Баврин И.И. - Высшая математика (2004)

УЧЕБНИК
ДЛЯ ВУЗОВ
И.И. БАВРИН
КУРС ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
2е издание, переработанное и дополненное
Рекомендовано Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебника
для студентов высших педагогических учебных
заведений, обучающихся по направлению
«Естествознание», специальности «Физика»
Москва
ГУМАНИТАРНЫЙ
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ
ЦЕНТР
ВЛАДОС
2004
УДК 51(075.8)
ББК 21.1я73
Б13
Р е ц е н з е н т ы:
доктор физикоматематических наук,
профессор кафедры математического анализа МГУ
им. М. В. Ломоносова В.И. Гаврилов;
доктор педагогических наук, профессор,
заведующий кафедрой математического анализа МПУ
Г.Л. Луканкин
Б13
Баврин И. И.
Курс высшей математики: Учеб. для студ. высш. пед.
учеб. заведений / 2е изд., перераб. и доп. — М.: Гуманит.
изд. центр ВЛАДОС, 2004. — 560 с.
ISBN 5691001175.
Агентство CIP РГБ.
Учебник соответствует примерной программе дисциплины «Ма
тематика» для направления 540100 «Естествознание», специально
сти «Физика» педагогических вузов.
Состоит из трех разделов. Первый раздел — аналитическая гео
метрия и линейная алгебра, второй — математический анализ, тре
тий — специальные главы высшей математики, в том числе теория
поля, элементы теории функций комплексной переменной, интег
рал Фурье, основные уравнения и задачи математической физики,
теория вероятностей, элементы математической статистики, элемен
ты вариационного и операционного исчислений. В приложении при
ведены таблицы из теории вероятностей и математической статис
тики, дополнительная таблица интегралов и основные соотношения
и формулы из школьной математики. Приведено много разнообраз
ных примеров и задач, иллюстрирующих понятия высшей матема
тики и ее методы.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
ISBN 5691001175
© Баврин И. И., 2004
© ООО «Гуманитарный издательский
центр ВЛАДОС», 2004
© Серия «Учебник для вузов»
и серийное оформление.
ООО «Гуманитарный издательский
центр ВЛАДОС», 2004
© Макет. ООО «Гуманитарный
издательский центр ВЛАДОС», 2004
Предисловие ко второму изданию
Первое издание учебника «Курс высшей
математики» (М., 1992) переработано и до
полнено в соответствии с новой примерной
программой дисциплины «Математика» для
направления 540100 «Естествознание» и
программой по математике для специально
сти 01.40.00 «Физика» педагогических выс
ших учебных заведений.
Укажем наиболее существенные измене
ния и дополнения книги.
Выделены глава «Линейная алгебра» и
раздел «Специальные главы». В этот раз
дел в качестве нового материала включены
элементы теории функций комплексной
переменной, математической статистики,
операционного исчисления и некоторые
численные методы.
И. И. Баврин
Ðàçäåë I
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß
È ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
Ãëàâà 1. ÑÈÑÒÅÌÀ ÊÎÎÐÄÈÍÀÒ ÍÀ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ
È ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
§ 1.1. Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ è ïîëÿðíàÿ ñèñòåìû
êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè
1. Äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû. Âîçüìåì íà ïëîñêîñòè äâå
âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå Ox è Oy ñ óêàçàííûìè íà íèõ ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè (ðèñ. 1). Ïðÿìûå Ox è Oy íàçûâàþòñÿ
êîîðäèíàòíûìè îñÿìè, òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ O — íà÷àëîì êîîðäèíàò.
Îáû÷íî ïîëàãàþò, ÷òî îñü Ox ãîðèçîíòàëüíà, à îñü Oy âåðòèêàëüíà îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ; ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íà Ox ñëåâà íàïðàâî, íà Oy — ñíèçó ââåðõ.
Âûáåðåì åäèíèöó ìàñøòàáà (áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî íà îáåèõ îñÿõ
êîîðäèíàò âûáðàíà îäíà è òà æå åäèíèöà ìàñøòàáà). Êîîðäèíàòíûå
îñè Ox, Oy ñ âûáðàííîé åäèíèöåé ìàñøòàáà íàçûâàþòñÿ äåêàðòîâîé
ïðÿìîóãîëüíîé (èëè êðàòêî ïðÿìîóãîëüíîé) ñèñòåìîé êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè. (Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íîñèò èìÿ ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà, îñíîâàòåëÿ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè Ðåíå Äåêàðòà (1596–1650).)
Ïðîèçâîëüíîé òî÷êå M ïëîñêîñòè ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äâà ÷èñëà (ðèñ. 1):
àáñöèññó x, ðàâíóþ ðàññòîÿíèþ
îò òî÷êè Ì äî îñè Oy, âçÿòîìó ñî
çíàêîì «+», åñëè Ì ëåæèò ïðàâåå
Oy, è ñî çíàêîì «–», åñëè Ì ëåæèò
ëåâåå Oy;
îðäèíàòó ó, ðàâíóþ ðàññòîÿíèþ
îò òî÷êè Ì äî îñè Ox, âçÿòîìó ñî
çíàêîì «+», åñëè Ì ëåæèò âûøå Ox,
è ñî çíàêîì «–», åñëè Ì ëåæèò íèæå Ox.
Àáñöèññà õ è îðäèíàòà ó íàçûâàþòñÿ äåêàðòîâûìè ïðÿìîóãîëüíûìè
Ðèñ. 1
4
(èëè ïðÿìîóãîëüíûìè) êîîðäèíàòàìè òî÷êè Ì. Çàïèñü Ì(õ; ó)
÷èòàþò: «Òî÷êà Ì ñ àáñöèññîé, ðàâíîé õ, è îðäèíàòîé,
ðàâíîé ó».
Îòìåòèì, ÷òî êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò
îäíà ïàðà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x è y (åå êîîðäèíàò). Âåðíî
è îáðàòíîå: êàæäîé ïàðå äåéÐèñ. 2
ñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x è y ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïëîñêîñòè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïîëîæåíèå íà ïëîñêîñòè ïðîèçâîëüíîé òî÷êè
Ì ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ åå êîîðäèíàòàìè x è y.
Êîîðäèíàòíûå îñè Ox è Oy ðàçáèâàþò ïëîñêîñòü íà I, II, III, IV
ê â à ä ð à í ò û (ðèñ. 2). Çíàêè êîîðäèíàò òî÷åê â ðàçëè÷íûõ êâàäðàíòàõ óêàçàíû â òàáëèöå:
I
II
III
IV
x
+
–
–
+
y
+
+
–
–
Ïðè ýòîì åñëè òî÷êà Ì(õ; ó) ëåæèò íà îñè Oy, òî õ = 0; åñëè Ì(õ; ó) ëåæèò íà îñè Ox, òî ó = 0.
Íà ðèñóíêå 2 ïîñòðîåíû ÷åòûðå òî÷êè Ì1(2; 1), Ì2(–4; 3), Ì3(–4; –2)
è Ì4(0; –2).
2. Ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû. Çàôèêñèðóåì íà ïëîñêîñòè òî÷êó Î è
âûõîäÿùóþ èç íåå ïîëóïðÿìóþ Op, à òàêæå âûáåðåì åäèíèöó ìàñøòàáà (ðèñ. 3). Òî÷êà Î íàçûâàåòñÿ ïîëþñîì, ïîëóïðÿìàÿ Îp — ïîëÿðíîé îñüþ.
Ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ì (îòëè÷íîé
îò Î) ïëîñêîñòè ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå
äâà ÷èñëà:
ïîëÿðíûé ðàäèóñ r, ðàâíûé ðàññòîÿíèþ
îò òî÷êè Ì äî ïîëþñà Î;
ïîëÿðíûé óãîë ϕ, ðàâíûé óãëó ìåæäó
ïîëÿðíîé îñüþ Op è ïîëóïðÿìîé ÎÌ.
Ðèñ. 3
5
Ïîëÿðíûé óãîë ϕ èçìåðÿåòñÿ â
ðàäèàíàõ, îòñ÷åò ïîëîæèòåëüíûõ
(îòðèöàòåëüíûõ) çíà÷åíèé ϕ âåäåòñÿ îò Op ïðîòèâ äâèæåíèÿ (ïî äâèæåíèþ) ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ïðè ýòîì
îáû÷íî ïîëàãàþò, ÷òî –π < ϕ ≤ π.
Ïîëþñó Î ñîîòâåòñòâóåò ïîëÿðíûé ðàäèóñ r = 0, ïîëÿðíûé óãîë äëÿ
Ðèñ. 4
íåãî íå îïðåäåëåí.
Çàïèñü Ì (r; ϕ) îçíà÷àåò: òî÷êà Ì ñ ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r è ϕ.
Íàéäåì çàâèñèìîñòü ìåæäó ïðÿìîóãîëüíûìè è ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè. Áóäåì ñ÷èòàòü íà÷àëî êîîðäèíàò Î ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû õÎó îäíîâðåìåííî ïîëþñîì Î, à ëó÷ Ox ïðèìåì çà ïîëÿðíóþ îñü
Op (ðèñ. 4).
Èç ðèñóíêà 4 âèäíî, ÷òî äëÿ òî÷êè Ì (õ; ó) (Ì (r; ϕ)) ñïðàâåäëèâû
ñîîòíîøåíèÿ
õ = r cos ϕ, ó = r sin ϕ
(1)
è
y
(2)
r = x 2 + ó 2 , tgϕ = .
x
Ôîðìóëû (1) âûðàæàþò ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè Ì ÷åðåç
åå ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû. Ýòî ìîæíî äîêàçàòü äëÿ ëþáîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷êè Ì íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè. Ôîðìóëû (2) âûðàæàþò ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè Ì ÷åðåç åå ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû è
òîæå âåðíû ïðè ëþáîì ïîëîæåíèè òî÷êè Ì.
y
Çàìåòèì, ÷òî tg ϕ = äàåò äâà çíà÷åíèÿ ϕ (–π < ϕ ≤ π).
x
Ïîýòîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïîëÿðíîãî óãëà ϕ òî÷êè Ì ïî åå ïðÿìîóãîëüíûì êîîðäèíàòàì x è y ïðåäâàðèòåëüíî âûÿñíÿþò, â êàêîì êâàäðàíòå ëåæèò òî÷êà Ì.
Ï ð è ì å ð 1. Äàíû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè À: õ = 1, ó = 1. Íàéòè åå ïîëÿð-
íûå êîîðäèíàòû. Ïî ôîðìóëàì (2) íàõîäèì: r = 12 + 12 = 2 , tgϕ = 1. Èç äâóõ çíà÷åíèé
π
3π
π
èϕ = −
âûáèðàåì ϕ = , òàê êàê òî÷êà À ëåæèò â ïåðâîì êâàäðàíòå. Èòàê, ïîëÿð4
4
4
π
íûå êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè r = 2, ϕ = .
4
π
Ï ð è ì å ð 2. Ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè À òàêîâû: r = 2, ϕ = . Òîãäà ïî ôîðìóëàì
2
π
π
(1) ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû ýòîé òî÷êè áóäóò x = 2 cos = 0, y = 2 sin = 2.
2
2
ϕ=
6
§ 1.2. Ïðîñòåéøèå çàäà÷è íà ïëîñêîñòè
1. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè. Íàéäåì ðàññòîÿíèå d ìåæäó äâóìÿ äàííûìè òî÷êàìè Ì1 (õ1; ó1) è Ì2 (õ2; ó2) (ðèñ. 5). Èç ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà Ì1NM2 ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èìååì:
d = M 1M 2 = M 1 N 2 + M 2 N 2 .
Èçâåñòíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À è Â, ðàñïîëîæåííûìè
íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé (îñè), âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå d = À = |x –
− õA|, ãäå õA è x — êîîðäèíàòû òî÷åê À è  ýòîé ïðÿìîé. Íî Ì1N = À1À2 =
= |x2 – õ1|, N Ì2 = Â1Â2 = |ó2 – ó1|. Ïîýòîìó
d = (x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 .
(1)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè À(–1; –2) è Â(–4; 2). Ïî ôîðìóëå (1)
èìååì:
AB = (−4 + 1)2 + (2 + 2)2 = 9 + 16 = 5.
2. Äåëåíèå îòðåçêà â äàííîì îòíîøåíèè. Ïóñòü äàíû òî÷êè Ì1(õ1; ó1) è Ì2(õ2; ó2). Òðåáóåòñÿ íàéòè òî÷êó Ì(õ; ó), ëåæàùóþ íà îòðåçêå Ì1 Ì2 è äåëÿùóþ åãî â äàííîì îòíîøåíèè:
Ì1 Ì
ÌÌ 2
(2)
= λ.
Îïóñòèâ èç òî÷åê Ì1, Ì è Ì2 ïåðïåíäèêóëÿðû íà îñü Ox (ðèñ. 6), ïîëó÷èì:
Ì1 Ì
ÌÌ 2
=
À1 À
ÀÀ2
.
Ïðè âûáðàííîì ðàñïîëîæåíèè òî÷åê èìååì:
À1À = õ − õ1, ÀÀ2 = õ2 − õ.
Ïîýòîìó çàäàííîå îòíîøåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä:
x − x1
= λ,
x2 − x
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6
7
îòêóäà
õ=
õ1 + λõ 2
1+ λ
.
(3)
.
(4)
Àíàëîãè÷íî
ó=
ó1 + λ ó2
1+ λ
 ÷àñòíîñòè, åñëè λ = 1, ò. å. ïðè äåëåíèè îòðåçêà Ì1 Ì2 ïîïîëàì, ïîëó÷àåì:
õ=
õ1 + õ 2
2
, ó=
ó1 + ó2
2
.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ôîðìóëû (3) è (4) âåðíû ïðè ëþáîì ðàñïîëîæåíèè òî÷åê Ì1 è Ì2.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû òî÷êè Ì (õ; ó), äåëÿùåé îòðåçîê Ì1Ì2, ãäå Ì1(1; 1)
ÌÌ
è Ì2(4; 7), â îòíîøåíèè 1 = 2. Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (3) è (4) èìååì:
ÌÌ 2
õ=
1+2 ⋅4
1+2 ⋅7
= 3, ó=
= 5.
3
3
§ 1.3. Ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå óðàâíåíèÿ
ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè
Ïðÿìîóãîëüíàÿ è ïîëÿðíàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò ïîçâîëÿþò çàäàâàòü
ðàçëè÷íûå ëèíèè íà ïëîñêîñòè èõ óðàâíåíèÿìè.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Óðàâíåíèåì ëèíèè íà ïëîñêîñòè â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò õÎó íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå f (õ, ó) = 0, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû êàæäîé òî÷êè äàííîé ëèíèè è íå óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû ëþáîé òî÷êè ïëîñêîñòè, íå ëåæàùåé íà ýòîé
ëèíèè.
Ïåðåìåííûå õ è ó óðàâíåíèÿ ëèíèè íàçûâàþòñÿ òåêóùèìè êîîðäèíàòàìè.
Ïîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî óðàâíåíèå õ – ó = 0, èëè
õ = ó,
(1)
ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì áèññåêòðèñû I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ.
Ïî ñâîéñòâó áèññåêòðèñû óãëà äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè Ì (õ; ó) (ëåæàùåé íà áèññåêòðèñå) èìååì N2M = N1M èëè ÎN1 = ÎN2 (ðèñ. 7), è ïîýòîìó õ = ó, ò. å. êîîðäèíàòû âñåõ òî÷åê áèññåêòðèñû óäîâëåòâîðÿþò
óðàâíåíèþ (1). Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî ó ëþáîé òî÷êè, íå ëåæàùåé íà äàííîé áèññåêòðèñå, êîîðäèíàòû íå ðàâíû ìåæäó ñîáîé è, çíà÷èò, íå
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1).
Îáðàòíî, åñëè êîîðäèíàòû x è y êàêîé-íèáóäü òî÷êè Ì (õ; ó) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1), òî ýòà òî÷êà, î÷åâèäíî, ëåæèò íà áèññåêòðèñå
I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ.
8
Ðèñ. 8
Ðèñ. 7
Îäíàêî ãåîìåòðè÷åñêèì îáðàçîì äàííîãî çàðàíåå óðàâíåíèÿ íå âñåãäà áóäåò ëèíèÿ. Ìîæåò ñëó÷èòüñÿ, ÷òî óðàâíåíèþ ñîîòâåòñòâóåò ëèøü
íåñêîëüêî òî÷åê (óðàâíåíèþ õ2 + ó2 = 0, íàïðèìåð, íà ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî îäíà òî÷êà (0; 0)). Âñòðå÷àþòñÿ è òàêèå ñëó÷àè, êîãäà
çàäàííîìó óðàâíåíèþ íå ñîîòâåòñòâóåò íà ïëîñêîñòè íè îäíà òî÷êà
(êàê, íàïðèìåð, óðàâíåíèþ õ2 + ó2 + 1= 0).
 ñâÿçè ñ èçëîæåííûì çàìåòèì, ÷òî âñÿêîé ëèíèè íà ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîå óðàâíåíèå ìåæäó òåêóùèìè êîîðäèíàòàìè (õ, ó)
òî÷êè ýòîé ëèíèè. Íàîáîðîò, âñÿêîìó óðàâíåíèþ ìåæäó õ è ó, ãäå õ è ó —
êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóåò, âîîáùå ãîâîðÿ, íåêîòîðàÿ ëèíèÿ, ñâîéñòâà êîòîðîé âïîëíå îïðåäåëÿþòñÿ äàííûì óðàâíåíèåì.
Îòñþäà, åñòåñòâåííî, âîçíèêàþò äâå îñíîâíûå çàäà÷è àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè íà ïëîñêîñòè.
1) Äàíà ëèíèÿ, ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ìíîæåñòâî òî÷åê. Ñîñòàâèòü
óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè.
2) Äàíî óðàâíåíèå íåêîòîðîé ëèíèè. Èçó÷èòü ïî ýòîìó óðàâíåíèþ
åå ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà (ôîðìó è ðàñïîëîæåíèå).
§ 1.4. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ
1. Óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì. Ïóñòü ïðÿìàÿ l íå ïàðàëëåëüíà îñè Îó (ðèñ. 8). Îáîçíà÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ l ñ îñüþ Îó áóêâîé Â(0; b), à óãîë ìåæäó ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox è l
îáîçíà÷èì ϕ. Óãîë ϕ, îòñ÷èòûâàåìûé îò îñè Ox ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè
(0 ≤ ϕ < π), íàçûâàåòñÿ óãëîì íàêëîíà ïðÿìîé l ê îñè Ox.
Âûâåäåì óðàâíåíèå ïðÿìîé l.
Ïóñòü Ì(õ; ó) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé l ñ òåêóùèìè êîîðäèíàòàìè õ è ó. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÂÌN (ðèñ. 8) èìååì:
tg ϕ =
y −b
.
x
(1)
9
Ýòó âåëè÷èíó íàçûâàþò óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé l è îáîçíà÷àþò k: k = tg ϕ. Òîãäà èç ðàâåíñòâà (1) ïîëó÷èì:
k=
y −b
,
x
îòêóäà
y = kx + b.
(2)
Óðàâíåíèå (2) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì, ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíîé îðäèíàòîé (ýòî îðäèíàòà òî÷êè Â).
Ï ð è ì å ð. Åñëè ϕ =
π
π
, b = –3, òî k = tg = 1 è óðàâíåíèå äàííîé ïðÿìîé èìååò âèä
4
4
ó = õ – 3.
Åñëè â óðàâíåíèè (2) k = 0, òî èìååì óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Ox è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó  (0; b):
ó = b.
(3)
Ïðè b = 0 èç (3) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå êîîðäèíàòíîé îñè Ox: ó = 0.
Ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì (3) óðàâíåíèå
õ=à
(4)
åñòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oó è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó À (à; 0). Ïðè à = 0 èç ðàâåíñòâà (4) èìååì óðàâíåíèå êîîðäèíàòíîé
îñè Oy: õ = 0.
2. Îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé. Óðàâíåíèåì ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ìîæåò áûòü çàäàíà ëþáàÿ ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè, íå ïàðàëëåëüíàÿ îñè îðäèíàò.
Ëþáóþ ïðÿìóþ áåç êàêèõ-ëèáî îãðàíè÷åíèé ìîæíî çàäàòü óðàâíåíèåì
Àõ + Âó + Ñ = 0,
(5)
ãäå À è  — êîýôôèöèåíòû, îäíîâðåìåííî íå ðàâíûå íóëþ.
Ò å î ð å ì à. Êàæäàÿ ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè ñ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé
êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïåðâîé ñòåïåíè, è, íàîáîðîò, êàæäîå óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ïðÿìóþ íà ïëîñêîñòè.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1) Ïóñòü äàíà ïðÿìàÿ, íå ïàðàëëåëüíàÿ îñè
îðäèíàò.  ýòîì ñëó÷àå ïðÿìàÿ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ó = kõ + b, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì
óðàâíåíèÿ (5) ïðè À = k,  = –1, Ñ = b.
10
Ïóñòü òåïåðü ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè Oy. Òîãäà åå óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå õ = à. Ýòî óðàâíåíèå òîæå ÷àñòíûé ñëó÷àé óðàâíåíèÿ (5)
ïðè À = 1,  = 0, Ñ = –à. Èòàê, ëþáàÿ ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ
óðàâíåíèåì ïåðâîé ñòåïåíè.
2) Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïðîèçâîëüíîìó óðàâíåíèþ ïåðâîé ñòåïåíè
(5) (À è Â îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ) ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè Â ≠ 0, òî óðàâíåíèå (5) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â
óðàâíåíèå
À
Ñ
ó= − õ − ,
Â
Â
À
ò. å. â óðàâíåíèå ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k = − è íà÷àëüÂ
Ñ
íîé îðäèíàòîé b = − .Åñëè Â = 0, À ≠ 0, òî óðàâíåíèå (5) ïðåîáðàçóåòñÿ
Â
Ñ
ê âèäó õ = − , ò. å. â óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oy. Òåîðåìà
À
äîêàçàíà.
Óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè (5) (À è Â îäíîâðåìåííî íå ðàâíû íóëþ),
îïèñûâàþùåå íà ïëîñêîñòè ëþáóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé.
3. Óðàâíåíèå ïðÿìîé â îòðåçêàõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â îáùåì óðàâíåíèè ïðÿìîé À ≠ 0,  ≠ 0 è Ñ ≠ 0. Ïåðåíåñåì Ñ â ïðàâóþ ÷àñòü è ðàçäåëèì
À
Â
îáå ÷àñòè ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íà –Ñ, ïîëó÷èì
õ+
ó = 1, èëè
−Ñ
−Ñ
õ
ó
Ñ
Ñ
+
= 1. Îáîçíà÷èâ − = à, − = b, ïðèäåì ê óðàâíåíèþ
−Ñ −Ñ
À
Â
À
Â
õ ó
(6)
+ = 1.
à b
Óðàâíåíèå (6) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé â îòðåçêàõ. Ýòî íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ÷èñëà à è b
îïðåäåëÿþòñÿ îòðåçêàìè ÎÀ è ÎÂ,
êîòîðûå ïðÿìàÿ îòñåêàåò íà îñÿõ êîîðäèíàò (ðèñ. 9). Òàêîé âèä óðàâíåíèÿ óäîáåí äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé.
Çàìåòèì, ÷òî ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå êîîðäèíàòíûì îñÿì, è
ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî
êîîðäèíàò, íå ìîãóò áûòü çàïèñàíû
óðàâíåíèÿìè â îòðåçêàõ.
Ðèñ. 9
11
4. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó â äàííîì íàïðàâëåíèè. Âûâåäåì óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó Ì1 (õ1; ó1) è èìåþùåé äàííûé óãëîâîé êîýôôèöèåíò k. Óðàâíåíèå
ýòîé ïðÿìîé èìååò âèä:
ó = kõ + b.
(7)
Òàê êàê èñêîìàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó Ì1, òî
ó1 = kõ1 + b.
Âû÷èòàÿ èç ðàâåíñòâà (7) ðàâåíñòâî (8), ïîëó÷àåì:
(8)
ó − ó1 = k (õ − õ1).
Ýòî è åñòü óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé.
(9)
Ï ð è ì å ð. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì (–1; 8), ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k = 1 ñîãëàñíî (9) åñòü y – 8 = x + 1, èëè x– y + + 9 = 0.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1.  óðàâíåíèè (9) ïîñòîÿííàÿ k ìîæåò áûòü ëþáûì äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì. Ïîýòîìó â ôîðìå (9) ìîæåò áûòü çàïèñàíî óðàâíåíèå âñÿêîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ì1, íå ïàðàëëåëüíîé îñè Oy. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
äàííóþ òî÷êó Ì1 ïàðàëëåëüíî îñè Oy, áóäåò èìåòü âèä x = x1 (ï. 1).
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó ïëîñêîñòè, íàçûâàåòñÿ ïó÷êîì ïðÿìûõ, à îáùàÿ èõ òî÷êà — öåíòðîì ïó÷êà.
5. Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè. Ðàññìîòðèì íà ïëîñêîñòè äâå ïðÿìûå ó =
= k1x + b1 (l1) è ó = k2x + b2 (l2 ) ñ óãëàìè íàêëîíà ê îñè Ox ñîîòâåòñòâåííî
ϕ1 è ϕ2 (ðèñ. 10).
Çà óãîë ϕ (0 ≤ ϕ < π) ìåæäó ïðÿìûìè l1 è l2 ïðèíèìàþò îäèí èç äâóõ
ñìåæíûõ óãëîâ, êîòîðûå îáðàçóþò ýòè ïðÿìûå. Èç ðèñóíêà 10 âèäíî,
÷òî ϕ = ϕ2 – ϕ1. Ïîýòîìó
tg ϕ 2 − tg ϕ 1
,
tgϕ = tg(ϕ2 − ϕ1) =
1 + tg ϕ 2 ⋅ tg ϕ 1
Ðèñ. 10
12
èëè
tg ϕ =
k 2 − k1
1 + k 1k 2
.
(10)
Ôîðìóëà (10) äàåò âûðàæåíèå òàíãåíñà óãëà ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè
÷åðåç óãëîâûå êîýôôèöèåíòû ýòèõ ïðÿìûõ.
Åñëè ïðÿìûå l1 è l2 ïàðàëëåëüíû, òî ϕ1 = ϕ2 è, ñëåäîâàòåëüíî, k1 = k2,
ò. å. ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå èìåþò ðàâíûå óãëîâûå êîýôôèöèåíòû.
Îáðàòíî: åñëè k1 = k2, òî tg ϕ1 = tg ϕ2. Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ1 = ϕ2, òàê êàê
0 ≤ ϕ < π, è ïðÿìûå l1 è l2 ïàðàëëåëüíû.
π
Ïóñòü ϕ = , ò. å. l1 è l2 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.  ýòîì ñëó÷àå
2
1
π
π

, èëè
ϕ 2 = ϕ 1 + , îòêóäà tg ϕ 2 = tg  ϕ 1 +  = −ctg ϕ 1 = −

2
2
tg ϕ 1
k2 = −
1
,
k1
(11)
ò. å. óãëîâûå êîýôôèöèåíòû âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïðÿìûõ îáðàòíû
ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó.
Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè äâå ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, îäíà èç êîòîðûõ ïàðàëëåëüíà, à äðóãàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé y = 2x – 3.
Òàê êàê èñêîìûå ïðÿìûå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó (0; 0), òî èõ óðàâíåíèÿ èìåþò âèä ó =
= k1x, ó = k2x. Äëÿ äàííîé ïðÿìîé k = 2. Îòñþäà è íà îñíîâàíèè óñëîâèé ïàðàëëåëüíîñòè è
1
ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìûõ ïîëó÷àåì k1 = 2 è k2 = − . Ïîýòîìó èñêîìûå ïðÿìûå çàïè2
1
øóòñÿ óðàâíåíèÿìè ó = 2x è ó = − õ .
2
6. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå äâóõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. Åñëè äâå ïðÿìûå l1 è l2 ëåæàò íà ïëîñêîñòè, òî âîçìîæíû òðè ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ èõ
âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ: 1) ïåðåñåêàþòñÿ (ò. å. èìåþò îäíó îáùóþ
òî÷êó); 2) ïàðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò; 3) ñîâïàäàþò.
Âûÿñíèì, êàê óçíàòü, êàêîé èç ýòèõ ñëó÷àåâ èìååò ìåñòî, åñëè ýòè
ïðÿìûå çàäàíû ñâîèìè óðàâíåíèÿìè â îáùåì âèäå:
 À1 õ +Â1 ó +Ñ 1 = 0,

 À 2 õ +Â 2 ó +Ñ 2 = 0.
(12)
Åñëè ïðÿìûå l1 è l2 ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå Ì (õ; ó), òî êîîðäèíàòû ýòîé òî÷êè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü îáîèì óðàâíåíèÿì ñèñòåìû
(12). Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû íàéòè êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ
13
ïðÿìûõ l1 è l2, íàäî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (12). Óìíîæèì ïåðâîå èç
óðàâíåíèé (12) íà À2, à âòîðîå íà À1 è âû÷òåì ïåðâîå èç âòîðîãî. Èìååì:
(À1Â2 − À2Â1)ó + Ñ2À1 − Ñ1À2 = 0.
(13)
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:
(À1Â2 − À2Â1)õ + Ñ1Â2 − Ñ2Â1 = 0.
(14)
Åñëè À1Â2 – À2Â1 ≠ 0, òî èç (13) è (14) ïîëó÷àåì ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (12):
Â Ñ − 2Ñ 1
Ñ À − Ñ 2 À1
(15)
õ= 1 2
,ó = 1 2
À1 Â 2 − À 2 Â1
À1 Â 2 − À 2 Â1
Ýòî è åñòü êîîðäèíàòû x è y òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ l1 è l2.
Èòàê, åñëè À1Â2 – À2Â1 ≠ 0, òî ýòè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ.
Åñëè
À1Â2 − À2Â1 = 0,
(16)
òî âûðàæåíèÿ äëÿ x è y íå èìåþò ñìûñëà.  ýòîì ñëó÷àå ïðÿìûå l1 è l2 ïàÀ
À
ðàëëåëüíû. Äåéñòâèòåëüíî, èç óñëîâèÿ (16) ñëåäóåò, ÷òî − 1 = − 2 , ò. å.
Â1
Â2
k1 = k2 (åñëè æå Â1 – Â2 = 0, òî ïðÿìûå l1 è l2 ïàðàëëåëüíû îñè Oy è, ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëåëüíû ìåæäó ñîáîé). Óñëîâèå (16) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
À1
Â1
(17)
.
À2 Â 2
Çäåñü îäèí èç çíàìåíàòåëåé ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíûì íóëþ. ×òîáû
à
c
ïîíèîáîéòè ýòó òðóäíîñòü, äîãîâîðèìñÿ âñÿêóþ ïðîïîðöèþ
=
b
d
ìàòü â ñìûñëå ðàâåíñòâà àd = bc. Òîãäà îáðàùåíèå â íóëü îäíîãî èç çíàìåíàòåëåé â (17) îçíà÷àåò îáðàùåíèå â íóëü è ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëèòåëÿ.  ñàìîì äåëå, åñëè, íàïðèìåð, À2 = 0, òî, ïîñêîëüêó Â2 ≠ 0 (À2 è Â2
íå íóëè îäíîâðåìåííî), èç ðàâåíñòâà À1 Â2 = À2 Â1 çàìå÷àåì, ÷òî À1 = 0.
 ÷àñòíîñòè, ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ìîãóò ñîâïàäàòü. Âûÿñíèì, êàêîâ àíàëèòè÷åñêèé ïðèçíàê ñîâïàäåíèÿ ïðÿìûõ l1 è l2.
Ïóñòü
À1 Â1 C 1
(18)
=
=
.
À2 Â 2 C 2
Ïîëàãàÿ êàæäîå èç ýòèõ îòíîøåíèé ðàâíûì q, íàéäåì:
=
À1 = À2q, Â1 = Â2q, C1 = C2q.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâîå óðàâíåíèå (12) ïîëó÷àåòñÿ èç âòîðîãî óìíîæåíèåì âñåõ åãî ÷ëåíîâ íà íåêîòîðîå ÷èñëî q, ò. å. óðàâíåíèÿ (12) ðàâíîñèëüíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññìàòðèâàåìûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ñîâïàäàþò.
14
Åñëè ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (17) õîòÿ áû îäèí èç ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèé (13) è (14) áóäåò îòëè÷åí îò íóëÿ (èëè C2 À1 – C1 À2 ≠ 0,
èëè C1 Â2 – C2 Â1 ≠ 0), ÷òî êðàòêî çàïèñûâàþò òàê:
À1
Â1
C1
(19)
,
À2 Â 2 C 2
òî óðàâíåíèÿ (13) è (14), à çíà÷èò, è óðàâíåíèÿ (12) íå áóäóò èìåòü ðåøåíèé (ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç ðàâåíñòâ (13) èëè (14) áóäåò íåâîçìîæíûì).  ýòîì ñëó÷àå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå l1 è l2 íå áóäóò ñîâïàäàòü.
Èòàê, óñëîâèåì ñîâïàäåíèÿ äâóõ ïðÿìûõ ÿâëÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü
ñîîòâåòñòâóþùèõ êîýôôèöèåíòîâ èõ óðàâíåíèé.
Äîïóñòèì, ÷òî íè îäíà èç ïðÿìûõ l1 è l2 íå ïàðàëëåëüíà îñè Oy. Òîãäà
èõ óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
ãäå
=
≠
ó = k1x + b1, ó = k2x + b2 ,
À1
À2
(20)
.
Â1
Â2
Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè òàêèõ ïðÿìûõ ñëåäóåò èç ðàâåíñòâ
(11), (20) è èìååò âèä:
À1À2 + Â1Â2 = 0.
(21)
k1 = −
,k 2 = −
Õîòÿ ñîîòíîøåíèå (21) ïîëó÷åíî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî íè îäíà èç
ïðÿìûõ l1 è l2 íå ïàðàëëåëüíà îñè Oy, îíî îñòàåòñÿ âåðíûì, åñëè ýòî óñëîâèå íàðóøàåòñÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ïðÿìûå 3õ +4ó – 1 = 0 è 2õ + 3ó – 1 = 0 ïåðåñåêàþòñÿ, òàê êàê 3 · 3 – 2 · 4 ≠
≠ 0. Êîîðäèíàòû òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ñîãëàñíî (15) õ = –1, ó = 1.
Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìûå 2õ – ó + 2 = 0 è 4õ – 2ó – 1 = 0 ïàðàëëåëüíû (îíè íå èìåþò îáùåé òî÷êè), òàê êàê âûïîëíåíî óñëîâèå (19).
Ï ð è ì å ð 3. Ïðÿìûå õ + ó + 1 = 0 è 3õ +
+ 3ó + 3 = 0 ñîâïàäàþò, òàê êàê âûïîëíåíî óñëîâèå (18).
Ïðèìåð 4. Ïðÿìûå 3õ – 4ó + 8 = 0 è 4õ +
+ 3ó – 9 = 0 âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, òàê
êàê âûïîëíåíî óñëîâèå (21).
7. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé.
Ïóñòü äàíà êàêàÿ-íèáóäü ïðÿìàÿ,
íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç ïîëþñ O
(ðèñ. 11). Ïðîâåäåì ÷åðåç ïîëþñ ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ äàííîé, è
îáîçíà÷èì Ð òî÷êó åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ
Ðèñ. 11
15
äàííîé ïðÿìîé (ðèñ. 11). Ïóñòü α — óãîë ìåæäó ïîëÿðíîé îñüþ è ëó÷îì
ÎÐ, p — äëèíà îòðåçêà OP. Âûâåäåì óðàâíåíèå äàííîé ïðÿìîé, ñ÷èòàÿ
èçâåñòíûìè α è p = ÎÐ. Ïóñòü Ì(r; ϕ) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà äàííîé ïðÿìîé. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÎÐÌ èìååì:
r cos (α − ϕ) = p.
(22)
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (22) â âèäå
r cos ϕ cos α + r sin ϕ sin α − p = 0.
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ïîëÿðíûìè è ïðÿìîóãîëüíûìè
êîîðäèíàòàìè, ïîëó÷èì:
õ cos α + ó sin α − p = 0.
(23)
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé.
Åñëè äàíî îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé Àõ + Ây + Ñ = 0 (À è Â íå ðàâíû
íóëþ îäíîâðåìåííî), òî åãî ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó (23). Äåéñòâèòåëüíî,
óìíîæèâ îáå ÷àñòè ýòîãî îáùåãî óðàâíåíèÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî µ ≠ 0, ïîëó÷èì µÀõ + µÂy + µÑ = 0. Âûáåðåì µ òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà
µÀ = cos α, µÂ = sin α, µÑ = − p.
(24)
Âîçâåäÿ îáå ÷àñòè äâóõ ïåðâûõ ðàâåíñòâ (24) â êâàäðàò è ïî÷ëåííî
ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì:
µ2 (À2 + Â2) = cos2 α + sin2 α = 1.
Òàê êàê À2 + Â2 ≠ 0 (À è Â íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî), òî
µ=
±1
.
À 2 +Â 2
×èñëî µ íàçûâàåòñÿ íîðìèðóþùèì ìíîæèòåëåì. Òðåòüå èç ðàâåíñòâ (24)
ïîçâîëÿåò ðåøèòü âîïðîñ î âûáîðå çíàêà ÷èñëà µ. Òàê êàê p > 0, òî µÑ < 0,
ò. å. çíàê µ âûáèðàåòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêó Ñ; åñëè Ñ = 0, òî äëÿ µ
ìîæíî âûáðàòü ëþáîé çíàê.
Èòàê, îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèâîäèòñÿ ê íîðìàëüíîìó âèäó ïóòåì óìíîæåíèÿ åãî íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü µ.
Ï ð è ì å ð. Óðàâíåíèå ïðÿìîé 3õ – 4ó – 5 = 0 ïðèâåñòè ê íîðìàëüíîìó âèäó. Íîðìè+1
1
= . Óìíîæàÿ íà íåãî îáå ÷àñòè äàííîãî óðàâíåíèÿ,
32 + 42 5
ïîëó÷èì:
3
4
õ − ó − 1 = 0.
5
5
3
4
Äëÿ äàííîé ïðÿìîé, ñëåäîâàòåëüíî, p = 1, cosα = , sinα = − .
5
5
ðóþùèé ìíîæèòåëü µ =
16
8. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé. Íàéäåì ðàññòîÿíèå d îò äàííîé
òî÷êè Ì0(õ0; ó0) äî ïðÿìîé l (ðèñ. 12), çàäàííîé óðàâíåíèåì (23) (ïîä
ðàññòîÿíèåì d îò òî÷êè Ì0(õ0; ó0) äî ïðÿìîé l ïîíèìàåòñÿ äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç Ì0 íà l).
Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó Ì0 ïðÿìóþ l1, ïàðàëëåëüíóþ l. Çàïèøåì
íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé l1:
õ cos α + ó sin α – (p + d) = 0.
Ïðÿìàÿ l1 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó Ì0 (õ0; ó0), ïîýòîìó
õ0 cos α + ó0 sin α – (p + d) = 0.
Îòñþäà
d = õ0 cos α + ó0 sin α − p.
(25)
Åñëè òî÷êà Ì0(õ0; ó0) è íà÷àëî êîîðäèíàò ëåæàò ïî îäíó ñòîðîíó îò
ïðÿìîé l (ðèñ. 13), òî àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó óñòàíîâèì, ÷òî
d = − (õ0 cos α + ó0 sin α − p).
(26)
Èç ðàâåíñòâ (25) è (26) ñëåäóåò, ÷òî
d = |õ0 cos α + ó0 sin α − p|.
(27)
Åñëè ïðÿìàÿ l çàäàíà îáùèì óðàâíåíèåì
Àõ + Âó + Ñ = 0,
òî ñ ó÷åòîì âûâîäà, ñäåëàííîãî â êîíöå ïóíêòà 7, ôîðìóëà (27) ïðèíèìàåò âèä:
| Àõ 0 + Âó 0 + Ñ|
(28)
d=
.
À2 +Â2
Ðèñ. 12
Ðèñ. 13
17
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì0(–6; 3) äî ïðÿìîé 3õ – 4ó + 15 = 0. Ïî ôîðìóëå (28) ïîëó÷àåì:
d=
| 3 ⋅ (−6) − 4 ⋅ 3 + 15 |
3 2 + (−4)2
=
15
= 3.
5
§ 1.5. Îñíîâíûå çàäà÷è íà ïðÿìóþ
1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
Ì1(õ1; ó1). Ïóñòü
Àõ + Âó + Ñ = 0
(1)
åñòü óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé. Çíà÷èò, Ì1 ëåæèò íà ýòîé ïðÿìîé.
Ïîýòîìó
Àõ1 + Âó1 + Ñ = 0.
(2)
Âû÷èòàÿ èç (1) ïî÷ëåííî (2), ïîëó÷àåì:
À (õ − õ1) + Â (ó − ó1) = 0.
(3)
Î÷åâèäíî, ïðè ëþáûõ À è  óðàâíåíèþ (3) óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû
òî÷êè Ì1.
2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå äàííûå (ðàçëè÷íûå) òî÷êè Ì1(õ1; ó1) è Ì2(õ2; ó2). Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
òî÷êó Ì1(õ1; ó1), èìååò âèä (3). Òàê êàê ïðÿìàÿ ïðîõîäèò è ÷åðåç òî÷êó
Ì2, òî
À (õ2 − õ1) + Â (ó2 − ó1) = 0,
îòêóäà
ó −ó
À
(4)
− = 2 1,
 õ 2 − õ1
è ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (3) èñêîìîå óðàâíåíèå çàïèøåì â âèäå:
ó − ó1
õ − õ1
(5)
=
.
õ 2 − õ 1 ó 2 − ó1
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Çàìåòèì, ÷òî â óðàâíåíèè (5) îäèí èç çíàìåíàòåëåé õ2 – õ1 èëè ó2 –
− ó1 ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíûì íóëþ (îáà ÷èñëà õ2 – õ1 è ó2 – ó1 ðàâíÿòüñÿ íóëþ íå ìîãóò, èáî
òî÷êè Ì1 è Ì2 ðàçëè÷íûå). Òàê êàê âñÿêóþ ïðîïîðöèþ ìû óñëîâèëèñü (ñì. § 1.4, ï. 6) ïîíèìàòü êàê ðàâåíñòâî àd = bc, òî îáðàùåíèå â íóëü îäíîãî èç çíàìåíàòåëåé â ðàâåíñòâå (5) îçíà÷àåò îáðàùåíèå â íóëü è ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëèòåëÿ. Åñëè, íàïðèìåð, ó2 – ó1 = 0, òî ó = ó1.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ôîðìóëà (4) îïðåäåëÿåò óãëîâîé êîýôôèöèåíò ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1 è Ì2.
Ï ð è ì å ð. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè Ì1(4; –2) è Ì2(3; –1).
Íà îñíîâàíèè óðàâíåíèÿ (5) èìååì:
õ − 4 ó +2
=
, èëè õ + ó − 2 = 0.
3 − 4 −1 + 2
18
§ 1.6. Óðàâíåíèå ëèíèè
1. Óðàâíåíèå îêðóæíîñòè. Êàê èçâåñòíî,
îêðóæíîñòüþ íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê
ïëîñêîñòè, ðàâíîóäàëåííûõ îò äàííîé òî÷êè, íàçûâàåìîé öåíòðîì îêðóæíîñòè. Âûâåäåì óðàâíåíèå îêðóæíîñòè.
Ïóñòü Ì0 (õ0; ó0) — öåíòð îêðóæíîñòè,
R — åå ðàäèóñ, à Ì (õ; ó) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îêðóæíîñòè ñ òåêóùèìè êîîðäèíàòàìè õ
è ó (ðèñ. 14).
Ïî îïðåäåëåíèþ îêðóæíîñòè Ì0Ì = R.
Îòñþäà ñîãëàñíî ôîðìóëå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ( õ − õ 0 ) 2 + ( ó − ó 0 ) 2 = R, èëè
(õ − õ0)2 + (ó − ó0)2 = R2.
Ðèñ. 14
(1)
Ôîðìóëà (1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå îêðóæíîñòè; ýòî — óðàâíåíèå âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî õ è ó.  ãëàâå 5 ïîäðîáíî ðàññìîòðèì åùå òðè âèäà ëèíèé (ýëëèïñ, ãèïåðáîëà, ïàðàáîëà), óðàâíåíèÿ êîòîðûõ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òàêæå ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè
âòîðîé ñòåïåíè. Ýòè ÷åòûðå âèäà ëèíèé íàçûâàþòñÿ êðèâûìè âòîðîãî
ïîðÿäêà.
Åñëè öåíòð îêðóæíîñòè ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, òî åå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä:
2
2
2
õ +ó =R.
(1′)
 ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ (r; ϕ) îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â
ïîëþñå èçîáðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì r = R.
 òåõ æå êîîðäèíàòàõ (r; ϕ) îêðóæíîñòü ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â (R; 0)
èìååò óðàâíåíèå r = 2R cos ϕ.
2. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ëèíèé. Èíîãäà áûâàåò óäîáíî âìåñòî
óðàâíåíèÿ ëèíèè, ñâÿçûâàþùåãî ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû õ è ó,
ðàññìàòðèâàòü òàê íàçûâàåìûå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ëèíèè, äàþùèå âûðàæåíèÿ òåêóùèõ êîîðäèíàò õ è ó â âèäå ôóíêöèé îò íåêîòîðîé
ïåðåìåííîé âåëè÷èíû t (ïàðàìåòðà). Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ èãðàþò âàæíóþ ðîëü, íàïðèìåð, â ìåõàíèêå, ãäå êîîðäèíàòû õ è ó äâèæóùåéñÿ òî÷êè Ì (õ; ó) ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ôóíêöèè âðåìåíè (óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ).
Ç à ä à ÷ à. Îïðåäåëèòü òðàåêòîðèþ ïîëåòà ñíàðÿäà, âûïóùåííîãî èç
îðóäèÿ ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ L0 ïîä óãëîì α ê ãîðèçîíòó (ðèñ. 15).
Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà è ðàçìåðàìè ñíàðÿäà, ñ÷èòàÿ åãî ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, ïðåíåáðåãàåì.
19
Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò. Çà
íà÷àëî êîîðäèíàò ïðèìåì òî÷êó
âûëåòà ñíàðÿäà èç äóëà. Îõ íàïðàâèì ãîðèçîíòàëüíî; à îñü Îó — âåðòèêàëüíî, ðàñïîëîæèâ èõ â îäíîé
ïëîñêîñòè ñ äóëîì îðóäèÿ. Åñëè áû
íå áûëî ñèëû çåìíîãî òÿãîòåíèÿ, òî
ñíàðÿä äâèãàëñÿ áû ïî ïðÿìîé, ñîñòàâëÿþùåé óãîë α ñ îñüþ Îõ, è ê
ìîìåíòó âðåìåíè t ïðîøåë áû ïóòü
L0t. Êîîðäèíàòû ñíàðÿäà â ìîìåíò
Ðèñ. 15
âðåìåíè t áûëè áû x = L0tcosα, y =
= L0tsinα. Âñëåäñòâèå çåìíîãî òÿãîòåíèÿ ñíàðÿä äîëæåí ê ýòîìó ìîìåíòó âåðòèêàëüíî îïóñòèòüñÿ íà âågt 2
ëè÷èíó
. Ïîýòîìó â äåéñòâèòåëüíîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t êîîðäèíà2
òû ñíàðÿäà îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
gt 2
,
(2)
x = L 0 t cosα, y = L 0 t sinα −
2
ãäå L0, α, g — ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû. Ïðè èçìåíåíèè t áóäóò èçìåíÿòüñÿ
òàêæå êîîðäèíàòû õ è y òî÷êè òðàåêòîðèè ñíàðÿäà. Óðàâíåíèÿ (2) ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè òðàåêòîðèè ñíàðÿäà, â êîòîðûõ
ïàðàìåòð åñòü âðåìÿ t. Âûðàçèâ èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ óðàâíåíèé (2)
x
è ïîäñòàâèâ åãî âî âòîðîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
t=
L 0 cosα
òðàåêòîðèè ñíàðÿäà â âèäå
gx 2
.
y = xtgα − 2
2L 0 cos 2 α
Ýòî — óðàâíåíèå ïàðàáîëû (ñì.
§ 6.2).
Ï ð è ì å ð 1. Óñòàíîâèì ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îêðóæíîñòè ðàäèóñà R ñ
öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Ïóñòü Ì (õ; ó) — ëþáàÿ òî÷êà ýòîé îêðóæíîñòè, à t — óãîë ÀÎÌ (ðèñ. 16). Î÷åâèäíî,
õ = R cos t, ó = r sin t.
Ðèñ. 16
20
(3)
Ýòî è åñòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ
îêðóæíîñòè. Ïàðàìåòð t ìîæåò ïðèíèìàòü
ëþáûå çíà÷åíèÿ, íî äëÿ òîãî, ÷òîáû òî÷êà Ì
(õ; ó) îäèí ðàç îáîøëà îêðóæíîñòü, ñëåäóåò
îãðàíè÷èòü èçìåíåíèå ïàðàìåòðà t íåðàâåíñòâîì 0 ≤ t < 2π. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ èñêëþ÷åíèÿ ïàðàìåòðà t èç óðàâíåíèé (3) äîñòàòî÷íî
âîçâåñòè ýòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò è ñëîæèòü
èõ: ìû ïîëó÷èì ïðè ýòîì óðàâíåíèå (1′)
ïðåäûäóùåãî ïóíêòà.
Ï ð è ì å ð 2. Êàæäîé òî÷êå N(X; Y), ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè X 2 + Y 2 = à2, ïîñòàâèì
â ñîîòâåòñòâèå òî÷êó Ì(õ; ó), ãäå õ = Õ,
b
y = Y (a, b — ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå,
Ðèñ. 17
a
ïðè÷åì b < a). Ìû êàê áû «ñäàâëèâàåì» îêðóæíîñòü ñâåðõó è ñíèçó (ðèñ. 17). Ïîëó÷àþùååñÿ ïðè ýòîì ìíîæåñòâî òî÷åê ïà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîì (à è b — ïîëóîñè ýëëèïñà). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (3), èìååì:
b
b
x = Õ = acos t, y = Y = a sin t = b sin t
a
a
Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýëëèïñà ñ ïîëóîñÿìè à è b åñòü
x = à cost, ó = b sin t.
(4)
Èñêëþ÷èâ èç óðàâíåíèé (4) ïàðàìåòð t,ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ ýëëèïñà
x 2 y2
+
= 1.
a 2 b2
Ï ð è ì å ð 3. Ðàññìîòðèì ëèíèþ, ÿâëÿþùóþñÿ òðàåêòîðèåé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè
îêðóæíîñòè ðàäèóñà R, êàòÿùåéñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî ïðÿìîé. Ëèíèÿ ýòà íàçûâàåòñÿ öèêëîèäîé. Óêàçàííóþ ïðÿìóþ ïðèìåì çà îñü Îõ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
(ðèñ. 18). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà ïðè íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè îêðóæíîñòè íàõîäèëàñü â íà÷àëå êîîðäèíàò, à ïîñëå òîãî êàê îêðóæíîñòü ïîâåðíóëàñü íà óãîë t,
çàíÿëà ïîëîæåíèå Ì.
Ðèñ. 18
21
Ïîñêîëüêó
x = OP = OK − PK , y = MP = CK − CN èOK = ∪ MK = Rt ,
PK = MN = R sin t,CK = R,CN = R cos t , òî x = Rt − R sin t , y = R − R cos t, èëè
x = R(t − sin t ), y = R(1 − cos t ).
(5)
Óðàâíåíèÿ (5) íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè öèêëîèäû. Ïðè èçìåíåíèè t
îò 0 äî 2π ïîëó÷àåòñÿ îäíà àðêà öèêëîèäû.
3. Ïðèìåðû êðèâûõ, çàäàííûõ óðàâíåíèÿìè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ.
Ï ð è ì å ð 1. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå r = a ϕ, ãäå à — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, r è ϕ —
ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ì òî÷êó ñ ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè (r ; ϕ). Åñëè ϕ = 0, òî è r = 0; åñëè ϕ âîçðàñòàåò, íà÷èíàÿ ñ íóëÿ, òî r áóäåò âîçðàñòàòü ïðîïîðöèîíàëüíî ϕ. Òî÷êà Ì(r ; ϕ), òàêèì îáðàçîì, èñõîäÿ èç ïîëþñà, äâèæåòñÿ âîêðóã íåãî ñ ðîñòîì ϕ (â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè), îäíîâðåìåííî óäàëÿÿñü îò íåãî. Ìíîæåñòâî òî÷åê, ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ r = a ϕ, íàçûâàåòñÿ
ñïèðàëüþ Àðõèìåäà (ðèñ. 19).
Ï ð è ì å ð 2. Êðèâàÿ, çàäàâàåìàÿ óðàâíåíèåì
r = a(1 + cos ϕ) (a > 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π),
íàçûâàåòñÿ êàðäèîèäîé.
Ñîñòàâëÿÿ òàáëèöó çíà÷åíèé ϕ è r, ïîëó÷èì:
ϕ
0
r
2a
±
π
6
≈ 1,9à
Ðèñ. 19
22
±
π
3
3
à
2
±
π
2
a
2
± π
3
5
± π
6
±π
à
2
≈ 0,1à
0
Ðèñ. 20
Ïîñòðîèâ òî÷êè êàðäèîèäû ïî çíà÷åíèÿì ϕ è r èç ýòîé òàáëèöû, ìîæíî ñîñòàâèòü
ïðèáëèæåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ôîðìå ýòîé êðèâîé (ðèñ. 20).
Ï ð è ì å ð 3. Ïðè âûâîäå íîðìàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (ñì. § 1.4, ï. 7) áûëî ïîëó÷åíî óðàâíåíèå ïðÿìîé â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
r cos (α − ϕ) = ð.
Ãëàâà 2. ÂÅÊÒÎÐÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
§ 2.1. Ïîíÿòèå âåêòîðà è ëèíåéíûå îïåðàöèè
íàä âåêòîðàìè
1. Ïîíÿòèå âåêòîðà. Ïðè èçó÷åíèè ðàçëè÷íûõ ðàçäåëîâ ôèçèêè,
ìåõàíèêè è òåõíè÷åñêèõ íàóê âñòðå÷àþòñÿ âåëè÷èíû, êîòîðûå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþòñÿ çàäàíèåì èõ ÷èñëîâûõ çíà÷åíèé. Òàêèå âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ ñêàëÿðíûìè èëè, êîðî÷å, ñêàëÿðàìè. Ñêàëÿðíûìè
âåëè÷èíàìè, íàïðèìåð, ÿâëÿþòñÿ äëèíà, ïëîùàäü, îáúåì, ìàññà,
òåìïåðàòóðà òåëà è äð. Ïîìèìî ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí, â ðàçëè÷íûõ çàäà÷àõ âñòðå÷àþòñÿ âåëè÷èíû, äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ, êðîìå ÷èñëîâîãî çíà÷åíèÿ, íåîáõîäèìî çíàòü òàêæå èõ íàïðàâëåíèå. Òàêèå
âåëè÷èíû íàçûâàþòñÿ âåêòîðíûìè. Ôèçè÷åñêèìè ïðèìåðàìè âåêòîðíûõ âåëè÷èí ìîãóò ñëóæèòü ñìåùåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, äâèãàþùåéñÿ â ïðîñòðàíñòâå, ñêîðîñòü è óñêîðåíèå ýòîé òî÷êè, à òàêæå
äåéñòâóþùàÿ íà íåå ñèëà.
Âåêòîðíûå âåëè÷èíû èçîáðàæàþòñÿ ñ ïîìîùüþ âåêòîðîâ.
Âåêòîðîì íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåííûé îòðåçîê, èìåþùèé îïðåäåëåííóþ äëèíó, ò. å. îòðåçîê îïðåäåëåííîé äëèíû, ó êîòîðîãî îäíà èç îãðàíè÷èâàþùèõ åãî òî÷åê ïðèíèìàåòñÿ çà íà÷àëî, à âòîðàÿ – çà êîíåö. Åñëè
À — íà÷àëî âåêòîðà è  — åãî êîíåö, òî âåêòîð îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
ÀÂ. Âåêòîð ìîæíî îáîçíà÷àòü è îäíîé ìàëîé ëàòèíñêîé áóêâîé ñ ÷åðòîé
íàä íåé (íàïðèìåð, à ). Èçîáðàæàåòñÿ âåêòîð îòðåçêîì ñî ñòðåëêîé íà
êîíöå (ðèñ. 21). Íà÷àëî âåêòîðà íàçûâàþò òî÷êîé åãî ïðèëîæåíèÿ. Åñëè
òî÷êà À ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì âåêòîðà à , òî ìû áóäåì
ãîâîðèòü, ÷òî âåêòîð à ïðèëîæåí â òî÷êå À.
Äëèíà âåêòîðà ÀÂ íàçûâàåòñÿ åãî ìîäóëåì è
îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì | À |. Ìîäóëü âåêòîðà à
îáîçíà÷àåòñÿ | à |.
Âåêòîð à , äëÿ êîòîðîãî | à | = 1, íàçûâàåòñÿ åäèÐèñ. 21
íè÷íûì.
23
Âåêòîð íàçûâàåòñÿ íóëåâûì (îáîçíà÷àåòñÿ 0),
åñëè íà÷àëî è êîíåö åãî ñîâïàäàþò. Íóëåâîé âåêòîð íå èìååò îïðåäåëåííîãî íàïðàâëåíèÿ è èìååò
äëèíó, ðàâíóþ íóëþ.
Âåêòîðû à è b , ðàñïîëîæåííûå íà îäíîé ïðÿìîé èëè íà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ, íàçûâàþòñÿ
êîëëèíåàðíûìè.
Ðèñ. 22
Äâà âåêòîðà à è b íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè
îíè êîëëèíåàðíû, èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó è
îäèíàêîâîå íàïðàâëåíèå.
 ýòîì ñëó÷àå ïèøóò à = b . Âñå íóëåâûå âåêòîðû ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè. Èç îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà âåêòîðîâ ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð ìîæíî ïåðåíîñèòü ïàðàëëåëüíî ñàìîìó ñåáå, ïîìåùàÿ åãî íà÷àëî â ëþáóþ òî÷êó
ïðîñòðàíñòâà (â ÷àñòíîñòè, ïëîñêîñòè). Òàêîé âåêòîð íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì.
Ï ð è ì å ð. Ðàññìîòðèì êâàäðàò ÀÂÑD (ðèñ. 22). Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâà âåêòîðîâ ìîæåì íàïèñàòü ÀD = BC è ÀÂ = DC , íî ÀÂ ≠ AD , BC ≠ DC , õîòÿ | ÀÂ | =
= | AD | = |ÂC | = |DC |.
Äâà êîëëèíåàðíûõ âåêòîðà (îòëè÷íûå îò íóëåâûõ âåêòîðîâ), èìåþùèå ðàâíûå ìîäóëè, íî ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåííûå, íàçûâàþòñÿ
ïðîòèâîïîëîæíûìè.
Âåêòîð, ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîðó à , îáîçíà÷àåòñÿ −à . Äëÿ âåêòîðà
ÀÂ ïðîòèâîïîëîæíûì áóäåò âåêòîð ÂÀ.
2. Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè. Ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè íàçûâàþòñÿ îïåðàöèè ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ïóñòü à è b — äâà ñâîáîäíûõ âåêòîðà
(ðèñ. 23, à). Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Î è ïîñòðîèì âåêòîð ÎÀ = à ,
çàòåì îò òî÷êè À îòëîæèì âåêòîð À = b . ÂåêòîðÎÂ, ñîåäèíÿþùèé íà÷àëî ïåðâîãî ñëàãàåìîãî âåêòîðà ñ êîíöîì âòîðîãî, íàçûâàåòñÿ ñóììîé
ýòèõ âåêòîðîâ è îáîçíà÷àåòñÿ à + b (ðèñ. 23, á).
Òó æå ñàìóþ ñóììó âåêòîðîâ ìîæíî ïîëó÷èòü èíûì ñïîñîáîì. Îòëîæèì îò òî÷êè Î âåêòîðûÎÀ =à èÎÑ = b . Ïîñòðîèì íà ýòèõ âåêòîðàõ
êàê íà ñòîðîíàõ ïàðàëëåëîãðàìì ÎÀÂÑ. Âåêòîð ÎÂ, ñëóæàùèé äèàãîíàëüþ ýòîãî ïàðàëëåëîãðàììà, ïðîâåäåííîé èç âåðøèíû Î, ÿâëÿåòñÿ,
î÷åâèäíî, ñóììîé âåêòîðîâ à + b (ðèñ. 23, â). Èç ðèñóíêà 23, â íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî ñóììà äâóõ âåêòîðîâ îáëàäàåò ïåðåìåñòèòåëüíûì
ñâîéñòâîì:
à + b = b + à.
24
Ðèñ. 23
Äåéñòâèòåëüíî, êàæäûé èç âåêòîðîâ à + b è b + à ðàâåí îäíîìó è
òîìó æå âåêòîðóÎÂ.
Ïîíÿòèå ñóììû âåêòîðîâ, ââåäåííîå äëÿ äâóõ ñëàãàåìûõ âåêòîðîâ,
ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ âåêòîðîâ.
Ïóñòü, íàïðèìåð, äàíû òðè âåêòîðà à , b è c (ðèñ. 24, à). Ïîñòðîèâ
ñíà÷àëà ñóììó âåêòîðîâ à + b , à çàòåì ïðèáàâèâ ê ýòîé ñóììå âåêòîð c,
ïîëó÷èì âåêòîð (à + b ) + c. Íà ðèñóíêå 24, á ÎÀ = à , À = b , Π= à + b ,
ÂÑ = c èÎÑ =Π+ ÂÑ = (à + b ) + c.
Èç ðèñóíêà 24, á âèäíî, ÷òî òîò æå âåêòîð ÎÑ ìû ïîëó÷èì, åñëè ê
âåêòîðóÎÀ = à ïðèáàâèì âåêòîð ÀC = b + c. Òàêèì îáðàçîì,
(à + b ) + c = à + (b + c),
ò. å. ñóììà âåêòîðîâ îáëàäàåò ñî÷åòàòåëüíûì ñâîéñòâîì. Ïîýòîìó ñóììó òðåõ âåêòîðîâ à , b , c çàïèñûâàþò ïðîñòî à + b + c.
Èòàê, ñóììó òðåõ âåêòîðîâ ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èç
ïðîèçâîëüíîé òî÷êè Î îòêëàäûâàåòñÿ âåêòîð, ðàâíûé ïåðâîìó ñëàãàåìîìó âåêòîðó. Ê êîíöó ïåðâîãî âåêòîðà ïðèñîåäèíÿåòñÿ íà÷àëî âòîðîãî; ê
êîíöó âòîðîãî — íà÷àëî òðåòüåãî. Âåêòîð, ñîåäèíÿþùèé íà÷àëî ïåðâîãî
âåêòîðà ñ êîíöîì ïîñëåäíåãî, ÿâëÿåòñÿ ñóììîé äàííûõ âåêòîðîâ. Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ñòðîèòñÿ ñóììà ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà âåêòîðîâ.
Ðèñ. 24
25
Åñëè ïðè ñëîæåíèè íåñêîëüêèõ
âåêòîðîâ êîíåö ïîñëåäíåãî ñëàãàåìîãî
âåêòîðà ñîâïàäàåò ñ íà÷àëîì ïåðâîãî,
òî ñóììà âåêòîðîâ ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî âåêòîðà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî à + 0 = à .
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ðàçíîñòüþ
äâóõ âåêòîðîâ à è b íàçûâàåòñÿ òðåòèé
âåêòîð c = à – b , ñóììà êîòîðîãî ñ âû÷èÐèñ. 25
òàåìûì âåêòîðîì b äàåò âåêòîð à . Òàêèì îáðàçîì, åñëè c= à – b , òî c + b = à .
Èç îïðåäåëåíèÿ ñóììû äâóõ âåêòîðîâ âûòåêàåò ïðàâèëî ïîñòðîåíèÿ
âåêòîðà–ðàçíîñòè (ðèñ. 25). Îòêëàäûâàåì âåêòîðû ÎÀ = à è Π= b èç
îáùåé òî÷êè Î. Âåêòîð ÂÀ, ñîåäèíÿþùèé êîíöû óìåíüøàåìîãî âåêòîðà à è âû÷èòàåìîãî âåêòîðà b è íàïðàâëåííûé îò âû÷èòàåìîãî ê óìåíüøàåìîìó, ÿâëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ c = à – b . Äåéñòâèòåëüíî, ïî ïðàâèëó
ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ
ÎÂ + ÂÀ =ÎÀ, èëè b + c = à .
Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Ïðîèçâåäåíèåì λà (èëè à λ) âåêòîðà à íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî λ íàçûâàåòñÿ âåêòîð b , êîëëèíåàðíûé âåêòîðó à ,
èìåþùèé äëèíó, ðàâíóþ | λ | |à |, è òî æå íàïðàâëåíèå, ÷òî è âåêòîð à , åñëè λ > 0, è íàïðàâëåíèå, ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèþ âåêòîðà à, åñëè λ < 0. Òàê, íàïðèìåð, 2à åñòü âåêòîð, èìåþùèé òî æå íàïðàâëåíèå,
÷òî è âåêòîð à , à äëèíó, âäâîå áîëüøóþ, ÷åì âåêòîð à .  ñëó÷àå, êîãäà λ
= 0 èëè à = 0, ïðîèçâåäåíèå λà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íóëåâîé âåêòîð.
Ïðîòèâîïîëîæíûé âåêòîð –à ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò óìíîæåíèÿ âåêòîðà à íà λ = –1:
−à = (−1)à .
Î÷åâèäíî, ÷òî à + (–à ) = 0. Ïóñòü äàí âåêòîð à . Ðàññìîòðèì åäèíè÷íûé
âåêòîð à 0 , êîëëèíåàðíûé âåêòîðó à è îäèíàêîâî ñ íèì íàïðàâëåííûé.
Èç îïðåäåëåíèÿ óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî ñëåäóåò, ÷òî
à = | à|à0 ,
ò. å. êàæäûé âåêòîð ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ åãî ìîäóëÿ íà åäèíè÷íûé âåêòîð òîãî æå íàïðàâëåíèÿ. Äàëåå èç òîãî æå îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
åñëè b = λà , ãäå à — íåíóëåâîé âåêòîð, òî âåêòîðû à è b êîëëèíåàðíû.
Î÷åâèäíî, ÷òî è, îáðàòíî, èç êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ à è b ñëåäóåò,
÷òî b = λà .
26
Òàêèì îáðàçîì, äâà âåêòîðà
à è b êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
b = λà .
Ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî óìíîæåíèå âåêòîðà íà ÷èñëî îáëàäàåò ðàñïðåäåëèòåëüíûì ñâîéñòâîì:
Ðèñ. 26
λ(à + b ) = λà + λb ,
(λ1 + λ2)à = λ1à + λ2à
(1)
è ñî÷åòàòåëüíûì ñâîéñòâîì:
λ1 (λ2à ) = (λ1λ2)à .
Ñïðàâåäëèâîñòü, íàïðèìåð, ðàâåíñòâà (1) ïðè λ > 0, ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
ïðè èçìåíåíèè ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà â λ ðàç â ñèëó ñâîéñòâ ïîäîáèÿ
åãî äèàãîíàëü òàêæå èçìåíÿåòñÿ â λ ðàç (ðèñ. 26).
3. Ïîíÿòèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðîâ. Âåêòîðû à 1 , à 2 , , à n íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè, åñëè ñóùåñòâóþò ÷èñëà λ1, λ2,
âñå ðàâíûå íóëþ, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
λ1à 1 + λ2à 2 +
+ λnà n = 0.
, λn, íå
(2)
Âåêòîðû à 1 , à 2 , , à n íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, åñëè ðàâåíñòâî (2) èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè λ1 = λ2 = = λn = 0.
Èç ðàâåíñòâà (2), ïðåäïîëàãàÿ, íàïðèìåð, ÷òî λ1 ≠ 0, ïîëó÷èì
à1 = −
Ïîëàãàÿ
−
λ2
λ
λ
à 2 − 3 à 3 − ... − n à n .
λ1
λ1
λ1
λ2
λ
= µ 2, − 3 = µ 3 ,
λ1
λ1
,−
λn
= µn,
λ1
èìååì:
à 1 = µ2à 2 + µ3à 3 +
+ µnà n .
(3)
Âûðàæåíèå
µ2à 2 + µ3à 3 + + µnà n
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ à 2 , à 3 , , à n .
Òàêèì îáðàçîì, åñëè íåñêîëüêî âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìû, òî õîòÿ
áû îäèí èç íèõ âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè
îñòàëüíûõ.
27
Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: åñëè îäèí èç âåêòîðîâ ïðåäñòàâëåí â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè îñòàëüíûõ âåêòîðîâ, òî âñå ýòè âåêòîðû ëèíåéíî çàâèñèìû.
 ñàìîì äåëå, ïóñòü, íàïðèìåð, âåêòîð à 1 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ à 2 , à 3 , , à n . Òîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (3). Ïåðåïèñàâ åãî â âèäå –à 1 + µ2a 2 + µ3a 3 + + µna n = 0, óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî
îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ (èìåííî êîýôôèöèåíò ïðè à 1 ) îòëè÷åí îò
íóëÿ. Îòñþäà â ñèëó îïðåäåëåíèÿ è âûòåêàåò ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü
âåêòîðîâ à 1 , à 2 , , à n .
4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè.
Ò å î ð å ì à 1. Âñÿêèå òðè âåêòîðà à , b , c íà ïëîñêîñòè ëèíåéíî
çàâèñèìû.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îäèí èç
âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. Âîçìîæíû äâà
ñëó÷àÿ:
1. Ñðåäè äàííûõ âåêòîðîâ èìååòñÿ ïàðà êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ,
íàïðèìåð, à è b . Òîãäà (ñì. ï. 2)
à = λb èëè à = λb + 0c,
ò. å. âåêòîð à åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ b è c.
2. Ñðåäè äàííûõ âåêòîðîâ íåò íè îäíîé ïàðû êîëëèíåàðíûõ. Äîïóñòèì, ÷òî âñå òðè âåêòîðà èìåþò îáùåå íà÷àëî Î (ðèñ. 27). Ïîêàæåì, ÷òî
âåêòîð à ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ âåêòîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ êîëëèíåàðåí âåêòîðó b , à äðóãîé — âåêòîðó c.
Äëÿ ýòîãî ÷åðåç êîíåö Ì âåêòîðà à ïðîâåäåì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå
âåêòîðàì b è c, äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ â òî÷êàõ  è Ñ ñ ïðÿìûìè, íà êîòîðûõ
ñîîòâåòñòâåííî ðàñïîëîæåíû âåêòîðû b è c. Èìååì î÷åâèäíîå
ðàâåíñòâî
ÎÌ = ÎÂ + ÎÑ .
Òàê êàê âåêòîðûΠèÎÑ êîëëèíåàðíû ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðàì b è c,
òîΠ= λ1b èÎÑ= λ2c. Ïîýòîìó
à = λ1b + λ2c,
Ðèñ. 27
28
(4)
ò. å. âåêòîð à ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ b è c.
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Åñëè ÷èñëî äàííûõ âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè áîëüøå òðåõ, òî îíè òàêæå ëèíåéíî çàâèñèìû.
 ñàìîì äåëå, ïóñòü äàíû n âåêòîðîâ a 1 ,
a 2 , …, a n (n > 3). Òàê êàê òðè âåêòîðà íà
ïëîñêîñòè âñåãäà ëèíåéíî çàâèñèìû, òî äëÿ
âåêòîðîâ a 1 , a 2 , a 3 èìååì a 1 = µ 2 a 2 + µ 3 a 3 .  òàêîì ñëó÷àå äëÿ âñåõ n
âåêòîðîâ ìîæíî íàïèñàòü:
à 1 = µ2à 2 + µ3à 3 + 0 · à 4 +
+ 0 · àn,
ò. å. âåêòîð à 1 åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îñòàëüíûõ âåêòîðîâ.
×òî êàñàåòñÿ äâóõ âåêòîðîâ à è b , òî, êàê èçâåñòíî (ï. 2), îíè êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî b = λà , ò. å.
êîãäà âåêòîðû à è b ëèíåéíî çàâèñèìû. Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò å î ð å ì à 2. Äëÿ òîãî ÷òîáû äâà âåêòîðà à è b íà ïëîñêîñòè áûëè
ëèíåéíî íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíè áûëè íåêîëëèíåàðíû.
Èç òåîðåì 1 è 2 ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ
âåêòîðîâ íà ïëîñêîñòè ðàâíî äâóì.
5. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Âåêòîðû íàçûâàþòñÿ êîìïëàíàðíûìè, åñëè îíè
ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè èëè ïàðàëëåëüíû îäíîé ïëîñêîñòè.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè êîìïëàíàðíûå âåêòîðû èìåþò îáùåå íà÷àëî, òî
îíè, î÷åâèäíî, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè.
Ò å î ð å ì à 1. Âñÿêèå ÷åòûðå âåêòîðà à , b , c è d â ïðîñòðàíñòâå ëèíåéíî çàâèñèìû.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîïóñòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå âåêòîðû
èìåþò îáùåå íà÷àëî. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîêàçàòü èõ ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü, äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî îäèí èç âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:
1. Ñðåäè äàííûõ âåêòîðîâ ñóùåñòâóåò òðîéêà êîìïëàíàðíûõ, íàïðèìåð âåêòîðû a , b è c..
Òàê êàê ýòè âåêòîðû ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, òî ïî òåîðåìå 1 ï. 4
îäèí èç íèõ, íàïðèìåð âåêòîð a , ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé
êîìáèíàöèè îñòàëüíûõ: a = λ 1 b + λ 2 c .  òàêîì ñëó÷àå äëÿ âñåõ ÷åòûðåõ
âåêòîðîâ ìîæíî íàïèñàòü ðàâåíñòâî a = λ 1 b + λ 2 c + 0 ⋅ d , à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð a åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ b , c è d .
2. Ñðåäè äàííûõ âåêòîðîâ íåò íè îäíîé òðîéêè êîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ.  ýòîì ñëó÷àå âåêòîð a ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñóììû
òðåõ âåêòîðîâ, êîëëèíåàðíûõ ñîîòâåòñòâåííî âåêòîðàì b , c è d . Äëÿ
ýòîãî, ïðîâåäÿ ÷åðåç òî÷êó Ì — êîíåö âåêòîðà a — ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâåííî ïàðàëëåëüíûå òðåì ïëîñêîñòÿì, îïðåäåëÿåìûì ïàðàìè âåêòîðîâ b è c, c è d , d è b , ïîëó÷àåì ïàðàëëåëåïèïåä, äèàãîíàëüþ êîòîðîãî
ÿâëÿåòñÿ âåêòîð a = OM (ðèñ. 28). Èìååì a = OM = OP + OM 3 = OM 1 +
+ OM 2 + OM 3 . ÍîOM 1 = λ 1 b ,OM 2 = λ 2 c ,OM 3 = λ 3 d . Ñëåäîâàòåëüíî,
a = λ 1 b + λ 2 c + λ 3 d ò. å. âåêòîðû a , b , c è d ëèíåéíî çàâèñèìû.
29
Èç ýòîé òåîðåìû àíàëîãè÷íî ñëåäñòâèþ èç ïóíêòà 4 ïîëó÷èì
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Åñëè ÷èñëî äàííûõ
âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå áîëüøå ÷åòûðåõ, òî îíè òàêæå ëèíåéíî çàâèñèìû.
Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ äëÿ êîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ óñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå:
Äëÿ òîãî ÷òîáû òðè âåêòîðà â ïðîñòðàíñòâå
áûëè êîìïëàíàðíû, íåîáõîÐèñ. 28
äèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíè áûëè
ëèíåéíî çàâèñèìû.
Îòñþäà íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò å î ð å ì à 2. Äëÿ òîãî ÷òîáû òðè âåêòîðà à , b è c â ïðîñòðàíñòâå
áûëè ëèíåéíî íåçàâèñèìû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíè áûëè
íåêîìïëàíàðíû.
Èç òåîðåì 1 è 2 ñëåäóåò, ÷òî ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ
âåêòîðîâ â ïðîñòðàíñòâå ðàâíî òðåì.
6. Áàçèñ íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Áàçèñîì íà ïëîñêîñòè íàçûâàþòñÿ äâà ëþáûõ
ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðà.
Èç òåîðåìû 2 (ï. 4) ñëåäóåò, ÷òî äâà ëþáûõ íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà
îáðàçóþò áàçèñ. Ïóñòü à — ëþáîé âåêòîð íà ïëîñêîñòè, à âåêòîðû b è c
îáðàçóþò áàçèñ. Òàê êàê íà ïëîñêîñòè âñÿêèå òðè âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìû, òî âåêòîð à ëèíåéíî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âåêòîðû áàçèñà, ò. å.
âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
(5)
à = λ1b + λ2c.
Åñëè âåêòîð à ïðåäñòàâëåí â âèäå (5), òî ãîâîðÿò, ÷òî îí ðàçëîæåí ïî
áàçèñó, îáðàçîâàííîìó âåêòîðàìè b è c. ×èñëà λ1 è λ2 íàçûâàþò êîîðäèíàòàìè âåêòîðà à íà ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî áàçèñà b è c.
Ò å î ð å ì à 1. Ðàçëîæåíèå âåêòîðà a ïî áàçèñó b è c ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîïóñòèì, ÷òî íàðÿäó ñ ðàçëîæåíèåì (5)
èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå
à = v1b + v2c.
(6)
Ïîêàæåì, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå v1 = λ1, v2 = λ2 . Äåéñòâèòåëüíî, âû÷èòàÿ ðàâåíñòâî (6) èç ðàâåíñòâà (5), ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
0 = (λ1 − v1) b + (λ2 − v2) c.
Âîçìîæíîñòü ïî÷ëåííîãî âû÷èòàíèÿ ðàâåíñòâ (6) è (5) è ïðîèçâîäèìîé ãðóïïèðîâêè ÷ëåíîâ âûòåêàåò èç ñâîéñòâ ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä
30
âåêòîðàìè (ñì. ï. 2). Òàê êàê âåêòîðû áàçèñà b , c ëèíåéíî íåçàâèñèìû,
òî λ1 – v1 = 0 è λ2 – v2 = 0. Îòñþäà, λ1 = v1 è λ2 = v2, ò. å. ðàçëîæåíèå âåêòîðà
à ïî áàçèñó b , c åäèíñòâåííî.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Áàçèñîì â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàþòñÿ òðè ëþáûõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòîðà.
Èç òåîðåìû 2 (ï. 5) ñëåäóåò, ÷òî òðè ëþáûõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðà
îáðàçóþò áàçèñ. Êàê è â ñëó÷àå ïëîñêîñòè, óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ëþáîé
âåêòîð à ðàçëàãàåòñÿ ïî âåêòîðàì b , c è d áàçèñà:
a = λ1b + λ2c + λ3d ,
ïðè÷åì ýòî ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííîå.
×èñëà λ1, λ2 è λ3 íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè âåêòîðà à â ïðîñòðàíñòâå
îòíîñèòåëüíî áàçèñà b , c è d .
Îñíîâíîå çíà÷åíèå áàçèñà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ëèíåéíûå îïåðàöèè
íàä âåêòîðàìè ïðè çàäàíèè áàçèñà ñòàíîâÿòñÿ îáû÷íûìè ëèíåéíûìè
îïåðàöèÿìè íàä ÷èñëàìè — êîîðäèíàòàìè ýòèõ âåêòîðîâ.
Ò å î ð å ì à 2. Ïðè ñëîæåíèè äâóõ âåêòîðîâ à 1 è à 2 èõ êîîðäèíàòû
(îòíîñèòåëüíî ëþáîãî áàçèñà b , c è d ) ñêëàäûâàþòñÿ. Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà à 1 íà ëþáîå ÷èñëî α âñå åãî êîîðäèíàòû óìíîæàþòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü
à 1 = λ1b + µ1 c + v1 d , à 2 = λ2 b + µ2 c + v2 d .
Òîãäà â ñèëó ñâîéñòâ ëèíåéíûõ îïåðàöèé (ñì. ï. 2)
à 1 + à 2 = (λ1 + λ2) b + (µ1+ µ2) c + (v1 + v2) d ,
α à 1 = (α λ1) b + (α µ1) c + (αv1) d .
 ñèëó åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñó b , c è d òåîðåìà äîêàçàíà.
7. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà îñü è åå ñâîéñòâà.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Óãëîì ìåæäó âåêòîðàìè à è b íàçûâàåòñÿ
íàèìåíüøèé óãîë ϕ (0 ≤ ϕ ≤ π), íà êîòîðûé íàäî ïîâåðíóòü îäèí èç âåêòîðîâ äî åãî ñîâïàäåíèÿ ñî âòîðûì ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ýòèõ âåêòîðîâ ê
îáùåìó íà÷àëó.
Îñüþ íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåííàÿ ïðÿìàÿ. Íàïðàâëåíèå ïðÿìîé íà
ðèñóíêå îáû÷íî îáîçíà÷àåòñÿ ñòðåëêîé. Çàäàííîå íàïðàâëåíèå îñè
ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, ïðîòèâîïîëîæíîå — îòðèöàòåëüíûì.
Ðàññìîòðèì îñü l, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ
íàïðàâëåíèåì åäèíè÷íîãî âåêòîðà l 0 , ðàñïîëîæåííîãî íà îñè l. Òàêîé
âåêòîð íàçûâàåòñÿ îðòîì îñè l.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Óãëîì ìåæäó âåêòîðîì à è îñüþ l íàçûâàåòñÿ
óãîë ϕ ìåæäó âåêòîðàìè à è l 0 (ðèñ. 29).
31
Ðèñ. 29
Ðèñ. 30
Ðèñ. 31
Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Ïðîåêöèåé òî÷êè À íà îñü l (ðèñ. 30) íàçûâàåòñÿ òî÷êà À1, â êîòîðîé ïåðåñåêàåòñÿ îñü l ñ ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê l, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó À.
Î ï ð å ä å ë å í è å 4. Êîìïîíåíòîé (ñîñòàâëÿþùåé) âåêòîðà à = ÀÂ
íà îñü l (ðèñ. 31) íàçûâàåòñÿ âåêòîð à ′ = À1 Â1 , ãäå À1, Â1 ñîîòâåòñòâåííî
ïðîåêöèè òî÷åê À,  íà l.
Î ï ð å ä å ë å í è å 5. Ïðîåêöèåé âåêòîðà à íà îñü l (ïðl a ) íàçûâàåòñÿ äëèíà åãî êîìïîíåíòû à′ íà îñü l, âçÿòàÿ ñî çíàêîì «ïëþñ», åñëè íàïðàâëåíèå êîìïîíåíòû ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñè l, è ñî çíàêîì
«ìèíóñ», åñëè íàïðàâëåíèå êîìïîíåíòû ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ îñè l.
Åñëè à = 0, òî ïîëàãàþò ïðl à = 0.
Ò å î ð å ì à 1. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà à íà îñü l ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî
ìîäóëÿ íà êîñèíóñ óãëà ϕ ìåæäó ýòèì âåêòîðîì è îñüþ l:
ïðl à = | à | cos ϕ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê âåêòîð à =ÎÀ ñâîáîäíûé, òî ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íà÷àëî åãî Î ëåæèò íà îñè l (ðèñ. 32).
π
Åñëè óãîë ϕ îñòðûé (0 ≤ ϕ < ), òî íàïðàâëåíèå êîìïîíåíòû à′ =ÎÀ 1
2
âåêòîðà à ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îñè l (ðèñ. 32, à).
 ýòîì ñëó÷àå èìååì: ïðl à = + | ÎÀ 1 | = | à | cos ϕ.
32
Ðèñ. 32

π
Åñëè æå óãîë ϕ òóïîé  < ϕ ≤ π (ðèñ. 32, á), òî íàïðàâëåíèå êîìïî
2
íåíòû à′ =ÎÀ 1 âåêòîðà à ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ îñè l. Òîãäà ïîëó÷àåì: ïðl à = –| ÎÀ 1 | = –| à | cos (π – ϕ) = | à | cos ϕ.
π
Íàêîíåö, åñëè ϕ = (ðèñ. 32, â), òî ïðl à = 0 è cos ϕ = 0. Òàêèì îáðà2
çîì, ñíîâà èìååì ñîîòíîøåíèå ïðl à = | à | cos ϕ.
Ñ ë å ä ñ ò â è å 1. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà îñü ïîëîæèòåëüíà, åñëè âåêòîð îáðàçóåò ñ îñüþ îñòðûé óãîë, îòðèöàòåëüíà, åñëè ýòîò óãîë òóïîé,
ðàâíà íóëþ, åñëè ýòîò óãîë ïðÿìîé.
Ñ ë å ä ñ ò â è å 2. Ïðîåêöèè ðàâíûõ âåêòîðîâ íà îäíó è òó æå îñü
ðàâíû ìåæäó ñîáîé.
Ò å î ð å ì à 2. Ïðîåêöèè âåêòîðîâ à , b íà äàííóþ îñü îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
ïðl (à + b ) = ïðl à + ïðl b ,
(7)
ïðl (λ à ) = λ ïðl à .
(8)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñâîéñòâî (7) èëëþñòðèðóåòñÿ ðèñóíêîì 33.
Äîêàæåì ñâîéñòâî (8). Ñ÷èòàÿ, ÷òî óãîë ìåæäó âåêòîðîì à = À è íàïðàâëåíèåì l ðàâåí ϕ, èìååì:
Ðèñ. 33
33
ïðè λ > 0 ïðl (λ à ) = | λà | cos ϕ = λ | à | cos ϕ = λ ïðl à ;
ïðè λ < 0 ïðl (λ à ) = | λà | cos (π – ϕ) = –λ | à | cos (π – ϕ) = λ | à | cos ϕ =
= λïðl a
(ïðè λ < 0 âåêòîð λ à íàïðàâëåí â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ íàïðàâëåíèþ à ; åñëè à îáðàçóåò ñ l óãîë ϕ, òî λ à îáðàçóåò ñ l óãîë π – ϕ).
Ïðè λ = 0 ëåâàÿ è ïðàâàÿ ÷àñòè (8) îáðàùàþòñÿ â íóëü.
8. Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå.
Òðè âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè â ïðîñòðàíñòâå (êîîðäèíàòíûå
îñè) ñ îáùèì íà÷àëîì Î è îäèíàêîâîé ìàñøòàáíîé åäèíèöåé îáðàçóþò
äåêàðòîâó ïðÿìîóãîëüíóþ (êðàòíî — ïðÿìîóãîëüíóþ) ñèñòåìó êîîðäèíàò
â ïðîñòðàíñòâå. Îñè óïîðÿäî÷åíû, ò. å. óêàçàíî, êàêàÿ èç îñåé ñ÷èòàåòñÿ ïåðâîé (îíà íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ è îáîçíà÷àåòñÿ Îõ), êàêàÿ —
âòîðîé (îñü îðäèíàò Îó) è êàêàÿ — òðåòüåé (îñü àïïëèêàò Îz).
Ðàçëè÷àþò ïðàâóþ è ëåâóþ ñèñòåìû äåêàðòîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò (ðèñ. 34, ñîîòâåòñòâåííî à, á).  ýòîé êíèãå ïðèíÿòà ïðàâàÿ
ñèñòåìà êîîðäèíàò (áóäåì íàçûâàòü åå îñíîâíîé).
Îðòû îñåé Îõ, Îó, Îz îáîçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç i , j, k . Òàê
êàê âåêòîðû i , j, k íåêîìïëàíàðíû, òî îíè îáðàçóþò áàçèñ (ñì. ï. 6), êîòîðûé íàçûâàåòñÿ äåêàðòîâûì ïðÿìîóãîëüíûì áàçèñîì.
 ñèëó ðåçóëüòàòîâ ï. 6 êàæäûé âåêòîð à ìîæåò áûòü, è ïðèòîì åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, ðàçëîæåí ïî äåêàðòîâîìó ïðÿìîóãîëüíîìó áàçèñó
i , j, k , ò. å. äëÿ êàæäîãî âåêòîðà à íàéäåòñÿ, è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ,
òðîéêà ÷èñåë àõ, àó, àz, òàêàÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
à = àõ i + àó j + àz k .
(9)
×èñëà àõ, àó, àz íàçûâàþòñÿ äåêàðòîâûìè ïðÿìîóãîëüíûìè (èëè ïðÿìîóãîëüíûìè) êîîðäèíàòàìè âåêòîðà à .
Çàïèñü à (àõ; àó; àz) îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð à èìååò äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû àõ, àó, àz.
Ðèñ. 34
34
Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÷èñåë àõ, àó, àz. Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 2 è 1 î ïðîåêöèÿõ (ñì. ï. 7), èìååì:
ïðÎõ à = àõ ïðÎõ i + àó ïðÎõ j + àz ïðÎõ k = àõ.
Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåì ïðÎy à = àó, ïðÎz à = àz. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëà
àõ, àó, àz â ôîðìóëå (9) ÿâëÿþòñÿ ïðîåêöèÿìè âåêòîðà à íà êîîðäèíàòíûå
îñè Îõ, Îó, Îz ñîîòâåòñòâåííî.
Åñëè Ì — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà â ïðîñòðàíñòâå, òî ðàäèóñîì — âåêòîðîì òî÷êè Ì íàçîâåì âåêòîð ÎÌ , èìåþùèé ñâîèì íà÷àëîì íà÷àëî Î
çàäàííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, à êîíöîì — ýòó òî÷êó.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Äåêàðòîâûìè ïðÿìîóãîëüíûìè êîîðäèíàòàìè
òî÷êè Ì íàçûâàþòñÿ ïðîåêöèè åå ðàäèóñà–âåêòîðà ÎÌ íà ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòíûå îñè; ïðîåêöèÿ íà ïåðâóþ êîîðäèíàòíóþ îñü íàçûâàåòñÿ àáñöèññîé òî÷êè Ì, íà âòîðóþ — îðäèíàòîé, íà òðåòüþ — àïïëèêàòîé:
õ = ïðÎõÎÌ , ó = ïðÎóÎÌ , z = ïðÎzÎÌ .
Ñèìâîë Ì(õ; ó; z) îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà Ì èìååò êîîðäèíàòû õ, ó, z.
Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè (ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ïàðû êîîðäèíàòíûõ îñåé) äåëÿò âñå ïðîñòðàíñòâî íà âîñåìü ÷àñòåé, íàçûâàåìûõ
îêòàíòàìè, êîòîðûå íóìåðóþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: îêòàíò, ëåæàùèé íàä ïåðâîé ÷åòâåðòüþ ïëîñêîñòè õÎó, — I; ëåæàùèé ïîä íåé — V;
ñîîòâåòñòâåííî îêòàíòû, ëåæàùèå íàä è ïîä âòîðîé ÷åòâåðòüþ ïëîñêîñòè õÎó, — II è VI; íàä è ïîä òðåòüåé ÷åòâåðòüþ — III è VII; íàä è ïîä
÷åòâåðòîé ÷åòâåðòüþ — IV è VIII.
Êàæäîìó îêòàíòó ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííàÿ êîìáèíàöèÿ çíàêîâ
êîîðäèíàò:
Îêòàíòû
Êîîðäèíàòû
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
x
+
–
–
+
+
–
–
+
y
+
+
–
–
+
+
–
–
z
+
+
+
+
–
–
–
–
Îòìåòèì, ÷òî êàæäîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà ñîîòâåòñòâóåò îäíà óïîðÿäî÷åííàÿ òðîéêà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (õ; ó; z) (åå êîîðäèíàò). Âåðíî è
îáðàòíîå: êàæäîé óïîðÿäî÷åííîé òðîéêå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñëå (õ; ó; z)
ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïðîñòðàíñòâà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå
35
ïîëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè Ì
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ åå êîîðäèíàòàìè õ, ó, z.
Ïóñòü çàäàíà òî÷êà Ì(õ; ó; z).
Ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû ðàäèóñà–âåêòîðà ÎÌ ñîâïàäàþò ñ ïðîåêöèÿìè ýòîãî âåêòîðà íà îñè êîîðäèíàò, ò. å. ñ êîîðäèíàòàìè òî÷êè Ì, òî ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (9)
èìååì:ÎÌ = õi + ój + zk . (Åñëè òî÷-
Ðèñ. 35
êà Ì ëåæèò â ïëîñêîñòè õÎó, òîÎÌ = õi + ój.)
Ïóñòü òåïåðü çàäàíû äâå òî÷êè Ì1(õ1; ó1; z1) è Ì2(õ2; ó2; z2).
Ðàññìîòðèì âåêòîð Ì 1 Ì 2 . Èìååì Ì 1 Ì 2 = ÎÌ 2 – ÎÌ 1 (ðèñ. 35).
Îòñþäà â ñèëó òåîðåìû 2 (ï. 6) ïîëó÷àåì:
Ì 1 Ì 2 (õ2 − õ1; ó2 − ó1; z2 − z1).
Èòàê, ÷òîáû íàéòè êîîðäèíàòû íåêîòîðîãî âåêòîðà, äîñòàòî÷íî èç
êîîðäèíàò åãî êîíöà âû÷åñòü îäíîèìåííûå êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà.
Ïóñòü äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà
à = àõ i + àó j + àz k è b = bõ i + bó j + bz k
êîëëèíåàðíû.  ýòîì ñëó÷àå (ñì. ï. 2) b = λà (λ — ñêàëÿð), ÷òî â ñèëó
ñëåäñòâèÿ 2 èç ï. 7 ðàâíîñèëüíî òðåì ðàâåíñòâàì
àõ à ó àz
=
= .
bõ
bó
bz
(10)
Ýòî åñòü óñëîâèå êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ.
Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðû êîëëèíåàðíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èõ
îäíîèìåííûå êîîðäèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Â ðàâåíñòâå (10) íåêîòîðûå èç çíàìåíàòåëåé ìîãóò îêàçàòüñÿ ðàâa c
íûìè 0. Íàïîìíèì, ÷òî âñÿêóþ ïðîïîðöèþ = ïîíèìàåì â ñìûñëå ðàâåíñòâà ad = bc.
b d
àõ à ó àz
Òàê, íàïðèìåð, ðàâåíñòâà =
= îçíà÷àþò, ÷òî 2àõ = 0 · àz, 2àó = 0 · àz, 0 · àõ = 0 · àó, ò. å.
0
0
2
÷òî àõ = 0, àó = 0.
Ç à ä à ÷ à. Ïóñòü äàíû òî÷êè Ì1(õ1; ó1; z1) è Ì2(õ2; ó2; z2). Òðåáóåòñÿ íàéòè òî÷êó Ì(õ; ó;
z), ëåæàùóþ íà îòðåçêå Ì1 Ì2 è äåëÿùóþ åãî â äàííîì îòíîøåíèè:
Ì1 Ì
ÌÌ 2
36
= λ.
Î÷åâèäíî, ÷òî Ì1 Ì = λ ÌÌ2 èëè (õ – õ1) i + (ó – ó1) j + (z – z1) k = λ(õ2 – õ)i + λ(ó2 – ó) j +
+ λ(z2 – z)k . Îòñþäà õ – õ1 = λ(õ2 – õ), ó – ó1 = λ(ó2 – ó), z – z1 = λ(z2 – z) è, íàêîíåö,
õ=
õ1 + λõ 2
1+ λ
, ó=
ó1 + λ ó2
1+ λ
, z=
z1 + λz2
1+ λ
.
§ 2.2. Íåëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè
1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ è åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé ýòèõ âåêòîðîâ íà êîñèíóñ
óãëà ìåæäó íèìè.
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ à è b îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì àb
èëè (à , b ). Åñëè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè à è b ðàâåí ϕ, òî
àb = | à | | b | cos ϕ.
(1)
×åðåç ïða b îáîçíà÷èì ïðîåêöèþ âåêòîðà b íà îñü ñ íàïðàâëåíèåì
âåêòîðà à .
Òàê êàê
| b | cos ϕ = ïða b è | à | cos ϕ = ïðb à
(ñì. § 2.1, ï. 7), òî ìîæíî çàïèñàòü:
àb = | à | ïða b = | b | ïðb à ,
(2)
ò. å. ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ðàâíî ìîäóëþ îäíîãî èç íèõ, óìíîæåííîìó íà ïðîåêöèþ äðóãîãî íà îñü ñ íàïðàâëåíèåì ïåðâîãî.
Ðàñêðîåì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ïóñòü ïîñòîÿííàÿ ñèëà F îáåñïå÷èâàåò ïðÿìîëèíåéíîå ïåðåìåùåíèå s = MN
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè Ì. Åñëè ñèëà F îáðàçóåò óãîë ϕ ñ ïåðåìåùåíèåì s
(ðèñ. 36), òî, êàê èçâåñòíî èç ôèçèêè, ðàáîòà À ñèëû F ïðè ïåðåìåùåíèè s ðàâíà:
À = |F | |s| cos ϕ,
èëè ñîãëàñíî ôîðìóëå (1) À = F s. Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà ïîñòîÿííîé
ñèëû ïðè ïðÿìîëèíåéíîì ïåðåìåùåíèè åå òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ðàâíà ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðà ñèëû íà âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ.
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå îáëàäàåò
ñëåäóþùèìè îñíîâíûìè ñâîéñòâàìè:
1. àb = bà (ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî).
2. a 2 = àà = | à |2
(3)
2
(a íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì êâàäðàòîì âåêòîðà).
Ðèñ. 36
37
3. (à + b ) c = à c + b c (ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî).
(4)
4. (λà )b = λ(à b )
(ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî îòíîñèòåëüíî ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ).
Ñâîéñòâà 1 è 2 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò èç îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
Äîêàæåì ñâîéñòâî 3. Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (2) è ñâîéñòâà ïðîåêöèé (§ 2.1, (7)) èìååì:
(à + b )c = | c | ïð ñ (à + b ) = | c |(ïð ñ à + ïð ñ b ) =
= | c | ïð ñ à + | c | ïð ñ b = c à + c b = à c + b c.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñâîéñòâà 4 îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì λ > 0. Çàìå÷àÿ, ÷òî
ïðè λ > 0 óãîë ϕ ìåæäó âåêòîðàìè à è b ðàâåí óãëó ìåæäó âåêòîðàìè λà è
b , ïîëó÷èì:
λ(àb ) = λ| à | | b | cos ϕ, (λà )b = |λà | | b | cos ϕ = λ|à |b | cos ϕ,
îòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (4).
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Èç ñâîéñòâ 1, 3, 4 ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ è ñâîéñòâ ëèíåéíûõ
îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè (§ 2.1, ï. 2) ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû ìîæíî ïåðåìíîæàòü ñêàëÿðíî
êàê ìíîãî÷ëåíû.
Èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî êîñèíóñ óãëà ìåæäó äâóìÿ íåíóëåâûìè
âåêòîðàìè à è b ðàâåí:
àb
(5)
cos ϕ =
.
| a || b |
Èç ôîðìóëû (5) ïîëó÷àåì, ÷òî äâà âåêòîðà à è b ïåðïåíäèêóëÿðíû (îðòîπ
ãîíàëüíû), ò. å. ϕ = , òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
2
(6)
àb = 0.
Ýòî óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî òàêæå è â òîì ñëó÷àå, êîãäà õîòÿ áû îäèí
èç âåêòîðîâ à è b íóëåâîé (íóëåâîé âåêòîð èìååò íåîïðåäåëåííîå íàïðàâëåíèå, è åãî ìîæíî ñ÷èòàòü îðòîãîíàëüíûì ëþáîìó âåêòîðó).
2. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ â êîîðäèíàòíîé ôîðìå. Ïóñòü
à = àõ i + àó j + àz k
è
b = bõ i + bó j + bz k .
Ïåðåìíîæàÿ ýòè âåêòîðû êàê ìíîãî÷ëåíû è ó÷èòûâàÿ âûòåêàþùèå èç
ðàâåíñòâ (3) è (6) ñîîòíîøåíèÿ
i j = jk = k i = 0, i i = j j = k k = 1,
38
áóäåì èìåòü:
(7)
à b = àõbõ + àóbó + àzbz.
Òàêèì îáðàçîì, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ðàâíî ñóììå
ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé èõ îäíîèìåííûõ êîîðäèíàò.
Ï ð è ì å ð. Åñëè à (1; 3; –1), b (1; 0; 4), òî ïî ôîðìóëå (7) èìååì àb = –3.
Èç ðàâåíñòâà (7) ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (3) èìååì:
| à | = à õ à õ + à ó à ó + à z a z = à õ2 + à ó2 + à z2 .
(8)
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóë (5) è (7) íàõîäèì óãîë ìåæäó âåêòîðàìè:
cos ϕ =
à õ bõ + à ó b ó + à z bz
2
õ
à + à 2y + à z2 b x2 + b y2 + b z2
.
(9)
Ç à ä à ÷ à. Íàéòè ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè Ì1(õ1; ó1; z1) è Ì2(õ2; ó2; z2).
Òàê êàê (ñì. § 2.1, ï. 8)
Ì 1 Ì 2 (õ2 − õ1; ó2 − ó1; z2 − z1),
òî ñîãëàñíî ôîðìóëå (8)
|Ì 1 Ì 2 | = ( õ 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 + ( z 2 − z 1 ) 2 .
 ï. 1 áûëî îòìå÷åíî íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ â âèäå ðàâåíñòâà (6). Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7) ýòî óñëîâèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
àõbõ + àóbó + àzbz = 0.
(10)
3. Íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âåêòîðà. Ïóñòü äàí íåíóëåâîé âåêòîð
à (àõ; àó; àz). Îáîçíà÷èì óãëû íàêëîíà ýòîãî âåêòîðà ê îñÿì Îõ, Îó è Îz
ñîîòâåòñòâåííî áóêâàìè α, β è γ. Òðè ÷èñëà cos α, cos β è cos γ ïðèíÿòî
íàçûâàòü íàïðàâëÿþùèìè êîñèíóñàìè âåêòîðà a . Ïîëàãàÿ b = i (1; 0; 0),
ïîëó÷èì èç (9)
àõ
(11)
cos α =
.
à õ2 + à ó2 + à z2
Àíàëîãè÷íî
cos β =
cos γ =
àó
à õ2 + à ó2 + à z2
az
a x2 + a y2 + a z2
,
(12)
.
(13)
39
Èç ôîðìóë (11)—(13) ñëåäóåò:
1) cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1,
ò. å. ñóììà êâàäðàòîâ íàïðàâëÿþùèõ êîñèíóñîâ ëþáîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà
ðàâíà åäèíèöå;
cos α cos β cos γ
2)
,
=
=
ax
ay
az
ò. å. íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû ýòîãî âåêòîðà ïðîïîðöèîíàëüíû åãî ñîîòâåòñòâóþùèì ïðîåêöèÿì.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Èç ôîðìóë (11)—(13) âèäíî, ÷òî ïðîåêöèè ëþáîãî åäèíè÷íîãî
âåêòîðà à 0 íà îñè êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâåííî ñîâïàäàþò ñ åãî íàïðàâëÿþùèìè êîñèíóñàìè è, ñëåäîâàòåëüíî,
à 0 = i cos α + j cos β + k cos γ.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âåêòîðà à (1; 2; 2). Ïî ôîðìóëàì
(11)—(13) èìååì:
1
1
1
cos α =
=
= ,
9 3
1 + 22 + 22
2
2
cos β = , cos γ = .
3
3
4. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ è åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ à è b
íàçûâàåòñÿ íîâûé âåêòîð c, ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ à è b , ïðèâåäåííûõ ê îáùåìó íà÷àëó, è êîòîðûé ïåðïåíäèêóëÿðåí ïåðåìíîæàåìûì âåêòîðàì (èíà÷å
ãîâîðÿ, ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè ïîñòðîåííîãî íà íèõ ïàðàëëåëîãðàììà) è íàïðàâëåí â òàêóþ ñòîðîíó, ÷òîáû êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò à
ê b âîêðóã ïîëó÷åííîãî âåêòîðà c ïðåäñòàâëÿëñÿ ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü èç êîíöà âåêòîðà c (ðèñ. 37).
Åñëè âåêòîðû à è b êîëëèíåàðíû, òî èõ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå
ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì íóëåâîìó âåêòîðó.
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
| c | = | a || b | sin ϕ,
ãäå ϕ — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè à è b (0 ≤ ϕ ≤ π). Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå
âåêòîðîâ à è b îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
à × b èëè [àb ] èëè [à ,b ].
Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.  ôèçèêå ìîìåíò ñèëû F îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î èçîáðàæàþò âåêòîðîìÎÌ , ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïëîñêîñòè, â êîòîðîé ëåæàò òî÷êà Î è âåêòîð F (ðèñ. 38). Äëèíó
40
Ðèñ. 37
Ðèñ. 38
âåêòîðà ÎÌ îïðåäåëÿþò êàê ïðîèçâåäåíèå äëèíû âåêòîðà F íà ïëå÷î h
(h — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Î äî ïðÿìîé, íà êîòîðîé èçîáðàæåí âåêòîð ñèëû
F ), ò. å. |ÎÌ | = |F |h, èëè |ÎÌ | = |F ||r | sin (F , r ), ãäå r =ÎÀ— ðàäèóñ–âåêòîð
òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû F . Òàêèì îáðàçîì, ìîìåíò ñèëû F îòíîñèòåëüíî
íåêîòîðîé òî÷êè Î åñòü F × r , ò. å. âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ñèëû F íà ðàäèóñ–âåêòîð r òî÷êè ïðèëîæåíèÿ ñèëû F .
Ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ
1. Ïðè ïåðåñòàíîâêå ñîìíîæèòåëåé âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò
çíàê, ò. å.
(14)
à × b = − (b × à ).
 ñàìîì äåëå, ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ
à è b , à òàêæå è åãî ïëîñêîñòü íå ìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåñòàíîâêå à è b . Ïîýòîìó âåêòîðû à × b è b × à èìåþò îäèíàêîâûå äëèíû è êîëëèíåàðíû.
Íàïðàâëåíèÿ æå ýòèõ âåêòîðîâ ïðîòèâîïîëîæíû; äåéñòâèòåëüíî, åñëè
ñìîòðåòü íà ïëîñêîñòü âåêòîðîâ à è b ñ êîíöà âåêòîðà à × b , òî êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò b ê à áóäåò êàçàòüñÿ ïðîèñõîäÿùèì ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå.
Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð b × à äîëæåí áûòü íàïðàâëåí â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó.
Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ à è b ðàâåíñòâî (14)
î÷åâèäíî, òàê êàê òîãäà à × b è b × à — íóëåâûå âåêòîðû.
Òàêèì îáðàçîì, âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íå îáëàäàåò ïåðåìåñòèòåëüíûì ñâîéñòâîì.
2. ( λa ) × b = a × ( λb ) = λ(a × b ),
ãäå λ — ñêàëÿð.
Ñâîéñòâî 2 íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç ñìûñëà ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà íà ñêàëÿð (ñì. § 2.1, ï. 2) è îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
3. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîä÷èíÿåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíîìó çàêîíó, ò. å.
(a + b ) × c = a × c + b × c .
41
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñâîéñòâà çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ (åãî ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â [6]).
4. Åñëè âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó,
òî ëèáî ðàâåí íóëåâîìó âåêòîðó õîòÿ áû îäèí èç ïåðåìíîæàåìûõ âåêòîðîâ (òðèâèàëüíûé ñëó÷àé), ëèáî ðàâåí íóëþ ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, ò. å.
âåêòîðû êîëëèíåàðíû.
Îáðàòíî, åñëè äâà íå íóëåâûõ âåêòîðà êîëëèíåàðíû, òî èõ âåêòîðíîå
ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû äâà íåíóëåâûõ âåêòîðà à è b áûëè êîëëèíåàðíû, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû èõ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå
ðàâíÿëîñü íóëåâîìó âåêòîðó.
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà
íà ñàìîãî ñåáÿ ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó:
à ×à =0
(à × à åùå íàçûâàþò âåêòîðíûì êâàäðàòîì âåêòîðà à ).
5. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òðåõ âåêòîðîâ è åãî îñíîâíûå ñâîéñòâà.
Ïóñòü äàíû òðè âåêòîðà à , b è c. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî âåêòîð à óìíîæàåòñÿ âåêòîðíî íà b è ïîëó÷åííûé âåêòîð à × b óìíîæàåòñÿ ñêàëÿðíî íà
âåêòîð c, òåì ñàìûì îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî (à × b ) c. Îíî íàçûâàåòñÿ âåêòîðíî-ñêàëÿðíûì èëè ñìåøàííûì ïðîèçâåäåíèåì òðåõ âåêòîðîâ à , b , c.
Äëÿ êðàòêîñòè ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå (à × b )c áóäåì îáîçíà÷àòü àbc
èëè (àbc).
Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ àbc.
Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìûå âåêòîðû à , b è c íåêîìïëàíàðíû. Ïîñòðîèì
ïàðàëëåëåïèïåä íà âåêòîðàõ à , b è c êàê íà ðåáðàõ. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå à × b åñòü âåêòîð d (d =ÎÅ ), ÷èñëåííî ðàâíûé ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà ÎÀD (îñíîâàíèå ïîñòðîåííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà), ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ à è b , è íàïðàâëåííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïëîñêîñòè ïàðàëëåëîãðàììà (ðèñ. 39).
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå àbc = d c
åñòü ïðîèçâåäåíèå ìîäóëÿ âåêòîðà d è
ïðîåêöèè âåêòîðà c íà d (ñì. ï. 1, (2)).
Âûñîòà ïîñòðîåííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà åñòü àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ýòîé ïðîåêöèè.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå |ab c|
ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà íà åãî âûñîòó, ò. å. îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ à , b è c.
Ðèñ. 39
42
Ïðè ýòîì âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå d c äàåò îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà èíîãäà ñ ïîëîæèòåëüíûì, à èíîãäà ñ îòðèöàòåëüíûì çíàêîì. Ïîëîæèòåëüíûé çíàê ïîëó÷àåòñÿ, åñëè óãîë ìåæäó âåêòîðàìè d è c îñòðûé; îòðèöàòåëüíûé — åñëè òóïîé. Ïðè îñòðîì óãëå
ìåæäó d è c âåêòîð c ðàñïîëîæåí ïî òó æå ñòîðîíó ïëîñêîñòè ÎÀDB, ÷òî
è âåêòîð d , è, ñëåäîâàòåëüíî, èç êîíöà âåêòîðà c âðàùåíèå îò à ê b áóäåò
âèäíî òàê æå, êàê è èç êîíöà âåêòîðà d , ò. å. â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè (ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè).
Ïðè òóïîì óãëå ìåæäó d è c âåêòîð c ðàñïîëîæåí ïî äðóãóþ ñòîðîíó
ïëîñêîñòè ÎÀDB, ÷åì âåêòîð d , è, ñëåäîâàòåëüíî, èç êîíöà âåêòîðà c
âðàùåíèå îò à ê b áóäåò âèäíî â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè (ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå). Èíûìè ñëîâàìè, ïðîèçâåäåíèå àbc ïîëîæèòåëüíî, åñëè
âåêòîðû à , b è c îáðàçóþò ñèñòåìó, îäíîèìåííóþ ñ îñíîâíîé Oxyz (âçàèìíî ðàñïîëîæåíû òàê æå, êàê îñè Ox, Oy, Oz), è îíî îòðèöàòåëüíî,
åñëè âåêòîðû a , b è c îáðàçóþò ñèñòåìó, ðàçíîèìåííóþ ñ îñíîâíîé.
Òàêèì îáðàçîì, ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå àbc åñòü ÷èñëî, àáñîëþòíàÿ
âåëè÷èíà êîòîðîãî âûðàæàåò îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà
âåêòîðàõ à , b , c êàê íà ðåáðàõ.
Çíàê ïðîèçâåäåíèÿ ïîëîæèòåëåí, åñëè âåêòîðû à , b , c îáðàçóþò ñèñòåìó, îäíîèìåííóþ ñ îñíîâíîé, è îòðèöàòåëåí â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ïðîèçâåäåíèÿ àbc = (à ×b )c
îñòàíåòñÿ òà æå, â êàêîì áû ïîðÿäêå ìû íè áðàëè ñîìíîæèòåëè à , b , c.
×òî êàñàåòñÿ çíàêà, òî îí áóäåò â îäíèõ ñëó÷àÿõ ïîëîæèòåëüíûì, â äðóãèõ — îòðèöàòåëüíûì; ýòî çàâèñèò îò òîãî, îáðàçóþò ëè íàøè òðè âåêòîðà, âçÿòûå â îïðåäåëåííîì ïîðÿäêå, ñèñòåìó, îäíîèìåííóþ ñ îñíîâíîé,
èëè íåò. Çàìåòèì, ÷òî ó íàñ îñè êîîðäèíàò ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òî îíè
ñëåäóþò îäíà çà äðóãîé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, åñëè ñìîòðåòü âî âíóòðåííþþ ÷àñòü òðåõãðàííîãî óãëà (ðèñ. 40). Ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ íå íàðóøàåòñÿ, åñëè ìû íà÷íåì îáõîä ñî âòîðîé îñè èëè ñ òðåòüåé, ëèøü áû îí
ñîâåðøàëñÿ â òîì æå íàïðàâëåíèè,
ò. å. ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. Ïðè
ýòîì ìíîæèòåëè ïåðåñòàâëÿþòñÿ â
êðóãîâîì ïîðÿäêå. Òàêèì îáðàçîì,
ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñâîéñòâî:
Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ ïðè êðóãîâîé ïåðåñòàíîâêå åãî
ñîìíîæèòåëåé. Ïåðåñòàíîâêà äâóõ
ñîñåäíèõ ñîìíîæèòåëåé ìåíÿåò çíàê
ïðîèçâåäåíèÿ:
à b c =b c à =c à b =
=− (b à c) = − (c b à ) = − (à c b ).
Ðèñ. 40
43
Íàêîíåö, èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ
íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì êîìïëàíàðíîñòè âåêòîðîâ à ,
b , c ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
à b c = 0.
(15)
Ãëàâà 3. ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3.1. Ìàòðèöû è äåéñòâèÿ íàä íèìè
1. Ïîíÿòèå î ìàòðèöå. Òàáëèöà ÷èñåë aik âèäà
 a 11

