Загрузил alexandra120559

Работа1(статист)

реклама
Цель работы: ознакомиться с основными статистическими понятиями,
используемыми в гидрологии, и получить общую подготовку для выполнения
последующих работ.
Основные задачи: 1) на основе элементарных методов преобразования исходных
данных и их наглядного представления произвести анализ рассматриваемых процессов по
имеющим рядам наблюдений; 2) выявить, в первом приближении, особенности данных и
внутренне закономерности представленных ими рассматриваемых процессов.
Исходные данные: два временных ряда данных о среднегодовом и максимальном
стоке за совместный период наблюдений, продолжительностью 40 лет.
Ход работы:
Был проведен разведочный анализ рядов среднегодовых и максимальных расходов
р. Адагум у г. Крымск за период с 1965 по 2011 г.
Исходные данные:
Таблица 1. Среднегодовые расходы р.Адагум – г.Крымск.
Год
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
Средний
3.44
3.25
4.02
3.91
1
2.64
2.43
1.09
2.35
1.62
Год
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1985
Средний
3.26
3.18
1.97
2.33
2.09
2.89
4.3
2.07
2.44
2.5
Год
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Средний
2.64
2.99
3.04
3.15
2.56
2.12
4.11
1.88
1.79
6.22
Год
1996
1997
1998
1999
2000
2007
2008
2009
2010
2011
Средний
2.98
5.16
6.82
2.59
3.88
2.01
1.74
2.5
3.55
3.03
Таблица 2. Максимальные расходы р.Адагум – г.Крымск.
Год
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
Средний
507
97.8
148
65.4
14.0
57.1
56.5
23.8
77.3
33.3
Год
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1985
Средний
103
312
122
82.0
110
38.6
185
68.1
237
94.4
Год
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
Средний
105
63.4
99.4
142
69.9
18.6
112
15
71
355
Год
1996
1997
1998
1999
2000
2007
2008
2009
2010
2011
Средний
55.3
66.7
416
78.7
555
129
99.6
166
736
520
Были построены графики изменений рассматриваемых процессов во времени гидрографов
(Рис.1).
800
700
РАСХОД, М3/С
600
500
400
300
200
100
1993
1991
1972
1974
1980
1996
1971
1970
1987
1968
1997
1982
1990
1994
1973
1999
1978
1985
1966
1988
2008
1975
1986
1979
1992
1977
2007
1989
1967
2009
1981
1983
1976
1995
1998
1965
2011
2000
2010
0
ГОДЫ
Средний
Максимальный
Рисунок 1. Гидрограф значений максимальных и среднегодовых расходов р. Адагум - г. Крымск.
Были рассчитаны значения статистических совокупностей и координат
эмпирических функций распределения и обеспеченности по исходным рядам стока;
построены гистограммы, эмпирические функции распределения и обеспеченности.
Расчет значений статистической совокупности для каждого исходного ряда
производился в таблице 3. Для этого амплитуда исходного ряда разбивается на равные
интервалы. В данном случае количество интервалов для обоих рассматриваемых рядов
стока было принято равным 6 при длине интервалов 5,82 для ряда среднегодовых расходов
и 722 для ряда максимальных расходов. Границы интервалов заносились в первую строку
статистических совокупностей (таблица 3). Затем по исходным рядам подсчитывалось
число значений стока в каждом интервале m, которые приводятся во второй строке таблицы
3. В третью строку статистических совокупностей заносились частоты р, определённые по
формуле 𝑝 = 𝑚/𝑛.
Таблица 3. Статистическая совокупность ряда годовых расходов р. Адагум - г. Крымск.
Значение
Параметры
Интервал
Число значений,
m
Частота, p
Интервал
Число значений,
m
Частота, p
Среднегодовые расходы
1--2
2--3
3--4
7
0.18
17
0.43
14--134
134--254
254--374
28
0.70
5
0.13
2
0.05
4--5
5--6
6--7
1
0.03
2
0.05
374--494
494--614
614--737
1
0.03
3
0.08
1
0.03
10
3
0.25
0.08
Максимальные расходы
Расчет координат эмпирической функции обеспеченности и функции распределения
по первому и второму рядам производился в таблице 4. В первой строке указывались
нижние границы интервалов статистических совокупностей. Во второй строке приводилось
число случаев, когда значения расходов ниже соответствующей нижней границы интервала
– К1, в третьей строке – когда значения расходов равны или выше нижней границы
интервала – К2. В четвертой и пятой строках указывались значения ординат функции
распределения F(х) и кривой обеспеченности Р(х).
