6639. Маленький шарик подвешен на лёгкой нити длиной l = 1 м. Один раз его отклоняют на некоторый угол и сообщают ему такую скорость в горизонтальном направлении, что он начинает вращаться по окружности в горизонтальной плоскости с периодом обращения T= 1,68 c. В другой раз шарик отклоняют на тот же угол и отпускают его с нулевой начальной скоростью. Найдите максимальное отношение к силе натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/c2. Дано: l = 1 м; T= 1,68 c; g = 9,8 м/c2. Найти: k=? Решение. На шарик массой m, отклоненный от вертикали на некоторый угол α, действуют сила тяжести mg и сила натяжения нити N. Рассмотрим первый случай, когда шарик вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиусом r=l∙sin α. Запишем для некоторого момента времени второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось Z и на горизонтальную ось R, причем ось Z направим вверх, а ось R — к центру окружности 𝑚 ∙ 𝑎𝑧 = −𝑚 ∙ 𝑔 + 𝑁1 ∙ cos 𝛼 = 0, 𝑣2 𝑚 ∙ 𝑎𝑟 = 𝑚 ∙ = 𝑁1 ∙ sin 𝛼. 𝑟 Отсюда величина ускорения шарика равна 𝑁1 ∙ sin 𝛼 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sin 𝛼 𝑎 = 𝑎𝑟 = = = 𝑔 ∙ tan 𝛼, 𝑚 𝑚 ∙ cos 𝛼 a его скорость 𝑣 = √𝑔 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼 ∙ tan 𝛼. Поскольку период обращения равен 2∙𝜋∙𝑟 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼 𝑇= = , 𝑣 √𝑔 ∙ 𝑙 ∙ sin 𝛼 ∙ tan 𝛼 то 𝑔 ∙ 𝑇2 cos 𝛼 = , 4 ∙ 𝜋2 ∙ 𝑙 и сила натяжения нити 𝑚 ∙ 𝑔 4 ∙ 𝜋2 ∙ 𝑚 ∙ 𝑙 𝑁1 = = cos 𝛼 𝑇2 - постоянная величина. Для второго случая удобно записать второй закон Ньютона в проекциях на касательную ось X, направленную в данный момент вдоль траектории движения шарика, и на нормальную ось Y, направленную к точке подвеса нити 𝑚 ∙ 𝑎𝑥 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ sin 𝛼, 𝑚 ∙ 𝑎𝑦 = −𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼 + 𝑁2 . Поскольку здесь шарик движется по окружности радиусом l. То его ускорение 𝑣2 𝑎𝑦 = . 𝑙 Очевидно, что максимум отношения сил натяжения нити N1/N2 будет достигаться тогда, когда величина 𝑣2 𝑁2 = 𝑚 ∙ ( + 𝑔 ∙ cos 𝛼) 𝑙 принимает минимальное значение, то есть при v = 0, в положении максимального отклонения шарика (𝑁2 )𝑚𝑖𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼. Таким образом, максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе ее натяжения во втором случае равно 𝑁1 2∙𝜋 4 𝑙 2 2∙𝜋 4 1 2 𝑘=( ) =( ) ∙ ( ) ,𝑘 = ( ) ∙ ( ) = 2. 𝑁2 𝑚𝑎𝑥 𝑇 𝑔 1,68 9,8 Ответ: 𝟐∙𝝅 𝟒 𝒍 𝟐 𝒌=( ) ∙ ( ) , 𝒌 = 𝟐. 𝑻 𝒈