 a 21
…

 a m1
a 12
a 22
…
am2
… a 1n 

… a 2n 
,
… …

… a mn 
(1)
ñîñòîÿùàÿ èç m ñòðîê è n ñòîëáöîâ, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ðàçìåðà m×n.
×èñëà aik íàçûâàþòñÿ åå ýëåìåíòàìè. Ýòî ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà.  ÷àñòíîñòè, êîãäà m = l, n > 1, ìû èìååì îäíîñòðî÷å÷íóþ ìàòðèöó (a11 a12 ...
a1n), êîòîðóþ íàçûâàþò ìàòðèöåé-ñòðîêîé. Åñëè æå m > 1, à n = 1, òî
èìååì îäíîñòîëáöîâóþ ìàòðèöó
 a 11 


 a 21  ,
 M 


 a m1 
êîòîðóþ íàçûâàþò ìàòðèöåé-ñòîëáöîì. Ìàòðèöà, ñîñòîÿùàÿ èç îäíîãî
÷èñëà, îòîæäåñòâëÿåòñÿ ñ ýòèì ÷èñëîì.
Åñëè â ìàòðèöå ÷èñëî ñòðîê ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ (ò = n), òî òàêóþ
ìàòðèöó íàçûâàþò êâàäðàòíîé, ïðè÷åì ÷èñëî åå ñòðîê èëè ñòîëáöîâ
a 12 
a
íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì ìàòðèöû. Íàïðèìåð, ìàòðèöà  11
 åñòü êâàä a 21 a 22 
ðàòíàÿ ìàòðèöà âòîðîãî ïîðÿäêà, à ìàòðèöà
 a 11

 a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13 

a 23 
a 33 
åñòü êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà òðåòüåãî ïîðÿäêà.
44
Ìàòðèöó äëÿ êðàòêîñòè áóäåì îáîçíà÷àòü îäíîé áóêâîé, íàïðèìåð,
áóêâîé A.
Äâå ìàòðèöû A è B íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè (A = B), åñëè îíè îäèíàêîâîãî ðàçìåðà (ò. å. èìåþò îäèíàêîâîå ÷èñëî ñòðîê è îäèíàêîâîå ÷èñëî
ñòîëáöîâ) è èõ ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ðàâíû.Òàê, åñëè
a
A =  11
 a 21
a 12 
 b11
 è B =
a 22 
 b 21
b12 
,
b 22 
òî A = B, åñëè a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 , a22 = b22.
2. Ñëîæåíèå ìàòðèö. Ìàòðèöû îäèíàêîâîãî ðàçìåðà ìîæíî ñêëàäûâàòü.
Ñóììîé äâóõ òàêèõ ìàòðèö A è B íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà C, ýëåìåíòû
êîòîðîé ðàâíû ñóììå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö A è B. Ñèìâîëè÷åñêè áóäåì çàïèñûâàòü òàê: A + B = C.
Òàê, åñëè
a 12 
a
 b11 b12 
A =  11
 è B =
,
 a 21 a 22 
 b 21 b 22 
òî èõ ñóììîé ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöà
 a + b11
C =  11
 a 21 + b 21
a 12 + b12 
.
a 22 + b 22 
Ï ð è ì å ð.
 1 2 3  2 4 1  3 6 4 

 +
 =
.
 2 4 5  3 0 5  5 4 10
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñëîæåíèå ìàòðèö ïîä÷èíÿåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó è ñî÷åòàòåëüíîìó çàêîíàì:
A + B = B + A,
(A + B) + C = A + (B + C).
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ,
íàçûâàåòñÿ íóëü-ìàòðèöåé è îáîçíà÷àåòñÿ (0) èëè ïðîñòî 0.
Íóëü-ìàòðèöà ïðè ñëîæåíèè ìàòðèö âûïîëíÿåò ðîëü îáû÷íîãî íóëÿ
ïðè ñëîæåíèè ÷èñåë: A + 0 = A.
3. Âû÷èòàíèå ìàòðèö. Ðàçíîñòüþ äâóõ ìàòðèö A è B îäèíàêîâîãî ðàçìåðà íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà C, òàêàÿ, ÷òî
C + B = A.
Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíòû ìàòðèöû C ðàâíû ðàçíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ ìàòðèö A è B.
45
Îáîçíà÷àåòñÿ ðàçíîñòü ìàòðèö A è B òàê: C = A – B.
Ï ð è ì å ð.
 2 3  1 2   1

 −
 =
 1 0  3 1   −2
1
.
−1
4. Óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî. Ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A íà ÷èñëî
λ íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëà λ
íà ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû ìàòðèöû A.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè óìíîæåíèè ìàòðèöû íà íóëü ïîëó÷àåòñÿ
íóëü-ìàòðèöà.
Ï ð è ì å ð. Ïóñòü
1 0 2
 2 0 1
A=
, B = 
.
2 3 1
 2 1 1
Íàéòè ìàòðèöó Αλ + Bµ.
Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ ñóììû ìàòðèö è óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ÷èñëî èìååì:
0
2λ + µ
 λ + 2µ
Aλ + Bµ = 
.
 2 λ + 2µ 3λ + µ λ + µ 
5. Óìíîæåíèå ìàòðèö. Ðàññìîòðèì ïðàâèëî óìíîæåíèÿ äâóõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ.
Ïóñòü äàíû äâå ìàòðèöû
a
A =  11
 a 21
a 12 

a 22 
b
è B =  11
 b 21
b12 
.
b 22 
Ï ð î è ç â å ä å í è å ì ìàòðèöû A íà ìàòðèöó B íàçûâàåòñÿ
ìàòðèöà C = AB, ýëåìåíòû êîòîðîé ñîñòàâëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
 a b + a 12 b 21 a 11 b12 + a 12 b 22 
AB =  11 11
.
 a 21 b11 + a 22 b 21 a 21 b12 + a 22 b 22 
Êàê âèäèì, ýëåìåíò ìàòðèöû-ïðîèçâåäåíèÿ, íàõîäÿùèéñÿ íà ïåðåñå÷åíèè i-ñòðîêè è k-ão ñòîëáöà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ i-é ñòðîêè ïåðâîé ìàòðèöû íà ýëåìåíòû k-ão
ñòîëáöà âòîðîé ìàòðèöû.
Íàïðèìåð, ýëåìåíò, ñòîÿùèé âî âòîðîé ñòðîêå è ïåðâîì ñòîëáöå
ìàòðèöû ïðîèçâåäåíèÿ AB, ðàâåí ñóììå ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ âòîðîé ñòðîêè ìàòðèöû A íà ýëåìåíòû ïåðâîãî ñòîëáöà ìàòðèöû B.
Ýòî ïðàâèëî ñîõðàíÿåòñÿ äëÿ óìíîæåíèÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö
òðåòüåãî è áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, à òàêæå äëÿ óìíîæåíèÿ ïðÿìî-
46
óãîëüíûõ ìàòðèö, â êîòîðûõ ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû-ìíîæèìîãî ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöû-ìíîæèòåëÿ.
Ï ð è ì å ð 1.
 1 2   5 6  1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 8   19 22 

 
 =
 =
.
 3 4  7 8  3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 7 3 ⋅ 6 + 4 ⋅ 8  43 50 
Ï ð è ì å ð 2.
 2 1 0


 3 1 1
1 2

  2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2   4 5
 2 1  =  3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 2  =  7 9 .


2 2 
Ï ð è ì å ð 3.
 a11

 a 21
a12   x1   a11 x1 + a12 x 2 
   =
.
a 22   x 2   a 21 x1 + a 22 x 2 
Âèäèì, ÷òî â ðåçóëüòàòå ïåðåìíîæåíèÿ äâóõ ìàòðèö ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà, ñîäåðæàùàÿ ñòîëüêî ñòðîê, ñêîëüêî èõ èìååò ìàòðèöà-ìíîæèìîå, è ñòîëüêî ñòîëáöîâ, ñêîëüêî èõ èìååò ìàòðèöà-ìíîæèòåëü.
Ðàññìîòðèì åùå ïðèìåð:
 5 6  1 2  5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 3 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 4  23 34


 =
 =
.
 7 8  3 4  7 ⋅ 1 + 8 ⋅ 3 7 ⋅ 2 + 8 ⋅ 4  31 46
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, êàê óñòàíîâëåíî âûøå:
 1 2  5 6  19 22


 =
.
 3 4  7 8  43 50
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìàòðèö, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïîä÷èíÿåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó çàêîíó:
AB ≠ BA.
Ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî óìíîæåíèå ìàòðèö ïîä÷èíÿåòñÿ ñî÷åòàòåëüíîìó çàêîíó:
A(BC) = (AB)C.
Ïðè óìíîæåíèè ìàòðèö âòîðîãî ïîðÿäêà îñîáîå çíà÷åíèå èìååò
êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà
 1 0
E =
.
 0 1
a 12 
a
Ïðè óìíîæåíèè ëþáîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû A =  11
 âòîðîãî
 a 21 a 22 
ïîðÿäêà íà ìàòðèöó E ñíîâà ïîëó÷àåòñÿ ìàòðèöà À.
47
Äåéñòâèòåëüíî,
a 12   1 0
a
AE =  11

=
 a 21 a 22   0 1
 a ⋅ 1 + a 12 ⋅ 0 a 11 ⋅ 0 + a 12 ⋅ 1  a 11
=  11
 =
 a 21 ⋅ 1 + a 22 ⋅ 0 a 21 ⋅ 0 + a 22 ⋅ 1  a 21
a 12 
.
a 22 
Àíàëîãè÷íî
EA = A.
Ìàòðèöà E íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé. Åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ï-ãî
ïîðÿäêà èìååò âèä:




E =




1 0 0 … 0 0 
0 1 0 … 0 0 


 0 0 1 … 0 0 .
… … … … … … 


 0 0 0 … 0 1 
14444244443 

Åñëè â ìàòðèöå (1), îáîçíà÷àåìîé áóêâîé A, ñäåëàòü âñå ñòðî÷êè ñòîëáöàìè ñ òåì æå íîìåðîì, òî ïîëó÷èì ìàòðèöó
 a 11

a
A′ =  12
…

 a 1n
a 21
a 22
…
a 2n
… a m1 

… am2 
,
… …

… a mn 
íàçûâàåìóþ òðàíñïîíèðîâàííîé ê ìàòðèöå À.
§ 3.2. Îïðåäåëèòåëè
1. Îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó
âòîðîãî ïîðÿäêà
a
A =  11
 a 21
a 12 
.
a 22 
Î ï ð å ä å ë å í è å. Îïðåäåëèòåëåì âòîðîãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâóþùèì ìàòðèöå A, íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå a11a22 – a12a21.
Îïðåäåëèòåëü îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì:
a

 11
a 21
48
a 12
 (êðàòêî |A|).
a 22
Òàêèì îáðàçîì,
a
A = 11
a 21
a 12
 = a a 22 − a 12 a 21 .
a 22 11
(1)
Ýëåìåíòû ìàòðèöû A íàçûâàþòñÿ ýëåìåíòàìè îïðåäåëèòåëÿ |A|, ýëåìåíòû a11, a22 îáðàçóþò ãëàâíóþ äèàãîíàëü, à ýëåìåíòû a21, a12 — ïîáî÷íóþ.
Èç ðàâåíñòâà (1) âèäíî, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ âòîðîãî
ïîðÿäêà íóæíî èç ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, âû÷åñòü ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòîâ, ñòîÿùèõ íà ïîáî÷íîé äèàãîíàëè.
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà:
2 4


= 14 − 12 = 2.
3 7
Ïðèì
1
E =
0
å ð 2. Èìååì:
0
 = 1, ò. å. îïðåäåëèòåëü åäèíè÷íîé ìàòðèöû ðàâåí åäèíèöå.
1
Ëåãêî ïðîâåðÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëÿ (ñ ïîìîùüþ
ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ åãî ïî ôîðìóëå (1)).
Âåëè÷èíà îïðåäåëèòåëÿ | A|:
1) íå ìåíÿåòñÿ, åñëè çàìåíèòü åãî ñòðîêè ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòîëáöàìè;
2) íå ìåíÿåòñÿ, åñëè ê ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî åãî ñòðîêè èëè ñòîëáöà ïðèáàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû äðóãîé ñòðîêè èëè ñòîëáöà,
óìíîæåííûå íà îäíî è òî æå ÷èñëî;
3) ìåíÿåò çíàê, åñëè ïîìåíÿòü ìåñòàìè åãî ñòðîêè èëè ñòîëáöû;
4) óâåëè÷èâàåòñÿ â k ðàç, åñëè ýëåìåíòû êàêîãî-ëèáî åãî ñòîëáöà
èëè ñòðîêè óâåëè÷èòü â k ðàç, ò. å. îáùèé ìíîæèòåëü, èìåþùèéñÿ â
ñòðîêå èëè ñòîëáöå, ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê îïðåäåëèòåëÿ;
5) ðàâíà íóëþ, åñëè ýëåìåíòû êàêîãî-ëèáî åãî ñòîëáöà èëè ñòðîêè
ðàâíû íóëþ,
6) ðàâíà íóëþ, åñëè ýëåìåíòû äâóõ ñòðîê èëè ñòîëáöîâ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû.
2. Îïðåäåëèòåëè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó
òðåòüåãî ïîðÿäêà
 a 11

A =  a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13 

a 23  .
a 33 
49
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Îïðåäåëèòåëåì òðåòüåãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâóþùèì ìàòðèöå A, íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 –
– a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33 è îáîçíà÷àåìîå ñèìâîëîì
a 11
a 21

a 31
Èòàê,
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23(êðàòêî | A |).

a 33
a 11
A =a 21

a 31
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23 =

a 33
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 – a12a21a33.
(2)
×òîáû çàïîìíèòü, êàêèå ïðîèçâåäåíèÿ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) ñëåäóåò áðàòü ñî çíàêîì «ïëþñ», êàêèå — ñî çíàêîì «ìèíóñ», ïîëåçíî ñëåäóþùåå ïðàâèëî, íàçûâàåìîå ïðàâèëîì òðåóãîëüíèêà.
1 2 3
Ï ð è ì å ð 1. Ïî ôîðìóëå (2) èìååì 2 3 4= 15 + 24 + 24 – 27 – 20 – 16 = 0.


3 4 5
Ï ð è ì å ð 2. Î÷åâèäíî ÷òî
1 0 0
E =0 1 0 = 1.


0 0 1
Âñå ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé âòîðîãî ïîðÿäêà (ñâîéñòâà 1—6) îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ îïðåäåëèòåëåé òðåòüåãî ïîðÿäêà (ïðîâåðêà
èõ èäåò ïî ôîðìóëå (2)).
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ìèíîðîì êàêîãî ëèáî ýëåìåíòà îïðåäåëèòåëÿ íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëü, ïîëó÷åííûé èç äàííîãî âû÷åð÷èâàíèåì òîé ñòðîêè è òîãî ñòîëáöà, êîòîðûì ïðèíàäëåæèò ýòîò
ýëåìåíò.
50
Íàïðèìåð, ìèíîðîì ýëåìåíòà a12 îïðåäåëèòåëÿ |A| ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëü âòîðîãî ïîðÿäêà
a
a 23

 21
.
(3)
a 31 a 33
Ìèíîð ýëåìåíòà aik îïðåäåëèòåëÿ | A | îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç Mik.
Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aik îïðåäåëèòåëÿ |A | íàçûâàåòñÿ åãî ìèíîð, âçÿòûé ñî çíàêîì (–l)i + k.
Íàïðèìåð, àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà a12 îïðåäåëèòåëÿ |A| ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëèòåëü (3), âçÿòûé ñî çíàêîì «ìèíóñ» Àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà aik áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Aik. Ñëåäîâàòåëüíî, Aik = (–l)i + kMik.
Ò å î ð å ì à 1. Îïðåäåëèòåëü ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ
êàêîé-ëèáî ñòðîêè (ñòîëáöà) íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåîáðàçóåì ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (2).
Òàê êàê
òî
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 =
= a11 (a22a33 − a23a32) + a12(a23a31 − a21a33) + a13(a21a32 − a22a31) =
= a11A 11 + a12A 12 + a13A13,
| A | = a11A11 + a12A12 + a13A13.
(4)
Ôîðìóëà (4) íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì îïðåäåëèòåëÿ |A| ïî ýëåìåíòàì
ïåðâîé ñòðîêè. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ ðàçëîæåíèå ïî ýëåìåíòàì äðóãèõ ñòðîê è ñòîëáöîâ.
Ò å î ð å ì à 2 (òåîðåìà àííóëèðîâàíèÿ). Ñóììà ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ êàêîé-ëèáî ñòðîêè (ñòîëáöà) îïðåäåëèòåëÿ íà àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà) ðàâíà
íóëþ.
Äëÿ îïðåäåëèòåëÿ | A | ïîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî
a11A21 + a12A22 + a13A23 = 0.
Ðàñêëàäûâàÿ îïðåäåëèòåëü
a 11 a 12 a 13
~ 
| A | = a 11 a 12 a 13


a 31 a 32 a 33
(5)
ïî ýëåìåíòàì âòîðîé ñòðîêè, ñîãëàñíî ïðåäûäóùåé òåîðåìå èìååì
~
| A | = a 11 A 21 + a 12 A 22 + a 13 A 23 .
~
Òàê êàê îïðåäåëèòåëü | A | ðàâåí íóëþ (êàê ñîäåðæàùèé äâå îäèíàêîâûå
ñòðîêè), òî ïîëó÷àåì èñêîìîå ðàâåíñòâî (5).
51
3. Ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ ï-ãî ïîðÿäêà. Ñâîéñòâî îïðåäåëèòåëÿ
òðåòüåãî ïîðÿäêà, âûðàæåííîå òåîðåìîé 1 (ï. 2), äîïóñêàåò îáîáùåíèå,
êîòîðîå ìîæåò áûòü ïðèíÿòî çà îïðåäåëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ëþáîãî ïîðÿäêà.
 îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëèòåëåì ï-ãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâóþùèì êâàäðàòíîé ìàòðèöå ï-ãî ïîðÿäêà
 a 11 a 12 … a 1 n 


a
a 22 … a 2n 
,
(6)
A =  21
… … … …


 a n1 a n 2 … a nn 
ìîæíî íàçâàòü ÷èñëî, ðàâíîå ñóììå ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ
êàêîé-ëèáî ñòðîêè (ñòîëáöà) íà èõ àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ (åãî
êðàòêîå îáîçíà÷åíèå | A |).
Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëèòåëè ëþáîãî ïîðÿäêà ï îáëàäàþò âñåìè ïîëó÷åííûìè âûøå ñâîéñòâàìè (ï. 1, 2).
Èç ñâîéñòâà 1 (ï. 1) îïðåäåëèòåëÿ ñëåäóåò, ÷òî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà
A è òðàíñïîíèðîâàííàÿ ê íåé ìàòðèöà A' èìåþò ðàâíûå îïðåäåëèòåëè, ò. å.
| A | = | A' |.
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü çàäàííûé îïðåäåëèòåëü ∆.
3
2
∆ =
0

5
0 2
3 −1
4 −2
2 0
0
3 −1 4 2 3 4
4 
+ 20 4 3 = 3 ⋅ 8 − 2 ⋅ 39 = −54.
 = 3 4 −2 3

 
3
 2 0 1 5 2 1
1
Çàìåòèì, ÷òî åñëè â îïðåäåëèòåëå âñå ýëåìåíòû êàêîé-ëèáî ñòðîêè (ñòîëáöà), êðîìå îäíîãî, ðàâíû íóëþ, òî ïðè âû÷èñëåíèè îïðåäåëèòåëÿ âûãîäíî ðàçëîæèòü åãî ïî ýëåìåíòàì ýòîé ñòðîêè (ñòîëáöà).
Åñëè æå òàêîé ñòðîêè (ñòîëáöà) íåò, òî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 2 (ï. 1)
îïðåäåëèòåëÿ, åãî ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê, ÷òîáû îí èìåë òàêóþ ñòðîêó (ñòîëáåö).
Ï ð è ì å ð 2. Î÷åâèäíî, ÷òî
|E|=
52
1 0 0 … 0 0
0 1 0 … 0 0

 0 0 1 … 0 0 = 1.
… … … … … …

1
0 444
0 042…
0 3
1
4444
Ò å î ð å ì à. Åñëè A è B — êâàäðàòíûå ìàòðèöû îäíîãî ïîðÿäêà ñ îïðåäåëèòåëÿìè | À | è | B |, òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû C = AB ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ îïðåäåëèòåëåé ïåðåìíîæàåìûõ ìàòðèö, ò. å.
| C | = | A | | B |.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ñâîéñòâà ðàäè êðàòêîñòè ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àÿ
ìàòðèö âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïóñòü
a
A =  11
 a 21
a 12 
 b11
, B = 
a 22 
 b 21
b12 
.
b 22 
Òîãäà
 a b + a 12 b 21
AB =  11 11
 a 21 b11 + a 22 b 21
a 11 b12 + a 12 b 22 
,
a 21 b12 + a 22 b 22 
| AB | = (a11b11 + a12b21)(a21b12 + a22b22) − (a21b11 + a22b21)(a11b12 + a12b22) =
= a11b11a21b12 + a12b21a21b12 + a11b11a22b22 + a12b21a22b22 − a21b11a11b12 −
− a22b21a11b12 − a21b11a12b22 − a22b21a12b22 = a11a22b11b22 + a12a21b12b21 −
− a11a22b12b21 − a12a21b11b22.
(7)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
| A | | B | = (a11a22 − a12a21)(b11b22 − b12b21) = a11a22b11b22 +
+ a12a21b12b21 − a11a22b12b21 − a12a21b11b22.
(8)
Èç ñîîòíîøåíèé (7) è (8) ïîëó÷àåì:
| AB | = | A | | B |.
Ï ð è ì å ð 3. Ïóñòü
 3 −1
 1 1
A=
, B = 
.
 −1 2 
 3 1
Íàéòè | ÀÂ |.
Èìååì:
| A | = 6 – 1 = 5, | B | = 1 – 3 = –2.
Ñîãëàñíî òîëüêî ÷òî óñòàíîâëåííîé òåîðåìå
| AB | = 5⋅(− 2) = − 10.
Îòìåòèì åùå ñëåäóþùèé ëþáîïûòíûé ôàêò. Êàê èçâåñòíî, ïðîèçâåäåíèå äâóõ îòëè÷íûõ îò íóëÿ ÷èñåë íå ðàâíî íóëþ. Äëÿ ìàòðèö
53
ïîäîáíîå îáñòîÿòåëüñòâî ìîæåò è íå èìåòü ìåñòà, ò. å. ïðîèçâåäåíèå
äâóõ íåíóëåâûõ ìàòðèö ìîæåò îêàçàòüñÿ ðàâíûì íóëü-ìàòðèöå.
Ï ð è ì å ð 4. Åñëè
1 1
1 1
A=
 è B=
,
1 1
 −1 −1
òî
1 1  1 1  1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−1) 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−1)  0 0
AB = 

 =
 =
.
1 1  −1 −1 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−1) 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ (−1)  0 0
4. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì òåïåðü òàê íàçûâàåìóþ îáðàòíóþ
ìàòðèöó, ïîíÿòèå êîòîðîé ââîäèòñÿ òîëüêî äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû.
Åñëè A — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, òî îáðàòíîé äëÿ íåå ìàòðèöåé íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, îáîçíà÷àåìàÿ A –1 è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì
AA − 1 = E, A − 1A = E,
ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè ìàòðèöà A
ðàòíîé äëÿ A, òî è A áóäåò îáðàòíîé äëÿ A –1.
–1
ÿâëÿåòñÿ îá-
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè îïðåäåëèòåëü |A| ìàòðèöû (6), îáîçíà÷åííîé ÷åðåç A (ï. 3), ðàâåí íóëþ, òî ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé,
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííîé.
Ò å î ð å ì à. Ìàòðèöà










A11
A 21
A
A12
A
A 22
A
…
A 2n
A
A
…
A1 n
A
…
…
…
…
A n1 

A 
An 2 
A ,

…
A nn 
A 
(9)
ãäå Aik — àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà aik íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû
A, ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé äëÿ A.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàäè êðàòíîñòè äîêàçàòåëüñòâà îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì n = 2.
Óìíîæàÿ ìàòðèöó A íà ìàòðèöó (9), ìû ïîëó÷èì ñ èñïîëüçîâàíèåì èçâåñòíûõ ñâîéñòâ

 a11


 a 21

54
A11
A
A11
A
+ a12
+ a 22
A12
A
A12
A
a11
a 21
A22   A
 
A   A
=
A   0
+ a 22 22  
A
A   A
A21
A
A21
+ a12


  1 0
 =  0 1  = E .

A 
0
A
A
Àíàëîãè÷íî ïðîâîäèòñÿ äîêàçàòåëüñòâî è äëÿ òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà ìàòðèöà (9) ÿâëÿåòñÿ
ïåðâûì ìíîæèòåëåì, à A — âòîðûì.
Èç òîëüêî ÷òî óñòàíîâëåííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû
ïîñòðîèòü îáðàòíóþ ìàòðèöó äëÿ êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû A, íóæíî ñíà÷àëà ïîñòðîèòü òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó A', à çàòåì êàæäûé ýëåìåíò A' çàìåíèòü åãî àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì, äåëåííûì íà | A |.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ìàòðèöó, îáðàòíóþ ìàòðèöå
1 2 0


A = 3 2 1.


0 1 2 
Îïðåäåëèòåëü ýòîé ìàòðèöû
1 2 0
A =3 2 1 = −9.


0 1 2
Òàê êàê | A | ≠ 0, òî ìàòðèöà A íåâûðîæäåííàÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ åé
ìàòðèöà. Âû÷èñëÿåì àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ:
2 1

A11 = (−1)1 + 1
= 3. Àíàëîãè÷íî A12 = –6, A13 = 3, A21 = –4, A22 = 2, A23 = –1, A31 = 2,
1 2
A32 = –1, A33 = –4.
Ñîñòàâèì ìàòðèöó
 3
−
 9
4
C =
 9
 2
−
 9
6
9
2
−
9
1
9
3
− 
9
1 
.
9 
4 

9 
Ñäåëàâ â ýòîé ìàòðèöå åå ñòðîêè ñòîëáöàìè ñ òåì æå íîìåðîì, ïîëó÷èì ìàòðèöó
A −1
 1
−
 3
2
=
 3
 1
−
 3
4
9
2
−
9
1
9
2
− 
9
1 
.
9 
4 

9 
5. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò, ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ, îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïðèõîäèòñÿ îäíîâðåìåííî ðàññìàòðèâàòü äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè è ðåøàòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: çíàÿ êîîðäèíàòû òî÷êè â îäíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, íàéòè åå
55
êîîðäèíàòû â äðóãîé ñèñòåìå. Ôîðìóëû, âûðàæàþùèå êîîðäèíàòû
òî÷êè â îäíîé ñèñòåìå ÷åðåç åå êîîðäèíàòû â äðóãîé ñèñòåìå, íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò.
 ãëàâå 1 (§ 1.1, ï. 2) áûëè ïîëó÷åíû ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ äåêàðòîâûõ è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò. Ïóñòü îáå ñèñòåìû — äåêàðòîâû ïðÿìîóãîëüíûå, ïðè÷åì îäíîèìåííûå îñè ýòèõ ñèñòåì ïàðàëëåëüíû è îäèíàêîâî íàïðàâëåíû è íà êàæäîé èç îñåé âûáðàíà îäíà è òà æå ìàñøòàáíàÿ
åäèíèöà. Íà ðèñóíêå 41 èçîáðàæåíû äâå òàêèå ñèñòåìû xOy è x'O'y'. Ñèñòåìà x'O'y' ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì îñåé Ox è Oy.
Óñëîâèìñÿ íàçûâàòü êîîðäèíàòû òî÷åê â ñèñòåìå xOy ñòàðûìè, à â ñèñòåìå x'O'y' íîâûìè. Ïóñòü x0 è ó0 — êîîðäèíàòû íîâîãî íà÷àëà Î′ â ñòàðîé
ñèñòåìå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êà M íà ïëîñêîñòè (ðèñ. 41) èìååò ñòàðûå
êîîðäèíàòû x è y è íîâûå õ′ è y'. Èç ðèñóíêà 41 ïîëó÷àåì x = x' + x0.
Àíàëîãè÷íî y = y' + y0.
Òàêèì îáðàçîì, èìååì:
x = õ' + õ0, ó = ó' + ó0.
(10)
(Ýòè ôîðìóëû âåðíû è ïðè ëþáîì äðóãîì ïîëîæåíèè òî÷êè M íà
ïëîñêîñòè.)
Ôîðìóëû (10) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà îñåé.
Ðàññìîòðèì òåïåðü â ïëîñêîñòè π ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò
x1Ox2 ñ îðòàìè e1 è e 2 (ðèñ. 42). Íàðÿäó ñ ñèñòåìîé êîîðäèíàò õ1Îõ2, êîòîðóþ áóäåì íàçûâàòü ñòàðîé, ðàññìîòðèì íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x1'Ox2'
ñ îðòàìè e1′ è e 2′ . Íà÷àëà êîîðäèíàò ñòàðîé è íîâîé ñèñòåì ñîâïàäàþò.
Âîçüìåì â ïëîñêîñòè π ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M. Ïóñòü x1, x2 — åå êîîðäèíàòû â ñòàðîé ñèñòåìå è õ1', õ2' — â íîâîé. Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó ñòàðûìè è íîâûìè êîîðäèíàòàìè. Èìååì (ñì. § 2.1, ï. 8):
OM = x 1 e1 + x 2 e 2 , OM = x 1′e1′ + x 2′ e 2′ .
Ðèñ. 41
56
Ðèñ. 42
Òàêèì îáðàçîì,
x 1 e1 + x 2 e 2 = x 1′e1′ + x 2′ e 2′.
(11)
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (11) ñêàëÿðíî íà e1 . Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî e1 e1 = 1 è e1 e 2 = 0 (§ 2.2, ï. 2), ïîëó÷èì:
x 1 = x 1′ (e1 e1′) + x ′2 (e1 e 2′ ).
(12)
Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (11) ñêàëÿðíî íà e 2 , àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì:
x 2 = x 1′ (e 2 e1′) + x 2′ (e 2 e 2′ ).
(13)
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
α 11 = e1 e1′ = e1 e ′ cos(e1 ,e1′) = cos(e1 ,e1′),
α 12 = e1 e 2′ = cos(e1 ,e 2′ ),
α 21 = e 2 e1′ = cos(e 2 ,e1′),
(14)
α 22 = e 2 e 2′ = cos(e 2 ,e 2′ ).
Òîãäà ðàâåíñòâà (12) è (13) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
x1 = α11x1' + α12x2', x2 = α21 x1' + a22 x2'.
(15)
Ôîðìóëû (15) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò íà
ïëîñêîñòè, à ìàòðèöà
α
L =  11
 α 21
α 12 
—
α 22 
ìàòðèöåé ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ðàññìîòðèì ìàòðèöû-ñòîëáöû
x 
X =  1
 x 2
 x′
è X ′ =  1 .
 x 2′ 
Ñ èõ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò (15) â ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèøåì â âèäå
X = LX ′.
Óñòàíîâèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ìàòðèöû L.
57
Ïðåæäå âñåãî íàéäåì ðàçëîæåíèå âåêòîðîâ e1 è e 2 ïî íîâîìó áàçèñó
e1′, e 2′ . Òàê êàê
ïð e ′ e1 = cos(e1 ,e1′) = α 11 , ïð e ′ e1 = α 12 , ïð e ′ e 2 = α 21 , ïð e ′ e 2 = α 22 ,
2
1
1
2
òî
e1 = α 11 e1′ + α 12 e 2′,
.
e 2 = α 21 e1′ + α 22 e 2′
(16)
Ôîðìóëû (16) äàþò ðàçëîæåíèå âåêòîðîâ e1 , e 2 ïî áàçèñó e1′, e 2′ .
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå îðòîâ e1′ è e 2′ ïî áàçèñó e1 , e 2 :
e1′ = α 11 e1 + α 21 e 2 ,
e 2′ = α 12 e1 + α 22 e 2 .
(17)
Òàê êàê e1 e1 = 1, e1 e 2 = 0, e 2 e 2 = 1 (òî æå è äëÿ âåêòîðîâ e1′, e 2′ )(§2.2.
ï. 2) òî, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëû (16), ïîëó÷èì:
2
2
e1 e1 = α 11
+ α 12
= 1, e1 e 2 = α 11 α 21 + α 12 α 22 = 0, e 2 e 2 = α 221 + α 222 = 1.
Èòàê,
2
2
α 11
+ α 12
= 1, α 11 α 21 + α 12 α 22 = 0, α 221 + α 222 = 1,
(18)
Àíàëîãè÷íî èç ôîðìóë (17) ïîëó÷èì
2
2
α 11
+ α 221 = 1, α 11 α 12 + α 21 α 22 = 0, α 12
+ α 222 = 1.
(19)
Èíûìè ñëîâàìè, ìàòðèöà L îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
à) Ñóììà êâàäðàòîâ ýëåìåíòîâ ñòðîêè (èëè ñòîëáöà) ðàâíà åäèíèöå.
á) Ñóììà ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ñîîòâåòñòâóþùèå ýëåìåíòû äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà) ðàâíà íóëþ.
Ìàòðèöà, îáëàäàþùàÿ ýòèìè ñâîéñòâàìè, íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé.
Ðàññìîòðèì òðàíñïîíèðîâàííóþ ê ìàòðèöå L ìàòðèöó
α
L* =  11
 α 12
α 21 
.
α 22 
Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (18) èìååì:
α
LL* =  11
 α 21
2
2

α 11
+ α 12
=
 α 21 α 11 + α 22 α 12
58
α 12   α 11

α 22   α 12
α 21 
=
α 22 
α 11 α 21 + α 12 α 22   1 0
 =
 = E.
2
α 21
+ α 222   0 1
Àíàëîãè÷íî, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà (19), ïîëó÷èì:
L *L = E
Òàêèì îáðàçîì, ìàòðèöà L* ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé äëÿ ìàòðèöû L, ò. å.
α 21 
α
(20)
L −1 = L* =  11
.
 α 12 α 22 
Ïóñòü íîâàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ïîëó÷åíà èç ñòàðîé ñèñòåìû ïîâîðîòîì îñåé íà óãîë α.  ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 42)

π
α 11 = cos(e1′,e1′) = cos α, α 12 = cos(e1 ,e 2′ ) = cos + α  = − sinα,

2

π
α 21 = cos(e 2 ,e1′) = cos − α  = sin α, α 22 = cos(e 2 ,e 2′ ) = cosα,

2
è, ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëû (15) ïðèíèìàþò âèä:
x 1 = x 1′ cos α − x ′2 sin α,
(21)
x 2 = x 1′ sin α + x 2′ cos α.
Ôîðìóëû (21) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïîâîðîòà îñåé.
6. Ðàíã ìàòðèöû. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó
 a 11 a 12 … a 1 n 


a 21 a 22 … a 2n 

.
A=
… … … …


 a m1 a m 2 … a mn 
Âûäåëèì â íåé êàêèå-ëèáî k ñòðîê è k ñòîëáöîâ, ãäå k ≤ m, ï. Ýëåìåíòû, ñòîÿùèå íà ïåðåñå÷åíèè âûäåëåííûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ, îáðàçóþò êâàäðàòíóþ ìàòðèöó, êîòîðàÿ ïîðîæäàåò îïðåäåëèòåëü k-ão ïîðÿäêà. Ïîëó÷åííûé îïðåäåëèòåëü íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì k-ão ïîðÿäêà, ïîðîæäåííûì ìàòðèöåé À.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ðàíãîì ìàòðèöû À (îáîçíà÷åíèå r(A))íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóåò íå ðàâíûé íóëþ îïðåäåëèòåëü k-ão ïîðÿäêà, ïîðîæäåííûé ìàòðèöåé À.
Ï ð è ì å ð 1. Ìàòðèöà
1 1 1 1 


1 1 2 1 


1 1 3 2 
èìååò ðàíã 3, òàê êàê îïðåäåëèòåëü, ïîðîæäåííûé ýòîé ìàòðèöåé,
1 1 1
1 2 1 = 1 ≠ 0.
1 3 2
59
Ï ð è ì å ð 2. Ðàíã ìàòðèöû
1 1


1 1
ðàâåí 1 (îïðåäåëèòåëÿìè ïåðâîãî ïîðÿäêà ñëóæàò ñàìè ýëåìåíòû ìàòðèöû), à ðàíã ìàòðèöû
1 1 1 


1 1 2 
ðàâåí 2.
Î÷åâèäíî, ðàíã êâàäðàòíîé ìàòðèöû íå ïðåâîñõîäèò åå ïîðÿäêà; ðàâåí æå åå ïîðÿäêó â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ýòà ìàòðèöà
íåâûðîæäåííàÿ.
Ïðè îïðåäåëåíèè ðàíãà ìàòðèöû, êàê ïðàâèëî, ïðèõîäèòñÿ âû÷èñëÿòü áîëüøîå ÷èñëî îïðåäåëèòåëåé. ×òîáû îáëåã÷èòü ýòîò ïðîöåññ, èñïîëüçóþò òàê íàçûâàåìûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
ìàòðèöû:
1) ïåðåìåíà ìåñòàìè ñòðîê (ñòîëáöîâ) ìàòðèöû;
2) óìíîæåíèå âñåõ ýëåìåíòîâ êàêîé-ëèáî ñòðîêè (ñòîëáöà) ìàòðèöû íà îäíî è òî æå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ;
3) ïðèáàâëåíèå ê ýëåìåíòàì êàêîé-ëèáî ñòðîêè (ñòîëáöà) ìàòðèöû
ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà), óìíîæåííûõ íà
îäíî è òî æå ÷èñëî;
4) îòáðàñûâàíèå ñòðîê (ñòîëáöîâ) ìàòðèöû, âñå ýëåìåíòû êîòîðûõ
ðàâíû íóëþ.
Êàê ìîæíî äîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, [10]), ðàíã ìàòðèöû ïðè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ íå ìåíÿåòñÿ.
Íå èçìåíèòñÿ òàêæå ðàíã ìàòðèöû, åñëè åå òðàíñïîíèðîâàòü.
 1 2 1 1


Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ðàíã ìàòðèöû  0 1 1 1  . Óìíîæàÿ ïåðâóþ ñòðîêó íà (−1) è


 1 1 0 0
1 2 1 1 


ïðèáàâëÿÿ åå ê òðåòüåé ñòðîêå, ïîëó÷àåì  0 1 1 1  . Òåïåðü ê òðåòüåé ñòðîêå ïîëó

 0 −1 −1 −1
 1 2 1 1


÷åííîé ìàòðèöû ïðèáàâëÿåì âòîðóþ. Áóäåì èìåòü  0 1 1 1  . Îòáðàñûâàÿ çäåñü ñòðî

 0 0 0 0
 1 2 1 1
êó, ñîñòîÿùóþ èç íóëåé, ïîëó÷àåì ìàòðèöó 
 , ðàíã êîòîðîé, î÷åâèäíî, ðàâåí
 0 1 1 1
äâóì. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàíã äàííîé ìàòðèöû À òàêæå ðàâåí äâóì.
60
§ 3.3. Âûðàæåíèå âåêòîðíîãî è ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèé
âåêòîðîâ ÷åðåç êîîðäèíàòû ñîìíîæèòåëåé
1. Âûðàæåíèå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû ïåðåìíîæàåìûõ âåêòîðîâ. Ïóñòü
a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k .
Ïåðåìíîæàÿ âåêòîðíî ýòè ðàâåíñòâà è èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîëó÷èì ñóììó äåâÿòè ñëàãàåìûõ
a × b = a x b x (i × i ) + a y b x ( j × i ) + a z b x (k × i ) + a x b y (i × j ) +
+ a y b y ( j × j ) + a z b y (k × j ) + a x b z (i × k ) + a y b z ( j × k ) + a z b z (k × k ).
(1)
Èç ñâîéñòâ è îïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (§ 2.2, ï. 4) ñëåäóåò,
÷òî i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0 è i × j = −( j × i ) = k , j × k = −(k × j ) = i ,
k × i = −(i × k ) = j .
Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà (1) ïîëó÷àåì:
a × b = (a y b z − a z b y )i + (a z b x − a x b z ) j + (a x b y − a y b x )k
èëè
a y
a × b =
b y
a z a x
i −
b z b x
a z a x
j +
b z b x
a y
k .
b y
(2)
Äëÿ óäîáñòâà çàïîìèíàíèÿ ôîðìóëà (2) çàïèñûâàåòñÿ â âèäå îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà (ñì. § 3.2, (4)):
i
a × b =a x

b x
j
ay
by
k
a z .

bz 
2. Âûðàæåíèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÷åðåç êîîðäèíàòû ïåðåìíîæàåìûõ âåêòîðîâ. Ïóñòü
a = a x i + a y j + a z k , b = bx i + b y j + bz k , c = c x i + c y j + c z k .
Êàê óæå óñòàíîâëåíî,
a y
a × b =
b y
a z a x
i −
b z b x
a z a x
j +
b z b x
a y
k .
b y
Äàëåå ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå (§ 2.2, (7)) äëÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîëó÷àåì:
a y
a y a z a x a z
a
c y + x
c x −
c z ,
(a × b )c =
b y b z b x b z
b x b y
61
èëè
a x
(a × b )c =b x

c x
ay
by
cy
a z
b z.

c z
Òàêèì îáðàçîì, ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî îïðåäåëèòåëþ òðåòüåãî
ïîðÿäêà, â ñòðîêàõ êîòîðîãî ñòîÿò ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû ïåðåìíîæàåìûõ âåêòîðîâ.
§ 3.4. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
1. Ñèñòåìà äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ïåðâîé ñòåïåíè ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè õ è y:
a 11 x + a 12 y = b1 ,
.

a 21 x + a 22 y = b 2 .
(1)
 îáîçíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà aik ïåðâûé èíäåêñ îáîçíà÷àåò íîìåð
óðàâíåíèÿ, à âòîðîé èíäåêñ — íîìåð íåèçâåñòíîãî.
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ïî÷ëåííî óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå
íà à22, à âòîðîå íà —à12 è ñëîæèì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà:
(à11à22 − a21al2)x = b1a22 − b2à12
èëè
ãäå ∆ =
∆·õ = ∆(1),
a 11
a 21
a 12 (1)
b
,∆ = 1
a 22
b2
a 12
a 22
(2)
(∆ — îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû).
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì èìååì
(2)
ãäå ∆(2)
a
= 11
a 21
∆·y = ∆ ,
b1
.
b2
(3)
Îïðåäåëèòåëü ∆(1) (∆(2)) ïîëó÷àåòñÿ èç îïðåäåëèòåëÿ ∆ çàìåíîé êîýôôèöèåíòîâ à11 è à21 (èëè à12 è à22) ïðè íåèçâåñòíûõ x (èëè ó) ñâîáîäíûìè
÷ëåíàìè b1 è b2.
Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû ∆ ≠ 0, òî èç ôîðìóë (2) è (3) ïîëó÷àåì
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû
x=
∆( 1 )
∆( 2)
, y=
.
∆
∆
(4)
Ôîðìóëû (4) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Êðàìåðà (Ã. Êðàìåð (1704—
1752) — øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê).
62
 ñëó÷àå, êîãäà ∆ = 0, ñèñòåìà (1) ìîæåò ëèáî âîâñå íå èìåòü ðåøåíèé (áûòü íåñîâìåñòíîé), êàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå ñèñòåìû
x + y = 0,

x + y = 1.
(óðàâíåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó), ëèáî èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé, êîãäà îòäåëüíûå óðàâíåíèÿ
ñèñòåìû íå ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó. Òàê, ñèñòåìà
x + y = 3,

2 x + 2 y = 6.
èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Çàäàâàÿ, íàïðèìåð, ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ó, ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå x = 3 − y.
2. Ñèñòåìà òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b1,

(5)
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 ,.
a x + a x + a x = b .
32 2
33 3
3
 31 1
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû
a 11
∆ = a 21
a 12
a 22
a 13
a 23
a 31
a 32
a 33
îòëè÷åí îò íóëÿ.
 ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå íàõîäÿò ïî ïðàâèëó Êðàìåðà.
∆( i )
(6)
(i = 1, 2, 3),
∆
ãäå ∆(i) — îïðåäåëèòåëü, ïîëó÷åííûé èç îïðåäåëèòåëÿ ∆ çàìåíîé åãî i
ñòîëáöà ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
xi =
Ï ð è ì å ð. Ñèñòåìà
 x − 2 y + 3z = 2,

 4x − y + 5z = 15,
6x − 8 y + 7z = 9.

èìååò îïðåäåëèòåëü ∆ = −49 ≠ 0 è ïîýòîìó èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæíî
(1)
(2)
(3)
íàéòè ïî ôîðìóëàì (6). Ïîñêîëüêó ∆ = −147, ∆ = −98, ∆ = −49, òî õ = 3, ó = 2, z = 1.
63
 ñëó÷àå, êîãäà ∆ = 0, ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) ìîæåò ëèáî âîâñå íå èìåòü ðåøåíèé
(áûòü íåñîâìåñòíîé), êàê, íàïðèìåð, ñèñòåìà
 x + y + z = 0,

 4x + 4 y + 4z = 4,
9x + 9 y + 9z = 27

(óðàâíåíèÿ ýòîé ñèñòåìû ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó), ëèáî èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî
ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé, êîãäà îòäåëüíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû íå ïðîòèâîðå÷àò äðóã äðóãó.
Íàïðèìåð, ñèñòåìà óðàâíåíèé
 x + y + z = 3,

2 x + 2 y + 2 z = 6,
 4x + 4 y + 4z = 12

èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé x = u, y = v, z = 3 − u − v, ãäå u è v — ïðîèçâîëüíûå
÷èñëà.
3. Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü è ìàòðè÷íîå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîé
ñòåïåíè. Ïîêàæåì, êàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì èñïîëüçîâàòü ìàòðè÷íûé
àïïàðàò äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Ïóñòü äàíà ñèñòåìà èç n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè
x1, x2, ..., xn:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = b1 ,
a x + a x + … + a x = b ,
 21 1
22 2
2n n
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

a n1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a nn x n = b n .
(7)
×èñëà aik íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ñèñòåìû (7), à ÷èñëà b1, b2, , bï —
ñâîáîäíûìè ÷ëåíàìè. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (7) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, åñëè b1 = b2 = = bn = 0. Ìàòðèöà
 a 11 a 12 … a 1 n 


a
a 22 … a 2n 
A =  21
… … … …


 a n1 a n 2 … a nn 
íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñèñòåìû (7), à åå îïðåäåëèòåëü | A | — îïðåäåëèòåëåì ñèñòåìû (7).
Ðåøåíèåì ñèñòåìû (7) íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ÷èñåë õ1 = λ1, õ2 =
= λ2, , õn = λn, êîòîðûå îáðàùàþò âñå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû â òîæäåñòâà.
Ñèñòåìà, èìåþùàÿ õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå, íàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé.
Ñèñòåìà, íå èìåþùàÿ ðåøåíèé, íàçûâàåòñÿ íåñîâìåñòíîé.
64
Ïóñòü îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (7) îòëè÷åí îò íóëÿ.
Îáîçíà÷èì ìàòðèöó-ñòîëáåö èç íåèçâåñòíûõ ÷åðåç X è ìàòðèöó-ñòîëáåö èç ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ÷åðåç B:
 x1 
 b1 
 
 
b
x
X =  2 , B =  2 .
 M 
 M
 
 
xn
 bn 
Ñîãëàñíî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ ìàòðèö èìååì:
 a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n 


a x + a 22 x 2 + … + a 2n x n 
.
AX =  21 1
 .....................


 a n1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a nn x n 
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ðàâåíñòâà ìàòðèö, äàííóþ ñèñòåìó (7) ìîæíî
çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
AX = B.
(8)
Ðàâåíñòâî (8) íàçûâàåòñÿ ìàòðè÷íûì óðàâíåíèåì (çäåñü â ðîëè íåèçâåñòíîãî âûñòóïàåò ìàòðèöà X ). Òàê êàê ïî óñëîâèþ | A | ≠ 0, òî äëÿ ìàò–1
ðèöû A ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà A . Óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíå–1
íèÿ (8) ñëåâà íà A :
A −1(AX) = A −1B.
Èñïîëüçóÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ìàòðèö (§ 3.1, ï. 5),
ìîæíî íàïèñàòü
(A−1A)X− = A−1B.
Íî òàê êàê A–1A = E (§ 3.2, ï. 4) è EX = X (§ 3.1, ï. 5), òî ïîëó÷àåì ðåøåíèå
ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ â âèäå
X = A−1B.
(9)
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ìàòðè÷íûì ñïîñîáîì ñèñòåìó óðàâíåíèé:
= 10,
 x1 + 2 x 2

+
+
= 23,
x
x
x
3
2
 1
2
3

+
=
x
x
2
13.
2
3

 ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòà ñèñòåìà çàïèøåòñÿ â âèäå AX = B. Çäåñü
1 2 0
 x1 
 10 


 
 
A =  3 2 1  , X =  x 2  , B =  23 .


 
 
0 1 2 
 x3 
 13 
Ìàòðèöà A–1 áûëà íàéäåíà ðàíåå (ñì. § 3.2, ï. 4).
65
Òåïåðü ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (9) èìååì:
 1
−
 3
2
X =
 3
 1
−
 3
4
9
2
−
9
1
9
2
− 
9
1 
9 
4 

9 
 10   4
   
 23 =  3  .
   
 13   5 
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ðàâåíñòâà ìàòðèö, ïîëó÷èì:
x1 = 4, x2 = 3, x3 = 5.
Heïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî ýòè çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ óäîâëåòâîðÿþò äàííîé ñèñòåìå.
4. Ôîðìóëû Êðàìåðà â ñëó÷àå ñèñòåìû n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè.
Ðåøåíèå ñèñòåìû (7) n ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè ïðè
| A| ≠ 0 óäîáíî çàïèñûâàòü è âû÷èñëÿòü ñ ïîìîùüþ îïðåäåëèòåëåé.
Èç ðàâåíñòâà (9) ñîãëàñíî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ ìàòðèö èìååì:
A
A
 A11

b1 + 21 b 2 + … + n1 b n 

A
A
 A

A 22
An 2 
 A12
bn 
b +
b2 + … +
X = A −1 B =  A 1
.
A
A


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


A 2n
A nn 
 A1 n
 A b1 + A b 2 + … + A b n 


Îòñþäà
xi =
1
(b1 A1i + b 2 A 2i + … + b n A ni ), i = 1,2, …,n,
A
èëè ñîãëàñíî òåîðåìå 1 èç § 3.2 (ï. 2) (ýòà òåîðåìà îñòàåòñÿ âåðíîé è äëÿ
îïðåäåëèòåëÿ ï-ãî ïîðÿäêà; § 3.2, ï. 3)
 a 11 a 12 … a 1i −1 b1 a 1i +1 … a 1 n 
1  a 21 a 22 … a 2i −1 b 2 a 2i +1 … a 2n 
xi =

, i = 1, 2, …, n.
.....................
A


a n1 a n 2 … a ni −1 b n a ni +1 … a nn 
Çàïèøåì êîðî÷å:
∆( i )
xi =
, i = 1,2, …, n.
∆
Çäåñü ∆ — îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (7), à ∆(i) — îïðåäåëèòåëü, ïîëó÷åííûé
èç îïðåäåëèòåëÿ ∆ çàìåíîé åãî i-ão ñòîëáöà ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
66
Èç ñàìîãî ñïîñîáà ðåøåíèÿ ÿñíî, ÷òî ñèñòåìà (7) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
 x + y = 1,
Ï ð è ì å ð. Ñèñòåìà 
èìååò îïðåäåëèòåëü
x − y = 2
1 1 
 = −2 ≠ 0
∆ =
1 −1
è ïîòîìó èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëàì
x=
∆(1 )
,
∆
y=
∆( 2 )
,
∆
ãäå
1 1 
 = −1 − 2 = −3,
∆(1 ) =
2 −1
ò. å.
1 1

∆( 2 ) =
= 2 − 1 = 1,
1 2
−3 3
1
1
x=
= , y=
=− .
−2 2
−2
2
5. Ñèñòåìà ò ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ï íåèçâåñòíûìè. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ò ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +… + a 1 k x k + … + a 1 n x n = c1 ,
a x + a x +… + a x +… + a x = c ,
2n n
2
22 2
2k k
 21 1
...................................

a i 1 x 1 + a i 2 x 2 +… + a ik x k + … + a in x n = ci ,
...................................

a m1 x 1 + a m 2 x 2 + … + a mk x k +… + a mn x n = cm .
(10)
Çäåñü ïåðâûé èíäåêñ â îáîçíà÷åíèè êîýôôèöèåíòà àik îáîçíà÷àåò
íîìåð óðàâíåíèÿ, à âòîðîé — íîìåð íåèçâåñòíîãî.
Ñèñòåìà (10), èìåþùàÿ õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå, íàçûâàåòñÿ ñîâìåñòíîé è íåñîâìåñòíîé, åñëè îíà íå èìååò ðåøåíèé.
Ñîâìåñòíàÿ ñèñòåìà (10) íàçûâàåòñÿ îïðåäåëåííîé, åñëè îíà èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, è íåîïðåäåëåííîé, åñëè îíà èìååò áåñ÷èñëåííîå
ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Äâå ñîâìåñòíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè,
åñëè êàæäîå ðåøåíèå ïåðâîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì âòîðîé è, îáðàòíî, êàæäîå ðåøåíèå âòîðîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîé.
Ìîæíî äîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, [10]), ÷òî ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâîäÿò ñèñòåìó óðàâíåíèé â ðàâíîñèëüíóþ åé:
67
1) ïåðåìåíà ìåñòàìè äâóõ ëþáûõ óðàâíåíèé;
2) óìíîæåíèå îáåèõ ÷àñòåé ëþáîãî èç óðàâíåíèé íà ïðîèçâîëüíîå
÷èñëî, îòëè÷íîå îò íóëÿ;
3) ïðèáàâëåíèå ê îáåèì ÷àñòÿì îäíîãî èç óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòåé äðóãîãî óðàâíåíèÿ, óìíîæåííûõ íà îäíî è òî æå
÷èñëî.
Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïî àíàëîãèè ñ ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ìàòðèö, áóäåì òàêæå íàçûâàòü ýëåìåíòàðíûìè.
Âîçìîæíî, ÷òî ïîñëå íåñêîëüêèõ ïðåîáðàçîâàíèé â ñèñòåìå ïîÿâèòñÿ óðàâíåíèå, âñå êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî è ñâîáîäíûé ÷ëåí ðàâíû íóëþ. Ïîñêîëüêó òàêîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò ëþáûå çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ, òî îíî ìîæåò áûòü îòáðîøåíî.  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ äàííîé è ñîäåðæàùóþ íà îäíî óðàâíåíèå
ìåíüøå, ÷åì äàííàÿ ñèñòåìà.
Åñëè â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé â
ñèñòåìå ïîÿâèòñÿ óðàâíåíèå, â êîòîðîì âñå êîýôôèöèåíòû ëåâîé ÷àñòè ðàâíû íóëþ, à ñâîáîäíûé ÷ëåí îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ýòî óêàçûâàåò íà
òî, ÷òî ýòî óðàâíåíèå íå óäîâëåòâîðÿåòñÿ íèêàêèìè çíà÷åíèÿìè íåèçâåñòíûõ è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ïîýòîìó
íåñîâìåñòíîé ÿâëÿåòñÿ è ïåðâîíà÷àëüíàÿ ñèñòåìà.
6. Ìåòîä Ãàóññà ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ). Ìåòîä Ãàóññà* çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Äîïóñòèì, ÷òî â ñèñòåìå (10) êîýôôèöèåíò ïðè ïåðâîì íåèçâåñòíîì** a11 ≠ 0.
Èñêëþ÷èì ñíà÷àëà íåèçâåñòíîå x1 èç âñåõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (10),
êðîìå ïåðâîãî. Äëÿ ýòîãî âíà÷àëå, ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íà à11, ïîëó÷èì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ äàííîé,
a 12
a 1k
a 1n
c1

x 1 + a x 2 + … + a x k + … + a x n = a ,
11
11
11
11

a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2k x k + … + a 2n x n = c 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a x + a x + … + a x + … + a x = c ,
i2 2
in n
i
ik k
 i1 1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

a x + a x + … + a x + … + a x = c .
m
m2 2
mn n
mk k
 m1 1
(11)
Óìíîæèì òåïåðü ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (11) íà à21 è âû÷òåì èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ. Çàòåì óìíîæèì ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (11) íà à31 è
*
Ê. Ãàóññ (1777—1855) — íåìåöêèé ìàòåìàòèê.
Ecëè a11 = 0, òî âñåãäà ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü íåèçâåñòíûå òàê, ÷òîáû êîýôôèöèåíò
ïðè ïåðâîì íåèçâåñòíîì ñòàë îòëè÷íûì îò íóëÿ.
**
68
âû÷òåì èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ è ò. ä.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì íîâóþ ñèñòåìó, òàêæå ðàâíîñèëüíóþ äàííîé.
′ x 2 + … + a 1′k x k + … + a 1′n x n = c1′ ,
x 1 + a 12

a 22
′ x 2 + … + a 2′ k x k + … + a 2′ n x n = c 2′ ,

...............................


a i′2 x 2 + … + a ik′ x k + … + a in′ x n = ci′ ,


...............................

a m′ 2 x 2 + … + a mk
′ x k + … + a mn
′ x n = cm′ .

(12)
Çäåñü
a 1′k =
a 1k
a 11
, a ik′ = a ik −
c1′ =
c1
a 11
a 1k
a 11
a i 1 (i = 2, 3, …, m; k = 2, 3, …, n ),
, ci′ = ci −
c1
a 11
a i 1 (i = 2, 3, …, m)
(13)
(14)
Ðàçäåëèâ òåïåðü âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (12) íà êîýôôèöèåíò a 22
′
(ïðåäïîëîæèì, ÷òî îí îòëè÷åí îò íóëÿ), óìíîæèì âòîðîå óðàâíåíèå
ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ïîñëåäîâàòåëüíî íà a ′32 , …, a i′2 , …, a m′ 2 è âû÷òåì
ïîî÷åðåäíî èç ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, êðîìå ïåðâîãî è
âòîðîãî.
Åñëè ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïðèäåì ê ñèñòåìå, ñîäåðæàùåé óðàâíåíèå, â êîòîðîì âñå êîýôôèöèåíòû ëåâîé ÷àñòè ðàâíû íóëþ, à ñâîáîäíûé ÷ëåí îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ýòà ñèñòåìà íåñîâìåñòíà.  òîì ñëó÷àå, êîãäà ñèñòåìà ñîâìåñòíà, ïðèäåì ëèáî ê ñèñòåìå
x 1 + b12 x 2 + … + b1 k x k + … + b1 n x n = B1 ,

x 2 + … + b 2k x k + … + b 2n x n = B 2 ,


............................


x p + … + b pn x n = B p .
(15)
(ïðè÷åì p < n), ëèáî ê ñèñòåìå
x 1 + b12 x 2 + … + b1 k x k + … + b1 n x n = B1 ,

x 2 + … + b 2k x k + … + b 2n x n = B 2 ,

.
...........................


x k + … + b kn x n = B k ,


..................

x n = Bn.

(16)
69
Ñèñòåìà âèäà (15) íàçûâàåòñÿ ñòóïåí÷àòîé, à ñèñòåìà âèäà (16) —
òðåóãîëüíîé.
 ñëó÷àå òðåóãîëüíîé ñèñòåìû èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ èìååì õn= Âï;
çàòåì, ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå õï â ïðåäûäóùåå óðàâíåíèå, íàõîäèì õn − 1 è ò.
ä., ò. å. â ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (10) ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé è îïðåäåëåííîé.
 ñëó÷àå ñòóïåí÷àòîé ñèñòåìû (15), ïåðåíîñÿ â êàæäîì èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (15) ÷ëåíû ñ íåèçâåñòíûìè õð + 1, , õï â ïðàâóþ ÷àñòü, ïîëó÷èì ñèñòåìó âèäà
x 1 + b12 x 2 + … + b1 p x p = B1 − b1, p +1 x p +1 − … − b1 n x n ,

x 2 + … + b 2 p x p = B 2 − b 2, p +1 x p +1 − … − b 2n x n ,


......................................


x p = B p − b p , p +1 x p +1 − … − b pn x n .

Ïðèäàâàÿ íåèçâåñòíûì õð + 1, , õn, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ñâîáîäíûìè,
ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ αð + 1, αð + 2, , αï, ïîëó÷èì òðåóãîëüíóþ ñèñòåìó, èç êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíî íàéäåì âñå îñòàëüíûå íåèçâåñòíûå õð,
õð − 1, , õ1. Òàê êàê ÷èñëà αð + 1, αð + 2, , αn, ìîãóò èìåòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ, òî èñõîäíàÿ ñèñòåìà (10) èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, ò. å. ÿâëÿåòñÿ ñîâìåñòíîé è íåîïðåäåëåííîé.
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê ðåøåíèþ ïðèìåðîâ ïî ìåòîäó Ãàóññà, çàìåòèì, ÷òî íåò íåîáõîäèìîñòè âûïèñûâàòü ñèñòåìû (10), (11), (12), (15) è
(16). Âñå ïðåîáðàçîâàíèÿ ìîæíî ïðîâîäèòü íàä ìàòðèöàìè, ñîñòàâëåííûìè èç êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ ñèñòåì.
Ñèñòåìå (10) ñîîòâåòñòâóþò äâå ìàòðèöû À è Â.
 a 11 a 12 … a 1 k … a 1 n 


 a 21 a 22 … a 2k … a 2n 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 
A =
,
 a i 1 a i 2 … a ik … a in 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 


 a m1 a m 2 … a mk … a mn 
 a 11 a 12 … a 1 k … a 1 n c1 


 a 21 a 22 … a 2k … a 2n c 2 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
B =
.
 a i 1 a i 2 … a ik … a in ci 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 


 a m1 a m 2 … a mk … a mn cm 
70
Ìàòðèöà À íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñèñòåìû, ìàòðèöà  — ðàñøèðåííîé
ìàòðèöåé è îòëè÷àåòñÿ îò ìàòðèöû ñèñòåìû ñòîëáöîì, ñîñòîÿùèì èç
ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèé ñèñòåìû. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû (10) ìåòîäîì Ãàóññà ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèñòåìû çàìåíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, âûïîëíÿåìûìè
íàä åå ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé Â.
2 x1 + x 2 − x 3 = 1,

Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé 3x1 + 2 x 2 − 2 x 3 = 1,
 x − x + 2 x = 5.
2
3
 1
Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó è âûïîëíèì íàä íåé ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ,
óêàçàííûå â ìåòîäå Ãàóññà:
1 −1 1
2
 1 0,5 −0,5 0,5
 1 0,5 −0,5 0,5






3
2
−
2
1
→
3
2
−
2
1
→




 0 0,5 −0,5 −0,5 →






2
5
 1 −1 2 5
 1 −1
 0 −1,5 2,5 4,5
 1 0,5 −0,5 0,5
 1 0,5 −0,5 0,5




→ 0
1
−1 −1 →  0
1
−1 −1 .




0
1 3
 0 −1,5 2,5 4,5
0
Çäåñü ïîñëåäîâàòåëüíî ïðîèçâåëè ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ: 1) óìíîæèëè ïåðâóþ
1
; 2) âû÷ëè èç òðåòüåé ñòðîêè ïåðâóþ è èç âòîðîé ïåðâóþ, óìíîæåííóþ íà 3;
2
ñòðîêó íà
3) óìíîæèëè òðåòüþ ñòðîêó íà 2; 4) âû÷ëè èç òðåòüåé ñòðîêè âòîðóþ, óìíîæåííóþ íà −1,5.
Ïîñëåäíåé ìàòðèöå ñîîòâåòñòâóåò òðåóãîëüíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé
 x1 + 0,5x 2 − 0,5x 3 = 0,5,

x 2 − x 3 = −1,


x 3 = 3.

(17)
ðàâíîñèëüíàÿ äàííîé. Èç ñèñòåìû (17) ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì:
x3 = 3, õ2 = −1 + x3 = −1 + 3 = 2, õ1 = 0,5 − 0,5x2 + 0,5x3 = 0,5 − 1 + 1,5 = 1.
 x1 + 2 x 2 + 4x 3 − x 4 − 3x 5 = 7,

Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé 2 x1
+ x3
+ x 5 = 4,

+
−
2
x
x
x 5 = 6.
2
4

Èìååì:
4 −1 −3
7
 1 2 4 −1 −3 7
1 2




1 4 →  0 −4 −7 2
7 −10 →
2 0 1 0




1 0 2 −1
6
 0 1 0 2 −1 6
0
4 −1 −3
7
4 −1 −3 7
1 2
1 2




→ 0
1 0 2 −1
6 →  0 1 0 2 −1 6




7 −10
 0 −4 −7 2
 0 0 −7 10 3 14
71
(óìíîæèëè ïåðâóþ ñòðîêó ïà 2 è âû÷ëè èç âòîðîé, ïåðåñòàâèëè âòîðóþ è òðåòüþ ñòðîêè, ê
òðåòüåé ñòðîêå ïðèáàâèëè âòîðóþ, óìíîæåííóþ íà 4).
Ïîñëåäíåé ìàòðèöå ñîîòâåòñòâóåò ñòóïåí÷àòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé
 x1 + 2 x 2 + 4x 3 − x 4 − 3x 5 = 7,

x2
+ 2 x 4 − x 5 = 6,


x
−
7
+
10x 4 + 3x 5 = 14
3

ðàâíîñèëüíàÿ äàííîé. Ïåðåïèøåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó â âèäå
+ x 4 + 3x 5 ,
 x1 + 2 x 2 + 4 x 3 = 7

x2
= 6 − 2x4 + x5 ,


− 7x 3 = 14 − 10x 4 − 3x 5 ,

îòêóäà
10
3

 x 3 = −2 + 7 x 4 + 7 x 5,

 x 2 = 6 − 2 x 4 + x 5,

5
5
x = 3 − x 4 − x 5 .
7
7
 1
Ïðèäàâàÿ x4 è õ5 ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ x1, õ2 è x3.
Íåèçâåñòíûå x4 è x5 â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ ñâîáîäíûìè íåèçâåñòíûìè.
Èòàê, äàííàÿ ñèñòåìà ñîâìåñòíàÿ è íåîïðåäåëåííàÿ. Åå ðåøåíèÿìè, íàïðèìåð, áóäóò x5 = 0, x4 = 0, x3 = −2, õ2 = 6, õ1 = 3 èëè x5 = 7, x4 = 7, x3 = 11, x2 = −1 x1 = −7 è ò. ä.
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
2 x1 + x 2 + x 3 − x 4 = 8,
3 + 2 + 5 = 12,
x3
x4
 x1

−
+
=
4,
x
x
x
2
3
 1
8x + x + 5x + 3x = 10.
3
4
2
 1
Èìååì
1
2

3
0

 1 −1

8 1
1

1
1 1 −1


1 −1 8
2
1
4



2 2 2
3


2 5 12 
5 12  →  0 −
→ 3 0 2

2
1 0 4
 1 −1 1
3
0 4




0 − 2
5 3 10
3 10
8 1 5

 0 −3
1 −1

4
2 2

1 13
0
→
2 2
1
1

0
2
2

1
7 −22 
1
1
−1


1
1
1
1
−1
−1




4
1
4
4
1
1
2
2
2


2
2
2
2
2
2




13
1
1
13
1
13
0
0
1 −
−

0 →  0 1 −
−
0
→
 → 0 1 − 3 − 3
3
3



3
3
3
1
1


0
0
0
−6
0
−6
0 0
0 0
0
0 − 2




2
2


0
0
0 −22 
−6 −22 
0 0
0 0
1
7 −22 
 0 −3
72
,
îòêóäà
1
1
1

 x1 + 2 x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = 4,

1
13

x 2 − x 3 − x 4 = 0,

3
3

− 6x 4 = 0,

0 ⋅ x + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x + 0 ⋅ x = −22.
2
3
4
1

Òàê êàê ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû ïðîòèâîðå÷èâî, òî îíà ÿâëÿåòñÿ íåñîâìåñòíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, íåñîâìåñòíà è ðàâíîñèëüíàÿ åé èñõîäíàÿ ñèñòåìà.
7. Êðèòåðèé ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì Ãàóññà îòâåò íà âîïðîñ, ñîâìåñòíà èëè íåñîâìåñòíà äàííàÿ ñèñòåìà, ìîæåò áûòü äàí ëèøü â êîíöå âû÷èñëåíèé
(ñì. ï. 6). Îäíàêî ÷àñòî áûâàåò âàæíî ðåøèòü âîïðîñ î ñîâìåñòíîñòè
èëè íåñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû âèäà (10), íå íàõîäÿ ñàìèõ ðåøåíèé. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàåò òåîðåìà Êðîíåêåðà — Êàïåëëè. (Ë. Êðîíåêåð
(1823—1891) — íåìåöêèé ìàòåìàòèê; À. Êàïåëëè (1855—1910) — èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê.)
Ò å î ð å ì à Ê ð î í å ê å ð à — Ê à ï å ë ë è. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (10) áûëà ñîâìåñòíîé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ðàíã ìàòðèöû ñèñòåìû (10) áûë ðàâåí ðàíãó åå ðàñøèðåííîé
ìàòðèöû, ò. å. ÷òîáû r(À) = r(Â). Ïðè ýòîì, åñëè r(Â) = r(À) = ï, òî ñèñòåìà (10) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, à åñëè r(Â) = r(A) < n, òî — áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Ï ð è ì å ð û. 1. Êàê ñëåäóåò èç ðåøåíèÿ ñèñòåìû (ï. 4)
 x + y = 1,

x − y = 2
r(À) = r(Â) = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, îíà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
2.  ñëó÷àå ñèñòåìû
 x + y = 0,

x + y = 1
r(À) = 1, r(B) = 2, ò. å. r(Â) > r(À) è, çíà÷èò, ýòà ñèñòåìà íåñîâìåñòíà (ñì. òàêæå ï. 1).
3. Äëÿ ñèñòåìû
 x + y = 3,

2 x + 2 y = 6
r(À) = r(Â) = 1 < 2 è, çíà÷èò, ýòà ñèñòåìà èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé (ñì. òàêæå ï. 1).
73
8. Ëèíåéíàÿ îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ï óðàâíåíèé ñ ï íåèçâåñòíûìè. Êàê
óæå îòìå÷àëîñü (ï. 3), ñèñòåìà óðàâíåíèé âèäà
a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 n x n = 0,
a x + a x + … + a x = 0,
 21 1
22 2
2n n
(18)

........................
a n1 x 1 + a n 2 x 2 + … + a nn x n = 0.
íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé. Ýòà ñèñòåìà ñîâìåñòíà, òàê êàê îíà èìååò íóëåâîå ðåøåíèå x1 = 0, x2 = 0, , õï = 0. Ýòî ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíûì ðåøåíèåì îäíîðîäíîé ñèñòåìû.
 ñëåäóþùåé òåîðåìå äàíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà (18) èìååò òàêæå ðåøåíèå, îòëè÷íîå îò íóëåâîãî (åãî íàçûâàþò íåòðèâèàëüíûì
ðåøåíèåì îäíîðîäíîé ñèñòåìû (18)).
Ò å î ð å ì à. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà (18) èìåëà íåíóëåâîå ðåøåíèå,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åå îïðåäåëèòåëü ∆ áûë ðàâåí íóëþ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ñèñòåìà (18) èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå. Òîãäà ∆ = 0.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò. å. åñëè ∆ ≠ 0, ê ñèñòåìå (18) ïðèìåíèìû ôîðìóëû Êðàìåðà è, çíà÷èò, ñèñòåìà (18) èìååò åäèíñòâåííîå
íóëåâîå ðåøåíèå, ò. ê. âñå îïðåäåëèòåëè ∆(i) (i = 1, 2, , ï), êàê ñîäåðæàùèå ñòîëáåö èç íóëåé, ðàâíû íóëþ.
Åñëè ∆ = 0, òî ìàòðèöà À ñèñòåìû (18) èìååò ðàíã r(À) < ï, çíà÷èò, ñîãëàñíî òåîðåìå Êðîíåêåðà — Êàïåëëè ýòà ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íîå
ìíîæåñòâî ðåøåíèé, ò. å. ñóùåñòâóåò íåíóëåâîå ðåøåíèå.
9. Íàõîæäåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ìåòîäîì Ãàóññà. Óêàæåì åùå îäèí,
ïðàêòè÷åñêè áîëåå óäîáíûé, ÷åì èçëîæåííûé ðàíåå (ñì. § 3.2, ï. 4), ñïîñîá
âû÷èñëåíèÿ ìàòðèöû À−1, îáðàòíîé äàííîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöå À.
Âûïèøèì ðÿäîì ìàòðèöó À è åäèíè÷íóþ ìàòðèöó Å è íàä èõ ñòðîêàìè áóäåì îäíîâðåìåííî ïðîèçâîäèòü ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
äî òåõ ïîð, ïîêà ìàòðèöà À íå ïðåâðàòèòñÿ â åäèíè÷íóþ. Ïðè ýòîì èñõîäíàÿ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïðåâðàòèòñÿ â À−1.
 2 1
−1
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ìàòðèöó À , îáðàòíóþ ìàòðèöå A = 
.
 4 3
Âûïèøåì ðÿäîì ñ À åäèíè÷íóþ ìàòðèöó Å è íàä ñòðîêàìè ïîëó÷åííîé «îáúåäèíåííîé (ïðÿìîóãîëüíîé) ìàòðèöû» áóäåì ïðîèçâîäèòü ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ: ñíà÷àëà îòíèìåì
 1
îò âòîðîé ñòðîêè óòðîåííóþ ïåðâóþ, çàòåì óìíîæèì âòîðóþ ñòðîêó íà  −  , âû÷òåì óäâîåí 2
íóþ âòîðóþ ñòðîêó èç ïåðâîé è, íàêîíåö, ïåðåñòàâèì ñòðîêè. Ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì
2 1 1
 2 1 1 0
 2 1 1 0
3

→
→
1 0
 4 3 0 1
 −2 0 −3 1 

2
74
 0 1 −2
0 
3
1 → 
− 
1 0

2
2
1 0 3
1 
1 → 
− 
0 1 2
−2

2
1
− 
2 .
1 
Îòñþäà
 3
A −1 =  2

 −2
1
− 
2 .
1
1 2 0


Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ìàòðèöó À−1, îáðàòíóþ ìàòðèöå A =  3 2 1  .


0 1 2 
Èìååì:


 1 2 0 1 0 0
 1 2 0 1 0 0
 1 2 0 1 0 0






 3 2 1 0 1 0 →  0 −4 1 −3 1 0 →  0 −4 1 −3 1 0 →
1
1
 0 1 2 0 0 1
0

1 2 0 0 1
1 0 0
0





2
2

1




−





3
0 0
2 0 1 0
0
1 0 0
1 2 0 1
1
2
2 1
2
9
1



−
→ 0 1 0
0 −3 1 −
→ 0 1 0
→ 0 −



3
3
9 9
2
2
1
1
0 0 1 1
0
1
1

1
2
1 0 0
0

0
0
−





2
2

2
3
4
9
2
−
9
1
9
2
− 
9
1
9
4

9
Çíà÷èò,
A −1
 1
−
 3
2
=
 3
 1
−
 3
4
9
2
−
9
1
9
2
− 
9
1
9
4

9
÷òî è áûëî íàéäåíî äðóãèì ñïîñîáîì â §3.2 (ï. 4).
Ãëàâà 4. ÏËÎÑÊÎÑÒÜ È ÏÐßÌÀß Â ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ
§ 4.1. Ïëîñêîñòü
1. Ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå óðàâíåíèÿ ìåæäó êîîðäèíàòàìè â
ïðîñòðàíñòâå. Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèå f(õ, ó) = 0, âîîáùå ãîâîðÿ, îïðåäåëÿåò íà ïëîñêîñòè íåêîòîðóþ ëèíèþ, ò. å. ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê
ïëîñêîñòè õOó, êîîðäèíàòû êîòîðûõ õ è ó óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óðàâíåíèþ. Ïîäîáíî ýòîìó óðàâíåíèå
f(x, ó, z) = 0,
(1)
âîîáùå ãîâîðÿ, îïðåäåëÿåò â ïðîñòðàíñòâå Oxyz íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü, ò.å. ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà Oxyz, êîîðäèíàòû
75
êîòîðûõ õ, ó è z óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1). Óðàâíåíèå (1) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ýòîé ïîâåðõíîñòè, à õ, ó, z — åå òåêóùèìè êîîðäèíàòàìè.
Ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé, åñëè îíà ìîæåò áûòü îáðàçîâàíà ïåðåìåùåíèåì ïðÿìîé ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå âäîëü íåêîòîðîé ëèíèè L. Ýòà ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùåé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, à âñåâîçìîæíûå ïîëîæåíèÿ äâèæóùåéñÿ ïðÿìîé — åå îáðàçóþùèìè.
2. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó ïåðïåíäèêóëÿðíî äàííîìó âåêòîðó. Ïóñòü äàíà òî÷êà M0(x0; ó0; z0) è íåíóëåâîé âåêòîð n ( A;B;C ). Òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç òî÷êó M0 ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó n (åãî íàçûâàþò íîðìàëüíûì
âåêòîðîì ýòîé ïëîñêîñòè).
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M (x; y; z) ýòîé ïëîñêîñòè. Òàê êàê
âåêòîð M 0 M ( x − x 0 ; y − y 0 ; z − z 0 ) ëåæèò íà ïëîñêîñòè, òî îí ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó n (ðèñ. 43).
Ñëåäîâàòåëüíî, èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ:
nM 0M = 0
(2)
A(õ − õ0) + B(ó − y0) + C(z − z0) = 0.
(3)
èëè â êîîðäèíàòíîé ôîðìå:
Óðàâíåíèå (3) è åñòü èñêîìîå.
3. Îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè. Ââåäÿ îáîçíà÷åíèå D = −(Ax0 + By0 +
+ Cz0), óðàâíåíèå (3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
Àõ + Âó + Ñz + D = 0.
(4)
Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäàÿ ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå ìîæåò áûòü çàäàíà
óðàâíåíèåì (4), ò. å. óðàâíåíèåì ïåðâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî òåêóùèõ êîîðäèíàò.
Îáðàòíî: ïóñòü â óðàâíåíèè (4) ïî
êðàéíåé ìåðå îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ
A, B, Ñ íå ðàâåí íóëþ. Ïðåäïîëîæèì
äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî C ≠ 0. Òîãäà
óðàâíåíèå (4) ìîæíî ïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
D

A ( x − 0) + B( y − 0) + Ñ  z +  = 0.

C
Ðèñ. 43
76
(5)
Óðàâíåíèå (5) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ
(4). Ñðàâíèâàÿ óðàâíåíèå (5) ñ óðàâíå-
íèåì (3), âèäèì, ÷òî îíî, à ñëåäîâàòåëüíî, è ðàâíîñèëüíîå åìó óðàâíåíèå (4), ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
D

M 0  0; 0; −  è ïåðïåíäèêóëÿðíîé âåêòîðó n ( A; B; C ).

