì âèðàçîì ïåðåïèøåìî éîãî
ç iíøèìè ïîçíà÷åííÿìè çìiííî¨ iíòåãðóâàííÿ:
2
fn (t) =
l
Z
l
0
µ
πnξ
f (ξ, t) sin
l
¶
dξ.
(3.40)
Äèôåðåíöiþþ÷è ïî÷ëåííî ðÿä (3.38) ïî x i ïî t, çíàõîäèìî äðóãi ÷àñòèííi
ïîõiäíi ôóíêöi¨ u(x, t)
utt =
∞
X
ün (t) sin
n=1
uxx = −
∞ ³
X
πn ´2
n=1
l
³ πnx ´
l
un (t) sin
,
³ πnx ´
l
i ïiäñòàâèìî âèðàçè â ðiâíÿííÿ (3.35). Â ðåçóëüòàòi, ïiñëÿ åëåìåíòàðíèõ
ïåðåòâîðåíü, ìà¹ìî:
∞
X
©
n=1
ün (t) +
ωn2 un (t)
³ πnx ´
ª
− fn (t) sin
= 0,
l
33
(3.41)
äå ωn = πna
l .
Ëiâó ÷àñòèíó ¡ðiâíîñòi
(3.41) ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê ëiíiéíó ñóïåðïîçè¢
πnx
öiþ ôóíêöié sin l ç êîåôiöi¹íòàìè Cn (t) = ün (t) + ωn2 un (t) − fn (t), ùî
çàëåæàòü âiä çìiííî¨ t, ÿê
âiä¢ ïàðàìåòðà.
¡ πnx
Îñêiëüêè ôóíêöi¨ sin l
ç ðiçíèìè çíà÷åííÿìè n ¹ ëiíiéíî íåçàëåæíèìè (áî îðòîãîíàëüíi ôóíêöi¨ ¹ ëiíiéíî íåçàëåæíèìè çàâæäè), òî
òîòîæíà ðiâíiñòü íóëþ ñóìè (3.41) ìîæëèâà òîäi i òiëüêè òîäi, êîëè êîæíèé ç êîåôiöi¹íòiâ Cn (t) äîðiâíþ¹ íóëþ. Çâiäñè ìà¹ìî:
ün (t) + ωn2 un (t) − fn (t) = 0, n = 1, 2, 3, ...
Ïiäïîðÿäêîâóþ÷è ôóíêöiþ u(x, t) ó âèãëÿäi ðîçêëàäó (3.38) îäíîðiäíèì ïî÷àòêîâèì óìîâàì (3.37), îòðèìà¹ìî:
u(x, 0) =
∞
X
un (0) sin
³ πnx ´
l
n=1
ut (x, 0) =
∞
X
u̇n (0) sin
³ πnx ´
n=1
l
=0
= 0.
¡
¢
Çâiäñè, íà ïiäñòàâi, çíîâó æ òàêè, ëiíiéíî¨ íåçàëåæíîñòi ôóíêöié sin πnx
,
l
âèïëèâà¹: un (0) = 0, u̇n (0) = 0. Òàêèì ÷èíîì, äëÿ çíàõîäæåííÿ ôóíêöié
un (t) ïðèõîäèìî äî íåîáõiäíîñòi ðîçâ'ÿçàííÿ çàäà÷i Êîøi:
ün (t) + ωn2 un (t) = fn (t),
½
un (0) = 0,
u̇n (0) = 0.
t > 0,
(3.42)
(3.43)
Íåîäíîðiäíå äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ ç ïîñòiéíèìè êîåôiöi¹íòàìè (3.42),
ç ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè (3.43) ìîæíà ðîçâ'ÿçàòè, íàïðèêëàä, îïåðàöiéíèì ìåòîäîì.
Çàñòîñó¹ìî ïåðåòâîðåííÿ Ëàïëàñà äî ôóíêöié un (x, t) òà fn (t):
un (t) : Un (p), fn (t) : Fn (p).
Òîäi, ç âðàõóâàííÿì ïî÷àòêîâèõ óìîâ (3.43): ün (t) : p2 Un (p), ïåðåòâîðåíå ðiâíÿííÿ íàáóâ๠âèãëÿäó
p2 Un (p) + ωn2 Un (p) = Fn (p).
Çâiäñè çîáðàæåííÿ Ëàïëàñà øóêàíî¨ ôóíêöi¨ ìîæíà ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿäi
Un (p) =
1 ωn
Fn (p).
ωn p2 + ωn2
34
(3.44)
n
Îñêiëüêè Un (p) : un (t); p2ω+ω
2 : sin ωn t; Fn (p) : fn (t), òî ç (3.44)
n
îáåðíåíèì ïåðåòâîðåííÿì Ëàïëàñà çíàõîäèìî:
1
un (t) =
ωn
Z
t
sin ωn (t − τ )fn (τ )dτ.
0
(3.45)
Òóò ôóíêöiÿ un (t) ïðåäñòàâëåíà ó âèãëÿäi çãîðòêè, îñêiëüêè ¨¨ çîáðàæåííÿ Ëàïëàñà Un (p) ¹ äîáóòêîì äâîõ çîáðàæåíü.
Âðàõîâóþ÷è (3.40), âèðàç (3.45) çàïèøåìî ó âèãëÿäi:
2
un (t) =
ωn l
Z tZ
0
l
0
µ
πnξ
sin ωn (t − τ ) sin
l
¶
f (ξτ )dτ dξ.
(3.46)
Ïiäñòàâèâøè îòðèìàíèé âèðàç äëÿ un (t) â ðîçêëàä (3.38), çìiíèìî
ïîñëiäîâíiñòü îïåðàöié ïiäñóìîâóâàííÿ i iíòåãðóâàííÿ i çàïèøåìî îñòàòî÷íèé âèðàç äëÿ ðîçâ'ÿçêó çàäà÷i (3.35-3.37) ïðî êîëèâàííÿ îáìåæåíî¨
ñòðóíè ïiä âïëèâîì çîâíiøíiõ ñèë:
Z tZ
u(x, t) =
G(x, ξ; t − τ )f (ξτ )dτ dξ,
0
äå
l
0
(3.47)
µ
¶
∞
πnξ
2X 1
G(x, ξ; t − τ ) =
sin ωn (t − τ ) sin
.
l n=1 ωn
l
Ôóíêöiÿ G(x, ξ; t − τ ) ì๠íàçâó ôóíêöi¨ âïëèâó òî÷êîâîãî äæåðåëà, àáî
ôóíêöi¨ Ãðiíà. Ç'ÿñó¹ìî ôiçè÷íèé çìiñò öi¹¨ ôóíêöi¨.