Таблица 4. Расчет эмпирических функций распределения и обеспеченности ряда
расходов (р. Адагум - г. Крымск).
Значение
Параметр
Нижняя граница
интервала
K1
K2
F(x)
P(x)
Параметр
Нижняя граница
интервала
K1
K2
F(x)
P(x)
Среднегодовые расходы
1
0
40
0.00
1.00
2
7
33
0.18
0.83
14
0
40
0
1
134
28
12
0.70
0.30
3
4
5
24
34
37
16
6
3
0.60
0.85
0.93
0.40
0.15
0.08
Максимальные расходы
254
33
7
0.83
0.18
374
35
5
0.88
0.13
494
36
4
0.90
0.10
6
38
2
0.95
0.05
7
40
0
1.00
0.00
614
39
1
0.98
0.03
737
40
0
1.00
0.00
Построение в одних координатных осях гистограммы, эмпирических функций
распределения и эмпирических функций обеспеченности отдельно для первого (рис. 2) и
второго (рис.3.) рядов производилось по данным табл. 3 и табл.4. На рисунках по оси
абсцисс откладывались значения нижней границы интервалов, а по оси ординат – для
эмпирической функции распределения – К1 и для ординаты эмпирической функции
обеспеченности – К2.
1,2
1
P(x)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
Q, м3/c
Частота, p
F(x)
P(x)
Рисунок 2. Гистограмма, кривые функций распределения и обеспеченности среднегодовых
расходов воды (р. Адагум - г. Крымск).
1,2
1
P(x)
0,8
0,6
0,4
0,2
0
14
134
254
374
494
614
737
Q, м3/с
Частота, p
F(x)
P(x)
Рисунок 3. Гистограмма, кривые функций распределения и обеспеченности максимальных
расходов воды (р. Адагум - г. Крымск).
Была проведена оценка числовых характеристик.
Были определены по обоим рядам оценок моды и медианы. В данном случае, для
ряда среднегодовых расходов мода равна 2,64, для ряда максимального стока -моды
выявлено не было. Медиана составляет соответственно 2,64 и 98,6.
Так как в данном случае все члены исходных рядов положительны, то расчет других
числовых характеристик производился по таблице 5. В данной таблице в первой колонке
указывался порядковый номер членов ряда, во второй – год наблюдения, в третьей –
значения среднегодовых расходов, в четвертой – значения средних годовых расходов в
𝑥
убывающем порядке, в пятой – модульные коэффициенты (𝑘𝑖 = 𝑚𝑖 ), в шестой – отклонения
𝑖
модульных коэффициентов от единицы, в седьмой и восьмой – отклонения от единицы в
квадрате и кубе, в девятой – значения эмпирической обеспеченности, рассчитанные по
𝑚
формуле 𝑃̂ = 𝑛𝑙𝑖 .
В нижней строке таблицы представлены суммы расходов, модульных
коэффициентов, отклонений модульных коэффициентов от единицы и суммы квадратов и
кубов отклонений от единицы.
Таблица 5. Расчет статистических характеристик ряда максимальных расходов (р.
Адагум - г. Крымск).