C
Èòàê, âñÿêîå óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî òåêóùèõ êîîðäèíàò, ò. å. âñÿêîå óðàâíåíèå âèäà (4), îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü.
Óðàâíåíèå (4) íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè.
Ï ð è ì å ð. Íàïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0(1; –5; 6)
ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó n(4; 2; − 3). Ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (3) èìååì:
4(x − l) + 2(y + 5) − 3(z − 6) = 0, èëè 4x + 2y − 3z + 24 = 0.
4. Íåïîëíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Îáùåå óðàâíåíèå (4) íàçûâàåòñÿ ïîëíûì, åñëè
âñå åãî êîýôôèöèåíòû A, B, C, D îòëè÷íû îò íóëÿ. Åñëè õîòÿ áû îäèí èç
óêàçàííûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí íóëþ, òî óðàâíåíèå (4) íàçûâàåòñÿ
íåïîëíûì.
Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå âèäû íåïîëíûõ óðàâíåíèé.
1) D = 0; óðàâíåíèå Ax + By + Cz = 0 îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (ïîñêîëüêó êîîðäèíàòû íà÷àëà óäîâëåòâîðÿþò ýòîìó óðàâíåíèþ).
2) A = 0; óðàâíåíèå By + Cz + D = 0 îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ îñè Ox (ïîñêîëüêó íîðìàëüíûé âåêòîð ýòîé ïëîñêîñòè n (0; B; C )
ïåðïåíäèêóëÿðåí îñè Îõ).
Àíàëîãè÷íî óðàâíåíèå Ax + Cz + D = 0 (B = 0) îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü,
ïàðàëëåëüíóþ îñè Oy, à óðàâíåíèå Ax + By + D = 0 (C = 0) — ïëîñêîñòü,
ïàðàëëåëüíóþ îñè Oz.
3) A = 0, B = 0; óðàâíåíèå Cz + D = 0 îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õOó (èáî ýòà ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà îñÿì
Ox è Oy).
Àíàëîãè÷íî óðàâíåíèå By + D = 0 (A = 0, Ñ = 0) îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè xOz, à óðàâíåíèå
Ax + D = 0 (B = 0, C = 0) — ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè yOz.
4) A = 0, B = 0, D = 0; óðàâíåíèå Cz = 0 îïðåäåëÿåò êîîðäèíàòíóþ
ïëîñêîñòü õÎó (èáî ïëîñêîñòü Cz = 0 ïàðàëëåëüíà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó è ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò).
Àíàëîãè÷íî óðàâíåíèå By = 0 (A = 0, C = 0, D = 0) îïðåäåëÿåò êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü xOz, à óðàâíåíèå Ax = 0 (B = 0, C = 0, D = 0) — êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü yOz.
77
5. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ. Ðàññìîòðèì ïîëíîå óðàâíåíèå
(4). Òàê êàê â òàêîì óðàâíåíèè íè îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ A, B, Ñ, D íå
ðàâåí íóëþ, òî åãî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
Ïîëàãàÿ äëÿ êðàòêîñòè
−
ïîëó÷àåì:
x
y
z
+
+
= 1.
D
D
D
−
−
−
A
B
C
D
D
D
= a, − = b, − = c,
A
B
C
x y z
+ + = 1.
a b c
(6)
Óðàâíåíèå (6) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â «îòðåçêàõ», òàê êàê
çíàìåíàòåëè à, b, ñ åñòü âåëè÷èíû îòðåçêîâ, îòñåêàåìûå ïëîñêîñòüþ îò
îñåé êîîðäèíàò (ðèñ. 44).  ñàìîì äåëå, òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ñ
îñüþ Îõ îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ ýòîé ïëîñêîñòè (6) ïðè äîïîëíèòåëüíîì óñëîâèè y = 0, z = 0, îòñþäà x = à, è, òàêèì îáðàçîì, âåëè÷èíà
îòðåçêà, îòñåêàåìàÿ ïëîñêîñòüþ (6) íà îñè Îõ, ðàâíà à. Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî îòðåçêè, îòñåêàåìûå ïëîñêîñòüþ (6) íà îñÿõ Oy è Oz
èìåþò âåëè÷èíû, ðàâíûå ñîîòâåòñòâåííî b è ñ.
6. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè. Åñëè â óðàâíåíèè (2) â êà÷åñòâå
íîðìàëüíîãî âåêòîðà ïëîñêîñòè âçÿòü åäèíè÷íûé âåêòîð
n
,
n0 =
n
òî ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè:
n 0 M 0 M = 0,
(7)
èëè â êîîðäèíàòàõ:
Ax + By + Cz + D
A 2 + B 2 +C 2
(8)
= 0,
ãäå D = –(Ax0 + By0 + Cz0). Óðàâíåíèå (8) óäîáíî ïðè íàõîæäåíèè ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè.
Ç à ä à ÷ à. Íàéòè ðàññòîÿíèå d îò òî÷êè M1 (õ1; y1; z1) äî ïëîñêîñòè π
(ðèñ. 45), çàäàííîé óðàâíåíèåì (7).
Èç òðåóãîëüíèêà M0M1N1 íàõîäèì:
d = ïð n 0 M 0 M 1 = n 0 M 0 M 1 =
78
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D
A 2 + B 2 +C 2
.
(9)
Ðèñ. 44
Ðèñ. 45
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè,
íóæíî â ëåâóþ ÷àñòü íîðìàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè âìåñòî òåêóùèõ
êîîðäèíàò ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è âçÿòü àáñîëþòíóþ
âåëè÷èíó ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè Ì1 (1, 0, –2) äî ïëîñêîñòè 2x – y + 2z – 4 = 0.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (9)
d=
2 ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ (−2) − 4
2 2 + (−1)2 + 2 2
=
6
= 2.
3
7. Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè. Óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïëîñêîñòåé. Ïóñòü óðàâíåíèÿ äàííûõ ïëîñêîñòåé áóäóò
A1x + B1 ó + Ñ1z + D1 = 0, A2õ + Â2ó + C2z + D2 = 0.
(10)
Óãëîì ìåæäó ïëîñêîñòÿìè (10) íàçûâàåòñÿ ëþáîé èç äâóõ ñìåæíûõ
äâóãðàííûõ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè ïëîñêîñòÿìè. (Íàì äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü îäèí èç ýòèõ óãëîâ, òàê êàê èõ ñóììà ðàâíà π.) Îäèí èç
íèõ ðàâåí óãëó ϕ ìåæäó íîðìàëüíûìè âåêòîðàìè ê ýòèì ïëîñêîñòÿì
n 1 ( A1 ; B1 ; C 1 ) è n 2 ( A 2 ; B 2 ; C 2 ). Ïîýòîìó
cos ϕ =
A1 A 2 + B1 B 2 + C 1C 2
A12 + B12 + C 12 A 22 + B 22 + C 22
.
(11)
Ï ð è ì å ð 1. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè x – z = 0 è ó – z = 0. Çäåñü
n1 (1; 0; − 1), n2 (0; 1; − 1). Ïî ôîðìóëå (11) èìååì:
cos ϕ =
1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + (−1) ⋅ (−1)
12 + 0 2 + (−1)2 0 2 + 12 + (−1)2
=
1
1
= .
2 2 2
π
π
Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ = . Èòàê, îäèí èç äâóõ ñìåæíûõ äâóãðàííûõ óãëîâ ðàâåí .
3
3
79
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé (10) ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîân 1 èn 2 . Ñëåäîâàòåëüíî (§2.1, (10)), îíî èìååò âèä:
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
.
(12)
Àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ ñîâïàäåíèÿ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè (§ 1.4, ï. 6) óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ ïëîñêîñòåé (10) âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâàìè
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
=
D1
D2
.
(13)
Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïëîñêîñòåé (10) åñòü âìåñòå ñ òåì óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè íîðìàëåé n 1 è n 2 , ñëåäîâàòåëüíî (§ 2.2, (10)),
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
(14)
Ï ð è ì å ð 2. Ïëîñêîñòè 3x + 2y − 7z + 8 = 0 è 3x + 2y − 7z + 32 = 0 ïàðàëëåëüíû, íî íå
ñîâïàäàþò, òàê êàê âûïîëíåíî óñëîâèå (12), íî íå âûïîëíåíî óñëîâèå (13).
Ï ð è ì å ð 3. Ïëîñêîñòè 2x + 3y − 2z − 4 = 0 è 13x − 8y + z + 44 = 0 ïåðïåíäèêóëÿðíû,
òàê êàê âûïîëíåíî óñëîâèå (14).
§ 4.2. Ïðÿìàÿ â ïðîñòðàíñòâå
1. Ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå äâóõ óðàâíåíèé ìåæäó êîîðäèíàòàìè
â ïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü èìååì äâà óðàâíåíèÿ ñ òðåìÿ ïåðåìåííûìè
f1(x, ó, z) = 0 è f2(õ, ó, z) = 0.
Êàæäîå èç íèõ, âîîáùå ãîâîðÿ, îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü
(ñì. § 4.1, ï. 1). Ìíîæåñòâî òî÷åê, îáùèõ îáåèì ïîâåðõíîñòÿì, åñòü, âîîáùå ãîâîðÿ, íåêîòîðàÿ ëèíèÿ.
2
2
2
Ï ð è ì å ð. Óðàâíåíèÿ x + y = R è z = a îïðåäåëÿþò îêðóæíîñòü, ëåæàùóþ â ïëîñêîñòè z = a, ðàäèóñà R ñ öåíòðîì íà îñè Oz â òî÷êå (0; 0; a). Çàìåòèì, ÷òî ýòó æå ëèíèþ ìîæíî
çàäàòü ïàðàìåòðè÷åñêè òðåìÿ óðàâíåíèÿìè x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, z = a.
 îáùåì ñëó÷àå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ëèíèè èìåþò âèä:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
2. Îáùèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïåðâîé
ñòåïåíè
 A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0,

 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0.
(1)
Êàæäîå èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (1) îïðåäåëÿåò ïëîñêîñòü. Åñëè íîðìàëüíûå âåêòîðû n 1 ( A1 ; B1 ; C 1 ) è n 2 ( A 2 ; B 2 ; C 2 ) ýòèõ ïëîñêîñòåé íå
80
êîëëèíåàðíû (ò. å. ïëîñêîñòè íå ïàðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò), òî ñèñòåìà (1)
îïðåäåëÿåò íåêîòîðóþ ïðÿìóþ l êàê ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé.
Óðàâíåíèÿ (1) íàçûâàþòñÿ îáùèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ïðÿìóþ, çàäàííûìè
îáùèìè óðàâíåíèÿìè
 x + y + z − 3 = 0,

 x − 3 y − z + 5 = 0.
Ðèñ. 46
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîé äîñòàòî÷íî çíàòü äâå åå òî÷êè. Ïðîùå âûáðàòü òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè íàçûâàåòñÿ ñëåäîì ïðÿìîé. Êîîðäèíàòû ñëåäà Ì1 äàííîé ïðÿìîé íà
ïëîñêîñòè xOy ïîëó÷èì èç óðàâíåíèé ïðÿìîé, ïîëàãàÿ z = 0. Ýòî äàåò x = 1, ó = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, êîîðäèíàòû òî÷êè Ì1 òàêîâû: x1 = 1, ó1 = 2, z1 = 0. Àíàëîãè÷íî, ïîëàãàÿ â óðàâíåíèÿõ çàäàííîé ïðÿìîé x = 0, ïîëó÷àåì êîîðäèíàòû ñëåäà Ì2 ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè yOz: x2 = 0,
ó2 = 1, z2 = 2. Òåïåðü ñòðîèì ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êè Ì1 è Ì2 ïðÿìóþ (ðèñ. 46).
3. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé. Ïóñòü äàíà òî÷êà M0(x0; y0; z0) è íåíóëåâîé âåêòîð s(m; p; q ). Òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé l, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 è ïàðàëëåëüíîé âåêòîðó s (ýòîò âåêòîð íàçûâàþò
íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ïðÿìîé). Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî òî÷êà M(x; ó; z)
ëåæèò íà óêàçàííîé ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âåêòîðû
M 0 M ( x − x 0 ; y − y 0 ; z − z 0 ) è s(m; p; q ) êîëëèíåàðíû, ò. å. òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà êîîðäèíàòû ýòèõ âåêòîðîâ ïðîïîðöèîíàëüíû (§ 2.1, (10)):
x −x0
y − y0 z − z 0
.
=
=
m
p
q
(2)
Óðàâíåíèÿ (2) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé l.
Ï ð è ì å ð. Íàïèñàòü êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
M0(−2; −3; −1) è èìåþùåé íàïðàâëÿþùèé âåêòîð s(3; 2; 4). Ñîãëàñíî ðàâåíñòâàì (2)
èìååì:
x + 2 y + 3 z +1
.
=
=
3
2
4
Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î òîì, êàê ïåðåéòè îò îáùèõ óðàâíåíèé
ïðÿìîé ê åå êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèÿì. Äëÿ ýòîãî íóæíî íàéòè êàêóþ-íèáóäü òî÷êó Ì0(õ0; ó0; z0) íà ïðÿìîé è íàïðàâëÿþùèé âåêòîð s
ïðÿìîé. Ïóñòü ïðÿìàÿ l çàäàíà îáùèìè óðàâíåíèÿìè (1). Êîîðäèíàòû
81
òî÷êè Ì0 íà ïðÿìîé l ïîëó÷èì èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (1), ïðèäàâ îäíîé èç êîîðäèíàò ïðîèçâîëüíîå
çíà÷åíèå. Òàê êàê ïðÿìàÿ l ïåðïåíäèêóëÿðíà íîðìàëüíûì âåêòîðàì n 1 = A1 i + B1 j + C 1 k è n 2 =
= A 2 i + B 2 j + C 2 k (ðèñ. 47), òî çà íàïðàâëÿþùèé
âåêòîð s ïðÿìîé l ìîæíî ïðèíÿòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå n 1 × n 2 :
i
s = n 1 × n 2 = A1
A2
Ðèñ. 47
j
k
B1 C 1 .
B2 C 2
4. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü ïðÿìàÿ
l çàäàíà êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (2). Ïðèìåì çà ïàðàìåòð t êàæäîå èç îòíîøåíèé (2). Òàê êàê îäèí èç çíàìåíàòåëåé â (2) îòëè÷åí îò
íóëÿ, à ñîîòâåòñòâóþùèé ÷èñëèòåëü ìîæåò ïðèíèìàòü êàêèå óãîäíî
çíà÷åíèÿ, òî îáëàñòüþ èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà t ÿâëÿåòñÿ âñÿ ÷èñëîâàÿ
îñü −∞ < t < +∞. Ïîëó÷èì:
x − x0 = mt, y − y0 = pt, z − zQ = qt,
èëè
x = x0 + mt, y = y0 + pt, z = z0 + qt.
(3)
Óðàâíåíèÿ (3) è åñòü èñêîìûå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé.
Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0(2, −3, −7) è èìåþùåé íàïðàâëÿþùèé âåêòîð s(4; − 6; 5). Ñîãëàñíî ðàâåíñòâàì (3)
èìååì:
x = 2 + 4t, y = −3 − 6t, z = −7 + 5t.
5. Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâå äàíû äâå ïðÿìûå:
x − x1
m1
=
y − y1
p1
=
z − z1
q1
,
x − x 2 y − y2 z − z 2
.
=
=
m2
p2
q2
(4)
Çà óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè ïðèíèìàþò îäèí èç äâóõ ñìåæíûõ óãëîâ,
êîòîðûå îáðàçóþò ïðÿìûå, ïðîâåäåííûå ïàðàëëåëüíî äàííûì ÷åðåç êàêóþ-íèáóäü òî÷êó ïðîñòðàíñòâà. Îäèí èç ýòèõ ñìåæíûõ óãëîâ ðàâåí óãëó
ìåæäó íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè s 1 (m1 ; p 1 ; q 1 ), s 2 (m 2 ; p 2 ; q 2 ) äàííûõ
ïðÿìûõ. Ïîýòîìó
cos ϕ =
82
m1 m 2 + p 1 p 2 + q 1 q 2
2
1
m + p 12 + q 12 m 22 + p 22 + q 22
.
(5)
Ï ð è ì å ð 1. Îïðåäåëèòü óãîë ìåæäó ïðÿìûìè
x −1 y z + 3
x y +2
z
è
=
=
=
= .
1
−4
1
2
−2
−1
Çäåñü s1 (1; − 4; 1), s 2 (2; − 2; − 1). Ïî ôîðìóëå (5) ïîëó÷èì:
cos ϕ =
1 ⋅ 2 + (−4) ⋅ (−2) + 1 ⋅ (−1)
12 + (−4)2 + 12 2 2 + (−2)2 + (−1)2
=
1
,
2
π
π
îòêóäà ϕ = . Ñëåäîâàòåëüíî, îäèí èç äâóõ ñìåæíûõ óãëîâ ðàâåí .
4
4
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ (4) ñîâïàäàåò ñ óñëîâèåì êîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ s 1 è s 2 . Ñëåäîâàòåëüíî (§ 2.1, (10)), îíî èìååò âèä:
m1
m2
=
p1
p2
=
q1
q2
.
(6)
Åñëè ïðè ýòîì òî÷êà ïåðâîé ïðÿìîé, íàïðèìåð M1(x1; ó1; z1), óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ âòîðîé ïðÿìîé, ò. å. åñëè
x1 − x 2
m2
=
y1 − y 2
p2
=
z1 − z 2
q2
,
(7)
òî ýòè ïðÿìûå ñîâïàäàþò.
Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìûõ (4) åñòü âìåñòå ñ òåì óñëîâèå
ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè èõ íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ s 1 è s 2 . Ñëåäîâàòåëüíî (§ 2.2, (10)),
m1m2 + p1p2 + q1q2 = 0.
(8)
x + 2 y − 3 z +1 x − 7 y − 2 z
è
=
=
=
= ïàðàëëåëüíû, íî íå ñîâ3
2
4
3
2
4
ïàäàþò, òàê êàê âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (6), íî íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (7).
x + 2 y − 3 z +1 x + 5 y −1 z + 5
Ï ð è ì å ð 3. Ïðÿìûå
è
ñîâïàäàþò, òàê êàê
=
=
=
=
3
2
4
3
2
4
íàðÿäó ñ âûïîëíåíèåì óñëîâèÿ (6) âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (7).
x +1 y + 5 z −1 x +1 y − 4 z + 2
Ï ð è ì å ð 4. Ïðÿìûå
è
ïåðïåíäèêóëÿðíû,
=
=
=
=
2
4
−13
3
5
2
òàê êàê âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (8).
Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìûå
6. Óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè.
Ïóñòü äàíû ïðÿìàÿ
x −x0
y − y0 z − z 0
=
=
m
p
q
(9)
Ax + By + Cz + D = 0.
(10)
è ïëîñêîñòü
83
Ðèñ. 48
Ðèñ. 49
Ïðÿìàÿ (9) ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè (10) â òîì è òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, êîãäà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ýòîé ïðÿìîé s(m; p; q ) ïåðïåíäèêóëÿðåí ê íîðìàëüíîìó âåêòîðó äàííîé ïëîñêîñòè n ( A; B; C )
(ðèñ. 48).
Îòñþäà ïîëó÷àåì óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé (9) è ïëîñêîñòè (10):
Am + Bp + Cq = 0.
(11)
Ïðÿìàÿ (9) ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè (10) â òîì è òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, êîãäà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ýòîé ïðÿìîé êîëëèíåàðåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó äàííîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 49). Îòñþäà ïîëó÷àåì óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè:
A B C
= = .
m p q
(12)
Ðàññìîòðèì îñîáî ñëó÷àé ïðèíàäëåæíîñòè ïðÿìîé (9) ïëîñêîñòè
(10). Ýòè óñëîâèÿ âûðàæàþòñÿ äâóìÿ ðàâåíñòâàìè:
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0,
(13)
Am + Bp + Cq = 0,
ïåðâîå èç êîòîðûõ (13) îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà M0(õ0; ó0; z0), ÷åðåç êîòîðóþ
ïðîõîäèò äàííàÿ ïðÿìàÿ, ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè (10), à âòîðîå åñòü
óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé (9) è ïëîñêîñòè (10).
x − 2 y +1 z
ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè 3x − y + 2z − 8 = 0,
=
=
1
1
−1
íî åé íå ïðèíàäëåæèò, òàê êàê âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (11), íî íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (13).
x −2 y +3 z − 4
ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè 6x + 4y − 2z − 9 =
Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìàÿ
=
=
3
1
−1
Ï ð è ì å ð 1. Ïðÿìàÿ
= 0, òàê êàê âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (12).
84
x − 2 y +1 z
ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè 3x − y + 2z − 7 = 0, òàê
=
=
1
1
−1
êàê âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (13) è (11).
Ï ð è ì å ð 3. Ïðÿìàÿ
§ 4.3. Îñíîâíûå çàäà÷è íà ïëîñêîñòü
è ïðÿìóþ â ïðîñòðàíñòâå
1. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
òî÷êó M0(õ0; ó0; z0). Ïóñòü
Ax + By + Cz + D = 0
(1)
óðàâíåíèå èñêîìîé ïëîñêîñòè. Òîãäà
Ax0 + By0 + Ñz0 + D = 0.
(2)
Âû÷èòàÿ èç ðàâåíñòâà (1) ïî÷ëåííî ðàâåíñòâî (2), ïîëó÷àåì:
À(õ − x0) + B(ó − y0) + C(z − z0) = 0.
Î÷åâèäíî, ïðè ëþáûõ A, B, C ýòîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû òî÷êè M0.
2. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðîèçâîëüíîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó
M0(x0; y0; z0). Èñêîìîå óðàâíåíèå
x −x0
y − y0 z − z 0
.
=
=
m
p
q
(3)
Äåéñòâèòåëüíî, ýòî óðàâíåíèå çàäàåò ïðÿìóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó
M0, êîîðäèíàòû êîòîðîé, î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (3). Äàâàÿ m, p, q ïðîèçâîëüíûå (íå âñå ðàâíûå íóëþ) çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àåì ïðÿìóþ ïðîèçâîëüíîãî íàïðàâëåíèÿ.
3. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå ðàçëè÷íûå äàííûå òî÷êè M1(x1; ó1; z1) è M2(õ2; ó2; z2). Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé
÷åðåç òî÷êó M1(õ1; ó1; z1), èìååò âèä:
x − x1
m
=
y − y1
p
=
z − z1
q
.
(4)
Òàê êàê ïðÿìàÿ ïðîõîäèò è ÷åðåç òî÷êó M2, òî
x 2 − x1
m
=
y 2 − y1
p
=
z 2 − z1
q
.
(5)
Èñêëþ÷àÿ èç óðàâíåíèé (4) è (5) m, ð, q, ïîëó÷àåì èñêîìîå óðàâíåíèå
x − x1
y − y1
z − z1
.
=
=
x 2 − x 1 y 2 − y1 z 2 − z 1
85
4. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè
M1(x1; y1; z1), M2(õ2; y2; z2) è M3(õ3; y3; z3), íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé. Ïóñòü
M(x; ó; z) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èñêîìîé ïëîñêîñòè. Òðè âåêòîðà
M 1 M , M 1 M 2 , M 1 M 3 ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, ò. å. îíè êîìïëàíàðíû. Ïîýòîìó (§ 2.2, (15))
(M 1 M M 1 M 2 M 1 M 3 ) = 0 ,
èëè â êîîðäèíàòíîé ôîðìå:
x − x1
x 2 − x 1

x 3 − x 1
y − y1
y 2 − y1
y 3 − y1
z − z1 
z 2 − z 1 = 0.

z 3 − z 1
Ãëàâà 5. ÊÐÈÂÛÅ È ÏÎÂÅÐÕÍÎÑÒÈ ÂÒÎÐÎÃÎ
ÏÎÐßÄÊÀ  ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÎÐÌÅ
§ 5.1. Êðèâûå âòîðîãî ïîðÿäêà â êàíîíè÷åñêîé ôîðìå
1. Îïðåäåëåíèå è êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ýëëèïñà. Ýëëèïñîì íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, ñóììà ðàññòîÿíèé êàæäîé èç
êîòîðûõ äî äâóõ äàííûõ òî÷åê F1 è F2 (íàçûâàåìûõ ôîêóñàìè ýëëèïñà)
åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, ðàâíàÿ 2à.
Âûâåäåì óðàâíåíèå ýëëèïñà. Äëÿ ýòîãî âûáåðåì ïðÿìîóãîëüíóþ
ñèñòåìó êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû îñü Ox ïðîõîäèëà ÷åðåç ôîêóñû F1 è F2
(ðàññòîÿíèå ìåæäó ôîêóñàìè îáîçíà÷èì ÷åðåç 2c), à íà÷àëî êîîðäèíàò
íàõîäèëîñü â ñåðåäèíå îòðåçêà F1F2 (ðèñ. 50). Òîãäà ôîêóñû áóäóò èìåòü
êîîðäèíàòû F1 (–c; 0) è F2 (ñ; 0).
Ïóñòü M(x; ó) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ýëëèïñà. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ýëëèïñà èìååì:
MF1 + MF2 = 2a,
èëè ïî ôîðìóëå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ
òî÷êàìè çàïèøåì:
( x + c) 2 + y 2 + ( x − c) 2 + y 2 = 2a.
Ýòî è åñòü óðàâíåíèå ýëëèïñà. Ïðèâåäåì åãî
ê êàíîíè÷åñêîìó (ò. å. ïðîñòåéøåìó) âèäó.
Èìååì:
Ðèñ. 50
86
( x + c) 2 + y 2 = 2a − ( x − c) 2 + y 2 .
Âîçâåäåì îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò:
x 2 + 2 xc + c 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c) 2 + y 2 + x 2 − 2 xc + c 2 + y 2 ,
îòêóäà
a ( x − c) 2 + y 2 = a 2 − cx .
(1)
Âîçâåäåì òåïåðü â êâàäðàò îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1):
2 2
2
2 2
2 2
4
2
2 2
à õ − 2à ñõ + à ñ + à ó = a − 2à ñõ + c x ,
îòêóäà
2
2
2
2 2
2
2
2
(a − c )x + a y = a (a − c ).
Çàìåòèì, ÷òî a2 − c2 > 0, òàê êàê 2à > 2ñ, èëè à > c (ñóììà äâóõ ñòîðîí
òðåóãîëüíèêà áîëüøå òðåòüåé åãî ñòîðîíû; ñëó÷àé 2à = 2ñ åñòåñòâåííî
èñêëþ÷èòü, òàê êàê òîãäà ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü âñåõ òî÷åê Ì, äëÿ êîòîðûõ MF1 + MF2 = F1F2, ò. å. îòðåçîê F1F2.) Ïîýòîìó, îáîçíà÷èâ a2 − c2 ÷åðåç b2, ïîëó÷àåì:
2 2
2 2
2 2
bx +àó =àb.
2 2
Äåëÿ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íà à b , ïîëó÷àåì êàíîíè÷åñêîå
óðàâíåíèå ýëëèïñà
x2 y2
(2)
+
= 1.
a2 b2
Ýëëèïñ, îòâå÷àþùèé óðàâíåíèþ (2), èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 50.
Òàê êàê óðàâíåíèå (2) ñîäåðæèò òåêóùèå êîîðäèíàòû x è ó òîëüêî â
÷åòíûõ ñòåïåíÿõ, òî ïðè çàìåíå x íà −x, à y íà −ó ýòî óðàâíåíèå íå èçìåíÿåòñÿ, ò. å. ýëëèïñ ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îáåèõ îñåé êîîðäèíàò.
Èç óðàâíåíèÿ (2) ïðè ó = 0 ïîëó÷àåì x = ±a, ò. å. ýëëèïñ ïåðåñåêàåò îñü
Ox â äâóõ òî÷êàõ: A(à; 0) è A1(−à; 0); ïðè x = 0 ïîëó÷àåì y = ±b, ò. å. ýëëèïñ
ïåðåñåêàåò îñü Oy â äâóõ òî÷êàõ: B(0; b) è B1(0, −b). Ýòè ÷åòûðå òî÷êè íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè ýëëèïñà. Îòðåçîê À1À íàçûâàåòñÿ áîëüøîé îñüþ ýëëèïñà, à îòðåçîê Â1 — åãî ìàëîé îñüþ. Ñëåäîâàòåëüíî, à — äëèíà áîëüøîé ïîëóîñè ýëëèïñà, b — äëèíà åãî ìàëîé ïîëóîñè.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà à = b, óðàâíåíèå (2) ïðèíèìàåò âèä x2 + y2 =
= a2 è îïðåäåëÿåò îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.  ýòîì
ñëó÷àå c = 0.
Ýêñöåíòðèñèòåòîì ýëëèïñà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ôîêóñàìè ê äëèíå åãî áîëüøîé îñè, ò. å.
ε=
2c c
= .
2a a
(3)
87
Òàê êàê ñ < à, òî äëÿ ëþáîãî ýëëèïñà 0 ≤ ε < 1 (ñëó÷àé ε = 0 ñîîòâåòñòâóåò
îêðóæíîñòè). Ýêñöåíòðèñèòåò õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ñæàòèÿ ýëëèïñà.
Äåéñòâèòåëüíî, èç (3) è òîãî, ÷òî b2 = a2 − ñ2, ñëåäóåò.
2
ε2 =
c2 a2 −b2
 b
=
=1−  ,
 a
a2
a2
è, çíà÷èò,
b
= 1− ε2 .
a
b
Îòñþäà âèäíî, ÷òî, ÷åì áîëüøå ε, òåì ìåíüøå îòíîøåíèå è òåì áîëüa
øå âûòÿíóò ýëëèïñ.
Ýêñöåíòðèñèòåò (ε), äëèíû ïîëóîñåé (à è b), ðàññòîÿíèå ìåæäó ôîêóñàìè (2ñ) — ïàðàìåòðû, êîòîðûå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò ýëëèïñ ñ
öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.
x 2 y2
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïàðàìåòðû ýëëèïñà, çàäàííîãî óðàâíåíèåì
+
= 4. Äëÿ ýòîãî
16
9
x 2 y2
ïðèâåäåì äàííîå óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó
+
= 1. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a = 8,
64 36
2 7
7
.
b = 6, c = 64 − 36 = 28 = 2 7, ε =
=
8
4
2. Îïðåäåëåíèå è êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ãèïåðáîëû. Ãèïåðáîëîé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, ðàçíîñòü ðàññòîÿíèé êàæäîé èç êîòîðûõ äî äâóõ äàííûõ òî÷åê F1 è F2 (íàçûâàåìûõ ôîêóñàìè
ãèïåðáîëû) åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ, ðàâíàÿ 2a.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç 2ñ ðàññòîÿíèå ìåæäó ôîêóñàìè F1 è F2 (ðèñ. 51).
Ïóñòü M(x; ó) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëû. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ MF1 − MF2 = 2a èëè MF2 − MF1 = 2à. Ýòè óñëîâèÿ, îïðåäåëÿþùèå ãèïåðáîëó, ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
MF1 − MF2 = ±2a.
Ðèñ. 51
88
Çàìåòèì, ÷òî a < c, òàê êàê 2a < 2c
(ðàçíîñòü äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ìåíüøå åãî òðåòüåé ñòîðîíû). Åñëè à = ñ, òî ìû ïîëó÷àåì
òî÷êè M, äëÿ êîòîðûõ èëè MF1 −
− MF2 = F1F2, èëè MF2 − MF1 = F1F2,
ò. å. ñîâîêóïíîñòü òåõ òî÷åê ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ôîêóñû,
êîòîðûå ëåæàò âíå îòðåçêà F1F2.
Ïîýòîìó ñëó÷àé 2a = 2c åñòåñòâåííî èñêëþ÷èòü.
Äàëåå âûâîä êàíîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ãèïåðáîëû ïðîâîäèòñÿ àíàëîãè÷íî âûâîäó êàíîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ýëëèïñà. Êàíîíè÷åñêîå
óðàâíåíèå ãèïåðáîëû èìååò âèä:
x2 y2
(4)
−
= 1,
a2 b2
ãäå
b2 = c2 − a2.
Ãèïåðáîëà, îòâå÷àþùàÿ óðàâíåíèþ (4), èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 51.
Ïîäîáíî ýëëèïñó, ãèïåðáîëà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îáåèõ îñåé
êîîðäèíàò. Îíà ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ åå âåòâÿìè. Èç óðàâíåíèÿ (4) ïðè ó = 0 ïîëó÷àåì x = ±à, ò. å. ãèïåðáîëà ïåðåñåêàåò îñü Ox â äâóõ òî÷êàõ: A(a; 0) è A1(−à; 0), íàçûâàåìûõ âåðøèíàìè ãèïåðáîëû. Îòðåçîê A1A íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé îñüþ ãèïåðáîëû.
b
Ïðÿìûå y = ± x íàçûâàþòñÿ àñèìïòîòàìè ãèïåðáîëû. Ïðè óâåëèa
÷åíèè x ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå âåòâè ãèïåðáîëû âñå áëèæå ïðèëåãàþò ê ñâîèì àñèìïòîòàì. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ àñèìïòîò ãèïåðáîëû öåëåñîîáðàçíî ïðåäâàðèòåëüíî ïîñòðîèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 2a è
2b, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì è ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (òàêîé ïðÿìîóãîëüíèê íàçûâàåòñÿ îñíîâíûì ïðÿìîóãîëüíèêîì ãèïåðáîëû).
c
Ýêñöåíòðèñèòåòîì ãèïåðáîëû íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ε = . Òàê
a
2
2
2
êàê a < c, òî äëÿ ëþáîé ãèïåðáîëû ε > 1. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî b = ñ − à ,
èìååì:
2
c2 a2 +b2
 b
,
ε2 = 2 =
=
1
+


 a
a
a2
è, çíà÷èò,
b
= ε 2 − 1.
a
Îòñþäà âèäíî, ÷òî, ÷åì ìåíüøå ýêñöåíòðèñèòåò ãèïåðáîëû, ò. å. ÷åì
áëèæå îí ê åäèíèöå, òåì áîëüøå âûòÿíóò îñíîâíîé ïðÿìîóãîëüíèê ïî
îñè Ox.
Åñëè ó ãèïåðáîëû (4) a = b, òî îíà íàçûâàåòñÿ ðàâíîñòîðîííåé (èëè
ðàâíîáî÷íîé) è åå óðàâíåíèå èìååò âèä:
x2 − y2 = a2.
(5)
Àñèìïòîòàìè äëÿ ðàâíîñòîðîííåé ãèïåðáîëû (5) ñëóæàò âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïðÿìûå ó = ±x. Ïîýòîìó èõ ìîæíî ïðèíÿòü çà îñè ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ( OX — çà îñü àáñöèññ, OY — çà îñü
89
îðäèíàò) è ðàññìàòðèâàòü ýòó ðàâíîñòîðîííþþ ãèïåðáîëó ïî îòíîøåíèþ ê ýòèì íîâûì îñÿì. Âçÿâ
íà óêàçàííîé ãèïåðáîëå ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M(x; ó) (ðèñ. 52), âûðàçèì íîâûå êîîðäèíàòû X è Y
òî÷êè M ÷åðåç ñòàðûå x è ó (ñì.
§ 3.2, ï. 5, ôîðìóëû (21)):
2
(6)
( x − y ),
2
2
Ðèñ. 52
(7)
Y =
( x + y ).
2
Ïåðåìíîæèâ ðàâåíñòâà (6) è (7) è ïðèíÿâ âî âíèìàíèå ðàâåíñòâî (5),
ïîëó÷èì:
1
1
XY = ( x 2 − y 2 ) = a 2 ,
2
2
a2
èëè, ïîëàãàÿ äëÿ êðàòêîñòè
= m, XY = m.
2
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèþ xy = à, ãäå a > 0, ñîîòâåòñòâóåò ðàâíîñòîðîííÿÿ ãèïåðáîëà, èìåþùàÿ ñâîèìè àñèìïòîòàìè îñè êîîðäèíàò è ëåæàùàÿ â I è III êâàäðàíòàõ (ðèñ. 53). Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïðè à < 0 ýòà ãèïåðáîëà ëåæèò âî II è IV êâàäðàíòàõ (ðèñ. 54).
X =
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïàðàìåòðû (à, b, c, ε) ãèïåðáîëû, çàäàííîé óðàâíåíèåì õ2 − 4y2 =
x 2 y2
= 36. Äëÿ ýòîãî ïðèâåäåì äàííîå óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó
−
= 1. Îòñþäà
36
9
3 5
5
.
ñëåäóåò, ÷òî a = 6, b = 3, c = 36 + 9 = 45 = 3 5 è ε =
=
6
2
1
Óðàâíåíèÿ àñèìïòîò ãèïåðáîëû: y = ± x .
2
Ðèñ. 53
90
Ðèñ. 54
3. Îïðåäåëåíèå è êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïàðàáîëû. Ïàðàáîëîé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, ðàâíîóäàëåííûõ îò äàííîé
òî÷êè F (íàçûâàåìîé ôîêóñîì ïàðàáîëû) è îò äàííîé ïðÿìîé l (íàçûâàåìîé äèðåêòðèñîé ïàðàáîëû; ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî F íå ëåæèò íà l).
Äëÿ âûâîäà êàíîíè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïàðàáîëû ïðîâåäåì îñü Ox
ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ÷åðåç ôîêóñ F ïåðïåíäèêóëÿðíî
äèðåêòðèñå, íà÷àëî êîîðäèíàò O ïîìåñòèì íà ðàâíûõ ðàññòîÿíèÿõ îò
ôîêóñà è äèðåêòðèñû (ðèñ. 55). Ðàññòîÿíèå îò ôîêóñà äî äèðåêòðèñû
îáîçíà÷èì ÷åðåç p (îíî íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì ïàðàáîëû).  ýòîì ñëóp 
÷àå ôîêóñ áóäåò èìåòü êîîðäèíàòû F  ; 0 , à óðàâíåíèå äèðåêòðèñû
2 
áóäåò
p
x=− .
2
Âîçüìåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M(x; ó) ïàðàáîëû. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ïàðàáîëû èìååì:
MF = MA
 p 
(òî÷êà A èìååò êîîðäèíàòû  − ; y  ), èëè ïî ôîðìóëå ðàññòîÿíèÿ ìåæ 2 
äó äâóìÿ òî÷êàìè:
2
2
p
p


2
x −  + y = x +  .


2
2
Îòñþäà
2
2
p
p


2
x −  + y = x +  ,


2
2
èëè
p2
p2
+ y 2 = x 2 + px + ,
4
4
è îêîí÷àòåëüíî:
x 2 − px +
ó2 = 2ðõ.
(8)
Ôîðìóëà (8) è åñòü êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïàðàáîëû. Ïàðàáîëà, îòâå÷àþùàÿ óðàâíåíèþ (8), èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 55.
Óðàâíåíèå (8) èìååò ñìûñë òîëüêî äëÿ
íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé õ, ò. å. âñå òî÷êè ïàðàáîëû ëåæàò â I è IV êâàäðàíòàõ.
Òàê êàê óðàâíåíèå (8) ñîäåðæèò ó2, òî ïàðàáîëà ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè Ox.
Âåðøèíîé ïàðàáîëû íàçûâàåòñÿ òî÷êà ïåðå-
Ðèñ. 55
91
Ðèñ. 56
Ðèñ. 57
ñå÷åíèÿ ïàðàáîëû ñ åå îñüþ ñèììåòðèè. Ïðè âîçðàñòàíèè x çíà÷åíèÿ y âîçðàñòàþò ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå.  îòëè÷èå îò ãèïåðáîëû
ïàðàáîëà íå èìååò àñèìïòîò. Îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëû íàçûâàåòñÿ
îñüþ ïàðàáîëû. Ïàðàáîëà, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì (8), èìååò îñü,
ñîâïàäàþùóþ ñ îñüþ Ox.
2
2
2
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîìó èç óðàâíåíèé ó = −2ðõ, x = 2ðó, x = −2ðó (p >
> 0) ñîîòâåòñòâóåò ïàðàáîëà, ïî ôîðìå òîæäåñòâåííàÿ ñ ïàðàáîëîé (8), íî èíà÷å ðàñïîëîæåííàÿ. Íà ðèñóíêàõ 56, 57 èçîáðàæåíû ýòè ïàðàáîëû.
Ê ïàðàáîëàì, íàïðèìåð, ñèììåòðè÷íûì îòíîñèòåëüíî îñè Oy, îòíîñÿòñÿ òàêæå êðè2
2
âûå, çàäàííûå óðàâíåíèÿìè x = 2p(y − ñ), x = − 2p(y + c), c >0, p > 0 (ðèñ. 58).
Ï ð è ì å ð. Ïàðàáîëà ñ âåðøèíîé â íà÷àëå êîîðäèíàò ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A(9; 3) è
ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îñè Ox. Íàïèñàòü åå êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå. Ïîäñòàâëÿÿ êîîðäèíàòû òî÷êè A â
1
óðàâíåíèå (8), íàéäåì, ÷òî p = . Çíà÷èò, óðàâíåíèå èñêî2
2
ìîé ïàðàáîëû y = x.
4. Äèðåêòðèñû ýëëèïñà è ãèïåðáîëû. Ðàññìîòðèì ýëëèïñ è ãèïåðáîëó, îïðåäåëÿåìûå ñîîòâåòñòâåííî êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (2) è (4).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòîò ýëëèïñ âûòÿíóò â íàïðàâëå-
Ðèñ. 58
92
íèè îñè Îõ, ò. å. ÷òî a > b.
Äâå ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê áîëüøîé îñè ýëëèïñà è ðàñïîëîæåííûå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî öåía
òðà íà ðàññòîÿíèè îò íåãî, íàçûâàþòñÿ äèðåêòðèñàìè
ε
ýëëèïñà. Èõ óðàâíåíèÿ:
a
a
è x= .
x =−
ε
ε
Ïåðâóþ èç íèõ ìû óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ëåâîé, âòîðóþ — ïðàâîé.
Ðèñ. 59
Ðèñ. 60
a
Òàê êàê äëÿ ýëëèïñà ε < 1, òî > a. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðàâàÿ äèðåêòðèñà ðàñïîëîæåε
íà ïðàâåå ïðàâîé âåðøèíû ýëëèïñà; àíàëîãè÷íî ëåâàÿ äèðåêòðèñà ðàñïîëîæåíà ëåâåå åãî
ëåâîé âåðøèíû (ðèñ. 59).
Äâå ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê òîé îñè ãèïåðáîëû, êîòîðàÿ åå ïåðåñåêàåò, è ðàña
ïîëîæåííûå ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî öåíòðà íà ðàññòîÿíèè îò íåãî, íàçûâàþòñÿ
ε
äèðåêòðèñàìè ãèïåðáîëû.
Óðàâíåíèÿ äèðåêòðèñ ãèïåðáîëû (4) èìåþò âèä:
a
a
è x= .
x =−
ε
ε
Ïåðâóþ èç íèõ óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ëåâîé, âòîðóþ — ïðàâîé.
a
Òàê êàê äëÿ ãèïåðáîëû ε > 1, òî < a. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðàâàÿ äèðåêòðèñà ðàñïîε
ëîæåíà ìåæäó öåíòðîì è ïðàâîé âåðøèíîé ãèïåðáîëû; àíàëîãè÷íî ëåâàÿ äèðåêòðèñà
ðàñïîëîæåíà ìåæäó öåíòðîì è ëåâîé âåðøèíîé (ðèñ. 60).
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò å î ð å ì à. Åñëè r — ðàññòîÿíèå îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ýëëèïñà (ãèïåðáîëû) äî êàêîãî-íèáóäü ôîêóñà, d — ðàññòîÿíèå îò òîé æå òî÷êè äî ñîîòâåòñòâóþùåé ýòîìó ôîêóñó äèðåêòðèñû, òî
r
(9)
= ε,
d
ε — ýêñöåíòðèñèòåò ýëëèïñà (ãèïåðáîëû).
Äîêàæåì òåîðåìó äëÿ ýëëèïñà, òàê êàê äëÿ ãèïåðáîëû ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íà. Ïðåäïîëîæèì äëè îïðåäåëåííîñòè, ÷òî ðå÷ü èäåò î ïðàâîì ôîêóñå è ïðàâîé äèðåêòðèñå. Ïóñòü Ì(õ; ó) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ýëëèïñà (ñì. ðèñ. 59). Ðàññòîÿíèå îò Ì äî
ïðàâîé äèðåêòðèñû âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì
d=
a
− x,
ε
(10)
êîòîðîå ëåãêî óñìàòðèâàåòñÿ èç ðèñóíêà 59. Ðàññòîÿíèå r îò òî÷êè Ì äî ïðàâîãî ôîêóñà,
êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (1), âûðàæàåòñÿ ðàâåíñòâîì
r =a −
c
x,
a
93
èëè
r = à − εõ.
(11)
Èç ñîîòíîøåíèé (10) è (11) èìååì:
r a − εx (a − εx )ε
=
=
= ε.
d a −x
a − εx
ε
r
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Òàê êàê äëÿ ïàðàáîëû = 1, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïàðàáîëà èìååò ýêñd
öåíòðèñèòåò ε = 1.
Óñòàíîâëåííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü îáùåå îïðåäåëåíèå ýëëèïñà, ãèïåðáîëû è ïàðàáîëû.
Ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êàæäîé èç êîòîðûõ ðàññòîÿíèå r äî íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè (ôîêóñà) è ðàññòîÿíèå d äî íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ïðÿìîé (äèr
ðåêòðèñû) íàõîäÿòñÿ â ïîñòîÿííîì îòíîøåíèè = ε, åñòü ýëëèïñ, åñëè ε < 1; ãèïåðáîëà,
d
åñëè ε > 1; ïàðàáîëà, åñëè ε = 1.
5. Óðàâíåíèå êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü äàíà êàêàÿ-íèáóäü èç ëèíèé: ýëëèïñ, ãèïåðáîëà èëè ïàðàáîëà (åñëè äàííàÿ ëèíèÿ — ãèïåðáîëà, òî áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàêóþ-íèáóäü åå âåòâü); îáîçíà÷èì åå áóêâîé L. Ïóñòü F — ôîêóñ ëèíèè, g — ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó ôîêóñó äèðåêòðèñà (â ñëó÷àå ãèïåðáîëû â êà÷åñòâå F è g
âîçüìåì ôîêóñ è äèðåêòðèñó, áëèæàéøèå ê ðàññìàòðèâàåìîé âåòâè). Ââåäåì ïîëÿðíóþ
ñèñòåìó êîîðäèíàò ñ ïîëþñîì â òî÷êå F è ïîëÿðíîé îñüþ, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà äèðåêòðèñå g è íàïðàâëåíà îò g (ðèñ. 61). Îáîçíà÷èì ÷åðåç ρ, ϕ ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîé òî÷êè Ì ëèíèè L. Äëÿ òî÷åê ëèíèè L âûïîëíåíî óñëîâèå (9) (ñì. òåîðåìó è
ïðèìå÷àíèå èç ï. 4). Çäåñü, êàê âèäíî èç ðèñóíêà, r = ρ,
d = DF + FN = DF + r cos ϕ.
(12)
π
Ïóñòü òî÷êà Ð èìååò ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû p è , ãäå p = FP — çàäàííîå ÷èñëî, íàçûâàå2
ìîå ôîêàëüíûì ïàðàìåòðîì ëèíèè L. Äëÿ ýòîé òî÷êè ñîãëàñíî ðàâåíñòâó (9) èìååì:
p
p
= ε, èëè
= ε,
SP
DF
îòêóäà
Ðèñ. 61
94
p
DF = .
ε
Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è ðàâåíñòâà (12) èìååì:
p
d = + ρ cos ϕ.
ε
Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü â ëåâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (9) âûðàæåíèÿ
äëÿ r è d, íàéäåì:
ρ
= ε,
p
+ ρ cos ϕ
ε
îòêóäà
p
.
ρ=
1 − ε cos ϕ
Ýòî è åñòü ïîëÿðíîå óðàâíåíèå ýëëèïñà, ãèïåðáîëû (îäíîé åå âåòâè) è ïàðàáîëû. Çäåñü
ð — ôîêàëüíûé ïàðàìåòð, ε — ýêñöåíòðèñèòåò êðèâîé L. Ýòî óðàâíåíèå èñïîëüçóåòñÿ ê
ìåõàíèêå.
§ 5.2. Èçó÷åíèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ïî èõ
êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèÿì
1. Ýëëèïñîèä è ãèïåðáîëîèäû. Ýëëèïñîèäîì (ðèñ. 62) íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz
óðàâíåíèåì
x2 y2 z 2
+
+
= 1.
a2 b2 c2
(1)
Óðàâíåíèå (1) íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì ýëëèïñîèäà. Âåëè÷èíû a, b, ñ íàçûâàþòñÿ ïîëóîñÿìè ýëëèïñîèäà.
Èç óðàâíåíèÿ (1) âèäíî, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà, à
íà÷àëî êîîðäèíàò — öåíòðîì ñèììåòðèè. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îñåé êîîðäèíàò ñ ýëëèïñîèäîì íàçûâàþòñÿ
Ðèñ. 62
âåðøèíàìè ýëëèïñîèäà.
Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå ýëëèïñîèäà ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè xOy; ïóñòü ýòî áóäåò ïëîñêîñòü z = h è ïóñòü ïðè ýòîì | h | < c. Òîãäà ëèíèÿ, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ â ñå÷åíèè, îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ óðàâíåíèÿìè:
x2 y2
h2
, z = h.
(2)
+
=
1
−
a2 b2
c2
2
h
Îáîçíà÷èâ ÷åðåç k2 ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî1 − 2 , óðàâíåíèÿ (2) ïåðåïèc
øåì â âèäå
x2
y2
+
= 1, z = h.
(ak ) 2 (bk ) 2
Ìû âèäèì, ÷òî ñå÷åíèå ýëëèïñîèäà (1) ïëîñêîñòüþ z = h (| h | < c) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìè ak è bk, óìåíüøàþùèìèñÿ ñ óâåëè÷åíèåì | h |; ïðè | h | = c ýòîò ýëëèïñ ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó — âåðøèíó
ýëëèïñîèäà. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íàÿ êàðòèíà âûÿâëÿåòñÿ ïðè ðàññìîòðåíèè ñå÷åíèé ýëëèïñîèäà ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì ïëîñêîñòÿì õÎz è yOz. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ñàìà ïëîñêîñòü
95
õÎz ïåðåñåêàåò ýëëèïñîèä ïî ýëëèïñó, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè
x2 z2
+
= 1, y = 0;
a2 c2
ïëîñêîñòü yOz — ïî ýëëèïñó, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè
y2 z 2
+
= 1, x = 0.
b2 c2
Åñëè äâå ïîëóîñè ýëëèïñîèäà ðàâíû, íàïðèìåð a = b, òî ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå
x2 y2 z 2
(3)
+
+
= 1.
a2 a2 c2
Ïåðåñåêàÿ ýòîò ýëëèïñîèä ïëîñêîñòüþ z = h, ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè
xOy, ïîëó÷èì îêðóæíîñòü
 h2
x 2 + y 2 = 1 − 2  a 2 , z = h

c 
ñ öåíòðîì íà îñè Oz. Ïîýòîìó òàêîé ýëëèïñîèä ìîæåò áûòü ïîëó÷åí
âðàùåíèåì ýëëèïñà
x2 z2
+
= 1,
a2 c2
ðàñïîëîæåííîãî â ïëîñêîñòè xOz, âîêðóã îñè Oz. Ýëëèïñîèä (3) íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ.
Åñëè æå âñå òðè ïîëóîñè ýëëèïñîèäà (1) ðàâíû: a = b = c, òî ïîëó÷àåì:
x2 + y2 + z2 = a2,
ò. å. ñôåðó, êîòîðàÿ, òàêèì îáðàçîì, îêàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ýëëèïñîèäà.
Îäíîïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì (ðèñ. 63) íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòü,
îïðåäåëÿåìàÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz óðàâíåíèåì
x2 y2 z 2
(4)
+
−
= 1,
a2 b2 c2
à äâóïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì (ðèñ. 64) — ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ
óðàâíåíèåì
x2 y2 z 2
(5)
+
−
= −1.
a2 b2 c2
Óðàâíåíèÿ (4) è (5) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ãèïåðáîëîèäîâ. Âåëè÷èíû a, b, c íàçûâàþòñÿ ïîëóîñÿìè îäíîïîëîñòíîãî (äâóïîëîñòíîãî) ãèïåðáîëîèäà. Îáà ãèïåðáîëîèäà èìåþò êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîðäèíàò — öåíòð ñèììåòðèè.
96
Ðèñ. 63
Ðèñ. 64
Îòìåòèì íåêîòîðûå ñå÷åíèÿ ãèïåðáîëîèäîâ ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì ïëîñêîñòÿì. Íàïðèìåð, îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä (4) ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò ïî ýëëèïñó
x2 y2
h2
+ 2 = 1 + 2 , z = h,
2
a
b
c
ïëîñêîñòü y = h (| h | ≠ b) — ïî ãèïåðáîëå
x2 z2
h2
, y = h,
−
=
1
−
a2 c2
b2
ïëîñêîñòü y = b — ïî äâóì ïðÿìûì
x2 z2
−
= 0, y = b.
a2 c2
Ïî àíàëîãèè ñ ýëëèïñîèäîì, åñëè ïîëóîñè a è b ãèïåðáîëîèäà (îäíîïîëîñòíîãî èëè äâóïîëîñòíîãî) ðàâíû, òî îí íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëîèäîì âðàùåíèÿ è ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì îêîëî îñè Oz ãèïåðáîëû
x2 z2
−
= 1, y = 0
a2 c2
â ñëó÷àå îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà è ãèïåðáîëû
x2 z2
−
= −1, y = 0
a2 c2
â ñëó÷àå äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà.
2. Ïàðàáîëîèäû. Ýëëèïòè÷åñêèì ïàðàáîëîèäîì (ðèñ. 65) íàçûâàåòñÿ
ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì
97
Ðèñ. 65
Ðèñ. 66
z=
x2 y2
+ ,
a2 b2
(6)
à ãèïåðáîëè÷åñêèì ïàðàáîëîèäîì (ðèñ. 66) — ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ
óðàâíåíèåì
x2 y2
(7)
z = 2 − 2.
a
b
Óðàâíåíèÿ (6) è (7) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïàðàáîëîèäîâ.
Ïëîñêîñòè xOz è yOz ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ïàðàáîëîèäîâ. Ïåðåñå÷åíèå ýòèõ ïëîñêîñòåé (îñü Oz) íàçûâàåòñÿ îñüþ ïàðàáîëîèäà, à ïåðåñå÷åíèå îñè Oz ñ ïîâåðõíîñòüþ ïàðàáîëîèäà — âåðøèíîé.
Îáà ïàðàáîëîèäà (ýëëèïòè÷åñêèé è ãèïåðáîëè÷åñêèé) ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì ïëîñêîñòÿì xOz è yOz, ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïàðàáîëàì. Òàê, ïëîñêîñòü x = h ïåðåñåêàåò ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðàáîëå
h2 y2
z − 2 = 2 , x = h.
a
b
Èç óðàâíåíèÿ (6) ñëåäóåò, ÷òî ïëîñêîñòü z = h (h > 0), ïàðàëëåëüíàÿ
ïëîñêîñòè õÎó, ïåðåñåêàåò ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ýëëèïñó, à èç
óðàâíåíèÿ (7) ñëåäóåò, ÷òî ïëîñêîñòü z = h (h ≠ 0) ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ãèïåðáîëå. Ïëîñêîñòü xOy ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî äâóì ïðÿìûì.
Ïðè a = b ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîèäîì âðàx2
ùåíèÿ. Îí ïîëó÷àåòñÿ ïðè âðàùåíèè ïàðàáîëû z = 2 , ó = 0 îêîëî îñè Oz.
a
98
3. Öèëèíäðû âòîðîãî ïîðÿäêà. Öèëèíäðû âòîðîãî ïîðÿäêà èëè, êðàòêî, öèëèíäðû îïðåäåëÿþòñÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz
óðàâíåíèÿìè:
x2 y2
à) 2 + 2 = 1
(8)
a
b
(ýëëèïòè÷åñêèé öèëèíäð, â ÷àñòíîñòè ïðè a = b êðóãîâîé);
x2 y2
á) 2 − 2 = 1 (ãèïåðáîëè÷åñêèé öèëèíäð);
(9)
a
b
2
(10)
â) y = 2ðõ (ïàðàáîëè÷åñêèé öèëèíäð).
Óðàâíåíèÿ (8)—(10) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè öèëèíäðîâ. Óðàâíåíèÿ (8)—(10) íå ñîäåðæàò ïåðåìåííîé z. Íà ïëîñêîñòè õÎó
óðàâíåíèå (8) îïðåäåëÿåò ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìè à è b. Åñëè òî÷êà (x; ó) ëåæèò íà ýòîì ýëëèïñå, òî ïðè ëþáîì z òî÷êà (x; ó; z) ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè (8). Ñîâîêóïíîñòü òàêèõ òî÷åê åñòü ïîâåðõíîñòü, îïèñàííàÿ ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oz è ïåðåñåêàþùåé ýëëèïñ
x2 y2
+
=1
a2 b2
â ïëîñêîñòè õÎó.
Ýòîò ýëëèïñ íàçûâàþò íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé äàííîé ïîâåðõíîñòè, à
âñå âîçìîæíûå ïîëîæåíèÿ äâèæóùåéñÿ ïðÿìîé — îáðàçóþùèìè.
Âîîáùå ïîâåðõíîñòü, îïèñûâàåìàÿ ïðÿìîé, îñòàþùåéñÿ ïàðàëëåëüíîé íåêîòîðîìó çàäàííîìó íàïðàâëåíèþ è ïåðåñåêàþùåé äàííóþ ëèíèþ
L, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé. Ïîâåðõíîñòü (8) èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 67.
 ñëó÷àå ãèïåðáîëè÷åñêîãî è ïàðàáîëè÷åñêîãî öèëèíäðîâ ((9) è
(10)) íàïðàâëÿþùèìè ëèíèÿìè ïîâåðõíîñòåé ÿâëÿþòñÿ ãèïåðáîëà è
ïàðàáîëà, à îáðàçóþùèìè — ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè Oz è ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ãèïåðáîëó è ïàðàáîëó â ïëîñêîñòè xOy. Ïîâåðõíîñòè (9) è
(10) èçîáðàæåíû íà ðèñóíêàõ 68 è 69.
Ðèñ. 67
Ðèñ. 68
99
Ðèñ. 69
Ðèñ. 70
4. Êîíóñ âòîðîãî ïîðÿäêà. Êîíóñîì âòîðîãî ïîðÿäêà èëè, êðàòêî, êîíóñîì (ðèñ. 70) íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ â ïðÿìîóãîëüíîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz óðàâíåíèåì
x2 y2 z 2
+
−
= 0.
a2 b2 c2
(11)
Óðàâíåíèå (11) íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì êîíóñà. Ýòà ïîâåðõíîñòü ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé.
Íà÷àëî êîîðäèíàò, ÿâëÿþùååñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè, ïðèíàäëåæèò
ýòîé ïîâåðõíîñòè è íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé êîíóñà. Ñå÷åíèÿìè êîíóc
c
ñà ïëîñêîñòÿìè x = 0 è ó = 0 ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå z = ± y è z = ± x .
b
a
x2 y2
 ïëîñêîñòè z = h (h ≠ 0) èìååì ýëëèïñ 2 + 2 = 1 ñ ïîëóîñÿìè
a * b*
a| h |
b| h |
, b* =
.Åñëè a = b, òî êîíóñ íàçûâàåòñÿ êîíóñîì âðàùåa* =
c
c
íèÿ. Äëÿ êîíóñà âðàùåíèÿ â ïëîñêîñòè z = h (h ≠ 0) èìååì îêðóæ2
2
íîñòü x + y = a *2 .
5. Ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïîâåðõíîñòü, îáðàçîâàííàÿ äâèæåíèåì ïðÿìîé, íàçûâàåòñÿ ëèíåé÷àòîé, à ëåæàùèå íà íåé ïðÿìûå — ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè.
Ïðèìåðàìè òàêèõ ïîâåðõíîñòåé ÿâëÿþòñÿ ðàññìîòðåííûå âûøå öèëèíäðû è êîíóñ.
Ñðåäè ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè îáëàäàþò (êðîìå
100
öèëèíäðîâ è êîíóñà) îäíîïîëîñòíûé ãèïåðáîëîèä è ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä. Ïðîâåäåì äîêàçàòåëüñòâî äëÿ îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà.
Ïðåäñòàâèì êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà
x 2 y2 z2
x 2 z2
y2
+
−
= 1 â âèäå 2 − 2 = 1 − 2 ,
a 2 b2 c 2
a
c
b
y 
y
 x z  x z 
èëè  +   −  = 1 +  1 −  .
a c a c 
b
b
(12)
Ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïåðâîé ñòåïåíè
x z
y

 a + c = k 1 + b  ,


 x − z = 1 1 − y  ,
 a c k 
b
(13)
ãäå k — ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî (k ≠ 0).
Ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè k ýòè óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ ëèíèþ. Ìåíÿÿ ïàðàìåòð k, ìû ïîëó÷èì ñîâîêóïíîñòü ïðÿìûõ (ñåìåéñòâî ïðÿìûõ). Åñëè ìû ïåðåìíîæèì óðàâíåíèÿ (13) ïî÷ëåííî, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå (12). Ïîýòîìó ëþáàÿ òî÷êà (õ; ó; z), êîîðäèíàòû
êîòîðîé óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå (13), ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè (12). Òàêèì îáðàçîì, êàæäàÿ èç
ïðÿìûõ ñåìåéñòâà (13) öåëèêîì ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà.
Àíàëîãè÷íî ñèñòåìà
x z
y

 a + c = l 1 − b  ,


 x − z = 1 1 + y  ,
 a c l 
b
(14)
ãäå l — ïðîèçâîëüíûé ïàðàìåòð (l ≠ 0) îïðåäåëÿåò ñåìåéñòâî ïðÿìûõ, îòëè÷íîå îò ñåìåéñòâà (13), ïðèíàäëåæàùåå ïîâåðõíîñòè (12).
Êðîìå òîãî, ìîæíî äîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, [1]), ÷òî ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà ïðîõîäèò ïî îäíîé ïðÿìîé èç êàæäîãî èç ýòèõ ñåìåéñòâ (îäíî èç
 3

2
íèõ èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 71). Íàïðèìåð, ÷åðåç òî÷êó  a;
b; c  ïîâåðõíîñòè (12)
2
 2

2+ 6
2+ 6
è ïðÿìàÿ (14) ïðè l =
.
2+ 2
2− 2
Íà ïîâåðõíîñòè ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà
x 2 y2
−
=z
a 2 b2
òàêæå ðàñïîëàãàþòñÿ äâà ñåìåéñòâà ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ (îäíî èç íèõ èçîáðàæåíî
íà ðèñóíêå 72). Èõ óðàâíåíèÿ:
ïðîõîäèò ïðÿìàÿ (13) ïðè k =
x y
x y 1
+ = kz,
− = ,
a b
a b k
x y 1
x y
+ = ,
− = lz.
a b l
a b
×åðåç êàæäóþ òî÷êó ýòîé ïîâåðõíîñòè ïðîõîäèò ïî îäíîé ïðÿìîé êàæäîãî ñåìåéñòâà.
101
Ðèñ. 71
Ðèñ. 72
Îòìåòèì, ÷òî îäíîíîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû íàøëè ïðèìåíåíèå â ïðàêòèêå ñòðîèòåëüñòâà. Ñîîðóæåíèå ðàçëè÷íûõ âûñîòíûõ áàøåí ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðÿìîëèíåéíûõ
îáðàçóþùèõ îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà ñî÷åòàåò â ñåáå ïðî÷íîñòü êîíñòðóêöèè ñ
ïðîñòîòîé åå èñïîëíåíèÿ. Èäåÿ èñïîëüçîâàíèÿ îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà â ñòðîèòåëüñòâå ïðèíàäëåæèò çíàìåíèòîìó ðóññêîìó èíæåíåðó Âëàäèìèðó Ãðèãîðüåâè÷ó Øóõîâó (1853—1939). Ïî ïðîåêòó Øóõîâà ïîñòðîåíà òåëåâèçèîííàÿ áàøíÿ â Ìîñêâå, îíà
ñîñòîèò èç ñåêöèé îäíîïîëîñòíûõ ãèïåðáîëîèäîâ âðàùåíèÿ.
Ãëàâà 6. ÎÁÙÅÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÅ ÊÐÈÂÎÉ
ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ
§ 6.1. Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
ê äèàãîíàëüíîìó âèäó
1. Îïðåäåëåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû è åå ìàòðèöû. Êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé îò äâóõ ïåðåìåííûõ x1 è x2 íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ýòèõ äâóõ
ïåðåìåííûõ:
(1)
F = a11 x12 + 2a12 x1 x 2 + a 22 x 22 .
Çäåñü a11, a12, a22  ÷èñëà, çàäàíèå êîòîðûõ îïðåäåëÿåò ôîðìó; èõ íàçûâàþò êîýôôèöèåíòàìè ôîðìû. (Äâîéêà ïåðåä a12 ïîñòàâëåíà äëÿ óïðîùåíèÿ ïîëó÷àþùèõñÿ ôîðìóë.)
Ïîêàæåì, êàê êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (1) ìîæíî çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Ïðåæäå
âñåãî, ïîëàãàÿ a12 = a21, çàïèøåì åå â âèäå
a
Ìàòðèöà A =  11
 a 21
102
F = (a11x1 + a12x2) x1 + (a21x1 + a22x2) x2.
a12 
 íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû (1).
a 22 
x 
Ââåäÿ ìàòðèöó-ñòîëáåö X =  1  è ìàòðèöó-ñòðîêó X * = (x1 x 2 ), ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî
 x2 
F = X*AX.
(2)
Äåéñòâèòåëüíî, ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ ìàòðèö (§ 3.1, ï. 5) ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì:
a12   x1   a11 x1 + a12 x 2 
a
AX =  11
,
  =
a
a
 a 21 x1 + a 22 x 2 
 21
22   x 2 
 a x + a12 x 2 
X *AX = (x1 x 2 ) 11 1
 = x1 (a11 x1 + a12 x 2 ) + x 2 (a 21 x1 + a 22 x 2 ) = F .
 a 21 x1 + a 22 x 2 
Áóäåì òðàêòîâàòü ïåðåìåííûå x1 è x2 êàê êîîðäèíàòû òî÷åê â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò x1Ox2. Ðàññìîòðèì íîâóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x1'Ox2'. Ïóñòü êîîðäèíàòû òî÷åê â ñòàðîé è íîâîé ñèñòåìàõ ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ (15) èç § 3.2 (ï. 5)
x1 = α11x1' + α12x2', x2 = α21x1' + α22x2'
(3)
ñ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé ïðåîáðàçîâàíèÿ
α
L =  11
 α 21
α12 
.
α 22 
Êàê óñòàíîâëåíî â § 3.2 (ï. 5), ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ (3) ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåé
ìàòðè÷íîé ôîðìå:
X = LX′.
(4)
Çäåñü
x 
 x′ 
X =  1 , X ′ =  1 .
 x2 
 x ′2 
Åñëè âìåñòî x1 è x2 â êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (1) ïîäñòàâèòü èõ âûðàæåíèÿ ÷åðåç x1' è x2'
ñîãëàñíî (3), òî ïîëó÷èì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó îò ïåðåìåííûõ x1' è x2'.
2. Ïðèâåäåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó. Ïîñòàâèì çàäà÷ó âûáðàòü
íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x1'Ox2' òàê, ÷òîáû â êâàäðàòè÷íîé ôîðìå îò ïåðåìåííûõ x1′, x2′
îòñóòñòâîâàë ÷ëåí ñ ïðîèçâåäåíèåì êîîðäèíàò, ò. å. ÷òîáû îíà ïðèíÿëà âèä
2
2
F = λ1x1′ + λ2x2′ ,
(5)
êîòîðûé íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì.
Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè ïðåîáðàçîâàíèÿ áóäåì ïðîâîäèòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó-ñòðîêó
X′* = (x1′ x2′).
Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
X* = X′*L−1.
Äåéñòâèòåëüíî, â § 3.2 (ï. 5, (20)) óñòàíîâëåíî:
α 21 
α
L−1 = L* =  11
.
α
 12 α 22 
Ïîýòîìó
α12 
α
X ′ * L−1 = ( x1′ x 2′ ) 11
 = (α11 x1′ + α12 x 2′ α 21 x1′ + α 22 x ′2 ),
 α 21 α 22 
(6)
îòêóäà â ñèëó ðàâåíñòâ (3) X′*L−1 = (x1 x2) = X*.
103
Ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü ðàâåíñòâà (2) âûðàæåíèÿ äëÿ X* è X èç ðàâåíñòâ (6) è (4),
áóäåì èìåòü:
F = X*AX = (X′*L−1)A(LX′) = X′*(L−1AL)X′.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû F =
−1
−1
= X'*(L AL)X' èìååò âèä A' = L AL.
Âûáåðåì òåïåðü íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò x1′Ox ′2 òàê, ÷òîáû ìàòðèöà A' ïðèíÿëà ñëåäóþùóþ ôîðìó:
0
λ
A′ =  1
.
 0 λ2
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìàòðèöà ïðèâåäåíà ê äèàãîíàëüíîìó âèäó. Ïðè ýòîì êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà F â ïåðåìåííûõ x1' è x2′ çàïèøåòñÿ â âèäå (5).
Èòàê, íîâóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò íàäî âûáðàòü òàê, ÷òîáû ìàòðèöà L ïðåîáðàçîâàíèÿ
óäîâëåòâîðÿëà ñîîòíîøåíèþ
 λ1 0 
−1

 = L AL.
 0 λ2
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåâà íà ìàòðèöó L:
0
λ
−1
L 1
 = LL AL = EAL = AL .
0
λ

2
Îòñþäà
 α11 λ 1

 α 21 λ 1
α12 λ 2   a11 α11 + a12α 21
 =
α 22 λ 2   a 21 α11 + a 22α 21
a11 α12 + a12α 22 

a 21 α12 + a 22α 22 
è, çíà÷èò,
(a11 − λ 1 )α11 + a12α 21 = 0,

a 21 α11 + (a 22 − λ 1 )α 21 = 0
(7)
(a11 − λ 2 )α12 + a12α 22 = 0,

a 21 α12 + (a 22 − λ 2 )α 22 = 0.
(8)
è
Òàêèì îáðàçîì, íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ α11, α12, α21, α22 íàõîäÿòñÿ èç ñèñòåì óðàâíåíèé (7) è (8). Êàæäàÿ èç ýòèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé. Äëÿ
òîãî ÷òîáû îíè èìåëè îòëè÷íûå îò íóëÿ ðåøåíèÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî (ñì. § 3.4, ï.
3), ÷òîáû îïðåäåëèòåëü êàæäîé èç ýòèõ ñèñòåì áûë ðàâåí íóëþ.
Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëà λ1 è λ2 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ
a −λ
a12 

 11
 = 0,
a 22 − λ
 a 21
(9)
èëè
2
λ − (a11 + a22)λ + (a11a22 − a12a21) = 0.
(9′)
Äèñêðèìèíàíò D ýòîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ âñåãäà íåîòðèöàòåëåí. Äåéñòâèòåëüíî,
2
D = (a11 + a 22 )2 − 4(a11 a22 − a12 a21 ) = a112 + a22
− 2a11 a22 + 4a12a 21 =
= (a11 − a 22 )2 + 4a122 ,
104
òàê êàê a12 = a21 (ï. 1) Èòàê, óðàâíåíèå (9) (èëè (9′)) âñåãäà èìååò äåéñòâèòåëüíûå êîðíè.
Îíî íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì ìàòðèöû A. Êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè ìàòðèöû A. Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå èç óðàâíåíèÿ (9)
çíà÷åíèÿ λ1 è λ2 â ñèñòåìû (7), (8) è ðåøàÿ èõ, íàéäåì êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò α12, α12, α21, α22.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó
F = 5x12 + 4x1 x 2 + 2 x 22 .
(10)
Çäåñü a11 = 5, a12 = a21 = 2, a22 = 2. Ìàòðèöà äàííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû èìååò âèä:
5 2
A=
.
2 2 
2
Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå λ − 7λ + 6 = 0, îòêóäà λ1 = 1, λ2 = 6. Ïîýòîìó
çàäàííàÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà ïðèâîäèòñÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó
F = x1′ 2 + 6x ′2 2 .
Åñëè ÷èñëà λ1 è λ2 îäíîãî çíàêà, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (1) ïðèíàäëåæèò ýëëèïòè÷åñêîìó òèïó; åñëè λ1 è λ2 ðàçíûõ çíàêîâ, òî ãèïåðáîëè÷åñêîìó òèïó;
åñëè æå îäíî èç ÷èñåë λ1 èëè λ2 ðàâíî íóëþ, òî ïàðàáîëè÷åñêîìó òèïó.
Èç (9′) âèäíî, ÷òî λ1λ2 = a11a22 – a122 . Ïîýòîìó êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (1) áóäåò ýëëèïòè÷åñêîé, ãèïåðáîëè÷åñêîé èëè ïàðàáîëè÷åñêîé, åñëè âûðàæåíèå a11a22 – a122 ñîîòâåòñòâåííî áîëüøå, ìåíüøå èëè ðàâíî íóëþ.
Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà (10) áóäåò ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà.
§ 6.2. Îáùåå óðàâíåíèå êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà, åãî
ïðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó
1. Óïðîùåíèå îáùåãî óðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà. Óðàâíåíèå
2
2
a11x + 2a12xy + à22 ó + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0,
(1)
ãäå êîýôôèöèåíòû a11, 2a12, a22, 2a13, 2a23, a33 — âåùåñòâåííûå ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì
2
> 0, íàçûâàåòñÿ îáùèì óðàâíåíèåì êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïåðâûå òðè
a112 + a122 + a 22
÷ëåíà óðàâíåíèÿ (1), ò. å. ÷ëåíû âòîðîé ñòåïåíè, íàçûâàþòñÿ åå ñòàðøèìè ÷ëåíàìè.
Êîýôôèöèåíòû ïðè xy, x è y îáîçíà÷åíû ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç 2à12, 2a13 è 2a23 äëÿ
óäîáñòâà ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ (1) â äàëüíåéøåì.
Âàæíåéøåé çàäà÷åé àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàíèå îáùåãî óðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà è ïðèâåäåíèå åãî ê ïðîñòåéøèì (êàíîíè÷åñêèì) ôîðìàì.
Ïðèìåíèì ïðåîáðàçîâàíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû, îïèñàííîå â ïðåäûäóùåì ïóíêòå,
ê óïðîùåíèþ îáùåãî óðàâíåíèÿ êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ïåðåõîä ê íîâîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ñ òåì æå íà÷àëîì, êàê ïîêàçàíî â
§ 3.2 (ï. 5), ñâîäèòñÿ ê çàìåíå ïåðåìåííûõ
x = α11x′ + α12y′,
y = α21x′ + α22y′
(2)
ñ îðòîãîíàëüíîé ìàòðèöåé ïåðåõîäà L. Ïðè ïîäñòàíîâêå ýòèõ âûðàæåíèé â óðàâíåíèå (1)
ãðóïïà ÷ëåíîâ âòîðîé ñòåïåíè è ãðóïïà ÷ëåíîâ ïåðâîé ñòåïåíè ïðåîáðàçóþòñÿ
105
íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Åñëè ñëåäèòü ñíà÷àëà çà ãðóïïîé ÷ëåíîâ âòîðîé ñòåïåíè (êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé), òî íà îñíîâàíèè ïðåäûäóùåãî ïóíêòà âñåãäà ìîæíî âûáðàòü ñèñòåìó
êîîðäèíàò x′Oy′ òàê, ÷òî ýòà ãðóïïà ÷ëåíîâ ïðèîáðåòàåò êàíîíè÷åñêèé âèä. Ïîýòîìó âñå
óðàâíåíèå (1) ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ áóäåò èìåòü âèä:
λ1x ′ 2 + λ2y′ 2 + 2µ1x ′ + 2µ2y′ + a33 = 0.
(3)
Çäåñü λ1 è λ2 — êîðíè óðàâíåíèÿ
λ2 + (a11 + a22)λ + (a11a22 − a12a21) = 0,
à µ1 è µ2 — íåêîòîðûå íîâûå êîýôôèöèåíòû ïðè ÷ëåíàõ ïåðâîé ñòåïåíè, êîòîðûå ñàìè
ïîëó÷àþòñÿ ïîñëå ïîäñòàíîâêè âûðàæåíèé (2).
2
2
2. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ λ1x ′ + λ2y ′ + 2µ1x ′ + 2µ2y ′ + a33 = 0. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ (3)
ïðîèçâîäèòñÿ â çàâèñèìîñòè îò òèïà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå: δ = a11 a 22 − a122 .
1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî δ ≠ 0. Òàê êàê δ = λ1λ2 (§ 6.1, ï. 2), òî λ1 ≠ 0 è λ2 ≠ 0, è ïîýòîìó ìîæíî
óðàâíåíèå (3) ïåðåïèñàòü òàê:
2
2


µ 
µ2 µ2
µ 
λ 1  x ′+ 1  + λ 2  y′+ 2  = −a 33 + 1 + 2 .
λ1 
λ2 
λ1 λ 2


(4)
µ
Âûïîëíèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñèñòåìû ïîâåðíóòûõ îñåé íà âåëè÷èíó − 1 â íàïðàâλ1
µ
ëåíèè îñè Ox′ è íà âåëè÷èíó − 2 â íàïðàâëåíèè îñè Oy′; ïåðåõîä ê íîâûì êîîðäèíàòàì
λ2
äàþò ôîðìóëû
x ′ = x ′′ −
µ1
λ1
, y′ = y′′ −
µ2
.
λ2
Åñëè ìû îáîçíà÷èì ïðàâóþ ÷àñòü (4) áóêâîé H, òî óðàâíåíèå äàííîé ëèíèè â ïîñëåäíèõ
êîîðäèíàòàõ ïðèìåò êàíîíè÷åñêèé âèä
λ1x″2 + λ2y″2 = H.
(5)
Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:
1) λ1 è λ2 îäíîãî çíàêà; áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî λ1 > 0, λ2 > 0 (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èçìåíèì
çíàêè âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèÿ). Åñëè H ≠ 0, òî óðàâíåíèå (5) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
x ′′ 2 y′′ 2
+
= 1.
H
H
λ1
λ2
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ïðè H > 0 óðàâíåíèå (5) îïðåäåëÿåò ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìèa =
H
,b =
λ1
H
.
λ2
Åñëè H = 0, òî óðàâíåíèå (5) îïðåäåëÿåò åäèíñòâåííóþ âåùåñòâåííóþ òî÷êó: x ″ = 0,
y″ = 0. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå ïðèíÿòî ãîâîðèòü, ÷òî óðàâíåíèå (5) åñòü óðàâíåíèå âûðîæäåííîãî ýëëèïñà.
Åñëè H < 0 (ïðè λ1 > 0, λ2 > 0), òî óðàâíåíèå (5) íèêàêîãî âåùåñòâåííîãî îáðàçà íå îïðåäåëÿåò.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî óðàâíåíèå (5) åñòü óðàâíåíèå ìíèìîãî ýëëèïñà.
106
2) ×èñëà λ1, λ2 ðàçíûõ çíàêîâ; áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî λ1 > 0, λ2 < 0. Åñëè ïðè ýòîì H > 0, òî
óðàâíåíèå (5) îïðåäåëÿåò ãèïåðáîëó, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ è èìååò ïîëóîñè
a=
H
H
, b = − . Åñëè Í < 0, òî òàêæå ïîëó÷àåòñÿ ãèïåðáîëà, íî ïåðåñåêàþùàÿ îñü îðλ1
λ2
äèíàò. Åñëè H = 0, òî óðàâíåíèå (5) îïðåäåëÿåò ïàðó ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî
êîîðäèíàò, òàê êàê îíî ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
( λ 1 x ′′ + − λ 2 y′′)( λ 1 x ′′ − − λ 2 y′′) = 0.
 ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî óðàâíåíèå (5) îïðåäåëÿåò âûðîæäåííóþ ãèïåðáîëó.
Âîçâðàùàÿñü òåïåðü ê èñõîäíîìó óðàâíåíèþ (1), íàïîìíèì, ÷òî δ = a11 a 22 − a122 = λ 1 λ 2 .
Ïîýòîìó åñëè δ > 0, òî λ1, λ2 — ÷èñëà îäíîãî çíàêà; åñëè δ < 0, òî λ1, λ2 — ÷èñëà ðàçíûõ çíàêîâ. Îòñþäà çàêëþ÷àåì: åñëè äàííîå óðàâíåíèå (1) èìååò δ = a11 a 22 − a122 > 0, òî îíî îïðåäåëÿåò ýëëèïñ (äåéñòâèòåëüíûé, ìíèìûé èëè âûðîæäåííûé); åñëè δ < 0, òî óðàâíåíèå îïðåäåëÿåò
ãèïåðáîëó (íàñòîÿùóþ èëè âûðîæäåííóþ).
2. Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèå (1) ïðè óñëîâèè δ = 0. Òàê êàê δ = = λ1λ2, òî íà ýòîò ðàç
îäíî èç ÷èñåë λ1, λ2 ðàâíî íóëþ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî λ1 ≠ 0, λ2 = 0. Óðàâíåíèå (3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
2


µ 
µ2 
λ 1  x ′+ 1  + 2µ 2 y′+  a 33 − 1  = 0.
λ1 
λ1 


Îáîçíà÷àÿ âåëè÷èíó, ñòîÿùóþ â ïîñëåäíåé ñêîáêå, îäíîé áóêâîé k, ïîëó÷èì:
2

µ 
λ 1  x ′+ 1  + 2µ 2 y′+k = 0.
λ1 

(6)
Äàëüíåéøåå ïðåîáðàçîâàíèå óðàâíåíèÿ (6) çàâèñèò îò µ2.
1) Åñëè µ2 ≠ 0, òî óðàâíåíèå (6) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
2


µ 
k 
λ 1  x ′+ 1  + 2µ 2  y′+
 = 0.
λ
2
µ


2 
1 
Âûïîëíèì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñèñòåìû îñåé Ox′, Oy′:
µ
k
;
x ′ = x ′′ − 1 , y′ = y′′ −
2µ 2
λ1
2
ïîëó÷èì λ1x″ + 2µ2ó″ = 0, èëè
2
x″ = 2ðó″,
µ2
ãäå p = − .
λ1
Óðàâíåíèå (7) åñòü êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïàðàáîëû.
2) Åñëè µ2 = 0, òî, âûïîëíÿÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ x ′ = x ′′ −
ïðèìåò âèä:
2
λ1x″ + k = 0.
(7)
µ1
λ1
, y′ = y″, óðàâíåíèå (6)
(8)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ1 > 0. Òîãäà åñëè k < 0, òî óðàâíåíèå (8) îïðåäåëÿåò ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ:
(9)
λ 1 x ′′ + −k = 0,
λ 1 x ′′ − −k = 0
(íàïðèìåð, óðàâíåíèå 4õ″2 − 9 = 0 îïðåäåëÿåò ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ 2õ″ + 3 = 0, 2õ″ −
− 3 = 0). Åñëè k = 0, òî ïðÿìûå (9) ñëèâàþòñÿ. Åñëè k > 0, òî óðàâíåíèå (8) íèêàêîãî
107
âåùåñòâåííîãî îáðàçà íå îïðåäåëÿåò. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî óðàâíåíèå (8)
îïðåäåëÿåò ïàðó ìíèìûõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ (ïðè k > 0 â óðàâíåíèÿõ (9) ÷èñëî −k áóäåò
ìíèìûì, ñì. § 7.7). Âîîáùå óðàâíåíèå (8) íàçûâàþò óðàâíåíèåì âûðîæäåííîé ïàðàáîëû.
Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîìó óðàâíåíèþ (1), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó çàêëþ÷åíèþ: åñëè
δ = a11 a 22 − a122 = 0, òî óðàâíåíèå (1) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïàðàáîëû (îáûêíîâåííîé èëè
âûðîæäåííîé).
3. Ïîäâîäÿ èòîã âñåìó èññëåäîâàíèþ, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó îáùåìó âûâîäó: êàæäîå óðàâíåíèå âòîðîé ñòåïåíè a11x2 + 2a12xy + a22y2 + + 2a13x + 2a23y + a33 = 0 îïðåäåëÿåò ëèáî
ýëëèïñ (åñëè δ = a11 a 22 − a122 > 0), ëèáî ãèïåðáîëó (åñëè δ < 0), ëèáî ïàðàáîëó (åñëè δ = 0). Ïðè
ýòîì ñëåäóåò ó÷èòûâàòü ìíèìûé è âûðîæäåííûé ýëëèïñû, à òàêæå âûðîæäåííûå ãèïåðáîëû è ïàðàáîëû.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó îáùåå óðàâíåíèå êðèâîé âòîðîãî ïîðÿäêà 5x2 + 8xy + 5y2 − 18õ − 18y + 9 = 0.
Ð å ø å í è å. Êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà, ñîñòàâëåííàÿ èç ñòàðøèõ ÷ëåíîâ äàííîãî óðàâíåíèÿ, èìååò âèä: F = 5x2 + 8xy + 5y2.
Çäåñü a11 = 5, a12 = a21 = 4, a22 = 5, ìàòðèöà
 5 4
A=
.
 4 5
2
Òàê êàê δ = a11 a 22 − a122 = 5⋅5 − 4 = 9 > 0, òî äàííàÿ êðèâàÿ îïðåäåëÿåò ýëëèïñ.
Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (ñì. § 6.1, ï. 2, (9′)):
2
λ − 10λ + 9 = 0.
Êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ λ1 = 9, λ2 = 1. Çíà÷èò (§ 6.1, ï. 2), êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà F â íîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò x′Oy′ çàïèøåòñÿ â âèäå
2
2
2
2
F = λ1x′ + λ2y′ = 9x′ + y′ .
α
Íàéäåì ìàòðèöó L =  11
 α 21
α12 
 ïåðåõîäà îò ñòàðîé ñèñòåìû êîîðäèíàò xOy ê íîâîé
α 22 
x′Oy′. Äëÿ ýòîãî ñîñòàâèì ñèñòåìû óðàâíåíèé:
(5 − 9)α11 + 4α 21 = 0,

 4α11 + (5 − 9)α 21 = 0,
(5 − 1)α12 + 4α 22 = 0,

 4α12 + (5 − 1)α 22 = 0.
Êàæäàÿ èç ýòèõ ñèñòåì ñâîäèòñÿ ê îäíîìó óðàâíåíèþ: ïåðâàÿ ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê
óðàâíåíèþ α11 = α21, à âòîðàÿ — ê óðàâíåíèþ α22 = –α12. Ìàòðèöà L ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé (ñì. § 3.2, ï. 5). Ïîýòîìó äîëæíû èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâà
2
+ α 222 = 1.
α112 + α 221 = 1 è α12
Ñëåäîâàòåëüíî,
α11 = α 21 =
108
1
1
1
è α12 = −
, α 22 =
.
± 2
± 2
± 2
Âûáèðàÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïåðåä êîðíåì çíàê «+», ïîëó÷èì:
1
1
1
1
, α 21 =
, α12 = −
, α 22 =
.
α11 =
2
2
2
2
Èòàê, ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò
â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä:
1
1
x=
(x ′− y′ ), y =
(x ′+ y′ )
2
2
è ïîòîìó
18
(x ′− y′ ) −
2
.
18
36
−
(x ′+ y′ ) + 9 = −
x ′+9
2
2
−18x − 18 y + 9 = −
Ðèñ. 73
Òàêèì îáðàçîì, â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò x′Oy′ óðàâíåíèå äàííîé êðèâîé çàïèøåì â âèäå
(x ′− 2 )2 y′ 2
36x ′
+
= 1.
9x ′ 2 + y′ 2 −
+ 9 = 0, èëè â âèäå
1
9
2
Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ ëèíèÿ ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì, öåíòð êîòîðîãî â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íàõîäèòñÿ â òî÷êåO1 ( 2 ; 0). Äëÿ òîãî ÷òîáû óñòàíîâèòü ðàñïîëîæåíèå ýëëèïñà îòíîñèòåëüíî ñòàðîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, íàäî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå íîâûõ îñåé îòíîñèòåëüíî ñòàðîé ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü óãëû ìåæäó îðòàìè e1 è e 2 ñòàðîé ñèñòåìû è e1′ è e 2′ íîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ïî ôîðìóëàì (14) § 3.2 (ï. 5) íàõîäèì:
1
1
, cos(e 2 , e1′) = α 21 =
,
cos(e1 , e1′) = α11 =
2
2
1
1
, cos(e 2 , e 2′ ) = α 22 =
.
cos(e1 , e 2′ ) = α12 = −
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî, óãëû, êîòîðûå îñè íîâîé ñèñòåìû îáðàçóþò ñ îñÿìè ñòàðîé, òàêîâû:
π
3π
π
π
(e1 , e1′) = , (e1 , e 2′ ) =
, (e 2 , e1′) = , (e 2 , e 2′ ) = .
4
4
4
4
Ðàñïîëîæåíèå îñåé è ýëëèïñà ïðèâåäåíî íà ðèñóíêå 73.
§ 6.3. Èíâàðèàíòû êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà
1. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè ïàðàëëåëüíîì
ïåðåíîñå. Ïóñòü äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò õ′Î′ó′ ïîëó÷åíà ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì ñèñòåìû xOy. Êàê èçâåñòíî (ñì. 3.2, ï. 5), ñòàðûå è íîâûå êîîðäèíàòû
òî÷êè M ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
x = x′ + x0, y = y′ + y0,
ãäå x0, ó0 — êîîðäèíàòû íà÷àëà Î′ â ñèñòåìå õÎó. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ äëÿ x è ó â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ
(1)
a11 x 2 + 2a12 xy + a 22 y 2 + 2a13 x + 2a 23 y + a 33 = 0,
ïîëó÷èì:
a11 x ′ 2 +2a12 x ′ y′+a 22 y′ 2 +2a′13 x ′+2a′ 23 y′+a′ 33 = 0,
(1′)
109
ãäå
a13
′ = a11 x 0 + a12 y0 + a13 ,
a 23
′ = a12 x 0 + a 22 y0 + a 23 ,
2
0
a ′33 = a11 x + 2a12 x 0 y0 + a 22 y02 + 2a13 x 0 + 2a23 y0 + a 33
(2)
Èòàê, ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ñèñòåìû êîîðäèíàò êîýôôèöèåíòû ãðóïïû ñòàðøèõ
÷ëåíîâ íå èçìåíÿþòñÿ, a îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëàì (2).
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Èñïîëüçóÿ ïåðâóþ è âòîðóþ èç ôîðìóë (2), ìîæíî, î÷åâèäíî, âûðàæåíèþ äëÿ a ′33 ïðèäàòü ñëåäóþùèé âèä:
a′33 = (a′13 + a13)x0 + (a′23 + a23)y0 + a33.
(3)
2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïîâîðîòå. Ïóñòü äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò õ′Îó′ ïîëó÷åíà ïîâîðîòîì ñèñòåìû õÎó íà óãîë ϕ (ïðè ýòîì íå èñêëþ÷àåòñÿ ïîâîðîò íà óãîë ϕ, ðàâíûé íóëþ). Êàê èçâåñòíî (§ 3.2, ï. 5), ñòàðûå è íîâûå êîîðäèíàòû òî÷êè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
õ = õ′cos ϕ − ó′sinϕ, ó = õ ′sinϕ + y ′cos ϕ.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ äëÿ õ è ó â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1) è ãðóïïèðóÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ðàçëè÷íûõ ñòåïåíÿõ õ′ è ó′, ïîëó÷èì:
2
2
a′11x′ + 2a′l2x′y′ + a′22ó′ + 2a′13x′ + 2a′23ó′ + a33 = 0,
ò. å. ïðè ïîâîðîòå ñèñòåìû êîîðäèíàò ñâîáîäíûé ÷ëåí íå èçìåíÿåòñÿ (îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ñîîòâåòñòâóþùèì ôîðìóëàì; ñì., íàïðèìåð, [6]).
3. Èíâàðèàíòû óðàâíåíèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ò å î ð å ì à. Âåëè÷èíû
a
I1 = a11 + a 22 , I 2 = 11
a12
a11
a12
, I 3 =a12

a 22
a13
a12
a 22
a 23
a13
a 23

a 33
(4)
íå ìåíÿþòñÿ ïðè ëþáîì ïðåîáðàçîâàíèè óðàâíåíèÿ (1) ê íîâûì ïðÿìîóãîëüíûì êîîðäèíàòàì
(ïîýòîìó èõ íàçûâàþò èíâàðèàíòàìè óðàâíåíèÿ (1) îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Î÷åâèäíî, èíâàðèàíòíîñòü âåëè÷èí I1, I2, I3 ïîòðåáóåòñÿ äîêàçàòü îòäåëüíî äëÿ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà ñèñòåìû êîîðäèíàò è äëÿ ïîâîðîòà.
Ðàäè êðàòêîñòè ðàññìîòðèì ëèøü ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ. Ïðè ýòîì ïðåîáðàçîâàíèè
êîîðäèíàò êîýôôèöèåíòû ãðóïïû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ íå èçìåíÿþòñÿ (ñì. ï. 1). Ïîýòîìó íå
èçìåíÿþòñÿ è âåëè÷èíû I1 è I2. Çàéìåìñÿ âû÷èñëåíèåì I3.  íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
x′O′y′ âåëè÷èíà I3 ðàâíà
a11
a
 12
′
a13
a12
a 22
a ′23
a13
′
a 23
′ .

a ′33 
Âû÷èòàÿ èç ïîñëåäíåé ñòðîêè ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà x0, è
âòîðóþ, óìíîæåííóþ íà y0 (x0 è ó0 — êîîðäèíàòû íîâîãî íà÷àëà O′), è èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì
110
âûðàæåíèÿ äëÿ a′13 è a'23 èç ôîðìóë (2) è âûðàæåíèå äëÿ à′33 èç ôîðìóëû (3), íàéäåì, ÷òî
ýòîò îïðåäåëèòåëü ðàâåí
a11
a
 12
a13
a12
a 22
a 23
′
a13
′
a 23

.

a13 x 0 + a 23 y0 + a 33
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ çíà÷åíèå îïðåäåëèòåëÿ íå ìåíÿåòñÿ (ñì.
§ 3.2, ï. 2).
Åñëè òåïåðü âû÷åñòü èç ïîñëåäíåãî ñòîëáöà ïîëó÷åííîãî îïðåäåëèòåëÿ ïåðâûé ñòîëáåö, óìíîæåííûé íà x0, è âòîðîé, óìíîæåííûé íà ó0, è èñïîëüçîâàòü ïðè ýòîì âûðàæåíèÿ äëÿ a'13 è a'23 èç ôîðìóë (2), òî â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ îïðåäåëèòåëü, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ äëÿ I3 â ôîðìóëàõ (4).
§ 6.4. Óðàâíåíèå öåíòðà.
Âûðîæäåíèå êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà
1. Óðàâíåíèå öåíòðà. Íåêîòîðóþ òî÷êó S íàçûâàþò öåíòðîì äàííîé ëèíèè âòîðîãî
ïîðÿäêà, åñëè ïîñëå ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò â òî÷êó S óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè íå áóäåò
ñîäåðæàòü ÷ëåíîâ ïåðâîé ñòåïåíè. Ëåâàÿ ÷àñòü òàêîãî óðàâíåíèÿ íå ìåíÿåòñÿ ïðè îäíîâðåìåííîì èçìåíåíèè çíàêîâ òåêóùèõ êîîðäèíàò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êè ëèíèè ðàñïîëîæåíû ïàðàìè ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè S, ò. å. ÷òî òî÷êà S ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì
ñèììåòðèè ëèíèè.
Ïóñòü äàíà ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà
2
2
à11õ + 2à12õó + à22ó + 2à13õ + 2à23ó + à33 = 0.
(1)
Òðåáóåòñÿ íàéòè åå öåíòð (åñëè îí åñòü).
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî öåíòð èìååòñÿ, îáîçíà÷èì ÷åðåç x0, y0 èñêîìûå êîîðäèíàòû öåíòðà
S (â äàííîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìå). Ïåðåíåñåì íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó S. Ïðè ýòîì
êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîé òî÷êè èçìåíÿòñÿ ïî ôîðìóëàì
x = x′ + x0, y = y′ + y0,
ãäå õ′, ó′ — íîâûå êîîðäèíàòû òîé æå òî÷êè. Ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (1) ê íîâûì êîîðäèíàòàì. Ïîëó÷èì (ñì. § 6.3, ï. 1):
2
2
allx′ + 2a12x′y′ + a22y′ + 2a′13x′ + 2a′23y′ + a'33 = 0,
(2)
ãäå a ′13, a ′23 è a ′33 îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (2) èç § 6.3. Òî÷êà S áóäåò öåíòðîì, åñëè a13
′ =0
è a ′23 = 0. Îòñþäà è èç (2) (§ 6.3) ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ öåíòðà:
a11 x 0 + a12 y0 + a13 = 0,

a12 x 0 + a 22 y0 + a 23 = 0.
(3)
Ðåøàÿ èõ ñîâìåñòíî, íàéäåì öåíòð S(x0; y0). Ñèñòåìà (3) ìîæåò îêàçàòüñÿ íåñîâìåñòíîé,
òîãäà öåíòðà ó äàííîé ëèíèè íåò.
111
Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (3) åñòü
a
I 2 = 11
a12
a12
.
a 22
(4)
Åñëè I2 ≠ 0, òî ñèñòåìà (3) ñîâìåñòíà è èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî,
åñëè I2 ≠ 0, òî äàííàÿ ëèíèÿ èìååò åäèíñòâåííûé öåíòð. Òàêàÿ ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíîé. Êîîðäèíàòû öåíòðà âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
a
a13
a13 a11

 12



a 22 a 23
a 23 a12
, y0 =
.
(5)
x0 =
I2
I2
Îòñþäà è èç (2) § 6.3 íàéäåì a'33 Âû÷èñëåíèå a'33 ìîæíî çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü, åñëè âûðàçèòü a'33 ñî ñëåäóþùåé ãðóïïèðîâêîé ÷ëåíîâ:
a′33 = (a11x0 + a12y0 + a13) x0 + (a12x0 + a22y0 + a23) y0 + a13x0 + a23y0 + a33.
Òîãäà â ñèëó ñèñòåìû (3) èìååì: a′33 = à13x0 + a23y0 + a33.
Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5) è îïðåäåëèòåëü (4), íàéäåì:
a12
a
a11
a13
a
a
 + a 23

 13
 + a 33 11
a13 12
a
a
a
a
a
a
I
 22
22
 12
 23 12
23
= 3.
a ′33 =
I2
I2
I3 íàçûâàåòñÿ äèñêðèìèíàíòîì ëåâîé ÷àñòè îáùåãî óðàâíåíèÿ (1).
Èòàê, åñëè ëèíèÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (1), ÿâëÿåòñÿ öåíòðàëüíîé (I2 ≠ 0), òî ïîñëå
ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò â åå öåíòð äàííîå óðàâíåíèå (1) (êàê ñëåäóåò èç (2)) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
a11 x ′ 2 +2a12 x ′ y′+a 22 y′ 2 +
I3
=0
I2
(6)
(êîýôôèöèåíòû a11, a12, a22 ïðåæíèå). Ñîâåðøàÿ òåïåðü íàäëåæàùèé ïîâîðîò îñåé, ìîæíî ïðèâåñòè óðàâíåíèå (6) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó:
λ 1 x ′′ 2 + λ 2 y′′ 2 +
I3
= 0.
I2
Òàêèì îáðàçîì, ñâîáîäíûé ÷ëåí H â óðàâíåíèè (5) § 6.2 ìîæåò áûòü ïîäñ÷èòàí ïî

I 
äàííîìó óðàâíåíèþ (1) ñðàçó  H = − 3  áåç ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò. Òåì ñàìûì ìîI2 