Ïðèïóñòèìî, ùî ïðîòÿãîì ïåâíîãî ÷àñó, ïî÷èíàþ÷è ç ìîìåíòó t = 0,
íà ñòðóíó íå äiþòü çîâíiøíi ñèëè, à ïîòiì â äåÿêèé ìîìåíò ÷àñó t = t0 äî
ñòðóíè ïðèêëàäà¹òüñÿ ñèëà ìèòò¹âî¨ äi¨ â ìàëîìó îêîëi òî÷êè ç êîîðäèíàòîþ x0 . Òîäi ëiíiéíó ÷àñòèíó ðîçïîäiëó ñèëè F (x, t) ìîæíà çìîäåëþâàòè
çà äîïîìîãîþ δ -ôóíêöi¨ Äiðàêà:
F (x, t) = Cδ(x − x0 )δ(t − t0 ),
(3.48)
äå C äåÿêà êîíñòàíòà, ÿêà ïåâíèì ÷èíîì õàðàêòåðèçó¹ iíòåíñèâíiñòü
ïðèêëàäåíî¨ äî ñòðóíè ñèëè.
Çíàéäåìî çíà÷åííÿ iìïóëüñó, ùî ïåðåäàíî ñòðóíi:
Z lZ
Z lZ
∞
P =
∞
F (x, t)dxdt = C
0
0
0
35
0
δ(x − x0 )δ(t − t0 )dxdt = C.
Îòæå, êîíñòàíòà C , ùî âõîäèü â (3.48), ì๠çìiñò iìïóëüñó, ùî ïåðåäà¹òüñÿ ñòðóíi â öiëîìó øëÿõîì ìèòò¹âî¨ äi¨ ñèëè (3.48). Ôóíêöiÿ f (x, t), ùî
âõîäèòü â (3.35) ïîâ'ÿçàíà ç F (x, t) ïðîñòèì ñïiââiäíîøåííÿì âèãëÿäó:
f (x, t) =
P
δ(x − x0 )δ(t − t0 ).
ρ
(3.49)
Ïiäñòàâèìî öþ ôóíêöiþ â ïiäiíòåãðàëüíèé âèðàç ðiâíîñòi (3.47):
P
u(x, t) =
ρ
Z tZ
0
l
G(x, ξ, t − τ )δ(ξ − x0 )δ(τ − t0 )dτ dξ.
0
0
Îñêiëüêè x ∈ (0, l), òî íà ïiäñòàâi âiäîìî¨ âëàñòèâîñòi δ -ôóíêöi¨, â ðåçóëüòàòi iíòåãðóâàííÿ ïî ξ îòðèìà¹ìî
P
u(x, t) =
ρ
Z
t
G(x, x0 , t − τ )δ(ξ − x0 )δ(τ − t0 )dτ dξ.
0
ßêùî t < t0 , òî t0 ∈/ (0, t) i, îòæå, iíòåãðàë äîðiâíþ¹ íóëþ, îñêiëüêè
δ(τ − t0 ) äîðiâíþ¹ íóëþ íà âñüîìó ïðîìiæêó iíòåãðóâàííÿ.
Ïðè t > t0 , t0 ∈ (0, t) i òîäi
Z
t
G(x, x0 ; t − τ )δ(τ − t0 )dτ = G(x, x0 ; t − t0 ).
0
Òàêèì ÷èíîì, êîëèâàííÿ ñòðóíè ïiä âïëèâîì ìèòò¹âî¨ òî÷êîâî¨ äi¨ íà
ñòðóíó ñèëîþ (3.48), âiäîáðàæà¹òüñÿ ôóíêöi¹þ
F (x, t) =
(
0,
t < t0
P
0
ρ G(x, x ; t
− t0 ), t > t0 .
(3.50)
Ðiâíiñòü íóëþ ôóíêöi¨ u(x, t) ïðè t < t0 ì๠ïðîñòå ïîÿñíåííÿ: îñêiëüêè
âiä ïî÷àòêó âiäëiêó ÷àñó t = 0 äî ìîìåíòó t = t0 íà ñòðóíó íå äiÿëè çîâíiøíi ñèëè (íàãàäà¹ìî, ùî âiäïîâiäíî äî ïî÷àòêîâèõ óìîâ (3.37), ïî÷àòêîâi
âiäõèëåííÿ òà ïî÷àòêîâi øâèäêîñòi òî÷îê ñòðóíè òàêîæ äîðiâíþþòü íóëþ), òî äî ïî÷àòêó äi¨ ñèë ñòðóíà çàëèøà¹òüñÿ â ñòàíi ñïîêîþ.
ßêùî P/ρ = 1 (â ïåâíèõ îäèíèöÿõ âèìiðó), òî êîåôiöi¹íò ïðè δ ôóíêöiÿõ â (3.49) äîðiâíþ¹ îäèíèöi, à òîäi âiäïîâiäíèé êîåôiöi¹íò â (3.50)
òàêîæ äîðiâíþ¹ îäèíèöi.
Âèðàç (3.50) äîçâîëÿ¹ íàäàòè ôóíêöi¨ âïëèâó òî÷êîâîãî äæåðåëà ïåâíå
ôiçè÷íå òëóìà÷åííÿ, à ñàìå: ôóíêöiÿ G(x, x0 ; t − t0 ) îïèñó¹ ïðè t > t0
êîëèâàííÿ ñòðóíè, ÿêùî â ìîìåíò ÷àñó t = t0 ïîäiÿëè ìèòò¹âîþ òî÷êîâîþ
ñèëîþ, ÿêà ïåðåä๠ñòðóíi iìïóëüñ P , ÷èñëîâå çíà÷åííÿ ÿêîãî äîðiâíþ¹
ρ.
36
Ðiâíÿííÿ ãiïåðáîëi÷íîãî òèïó.
3.1. Çíàéòè çàêîí âiëüíèõ êîëèâàíü ñòðóíè íà âiäðiçêó x ∈ [0, l], ÿêùî
êiíöi ñòðóíè æîðñòêî çàêðiïëåíi, ïî÷àòêîâà øâèäêiñòü äîðiâíþ¹ íóëþ, ïî÷àòêîâå çìiùåííÿ (à) ì๠ôîðìó, çîáðàæåíó íà ðèñóíêó; (á)
l
sin(πx/l).
îïèñó¹òüñÿ ôîðìóëîþ u(x, 0) = 100
3.2. Ñòðóíà äîâæèíîþ l ç æîðñòêî çàêðiïëåíèìè êiíöÿìè çáóäæó¹òüñÿ
â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó óäàðîì ïëîñêîãî ìîëîòî÷êà, ùî íàäà¹
øâèäêiñòü v0 òî÷êàì ñòðóíè íà âiäðiçêó 0 < x1 ≤ x ≤ x2 < l.