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Год
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
Qср
3.44
3.25
4.02
3.91
1
2.64
2.43
1.09
2.35
1.62
3.26
3.18
1.97
2.33
2.09
2.89
4.3
2.07
2.44
2.5
2.64
2.99
3.04
3.15
2.56
2.12
4.11
1.88
1.79
6.22
2.98
5.16
Qср ранж
6.82
6.22
5.16
4.3
4.11
4.02
3.91
3.88
3.55
3.44
3.26
3.25
3.18
3.15
3.04
3.03
2.99
2.98
2.89
2.64
2.64
2.59
2.56
2.5
2.5
2.44
2.43
2.35
2.33
2.12
2.09
2.07
Ki
2.32
2.12
1.76
1.46
1.40
1.37
1.33
1.32
1.21
1.17
1.11
1.11
1.08
1.07
1.03
1.03
1.02
1.01
0.98
0.90
0.90
0.88
0.87
0.85
0.85
0.83
0.83
0.80
0.79
0.72
0.71
0.70
K(i-1)
1.32
1.12
0.76
0.46
0.40
0.37
0.33
0.32
0.21
0.17
0.11
0.11
0.08
0.07
0.03
0.03
0.02
0.01
-0.02
-0.10
-0.10
-0.12
-0.13
-0.15
-0.15
-0.17
-0.17
-0.20
-0.21
-0.28
-0.29
-0.30
K(i-1)2
1.745
1.247
0.572
0.215
0.159
0.135
0.109
0.103
0.043
0.029
0.012
0.011
0.007
0.005
0.001
0.001
0.000
0.000
0.000
0.010
0.010
0.014
0.017
0.022
0.022
0.029
0.030
0.040
0.043
0.078
0.083
0.087
(Ki-1)3
2.305
1.393
0.432
0.099
0.063
0.050
0.036
0.033
0.009
0.005
0.001
0.001
0.001
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.001
-0.001
-0.002
-0.002
-0.003
-0.003
-0.005
-0.005
-0.008
-0.009
-0.022
-0.024
-0.026
Pm
2
5
7
10
12
15
17
20
22
24
27
29
32
34
37
39
41
44
46
49
51
54
56
59
61
63
66
68
71
73
76
78
33
34
35
36
37
38
39
40
1998
1999
2000
2007
2008
2009
2010
2011
6.82
2.59
3.88
2.01
1.74
2.5
3.55
3.03
117.54
2.01
1.97
1.88
1.79
1.74
1.62
1.09
1
117.54
0.68
0.67
0.64
0.61
0.59
0.55
0.37
0.34
40
-0.32
-0.33
-0.36
-0.39
-0.41
-0.45
-0.63
-0.66
0
0.100
0.109
0.130
0.153
0.166
0.201
0.396
0.435
6.570416
-0.032
-0.036
-0.047
-0.060
-0.068
-0.090
-0.249
-0.287
3.449626
80
83
85
88
90
93
95
98
По перечисленным суммам рассчитывались 𝑚
̂𝑥 , 𝜎𝑥 , Cv и Сs. По данным расчетов
таблицы 5, получаем:
𝑚
̂𝑥 =
∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
𝑛
σx = √
=
117,54
40
̂
∑n
i=1(xi −mx )2
(n−1)
= 2,94
=1.21
2
∑N
i=1(ki −1)
σ
Cv =mx = √
x
N
= 0,4
3
3
Сs =∑N
i=1(k i − 1) /N/Cv = 1.26
Аналогично проводился расчет статистических характеристик ряда максимальных
расходов (табл. 6).
Таблица 6. Расчет статистических характеристик ряда максимальных расходов (р.
Адагум - г. Крымск).
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Год
1965
1966
1967
1968
1969
1970
1971
1972
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1985
1986
Qмакс.
507
97.8
148
65.4
14
57.1
56.5
23.8
77.3
33.3
103
312
122
82
110
38.6
185
68.1
237
94.4
105
Qмакс. ранж
736
555
520
507
416
355
312
237
185
166
148
142
129
122
112
110
105
103
99.6
99.4
97.8
Ki
4.67
3.52
3.30
3.22
2.64
2.25
1.98
1.50
1.17
1.05
0.94
0.90
0.82
0.77
0.71
0.70
0.67
0.65
0.63
0.63
0.62
K(i-1)
3.67
2.52
2.30
2.22
1.64
1.25
0.98
0.50
0.17
0.05
-0.06
-0.10
-0.18
-0.23
-0.29