æåò áûòü íàïèñàíî è âñå óðàâíåíèå (5) § 6.2, ïîñêîëüêó ÷èñëà λ1, λ2 òàêæå íåïîñðåäñòâåííî íàõîäÿòñÿ ïî êîýôôèöèåíòàì ñòàðøèõ ÷ëåíîâ (ñì. § 6.2).
2. Âûðîæäåíèå êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Â § 6.2 óñòàíîâëåíî, ÷òî óðàâíåíèå (5) èç § 6.2
îïðåäåëÿåò âûðîæäåííóþ ëèíèþ ïðè H = 0. Îòñþäà çàêëþ÷àåì: öåíòðàëüíàÿ ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà I3 = 0.
Òàêîå æå óñëîâèå õàðàêòåðèçóåò è âûðîæäåííóþ ïàðàáîëó (ñì. [7]).
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (1) îïðåäåëÿåò âûðîæäåííóþ ëèíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà äèñêðèìèíàíò åãî ëåâîé ÷àñòè ðàâåí íóëþ, ò. å. I3 = 0.
112
Ðàçäåë II
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÀÍÀËÈÇ
Ãëàâà 7. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Â ÀÍÀËÈÇ
§ 7.1. Îïðåäåëåíèå è ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèè
1. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàì èçâåñòíû îñíîâíûå ñâîéñòâà öåëûõ ÷èñåë (0, ±1, ±2, ).
×èñëî x íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
m
÷àñòíîå äâóõ öåëûõ ÷èñåë m è n (n ≠ 0): x = . Ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñn
ëî x ïðåäñòàâèìî â âèäå êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé äåñÿòè÷íîé äðîáè.
×èñëî x íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì, åñëè îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå
áåñêîíå÷íîé íåïåðèîäè÷åñêîé äåñÿòè÷íîé äðîáè x = a0,à1à2 àn (íàïðèìåð, 2, 3, π). Êàæäîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ñ ëþáîé çàäàííîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ïðèáëèçèòü ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè; äëÿ
ýòîãî äîñòàòî÷íî áðàòü â äåñÿòè÷íîì ðàçëîæåíèè ýòîãî ÷èñëà êîíå÷íîå
÷èñëî çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé. Ïîýòîìó íà ïðàêòèêå ïðè ðàçëè÷íûõ èçìåðåíèÿõ îïåðèðóþò ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè.Íî â îáùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàêîíàõ è ôîðìóëàõ íåëüçÿ îáîéòèñü áåç èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë
(íàïðèìåð, ôîðìóëà äëèíû îêðóæíîñòè l = 2πR âêëþ÷àåò èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî π).
Ìíîæåñòâî (ñîâîêóïíîñòü) âñåõ ðàöèîíàëüíûõ è èððàöèîíàëüíûõ
÷èñåë íàçûâàþò ìíîæåñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ íà ÷èñëîâîé îñè Ox òî÷êàìè (ðèñ. 74). Ïðè ýòîì
êàæäîìó äåéñòâèòåëüíîìó ÷èñëó ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííàÿ òî÷êà ÷èñëîâîé îñè è êàæäîé òî÷êå îñè ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïîýòîìó âìåñòî ñëîâ «äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî» ìîæíî
ãîâîðèòü «òî÷êà».
Ðèñ. 74
113
Àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé (èëè ìîäóëåì) äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà x íàçûâàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî | x | , îïðåäåëÿåìîå ñîîòíîøåíèåì
x , åñëè x ≥ 0,
x =
− x , åñëè x < 0.
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîé âåëè÷èíû ÷èñëà âûòåêàþò ñâîéñòâà 1 è 2:
1. | −x | = | x | .
2. −| x | ≤ x ≤ | x | .
3. Íåðàâåíñòâà | x | ≤ a è −a ≤ x ≤ a ðàâíîñèëüíû.
Äîêàæåì ñâîéñòâî 3. Èç | x | ≤ a è ñâîéñòâà 2 èìååì x ≤ a.  òî æå âðåìÿ | x | ≤ a ðàâíîñèëüíî −a ≤ −| x |, îòêóäà ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà 2 ñëåäóåò −a ≤ x.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì −a ≤ x ≤ a. Îáðàòíî: èç íåðàâåíñòâà −a ≤ x ≤ a
âûòåêàåò, ÷òî îäíîâðåìåííî −x ≤ a è x ≤ a, ò. å. ïî îïðåäåëåíèþ àáñîëþòíîé âåëè÷èíû | x | ≤ a.
4. Ìîäóëü ñóììû äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå èëè ðàâåí ñóììå
ìîäóëåé ýòèõ ÷èñåë: | x + y | ≤ | x | + | y | .
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x + y ≥ 0, òî ïî îïðåäåëåíèþ àáñîëþòíîé âåëè÷èíû è ñâîéñòâó 2 | x + y | = x + y ≤ | x | + | y | . Åñëè x + y < 0, òî | x + y | = −(x +
+ y) = −x + (−y) ≤ | x | + | y |.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Ñâîéñòâî 4 ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ.
5. Ìîäóëü ðàçíîñòè äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë áîëüøå èëè ðàâåí ðàçíîñòè ìîäóëåé ýòèõ ÷èñåë: | x −y | ≥ | x | − | y | .
Ïî ñâîéñòâó 4 èìååì:
îòêóäà
| x | = | y + (x − y)| ≤ | y | + | x − y |,
|x − y| ≥ |x| − |y|.
6. Ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé ýòèõ ÷èñåë: | xy | = | x | | y | .
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ñâîéñòâî 6 ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîìíîæèòåëåé.
7. Ìîäóëü ÷àñòíîãî äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (åñëè äåëèòåëü îòëè÷åí
îò íóëÿ) ðàâåí ÷àñòíîìó ìîäóëåé ýòèõ ÷èñåë:
x
x
.
=
y
y
Ñâîéñòâà 6, 7 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóþò èç îïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíîé
âåëè÷èíû ÷èñëà.
114
Ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a ≤ x ≤ b (a < x < b), íàçûâàåòñÿ ñåãìåíòîì èëè îòðåçêîì (èíòåðâàëîì)
è îáîçíà÷àåòñÿ [a; b] ((a; b)).
Ïîëóñåãìåíòîì [a; b) ((a; b]) íàçûâàþò ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì a ≤ x < b (a < x ≤ b). Ìíîæåñòâà
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ x < a (x ≤ a) èëè x > b
(x ≥ b), îáîçíà÷àþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî (−∞; a) ((−∞; a]) èëè (b; +∞)
([b; +∞)). Ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
(−∞; +∞) èëè | x | < +∞. Âñå óêàçàííûå ìíîæåñòâà íàçûâàþò ïðîìåæóòêàìè. Îêðåñòíîñòüþ òî÷êè x0 íàçûâàþò ëþáîé èíòåðâàë, ñîäåðæàùèé ýòó
òî÷êó; ε — îêðåñòíîñòüþ (ε > 0) òî÷êè x0 íàçûâàåòñÿ èíòåðâàë (õ0 − ε, õ0 +
+ ε), ò. å. ìíîæåñòâî ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ | x − x0 | < ε.
2. Ïîãðåøíîñòè âû÷èñëåíèÿ. Ïóñòü íåêîòîðàÿ âåëè÷èíà èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå a.  ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ ýòîé âåëè÷èíû ïîëó÷åíî åå
ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå x. Àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ ∆0 ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ x íàçûâàåòñÿ ìîäóëü ðàçíîñòè ìåæäó ÷èñëîì x è òî÷íûì çíà÷åíèåì a: ∆0 = | x − a |.
Åñëè ÷èñëî a íåèçâåñòíî (÷òî áûâàåò â áîëüøèíñòâå èçìåðåíèé), òî
àáñîëþòíóþ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëèòü íåëüçÿ.  ýòîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ ïðåäåëüíàÿ àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ∆, òàêîå, ÷òî ∆0 ≤ ∆. Î÷åâèäíî, ÷òî x − ∆ ≤ a ≤ x + ∆. Êðàòêî ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî çàïèñûâàþò òàê: a = x ± ∆.
Ï ð è ì å ð 1. Åñëè x1 è x2 — ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ ÷èñëà a, ïðè÷åì èçâåñòíî, ÷òî x1 ≤ a ≤ x2,òî â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëîæèòü a = x ± ∆, ãäå
1
1
x = (x1 + x 2 ); ∆ = (x 2 − x1 ).
2
2
Òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè. Îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ δ0 ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ x
íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ýòîãî çíà÷åíèÿ ê ìî∆
äóëþ òî÷íîãî çíà÷åíèÿ a: δ 0 = 0 .
a
Åñëè òî÷íîå çíà÷åíèå a íåèçâåñòíî, òî èñïîëüçóþò ïðåäåëüíóþ îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî δ òàêîå, ÷òî δ0 ≤ δ.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îòíîñèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ
ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû
∆
∆
.
δ0 ≈ 0 èδ ≈
x
x
Ýòè ôîðìóëû òåì òî÷íåå, ÷åì áëèæå çíà÷åíèå x ê òî÷íîìó çíà÷åíèþ a,
ò. å. ÷åì ìåíüøå ïîãðåøíîñòü ∆0 èëè ∆.
115
Ï ð è ì å ð 2. Êàêîâû ïðåäåëüíûå àáñîëþòíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè ÷èñëà
1,41 — ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ÷èñëà 2? Òàê êàê 1,410 < 2 < 1,415, òî ∆0 = 2 − 1,410 <
< 0,005. Ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ïîëîæèòü ∆ = 0,005. Äàëåå,
δ0 =
∆0
2
<
0,005
< 0,0036,
1.41
îòêóäà δ = 0,0036 èëè δ = 0,36%.
Ãîâîðÿò, ÷òî ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå x (çàïèñàííîå â âèäå äåñÿòè÷íîé äðîáè) èìååò n âåðíûõ çíàêîâ, åñëè àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ýòîãî
÷èñëà ìåíüøå èëè ðàâíà ïîëîâèíå åäèíèöû åãî n-ãî ðàçðÿäà. Íàïðèìåð, åñëè 9,263 èìååò 3 âåðíûõ çíàêà 9,2 è 6, òî àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ýòîãî ÷èñëà ∆0 ≤ 0,005.
3. Ïîíÿòèå ôóíêöèè. Ïðè èçó÷åíèè ïðèðîäíûõ è òåõíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ èññëåäîâàòåëè ñòàëêèâàþòñÿ ñ âåëè÷èíàìè, îäíè èç êîòîðûõ
ñîõðàíÿþò îäíî è òî æå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå — îíè íàçûâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè, à äðóãèå ïðèíèìàþò ðàçëè÷íûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ è íàçûâàþòñÿ ïåðåìåííûìè. Ïðèìåðàìè ïîñòîÿííûõ âåëè÷èí ìîãóò ñëóæèòü: òåìïåðàòóðà êèïåíèÿ âîäû ïðè íîðìàëüíîì äàâëåíèè, ñêîðîñòü òåëà,
äâèæóùåãîñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî. Ñêîðîñòü êàìíÿ, áðîøåííîãî ââåðõ, åñòü ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà: ñíà÷àëà îíà óìåíüøàåòñÿ, è, êîãäà êàìåíü äîñòèãàåò íàèâûñøåé òî÷êè ïîëåòà, ñêîðîñòü åãî ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ. Çàòåì íà÷èíàåòñÿ ñâîáîäíîå ïàäåíèå ïîä äåéñòâèåì
ñèëû òÿæåñòè è ñêîðîñòü êàìíÿ óâåëè÷èâàåòñÿ.
 ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷àõ èçìåíåíèå ïåðåìåííîé âåëè÷èíû îáû÷íî
ñâÿçàíî ñ èçìåíåíèåì îäíîé èëè íåñêîëüêèõ äðóãèõ ïåðåìåííûõ âåëè÷èí.Íàïðèìåð, ïóòü, ïðîéäåííûé òåëîì ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ,
ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí âðåìåíè äâèæåíèÿ: s = vt. Ýòîé ôîðìóëîé âûðàæåíà çàâèñèìîñòü ïåðåìåííîé s — ïóòè, ïðîéäåííîãî òåëîì, îò ïåðåìåííîé t — âðåìåíè äâèæåíèÿ. Âèäíî, ÷òî ïåðåìåííûå s è t íå ìîãóò
ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà. Ïðèäàâ
îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé t, ìû òåì ñàìûì åäèíñòâåííûì
îáðàçîì îïðåäåëèì çíà÷åíèå ïåðåìåííîé s.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè êàæäîìó çíà÷åíèþ, êîòîðîå ìîæåò ïðèíÿòü ïåðåìåííàÿ x, ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó èëè çàêîíó ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îäíî îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé y, òî ãîâîðÿò, ÷òî y
åñòü îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ îò x; îáîçíà÷àþò y = f(x) (÷èòàåòñÿ: «Èãðåê
ðàâíî ýô îò èêñ»).
Èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå îáîçíà÷åíèÿ ôóíêöèè: y =ϕ(x), y = ψ(x),
y = y(x) è ò. ï.
Ïåðåìåííàÿ x íàçûâàåòñÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé èëè àðãóìåíòîì.
Ñîâîêóïíîñòü âñåõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà x, äëÿ êîòîðûõ ôóíêöèÿ
y = f(x) îïðåäåëåíà, íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè.
116
Ñîâîêóïíîñòü âñåõ çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ ïåðåìåííîé y, íàçûâàþò îáëàñòüþ çíà÷åíèé ôóíêöèè y = f(x).
Ï ð è ì å ð. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = 4 − x 2 . Ýòà ôóíêöèÿ èìååò ñìûñë, åñëè 4 − x2 ≥ 0. Îòñþäà x2 ≤ 4, èëè | x | ≤ 2. Ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè åñòü ñåãìåíò [−2; 2]. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè åñòü
ñåãìåíò [0; 2].
4. Ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèè. Àíàëèòè÷åñêèé ñïîñîᗠýòî ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè ïðè ïîìîùè ôîðìóë. Íàïðèìåð, y = 2õ, y = x + 1, y = lg x,
y = sin x, y = x2. Åñëè óðàâíåíèå, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî çàäàåòñÿ ôóíêöèÿ,
íå ðàçðåøåíî îòíîñèòåëüíî y, òî ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ íåÿâíîé. Êîãäà òàêîå ðåøåíèå âîçìîæíî, íåÿâíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê ÿâíîé ôîðìå, ò. å. ê âèäó y = f(x). Íàïðèìåð, óðàâíåíèå 2õ + 3ó − 5 = 0 ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê íåÿâíî çàäàþùåå ôóíêöèþ. Ðåøèâ åãî îòíîñèòåëüíî y,
5 − 2x
ìû ïîëó÷àåì òó æå ôóíêöèþ, íî óæå â ÿâíîì âèäå: y =
.
3
Îòìåòèì, ÷òî ïðè àíàëèòè÷åñêîì ñïîñîáå çàäàíèÿ ôóíêöèè âñòðå÷àþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà ôóíêöèÿ çàäàíà íå îäíîé, à íåñêîëüêèìè ôîðìóëàìè,íàïðèìåð:
x 2 , åñëè x ≤ 0,
y=
− x , åñëè x > 0.
Òàáëè÷íûé ñïîñîá — ýòî ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè ïðè ïîìîùè òàáëèöû. Ïðèìåðàìè òàêîãî çàäàíèÿ ÿâëÿþòñÿ òàáëèöû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ëîãàðèôìîâ è ò. ï. Òàáëè÷íûé ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè
øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ðàçëè÷íîãî ðîäà ýêñïåðèìåíòàõ è íàáëþäåíèÿõ. Òàáëèöû ïðîñòû â îáðàùåíèè, äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
íå íàäî ïðîèçâîäèòü âû÷èñëåíèÿ. Íåäîñòàòêîì òàáëè÷íîãî ñïîñîáà
ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ íå äëÿ âñåõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà.
Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá — ýòî ñïîñîá çàäàíèÿ ôóíêöèè ïðè ïîìîùè
ãðàôèêà. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f(x) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê (x; y)
ïëîñêîñòè xOy, êîîðäèíàòû êîòîðûõ ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì y = f(x).
Ñàìî ðàâåíñòâî y = f(x) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ýòîãî ãðàôèêà.
Ñ ïîñòðîåíèåì ãðàôèêîâ ìû óæå âñòðå÷àëèñü â ãëàâå 1. Íàïðèìåð,
ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ (ñì. ðèñ. 7).
Çàìåòèì, ÷òî åñëè èìååòñÿ ãðàôèê íåêîòîðîé ôóíêöèè y = f(x), òî
äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèÿ y = f(õ0), îòâå÷àþùåãî êàêîìó-íèáóäü çàäàííîìó çíà÷åíèþ x0, íàäî îòëîæèòü ýòî çíà÷åíèå x0 ïî îñè àáñöèññ
è èç ïîëó÷åííîé òî÷êè âîññòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿð äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ
ãðàôèêîì. Äëèíà ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà, âçÿòàÿ ñ ñîîòâåòñòâóþùèì
117
çíàêîì, è ðàâíà f(x0). Íàïðèìåð,
íà ðèñóíêå 75 èìååì OA = x0, AM =
= f(x0).
Ïðåèìóùåñòâîì ãðàôè÷åñêîãî
ñïîñîáà çàäàíèÿ ôóíêöèè ïî ñðàâíåíèþ ñ àíàëèòè÷åñêèì è òàáëè÷íûì ÿâëÿåòñÿ åãî íàãëÿäíîñòü.
Ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá çàäàíèÿ
ôóíêöèè îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ â
Ðèñ. 75
ïðàêòèêå ôèçè÷åñêèõ èçìåðåíèé,
êîãäà ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ïåðåìåííûìè x è y çàäàåòñÿ ïîñðåäñòâîì
ãðàôèêà. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ãðàôèêè ÷åðòÿòñÿ ñ ïîìîùüþ ñàìîïèøóùèõ ïðèáîðîâ. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ èçìåðåíèÿ àòìîñôåðíîãî
äàâëåíèÿ íà ðàçëè÷íûõ âûñîòàõ ïîëüçóþòñÿ ñïåöèàëüíûì ñàìîïèøóùèì ïðèáîðîì — áàðîãðàôîì, êîòîðûé íà äâèæóùåéñÿ ëåíòå
çàïèñûâàåò â âèäå êðèâîé ëèíèè èçìåíåíèÿ äàâëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò âûñîòû.
§ 7.2. Îáçîð ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé è èõ ãðàôèêîâ
1. Öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ìíîãî÷ëåí âèäà
y = a0 + a1x + a2x2 +
m
+ a mx
(à0, a1, a2,
, aò — ïîñòîÿííûå ÷èñëà, íàçûâàåìûå êîýôôèöèåíòàìè
ìíîãî÷ëåíà, m — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íàçûâàåìîå ñòåïåíüþ ìíîãî÷ëåíà) — öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ
çíà÷åíèÿõ x.
Ï ð è ì å ð. y = kx + b — ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Åå ãðàôèê — ïðÿìàÿ ëèíèÿ (ñì § 1. 4, ï. 1).
Ïðè b = 0 ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ y = kx âûðàæàåò ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü y îò x.
 ýòîì ñëó÷àå åå ãðàôèê ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
2. Äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê îòíîøåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ:
a + a 1 x + ... + a m x m
.
y= 0
b 0 + b1 x + ... + b n x n
Îíà îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x, êðîìå òåõ, ïðè êîòîðûõ çíàìåíàòåëü îáðàùàåòñÿ â íóëü. Äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ,
k
íàïðèìåð, ôóíêöèÿ y = , âûðàæàþùàÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíóþ
x
çàâèñèìîñòü ìåæäó x è y. Åå ãðàôèê åñòü ðàâíîñòîðîííÿÿ ãèïåðáîëà
(ñì. § 5. 1, ï. 2).
118
3. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ. Ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ — ýòî ôóíêöèÿ âèäà
y = xα,
(1)
ãäå α — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Îíà îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x,
åñëè α — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ïðè âñåõ x, íå ðàâíûõ íóëþ, åñëè α — öåëîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, è ïðè âñåõ x, áîëüøèõ íóëÿ, åñëè α — ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî.
1
Åñëè α = , ãäå q — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ôóíêöèÿ (1) ïðèìåò âèä:
q
q
(2)
y = x.
q
íàçûâàþò êîðíåì ñòåïåíè q èëè ðàäèêàëîì. )
(Ñèìâîë
Ôóíêöèÿ (2) îïðåäåëåíà ïðè âñåõ íåîòðèöàòåëüíûõ x,åñëè q ÷åòíîå,
è ïðè âñåõ x, åñëè q íå÷åòíîå.
Ï ð è ì å ð. y = x . Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè — âåðõíÿÿ âåòâü ïàðàáîëû y2 = x (ñì. § 5.1, ï. 3).
x
4. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ âèäà y = à , ãäå a > 0 è a ≠ 1, íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëüíîé. Îíà îïðåäåëåíà ïðè âñåõ x (ðèñ. 76).
Ðèñ. 76
5. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèÿ âèäà y = 1îga x, ãäå a > 0 è a ≠ 1,
íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé. Îíà îïðåäåëåíà ïðè x > 0 (ðèñ. 77).
6. Ïîíÿòèå îáðàòíîé ôóíêöèè. Ìåæäó ñòåïåííîé ôóíêöèåé è ðàäèêàëîì, à òàêæå ìåæäó ïîêàçàòåëüíîé è ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèÿìè
ñóùåñòâóåò ñâÿçü, âûðàæàåìàÿ ÷åðåç ïîíÿòèå îáðàòíîé ôóíêöèè.
Ïóñòü
y = f(x)
(3)
åñòü ôóíêöèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x. Ýòî çíà÷èò, ÷òî, çàäàâàÿ çíà÷åíèÿ x, ìû âïîëíå îïðåäåëÿåì çíà÷åíèÿ çàâèñèìîé ïåðåìåííîé y. Ïîñòóïèì íàîáîðîò, à èìåííî: áóäåì ñ÷èòàòü íåçàâèñèìîé ïåðåìåííóþ y, à
çàâèñèìîé ïåðåìåííóþ x. Òîãäà x áóäåò ÿâëÿòüñÿ ôóíêöèåé ïåðåìåííîé y,
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé, îáðàòíîé ê äàííîé.
119
Ðèñ. 77
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî óðàâíåíèå (3) ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî x, ïîëó÷èì ÿâíîå âûðàæåíèå îáðàòíîé ôóíêöèè:
x = ϕ(y).
(4)
Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè ìîæåò áûòü ìíîãîçíà÷íîé,
ò. å. äàííîìó çíà÷åíèþ y ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü íåñêîëüêî çíà÷åíèé
ïåðåìåííîé x. Èíîãäà óäàåòñÿ ñäåëàòü îáðàòíóþ ôóíêöèþ îäíîçíà÷íîé,ââîäÿ äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà åå çíà÷åíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Äâóçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ x = ± y ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè y = x2. Åñëè óñëîâèòüñÿ äëÿ êîðíÿ áðàòü ëèøü åãî àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå, òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ áóäåò îäíîçíà÷íîé.
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé (4), åñòü ôóíêöèÿ,
îáðàòíàÿ ê (3), òî è ôóíêöèÿ (3) áóäåò îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè (4), ò. å. ýòè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè.
Èíîãäà ïðèäåðæèâàþòñÿ ñòàíäàðòíûõ îáîçíà÷åíèé: ïîä x ïîíèìàþò íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ, à ïîä y — ôóíêöèþ, ò. å. çàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ.  òàêîì ñëó÷àå îáðàòíóþ ôóíêöèþ ñëåäóåò ïèñàòü â âèäå y =
= ϕ(x). Íàïðèìåð, ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî
ôóíêöèè y = 2x è y = log2x ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îáðàòíûìè.
×òîáû èç ãðàôèêà äàííîé ôóíêöèè y =
= f(x) ïîëó÷èòü ãðàôèê îáðàòíîé åé ôóíêöèè y = ϕ(x), î÷åâèäíî, äîñòàòî÷íî ãðàôèê
ïåðâîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷íî îòîáðàçèòü
îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû I è III êîîðäèíàòíûõ óãëîâ (ðèñ. 78).
Ðèñ. 78
120
Ðèñ. 79
7. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèè y = sin x, y = cos x îïðåäåëåíû äëÿ âñåõ çíà÷åíèé x. Îíè ÿâëÿþòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ñ ïåðèîäîì 2π, ò. å. ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíòà íà ÷èñëî, êðàòíîå 2π, çíà÷åíèå ôóíêöèè îñòàåòñÿ ïðåæíèì. Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ sin x
íå÷åòíàÿ (sin(−x) = −sin x), cos x ÷åòíàÿ (cos(−x) = cos x). Ãðàôèêè ýòèõ
ôóíêöèé — ñèíóñîèäà è êîñèíóñîèäà (ðèñ. 79).
Ôóíêöèÿ y = tg x íå îïðåäåëåíà òîëüêî â òî÷êàõ, ãäå ñîs x = 0, ò. å. â
2k + 1
òî÷êàõ x =
π (k = 0, ±1, ±2, ), à ôóíêöèÿ y = ctg x íå îïðåäåëåíà
2
òîëüêî â òî÷êàõ, ãäå sinx = 0, ò. å. â òî÷êàõ x = kπ (k = 0, ±1, ±2, ). Ïðè
ýòîì tg x è ctg x — íå÷åòíûå «ôóíêöèè. Ãðàôèêè ôóíêöèé y = tg x è y =
= ctg x, èìåþùèå ïåðèîä π, èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 80.
Îòìåòèì, ÷òî â òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ ïåðåìåííàÿ x îáû÷íî âûðàæàåòñÿ â ðàäèàíàõ.
Ðèñ. 80
121
Ðèñ. 81
Ðèñ. 82
Ðèñ. 83
Ðèñ. 84
8. Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ y = arcsin x.
π
π
Çäåñü y — ïåðåìåííàÿ èç ñåãìåíòà − ≤ y ≤ , ñèíóñ êîòîðîé ðàâåí x,
2
2
ò. å. x = sin y. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè — ñåãìåíò −1 ≤ x ≤ 1,
à åå ãðàôèê èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 81.
122
Ôóíêöèÿ y = arcosx îçíà÷àåò, ÷òî x = cos y, ïðè÷åì | x| ≤ 1 è 0 ≤ y ≤ π.
Ãðàôèê y = arccos x èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 82.
Ôóíêöèÿ y = aãctg x åñòü ïåðåìåííàÿ, òàíãåíñ êîòîðîé ðàâåí x, ò. å.
π
x = tg y, ïðè÷åì x ëþáîå è y < (ðèñ. 83), à ôóíêöèÿ y = arcctg x åñòü ïå2
ðåìåííàÿ, äëÿ êîòîðîé x = ctg y, ãäå x — ëþáîå è 0 < y < π (ðèñ. 84).
9. Ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Ïóñòü ïåðåìåííàÿ y çàâèñèò îò ïåðåìåííîé è, êîòîðàÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, çàâèñèò îò ïåðåìåííîé x, ò. å. y = f(u), u = ϕ(x). Òîãäà ïðè èçìåíåíèè x áóäåò ìåíÿòüñÿ è, à
ïîòîìó áóäåò ìåíÿòüñÿ è y. Çíà÷èò, y ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé x: y = f(ϕ(x)).
Ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñëîæíîé ôóíêöèåé (èëè ôóíêöèåé îò ôóíêöèè),
ïåðåìåííàÿ u íàçûâàåòñÿ ïðîìåæóòî÷íîé ïåðåìåííîé. Óêàçàííóþ
ñëîæíóþ ôóíêöèþ íàçûâàþò òàêæå ñóïåðïîçèöèåé ôóíêöèé f è ϕ.
2
2
Ï ð è ì å ð. Åñëè y = sin è, à u = x , òî y = sin x åñòü ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x.
Ôóíêöèè: ñòåïåííàÿ, ïîêàçàòåëüíàÿ, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, ïîñòîÿííàÿ
(êîíñòàíòà) y = C — íàçûâàþòñÿ îñíîâíûìè ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè.
Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ
ôóíêöèé ïóòåì êîíå÷íîãî ÷èñëà ñóïåðïîçèöèé è ÷åòûðåõ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé (ñëîæåíèÿ, âû÷èòàíèÿ, óìíîæåíèÿ è äåëåíèÿ), íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé.
Íàïðèìåð, ýëåìåíòàðíûìè ôóíêöèÿìè áóäóò ðàññìîòðåííûå âûøå
öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ è äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèè.
Âàæíîå çíà÷åíèå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ìàòåìàòè÷åñêîì àíàëèçå, ïðèìåíÿåìîì â îñíîâíûõ çàäà÷àõ ôèçèêè è òåõíèêè, óïîòðåáëÿþòñÿ ÷àùå âñåãî ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè.
10. Ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.  ïðèðîäå è òåõíèêå ÷àñòî ïðîèñõîäÿò
ÿâëåíèÿ è ïðîöåññû, ïîâòîðÿþùèåñÿ ïåðèîäè÷åñêè, íàïðèìåð êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, ïåðåìåííûé òîê, ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ è äð.
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé âèä êîëåáàíèé, òàê íàçûâàåìîå ãàðìîíè÷åñêîå êîëåáàíèå:
y = A sin ωt,
(5)
ãäå A è ω — ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå.
Ãðàôèê ôóíêöèè, çàäàííîé ôîðìóëîé (5), èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 85.
Êîýôôèöèåíò A, ïðåäñòàâëÿþùèé íàèáîëüøóþ âåëè÷èíó, êîòîðóþ ìîæåò èìåòü y, íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ, à ω — ÷àñòî2π
òîé êîëåáàíèÿ. Ôóíêöèÿ (5) ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñ ïåðèîäîì :
ω
123
Ðèñ. 85
2π
(k = 0, ± 1, ±2, ) îäíè è òå æå. Åñëè ñ÷èω
2π
ïîêàçûâàåò âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòàòü, ÷òî t — âðåìÿ, òî ïåðèîä T =
ω
2π
— ÷èñëî êîëåáàòîðîãî ñîâåðøàåòñÿ îäíî êîëåáàíèå. Ïîýòîìó ω =
T
íèé çà âðåìÿ 2π. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (ðèñ. 85) íàçûâàåòñÿ ïðîñòîé ãàðìîíèêîé.
Îäíàêî äàëåêî íå âñåãäà ïåðèîäè÷åñêîå ÿâëåíèå îïèñûâàåòñÿ ïðîñòîé ãàðìîíèêîé. Ìíîãèå èç òàêèõ ÿâëåíèé åñòü ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ
íåñêîëüêèõ ïðîñòûõ ãàðìîíèê, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ñëîæíûì ãàðìîíè÷åñêèì êîëåáàíèåì, à åãî ãðàôèê — ñëîæíîé ãàðìîíèêîé.
Íà ðèñóíêå 86 èçîáðàæåíà ñëîæíàÿ ãàðìîíèêà y = sin t + sin 2t — ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ ïðîñòûõ ãàðìîíèê y = sin t è y = sin 2t.
çíà÷åíèÿ y â òî÷êàõ t + k
Ðèñ. 86
124
§ 7.3. Ïðåäåë ôóíêöèè
1. Ïðåäåë ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Áåñêîíå÷íîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ (èëè ïðîñòî ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ an = f(n), îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå âñåõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë 1, 2, , n, . Çíà÷åíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè à1, à2, , an, íàçûâàþòñÿ åå ÷ëåíàìè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü an = f(n) èíîãäà îáîçíà÷àþò òàê: {an}. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çàäàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ îáùèì ÷ëåíîì an. Ïî äàííîìó îáùåìó ÷ëåíó âñåãäà ìîæíî íàéòè ëþáîé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ak,
ïîäñòàâèâ â àn âìåñòî n ÷èñëî k. Íèæå ïðèâåäåíû ïðèìåðû ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, ïðè÷åì ñíà÷àëà ïðèâåäåíà ôîðìà çàïèñè {àn}, à çàòåì çàïèñàíû ïåðâûå ÷ëåíû:
 n  1 2 3
n
5) 
1) {(−1) n}; −1, 2, −3, …;
; , , , ;
n + 1  2 3 4
2) {3n + 1}; 4, 7, 10, …;
3 2
n + 1 
6) 
; 1, , , ...;
4 3
 2n 
3) {2 − n}; 1, 0, −1, …;
1
1
1
1 1
1 

7) ( −1) n ; − 1, , − , ....
4)  ; 1, , , ...;
2
3
n
n
2
3

 

Äëÿ ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êàê è äëÿ ëþáîé ôóíêöèè, ìîæíî ïîñòðîèòü ãðàôèê. Îí íå ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé, à ñîñòîèò èç îòäåëüíûõ
òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ ñïðàâà îò îñè Oy. Íà ðèñóíêàõ 87, 88 è 89 ïîñòðîåíû ãðàôèêè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé 1, 2 è 5.
Ðèñ. 87
Ðèñ. 88
125
Ðèñ. 89
×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an} íàçûâàåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé (íåóáûâàþùåé), åñëè äëÿ ëþáîãî íîìåðà n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî àn ≥
≥ àn + 1 (àn ≤ an + 1). Åñëè àn > àn + 1 (àn < àn + 1), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an} —
óáûâàþùàÿ (âîçðàñòàþùàÿ). Íàïðèìåð, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 3 óáûâàþùàÿ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 2 âîçðàñòàþùàÿ. Íåâîçðàñòàþùèå è íåóáûâàþùèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííûìè.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an} íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó (ñíèçó),
åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M, ÷òî äëÿ ëþáîãî íîìåðà n âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî an ≤ M (an ≥ M). Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 3 îãðàíè÷åíà ñâåðõó,
íàïðèìåð, ÷èñëîì 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, îäíîâðåìåííî îãðàíè÷åííûå ñâåðõó è ñíèçó, íàçûâàþòñÿ îãðàíè÷åííûìè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 4
îãðàíè÷åíà.
Ïî ãðàôèêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 5 (ðèñ. 89) âèäíî, ÷òî îðäèíàòû òî÷åê ñ óâåëè÷åíèåì íîìåðà n ïðèáëèæàþòñÿ ê åäèíèöå. ×ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 4 ñ âîçðàñòàíèåì íîìåðà ñòàíîâÿòñÿ áëèçêèìè ê íóëþ.
Î ï ð å ä å ë å í è å. ×èñëî a íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {àn}, åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð
N = N (ε), çàâèñÿùèé îò ε, ÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
| àn − a | <ε. Ýòî îáîçíà÷àþò òàê:
lim a n = a èëè an → a ïðè n → ∞.
n→ ∞
Ï ð è ì å ð û. Äîêàçàòü, ÷òî
à) lim
n→ ∞
1
= 0;
n
á) lim(−1)n
n→ ∞
1
= 0;
n
â) lim
n
= 1;
n +1
ã) lim
n +1 1
= .
2n 2
n→ ∞
n→ ∞
Îãðàíè÷èìñÿ äîêàçàòåëüñòâîì ïåðâîãî èç ýòèõ ÷åòûðåõ ðàâåíñòâ, òàê êàê äîêàçàòåëüñòâà òðåõ äðóãèõ ïðîâîäÿòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ïóñòü ε > 0 — ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî. Òîãäà
1
1
1
− 0 = < ε, åñëè n > .
n
n
ε
126
Èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî â êà÷åñòâå íîìåðà N ìîæíî âçÿòü öåëóþ ÷àñòü
1
1
1 
÷èñëà , ò. å. N =  . Èòàê, lim = 0.
n→ ∞ n
ε
ε
Õàðàêòåð ñòðåìëåíèÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ê ñâîåìó ïðåäåëó ðàçëè÷åí. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 4 è 6 ñòðåìÿòñÿ ê ñâîèì ïðåäåëàì óáûâàÿ; ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 5 ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå âîçðàñòàÿ; ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 7 ñòðåìèòñÿ ê íóëþ òàê, ÷òî åå ÷ëåíû ñòàíîâÿòñÿ ïîî÷åðåäíî òî
áîëüøå, òî ìåíüøå íóëÿ.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå âàæíûå ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé:
1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, èìåþùàÿ ïðåäåë, îãðàíè÷åíà.
Äåéñòâèòåëüíî, èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ñëåäóåò: åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {àn} èìååò ñâîèì ïðåäåëîì ÷èñëî a, òî, íàïðèìåð, äëÿ ε = 1
íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî N òàêîå, ÷òî ïðè n > N | àn − a | < 1, èëè,
÷òî òî æå, a − 1 < an < a + 1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç m è M ñîîòâåòñòâåííî
íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå èç ÷èñåë à1, a2,…, aN, a − 1, a + 1. Òîãäà
äëÿ âñåõ n = 1, 2,
m ≤ an ≤ M, ò. å. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {àï} îãðàíè÷åíà.
2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìîæåò èìåòü òîëüêî îäèí ïðåäåë.
Ýòî ñëåäóåò èç áîëåå îáùåãî ñâîéñòâà (ñì. § 7. 5, ï. 1, ñëåäñòâèå 1).
3. Ëþáàÿ íåóáûâàþùàÿ (íåâîçðàñòàþùàÿ) è îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó (ñíèçó) ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ïðåäåë.
Ñòðîãîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ äàíî â [11]. Çäåñü ïðèâåäåì ðàçúÿñíåíèå åãî ñïðàâåäëèâîñòè. Â öåëÿõ ïðîñòîòû è íàãëÿäíîñòè
òàêîãî ðàçúÿñíåíèÿ îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì âîçðàñòàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ó1 < ó2 < < ón < (åå ÷ëåíû ðàññìàòðèâàåì êàê òî÷êè îñè
Oy), îãðàíè÷åííîé ñâåðõó: ón < Ì (n = 1, 2, ). Òîãäà òàê êàê òî÷êà ón,
äâèãàÿñü â îäíîì íàïðàâëåíèè — ââåðõ ïî îñè Oy, íå ïåðåõîäèò òî÷êó
y = Ì, òî òî÷êà yn äîëæíà íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàòüñÿ ê íåêîòîðîé
òî÷êå y = a, ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî a ≤ M.
2. ×èñëî å. Ðàññìîòðèì ÷èñëîâóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
n

1 
 1 +  .
n 

(1)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì 3 ïðåäûäóùåãî ïóíêòà. Äëÿ ýòîãî ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1) âîçðàñòàþùàÿ. Ðàçëîæèì
îáùèé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà (îá
ýòîé ôîðìóëå ñì., íàïðèìåð, â ãëàâå 8: § 8. 9, ï. 2; Èñààê Íüþòîí
(1643—1727) — àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è ôèçèê):
127
n
1
1 n(n − 1) 1

⋅
+
a n = 1 +  = 1 + n ⋅ +
 n
1⋅2 n 2
n
+
èëè
n(n − 1) ...(n − (n − 1)) 1
n(n − 1)(n − 2) 1
⋅ 3 + ... +
⋅ n,
1⋅2 ⋅3
1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n
n
n
1
2
1
1
1 
a n = 2 + 1 −  +
 1 −   1 −  + ... +





2
2 ⋅3
n
n
n
1
2   n − 1
1

+
.
 1 −   1 −  ...  1 −
n 
2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ n  n   n  
(2)
Èç ðàâåíñòâà (2) âèäíî, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì íîìåðà n êàæäîå ñëàãàåìîå,
êðîìå ïåðâîãî, óâåëè÷èâàåòñÿ. Âîçðàñòàåò òàêæå ÷èñëî òàêèõ ñëàãàåìûõ. Ñëåäîâàòåëüíî, an < an + 1 äëÿ âñåõ n, è ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
âîçðàñòàþùàÿ.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1) îãðàíè÷åíà ñâåðõó. Çàìåíèì âî âñåõ ÷ëåíàõ ðàçëîæåíèÿ (2) âûðàæåíèÿ â êðóãëûõ ñêîáêàõ
åäèíèöàìè. Òîãäà
1
1
1
.
an < 2 + +
+ ... +
2 2 ⋅3
2 ⋅ 3 ⋅ ...⋅ n
Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî ìíîæèòåëåé 3, 4,
åùå áîëüøå óâåëè÷èì ïðàâóþ ÷àñòü:
an < 2 +
, n â çíàìåíàòåëÿõ ÷èñëî 2, ìû
1
1
+ ... + n −1 .
2
2
Íî ïî ôîðìóëå ñóììû ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè
1 1
− n
1 1
1
1
+ 2 + ... + n −1 = 2 2 = 1 − n −1 < 1.
1
2 2
2
2
1−
2
Ïîýòîìó an < 3 ïðè ëþáîì n.
Ïî ñâîéñòâó 3 ïðåäûäóùåãî ïóíêòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (1), êàê âîçðàñòàþùàÿ îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó, èìååò ïðåäåë. Ýòîò ïðåäåë ïðèíÿòî
îáîçíà÷àòü áóêâîé e (âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë):
n
1

e = lim  1 +  .
n→ ∞ 
n
(3)
×èñëî e ÿâëÿåòñÿ èððàöèîíàëüíûì è ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíî 2,71828.
3. Íàòóðàëüíûå ëîãàðèôìû. ×èñëî e ïðèíÿòî çà îñíîâàíèå ñèñòåìû
ëîãàðèôìîâ, íàçûâàåìûõ íàòóðàëüíûìè ëîãàðèôìàìè. Îêàçàëîñü, ÷òî
128
ñ ïîìîùüþ íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ íåêîòîðûå ôîðìóëû çàïèñûâàþòñÿ ïðîùå. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ íàòóðàëüíîãî ëîãàðèôìà ÷èñëà N ïîëüçóþòñÿ ñèìâîëîì ln N.
Äëÿ îòûñêàíèÿ ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèé íàòóðàëüíûõ ëîãàðèôìîâ
ïî òàáëèöàì äåñÿòè÷íûõ ëîãàðèôìîâ íàéäåì ñâÿçü ìåæäó íàòóðàëüíûìè è äåñÿòè÷íûìè ëîãàðèôìàìè.
Åñëè ln N = a, òî N = ea è ëîãàðèôìèðîâàíèå îáåèõ ÷àñòåé ïîñëåäíåãî
ðàâåíñòâà ïî îñíîâàíèþ 10 äàåò lg N = a lge (lg e ≈ 0,43429), èëè lg N =
= ln N⋅lg e, îòêóäà
ln N =
lg N  1

≈ 2,30258 .


lg e  lg e
4. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè. Íàðÿäó ñ ïîêàçàòåëüíûìè ôóíêöèÿìè
â ìàòåìàòèêå è åå ïðèëîæåíèÿõ íàõîäÿò ïðèìåíåíèå ðàçëè÷íûå êîìáèíàöèè ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé, ñðåäè êîòîðûõ îñîáîå çíà÷åíèå
èìåþò íåêîòîðûå ëèíåéíûå è äðîáíî-ëèíåéíûå ôóíêöèè å x è å −x — òàê
íàçûâàåìûå ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè. Äëÿ íèõ ââåäåíû ñëåäóþùèå
ñïåöèàëüíûå íàèìåíîâàíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ:
e x − e −x
(ãèïåðáîëè÷åñêèé ñèíóñ),
2
e x + e −x
(ãèïåðáîëè÷åñêèé êîñèíóñ),
chx =
2
e x − e −x
(ãèïåðáîëè÷åñêèé òàíãåíñ),
thx = x
e + e −x
e x + e −x
(ãèïåðáîëè÷åñêèé êîòàíãåíñ).
cthx = x
e − e −x
shx =
Çíà÷èò,
thx =
shx
,
chx
cthx =
chx
.
shx
Èç îïðåäåëåíèÿ shx èìååì: sh 0 = 0; îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòüþ çíà÷åíèé ôóíêöèè sh x ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë (−∞; +∞).
Èç îïðåäåëåíèÿ ch x èìååì: ch 0 = l; îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè
ch x ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë (−∞; +∞), à îáëàñòüþ çíà÷åíèé — ïîëóñåãìåíò [1; +∞).
Ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ðÿäîì èçâåñòíûõ ñîîòíîøåíèé. Àíàëî-
129
ãè÷íûå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò ìåñòî è äëÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé.
Ïðè ýòîì îñíîâíîìó òðèãîíîìåòðè÷åñêîìó òîæäåñòâó sin2 x + cos2 x = 1
ñîîòâåòñòâóåò òîæäåñòâî, ñâÿçûâàþùåå ãèïåðáîëè÷åñêèé ñèíóñ è
êîñèíóñ:
ch2 x − sh2 x = l,
â ñïðàâåäëèâîñòè êîòîðîãî ëåãêî óáåäèòüñÿ ïðîñòîé ïðîâåðêîé:
2
2
 e x − e −x 
 e x + e −x 
ch 2 x − sh 2 x = 
 −
 =
2
2




 e x + e −x + e x − e −x   e x + e −x − e x + e −x 
=

=
2
2



= e x ⋅ e − x = e x − x = e 0 = 1.
5. Ïðåäåë ôóíêöèè. Âûøå ðàññìîòðåíî ïîíÿòèå ïðåäåëà äëÿ ÷àñòíîãî âèäà ôóíêöèé — ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Îáîáùèì åãî íà
ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè.
Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x = a,
êðîìå, ìîæåò áûòü, ñàìîé òî÷êè a.
Î ï ð å ä å ë å í è å. ×èñëî A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f(x)
ïðè ñòðåìëåíèè x ê a (èëè â òî÷êå a), åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî δ = δ(ε) > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 0 < | x − a | < δ, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî | f(x) − A | < ε. Îáîçíà÷àþò ýòî òàê: lim f ( x ) = A èëè f(x) → A ïðè x → a.
x→ a
Äðóãèìè ñëîâàìè, ÷èñëî A åñòü ïðåäåë ôóíêöèè f(x) â òî÷êå x = a,
åñëè äëÿ âñåõ x, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê ÷èñëó a è îòëè÷íûõ îò íåãî, ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f(x) îêàçûâàþòñÿ ñêîëü óãîäíî
áëèçêèìè ê ÷èñëó A (åñòåñòâåííî, â òåõ òî÷êàõ x, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ f(x)
îïðåäåëåíà).
Ï ð è ì å ð 1. Ïîêàçàòü, ÷òî lim x = 1. Ïóñòü ε — ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
x→1
Âûáðàâ δ = ε, ïîëó÷èì, ÷òî | x − 1 | < ε, êàê òîëüêî 0 < | x − 1 | < δ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî
îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè lim x = 1.
x→1
Ï ð è ì å ð 2. Ïîêàçàòü, ÷òî lim x 2 = 1. Ïóñòü ε — ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñx→1
ëî. Íàéäåì òàêîå ÷èñëî δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó 0 < | x −1 | < δ ,
2
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | x − | 1 < ε.
2
Åñëè | x − 1 | < δ, òî | x + 1 | = | (x − 1) + 2 | ≤ | x − 1 | + 2 < δ + 2. Ñëåäîâàòåëüíî, | x − 1 | = | x − 1 | ×
2
× | x + 1 | < δ ⋅(δ + 2). Äëÿ âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà | x − 1 | < ε äîñòàòî÷íî ïîòðåáîâàòü, ÷òî2
áû δ(δ + 2) = ε, ò. å. ÷òîáû δ + 2δ − ε = 0. Îòñþäàδ = −1 + 1 + ε (âòîðîé êîðåíü δ = −1 − 1 + ε
îòáðàñûâàåì, òàê êàê δ > 0). Ïî îïðåäåëåíèþ ïðåäåëà ôóíêöèè lim x 2 = 1.
x→1
130
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Åñëè â ôîðìóëå (3) ïîëîæèòü
1
1
= z, òî îíà ïðèìåò âèä:
n
e = lim(1 + z) z .
(4)
z→ 0
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ôîðìóëà (4) âåðíà íå òîëüêî, êîãäà ïåðåìåííàÿ z ïðîáåãàåò ïîñëåäîâà1
òåëüíîñòü çíà÷åíèé zn = , íî è ïðè ëþáîì äðóãîì çàêîíå ñòðåìëåíèÿ z ê íóëþ.
n
Ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ôóíêöèé ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü è ïðåäåë ôóíêöèè ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà x ê áåñêîíå÷íîñòè.
Î ï ð å ä å ë å í è å. ×èñëî A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f(x)
ïðè ñòðåìëåíèè x ê áåñêîíå÷íîñòè (èëè â áåñêîíå÷íîñòè), åñëè äëÿ
ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî N = N(ε),
÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ | x | > N, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî | f(x) − A | < ε. Ïðè ýòîì ïèøóò: lim f ( x ) = A. Ðàññìàòðèâàþò
x→ ∞
òàêæå êàê lim f ( x ), òàê è lim f ( x ).
x → +∞
x → −∞
Ïðåäåë ôóíêöèè f(x) ïðè x → + ∞ (x → −∞) îïðåäåëÿåòñÿ àíàëîãè÷íî
lim f ( x ), òîëüêî â ñàìîé ôîðìóëèðîâêå îïðåäåëåíèÿ lim f ( x ) óñëîâèå
x→ ∞
| x | > N ñëåäóåò çàìåíèòü íà x > N (x < −N).
x→ ∞
§ 7.4. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è áåñêîíå÷íî áîëüøèå âåëè÷èíû
1. Áåñêîíå÷íî ìàëûå è èõ ñâîéñòâà. Ïðè èçó÷åíèè ñâîéñòâ ïðåäåëîâ
ôóíêöèé îñîáóþ ðîëü èãðàþò ôóíêöèè, ïðåäåë êîòîðûõ ïðè ñòðåìëåíèè àðãóìåíòà ê êàêîé-ëèáî òî÷êå ðàâåí íóëþ.
×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {an} íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé, åñ1
1  
ëè åå ïðåäåë ðàâåí íóëþ: lim a n = 0. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè  , ( −1) n 
n→ ∞
n
n

  
ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè: èõ ïðåäåëàìè ÿâëÿåòñÿ íóëü (ñì. § 7. 3,
ï. 1). Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íî ìàëîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ïåðåíåñòè íà ôóíêöèè.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ôóíêöèÿ α(x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè
x → a, åñëè lim α( x ) = 0, ò. å. äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå
x→ a
÷èñëî δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó 0 < | x − a | < δ,
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | α(x) | < ε.
Áåñêîíå÷íî ìàëóþ ôóíêöèþ α(x) íàçûâàþò òàêæå áåñêîíå÷íî ìàëîé âåëè÷èíîé èëè ïðîñòî áåñêîíå÷íî ìàëîé.
Ï ð è ì å ð. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = x2 − 1 ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè x → 1.
Ïóñòü ε — ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Íàéäåì òàêîå ÷èñëî δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x,
2
óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó 0 < | x − 1 | < δ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | x − 1 | < ε. Êàê
131
ïîêàçàíî ðàíåå (ñì. § 7. 3, ï. 4,ïðèìåð 2), òàêèì δ ÿâëÿåòñÿ δ = −1 + 1 + ε . Ñëåäîâàòåëüíî,
2
ôóíêöèÿ y = x − 1 ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè x → 1.
 äàëüíåéøåì â ýòîì ïàðàãðàôå ïðè ðàññìîòðåíèè áåñêîíå÷íî
ìàëûõ áóäåì èìåòü â âèäó, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè
ïðè x → a.
Îñòàíîâèìñÿ íà îñíîâíûõ ñâîéñòâàõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ôóíêöèé.
Ýòè ñâîéñòâà áóäóò âåðíû òàêæå è äëÿ áåñêîíå÷íî ìàëûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.
1. Åñëè ôóíêöèè α1(x) è α2(x) ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè, òî ôóíêöèÿ
α1(x) + α2(x) òàêæå åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ε — ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå
÷èñëî. Òàê êàê ôóíêöèè α1(x) è α2(x) áåñêîíå÷íî ìàëûå, òî íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà δ1 è δ2, ÷òî ïðè 0 < | x −a | < δ1 è 0 < | x − a | < δ2 èìåþò ìåñòî ñîîòâåòñòâåííî íåðàâåíñòâà
ε
ε
(1)
α 1(x ) < è α 2(x ) < .
2
2
Îáîçíà÷èì ÷åðåç δ íàèìåíüøåå èç äâóõ ÷èñåë δ1 è δ2. Òîãäà ïðè 0 <
< | x − a | < δ áóäóò âåðíû íåðàâåíñòâà (1), è, ñëåäîâàòåëüíî,
ε ε
α 1 ( x ) + α 2 ( x ) ≤ α 1 ( x ) + α 2 ( x ) < + = ε.
2 2
Èòàê, äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òaêîe δ > 0, ÷òî ïðè 0 < | x − a | <δ
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | α1(x) + α2(x) | < ε, à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî α1(x) +
+ α2(x) åñòü ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Ñâîéñòâî 1 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû
ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà áåñêîíå÷íî ìàëûõ.
Ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ïðè x → a, åñëè ñóùåñòâóþò
ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà M è δ, òàêèå, ÷òî ïðè óñëîâèè 0 < | x − a | < δ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | f(x) | ≤ M. Íàïðèìåð, ëþáàÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ α(x)
ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé ôóíêöèåé ïðè x→ a.
Òåìïåðàòóðà âîçäóõà T â äàííîé ìåñòíîñòè — îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè t. Èçìåíÿÿñü äíåì è íî÷üþ, çèìîé è ëåòîì, îíà íèêîãäà íå
äîñòèãíåò + 100°C è −100°C. Òàêèì îáðàçîì, | T | < 100.
2. Ïðîèçâåäåíèå îãðàíè÷åííîé ïðè x → a ôóíêöèè íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ
åñòü ôóíêöèÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü f (x) — îãðàíè÷åííàÿ ïðè x → a ôóíêöèÿ è α (x) — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M > 0,
÷òî | f(x) | ≤ M äëÿ âñåõ x, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê a. Âîçüìåì ëþáîå ε > 0.
132
Äëÿ ε ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî ïðè óñëîâèè 0 < | x − a | < δ îäíîâðåìåíε
íî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà | f(x) | ≤ M, α( x ) < . Ïîýòîìó f ( x ) ⋅ α( x ) =
M
ε
= f ( x ) ⋅ α( x ) < M ⋅
= ε.
M
Íåïîñðåäñòâåííî èç ñâîéñòâà 2 ñëåäóþò ñâîéñòâà 3 è 4.
3. Ïðîèçâåäåíèå ïîñòîÿííîé íà áåñêîíå÷íî ìàëóþ åñòü áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ.
4. Ïðîèçâåäåíèå äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ñâîéñòâî 4 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî áåñêîíå÷íî ìàëûõ.
2. Áåñêîíå÷íî áîëüøèå. ×èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {àn} íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà M íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N, ÷òî äëÿ ëþáîãî n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | an | > M.  ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: lim a n = ∞.
n→ ∞
n
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {n}, {(−1) n} ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèìè.
Ïîíÿòèå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî ïåðåíåñòè íà ôóíêöèè.
Ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîé ïðè x → a, åñëè äëÿ
ëþáîãî ÷èñëà M > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî δ > 0, ÷òî | f(x) | > M äëÿ
âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó 0 < | x − a | < δ. Îáîçíà÷àåòñÿ ýòî
òàê: lim f ( x ) = ∞.
x→ a
Åñëè ïðè ýòîì f(x) ïîëîæèòåëüíà (îòðèöàòåëüíà) â 0 < | x − a | < δ, òî
ïèøóò: lim f ( x ) = +∞ (lim f ( x ) = −∞).
x→ a
x→ a
Ï ð è ì å ÷ à í è ÿ : 1. Áåñêîíå÷íîñòü (∞) íå ÷èñëî, à ñèìâîë, êîòîðûé óïîòðåáëÿåòñÿ, íàïðèìåð, äëÿ òîãî, ÷òîáû óêàçàòü, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ åñòü áåñêîíå÷íî
áîëüøàÿ.
2. Áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ôóíêöèÿ f(x) ïðè x → a íå èìååò ïðåäåëà, òàê êàê ïðåäåë ïåðåìåííîé (åñëè îí ñóùåñòâóåò) — íåêîòîðîå ÷èñëî. Òî æå â ñëó÷àå áåñêîíå÷íî áîëüøîé ÷èñëîâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
 äàëüíåéøåì âñåãäà ïîä ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ôóíêöèè) áóäåì ïîíèìàòü
êîíå÷íûé ïðåäåë, ò. å. ÷èñëî, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå.
Íèæå ðàññìàòðèâàþòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøèå ôóíêöèè ïðè x → a.
Êàê âèäíî èç ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ, êîòîðûå âåðíû è äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, áåñêîíå÷íî áîëüøèå è áåñêîíå÷íî ìàëûå ôóíêöèè òåñíî
ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé.
133
1
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
f (x )
1
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîçüìåì ëþáîå ε > 0 è îáîçíà÷èì = M .
ε
Òàê êàê f (x) áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ, òî ÷èñëó M ñîîòâåòñòâóåò δ > 0, òà1
êîå, ÷òî ïðè 0 < | x − a | < δ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f ( x ) > M = , îòε
1
êóäà
< ε.
f (x )
1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ, òî
1
2. Åñëè ôóíêöèÿ α(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ è íå îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî
α(
x)
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ.
1
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîçüìåì ëþáîå Ì > 0 è îáîçíà÷èì
= ε.
M
Òàê êàê α(x) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ, òî ÷èñëó ε > 0 ñîîòâåòñòâóåò δ > 0, òà1
êîå, ÷òî ïðè 0 < | x − a | < δ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî α( x ) < ε = , îòM
1
êóäà
>M.
α( x )
1
2
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ïðè x → 1, òàê êàê ôóíêöèÿ y = x − 1
x 2 −1
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè x → 1 (ï. 1, ïðèìåð).
Ï ð è ì å ð. Ôóíêöèÿ
Ç à ì å ÷ à í è å. Â äàííîì ïàðàãðàôå áûëè ðàññìîòðåíû ôóíêöèè àðãóìåíòà x äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà x → a. Îäíàêî âñå ïðåäëîæåíèÿ, óñòàíîâëåííûå çäåñü, îñòàþòñÿ â ñèëå è
äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà x → ∞. Ïðè ýòîì âñå äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íû.
§ 7.5. Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ è èõ ïðèìåíåíèå
1. Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëàõ. Ïðåæäå ÷åì èçëàãàòü ìàòåðèàë, ñäåëàåì ñëåäóþùåå çàìå÷àíèå. Íèæå ðàññìàòðèâàþòñÿ ôóíêöèè àðãóìåíòà x, ïðè ýòîì x → a èëè x → ∞. Âñå óñòàíàâëèâàåìûå â ýòîì ïóíêòå
ïðåäëîæåíèÿ î ïðåäåëàõ èìåþò ìåñòî â îáîèõ ñëó÷àÿõ, îíè âåðíû òàêæå è äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Çäåñü ïðèâîäÿòñÿ äîêàçàòåëüñòâà äëÿ îäíîãî èç ýòèõ ñëó÷àåâ (x→ a), òàê êàê äëÿ äðóãîãî äîêàçàòåëüñòâà àíàëîãè÷íû. Ýòî çàìå÷àíèå îòíîñèòñÿ è ê ï. 4 ýòîãî ïàðàãðàôà.
Ò å î ð å ì à 1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷èñëî A áûëî ïðåäåëîì ôóíêöèè f(x)
ïðè x → a, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ýòà ôóíêöèÿ áûëà ïðåäñòàâèìà â âèäå f(x) = A + α(x), ãäå α(x) — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1) Ïóñòü lim f ( x ) = A. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ
x→ a
ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ x, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 0 < | x − a | < δ, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî | f(x) − A | < ε, ò. å. ôóíêöèÿ
α(x) = f(x) − A åñòü áåñêîíå÷íî ìàëàÿ è f(x) = A +α(x).
134
2) Ïóñòü f(x) = A + α(x), ãäå α(x) — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ x èç 0 < | x − a | < δ áóäåò | α(x) | =
= | f(x) − A | < ε, ò. å. A — ïðåäåë ôóíêöèè f(x) ïðè x → a.
Ñ ë å ä ñ ò â è å 1. Ôóíêöèÿ íå ìîæåò â îäíîé òî÷êå èìåòü äâà ðàçëè÷íûõ ïðåäåëà.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè lim f ( x ) = A, lim f ( x ) = B (A ≠ B), òî ïî
x→ a
x→ a
òåîðåìå 1 f(x) = A + α(x) è B = β (x) (α(x) è β(x) — áåñêîíå÷íî ìàëûå). Îòñþäà A + α(x) = B + β(x) è A − B = β(x) − α(x), ãäå β(x) − α(x) — áåñêîíå÷íî
ìàëàÿ, à A − B — ïîñòîÿííàÿ. Ýòîé ïîñòîÿííîé ìîæåò áûòü òîëüêî íóëü.
Ïîýòîìó A = B.
Ò å î ð å ì à 2. Ïðåäåë ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû ðàâåí ñàìîé ïîñòîÿííîé.
Ýòî ïðåäëîæåíèå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà.
Ò å î ð å ì à 3. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) ≥ 0 (f(x) ≤ 0) äëÿ âñåõ x â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè a, êðîìå, áûòü ìîæåò, ñàìîé òî÷êè a, è â òî÷êå a
èìååò ïðåäåë, òî lim f ( x ) ≥ 0 (lim f ( x ) ≤ 0).
x→ a
x→ a
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü, íàïðèìåð, f(x) ≥ 0 è lim f ( x ) = A.
Åñëè áû áûëî A < 0, òî äëÿ ε =
x→ a
A
íåðàâåíñòâî | f(x) − A | < ε ïðè 0 <
2
< | x − a | < δ áûëî áû íåâîçìîæíî íè ïðè êàêîì δ > 0, òàê êàê âëåêëî
áû çà ñîáîé îòðèöàòåëüíîñòü f(x).
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Çàìåòèì, ÷òî ïðè óñëîâèè, ÷òî lim f (x ) = A ñóùåñòâóåò, èç f(x) > 0
x→ a
(f(x) < 0), âîîáùå ãîâîðÿ, íå âûòåêàåò lim f (x ) > 0 (lim f (x ) < 0), à âûòåêàåò òîëüêî
x→ a
x→ a
lim f (x ) ≥ 0 (lim f (x ) ≤ 0). Òàê, | x| > 0 äëÿ âñåõ x ≠ 0, íî lim x = 0.
x→ a
x→ a
x→ 0
Ò å î ð å ì à 4. Åñëè ôóíêöèè f1(x) è f2(x) èìåþò ïðåäåëû ïðè x → a, òî
ïðè x → a èìåþò ïðåäåëû òàêæå èõ ñóììà f1(x) + f2(x), ïðîèçâåäåíèå
f (x )
f1(x)⋅f2(x) è ïðè óñëîâèè lim f 2 ( x ) ≠ 0 ÷àñòíîå 1 , ïðè÷åì
x→ a
f 2(x )
lim( f 1 ( x ) + f 2 ( x )) = lim f 1 ( x ) + lim f 2 ( x ),
(1)
lim( f 1 ( x ) ⋅ f 2 ( x )) = lim f 1 ( x ) ⋅ lim f 2 ( x ),
(2)
x→ a
x→ a
x→ a
x→ a
lim
x→ a
f 1(x )
f 2(x )
=
x→ a
x→ a
lim f 1 ( x )
x→ a
lim f 2 ( x )
.
(3)
x→ a
135
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àÿ ñóììû. Âñå îñòàëüíûå óòâåðæäåíèÿ äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïóñòü
lim f 1 ( x ) = A1 , lim f 2 ( x ) = A 2 . Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 1
x→ a
x→ a
f1(x) = A1 + α1(x), f2(x) = A2 + α2(x),
ãäå α1(x), α2(x) — áåñêîíå÷íî ìàëûå. Îòñþäà
f1(x) + f2(x) = (A1 + A2) + (α1(x) + α2(x)).
Ïî ñâîéñòâó 1 áåñêîíå÷íî ìàëûõ (§ 7. 4, ï. 1) ñóììà α1(x) + α2(x) áåñêîíå÷íî ìàëà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå 1
lim( f 1 ( x ) + f 2 ( x )) = A1 + A 2 .
x→ a
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ôîðìóëà (1) ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ, à ôîðìóëà (2)— íà ñëó÷àé ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîìíîæèòåëåé.
Ñ ë å ä ñ ò â è å 2. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) èìååò ïðåäåë ïðè x → a, òî
lim( f ( x )) n = [lim f ( x )] n ,
x→ a
x→ a
ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
Ñ ë å ä ñ ò â è å 3. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê
ïðåäåëà:
limCf ( x ) = C ⋅ lim f ( x ), C — const.
x→ a
x→ a
Ò å î ð å ì à 5. Åñëè äëÿ ôóíêöèé f(x), f1(x) è f2(x) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè a âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
f1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x)
(4)
è lim f 1 ( x ) = lim f 2 ( x ) = A, òî lim f ( x ) = A.
x→ a
x→ a
x→ a
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà âûòåêàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü òî÷êè a (ïðè x ≠ a), â êîòîðîé îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà:
| f1(x) − A | < ε, | f2(x) − A | < ε,
ãäå ε — ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Çàïèøåì ýòè íåðàâåíñòâà,
îñâîáîäèâøèñü îò çíàêà àáñîëþòíîé âåëè÷èíû:
A − ε < f1(x) < A + ε,
(5)
A − ε < f2(x) < A + ε.
(6)
Èç íåðàâåíñòâ (4) è (5) èìååì: A − ε < f1(x) ≤ f(x), îòêóäà
A − ε < f(x).
136
(7)
Àíàëîãè÷íî èç íåðàâåíñòâ (4) è (6) ïîëó÷èì:
f(x) < A + ε.
(8)
Èç íåðàâåíñòâ (7) è (8) ñëåäóåò, ÷òî A − ε < f(x) < A + ε, èëè
| f(x) − A | < ε, ò. å. lim f ( x ) = A.
x→ a
2. Ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ ïðåäåëîâ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè lim(2 x 2 + 1).
x→1
Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 4 è 2 è ñëåäñòâèÿ 3 è 2, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷àåì:
lim(2 x 2 + 1) = lim 2 x 2 + lim1 = 2[lim x ]2 + 1.
x→1
x→1
x→1
x→1
Íî, êàê óæå óñòàíîâëåíî (§ 7. 3,ï. 4, ïðèìåð 1), lim x = 1. Ïîýòîìó lim(2 x 2 + 1) = 3.
x→1
x→1
2
x − 5x + 1
. Êàê è â ïðèìåðå 1, íàõîäèì, ÷òî lim(x 3 + 1) =
x→1
x 3 +1
= lim x 3 + lim1 = (lim x )3 + 1 = 2. Òåïåðü ïî òåîðåìå 4
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè lim
x→1
x→1
x→1
x→1
lim
x→1
x 2 − 5x + 1)
x 2 − 5x + 1 lim(
.
= x→1
3
x +1
lim(x 3 + 1)
x→1
2
lim(x − 5x + 1) = lim x − lim 5x + lim1 = [lim x ]2 − 5 lim x + 1 = −3.
Íî
lim
x→1
2
x→1
x→1
x→1
x→1
x→1
x→1
Ñëåäîâàòåëüíî,
2
x − 5x + 1
3
=− .
x 3 +1
2
Êàê ïîêàçûâàþò ðåøåíèÿ ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ, â ïðîñòåéøèõ
ñëó÷àÿõ íàõîæäåíèå ïðåäåëà ñâîäèòñÿ ê ïîäñòàíîâêå â äàííîå âûðàæåíèå ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà. Îäíàêî íå âñåãäà ìîæíî âû÷èñëèòü ïðåäåë ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (1), (2), (3). Òàê, ôîðìóëû (1) è (2) óòðà÷èâàþò ñìûñë, åñëè õîòÿ áû îäíà èç ôóíêöèé f1(x) èëè f2(x) íå èìååò
ïðåäåëà. Ôîðìóëà (3) íåâåðíà, åñëè çíàìåíàòåëü äðîáè ñòðåìèòñÿ ê
íóëþ. Çäåñü ìîãóò ïðåäñòàâèòüñÿ äâà ñëó÷àÿ.
à ) Ï ð å ä å ë ÷ è ñ ë è ò å ë ÿ í å ð à â å í í ó ë þ.
x2
.
x→1 1 − x 2
2
Èìååì lim(1 − x ) = 0. Ïîýòîìó ôîðìóëó (3) â ýòîì ïðèìåðå èñïîëüçîâàòü íåëüçÿ. Òàê
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè lim
êàê
x→1
1 − x 2) 0
1 − x 2 lim(
= x→1
= = 0,
2
x→1
x
1
lim x 2
lim
x→1
137
1− x2
x2
áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè x → 1. Òîãäà ôóíêöèÿ
áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ
2
x
1− x2
x2
ïðè x → 1, ò. å. lim
= ∞.
x→1 1 − x 2
Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî, êîãäà x ïðèáëèæàåòñÿ ê 1 ñëåâà, ò. å. îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ ìåíüx2
øå 1 (÷òî çàïèñûâàþò: x → 1 − 0), ôóíêöèÿ
îñòàåòñÿ âñå âðåìÿ ïîëîæèòåëüíîé.
1− x2
 ýòîì ñëó÷àå çàïèñûâàþò:
x2
lim
= +∞.
x→1 − 0 1 − x 2
Åñëè æå x ïðèáëèæàåòñÿ ê 1 ñïðàâà, ò. å. îñòàâàÿñü âñå âðåìÿ áîëüøå 1 (÷òî çàïèñûâàòî ôóíêöèÿ
þò: x → 1 + 0), òî ýòà ôóíêöèÿ îñòàåòñÿ âñå âðåìÿ îòðèöàòåëüíîé.  ýòîì ñëó÷àå çàïèñûâàx2
þò: lim
= −∞.
x→1 + 0 1 − x 2
á ) Ï ð å ä å ë ÷ è ñ ë è ò å ë ÿ ð à â å í í ó ë þ.
x 2 + 3x
.
x2 + x
Çäåñü lim(x 2 + 3x ) = 0 + 3 ⋅ 0 = 0, lim(x 2 + x ) = 0 + 0 = 0.
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè lim
x→ 0
x→ 0
x→ 0
0
x 2 + 3x
Ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå èìååì íåîïðåäåëåííîñòü âèäà . Îäíàêî ïðåäåë lim 2
x
→
0
0
x +x
ñóùåñòâóåò è åãî ìîæíî íàéòè. Äëÿ åãî íàõîæäåíèÿ, ò. å. ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåííîñòè âè0
x 2 + 3x
, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåäà , íóæíî ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçîâàòü äðîáü 2
0
x +x
íàòåëü ïî÷ëåííî íà x, ÷òî âîçìîæíî, òàê êàê äî ïåðåõîäà ê ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ x≠ 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷èì:
x 2 + 3x
x +3
.
= lim
lim 2
x→ 0 x + x
x→ 0 x + 1
x +3
x 2 + 3x
Íî lim
= 3. Â ðåçóëüòàòå èìååì: lim 2
= 3.
x→ 0 x + 1
x→ 0 x + x
4−x − 4+x
.
x
Òàê êàê lim( 4 − x − 4 + x ) = 0, lim x = 0, òî çäåñü òàêæå èìååì íåîïðåäåëåííîñòü
x→ 0
x→ 0
0
âèäà . Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàñêðûòü ýòó íåîïðåäåëåííîñòü, ïðåîáðàçóåì äðîáü, ñòîÿùóþ ïîä
0
çíàêîì ïðåäåëà, óìíîæèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ýòîé äðîáè íà 4 − x + 4 + x è ñäåÏ ð è ì å ð 5. Íàéòè lim
x→ 0
ëàâ ïîñëå ýòîãî íåîáõîäèìûå óïðîùåíèÿ:
4−x − 4+x
( 4 − x − 4 + x )( 4 − x + 4 + x )
= lim
=
x→ 0
x
x( 4 − x + 4 + x )
1
1
1
−2 x
= lim
= −2 ⋅ lim
= −2
=− .
x→ 0
x→ 0
2 +2
2
x( 4 − x + 4 + x )
4−x + 4+x
lim
x→ 0
138
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðèìåðû íà âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ ôóíêöèé
ïðè x → ∞.
Ï ð è ì å ð 6. Íàéòè lim
x→ ∞
4
.
3x + 2
Î÷åâèäíî, lim(3x + 2) = ∞. Ïîýòîìó (§ 7.4) ôóíêöèÿ
x→ ∞
áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðè x → ∞, ò. å. lim
x→ ∞
Ï ð è ì å ð 7. Íàéòè lim
x→ ∞
4
= 0.
3x + 2
1
4
, çíà÷èò, è ôóíêöèÿ
3x + 2
3x + 2
3x + 5
.
4x + 1
Çäåñü lim(3x + 5) = ∞, lim(4x + 1) = ∞. Ãîâîðÿò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå èìååì íåîïðåäåëåíx→ ∞
íîñòü âèäà
x→ ∞
∞
3x + 5
. Äëÿ åå ðàñêðûòèÿ ïðåäâàðèòåëüíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè
∞
4x + 1
ïî÷ëåííî ðàçäåëèì íà x. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷èì:
5
3+
3x + 5
x.
= lim
lim
x → ∞ 4x + 1
x→ ∞
1
4+
x
Íî lim
x→ ∞
3x + 5 3
1
5
= .
= 0 è lim = 0. Â ðåçóëüòàòå èìååì, ÷òî lim
x→ ∞ x
x → ∞ 4x + 1
4
x
Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ïðè x → ∞ äðîáíî-ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ ñòðåìèòñÿ ëèáî ê íóëþ, ëèáî ê áåñêîíå÷íîñòè, ëèáî ê êîíå÷íîìó ÷èñëó,îòëè÷íîìó îò íóëÿ, â
çàâèñèìîñòè îò òîãî, áóäåò ëè ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ ìåíüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ, áîëüøå
åå èëè ðàâíà åé.
3. Ïåðâûé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë. Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
lim
x→ 0
sin x
= 1,
x
íàçûâàåìîå ïåðâûì çàìå÷àòåëüíûì ïðåäåëîì.
Ñ åãî ïîìîùüþ ìîæíî âû÷èñëÿòü ïðåäåëû
ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé, ñîäåðæàùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè è ñòåïåíè x.
Ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ðàâåíñòâà (9).
Âîçüìåì êðóã åäèíè÷íîãî ðàäèóñà è ïðåäïîëîæèì, ÷òî óãîë x, âûðàæåííûé â ðàäèàíàõ,
 π
çàêëþ÷åí â èíòåðâàëå  0;  (ðèñ. 90). Îáîçíà 2
÷èì ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ OAB è OAC ñîîò-
(9)
Ðèñ. 90
139
âåòñòâåííî ÷åðåç S1 è S2, à ïëîùàäü ñåêòîðà OAB ÷åðåç S. Èç ðèñóíêà 90
âèäíî, ÷òî
S1 < S < S2.
(10)
1
1
Çàìå÷àÿ, ÷òî AC = OA ⋅ tg x = tgx, èìååì S 1 = ⋅OA ⋅OB ⋅ sin x = sin x ,
2
2
1
1
1
1
2
S = ⋅OA ⋅ x = x , S 2 = ⋅OA ⋅ AC = tg x . Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì íåðà2
2
2
2
âåíñòâ (10) ïîëó÷àåì:
1
1
1
sin x < x < tg x ,
2
2
2
1
îòêóäà ïîñëå äåëåíèÿ íà sin x è ñîêðàùåíèÿ íà íàõîäèì:
2
x
1
,
1<
<
sin x cos x
èëè
sin x
(11)
cos x <
<1
x
sin x
π
— ÷åòÍåðàâåíñòâà (11) ïîëó÷åíû äëÿ 0 < x < . Îäíàêî cos x è
x
2
sin( − x ) − sin x sin x
íûå ôóíêöèè: cos( − x ) = cos x,
. Òåì ñàìûì íåðà=
=
−x
−x
x
π
âåíñòâà (11) ñïðàâåäëèâû è â èíòåðâàëå − < x < 0. Òàê êàê limcos x = 1
x→ 0
2
(ýòî ñëåäóåò èç ãåîìåòðè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ êîñèíóñà), òî èç íåðàâåíñòâ (11) íà îñíîâàíèè òåîðåìû 5 çàêëþ÷àåì, ÷òî äåéñòâèòåëüíî
èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî (9).
Ï ð è ì å ð. Íàéòè lim
x→ 0
sin 2 x
.
sin 5x
Èìååì:
lim
x→ 0
2 sin 2 x
2
sin 5x 2
sin 2 x
sin 2 x
:lim
= lim 2 x = lim
= .
5
sin 5x x → 0 5 sin 5x 5 x → 0 2 x x→ 0 5x
5x
4. Ñðàâíåíèå áåñêîíå÷íî ìàëûõ. Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ α (x) è β(x)ïðè x → a (äëÿ êîìïàêòíîñòè çàïèñè áóäåì îáîçíà÷àòü èõ ïðîñòî α è β). Âûäåëèì òðè ñëó÷àÿ.
α
1. lim = 0.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî α — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå
x→ a β
âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì β.
140
3
Ï ð è ì å ð 1. Ïðè x → 2 ôóíêöèÿ (x − 2) áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà,
(x − 2 ) 3
÷åì x − 2, òàê êàê lim
= 0.
x→ 2 x − 2
α
= A ≠ 0.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèè α è β íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷β
íî ìàëûìè îäíîãî ïîðÿäêà.
2. lim
x→ a
2
2
Ï ð è ì å ð 2. Ïðè x → 0 ôóíêöèè 5x è x ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè îäíîãî ïî5x 2
ðÿäêà, òàê êàê lim 2 = 5.
x→ 0 x
3. lim
x→ a
α
= ∞.  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî α — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå
β
íèçêîãî ïîðÿäêà, ÷åì β. Ìîæíî ñêàçàòü òàêæå, ÷òî β — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì α.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðè x → −1ôóíêöèÿ x + 1 áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå íèçêîãî ïîðÿäêà,
2
÷åì (x − 1)(x + 1) , òàê êàê
lim
x → −1
x +1
= ∞.
(x − 1)(x + 1)2
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè ôóíêöèè α è β áåñêîíå÷íî ìàëûå îäíîãî
α
ïîðÿäêà, ïðè÷åì lim = 1, òî îíè íàçûâàþòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè áåñêîx→ a β
íå÷íî ìàëûìè. Ñèìâîëè÷åñêè ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê: α ∼ β.
Èç îïðåäåëåíèÿ, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè lim
x→ a
α
= A ≠ 0, ò. å.
β
åñëè α è β —áåñêîíå÷íî ìàëûå îäíîãî ïîðÿäêà, òî α è Aβ áóäóò ÿâëÿòüñÿ ýêâèâàëåíòíûìè áåñêîíå÷íî ìàëûìè: α ∼ Aβ.
sin x
Ï ð è ì å ð 4. Êàê óñòàíîâëåíî â ï. 3, lim
= 1, ò. å. sinx è x ïðè x → 0 ÿâëÿþòñÿ ýêx→ 0
x
âèâàëåíòíûìè áåñêîíå÷íî ìàëûìè.
Ò å î ð å ì à. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòíîøåíèÿ äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ α è β, òî îí ðàâåí ïðåäåëó îòíîøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ýêâèâàëåíòíûõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè α∼ α1, β ∼ β1 è ñóùåñòα
α α 1 β1
α
âóåò lim , òî, ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó â ðàâåíñòâå =
⋅
⋅ , ïîëó÷èì:
x→ a β
β α 1 β1 β
α
β
 α α 1 β1 
α
α
lim = lim
⋅
⋅  = lim
⋅ lim 1 ⋅ lim 1 =
x→ a β
x→ a α
x→ a α
x→ a β
x→ a β
β
β

1
1
1
1
= 1 ⋅ lim
x→ a
α1
β1
⋅ 1 = lim
x→ a
α1
β1
.
141
Äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ óïðîùàòü îòûñêàíèå ïðåäåëà.
Ï ð è ì å ð 5. lim
x→ 0
5x 5
sin 5x
= lim
= , òàê êàê sin5x ∼ 5x ïðè x → 0 (ñì. ïðèìåð 4).
x → 0 3x
3x
3
Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðè ñðàâíåíèè áåñêîíå÷íî ìàëûõ ÷àñòî èñïîëüçóþò ñèìâîë î («î
ìàëîå»). Åñëè α — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, ÷åì áåñêîíå÷íî ìàëàÿ β ,
òî ýòî óñëîâíî çàïèñûâàþò òàê:
α = o(β).
§ 7.6. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
1. Ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè. Ìû âèäåëè, ÷òî ãðàôèêàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâà òî÷åê. Ýòè òî÷êè âñåãäà íàõîäÿòñÿ íà
íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà. Ãðàôèêîì æå, íàïðèìåð, ñòåïåííîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ êðèâàÿ, êîòîðàÿ ïîõîæà íà ñïëîøíóþ íåïðåðûâíóþ ëèíèþ. Îêàçûâàåòñÿ, ýòó ðàçíèöó õàðàêòåðèçóåò òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå ïîíÿòèå íåïðåðûâíîñòè, ê ââåäåíèþ êîòîðîãî è ïåðåéäåì.
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) îïðåäåëåíà â íåêîòîðîì èíòåðâàëå, x0 è x — äâà
ïðîèçâîëüíûõ çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà èç ýòîãî èíòåðâàëà. Îáîçíà÷èì x −
− x0 = ∆x, îòêóäà x = x0 + ∆x. Ãîâîðÿò, ÷òî äëÿ ïåðåõîäà îò çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x0 ê çíà÷åíèþ x ïåðâîíà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ ïðèäàíî ïðèðàùåíèå ∆x.
Ïðèðàùåíèåì ∆y ôóíêöèè y = f(x), ñîîòâåòñòâóþùèì ïðèðàùåíèþ ∆x
àðãóìåíòà x â òî÷êå x0, íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0).
Íàïðèìåð, ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè y = x3, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ïðèðàùåíèþ ∆x àðãóìåíòà x â òî÷êå x0, áóäåò âåëè÷èíà
∆y = ( x 0 + ∆x ) 3 − x 03 = 3x 02 ∆x + 3x 0 ( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 .
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ôóíêöèÿ y = f(x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â
òî÷êå x0, åñëè áåñêîíå÷íî ìàëîìó ïðèðàùåíèþ ∆x àðãóìåíòà x â
òî÷êå x0 ñîîòâåòñòâóåò áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè ∆y,
ò. å. lim ∆y = lim ( f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )) = 0.
∆x → 0
∆x → 0
Äðóãèìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ y = f(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, åñëè
lim f ( x ) = f ( x 0 ), ò. å. ïðåäåë ôóíêöèè â òî÷êå x0 ðàâåí çíà÷åíèþ ôóíêx→ x 0
öèè â ýòîé òî÷êå.
Ï ð è ì å ð 1. Ôóíêöèÿ y = x íåïðåðûâíà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè x = x0. B ñàìîì äåëå,
∆y = x0 + ∆x − x0 = ∆x, è, çíà÷èò, lim ∆y = lim ∆x = 0.
∆x → 0
142
∆x → 0
Ï ð è ì å ð 2. Ôóíêöèÿ y = sinx íåïðåðûâíà ïðè ëþáîì çíà÷åíèè x = x0.  ñàìîì
∆x 
∆x

äåëå, ∆y = sin(x 0 + ∆x ) − sin x 0 = 2 cos x 0 +
 sin . Îòñþäà lim ∆y = 0, òàê êàê
x→ 0

2 
2
∆x
∆x 

cos x 0 +
= lim
 ≤ 1, à lim sin
∆x → 0
∆x → 0

2 
2
∆x
2 ⋅ ∆x = 1 ⋅ 1 lim ∆x = 0.
∆x
2
2 ∆x → 0
2
sin
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè cosx.
Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà, íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ýòîì èíòåðâàëå.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè ôóíêöèè f1(x) è f2(x) íåïðåðûâíû â òî÷êå x0, òî íåïðåðûâíû â ýòîé òî÷êå òàêæå èõ àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà f1(x) ± f2(x), ïðîf (x )
èçâåäåíèå f1(x)f2(x) è ïðè óñëîâèè f2(x0) ≠ 0 ÷àñòíîå 1 .
f 2(x )
Ýòà òåîðåìà âûòåêàåò èç àíàëîãè÷íîé òåîðåìû î ïðåäåëàõ.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Äëÿ àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ òåîðåìà 1 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ëþáîå êîíå÷íîå ÷èñëî ôóíêöèé.
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ôóíêöèÿ u = ϕ(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0, à ôóíêöèÿ y = f(u) íåïðåðûâíà â òî÷êå u0 = ϕ(x0), òî ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f(ϕ(x))
íåïðåðûâíà â òî÷êå x0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè u =
= ϕ(x) èìååì lim ϕ( x ) = ϕ( x 0 ) = u 0 , ò. å. ïðè x→ x0 òàêæå è u → u0. Ïîýòîx→ x 0
ìó â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè f(u) lim f ( ϕ( x )) = lim f (u ) = f (u 0 ) =
x→ x 0
u→ u 0
= f ( ϕ( x 0 )), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 2.
Òàêèì îáðàçîì, ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f(ϕ(x)), îáðàçîâàííàÿ èç äâóõ
íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé f(u) è ϕ(x), ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé.
Èìååò ìåñòî è ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à 3. Åñëè f(x) — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ îäíîçíà÷íóþ îáðàòíóþ ôóíêöèþ, òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ òîæå íåïðåðûâíà.
Âìåñòî äîêàçàòåëüñòâà îãðàíè÷èìñÿ ñëåäóþùèì íàãëÿäíûì ñîîáðàæåíèåì: åñëè ãðàôèê ôóíêöèè y = f(x) — íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ, òî ãðàôèê îáðàòíîé ê íåé ôóíêöèè òîæå íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ.
Ò å î ð å ì à 4. Âñå îñíîâíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íåïðåðûâíû òàì,
ãäå îíè îïðåäåëåíû.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ y = C íåïðåðûâíà
ïðè ëþáîì çíà÷åíèè x = x0, òàê êàê ∆y = C − C = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî,
lim ∆y = 0. Òàê êàê ôóíêöèÿ y = x íåïðåðûâíà ïðè ëþáîì x (ñì. ïðè∆x → 0
ìåð 1), òî ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ñòåïåííàÿ ôóíêöèÿ y = xn, ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òàêæå íåïðåðûâíà ïðè ëþáîì x.
143
Íåïðåðûâíîñòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé sin x è cosx èìååò ìåñòî âñþäó (ñì. ïðèìåð 2); tg x è ctg x íåïðåðûâíû âñþäó, ãäå îíè îïðåäåëåíû êàê îòíîøåíèÿ äâóõ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé sin x è cos x.
Ìîæíî äîêàçàòü íåïðåðûâíîñòü xα (α — äåéñòâèòåëüíîå) è äðóãèõ
îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé òàì, ãäå îíè îïðåäåëåíû.
Èç òåîðåì 1, 2 è 4 âûòåêàåò:
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Âñÿêàÿ ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âî âñåõ
òî÷êàõ, ïðèíàäëåæàùèõ åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Èìååò ìåñòî (ñì., íàïðèìåð, [11]) è ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå:
Ò å î ð å ì à 5. Ôóíêöèÿ f(x), íåïðåðûâíàÿ â òî÷êå x0, íå ðàâíàÿ íóëþ â
ýòîé òå÷êå, ñîõðàíÿåò çíàê f(õ0) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0.
2. Òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0, òî ãîâîðÿò, ÷òî â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f(x) ðàçðûâíà, à òî÷êà x0
íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ôóíêöèè f(x).
 êà÷åñòâå êîíêðåòíîãî ïðèìåðà ôóíêöèè, èìåþùåé òî÷êó ðàçðûâà, ðàññìîòðèì ñêîðîñòü òåëà, ïàäàþùåãî íà çåìëþ. Ýòà ñêîðîñòü âîîáùå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé âðåìåíè, íî äëÿ ìîìåíòà óäàðà
ìîæíî óñëîâíî ñ÷èòàòü, ÷òî îíà ìãíîâåííî (ñêà÷êîì) ïàäàåò äî íóëÿ,
ò. å. ñêîðîñòü òåðïèò ðàçðûâ.
Ïðåäåëîì ôóíêöèè f(x) â òî÷êå x0 ñëåâà (ñïðàâà) íàçûâàåòñÿ ïðåäåë,
âû÷èñëÿåìûé â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî x ñòðåìèòñÿ ê x0, îñòàâàÿñü âñå
âðåìÿ ìåíüøå (áîëüøå) çíà÷åíèÿ x0. Ïðåäåëû ñëåâà è ñïðàâà, íàçûâàåìûå îäíîñòîðîííèìè ïðåäåëàìè, ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷àþò:
lim f ( x ) è lim f ( x ).
x→ x 0 −0
x→ x 0 +0
Òî÷êà x0 ðàçðûâà ôóíêöèè f(x) íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàçðûâà ïåðâîãî
ðîäà, åñëè ñóùåñòâóþò îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû ôóíêöèè:
lim f ( x ), lim f ( x )
x→ x 0 −0
x→ x 0 +0
(ïðè ýòîì ôóíêöèÿ f(x) íåîáÿçàòåëüíî äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà â òî÷êå x0).
Âñå ïðî÷èå òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè f(x) íàçûâàþòñÿ åå òî÷êàìè ðàçðûâà âòîðîãî ðîäà.
Ï ð è ì å ð 1. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ y = f(x), îïðåäåëåííóþ íà ñåãìåíòå [0; 4] ñëåäóþùèì îáðàçîì:
 x − 1, åñëè 0 ≤ x < 3,
f (x ) = 
3 − x , åñëè 3 ≤ x ≤ 4.
Ýòà ôóíêöèÿ (ðèñ. 91) îïðåäåëåíà âî âñåõ òî÷êàõ ñåãìåíòà [0; 4], è åå çíà÷åíèå ïðè x = 3
ðàâíî 0. Îäíàêî â òî÷êå x = 3 ôóíêöèÿ ïðåòåðïåâàåò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà, òàê êàê ïðè x → 3
lim f (x ) = 2, lim f (x ) = 0.
x→ 3 − 0
144
x→ 3 + 0
Ðèñ. 91
Ðèñ. 92
Òî÷êà x0 ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà, â êîòîðîé
lim f ( x ) = lim f ( x ),
x→ x 0 +0
x→ x 0 −0
íàçûâàåòñÿ òî÷êîé óñòðàíèìîãî ðàçðûâà.
Ï ð è ì å ð 2. Ôóíêöèÿ
sin x
â òî÷êå x = 0 èìååò óñòðàíèìûé ðàçðûâ, òàê êàê
x
sin x
sin x
lim
= lim
= 1.
x→ 0 + 0
x→ 0 − 0
x
x
Ïóñòü x0 — òî÷êà ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà.
Ñêà÷êîì ôóíêöèè f(x) â òî÷êå x0 íàçûâàþò ðàçíîñòü
lim f ( x ) − lim f ( x ).
x→ x 0 +0
x→ x 0 −0
Òàê, ôóíêöèÿ, ðàññìîòðåííàÿ â ïðèìåðå 1, èìååò â òî÷êå x = 3 ñêà÷îê, ðàâíûé 0 − 2 = −2.
1
(ñì. ðèñ. 53) â òî÷êå x = 0 èìååò ðàçðûâ âòîðîãî ðîäà, òàê
x
êàê ýòà ôóíêöèÿ ïðè x → 0 íå èìååò ïðåäåëà íè ñëåâà, íè ñïðàâà.
Ï ð è ì å ð 3. Ôóíêöèÿ y =
Ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå x0 ñëåâà (ñïðàâà),
åñëè lim f ( x ) = f ( x 0 ) ( lim f ( x ) = f ( x 0 )).
x→ x 0 −0
x→ x 0 +0
3. Ñâîéñòâà ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå. Ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé íà ñåãìåíòå [a; b], åñëè îíà íåïðåðûâíà â èíòåðâàëå (a; b) è, êðîìå òîãî, â òî÷êå a íåïðåðûâíà ñïðàâà, à â òî÷êå b —
ñëåâà.
Íèæå ïðè ðàññìîòðåíèè ñâîéñòâ ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà ñåãìåíòå, îãðàíè÷èìñÿ ôîðìóëèðîâêàìè è ïîÿñíåíèÿìè, íå ïðîâîäÿ äîêàçàòåëüñòâ (äîêàçàòåëüñòâà ñì., íàïðèìåð, â [9], ò. 1).
Ò å î ð å ì à 1 (òåîðåìà Âåéåðøòðàññà î äîñòèæåíèè ôóíêöèåé
ñâîåãî íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé; Êàðë Âåéåðøòðàññ
145
(1815—1897) — íåìåöêèé ìàòåìàòèê). Ôóíêöèÿ f(x), íåïðåðûâíàÿ íà
ñåãìåíòå [a; b], äîñòèãàåò â ýòîì ñåãìåíòå ñâîåãî íàèáîëüøåãî è ñâîåãî
íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé, ò. å. ñóùåñòâóþò òàêèå òî÷êè x1 è x2 îòðåçêà [a;
b], ÷òî äëÿ âñåõ x èç [a; b] âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà f(x1) ≥ f(x) è f(x)≥ f(x2).
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Åñëè ôóíêöèÿ
f(x)
íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b], òî
Ðèñ. 93
îíà îãðàíè÷åíà íà íåì, ò. å. ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî M, ÷òî | f(x) | ≤ M ïðè a ≤ x ≤ b.
~ ñîîòâåòñòâåííî
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç m è m
íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f(x) íà ñåãìåíòå [a; b].
Òîãäà äëÿ ëþáîãî x, ïðèíàäëåæàùåãî ñåãìåíòó [a; b], èìåþò ìåñòî íå~ ≤ f(x) ≤ m. Ïóñòü M — íàèáîëüøåå èç ÷èñåë | m|,
~ | m|. Òîãäà
ðàâåíñòâà m
| f(x) | ≤ M ïðè a ≤ x ≤ b.
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b] è íà
êîíöàõ åãî ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ çíàêîâ, òî ìåæäó òî÷êàìè a è b
íàéäåòñÿ òî÷êà c, òàêàÿ, ÷òî f(c) = 0.
Ýòà òåîðåìà èìååò ïðîñòîé ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë (ðèñ. 92): åñëè
íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ ïåðåõîäèò ñ îäíîé ñòîðîíû îñè Ox íà äðóãóþ, òî
îíà ïåðåñåêàåò îñü Ox.
Ò å î ð å ì à 3 (òåîðåìà Êîøè î ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ; Îãþñòåí Êîøè (1789—1857) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê). Ïóñòü ôóíêöèÿ
f(x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b] è f(a) = A, f(b) = B. Òîãäà äëÿ ëþáîãî
÷èñëà C, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó A u B, íàéäåòñÿ âíóòðè ýòîãî ñåãìåíòà
òàêàÿ òî÷êà c, ÷òî f(c) = C.
Ýòà òåîðåìà ãåîìåòðè÷åñêè î÷åâèäíà. Ðàññìîòðèì ãðàôèê ôóíêöèè
y = f(x) (ðèñ. 93). Òàê êàê f(a) = A, f(b) = = B, òî ïðÿìàÿ y = C, ãäå C ëþáîå
÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó A è B, ïåðåñå÷åò åãî ïî êðàéíåé ìåðå â îäíîé
òî÷êå.
Òàêèì îáðàçîì, íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, ïåðåõîäÿ îò îäíîãî çíà÷åíèÿ ê äðóãîìó, îáÿçàòåëüíî ïðîõîäèò ÷åðåç âñå ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ.
§ 7.7. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
1. Îïðåäåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è îñíîâíûå îïåðàöèè íàä íèìè. Ê êîìïëåêñíûì
2
÷èñëàì îáû÷íî ïðèõîäÿò, ðàññìàòðèâàÿ óðàâíåíèå x + 1 = 0. Î÷åâèäíî, íå ñóùåñòâóåò
äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòîìó óðàâíåíèþ. Êîðíÿìè åãî (êàê è öåëîãî
ðÿäà äðóãèõ óðàâíåíèé) îêàçûâàþòñÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà.
146
Ïîä êîìïëåêñíûì ÷èñëîì ïîíèìàåòñÿ âûðàæåíèå
z = x + iy,
(1)
ãäå x è y — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, à i — ìíèìàÿ åäèíèöà.
×èñëà x + i0 = x îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè; â ÷àñòíîñòè, 0 + i0 = 0.
×èñëà 0 + iy = iy íàçûâàþòñÿ ÷èñòî ìíèìûìè.
Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà x è y íàçûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé
÷àñòÿìè ÷èñëà z è îáîçíà÷àþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
x = Re z, y = Im z.
Ïîä ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ïîíèìàåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî z = x 2 + y 2 .
Ñîïðÿæåííûì ÷èñëîì z ê ÷èñëó (1) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x − iy. Äâà
êîìïëåêñíûõ ÷èñëà z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2 ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà x1 = x2
è ó1 = ó2.
Ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
I. z1 ± z2 = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2).
II. z1z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1).
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè,
2
i = (0 + i1)(0 + i1) = (0 − 1) + i(0 + 0) = −1,
2
2
2
zz = x + y = | z | .
z
z ⋅z
(x x + y1 y2 ) + i (x 2 y1 − x1 y2 )
III. 1 = 1 2 = 1 2
z2 z2 ⋅ z2
x 22 + y22
(z2 ≠ 0).
2. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü ñ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò xOy (ðèñ. 94). Òàê êàê êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = x + iy ÿâëÿåòñÿ
ïàðîé (x; y) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, à êàæäîé ïàðå (x; y) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóåò îäíà òî÷êà ïëîñêîñòè è íàîáîðîò (ñì. § 1.1, ï. 1), òî êàæäóþ òî÷êó (x; y) ïëîñêîñòè
ìîæíî ïðèíÿòü çà èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = x + iy. B ýòîì ñëó÷àå ýòà ïëîñêîñòü
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ, à z— òî÷êîé ýòîé ïëîñêîñòè.
Íà îñè Ox ðàñïîëîæåíû äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà: z =
= x + i0 = x; ïîýòîìó îíà íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé
îñüþ. Íà îñè Oy ðàñïîëîæåíû ÷èñòî ìíèìûå ÷èñëà: z =
= 0 + iy = iy, îíà íàçûâàåòñÿ ìíèìîé îñüþ.
Çàìåòèì, ÷òî r = | z | ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàññòîÿíèå
îò òî÷êè z äî íà÷àëà êîîðäèíàò (ñì. § 1.2, ï. 1).
Óäîáíîé ÿâëÿåòñÿ èíòåðïðåòàöèÿ êîìïëåêñíîãî
÷èñëà z = x + iy êàê ðàäèóñà-âåêòîðà OM (ðèñ. 94).
Î÷åâèäíî, êàæäîìó ðàäèóñó-âåêòîðó â ïëîñêîñòè ñ
êîíöîì â òî÷êå M(x; y) ñîîòâåòñòâóåò êîìïëåêñíîå
÷èñëî z = x + iy è íàîáîðîò. Íóëåâîìó âåêòîðó ñîîò-
Ðèñ. 94
147
âåòñòâóåò êîìïëåêñíîå ÷èñëî 0 + i0. Ñóììå è ðàçíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë áóäåò
ñîîòâåòñòâîâàòü ñóììà è ðàçíîñòü ðàäèóñîâ-âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ ýòè ÷èñëà,
ïðè ýòîì
| z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |,
| z1 − z2 | ≥ || z1 | − | z2 ||.
Ïîëîæåíèå òî÷êè z íà ïëîñêîñòè, êðîìå åå ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò x, y, ìîæåò
áûòü îïðåäåëåíî òàêæå è ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r, ϕ, ïðè ýòîì (ñì. § 1.1, ï. 2)
x = r cosϕ, y = r sinϕ.
(2)
×èñëî ϕ áóäåì íàçûâàòü àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z. Àðãóìåíò ñ÷èòàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì èëè îòðèöàòåëüíûì â çàâèñèìîñòè îò òîãî, âåäåòñÿ ëè åãî îòñ÷åò îò ïîëîæèòåëüíîãî íàïðàâëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé îñè ïðîòèâ èëè ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå ñîîòâåòñòâåííî.
Ïî çàäàííîé òî÷êå z åå ìîäóëü îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì, à àðãóìåíò — ñ
òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî 2kπ, k = 0, ±1, ±2,
. Çíà÷åíèå àðãóìåíòà ϕ, óäîâëåòâîðÿþùåå óñ-
ëîâèþ −π < ϕ ≤ π, íàçûâàåòñÿ ãëàâíûì è îáîçíà÷àåòñÿ arg z.
Òî÷êà z = 0 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé òî÷êîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðîé àðãóìåíò íå îïðåäåëåí.
3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, çàïèñàííûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
ôîðìå. Èç ôîðìóë (2) ïîëó÷àåòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà çàïèñè êîìïëåêñíîãî
÷èñëà:
z = r (cosϕ + i sinϕ).
(3)
Ïîëüçóÿñü çàïèñüþ (3) äëÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
z1 = r1(cosϕ1 + i sinϕ1), z2 = r2(cosϕ2 + i sinϕ2),
èìååì:
z1z2 = r1r2((cosϕ1 cosϕ2 − sinϕ1 sinϕ2) + i(sinϕ1 cosϕ2 + cosϕ1 sinϕ2)) =
= r1r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + i sin(ϕ1 + ϕ2)),
z1
z2
=
(4)
r1 cos ϕ1 + i sin ϕ1 r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )(cos(−ϕ 2 ) + i sin(−ϕ 2 ))
⋅
= ⋅
=
r2 cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 r2
(cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 )(cos ϕ 2 − i sin ϕ 2 )
=
r1
r2
(cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ 2 )) (r2 ≠ 0).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óìíîæåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èõ ìîäóëè ïåðåìíîæàþòñÿ, à
àðãóìåíòû ñêëàäûâàþòñÿ. Ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èõ ìîäóëè äåëÿòñÿ, à àðãóìåíòû âû÷èòàþòñÿ.
4. Âîçâåäåíèå â ñòåïåíü è èçâëå÷åíèå êîðíÿ. Ñëåäñòâèåì ôîðìóëû (4) ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà
n
n
z = r (cos nϕ + i sin nϕ),
ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
148
(5)
Ïóñòü
n
z = ρ(cos ψ + i sin ψ),
ãäå z = r (cos ϕ + i sin ϕ). Òîãäà íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (5) èìååì:
n
n
z = (ρ (cos ψ + i sin ψ)) = ρ (cos nψ + i sin nψ),
Îòñþäà
n
ρ = r, nψ = ϕ + 2kπ (k = 0, ±1, ±2,
)
è, ñëåäîâàòåëüíî,
ρ = n r (ïîä n r ïîíèìàåòñÿ àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå êîðíÿ), ψ =
ϕ + 2kπ
.
n
Çäåñü â êà÷åñòâå k äîñòàòî÷íî áðàòü ëèøü çíà÷åíèÿ k = 0, 1, 2, , n − 1, òàê êàê ïðè ïðî÷èõ çíà÷åíèÿõ k ïîëó÷àþòñÿ ïîâòîðåíèÿ óæå íàéäåííûõ çíà÷åíèé êîðíÿ. Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî
n
ϕ + 2kπ
ϕ + 2kπ 

z = n r (cos ϕ + i sin ϕ) = n r  cos
+ i sin
,

n
n 
k = 0, 1, 2,
(6)
, n −1.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ω = −1.
Òàê êàê −1 = cosπ + i sinπ, òî íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (6) èìååì:
−1 = cos
π + 2kπ
π + 2kπ
, k = 0, 1.
+ i sin
2
2
Îòñþäà
ω 0 = cos
3π
3π
π
π
+ i sin
= −i.
+ i sin = i, ω1 = cos
2
2
2
2
5. Ôîðìóëà Ìóàâðà. Ôîðìóëà Ýéëåðà. Ôîðìóëà (5) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå
rn (cosϕ + i sinϕ)n = rn (cosnϕ + i sinnϕ).
Ïîëàãàÿ çäåñü r = 1, ïîëó÷èì ôîðìóëó
n
(cosϕ + i sinϕ) = cosnϕ + i sinnϕ,
íàçûâàåìóþ ôîðìóëîé Ìóàâðà (Àáðàõàì Ìóàâð (1667—1754)— àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê).
Ñïðàâåäëèâà è ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà:
iϕ
cosϕ + i sinϕ = e ,
íàçûâàåìàÿ ôîðìóëîé Ýéëåðà (Ëåîíàðä Ýéëåð (1707—1783)— âåëèêèé ìàòåìàòèê, áîëüøóþ ÷àñòü ñâîåé æèçíè ïðîâåë â Ðîññèè, ïî ïðîèñõîæäåíèþ øâåéöàðåö). Åå ñïðàâåäëèâîñòü áóäåò óñòàíîâëåíà ïîçäíåå (ñì. § 15.5, ï. 1).
149
6. Ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè. Ïóñòü
Pn(x) = A0 + A1x + A2x2 +
n−1
+ A n − 1x
n
+ Anx
(7)
ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n (ò. å. An ≠ 0) ñ âåùåñòâåííûìè êîýôôèöèåíòàìè Aj, j = 0, 1, 2,
, n.
×èñëî a (äåéñòâèòåëüíîå èëè êîìïëåêñíîå), òàêîå, ÷òî Pn(a) = 0, íàçûâàåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà (7).
Èç êóðñà àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî a òîãäà è òîëüêî òîãäà áóäåò êîðíåì ìíîãî÷ëåíà
Ðn(x), åñëè Ðn(x) äåëèòñÿ íà x − a.
k
k+1
Åñëè Ðn(x) äåëèòñÿ íà (x − a) (k — íàòóðàëüíîå) è íå äåëèòñÿ íà (x − a) , òî ÷èñëî k
íàçûâàåòñÿ êðàòíîñòüþ êîðíÿ a.
Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî âñÿêèé ìíîãî÷ëåí (7) ñòåïåíè n ìîæíî ïðåäñòàâèòü, è ïðèòîì
åäèíñòâåííûì îáðàçîì, â ñëåäóþùåì âèäå:
k
Pn (x ) = An (x − a1 ) 1 (x − a 2 )k 2 ... (x − am )k m ,
ãäå a1, a2,
, àm — ðàçëè÷íûå êîðíè ìíîãî÷ëåíà (7), à ÷èñëà k1, k2,
, km — êðàòíîñòè ñîîò-
âåòñòâåííî êîðíåé a1, a2, , am, ïðè÷åì k1 + + k2 + + km = n.
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìíîãî÷ëåí ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè èìååò êîðíåì
êîìïëåêñíîå ÷èñëî a = b + ic êðàòíîñòè k, òî (ñì. [10]) ñîïðÿæåííîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî
a = b − ic òàêæå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà òîé æå êðàòíîñòè.
Èìååì:
(x − a) (x − a ) = (x − (b + ic)) (x − (b − ic)) = ((x − b) − ci) ((x − b) + ci) =
= x2 − 2bx + b2 + ñ2 = x2 + px + q,
p2
− q < 0.
4
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîïðÿæåííûì êîðíÿì, ìîæíî çàìåíèòü êâàäðàòíûì òðåõ÷ëåíîì ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Òàêèì îáðàçîì, ìíîãî÷ëåí (7) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåé ôîðìå:
2
2
ãäå p = −2b, q = b + c , ïðè÷åì
λ
Pn (x ) = An (x − α1 ) 1 (x − α 2 )λ 2 ...
l
...(x − α r )λ r ⋅ (x 2 + p1 x + q1 ) 1 (x 2 + p2 x + q 2 )l 2 ...(x 2 + ps x + q s )l s .
(8)
Çäåñü ëèíåéíûå äâó÷ëåíû ñîîòâåòñòâóþò äåéñòâèòåëüíûì êîðíÿì (λ1, λ2, , λr — èõ
êðàòíîñòè), à êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû — êîìïëåêñíûì êîðíÿì (l1, l2, , , ls — èõ êðàòíîñòè)
ìíîãî÷ëåíà. Ïðè ýòîì λ1 + λ2 +
+ + λr + 2l1 + 2l2 +
p
2
j
4
− q j < 0, j = 1, 2,
+ 2ls = n,
, s.
7. Ïðèìåíåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë â ðàñ÷åòå ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Òàê êàê êîìïëåêñíûå ÷èñëà ãåîìåòðè÷åñêè ïðåäñòàâëÿþòñÿ âåêòîðàìè íà ïëîñêîñòè, òî âñå âåêòîðíûå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ìîãóò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíû ïðè ïîìîùè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë.
150
Ïðåäñòàâëåíèå âåêòîðíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè îáëåã÷àåò âûïîëíåíèå ðàñ÷åòîâ ýòèõ âåëè÷èí. Ïðè ýòîì äåéñòâèÿ íàä âåêòîðàìè, êîòîðûå âûïîëíÿþòñÿ ãðàôè÷åñêèì ïóòåì, çàìåíÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè
äåéñòâèÿìè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, ÷òî çíà÷èòåëüíî
ïðîùå.
Îñîáåííî øèðîêîå ïðèìåíåíèå êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ïîëó÷èëè â ýëåêòðîòåõíèêå ïðè ðàñ÷åòå ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïåé.
Îòìåòèì, ÷òî â ýëåêòðîòåõíèêå ìíèìàÿ åäèíèöà i îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé j, òàê êàê áóêâîé i òðàäèöèîííî îáîçíà÷àåòñÿ ñèëà òîêà â öåïè.
Ðàññìîòðèì îäèí ïðèìåð. Íà ðèñóíêå 95 äàíà âåêòîðíàÿ
äèàãðàììà íåðàçâåòâëåííîé öåïè ïåðåìåííîãî òîêà. Ïóñòü
Ðèñ. 95
âåêòîðOM ïðåäñòàâëÿåò âåêòîð íàïðÿæåíèÿ u1 , ìîäóëü êîòîðîãî | u1 | = 220 (Â); âåêòîðON
ïðåäñòàâëÿåò âåêòîð íàïðÿæåíèÿu2 , ìîäóëü êîòîðîãî| u2 | = 127 (Â). Òîãäà u1 = 220 (cos60° +
+ j sin60°) = 110 + 190,5j. Òàêæå
u2 = 127 (cos(−90°) + + j sin(−90°)) = −127j.
Åñëè ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñîñòàâëåíà èç äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åííûõ ó÷àñòêîâ
ñ íàïðÿæåíèÿìè u1 è u2 , òî íà çàæèìàõ áóäåì èìåòü íàïðÿæåíèå u = u1 + u2 = 110 +
+ 190,5j − 127j = 110 + 63,5j.
Àíàëîãè÷íî ïðèìåíÿþòñÿ êîìïëåêñíûå ÷èñëà ïðè âûðàæåíèè äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.
Çàìåòèì, ÷òî â ýëåêòðîòåõíèêå ìîäóëü u âåêòîðà íàïðÿæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ïðîñòî íàïðÿæåíèåì è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç u, à ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó âåêòîðó êîìïëåêñíîå ÷èñëî
íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñîì íàïðÿæåíèÿ è îáîçíà÷àåòñÿ u· (ñòàâèòñÿ òî÷êà íàä ñèìâîëîì).
Ãëàâà 8. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ
ÔÓÍÊÖÈÉ ÎÄÍÎÉ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ
§ 8.1. Ïîíÿòèå ïðîèçâîäíîé è åå ìåõàíè÷åñêèé
è ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
1. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ ïðîèçâîäíîé.
Ç à ä à ÷ à î ñ ê î ð î ñ ò è ä â è æ ó ù å é ñ ÿ ò î ÷ ê è. Ïóñòü s =
= s(t) ïðåäñòàâëÿåò çàêîí ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé
151
òî÷êè. Ýòî óðàâíåíèå âûðàæàåò ïóòü s, ïðîéäåííûé òî÷êîé, êàê
ôóíêöèþ âðåìåíè t. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆s ïóòü, ïðîéäåííûé çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t îò ìîìåíòà t äî t +∆t, ò. å. ∆s = s(t +∆t) − s(t). Îòíîøå∆s
íèå
íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ñêîðîñòüþ òî÷êè çà âðåìÿ îò t äî t +∆t. ×åì
∆t
ìåíüøå ∆t, ò. å. ÷åì êîðî÷å ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò t äî t + ∆t, òåì ëó÷øå ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü õàðàêòåðèçóåò äâèæåíèå òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ââåñòè ïîíÿòèå ñêîðîñòè L â äàííûé ìîìåíò t, îïðåäåëèâ åå êàê ïðåäåë ñðåäíåé ñêîðîñòè çà ïðîìåæóòîê îò t
∆s
äî t + ∆t, êîãäà ∆t → 0: L = lim . Âåëè÷èíà L íàçûâàåòñÿ ìãíîâåííîé
∆t → 0 ∆t
ñêîðîñòüþ òî÷êè â äàííûé ìîìåíò t.
Ç à ä à ÷ à î ê à ñ à ò å ë ü í î é ê ä à í í î é ê ð è â î é. Ïóñòü
íà ïëîñêîñòè xOy äàíà êðèâàÿ óðàâíåíèåì y = f(x). Òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè
êàñàòåëüíóþ ê äàííîé êðèâîé â äàííîé òî÷êå Ì0(x0; f(x0)). Òàê êàê
òî÷êà êàñàíèÿ M0 äàíà, òî äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïîòðåáóåòñÿ íàéòè
òîëüêî óãëîâîé êîýôôèöèåíò èñêîìîé êàñàòåëüíîé, ò. å. tg ϕ — òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè
Ox (ðèñ. 96).
×åðåç òî÷êè M0(x0; f(x0)) è M′(x0 + ∆x; f(x0 + ∆x)) ïðîâåäåì ñåêóùóþ
M0M′. Èç ðèñóíêà 96 âèäíî, ÷òî óãëîâîé êîýôôèöèåíò tg α ñåêóùåé
M0M′ ðàâåí îòíîøåíèþ:
tg α =
∆y
,
∆x
ãäå
∆y = f(x0 + ∆x) − f(x0).
Óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé M0T ê äàííîé êðèâîé â òî÷êå M0
ìîæåò áûòü íàéäåí íà îñíîâàíèè ñëåäóþùåãî îïðåäåëåíèÿ:
êàñàòåëüíîé ê êðèâîé â òî÷êå M0
íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ M0T, óãëîâîé
êîýôôèöèåíò êîòîðîé ðàâåí
ïðåäåëó óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà
ñåêóùåé M0M′, êîãäà ∆x → 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî tg ϕ = lim tg α =
∆x → 0
∆y
.
= lim
∆x → 0 ∆x
2. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ
îïåðàöèÿ, òðåÐèñ. 96
152
áóåìàÿ äëÿ ðåøåíèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷, îäíà è òà æå. Âûÿñíèì àíàëèòè÷åñêóþ ñóùíîñòü ýòîé îïåðàöèè, îòâëåêàÿñü îò âûçâàâøèõ åå êîíêðåòíûõ âîïðîñîâ.
Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f(x) îïðåäåëåíà â èíòåðâàëå (a; b). Âîçüìåì êàêîå-íèáóäü çíà÷åíèå x èç (a; b). Çàòåì âîçüìåì íîâîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà x + ∆x èç ýòîãî ïðîìåæóòêà, ïðèäàâ ïåðâîíà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ x ïðèðàùåíèå ∆x (ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå). Ýòîìó
íîâîìó çíà÷åíèþ àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò è íîâîå çíà÷åíèå ôóíêöèè y + ∆y = f(x + ∆x), ãäå
∆y = f(x + ∆x) − f(x).
Òåïåðü ñîñòàâèì îòíîøåíèå:
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x )
.
=
∆x
∆x
Îíî ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò ∆x.
∆y
ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè ∆y ê
∆x
âûçâàâøåìó åãî ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ∆x, êîãäà ∆x ñòðåìèòñÿ ê íóëþ,
òî ýòîò ïðåäåë íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f(x) â äàííîé òî÷êå x
è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç y′ èëè f′(x) (÷èòàåòñÿ: «Èãðåê øòðèõ» èëè «Ýô
øòðèõ îò èêñ»):
Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë îòíîøåíèÿ
y ′ = f ′( x ) = lim
∆x → 0
f ( x + ∆x ) − f ( x )
∆y
.
= lim
∆
x
→
0
∆x
∆x
(1)
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ïðèíÿò òàêæå è ñëåäóþùèé ñèìdy
(÷èòàåòñÿ: «Äý èãðåê ïî äý èêñ»). Ýòîò ñèìâîë íàäî ðàññìàòâîë:
dx
ðèâàòü ïîêà êàê öåëûé ñèìâîë, à íå êàê ÷àñòíîå.
∆y
(èëè ïðåäåë ñëåâà
Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë ñïðàâà lim
∆x → 0 + 0 ∆x
∆y
), òî îí íàçûâàåòñÿ ïðàâîé (èëè ëåâîé) ïðîèçâîäíîé ôóíêlim
∆x → 0 − 0 ∆x
öèè f(x) â òî÷êå x.
Äåéñòâèå íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ åå äèôôåðåíöèðîâàíèåì, à ôóíêöèþ, èìåþùóþ ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x, íàçûâàþò äèôôåðåíöèðóåìîé â ýòîé òî÷êå. Ôóíêöèÿ, äèôôåðåíöèðóåìàÿ â êàæäîé òî÷êå ïðîìåæóòêà, íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â ýòîì
ïðîìåæóòêå. Ïðè ýòîì åñëè ïðîìåæóòîê îò a äî b åñòü îòðåçîê [a; b], òî â
òî÷êå a ðå÷ü èäåò î ïðàâîé ïðîèçâîäíîé, à â òî÷êå b — î ëåâîé ïðîèçâîäíîé.
153
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = C, ãäå C — ïîñòîÿííàÿ.
∆y
∆y
Èìååì y + ∆y = C, ∆y = 0,
= 0, lim
= 0, ò. å. y′ = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîèçâîäíàÿ
∆x → 0 ∆x
∆x
ïîñòîÿííîé ðàâíà íóëþ: (C)′ = 0.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = x.
∆y
∆y
Èìååì y + ∆y = x + ∆x, ∆y = ∆x,
= 1, lim
= 1, òå. y ′ = 1. Èòàê, (x)′ = 1.
∆x → 0 ∆x
∆x
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè y = sin x.
Èìååì y + ∆y = sin (x + ∆x), ∆y = sin(x + ∆x ) − sin x = 2 sin
=
∆x
∆x  ∆y