Çíàéòè âiäõèëåííÿ ñòðóíè âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè, ÿêùî ïî÷àòêîâå
çìiùåííÿ äîðiâíþ¹ íóëþ.
3.3. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî êîëèâàííÿ ñòðóíè äîâæèíîþ l iç çàêðiïëåíèìè êiíöÿìè, ùî çáóäæó¹òüñÿ óäàðîì òîíåíüêîãî ìîëîòî÷êà â òî÷öi
x = x0 , ùî ïåðåä๠ñòðóíi iìïóëüñ I . Ïî÷àòêîâà øâèäêiñòü äîðiâíþ¹
íóëþ.
3.4. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî ïîâçäîâæíi êîëèâàííÿ â ïðóæíüîìó ñòåðæíi
äîâæèíîþ l ç âiëüíèìè êiíöÿìè, ÿêùî ïî÷àòêîâi çìiùåííÿ i ïî÷àòêîâi øâèäêîñòi â ïîâçäîâæíüîìó íàïðÿìêó äîâiëüíi. Âðàõóâàòè ìîæëèâiñòü ðiâíîìiðíîãî ïîñòóïàëüíîãî ðóõó ñòåðæíÿ.
3.5. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî ïîâçäîâæíi êîëèâàííÿ ñòåðæíÿ äîâæèíîþ l
ïðè ïî÷àòêîâèõ óìîâàõ u(x, 0) = kx, ut (x, 0) = 0, ÿêùî êiíåöü x = 0
çàêðiïëåíèé, à êiíåöü x = l âiëüíèé.
3.6. Çíàéòè ïîâçäîâæíi çìiùåííÿ òî÷îê ñòåðæíÿ, ÿêùî êiíåöü x = 0
çàêðiïëåíèé ïðóæíüî, à êiíåöü x = l âiëüíèé. Ïðóæí¹ çàêðiïëåííÿ
îçíà÷à¹, ùî íà êiíåöü äi¹ ïîâçäîâæíÿ ñèëà, ïðîïîðöiéíà çìiùåííþ
i íàïðàâëåíà â ïðîòèëåæíîìó íàïðÿìêó.
3.7. Äî ñòåëi ëiôòà, ùî ðiâíîìiðíî ðóõà¹òüñÿ iç øâèäêiñòþ v0 , æîðñòêî
çàêðiïëåíèé ñòåðæåíü êiíöåì x = 0, ïðè öüîìó êiíåöü x = l âiëü37
íèé. Çíàéòè ïîâçäîâæíi êîëèâàííÿ ñòåðæíÿ ïiñëÿ ìèòò¹âî¨ çóïèíêè
ëiôòà. Ïîëîæåííÿ ñòåðæíÿ âåðòèêàëüíå
3.8. Çíàéòè âiäõèëåííÿ âiä ïîëîæåííÿ ðiâíîâàãè ïðÿìîêóòíî¨ ìåìáðàíè
iç ñòîðîíàìè x1 , y1 , ÿêùî êðਠìåìáðàíè æîðñòêî çàêðiïëåíi. Ïî÷àòêîâi óìîâè äîâiëüíi: u(x, y, 0) = φ(x, y) , ut (x, y, 0) = ψ(x, y).
3.9. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî êîëèâàííÿ ìåìáðàíè, ùî ì๠ôîðìó ðiâíîáå-
äðåíîãî ïðÿìîêóòíîãî òðèêóòíèêà ç êàòåòàìè ðiâíèìè l. Êðਠìåìáðàíè çàêðiïëåíi. Ïî÷àòêîâi óìîâè äîâiëüíi: u(x, y, 0) = φ(x, y),
ut (x, y, 0) = ψ(x, y).
3.10. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó utt = a2 uxx + Ash(kx) äëÿ t > 0, x ∈ [0, l] iç
íóëüîâèìè ïî÷àòêîâèìè i êðàéîâèìè óìîâàìè.
3.11. Çíàéòè êîëèâàííÿ ñòðóíè äîâæèíîþ l ïiä äi¹þ çîâíiøíüî¨ ñèëè ç ëiíiéíîþ ãóñòèíîþ F (x) = f0 x(l − x)t2 . Âiäõèëåííÿ i øâèäêîñòi òî÷îê
ñòðóíè â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó äîðiâíþþòü íóëþ.
Ðiâíÿííÿ ïàðàáîëi÷íîãî òèïó.
Ïðèêëàä 3
Ðîçâ'ÿçàòè êðàéîâó çàäà÷ó:
ut = a2 uxx − βu
u(0, t) = ux (l, t) = 0, u(x, 0) = sin πx
2l , x ∈ (0, l), t > 0.
Áóäåìî øóêàòè ðîçâ'ÿçîê ó âèãëÿäi: u(x, t) = e−βt v(x, t). Ïiäñòàâèâèâøè â ðiâíÿííÿ, ïî÷àòêîâi i êðàéîâi óìîâè öåé âèðàç îòðèìà¹ìî
äëÿ ôóíêöi¨ v(x, t) îäíîðiäíó êðàéîâó çàäà÷ó:
vt = a2 vxx
v(0, t) = vx (l, t) = 0, v(x, 0) = sin πx
2l , x ∈ (0, l), t > 0.
Áóäåìî ðîçâ'ÿçóâàòè öþ çàäà÷ó ìåòîäîì ðîçäiëåííÿ çìiííèõ, ïðåäñòàâëÿþ÷è ðîçâ'ÿçîê ó âèãëÿäi v(x, t) = X(x)T (t).
X 00 (x)
Ṫ (t)
= 2
= µ,
X(x)
a T (t)
äå µ äåÿêà êîíñòàíòà.
38
Äëÿ ôóíêöi¨ X(x) âèêîðèñòîâóþ÷è êðàéîâi óìîâè, îòðèìà¹ìî çàäà÷ó Øòóðìà-Ëióâiëÿ:
X 00 (x) − µX(x) = 0;
(3.51)
X(0) = 0; X 0 (l) = 0,
(3.52)
Ðîçãëÿíåìî âñi ìîæëèâi çíà÷åííÿ êîíñòàíòè µ.