-0.30
-0.33
-0.35
-0.37
-0.37
-0.38
K(i-1)2
13.46
6.35
5.28
4.91
2.69
1.57
0.96
0.25
0.03
0.00
0.00
0.01
0.03
0.05
0.08
0.09
0.11
0.12
0.14
0.14
0.14
(Ki-1)3
49.38
16.01
12.14
10.88
4.40
1.96
0.94
0.13
0.01
0.00
0.00
0.00
-0.01
-0.01
-0.02
-0.03
-0.04
-0.04
-0.05
-0.05
-0.05
Pm
2
5
7
10
12
15
17
20
22
24
27
29
32
34
37
39
41
44
46
49
51
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2007
2008
2009
2010
2011
63.4
99.4
142
69.9
18.6
112
15
71
355
55.3
66.7
416
78.7
555
129
99.6
166
736
520
6305.9
94.4
82
78.7
77.3
71
69.9
68.1
66.7
65.4
63.4
57.1
56.5
55.3
38.6
33.3
23.8
18.6
15
14
6305.9
0.60
0.52
0.50
0.49
0.45
0.44
0.43
0.42
0.41
0.40
0.36
0.36
0.35
0.24
0.21
0.15
0.12
0.10
0.09
40
-0.40
-0.48
-0.50
-0.51
-0.55
-0.56
-0.57
-0.58
-0.59
-0.60
-0.64
-0.64
-0.65
-0.76
-0.79
-0.85
-0.88
-0.90
-0.91
0
0.16
-0.06
0.23
-0.11
0.25
-0.13
0.26
-0.13
0.30
-0.17
0.31
-0.17
0.32
-0.18
0.33
-0.19
0.34
-0.20
0.36
-0.21
0.41
-0.26
0.41
-0.26
0.42
-0.27
0.57
-0.43
0.62
-0.49
0.72
-0.61
0.78
-0.69
0.82
-0.74
0.83
-0.76
44.87352 89.46958
54
56
59
61
63
66
68
71
73
76
78
80
83
85
88
90
93
95
98
По перечисленным суммам рассчитывались 𝑚
̂𝑥 , 𝜎𝑥 , Cv и Сs. По данным расчетов табл.6,
получаем:
𝑚
̂𝑥 =
∑𝑛
𝑖=1 𝑥𝑖
=
𝑛
σx = √
6305.9
40
̂
∑n
i=1(xi −mx )
(n−1)
= 158
= 169
2
∑N
i=1(ki −1)
σ
Cv=mx = √
x
N
= 1.07
3
3
Сs =∑N
i=1(k i − 1) /N/Cv = 1.85
Затем, была составлена сводная таблица оценок основных числовых характеристик
(Табл.7).
Таблица 7. Числовые характеристики среднегодовых и максимальных расходов (р. Адагум
- г. Крымск).
Название
ряда
Qср
Qмакс
mx
2.94
158
M
2.64
314
Me
2.64
98.6
Оценки
𝜎𝑥
1.21
169
Dx
1.45
28595.7
Cv
0.41
1.07
Cs
1.26
1.85
2
Примечание: 𝐷𝑥 = ∑𝑁
𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑚𝑥 ) /𝑁
Была произведена оценка абсолютных и относительных погрешностей расчета
числовых характеристик по имеющимся рядам данных и затем была составлена сводная
таблица абсолютных и относительных погрешностей (табл.8). Расчет проводился по
следующим формулам:

средняя квадратичекая погрешность оценка математического ожидания
̂𝑚(𝑥) =
σ
̂𝑥
σ
;
√𝑛
̂̂𝑥
𝐷

средняя квадратическая погрешность оценки дисперсии σ̂𝐷(𝑥) =

средняя квадратическая погрешность определения коэффициента вариации


√𝑛
̂ 2;
√2 + 1,5𝐶𝑣
̂ 2 /√2𝑛;
̂𝐶𝑣
σ
̂ = 𝐶𝑣 √1 + 𝐶𝑣
средняя квадратическая погрешность коэффициента асимметрии
6
̂С𝑠 = √( ) (1 + 6𝐶𝑣 2 + 5𝐶𝑣 4 )𝐶𝑠.
σ
𝑛
Таблица 8. Абсолютные и относительные погрешности оценок числовых
характеристик среднегодовых (Qср) и максимальных (Qмакс) расходов (р.
Адагум - г. Крымск).
Числовые
Qср
Qмакс
характеристики Оценка
∆, %
Оценка
∆, %
σ
σ
2.94
0.16
5.31
158
21.82
13.81
𝑚
̂𝑥
𝐷̂
1.45
0.39
27.09
28595.76
9882.72
34.56
𝑥
Cv
0.41
0.04
9.87
1.09
0.14
13.21
̂С𝑠
1.27
0.59
46.37
1.85
2.25
121.47
Скачать