=
cos x +
,

2
2  ∆x
∆x
∆x
sin
2 lim cos x + ∆x  = cos x (çäåñü èñïîëüçóåòñÿ
2 cos x + ∆x  , lim ∆y = lim
∆x


2 
2  ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0
2
2
sin
ôîðìóëà (9) èç § 7.5 è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè cos x). Ñëåäîâàòåëüíî, (sin x)′ = cos x.
Èç ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê ïîíÿòèþ ïðîèçâîäíîé, ñëåäóåò:
1. Ñêîðîñòü L ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ åñòü ïðîèçâîäíàÿ ïóòè s ïî
ds
âðåìåíè t: L = . B ýòîì ñîñòîèò ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé. Ïî
dt
àíàëîãèè ñ ýòèì ïðîèçâîäíóþ ëþáîé ôóíêöèè ÷àñòî íàçûâàþò ñêîðîñòüþ èçìåíåíèÿ ýòîé ôóíêöèè.
2. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê êðèâîé y = f(x) â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0 åñòü ïðîèçâîäíàÿ f′(x0). B ýòîì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
ïðîèçâîäíîé.
Ïîýòîìó ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (9) èç § 1.4 óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê
êðèâîé y = f(x) â òî÷êå M0(x0; y0) ïðèìåò âèä:
y − y0 = f′ (x0)(x − x0).
Íîðìàëüþ ê êðèâîé â íåêîòîðîé åå òî÷êå íàçûâàåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð ê êàñàòåëüíîé ê ýòîé êðèâîé â òîé æå òî÷êå. Ñëåäîâàòåëüíî,åñëè
f ′ (x0) ≠ 0, òî, èìåÿ â âèäó ôîðìóëó (11) èç § 1.4, óðàâíåíèå íîðìàëè ê
êðèâîé y = f(x) â òî÷êå M0(x0; y0) ìîæíî çàïèñàòü òàê:
y − y0 = −
1
( x − x 0 ).
f ′( x 0 )
Ò å î ð å ì à. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â íåêîòîðîé
òî÷êå x, òî îíà íåïðåðûâíà â ýòîé òî÷êå.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (1) è òåîðåìå 1 (§ 7.5, ï. 1)
èìååì:
∆y
= y ′ + α( ∆x ),
∆x
154
ãäå α(∆x) — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ. Îòñþäà
∆y = y ′∆x + α(∆x)∆x è lim ∆y = 0, ò. å.
∆x → 0
ôóíêöèÿ y = f(x) íåïðåðûâíà â äàííîé
òî÷êå x.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå óæå
íå èìååò ìåñòà, ÷òî âèäíî èç ñëåäóþùåãî ïðèìåðà:
Ï ð è ì å ð 4. Ôóíêöèÿ y = | x |, ãðàôèê êîòîðîé ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 97, íåïðåðûâíà â òî÷êå
x = 0, íî ÿñíî, ÷òî â ýòîé òî÷êå â ñîîòâåòñòâèè ñ
ãåîìåòðè÷åñêèì ñìûñëîì ïðîèçâîäíîé ôóíêöèÿ
Ðèñ. 97
y = | x | íå äèôôåðåíöèðóåìà, òàê êàê â íåé íåò îïðåäåëåííîé êàñàòåëüíîé.
§ 8.2. Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèé
è ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé
1. Âûâîä îáùèõ ïðàâèë äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ïóñòü u è L — äâå ôóíêöèè àðãóìåíòà x, èìåþùèå ïðîèçâîäíûå u ′ è L ′.
Ï ð î è ç â î ä í à ÿ ñ ó ì ì û. Ïóñòü y = u + L. Òîãäà èìååì:
y + ∆y = (u + ∆u) + (L + ∆L), ∆y = ∆u + ∆L,
∆y ∆u ∆L
∆y
∆u
∆L
, lim
,
=
+
= lim
+ lim
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆x ∆x ∆x
∆x
∆x
∆x
ò. å. y ′ = u′ + L ′, èëè (u + L)′ = u ′ + L ′.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóììû äâóõ ñëàãàåìûõ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ, ÷òî äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.
Ï ð î è ç â î ä í à ÿ ï ð î è ç â å ä å í è ÿ. Ïóñòü y = uL. Òîãäà
èìååì:
y + ∆y = (u + ∆u)(L + ∆L) = uL + L∆u + u∆L +∆L⋅∆u,
∆y = L∆u + u∆L + ∆u⋅∆L,
lim
∆x → 0
∆y
∆u
∆L ∆u
=L
+u
+
∆L,
∆x
∆x
∆x ∆x
∆y
∆u
∆L
∆u
= L lim
+ u lim
+ lim
⋅ lim ∆L = Lu ′+uL′+u ′⋅0,
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆
x
→
0
∆x
∆x
∆x
∆x ∆x → 0
ò. å. y ′ = u ′L + uL′, èëè
(uL)′ = u ′L + uL′.
(1)
155
Ïðè âûâîäå ôîðìóëû âîñïîëüçîâàëèñü òåì, ÷òî â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè v (åå íåïðåðûâíîñòü ñëåäóåò èç åå äèôôåðåíöèðóåìîñòè) lim ∆L = 0.
∆x→ 0
Âûíåñåíèå ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà çíàê
ï ð î è ç â î ä í î é. Òàê êàê (C)′ = 0 (ñì. § 8.1, ï. 2, ïðèìåð 1), òî èç
ôîðìóëû (1) íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì:
(Cu)′ = Cu ′.
u
Ï ð î è ç â î ä í à ÿ ÷ à ñ ò í î ã î. Ïóñòü y = , ãäå L ≠ 0. Òîãäà
L
èìååì:
u + ∆u u (u + ∆u )L − (L + ∆L)u L∆u − u∆L
u + ∆u
,
, ∆y =
− =
=
L + ∆L L
(L + ∆L)L
(L + ∆L)L
L + ∆L
∆u
∆L
∆u
∆L
L −u
− u lim
L lim
∆x → 0 ∆x
∆x → 0 ∆x
Lu ′ − uL ′
∆y ∆x
∆y
∆
x
,
, lim
=
=
=
∆
x
→
0
(L + 0)L
∆x
(L + ∆L)L
∆x
(L + lim ∆L)L
∆y + y =
∆x → 0
u ′L − uL ′
ò. å. y ′ =
, èëè
L2
 u  ′ u ′L − uL ′
.
  =
L
L2
Ï ð î è ç â î ä í à ÿ ñ ë î æ í î é ô ó í ê ö è è. Ïóñòü y = f(u), ãäå
u = ϕ(x), ïðè÷åì f(u) èìååò ïðîèçâîäíóþ ïî u, à ϕ(x) — ïî x. Òðåáóåòñÿ
∆y ∆y ∆u
íàéòè ïðîèçâîäíóþ y ïî x. Èìååì
(ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ∆u
=
⋅
∆x ∆u ∆x
ïðè äîñòàòî÷íî ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ∆x íå îáðàùàåòñÿ â íóëü), îòêóäà
lim
∆x → 0
èëè
∆y
∆y
∆u
,
= lim
⋅ lim
∆x ∆u→ 0 ∆u ∆x → 0 ∆x
dy dy du
=
⋅ .
dx du dx
(2)
Ïóñòü òåïåðü y = f(u), ãäå u = ϕ(L), à L = Ψ(x), ïðè÷åì f (u) èìååò ïðîèçâîäíóþ ïî u, ϕ(L) — ïî L, à Ψ(x) — ïî x. Çäåñü èìååì öåïî÷êó òðåõ
çàâèñèìîñòåé:
y = f(u), u = ϕ(L), L = Ψ (x).
Àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (2) èìååì:
dy dy du dL
=
⋅ ⋅ .
dx du dL dx
156
Ï ð î è ç â î ä í à ÿ î á ð à ò í î é ô ó í ê ö è è. Ïóñòü y = f(x) è
x = ϕ(y) — âçàèìíî îáðàòíûå ôóíêöèè. Òîãäà åñëè ôóíêöèÿ y = f(x)
èìååò íå ðàâíóþ íóëþ ïðîèçâîäíóþ f ′(x), òî îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ èìååò ïðîèçâîäíóþ ϕ′(y) è
ϕ ′( y ) =
1
,
f ′( x )
èëè, êîðî÷å,
x ′y =
1
.
y ′x
(3)
Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê y = f(x) è x = ϕ(y) — âçàèìíî îáðàòíûå ôóíêöèè, òî x = ϕ(f(x)). Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (2) äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
ñëîæíîé ôóíêöèè, ïîëó÷àåì:
1 = ϕ′(y)f ′(x),
îòêóäà è ñëåäóåò èñêîìàÿ ôîðìóëà (3).
2. Ïðîèçâîäíûå ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü u, êàê è âûøå, —
ôóíêöèÿ àðãóìåíòà x, èìåþùàÿ ïðîèçâîäíóþ u ′.
Ï ð î è ç â î ä í û å ò ð è ã î í î ì å ò ð è ÷ å ñ ê è õ ô ó í ê ö è é.
Êàê óñòàíîâëåíî ðàíåå (§ 8.1, ï. 2, ïðèìåð 3),
(sin x)′ = ñîs x.
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2)
(sin u)′ = u ′ cos u.
(4)
Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (4) èìååì:
 π

π
′
 ′  π
(cos x )′ =  sin − x   =  − x  cos − x  = − sin x.








2
2
2
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2) ïîëó÷àåì:
(cos u)′ = −u′ sin u.
Äàëåå èìååì:
2
2
1
 sin x  ′ (sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ cos x + sin x
.
=
=
(tg x )′ = 
 =
2
2
 cos x 
cos x
cos 2 x
cos x
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2)
(tg u )′ =
u′
.
cos 2 u
(5)
157
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), íàõîäèì:
 π
′
 ′  π
(ctg x )′ =  tg  − x   =  − x 


2
 2
1
π

cos 2  − x 
2

=−
1
.
sin 2 x
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2)
u′
.
sin 2 u
Ï ð î è ç â î ä í à ÿ ë î ã à ð è ô ì à. Ïóñòü y = ln x. Òîãäà èìååì:
x + ∆x
∆x 

= ln 1 +
y + ∆y = ln( x + ∆x ), ∆y = ln( x + ∆x ) − ln x = ln
,

x
x 
(ctg u )′ = −
∆y
=
∆x
∆x 

ln 1 +


x 
∆x
x
1 x 
∆x  1 
∆x  ∆x
ln 1 +
= ⋅
 = ln 1 +
 .
x ∆x 
x  x 
x 
1
Ïîëüçóÿñü èçâåñòíûì ïðåäåëîì e = lim(1 + z ) z (§ 7.3, ïðèìå÷àíèå),
z→ 0
∆y 1
1
áóäåì èìåòü lim
= , ò. å. y ′ = , èëè
∆x → 0 ∆x
x
x
1
(ln x )′ = .
x
(6)
y
Ïóñòü òåïåðü y = loga x (a > 0, a ≠ l). Òîãäà a = x. Îòñþäà y ln a = ln x, èëè
ln x
, îòêóäà ñîãëàñíî ôîðìóëå (6)
y=
ln a
1
,
y′ =
x ln a
èëè
1
.
(7)
(log a x )′ =
x ln a
Èç ôîðìóë (6), (7) ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2) ïîëó÷àåì:
u′
,
u
u′
.
(log a u )′ =
u ln a
(ln u )′ =
 ÷àñòíîñòè,
(lg u )′ = (log 10 u )′ =
Ï ð è ì å ð 1. y = ln cos x, y′ =
158
u′
.
u ln10
(cos x )′
sin x
=−
= − tg x .
cos x
cos x
(8)
Ï ð î è ç â î ä í à ÿ ñ ò å ï å í í î é ô ó í ê ö è è. Ïóñòü y = x
α
(α — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è x > 0). Òîãäà ln y = αln x, è ñîãëàñíî ôîð1
1
y′
1
ìóëå (8)
= α . Îòñþäà y ′ = αy = αx α = αx α −1 , ò. å.
x
x
y
x
α
(x )′ = α x
α−1
.
(9)
α
Ôîðìóëà (9) âåðíà è â ñëó÷àå, êîãäà ôóíêöèÿ y = x îïðåäåëåíà íà
âñåé ÷èñëîâîé îñè (íàïðèìåð, êîãäà α — íàòóðàëüíîå ÷èñëî).
Èç ôîðìóëû (9) ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2) ïîëó÷àåì:
(uα)′ =αuα − 1u′.
Ï ð è ì å ð 2. Åñëè y = sin x , òî y′ =
(10)
cos x
.
2 sin x
Ï ð î è ç â î ä í à ÿ ï î ê à ç à ò å ë ü í î é ô ó í ê ö è è. Ïóñòü
y = au (0 < a ≠ 1). Òîãäà ln y = uln a, è ñîãëàñíî ôîðìóëàì (8), (10)
y′
= u ′ ln a. Îòñþäà
y
u
y′ = óu′ln a = a u′ln a,
ò. å.
(au)′ = auu′ln a.
 ÷àñòíîñòè,
(eu)′ = euu′.
2
2
Ï ð è ì å ð 3. y = 2 x , y′ = 2 x ⋅ 2 x ln 2 = 2 x
2
+1
x ln 2.
Ïðîèçâîäíûå îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñ ê è õ ô ó í ê ö è é. Ôóíêöèÿ y = arcsin x ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ôóíêöèè x = sin y. Ïîýòîìó ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè ïîëó÷àåì:
π
1
1
1
1
 π
(arcsin x )′ =
=
=
=
 − < y < .
2 
2
2
(sin y )′y cos y + 1 − sin 2 y
1− x
Òàêèì æå ïðèåìîì ïîëó÷àåì:
1
1
1
1
(0 < y < π),
(arccos x )′ =
=−
=−
=−
2
(cos y )′y
sin y
+ 1 − cos y
1− x 2
1
1
1
,
= cos 2 y =
=
2
(tg y )′y
1 + tg y 1 + x 2
1
1
1
.
(arcctg x )′ =
= − sin 2 y = −
=−
(ctg y )′y
1 + ctg 2 y
1+ x 2
(arctg x )′ =
159
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2) ïîëó÷àåì:
u′
u′
, (arctg u )′ =
,
(arcsin u )′ =
2
1
+
u2
1−u
u′
u′
, (arcctg u )′ = −
.
(arccos u )′ = −
2
1+u2
1−u
Ï ð è ì å ð 4. (arctg x 2 )′ =
(x 2 )′
2x
.
=
1 + (x 2 ) 2 1 + x 4
Äëÿ óäîáñòâà íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé ñâåäåì
âñå ïðàâèëà è ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ â îäíó òàáëèöó.
Ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ è ïðîèçâîäíûå
îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé
1. (C)′ = 0.
10. (ln u)′ =
u′
.
u
2. (u + L)′ = u ′ + L′.
11. (sin u)′ = u ′cos u.
3. (uL)′ = è′L + uL ′.
12. (cos u)′ = −u ′sin u.
u′
13. (tgu)′ =
.
cos 2 u
4. (Ñu)′ = Ñu ′.
′
 u  u′L − uL ′
5.   =
.
L 
L2
α
6. (u )′ = α u
α−1
14. (ctgu)′ = −
u′
.
1 − u2
u′
16. (arccos u)′ = −
.
1 − u2
u′
17. (arctgu)′ =
.
1 + u2
u′
18. (arcctgu)′ = −
.
1 + u2
u ′.
15. (arcsin u)′ =
7. (au)′ = auu ′ln a.
8. (eu)′ = euu ′.
9. (log a u)′ =
u′
.
sin 2 u
u′
.
u ln a
Çäåñü u = u(x) è L = L(x) — äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè.
§ 8.3. Äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè
1. Ïîíÿòèå äèôôåðåíöèàëà. Èç îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé
lim
∆x → 0
∆y
= y′
∆x
ñ ó÷åòîì òåîðåìû 1 (§ 7.5, ï. 1) ïîëó÷àåì:
∆y
= y ′ + α,
∆x
ãäå α = α(∆x) — áåñêîíå÷íî ìàëàÿ ïðè ∆x → 0.
160
(1)
Óìíîæèì îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (1) íà ∆x:
∆y = y′∆x + α∆x.
Ïóñòü y ′ ≠ 0.Òîãäà ïåðâîå ñëàãàåìîå y′∆x ëèíåéíî ïî ∆x, ïîñêîëüêó y′ íå
çàâèñèò îò ∆x. Ïðè ∆x → 0 ýòî ñëàãàåìîå áåñêîíå÷íî ìàëî, íî ïîðÿäîê
åãî ìàëîñòè íèæå ïîðÿäêà ìàëîñòè âòîðîãî ñëàãàåìîãî, òàê êàê äëÿ âñåõ
çíà÷åíèé y ′ ≠ 0
lim
∆x → 0
α∆x
α
= lim
= 0.
∆
x
→
0
y ′∆x
y′
Ïîýòîìó ñëàãàåìîå y′∆x ÿâëÿåòñÿ ãëàâíîé ÷àñòüþ ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè. Ýòî ñëàãàåìîå íàçûâàþò äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè y = f(x) è îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì dy èëè df(x). Èòàê, dy = y′∆x.
2. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë äèôôåðåíöèàëà. Äëÿ âûÿñíåíèÿ
ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà äèôôåðåíöèàëà ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f(x) â òî÷êå M(x; y) ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ MT, îáîçíà÷èâ ÷åðåç ϕ åå óãîë íàêëîíà
ê ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè Ox (ðèñ. 98).
Òàê êàê tg ϕ = f ′(x), òî dy =
= tg ϕ ⋅ ∆x. Ïîýòîìó èç òðåóãîëüíèêà MLN ñëåäóåò, ÷òî äèôôåÐèñ. 98
ðåíöèàë dy åñòü ïðèðàùåíèå
îðäèíàòû êàñàòåëüíîé, ñîîòâåòñòâóþùåå ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ∆x.
Çàìå÷àÿ, ÷òî dx = x′∆x = ∆x, ò. å. ÷òî äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ðàâåí åå ïðèðàùåíèþ, ïîëó÷àåì:
dy = y′dx.
(2)
Òàêèì îáðàçîì, äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ åå
ïðîèçâîäíîé íà äèôôåðåíöèàë (èëè ïðèðàùåíèå) íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.
Èç ôîðìóëû (2) èìååì:
y′ =
dy
,
dx
ò. å. ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ðàâíà îòíîøåíèþ äèôôåðåíöèàëà ýòîé
ôóíêöèè ê äèôôåðåíöèàëó àðãóìåíòà.
161
3. Äèôôåðåíöèàë ñëîæíîé ôóíêöèè. Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëà ñëîæíîé ôóíêöèè. Ïóñòü y = f(u), ãäå u = ϕ(x), ïðè÷åì f(u)
èìååò ïðîèçâîäíóþ ïî u, ϕ(x) — ïî x. Òîãäà ïî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè
dy
= f u′(u )ϕ ′( x ).
dx
Ñëåäîâàòåëüíî,
dy = f′u(u)ϕ′(x)dx.
Íî
ϕ′(x)dx = du.
Ïîýòîìó
dy = f ′(u)du.
Òàêèì îáðàçîì, äèôôåðåíöèàë ñëîæíîé ôóíêöèè èìååò òîò æå
âèä, êàêîé îí èìåë áû â òîì ñëó÷àå, åñëè áû ïðîìåæóòî÷íûé àðãóìåíò åå áûë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Èíà÷å ãîâîðÿ, ôîðìà çàïèñè
äèôôåðåíöèàëà íå çàâèñèò îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ àðãóìåíò ôóíêöèè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé èëè ôóíêöèåé äðóãîãî àðãóìåíòà. Ýòî ñâîéñòâî äèôôåðåíöèàëà íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòíîñòüþ ôîðìû äèôôåðåíöèàëà.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè du ñëîæíîé ôóíêöèè
y = sin u, u = x .
Èìååì:
dy = cos udu =
1
cos udx .
2 x
4. Òàáëèöà ôîðìóë äëÿ äèôôåðåíöèàëîâ. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (2) äëÿ
ïîëó÷åíèÿ äèôôåðåíöèàëà íóæíî óìíîæèòü ïðîèçâîäíóþ íà dx (äèôôåðåíöèàë íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé). Ýòî ïîçâîëÿåò íàì èç òàáëèöû
ôîðìóë äëÿ ïðîèçâîäíûõ ñðàçó ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùóþ òàáëèöó
ôîðìóë äëÿ äèôôåðåíöèàëîâ. Íàïðèìåð, èç ôîðìóëû (u + L)′ = u′ + L′,
óìíîæèâ îáå ÷àñòè íà dx, ïîëó÷èì:
(u + L)′dx = u′dx + L′dx, èëè d(u + L) = du + dL.
§ 8.4. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ
1. Ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ïðîèçâîäíàÿ y′ = f ′(x) äàííîé
äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè y = f(x), íàçûâàåìàÿ ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî
ïîðÿäêà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ íîâóþ ôóíêöèþ. Âîçìîæíî,
÷òî ýòà ôóíêöèÿ ñàìà èìååò ïðîèçâîäíóþ. Òîãäà ïðîèçâîäíàÿ îò
162
ïðîèçâîäíîé ïåðâîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà
èëè âòîðîé ïðîèçâîäíîé è îáîçíà÷àåòñÿ òàê: y ′′ = (y′)′ èëè f ′′(x). Àíàëîãè÷íî, åñëè ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ îò ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà,òî îíà íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé òðåòüåãî ïîðÿäêà èëè òðåòüåé ïðîèçâîäíîé è îáîçíà÷àåòñÿ òàê: y′′′ = (y′′)′ èëè f ′′′(x) è ò. ä.
Âîîáùå ïðîèçâîäíàÿ îò ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà n − 1 íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé ïîðÿäêà n è îáîçíà÷àåòñÿ y(n) = (y(n − 1))′.
Ôóíêöèÿ y = f(x) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé n ðàç,
åñëè ñóùåñòâóþò åå ïðîèçâîäíûå äî ïîðÿäêà n âêëþ÷èòåëüíî è ýòè
ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû.
Ïðîèçâîäíûå ÷åòâåðòîãî, ïÿòîãî è áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ îáîçíà÷àþòñÿ òàêæå ñ ïîìîùüþ ðèìñêèõ öèôð: yIV, yV, yVI è ò. ä.  òàêîì ñëó÷àå
ïîðÿäîê ïðîèçâîäíîé ìîæíî ïèñàòü áåç ñêîáîê.
k
k−1
Ï ð è ì å ð û. 1) y = x , y ′ = kx
åñëè k — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî
k−2
, y ′′ = k(k − 1)x
,
y(k) = k! è y(k + 1) =y(k + 2) =
kx
kx
2 kx
2) y = e , y ′ = ke , y″ = k e ,
(n)
(n)
k− n
, y = k(k − 1)(k − 2) (k − n + 1)x
;
= 0.
n kx
,y =ke .
x
x
x
2
(n)
x
n
3) y = a , y ′ = a ln a, y″ = a ln a, , y = a ln a .
(−1) ⋅ (−2) ...(− n + 1)
(n − 1)!
1
1
4) y = ln x, y′ = , y′′ = − 2 , , y ( n ) =
= (−1)n −1
x
x
xn
xn
π
π


5) y = sin x, y′ = cos x = sin  x +  , y′′ = − sin x = sin(x + π) = sin  x + 2 ⋅  ,


2
2
π

= sin  x + n  .

2
, y(n) =
Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ ôîðìóëà
π

(cos x )( n ) = cos x + n  .

2
Íà ñëó÷àé ïðîèçâîäíûõ ëþáîãî ïîðÿäêà ëåãêî îáîáùàþòñÿ ïðàâèëà
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóììû è âûíåñåíèÿ ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ çà
çíàê ïðîèçâîäíîé (§ 8.2, ï. 1):
(n)
(n)
(n)
(n)
(n)
(u + L) = u + L , (Cu) = Cu .
Âûâåäåì òåïåðü ôîðìóëó, äàþùóþ âîçìîæíîñòü âû÷èñëèòü ïðîèçâîäíóþ ïîðÿäêà n îò ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé uL. Ïðèìåíÿÿ ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ è ñóììû, ïîëó÷èì:
y′ = u ′L + uL′,
y ′′ = u ′′L + u′L ′ + u′L ′ + uL′′ = u′′L + 2u′L ′ + uL ′′ ,
y′′′ = u′′′L + u′′L′ + 2u′′L′ + 2u′L′′ + u′L′′ + uL′′′ = u′′′L +3u′′L′ + 3u′L′′ + uL′′′ .
163
Ïðîäîëæàÿ ïðîöåññ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïðèäåì ê ñëåäóþùåé ôîðìóëå:
n(n − 1) ( n − 2)
u
L ′′ + ...
1⋅2
(uL)( n ) = u ( n )L + nu ( n −1 )L ′ +
... +
n(n − 1) ...(n − k + 1) ( n − k ) ( k )
⋅u
L + ... + uL ( n ) ,
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ k
íàçûâàåìîé ôîðìóëîé Ëåéáíèöà (Ãîòôðèä Ëåéáíèö (1646—1716) — íåìåöêèé ôèëîñîô è ìàòåìàòèê).
x
2
Ï ð è ì å ð. Åñëè u = e , L = õ , òî ïî ôîðìóëå Ëåéáíèöà ïîëó÷èì:
õ 2 (20)
(å x )
x 2
x
x
x
2
= å õ + 20å ⋅ 2õ + 190å ⋅ 2 = å (õ + 40õ + 380).
2. Äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Ïóñòü èìååì ôóíêöèþ y = f(x),
ãäå x — íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ. Åå äèôôåðåíöèàë
dy = f ′(x)dx
åñòü íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ îò x, íî îò x ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî ïåðâûé ñîìíîæèòåëü f′(x), âòîðîé æå ñîìíîæèòåëü ÿâëÿåòñÿ ïðèðàùåíèåì íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x è îò çíà÷åíèÿ ýòîé ïåðåìåííîé íå çàâèñèò. Òàê
êàê dy åñòü ôóíêöèÿ îò x, òî ìû èìååì ïðàâî ãîâîðèòü î äèôôåðåíöèàëå
ýòîé ôóíêöèè.
Äèôôåðåíöèàë îò äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëîì âòîðîãî ïîðÿäêà èëè âòîðûì äèôôåðåíöèàëîì ýòîé ôóíêöèè è
îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç d 2ó:
2
d(dy) = d y.
Íàéäåì âûðàæåíèå âòîðîãî äèôôåðåíöèàëà. Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèàëà èìååì:
2
d y = (f ′(x)dx)′dx.
Òàê êàê dx îò x íå çàâèñèò, òî dx ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè âûíîñèòñÿ çà
çíàê ïðîèçâîäíîé è ìû ïîëó÷àåì:
2
2
d ó = f ′′(õ)(dõ) .
Ïðèíÿòî, çàïèñûâàÿ ñòåïåíü äèôôåðåíöèàëà, îïóñêàòü ñêîáêè; òàê,
2
2
íàïðèìåð, âìåñòî (dx) ïðèíÿòî ïèñàòü dx , ïîäðàçóìåâàÿ ïîä ýòèì
3
êâàäðàò âûðàæåíèÿ dx; âìåñòî (dx) ïèøóò dx3 è ò. ä.
Äèôôåðåíöèàëîì òðåòüåãî ïîðÿäêà èëè òðåòüèì äèôôåðåíöèàëîì ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèàë îò åå âòîðîãî äèôôåðåíöèàëà:
3
2
2
3
d y = d(d y) = (f ′′(x) dx )′dx = f ′′′(x)dx .
164
Âîîáùå äèôôåðåíöèàëîì n-ãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ïåðâûé äèôôåðåíöèàë îò äèôôåðåíöèàëà (n − 1)-ãî ïîðÿäêà:
d ny = d(d n − 1y) = (f (n − 1)(x)dxn −1)′dx = f (n)(x)dxn.
(1)
Îòñþäà ïîëó÷àåòñÿ äðóãàÿ çàïèñü äëÿ n-é ïðîèçâîäíîé:
f ( n)(x ) =
dny
.
dx n
(2)
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ðàâåíñòâà (1) è (2) (ïðè n > 1) âåðíû, âîîáùå ãîâîðÿ, ëèøü äëÿ
òîãî ñëó÷àÿ, êîãäà x ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé.
Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü èìååì ñëîæíóþ ôóíêöèþ
f = f (u), u = ϕ(x).
Òîãäà (§ 8.3, ï. 3)
dy = f ′(u)du.
(3)
Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), ïîëó÷àåì:
d 2y = d(fu ′(u)du).
Íî çäåñü du = f ′(x)dx, âîîáùå ãîâîðÿ, çàâèñèò îò x, è ïîòîìó ïîëó÷àåì â ñèëó ôîðìóëû äëÿ
äèôôåðåíöèàëà ïðîèçâåäåíèÿ (§ 8.3, ï. 4):
2
d y = d(fu ′(u))du + fu ′(u)d(du),
èëè
d 2 y = fu′′2 (u)(du)2 + fu′(u)d 2 u,
ãäå
d 2u = u′′(x)dx2.
Àíàëîãè÷íî íàõîäÿòñÿ d 3y è ò. ä.
Òàêèì îáðàçîì, âòîðîé è ïîñëåäóþùèå äèôôåðåíöèàëû íå îáëàäàþò, âîîáùå ãîâîðÿ, ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñòè ôîðìû (§ 8.3, ï. 3).
3. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü s = s(t) — óðàâíåíèå
ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Êàê óñòàíîâëåíî ðàíåå
(ñì. § 8.1, ï. 1, 2), ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü L ýòîãî äâèæåíèÿ åñòü ïðîèçâîäds
íàÿ ïóòè s ïî âðåìåíè t, ò. å.L = . Åñëè òåïåðü ýòó ñêîðîñòü ðàññìàòðèdt
âàòü êàê ôóíêöèþ âðåìåíè, òî òàê æå,êàê è â ï. 1 (§ 8.1), óñòàíîâèì, ÷òî
dL
d 2s
åñòü óñêîðåíèå a â ìîìåíò t. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì, ÷òî a = 2 ,
dt
dt
ò. å. âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïóòè s ïî âðåìåíè t åñòü óñêîðåíèå a äâèæóùåéñÿ òî÷êè â ìîìåíò t.  ýòîì è çàêëþ÷àåòñÿ ôèçè÷åñêèé ñìûñë âòîðîé ïðîèçâîäíîé.
165
Ç à ä à ÷ à. Òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé ïî çàêîíó s = t3, ãäå s — ïóòü (ñì), à t — âðåìÿ (ñ).
Íàéòè ñêîðîñòü è óñêîðåíèå äâèæåíèÿ òî÷êè â ìîìåíò t = 2 ñ.
2
Ð å ø å í è å. Èìååì L = s′ = 3t , a = s′′ = 6t.
2
 ÷àñòíîñòè, ïðè t = 2 ñ, L = 12 ñì/ñ è a = 12 ñì/ñ .
§ 8.5. Ïàðàìåòðè÷åñêîå çàäàíèå ôóíêöèè
è åå äèôôåðåíöèðîâàíèå
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ïåðåìåííàÿ y êàê ôóíêöèÿ àðãóìåíòà õ çàäàíà
ïàðàìåòðè÷åñêè, åñëè îáå ïåðåìåííûå õ è y çàäàíû êàê ôóíêöèè íåêîòîðîé òðåòüåé ïåðåìåííîé t : x = ϕ(t), y = ψ(t). Ïðè ýòîì óêàçàííóþ ïåðåìåííóþ t îáû÷íî íàçûâàþò ïàðàìåòðîì.
Ïðèìåðû òàêîãî çàäàíèÿ ôóíêöèé óæå âñòðå÷àëèñü (ñì. § 1.6, ï. 2)
ïðè ðàññìîòðåíèè ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ëèíèé (ïàðàáîëà, îêðóæíîñòü, öèêëîèäà), äàþùèõ âûðàæåíèÿ òåêóùèõ êîîðäèíàò x è y â
âèäå ôóíêöèé îò ïàðàìåòðà t.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèè ϕ(t)è ψ(t) èìåþò íóæíîå ÷èñëî
ïðîèçâîäíûõ ïî ïàðàìåòðó t â ðàññìàòðèâàåìîì ïðîìåæóòêå èçìåíåíèÿ ýòîãî ïàðàìåòðà. Êðîìå òîãî, áóäåì ñ÷èòàòü òàêæå, ÷òî ôóíêöèÿ x =
= ϕ(t) èìååò îáðàòíóþ ôóíêöèþ t = Φ(x),÷òî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü
ïåðåìåííóþ y êàê ôóíêöèþ ïåðåìåííîé x.
Ðàññìîòðèì âîïðîñ î âû÷èñëåíèè ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè y = y(x) ïî
àðãóìåíòó x. Èìååì (â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà; § 8.3, ï. 3):
dy
(1)
y ′( x ) = , dy = ψ′(t)dt, dx = ϕ′(t)dt.
dx
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
ψ ′(t )
.
(2)
y ′( x ) =
ϕ ′(t )
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âòîðîé ïðîèçâîäíîé y′′(õ) ïðåäñòàâèì åå (â ñèëó
èíâàðèàíòíîñòè ôîðìû ïåðâîãî äèôôåðåíöèàëà) â âèäå
y ′′( x ) =
d ( y ′( x ))
.
dx
(3)
Òåïåðü, èñïîëüçóÿ â ïðàâîé ÷àñòè (3) ôîðìóëó (2), òðåòüþ èç ôîðìóë (1)
è ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ÷àñòíîãî, ïîëó÷èì:
y ′′( x ) =
166
 ψ ′(t ) ′

 dt
 ϕ ′(t ) 
ϕ ′(t )dt
=
ψ ′′(t )ϕ ′(t ) − ϕ ′′(t )ψ ′(t )
( ϕ ′(t )) 3
.
(4)
Ïî òàêîìó æå ïðèíöèïó âû÷èñëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûå òðåòüåãî è ïîñëåäóþùèõ ïîðÿäêîâ.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè y(x), çàäàííîé ïàðàìåòðè÷åñêè:
x = R(t − sin t), y = R(1 − cos t) ( −∞ < t < +∞).
Êàê èçâåñòíî (§ 1.6, ï. 2), êðèâàÿ, îïðåäåëÿåìàÿ ýòèìè óðàâíåíèÿìè, íàçûâàåòñÿ öèêëîèäîé. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (2) è (4), ïîëó÷èì:
y′(x ) =
R sin t
t
= ctg ;
R(1 − cos t )
2
t ′

 ctg 

1
2
y′′(x ) =
=−
t
R(1 − cos t )
4R sin 4
2
(t ≠ 2πk, ãäå k — öåëîå ÷èñëî).
§ 8.6. Ñâîéñòâà äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé
1. Òåîðåìà Ôåðìà (Ïüåð Ôåðìà (1601—1665) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê). Åñëè ôóíêöèÿ y = f(x), îïðåäåëåííàÿ â èíòåðâàëå (a; b), äîñòèãàåò
â íåêîòîðîé òî÷êå ñ ýòîãî èíòåðâàëà íàèáîëüøåãî (èëè íàèìåíüøåãî) çíà÷åíèÿ è ñóùåñòâóåò ïðîèçâîäíàÿ f ′(c), òî f ′(c) = 0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîïóñòèì, ÷òî â òî÷êå c ôóíêöèÿ f(x)
äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ. Ïðèäàäèì çíà÷åíèþ c äîñòàòî÷íî
∆y
ìàëîå ïðèðàùåíèå ∆x. Òîãäà f(c + ∆x) < f(c). Îòñþäà ïðè ∆x < 0
=
∆x
f (c + ∆x ) − f (c)
=
> 0, è, ñëåäîâàòåëüíî,
∆x
∆y
(1)
lim
= f ′(c) ≥ 0.
∆x → 0 − 0 ∆x
∆y
Ïðè ∆x > 0
< 0, è, ñëåäîâàòåëüíî,
∆x
lim
∆x → 0 + 0
∆y
= f ′(c) ≤ 0.
∆x
(2)
Èç íåðàâåíñòâ (1) è (2) ñëåäóåò, ÷òî f′(c) = 0.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë çàêëþ÷åíèÿ
òåîðåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ
ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f(x) â òî÷êå ñ
àáñöèññîé c ïàðàëëåëüíà îñè àáñöèññ
(ðèñ. 99).
Ðèñ. 99
167
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Âñå óñëîâèÿ òåîðåìû Ôåðìà ñóùåñòâåííû. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ
π
y = sin x â ïðîìåæóòêå 0 ≤ x ≤ äîñòèãàåò â òî÷2
êå õ0 = 0 íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ, íî åå ïðîèçâîäíàÿ â ýòîé òî÷êå ðàâíà åäèíèöå.
2. Òåîðåìà Ðîëëÿ (Ìèøåëü Ðîëëü
(1652—1719) — ôðàíöóçñêèé ìàòåÐèñ. 100
ìàòèê). Åñëè ôóíêöèÿ y = f(õ), íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìàÿ â èíòåðâàëå (a; b), ïðèíèìàåò íà êîíöàõ ýòîãî ñåãìåíòà
ðàâíûå çíà÷åíèÿ f(a) = f(b), òî â èíòåðâàëå (a; b) ñóùåñòâóåò òî÷êà c,
òàêàÿ, ÷òî f′(c) = 0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê ôóíêöèÿ f(õ) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b], òî, êàê èçâåñòíî (ñì. § 7.6, ï. 3, òåîðåìà 1), îíà ïðèíèìàåò
íà ýòîì ñåãìåíòå êàê ñâîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå M, òàê è ñâîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå m. Âîçìîæíû òîëüêî äâà ñëó÷àÿ.
1. M = m. Òîãäà f(x) ïîñòîÿííà íà [a; b]: â ñàìîì äåëå, íåðàâåíñòâî m ≤
≤ f(x)≤ M â ýòîì ñëó÷àå äàåò f(x) = Ì äëÿ âñåõ x èç [a; b]. Ïîýòîìó â ëþáîé
òî÷êå èíòåðâàëà (a; b) f′(x) = 0.
2. M > m. Òàê êàê f(a) = f(b), òî õîòü îäíî èç çíà÷åíèé M è m äîñòèãàåòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå c (a < c < b). Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå Ôåðìà f′(c) = 0. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ãåîìåòðè÷åñêè òåîðåìà Ðîëëÿ îçíà÷àåò ñëåäóþùåå: åñëè êðàéíèå îðäèíàòû êðèâîé y = f(x) ðàâíû, òî íà êðèâîé íàéäåòñÿ òî÷êà, ãäå êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àáñöèññ (ðèñ. 100).
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Óñëîâèÿ òåîðåìû Ðîëëÿ ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííûìè. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè f(x) = | x |, −1 ≤ x ≤ 1 (ñì. ðèñ. 97), âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ òåîðåìû
Ðîëëÿ, êðîìå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðîèçâîäíîé â òî÷êå x = 0. Îäíîâðåìåííî ñ ýòèì çàìå÷àåì,
÷òî â èíòåðâàëå (−1; 1) íåò òàêîé òî÷êè, ãäå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ: f ′(x) = −1, åñëè −1 <
< x < 0, f ′(õ) = 1, åñëè 0 < õ < 1, à ïðè õ = 0 ïðîèçâîäíàÿ f ′(õ), êàê óæå îòìå÷àëîñü, íå
ñóùåñòâóåò.
3. Òåîðåìà Ëàãðàíæà (Æîçåô Ëóè Ëàãðàíæ (1736—1813) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ìåõàíèê). Åñëè ôóíêöèÿ y = f(x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b] è äèôôåðåíöèðóåìà â èíòåðâàëå (a; b), òî â èíòåðâàëå (à; b) íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà c, ÷òî
f (b ) − f (a )
= f ′(c).
b −a
168
(3)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïîëîæèì
f (b ) − f (a )
(4)
=λ
b −a
è ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ ϕ(x) = f(x) − f(a) − λ(x − a). Ýòà
ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò ïåðâûì äâóì óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ êàê àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà òðåõ íåïðåðûâíûõ è äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé.
Ïðè ýòîì ϕ(a) = ϕ(b) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ê ôóíêöèè ϕ(x) ïðèìåíèìà òåîðåìà Ðîëëÿ, ò. å. ñóùåñòâóåò òî÷êà c, a < c < b, òàêàÿ, ÷òî ϕ′(c) = 0. Íî ϕ′(x) =
= f′(x) − λ. Ïîýòîìó f′(c) − λ = 0, èëè λ = f′(c). Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (4)
ïîëó÷àåì èñêîìîå ðàâåíñòâî (3).
Òåîðåìà Ëàãðàíæà èìååò ïðîñòîé
ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë (ðèñ. 101): íà
ãðàôèêå ôóíêöèè y = f(x) ìåæäó
òî÷êàìè A è B åñòü âíóòðåííÿÿ òî÷êà C, òàêàÿ, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê íåìó
â òî÷êå C ïàðàëëåëüíà õîðäå AB.
 ñàìîì äåëå, ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (3) — óãëîâîé êîýôôèöèåíò õîðäû AB, à ïðàâàÿ — óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó â
Ðèñ. 101
òî÷êå C.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 3. Òåîðåìà Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû Ðîëëÿ, òàê
êàê åñëè f(a) = f(b), òî èç ðàâåíñòâà (3) ñëåäóåò f ′(c) = 0.
Ôîðìóëà (3) íàçûâàåòñÿ ô î ð ì ó ë î é Ë à ã ð à í æ à è ë è
ô î ð ì ó ë î é ê î í å ÷ í û õ ï ð è ð à ù å í è é. Èç íåå ïîëó÷àåì
f(b) − f(a) = f ′(c)(b − a). Íàêîíåö, âçÿâ âìåñòî a è b ñîîòâåòñòâåííî x0 è x è
îáîçíà÷èâ ∆x = x − x0, ∆y = f(x) − f(x0), ôîðìóëó Ëàãðàíæà çàïèøåì òàê:
∆y = f′(c)∆x.
Èç òåîðåìû Ëàãðàíæà âûòåêàåò:
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Åñëè f ′(x) = 0 â èíòåðâàëå (a; b), òî â ýòîì èíòåðâàëå
ôóíêöèÿ f(õ) ïîñòîÿííà.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé x1 è õ2 (õ1 < x2)
èç ðàññìàòðèâàåìîãî èíòåðâàëà ñïðàâåäëèâà òåîðåìà Ëàãðàíæà,
ò. å. f(x2) − f(x1) = f ′(c)(x2 − x1), ãäå x1 < c < õ2. Íî f ′(c) = 0, à ïîòîìó è
f(x2) − f(x1) = 0, ò. å. f(x1) = f(x2), à ýòî çíà÷èò, ÷òî f(x) = const â èíòåðâàëå (a; b).
4. Òåîðåìà Êîøè. Åñëè ôóíêöèè f(x) è g(x): 1) íåïðåðûâíû íà îòðåçêå
[a; b]; 2) äèôôåðåíöèðóåìû â èíòåðâàëå (à; b); 3) g ′(x) ≠ 0 â ýòîì èíòåðâà-
169
ëå, òî â èíòåðâàëå (a; b) ñóùåñòâóåò òî÷êà c, òàêàÿ, ÷òî èìååò ìåñòî
ðàâåíñòâî
f (b) − f (a ) f ′(c)
.
=
g(b) − g(a ) g ′(c)
(5)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îòìåòèì, ÷òî g(b) − g(a) ≠ 0, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå èìåëè áû, ÷òî g(a) = g(b), è òîãäà ïî òåîðåìå Ðîëëÿ
g ′(c1) = 0, ãäå c1 — íåêîòîðàÿ òî÷êà èç èíòåðâàëà (a; b), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
óñëîâèþ 3.
Ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ
ϕ(x) = f(x) − f(a) − λ(g(x) − g(a)),
ãäå
λ=
f (b ) − f (a )
.
g (b ) − g (a )
(6)
Èìååì:
ò. å.
ϕ(a) = 0,ϕ(b) = 0.
ϕ(a) = ϕ(b).
Ôóíêöèÿ ϕ (x) óäîâëåòâîðÿåò è îñòàëüíûì óñëîâèÿì òåîðåìû Ðîëëÿ.
 ñàìîì äåëå, ϕ(x) íåïðåðûâíà íà [a; b], òàê êàê íåïðåðûâíû íà [a; d]
f(x) è g(x); ïðîèçâîäíàÿ ϕ′(x) ñóùåñòâóåò â (a; b), îíà ðàâíà:
ϕ′(x) = f′(x) − λg′(x).
Ñëåäîâàòåëüíî, â èíòåðâàëå (a; b) ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà c, ÷òî ϕ′(c) = 0
èëè f′(c) − λg′(c) = 0, îòêóäà
λ=
f ′(c)
.
g ′(c)
Ïîäñòàâëÿÿ â ðàâåíñòâî (6) çíà÷åíèå λ, ïîëó÷àåì èñêîìîå ðàâåíñòâî (5).
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû Êîøè, ñîîòâåòñòâóþùèì g(x) ≡ x.
5. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ. Â ãëàâå 7 (ñì. § 7.5, ï. 2) ìû ïîçíàêîìèëèñü ñ
íåêîòîðûìè ïðèåìàìè íàõîæäåíèÿ ïðåäåëîâ îòíîøåíèÿ äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ èëè áåñêîíå÷íî áîëüøèõ, ò. å. ðàñêðûòèÿ íåîïðåäåëåí0
∞
íîñòè ñîîòâåòñòâåííî âèäà èëè . Çäåñü áóäåò ðàññìîòðåí íîâûé
0
∞
ïðîñòîé ïðèåì äëÿ ðàñêðûòèÿ ýòèõ íåîïðåäåëåííîñòåé, íàçûâàåìûé
170
ïðàâèëîì Ëîïèòàëÿ (Ãèéîì Ëîïèòàëü (1661—1704) — ôðàíöóçñêèé
ìàòåìàòèê).
Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå
f (x )
,
ϕ( x )
ãäå ôóíêöèè f(x) è ϕ(x) îïðåäåëåíû è äèôôåðåíöèðóåìû â íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè a, èñêëþ÷àÿ, áûòü ìîæåò, ñàìó òî÷êó a. Ïóñòü äàëåå
ýòè ôóíêöèè îäíîâðåìåííî ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûìè èëè áåñêîíå÷íî áîëüøèìè.
Ò å î ð å ì à. Ïðåäåë îòíîøåíèÿ äâóõ áåñêîíå÷íî ìàëûõ èëè áåñêîíå÷íî
áîëüøèõ ôóíêöèé ðàâåí ïðåäåëó îòíîøåíèÿ èõ ïðîèçâîäíûõ, åñëè ïîñëåäíèé ñóùåñòâóåò, ò. å.
f (x )
f ′( x )
.
lim
= lim
x → a ϕ( x )
x → a ϕ ′( x )
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ íåîïðåäåëåí0
íîñòè , ïðè÷åì äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèè f(x) è
0
ϕ(x) íà íåêîòîðîì îòðåçêå [a; b] óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû
∞
Êîøè, ïðè ýòîì f(a) = ϕ (a) = 0.  ñëó÷àå íåîïðåäåëåííîñòè äîêàçà∞
òåëüñòâî íåñêîëüêî ñëîæíåå (ñì., íàïðèìåð, [11]).
Âîçüìåì íà îòðåçêå [a; b] êàêóþ-íèáóäü òî÷êó x ≠ a. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Êîøè, áóäåì èìåòü:
f ( x ) − f (a ) f ′(c)
,
=
ϕ( x ) − ϕ(a ) ϕ ′(c)
ãäå a < c < x. Íî ïî óñëîâèþ f(a) =ϕ(a) = 0, è, çíà÷èò,
f ( x ) f ′(c)
.
=
ϕ( x ) ϕ ′(c)
Åñëè x ñòðåìèòñÿ ê a, òî è c ñòðåìèòñÿ ê a, òàê êàê c çàêëþ÷åíî ìåæäó
a è x. Ïîýòîìó ìîæåì çàïèñàòü
f (x )
f ′(c)
f ′(c)
f ′( x )
lim
= lim
= lim
= lim
x → a ϕ( x )
x → a ϕ ′(c)
c → a ϕ ′(c)
x → a ϕ ′( x )
è îêîí÷àòåëüíî
f (x )
f ′( x )
.
lim
= lim
x → a ϕ( x )
x → a ϕ ′( x )
Ï ð è ì å ð 1. lim
x→ 0
2x −1
2 x ln 2
(2 x − 1)′
= lim
= lim
= ln2.
sin x x → 0 (sin x )′ x → 0 cos x
171
Ï ð è ì å ð 2. lim
x→ 0
ex −1
ex
= lim = 1.
x
→
0
x
1
Èíîãäà ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ ïðèõîäèòñÿ ïðèìåíÿòü íåñêîëüêî ðàç.
Ï ð è ì å ð 3. lim
x→
π
2
1 − sin x
π

 − x
2

2
= lim
x→
π
2
cos x
sin x 1
= lim
= .
π − 2 x x→ π 2
2
2
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ âåðíî è â òîì ñëó÷àå, êîãäà a — ñèìâîë ∞.
x
1
Ï ð è ì å ð 4. lim x = lim x = 0.
x → +∞ e
x → +∞ e
Ñëó÷àè äðóãèõ íåîïðåäåëåííîñòåé
0
0
∞
0 ⋅ ∞, 0 , ∞ , 1 , ∞−∞
ñ ïîìîùüþ òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâîäÿòñÿ ê îñíîâíûì òè0
∞
ïàì íåîïðåäåëåííîñòåé èëè .
0
∞
Ï ð è ì å ð 5. lim x ln x .
x→ 0 + 0
Çäåñü ìû èìååì íåîïðåäåëåííîñòü 0 ⋅ ∞. Ïåðåïèñûâàÿ äàííîå âûðàæåíèå â âèäå
ln x
,
lim x ln x = lim
x→ 0 + 0
x→ 0 + 0 1
x
∞
ïîëó÷àåì íåîïðåäåëåííîñòü âèäà . Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ, íàõîäèì:
∞
1
lim x ln x = lim x = − lim x = 0.
x→ 0 + 0
x→ 0 + 0
x→ 0 + 0
1
− 2
x
1

Ï ð è ì å ð 6. lim  ctg x −  .
x→ 0 
x
Äàííîå âûðàæåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåîïðåäåëåííîñòü âèäà ∞ − ∞. Ïîëüçóÿñü òåì,
cos x
, èìååì:
÷òî ctg x =
sin x
1
x cos x − sin x

 cos x 1 
.
lim  ctg x −  = lim 
−  = lim
x→ 0 
x sin x
x  x → 0  sin x x  x → 0
0
Òàê êàê ïîëó÷èëàñü íåîïðåäåëåííîñòü , òî ïðèìåíÿåì ïðàâèëî Ëîïèòàëÿ:
0
1
cos x − x sin x − cos x
x sin x

lim  ctg x −  = lim
= − lim
=
x→ 0 
x → 0 sin x + x cos x
x  x→ 0
sin x + x cos x
0
sin x + x cos x
= − lim
= − = 0.
x → 0 cos x + cos x − x sin x
2
Ï ð è ì å ð 7. lim x x . Çäåñü íåîïðåäåëåííîñòü âèäà 00. Ïîëîæèâ y = xx, èìååì ln y =
x→ 0 + 0
= x ln x, îòêóäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè
ln lim y = lim ln y = lim x ln x = 0 (ïðèìåð 5).
x→ 0 + 0
172
x→ 0 + 0
x→ 0 + 0
Ñëåäîâàòåëüíî, ln lim y = 0, îòêóäà
x→ 0 + 0
lim y = e 0 = 1, ò.å. lim x x = 1.
x→ 0 + 0
x→ 0 + 0
Èñïîëüçîâàâøèéñÿ â ïîñëåäíåì ïðèìåðå ïðèåì ëîãàðèôìèðîâàíèÿ ïðèìåíÿåòñÿ òàêæå è â ñëó÷àå íåîïðåäåëåííîñòåé ∞0, 1∞.
§ 8.7. Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèé.
Ìàêñèìóì è ìèíèìóì
1. Âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå ôóíêöèé. Ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ
âîçðàñòàþùåé (óáûâàþùåé) â èíòåðâàëå (a; b), åñëè, êàêîâû áû íè
áûëè çíà÷åíèÿ x1 è x2 èç ýòîãî èíòåðâàëà, èç íåðàâåíñòâà x2 > x1,
âûòåêàåò íåðàâåíñòâî f(x2) > f(x1 ) (ñîîòâåòñòâåííî f(õ2) < f(x1 )).
Åñëè æå äëÿ òàêèõ x1 è õ 2 èç íåðàâåíñòâà õ 2 > x 1 ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
f(õ 2) ≥ f(x1 )(f(x2) ≤ f(x1 )), òî ôóíêöèÿ f(x) íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåé
(íåâîçðàñòàþùåé) â èíòåðâàëå (a; b).
Ôóíêöèè âñåõ ýòèõ òèïîâ íîñÿò îáùåå íàçâàíèå ìîíîòîííûå.
Ìîíîòîííûå ôóíêöèè ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â ðàçëè÷íûõ èññëåäîâàíèÿõ. Íàïðèìåð, îñâåùåííîñòü, ìåíÿþùàÿñÿ ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò èñòî÷íèêà ñâåòà, — ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè ôóíêöèÿ y = f(x), äèôôåðåíöèðóåìàÿ â èíòåðâàëå
(à; b), íåóáûâàþùàÿ (íåâîçðàñòàþùàÿ) íà íåì, òî åå ïðîèçâîäíàÿ â ýòîì
èíòåðâàëå íå îòðèöàòåëüíà (íå ïîëîæèòåëüíà), ò. å.
f′(x) ≥ 0 (f′(x) ≤ 0).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü x — ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå èç èíòåðâàëà (a; b). Ïðèäàäèì ýòîìó çíà÷åíèþ x ïðèðàùåíèå ∆x, òàêîå, ÷òîáû òî÷êà x + ∆x ïðèíàäëåæàëà èíòåðâàëó (a; b). Åñëè f(x) — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, òî ∆y ≥ 0 ïðè ∆x > 0 è ∆y ≤ 0 ïðè ∆x < 0.  îáîèõ ñëó÷àÿõ
∆y
∆y
≥ 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, f ′( x ) = lim
≥ 0. Åñëè æå f(x) — íåâîçðàñòà∆
x
→
0
∆x
∆x
∆y
þùàÿ ôóíêöèÿ, òî
≤ 0 è f ′(x) ≤ 0.
∆x
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ôóíêöèÿ f(x), äèôôåðåíöèðóåìàÿ â èíòåðâàëå
(à; b), óäîâëåòâîðÿåò â íåì óñëîâèþ f′(x) > 0 (f′(x) < 0), òî ýòà ôóíêöèÿ
âîçðàñòàåò (óáûâàåò) â èíòåðâàëå (à; b).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ëàãðàíæà äëÿ ïðîèçâîëüíûõ x1 è x2 (x1 < x2) èç (a; b) èìååì: f(x2) − f(x1) = f′(c)(x2 − x1), ãäå x1 < c < x2.
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè f ′(x) > 0 â (a; b), òî f(x2) − f(x1) > 0, èëè f(x2) > f(x1), è
çàäàííàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò â (a; b). Åñëè æå f′(x) < 0 â (a; b), òî f(x2) −
− f(x1) < 0, èëè f(x2) < f(x1), è äàííàÿ ôóíêöèÿ óáûâàåò.
173
Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèé íà âîçðàñòàíèå è óáûâàíèå.
x
x
Ï ð è ì å ð 1. Ôóíêöèÿ y = e âñþäó âîçðàñòàåò, òàê êàê y ′ = e > 0 äëÿ âñåõ x.
2
Ï ð è ì å ð 2. Ôóíêöèÿ y = x óáûâàåò â ïðîìåæóòêå (−∞; 0), òàê êàê â ýòîì ïðîìåæóòêå y ′ = 2x < 0. Ýòà æå ôóíêöèÿ â ïðîìåæóòêå (0; +∞) âîçðàñòàåò, òàê êàê â ïîñëåäíåì ïðîìåæóòêå y′ = 2õ > 0.
2. Ìàêñèìóìû è ìèíèìóìû ôóíêöèé.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) èìååò â òî÷êå x0
ìàêñèìóì (ìèíèìóì), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè x0(x0 − δ,
x0 + δ), ÷òî äëÿ âñåõ x èç ýòîé îêðåñòíîñòè, îòëè÷íûõ îò x0, âûïîëíÿåòñÿ
íåðàâåíñòâî f(x) < f(x0) (f(x) > f(x0)).
Èíà÷å ãîâîðÿ, ôóíêöèÿ f(x) èìååò â òî÷êå x0 ìàêñèìóì (ìèíèìóì),
åñëè äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëîãî ïðèðàùåíèÿ ∆x (ëþáîãî çíàêà) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
f(x0 +∆x) < f(x0) (f(x0 +∆x) > f(x0)).
Ìàêñèìóì èëè ìèíèìóì ôóíêöèè íàçûâàåòñÿ ýêñòðåìóìîì ôóíêöèè.
Ïî îïðåäåëåíèþ ìàêñèìóìîâ è
ìèíèìóìîâ ôóíêöèè îíè ìîãóò äîñòèãàòüñÿ ëèøü âíóòðè îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, êîíöû ñåãìåíòîâ îáëàñòè
îïðåäåëåíèÿ íå ìîãóò ñëóæèòü òî÷êàìè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ýêñòðåìóì.
Íà ðèñóíêå 102 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò â
òî÷êå x1 ìàêñèìóì, à â òî÷êå x2 ìèÐèñ. 102
íèìóì.
Åñëè èññëåäóåìàÿ íà ýêñòðåìóì ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà, òî èçó÷åíèå ñâîéñòâ åå ïðîèçâîäíîé äàåò âîçìîæíîñòü íàõîäèòü òî÷êè, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ýêñòðåìóì.
Ò å î ð å ì à 1 (íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà).
Åñëè ôóíêöèÿ f(x), äèôôåðåíöèðóåìàÿ â èíòåðâàëå (a; b), èìååò â òî÷êå x0,
a < x0 < b, ýêñòðåìóì, òî åå ïðîèçâîäíàÿ â ýòîé òî÷êå ðàâíà íóëþ:
f ′(x0) = 0.
(1)
Ýòà òåîðåìà åñòü íåïîñðåäñòâåííîå ñëåäñòâèå òåîðåìû Ôåðìà.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Óñëîâèå (1), áóäó÷è íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà, íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà, ÷òî ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð.
174
Ï ð è ì å ð 1. Ôóíêöèÿ f(x) = x3 íå èìååò ýêñòðåìóìà â òî÷êå x0 = 0 (ðàçíîñòü f(x) − f(0)
2
ìåíÿåò çíàê ïðè èçìåíåíèè çíàêà àðãóìåíòà x), õîòÿ åå ïðîèçâîäíàÿ y ′ =3x îáðàùàåòñÿ â
ýòîé òî÷êå â íóëü.
Ò å î ð å ì à 2 (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà).
Åñëè ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f(x) îáðàùàåòñÿ â òî÷êå x0 â íóëü (òàêèå òî÷êè
íàçûâàþòñÿ ñòàöèîíàðíûìè) è ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ýòó òî÷êó â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ x ìåíÿåò çíàê «ïëþñ» («ìèíóñ») íà «ìèíóñ» («ïëþñ»), òî
â òî÷êå x0 ýòà ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì (ìèíèìóì). Åñëè æå ïðè ïåðåõîäå
÷åðåç òî÷êó x0 ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f(x) íå ìåíÿåò çíàêà, òî â ýòîé òî÷êå
ôóíêöèÿ f(x) ýêñòðåìóìà íå èìååò.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîïóñòèì, ÷òî f′(x) ìåíÿåò çíàê «ïëþñ» íà
«ìèíóñ». Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 2 (ï. 1) â äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ñëåâà îò x0 ôóíêöèÿ f(x) âîçðàñòàåò è f(x) < f(x0), à ñïðàâà îò
íåå ôóíêöèÿ f(x) óáûâàåò è ñíîâà f(x) < f(x0). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ âñåõ x
èç äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 (êðîìå ñàìîé ýòîé òî÷êè)
áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòâî f(x) < f(x0), ò. å. â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f(x)
èìååò ìàêñèìóì.
Àíàëîãè÷íîå äîêàçàòåëüñòâî è â ñëó÷àå îáðàòíîé ñìåíû çíàêà.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç òî÷êó x0 ïðîèçâîäíàÿ
ôóíêöèÿ f(x) íå ìåíÿåò çíàêà. Òîãäà ïî òåîðåìå 2 ï. 1 êàê ñëåâà,òàê è
ñïðàâà îò x0 ôóíêöèÿ f(x) ëèáî âîçðàñòàåò, ëèáî óáûâàåò è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ìîæåò èìåòü ýêñòðåìóìà â òî÷êå x0.
Îòñþäà ñëåäóåò òàêîå ïðàâèëî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè íà ýêñòðåìóì ñ
ïîìîùüþ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé. Ïóñòü â èíòåðâàëå (a; b) äàíà äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ f(x):
1) íàõîäèì åå ïðîèçâîäíóþ f′(x);
2) íàõîäèì êîðíè óðàâíåíèÿ f ′(x) = 0;
3) âûÿñíÿåì çíàê f′(x) ñëåâà è ñïðàâà îò êàæäîãî èç ýòèõ êîðíåé è ñîãëàñíî òåîðåìå 2 âûíîñèì çàêëþ÷åíèå îá ýêñòðåìóìå;
4) âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â òî÷êàõ ýêñòðåìóìà.
Ï ð è ì å ð 2. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíêöèþ f(x) = x3 − 3x + 2. Äëÿ ýòîãî âû÷èñ2
2
ëÿåì ïðîèçâîäíóþ f ′(x) = 3õ − 3 = 3(x − 1) = 3(x + 1)(x − 1) è íàõîäèì êîðíè óðàâíåíèÿ
f ′(x) = 0. Èìååì x1 = −1, x2 = 1. Çàòåì ñîãëàñíî ïîëó÷åííîìó ïðàâèëó ïîñëåäîâàòåëüíî çàïîëíÿåì ñòðîêè òàáëèöû:
x
x < −1
x1 = −1
−1 < x < 1
õ2 = 1
x>1
f ′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
Ìàêñèìóì
f(x1) = 4
Ìèíèìóì
f(x2) = 0
175
3. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé íà ýêñòðåìóì ñ ïîìîùüþ âòîðîé ïðîèçâîäíîé. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ÿâëÿåòñÿ âòîðûì äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà.
Ò å î ð å ì à. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) èìååò â òî÷êå x0 è åå îêðåñòíîñòè
íåïðåðûâíûå ïåðâóþ è âòîðóþ ïðîèçâîäíûå, ïðè÷åì f ′(x0) = 0, f′′(x0) ≠ 0. Òîãäà ôóíêöèÿ f(x) èìååò â òî÷êå x0 ìèíèìóì (ìàêñèìóì), åñëè f′′(x0) > 0
(f ′′(x0) < 0).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü f ′(x0) > 0. Òàê êàê f′′(x) íåïðåðûâíà
â òî÷êå x0, òî (ñì. § 7.6, ï. 1, òåîðåìà 5) f′′(x) > 0 è â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0.  ýòîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ôóíêöèÿ z = f′(x) âîçðàñòàåò, òàê êàê z′ = f ′′(x) > 0. Íî f ′(x0) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ïåðåõîäå
÷åðåç òî÷êó x0 â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ x f ′(x) ìåíÿåò çíàê «ìèíóñ»
íà «ïëþñ», è ïîòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 2 ï. 2 íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà
f(x) èìååò â òî÷êå x0 ìèíèìóì. Äîêàçàòåëüñòâî â ñëó÷àå f′′(x0) < 0 àíàëîãè÷íî.
Ýòà òåîðåìà ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü âòîðîå ïðàâèëî îòûñêàíèÿ
ýêñòðåìóìà ôóíêöèè, â êîòîðîì ìåíÿåòñÿ ëèøü ïóíêò 3. Ýòîò ïóíêò çàìåíÿåòñÿ íà ñëåäóþùèé:
íàõîäèì âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ f ′′(x), âû÷èñëÿåì åå çíà÷åíèÿ äëÿ êàæäîãî èç íàéäåííûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ f′(x) = 0 è ñîãëàñíî òåîðåìå âûíîñèì çàêëþ÷åíèå îá ýêñòðåìóìå.
Çàìåòèì, ÷òî ïîëüçîâàòüñÿ âòîðûì ïðàâèëîì îáû÷íî ïðîùå, ÷åì
ïåðâûì. Íî åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïðè çíà÷åíèè êîðíÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé îáðàùàåòñÿ â íóëü, òî èñïîëüçóþò ïåðâîå ïðàâèëî îòûñêàíèÿ
ýêñòðåìóìà.
3
2
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíêöèþ f(x) = x − 3x + 2. Èìååì f′(x) = 3x − 3,
f′′(x) = 6x. Êàê óæå îòìå÷àëîñü (ñì. ïðèìåð 2 ïðåäûäóùåãî ïóíêòà), êîðíè óðàâíåíèÿ
f′(x) = 0: x1 = −1, x2 = 1.  òî÷êå x1 = −1 ôóíêöèÿ f(x) èìååò ìàêñèìóì, òàê êàê f ′′(−1) = −6 < 0, à
2
â òî÷êå x = 1 — ìèíèìóì, òàê êàê f ′′(1) = 6 > 0.
4. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè íà îòðåçêå. Ïóñòü
ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b]. Òîãäà (ñì. § 7.6, ï. 3, òåîðåìà 1) íà ýòîì îòðåçêå ôóíêöèÿ f(x) äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèé. Îñòàíîâèìñÿ äëÿ îïðåäåëåííîñòè íà íàèáîëüøåì çíà÷åíèè. Åñëè ýòà ôóíêöèÿ äîñòèãàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ â èíòåðâàëå
(a; b), òî ýòî, î÷åâèäíî, áóäåò ìàêñèìóì ôóíêöèè f(x). Íî ôóíêöèÿ ìîæåò äîñòèãàòü ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ òàêæå íà îäíîì èç êîíöîâ
îòðåçêà [a; b] (ñì. ðèñ. 92). Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè íàèáîëüøåå
çíà÷åíèå ôóíêöèè f(x) íà îòðåçêå [a; b], íàäî íàéòè íà èíòåðâàëå (a; b)
âñå ìàêñèìóìû ýòîé ôóíêöèè, çàòåì âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f(x)
176
íà êîíöàõ îòðåçêà [a; b], ò. å. f(a) è f(b). Íàèáîëüøåå èç âñåõ ýòèõ ÷èñåë è áóäåò íàèáîëüøèì çíà÷åíèåì ôóíêöèè f(x) íà îòðåçêå [a; b].
Ç à ì å ÷ à í è å. Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè äèôôåðåíöèðóåìàÿ â èíòåðâàëå (a; b) è íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [a; b] ôóíêöèÿ èìååò â èíòåðâàëå (a; b) òîëüêî îäíó ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó è ýêñòðåìóì â íåé, òî â ýòîé òî÷êå îíà èìååò íàèáîëüøåå
çíà÷åíèå â ñëó÷àå ìàêñèìóìà è íàèìåíüøåå â ñëó÷àå ìèíèìóìà.
Ðèñ. 103
Ç à ä à ÷ à. Èç êâàäðàòíîãî ëèñòà æåñòè ñî ñòîðîíîé a, âûðåçàÿ ïî óãëàì ðàâíûå êâàäðàòû è ñãèáàÿ êðàÿ (ðèñ. 103), íåîáõîäèìî ñäåëàòü ïðÿìîóãîëüíóþ êîðîáêó íàèáîëüøåãî
îáúåìà.
Ð å ø å í è å. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó âûðåçàåìîãî êâàäðàòà ÷åðåç x. Òîãäà îáúåì êîðîá a
êè âûðàçèòñÿ ðàâåíñòâîì V = x(à − 2x)2, ãäå x èçìåíÿåòñÿ â èíòåðâàëå  0;  . Ïðîèçâîäíàÿ
 2
a
a
V ′ = (a − 2x)(à − 6õ) ìåæäó 0 è îáðàùàåòñÿ â íóëü â åäèíñòâåííîé òî÷êå x = . Ïðè ýòîì
2
6
çíà÷åíèè x îáúåì V èìååò ìàêñèìóì, çíà÷èò, ñîãëàñíî çàìå÷àíèþ è íàèáîëüøåå çíà÷åa
íèå, òàê êàê ïðè x = V ′′ = −4a < 0. Òàêèì îáðàçîì, îáúåì êîðîáêè áóäåò íàèáîëüøèì
6
a
ïðè ñòîðîíå âûðåçàåìîãî êâàäðàòà x = .
6
5. Âûïóêëîñòü è âîãíóòîñòü ãðàôèêà ôóíêöèè. Òî÷êè ïåðåãèáà.Íà ðèñóíêå 104 ïîñòðîåí ãðàôèê äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè y = f(x).  òî÷êàõ A, B è C ïîñòðîèì êàñàòåëüíûå ê ãðàôèêó. Âèäíî, ÷òî âñå òî÷êè ãðàôèêà, äîñòàòî÷íî áëèçêèå ê òî÷êå A è ëåæàùèå ïî îáå ñòîðîíû îò íåå,
ðàñïîëîæåíû íèæå êàñàòåëüíîé.  ýòîì ñëó÷àå ãðàôèê ôóíêöèè y = f(x)
íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì â òî÷êå À. Âñå òî÷êè ãðàôèêà, äîñòàòî÷íî áëèçêèå ê òî÷êå C è ëåæàùèå ïî îáå ñòîðîíû îò íåå, ðàñïîëîæåíû âûøå êàñàòåëüíîé.  òàêîì ñëó÷àå ãðàôèê ôóíêöèè y = f(x) íàçûâàåòñÿ âîãíóòûì â òî÷êå C.
Ãðàôèê äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèè y = f(x) íàçûâàåòñÿ âûïóêëûì
(âîãíóòûì) â èíòåðâàëå (a; b), åñëè îí ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì (âîãíóòûì)
â êàæäîé ñâîåé òî÷êå ñ ïåðâîé
êîîðäèíàòîé èç (a; b). Íà ðèñóíêå 104 ãðàôèê ìåæäó òî÷êàìè A è
B ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì, à ìåæäó
òî÷êàìè B è C — âîãíóòûì.
Êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó â òî÷êå
B (ðèñ. 104) ïåðåñåêàåò ãðàôèê.
Ïðè ýòîì âî âñåõ òî÷êàõ ãðàôèêà,
áëèçêèõ ê òî÷êå B è ëåæàùèõ ñëåÐèñ. 104
âà îò íåå, ãðàôèê ÿâëÿåòñÿ âûïóê-
177
ëûì, à âî âñåõ òî÷êàõ ãðàôèêà, ëåæàùèõ ñïðàâà îò òî÷êè B è áëèçêèõ ê
íåé, ãðàôèê ÿâëÿåòñÿ âîãíóòûì. Òî÷êà ãðàôèêà äèôôåðåíöèðóåìîé
ôóíêöèè y = f(x), ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êîòîðóþ ãðàôèê ìåíÿåò âûïóêëîñòü íà âîãíóòîñòü è íàîáîðîò, íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà.  ÷àñòíîñòè, íà ðèñóíêå 104 òî÷êà B — òî÷êà ïåðåãèáà.
Ñôîðìóëèðóåì ïîêà áåç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû (èõ äîêàçàòåëüñòâà
áóäóò äàíû â § 8.9, ï. 4), ïîçâîëÿþùèå íàõîäèòü èíòåðâàëû âûïóêëîñòè
è âîãíóòîñòè, à òàêæå òî÷êè ïåðåãèáà.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f ′′(x) ôóíêöèè y = f(x) ïîëîæèòåëüíà (îòðèöàòåëüíà) â èíòåðâàëå (a; b), òî ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ âîãíóòûì (âûïóêëûì) â ýòîì èíòåðâàëå.
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f′′(x) ôóíêöèè ó = f(x) îáðàùàåòñÿ â òî÷êå õ0 â íóëü è ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ýòó òî÷êó ìåíÿåò çíàê, òî
òî÷êà (õ0; f(x0)) ãðàôèêà äàííîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåãèáà.
3
Ï ð è ì å ð. Êðèâàÿ y = x âûïóêëà â ïðîìåæóòêå (−∞; 0),
òàê êàê â ýòîì ïðîìåæóòêå ó ′′ = 6x < 0, è âîãíóòà â ïðîìåæóòêå
(0; +∞), òàê êàê â íåì y ′′ = 6x > 0; ïðè x = 0 y ′′ = 0, ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà (0; 0) — òî÷êà ïåðåãèáà (ðèñ. 105).
6. Àñèìïòîòû. Â § 5.1 (ï. 2) ðàññìàòðèâàëèñü
àñèìïòîòû ãèïåðáîëû. Ìíîãèå äðóãèå ëèíèè
òàêæå èìåþò àñèìïòîòû, ò. å. ïðÿìûå, ê êîòîðûì
íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàåòñÿ äàííàÿ ëèíèÿ, êîãäà åå òî÷êà íåîãðàíè÷åííî óäàëÿåòñÿ îò íà÷àëà
êîîðäèíàò.
Ðàçëè÷àþò àñèìïòîòû âåðòèêàëüíûå (ò. å. ïàÐèñ. 105
ðàëëåëüíûå îñè îðäèíàò) è íàêëîííûå (ò. å. íåïàðàëëåëüíûå îñè îðäèíàò).
Ïðÿìàÿ x = a íàçûâàåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè y = f(x), åñëè õîòÿ áû îäíî èç ïðåäåëüíûõ çíà÷åíèé
lim f ( x ), lim f ( x )
x → a +0
x → a −0
ÿâëÿåòñÿ áåñêîíå÷íûì, ò. å. ðàâíî +∞ èëè −∞.
Ï ð è ì å ð 1. Ïðÿìàÿ x = 0 ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè
1
1
1
y = , òàê êàê lim
= +∞, lim
= −∞.
x→ 0 + 0 x
x→ 0 − 0 x
x
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ y = f(x) îïðåäåëåíà ïðè ñêîëü óãîäíî
áîëüøèõ (ïî ìîäóëþ) çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà.
Ïðÿìàÿ
y = kx + b
178
íàçûâàåòñÿ íàêëîííîé (ïðè k = 0 ãîðèçîíüàëüíîé) àñèìïòîòîé ãðàôèêà
ôóíêöèè ó = f(x) ïðè x→ +∞, åñëè ýòà ôóíêöèÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå
f(x) = kx + b + α(x),
ãäå
lim α( x ) = 0.
x → +∞
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ íàêëîííàÿ àñèìïòîòà äëÿ ñëó ÷àÿ x→ −∞.
Ï ð è ì å ð 2. Ïðÿìàÿ ó = 0 ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé ãðàôèêà ôóíêöèè
1
y = ïðè x→ +∞ è ïðè x→ −∞.
x
§ 8.8. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé
Íàèáîëåå íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î õîäå èçìåíåíèÿ ôóíêöèè äàåò
åå ãðàôèê. Ïîýòîìó ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ÿâëÿåòñÿ çàêëþ÷èòåëüíûì
ýòàïîì èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè, â êîòîðîì èñïîëüçóþòñÿ âñå ðåçóëüòàòû åå èññëåäîâàíèÿ.
Ï ð è ì å ð 1. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y =
x 2 +1
.
x −1
Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è íåïðåðûâíà äëÿ âñåõ çíà÷åíèé x, êðîìå x = 1. Ôóíêöèÿ íå
ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé. Åå ãðàôèê íå èìååò òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ñ îñüþ Ox, òàê
2
êàê õ + 1 >0 äëÿ âñåõ âåùåñòâåííûõ x. Ïðè x = 0 ó = −1. Äàëåå,
x 2 +1
= −∞,
x→1 − 0 x − 1
lim
x 2 +1
= +∞,
x→1 + 0 x − 1
lim
ò. å. ïðÿìàÿ x = 1 ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé. Ïðè x→ +∞ y→ +∞, à ïðè x→ −∞
x 2 − 2x −1
îáðàùàåòñÿ â íóëü â òî÷êàõ
y→ −∞. Ïðîèçâîäíàÿ äàííîé ôóíêöèè y′ =
(x − 1)2
x1 = 1 − 2 , x 2 = 1 + 2 . Ýòè òî÷êè ðàçáèâàþò âñþ ÷èñëîâóþ îñü íà òðè ïðîìåæóòêà
(−∞; 1 − 2 ), (1 − 2 ; 1 + 2 ), (1 + 2 ; + ∞), âíóòðè êàæäîãî èç êîòîðûõ ïðîèçâîäíàÿ y ′ ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííûé çíàê. Î÷åâèäíî, ÷òî â ïåðâîì è òðåòüåì ïðîìåæóòêàõ ó ′ > 0 è,
ñëåäîâàòåëüíî, çäåñü ôóíêöèÿ y âîçðàñòàåò, âî âòîðîì ïðîìåæóòêå ó ′ < 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ïðîìåæóòêå äàííàÿ ôóíêöèÿ óáûâàåò. Åå âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ
4
âñþäó îòëè÷íà îò íóëÿ (çíà÷èò, òî÷åê ïåðåãèáà ãðàôèê ðàññìàòðèâàåìîé
y′′ =
(x − 1)3
ôóíêöèè íå èìååò), â ïðîìåæóòêå (−∞; 1) y ′′ < 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, çäåñü ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì è â òî÷êå x1 ýòà ôóíêöèÿ èìååò ìàêñèìóì, â ïðîìåæóòêå (1; +∞) y ′′ > 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, â ïîñëåäíåì ïðîìåæóòêå ýòîò ãðàôèê ÿâëÿåòñÿ
âîãíóòûì è â òî÷êå x2 äàííàÿ ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì. Íàêîíåö, ïîñêîëüêó
179
Ðèñ. 106
x 2 +1
2
2
è lim
= x +1 +
= 0, òî ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè èìååò íàêëîííóþ àñèìx −1
x − 1 x → ±∞ x − 1
x 2 +1
èçîáðàæåí íà
ïòîòó y =x + 1 è ïðè x → +∞, è ïðè x → −∞. Ãðàôèê ôóíêöèè y =
x −1
ðèñóíêå 106.
2
Ï ð è ì å ð 2. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y = e − x .
Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà, íåïðåðûâíà, ïîëîæèòåëüíà íà âñåé ÷èñëîâîé îñè è ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü åå ãðàôèê â ïåðâîì êâàäðàíòå. Ïðè
x = 0 y = 1. Ïðè x → +∞ y → 0, çíà÷èò, ïðÿìàÿ y = 0 ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèì2
ïòîòîé è ïðè x → +∞, è ïðè x → −∞. Ïðîèçâîäíàÿ y′ = −2 xe − x îáðàùàåòñÿ â íóëü
òîëüêî â òî÷êå x0 = 0; ïðè x > 0 y ′ < 0, ò. å. ïðè x > 0 äàííàÿ ôóíêöèÿ óáûâàåò. Åå âòî2
1
îáðàùàåòñÿ â íóëü, â ïðîìåæóòêå
ðàÿ ïðîèçâîäíàÿ y′′ = 2(2 x 2 − 1)e − x â òî÷êå x1 =
2
 1

; + ∞  y ′′ > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, çäåñü ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ âîãíó
 2