• ïðè µ = λ2 > 0 çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê ðiâíÿííÿ ì๠âèãëÿä X(x) =
Aeλx + Be−λx . Äàëi íàêëàäà¹ìî êðàéîâi
óìîâè (3.52)
X(0) =
¡
¢
A + B = 0 ⇒ A = −B , X 0 (l) = λA eλl − (−λ)e−λl = 0. Çàäîâîëüíèòè öþ óìîâó ìîæíà ëèøå ïðè A = 0. Òàêèì ÷èíîì äëÿ
âèïàäêó µ > 0 ìà¹ìî ëèøå òðèâiàëüíèé ðîçâ'ÿçîê.
• ïðè µ = 0 ïiäñòàâëÿ¹ìî çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê X(x) = Ax + B â
óìîâè (3.52), çâiäêè îòðèìà¹ìî X(0) = B = 0, X 0 (l) = A = 0,
òîáòî i äëÿ âèïàäêó µ = 0 òàêîæ ìîæëèâèé ëèøå òðèâiàëüíèé
ðîçâ'ÿçîê.
• ïðè µ = −λ2 < 0 çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçêî X(x) = A sin λx+B cos λx,
ç êðàéîâèõ óìîâ çíàõîäèìî X(0) = B = 0, X 0 (l) = Aλ cos λl =
0 ⇒ λl = π2 + πn, äå n öiëå ÷èñëî. Òàêèì ÷èíîì, âëàñíi çíà÷å³
´2
π(2n+1)
,
ííÿ çàäà÷i Øòóðìà Ëióâiëëÿ ìàþòü âèãëÿä: µn = −
2l
à âëàñíi ôóíêöi¨, âiäïîâiäíî, Xn (x) = An sin
π(2n+1)x
.
2l
Ðîçâ'ÿæåìî òåïåð ðiâíÿííÿ äëÿ ôóíêöi¨ T (t):
2
Ṫn (t) = a µn Tn (t) ⇒ Tn (t) = Cn e
−γn t
a2 (2n + 1)2 π 2
, γn =
.
4l2
Çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê êðàéîâî¨ çàäà÷i ì๠âèãëÿä:
v(x, t) =
∞
X
Bn e−γn t sin
n=1
π(2n + 1)x
2l
(3.53)
Êîåôiöi¹íòè Bn çíàõîäèìî, íàêëàäàþ÷è ïî÷àòêîâó óìîâó:
v(x, 0) =
∞
X
n=1
Bn sin
π(2n + 1)x
πx
= sin
⇒ Bk = 0, k 6= 0, B0 = 1.
2l
2l
Îñòàòî÷íî ìà¹ìî âiäïîâiäü:
u(x, t) = e
−βt
v(x, t) = e
39
2 2
−βt− π4la2 t
sin
πx
.
2l
3.12. Çíàéòè ðîçïîäië òåìïåðàòóðè âñåðåäèíi òîíêîãî ñòåðæíÿ x ∈ [0, l]
iç òåïëîiçîëüîâàíîþ ái÷íîþ ïîâåðõíåþ, ÿêùî
(à) òåìïåðàòóðà éîãî êiíöiâ ïiäòðèìó¹òüñÿ ðiâíîþ íóëþ;
(á) òåìïåðàòóðà êiíöÿ x = 0 ïiäòðèìó¹òüñÿ ðiâíîþ íóëþ, à êiíåöü
x = l òåïëîiçîëüîâàíèé;
(â) îáèäâà êiíöi ñòåðæíÿ òåïëîiçîëüîâàíi. Ïî÷àòêîâà òåìïåðàòóðà
u(x, 0) = f (x). Ðîçãëÿíóòè âèïàäîê f (x) = u0 =const.
3.13. Çíàéòè ðîçïîäië òåìïåðàòóðè âñåðåäèíi òîíêîãî ñòåðæíÿ x ∈ [0, l] iç
òåïëîiçîëüîâàíîþ ái÷íîþ ïîâåðõíåþ, ÿêùî òåìïåðàòóðà êiíöÿ x = 0
ïiäòðèìó¹òüñÿ ðiâíîþ íóëþ, à íà êiíöi x = l òåìïåðàòóðà çìiíþ¹òüñÿ çà çàêîíîì u(l, t) = Ae−γt . Ïî÷àòêîâà òåìïåðàòóðà âñåðåäèíi
ñòåðæíÿ: u(x, 0) = Ax/l.
3.14. Çíàéòè òåìïåðàòóðó â òîíêîìó îäíîðiäíîìó êiëüöi äîâæèíîþ l, ÿêùî
ái÷íà ïîâåðõíÿ êiëüöÿ òåïëîiçîëüîâàíà, à ïî÷àòêîâèé ðîçïîäië òåìïåðàòóðè â êiëüöi äîâiëüíèé: u(x, 0) = f (x)
3.15. Âèçíà÷èòè êðèòè÷íó òîâùèíó øàðó, â ÿêîìó âiäáóâà¹òüñÿ äèôóçiÿ
÷àñòèíîê iç ðîçìíîæåííÿì.
(à) Êîíöåíòðàöiÿ ÷àñòèíîê íà âåðõíié i íèæíié ïîâåðõíi íóëüîâà.
(á) Ïîòiê ÷àñòèíîê ÷åðåç íèæíþ ïîâåðõíþ øàðó äîðiâíþ¹ íóëþ,
à íà âåðõíié ïîâåðõíi êîíöåíòðàöiÿ íóëüîâà. Ïî÷àòêîâèé ðîçïîäië
êîíöåíòðàöi¨ âñåðåäèíi øàðó äîâiëüíèé.
3.16. Âèçíà÷èòè êðèòè÷íi ðîçìiðè êóáó, ÿêùî âñåðåäèíi âiäáóâà¹òüñÿ äè-
ôóçiÿ ÷àñòèíîê iç ðîçìíîæåííÿì. Êîíöåíòðàöiÿ ÷àñòèíîê íà ïîâåðõíi íóëüîâà. Ïî÷àòêîâèé ðîçïîäië êîíöåíòðàöi¨ u(x, y, z, 0) = f (x, y, z).
3.17. Âèçíà÷èòè êðèòè÷íi ðîçìiðè êóëi, ÿêùî âñåðåäèíi âiäáóâà¹òüñÿ äè-
ôóçiÿ ÷àñòèíîê iç ðîçìíîæåííÿì. Êîíöåíòðàöiÿ ÷àñòèíîê íà ïîâåðõíi íóëüîâà. Ïî÷àòêîâèé ðîçïîäië ÷àñòèíîê çàëåæèòü ëèøå âiä âiäñòàíi äî öåíòðó êóëi: u(r, 0) = f (r).
3.18. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî îõîëîäæåííÿ êóëi ðàäióñó r0 , ÿêùî â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó ðîçïîäië òåìïåðàòóðè çàëåæàâ ëèøå âiä âiäñòàíi äî
öåíòðó êóëi: u(r, 0) = f (r).