Ðèñ. 107
180
Ðèñ. 108
òûì, à â ïðîìåæóòêå [x0; x1) y ′′ <0, è, ñëåäîâàòåëüíî, â íåì ýòîò æå ãðàôèê ÿâëÿåòñÿ
âûïóêëûì, x1 — àáñöèññà åãî òî÷êè ïåðåãèáà è, íàêîíåö, â òî÷êå x0 äàííàÿ ôóíêöèÿ
èìååò ìàêñèìóì.Ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 107. Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ êðèâàÿ Ãàóññà (Êàðë Ãàóññ (1777—1855) — íåìåöêèé ìàòåìàòèê).
x2
.
Ï ð è ì å ð 3. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè y =
1− x2
Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 108.
§ 8.9. Ôîðìóëà Òåéëîðà
1. Ôîðìóëà Òåéëîðà ñ îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì â ôîðìå Ëàãðàíæà.
Ò å î ð å ì à. Ïóñòü â èíòåðâàëå (α; β) ôóíêöèÿ f(x) èìååò ïðîèçâîäíûå äî (n + 1)-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî. Òîãäà äëÿ âñÿêîãî x èç
ýòîãî èíòåðâàëà è ôèêñèðîâàííîãî a ýòîãî èíòåðâàëà èìååò ìåñòî
ôîðìóëà
f ( x ) = f (a ) +
f ′(a )
f ′′(a )
f ( n ) (a )
( x − a) n +
( x − a) +
( x − a ) 2 + ... +
1!
2!
n!
+
f ( n +1 ) (c)
( x − a ) n +1 .
(n + 1)!
(1)
Çäåñü c íàõîäèòñÿ ìåæäó x è a, ò. å. c = a + Θ(x − a), ãäå Θ — ÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó 0 è 1, ò. å. 0 < Θ < 1.
Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Òåéëîðà (Áðóê Òåéëîð
(1685—1731) — àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê), à ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû — îñòàòî÷íûì ÷ëåíîì ôîðìóëû Òåéëîðà â ôîðìå Ëàãðàíæà.
181
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âçÿòîå èç èíòåðâàëà (α; β) çíà÷åíèå x > a (ñëó÷àé x < a äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ñîñòàâèì ðàçíîñòü
r n ( x ) = f ( x ) − ( f (a ) +
... +
f ′(a )
f ′′(a )
( x − a) +
( x − a ) 2 + ...
1!
2!
f ( n ) (a )
( x − a) n )
n!
(2)
è ðàññìîòðèì âñïîìîãàòåëüíûå ôóíêöèè
F (t ) = f ( x ) − ( f (t ) +
f ′(t )
f ′′(t )
f ( n ) (t )
( x − t) +
( x − t ) 2 + ... +
( x − t ) n ),
1!
2!
n!
Φ(t ) = ( x − t ) n +1 .
(3)
(4)
Î÷åâèäíî, ýòè ôóíêöèè, ðàññìàòðèâàåìûå êàê ôóíêöèè t (ïðè ïîñòîÿííîì x), äèôôåðåíöèðóåìû íà îòðåçêå [a; x] (äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè F(t) âûòåêàåò èç íàëè÷èÿ äëÿ ôóíêöèè f(t) ïðîèçâîäíîé (n + l)-ãî ïîðÿäêà), ñëåäîâàòåëüíî, è íåïðåðûâíû íà íåì, ïðè÷åì Φ′(t) ≠ 0 â (a; x). Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå Êîøè (§ 8.6, ï. 4) ñóùåñòâóåò òàêîå c èç èíòåðâàëà (a; x), ÷òî
F ( x ) − F (a ) F ′ (c )
.
=
Φ( x ) − Φ(a ) Φ ′(c)
Íî èç ôîðìóë (3) è (4) èìååì:
F(x) = 0, F(a) = rn(x), Φ(x) = 0,
n+1
Φ(a) = (x − a) ,
f ′′(t )
f ′′(t )
( x − t) −
( x − t ) + ...
F ′(t ) = 0 − ( f ′(t ) − f ′(t ) +
1!
1!
... +
+
f ( n ) (t )
f ( n ) (t )
( x − t ) n −1 −
( x − t ) n −1 +
(n − 1)!
(n − 1)!
f ( n +1 ) (t )
f ( n +1 ) (t )
( x − t) n ) = −
( x − t) n ,
n!
n!
n
Φ′(t) = −(n + 1)(x − t) ,
è, çíà÷èò,
F ′(c) = −
182
f ( n +1 ) (c)
( x − c) n , Φ ′(c) = −(n + 1)( x − c) n .
n!
(5)
Ïîýòîìó ñîîòíîøåíèå (5) ïðèíèìàåò âèä:
0 − rn ( x )
0 − ( x − a)
n +1
=
f ( n +1 ) (c)( x − c) n
(n + 1)!( x − c) n
,
îòêóäà
f ( n +1 ) (c)
( x − a ) n +1 .
(n + 1)!
Íàêîíåö, ðàâåíñòâà (2) è (6) è ïðèâîäÿò ê èñêîìîé ôîðìóëå (1).
rn ( x ) =
(6)
Ç à ì å ÷ à í è å. Ôîðìóëó (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
f ′ (a)
f ′′(a)
(x − a ) +
(x − a)2 +…
1!
2!
f ( n ) (a)
(x − a)n + o((x − a)n ).
…+
n!
f (x ) = f (a) +
(1′)
Ýòà ôîðìà îñòàòî÷íîãî ÷ëåíà áûëà óêàçàíà Ïåàíî (Äæóçåïïå Ïåàíî (1858—1932) —
èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê); ôîðìóëà (1') ïîëåçíàÿ, íàïðèìåð, ïðè âû÷èñëåíèè ïðåäåëîâ.
1 − cos x
x2
èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå cos x = 1 −
Òàê, ïðè íàõîæäåíèè ïðåäåëà lim
+ o(x 2 ).
x→ 0
x2
2!
Èìååì:
x2
− o(x 2 )
1 − cos x
1
2!
=
= ,
lim
lim
x→ 0
x→ 0
x2
x2
2
o(x 2 )
ïîñêîëüêó lim 2 = 0.
x→ 0 x
2. Ïðèìåíåíèå ôîðìóëû Òåéëîðà ê ýëåìåíòàðíûì ôóíêöèÿì. Ïðèáëèæåííûå ôîðìóëû. ×àñòíûì ñëó÷àåì ôîðìóëû Òåéëîðà, ñîîòâåòñòâóþùèì ñëó÷àþ a = 0, ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà
f ( x ) = f (0) +
f ′(0)
f ′′(0) 2
f ( n ) (0) n f ( n +1 ) (c) n +1
x+
x + ... +
x +
x ,
1!
2!
n!
(n + 1)!
(7)
ãäå c = Θx. Ýòó ôîðìóëó ÷àñòî íàçûâàþò ôîðìóëîé Ìàêëîðåíà (Êîëèí Ìàêëîðåí (1698—1746) — øîòëàíäñêèé ìàòåìàòèê). Çäåñü îñòàòî÷íûé ÷ëåí
f ( n +1 ) (c) n +1
x .
(n + 1)!
Ðàçëîæèì ïî ýòîé ôîðìóëå íåêîòîðûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè.
x
(k)
x
1. Ïóñòü f(x) = e , òîãäà f (x) = e ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì k è ïðè ëþáîì x.  ÷àñòíîñòè, ïðè x = 0 èìååì f(0) = 1 è f(k)(0) = 1. Ïî ôîðìóëå (7)
ïîëó÷èì ðàçëîæåíèå ôóíêöèè ex:
rn ( x ) =
ex =1+ x +
x2
xn
x n +1 c
+ ... +
+
e .
2!
n ! (n + 1)!
(8)
183
Èç ðàâåíñòâà (8) ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó
x2
xn
.
ex ≈1+ x +
+ ... +
2!
n!
Òàê êàê îñòàòî÷íûé ÷ëåí çäåñü
x n +1 c
rn ( x ) =
e ,
(n + 1)!
òî, íàïðèìåð, ïðè x > 0 ïîãðåøíîñòü rn(x) îöåíèâàåòñÿ òàê:
0 < rn ( x ) <
x n +1 x
e .
(n + 1)!
(9)
 ÷àñòíîñòè, ïðè x = 1 ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà e:
1 1
1
e ≈ 1 + + + ... + .
1! 2!
n!
3
Ïðè ýòîì èç (9) ñëåäóåò, ÷òî 0 < rn (1) <
, òàê êàê e < 3. Åñëè òðåáó(n + 1)!
åòñÿ âû÷èñëèòü çíà÷åíèå e ñ òî÷íîñòüþ äî 0,001, òî ÷èñëî n îïðåäåëÿåò3
ñÿ èç íåðàâåíñòâà
< 0,001, èëè (n + 1)! > 3000. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè
(n + 1)!
âçÿòü n = 6, òî òðåáóåìîå íåðàâåíñòâî âåðíî.
Òàêèì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Ìàêëîðåíà, ìîæíî âû÷èñëèòü
÷èñëî e ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ, ïðè ýòîì àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ÷èñëà e ëåãêî ðåàëèçóåòñÿ íà ÝÂÌ.
2. Ïóñòü f(x) = sin x. Òîãäà f ′(x) = cos x, f′′(x) = −sin x, f′′′(x) = −cos x,
fIV(x) = sin x, fV(x) = ñîs x, . Ñëåäîâàòåëüíî, f(0) = 0, f ′(0) = 1, f′′(0) = 0,
f ′′′(0) = −1, fIV(0) = 0, fV(0) = 1, è äàëåå òàêîå æå ÷åðåäîâàíèå çíà÷åíèé.
Ïî ôîðìóëå (7) (åñëè âçÿòü n = 2m) èìååì:
x 3 x5 x 7
x 2m −1
+
−
+ ... + ( −1)m −1
+
3!
5!
7!
(2m − 1)!
x 2m +1
+( −1)m
cos c.
(2m + 1)!
Èç ðàçëîæåíèÿ (10) ïîëó÷èì ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó
sin x = x −
x 3 x5 x 7
x 2m −1
+
−
+ ... + ( −1)m −1
3!
5!
7!
(2m − 1)!
ñ ïîãðåøíîñòüþ rn(x), îöåíèâàåìîé íåðàâåíñòâîì
sin x ≈ x −
rn ( x ) ≤
(òàê êàê | cos c | ≤ 1ïðè ëþáîì c).
184
x
2m +1
(2m + 1)!
(10)
 ÷àñòíîñòè, èìååì ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó
sin x ≈x
ñ ïîãðåøíîñòüþ, ïî ìîäóëþ íå ïðåâîñõîäÿùåé
x
3!
3
.
3. Àíàëîãè÷íî ïðè f(x) = cos x èìååì:
cos x = 1 −
x2 x4
x 2m
x 2m + 2
cosc,
+
− ... + ( −1)m
+ ( −1)m +1
2!
4!
(2m)!
(2m + 2)!
(11)
îòêóäà ïîëó÷àåì ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó
cos x ≈ 1 −
x2 x4 x6
x 2m
+
−
+ ... + ( −1)m
2!
4! 6!
(2m)!
ñ ïîãðåøíîñòüþ
rn ( x ) ≤
x 2m + 2
.
(2m + 2)!
4. Ïóñòü f(x) = (1 + x)n, ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ïîñëåäîâàòåëüíî
äèôôåðåíöèðóÿ f(x), ïîëó÷èì:
f′(x) = n(1 + õ)(n − 1), f ′′(x) = n(n − 1)(1 + x)(n − 2), , f(k)(x) = n(n − 1)
(n − k + 1)(1 + x)(n − k), , f(n)(x) = n! (ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà âûøå n âñå
ðàâíû íóëþ).
Îòñþäà f(0) =1, f ′(0) = n, f ′′(0) = n(n − 1), , f(k)(0) = n(n − 1) (n −
− k + 1), f(n)(0) = n!
Ïî ôîðìóëå (7) èìååì ðàâåíñòâî
(1 + x ) n = 1 + nx +
n(n − 1) 2
n(n − 1) ...(n − k + 1) k
x + ... +
x + ... + x n ,
2!
k!
(12)
íàçûâàåìîå áèíîìîì Íüþòîíà.
Î÷åâèäíî, ðàâåíñòâà (8), (10), (11), (12) âåðíû ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x.
3. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè íà ýêñòðåìóì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Òåéëîðà. Îêàçûâàåòñÿ,
åñëè â ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ôóíêöèè f(x) âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f′′(x) ðàâíà íóëþ, òî âîïðîñ
î ñóùåñòâîâàíèè ìàêñèìóìà èëè ìèíèìóìà ôóíêöèè f(x) â ýòîé òî÷êå ìîæåò áûòü ðåøåí
ïðè ïîìîùè ïðîèçâîäíûõ áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà, åñëè, êîíå÷íî, îíè ñóùåñòâóþò â
ýòîé òî÷êå.
Ïóñòü â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè x0 ôóíêöèÿ f(x) èìååò ïðîèçâîäíûå äî (n +
+ 1)-ãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî, ïðè÷åì ïðîèçâîäíàÿ f
(n)
(n + 1)
(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0.
( n + l)
(x0) ≠ 0.
Ïóñòü äàëåå f ′(x0) = f ′′(x0) = = f (x0) = 0, f
(n + 1)
(x) íåïðåðûâíà â òî÷êå x0,òî ñîãëàñíî èçâåñòíîé òåîðåìå (§ 7.6, ï. 1, òåîÒàê êàê f
ðåìà 5) íàéäåòñÿ òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè x0 (ýòó îêðåñòíîñòü îáîçíà÷èì ÷åðåç (α;β)), â
185
êîòîðîé f ( n +1)(x) ñîõðàíÿåò ñâîé çíàê. Ïóñòü x — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà èç (α;β). Ôîðìóëà
Òåéëîðà (1) ïðèìåò âèä:
f (x ) = f (x 0 ) + f ( n + 1 ) (c)
(x − x 0 ) n + 1
(n + 1)!
èëè
f (x ) − f (x 0 ) = f ( n + 1 ) (c)
(x − x 0 ) n + 1
.
(n + 1)!
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà äàåò âîçìîæíîñòü ðåøèòü âîïðîñ îá ýêñòðåìóìå ôóíêöèè f(x) â
òî÷êå x0. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè (n + 1) — ÷åòíîå ÷èñëî è f ( n + 1)(x0) > 0, òî f(x) − f(x0) > 0 äëÿ âñåõ
x ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîìåæóòêà, êðîìå x0, à ïîòîìó x0 — òî÷êà ìèíèìóìà; åñëè (n + 1) —
÷åòíîå ÷èñëî è f
(n + 1)
(x0) < 0, òî f (x) − f (x0) < 0 äëÿ âñåõ x ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîìåæóòêà,
êðîìå x0, à ïîòîìó x0 — òî÷êà ìàêñèìóìà. Íàêîíåö, åñëè (n + 1) — íå÷åòíîå ÷èñëî, òî f (x) −
(n + 1)
− f (x0) ìåíÿåò çíàê (ïðè ïåðåõîäå x ÷åðåç x0) âìåñòå ñ âåëè÷èíîé (x − x0)
òåëüíî, â òî÷êå x0 íåò ýêñòðåìóìà.
4
3
2
, è, ñëåäîâà-
IV
Ï ð è ì å ð. Åñëè y = x , òî y ′ = 4x , y ′′ = 12x , y ′′′ = 24x, y = 24.  òî÷êå x0 = 0 äàííàÿ
IV
ôóíêöèÿ èìååò ìèíèìóì, òàê êàê y > 0.
4. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ âûïóêëîñòè, âîãíóòîñòè è òî÷åê ïåðåãèáà.
Ïðèìåíèì ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñôîðìóëèðîâàííûõ
ðàíåå (§ 8.7, ï. 5) òåîðåì 1 è 2.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ f ′′(x) ôóíêöèè y = f (x) ïîëîæèòåëüíà (îòðèöàòåëüíà) â èíòåðâàëå (a; b), òî ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè
ÿâëÿåòñÿ âîãíóòûì (âûïóêëûì) â ýòîì èíòåðâàëå.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ôèêñèðóåì òî÷êó x0 èç èíòåðâàëà (a; b) è
äîêàæåì, ÷òî â òî÷êå (x0; f(x0)) ãðàôèê äàííîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ âîãíóòûì (âûïóêëûì). Ïî ôîðìóëå Òåéëîðà (1) äëÿ n = 1
f ( x ) − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ) + f ′′(c)
(x − x 0 )2
,
2!
(13)
ãäå c ëåæèò ìåæäó x0 è x.
Äàëåå íàïèøåì óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê êðèâîé y = f(x) â òî÷êå (x0;
f(x0)), îáîçíà÷èâ òåêóùóþ îðäèíàòó êàñàòåëüíîé ÷åðåç Y:
Y − f ( x 0 ) = f ′( x 0 )( x − x 0 ).
Âû÷èòàÿ èç ðàâåíñòâà (13) ðàâåíñòâî (14), ïîëó÷àåì:
f ( x ) − Y = f ′′(c)
(x − x 0 )2
.
2!
Òàê êàê f′′(c) > 0 (< 0), òî è f(x) − Y > 0 (< 0).
Ñ ó÷åòîì òåîðåìû 1 íåïîñðåäñòâåííî ïîëó÷àåì òåîðåìó 2.
186
(14)
Ãëàâà 9. ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÎÄÍÎÉ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ
§ 9.1. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë
1. Ïîíÿòèå ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè è íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
 ãëàâå 8 áûëî ââåäåíî íîâîå äåéñòâèå — äèôôåðåíöèðîâàíèå: íàõîæäåíèå ïî çàäàííîé ôóíêöèè åå ïðîèçâîäíîé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñóùåñòâóåò îáðàòíîå äåéñòâèå — èíòåãðèðîâàíèå:
îòûñêàíèå ôóíêöèè ïî çàäàííîé åå ïðîèçâîäíîé. Ê ýòîìó ïðèâîäÿò
ìíîãî÷èñëåííûå çàäà÷è èç ôèçèêè è äðóãèõ îáëàñòåé íàóêè è òåõíèêè.
Ðàíåå (ñì. § 8.1) áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî åñëè èçâåñòåí çàêîí s = s(t)
ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, âûðàæàþùèé çàâèñèìîñòü ïóòè s îò âðåìåíè äâèæåíèÿ t, òî ñêîðîñòü òî÷êè âûðàæàåòñÿ
ïðîèçâîäíîé ïóòè ïî âðåìåíè: L = s′(t). Îáðàòíàÿ çàäà÷à: èçâåñòíà ñêîðîñòü ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ òî÷êè L = L (t) êàê ôóíêöèÿ âðåìåíè.
Íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ. ßñíî, ÷òî èñêîìîé ôóíêöèåé s = s(t) áóäåò òàêàÿ, äëÿ êîòîðîé s′(t) = L (t).
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ôóíêöèÿ F(x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé
ôóíêöèåé äëÿ äàííîé ôóíêöèè f(x) (èëè, êîðî÷å, ïåðâîîáðàçíîé äàííîé ôóíêöèè f(x)) íà äàííîì ïðîìåæóòêå, åñëè íà ýòîì ïðîìåæóòêå
F ′(x) = f(x).
3
2
Ï ð è ì å ð. Ôóíêöèÿ F (x) = x ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè f (x) = 3x íà âñåé ÷è3
2
ñëîâîé îñè, òàê êàê ïðè ëþáîì x (x )′ = 3x . Îòìåòèì ïðè ýòîì,÷òî âìåñòå ñ ôóíêöèåé
3
2
3
F (x) = x ïåðâîîáðàçíîé äëÿ f (x) = 3x ÿâëÿåòñÿ ëþáàÿ ôóíêöèÿ Φ(x) = x + C, ãäå C — ïðîèçâîëüíîå ïîñòîÿííîå ÷èñëî (ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ïîñòîÿííîé ðàâíà
íóëþ). Ýòî ñâîéñòâî èìååò ìåñòî è â îáùåì ñëó÷àå.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè F1(x) è F2(x) — äâå ïåðâîîáðàçíûå äëÿ ôóíêöèè
f (x) â íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå, òî ðàçíîñòü ìåæäó íèìè â ýòîì ïðîìåæóòêå ðàâíà ïîñòîÿííîìó ÷èñëó.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü, íàïðèìåð, óêàçàííûé ïðîìåæóòîê
— èíòåðâàë (a; b). Èç îïðåäåëåíèÿ ïåðâîîáðàçíîé èìååì F1′( x ) = f ( x ) è
F 2′( x ) = f ( x ) äëÿ ëþáîãî x èç (a; b).
Ïóñòü α(x) = F2(x) − F1(x). Òîãäà äëÿ ëþáîãî x èç (a; b)
α ′( x ) = F 2′( x ) − F1′( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0,
ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ñëåäñòâèå èç § 8.6, ï. 3), α(x) = C.
Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî åñëè èçâåñòíà êàêàÿ-íèáóäü ïåðâîîáðàçíàÿ F (x) äàííîé ôóíêöèè f (x), òî âñå ìíîæåñòâî ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ
f (x) èñ÷åðïûâàåòñÿ ôóíêöèÿìè F (x) + C.
187
Ïîä÷åðêíåì âàæíûé ôàêò: åñëè ïðîèçâîäíàÿ äëÿ ôóíêöèè îäíà,
ò. å. îïåðàöèÿ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ îäíîçíà÷íà, òî íàõîæäåíèå ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè âîçìîæíî ëèøü ñ òî÷íîñòüþ äî íåêîòîðîãî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Âûðàæåíèå F (x) + C, ãäå F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f (x) è C — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, íàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f(x) è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì ∫ f ( x )dx ,
ïðè÷åì f (x) íàçûâàåòñÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, f (x)dx — ïîäûíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì, x — ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ;∫ — çíàê íåîïðå-
äåëåííîãî èíòåãðàëà. Òàêèì îáðàçîì, ïî îïðåäåëåíèþ
∫ f ( x )dx = F ( x ) +C ,
åñëè F ′(x) = f (x).
Âîçíèêàåò âîïðîñ: äëÿ âñÿêîé ëè ôóíêöèè f (x) ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ, à çíà÷èò, è íåîïðåäåëåííûé èíòåãðàë?  ñâÿçè ñ ýòèì âîïðîñîì
ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùóþ òåîðåìó (ñì. [9], ò. I):
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b], òî íà
ýòîì ñåãìåíòå ó ôóíêöèè f(x) ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ.
Íèæå ìû áóäåì ãîâîðèòü î ïåðâîîáðàçíûõ ëèøü äëÿ íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèé. Ïîýòîìó ðàññìàòðèâàåìûå íàìè äàëåå â ýòîì ïàðàãðàôå èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò.
2. Ñâîéñòâà íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Èç îïðåäåëåíèÿ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà:
d
1.
f ( x )dx = f ( x ),
dx ∫
è, çíà÷èò, d ∫ f ( x )dx = f ( x )dx .
2. ∫ F ′( x )dx = F ( x ) + C ,
÷òî ìîæåò áûòü çàïèñàíî òàê: ∫ dF ( x ) = F ( x ) + C .
3. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíåñòè çà çíàê èíòåãðàëà:
Äåéñòâèòåëüíî, èìååì:
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx .
(1)
[k ∫ f ( x )dx ]′ = k[∫ f ( x )dx ]′ = kf ( x ).
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî:
4. Èíòåãðàë îò ñóììû äâóõ ôóíêöèé ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ îò ýòèõ
ôóíêöèé:
∫[ f ( x ) + f
1
188
2
( x )]dx = ∫ f 1 ( x )dx + ∫ f 2 ( x )dx .
(2)
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Ðàâåíñòâà (1) è (2) ñëåäóåò ïîíèìàòü ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ñâîéñòâî 4 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû
ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé.
3. Òàáëèöà îñíîâíûõ èíòåãðàëîâ. Òàáëèöà ñîäåðæèò ôîðìóëû, ëåãêî
ïðîâåðÿåìûå íåïîñðåäñòâåííûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì:
x µ +1
1
I. ∫ x µ dx =
V. ∫ sin axdx = − cos ax + C .
+ C (µ ≠ −1).
µ +1
a
dx
1
VI. ∫ cos axdx = sin ax + C .
II. ∫
= ln x + C .
x
a
dx
1
ax
VII. ∫
III. ∫ a x dx =
= tg ax + C .
+C .
2
ln a
cos ax a
kx
dx
1
e
VIII. ∫
IV. ∫ e kx dx =
= − ctg ax + C .
+C .
2
a
k
sin ax
xdx
1
2
IX. ∫ 2
= ln x + a + C .
x +a 2
dx
1
x
X. ∫ 2
= arctg + C .
2
a
a
x +a
dx
x
XI. ∫
= arcsin + C .
2
2
a
a −x
dx
XII. ∫
= ln x + x 2 + a + C .
2
x +a
dx
1 
x − a
+ C .
XIII. ∫ 2
=
ln
x − a 2 2a  x + a 
Ïðîâåðèì, íàïðèìåð, ôîðìóëó II. Åñëè x > 0, òî | x | = x è(ln x )′ =
1
1
= (ln x )′ = . Åñëè x < 0, òî | x | = −x è(ln x )′ = (ln( − x ))′ = . Ñëåäîâàòåëüíî,
x
x
ôîðìóëà II ñïðàâåäëèâà êàê ïðè x > 0, òàê è ïðè x < 0.
4. Ïðèìåðû íåïîñðåäñòâåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Ìåòîä íåïîñðåäñòâåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñâÿçàí ñ ïðèâåäåíèåì ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ ê òàáëè÷íîé ôîðìå ïóòåì ïðåîáðàçîâàíèé è ïðèìåíåíèÿ
ñâîéñòâ íåîïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Ï ð è ì å ð 1. ∫ (5x 4 − 3x 2 + 1)dx = 5∫ x 4 dx − 3∫ x 2 dx + ∫ dx = x 5 − x 3 + x + C .
Ï ð è ì å ð 2. ∫
x 6 − x 5 +1
x5 x4 1
dx = ∫ (x 4 − x 3 + x −2 )dx =
−
− + C.
2
x
5
4 x
5
2
Ï ð è ì å ð 3. ∫ ( x − 3 x )2 dx =∫ (x − 2 x 6 + x 3 )dx =
3
+ x 3 x 2 + C.
5
11
5
x 2 12 6 3 3
x 2 12
− x + x +C = − x6 x 5 +
2 11
5
2 11
189
§ 9.2. Îñíîâíûå ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ
1. Çàìåíà ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòîò ñïîñîá ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíûì â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà èíòåãðàë ∫ f ( x )dx (f(x) íåïðåðûâíà) íå ìî-
æåò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ïðåîáðàçîâàí ê âèäó òàáëè÷íîãî. Ñäåëàåì
ïîäñòàíîâêó x = ϕ(t), ãäå ϕ(t) — ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ.Òîãäà
f(x) = f(ϕ(t)), dx = ϕ′(t)dt
è
∫ f ( x )dx = ∫ f ( ϕ(t ))ϕ′(t )dt.
(1)
Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé çàìåíû ïåðåìåííîé â íåîïðåäåëåííîì
èíòåãðàëå.
Ï ð è ì å ð 1. ∫
= 2e t + C = 2e
x
+ C.
e
x
x
2
dx íàéäåì ïîäñòàíîâêîé x = t . Òîãäà dx =2tdt è ∫
e
x
x
dx =2∫ e tdt =
Èíîãäà âìåñòî ïîäñòàíîâêè x = ϕ(t) ëó÷øå âûïîëíèòü çàìåíó ïåðåìåííîé âèäà t = ψ(x).
Ï ð è ì å ð 2. ∫
=∫
dt
t (t + t −1 )
=∫
dx
dx
dt
x
x
. Ïîëàãàÿ t = e , ïîëó÷àåì: dt = e dx = tdx, dx = è ∫ x
=
e x + e −x
e + e −x
t
dt
= arctg t + C = arctg e x + C .
t2 +1
Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåò íåîáõîäèìîñòè çàïèñûâàòü, êàêîå âûðàæåíèå ìû ïðèíèìàåì çà íîâóþ ïåðåìåííóþ.
1
3
2
2
Ï ð è ì å ð 3. ∫ x + 3dx = ∫ (x + 3) 2 d(x + 3) = (x + 3) 2 + C = (x + 3) x + 3 + C .
3
3
1 x2
1 x2
x2
2
Ï ð è ì å ð 4. ∫ xe dx = ∫ e d(x ) = e + C .
2
2
ln 3 x
ln 4 x
Ï ð è ì å ð 5. ∫
+ C.
dx = ∫ ln 3 xd(ln x ) =
x
4
2. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Ïóñòü u = u(x) è L = L(x) — íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè. Êàê èçâåñòíî (ñì. § 8.3, ï. 4), d(uL) =
= Ldu + udL, îòêóäà udL = d(uL) − Ldu. Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, ïîëó÷èì:
èëè
∫ udL = ∫ d (uL) − ∫Ldu,
∫ udL = uL − ∫Ldu
190
(2)
(ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ C çäåñü âêëþ÷åíà â ñëàãàåìîå ∫ Ldu). Ýòî è åñòü ôîðìóëà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì. Ïðèìåíåíèå
ñïîñîáà èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì öåëåñîîáðàçíî â òîì ñëó÷àå, êîãäà
èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè (2) îêàæåòñÿ áîëåå ïðîñòûì äëÿ âû÷èñëåíèÿ,
÷åì èñõîäíûé èíòåãðàë.
Ï ð è ì å ð 1. ∫ ln{x dx
{ = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C .
u
dL
Ï ð è ì å ð 2. ∫ {
x e x dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C .
123
u
dL
xdx
1
Ï ð è ì å ð 3. ∫ arctg x dx
= x arctg x − ∫
= x arctg x − ln(1 + x 2 ) + C.
2
123 {
1
+
x
2
dL
u
Èíîãäà ïîëåçíî ïîâòîðíîå èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì.
Ï ð è ì å ð 4.
cos xdx =x
∫ x{ 1
424
3
2
u
dL
2
x sin xdx =x 2 sin x +2 x cos x − 2∫ cos xdx =x 2 sin x +
sin x − 2∫ {
1
424
3
u
dL
+2 x cos x − 2 sin x + C .
§ 9.3. Èíòåãðèðîâàíèå äðîáíî-ðàöèîíàëüíûõ ôóíêöèé
1. Âûäåëåíèå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè. Êàê èçâåñòíî (ñì. § 7.2,
ï. 2), äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé (èëè ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ) íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ.
Ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé (íåïðàâèëüíîé), åñëè
ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà, ñòîÿùåãî â ÷èñëèòåëå, ìåíüøå (áîëüøå èëè ðàâíà)ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà, ñòîÿùåãî â çíàìåíàòåëå.
Íàïðèìåð, äðîáè
x5
3x + 2
x +2
,
,
ïðàâèëüíûå,
x 2 − 4 x + 12 x 2 − 1 x 6 − 1
à äðîáè
x5
x 3 −1 x +1
,
,
íåïðàâèëüíûå.
2
x + 1 x + 1 3x − 1
Íåïðàâèëüíóþ ðàöèîíàëüíóþ äðîáü âñåãäà ìîæíî ñâåñòè ê ïðàâèëüíîé, ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü íà çíàìåíàòåëü «ñòîëáèêîì» è âûäåëèâ
èç äðîáè öåëóþ ÷àñòü, ò. å. ìíîãî÷ëåí.
Ï ð è ì å ð.
x 4 − x 3 +1
4x + 1
.
= (x 2 − 2 x ) + 2
x2 + x +2
x + x +2
Ïîýòîìó áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó èíòåãðèðîâàíèÿ ïðàâèëüíîé
ðàöèîíàëüíîé äðîáè, òàê êàê èíòåãðèðîâàíèå ìíîãî÷ëåíà íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà.
191
Êàê áóäåò âèäíî íèæå (ñì. ï. 3), âñÿêóþ ïðàâèëüíóþ ðàöèîíàëüíóþ
äðîáü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà òàê íàçûâàåìûõ ïðîñòåéøèõ äðîáåé ñëåäóþùèõ ÷åòûðåõ òèïîâ:
A
A
(k = 2, 3, ).
I.
.
II.
x −a
( x − a) k
Mx + N
Mx + N
III.
.
IV.
(l = 2, 3, ),
2
2
x + px + q
( x + px + q )l
2
ãäå A, a, p, q, M, N — ïîñòîÿííûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, à òðåõ÷ëåí x +
p2
+ px + q íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé, ò. å.
− q < 0.
4
2. Èíòåãðèðîâàíèå ïðîñòåéøèõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.Èíòåãðèðîâàíèå ïðîñòåéøèõ äðîáåé I è II òèïîâ íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà. Â ñàìîì
äåëå,
d( x − a)
Adx
∫ x − a = A ∫ x − a = A ln x − a +C ,
Adx
A
−k
∫ ( x − a ) k = A ∫( x − a ) d ( x − a ) = (1 − k )( x − a ) k −1 +C .
Ïåðåéäåì ê èíòåãðèðîâàíèþ ïðîñòåéøåé äðîáè III òèïà. Ïîäñòàp
p2
1
íîâêà t = ( x 2 + px + q )′, ò. å. t = x + , è îáîçíà÷åíèå q −
= α 2 äàþò
4
2
2
2
p
p2

= t 2 + α 2 , Mx + N = Mt + D, ãäå D = N −
x 2 + px + q =  x +  + q −

2
4
1
− Mp. Ïîýòîìó
2
2tdt
Mx + N
Mt + D
M
∫ x 2 + px + q dx = ∫ t 2 + α 2 dt = 2 ∫ t 2 + α 2 +
dt
M
D
t
ln(t 2 + α 2 ) + arctg + C ,
+D ∫ 2
=
2
α
α
t +α2
p
ãäå t = x + .
2
Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, èíòåãðèðîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé IV òèïà.
p
p2
Ñ ïîìîùüþ òîé æå ïîäñòàíîâêè t = x + ïðè l > 1 è
− q < 0 ïîëó÷àåì:
4
2
Mx + N
Mt + D
tdt
dt
∫ ( x 2 + px + q )l dx = ∫ (t 2 + α 2 )l dt = M ∫ (t 2 + α 2 )l + D ∫ (t 2 + α 2 )l =
M
dt
.
=
( t 2 + α 2 ) −l d ( t 2 + α 2 ) + D ∫ 2
2 ∫
(t + α 2 ) l
192
Èíòåãðàë ∫ (t 2 + α 2 ) −l d (t 2 + α 2 ) òàáëè÷íûé.
dt
ïîëó÷èì ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó, ò. å.
(t 2 + α 2 ) l
ôîðìóëó, ñâîäÿùóþ âû÷èñëåíèå Il ê âû÷èñëåíèþ Il − 1. Ñ ýòîé öåëüþ
ðàññìîòðèì èíòåãðàë
Äëÿ èíòåãðàëà I l = ∫
I l −1 = ∫
dt
2
(t + α 2 )l −1
è ïðèìåíèì ê íåìó ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëîæèâ
u=
1
(t 2 + α 2 )l −1
, dv = dt,
îòêóäà
du = −
(l − 1)2tdt
(t 2 + α 2 ) l
, L = t.
Òîãäà
I l −1 =
t
(t 2 + α 2 )l −1
t
+ 2(l − 1)∫
+ 2(l − 1)∫
t 2 dt
(t 2 + α 2 ) l
=
(t 2 + α 2 ) − α 2
dt =
(t 2 + α 2 )l −1
(t 2 + α 2 ) l
t
= 2
+ 2(l − 1)I l −1 − 2(l − 1)α 2 I l .
(t + α 2 )l −1
=
Îòñþäà
2(l − 1)α 2 I l =
t
(t 2 + α 2 )l −1
+ (2l − 3)I l −1 ,
è, ñëåäîâàòåëüíî,
Il =
t
2
2 l −1
2
α (2l − 2)(t + α )
+
1 2l − 3
I l −1 .
α 2 2l − 2
(1)
Ôîðìóëà (1) è åñòü ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà. Ïåðåõîäÿ îò l ê l −1, îò l − 1 ê
l − 2 è ò. ä., äîéäåì äî òàáëè÷íîãî èíòåãðàëà
I1 = ∫
dt
.
t2 +α2
 ðåçóëüòàòå áóäåò èçâåñòåí è Il.
193
3. Ðàçëîæåíèå ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè íà ïðîñòåéøèå. Ïóñòü
äàíà ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ äðîáü
P( x )
.
Q( x )
(2)
Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò ó
ñòàðøåãî ÷ëåíà ìíîãî÷ëåíà Q(x) ðàâåí åäèíèöå, òàê êàê â ñëó÷àå, êîãäà
îí ðàâåí êàêîìó-òî äðóãîìó ÷èñëó (îòëè÷íîìó îò íóëÿ), ìîæíî ðàçäåP( x )
íà ýòî ÷èñëî, ïîñëå ÷åãî ó ïîëèòü ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè
Q( x )
ëó÷èâøåãîñÿ â çíàìåíàòåëå ìíîãî÷ëåíà êîýôôèöèåíò ó ñòàðøåãî ÷ëåíà îêàæåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå.
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû âõîäÿùèõ â íåå ìíîãî÷ëåíî⠗ äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Êàê óñòàíîâëåíî â § 7.7 (ï. 6), äëÿ ìíîãî÷ëåíà ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè èìååò ìåñòî ñîîòâåòñòâóþùåå ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè (ñì. § 7.7, (8)). Ïóñòü äëÿ
îïðåäåëåííîñòè çíàìåíàòåëü Q(x) ðàçëàãàåòñÿ íà ìíîæèòåëè ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Q(x) = (x − a)k(x2 + px + q)l,
(3)
2
p
− q < 0. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (ñì., íàïðèìåð, [9],
4
ò. 1):
Ò å î ð å ì à. Äëÿ äðîáè (2), çíàìåíàòåëü êîòîðîé èìååò âèä (3), ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàçëîæåíèå íà ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé:
ãäå
A1
Ak
M x +N1
M x +N 2
A2
P( x )
+ 2 2
+ ...
=
+
+ ... +
+ 21
2
k
Q( x ) x − a ( x − a )
x + px + q ( x + px + q ) 2
( x − a)
... +
Ml x +Nl
( x 2 + px + q )l
,
(4)
ãäå A1, A2, , Ak, M1, N1, M2, N2, , Ml, Nl — ïîñòîÿííûå äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà.
Èç ôîðìóëû (4) âèäíî, ÷òî ëèíåéíîìó ìíîæèòåëþ x − a çíàìåíàòåëÿ Q(x) ñîîòâåòñòâóþò â ðàçëîæåíèè (4) ïðîñòåéøèå äðîáè I è II
òèïîâ, à êâàäðàòè÷íîìó ìíîæèòåëþ x2 + px + q — ïðîñòåéøèå äðîáè
III è IV òèïîâ. Ïðè ýòîì ÷èñëî ïðîñòåéøèõ äðîáåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ äàííîìó ìíîæèòåëþ (ëèíåéíîìó èëè êâàäðàòè÷íîìó), ðàâíî
ïîêàçàòåëþ ñòåïåíè, ñ êîòîðûì ýòîò ìíîæèòåëü âõîäèò â ðàçëîæåíèå çíàìåíàòåëÿ äðîáè íà ìíîæèòåëè. Ïðàâèëî ðàçëîæåíèÿ ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì ([9], ò. I) è ïðè
194
ëþáîì êîíå÷íîì ÷èñëå ëèíåéíûõ è êâàäðàòè÷íûõ ìíîæèòåëåé, âõîäÿùèõ â ðàçëîæåíèå çíàìåíàòåëÿ Q(x).
4. Ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Îäíèì èç íàèáîëåå ïðîñòûõ ìåòîäîâ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ðàçëîæåíèè ïðàâèëüíîé
äðîáè íà ïðîñòåéøèå ÿâëÿåòñÿ ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïîÿñíèì ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà íà ïðèìåðå.
Ï ð è ì å ð. Ðàçëîæèòü íà ïðîñòåéøèå äðîáè ïðàâèëüíóþ äðîáü
2x + 3
.
(x + 1)(x 2 + x + 1)
Óáåäèâøèñü, ÷òî êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x2 + x + l èìååò êîìïëåêñíûå êîðíè, èùåì ñîãëàñíî òåîðåìå èç ï. 3 ðàçëîæåíèå â âèäå
2x + 3
A
Mx + N
,
=
+
(x + 1)(x 2 + x + 1) x + 1 x 2 + x + 1
(5)
ãäå êîýôôèöèåíòû A, M, N íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü. Äëÿ ýòîãî ïðèâîäèì ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ äðîáè, ñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíèÿ (5). Ïðèðàâíèâàåì ÷èñëèòåëè èñõîäíîé äðîáè è òîé, êîòîðàÿ áóäåò ïîëó÷åíà:
2x + 3 = A(x2 + x + 1) + (Mx + N)(x + 1).
(6)
Êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ òîæäåñòâà (6) äîëæíû áûòü
2
0
ðàâíû. Çàïèñûâàÿ ýòî óñëîâèå ïîñëåäîâàòåëüíî äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ïðè x , x è x , ïîëó÷èì:
 A + M = 0,

 A + M + N = 2,
 A + N = 3.

Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, íàéäåì A = 1, M = −1, N = 2. Íàêîíåö, ïîäñòàâëÿÿ â ðàâåíñòâî (5) íàéäåííûå çíà÷åíèÿ A, M, N, îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì:
2x + 3
1
−x + 2
.
=
+
(x + 1)(x 2 + x + 1) x + 1 x 2 + x + 1
5. Èíòåãðèðîâàíèå ïðàâèëüíûõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà îò ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè íàäî ýòó äðîáü ðàçëîæèòü íà ïðîñòåéøèå ñîãëàñíî òåîðåìå èç ï. 3 è íàéòè èíòåãðàë îò ïîëó÷åííîé ñóììû ïðîñòåéøèõ äðîáåé. Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë îò
ëþáîé ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáè åñòü ôóíêöèÿ ýëåìåíòàðíàÿ,
ïîòîìó ÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñóììó ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé, êîòîðûå ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîñòåéøèõ äðîáåé.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè
∫x
5x 2 − 14x + 11
dx .
3
− 3x 2 + 3x − 1
195
3
2
3
Òàê êàê x − 3x + 3x − 1 = (x − 1) , òî, ïîëó÷èâ ðàçëîæåíèå äðîáè
ñòåéøèå è ïðîèíòåãðèðîâàâ èõ, ïîëó÷èì:
∫x
5x 2 − 14x + 11
íà ïðî(x − 1)3
5x 2 − 14x + 11
4
2 
 5
dx = ∫ 
−
+
dx =
3
 x − 1 (x − 1)2 (x − 1)3 
− 3x 2 + 3x − 1
= 5 ln x − 1 +
4
1
−
+ C.
x − 1 (x − 1)2
§ 9.4. Èíòåãðèðîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé
1. Èíòåãðàëû âèäà ∫ sin ax sin bxdx , ∫ cos ax cos bxdx , ∫ sin ax cos bxdx . Ýòè
èíòåãðàëû ñ ïîìîùüþ èçâåñòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôîðìóë ïðèâîäÿòñÿ ê èíòåãðàëàì
1
∫ cosγxdx = γ sin γx +C ,
1
∫ sin γxdx = − γ cos γx +C .
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ∫ cos 8x cos 6xdx .
1
Òàê êàê cos 8x cos 6x = (cos 2 x + cos14x ), òî
2
1
sin 2 x sin14x
∫ cos 8x cos 6xdx = 2 ∫ (cos 2 x + cos14xdx ) = 4 + 28 + C .
2. Èíòåãðàëû âèäà I n , m = ∫ sin n x cos m xdx , ãäå n è m — íàòóðàëüíûå
÷èñëà. Åñëè n è m ÷åòíûå, òî èíòåãðàëû In, m íàõîäÿòñÿ ñ ïîìîùüþ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôîðìóë
1
1
1
sin 2 x = (1 − cos 2 x ), cos 2 x = (1 + cos 2 x ), sin x cos x = sin 2 x .
2
2
2
Åñëè õîòÿ áû îäíî èç ÷èñåë n è m íå÷åòíîå, òî îò íå÷åòíîé ñòåïåíè
îòäåëÿåòñÿ ìíîæèòåëü ïåðâîé ñòåïåíè è ââîäèòñÿ íîâàÿ ïåðåìåííàÿ.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ∫ sin 8 x cos5 xdx . Èìååì:
∫ sin
8
x cos5 xdx = ∫ sin 8 x (1 − sin 2 x )2 d sin x =
sin 9 x 2 sin11 x sin13 x
−
+
+ C.
9
11
13
3. Èíòåãðàëû âèäà ∫ R (sin x , cos x )dx , ãäå R(u, v) — ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ àðãóìåíòîâ u è v. Çàìåòèì, ÷òî ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ äâóõ àðãóìåíòî⠗ ýòî îòíîøåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ äâóõ ïåðåìåííûõ, à ìíîãî÷ëåíîì äâóõ ïåðåìåííûõ u è v íàçûâàåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé âèäà amnumvn
(m, n — öåëûå íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, amn — ïîñòîÿííûå ÷èñëà). Ïîêà-
196
æåì, ÷òî èíòåãðàë ∫ R(sin x , cos x )dx ìîæåò áûòü ñâåäåí ê èíòåãðàëó îò
x
ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè àðãóìåíòà t ïîäñòàíîâêîé t = tg . Äåéñòâè2
òåëüíî,
x
x
2
2 sin cos
2tg
2
2 =
x = 2t ,
sin x =
x 1+t2
2 x
2 x
sin
+ cos
1 + tg 2
2
2
2
x
x
x
1 − tg 2
cos 2 − sin 2
2
2
2 =
2 = 1−t .
cos x =
x
x
x 1+t2
1 + tg 2
sin 2 + cos 2
2
2
2
x
2dt
Èç ïîäñòàíîâêè t = tg ñëåäóåò, ÷òî x = 2 arctg t, dx =
. Òàêèì îá2
1
+t2
ðàçîì,
 2t 1 − t 2  2dt
R
(sin
x
,
cos
x
)
dx
=
R
∫
∫  1 + t 2 , 1 + t 2  1 + t 2 = ∫ R1 (t )dt,
ãäå R1(t) — ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ t.
Ï ð è ì å ð. ∫
dx
1 + t 2 2dt
dt
x
=
⋅
=
= ln t + C = ln tg + C .
sin x ∫ 2t 1 + t 2 ∫ t
2
§ 9.5. Èíòåãðèðîâàíèå ïðîñòåéøèõ èððàöèîíàëüíîñòåé
1. Èíòåãðàëû ñ ëèíåéíîé èððàöèîíàëüíîñòüþ. Åñëè ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò ëèøü ëèíåéíóþ èððàöèîíàëüíîñòü n ax + b
(a ≠ 0), òî ïîëåçíà ïîäñòàíîâêà
t = n ax + b .
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ∫
3
dx
.
x +1
Ïîëàãàåì, ÷òî t = 3 x + 1, îòñþäà
x = t3 − l, dx =3t2dt.
Èìååì:
∫
2
3
dx
3t 2 dt
3
3
=
= 3∫ tdt = t 2 + C = (x + 1) 3 + C .
2
2
x +1 ∫ t
2. Èíòåãðàëû ñ êâàäðàòè÷íîé èððàöèîíàëüíîñòüþ.
1. Èíòåãðàë
dx
∫
Ax 2 + Bx + C
(1)
197
2
ñ ïîìîùüþ äîïîëíåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà Ax + Bx + C äî ïîëíîãî
êâàäðàòà ïðèâîäèòñÿ â çàâèñèìîñòè îò çíàêà A ê îäíîìó èç äâóõ òàáëè÷íûõ èíòåãðàëîâ XI, XII (ñì. òàáëèöó îñíîâíûõ èíòåãðàëîâ).
2. Èíòåãðàë
Mx + N
∫ Ax 2 + Bx +C dx
ïðèâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó (1) ñëåäóþùèì ïóòåì:
∫
(Mx + N )dx
2
=∫
MB  MB

+N
−
 Mx +

2A  2A
2
dx =
(2 Ax + B )dx
M
+
∫
2A
Ax 2 + Bx + C
Ax + Bx + C
Ax + Bx + C
MB 
dx
M

=
+ N −
Ax 2 + Bx + C +


2 A  ∫ Ax 2 + Bx + C
A
MB 
dx

.
+ N −
∫
2


2A
Ax + Bx + C
3. Íàéäåì èíòåãðàëû
Èìååì:
∫
x 2 + b dx = ∫
∫
2
(2)
∫
a 2 − x 2 dx .
(3)
2
x +b
ïî ÷àñòÿì, ïîëàãàÿ u = x, dv =
x 2 dx
x 2 + b dx ,
x 2 +b
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà ∫
âàòåëüíî,
∫
dx = ∫
x 2 dx
x 2 +b
xdx
2
x +b
x 2 dx
2
x +b
dx
+ b∫
x 2 +b
.
ïðèìåíèì ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ
, òîãäà du = dx, v = x 2 + b . Ñëåäî-
= x x 2 + b − ∫ x 2 + b dx .
x +b
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ðàâåíñòâî (4), ïîëó÷èì:
∫
x 2 + b dx = x x 2 + b − ∫ x 2 + b dx + b ∫
èëè
2 ∫ x 2 + b dx = x x 2 + b + b ∫
198
(4)
dx
x 2 +b
dx
x 2 +b
,
,
îòêóäà
1
x 2 + b dx = ( x x 2 + b + b ln x + x 2 + b ) + C .
2
∫
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
1
x
2
2
2
2
2
∫ a − x dx = 2  x a − x + a arcsin a  +C .
4. Èíòåãðàë ∫ Ax 2 + Bx + C dx â çàâèñèìîñòè îò çíàêà A ïðèâîäèòñÿ
ê îäíîìó èç èíòåãðàëîâ âèäà (2), (3).
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Çàêàí÷èâàÿ ìåòîäû èíòåãðèðîâàíèÿ, çàìåòèì, ÷òî õîòÿ äëÿ âñÿêîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíàÿ (§ 9.1, ï. 1, òåîðåìà 2), íî ýòà ïåðâîîáðàçíàÿ íå äëÿ âñÿêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé. Íàïðèìåð, äëÿ
2
ôóíêöèè e − x ïåðâîîáðàçíàÿ íå âûðàæàåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.  ýòîì ñëó÷àå ãî2
âîðÿò, ÷òî èíòåãðàë ∫ e − x dx íå áåðåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ.
§ 9.6. Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Ç à ä à ÷ à î ï ð î é ä å í í î ì ï ó ò è. Òðåáóåòñÿ íàéòè ïóòü,
ïðîéäåííûé äâèæóùåéñÿ ïî ïðÿìîé òî÷êîé çà îòðåçîê âðåìåíè [t0; T],
åñëè èçâåñòåí çàêîí èçìåíåíèÿ ìãíîâåííîé ñêîðîñòè L = L(t). Ðàçîáüåì
îòðåçîê âðåìåíè [t0; T ] ìîìåíòàìè âðåìåíè (òî÷êàìè) t0 < t1 < t2 < < tn =
= T íà n îòðåçêîâ âðåìåíè (÷àñòè÷íûõ îòðåçêîâ) è ïîëîæèì ∆tk = tk − tk − 1,
k = l, 2, , n. Íàèáîëüøóþ èç ýòèõ ðàçíîñòåé îáîçíà÷èì ÷åðåç λ: λ =
= max ∆tk. Åñëè ýòè îòðåçêè äîñòàòî÷íî ìàëû, òî áåç áîëüøîé îøèáêè
íà êàæäîì èç íèõ äâèæåíèå ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíîìåðíûì, ÷òî äàåò
ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ ïóòè
s ≈ L(τ1)∆t1 + L(τ2)∆t2 +
+ L(τn)∆tn,
ãäå τn — îäíà èç òî÷åê ñåãìåíòà [tk − 1; tk]. Ýòà ñóììà (åå êðàòêî áóäåì îáîçíà÷àòü
n
∑L( τ
k =1
k
)∆t k ) áóäåò òåì òî÷íåå âûðàæàòü èñêîìûé ïóòü s, ÷åì
ìåíüøå áóäåò êàæäûé èç âðåìåííûõ îòðåçêîâ [tk − 1; tk] k = l, 2, , n. Ïîýòîìó çà ïóòü s, ïðîéäåííûé òî÷êîé çà âðåìÿ T − t0 ñî ñêîðîñòüþ L = L(t),
åñòåñòâåííî ïðèíÿòü:
n
s = lim ∑ L( τ k )∆t k .
λ→ 0
(1)
k =1
Ð à á î ò à ï å ð å ì å í í î é ñ è ë û. Ïóñòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà
ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû F ïåðåìåùàåòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ ýòîé
199
ñèëû. Åñëè ïðîéäåííûé ïóòü ðàâåí s, òî, êàê èçâåñòíî èç êóðñà ôèçèêè,
ðàáîòà A ýòîé ñèëû F âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
A = Fs.
Ïóñòü òåïåðü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïî îñè Ox îò òî÷êè A(a)
äî òî÷êè B(b) (b > a) ïîä äåéñòâèåì ïåðåìåííîé ñèëû, íàïðàâëåííîé ïî
îñè Ox è ÿâëÿþùåéñÿ ôóíêöèåé îò x:
F = f(x).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàáîòû A â ýòîì ñëó÷àå ðàçîáüåì îòðåçîê [a; b] òî÷êàìè
a = x0 < x1 < < xn = b íà n ÷àñòè÷íûõ îòðåçêîâ è ïîëîæèì ∆xk = xk − xk − 1,
k = 1, 2, , n. Íàèáîëüøóþ èç ýòèõ ðàçíîñòåé îáîçíà÷èì ÷åðåç λ =
= max ∆xk . Åñëè ýòè îòðåçêè äîñòàòî÷íî ìàëû, òî áåç áîëüøîé îøèáêè
íà êàæäîì èç íèõ ñèëó F ìîæíî ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé (ðàâíîé f(τk)), ÷òî
äàåò ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ ðàáîòû
n
A ≈ ∑ f ( τ k )∆x k ,
k =1
ãäå τk — îäíà èç òî÷åê ñåãìåíòà [xk − 1; xk]. Îòñþäà
n
A = lim ∑ f ( τ k )∆x k .
λ→ 0
(2)
k =1
Çàäà÷à î ïëîùàäè êðèâîëèíåéíîé òðàïåö è è. Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû aABb
(ðèñ. 109), îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f(x), íåïðåðûâíîé è
íåîòðèöàòåëüíîé íà ñåãìåíòå [a; b], è îòðåçêàìè ïðÿìûõ y = 0, x = a,
x = b. Ýòà ôèãóðà íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a; b] òî÷êàìè a = x0 < x1 < <xn = b íà n ÷àñòè÷íûõ îòðåçêîâ è
ïîëîæèì ∆xk = xk − xk − 1, k = 1, 2, , n. Íàèáîëüøóþ èç ýòèõ ðàçíîñòåé
Ðèñ. 109
200
îáîçíà÷èì ÷åðåç λ: λ = max ∆xk. Íà êàæäîì ÷àñòè÷íîì ñåãìåíòå [xk − 1;
xk], k = 1, 2, , n, âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó τk (xk − 1 ≤ τk ≤ xk). Ïðîèçâåäåíèå f(τk)∆xk äàñò ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, èìåþùåãî îñíîâàn
íèå ∆xk è âûñîòó f(τk), à ñóììà ∑ f ( τ k )∆x k — ïðèáëèæåííî ïëîùàäü
k =1
S êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè aABb. Îòñþäà, êàê è â ïðåäûäóùèõ
çàäà÷àõ,
n
S = lim ∑ f ( τ k )∆x k .
λ→ 0
(3)
k =1
2. Ïîíÿòèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Èç ðåøåíèÿ ïðèâåäåííûõ òðåõ
çàäà÷ ìû âèäèì, ÷òî õîòÿ îíè èìåþò ðàçëè÷íûé ñìûñë, íî ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ èõ ðåøåíèÿ îäèí í òîò æå. Âî âñåõ ýòèõ çàäà÷àõ ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèå îäíîãî è òîãî æå âèäà
n
lim ∑ f ( τ k )∆x k .
λ→ 0
(4)
k =1
Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë (4), íå çàâèñÿùèé îò ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ
îòðåçêà [a; b] è âûáîðà òî÷åê τk, òî ýòîò ïðåäåë áóäåì íàçûâàòü îïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì ôóíêöèè f(x) íà îòðåçêå [a; b] è îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì
b
n
∫ f ( x )dx = lim ∑ f ( τ
a
λ→ 0
k =1
k
)∆x k .
Ôóíêöèÿ f(x) â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé íà îòðåçêå
[a; b]. Ïðè ýòîì f(x) íàçûâàåòñÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, f(x)dx —
ïîäûíòåãðàëüíûì âûðàæåíèåì, ÷èñëà a è b — ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ
n
(a — íèæíèé ïðåäåë, b — âåðõíèé ïðåäåë), à ñóììà ∑ f ( τ k )∆x k — èíòåk =1
ãðàëüíîé ñóììîé.
Î÷åâèäíî, åñëè ôóíêöèÿ f(x) èíòåãðèðóåìà íà îòðåçêå [a; b], òî îíà
íà íåì îãðàíè÷åíà.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (îíà äîêàçûâàåòñÿ â áîëåå ïîëíûõ
êóðñàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà — ñì., íàïðèìåð, [11]):
Ò å î ð å ì à. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] òî îíà
èíòåãðèðóåìà íà ýòîì îòðåçêå.
 óñëîâèÿõ ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷, ïðèâåäøèõ ê ïîíÿòèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà, âûðàæåíèÿ âèäà (1) — (3) (ïðåäåëû ñóìì) ÿâëÿþòñÿ îïðåäåëåííûìè èíòåãðàëàìè. Ðàññìîòðèì ýòî ïîäðîáíåå.
1. Ïóòü s, ïðîéäåííûé òî÷êîé ïî ïðÿìîé çà âðåìÿ T − t0 ñî ñêîðîñòüþ
T
L = L(t) (L(t) íåïðåðûâíà íà [t0; T]), åñòü ∫ L(t )dt.
t0
201
2. Åñëè ïåðåìåííàÿ ñèëà F = f(x) äåéñòâóåò â íàïðàâëåíèè îñè Ox
(f(x) íåïðåðûâíà íà [a; b]), òî ðàáîòà ýòîé ñèëû íà îòðåçêå [a; b] îñè Ox
ðàâíà
b
∫ f ( x )dx .
a
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà âû÷èñëåíèå ðàáîòû ñèëû ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ
çàêîí Ãóêà
F = kx,
ãäå F — ñèëà (Í), x — âåëè÷èíà ðàñòÿæåíèÿ èëè ñæàòèÿ (ì),âûçâàííîãî
ñèëîé F, a k — êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
3. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà îòðåçêå [a; b],
òî
b
∫ f ( x )dx ãåîìåòðè÷åñêè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé
a
òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì ôóíêöèè y =f(x), ñíèçó – îòðåçêîì [a; b] îñè Ox, ñ áîêî⠖ îòðåçêàìè ïðÿìûõ x = a, x = b.
§ 9.7. Îñíîâíûå ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1. Ñâîéñòâà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Íèæå ðàññìàòðèâàåì ôóíêöèè, íåïðåðûâíûå íà îòðåçêå [a; b]. Ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò, ÷òî îïðåäåëåííûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè ñ ðàâíûìè âåðõíèì è íèæíèì ïðåäåëàìè èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâåí íóëþ:
a
∫ f ( x )dx = 0.
a
1. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà:
b
b
a
a
∫ Af ( x )dx = A ∫ f ( x )dx .
Äåéñòâèòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà êàê ïðåäåëà èíòåãðàëüíîé ñóììû èìååì:
b
n
n
∫ Af ( x )dx = lim ∑ Af ( τ k )∆x k = lim A∑ f ( τ k )∆x k =
λ→ 0
a
λ→ 0
k =1
n
b
k =1
a
k =1
= A lim ∑ f ( τ k )∆x k = A ∫ f ( x )dx .
λ→ 0
Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ ñâîéñòâî:
2. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë îò ñóììû äâóõ ôóíêöèé ðàâåí ñóììå îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé:
b
b
b
a
a
a
∫( f 1 ( x ) + f 2 ( x ))dx = ∫ f 1 ( x )dx + ∫ f 2 ( x )dx .
202
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ñâîéñòâî 2 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû
ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé.
3. Ïðè ïåðåñòàíîâêå ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëåííûé èíòåãðàë
ìåíÿåò çíàê íà ïðîòèâîïîëîæíûé:
b
a
a
b
∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx .
Äåéñòâèòåëüíî, çäåñü ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå ñóììû ðàçëè÷àþòñÿ ïî çíàêó, èáî â îäíîé èç íèõ âñå ∆xk = xk − xk − 1 ïîëîæèòåëüíû,
à â äðóãîé àíàëîãè÷íûå ðàçíîñòè âñå îòðèöàòåëüíû.
4. Èíòåãðàë ïî îòðåçêó ðàâåí ñóììå èíòåãðàëîâ ïî åãî ÷àñòÿì:
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx , ãäå a < c < b.
Ýòî ñâîéñòâî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
5. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) > 0 íà îòðåçêå [a; b], òî
b
∫ f ( x )dx > 0.
a
Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç ãåîìåòðè÷åñêîãî
ñìûñëà îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
2. Ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà.
Ò å î ð å ì à. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b] è F(x) —
ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f(x) íà ýòîì îòðåçêå, òî
b
∫ f ( x )dx = F (b) − F (a ).
(1)
a
Ôîðìóëà (1) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Íüþòîíà — Ëåéáíèöà. (Íüþòîí è
Ëåéáíèö — ñîçäàòåëè äèôôåðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèé.) Ýòà ôîðìóëà äàåò óäîáíîå ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííîãî
èíòåãðàëà. Êðîìå òîãî, îíà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó îïðåäåëåííûì
èíòåãðàëîì è íåîïðåäåëåííûì èíòåãðàëîì.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàçîáüåì ñåãìåíò [a; b] íà n ÷àñòè÷íûõ îòðåçêîâ òî÷êàìè a = õ0 < x1 < x2 < < xn = b.  ñèëó ôîðìóëû Ëàãðàíæà
(§ 8.6, ï. 3) è ôîðìóëû F′(x) = f(x) èìååì:
F(x1) − F(a) = F′(cl)(xl − a) = f(cl)∆x1, a < cl < xl,
F(x2) − F(x1) = F′(c2)(x2 − xl) = f(c2)∆x2, x1 < c2 < x2,
............................................
F(b) − F(xn − 1) = F′(cn)(b − xn − 1) = f(cn)∆xn, xn − 1 < cn < b.
203
Ñóììèðóÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì:
n
F (b) − F (a ) = ∑ f (c k )∆x k .
(2)
k =1
Òàê êàê ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b],òî
n
b
k =1
a
lim ∑ f (c k )∆x k = ∫ f ( x )dx .
λ→ 0
Ïîýòîìó, ïåðåõîäÿ â ðàâåíñòâå (2) ê ïðåäåëó ïðè λ → 0, ïîëó÷èì èñêîìóþ ôîðìóëó (1).
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè óïîòðåáëÿåòñÿ îáîçíà÷åíèå F (x )| ba =
= F (b) − F (a) èëè [F (x )]ba = F (b) − F (a). Ïîýòîìó ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà ïðèíèìàåò âèä:
b
∫ f (x )dx = F (x )|
b
a
a
èëè
b
∫ f (x )dx = [F (x )] .
b
a
a
Çàìåòèì, ÷òî â ôîðìóëå (1) ìîæíî âçÿòü ëþáóþ èç ïåðâîîáðàçíûõ äëÿ
f(x), òàê êàê [F ( x ) + C ]ba = F (b) + C − F (a ) − C = F (b) − F (a ).
1
Ï ð è ì å ð 1. ∫ 2 xdx = x 2 |10 = 1.
0
π
2
π
Ï ð è ì å ð 2. ∫ cos xdx = sin x | 02 = sin
0
π
− sin 0 = 1.
2
2
2
2
2
3
2
Ï ð è ì å ð 3. ∫ (3x 4 + 2 x 2 − 5)dx = 3∫ x 4dx + 2∫ x 2dx − 5∫ dx = x 5 |12 + x 3 |12 −5x |12 =
5
3
1
1
1
1
3
2
274
.
= (2 5 − 1) + (2 3 − 1) − 5(2 − 1) =
5
3
15
Ç à ä à ÷ à. Îïðåäåëèòü ðàáîòó A, íåîáõîäèìóþ
äëÿ çàïóñêà ðàêåòû ìàññîé mð ñ ïîâåðõíîñòè Çåìëè
âåðòèêàëüíî ââåðõ íà âûñîòó h (ðèñ. 110).
Ð å ø å í è å. Îáîçíà÷èì ÷åðåç F âåëè÷èíó ñèëû
ïðèòÿæåíèÿ ðàêåòû Çåìëåé. Ïóñòü mç — ìàññà Çåìëè. Ñîãëàñíî çàêîíó Íüþòîíà
F =k
Ðèñ. 110
204
mðmç
x2
,
ãäå x — ðàññòîÿíèå îò ðàêåòû äî öåíòðà Çåìëè. Ïîγ
ëàãàÿ kmðmç =γ, ïîëó÷èì F ( x ) = 2 , R ≤ x ≤ h + R, R —
x
ðàäèóñ Çåìëè. Ïðè x = R ñèëà F (R) =
2
γ =PR è F ( x ) =
γ
R2
ðàâíà âåñó P ðàêåòû, ïîýòîìó
PR 2
. Çíà÷èò (§ 9.6, ï. 2),
x2
A=
R +h
R +h
R
R
2
∫ F ( x )dx = PR
∫
1
dx
PRh
.
= −PR 2 | RR + h =
2
x
R +h
x
3. Îïðåäåëåííûé èíòåãðàë ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì. Ïóñòü
ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b]. Ðàññìîòðèì èíòåãðàë
x
∫ f (t )dt,
a
ãäå x — ëþáàÿ òî÷êà èç [a; b].
Åñëè F(x) — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f(x), ò.å. F′(x) = f(x), òî ñîãëàñíî
ôîðìóëå Íüþòîíà — Ëåéáíèöà èìååì:
x
∫ f (t )dt = F ( x ) − F (a ).
a
Îòñþäà
x
d
d
f (t )dt = (F ( x ) − F (a )) = f ( x ).
∫
dx a
dx
Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ñ ïåðåìåííûì âåðõíèì ïðåäåëîì ïî ýòîìó ïðåäåëó ðàâíà çíà÷åíèþ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè
äëÿ ýòîãî ïðåäåëà.
4. Òåîðåìà î ñðåäíåì.
Ò å î ð å ì à. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b], òî â èíòåðâàëå (a; b) íàéäåòñÿ òàêàÿ òî÷êà c, ÷òî
b
∫ f ( x )dx = (b − a ) f (c).
(3)
a
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà — Ëåéáíèöà
èìååì:
b
∫ f ( x )dx = F (b) − F (a ),
a
ãäå F ′(x) = f(x). Íî â ñèëó ôîðìóëû Ëàãðàíæà (§ 8.6, ï. 3)
F(b) − F(a) = (b − a) F′(c) = (b − a) f(c), a < c < b,
÷òî è ïðèâîäèò ê èñêîìîé ôîðìóëå (3).
205
Ôîðìóëà (3) ïðè f(x) ≥ 0 èìååò
ïðîñòîå ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå. Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè aABb ðàâíà ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà ñ òåì æå
îñíîâàíèåì è âûñîòîé, ðàâíîé
f(c) (ðèñ. 111).
5. Çàìåíà ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå. Ïðåäïîëîæèì,
÷òî ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà
Ðèñ. 111
ñåãìåíòå [a; b], ôóíêöèÿ x = ϕ(t)
èìååò íà ñåãìåíòå [α; β] íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, ïðè ýòîì a ≤ ϕ(t) ≤ b è ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.
Ïóñòü F(x) — îäíà èç ïåðâîîáðàçíûõ ôóíêöèé f(x). Òîãäà F′(x) = f(x) è
â ñèëó ôîðìóëû ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè (ñì. § 8.2, ï.,1):
(F(ϕ(t)))′ = Fx′(ϕ(t))⋅ϕ′(t) = f(ϕ(t))⋅ϕ′(t).
Òåïåðü âîñïîëüçóåìñÿ äâàæäû ôîðìóëîé Íüþòîíà — Ëåéáíèöà:
β
b
α
a
∫ f ( ϕ(t ))ϕ′(t )dt = F ( ϕ(β)) − F ( ϕ(α)) = F (b) − F (a ) = ∫ f ( x )dx .
Òåì ñàìûì äîêàçàíà ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííîé â îïðåäåëåííîì
èíòåãðàëå:
b
β
a
α
∫ f ( x )dx = ∫ f ( ϕ(t ))ϕ′(t )dt.
Ï ð è ì å ð. Ïîäñòàíîâêà x = sin t äàåò
π
1
∫
0
2
1 − x dx = ∫
2
0
π
π
2
π
1  sin 2t  2 π
12
1 − sin t cos t ⋅ dt = ∫ cos t ⋅ dt = ∫ (1 + cos 2t )dt = t +
= .
2
2  0 4
2

0
0
2
2
6. Èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Ïóñòü u = u(x), L = L(x) — íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìûå íà ñåãìåíòå [a; b] ôóíêöèè. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé
Íüþòîíà — Ëåéáíèöà, èìååì:
b
[u( x )L( x )]ba = ∫ (u( x )L( x ))′dx =
a
b
b
b
a
a
= ∫ (u( x )L′( x ) + u ′( x )L( x ))dx = ∫ u( x )L′( x )dx + ∫ L( x )u ′( x )dx ,
a
îòêóäà
b
b
a
a
b
∫ u( x )L′( x )dx = [u( x )L( x )]a − ∫L( x )u ′( x )dx .
206
Ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì äëÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà.
Òàê êàê L′(x) dx = dL è u′(x) dx = du, òî ýòó ôîðìóëó çàïèñûâàþò åùå â
ñëåäóþùåì, áîëåå êîìïàêòíîì âèäå:
b
b
a
a
b
∫ udL = [uL]a − ∫Ldu.
(4)
Ïðè ýòîì ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ â ôîðìóëå
(4) îòíîñÿòñÿ ê íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x.
π
π
π
π
Ï ð è ì å ð. ∫ {
x 12
cos
4 xdx
4
3 = [x sin x ]0 − ∫ sin xdx = cos x 0 = −2.
0 u
dL
0
§ 9.8. Âèäû íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, èõ ñõîäèìîñòü
Ïðè ââåäåíèè ïîíÿòèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà ìû èñõîäèëè
èç óñëîâèé îãðàíè÷åííîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè è êîíå÷íîñòè ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêîé èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì (ñëîâî «ñîáñòâåííûé» îáû÷íî îïóñêàåòñÿ). Åñëè õîòÿ áû
îäíî èç ýòèõ äâóõ óñëîâèé íå âûïîëíåíî, òî èíòåãðàë íàçûâàåòñÿ
íåñîáñòâåííûì.
1. Èíòåãðàëû ñ áåñêîíå÷íûìè ïðåäåëàìè. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà ïðè a ≤ x < +∞, ò. å. äëÿ x ≥ a. Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò
+∞
∫ f ( x )dx = lim
b → +∞
a
b
∫ f ( x )dx .
(1)
a
Åñëè ïîñëåäíèé ïðåäåë ñóùåñòâóåò, òî ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë
+∞
∫ f ( x )dx
(2)
a
ñõîäèòñÿ, à åñëè ýòîò ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, òî èíòåãðàë (2) íàçûâàþò ðàñõîäÿùèìñÿ. Òàêîìó èíòåãðàëó íå ïðèïèñûâàþò íèêàêîãî çíà÷åíèÿ.
Ãåîìåòðè÷åñêè äëÿ íåîòðèöàòåëüíîé ïðè x ≥ a ôóíêöèè f(x) íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë (2) ïî àíàëîãèè ñ ñîáñòâåííûì èíòåãðàëîì
(§ 9.6, ï. 2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé
ñâåðõó ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f(x),
ñëåâà îòðåçêîì ïðÿìîé x = a, ñíèçó îñüþ Ox (ðèñ. 112).
Ðèñ. 112
207
+∞
b
Ï ð è ì å ð 1. ∫ e − x dx = lim ∫ e − x dx == lim (1 − e − b ) = 1.
b → +∞
0
b → +∞
0
Çàäàííûé íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ.
+∞
Ï ð è ì å ð 2. ∫
1
b
dx
dx
= lim
= lim lnb = + ∞.
x b → +∞∫1 x b → +∞
Ñëåäîâàòåëüíî, äàííûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ.
+∞
b
Ï ð è ì å ð 3. ∫ cos xdx = lim ∫ cos xdx = lim sin b.
b → +∞
0
b → +∞
0
Ïîñëåäíèé ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, ò. å. íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ.
Ï ð è ì å ð 4. Óñòàíîâèòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ α ñõîäèòñÿ èíòåãðàë
+∞
∫
1
dx
. Ñëó÷àé
xα
α = 1 ðàññìîòðåí â ïðèìåðå 2. Ïðè α ≠ 1 èìååì:
+∞
∫
1
dx
b1 − α − 1
= lim
=
α
→
+∞
b
x
1−α
 +∞ ïðè α < 1,

 1 ïðè α > 1.
 α − 1
Çíà÷èò, äàííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ïðè α > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè α ≤ 1.
Íà íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû âèäà (2) íåïîñðåäñòâåííî ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ ìíîãèå ñâîéñòâà ñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ.
Ïóñòü F(x) — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèÿ äëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè f(x) ñõîäÿùåãîñÿ èíòåãðàëà (2). Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (1) è ôîðìóëû Íüþòîíà — Ëåéáíèöà èìååì:
+∞
∫ f ( x )dx = lim (F (b) − F (a )).
b → +∞
a
Åñëè ââåñòè óñëîâíîå îáîçíà÷åíèå
F ( +∞) = lim F (b),
b → +∞
òî ïîëó÷èì äëÿ ñõîäÿùåãîñÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà (2) îáîáùåííóþ ôîðìóëó Íüþòîíà — Ëåéáíèöà
+∞
∫ f ( x )dx = F ( +∞) − F (a ),
a
êîòîðóþ çàïèñûâàþò òàêæå â âèäå
+∞
+∞
∫ f ( x )dx = F ( x ) a èëè
a
+∞
∫ f ( x )dx = [F ( x )]
+∞
a
.
a
Çàìåòèì åùå, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñõîäÿùèõñÿ èíòåãðàëîâ âèäà (2)
ñîõðàíÿþòñÿ ìåòîäû ïîäñòàíîâêè è èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì.
Ñàìûì ïðîñòûì ïðèçíàêîì ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ
âèäà (2) ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ.
208
Ðàññìîòðèì åãî äëÿ ñëó÷àÿ íåîòðèöàòåëüíîé ïîäûíòåãðàëüíîé
ôóíêöèè.
Ò å î ð å ì à ñ ð à â í å í è ÿ. Åñëè â ïðîìåæóòêå [a; +∞) ôóíêöèè
f(x), g(x) íåïðåðûâíû è óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì 0 ≤ g(x) ≤ f(x), òî èç
ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
+∞
∫ f ( x )dx
(3)
a
ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà
+∞
∫ g( x )dx .
(4)
a
Ýòîò ïðèçíàê âûòåêàåò èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà èíòåãðàëà (2).
Èç ýòîãî ïðèçíàêà ñëåäóåò, ÷òî ïðè òîì æå óñëîâèè èç ðàñõîäèìîñòè
èíòåãðàëà (4) ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (3).
Ï ð è ì å ð 5.
+∞
∫
1
dx
3
1+ x
5
1
ñõîäèòñÿ, òàê êàê ïðè x ≥ 1
3
1+ x
5
<
äèòñÿ (ñì. ïðèìåð 4).
1
5
x
è èíòåãðàë
3
+∞
dx
1
x3
∫
5
ñõî-
+∞
+∞
x +2
x +2
1
dx
è èíòåãðàë ∫ 1 ðàñdx ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê ïðè x ≥ 1
>
x
x
x
x
x
1
1
x2
õîäèòñÿ (ñì. ïðèìåð 4).
Ï ð è ì å ð 6. ∫
Ïóñòü òåïåðü â èíòåãðàëå (2) ôóíêöèÿ f(x) ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ
ðàçíûõ çíàêîâ.
Ò å î ð å ì à. Èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
+∞
∫ | f ( x )| dx
(5)
a
ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà (2).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ââåäÿ íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèè
f (x ) + f (x )
, ψ( x ) =
f (x ) − f (x )
,
2
2
èìååì ϕ(x) ≤ | f(x)|, ψ(x) ≤ | f(x)| è f(x) = ϕ(x) − ψ(x). Òàê êàê èíòåãðàë (5)
ñõîäèòñÿ, òî ïî òåîðåìå ñðàâíåíèÿ ñõîäÿòñÿ èíòåãðàëû
ϕ( x ) =
+∞
+∞
a
a
∫ ϕ( x )dx , ∫ ψ( x )dx
è, ñëåäîâàòåëüíî, ñõîäèòñÿ èíòåãðàë
+∞
+∞
+∞
a
a
a
∫ f ( x )dx = ∫ ϕ( x )dx − ∫ ψ( x )dx .
209
Èíòåãðàë (2) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñõîäèòñÿ èíòåãðàë (5).
Ï ð è ì å ð 7.
+∞
∫
1
íåíèÿ
+∞
∫
1
cos x
x
2
cos x
dx ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, ïîòîìó ÷òî ñõîäèòñÿ ïî òåîðåìå ñðàâx2
dx (ïðè x ≥ 1
cos x
x
2
≤
1 +∞ dx
ñõîäèòñÿ; ñì. ïðèìåð 4).
è
x 2 ∫1 x 2
Âñå èçëîæåííîå íåïîñðåäñòâåííî ïåðåíîñèòñÿ íà èíòåãðàëû âèäà
b
b
∫ f ( x )dx = lim
a → −∞
−∞
∫ f ( x )dx
(6)
a
(êñòàòè çàìåòèì, ÷òî îò èíòåãðàëà (6) ëåãêî ïåðåéòè ê èíòåãðàëó âèäà
(2) ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè x = −y).
Íàêîíåö, ïî îïðåäåëåíèþ
+∞
∫ f ( x )dx =
−∞
c
+∞
−∞
c
∫ f ( x )dx +
∫ f ( x )dx ,
(7)
ãäå c — êàêîå-íèáóäü ÷èñëî (âûáîð åãî áåçðàçëè÷åí). Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñëåäóåò ïîíèìàòü òàê: åñëè êàæäûé èç èíòåãðàëîâ, ñòîÿùèõ ñïðàâà, ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë, ñòîÿùèé ñëåâà. Åñëè æå ðàñõîäèòñÿ õîòÿ áû îäèí èç èíòåãðàëîâ, ñòîÿùèõ ñïðàâà, òî ðàñõîäèòñÿ è èíòåãðàë, ñòîÿùèé ñëåâà.
2. Èíòåãðàëû îò íåîãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà ïðè a ≤ x < b. Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ
ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, êîãäà x → b. Òàê ÷òî íà îòðåçêå [a; b] ôóíêöèÿ f(x) íå îãðàíè÷åíà. Ïîëîæèì
b
∫ f ( x )dx =
a
lim
b −ε
ε→ 0 + 0
∫ f ( x )dx .
a
Åñëè ïîñëåäíèé ïðåäåë ñóùåñòâóåò, òî ãîâîðÿò, ÷òî èíòåãðàë
b
∫ f ( x )dx
(8)
a
ñõîäèòñÿ, à åñëè ýòîò ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, òî èíòåãðàë (8) íàçûâàþò
ðàñõîäÿùèìñÿ.
Ïîäîáíûì æå îáðàçîì ðàâåíñòâîì
b
∫ f ( x )dx = lim
a
ε→ 0 + 0
b
∫ f ( x )dx
a +ε
äàåòñÿ îïðåäåëåíèå èíòåãðàëà ôóíêöèè f(x), ñòðåìÿùåéñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè x → a.
210
b
Ï ð è ì å ð 1. ∫
a
dx
= − lim (ln ε − ln(b − a)) = +∞, èíòåãðàë ðàñõîäèòñÿ.
ε→ 0 + 0
b−x
Ï ð è ì å ð 2. Âûÿñíèòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ α ñõîäèòñÿ èíòåãðàë
b
dx
∫ (b − x )
a
α
.
Ñëó÷àé α = 1 ðàññìîòðåí â ïðèìåðå 1. Ïðè α ≠ 1 èìååì:
b
dx
∫ (b − x )
a
α