(à) Íà ïîâåðõíi êóëi ïiäòðèìó¹òüñÿ íóëüîâà òåìïåðàòóðà;
(á) Ïîâåðõíÿ êóëi ïiäòðèìóþòüñÿ ïðè ñòàëié òåìïåðàòóði u0 =const;
40
(â) Ïîâåðõíÿ êóëi âiëüíî îõîëîäæó¹òüñÿ çà çàêîíîì Íüþòîíà â ñåðåäîâèùi ç íóëüîâîþ òåìïåðàòóðîþ.
3.19. Ái÷íà ïîâåðõíÿ êóëi ðàäióñó r0 îïðîìiíþ¹òüñÿ îäíîðiäíèì ïîòîêîì
òåïëà ãóñòèíîþ q . Çíàéòè òåìïåðàòóðó âñåðåäèíi êóëi ïðè t > 0,
ÿêùî â ïî÷àòêîâèé ìîìåíò ÷àñó òåìïåðàòóðà êóëi äîðiâíþâàëà íóëþ.
Ðiâíÿííÿ åëiïòè÷íîãî òèïó.
Ïðèêëàä 4
Çíàéòè åëåêòðîñòàòè÷íèé ïîòåíöiàë âñåðåäèíi îáëàñòi ìiæ ïðîâiäíèìè ïëàñòèíàìè x = 0, y = 0, y = y0 , ÿêùî ïëàñòèíà x = 0 ìà¹
ïîòåíöiàë u(0, y) = U0 = A(y0 − y)y/y02 à ïëàñòèíè y = 0 òà y = y0
çàçåìëåíi (äèâ. ðèñóíîê). Âñåðåäèíi îáëàñòi âiäñóòíi âiëüíi çàðÿäè.
Êðàéîâà çàäà÷à äëÿ åëåêòðîñòàòè÷íîãî ïîòåíöiàëó u(x, y) ì๠âèãëÿä:
uxx + uyy = 0
u(0, y) = A(y0 − y)y/y02 , u(∞, y) = 0, u(x, 0) = u(x, y0 ) = 0, x ∈
(0, ∞), y ∈ (0, y0 ).
Ïiñëÿ ðîçäiëåííÿ çìiííèõ îòðèìà¹ìî:
X 00 (x) Y 00 (y)
−
=
= µ.
X(x)
Y (y)
Äëÿ ôóíêöi¨ Y (y) îòðèìà¹ìî çàäà÷ó Øòóðìà-Ëióâiëëÿ, àíàëîãi÷íó
äî ðîãëÿíóòî¨ â Ïðèêëàäi 2. Òîìó ìîæíà ¡îäðàçó
íàïèñàòè âëàñíi
¢
πn 2
ôóíêöi¨ i âëàñíi çíà÷åííÿ öi¨ çàäà÷i: µn = − l , Yn (y) = An sin(πny/y0 ).
Âiäïîâiäíå ðiâíÿííÿ äëÿ X(x) ì๠âèãëÿä:
Xn00 (x)
−
³ πn ´2
l
41
Xn (x) = 0,
Çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê öüîãî ðiâíÿííÿ: Xn (x) = Bn e−πnx/y0 +Cn eπnx/y0 .
Iç êðàéîâî¨ óìîâè ïðè x → ∞ ìîæíà âèçíà÷èòè îäíó ç êîíñòàíò:
Xn (∞) = 0 ⇒ Cn = 0.
Òàêèì ÷èíîì, ìà¹ìî çàãàëüíèé ðîçâ'ÿçîê:
u(x, y) =
∞
X
−πnx/y0
An e
n=1
sin
³ πnx ´
l
.
(3.54)
Íàêëàäàþ÷è óìîâó u(0, y) = U0 i âèêîðèñòîâóþ÷è ðåçóëüòàòè çàäà÷i
Ïðèêëàäó 2, îñòàòî÷íî îòðèìà¹ìî:
∞
8A X (−1)m −(2m+1)πx/y0
(2m + 1)πx
u(x, y) = 3
.
e
sin
π m=0 (2m + 1)3
l
3.20. Çíàéòè åëåêòðîñòàòè÷íèé ïîòåíöiàë âñåðåäèíi ïàðàëåëiïiïåäó iç ïðîâiäíèìè ái÷íèìè ãðàíÿìè, ÿêùî îäíà ãðàíü ì๠ïîòåíöiàë u0 =const,
à âñi iíøi ãðàíi çàçåìëåíi.
3.21. Çíàéòè ñòàöiîíàðíèé ðîçïîäië òåìïåðàòóðè âñåðåäèíi íåñêií÷åííîãî
öèëiíäðó ðàäióñó r0 , ÿêùî ïîëîâèíà öèëiíäðà ϕ ∈ [0, π] ì๠òåìïåðàòóðó ïîâåðõíi, ðiâíó U1 , à äðóãà ïîëîâèíà òåìïåðàòóðó U2 .
3.22. Çíàéòè ñòàöiîíàðíèé ðîçïîäië òåìïåðàòóðè âñåðåäèíi êiëüöåâîãî ñå-
êòîðà r1 < r < r2 , 0 < ϕ < α, ÿêùî òåìïåðàòóðà íà ãðàíèöÿõ çàäà¹òüñÿ ðiâíîñòÿìè: u(r, 0) = u(r, α) = u(r1 , ϕ) = 0, u(r2 , ϕ) = f (ϕ).
3.23. Çíàéòè ïîòåíöiàë çîâíi íåñêií÷åííîãî ïðîâiäíîãî çàçåìëåíîãî öè-
ëiíäðó ðàäiñó r0 , ùî çíàõîäèòñÿ â îäíîðiäíîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi
~ 0 , íàïðàâëåíîìó ïåðïåíäèêóëÿðíî äî îñi öèëiíäðó. Âèçíà÷èòè ïîE
âåðõíåâó ãóñòèíó çàðÿäiâ íà öèëiíäði.
42
3.24. Íåñêií÷åíèé ïðîâiäíèé öèëiíäð çíàõîäèòüñÿ â çîâíiøíüîìó îäíîði-
~ 0 , íàïðàâëåíîìó âçäîâæ îñi x. Òâiðíà
äíîìó åëåêòðè÷íîìó ïîëi E
öèëiíäðó ïàðàëåëüíà îñi z . Çíàéòè ãóñòèíó ïîâåðõíåâîãî çàðÿäó íà
öèëiíäði.
3.25. Çíàéòè ñòàöiîíàðíèé ðîçïîäië òåìïåðàòóðè â òâåðäîìó òiëi, ùî îáìåæåíå íåñêií÷åííèìè êîàêñiàëüíèìè öèëiíäðè÷íèìè ïîâåðõíÿìè iç
ðàäióñàìè r1 i r2 (r1 < r2 ), ÿêùî íà ïîâåðõíi âíóòðiøíüîãî öèëiíäðó
ïiäòðèìó¹òüñÿ ïîñòiéíà òåìïåðàòóðà u0 . Ïîëîâèíà 0 ≤ ϕ ≤ π çîâíiøíüîãî öèëiíäðó ïiäòðèìó¹òüñÿ ïðè íóëüîâié òåìïðåðàòóði, à iíøà
ïîëîâèíà π < ϕ ≤ 2π ïðè òåìïåðàòóði u0 .
4. Çàäà÷i ç âèêîðèñòàííÿì δ -ôóíêöié.
4.1. Çàïèñàòè îá'¹ìíó ãóñòèíó çàðÿäó â äåêàðòîâié, öèëiíäðè÷íié àáî
ñôåðè÷íié ñèñòåìi êîîðäèíàò äëÿ âèïàäêó, êîëè çàðÿä ðiâíîìiðíî
ðîçïîäiëåíèé ïî ïîâåðõíÿì àáî âçäîâæ ëiíié:
(a) Äëÿ êóëi ðàäióñó R iç ïîâåðõíåâîþ ãóñòèíîþ σ .
(á) Äëÿ ïiâêóëi ðàäióñó R iç ïîâåðõíåâîþ ãóñòèíîþ σ .
(â) Òîíêå êiëüöå ðàäióñó R, ùî çíàõîäèòüñÿ â ïëîùèíi (x, y). Ëiíiéíà
ãóñòèíà çàðÿäó γ .
(ã) Íàïiâêiëüöå ðàäióñó R, ëiíiéíà ãóñòèíà çàðÿäó γ .
(ä) Òîíêèé ñòåðæåíü äîâæèíîþ l, ùî ðîçòàøîâàíèé âçäîâæ äîäàòíüî¨ ÷àñòèíè îñi z . Ëiíiéíà ãóñòèíà çàðÿäó γ .
(å) Òîíêèé äèñê ðàäióñó R, ùî ëåæèòü â ïëîùèíi (x, y), çàðÿäæåíèé
ç ïîâåðõíåâîþ ãóñòèíîþ σ .
(æ) Öèëiíäðè÷íà ïîâåðõíÿ ðàäióñó R i âèñîòîþ h, çàðÿäæåíà ç ïîâåðõíåâîþ ãóñòèíîþ σ . Îñíîâà öèëiíäðó ðîçòàøîâàíà â ïëîùèíi
(x, y).
4.2. Äîâåñòè ðiâíîñòi:
1 ε
= δ(x);
ε→+0 π x2 + ε2
(a) lim
2
dδ(x)
xε
=
−
;
ε→+0 π (x2 + ε2 )2
dx
(â) lim
43
2
x2 ε
= δ(x)
ε→+0 π (x2 + ε2 )2
(á) lim
(ä) x
dδ(x)
= −δ(x);
dx
1 − cos(nx)
(å) lim
= δ(x);
n→∞
πnx2
1
(æ)
2π
Z
+∞
eikx dk = δ(x)
−∞
4.3. Äîâåñòè, ùî äëÿ áóäü-ÿêî¨ ãëàäêî¨ ôóíêöi¨ f (x) ì๠ìiñöå ðiâíiñòü:
f (x)
dδ(x − a)
dδ(x − a)
df (x)
= f (a)
− δ(x − a)
dx
dx
dx
4.4. Äîâåñòè, ùî ÿêùî f 0 (an ) 6= 0, äå {an } ìíîæèíà íóëiâ ôóíêöi¨ f (x):
f (an ) = 0, òî
δ(f (x)) =
X δ(x − an )
n
|f 0 (an )|
5. Ìåòîä ðîçäiëåííÿ çìiííèõ ç âèêîðèñòàííÿì
ñïåöiàëüíèõ ôóíêöié.
Çàäà÷i ç âèêîðèñòàííÿì öèëiíäðè÷íèõ ôóíêöié.
5.1. Çíàéòè âèðàç äëÿ åëåêòðîñòàòè÷íîãî ïîòåíöiàëó âñåðåäèíi öèëií-
äðó ðàäióñó r0 òà âèñîòîþ h, ÿêùî ái÷íà ïîâåðõíÿ i âåðõíÿ îñíîâà
çàçåìëåíi, à íèæíÿ îñíîâà ì๠ïîñòiéíèé ïîòåíöiàë u0 .
5.2. Òåìïåðàòóðà íèæíüî¨ îñíîâè i ái÷íî¨ ïîâåðõíi öèëiíäðó äîðiâíþ¹
íóëþ. Ðàäióñ öèëiíäðó r0 , âèñîòà äîðiâíþ¹ h. Çíàéòè ñòàöiîíàðíèé
ðîçïîäië òåìïåðàòóðè âñåðåäèíi öèëiíäðó. ßêùî òåìïåðàòóðà âåðõíüî¨ îñíîâè (à) ì๠àêñiàëüíî-ñèìåòðè÷íèé ðîçïîäië: u(r, h) = f (r);
(á) ì๠ðîçïîäië, ùî çàäà¹òüñÿ ôîðìóëîþ: u(r, ϕ, h) = f (r, ϕ).
5.3. Çíàéòè êðèòè÷íèé ðàäióñ íåñêií÷åííî äîâãîãî öèëiíäðó, â ÿêîìó âiäáóâà¹òüñÿ äèôóçiÿ ÷àñòèíîê ç ðîçìíîæåííÿì. Êîíöåíòðàöiÿ ÷àñòèíîê íà ïîâåðõíi öèëiíäðó äîðiâíþ¹ íóëþ.
5.4. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî ïîïåðå÷íi êîëèâàííÿ ìåìáðàíè, ùî ì๠ôîðìó êîëà. Êðàé ìåìáðàíè çàêðiïëåíèé. Ïî÷àòêîâèé ðîçïîäië øâèäêîñòåé i çìiùåíü ¹ ðàäiàëüíî-ñèìåòðè÷íèì.
5.5. (à) Äîâåñòè
g(x, t) = e
x
2 (t−1/t)
=
+∞
X
n
Jn (x)t , äå Jn (x) =
n=−∞
+∞
X
s=0
44
(−1)s ³ x ´n+2s
.
s!(n + s)! 2
(á) Ðîçãëÿíóâøè äîáóòîê òâiðíèõ ôóíêöié g(x, t)g(−x, t), äîâåñòè
ùî
1=
J02 (x)
+2
+∞
X
1
Jn2 (x), |J0 (x)| ≤ 1; |Jn (x)| ≤ √ .