ε1 − α − (b − a)1 − α 
=
ε→ 0 + 0
1−α

= − lim
ïðè α > 1,
+∞
(b − a)1 − α
ïðè α < 1.
1−α
Çíà÷èò, äàííûé èíòåãðàë ñõîäèòñÿ ïðè α < 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè α ≥ 1.
Âñå ñâîéñòâà äëÿ èíòåãðàëîâ âèäà (2) è (6) ïåðåíîñÿòñÿ è íà òîëüêî
÷òî ââåäåííûå èíòåãðàëû.  ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî òåîðåìà ñðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íàÿ ïðèâåäåííîé â ï. 1.
Íàêîíåö, åñëè ôóíêöèÿ f(x) ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè ïðèáëèæåíèè ê îáîèì êîíöàì ïðîìåæóòêà (a; b), òî ïîëàãàþò:
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx , a < c < b.
Ïðè ýòîì åñëè ñõîäÿòñÿ îáà èíòåãðàëà â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà, òî ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë ñëåâà.
3. Ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà.  êà÷åñòâå ïðèìåðà èñïîëüçîâàíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïðîâåäåì ïîäñ÷åò âòîðîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòè.
Âû÷èñëèì íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü ðàêåòû, ïðè êîòîðîé îíà ñïîñîáíà âûéòè èç ïîëÿ ïðèòÿæåíèÿ Çåìëè è óéòè â ìåæïëàíåòíîå ïðîñòðàíñòâî.
Ðàíåå (§ 9.7, ï. 2, çàäà÷à) ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà áûëà
ïîäñ÷èòàíà ðàáîòà ñèëû, íåîáõîäèìàÿ äëÿ çàïóñêà ðàêåòû ìàññîé mð ñ
ïîâåðõíîñòè Çåìëè íà âûñîòó h, ò. å. áûëî ïîëó÷åíî:
R +h
Ph
,
h
R
1+
R
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè R, íåñðàâíèìî áîëüøåì, ÷åì h, A ≈ mð gh, ãäå
mð — ìàññà ðàêåòû, g— óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ó ïîâåðõíîñòè
Çåìëè.
 ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ñóììà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ðàêåòû âî âñå ìîìåíòû âðåìåíè îäíà è òà æå. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû ïîëíîñòüþ îñâîáîäèòü ðàêåòó îò çåìíîãî ïðèòÿæåíèÿ,
A=
PRh
∫ F ( x )dx = R + h =
211
íåîáõîäèìî, ÷òîáû íà÷àëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áûëà íå ìåíüøå
ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ðàêåòû, áåñêîíå÷íî óäàëåííîé îò Çåìëè, ò. å.
íàäî ïîäñ÷èòàòü ðàáîòó ñèëû ïðè h → ∞:
PRh
PR
= lim
= PR = m ð gR
R
R + h h→ ∞
1+
h
(äâèæåíèå Çåìëè è ïðèòÿæåíèå äðóãèõ ïëàíåò ïðè ýòîì íå ó÷èòûâàþòñÿ). Îòñþäà íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàêåòû L äîëæíà áûòü òàêîâà, ÷òîáû
m ðL 2
≥ m ð gR, èëè L ≥ 2 gR = 2 ⋅ 10 ⋅ 6 400 000 ≈ 11,3 ⋅ 10 3 ì/ñ = 11,3 êì /ñ
2
(ïðè âû÷èñëåíèÿõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàëüêóëÿòîð; g âçÿòî ðàâ2
íûì 10 ì/ñ ).
lim
h→ ∞
4. Ãàììà-ôóíêöèÿ. Èíòåãðàë
+∞
∫e
−x
x p −1 dx ( p = const)
0
ñõîäèòñÿ ïðè p > 0 (ñì. [9], ò. 2).
Ïîëîæèì äëÿ p > 0
+∞
Ã( p) = ∫ e − x x p −1 dx .
0
Ýòîò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà p, íàçûâàåòñÿ ãàììà-ôóíêöèåé.
(Ýòà ôóíêöèÿ ââåäåíà Ë. Ýéëåðîì â 1729 ã.)
Óñòàíîâèì ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà ãàììà-ôóíêöèè:
1. Ã(p +1) = pÃ(p).
Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷àåì:
+∞
+∞
0
0
− x p −1
Ã( p + 1) = ∫ e − x x p dx = −[x p e − x ]+∞
x dx = pÃ( p).
0 + p∫e
2. Åñëè n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî
Ã(n + 1) = n!.
 ñàìîì äåëå, ïðèìåíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ôîðìóëó Ã(n + 1) = nÃ(n), ïîëó÷èì:
Ã(n + 1) = nÃ(n) = n(n − 1)Ã(n − 1) =
= n(n − 1)(n − 2)
Íî
+∞
Ã(1) = ∫ e − x dx = 1 (ï. 1, ïðèìåð 1),
0
è ïîýòîìó
Ã(n + 1) = n!.
212
3 · 2 · 1Ã(1).
§ 9.9. Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
1. Âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) íåïðåðûâíà íà ñåãìåíòå [a; b]. Èçâåñòíî (ñì. § 9.6), ÷òî åñëè f(x) ≥ 0 íà [a ; b],
òî ïëîùàäü S êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y =
= f(x), y = 0, x = a, x = b, ðàâíà èíòåãðàëó
b
S = ∫ f ( x )dx .
(1)
a
(Î ïîíÿòèè ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîé ôèãóðû, à òàêæå îáúåìà
òåëà è ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ñì., íàïðèìåð, â [9].)
Åñëè æå f(x) ≤ 0 íà [a; b], òî −f(x) ≥ 0 íà [a; b]. Ïîýòîìó ïëîùàäü S ñîîòâåòñòâóþùåé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè âûðàçèòñÿ ôîðìóëîé
b
S = − ∫ f ( x )dx ,
a
èëè
b
S = | ∫ f ( x )dx |.
(2)
a
Åñëè, íàêîíåö, ëèíèÿ y = f(x) ïåðåñåêàåò îñü Ox, òî ñåãìåíò [a; b]
íàäî ðàçáèòü íà ÷àñòè, â ïðåäåëàõ êîòîðûõ f(x) íå ìåíÿåò çíàêà, è ê
êàæäîé ÷àñòè ïðèìåíèòü òó èç ôîðìóë (1) èëè (2), êîòîðàÿ åé ñîîòâåòñòâóåò.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y =
= sinx è îñüþ àáñöèññ ïðè óñëîâèè 0 ≤ x ≤ 2π (ðèñ. 113). Ðàçáèâàåì ñåãìåíò [0; 2π] íà äâà
ñåãìåíòà [0; π] è [π; 2π]. Íà ïåðâîì èç íèõ sinx ≥ 0, íà âòîðîì sinx ≤ 0. Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1) è (2), èìååì, ÷òî èñêîìàÿ ïëîùàäü
π
2π
0
π
S = ∫ sin xdx +
∫ sin xdx
= − cos x | π0 + [− cos x ]π2 π = 4.
Ðèñ. 113
213
Ðèñ. 114
Ðèñ. 115
2. Âû÷èñëåíèå ïëîùàäè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü òðåáóåòñÿ
îïðåäåëèòü ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîãî ñåêòîðà OAB (ðèñ. 114), îãðàíè÷åííîãî ëó÷àìè ϕ = α, ϕ = β è êðèâîé AB , çàäàííîé â ïîëÿðíîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò óðàâíåíèåì r = r(ϕ), ãäå r(ϕ) —ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [α; β].
Ðàçîáüåì îòðåçîê [α; β] íà n ÷àñòåé òî÷êàìè α = ϕ0 < ϕ1 < < ϕn − 1 < ϕn =
= β è ïîëîæèì ∆ϕk = ϕk − ϕk − 1, k = 1, , n. Íàèáîëüøóþ èç ýòèõ ðàçíîñòåé
îáîçíà÷èì ÷åðåç λ: λ = max ∆ϕk. Ðàçîáüåì äàííûé ñåêòîð íà n ÷àñòåé ëó÷àìè
ϕ = ϕk (k = 1, , n − 1). Çàìåíèì k-é ýëåìåíòàðíûé ñåêòîð êðóãîâûì ñåêòîn
1
ðîì ðàäèóñà r(ξk), ãäå ξk∈[ϕk − 1; ϕk]. Òîãäà ñóììà ∑ r 2 ( ξ k )∆ϕ k — ýòî ïðèk =1 2
áëèæåííî ïëîùàäü ñåêòîðà OAB. Îòñþäà
β
S=
n
1
1
lim ∑ r 2 ( ξ k )∆ϕ k = ∫ r 2 ( ϕ)dϕ.
λ
→
∞
2
2α
k =1
(3)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé êàðäèîèäîé r = a (1 + cos ϕ)
(ðèñ. 115). Ó÷èòûâàÿ ñèììåòðè÷íîñòü êðèâîé îòíîñèòåëüíî ïîëÿðíîé îñè, ïî ôîðìóëå
(3) ïîëó÷àåì:
π
π
S = a 2 ∫ (1 + cos ϕ)2 dϕ = a 2 ∫ (1 + 2 cos ϕ + cos 2 ϕ)dϕ =
0
0
2
=a ϕ
π
0
2
+ 2a sin ϕ
= a2π +
a2
ϕ
2
π
0
π
+
0
+
π
a2
(1 + cos 2ϕ)dϕ =
2 ∫0
a2
sin 2ϕ
4
π
=
0
3 2
πa .
2
3. Âû÷èñëåíèå äëèíû äóãè. Ïóñòü äóãà AB (ðèñ. 116) çàäàíà óðàâíåíèåì y = f(x), x ∈ [a; b], ãäå f(x) — ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ íà îòðåçêå [a; b] íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ.
214
Ðèñ. 116
Äëèíîé äóãè AB íàçûâàåòñÿ ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ äëèíà ëîìàíîé ëèíèè, âïèñàííîé â ýòó äóãó, êîãäà äëèíà íàèáîëüøåãî çâåíà
ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Íàéäåì äëèíó äóãè AB. Âïèøåì â äóãó AB ëîìàíóþ ëèíèþ M0M1 ...
Mn(M0 = A, Mn = B) (ðèñ. 116). Ïóñòü àáñöèññû òî÷åê M0, M1, M2, ...,Mn
ñîîòâåòñòâåííî a = x0, x1, x2, , õn = b (îðäèíàòû ýòèõ òî÷åê îáîçíà÷èì
ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç y0, y1 ..., yn). Èìååì ðàçáèåíèå îòðåçêà [a; b] íà
÷àñòè÷íûå îòðåçêè [xk −1; xk], k = 1, 2, , n. Äëèíà îòðåçêà [xk −1;xk] ðàâíà
∆xk = xk − xk − 1. Ïóñòü λ = max ∆xk. ×åðåç ∆yk îáîçíà÷èì ïðèðàùåíèå
ôóíêöèè y = f(x) íà îòðåçêå [xk − 1; xk]. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà M k −1 M k =
= ∆x k2 + ∆y k2 . Íî â ñèëó ôîðìóëû Ëàãðàíæà (§ 8.6, ï. 3) ∆yk = f′ (ξk)∆xk,
ãäå ξk — íåêîòîðàÿ ïðîìåæóòî÷íàÿ òî÷êà îòðåçêà [xk − 1; xk ]. Îòñþäà
M k −1 M k = 1 + f ′ 2 ( ξ k )∆x k , è, ñëåäîâàòåëüíî, äëèíà ëîìàíîé ëèíèè
M 0M 1 M n
n
∑
k =1
1 + f ′ 2 ( ξ k )∆x k .
Ïåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè λ → 0, ïîëó÷èì:
b
l = ∫ 1 + f ′ 2 ( x )dx ,
a
èëè
b
l = ∫ 1 + y ′ 2 dx ,
(4)
a
(l — äëèíà äóãè AB).
215
Îòñþäà äëèíà äóãè AM, ãäå M(x; y) — ïåðåìåííàÿ òî÷êà äóãè AB,
x
l = l( x ) = ∫ 1 + y ′ 2 dx .
a
Ïîýòîìó (ñì. § 9.7, ï. 3)
dl
= 1 + y′ 2 ,
dx
îòêóäà ïîëó÷àåì ôîðìóëó äèôôåðåíöèàëà äóãè
dl = 1 + y ′ 2 dx ,
(5)
èëè
dl = dx 2 + dy 2 .
Åñëè êðèâàÿ AB çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè
x = x(t), y = y(t) (α ≤ t ≤ β),
(6)
ïðè÷åì ôóíêöèè x(t) è y(t) èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå x ′(t) è
y ′(t) â [α; β], òî ïóòåì çàìåíû ïåðåìåííîé x = x(t) â (4) ïîëó÷èì:
β
l = ∫ x ′ 2 + y ′ 2 dt.
(7)
α
Ôîðìóëà äèôôåðåíöèàëà äóãè âìåñòî (5) áóäåò dl = x ′ 2 + y ′ 2 dt.
Åñëè æå êðèâàÿ AB çàäàíà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèåì
r = r(ϕ) (α ≤ ϕ ≤ β),
(8)
òî, ó÷èòûâàÿ ñâÿçü ìåæäó ïðÿìîóãîëüíûìè è ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè (ñì. § 1.1, ï. 2), ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýòîé êðèâîé
áóäóò
x = r cosϕ, y = r sinϕ (α ≤ ϕ ≤ β).
Ïîýòîìó
x′ = r′ cosϕ − r sinϕ, y′ = r′ sinϕ + r cosϕ,
è ïî ôîðìóëå (7) ïîëó÷èì:
β
l = ∫ r 2 + r ′ 2 dϕ.
α
Ôîðìóëà äèôôåðåíöèàëà äóãè áóäåò dl = r 2 + r ′ 2 dϕ.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äëèíó äóãè äàííîé ëèíèè:
1
y = (e x + e − x ), 0 ≤ x ≤ 1 (ðèñ. 117).
2
216
(9)
Ðèñ. 117
Ðèñ. 118
1
Èìååì y′ = (e x − e − x ) è ïî ôîðìóëå (4) íàõîäèì
2
1
1
1
1
1
1
1
1
l = ∫ 1 + (e 2 x − 2 + e −2 x ) dx = ∫ (e x + e − x )dx = [e x − e − x ] =  e −  .
0
2
e
4
2
2
0
0
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü äëèíó îêðóæíîñòè ðàäèóñà R. Çàïèøåì óðàâíåíèå îêðóæíîñòè â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ: r = R ïðè 0 ≤ ϕ ≤ 2π — è ïî ôîðìóëå (9) ïîëó÷èì:
2π
l = ∫ Rdϕ = 2 πR.
0
Óêàæåì åùå íà îäíî ïðèìåíåíèå ôîðìóëû (4).
Ò å î ð å ì à. Ïóñòü äóãà M0M (ðèñ. 118) çàäàíà óðàâíåíèåì y = f(x)
(x0 ≤ x ≤ õ0 + ∆x), ïðè÷åì f(x) è f ′(x) — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè. Òîãäà ïðåäåë
îòíîøåíèÿ äëèíû ýòîé äóãè ê äëèíå ñòÿãèâàþùåé åå õîðäû ïðè ñòðåìëåíèè äëèíû õîðäû ê íóëþ ðàâåí åäèíèöå.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èìååì:
2
 ∆y 
M 0 M = ( ∆x ) 2 + ( ∆y ) 2 = 1 + 
 ⋅ ∆x ,
 ∆x 
l=
x 0 + ∆x
∫
1 + f ′ 2 ( x )dx (l — äëèíà äóãè M0M), èëè â ñèëó òåîðåìû î ñðåä-
x0
íåì (ñì. § 9.7, ï. 4) l = 1 + f ′ 2 (c) ⋅ ∆x , ãäå x0 < c < x0 + x. Îòñþäà, çàìå÷àÿ,
÷òî åñëè ∆x → 0, òî c → x0, ïîëó÷èì:
1 + f ′ 2 (x 0 )
1 + f ′ 2 (c) ⋅ ∆x
l
=
= 1.
= lim
M 0 M → 0 MM
∆x → 0
2
0
1 + f ′ 2 (x 0 )
 ∆y 
1+
 ⋅ ∆x
 ∆x 
lim
217
Ñ ë å ä ñ ò â è å. lim
l→0
MM 0
= 1.
l
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Åñëè çàäàíà ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (ñì. § 4.2)
x = x(t), y = y(t), z = z(t) (α ≤ t ≤ β),
ãäå ôóíêöèè x(t), ó(t), z(t) èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå, òî åå äëèíà (äëèíà äóãè äëÿ
ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ ïëîñêîé) âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
β
I = ∫ x ′ 2 + y′ 2 + z′ 2 dx ,
α
ÿâëÿþùåéñÿ îáîáùåíèåì ôîðìóëû (7). Ïðè ýòîì äëèíà äóãè, îòâå÷àþùàÿ ïðîèçâîëüíîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà t èç [α; β], âûðàçèòñÿ ôîðìóëîé
t
I = ∫ x ′ 2 + y′ 2 + z′ 2 dt ,
α
îòêóäà äèôôåðåíöèàë äóãè åñòü
dl = x ′ 2 + y′ 2 + z′ 2 dt .
4. Êðèâèçíà ïëîñêîé êðèâîé. Ïóñòü ê äàííîé êðèâîé y = f(x) ìîæíî ïðîâåñòè êàñàòåëüíóþ â êàæäîé òî÷êå. Ïðîâåäåì êàñàòåëüíóþ ê ýòîé ëèíèè â òî÷êå Ì0(x0, ó0). Îáîçíà÷èì
÷åðåç ϕ óãîë, îáðàçîâàííûé êàñàòåëüíîé ñ îñüþ Îõ (ðèñ. 119). Ïóñòü êàñàòåëüíàÿ â òî÷êå
Ì îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ óãîë ϕ + ∆ϕ. Óãîë ∆ϕ ìåæäó êàñàòåëüíûìè â óêàçàííûõ òî÷êàõ íàçûâàþò óãëîì ñìåæíîñòè. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïðè ïåðåõîäå èç òî÷êè M0 â òî÷êó Ì äàííîé
ëèíèè êàñàòåëüíàÿ ê íåé ïîâåðíóëàñü íà óãîë ∆ϕ, êîòîðîìó áóäåì ïðèïèñûâàòü ñîîòâåòñòâóþùèé çíàê â çàâèñèìîñòè îò íàïðàâëåíèÿ ïîâîðîòà («ïëþñ» ïðè ïîâîðîòå ïðîòèâ
÷àñîâîé ñòðåëêè, «ìèíóñ» — ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå). Âåëè÷èíà óãëà ïîâîðîòà äàåò íåêîòîðîå
ïðåäñòàâëåíèå î ñòåïåíè èçîãíóòîñòè
ëèíèè íà äóãå M0M. Îäíàêî ñàìà ïî ñåáå
âåëè÷èíà óãëà ∆ϕ åùå íå ìîæåò ñëóæèòü
ìåðîé ýòîé èçîãíóòîñòè; âàæíî òî, êàêàÿ
äîëÿ óãëà ïðèõîäèòñÿ â ñðåäíåì íà åäèíèöó äëèíû äóãè Ì0Ì.
Ñðåäíåé êðèâèçíîé äóãè Ì0Ì äàííîé
ëèíèè íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîå çíà÷åíèå
îòíîøåíèÿ óãëà ñìåæíîñòè ∆ϕ ê äëèíå
∆l äóãè Ì0Ì:
Ðèñ. 119
218
K ñð =
∆ϕ
.
∆l
Çàìåòèì, ÷òî ðàçíûå äóãè îäíîé è òîé æå ëèíèè
ìîãóò èìåòü ðàçíóþ ñðåäíþþ êðèâèçíó (íà ðèñóíêå 120 ñðåäíÿÿ êðèâèçíà äóãè Ì0Ì çíà÷èòåëüíî áîëüøå, ÷åì äóãè À ). ×òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ñòåïåíü
èçîãíóòîñòè ëèíèè â äàííîé òî÷êå, ââîäÿò ïîíÿòèå
êðèâèçíû â ýòîé òî÷êå.
Êðèâèçíîé ëèíèè â äàííîé òî÷êå Ì0 íàçûâàåòñÿ
ïðåäåë ñðåäíåé êðèâèçíû äóãè Ì0Ì ïðè Ì → Ì0:
K = lim
M→M 0
∆ϕ
.
∆l
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ôóíêöèÿ y = f(x) èìååò
åùå âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå õ0. Òàê êàê âåëè÷è-
Ðèñ. 120
íû ϕ è l îáå çàâèñÿò îò x (ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò õ), òî, ñëåäîâàòåëüíî, ϕ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ îò l. Òîãäà
∆ϕ
dϕ
lim
=
,
∆l→ 0 ∆l
dl
è, ñëåäîâàòåëüíî,
K =
dϕ
.
dl
(10)
Èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà ïðîèçâîäíîé ñëåäóåò tg ϕ = y ′, îòêóäà ϕ = arctg y ′ è
y′′
dx .
1 + y′ 2
dϕ =
(11)
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ôîðìóë (5), (10), (11)
| y′′|
K =
3
.
(12)
(1 + y′ 2 ) 2
Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (12) ñîäåðæèò çíà÷åíèÿ ïåðâîé è âòîðîé ïðîèçâîäíîé äàííîé
ôóíêöèè y = f (x), âû÷èñëåííûå ïðè õ = õ0.
Ââåäåì åùå îäíî îïðåäåëåíèå.
Ðàäèóñîì êðèâèçíû äàííîé ëèíèè è äàííîé åå òî÷êå íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà ρ, îáðàòíàÿ
êðèâèçíå K ýòîé ëèíèè â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå:
ρ=
1
.
K
(13)
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ôîðìóëó (12), èç ñîîòíîøåíèÿ (13) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ðàäèóñà êðèâèçíû ëèíèè y = f (x) â òî÷êå Ì0(õ0; ó0):
3
ρ=
(1 + y′ 2 ) 2
| y′′|
(çäåñü çíà÷åíèÿ ó′ è ó ″ âçÿòû ïðè õ = õ0).
219
Ï ð è ì å ð 1.  ëþáîé òî÷êå ïðÿìîé ëèíèè êàñàòåëüíàÿ ê íåé ñîâïàäàåò ñ ñàìîé ïðÿìîé, ïîýòîìó ∆ϕ = 0
è ñðåäíÿÿ êðèâèçíà (è êðèâèçíà) ðàâíà íóëþ â ëþáîé åå
òî÷êå.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè êðèâèçíó è ðàäèóñ êðèâèçíû
îêðóæíîñòè. Äëÿ îêðóæíîñòè óãîë ñìåæíîñòè ∆ϕ ðàâåí
óãëó ìåæäó åå ðàäèóñàìè ÎÌ0 è ÎÌ (ðèñ. 121), äëèíà
äóãè ÌÌ0 âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé ∆l = R ∆ϕ, ãäå R — ðàäè∆ϕ 1
óñ äàííîé îêðóæíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, K ñð =
= ,
Ðèñ. 121
∆l R
1
K = ,ò. å. êðèâèçíà îêðóæíîñòè ïîñòîÿííà è ðàâíà âåR
ëè÷èíå, îáðàòíîé ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè. Èç ðàâåíñòâà (13) ñëåäóåò, ÷òî ðàäèóñ êðèâèçíû îêðóæíîñòè â ëþáîé åå òî÷êå ðàâåí ðàäèóñó îêðóæíîñòè .
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè êðèâèçíó ïàðàáîëû ó = ðõ2 (ð > 0) â òî÷êå Î(0; 0). Çàìå÷àÿ, ÷òî
y ′ = 2px, y" = 2p, ïîëó÷èì, ÷òî êðèâèçíà â òî÷êå Î ðàâíà 2ð.
5. Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ. Ïåðåõîäÿ ê ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî, êàê è â ï. 3, äóãà AB çàäàíà óðàâíåíèåì y = f(x), x ∈[a; b], ãäå f(x) — ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ íà [a; b] íåïðåðûâíóþ
ïðîèçâîäíóþ. Ïîâåðõíîñòü, îáðàçîâàííàÿ âðàùåíèåì k-ão çâåíà ëîìàíîé M0M1 Mn âîêðóã îñè Ox, åñòü áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü óñå÷åííîãî êîíóñà ñ ïëîùàäüþ
π(yk − 1 + yk)⋅Mk − 1Mk,
èëè
2 πf ( η k ) 1 + f ′ 2 ( ξ k ) ∆x k ,
ãäå
f ( x k −1 ) + f ( x k )
.
2
Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ëîìàíîé M0M1 Mn
âîêðóã îñè Ox ðàâíà:
f (η κ ) =
n
S n = ∑ 2 πf ( η k ) 1 + f ′ 2 ( ξ k ) ∆x k ,
(14)
k =1
Ïëîùàäü S ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ äóãè AB âîêðóã îñè Ox îïðåäåëèì
êàê lim S n . Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî ñóììà (14) íå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé
λ→ 0
ñóììîé äëÿ ôóíêöèè 2 πf ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ), òàê êàê â ñëàãàåìîì, ñîîòâåòñò2
âóþùåì îòðåçêó [xk − 1; xk], çíà÷åíèÿ ôóíêöèé f (x ) è f ′ (x) âçÿòû â ðàçíûõ òî÷êàõ ýòîãî îòðåçêà. Íî ìîæíî äîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, â [8]), ÷òî
220
ïðåäåë ñóììû (14) ðàâíÿåòñÿ ïðåäåëó èíòåãðàëüíîé ñóììû äëÿ ôóíêöèè 2 πf ( x ) 1 + f ′ 2 ( x ), ò. å.
n
lim S n = lim ∑ 2 πf ( ξ k ) 1 + f ′ 2 ( ξ k ) ∆x k .
λ→ 0
λ→ 0
k =1
Ïîýòîìó
b
S = 2 π ∫ y 1 + y ′ 2 dx .
(15)
a
Åñëè äàííàÿ êðèâàÿ AB çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè (6)
èëè óðàâíåíèåì (8) â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, òî ñîîòâåòñòâåííî ïîëó÷èì:
β
S = 2 π ∫ y x ′ 2 + y ′ 2 dt,
β
α
S = 2 π ∫ r sin ϕ r 2 + r ′ 2 dϕ.
α
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðîâîãî ïîÿñà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì
2
2
2
âîêðóã îñè Ox äóãè îêðóæíîñòè x + y = R , ñîîòâåòñòâóþùåé èçìåíåíèþ x îò a äî b (−R ≤ a <
b
x
R2
< 0, 0 < b ≤ R). Çäåñü y = R 2 − x 2 , y′ = − , 1 + y′ 2 = 2 è ïî ôîðìóëå (15)S = 2 πR∫ dx =
y
y
a
2
= 2πR(b − a).  ÷àñòíîñòè, ïðè a = −R, b = R ïîëó÷àåì ïëîùàäü ñôåðû S = 4πR .
6. Âû÷èñëåíèå îáúåìà. Ðàññìîòðèì òåëî B, ñîäåðæàùååñÿ ìåæäó
ïëîñêîñòÿìè x = a è x = b (ðèñ. 122). Ïóñòü äëÿ êàæäîãî x èç ñåãìåíòà
[a; b] äàíà ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ýòîãî òåëà Q(x), ïåðïåíäèêóëÿðíîãî îñè
Ox. Íàéäåì îáúåì V äàííîãî òåëà ïðè óñëîâèè íåïðåðûâíîñòè Q(x) â
[a; b]. Ðàçäåëèì ñåãìåíò [a; b] íà n ÷àñòåé è ÷åðåç òî÷êè äåëåíèÿ ïðîâåäåì ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè Ox. Ýòè ïëîñêîñòè ðàçîáüþò B íà ñëîè. Âûäåëèì k-é ñëîé, îãðàíè÷åííûé ïëîñêîñòÿìè x =
= xk − 1 è x = xk. Îáúåì ýòîãî ñëîÿ ïðèáëèæåííî ðàâåí Q(xk −1)∆xk. Îáðàn
çóåì ñóììó V n = ∑Q( x k −1 )∆x k .
k =1
Îáúåì V òåëà B îïðåäåëèì êàê limV n . Ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò â ñèëó
λ→ 0
b
íåïðåðûâíîñòè Q(x) íà [a; b] è ðàâåí ∫Q( x )dx . Èòàê,
a
b
V = ∫Q( x )dx .
a
221
Ðèñ. 122
Ðèñ. 123
 ÷àñòíîñòè, åñëè òåëî îáðàçîâàíî ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ ëèíèè
y =f(x) âîêðóã îñè Ox â ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ x îò a äî b, òî Q(x) = πf 2(x)
b
èV = π ∫ f 2 ( x )dx , èëè, áîëåå êðàòêî,
a
b
V = π ∫ y 2 dx .
(16)
a
Ï ð è ì å ð . Íàéòè îáúåì òåëà, îáðàçîâàííîãî âðàùåíèåì ïëîñêîé ôèãóðû, îãðàíè2
÷åííîé ëèíèÿìè y = x è x = 1, âîêðóã îñè Ox. Ýòî òåëî íàçûâàåòñÿ ñåãìåíòîì ïàðàáîëîèäà
âðàùåíèÿ (ðèñ. 123). Ñîãëàñíî ôîðìóëå (16) èìååì:
1
V = π∫ xdx = π
0
x2
2
1
0
π
= .
2
§ 9.10. Ôèçè÷åñêèå ïðèëîæåíèÿ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà
Ñòàòè÷åñêèì ìîìåíòîì ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ â ïëîñêîñòè xOy, îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíîé îñè Ox (èëè Oy) íàçûâàåòñÿ
ïðîèçâåäåíèå ìàññû ýòîé òî÷êè íà åå îðäèíàòó (ñîîòâåòñòâåííî àáñöèññó). Ñòàòè÷åñêèì ìîìåíòîì ñèñòåìû òàêèõ òî÷åê M1, M2, , Mn îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíîé îñè íàçûâàåòñÿ ñóììà ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ âñåõ òî÷åê ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè.
Öåíòðîì òÿæåñòè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñ ìàññàìè m1, m2,
, mn íàçûâàåòñÿ òî÷êà C,îáëàäàþùàÿ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî åñëè â íåé
ñîñðåäîòî÷èòü âñþ ìàññó ñèñòåìû m = m1 + m2 + + mn, òî åå ñòàòè÷åñêèé ìîìåíò ïî îòíîøåíèþ ê ëþáîé îñè ðàâåí ñòàòè÷åñêîìó ìîìåíòó
ñèñòåìû òî÷åê îòíîñèòåëüíî òîé æå îñè. Ïîýòîìó åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç M x( n ) è M (yn ) ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû ñèñòåìû òî÷åê îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé Ox è Oy, òî êîîðäèíàòû xC è yC öåíòðà òÿæåñòè C óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì
mx C = M (yn ) = m1 x 1 + ... + m n x n , my C = M x( n ) = m1 y 1 + ... + m n y n ,
222
ãäå xk, yk — äåêàðòîâû êîîðäèíàòû òî÷êè ìàññîé mk. Ñëåäîâàòåëüíî,
öåíòð òÿæåñòè äàííîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê èìååò êîîðäèíàòû
n
∑m
k =1
k
n
∑m
xk
k =1
k
yk
, yC =
.
m
m
Ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû è êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè äóãè ïëîñêîé
ëèíèè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû. Ïóñòü äóãà AB
çàäàíà óðàâíåíèåì y = f(x), x ∈ [a; b], ãäå f(x) — ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ íà
[a; b] íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, è íà ýòîé äóãå ðàñïðåäåëåíî âåùåñòâî ñ ïëîòíîñòüþ ρ = ρ(x). Ðàçäåëèì äóãó AB íà n ÷àñòè÷íûõ äóã Mk − 1Mk
(k = l, 2, , n). Ñîñðåäîòî÷èì ìàññó êàæäîãî èç ýëåìåíòîâ Mk − 1Mk â îäíîé åãî òî÷êå Nk(xk; yk). Òîãäà ïîëó÷èì ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ ýëåìåíòà ìàññû ∆mk ≈ ρ(xk)Mk − 1Mk è ýëåìåíòàðíûõ ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ
îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé (∆Mx)k ≈ yk∆mk, (∆My)k ≈ xk∆mk . Ñóììèðóÿ è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè λ → 0, ïîëó÷èì âûðàæåíèå ìàññû ìàòåðèàëüíîé äóãè
xC =
b
m = ∫ ρ 1 + y ′ 2 dx
a
è åå ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé:
b
M x = ∫ ρy 1 + y ′ 2 dx , M
a
b
y
= ∫ ρx 1 + y ′ 2 dx .
a
Äëÿ íàõîæäåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè C(xC; yC) ìàòåðèàëüíîé äóãè AB â
ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ýòîãî ïîíÿòèÿ ñîñòàâèì ðàâåíñòâà
mxC = My è myC = Mx,
èç êîòîðûõ ñëåäóåò, ÷òî
xC =
M
y
m
, yC =
Mx
.
m
(1)
b
Èç ôîðìóë (1) ïðè ρ(x) = const ñëåäóåò ∫ y 1 + y ′ 2 dx = y C l . Óìíîæèâ
a
îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íà 2π, ïîëó÷èì:
b
2 π ∫ y 1 + y ′ 2 dx = 2 πy C l ,
a
èëè
S = l⋅2πyC,
(2)
ãäå S — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, îáðàçóåìîé âðàùåíèåì äóãè AB âîêðóã
îñè Ox.  ïðàâîé ÷àñòè (2) 2πyC —äëèíà îêðóæíîñòè, îïèñûâàåìîé òî÷êîé C(xC; yC) ïðè âðàùåíèè âîêðóã îñè Ox.
223
Ýòî ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé òåîðåìå.
Ï å ð â à ÿ ò å î ð å ì à à ó ë ü ä è í à (Ïàóëü Ãóëüäèí (1577—
1643) — øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê). Ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè, îáðàçóåìîé
âðàùåíèåì äóãè ïëîñêîé êðèâîé âîêðóã íå ïåðåñåêàþùåé åå îñè, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè äóãè, ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèíû âðàùàþùåéñÿ äóãè íà
äëèíó îêðóæíîñòè, êîòîðóþ ïðè ýòîì âðàùåíèè îïèñûâàåò öåíòð òÿæåñòè äóãè.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè öåíòð òÿæåñòè ìàññû, ðàñïðîñòðàíåííîé âäîëü ïîëóîêðóæíîñòè y = R 2 − x 2 ïðè óñëîâèè ρ = 1. Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè çàêëþ÷àåì, ÷òî xC = 0. Äà2
ëåå, ñîãëàñíî ôîðìóëå (2) 4πR = πR⋅2πyC, îòêóäà yC =
2R
≈ 0,637R (çäåñü ìîæíî èñïîëüçîπ
âàòü êàëüêóëÿòîð).
Îñòàíîâèìñÿ åùå íà ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòàõ è êîîðäèíàòàõ öåíòðà
òÿæåñòè ïëîñêîé ôèãóðû. Ïóñòü äàíà êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ,îãðàíè÷åííàÿ ëèíèÿìè x = a, x = b, y = f(x) (f(x) íåïðåðûâíà íà [a; b]), y = 0, è
íà íåé ðàñïðåäåëåíî âåùåñòâî ñ ïëîòíîñòüþ ρ = 1. Ðàçäåëèì îòðåçîê
[a; b] íà n ÷àñòè÷íûõ îòðåçêîâ, à êðèâîëèíåéíóþ òðàïåöèþ íà n ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòåé. Çàìåíèì êàæäóþ ÷àñòè÷íóþ òðàïåöèþ ïðÿìîóãîëüíèêîì ñ îñíîâàíèåì ∆xk è âûñîòîé yk − 1 = f(xk − 1). Òîãäà ïîëó÷èì
ïðèáëèæåííûå âûðàæåíèÿ ýëåìåíòîâ ìàññû ∆mk ≈ yk − 1∆xk è ýëåìåíòàðíûõ ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé (∆Mx)k ≈
≈ l/2yk − 1 ∆mk, (My)k ≈ xk − 1∆mk. Ñóììèðóÿ è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè λ → 0,
ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ ìàññû è ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ âñåé ôèãóðû:
b
m = ∫ ydx , M x =
a
b
1 2
y dx , M
2 ∫a
y
=
b
1
xydx .
2 ∫a
(3)
Êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè xC è yC îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ
ìàòåðèàëüíîé äóãè, ôîðìóëàìè (1), â êîòîðûõ m, Mx, My îïðåäåëÿþòñÿ
ïî ôîðìóëàì (3).
Èç ðàâåíñòâà yC = Mx/m ñîãëàñíî ôîðìóëå (3) èìååì:
b
b
1 2
y dx = y C ∫ ydx ,
2 ∫a
a
îòêóäà
b
b
a
a
π ∫ y 2 dx = 2 πy C ∫ ydx .
Ëåâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà åñòü îáúåì V òåëà, ïîëó÷àåìîãî
îò âðàùåíèÿ äàííîé ïëîñêîé ôèãóðû âîêðóã îñè Ox, ïðàâàÿ — ïðîèçâåäåíèå ïëîùàäè S âðàùàþùåéñÿ ôèãóðû íà 2πyC — äëèíó îê-
224
ðóæíîñòè, îïèñûâàåìîé ïðè ýòîì âðàùåíèè öåíòðîì òÿæåñòè ôèãóðû. Èòàê,
V = S⋅2πyC.
(4)
Ýòî ïðèâîäèò êî âòîðîé òåîðåìå Ãóëüäèíà.
 ò î ð à ÿ ò å î ð å ì à à ó ë ü ä è í à. Îáúåì òåëà, îáðàçîâàííîãî
âðàùåíèåì äàííîé ïëîñêîé ôèãóðû âîêðóã íå ïåðåñåêàþùåé åå îñè, ëåæàùåé â åå ïëîñêîñòè, ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè âðàùàþùåéñÿ ôèãóðû íà
äëèíó îêðóæíîñòè, êîòîðóþ ïðè ýòîì âðàùåíèè îïèñûâàåò öåíòð òÿæåñòè ýòîé ôèãóðû.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè öåíòð òÿæåñòè ïîëóêðóãà, îãðàíè÷åííîãî îñüþ Ox è ïîëóîêðóæíîñòüþ y = R 2 − x 2 (ïðè óñëîâèè ρ = 1). Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè ñëåäóåò, ÷òî xC =
= 0. Äàëåå, ñîãëàñíî ôîðìóëå (4)
4
πR 2
πR 3 =
⋅ 2 πyC , îòêóäà
3
2
yC =
4R
≈ 0,424R
3π
(çäåñü òàêæå äëÿ âû÷èñëåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàëüêóëÿòîð).
§ 9.11. Âåêòîð-ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà
1. Âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà, åå ãîäîãðàô. Äî ñèõ ïîð
ìû èçó÷àëè ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó âåëè÷èíàìè,ïðèíèìàþùèìè òîëüêî ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà x åñòü ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíû t, ò. å. x = x(t),
òî êàê çíà÷åíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé t, òàê è çíà÷åíèÿ ñàìîé
ôóíêöèè x ñóòü ÷èñëà. Òàêèì îáðàçîì, t è x ÿâëÿþòñÿ â ýòîì ñëó÷àå
ñêàëÿðíûìè âåëè÷èíàìè, èëè ïðîñòî ñêàëÿðàìè; èíûìè ñëîâàìè, ìû
èìååì ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà. Ïî àíàëîãèè ñî ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèå âåêòîðíîé ôóíêöèè ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè êàæäîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà t èç íåêîòîðîãî ïðîìåæóòêà îòâå÷àåò îïðåäåëåííûé âåêòîð r (çàâèñÿùèé îò t),
òî âåêòîð r íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîé ôóíêöèåé (êðàòêî — âåêòîð-ôóíêöèÿ)
îò ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà t, è â ýòîì ñëó÷àå ïèøóò:
r = r (t ).
(1)
Ïðè èçìåíåíèè àðãóìåíòà t âåêòîð r (t ) èçìåíÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, êàê
ïî âåëè÷èíå, òàê è ïî íàïðàâëåíèþ.  äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
t èçìåíÿåòñÿ â ïðîìåæóòêå, êîíå÷íîì èëè áåñêîíå÷íîì.
Êàê è â âåêòîðíîé àëãåáðå (ãë. 2), ìû çäåñü ðàññìàòðèâàåì ñâîáîäíûå âåêòîðû, ò. å. òàêèå âåêòîðû, êîòîðûå ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè
225
îíè ðàâíû ïî âåëè÷èíå è îäèíàêîâî íàïðàâëåíû, èëè, èíà÷å ãîâîðÿ,
åñëè îíè èìåþò ðàâíûå ïðîåêöèè
íà îñè êîîðäèíàò. Ñâîáîäíûå âåêòîðû ìîãóò áûòü îòëîæåíû îò êàêîé óãîäíî òî÷êè. Áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî âåêòîð r (t ) èñõîäèò èç íà÷àëà
êîîðäèíàò, ò. å. âåêòîð r — ðàäèóñ-âåêòîð íåêîòîðîé òî÷êè M. Â
ýòîì ñëó÷àå ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà t êîíåö âåêòîðà r îïèøåò íåÐèñ. 124
êîòîðóþ ëèíèþ L, íàçûâàåìóþ ãîäîãðàôîì âåêòîðíîé ôóíêöèè r (t )
(ðèñ. 124). Ïðè ýòîì íà÷àëî êîîðäèíàò íàçûâàþò ïîëþñîì ãîäîãðàôà.
Óðàâíåíèå (1) íàçûâàþò âåêòîðíûì óðàâíåíèåì ýòîé êðèâîé.
Åñëè ó âåêòîðà r (t ) ìåíÿåòñÿ òîëüêî ìîäóëü, òî ãîäîãðàôîì åãî
áóäåò ëó÷, èñõîäÿùèé èç ïîëþñà. Åñëè ìîäóëü âåêòîðà r (t ) ïîñòîÿíåí (| r (t )| = const) è ìåíÿåòñÿ òîëüêî åãî íàïðàâëåíèå, òî ãîäîãðàô åñòü
ëèíèÿ, ëåæàùàÿ íà ñôåðå ñ öåíòðîì â ïîëþñå è ðàäèóñîì, ðàâíûì ìîäóëþ âåêòîðà r (t ).
Ñ âåêòîðíîé ôóíêöèåé ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà îñîáåííî ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ âñòðå÷àòüñÿ â êèíåìàòèêå ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ òî÷êè, êîãäà ðàäèóñ-âåêòîð r (t ) äâèæóùåéñÿ òî÷êè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé âðåìåíè t.
Ãîäîãðàôîì òàêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ òî÷êè.
Ïðè ýòîì óðàâíåíèå r = r (t ) íàçûâàþò óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ.
Åñëè ÷åðåç x, y è z îáîçíà÷èòü ïðîåêöèè âåêòîðà r (t ) íà îñè ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå, òî ýòè âåëè÷èíû äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà t, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèíèìàþò îïðåäåëåííûå
÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ è ïîòîìó ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûìè ôóíêöèÿìè ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà t:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
(2)
 ñèëó èçâåñòíîãî (§ 2.1, ï. 8) ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî îðòàì ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò èìååì:
r (t ) = x (t )i + y(t ) j + z (t )k .
Òàêèì îáðàçîì, çàäàíèå âåêòîðíîé ôóíêöèè ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà
(ò. å. ôóíêöèè (1)) ðàâíîñèëüíî çàäàíèþ òðåõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé òîãî
æå àðãóìåíòà (ò. å. ôóíêöèé (2)).
Òàê êàê óðàâíåíèå (1) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì íåêîòîðîé êðèâîé â
ïðîñòðàíñòâå, òî òó æå êðèâóþ çàäàþò è óðàâíåíèÿ (2). Óðàâíåíèÿ (2) —
îáû÷íûå ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êðèâîé â ïðîñòðàíñòâå (§ 4.2, ï. 1).
226
Ñ ïîìîùüþ ýòèõ óðàâíåíèé äëÿ êàæäîãî
çíà÷åíèÿ t îïðåäåëÿþòñÿ êîîðäèíàòû x, y è z
ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êè êðèâîé, à ïî êîîðäèíàòàì ìîæíî îïðåäåëèòü è ðàäèóñ-âåêòîð
ýòîé òî÷êè.
Ðàññìîòðèì êðèâóþ, çàäàííóþ ïàðàìåòðè÷åñêè ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé
x = a cos t, y = a sin t, z = bt.
Ýòà êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ âèíòîâîé ëèíèåé
(ðèñ. 125). Åå âåêòîðíîå óðàâíåíèå
r = a cos t ⋅ i + a sin t ⋅ j + btk .
Ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà t
2
2
2
Ðèñ. 125
2
2
2
x + y = a (cos t + sin t) = a .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âèíòîâàÿ ëèíèÿ ðàñïîëîæåíà íà öèëèíäðå x2 + y2 = a2.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî, êîãäà òî÷êà M äâèæåòñÿ ïî âèíòîâîé ëèíèè, åå
ïðîåêöèÿ N íà ïëîñêîñòè xOy ïåðåìåùàåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì
a è öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, ïðè÷åì t ÿâëÿåòñÿ ïîëÿðíûì óãëîì
òî÷êè N. Êîãäà òî÷êà N îïèñûâàåò ïîëíóþ îêðóæíîñòü, àïïëèêàòà z
òî÷êè M âèíòîâîé ëèíèè óâåëè÷èâàåòñÿ íà h = 2πb. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ øàãîì âèíòîâîé ëèíèè.
2. Ïðåäåë, íåïðåðûâíîñòü è ïðîèçâîäíàÿ âåêòîð-ôóíêöèè. Ïóñòü
ôóíêöèÿ r (t ) îïðåäåëåíà â îêðåñòíîñòè òî÷êè t0, êðîìå, áûòü ìîæåò,
ñàìîé òî÷êè t0.
Âåêòîð r0 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì âåêòîðíîé ôóíêöèè r (t ) ïðè ñòðåìëåíèè t ê t0 (èëè, êîðî÷å, â òî÷êå t0), åñëè
lim r (t ) − r0 = 0.
t →t 0
(3)
Åñëè r0 åñòü ïðåäåë ôóíêöèè r (t )ïðè t → t0, òî ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê:
lim r (t ) = r0
t →t 0
(4)
Èòàê, êîãäà ìû ïèøåì ñîîòíîøåíèå (4), òî ïîäðàçóìåâàåì ïîä ýòèì
ñîîòíîøåíèå (3).
Åñëè ìû çàïèøåì âåêòîðíóþ ôóíêöèþ r (t ) è âåêòîð r0 â ïðîåêöèÿõ
(ï. 1)
r (t ) = x (t )i + y(t ) j + z (t )k ,
r0 = x 0 i + y 0 j + z 0 k ,
227
òî ïîëó÷èì:
r (t ) − r0 = ( x (t ) − x 0 ) 2 + ( y(t ) − y 0 ) 2 + ( z (t ) − z 0 ) 2 .
(5)
Òîãäà èç óñëîâèÿ (3) ñëåäóåò, ÷òî
lim x (t ) = x 0 , lim y(t ) = y 0 , lim z (t ) = z 0 .
t →t 0
t →t 0
t →t 0
(6)
Îáðàòíî: èç ôîðìóë (6) ñ ïîìîùüþ (5) ñðàçó âûòåêàåò ñîîòíîøåíèå (3).
Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ (3) è (6) ðàâíîñèëüíû.
Èç îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà âåêòîðíîé ôóíêöèè ñ ó÷åòîì î÷åâèäíîãî
íåðàâåíñòâà r (t ) − r0 ≤ r (t ) − r0 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò ñëåäóþùåå
ñâîéñòâî:
1. Åñëè lim r (t ) = r0 , òî è lim r (t ) = r0 .
t →t 0
t →t 0
Îòìåòèì åùå ÷åòûðå ñâîéñòâà:
2. lim(r1 (t ) + r2 (t )) = lim r1 (t ) + lim r2 (t ).
t →t 0
t →t 0
t →t 0
3. lim( f (t )r (t )) = lim f (t )lim r (t )
t →t 0
t →t 0
t →t 0
(f(t) — ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ).
4. lim(r1 (t )r2 (t )) = lim r1 (t )lim r2 (t ).
t →t 0
t →t 0
t →t 0
5. lim(r1 (t ) × r2 (t )) = lim r1 (t ) × lim r2 (t ).
t →t 0
t →t 0
t →t 0
(Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðåäåëû â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ïîñëåäíèõ ÷åòûðåõ ðàâåíñòâ ñóùåñòâóþò.)
Ñâîéñòâà 2—5 ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (6) ëåãêî ñëåäóþò èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ñâîéñòâ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé, åñëè ïåðåéòè ê êîîðäèíàòíîé çàïèñè âåêòîðîâ è èõ ñêàëÿðíûõ è âåêòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé.
Âåêòîð-ôóíêöèÿ r (t ), îïðåäåëåííàÿ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
t0, íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå t0, åñëè lim r (t ) = r (t 0 ).
t →t 0
Èç ðàâíîñèëüíîñòè óñëîâèé (3) è (6) ñëåäóåò, ÷òî, äëÿ òîãî ÷òîáû âåêòîð-ôóíêöèÿ r (t ) áûëà íåïðåðûâíîé â òî÷êå t 0, íåîáõîäèìî
è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â ýòîé òî÷êå áûëè íåïðåðûâíû ôóíêöèè x, y, z.
Èç ñâîéñòâ ïðåäåëîâ âåêòîðíûõ ôóíêöèé ñëåäóåò, ÷òî ñóììà, ñêàëÿðíîå è âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðíûõ ôóíêöèé, ïðîèçâåäåíèå
ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé íà âåêòîðíûå áóäóò íåïðåðûâíû â òî÷êå t0, åñëè â
ýòîé òî÷êå áûëè íåïðåðûâíû âñå ñëàãàåìûå, ñîîòâåòñòâåííî ñîìíîæèòåëè.  äàëüíåéøåì ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî íåïðåðûâíûå
ôóíêöèè.
228
Ïåðåéäåì òåïåðü ê âîïðîñó î
ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà
r (t ) = x (t )i + y(t ) j + z (t )k , (7)
ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íà÷àëî âåêòîðà r (t ) íàõîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò. Êàê óæå îòìå÷àëîñü (ï. 1),
ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ
óðàâíåíèåì íåêîòîðîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé.
Âîçüìåì êàêîå-íèáóäü ôèêñèðîâàííîå çíà÷åíèå t, ñîîòâåòñòÐèñ. 126
âóþùåå êàêîé-íèáóäü îïðåäåëåííîé òî÷êå M íà êðèâîé, çàäàííîé
óðàâíåíèåì (7), è äàäèì t ïðèðàùåíèå ∆t. Òîãäà ïîëó÷èì âåêòîð
r (t + ∆t ) = x (t + ∆t )i + y(t + ∆t ) j + z (t + ∆t )k ,
êîòîðûé îïðåäåëÿåò íà êðèâîé íåêîòîðóþ òî÷êó M′ (ðèñ. 126). Íàéäåì
ïðèðàùåíèå âåêòîðà:
∆r = r (t + ∆t ) − r (t ) = ( x (t + ∆t ) − x (t ))i + ( y(t + ∆t ) − y(t )) j +
+( z (t + ∆t ) − z (t ))k .
(8)
Íà ðèñóíêå 126, ãäåOM = r (t ),OM ′ = r (t + ∆t ), ýòî ïðèðàùåíèå èçîáðàæàåòñÿ âåêòîðîì MM ′ = ∆r (t ).
∆r (t )
Ðàññìîòðèì îòíîøåíèå
ïðèðàùåíèÿ âåêòîð-ôóíêöèè ê
∆t
ïðèðàùåíèþ ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà; ýòî åñòü âåêòîð, êîëëèíåàðíûé
ñ âåêòîðîì ∆r (t ), òàê êàê ïîëó÷àåòñÿ èç íåãî óìíîæåíèåì íà ñêàëÿð∆r (t )
1
íûé ìíîæèòåëü . Ïðè ýòîì âåêòîð
íàïðàâëåí â ñòîðîíó, ñî∆t
∆t
îòâåòñòâóþùóþ âîçðàñòàíèþ t (íàïðàâëåíèå îò M ê M ′ íà ðèñóíêå 126).
∆r (t )
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ∆t > 0, òî âåêòîð
= MQ ′ èìååò òî æå íà∆t
ïðàâëåíèå, ÷òî è âåêòîð ∆r (t ) = MM ′, ò.å. íàïðàâëåí â òó ñòîðîíó ãîäîãðàôà, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò âîçðàñòàíèþ ïàðàìåòðà t. Åñëè æå ∆t < 0,
òî âåêòîð ∆r (t ) = MM ′′ íàïðàâëåí â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó è ïðè
äåëåíèè íà îòðèöàòåëüíîå ∆t ìû ïîëó÷èì âåêòîð MQ ′′, íàïðàâëåííûé
ñíîâà â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ t.
229
Äàëåå ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ (8) âåêòîð
∆r (t )
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
∆t
∆r (t ) x (t + ∆t ) − x (t )
y(t + ∆t ) − y(t )
z (t + ∆t ) − z (t )
=
i+
j+
k.
∆t
∆t
∆t
∆t
(9)
Åñëè ôóíêöèè x(t), y(t), z(t) èìåþò ïðîèçâîäíûå ïðè âûáðàííîì
çíà÷åíèè t, òî ìíîæèòåëè ïðè i , j, k â ðàâåíñòâå (9) â ïðåäåëå ïðè ∆t→0
îáðàòÿòñÿ â ïðîèçâîäíûå x′(t), y′(t), z′(t). Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå
ñóùåñòâóåò ïðåäåë
lim
∆t → 0
∆r
= x ′(t )i + y ′(t ) j + z ′(t )k .
∆t
Âåêòîð, îïðåäåëÿåìûé ïîñëåäíèì ðàâåíñòâîì, íàçûâàåòñÿ ïðîèçâîäíîé îò âåêòîðà r (t ) ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó t; åå îáîçíà÷àþò ñèìâîdr
èëè r ′. Èòàê,
ëîì
dt
dr
(10)
= r ′ = x ′(t )i + y ′(t ) j + z ′(t )k ,
dt
èëè
dr dx
dy
dz
=
i+
j + k.
dt
dt dt
dt
dr
. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïðè
Âûÿñíèì íàïðàâëåíèå âåêòîðà
dt
∆t → 0 òî÷êà M ′(M ′′) ñòðåìèòñÿ ê òî÷êå M è ïîýòîìó ñåêóùàÿ
MM ′(MM ′′) ñòðåìèòñÿ ê êàñàòåëüíîé â òî÷êå M. Îòñþäà ïðîèçâîäíàÿ
r ′(t ) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì MT , êàñàòåëüíûì ê ãîäîãðàôó âåêòîð-ôóíêöèè r (t ), íàïðàâëåííûì â ñòîðîíó, ñîîòâåòñòâóþùóþ âîçðàñòàíèþ
ïàðàìåòðà t.
Èç ðàçëîæåíèÿ (10) ñëåäóåò, ÷òî
r ′ (t ) = x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) + z ′ 2 (t ).
(11)
Íî, êàê èçâåñòíî (§9.9, ï. 3, ïðèìå÷àíèå), äèôôåðåíöèàë äóãè
dl = x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) + z ′ 2 (t )dt,
îòêóäà
dl
= x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) + z ′ 2 (t ).
dt
Èç ñîïîñòàâëåíèÿ ôîðìóë (11) è (12) èìååì:
r ′ (t ) =
230
dl
.
dt
(12)
(13)
Òàêèì îáðàçîì, ìîäóëü ïðîèçâîäíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè r ′(t ) ðàâåí ïðîèçâîäíîé îò äëèíû ãîäîãðàôà ïî àðãóìåíòó t.
Åñëè âåêòîð-ôóíêöèÿ r (t ) èìååò ïîñòîÿííûé ìîäóëü, íî ïåðåìåídr
íîå íàïðàâëåíèå, òî åå ïðîèçâîäíàÿ
ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì, ïåðïåíäèdt
êóëÿðíûì ê âåêòîðó r (t ).  ñàìîì äåëå, â ýòîì ñëó÷àå ãîäîãðàô ëåæèò íà
ñôåðå, è ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ r ′(t ) êàê âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê ãîäîãðàôó, ïåðïåíäèêóëÿðíà ê âåêòîðó r (t ).
Ïðèâåäåì ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ âåêòîð-ôóíêöèé (àðãóìåíò
äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè îïóñòèì):
1. (r1 + r2 )′ = r ′ 1 +r ′ 2 .
2. ( fr )′ = f ′ r + fr ′
(f — ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, â ÷àñòíîñòè (cr )′ = cr ′, ãäå c — ñêàëÿðíàÿ ïîñòîÿííàÿ).
4. (r1 × r2 )′ = r1′ × r2 + r1 × r2′.
3. (r1 r2 )′ = r1′r2 + r1 r2′.
Âñå ýòè ôîðìóëû äîêàçûâàþòñÿ àíàëîãè÷íî ôîðìóëàì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé (ñì. § 8.2, ï. 1), îíè ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû è èíà÷å —ñ èñïîëüçîâàíèåì âûðàæåíèÿ (10).
Ïîñëåäîâàòåëüíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ìîæíî íàéòè ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ îò âåêòîðíûõ ôóíêöèé. Òàê,
r ′′(t ) = x ′′(t )i + y ′′(t ) j + z ′′(t )k è ò.ä.
3. Êàñàòåëüíàÿ, íîðìàëüíàÿ ïëîñêîñòü, ãëàâíàÿ íîðìàëü. Ïóñòü òî÷êà
M(x; y; z) îïèñûâàåò íåêîòîðóþ ïðîñòðàíñòâåííóþ êðèâóþ L (ðèñ. 127).
Ïàðàìåòðîì, îïðåäåëÿþùèì ïîëîæåíèå òî÷êè M íà êðèâîé, áóäåì ñ÷èòàòü äëèíó l äóãè AM êðèâîé, îòñ÷èòûâàåìóþ îò îïðåäåëåííîé òî÷êè A
êðèâîé äî òî÷êè M. Òàê êàê ïîëîæåíèå òî÷êè M(x; y; z) íà êðèâîé îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì äóãè l, òî êîîðäèíàòû x, y è z, à òàêæå ðàäèóñ-âåêòîð r ýòîé òî÷êè ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè äëèíû äóãè l:
x = x(l), y = y(l), z = z(l), r = r (l ),
èëè â ïðîåêöèÿõ:
r = x (l )i + y(l ) j + z (l )k . (14)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì âåêòîð r (l )
ïî l. Ïîëó÷èì íîâûé âåêòîð
τ = rl ′,
(15)
Ðèñ. 127
231
íàïðàâëåííûé, êàê ìû çíàåì (ñì. ï. 2), ïî êàñàòåëüíîé ê êðèâîé â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ ïàðàìåòðà l (ñì. ðèñ. 127). Ìîäóëü ýòîãî âåêòîðà
 ∆r 
.
τ = rl ′ = lim
∆l → 0 ∆l
 
 ∆r 
çàïèñàíî íà îñíîâå ñâîéñòâà 1 ïðåäåëîâ (ï. 2).)
(Ðàâåíñòâî rl ′ = lim
∆l → 0 ∆l
 
Íî, êàê ðàíåå óñòàíîâëåíî (§9.9, ï. 3), ïîñëåäíèé ïðåäåë ðàâåí åäèíèöå (îí ðàâåí åäèíèöå è â ñëó÷àå ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé).
Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð τ åñòü åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî
êàñàòåëüíîé ê êðèâîé â òî÷êå Ì â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ l. Åñëè âåêòîð r
çàäàí â ïðîåêöèÿõ (14), òî ñîãëàñíî ôîðìóëå (10) èìååì:
τ = rl ′ = x l′i + y l′ j + z l′k .
Íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ëåãêî íàïèñàòü óðàâíåíèÿ êàñàòåëüíîé ê êðèâîé L â òî÷êå M(x; y; z). Òàê êàê âåêòîð τ íà èñêîìîé êàñàòåëüíîé, òî (§ 4.2, ï. 3) åå óðàâíåíèÿ áóäóò
X −x Y −y Z −z
,
=
=
x l′
y l′
z l′
(16)
ãäå X, Y, Z — òåêóùèå êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàòåëüíîé, à çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ x, y, z âû÷èñëÿþòñÿ â òî÷êå êàñàíèÿ M. Åñëè â óðàâíåíèÿõ
êðèâîé, âìåñòî äëèíû äóãè l âçÿòü ëþáîé äðóãîé ïàðàìåòð t, òî, ðàññìàòðèâàÿ äëèíó äóãè l êàê ôóíêöèþ ïàðàìåòðà t, ïîëó÷èì:
x t′ = x l′ ⋅ l t′ , y t′ = y l′ ⋅ l t′ , z t′ = z l′ ⋅ l t′ .
Ñëåäîâàòåëüíî, â óðàâíåíèÿõ (16) ïðîèçâîäíûå x l′ , y l′ , z l′ ìîæíî çàìåíèòü ïðîèçâîäíûìè x t′ , y t′ , z t′ ñîîòâåòñòâåííî. Òåì ñàìûì ïðèõîäèì è ê
òàêîé ôîðìå óðàâíåíèé êàñàòåëüíîé:
X −x Y −y Z −z
.
=
=
x t′
y t′
z t′
Ðèñ. 128
232
(17)
Ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ
êàñàòåëüíîé (17) è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó êàñàíèÿ, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ïëîñêîñòüþ ê êðèâîé L â
òî÷êå M (ðèñ. 128). Âñÿêàÿ ïðÿìàÿ,
ëåæàùàÿ â ýòîé ïëîñêîñòè è ïåðåñåêàþùàÿ êðèâóþ â òî÷êå êàñàíèÿ M,
íàçûâàåòñÿ íîðìàëüþ êðèâîé L â òî÷êå M, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ â êàæäîé òî÷êå èìååò
áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî íîðìàëåé. Íàéäåì óðàâíåíèå íîðìàëüíîé
ïëîñêîñòè ê êðèâîé L â òî÷êå M(x; y; z).
Òàê êàê èñêîìàÿ ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà ê êàñàòåëüíîé (17),òî
âåêòîð (10) ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì ýòîé ïëîñêîñòè è ïîòîìó (§ 4.1, ï. 2)
åå óðàâíåíèå èìååò âèä:
( X − x )x l′ + (Y − y ) y l′ + ( Z − z )z l′ = 0
(çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ âçÿòû â òî÷êå M(x; y; z)).
Ï ð è ì å ð. Íàïèñàòü óðàâíåíèÿ íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè è êàñàòåëüíîé ê âèíòîâîé
ëèíèè
x = cos t, y = sin t, z = 3t
π
â òî÷êå P, äëÿ êîòîðîé t = .
3
Äëÿ ëþáîãî t
ïîýòîìó ïðè t =
π
èìååì:
3
x ′t = − sin t, y′t = cos t, z′t = 3,
1
3
, z = π,
x= ,y=
2
2
x t′ = −
3
1
, yt′ = , zt′ = 3,
2
2
è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êàñàòåëüíîé ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ
3
1
Y −
2 = Z − π,
2 =
1
3
3
−
2
2
X −
äëÿ íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè óðàâíåíèå

1
3

−  X −  3 + Y −
 + (Z − π)6 = 0.

2
2


Ðàññìîòðèì òåïåðü âòîðóþ ïðîèçâîäíóþ rl ′′2 âåêòîðíîé ôóíêöèè
r (l ), Èç ôîðìóëû (15) ñëåäóåò, ÷òî rl ′′2 = [rl ′]′l = τ l′ . Òàê êàê âåêòîð τ(l ) åäèíè÷íûé, òî âåêòîð ïðîèçâîäíîé τ l′ ïåðïåíäèêóëÿðåí ê íåìó (ñì. ï. 2).
Ñëåäîâàòåëüíî, âåêòîð τ l′ ëåæèò â íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè è îïðåäåëÿåò
íåêîòîðóþ íîðìàëü. Ýòó íîðìàëü íàçûâàþò ãëàâíîé. Ïîëîæèòåëüíûì
íàïðàâëåíèåì ãëàâíîé íîðìàëè áóäåì ñ÷èòàòü òî, êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ
íàïðàâëåíèåì âåêòîðà τ l′ . Èòàê, ïðèõîäèì ê îïðåäåëåíèþ:
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ãëàâíîé íîðìàëüþ êðèâîé L â äàííîé åå òî÷êå M
íàçûâàåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M è èìåþùàÿ íàïðàâëåíèå âåêòîðà τ l′ .
Òàê êàê
τ l′ = rl ′′2 = x l′′2 i + y l′′2 j + z l′′2 k ,
233
òî óðàâíåíèÿ ãëàâíîé íîðìàëè êðèâîé â òî÷êå M (x; y; z) áóäóò èìåòü
âèä:
X −x Y −y Z −z
,
=
=
x l′′2
y l′′2
z l′′2
ãäå X, Y, Z — òåêóùèå êîîðäèíàòû òî÷êè íà ãëàâíîé íîðìàëè.
4. Ïðèëîæåíèÿ ê ìåõàíèêå. Ðàññìîòðåííîå âûøå äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðíîé ôóíêöèè ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà èìååò âàæíîå ïðèìåíåíèå â ìåõàíèêå ïðè îïðåäåëåíèè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ.
Ïóñòü ãîäîãðàô âåêòîðíîé ôóíêöèè r = r (t ) ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðèåé
äâèæåíèÿ òî÷êè, t — âðåìÿ. Òîãäà âåêòîð-ïðîèçâîäíàÿ
dr
L =
dt
íàçûâàåòñÿ ñêîðîñòüþ äâèæåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ñêîðîñòü äâèæåíèÿ åñòü âåêòîð, êàñàòåëüíûé ê òðàåêòîðèè â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå è íàïðàâëåííûé â ñòîðîíó äâèæåíèÿ
(ò. å. â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ t).
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (13) ìîäóëü ñêîðîñòè ðàâåí:
dr 
 = dl ,
|L | =
 dt  dt
ò. å. ðàâåí ïðîèçâîäíîé îò ïóòè ïî âðåìåíè.
dl
âïîëíå
dt
õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü äâèæåíèÿ (åå è íàçûâàåì ñêîðîñòüþ ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ).
Âåêòîð
dL d 2 r
w=
= 2
dt
dt
íàçûâàåòñÿ óñêîðåíèåì äâèæåíèÿ.
Ïðåäñòàâèì óñêîðåíèå w â íåñêîëüêî
èíîì âèäå. Ïóñòü τ — åäèíè÷íûé âåêòîð êàñàòåëüíîé ê ãîäîãðàôó â òî÷êå Ì (ðèñ. 129).
Òîãäà
dl
L =|L | τ = τ.
dt
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ïðîèçâåäåíèå (ñì.
ï. 2, ïðàâèëî 2), ïîëó÷èì:
Åñëè äâèæåíèå ïðÿìîëèíåéíîå, òî ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà
Ðèñ. 129
234
w=
d 2l
dl dτ
τ+ ⋅ .
2
dt dt
dt
(18)
dτ
.Òàê êàê τ — åäèíè÷íûé âåêòîð,
dt
òî ïðîèçâîäíàÿ åãî áóäåò ê íåìó ïåðïåíäèêóëÿðíà, ò. å. íàïðàâëåíà ïî
íåêîòîðîé íîðìàëè ê êðèâîé (ýòó íîðìàëü ìû íàçâàëè ãëàâíîé íîðìàëüþ (ï. 3)). Îáîçíà÷èâ åäèíè÷íûé âåêòîð ýòîé íîðìàëè ÷åðåç v,
çàïèøåì:
dτ dτ
=
v.
dt
dt
Èç ðèñóíêà 129 ÿñíî, ÷òî |∆τ | åñòü õîðäà, ñòÿãèâàþùàÿ äóãó îêðóæíîñòè QR = | τ |∆ϕ, ãäå ∆ϕ — óãîë ñìåæíîñòè äóãè MM1 (ñì. § 9.9, ï. 4).
 ñèëó ýêâèâàëåíòíîñòè áåñêîíå÷íî ìàëîé äóãè è õîðäû (ñì. § 9.9, ï. 3,
òåîðåìà) ìîæíî çàïèñàòü:
dϕ
dτ
=
.
dt
dt
Ïðîèçâåäåì åùå ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå:
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâîäíóþ
dϕ
dϕ dl
dl
=
⋅
= K,
dt
dl dt
dt
dϕ
ãäå K =
. Ýòó âåëè÷èíó òàê æå, êàê è äëÿ ïëîñêîé êðèâîé, íàçûâàþò
dl
1
êðèâèçíîé ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé â òî÷êå Ì, à âåëè÷èíó ρ = — ðàK
äèóñîì êðèâèçíû (ôîðìóëó äëÿ êðèâèçíû ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé ìû
dτ
â ôîðìóëó (18), ïîëó÷èì:
íå âûâîäèì). Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå äëÿ
dt
2
 dl 
 
 dt 
d 2l
w = 2 τ+
v.
ρ
dt
d 2l
τ íàçûâàåòñÿ òàíãåíöèàëüdt 2
íûì óñêîðåíèåì; âåëè÷èíà åãî ðàâíà âòîðîé ïðîèçâîäíîé îò ïóòè ïî
âðåìåíè, è îí íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ. Âòî2
|L | 2
1  dl 
ðîé ñîñòàâëÿþùèé âåêòîð w n =   ν =
ν íàçûâàåòñÿ íîðìàëüρ  dt 
ρ
íûì óñêîðåíèåì; îí íàïðàâëåí ïî ãëàâíîé íîðìàëè ê òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ, âåëè÷èíà åãî ðàâíà êâàäðàòó âåëè÷èíû ñêîðîñòè äåëåííîìó íà
ðàäèóñ êðèâèçíû. Åñëè äâèæåíèå ïðÿìîëèíåéíîå, òî âåêòîð τ ïîñòîÿííûé, åãî ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà íóëþ è óñêîðåíèå ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçód 2l
åòñÿ âåëè÷èíîé 2 — óñêîðåíèåì ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ. Åñëè äâèdt
Ïåðâûé ñîñòàâëÿþùèé âåêòîð w t =
235
dl
, òî ïåðâîå
dt
ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ è îñòàåòñÿ ëèøü íîðìàëüíîå óñêîðåíèå
|L | 2
ν.  ÷àñòíîñòè, êîãäà òî÷êà ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîwn =
ρ
|L | 2
ñòè ðàäèóñà R, òî ρ = R (§ 9.9, ï. 4) è | w n | =
. Ýòî óñêîðåíèå íàïðàâëåR
íî ê öåíòðó îêðóæíîñòè è íàçûâàåòñÿ öåíòðîñòðåìèòåëüíûì.
æåíèå ðàâíîìåðíîå, ò. å. ïîñòîÿííà âåëè÷èíà ñêîðîñòè |L | =
Ãëàâà 10. ÐßÄÛ
§ 10.1. ×èñëîâûå ðÿäû
1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ïóñòü äàíà áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
÷èñåë a1, a2, …, an,… .
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñèìâîë
a1 + a2 + an + …
(1)
íàçûâàåòñÿ ÷èñëîâûì ðÿäîì èëè ïðîñòî ðÿäîì, à ÷èñëà a1, a2, …, an, … íàçûâàþòñÿ ÷ëåíàìè ðÿäà. Âìåñòî (1), ïîëüçóÿñü çíàêîì ñóììû, êðàòêî
ïèøóò òàê:
∞
∑a
n =1
n
.
Ñóììû êîíå÷íîãî ÷èñëà ÷ëåíîâ ðÿäà (1) S1 = a1,
S2 = a1 + a2, S3 = a1 + a2 + a3, …, Sn = a1 + a2 + a3 + … + an, …
íàçûâàþòñÿ ÷àñòè÷íûìè ñóììàìè (èëè îòðåçêàìè) ðÿäà (1).
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
S1, S2, S3, …, Sn,…
(2)
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë S = lim S n , òî ðÿä (1)
n→ ∞
íàçûâàþò ñõîäÿùèìñÿ, à ÷èñëî S — ñóììîé ýòîãî ðÿäà.  ýòîì ñëó÷àå
ïèøóò:
∞
S = a 1 + a 2 + ... + a n + ... = ∑ a n .
n =1
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (2) íå èìååò ïðåäåëà, òî ðÿä (1) íàçûâàåòñÿ
ðàñõîäÿùèìñÿ. Ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä ñóììû íå èìååò.
236
Ï ð è ì å ð 1. Ðàññìîòðèì ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåñ2
n −1
ñèè 1, q, q , , q , :
2
1+q+q +
+q
n −1
+
.
(3)
Åñëè q ≠ 1, òî, êàê èçâåñòíî,
S n = 1 + q + q 2 + ... + q n −1 =
q n −1 ⋅ q − 1
,
q −1
èëè
Sn =
Ïðè | q | < 1 lim S n =
n→ ∞
1− qn
1
qn
.
=
−
1−q 1−q 1−q
1
1
.
, ò. å. ðÿä (3) ïðè | q | < 1 ñõîäèòñÿ è ñóììà åãî ðàâíà
1−q
1−q
Ïðè q = 1 ïîëó÷àåì ðÿä
1+1+1+
+1+
.
Ñëåäîâàòåëüíî, Sn = n è lim S n = ∞, ò. å. ðÿä (3) ïðè q = 1 ðàñõîäèòñÿ.
n→ ∞
Ï ð è ì å ð 2. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä
∞
1
∑ n( n + 1).
n =1
(4)
Î÷åâèäíî,
1
1
1
(n = 1, 2, 3,
= −
n(n + 1) n n + 1
).
Ïîýòîìó
1 
1
 1   1 1  1 1 
1
.
S n = 1 −  +  −  +  −  + ... +  −
 =1 −
 2   2 3  3 4
 n n + 1
n +1
Îòñþäà
1 

lim S n = lim 1 −
 = 1.
n→ ∞ 
n + 1
n→ ∞
Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (4) ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà 1.
2. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ðÿäîâ. Åñëè â ðÿäå (1) îòáðîñèòü êîíå÷íîå ÷èñëî ïåðâûõ ÷ëåíîâ, íàïðèìåð m ÷ëåíîâ, òî ïîëó÷èì ðÿä
am+1 + am + 2 +
+ am + k +
,
(5)
êîòîðûé íàçûâàåòñÿ m-ûì îñòàòêîì ðÿäà (1).
Ò å î ð å ì à 1. Ðÿä (5) ñõîäèòñÿ (èëè ðàñõîäèòñÿ) îäíîâðåìåííî ñ ðÿäîì (1).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì
S′k = am + 1 + am + 2 +
+ a m + k.
Èìååì:
S′k = Sm + k − Sm.
(6)
237
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå èëè îòñóòñòâèå ïðåäåëà ïðè k → ∞
÷àñòè÷íîé ñóììû îäíîãî ðÿäà âëå÷åò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèå èëè îòñóòñòâèå ïðåäåëà ÷àñòè÷íîé ñóììû äðóãîãî ðÿäà. Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñ ë å ä ñ ò â è å 1. Ïðè èññëåäîâàíèè ðÿäà íà ñõîäèìîñòü ìîæíî èãíîðèðîâàòü êîíå÷íîå ÷èñëî åãî ïåðâûõ ÷ëåíîâ.
Ïóñòü ðÿä (1) ñõîäèòñÿ. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ñõîäèòñÿ è ðÿä (5),
çíà÷èò, ñóùåñòâóåò åãî ñóììà. Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç rm. Ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó â (6) ïðè k → ∞, ïîëó÷èì:
rm = S − Sm;
rm åñòü òà ïîãðåøíîñòü, êîòîðóþ ìû äîïóñêàåì, åñëè âìåñòî ñóììû S
ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (1) áåðåì ñóììó m ïåðâûõ åãî ÷ëåíîâ. Òàê êàê
lim rm = lim(S − S m ) = S − S = 0,
m→ ∞
m→ ∞
(7)
òî ïîãðåøíîñòü óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì m. Ñëåäîâàòåëüíî, àáñîëþòíàÿ
âåëè÷èíà îñòàòêà
| rm | = | S − S m |
áóäåò êàê óãîäíî ìàëà, åñëè òîëüêî ÷èñëî m âçÿòî äîñòàòî÷íî áîëüøèì.
Òàêèì îáðàçîì, ìû âñåãäà èìååì âîçìîæíîñòü ïîäñ÷èòàòü ïðèáëèæåííî ñóììó ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà, âçÿâ äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ïåðâûõ åãî
÷ëåíîâ.
Îäíàêî áîëüøóþ òðóäíîñòü ïðåäñòàâëÿåò âûÿñíåíèå âåëè÷èíû âîçíèêàþùåé îøèáêè, ò. å. îöåíêè | rm |. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî
äàííîìó ε > 0 íàéòè òàêîå (íàèìåíüøåå) m, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî | rm | < ε. Â äàëüíåéøåì (ñì. ï. 4) ìû ïîêàæåì, êàê èíîãäà ìîæíî
îöåíèâàòü âåëè÷èíó îøèáêè è òåì ñàìûì óñòàíàâëèâàòü, ñêîëüêî íóæíî áðàòü ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà äëÿ ïîëó÷åíèÿ åãî ñóììû ñ òðåáóåìîé
òî÷íîñòüþ.
Çàìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå âûøå ñîîòíîøåíèå (7) âûðàæàåò ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå:
Ò å î ð å ì à 2. Ïðåäåë ñóììû rm m-ãî îñòàòêà ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (1)
ïðè m → ∞ ðàâåí íóëþ.
Ò å î ð å ì à 3 (íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäà). Îáùèé
÷ëåí an ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (1) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè n, ò. å.
lim a n = 0.
n→ ∞
(8)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ðÿä (1) ñõîäèòñÿ. Èìååì an = Sn − Sn − 1,
îòêóäà
lim a n = lim S n − lim S n −1 = S − S = 0.
n→ ∞
238
n→ ∞
n→ ∞
Ñ ë å ä ñ ò â è å 2 . Åñëè îáùèé ÷ëåí an ðÿäà (1) ïðè n → ∞ íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
n −1
Ï ð è ì å ð 1. Äëÿ ðÿäà (3), ó êîòîðîãî | q | ≥ 1, èìååì | q |
≥ 1 äëÿ n = 1, 2,
, ò. å. q
n −1
íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Ïîýòîìó òàêîé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (8) íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ ñõîäèìîñòè ðÿäà. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ðÿäà
1+
1 1
1
+ + ... + + ...,
2 3
n
(9)
íàçûâàåìîãî ãàðìîíè÷åñêèì ðÿäîì,
lim a n = lim
n→ ∞
n→ ∞
1
= 0.
n
Îäíàêî ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ, ÷òî ìîæíî óñòàíîâèòü ðàññóæäåíèÿìè îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðÿä (9) ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà S. Òîãäà
lim(S 2 n − S n ) = lim S 2 n − lim S n = S − S = 0,
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
÷òî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó
S2n − Sn =
1
1
1 1
+ ... +
>n
= .
2n
2n 2
n +1
Ñëåäîâàòåëüíî, ãàðìîíè÷åñêèé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
Ò å î ð å ì à 4. Åñëè ðÿä (1) ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà S, òî ðÿä
∞
∑ ca ,
(10)
n
n =1
ãäå c — ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, òàêæå ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà cS.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Sn è σn — ÷àñòè÷íûå ñóììû ñîîòâåòñòâåííî ðÿäîâ (1) è (10). Òîãäà
Îòñþäà
σn = ca1 + ca2 +
+ can = c (a1 + a2 +
+ an) = cSn.
lim σ n = lim cS n = c lim S n = cS .
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ï ð è ì å ð 2. Ñ ó÷åòîì ïðèìåðà 1 (ï. 1) íà îñíîâàíèè òåîðåìû 4 çàêëþ÷àåì, ÷òî ïðè
| q | < 1 ðÿä
c + cq + cq
2
+ cq
n−1
+ ,
ãäå c — ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, ñõîäèòñÿ.
Ò å î ð å ì à 5. Åñëè ðÿä (1) è ðÿä
b 1 + b2 +
+ bn +
(11)
239
ñõîäÿòñÿ è èõ ñóììû ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû S è σ, òî è ðÿä
∞
∑ (a
n =1
(12)
+ bn )
n
ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà S + σ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Sn, σn è τn — ÷àñòè÷íûå ñóììû ñîîòâåòñòâåííî ðÿäîâ (1), (11) è (12). Òîãäà
τn = (a1 + b1) + (a2 + b2) + + (an + bn) =
= (a1 + a2 + + an) + (b1 + b2 + + bn) = Sn +σn.
Îòñþäà ñ ó÷åòîì òåîðåìû 4 î ïðåäåëàõ (§ 7.5, ï. 1)
lim τ n = lim(S n + σ n ) = lim S n + lim σ n = S + σ.
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
n→ ∞
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ïðè óñëîâèè òåîðåìû (5) ðÿä
∞
∑ (a
n
− bn )
n =1
òàêæå ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà ðàâíà S −σ.
Íàêîíåö, çàìåòèì (ñì. [11]), ÷òî åñëè ðÿä (1) ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììó S, òî ÷ëåíû åãî ìîæíî ëþáûì îáðàçîì ñãðóïïèðîâàòü ñêîáêàìè (îäíàêî íå ïåðåñòàâëÿÿ èõ), íàïðèìåð, òàê:
a1 + (a2 +a3) + (a4 + a5 + a6) +
,
îáðàçóÿ íîâûé ðÿä, ÷ëåíû êîòîðîãî ðàâíû ñóììàì ÷èñåë, ñòîÿùèõ â
ñêîáêàõ. Íîâûé ðÿä áóäåò ñõîäÿùèìñÿ è ïðèòîì ê S.
Îäíàêî ðàñêðûòèå ñêîáîê â ñõîäÿùåìñÿ ðÿäå íå âñåãäà âîçìîæíî.
Òàê, ðÿä
ñõîäèòñÿ, à ðÿä
(1 − 1) + (1 − 1) +
+ (1 − 1) +
,
1−1+1−1+ +1−1+
(13)
ðàñõîäèòñÿ (îáùèé ÷ëåí ðÿäà (13) íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ).
3. Ïîëîæèòåëüíûå ðÿäû.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ïîëîæèòåëüíûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ðÿä, ÷ëåíû
êîòîðîãî íåîòðèöàòåëüíû.
Ïóñòü äàí ïîëîæèòåëüíûé ðÿä
a 1 + a2 +
ò. e. an ≥ 0 (n = l, 2,
+ an +
,
). Òîãäà î÷åâèäíî,
Sn + 1 = Sn + an + 1 ≥ Sn (n = l, 2,
ò. e. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S1, S2,
240
(14)
, S n,
),
ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé.
Ýòî ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííîãî â § 7.3 (ï. 1) ñâîéñòâà 3 ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå:
Ò å î ð å ì à 1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëîæèòåëüíûé ðÿä (14) ñõîäèëñÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷àñòè÷íûõ ñóìì
ýòîãî ðÿäà áûëà îãðàíè÷åíà ñâåðõó.
Ò å î ð å ì à 2 (ïðèçíàê ñðàâíåíèÿ ðÿäîâ). Ïóñòü äàíû äâà ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäà
b 1 + b2 +
+ bn +
,
(B)
c 1 + c2 +
+ cn +
.
(C)
Åñëè ÷ëåíû ðÿäà (B) íå ïðåâîñõîäÿò ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ ðÿäà (C):
bn ≤ cn (n = l, 2,
),
(15)
òî èç ñõîäèìîñòè ðÿäà (C) ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ðÿäà (B), à èç ðàñõîäèìîñòè ðÿäà (B) ñëåäóåò ðàñõîäèìîñòü ðÿäà (C).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç Bn è Cn ñîîòâåòñòâåííî
÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäîâ (B) è (C), â ñèëó íåðàâåíñòâà (15) áóäåì èìåòü:
Bn ≤ Cn, n = 1, 2, 3,
.
(16)
Åñëè ðÿä (C) ñõîäèòñÿ, òî ïî òåîðåìå 1 ÷àñòè÷íûå ñóììû Cn îãðàíè÷åíû
ñâåðõó:
Cn ≤ L (L = const), n = 1, 2, 3, .
(17)
Èç íåðàâåíñòâ (16) è (17) èìååì: Bn ≤ L, n = 1, 2, 3, , è, çíà÷èò, ñîãëàñíî
òîé æå òåîðåìå 1 ðÿä (B) ñõîäèòñÿ.
Ïóñòü òåïåðü ðÿä (B) ðàñõîäèòñÿ. Òîãäà ðàñõîäèòñÿ è ðÿä (C).
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîãëàñíî òîëüêî ÷òî äîêàçàííîìó ñõîäèëñÿ áû è
ðÿä (B).
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Ââèäó ñëåäñòâèÿ 1 (ï. 2) òåîðåìà 2 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé, åñëè
óñëîâèå (15) âûïîëíÿåòñÿ íå äëÿ âñåõ n, à ëèøü íà÷èíàÿ c íåêîòîðîãî n.
Ï ð è ì å ð 1. Èññëåäîâàòü íà ñõîäèìîñòü ðÿä
1
∞
∑ (n + 1)
n =1
2
.
(18)
∞
Ñðàâíèâàåì äàííûé ðÿä ñî ñõîäÿùèìñÿ ðÿäîì (ñì. ï. 1) ∑
n =1
1
. Èìååì:
n(n + 1)
1
1
(n =1, 2, 3, ).
<
(n + 1)2 n(n + 1)
Îòñþäà ñîãëàñíî òåîðåìå 2 ïîëó÷àåì, ÷òî ðÿä (18) ñõîäèòñÿ.Ïîïóòíî îòìåòèì, ÷òî òîãäà â
ñèëó ñëåäñòâèÿ 1 (ï. 2) ñõîäèòñÿ è ðÿä
∞
1
∑n
n =1
2
.
(19)
241
Ò å î ð å ì à 3 (ïðèçíàê Äàëàìáåðà, Æàí Ëåðîí Äàëàìáåð (1717—
1783) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê). Åñëè ÷ëåíû ïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà (14)
òàêîâû, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë
lim
n→ ∞
a n +1
an
= ρ,
òî ïðè ρ < 1 ðÿä (14) ñõîäèòñÿ, à ïðè ρ > 1 ðÿä (14) ðàñõîäèòñÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.  ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N =
= N(ε), ÷òî äëÿ âñåõ n >N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
ρ−ε<
a n +1
an
< ρ + ε.
(20)
Åñëè ρ < 1, òî âûáåðåì ε ñòîëü ìàëûì, ÷òîáû ρ + ε áûëî ìåíüøå åäèíèöû. Ïîëàãàÿ ρ + ε = q, íà îñíîâàíèè ïðàâîãî íåðàâåíñòâà (20)
èìååì:
a n +1
< q , èëè an + 1 < anq,
an
äëÿ n = N + 1, N + 2,
ïîëó÷àåì:
. Äàâàÿ n ýòè çíà÷åíèÿ,èç ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà
aN + 2 < aN + 1q,
2
aN + 3 < aN + 2q < aN + 1q ,
3
aN + 4 < aN + 3q < aN + 1q ,
..................
ò. å. ÷ëåíû ðÿäà
a N + 2 + aN + 3 + aN + 4 +
(21)
ìåíüøå ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíîâ ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà aN + 1q + aN + 1q2 +
+ aN + 1q3 + (ñì. ï. 2, ïðèìåð 2). Òîãäà ïî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ðÿä
(21) ñõîäèòñÿ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå 1 (ï. 2) ñõîäèòñÿ
è ðÿä (14).
Ïóñòü òåïåðü ρ > 1. Âîçüìåì ε ñòîëü ìàëûì, ÷òîáû ρ −ε > 1. Òîãäà ïðè
n > N â ñèëó ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (20) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ íåðàâåíñòa
âî n +1 > 1, èëè an + 1 > an. Òàêèì îáðàçîì, ÷ëåíû ðÿäà (14), íà÷èíàÿ ñ íîan
ìåðà n = N + l, âîçðàñòàþò ñ óâåëè÷åíèåì èõ íîìåðîâ, ò. å. îáùèé ÷ëåí
ðÿäà (14) àn íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî
ñëåäñòâèþ 2 (ï. 2) ðÿä (14) ðàñõîäèòñÿ.
242
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ïðè ρ = 1 ïðèçíàê Äàëàìáåðà íà âîïðîñ î òîì, ñõîäèòñÿ èëè
ðàñõîäèòñÿ ðÿä, îòâåòà íå äàåò.  ñàìîì äåëå, äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãî ðÿäà ρ = 1, ïðè÷åì ýòîò
ðÿä ðàñõîäèòñÿ (ñì. ï. 2, ïðèìå÷àíèå 1). Âìåñòå ñ òåì äëÿ ðÿäà (19) òàêæå ρ = 1, íî ýòîò ðÿä
ñõîäèòñÿ (ñì. ïðèìåð 1).
Ï ð è ì å ÷ à í è å 3. Èç äîêàçàòåëüñòâà ïðèçíàêà Äàëàìáåðà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ρ > 1
îáùèé ÷ëåí an ðÿäà (14) íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.
a
Ï ð è ì å ÷ à í è å 4. Ðÿä (14) áóäåò ðàñõîäèòüñÿ è â òîì ñëó÷àå, êîãäà lim n + 1 = ∞,
n→ ∞ a
n
a
òàê êàê òîãäà, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî íîìåðà n = N, áóäåò n + 1 > 1, è, çíà÷èò, an íå ñòðåìèòan
ñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.
1
ñõîäèòñÿ, òàê êàê
n
n =1 !
∞
Ï ð è ì å ð 2. Ðÿä ∑
lim
n→ ∞
an + 1
an
= lim
n→ ∞
n!
1
= lim
= 0 < 1.
(n + 1)! n→ ∞ n + 1
nn
ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê
n =1 n !
∞
Ï ð è ì å ð 3. Ðÿä ∑
lim
n→ ∞
an + 1
an
n
n
(n + 1)n + 1 n !
 n + 1
 1
= lim 
 = lim 1 +  = e > 1.
n→ ∞ 
n → ∞ (n + 1)! n n
n→ ∞ 
n 
n
= lim
Ò å î ð å ì à 4 (èíòåãðàëüíûé ïðèçíàê Êîøè). Ïóñòü ÷ëåíû ïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà (14) òàêèå, ÷òî
a1 = f(l), a2 = f(2),
, an = f(n),
,
ãäå ôóíêöèÿ f(x) ïðè x ≥ 1 íåïðåðûâíà, ïîëîæèòåëüíà è óáûâàåò. Òîãäà ðÿä
(14) è íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
+∞
∫ f ( x )dx
(22)
1
ñõîäÿòñÿ èëè ðàñõîäÿòñÿ îäíîâðåìåííî.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç ðèñóíêà 130 (èìåÿ â âèäó ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà) âèäíî, ÷òî
In =
n +1
∫ f ( x )dx < f (1) ⋅1 + f (2) ⋅1 + ... + f (n) ⋅1 = a
1
+ a 2 + ... + a n = S n .
1
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {In} è {Sn} ìîíîòîííî
âîçðàñòàþùèå (f(x) > 0 è an > 0, n = 1, 2, ), ñ ó÷åòîì òåîðåìû 1 è ñâîéñòâà
3 èç § 7.3 (ï. 1) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ðÿä (14) ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è èíòåãðàë (22).
Òî÷íî òàê æå èç ðèñóíêà 131 ÿñíî, ÷òî Sn+1 − a1 < In, îòêóäà, ïîäîáíî
ïðåäûäóùåìó, ñëåäóåò, ÷òî åñëè èíòåãðàë (22) ñõîäèòñÿ, òî ñõîäèòñÿ è
ðÿä (14).
243
Ðèñ. 130
Ðèñ. 131
Íàêîíåö, åñëè ðÿä (14) ðàñõîäèòñÿ, òî ðàñõîäèòñÿ è èíòåãðàë (22), èáî
â ïðîòèâíîì ñëó÷àå â ñèëó òîëüêî ÷òî äîêàçàííîãî ñõîäèëñÿ áû ðÿä (14).
Àíàëîãè÷íî åñëè ðàñõîäèòñÿ èíòåãðàë (22), òî ðàñõîäèòñÿ è ðÿä (14).
Ï ð è ì å ÷ à í è å 5.  èíòåãðàëå (22) â êà÷åñòâå íèæíåãî ïðåäåëà ìîæåò áûòü ôèêñèðîâàííîå ïî ïðîèçâîëó íàòóðàëüíîå ÷èñëî k > 1. Ýòî ðàâíîñèëüíî îòáðàñûâàíèþ k − 1
ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà (14), ÷òî íà ñõîäèìîñòü ýòîãî ðÿäà íå âëèÿåò (ñì. ï. 2, ñëåäñòâèå 1).
Ï ð è ì å ð 4. Ðàññìîòðèì ðÿä
∞
1
∑n
n =1
α
(α > 0).
(23)
1
, ãäå x ≥ 1, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû 4. ×ëåíû ðÿäà (23) ðàâíû
xα
çíà÷åíèÿì ýòîé ôóíêöèè ïðè x = 1, 2, 3, . Êàê óñòàíîâëåíî ðàíåå (ñì. § 9.8, ï. 1), íåñîá-
Ôóíêöèÿ f (x ) =
+∞
dx
ïðè α > 1 ñõîäèòñÿ, à ïðè α ≤ 1 ðàñõîäèòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, äàíxα
íûé ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè α > 1 è ðàñõîäèòñÿ ïðè 0 < α ≤ 1.
ñòâåííûé èíòåãðàë
∫
1
 ÷àñòíîñòè, ïðè α = 2 ïîëó÷èì ñõîäÿùèéñÿ ðÿä (19), ïðè α = 1 — ðàñõîäÿùèéñÿ ãàð∞
1
1
è ò. ä.
ìîíè÷åñêèé ðÿä (9) (ñì. ï. 2), ïðè α = — ðàñõîäÿùèéñÿ ðÿä ∑
2
n
n =1
4. Çíàêî÷åðåäóþùèåñÿ ðÿäû. Çíàêî÷åðåäóþùèìñÿ ðÿäîì íàçûâàåòñÿ
ðÿä âèäà
a1 − a2 + a3 −a4 + + (−l)n − 1an + ,
(24)
ãäå
an > 0 (n = 1, 2, ).
Ò å î ð å ì à 1 (òåîðåìà Ëåéáíèöà). Åñëè ÷ëåíû ðÿäà (24)ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ìîíîòîííî óáûâàþò:
an + 1 < an (n = 1, 2,
244
)—
(25)
è îáùèé ÷ëåí ñòðåìèòñÿ ê íóëþ:
(26)
lim a n = 0,
n→ ∞
òî ðÿä (24) ñõîäèòñÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. ×àñòè÷íóþ ñóììó S2m ìîæíî ïðåäñòàâèòü
äâîÿêî:
S 2m = (a 1 − a 2 ) + (a 3 − a 4 ) + ... + (a 2m −1 − a 2m ),
S2m = a1 − (a2 − a3) − (a4 − a5) −
− (a2m − 2 − a2m − 1) − a2m.
(27)
(28)
Çäåñü â êàæäîé êðóãëîé ñêîáêå ðàçíîñòü ïîëîæèòåëüíà â ñèëó óñëîâèÿ (25). Èç (27) ñëåäóåò, ÷òî S2m > 0 è ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {S2m} ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ. Èç (28) âèäíî, ÷òî S2m < a1 ò. å. {S2m} îãðàíè÷åíà. Ñëåäîâàòåëüíî (§ 7.3, ï. 1, ñâîéñòâî 3), ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
èìååò ïðåäåë:
(29)
lim S 2m = S ,
m→ ∞
ïðè÷åì
0 < S < a1.
Äàëåå ñ ó÷åòîì (29) è (26) èìååì:
lim S 2m +1 = lim S 2m + lim a 2m +1 = S .
m→ ∞
m→ ∞
m→ ∞
(30)
Èç (29) è (30) ñëåäóåò, ÷òî lim S n = S , ò. å. ðÿä (24) ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì
n→ ∞
0 < S < a1.
(31)
Ï ð è ì å ð 1. Ðÿä
1 1 1
1
+ − + ... + (−1)n −1 + ...
2 3 4
n
ñõîäèòñÿ, òàê êàê óñëîâèÿ òåîðåìû Ëåéáíèöà çäåñü âûïîëíåíû.
1−
Ò å î ð å ì à 2. Îñòàòîê rn çíàêî÷åðåäóþùåãîñÿ ðÿäà (24), óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì òåîðåìû Ëåéáíèöà, èìååò çíàê ñâîåãî ïåðâîãî ÷ëåíà è
ìåíüøå åãî ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Åñëè n ÷åòíîå, òî
r n = a n + 1 − an + 2 + .
Òàê êàê ýòîò ðÿä óäîâëåòâîðÿåò òåîðåìå Ëåéáíèöà, òî ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó (31)
0 < r n < a n + 1.
Åñëè n íå÷åòíîå, òî
rn = −an + 1 + àn + 2 −
.
−rn = an + 1 − an + 2 +
,
Îòñþäà
245
è ñîãëàñíî (31)
0 < −rn < an + 1.
Îòñþäà
rn < 0 è | rn| < an + 1.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1 ñóììó ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà
1 1 1
(−1)n −1
(32)
+ − + ... +
+ ....
2 3 4
n
 êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ S ðÿäà (32) ìû äîëæíû âçÿòü òó ÷àñòè÷íóþ ñóì1
ìó Sn, äëÿ êîòîðîé | rn| < 0,1. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 rn <
. Ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íî
n +1
1−
ïîëîæèòü n + 1 = 10, ò. å. n = 9. Òîãäà
S9 =1 −
1 1 1 1 1 1 1 1
+ − + − + − + ≈ 0,74.
2 3 4 5 6 7 8 9
Îòñþäà S ≈ 0,7 ñ òî÷íîñòüþ äî 0,1.
5. Àáñîëþòíàÿ è óñëîâíàÿ ñõîäèìîñòü. Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðÿäàì ñ
÷ëåíàìè, èìåþùèìè ëþáîé çíàê. Ñ êàæäûì òàêèì ðÿäîì
∞
∑a
n =1
(33)
n
ñâÿçàí ðÿä ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè, ñîñòàâëåííûé èç ìîäóëåé
÷ëåíîâ äàííîãî ðÿäà, ò. å. ðÿä
∞
∑a
n =1
n
.
(34)
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä (34), òî ñõîäèòñÿ è ðÿä (33).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîñòàâèì äâà ïîëîæèòåëüíûõ ðÿäà
∞
ãäå
∑p
n =1
n
( p) è
∞
∑q
n =1
n
(q ) ,
 0, åñëè a n ≥ 0,
qn = 
 a n , åñëè a n < 0.
Òàê êàê ïðè n = 1, 2,
pn ≤ | an | è qn ≤ | an |, òî ïî òåîðåìå 2 (ï. 3) ðÿäû
(p) è (q) ñõîäÿòñÿ. Îáîçíà÷èì èõ ñóììû ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç P è Q.
×àñòè÷íóþ ñóììó Sn äàííîãî ðÿäà (33) ìîæíî ñ ïîìîùüþ îáîçíà÷åíèé
äëÿ pn è qn ïåðåïèñàòü â âèäå
a , åñëè a n > 0,
pn =  n
 0, åñëè a n ≤ 0,
Sn = (p1 + p2 +
246
+ pn) − (q1 + q2 +
+ qn).
Ïåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷èì:
lim S n = P − Q.
n→ ∞
(35)
Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (33) ñõîäèòñÿ.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ðÿä (33) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè
ðÿä (34) ñõîäèòñÿ. Åñëè æå ðÿä (33) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (34) ðàñõîäèòñÿ, òî ðÿä
(33) íàçûâàåòñÿ íåàáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ èëè óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Èç ðàâåíñòâà (35) èìååì: lim S n ≤ P + Q. Íî
n→ ∞
∞
∞
∞
n =1
n =1
n =1
P + Q = ∑ pn + ∑ q n = ∑ a n .
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (33) èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
∞
∑a
n =1
∞
n
≤ ∑ an .
n =1
(−1)n −1
Ï ð è ì å ð. Ðÿä ∑
nα
n =1
∞
(36)
àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïðè α > 1 è óñëîâíî ñõîäèòñÿ ïðè 0 < α ≤ 1.
 ñàìîì äåëå, êàê óñòàíîâëåíî ðàíåå (ñì. ï. 3, ïðèìåð 4), åñëè α > 1, òî ðÿä (23) ñõîäèòñÿ, åñëè æå 0 < α ≤ 1, òî ðÿä (23) ðàñõîäèòñÿ, õîòÿ ñàì ðÿä (36) ñõîäèòñÿ ïî òåîðåìå
Ëåéáíèöà.
Ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî àáñîëþòíî ñõîä ÿ ù è õ ñ ÿ ð ÿ ä î â.
Ïóñòü äàí ñõîäÿùèéñÿ ðÿä
S = a1 + a2 + + an + .
(37)
Ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ïåðåñòàâèì â íåì ìåñòàìè ÷ëåíû ðÿäà, îáðàçîâàâ ðÿä
a′1 + a′2 + + a′k + ,
(38)
ïðè÷åì ÷ëåíû ðÿäà (38) ñâÿçàíû ñ ÷ëåíàìè ðÿäà (37) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
a 1′ = a n 1, a ′2 = a n 2, ..., a ′k = a n k , ... .
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ðÿä (37) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ, òî ðÿä (38) òàêæå
àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ è ñóììà åãî ðàâíà ñóììå ðÿäà (37), ò. å. àáñîëþòíî
ñõîäÿùèéñÿ ðÿä (37) îáëàäàåò ïåðåìåñòèòåëüíûì ñâîéñòâîì.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ñì., íàïðèìåð, â [11].
Óñëîâíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ïåðåìåñòèòåëüíûì ñâîéñòâîì íå îáëàäàþò.
Àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû îáëàäàþò åùå îäíèì âàæíûì ñâîéñòâîì: èõ ìîæíî ïåðåìíîæàòü.
247
Ïóñòü äàíû äâà àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäà
A = a 1 + a2 + a3 +
B = b 1 + b2 + b3 +
+ an +
+ bn +
,
.
(39)
Îáðàçóåì íîâûé ðÿä:
a1b1 + (a1b2 + a2b1) + (a1b3 + a2b2 + a3b1) + ,
(40)
íàçûâàåìûé ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ðÿäîâ (39). Îêàçûâàåòñÿ (ñì. [9],
ò. 1), ÷òî ðÿä (40) òàêæå ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî è èìååò ñâîåé ñóììîé
÷èñëî S = AB.
§ 10.2. Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû
1. Îáëàñòü ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà. Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ ðÿäîâ, ÷ëåíàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íå ÷èñëà, à ôóíêöèè:
u1(x) + u2(x) +
+ un(x) + .. .
(1)
Òàêèå ðÿäû íàçûâàþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè.
Íàïðèìåð, ðÿä
1 + x + x2 + + xn +
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûì.
Åñëè â ðÿäå (1) ïðèäàòü x êàêîå-ëèáî çíà÷åíèå x0 èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé un(x), n = 1, 2, , òî ïîëó÷èì ÷èñëîâîé ðÿä
u1(x0) + u2(x0) +
+ un(x0) +
.
(2)
Ýòîò ðÿä ìîæåò ñõîäèòüñÿ èëè ðàñõîäèòüñÿ. Åñëè îí ñõîäèòñÿ, òî òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1). Åñëè
ðÿä (2) ðàñõîäèòñÿ, òî òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ðàñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1). Äëÿ îäíèõ òî÷åê, âçÿòûõ èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé un(x), ðÿä (1) ìîæåò ñõîäèòüñÿ, à äëÿ äðóãèõ — ðàñõîäèòüñÿ.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñîâîêóïíîñòü âñåõ òî÷åê ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ åãî ñõîäèìîñòè.
×àñòè÷íàÿ ñóììà ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1), ò. å. ñóììà n ïåðâûõ åãî
÷ëåíîâ Sn(x) = u1(x) + u2(x) + + un(x), ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïåðåìåííîé x.
Èç îïðåäåëåíèÿ îáëàñòè ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè x ýòîé îáëàñòè ñóùåñòâóåò ïðåäåë ÷àñòè÷íîé
ñóììû Sn(x) ïðè n → ∞.  òî÷êàõ, íå ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè ñõîäèìîñòè, ÷àñòè÷íàÿ ñóììà Sn(x) íå èìååò ïðåäåëà. ßñíî, ÷òî ñóììà S(x)
ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé ôóíêöèåé îò x, îïðåäåëåííîé â îáëàñòè ñõîäèìîñòè ðÿäà (1).
 ýòîì ñëó÷àå ïèøóò: S(x) = u1(x) + u2(x) + + un(x) + .
248
Åñëè ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (1) ñõîäèòñÿ è èìååò ñóììó S(x), òî ðàçíîñòü S(x) − Sn(x) íàçûâàåòñÿ, êàê è äëÿ ÷èñëîâûõ ðÿäîâ, åãî n-ì îñòàòêîì.
Ýòîò îñòàòîê áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç rï(x): rn(x) = S(x) − Sn(x). ßñíî, ÷òî
lim rn ( x ) = 0.
n→ ∞
n
x
Ï ð è ì å ð. Ðÿä ∑   ñõîäèòñÿ â ïðîìåæóòêå −3 < x < 3, òàê êàê â ýòîì ïðîìåæóòêå
 
n =1 3
x

< 1. Ïðè | x| ≥ 3 äàííûé ðÿä ðàñõîäèòñÿ.
q=
 3
∞
2. Ðàâíîìåðíàÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (1) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà îòðåçêå [a; b], åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N = N(ε), íå çàâèñÿùåå îò x, ÷òî äëÿ n > N íåðàâåíñòâî | S(x) − Sn(x)| < ε âûïîëíÿåòñÿ äëÿ âñåõ x èç îòðåçêà [a; b].
Ò å î ð å ì à 1 (ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà). Åñëè ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1) óäîâëåòâîðÿþò íà îòðåçêå [a; b] óñëîâèþ
| un(x)| ≤ an (n = 1, 2,
),
(3)
ãäå an — ÷ëåíû ñõîäÿùåãîñÿ ïîëîæèòåëüíîãî ðÿäà
∞
∑a
n =1
n
,
(4)
òî ðÿä (1) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî (è àáñîëþòíî) íà îòðåçêå [a; b].
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ε > 0. Òàê êàê
ðÿä (4) ñõîäèòñÿ, òî äëÿ ýòîãî ðÿäà (ñì. § 10.1, ï. 2, òåîðåìà 2) lim rn = 0
n→ ∞
(rn— ñóììà n-ãî îñòàòêà ðÿäà (4)). Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N = N(ε), ÷òî ïðè n > N èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
∞
∑a
k = n +1
k
< ε.
(5)
Ïîëüçóÿñü íåðàâåíñòâîì (3), ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì p
n+ p
∑
u k (x ) ≤
k = n +1
n+ p
∑a
,
(6)
< ε (n > N)
(7)
k = n +1
k
îòêóäà ïðè p → ∞ ñ ó÷åòîì (5) ñëåäóåò, ÷òî
∞
∑u
k = n +1
k (x ) ≤
∞
∑a
k = n +1
k
(ïðåäåë ïðè p → ∞ ó ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (6) ñóùåñòâóåò â ñèëó òåîðåìû 1 (§ 10.1, ï. 3)). Ýòî äîêàçûâàåò àáñîëþòíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà (1).
Òîãäà (§ 10.1, ï. 5, ïðèìå÷àíèå) ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (7) èìååì:
 ∞
 ∞
rn ( x ) = ∑ u k ( x )≤ ∑ u k ( x ) < ε
k = n +1
 k = n +1
249
äëÿ n > N è äëÿ âñåõ x èç [a; b], ò. å. ðÿä (1) ðàâíîìåðíî ñõîäèòñÿ íà [a; b].
Ï ð è ì å ð. Ðÿä
ðåçêå
xn
n
2
xn
∞
∑n
n =1
≤
1
(n = 1, 2,
n2
2
ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [−1; 1], òàê êàê íà ýòîì îò∞
) è ðÿä ∑
n =1
1
ñõîäèòñÿ (ñì. § 10.1, ï. 3, ïðèìåð 1).
n2
3. Ñâîéñòâà ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ. Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà (äîêàçàòåëüñòâà ñì., íàïðèìåð, â [15], ò. I) íåêîòîðûå òåîðåìû î
ñâîéñòâàõ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè ÷ëåíû ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà îòðåçêå [a; b]
ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1) íåïðåðûâíû íà íåì, òî åãî ñóììà òàêæå íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b].
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ÷ëåíû ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà îòðåçêå [a; b]
ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (1) íåïðåðûâíû íà ýòîì îòðåçêå, òî ðÿä (1) ìîæíî
íà îòðåçêå [a; b] ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü.
Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè x1 è x2 — ëþáûå äâå òî÷êè îòðåçêà [a; b], òî
x2
∫ (u ( x ) + u
1
2
( x ) + ... + u n ( x ) + ...)dx =
x1
x2
x2
x2
x1
x1
x1
= ∫ u 1 ( x )dx + ∫ u 2 ( x )dx + ... + ∫ u n ( x )dx + ... .
Ò å î ð å ì à 3. Ïóñòü ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (1) ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [a; b | è åãî ÷ëåíû èìåþò íà íåì íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå u n′(x) (n =
= 1, 2,
). Òîãäà åñëè ðÿä
∞
∑ u ′ ( x ) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå
n =1
n
[a; b], òî íà ýòîì îòðåçêå
(u1(x) + u2(x) +
+ un(x) +
)′ = u′1(x) + u′2(x) +
+ u′n(x) +
.
Ò å î ð å ì à 4. Åñëè âñå ÷ëåíû ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà îòðåçêå [a;
b] ðÿäà (1) óìíîæèòü íà îãðàíè÷åííóþ íà ýòîì îòðåçêå ôóíêöèþ ϕ(x), òî
ïîëó÷åííûé ðÿä
ϕ(x)u1(x) + ϕ(x)u2(x) +
+ ϕ(x)un(x) +
òàêæå áóäåò ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ íà îòðåçêå [a; b].
§ 10.3. Ñòåïåííûå ðÿäû â äåéñòâèòåëüíîé îáëàñòè
1. Ñòåïåííîé ðÿä è åãî îáëàñòü ñõîäèìîñòè.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñòåïåííûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé
ðÿä âèäà
a0 + a1x + a2x2 +
250
n
+ a nx +
,
(1)
ãäå a0, a1, a2, , an, — ïîñòîÿííûå âåùåñòâåííûå ÷èñëà, íàçûâàåìûå
êîýôôèöèåíòàìè ñòåïåííîãî ðÿäà.
Ëþáîé ñòåïåííîé ðÿä (1) ñõîäèòñÿ ïðè x = 0, òàê êàê â ýòîé òî÷êå âñå
÷ëåíû ðÿäà (1), êðîìå ïåðâîãî,— íóëè. Åñòü ñòåïåííûå ðÿäû âèäà (1),
êîòîðûå ñõîäÿòñÿ ëèøü â òî÷êå x = 0; òàêèå ðÿäû îòíîñÿò ê ðÿäàì ïåðâîãî êëàññà.
Íàïðèìåð, ðÿä
1 + x + 2! x2 +
n
+ n! x +
(2)
ñõîäèòñÿ ëèøü â òî÷êå x = 0; â ëþáîé äðóãîé òî÷êå x ≠ 0 ýòîò ðÿä ðàñõîäèòñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè êàæäîì x ≠ 0 èç ÷èñëîâîé îñè èìååì ÷èñëîâîé ðÿä. Èññëåäóåì åãî íà ñõîäèìîñòü. Îáðàçóåì ðÿä
1 + | x | + 2! | x |2 +
n
+ n! | x | +
.
(3)
Ïðèìåíèâ ê ïîñëåäíåìó ðÿäó ïðèçíàê Äàëàìáåðà (§ 10.1, ï. 3), ïîëó÷èì:
lim
n→ ∞
(n + 1)! x
n! x
n +1
= x lim(n + 1) = ∞
n
n→ ∞
ïðè âñåõ x ≠ 0. Ñëåäîâàòåëüíî (ñì.§ 10.1, ï. 3, ïðèìå÷àíèå 4), ðÿä (3) è
ðÿä (2) ðàñõîäÿòñÿ ïðè âñåõ x ≠ 0.
Åñòü ñòåïåííûå ðÿäû âèäà (1), êîòîðûå ñõîäÿòñÿ íà âñåé ÷èñëîâîé
îñè (òàêèå ðÿäû îòíîñÿò ê ðÿäàì âòîðîãî êëàññà). Íàïðèìåð, ðÿä
1+
x x2
xn
+
+ ... +
+ ...
n!
1! 2!
ñõîäèòñÿ (ïðèòîì àáñîëþòíî) íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, òàê êàê ïðè êàæäîì x èç (−∞; +∞)
lim
n→ ∞
n! x
n +1
(n + 1)! x
n
= x lim
n→ ∞
1
= 0 < 1.
n +1
Ðÿäû âèäà (1), íå ïðèíàäëåæàùèå ïåðâîìó è âòîðîìó êëàññàì, îòíîñÿò ê ðÿäàì òðåòüåãî êëàññà.
Ò å î ð å ì à 1 (òåîðåìà Àáåëÿ) (Íèëüñ Õåíðèê Àáåëü (1802 — 1829) —
íîðâåæñêèé ìàòåìàòèê). Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (1) ñõîäèòñÿ ïðè x = x0 ≠ 0,
òî îí àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ äëÿ ëþáîãî x, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ
| x | < | x0 |;
åñëè æå ïðè x = x0 ñòåïåííîé ðÿä (1) ðàñõîäèòñÿ, òî îí ðàñõîäèòñÿ è ïðè
ëþáîì x, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ | x | > | x0 |.
251
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ïðè x = õ0 ≠ 0 ñòåïåííîé ðÿä (1) ñõîäèòñÿ, ò. å. ñõîäèòñÿ ÷èñëîâîé ðÿä
a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 02 + ... + a n x 0n + ... .
(4)
Òîãäà (ñì. § 10.1, ï. 2, òåîðåìà 3)
lim a n x 0n = 0,
n→ ∞
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ÷ëåíû ðÿäà (4) îãðàíè÷åíû ïî ìîäóëþ:
a n x 0n ≤ M , n = 0, 1, 2,
(5)
(M — ïîñòîÿííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî).
Âîçüìåì òåïåðü ëþáîå x, äëÿ êîòîðîãî | x | < | x0 |, è ðàññìîòðèì ðÿä
2
| a0 | + | a1x | + | a2õ | +
n
+ | a nx | +
.
(6)
n
x
Èìååì òîæäåñòâî a n x n = a n x 0n   (n = 0, 1, 2,
x 0 
).
n
x
Îòñþäà â ñèëó (5) a n x n ≤ M   (n = 0, 1, 2, )
x 0 
èëè
| anxn | ≤ Mqn (n = 0, 1, 2, ),
ãäå
x
q = < 1, òàê êàê | x | < | x0 |.
x 0 
(7)
Ðÿä
M + Mq + Mq2 +
n
+ Mq +
ñõîäèòñÿ (ñì. § 10.1, ï. 2, ïðèìåð 2). Ïîýòîìó, èìåÿ â âèäó íåðàâåíñòâà
(7), ñîãëàñíî ïðèçíàêó ñðàâíåíèÿ ðÿäîâ (ñì. § 10.1, ï. 3) ñõîäèòñÿ ðÿä
(6) äëÿ ëþáîãî x, äëÿ êîòîðîãî | x | < | x0 |, à ðÿä (1), çíà÷èò, äëÿ ýòîãî x ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.
Ïóñòü òåïåðü ðÿä (1) ïðè x = x0 ðàñõîäèòñÿ. Äîêàæåì, ÷òî îí ðàñõîäèòñÿ è ïðè ëþáîì x, óäîâëåòâîðÿþùåì íåðàâåíñòâó | x | > | x0 |. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè x = x1, óäîâëåòâîðÿþùåì
íåðàâåíñòâó | x1 | > | x0 |, ðÿä (1) áûë ñõîäÿùèìñÿ, òî ïî äîêàçàííîìó â
ïåðâîé ÷àñòè îí áûë áû ñõîäÿùèìñÿ è ïðè x = x0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
óñëîâèþ.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñ ë å ä ñ ò â è å 1. Ðÿä âòîðîãî êëàññà (1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî â èíòåðâàëå (−∞; +∞).
252
Ñ ë å ä ñ ò â è å 2. Äëÿ êàæäîãî ñòåïåííîãî ðÿäà (1) òðåòüåãî êëàññà
ñóùåñòâóåò ÷èñëî R > 0, íàçûâàåìîå ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ýòîãî ðÿäà è
îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ïðè | x | < R ðÿä (1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, ïðè | x | > R ðÿä (1) ðàñõîäèòñÿ.
Ïðîìåæóòîê (−R; R) íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî
ðÿäà (1).
Ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ 1 äëÿ ðÿäà (1) âòîðîãî êëàññà èíòåðâàë ñõîäèìîñòè (−∞; +∞).
Îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (1) òðåòüåãî êëàññà ÿâëÿåòñÿ
èíòåðâàë (−R; R), ê êîòîðîìó â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ äîáàâëÿþòñÿ îäèí
èëè îáà êîíöà ýòîãî èíòåðâàëà (ýòî çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî èññëåäóåìîãî ðÿäà).
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Äëÿ ðÿäà (1) ïåðâîãî êëàññà ïîëàãàþò R = 0, äëÿ ðÿäà (1) âòîðîãî
êëàññà R = ∞.
Ò å î ð å ì à 2. Ïóñòü äëÿ ðÿäà (1) ñóùåñòâóåò è îòëè÷åí îò íóëÿ
ïðåäåë
a 
lim n +1  = L.
n→ ∞ a
 n 
Òîãäà
1
R= .
L
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàññìîòðèì ðÿä, ñîñòàâëåííûé èç àáñîëþòíûõ âåëè÷èí ÷ëåíîâ ðÿäà (1):
2
| a0 | + | a1 | | x | + | a2 | | x | +
n
+ | an | | x | +
.
(8)
Ïðèìåíèì ïðèçíàê Äàëàìáåðà (§ 10.1, ï. 3):
a x n +1 
a 
lim n +1 n = lim n +1  x = L x .
→
∞
n→ ∞
n
 an 
 anx 
 ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ïðèçíàêîì ðÿä (8) ñõîäèòñÿ, åñëè | x | L < 1, ò. å.
1
1
åñëè x < è ðàñõîäèòñÿ, åñëè | x | L > 1, ò. å. åñëè x > (â ïîñëåäíåì
L
L
ñëó÷àå îáùèé ÷ëåí ðÿäà (8), çíà÷èò, è ðÿäà (1) íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ
ïðè n → ∞).
1
Ñëåäîâàòåëüíî, ðÿä (1) ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè x < è ðàñõîäèòñÿ
L
1
ïðè x > . Çíà÷èò, ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ðÿäà (1) ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî
L
1
R= .
L
253
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Åñëè L = 0, òî ïðè ëþáîì x èç ÷èñëîâîé îñè | x | L = 0 < 1, ò. å. ðÿä
(8) ñõîäèòñÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè. Çíà÷èò, ðÿä (1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ íà ýòîé îñè. Ñëåäîâàòåëüíî, R = ∞. Åñëè L =∞, òî ïðè ëþáîì x ≠ 0 èç ÷èñëîâîé îñè | x | L = ∞, è, çíà÷èò, ðÿä
(1) ïðè ëþáîì x ≠ 0 (§ 10.1, ï. 3, ïðèìå÷àíèå 4) ðàñõîäèòñÿ, ò. å. R = 0.
n
∞
1x
Ï ð è ì å ð. Ðÿä ∑   èìååò ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = 3, òàê êàê
 
n =1 n 3
L = lim
n→ ∞
n3 n
(n + 1)3 n + 1
1
= .
3
Îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè äàííîãî ðÿäà ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê −3 ≤ x < 3.
2. Ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ.
Ò å î ð å ì à 1. Âñÿêèé ñòåïåííîé ðÿä (1) ñ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè R > 0
ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà âñÿêîì îòðåçêå [−ρ; ρ], ñîäåðæàùåìñÿ â èíòåðâàëå ñõîäèìîñòè (−R; R).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî óñëîâèþ 0 < ρ < R. Ïîýòîìó ïîëîæèòåëüíûé ðÿä
| a0 | + | a1 |ρ + | a2 |ρ2 + + | an |ρn +
ñõîäèòñÿ, ïðè÷åì íà îòðåçêå [−ρ; ρ]:
| anxn | ≤ | an |ρn (n = 0, 1, 2,
).
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî ïðèçíàêó Âåéåðøòðàññà (ñì. § 10.2, ï. 2) ñòåïåííîé ðÿä (1) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [−ρ; ρ].
Èç óñòàíîâëåííîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ñòåïåííûå ðÿäû îáëàäàþò
âñåìè ñâîéñòâàìè ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ.
Ñôîðìóëèðóåì ýòè ñâîéñòâà (ñì., íàïðèìåð, [15], ò. 1):
Ò å î ð å ì à 2. Ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà (1) åñòü ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ
â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ðÿäà. Ñòåïåííîé ðÿä âíóòðè åãî èíòåðâàëà ñõîäèìîñòè ìîæíî ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðîâàòü è èíòåãðèðîâàòü
ñêîëüêî óãîäíî ðàç, ïðè÷åì â ðåçóëüòàòå ýòèõ îïåðàöèé ïîëó÷àþòñÿ ñòåïåííûå ðÿäû, èìåþùèå òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.
3. Ðÿäû ïî ñòåïåíÿì ðàçíîñòè x − a. Ñòåïåííûì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ òàêæå ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà
a0 + a1(x − a) + a2(x − a)2 +
n
+ an(x − a) +
.
(9)
Èíòåðâàëîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (9) ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë
äëèíîé 2R ñ öåíòðîì â òî÷êå a.
Ñâîéñòâà ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïî ñòåïåíÿì x (ï. 2) ñîõðàíÿþòñÿ è äëÿ
ðÿäîâ ïî ñòåïåíÿì x − a.
4. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèé â ñòåïåííûå ðÿäû. Ðÿä Òåéëîðà. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ðÿäà (9), òî â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ
f(x) ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä ïî ñòåïåíÿì x − a.
254
Âàæíîñòü òàêîãî ðàçëîæåíèÿ âèäíà õîòÿ áû èç òîãî, ÷òî ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ïðèáëèæåííî çàìåíèòü ôóíêöèþ ñóììîé íåñêîëüêèõ ïåðâûõ ÷ëåíîâ ñòåïåííîãî ðÿäà, ò. å. ìíîãî÷ëåíîì.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) íà èíòåðâàëå (x0 − R; x0 + R) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä
2
f(x) = a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0) +
n
+ an(x − x0) +
,
(10)
òî ýòî ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 (ï. 2) èìååì:
2
f ′(x) = 1⋅a1 + 2a2(x − x0) + 3a3(x − x0) +
f ′′(x) = 1⋅2⋅a2 + 2⋅3a3(x − x0) +
+ nan(x − x0)
+ n(n − 1)an(x − x0)
f ′′′(x) = 1⋅2⋅3a3 + 2⋅3⋅4a4(x − x0) +
n−1
n−2
+
+
,
,
+ (n − 2)( n − 1)nan(x − x0)
n−3
+
,
...........................................................
f(n)(x) = 1⋅2⋅3 (n − 1)nan + 2⋅3 n(n + 1)an + 1(x − x0) +
...........................................................
Ïîëàãàÿ â ýòèõ ðàâåíñòâàõ è â ðàâåíñòâå (10) x = x0, ïîëó÷èì:
a 0 = f ( x 0 ), a 1 =
f ′( x 0 )
f ′′( x 0 )
f ′′′( x 0 )
, a2=
, a3 =
,
1!
2!
3!
, an=
f ( n)(x 0 )
,
n!
. (11)
Èç (11) ñëåäóåò, ÷òî âñå êîýôôèöèåíòû ðÿäà (10) îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì ôîðìóëàìè (11), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ðàâåíñòâî
(10), ïîëó÷èì ðÿä
f ′( x 0 )
f ′′( x 0 )
(x − x 0 ) +
( x − x 0 ) 2 + ...
1!
2!
f n (x 0 )
n
... +
( x − x 0 ) + ...,
n!
f (x ) = f (x 0 ) +
(12)
êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ôóíêöèè f(x); êîýôôèöèåíòû ýòîãî
ðÿäà
a 0 = f ( x 0 ), a 1 =
f ′( x 0 )
f ′′( x 0 )
, a2 =
,
1!
2!
, an =
f ( n)(x 0 )
,
n!
íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Òåéëîðà ôóíêöèè f(x) â òî÷êå x0.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóíêöèÿ f(x) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä ïî ñòåïåíÿì x − x0, òî ýòîò ðÿä îáÿçàòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà ýòîé
ôóíêöèè.
255
Åñëè â ðÿäå Òåéëîðà ïîëîæèì x0 = 0, òî ïîëó÷èì ÷àñòíûé ñëó÷àé
ðÿäà Òåéëîðà, êîòîðûé íàçûâàþò ðÿäîì Ìàêëîðåíà:
f ( x ) = f (0) +
f ′(0)
f ′′(0) 2
f ( n ) (0) n
x+
x + ... +
x + ... .
1!
2!
n!
(13)
Îòìåòèì, ÷òî âñå ðàññóæäåíèÿ áûëè ñäåëàíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
ôóíêöèÿ f(x) ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ñòåïåííîé ðÿä.
Åñëè çàðàíåå ýòîãî íå ïðåäïîëàãàòü, à ïðîñòî ñ÷èòàòü ôóíêöèþ f(x)
áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç äèôôåðåíöèðóåìîé è ñîñòàâèòü äëÿ íåå ðÿä
Òåéëîðà, òî íèîòêóäà íå ñëåäóåò, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ïðè çíà÷åíèÿõ
x, îòëè÷íûõ îò x0. Áîëåå òîãî, ìîãóò áûòü äàæå òàêèå ñëó÷àè, ÷òî ðÿä
Òåéëîðà, ñîñòàâëåííûé äëÿ ôóíêöèè f(x), ñõîäèòñÿ, à ñóììà åãî âîâñå
íå ðàâíà f(x).
Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) â èíòåðâàëå (x0 − R; x0 + R) èìååò ïðîèçâîäíûå
ëþáîãî ïîðÿäêà. Òîãäà äëÿ ëþáîãî x èç ýòîãî èíòåðâàëà è ëþáîãî n áóäåò ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Òåéëîðà (ñì. § 8.9, ï. 1):
f (x ) = f (x 0 ) +
ãäå
f ′( x 0 )
f ( n)(x 0 )
( x − x 0 ) + ... +
( x − x 0 ) n + rn ( x ), (14)
1!
n!
rn ( x ) =
f ( n +1 ) ( x 0 + θ( x − x 0 ))
( x − x 0 ) n +1 .
(n + 1)!
(15)
Ïåðåéäåì òåïåðü ê âûÿñíåíèþ óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ðÿä Òåéëîðà, ñîñòàâëåííûé äëÿ ôóíêöèè f (x),
f ′( x 0 )
f ′′( x 0 )
f ( n)(x 0 )
( x − x 0 ) n +... (16)
f (x 0 ) +
(x − x 0 ) +
( x − x 0 ) 2 +... +
1!
2!
n!
ñõîäèòñÿ â èíòåðâàëå (x0 − R; x0 + R) è ÷òî åãî ñóììà ðàâíà f (x).
Òàê êàê ðàçíîñòü ìåæäó f (x) è ñóììîé (n + 1) ïåðâûõ ÷ëåíîâ ðÿäà (16)
åñòü êàê ðàç rn(x), ÷òî âèäíî èç (14), òî, î÷åâèäíî, äëÿ òîãî ÷òîáû ðÿä
Òåéëîðà (16) ñõîäèëñÿ ê ôóíêöèè f (x) (äëÿ êîòîðîé îí ñîñòàâëåí) â èíòåðâàëå (x0 − R; x0 + R), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îñòàòî÷íûé ÷ëåí â
ôîðìóëå Òåéëîðà rn(x) äëÿ ôóíêöèè f (x) â êàæäîé òî÷êå ýòîãî èíòåðâàëà
ñòðåìèëñÿ ê íóëþ ïðè n → ∞.
Óñòàíîâèì òåïåðü äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñõîäèìîñòè ðÿäà Òåéëîðà
ôóíêöèè f (x) ê ýòîé ôóíêöèè.
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè â èíòåðâàëå (x0 − R; x0 + R) ôóíêöèÿ f(x) èìååò
ïðîèçâîäíûå ëþáîãî ïîðÿäêà è âñå îíè ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå îãðàíè÷åíû
îäíèì è òåì æå ÷èñëîì
| f (n)(x)| ≤ M (n =1, 2,
),
òî â ýòîì èíòåðâàëå èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèå (12).
256
(17)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ñèëó (15) è (17) â èíòåðâàëå (x0 − R; x0 + R)
èìååì:
n +1
f ( n +1 ) ( x 0 + θ( x − x 0 ))
x −x0
n +1
.
(18)
rn ( x ) =
x −x0
≤M
(n + 1)!
(n + 1)!
Òàê êàê ðÿä
∞
∑
n=0
x − x0
n +1
(n + 1)!
ñõîäèòñÿ ïðè ëþáîì x ïî ïðèçíàêó Äàëàìáåðà (§ 10.1, ï. 3), òî ïðè ëþáîì x (§ 10.1, ï. 2, òåîðåìà 3)
lim
n→ ∞
x − x0
n +1
(n + 1)!
= 0.
Îòñþäà ñ ó÷åòîì (18) lim rn ( x ) = 0 â èíòåðâàëå (x0 − R; x0 + R).
n→ ∞
5. Ðàçëîæåíèå â ñòåïåííûå ðÿäû îñíîâíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé.
1. f (x) = ex. Çäåñü f (n)(x) = ex è f (n)(0) = l. Óñëîâèå (17) äëÿ äàííîé ôóíêöèè âûïîëíåíî â ëþáîì èíòåðâàëå | x | < r, òàê êàê | f (n)(x)| = ex < er. Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 2 (ï. 4) ôîðìóëà
x2
xn
(19)
ex =1+ x +
+ ... +
+ ...
2!
n!
âåðíà ïðè âñåõ x.
kπ 
kπ