2
n=1
(â) Âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòi òâiðíèõ ôóíêöié g(x+y, t) = g(x, t)g(y, t),
äîâåñòè
Jn (x + y) =
+∞
X
Js (x)Jn−s (y).
s=−∞
5.6. Çíàéòè åëåêòðîñòàòè÷íèé ïîòåíöiàë âñåðåäèíi öèëiíäðè÷íî¨ êîðîá-
êè ðàäióñó r0 âèñîòîþ h, ÿêùî âåðõíÿ i íèæíÿ îñíîâà çàçåìëåíi, à
ái÷íà ïîâåðõíÿ çàðÿäæåíà äî ïîòåíöiàëó u0 . Âèçíà÷èòè íàïðóæåíiñòü ïîëÿ íà îñi öèëiíäðó.
Çàäà÷i ç âèêîðèñòàííÿì ïîëiíîìiâ Ëåæàíäðà i ñôåðè÷íèõ
ôóíêöié.
5.7. Çíàéòè åëåêòðîñòàòè÷íå ïîëå òî÷êîâîãî çàðÿäó q â ïðèñóòíîñòi ïðîâiäíî¨ çàçåìëåíî¨ êóëi ðàäióñó r0
(à) çàðÿä çíàõîäèòüñÿ íà âiäñòàíi a > r0 âiä öåíòðó êóëi, çíàéòè
ïîòåíöiàë çîâí¹ êóëi;
(á) çàðÿä çíàõîäèòüñÿ íà âiäñòàíi a < r0 âiä öåíòðó êóëi, çíàéòè
ïîòåíöiàë âñåðåäèíi êóëi.
5.8. Çíàéòè ïîòåíöiàë â îáëàñòi ìiæ äâîìà êîíöåíòðè÷íèìè ïðîâiäíèìè
çàçåìëåíèìè êóëÿìè (r1 < r < r2 , äå r1 , r2 ðàäióñè êóëü), ÿêùî íà
âiäñòàíi a (r1 < a < r2 ) ðîçòàøîâàíèé òî÷êîâèé çàðÿä q .
5.9. Ñôåðè÷íà ïîñóäèíà ç òâåðäèìè ñòiíêàìè, íàïîâíåíà ãàçîì, òðèâà-
ëèé ÷àñ ðóõàëàñü ðiâíîìiðíî iç øâèäêiñòþ v0 .  ìîìåíò ÷àñó t = 0
âîíà ìèòò¹âî çóïèíèëàñü i çàëèøàëàñü íåðóõîìîþ. Çíàéòè êîëèâàííÿ, ùî âñòàíîâèëèñü âñåðåäèíi ïîñóäèíè.
5.10. Òâåðäà êóëÿ ðóõà¹òüñÿ ç ïîñòiéíîþ øâèäêiñòþ v0 â íåñòèñëèâié ðiäèíi, ùî çíàõîäèòñÿ ó ñïîêî¨ íà äàëåêèõ âiäñòàíÿõ âiä êóëi. Ðàäióñ
êóëi r0 . Çíàéòè ïîòåíöiàë øâèäêîñòåé ðiäèíè.
5.11. Çíàéòè åëåêòðîñòàòè÷íèé ïîòåíöiàë çîâíi ïðîâiäíî¨ çàçåìëåíî¨ êóëi
ðàäióñó r0 , ùî çíàõîäèòñÿ â çîâíiøíüîìó îäíîðiäíîìó åëåêòðè÷íîìó
~ 0.
ïîëi E
45
5.12. Îá÷èñëèòè Pn (0), Pn (1).
5.13. Îá÷èñëèòè
Z
(à)
1
xPn (x)dx;
0
Z
(á)
1
Pn (x)dx.
0
5.14. Çíàéòè ñòàöiîíàðíèé ðîçïîäië òåìïåðàòóðè âñåðåäèíi ïiâêóëi ðàäióñó r0 , ÿêùî ñôåðè÷íà ÷àñòèíà ïîâåðõíi ïiâêóëi ïiäòðèìó¹òüñÿ ïðè
ñòàëié òåìïåðàòóði u0 , à îñíîâà ì๠íóëüîâó òåìïåðàòóðó.
5.15. Çíàéòè ãàðìîíiéíó ôóíêöiþ âñåðåäèíi êóëi ðàäióñó r0 , ùî íàáóâà¹
íà ïîâåðõíi çíà÷åííÿ: u(r0 , θ) = cos2 θ.
5.16. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî îõîëîäæåííÿ êóëi ðàäióñó r0 , ÿêùî ïî÷àòêîâèé ðîçïîäië òåìïåðàòóðè çàäàíèé: u(r, θ, ϕ, 0) = f (r, θ, ϕ).
(a) Íà ïîâåðõíi êóëi ïiäòðèìó¹òüñÿ íóëüîâà òåìïåðàòóðà.
(á) Íà ïîâåðõíi êóëi ïiäòðèìó¹òüñÿ ñòàëà òåìïåðàòóðà u0 .
(â) Ïîâåðõíÿ êóëi âiëüíî îõîëîäæó¹òüñÿ â ñåðåäîâèùi iç íóëüîâîþ
òåìïåðàòóðîþ.
5.17. Çíàéòè òåìïåðàòóðó âñåðåäèíi ñôåðè÷íî¨ îáîëîíêè ìiæ äâîìà êîí-
öåíòðè÷íèìè ñôåðè÷íèìè ïîâåðõíÿìè (r1 < r < r2 ). Ïî÷àòêîâèé
ðîçïîäië òåìïåðàòóðè çàäàíèé: u(r, θ, ϕ, 0) = f (r, θ, ϕ).
(à) Òåìïåðàòóðà íà âíóòðiøíié i çîâíiøíié ïîâåðõíÿõ îáîëîíêè ïiäòðèìóþ¹òüñÿ ðiâíîþ íóëþ.
(á) Çîâíiøíÿ ïîâåðõíÿ îõîëîäæó¹òüñÿ â ñåðåäîâèùi ç íóëüîâîþ òåìïåðàòóðîþ, à âíóòðiøíÿ ïîâåðõíÿ îïðîìiíþ¹òüñÿ ðiâíîìiðíèì ïîòîêîì òåïëà ç ãóñòèíîþ Q.
5.18. Ðîçêëàñòè ïëîñêó õâèëþ ei~k~r ïî ïîëiíîìàì Ëåæàíäðà i ôóíêöiÿì
Áåñåëÿ.
5.19. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî ðîçñiÿííÿ ïëîñêî¨ àêóñòè÷íî¨ õâèëi íà òâåð-
äîìó öèëiíäði ðàäióñó r0 . Òâiðíà öèëiíäðó ïàðàëåëüíà õâèëüîâié ïîâåðõíi ïëîñêî¨ õâèëi.
5.20. Ðîçâ'ÿçàòè çàäà÷ó ïðî ðîçñiÿííÿ ïëîñêî¨ àêóñòè÷íî¨ õâèëi íà òâåðäié
êóëi ðàäióñó r0 .
46
6. Iíòåãðàëüíi ðiâííÿííÿ.
6.1. Ðîçâ'ÿçàòè iíòåãðàëüíå ðiâíÿííÿ ìåòîäîì ïîñëiäîâíèõ íàáëèæåíü:
Z
(a) ϕ(x) = 1 − 2
x
tϕ(t)dt;
Z0
1
(á) ϕ(x) = x −
2
1
(t − x)ϕ(t)dt.
−1
6.2. Ðîçâ'ÿçàòè iíòåãðàëüíå ðiâíÿííÿ ç âèðîäæåíèì ÿäðîì:
Z
(a) ϕ(x) = 1 + λ
1
(x − t)ϕ(t)dt;
0
Z
+∞
2
(á) ϕ(x) = −x +
2
e−x
−t2
ϕ(t)dt;
−∞
1
Z
x2 t2 ϕ(t)dt;
(â) ϕ(x) = −x2 +
Z
−1
1
(1 + x2 t2 )ϕ(t)dt;
(ã) ϕ(x) = x3 + λ
Z0
x
(ä) ϕ(x) = e + 2λ
1
ex+t ϕ(t)dt;
0
1
Z
(e) ϕ(x) = ex + λ
ex−t (1 + xt)ϕ(t)dt;
0
Z 1
2
4
(xt + x2 t2 )ϕ(t)dt.
(æ) ϕ(x) = x + x + λ
−1
6.3. Ðîçâ'ÿçàòè iíòåãðàëüíi ðiâíÿííÿ:
Z
(a) ϕ(x) = π − 2x + λ
Z
(á) ϕ(x) = cos 3x +
sin(2x + t)ϕ(t)dt;
0
2π
(cos x cos t + cos 2x cos 2t)ϕ(t)dt;
Z
(â) ϕ(x) = cos x +
π
0
2π
(cos x cos t + 2 sin 2x sin 2t)ϕ(t)dt.
0
6.4. Ðîçâ'ÿçàòè iíòåãðàëüíå ðiâíÿííÿ:
Z
π
ϕ(x) = λ
cos(x + t)ϕ(t)dt + a sin x + b
0
äëÿ âñiõ λ, òà âñiõ çíà÷åíü ïàðàìåòðiâ a,b.
47
6.5. Çíàéòè âñi çíà÷åííÿ ïàðàìåòðiâ a, b, c, ïðè ÿêèõ iíòåãðàëüíå ðiâíÿííÿ
Z
2
1
ϕ(x) = ax + bx + c + λ
(xt + x2 t2 )ϕ(t)dt
−1
ì๠ðîçâ'ÿçêè ïðè áóäü-ÿêèõ λ.
6.6. Çíàéòè âëàñíi çíà÷åííÿ i âëàñíi ôóíêöi¨ âèðîäæåíîãî ÿäðà K(x, t) =
t + x íà ïðîìiæêó [−1, 1].
6.7. Çíàéòè âëàñíi çíà÷åííÿ i âëàñíi ôóíêöi¨ ÿäðà K(x, t) íà ïðîìiæêó
[0, 2π]:
(à) K(x, t) = cos(t − x);
(á) K(x, t) =
1
2
+ sin(x + t).
6.8. Çíàéòè âëàñíi çíà÷åííÿ i âëàñíi ôóíêöi¨ ÿäðà K(x, t) íà ïðîìiæêó
[0, 1]:
2
45 ;
2/5
(à) K(x, t) = x2 t2 −
(á) K(x, t) = (x/y)
+ (y/x)2/5 .
6.9. Ïîáóäóâàòè ðåçîëüâåíòó ÿäðà K(x, t) iíòåãðàëüíîãî ðiâíÿííÿ Ôðåäãîëüìà
Z
1
ϕ(x) = f (x) +
K(x, t)ϕ(t)dt,
0
ÿêùî
(a) K(x, t) = ex−t ;
(á) K(x, t) = xt;
(â) K(x, t) = 1.
6.10. Çíàéòè ðåçîëüâåíòó i ðîçâ'ÿçàòè iíòåãðàëüíå ðiâíÿííÿ:
Z
(a) ϕ(x) = f (x) + λ
Z
(á) ϕ(x) = f (x) +
π
sin(x + t)ϕ(t)dt;
0
+π
(x sin t + cos t)ϕ(t)dt.
−π
6.11. Âèêîðèñòîâóþ÷è ïåðåòâîðåííÿ Ôóð'¹ ðîçâ'ÿçàòè iíòåãðàëüíi ðiâíÿííÿ:
Z
(a)
+∞
1 2
ϕ(t) cos(xt)dt = e− 2 x ;
0
48
Z
(á)
+∞
ϕ(t) cos(xt)dt =
−∞
1
.
a2 + x2
6.12. Ðîçâ'ÿçàòè iíòåãðàëüíå ðiâíÿííÿ Óðèñîíà:
Z
+∞
2
ϕ(t)ϕ(x − t)dt = e−x
−∞
49
50
Áiáëiî ðàôiÿ
[1] Á.Ì. Áóäàê, À.À. Ñàìàðñêèé, À.Í. Òèõîíîâ Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, -Ì.: Íàóêà, 1956.
[2] À.Í. Òèõîíîâ, À.À. Ñàìàðñêèé. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè,
-Ì.: Íàóêà, 1972.
[3] Â.ß. Àðñåíèí. Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åêñêîé ôèçèêè è ñïåöèàëüíûå
ôóíêöèè, -Ì.: Íàóêà, 1974.
[4] È.Â. Êîëîêîëîâ, Å.À. Êóçíåöîâ, À.È. Ìèëüøòåéí, Å.Â. Ïîäèâèëîâ,
À.È. ×åðíûõ, Ä.À. Øàïèðî, Å.Ã. Øàïèðî Çàäà÷è ïî ìàòåìàòè÷åñêèì ìåòîäàì ôèçèêè, -Ì.: Ýäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2000. -288 ñ.
[5] Ì.À. Ëàâðåíòüåâ, Á.Â. Øàáàò Ìåòîäû ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî, -Ì.: Íàóêà, 1957.
51