2. f(x) = sin x. Çäåñü f ( k ) ( x ) = sin x +  , f ( k ) (0) = sin
= 0 ïðè k =

2
2
(k)
n
(n)
= 2n, f (0) = (−1) ïðè k = 2n + 1. Ïðè ýòîì | f (x)| ≤ 1 íà âñåé ÷èñëîâîé
îñè. Ïîýòîìó ñîãëàñíî òåîðåìå 2 (ï. 4) ôîðìóëà
sin x = x −
x3
x 2n +1
+ ... + ( −1) n
+ ...
3!
(2n + 1)!
âåðíà ïðè âñåõ x èç (−∞; +∞).
Àíàëîãè÷íî ôîðìóëà
cos x = 1 −
x2
x 2n
+ ... + ( −1) n
+ ...
2!
(2n )!
âåðíà ïðè âñåõ x èç (−∞; +∞).
3. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = (1 + x)α, ãäå α — ëþáîå âåùåñòâåííîå
÷èñëî. Çäåñü
(n)
f (x) = α(α − 1) (α − n + 1)(1 + x)
α−n
,
(n)
f (0) = α(α − 1) (α − n + 1).
257
Ìîæíî äîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, â [9], ò. 1), ÷òî ðàâåíñòâî
(1 + x ) α = 1 + αx +
α(α − 1) 2
α(α − 1) ...(α − n + 1) n
x + ... +
x + ...
2!
n!
(20)
âåðíî ïðè | x | < 1.
Ðÿä (20) íàçûâàåòñÿ áèíîìèàëüíûì.
Åñëè α = m, ãäå m — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ðàâåíñòâî (20) îáðàùàåòñÿ â ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà (ñì. § 8.9, ï. 2):
m(m − 1)(m − 2) ...(m − n + 1) n
x .
n!
n =1
m
(1 + x )m = 1 + ∑
Âûäåëèì ñëåäóþùèå ÷àñòíûå ñëó÷àè áèíîìèàëüíîãî ðÿäà:
1) ïðè α = −1:
∞
1
= ∑ ( −1) n x n ;
1 + x n =0
2) ïðè α =
(21)
1
:
2
∞
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ...⋅ (2n − 3) n
1
1 + x = 1 + x + ∑ ( −1) n −1
x ;
2
2 n ⋅ n!
n =2
1
3) ïðè α = − èìååì:
2
1
1+ x
∞
= 1 + ∑ ( −1) n
1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ...⋅ (2n − 1)
n
2 ⋅ n!
n =1
(22)
x n.
4. Ðàçëîæåíèå f(x) = ln (1 + x) ïîëó÷èì ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ðÿäà
(21) â ïðîìåæóòêå îò 0 äî x (ïðè | x | < 1):
x n +1
(−1 < x ≤ 1).
(23)
n +1
n =0
5. Ðàçëîæåíèå f(x) = arctg x ïîëó÷èì ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ðÿäà (21),
åñëè â íåì ïðåäâàðèòåëüíî çàìåíèòü x íà x2:
∞
ln(1 + x ) = ∑ ( −1) n
∞
arctg x = ∑ ( −1) n
n =0
x 2n +1
(−1 ≤ x ≤ 1).
2n + 1
(24)
Îáëàñòè ñõîäèìîñòè ðÿäîâ (23), (24) óêàçàíû â ñêîáêàõ.
6. Ïðèëîæåíèÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ ê ïðèáëèæåííûì âû÷èñëåíèÿì. Ñòåïåííûå ðÿäû ÿâëÿþòñÿ ìîùíûì âû÷èñëèòåëüíûì ñðåäñòâîì. Ñ èõ ïîìîùüþ ìîæíî, íàïðèìåð, âû÷èñëÿòü ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé, ïðèáëèæåííî âû÷èñëÿòü íåêîòîðûå «íåáåðóùèåñÿ» îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû.
258
0,2
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü çíà÷åíèå e ñ òî÷íîñòüþ äî 0,0001. Ñîãëàñíî ôîðìóëå (19)
èìååì:
0,2 2 0,2 3 0,2 4
e 0, 2 = 1 + 0,2 +
+
+
+ ... .
2!
3!
4!
Îöåíèì ïîãðåøíîñòü, ïîëó÷àåìóþ ïðè îòáðàñûâàíèè âñåõ ÷ëåíîâ ýòîãî ðÿäà, íà÷èíàÿ ñ
ïÿòîãî:

0,2 4 0,2 5 0,2 6
0,2 4  0,2 0,2 2
+
+
+ ... =
+
+ ... <
r4 =
1 +
4!
5!
6!
4! 
5
5 ⋅6

 0,2  0,2  2
 0,0016
1
1 +
< 0,0001.
+
⋅
 + ...  =


5
5
24 1 − 0,2


5
Çíà÷èò, ñ òî÷íîñòüþ äî 0,0001 èìååì:
<
0,2 4
4!
0,2 2 0,2 3
0,04 0,008
+
= 1,2 +
+
≈ 1,2213
2!
3!
2
6
(çäåñü ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàëüêóëÿòîð).
e 0, 2 ≈ 1 + 0,2 +
1
4
2
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë ∫ e − x dx ñ òî÷íîñòüþ äî 0,0001. Çàìåíÿÿ x íà −x â
0
ôîðìóëå (19), ïîëó÷èì:
2
x2 x4 x6
e −x = 1 −
+
−
+ ....
1! 2 ! 3 !
Ïîäñòàâèâ ýòîò ðÿä ïîä çíàê äàííîãî èíòåãðàëà è ïðîèçâåäÿ ïî÷ëåííîå èíòåãðèðîâàíèå,
ïîëó÷àåì:
1
4
∫e
0
−x 2
1
1
4
4
1
2
1
14
14
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ x dx + ∫ x 4 dx − ∫ x 6 dx + ... = 0,25 −
+
−
+ ... .
20
3! 0
3 ⋅ 4 3 10 ⋅ 4 5 42 ⋅ 4 7
0
0
2
(25)
Ýòî çíàêî÷åðåäóþùèéñÿ ðÿä, óäîâëåòâîðÿþùèé òåîðåìå Ëåéáíèöà (ñì. § 10.1, ï. 4).
Òàê êàê
1
1
1
=
<
= 0,0001,
10 ⋅ 4 5 10240 10000
òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ íóæíîé òî÷íîñòè äîñòàòî÷íî âçÿòü ïåðâûå äâà ÷ëåíà ðÿäà (25):
1
4
∫e
−x 2
0
dx ≈ 0,25 −
1
≈ 0,25 − 0,0052 = 0,2448
3 ⋅ 43
(çäåñü òàêæå ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàëüêóëÿòîð).
§ 10.4. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðÿäû
1. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé, åå îðòîãîíàëüíîñòü. Ôóíêöèè ϕ(x) è ψ(x) íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè äðóã äðóãó íà îòðåçêå [a; b],
b
åñëè ∫ ϕ( x )ψ( x )dx = 0.
a
259
Ñèñòåìà ôóíêöèé íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé íà îòðåçêå [a; b], åñëè êàæäûå äâå ôóíêöèè èç ýòîé ñèñòåìû îðòîãîíàëüíû äðóã äðóãó íà ýòîì îòðåçêå.
Ï ð è ì å ð. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé
1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, , sin nx, cos nx,
(1)
îðòîãîíàëüíà íà îòðåçêå [−π; π].
 ñàìîì äåëå, åñëè k ≠ 0 è öåëîå, òî
π
∫ cos kxdx =
−π
π
π
1
sin xk = 0,
k
−π
1
∫ sinkxdx = − k cos xk
−π
(2)
π
= 0.
(3)
−π
Ýòî çíà÷èò, ÷òî åäèíèöà îðòîãîíàëüíà êî âñåì îñòàëüíûì ôóíêöèÿì ñèñòåìû (1).
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî ïðè íàòóðàëüíûõ m, n ïðîèçâåäåíèÿ sin nx sin mx (m ≠ n), cos nx cos mx
(m ≠ n), sin nx cos mx âñåãäà ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñóììîé ôóíêöèé âèäà sin kx èëè cos kx. Ïîýòîìó èíòåãðàë îò −π äî π îò ýòèõ ïðîèçâåäåíèé òàêæå ðàâåí íóëþ.
Óêàæåì åùå íà îäíî ñâîéñòâî ñèñòåìû (1), çàêëþ÷àþùååñÿ â òîì, ÷òî ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì n
π
∫ cos
−π
2
π
nxdx = π è ∫ sin 2 nxdx = π.
(4)
−π
2. Ðÿä Ôóðüå. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä âèäà
a0
+ a 1 cos x + b1 sin x + a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x + ... + a n cos nx + b n sin nx + ...,
2
èëè, áîëåå êðàòêî, ðÿä âèäà
∞
a0
(5)
+ ∑ a n cos nx + b n sin nx ,
2 n =1
ãäå a0, àn, bn (n = l, 2, ) — ïîñòîÿííûå ÷èñëà, íàçûâàåìûå êîýôôèöèåíòàìè òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà.
a
Ñâîáîäíûé ÷ëåí ðÿäà çàïèñàí â âèäå 0 äëÿ åäèíîîáðàçèÿ ïîëó÷àþ2
ùèõñÿ â äàëüíåéøåì ôîðìóë.
Òàê êàê ÷ëåíû ðÿäà (5) èìåþò îáùèé ïåðèîä T = 2π, òî è ñóììà ðÿäà,
åñëè îí ñõîäèòñÿ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ñ ïåðèîäîì 2π.
Ïóñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f(x) ñ ïåðèîäîì 2π ÿâëÿåòñÿ ñóììîé
ðÿäà (5):
∞
a
(6)
f ( x ) = 0 + ∑ a n cos nx + b n sin nx .
2 n =1
 òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) ðàçëàãàåòñÿ â òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå
[−π; π], ïîêàæåì, êàê îïðåäåëèòü åãî êîýôôèöèåíòû.
260
Òàê êàê ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ íà îòðåçêå ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä
ìîæíî ïî÷ëåííî èíòåãðèðîâàòü íà ýòîì îòðåçêå (ñì. § 10.2, ï. 3, òåîðåìà 2), òî ñ ó÷åòîì ôîðìóë (2), (3) èìååì:
π
∫ f ( x )dx =
−π
a0
2
π
∫ dx = a 0 π. Îòñþäà a 0 =
−π
π
1
f ( x )dx .
π −∫π
Óìíîæèì òåïåðü ðÿä (6) íà cos kx (k — ôèêñèðîâàííîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî). Ïîëó÷èì îïÿòü ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ íà îòðåçêå [−π; π] ðÿä
(ñì. § 10.2, ï. 3, òåîðåìà 4):
∞
a
f ( x )cos kx = 0 cos kx + ∑ a n cos nx cos kx + b n sin nx cos kx .
2
n =1
Èíòåãðèðóåì åãî ïî÷ëåííî íà îòðåçêå [−π; π]. È ìû ïîëó÷èì:
π
π
∫ f ( x )cos kxdx = ∫ a
−π
k
cos 2 kxdx
−π
èëè ñîãëàñíî ôîðìóëå (4)
π
∫ f ( x )cos kxdx = a
k
π, îòêóäà a k =
−π
π
1
f ( x )cos kxdx .
π −∫π
Àíàëîãè÷íî, óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (6) íà sin kx è èíòåãðèðóÿ
â ïðåäåëàõ îò −π äî π, ïîëó÷èì:
bk =
π
1
f ( x )sin kxdx .
π −∫π
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (x) ñ ïåðèîäîì 2π ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà îòðåçêå [−π; π] òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà (5), òî êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðÿäà îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
a0 =
π
π
π
1
1
1
f ( x )dx , a n = ∫ f ( x )cos nxdx , b n = ∫ f ( x )sin nxdx
∫
π −π
π −π
π −π
(7)
(n = l, 2, ) è íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå ôóíêöèè f(x), à ðÿä (5)
ñ ýòèìè êîýôôèöèåíòàìè íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ôóðüå (Æàí Áàòèñò Æîçåô
Ôóðüå (1768—1830) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ôèçèê) ôóíêöèè f(x).
3. Ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå. Ïðè âûâîäå ôîðìóë (7) çàðàíåå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) ðàçëàãàåòñÿ â ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä (6). Åñëè òàêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ íå äåëàòü, à äîïóñòèòü òîëüêî, ÷òî äëÿ ôóíêöèè f(x) ñóùåñòâóþò âñå èíòåãðàëû,
ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ôîðìóë (7), òî ïî ýòèì ôîðìóëàì ìîæíî âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû a0, an, bn è ñîñòàâèòü òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä
(5), êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðÿä Ôóðüå, ñîîòâåòñòâóþùèé äàííîé
ôóíêöèè.
261
ßâëÿåòñÿ ëè ïîñòðîåííûé òàêèì îáðàçîì ðÿä Ôóðüå ñõîäÿùèìñÿ, è
åñëè îí ñõîäèòñÿ, òî èìååì ëè ìû ïðàâî óòâåðæäàòü, ÷òî îí ñõîäèòñÿ
èìåííî ê ôóíêöèè f (x), ñ ïîìîùüþ êîòîðîé âû÷èñëÿëèñü êîýôôèöèåíòû ðÿäà?
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñõîäèìîñòü ðÿäà Ôóðüå ê çàäàííîé ôóíêöèè èìååò ìåñòî äëÿ äîâîëüíî øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé.
Ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïðåäñòàâèìîñòè ôóíêöèè ðÿäîì Ôóðüå. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x) íà îòðåçêå [−π; π] óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Äèðèõëå (Ïåòåð Ãóñòàâ Äèðèõëå (1805—1859) — íåìåöêèé ìàòåìàòèê). Ýòî çíà÷èò, ÷òî îíà íà ýòîì îòðåçêå íåïðåðûâíà èëè êóñî÷íî-íåïðåðûâíà (ò. å. èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà) è
ìîíîòîííà èëè êóñî÷íî-ìîíîòîííà (ò. å. îòðåçîê [−π, π] ìîæíî ðàçäåëèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî îòðåçêîâ,âíóòðè êàæäîãî èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ
ëèáî òîëüêî âîçðàñòàåò, ëèáî òîëüêî óáûâàåò, ëèáî ïîñòîÿííà).
Ò å î ð å ì à Ä è ð è õ ë å. Åñëè ôóíêöèÿ f(x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Äèðèõëå íà îòðåçêå [−π; π], òî ðÿä Ôóðüå ýòîé ôóíêöèè ñõîäèòñÿ
íà âñåì îòðåçêå [−π; π] è ñóììà ýòîãî ðÿäà ðàâíà f(x) â òî÷êàõ íåïðå1
ðûâíîñòè ôóíêöèè, ( f ( x 0 − 0) + f ( x 0 + 0)) â òî÷êå x0 ðàçðûâà ôóíêöèè,
2
1
( f ( π − 0) + f ( − π + 0)) íà êîíöàõ îòðåçêà [−π;π].
2
Äîêàçàòåëüñòâî ñì. â êíèãå [15], ò. II.
Ñäåëàåì íåêîòîðûå çàìå÷àíèÿ ïî ïîâîäó ñôîðìóëèðîâàííîé òåîðåìû Äèðèõëå. ×ëåíû ðÿäà (5) — ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè ñ ïåðèîäîì 2π.
Ïîýòîìó åñëè ðÿä (5) ñõîäèòñÿ íà îòðåçêå [−π; π], òî îí ñõîäèòñÿ è ïðè
âñåõ âåùåñòâåííûõ çíà÷åíèÿõ x è ñóììà ðÿäà (5) ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿåò ñ ïåðèîäîì 2π òå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå îíà äàâàëà íà îòðåçêå [−π; π].
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìû ïîëüçóåìñÿ ðÿäîì Ôóðüå âíå îòðåçêà [−π; π],
òî ìû äîëæíû ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f(x) ïðîäîëæåíà âîâíå ýòîãî îòðåçêà ïåðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì 2π (ðèñ. 132). Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ åãî êîíöû x = −π, x =π ÿâÿòñÿ äëÿ ïðîäîëæåííîé òàêèì îáðàçîì ôóíêöèè òî÷êàìè ðàçðûâà, åñëè f(−π + 0) ≠ f(π − 0).
Íà ðèñóíêå 132 èçîáðàæåíà ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà îòðåçêå [−π;
π], êîòîðàÿ ïðè ïåðèîäè÷åñêîì ïðîäîëæåíèè äàåò ðàçðûâû â ñèëó íåñîâïàäåíèÿ çíà÷åíèé f(x) íà êîíöàõ îòðåçêà [−π; π].
Ï ð è ì å ð. Ôóíêöèÿ f(x) = x óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Äèðèõëå è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüå. Ïî ôîðìóëàì (7) èìååì:
a0 =
π
π
π
1
1
1
x sin nx
xdx = 0, a n = ∫ x cos nxdx =
π −π
πn
π −∫π
π
π
π
−
−π
π
1
sin nxdx = 0,
πn −∫π
1
1
1
2
2
(−1)n + 1 2
.
bn = ∫ x sin nxdx = − x cos nx +
cos nxdx = − cos nπ = − (−1)n =
∫
π −π
πn
πn − π
n
n
n
−π
262
Ðèñ. 132
Ðèñ. 133
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîãëàñíî òåîðåìå Äèðèõëå ïðè −π < x < π
sin 2 x sin 3x sin 4x
sin nx


x = 2  sin x −
+
−
+ ... + (−1)n + 1
+ ... .


2
3
4
n
 òî÷êàõ x = −π è x = π ñóììà ðÿäà Ôóðüå ïî òåîðåìå Äèðèõëå íå ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèÿìè
ôóíêöèè f(x) = x, à ðàâíà
f (− π + 0) + f (π − 0) − π + π
=
= 0.
2
2
 ñèëó ïåðèîäè÷íîñòè ñóììû ðÿäà ãðàôèê ýòîé ñóììû èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 133.
4. Ðÿäû ïî êîñèíóñàì è ñèíóñàì. Åñëè f (x) — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ íà îòðåçêå [−π; π], ò. å. åñëè f (−x) = f (x), x∈[−π; π], òî åå êîýôôèöèåíòû Ôóðüå
bn ðàâíû íóëþ. Â ñàìîì äåëå,
bn =
0
π
π

1
1
f
(
x
)sin
nxdx
=
f
(
x
)sin
nxdx
+
f ( x )sin nxdx  .

∫
∫
∫
π −π
π  −π

0
263
 ïåðâîì èíòåãðàëå ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé x = −t. Òîãäà, ïîëüçóÿñü
÷åòíîñòüþ f (x) è íå÷åòíîñòüþ ñèíóñà, ïîëó÷èì:
0
0
π
−π
π
0
∫ f ( x )sin nxdx = − ∫ f ( −t )sin n( −t )dt = − ∫ f (t )sin ntdt.
Îòñþäà è èç ïðåäûäóùåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî bn = 0 (n = 1, 2, ).
Êîýôôèöèåíòû an â ýòîì ñëó÷àå (ýòî òîæå ëåãêî ïîêàçàòü) ìîæíî
ïîäñ÷èòàòü ïî ôîðìóëàì
a0 =
π
π
2
2
f ( x )dx , a n = ∫ f ( x )cos nxdx (n = 1, 2,
∫
π0
π0
).
Àíàëîãè÷íî ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè f (x) — íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ, òî an = 0
π
2
(n = 0, 1, 2, ) è b n = ∫ f ( x )sin nxdx (n = 1, 2, ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè
π0
ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, òî åå ðÿä Ôóðüå ñîäåðæèò òîëüêî êîñèíóñû (íåïîëíûé
ðÿä ïî êîñèíóñàì), à åñëè íå÷åòíàÿ — òîëüêî ñèíóñû (íåïîëíûé ðÿä ïî
ñèíóñàì).
2
Ï ð è ì å ð. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x . Ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì òåîðåìû Äèðèõëå è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüå. Òàê êàê îíà ÷åòíàÿ, òî
bn = 0 (n = 1, 2,
an =
), a n =
2π 2
2 1
x cos nxdx =  x 2 sin nx
∫
π0
πn
2π 2
2 π2
,
x dx =
3
π ∫0
π
−
0

2π
4
x sin nxdx  = (−1)n π 2 .
∫
n0
n

Çíà÷èò, ñîãëàñíî òåîðåìå Äèðèõëå ïðè −π < x < π
x2 =
π2
cos 2 x cos 3x


− 4 cos x −
+
− ... .


3
22
32
Ýòî ðàâåíñòâî îñòàåòñÿ âåðíûì è íà âñåì
îòðåçêå [−π; π], òàê êàê â òî÷êàõ x = −π è
Ðèñ. 134
x = π ñóììà ðÿäà ïî òåîðåìå Äèðèõëå ðàâ1
1
íà
( f (− π + 0) + f (π − 0)) = (π 2 + π 2 ) = π 2 .
2
2
Áëàãîäàðÿ ïåðèîäè÷íîñòè ñóììû ðÿäà ãðàôèê åå èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 134.
5. Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè, çàäàííîé â ïðîìåæóòêå, â ðÿä Ôóðüå ïî êîñèíóñàì èëè ñèíóñàì. ×àñòî âîçíèêàåò çàäà÷à î ðàçëîæåíèè â ðÿä ïî
êîñèíóñàì èëè â ðÿä ïî ñèíóñàì ôóíêöèè f (x), çàäàííîé íà îòðåçêå [0; π].
264
Äëÿ ðàçëîæåíèÿ f (x) â ðÿä ïî êîñèíóñàì ìîæíî ðàññóæäàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Äîïîëíèì îïðåäåëåíèå
äàííîé ôóíêöèè f (x) òàê, ÷òîáû ïðè
−π ≤ x < 0 áûëî f (x) = f (−x).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ (â
ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò: ôóíêöèÿ f (x) ïðîäîëæåíà ñ îòðåçêà [0; π] íà îòðåçîê
Ðèñ. 135
[−π; 0] ÷åòíûì îáðàçîì; ðèñ. 135). Òîãäà äëÿ «ïðîäîëæåííîé» ÷åòíîé
ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû âñå ïðåäûäóùèå ðàññóæäåíèÿ (ï. 5), è, ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíòû Ôóðüå ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ïî ôîðìóëàì
an =
π
2
f ( x )cos nxdx (n = 0, 1, 2,
π ∫0
), bn = 0 (n = 1, 2,
).
 ýòèõ ôîðìóëàõ ôèãóðèðóþò ëèøü çàäàííûå íà [0; π] çíà÷åíèÿ f (x).
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ïðàêòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèÿõ ôàêòè÷åñêè ìîæíî è
íå îñóùåñòâëÿòü óêàçàííîå ÷åòíîå ïðîäîëæåíèå.
Åñëè ìû õîòèì ðàçëîæèòü ôóíêöèþ f (x) â ðÿä ïî ñèíóñàì, òî ïðîäîëæàåì åå ñ îòðåçêà [0; π] íà îòðåçîê [ −π; 0] íå÷åòíûì îáðàçîì.
Åñëè ìû äîïîëíèì îïðåäåëåíèå ôóíêöèè f (x) òàê: f (x) = −f (−x) ïðè
−π ≤ x < 0, òî ïîëó÷èì íå÷åòíóþ ôóíêöèþ (ãîâîðÿò: f (x) ïðîäîëæåíà íå÷åòíûì îáðàçîì). Ïðè ýòîì ïî ñìûñëó, íå÷åòíîñòè äîëæíû ïðèíÿòü
f (0) = 0. Ê «ïðîäîëæåííîé» íå÷åòíîé ôóíêöèè îïÿòü ïðèìåíèìû ñîîáðàæåíèÿ, ïðèâåäåííûå â ï. 4, è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êîýôôèöèåíòîâ
Ôóðüå ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû
an = 0 (n = 0, 1, 2, ),
π
2
b n = ∫ f ( x )sin nxdx (n = 1, 2,
π0
).
Ïîñêîëüêó çäåñü ó÷àñòâóþò ëèøü çíà÷åíèÿ f (x) íà [0; π], òî, êàê è â ñëó÷àå ðÿäà ïî êîñèíóñàì, ôàêòè÷åñêè ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f (x) ñ îòðåçêà [0; π] íà îòðåçîê [−π; 0] ìîæíî è íå îñóùåñòâëÿòü.
6. Ðÿä Ôóðüå ñ ïðîèçâîëüíûì ïðîìåæóòêîì. Åñëè íàäî ðàçëîæèòü â
òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä ôóíêöèþ f (x) ïåðèîäà 2l, êîòîðàÿ íà îòðåçêå
lt
[−l; l] óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Äèðèõëå, òî ìû ïîëàãàåì x = è ïîëó÷àπ
 lt 
åì ôóíêöèþ ϕ(t ) = f   ïåðèîäà 2π:
 π
 l(t + 2 π)

 lt
 lt 
ϕ(t + 2 π) = f 
 = f  + 2l  = f ( x + 2l ) = f ( x ) = f   = ϕ(t ),

π
 π

π 
265
êîòîðàÿ íà îòðåçêå [−π; π] óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Äèðèõëå. Ïîýòîìó â
èíòåðâàëå (−π; π)
∞
a
ϕ(t ) = 0 + ∑ (a n cos nt + b n sin nt ),
2 n =1
ãäå
π
1
a n = ∫ ϕ(t )cos ntdt (n = 0, 1, 2, ),
π −π
bn =
π
1
ϕ(t )sin ntdt (n = 1, 2,
π −∫π
).
Âîçâðàòèâøèñü ê ïðåæíåé ïåðåìåííîé x, ïîëó÷èì, ÷òî â èíòåðâàëå (−l; l)
∞
a
πnx
πnx 

(8)
f ( x ) = 0 + ∑  a n cos
+ b n sin
,
2 n =1 
l
l 
ãäå
l
1
πnx
(9)
a n = ∫ f ( x )cos
dx (n = 0, 1, 2, ),
l −l
l
bn =
l
1
πnx
f ( x )sin
dx (n = 1, 2,
∫
l −l
l
).
(10)
Êîýôôèöèåíòû à0, àn, bn (n = 1, 2, ) è çäåñü íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ôóðüå äëÿ f (x), à ðÿä (8)— ðÿäîì Ôóðüå äëÿ f(x).
Åñëè x — òî÷êà ðàçðûâà ôóíêöèè f (x), òî âìåñòî f (x) â ðàâåíñòâå (8)
f ( x − 0) + f ( x + 0)
áóäåò
.
2
Ãëàâà 11. ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ
ÔÓÍÊÖÈÉ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
§ 11.1. Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
Ïðåäåë è íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
1. Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ. Ïîíÿòèå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé íå îõâàòûâàåò âñå çàâèñèìîñòè, ñóùåñòâóþùèå â ïðèðîäå. Äàæå â ñàìûõ ïðîñòûõ çàäà÷àõ âñòðå÷àþòñÿ âåëè÷èíû, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ çíà÷åíèé íåñêîëüêèõ âåëè÷èí.
Ï ð è ì å ð 1. Ïëîùàäü S ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè, äëèíû êîòîðûõ ðàâíû x è y,
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé S = xy, ò. å. çíà÷åíèÿ S îïðåäåëÿþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ çíà÷åíèé x è y.
266
Ï ð è ì å ð 2. Îáúåì V ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñ ðåáðàìè, äëèíû êîòîðûõ
ðàâíû x, y è z, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé V = xyz, ò. å. çíà÷åíèÿ V îïðåäåëÿþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ çíà÷åíèé x, y è z.
Ï ð è ì å ð 3. Àáñîëþòíàÿ òåìïåðàòóðà T, äàâëåíèå p è îáúåì V äàííîé ìàññû ãàçà
ñâÿçàíû ôîðìóëîé Ìåíäåëååâà — Êëàïåéðîíà pV = RT, ãäå R — íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.
RT
, ò. å. çíà÷åíèÿ V îïðåäåëÿþòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ çíà÷åíèé T è p.
Îòñþäà, íàïðèìåð,V =
p
Ï ð è ì å ð 4. Êîëè÷åñòâî òåïëà Q, âûäåëÿåìîå ýëåêòðè÷åñêèì òîêîì, çàâèñèò îò íàïðÿæåíèÿ U, ñèëû òîêà I è âðåìåíè t, ïðè÷åì Q = 0,24UIt, ò. å. çíà÷åíèÿ Q îïðåäåëÿþòñÿ
ñîâîêóïíîñòüþ çíà÷åíèé U, I è t.
Äëÿ èçó÷åíèÿ ïîäîáíûõ çàâèñèìîñòåé ââîäèòñÿ ïîíÿòèå ôóíêöèé
íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ.
Ïåðåìåííàÿ z íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y,
åñëè íåêîòîðûì ïàðàì çíà÷åíèé x è y ïî êàêîìó-ëèáî ïðàâèëó èëè çàêîíó ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå z.
Ìíîæåñòâî G ïàð çíà÷åíèé x è y, êîòîðûå ìîãóò ïðèíèìàòü ïåðåìåííûå x è y, íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ èëè îáëàñòüþ ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíêöèè, à ìíîæåñòâî âñåõ çíà÷åíèé, ïðèíèìàåìûõ z â
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ,— îáëàñòüþ çíà÷åíèé ôóíêöèè z. Ïåðåìåííûå x
è y íàçûâàþòñÿ àðãóìåíòàìè ôóíêöèè z. Ñèìâîëè÷åñêè ôóíêöèÿ äâóõ
ïåðåìåííûõ îáîçíà÷àåòñÿ òàê: z = f(x, y), z = F(x, y), z = = ϕ(x, y), z =
= z(x, y) è ò. ä.
Êàê èçâåñòíî (§ 1.1, ï. 1), ïàðà ÷èñåë x è y îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå
òî÷êè M íà ïëîñêîñòè xOy ñ êîîðäèíàòàìè x è y (è, çíà÷èò, ðàäèóñ-âåêòîð r = OM (§ 2.1, ï. 8)) è íàîáîðîò. Ïîýòîìó ôóíêöèþ äâóõ ïåðåìåííûõ z = f(x, y) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ëèáî êàê ôóíêöèþ òî÷êè Ì è ïèñàòü z = f(M), ëèáî êàê ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ âåêòîðíîãî àðãóìåíòà r è
ïèñàòü z = f (r ).
Ñïîñîáû çàäàíèÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ, êàê è â ñëó÷àå îäíîé ïåðåìåííîé, ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè.  ýòîé êíèãå íàèáîëåå âàæíûì ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêèé ñïîñîá çàäàíèÿ, êîãäà ôóíêöèÿ çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ
ôîðìóëû. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè â ýòîì ñëó÷àå ñ÷èòàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê ïëîñêîñòè, äëÿ êîòîðûõ ýòà ôîðìóëà èìååò ñìûñë.
Ï ð è ì å ð 5. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z = 1 − x − y ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ
ïàð ÷èñåë (x, y), ò. å. âñÿ ïëîñêîñòü xOy, à îáëàñòüþ çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè — ïðîìåæóòîê (−∞; +∞).
x 2 y2
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ — âñÿ ïëîñêîñòü xOy, à
Ï ð è ì å ð 6. Äëÿ ôóíêöèè z =
+
4
9
îáëàñòü çíà÷åíèé — ïðîìåæóòîê [0; +∞).
Ï ð è ì å ð 7. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z = 1 − x 2 − y 2 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî
2
2
òî÷åê ïëîñêîñòè, êîîðäèíàòû êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó 1 − x − y ≥ 0 (çäåñü
267
2
2
èäåò ðå÷ü ëèøü î äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ z) èëè íåðàâåíñòâó x + y ≤ 1, ò. å. êðóã, îãðà2
2
íè÷åííûé îêðóæíîñòüþ x + y = 1, âêëþ÷àÿ ýòó îêðóæíîñòü (çàìêíóòûé êðóã). Îáëàñòü
çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè — îòðåçîê [0; 1].
1
Ï ð è ì å ð 8. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z =
åñòü êðóã, îãðàíè÷åí1 − x 2 − y2
íûé îêðóæíîñòüþ x2 + y2 =1, èñêëþ÷àÿ ýòó îêðóæíîñòü (îòêðûòûé êðóã), à îáëàñòü çíà÷åíèè — ïðîìåæóòîê [1; +∞).
Èç ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ âèäíî, ÷òî îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ
ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ ìîæåò áûòü âñÿ ïëîñêîñòü xOy èëè åå ÷àñòü.
Èçâåñòíî (ñì. § 2.1, ï. 8), ÷òî êàæäîé òðîéêå ÷èñåë (x; y; z) â ïðîñòðàíñòâå Oxyz ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà M(x; y; z) (è, çíà÷èò, ðàäèóñ-âåêòîð
r = OM ) è íàîáîðîò. Ñîâåðøåííî àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ äâóõ ïåðåìåííûõ
ìîæíî äàòü îïðåäåëåíèå ôóíêöèè òðåõ ïåðåìåííûõ u = f (x; y; z) = f (M) =
= f (r ). Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè òðåõ ïåðåìåííûõ áóäåò óæå âñå
ïðîñòðàíñòâî èëè åãî ÷àñòü.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî äàòü îïðåäåëåíèå ôóíêöèè ÷åòûðåõ è áîëåå ïåðåìåííûõ.
 äàëüíåéøåì áóäåì ïîäðîáíî ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ, òàê êàê âñå âàæíåéøèå ôàêòû òåîðèè ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ íàáëþäàþòñÿ óæå íà ôóíêöèÿõ äâóõ ïåðåìåííûõ. Ðàñïðîñòðàíåíèå
îïðåäåëåíèé è ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ íà ôóíêöèè òðåõ è áîëåå ïåðåìåííûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé, êàê ïðàâèëî, ëèøü òåõíè÷åñêèå òðóäíîñòè.
2. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ. Ôóíêöèè
äâóõ ïåðåìåííûõ äîïóñêàþò ãðàôè÷åñêóþ èëëþñòðàöèþ. Ãðàôèêîì
ôóíêöèè z = f(x, y), îïðåäåëåííîé â îáëàñòè G, íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
òî÷åê (x; y; z) ïðîñòðàíñòâà, ó êîòîðûõ (x; y) ïðèíàäëåæèò G è z = f (x, y).
 íàèáîëåå ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ òàêîé ãðàôèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü (ñì. òàêæå ãëàâó 4). Íàïðèìåð, ãðàôèêîì ôóíêöèè èç
ïðèìåðà 5 (ï. 1) ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè (1; 0; 0),
(0; 1; 0) è (0; 0; 1) (§ 4.1, ï. 5); ãðàôèêîì ôóíêöèè èç ïðèìåðà 6 (ï. 1) —
ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä (§ 5.2, ï. 2).
Îäíàêî ïîñòðîåíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïðåäñòàâëÿåò çíà÷èòåëüíûå òðóäíîñòè.  ñâÿçè ñ ýòèì îêàçûâàåòñÿ óäîáíûì ãåîìåòðè÷åñêè îïèñûâàòü ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ, íå âûõîäÿ â òðåõìåðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ñðåäñòâîì òàêîãî îïèñàíèÿ
ÿâëÿþòñÿ ëèíèè óðîâíÿ. Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè xOy âñå òå òî÷êè (x; y), â
êîòîðûõ ôóíêöèÿ f (x; y) ïðèíèìàåò îäíî è òî æå çíà÷åíèå, íàïðèìåð
çíà÷åíèå, ðàâíîå c. Èíà÷å ãîâîðÿ, îòìå÷àåì òå òî÷êè (x; y), äëÿ êîòîðûõ
f (x; y) = c.
(1)
Ìíîæåñòâî ýòèõ òî÷åê è íàçûâàåòñÿ ëèíèåé óðîâíÿ ôóíêöèè f(x, y).
Ïîíÿòíî, ÷òî óðàâíåíèå (1) åñòü óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè. Ïðèäàâàÿ c
268
ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ è êàæäûé ðàç ñòðîÿ
ëèíèþ ñ óðàâíåíèåì (1), ïîëó÷èì ñåìåéñòâî ëèíèé óðîâíÿ. Ýòî ñåìåéñòâî íàãëÿäíî îïèñûâàåò ôóíêöèþ f (x, y). Îáû÷íî ðÿäîì ñ ëèíèåé óðîâíÿ ñòàâÿò òî çíà÷åíèå c, êîòîðîìó îíà ñîîòâåòñòâóåò.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè
z = x2 + y2.
(2)
Ïåðåñå÷åì ïîâåðõíîñòü (2) ïëîñêîñòüþ z = c (0 ≤ c <
< +∞). Çàäàâàÿ c ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ, íàïðèìåð c =
= 0, 1, 2, 3,
Ðèñ. 136
, ïîëó÷èì ñåìåéñòâî ëèíèé óðîâíÿ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé îêðóæíîñòè. Ïðè
c = 0 îêðóæíîñòü âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó (0; 0) (ðèñ. 136). Èç òîãî, ÷òî ëèíèÿìè óðîâíÿ îêàçàëèñü îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè â íà÷àëå êîîðäèíàò, ñëåäóåò, ÷òî ãðàôèêîì äàííîé ôóíêöèè
äîëæíà áûòü ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Oz. Äåéñòâèòåëüíî, êàê èçâåñòíî èç àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè (§ 5.2, ï. 2), óðàâíåíèå (2) îïðåäåëÿåò ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ.
Ëèíèÿìè óðîâíÿ îáîçíà÷àþò ãëóáèíó ìîðåé è âûñîòó ãîð íà ãåîãðàôè÷åñêèõ êàðòàõ. Àíàëîãè÷íûå ëèíèè îïèñûâàþò ðàñïðåäåëåíèå òåõ èëè
èíûõ âåùåñòâ â ïî÷âå, ðàñïðåäåëåíèå ñðåäíåñóòî÷íîé òåìïåðàòóðû è ò. ä.
3. Ïðåäåë ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ. Ìíîæåñòâî òî÷åê M(x; y), êîîðäèíàòû êîòîðûõ x è y óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó ( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 < δ,
èëè, êîðî÷å, MM0 < δ, íàçûâàåòñÿ δ-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè M0(x0; y0). Äðóãèìè ñëîâàìè, δ-îêðåñòíîñòü òî÷êè M0 — ýòî âñå òî÷êè, ëåæàùèå âíóòðè
êðóãà ñ öåíòðîì Ì0 ðàäèóñà δ.
Î ï ð å ä å ë å í è å. ×èñëî A íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè z = f (x, y) =
= f (M) ïðè ñòðåìëåíèè òî÷êè M ê òî÷êå M0(x0; y0), ÷òî êðàòêî çàïèñûâàåòñÿ: M → M0, åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî δ = δ(ε) > 0,
÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê M èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 0 < MM0 < δ, èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî | f(M) − A | < ε.
Îáîçíà÷àþò ýòî òàê:
lim f (M ) = A, èëè lim f ( x , y ) = A.
M→M0
x→ x 0
y→ y 0
Ôóíêöèÿ z = f(M) íàçûâàåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëîé ïðè M → M0, åñëè
lim f (M ) = 0.
M→M0
Âñå îñíîâíûå ñâîéñòâà î áåñêîíå÷íî ìàëûõ è î ïðåäåëàõ, óñòàíîâëåííûå â ãëàâå 7 (§ 7.4, 7.5) äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé, îáîáùàþòñÿ è íà ñëó÷àé ôóíêöèé äâóõ è áîëüøåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ.
4. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü òî÷êà M0(x0; y0)
ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè z = f(x, y) = f(M).
269
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ôóíêöèÿ z = f(x, y) = f(M) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå M0, åñëè
lim f (M ) = f (M 0 ), èëè lim f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ),
x→ x 0
y→ y 0
M→M0
(3)
ïðè÷åì òî÷êà M ñòðåìèòñÿ ê òî÷êå M0 ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, îñòàâàÿñü â îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè.
Îáîçíà÷èì x − x0 = ∆x, y − y0 = ∆y. Ïîëíûì ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè z =
= f(x, y) = f(M) ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè M0 ê òî÷êå M íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü
çíà÷åíèé ôóíêöèè â ýòèõ òî÷êàõ, à èìåííî: ∆z = f(M) − f(M0), ò. å. ∆z =
= f(x, y) − f(x0, y0).
Óñëîâèå (3) íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè â òî÷êå M0 ðàâíîñèëüíî óñëîâèþ
lim ∆z = 0, èëè lim ∆z = 0.
x→ x 0
y→ y 0
M→M0
2
2
Ï ð è ì å ð. Ôóíêöèÿ z = x + y íåïðåðûâíà â ëþáîé òî÷êå ïëîñêîñòè xOy, òàê êàê
2
2
ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ x è y âåëè÷èíà ∆z = 2x∆x + 2y∆y + (∆x) + (∆y) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ
ïðè ∆x → 0, ∆y → 0.
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä íåïðåðûâíûìè â òî÷êå ôóíêöèÿìè
ïðèâîäÿò ê íåïðåðûâíûì ôóíêöèÿì â òîé æå òî÷êå (ïðè óñëîâèè, ÷òî
äåëåíèå ïðîèçâîäèòñÿ íà ôóíêöèþ, íå îáðàùàþùóþñÿ â ýòîé òî÷êå â
íóëü). Ýòî óñòàíàâëèâàåòñÿ òàê æå, êàê äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé
(§ 7.6, ï. 1).
5. Ïîíÿòèå îáëàñòè. Îáëàñòüþ èëè îòêðûòîé îáëàñòüþ íàçûâàåòñÿ
ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàì:
1) êàæäàÿ òî÷êà îáëàñòè ïðèíàäëåæèò åé âìåñòå ñ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòüþ ýòîé òî÷êè (ñâîéñòâî îòêðûòîñòè);
2) âñÿêèå äâå òî÷êè îáëàñòè ìîæíî ñîåäèíèòü íåïðåðûâíîé ëèíèåé
(íåïðåðûâíàÿ ëèíèÿ — ìíîæåñòâî òî÷åê M(x; y) ïëîñêîñòè, êîîðäèíàòû êîòîðûõ çàäàíû êàê íåïðåðûâíûå ôóíêöèè x = ϕ(t), y = ψ(t), a ≤ t ≤
≤ b),öåëèêîì ëåæàùåé â ýòîé îáëàñòè
(ñâîéñòâî ñâÿçíîñòè).
×àñòü ïëîñêîñòè, ëåæàùàÿ âíóòðè
çàìêíóòîãî êîíòóðà L (ðèñ. 137), ÿâëÿåòñÿ îáëàñòüþ, òàê êàê, âî-ïåðâûõ, äëÿ
ëþáîé òî÷êè Ì, ëåæàùåé âíóòðè L, ñóùåñòâóåò îêðåñòíîñòü, òàêæå ëåæàùàÿ
âíóòðè L; âî-âòîðûõ, äâå ëþáûå òî÷êè
Ì è N, ëåæàùèå âíóòðè L, ìîæíî ñîåäèíèòü íåïðåðûâíîé ëèíèåé, òàêæå
Ðèñ. 137
ëåæàùåé âíóòðè L.
270
Òî÷êà M0 íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé òî÷êîé îáëàñòè G, åñëè ëþáàÿ îêðåñòíîñòü ýòîé òî÷êè ñîäåðæèò êàê òî÷êè îáëàñòè G, òàê è òî÷êè, åé íå
ïðèíàäëåæàùèå (ñì. ðèñ. 137).
Ìíîæåñòâî âñåõ ãðàíè÷íûõ òî÷åê îáëàñòè íàçûâàåòñÿ åå ãðàíèöåé. Íà ðèñóíêå 137 ëþáàÿ òî÷êà êîíòóðà L, î÷åâèäíî, ÿâëÿåòñÿ ãðàíè÷íîé.
Åñëè ê îòêðûòîé îáëàñòè ïðèñîåäèíèòü åå ãðàíèöó, òî ïîëó÷åííîå
ìíîæåñòâî òî÷åê íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé îáëàñòüþ. Òàê, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè â ïðèìåðå 7 (ï. 1) ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé.
Åñëè äëÿ äàííîé îáëàñòè ìîæíî ïîäîáðàòü êðóã, ïîëíîñòüþ åå ïîêðûâàþùèé,òî òàêàÿ îáëàñòü íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé. Íàïðèìåð, îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé â ïðèìåðàõ 7, 8 (ï. 1) ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè.
Îáëàñòü G (îòêðûòàÿ èëè çàìêíóòàÿ) íàçûâàåòñÿ îäíîñâÿçíîé, åñëè
äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà, ëåæàùåãî â ýòîé îáëàñòè, îãðàíè÷åííàÿ èì ÷àñòü ïëîñêîñòè öåëèêîì ïðèíàäëåæèò îáëàñòè G. Íàïðèìåð,
îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé â ïðèìåðàõ 5 — 8 (ï. 1) ÿâëÿþòñÿ îäíîñâÿçíûìè. Îáëàñòü æå, çàêëþ÷åííàÿ ìåæäó îêðóæíîñòÿìè x2 + y2 = 2 è
x2 + y2 = 4, íå ÿâëÿåòñÿ îäíîñâÿçíîé, òàê êàê îêðóæíîñòü x2 + y2 = 3, ëåæàùàÿ â ýòîé îáëàñòè, ñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ è òî÷êè, íå ïðèíàäëåæàùèå
îáëàñòè (íàïðèìåð, íà÷àëî êîîðäèíàò). Ýòî ïðèìåð äâóñâÿçíîé îáëàñòè. Îáëàñòü, èìåþùàÿ äâà âûðåçà, íàçûâàåòñÿ òðàõñâÿçíîé è ò.ä.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Âñå ââåäåííûå â ýòîì ïóíêòå ïîíÿòèÿ ïî÷òè áåç èçìåíåíèÿ ïåðåíîñÿòñÿ íà ïðîñòðàíñòâî òðåõ è áîëüøåãî ÷èñëà èçìåðåíèé.
6. Îñíîâíûå ñâîéñòâà íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ. Â § 7.6
(ï. 3) áûëè ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà ôóíêöèé, íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå.
Ýòè ñâîéñòâà ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ è íà ñëó÷àé ôóíêöèé äâóõ è áîëüøåãî
÷èñëà ïåðåìåííûõ, íåïðåðûâíûõ â îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé îáëàñòè.
Ôóíêöèÿ z = f(x, y) = f(M) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â îòêðûòîé èëè
çàìêíóòîé îáëàñòè, åñëè îíà íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè.
Ïðè ýòîì ôóíêöèÿ f(M) ñ÷èòàåòñÿ íåïðåðûâíîé â ãðàíè÷íîé òî÷êå M0,
åñëè â ðàâåíñòâå lim f (M ) = f (M 0 ) òî÷êà M ñòðåìèòñÿ ê òî÷êå M0
M→M0
âäîëü ëþáîãî ïóòè, ïðèíàäëåæàùåãî äàííîé îáëàñòè.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå:
Åñëè ôóíêöèÿ z = f(M) íåïðåðûâíà â îãðàíè÷åííîé çàìêíóòîé îáëàñòè, òî îíà â ýòîé îáëàñòè:
1) èìååò íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ;
2) îãðàíè÷åíà: | f(M)| ≤ K (K — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî);
3) ïðèíèìàåò âñå ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ
ñâîèìè çíà÷åíèÿìè, ò. å. åñëè A < C < B, ãäå A è B — êàêèå-òî çíà÷åíèÿ
271
ôóíêöèè f(M) â äàííîé îáëàñòè, òî â ýòîé îáëàñòè ñóùåñòâóåò òî÷êà M0,
â êîòîðîé f(M0) = C.
Èç ñâîéñòâà 3, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè M1 è M2 —òî÷êè äàííîé
îáëàñòè è f(M1) < 0, à f(M2) > 0, òî â ýòîé îáëàñòè ñóùåñòâóåò òî÷êà M0, â
êîòîðîé f(M0) = 0.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Çàìåòèì, ÷òî íà ñëó÷àé ôóíêöèé äâóõ è áîëüøåãî ÷èñëà ïåðåìåííûõ ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ (ñì. | 11|) òåîðåìà 5 èç ï. 1 § 7.6.
§ 11.2. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå. Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë
1. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå. ×àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ïî êàêîé-íèáóäü ïåðåìåííîé â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå íàçûâàåòñÿ îáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî ýòîé ïåðåìåííîé, ñ÷èòàÿ äðóãèå ïåðåìåííûå
ôèêñèðîâàííûìè (ïîñòîÿííûìè). Íàïðèìåð, äëÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ z = f (x, y) â òî÷êå M0(x0; y0) ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
∆ z
f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
∂z
,
= lim x = lim
∆x → 0
∆x
∂x ∆x → 0 ∆x
∆yz
f ( x 0 , y 0 + ∆y ) − f ( x 0 , y 0 )
∂z
,
= lim
= lim
∆y → 0
∂y ∆y → 0 ∆y
∆y
åñëè ýòè ïðåäåëû ñóùåñòâóþò. Âåëè÷èíà ∆xz = f (x0 + ∆x, y0) − f (x0, y0) (∆yz =
= f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0)) íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè z â
òî÷êå M0 ïî àðãóìåíòó x (y). Èñïîëüçóþòñÿ è äðóãèå îáîçíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:
z ′x ,
272
∂f ( x 0 , y 0 ) ∂
∂f ( x 0 , y 0 )
,
è ò. ä.
f ( x 0 , y 0 ), f x′( x 0 , y 0 ), z ′y ,
∂x
∂y
∂x
∂f ( x 0 , y 0 )
∂z
∂z
,
,
Ñèìâîëû
,
∂x
∂x
∂y
∂f ( x 0 , y 0 )
êàê äðîáè òðàêòîâàòü íåëü∂y
çÿ (â ýòîì îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ îäíîé
ïåðåìåííîé).
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé
ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ: ÷àñòíàÿ
ïðîèçâîäíàÿ f x′( x 0 , y 0 ) ( f y′ ( x 0 , y 0 )) —
óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè z =
= f(x, y) è ïëîñêîñòè y = y0 (x = x0) â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå (ðèñ. 138).
Ðèñ. 138
Ïîëüçóÿñü ïîíÿòèåì ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé (ñì. § 8.1, ï.2),
ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ f x′( x 0 , y 0 ) ( f y′ ( x 0 , y 0 )) åñòü ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè f(x, y) îòíîñèòåëüíî x (y) ïðè ïîñòîÿííîì y (x).
Èç îïðåäåëåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñëåäóåò, ÷òî ïðàâèëà âû÷èñëåíèÿ èõ îñòàþòñÿ òåìè æå, ÷òî è äëÿ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé
(§ 8.2), è òîëüêî òðåáóåòñÿ ïîìíèòü, ïî êàêîé ïåðåìåííîé íàõîäèòñÿ
ïðîèçâîäíàÿ.
2
2
Ï ð è ì å ð 1. Åñëè z = x + y ,òî zx′ = 2 x , z′y = 2 y.
Ï ð è ì å ð 2. Åñëè p =
RT
R
RT
, òî pT′ = , pV′ = − 2 . Âåëè÷èíà pV′ íàçûâàåòñÿ èçîòåðìèV
V
V
÷åñêèì êîýôôèöèåíòîì óïðóãîñòè èäåàëüíîãî ãàçà.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ è îáîçíà÷àþòñÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
ôóíêöèè òðåõ è áîëüøåãî ÷èñëà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.
2. Ïîëíûé äèôôåðåíöèàë. Êàê óæå îòìå÷àëîñü (§ 11.1, ï. 4), ïîëíûì ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè z = f (x, y) â òî÷êå (x0; y0), ñîîòâåòñòâóþùèì ïðèðàùåíèÿì ∆x è ∆y ïåðåìåííûõ x è y, íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå
∆z = ∆f (x0, y0) = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0).
(1)
Åñëè ïðèðàùåíèå (1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
∆z = A∆x + B∆y + α(∆x, ∆y) ∆x + β(∆x, ∆y) ∆y,
(2)
ãäå A è B íå çàâèñÿò îò ∆x è∆y, à α(∆x, ∆y) è β(∆x, ∆y) ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ
ïðè ñòðåìëåíèè ê íóëþ ∆x è ∆y, òî ôóíêöèÿ z = f (x, y) íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå (x0; y0), à ëèíåéíàÿ ÷àñòü A∆x + B∆y ïðèðàùåíèÿ
ôóíêöèè (ò. å. òà ÷àñòü ∆z, êîòîðàÿ çàâèñèò îò ∆x è ∆y ëèíåéíî) íàçûâàåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì (èëè ïðîñòî äèôôåðåíöèàëîì) ýòîé ôóíêöèè â òî÷êå (x0; y0) è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì dz:
dz = A∆x + B∆y.
(3)
Èç îïðåäåëåíèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè ñëåäóåò, ÷òî åñëè
äàííàÿ ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå (x0; y0), òî îíà â ýòîé òî÷êå
íåïðåðûâíà.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â òî÷êå (x0; y0) ôóíêöèÿ z = f (x, y) äèôôåðåíöèðóåìà, òî äëÿ ýòîé òî÷êè ∆z ïðåäñòàâèìî â ôîðìå (2), îòêóäà ñëåäóåò,
÷òî
lim ∆z = 0,
∆x → 0
∆y → 0
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå (x0; y0) ôóíêöèÿ z = f (x, y) íåïðåðûâíà.
273
Èç äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè â äàííîé òî÷êå ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â ýòîé òî÷êå (íåîáõîäèìîå óñëîâèå
äèôôåðåíöèðóåìîñòè).
 ñàìîì äåëå, ïóñòü ôóíêöèÿ z = f (x, y) â òî÷êå (x0; y0) äèôôåðåíöèðóåìà. Òîãäà èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå (2). Ïîëàãàÿ â íåì ∆y = 0, èìååì:
∆xz = A∆x + α(∆x, 0) ∆x.
Äåëÿ íà ∆x ≠ 0 è ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè ∆x → 0, ïîëó÷àåì:
∆ z
lim x = lim ( A + α( ∆x ,0)) = A.
∆x → 0 ∆x
∆x → 0
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â òî÷êå (x0; y0) ñóùåñòâóåò ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè z = f (x, y) ïî x è
∂z
(4)
= A.
∂x
Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî â òî÷êå (x0; y0) ñóùåñòâóåò ÷àñòíàÿ
ïðîèçâîäíàÿ
∂z
(5)
= B.
∂y
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4) è (5), ìîæíî ïåðåïèñàòü âûðàæåíèå (3) â
∂z
∂z
âèäå dz =
∆x + ∆y.
∂x
∂y
Åñëè ïîëîæèòü z = x, òî dz = dx = 1⋅∆x + 0⋅∆y = ∆x, ò. å. dx = ∆x.
Àíàëîãè÷íî, ïîëàãàÿ z = y, ïîëó÷èì dy = ∆y. Çíà÷èò, äèôôåðåíöèàëû íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ñîâïàäàþò ñ ïðèðàùåíèÿìè ýòèõ ïåðåìåííûõ, è ìû ìîæåì çàïèñàòü äèôôåðåíöèàë (3) â ñëåäóþùåì
âèäå: dz = f x′( x 0 , y 0 )dx + f y′ ( x 0 , y 0 )dy.
Ò å î ð å ì à (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè). Åñëè
ôóíêöèÿ z = f (x, y) èìååò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
òî÷êè M0(x0; y0) è ýòè ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû â ñàìîé òî÷êå M0, òî ýòà
ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äàäèì ïåðåìåííûì x0 è y0 ñòîëü ìàëûå
ïðèðàùåíèÿ ∆x è ∆y, ÷òîáû òî÷êà M(x0 + ∆x; y0 +∆y) íå âûøëà çà ïðåäåëû
óêàçàííîé îêðåñòíîñòè òî÷êè M0. Ïîëíîå ïðèðàùåíèå ∆z = f (x0 + ∆x,
y0 + ∆y) − f(x0, y0) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
∆z = (f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0, y0 + ∆y)) + (f (x0, y0 + ∆y) − f (x0, y0)).
Êàæäàÿ èç ýòèõ ðàçíîñòåé ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòíîå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè. Ïðåîáðàçóåì êàæäóþ èç ýòèõ ðàçíîñòåé ïî ôîðìóëå Ëàãðàíæà
(ñì. § 8.6, ï. 3). Ïîëó÷èì:
∆z = f x′( x 0 + θ∆x , y 0 + ∆y )∆x + f y′ ( x 0 , y 0 + θ 1 ∆y )∆y
(0 < θ, θ1 < 1).
274
(6)
Òàê êàê ïðîèçâîäíûå f x′ è f y′ íåïðåðûâíû â òî÷êå M0, òî
lim f x′( x 0 + θ∆x , y 0 + ∆y ) = f x′( x 0 , y 0 ),
∆x → 0
∆x → 0
lim f y′ ( x 0 , y 0 + θ 1 ∆y ) = f y′ ( x 0 , y 0 ).
∆x → 0
∆x → 0
Îòñþäà (ñì. § 11.1, ï. 3, § 7.5, ï. 1)
f x′( x 0 + θ∆x , y 0 + ∆y ) = f x′( x 0 , y 0 ) + α,
f y′ ( x 0 , y 0 + θ 1 ∆y ) = f y′ ( x 0 , y 0 ) + β,
ãäå α è β — áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðè ∆x → 0, ∆y → 0. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â ðàâåíñòâî (6), íàõîäèì:
∆z = f x′( x 0 , y 0 )∆x + f y′ ( x 0 , y 0 )∆y + α∆x + β∆y,
à ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ z = f(x, y) äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå M0.
3. Ïðîèçâîäíûå è äèôôåðåíöèàë ñëîæíîé ôóíêöèè. Ïóñòü z = f(x, y),
ãäå x = ϕ(t), y = ψ(t). Òîãäà â êîíå÷íîì èòîãå z áóäåò ôóíêöèåé îäíîé ïådx dy
ðåìåííîé t. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî z ′x , z ′y íåïðåðûâíû è ,
ñóùåñòâódt dt
dz
þò. Íàéäåì . Äàäèì ïåðåìåííîé t ïðèðàùåíèå ∆t. Òîãäà x, y, à ñëåäîdt
âàòåëüíî, è z ïîëó÷àò ñâîè ïðèðàùåíèÿ ∆x, ∆y è ∆z.  ñèëó äîñòàòî÷íîãî
óñëîâèÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè
îòêóäà
∆z = f x′( x , y )∆x + f y′ ( x , y )∆y + α∆x + β∆y,
∆z
∆x
∆y
∆x
∆y
= f x′( x , y )
+ f y′ ( x , y )
+α
+β .
∆t
∆t
∆t
∆t
∆t
Óñòðåìèì òåïåðü ∆t ê íóëþ. Òîãäà ∆x è ∆y áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ, òàê
êàê ôóíêöèè x è y íåïðåðûâíû (ìû ïðåäïîëîæèëè ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíûõ x t′ è y t′ ), à ïîòîìó α è β òàêæå áóäóò ñòðåìèòüñÿ ê íóëþ.  ïðåäåëå ïîëó÷èì:
dz
dx
dy
= f x′( x , y ) + f y′ ( x , y ) ,
dt
dt
dt
èëè, êîðî÷å,
dz ∂z dx ∂z dy
.
=
+
dt ∂x dt ∂y dt
(7)
Ôîðìóëà (7) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè.
275
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü z = f(x, y), x = t3 + 3, y = 2t4 + 1. Ïî ôîðìóëå (7) èìååì:
dz ∂z
∂z
=
⋅ 3t 2 +
⋅ 8t 3 .
dt ∂x
∂y
Ïðåäïîëîæèì, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ðîëü íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé èãðàåò x, ò. å. ðàññìîòðèì ôóíêöèþ z = f(x, y), ãäå y = ψ(x). Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7) áóäåì èìåòü:
dz ∂z ∂z dy
,
(8)
=
+
dx ∂x ∂y dx
dx
∂z
òàê êàê
= 1.  ôîðìóëå (8) — ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî ïåðâîìó àðdx
∂x
dz
ãóìåíòó ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ f(x, y), à
— îáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ
dx
ñëîæíîé ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé x: z = f (x, ψ(x)). Ïîñëåäíþþ ïðîèçâîäíóþ áóäåì íàçûâàòü ïîëíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè. ñëó÷àå, êîãäà
z = f (x, y), ãäå x = ϕ(y), àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:
dz ∂z dx ∂z
=
+
dy ∂x dy ∂y
∂z
dz
— ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïî âòîðîìó àðãóìåíòó ôóíêöèè f (x, y), —
∂y
dy
ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé y: z = f (ϕ(y), y)).
Ïóñòü òåïåðü x = ϕ(t, τ), y = ψ(t,τ) (çäåñü ïðåäïîëàãàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé x, y ïî t è τ).  ýòîì ñëó÷àå z áóäåò
ôóíêöèåé äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ t è τ. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ôîðìóëó (7) íóæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
(
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
.
=
+
∂t ∂x ∂t ∂y ∂t
(9)
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y
.
=
+
∂τ ∂x ∂τ ∂y ∂τ
(10)
Àíàëîãè÷íî
Ï ð è ì å ð 2. Åñëè z = xy, ãäå x = t cos 2τ, y = t τ, òî zt′ = y cos2 τ + 2 xtτ, z′τ = −2 yt sin 2 τ + xt 2 .
2
Èç ôîðìóë (9) è (10) âèäíî, ÷òî ñèìâîë ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé, êàê óæå
îòìå÷àëîñü âûøå, íåëüçÿ òðàêòîâàòü êàê äðîáü.  ñàìîì äåëå, åñëè áû
ìîæíî áûëî ñîêðàòèòü íà ∂x è ∂y, òî èç ôîðìóë (9) è (10) ïîëó÷èëè áû, ÷òî
∂z
∂z
∂z
∂z
è
=2
=2 .
∂t
∂t
∂τ
∂τ
276
Ïðåäïîëîæèì åùå, ÷òî x t′ , x τ′ , y t′ è y τ′ íåïðåðûâíû.
Åñëè áû x è y áûëè íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè, òî ïîëíûé
äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè z áûë áû ðàâåí dz = z x′ dx + z ′y dy. Â äàííîì
ñëó÷àå z çàâèñèò ÷åðåç ïîñðåäñòâî x, y îò ïåðåìåííûõ t è τ, ñëåäîâàòåëüíî, dz = z t′dt + z ′τ dτ. Íî
z t′ = z ′x x t′ + z ′y y t′
è
z ′τ = z x′ x τ′ + z ′y y ′τ .
Ïîýòîìó
dz = ( z ′x x t′ + z ′y y t′ )dt + ( z ′x x ′τ + z ′y y ′τ )dτ = z ′x ( x t′dt + x ′τ dτ) + z ′y ( y t′dt + y ′τ dτ).
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â ñêîáêàõ, ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëàìè ôóíêöèé x, y, ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü:
dz = z x′ dx + z ′y dy.
Ìû ïðèøëè ê òîé æå ôîðìå çàïèñè äèôôåðåíöèàëà, ÷òî è â ñëó÷àå, êîãäà x è y áûëè íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè.
4. Íåÿâíûå ôóíêöèè è èõ äèôôåðåíöèðîâàíèå. Êàê óæå îòìå÷àëîñü
(ñì. § 7.1, ï. 4), åñëè óðàâíåíèå, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî çàäàåòñÿ ôóíêöèÿ
îäíîé ïåðåìåííîé x, íå ðàçðåøåíî îòíîñèòåëüíî y, òî ýòà ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ íåÿâíîé. Ðàçðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî y, ìû ïîëó÷àåì òó æå ôóíêöèþ, íî óæå çàäàííóþ â ÿâíîé ôîðìå. Îäíàêî ÷àñòî áûâàåò, ÷òî ðàçðåøèòü òàêîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî y íåâîçìîæíî
(íàïðèìåð, 2y − 2y + x2 − 1 = 0) èëè íåöåëåñîîáðàçíî; â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå òàê è îñòàâëÿþò íåðàçðåøåííûì, â îáùåì âèäå (êîãäà âñå åãî
÷ëåíû ïåðåíåñåíû â ëåâóþ ÷àñòü):
F(x, y) = 0.
(11)
 ñâÿçè ñ ýòèì âñòàåò âîïðîñ î òîì, êàê íàéòè ïðîèçâîäíóþ íåÿâíîé
ôóíêöèè, íå ðàçðåøàÿ óðàâíåíèÿ (11) îòíîñèòåëüíî y.
Åñëè â óðàâíåíèè (11), îïðåäåëÿþùåì íåÿâíóþ ôóíêöèþ y = f(x), çàäàâàòü çíà÷åíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé x, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî çíà÷åíèÿ y íàäî ðåøàòü óðàâíåíèå.Çàòåì, åñëè â ýòî óðàâíåíèå ïîäñòàâèòü åãî ðåøåíèå, òî ïîëó÷èòñÿ òîæäåñòâî. Ïîýòîìó ìîæíî
ñêàçàòü òàêæå, ÷òî íåÿâíàÿ ôóíêöèÿ y = f(x), îïðåäåëåííàÿ óðàâíåíèåì (11),— ýòî òàêàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ, áóäó÷è ïîäñòàâëåíà â óðàâíåíèå
(11), îáðàùàåò åãî â òîæäåñòâî. Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî òîæäåñòâî ïî x ñîãëàñíî ïðàâèëó äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì:
F x′( x , y ) + F y′ ( x , y )
dy
= 0.
dx
277
Îòñþäà ïðè F y′ ( x , y ) ≠ 0 âûòåêàåò ôîðìóëà äëÿ ïðîèçâîäíîé íåÿâíîé
ôóíêöèè
F ′( x , y )
dy
.
(12)
=− x
dx
F y′ ( x , y )
xy
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü y êàê ôóíêöèÿ îò x çàäàíà ñîîòíîøåíèåì e − x − y = 0. Íàéòè
Äëÿ F(x, y) = exy − x − y èìååì:Fx′ = ye xy − 1, Fy′ = xe xy − 1 è ñîãëàñíî ôîðìóëå (12)
dy
.
dx
dy 1 − ye xy
.
=
dx xe xy − 1
Ïóñòü óðàâíåíèå
F(x, y, z) = 0
(13)
îïðåäåëÿåò z êàê íåÿâíóþ ôóíêöèþ z = ϕ(x, y) íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y.
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (12), èç ðàâåíñòâà (13) èìååì:
F y′
F ′ ∂z
∂z
=− .
=− x,
F z′
∂x
F z′ ∂y
(14)
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåÿâíîé ôóíêöèè z, çàäàííîé óðàâíåíè2
2
2
åì x + y + z − 1 = 0.
Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (14)
∂z
x ∂z
y
=− ,
=− .
∂x
z ∂y
z
5. Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü è íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ïîâåðõíîñòü
F(x, y, z) = 0
(15)
è íà íåé òî÷êó M0(x0; y0; z0). Ïðîâåäåì
÷åðåç òî÷êó M0 êàêóþ-íèáóäü ëèíèþ
L, öåëèêîì ëåæàùóþ íà ïîâåðõíîñòè
(15) (ðèñ. 139). Ïóñòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ëèíèè L:
x = ϕ(t), y = ψ(t), z = ω(t),
ïðè÷åì ïðè t = t0 ïîëó÷àåì êîîðäèíàòû òî÷êè M0. Òàê êàê êàæäàÿ òî÷êà ëèíèè L ëåæèò íà äàííîé ïîâåðõíîñòè
(15), òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà t áóäåò
Ðèñ. 139
278
F(ϕ(t), ψ(t), ω(t)) = 0.
Íî òîãäà ýòî ñîîòíîøåíèå åñòü òîæäåñòâî îòíîñèòåëüíî t. Äèôôåðåíöèðóÿ åãî, íàõîäèì:
F x′( ϕ(t ),ψ(t ),ω(t ))ϕ ′(t ) + F y′ (...)ψ ′(t ) + F z′(...)ω ′(t ) = 0.
Ïîëàãàÿ çäåñü t = t0, ïîëó÷èì:
F x′(M 0 )ϕ ′(t 0 ) + F y′ (M 0 )ψ ′(t 0 ) + F z′(M 0 )ω ′(t 0 ) = 0.
(16)
Êàñàòåëüíàÿ ê ëèíèè L â òî÷êå M0 îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè
x − x0
y − y0 z − z 0
.
=
=
ϕ ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 )
(17)
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ïðÿìóþ, îïðåäåëèâ åå óðàâíåíèÿìè
x −x0
y − y0
z −z0
.
=
=
∂F (M 0 ) ∂F (M 0 ) ∂F (M 0 )
∂y
∂z
∂x
(18)
Ñîîòíîøåíèå (16) ïîêàçûâàåò (ñì. § 4.2, ï. 5), ÷òî ïðÿìûå (17),
(18) ïåðïåíäèêóëÿðíû. Èç óðàâíåíèÿ (18) âèäíî, ÷òî ïðÿìàÿ (18)
âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ äàííîé ïîâåðõíîñòüþ (15) è âûáðàííîé íà ýòîé
ïîâåðõíîñòè òî÷êîé M0, íî íå çàâèñèò îò êðèâîé L, êîòîðóþ ìû ïðîâåëè íà ïîâåðõíîñòè (15) ÷åðåç òî÷êó M0 ïðîèçâîëüíî. Ñëåäîâàòåëüíî,
êàñàòåëüíûå, ïðîâåäåííûå â òî÷êå M0 ê âñåâîçìîæíûì êðèâûì, ëåæàùèì íà ïîâåðõíîñòè (15) è ïðîõîäÿùèì ÷åðåç òî÷êó M0, ïåðïåíäèêóëÿðíû ê îäíîé è òîé æå ïðÿìîé (18) è ïîòîìó ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ ê äàííîé
ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M0, à ïðÿìóþ (18) — íîðìàëüþ ê äàííîé ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M0.
Óðàâíåíèå ýòîé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè êàê óðàâíåíèå ïëîñêîñòè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ïðÿìîé (18), åñòü
(ñì. § 4.1, ï. 2)
∂F (M 0 )
∂F (M 0 )
∂F ( M 0 )
(19)
(x − x 0 ) +
(y − y0 ) +
( z − z 0 ) = 0.
∂x
∂y
∂z
Åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì z = f(x, y), òî óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè áóäåò ïîëó÷åíî êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé óðàâíåíèÿ (19)
ïðè F(x, y, z) = z − f(x, y). Òîãäà F x′ = − f x′ , F y′ = − f y′ , F z′ = 1 è óðàâíåíèå
(19) ïðèìåò âèä:
z − z 0 − f x′( x 0 , y 0 )( x − x 0 ) − f y′ ( x 0 , y 0 )( y − y 0 ) = 0.
Îáîçíà÷èâ çäåñü x − x0 = ∆x, y − y0 = ∆y, z − z0 = ∆z, ïîëó÷èì:
∆z = f x′( x 0 , y 0 )∆x + f y′ ( x 0, y 0 )∆y,
279
èëè
df(x0, y0) = ∆z,
ò. å. ïîëíûé äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ ðàâåí ïðèðàùåíèþ
àïïëèêàòû êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè. Òàêîâî ãåîìåòðè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå ïîëíîãî äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè f(x, y).
Ï ð è ì å ð. Ñîñòàâèòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè è íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè,
2
2
çàäàííîé óðàâíåíèåì z = x + y â òî÷êå M0(1; 1; 2).
2
2
Çäåñü F = z − x − y , Fx′ = −2 x , Fy′ = −2 y, Fz′ = 1.  òî÷êå M0 èìååì Fx′ = Fy′ = −2, Fz′ = 1. Ïîýòîìó ñîãëàñíî ôîðìóëàì (19) è (18) ïîëó÷èì óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè 2x + 2y −
− z − 2 = 0 è óðàâíåíèå íîðìàëè
x −1 y −1 z − 2
.
=
=
2
2
−1
§ 11.3. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå
è äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ
1. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå
ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñàìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ýòèõ ïåðåìåííûõ è ìîãóò èìåòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå. Äëÿ èñõîäíîé ôóíêöèè ýòè
ïîñëåäíèå ïðîèçâîäíûå áóäóò ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà.
Òàê, äëÿ ôóíêöèè z = f(x, y) äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ìîæíî îïðåäåëèòü (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî âñå ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâóþò) ÷åòûðå ÷àñòíûå
ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà, êîòîðûå îáîçíà÷àþòñÿ ñèìâîëàìè
∂ 2z
∂  ∂z 
∂ 2z
∂  ∂z 
=
=
  , z ′′xy =
 ,
2
∂x  ∂x 
∂x∂y ∂y  ∂x 
∂x
∂ 2z
∂  ∂z 
∂ 2z
∂  ∂z 
z ′′yx =
=
  , z ′′y 2 = 2 =
 .
y  ∂y 
∂y∂x ∂x  ∂y 
∂
∂y
z ′′x 2 =
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå z xy
′′ è z ′′yx , îòëè÷àþùèåñÿ ïîðÿäêîì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, íàçûâàþòñÿ ñìåøàííûìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî
ïîðÿäêà.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå òðåòüåãî, ÷åòâåðòîãî è ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ.
x − 2y
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà ôóíêöèè z = e
Èìååì:
.
z′x = e x − 2 y , z′y = −2e x − 2 y ,
zx′′2 = e
x −2 y
, zxy
′′ = −2e x − 2 y , z′′yx = −2e x − 2 y , z′′y 2 = 4e x − 2 y .
Çäåñü z ′′xy = z ′′yx . Îêàçûâàåòñÿ, èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (ñì.,
íàïðèìåð, [11]).
280
Ò å î ð å ì à. Ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâíû, åñëè
îíè íåïðåðûâíû: f xy′′ ( x , y ) = f yx′′ ( x , y ).
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ ðàâíû, åñëè
îíè íåïðåðûâíû è ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïî îäíèì è
òåì æå ïåðåìåííûì îäèíàêîâîå ÷èñëî ðàç, íî ìîæåò áûòü â ðàçíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå:
z ′′′
= (( z ′x )′x )′y = (( z ′x )′y )′x = (( z ′y )′x )′x ,
x2y
ò. å.
.
z x′′′2 y = z xyx
′′′ = z ′′′
yx 2
Çäåñü ìû äâàæäû ïîëüçîâàëèñü òîëüêî ÷òî îòìå÷åííîé òåîðåìîé: ïåðâûé ðàç ïðèìåíèòåëüíî ê ôóíêöèè z ′x (ìû èçìåíèëè ïîðÿäîê åå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ), âòîðîé ðàç èñïîëüçîâàëè ðàâåíñòâî z ′′xy = z ′′yx .  îáùåì ñëó÷àå ñõåìà ðàññóæäåíèé àíàëîãè÷íà.
2. Ïðèçíàê ïîëíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Âûÿñíèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ âûðàæåíèå
P(x,y)dx + Q(x,y)dy,
(1)
ãäå P(x,y) è Q(x,y) íåïðåðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà â îáëàñòè D, ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì íåêîòîðîé ôóíêöèè u = u(x,y) â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè D,
èëè, êðàòêî, ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì â îáëàñòè D.
Ò å î ð å ì à. Âûðàæåíèå (1) åñòü ïîëíûé äèôôåðåíöèàë â îáëàñòè D òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè D âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
∂P ∂Q
.
=
∂y
∂x
3. Äèôôåðåíöèàëû âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Çàìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî
äëÿ ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñïðàâåäëèâû òå æå îáùèå
ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ÷òî è äëÿ ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé (§ 8.3, ï. 4):
I. d(u + L) = du + dL (u = u(x, y), L = L(x, y)).
II. d(uL) = Ldu + udL.
III. d(Cu) = Cdu (C — const).
 u  Ldu − udL
IV. d   =
(L ≠ 0).
L
L2
Íàïðèìåð, èìååì:
d (u + L) = (u + L)′x dx + (u + L)′y dy = u x′ dx + L x′ dx + u ′y dy + L ′y dy =
= (u x′ dx + u ′y dy ) + (L ′x dx + L ′y dy ) = du + dL.
281
Ïóñòü èìååòñÿ ôóíêöèÿ z = f(x, y) íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è y, îáëàäàþùàÿ íåïðåðûâíûìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ðàññìîòðèì åå ïîëíûé äèôôåðåíöèàë
dz =
∂z
∂z
dx + dy
∂x
∂y
(dx è dy — ïðîèçâîëüíûå ïðèðàùåíèÿ), êîòîðûé íàçîâåì ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì ïåðâîãî ïîðÿäêà (èëè, êðàòêî, ïåðâûì äèôôåðåíöèàëîì).
∂z ∂z
è ïî ïðåäïîëîæåíèþ èìåþò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîÒàê êàê
∂x ∂y
èçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà, òî îò ôóíêöèè dz, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî âçÿòü
ïîëíûé äèôôåðåíöèàë d(dz). Òàê ïîëó÷èì ïîëíûé äèôôåðåíöèàë âòîðîãî
ïîðÿäêà (èëè, êðàòêî, âòîðîé äèôôåðåíöèàë), êîòîðûé îáîçíà÷àåòñÿ d 2z.
Àíàëîãè÷íî, ïîòðåáîâàâ ñóùåñòâîâàíèÿ íåïðåðûâíûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ òðåòüåãî, ÷åòâåðòîãî, n-ãî ïîðÿäêîâ, ìîæíî ïîëó÷èòü ïîëíûå
äèôôåðåíöèàëû ñîîòâåòñòâåííî òðåòüåãî, ÷åòâåðòîãî, n-ãî ïîðÿäêîâ.
Íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ âòîðîãî äèôôåðåíöèàëà ÷åðåç ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå.Ïîëüçóÿñü ïðàâèëàìè I, III (dx è dy íå çàâèñÿò îò x è y, ò. å.
ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê ïîñòîÿííûå) è ïðèâåäåííîé â ï. 1 òåîðåìîé,
ìîæíî çàïèñàòü:
∂z 
 ∂z 
 ∂z
 ∂z 
d 2 z = d  dx + dy  = d   dx + d   dy =
 ∂x 
 ∂y 
 ∂x
∂y 
2
2
2
∂ z
∂ z
∂ z
∂ 2z
2
(
dx
)
dxdy
dydx
(dy ) 2 =
=
+
+
+
∂x∂y
∂y∂x
∂x 2
∂y 2
∂ 2z 2
∂ 2z
∂ 2z
=
dx + 2
dxdy + 2 dy 2
2
∂x∂y
∂x
∂y
2
2
2
(2)
2
(çäåñü dx = (dx) , dy = (dy) ).
Ôîðìóëà (2) îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé äèôôåðåíöèàëà n-ãî ïîðÿäêà.
4. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ. Ïóñòü äàíà ôóíêöèÿ z = f(x, y), èìåþùàÿ íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ äî (n + 1)-ãî âêëþ÷èòåëüíî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè M0(x0; y0).
Ïóñòü òî÷êà Ì(x0 + ∆x; y0 + ∆y) ïðèíàäëåæèò ýòîé îêðåñòíîñòè. Âñïîìîãàòåëüíóþ ôóíêöèþ F (t) îïðåäåëèì íà îòðåçêå 0 ≤ t ≤ 1 ðàâåíñòâîì
F(t) = f(x,y),
(3)
ãäå x = x0 + t∆x, y = y0 + t∆y. Ñîãëàñíî èçâåñòíîé (ñì. § 8.9, ï. 2) ôîðìóëå
Òåéëîðà èìååì:
F (t ) = F (0) + F ′(0)t + ... +
282
F ( n ) (0) n F ( n +1 ) (θt ) n +1
t +
t (0 < θ < 1).
n!
(n + 1)!
(4)
Âû÷èñëèì êîýôôèöèåíòû ôîðìóëû (4) ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà (3).
Ïðè t = 0 èìååì F(0) = f (x0,y0). Äèôôåðåíöèðóÿ ñëîæíóþ ôóíêöèþ F(t)
ïî t, ïîëó÷èì:
F ′(t ) = f x′( x , y )∆x + f y′ ( x , y )∆y = df ( x , y ),
F ′′(t ) = f x′′2 ( x , y )( ∆x ) 2 + 2 f xy′′ ( x , y )∆y∆x + f y′′2 ( x , y )( ∆y ) 2 = d 2 f ( x , y ),
.........................................................
F (n)(t) = d nf (x,y),
F
(n + 1)
(t) = d
n+1
f (x,y).
Çàìåíèâ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå t íà θt, à â îñòàëüíûõ ïîëîæèâ t = 0,
íàéäåì:
F (k)(0) = d kf (x0, y0), (k = 1, 2, , n),
F (n + 1)(θt) = d n + 1f (x0 + θt∆x, y0 + θt∆y).
Åñëè ïîäñòàâèòü íàéäåííûå âûðàæåíèÿ â ðàâåíñòâî (4) è çàòåì ïîëîæèòü â íåì t = l, òî ïîëó÷èì äëÿ f (x, y) ôîðìóëó Òåéëîðà:
d 2 f (x 0 , y 0 )
+ ...
2!
d n f ( x 0 , y 0 ) d n +1 f ( x 0 + θ∆x , y 0 + θ∆y )
.
... +
+
n!
(n + 1)!
f ( x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) = f ( x 0 , y 0 ) + df ( x 0 , y 0 ) +
Òàêîé æå âèä ôîðìóëà Òåéëîðà èìååò è â ñëó÷àå áîëüøåãî ÷èñëà
ïåðåìåííûõ.
§ 11.4. Ýêñòðåìóì ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ
1. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà. Ïîíÿòèå ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ìîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è íà ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ (çäåñü äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ ïåðåìåííûõ).
Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ z = f(x, y) èìååò â òî÷êå M0(x0; y0) ìàêñèìóì (ìèíèìóì), åñëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ îêðåñòíîñòü òî÷êè M0, ÷òî äëÿ âñåõ òî÷åê
M(x; y) èç ýòîé îêðåñòíîñòè è îòëè÷íûõ îòÌ0 âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
èëè
f(x0, y0) > f(x, y) (f(x0, y0) < f(x, y))
∆z = f(x, y) − f(x0, y0) < 0 (∆z = f(x, y) − f(x0, y0) > 0).
Ò å î ð å ì à (íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà). Åñëè
ôóíêöèÿ z = f(x, y) èìååò â òî÷êå M0(x0; y0) ýêñòðåìóì è â ýòîé òî÷êå ñóùåñòâóþò ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå z ′x è z ′y , òî
f x′( x 0 , y 0 ) = 0, f y′ ( x 0 , y 0 ) = 0,
(1)
283
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èç îïðåäåëåíèÿ ýêñòðåìóìà ñëåäóåò, ÷òî
ôóíêöèÿ f(x, y0), ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ îäíîé ïåðåìåííîé x,
ïðè x = x0 òàêæå èìååò ýêñòðåìóì. Ïîýòîìó (ñì. § 8.7, ï. 2, òåîðåìà 1)
f x′( x 0 , y 0 ) = 0. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî f y′ ( x 0 , y 0 ) = 0.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ïðèâåäåííûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà íå ÿâëÿþòñÿ
äîñòàòî÷íûìè, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóåò ñëåäóþùèé ïðèìåð.
Ï ð è ì å ð. z = x3 + y3, zx′ = 3x 2 , z′y = 3 y 2 .
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ðàâíû íóëþ â òî÷êå (0; 0), íî ýêñòðåìóìà ýòà ôóíêöèÿ â òî÷êå
(0; 0) íå èìååò, òàê êàê â ëþáîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè îíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ ðàçíûõ
çíàêîâ, à â ñàìîé òî÷êå (0; 0) z = 0.
2. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà.
Ò å î ð å ì à (äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ýêñòðåìóìà).
Ïóñòü ôóíêöèÿ f(x, y), íåïðåðûâíàÿ âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî è âòîðîãî ïîðÿäêîâ â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè òî÷êè
M0(x0; y0), óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (1).
Îáîçíà÷èì A = f x′′2 (M 0 ), B = f xy′′(M 0 ),C = f y′′2 (M 0 ), D = AC − B2. Òîãäà
â òî÷êå M0 ôóíêöèÿ f(x, y): 1) èìååò ìèíèìóì, åñëè D > 0 è A > 0; 2) èìååò
ìàêñèìóì, åñëè D > 0 è A < 0; 3) íå èìååò ýêñòðåìóìà, åñëè D < 0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ðàäè êðàòêîñòè äîêàçàòåëüñòâî ïðîâåäåì äëÿ ñëó÷àåâ 1 è 2.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå Òåéëîðà, âçÿòîé äëÿ n = 1, ñ ó÷åòîì óñëîâèé (1) èìååì:
1
∆f (x 0 , y0 ) = (A′(∆x )2 + 2B ′∆x∆y + C ′(∆y)2 ),
2
(2)
ãäå
A′ = fx′′2 (M * ), B ′ = fxy′′ (M * ), C ′ = f y′′2 (M * )
(M*(x0 + θ∆x, y0 +θ∆y), 0 < θ < 1).
 ñèëó íåïðåðûâíîñòè âòîðûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â òî÷êå M0 ñëåäóåò, ÷òî
lim A′ = A, lim (A′C ′ − (B ′)2 ) = AC − B 2 = D .
∆x → 0
∆x → 0
∆y → 0
∆y → 0
Ïîýòîìó (§ 11.1, ï. 6, ïðèìå÷àíèå) äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ïî ìîäóëþ ∆x, ∆y èìååì:
A′ > 0 (åñëè A > 0),
(3)
A ′ < 0 (åñëè A < 0),
(4)
2
A′Ñ ′ − (B ′) > 0 (åñëè D > 0).
 ñèëó íåðàâåíñòâ (3) è (4) ðàâåíñòâî (2) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
∆f (x 0 , y0 ) =
284
1
((A′)2 (∆x )2 + 2 A′B ′∆x∆y + A′C ′(∆y)2 )
2 A′
(5)
èëè, äîïîëíÿÿ äî ïîëíîãî êâàäðàòà, â âèäå
∆f (x 0 , y0 ) =
1
((A′∆x + B ′∆y)2 + (A′C ′ − (B ′)2 )(∆y)2 ).
2 A′
Âûðàæåíèå âî âíåøíèõ ñêîáêàõ â ñèëó íåðàâåíñòâà (5) ïîëîæèòåëüíî. Ïîýòîìó: 1) åñëè
A > 0 (à òîãäà â ñèëó íåðàâåíñòâà (3) è A ′ > 0), òî ∆f (x0, y0) > 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå M0
ìèíèìóì; 2) åñëè A < 0 (à òîãäà â ñèëó íåðàâåíñòâà (4) è A ′ < 0), òî ∆f (x0, y0) < 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå M0. ìàêñèìóì.
3
3
Ï ð è ì å ð 1. Èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì ôóíêöèþ z = x + y − 3xy.
Åå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå z′x = 3x 2 − 3 y, z′y = 3 y 2 − 3x îáðàùàþòñÿ â íóëü â òî÷êàõ M0(0; 0)
è M1(1; 1). Åå âòîðûå ïðîèçâîäíûå ðàâíû z′′x 2 = 6x , z′′xy = −3, z′′y 2 = 6 y.  òî÷êå M0 èìååì D = −9 <
< 0, ñëåäîâàòåëüíî, ýêñòðåìóìà â ýòîé òî÷êå íåò.  òî÷êå M1 D = 27 > 0, ïðè÷åì A = 6 > 0, ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå M1 ìèíèìóì.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ïîêàæåì íà ïðèìåðàõ, ÷òî â ñëó÷àå D = 0 ýêñòðåìóì ìîæåò áûòü,
íî åãî ìîæåò è íå áûòü.
3
3
4
4
Ï ð è ì å ð 2. Ôóíêöèÿ z = x + y â òî÷êå (0; 0), ãäå D = 0 , êàê ïîêàçàíî âûøå (ñì. ï. 1),
ýêñòðåìóìà íå èìååò.
Ï ð è ì å ð 3. Ôóíêöèÿ z = x + y â òî÷êå (0; 0), ãäå D = 0, èìååò ìèíèìóì, ïîòîìó ÷òî â
ëþáîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè äàííàÿ ôóíêöèÿ ïîëîæèòåëüíà, à â ñàìîé òî÷êå (0; 0) ðàâíà íóëþ.
§ 11.5. Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ
 åñòåñòâîçíàíèè ïðèõîäèòñÿ ïîëüçîâàòüñÿ ýìïèðè÷åñêèìè ôîðìóëàìè, ñîñòàâëåííûìè íà îñíîâå îïûòà è íàáëþäåíèé. Îäèí èç íàèëó÷øèõ ìåòîäîâ ïîëó÷åíèÿ òàêèõ ôîðìóë — ýòî ñïîñîá íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ. Èçëîæèì èäåþ ýòîãî ñïîñîáà, îãðàíè÷èâàÿñü
ñëó÷àåì ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äâóõ âåëè÷èí.
Ïóñòü òðåáóåòñÿ óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü ìåæäó äâóìÿ âåëè÷èíàìè x è y (íàïðèìåð, òåìïåðàòóðîé è óäëèíåíèåì ìåòàëëè÷åñêîãî ñòåðæíÿ). Ïðîèçâîäèì ñîîòâåòñòâóþùèå èçìåðåíèÿ (íàïðèìåð, n èçìåðåíèé) è ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ñâîäèì â òàáëèöó:
x
x1
x2
x3
xn
y
y1
y2
y3
yn
(1)
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü x è y êàê ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷åê íà ïëîñêîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êè (xk; yk), k = = 1, , n, ãðóïïèðóþòñÿ âäîëü íåêîòîðîé ïðÿìîé ëèíèè
(ðèñ. 140). Åñòåñòâåííî â ýòîì ñëó÷àå ñ÷èòàòü, ÷òî ìåæäó x è y ñóùåñòâóåò ïðèáëèæåííàÿ
ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü, ò. å.
y = ax + b.
(2)
285
Íàçîâåì óêëîíåíèåì (èëè îòêëîíåíèåì) ðàçíîñòü ìåæäó
òî÷íûì çíà÷åíèåì ôóíêöèè (2) â òî÷êå xk è ñîîòâåòñòâóþùèì çíà÷åíèåì yk èç òàáëèöû (1): εk = axk +b − yk.
Ñóììà êâàäðàòîâ óêëîíåíèé — ôóíêöèÿ âåëè÷èí a è b:
n
n
k =1
k =1
u(a, b) = ∑ ε 2k = ∑ (ax k + b − yk )2 .
 ìåòîäå íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ëåæèò ñëåäóþùèé
ïðèíöèï: èñêîìûìè çíà÷åíèÿìè a è b ÿâëÿþòñÿ òå, ïðè
Ðèñ. 140
êîòîðûõ ôóíêöèÿ u (a, b) èìååò ìèíèìóì.
Äëÿ ýòîãî (ñì. § 11.4, ï. 1) íåîáõîäèìî, ÷òîáû
n
n
n
n
∂u
= 2 ∑ (ax k + b − yk )x k = 2a ∑ x k2 + 2b ∑ x k − 2 ∑ x k yk = 0,
∂a
k =1
k =1
k =1
k =1
n
n
n
∂u
= 2 ∑ (ax k + b − yk ) = 2a ∑ x k + 2bn − 2 ∑ yk = 0.
∂b
k =1
k =1
k =1
Îòñþäà
n
n
 n 2
a ∑ x k + b ∑ x k = ∑ x k yk ,
k =1
k =1
 k =1 n
n
 a ∑ x k + bn = ∑ yk .

k =1
k =1
(3)
Ýòî îêîí÷àòåëüíûé âèä òàê íàçûâàåìîé íîðìàëüíîé ñèñòåìû ñïîñîáà íàèìåíüøèõ
êâàäðàòîâ. Ïóñòü a = a0, b = b0 — ðåøåíèå ñèñòåìû (3). Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî a0 è b0 äîñòàâëÿþò âåëè÷èíå u(a, b) ìèíèìóì. Ôóíêöèÿ (2) ïðè a = a0 è b = b0 äàåò ýìïèðè÷åñêóþ ôîðìóëó y = a0x + b0.
Ï ð è ì å ð. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ âåëè÷èí x è y äàíû â òàáëèöå:
x
−2
0
1
2
4
y
0,5
1
1,5
2
3
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ìåæäó x è y ñóùåñòâóåò ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü y = ax + b, ñïîñîáîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû a è b. Çäåñü, n = 5,
5
∑x
k =1
2
k
5
5
5
k =1
k =1
k =1
= 25, ∑ x k = 5, ∑ x k yk = 16,5, ∑ yk = 8
è íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà (3) ïðèíèìàåò âèä:
25a + 5b = 16,5,

 5a + 5b = 8.
Ðåøàÿ ýòó ñèñòåìó, ïîëó÷èì a = 0,425, b = 1,175. Ïîýòîìó y = 0,425x + 1,175.
286
Ãëàâà 12. ÈÍÒÅÃÐÀËÜÍÎÅ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÅ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕ ÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕ
§ 12.1. Äâîéíûå èíòåãðàëû
1. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê ïîíÿòèþ äâîéíîãî èíòåãðàëà.
Ç à ä à ÷ à î ì à ñ ñ å í å î ä í î ð î ä í î é ï ë à ñ ò è í û. Ïóñòü
ïëîñêàÿ îáëàñòü G çàïîëíåíà âåùåñòâîì ñ èçâåñòíîé ïëîòíîñòüþ
ρ(M) = ρ(x, y). Íàéòè ìàññó (êîëè÷åñòâî âåùåñòâà) âñåé ìàòåðèàëüíîé
îáëàñòè — «ïëàñòèíû». Ïîä ïëîòíîñòüþ âåùåñòâà â òî÷êå M ïîíèìàåòñÿ ïðåäåë ñðåäíåé ïëîòíîñòè áåñêîíå÷íî ìàëîé ÷àñòè G, ñîäåðæàùåé òî÷êó M. Ðàçîáüåì îáëàñòü G ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (ðèñ. 141) íà
n ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n áåç îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, ïëîùàäè êîòîðûõ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç ∆w1, ∆w2, , ∆wn.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ïðåäåëàõ êàæäîé ÷àñòè÷íîé îáëàñòè ïëîòíîñòü
ïîñòîÿííà è ðàâíà ρ(Nk) äëÿ ∆k, ãäå Nk(ξk; ηk) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà
÷àñòè÷íîé îáëàñòè ∆k. Òîãäà ìàññà ∆k ïðèáëèæåííî ðàâíà:
∆mk ≈ ρ(ξk, ηk)∆wk.
Äëÿ ìàññû âñåé ïëàñòèíû ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå:
n
n
k =1
k =1
m = ∑ ∆m k ≈ ∑ ρ( ξ k , η k )∆w k .
(1)
Ïóñòü λ — íàèáîëüøèé èç äèàìåòðîâ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé. Çàìåòèì, ÷òî äèàìåòðîì îáëàñòè íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå èç ðàññòîÿíèé
ìåæäó òî÷êàìè åå ãðàíèöû. Íàïðèìåð, äèàìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâåí åãî äèàãîíàëè, äèàìåòð ýëëèïñà — åãî áîëüøîé îñè. Äëÿ êðóãà ýòî
îïðåäåëåíèå äèàìåòðà ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì. Ñóììà (1) áóäåò òåì òî÷íåå âûðàæàòü èñêîìóþ ìàññó m, ÷åì ìåíüøå áóäåò êàæäûé èç äèàìåòðîâ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n. Ïîýòîìó çà ìàññó m åñòåñòâåííî
n
ïðèíÿòü m = lim ∑ ρ( ξ k , η k )∆w k .
λ→ 0
k =1
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Òî÷íî òàê æå, êàê ýòà çàäà÷à, ðåøàþòñÿ çàäà÷è î ñóììàðíîì çàðÿäå, ðàñïðåäåëåííîì â îáëàñòè G ñ çàäàííîé ïëîòíîñòüþ ρ(M), î äàâëåíèè æèäêîñòè
íà äíî ñîñóäà, î êîëè÷åñòâå ñâåòîâîé ýíåðãèè, ïàäàþùåé íà ïëîùàäêó G, è ìíîãèå
äðóãèå.
Ç à ä à ÷ à î á î á ú å ì å ö è ë è í ä ð î è ä à. Ïóñòü äàíà ôóíêöèÿ f(x, y), íåïðåðûâíàÿ è íåîòðèöàòåëüíàÿ â îáëàñòè G. Íàéòè îáúåì
òåëà, îãðàíè÷åííîãî ñâåðõó ïîâåðõíîñòüþ z = f(x, y), ñíèçó îáëàñòüþ G è ñ
áîêîâ ïðÿìîé öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, íàïðàâëÿþùåé êîòîðîé
287
Ðèñ. 141
Ðèñ. 142
ñëóæèò çàìêíóòûé êîíòóð, îãðàíè÷èâàþùèé îáëàñòü G (ðèñ. 142). Òàêîå òåëî äëÿ êðàòêîñòè áóäåì íàçûâàòü öèëèíäpîèäîì.  ÷àñòíîñòè,êîãäà âåðõíåå îñíîâàíèå öèëèíäðîèäà åñòü ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ
íèæíåìó îñíîâàíèþ, òî öèëèíäðîèä íàçûâàåòñÿ öèëèíäpîì. Ïðèìåðîì
öèëèíäðà ñëóæèò êðóãîâîé öèëèíäð.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ îáúåìà V äàííîãî öèëèíäðîèäà ðàçîáüåì îáëàñòü G ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íà n ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n
áåç îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, ïëîùàäè êîòîðûõ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç ∆w1, ∆w2, , ∆wn.  êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé
∆1, ∆2, , ∆n âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Nk(ξk; ηk) è ïîñòðîèì ïðÿìîé öèëèíäðè÷åñêèé ñòîëáèê ñ îñíîâàíèåì ∆k è âûñîòîé f(ξk, ηk).
Îáúåì òàêîãî ñòîëáèêà ðàâåí f(ξk, ηk)∆wk. Ñóììà îáúåìîâ ýòèõ öèëèíäðè÷åñêèõ ñòîëáèêîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáúåì ñòóïåí÷àòîãî
òåëà, ïðèáëèæåííî çàìåíÿþùåãî îáúåì äàííîãî öèëèíäðîèäà. Ñëåäîâàòåëüíî,
n
V ≈ ∑ f ( ξ k , η k )∆w k .
k =1
Ýòà ñóììà áóäåò òåì òî÷íåå âûðàæàòü èñêîìûé îáúåì V, ÷åì ìåíüøå
áóäåò êàæäûé èç äèàìåòðîâ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n. Ïîýòîìó
çà îáúåì V åñòåñòâåííî ïðèíÿòü
n
V = lim ∑ f ( ξ k , η k )∆w k ,
λ→ 0
k =1
ãäå λ — íàèáîëüøèé èç äèàìåòðîâ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n.
2. Îïðåäåëåíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà. Èç ðåøåíèÿ ïðèâåäåííûõ
âûøå çàäà÷ ï. 1 âèäèì, ÷òî, õîòÿ ýòè çàäà÷è èìåþò ðàçëè÷íûé ñìûñë,
288
ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ èõ ðåøåíèÿ îäèí è òîò æå. Âî âñåõ ýòèõ
çàäà÷àõ ïîëó÷àåì âûðàæåíèå îäíîãî è òîãî æå âèäà
n
lim ∑ f ( ξ k , η k )∆w k ,
λ→ 0
(2)
k =1
ãäå f(x, y) — ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ â îáëàñòè G.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë (2), íå çàâèñÿùèé îò
ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ îáëàñòè G íà ÷àñòè÷íûå îáëàñòè ∆k è âûáîðà òî÷åê
Nk(ξk; ηk) â íèõ, òî îí íàçûâàåòñÿ äâîéíûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè f(x, y)
no îáëàñòè G è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
n
∫∫ f ( x , y)dw = lim ∑ f ( ξ k , η k )∆w k .
G
λ→ 0
(3)
k =1
Ôóíêöèÿ f(x, y) â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé â îáëàñòè G.
Ïðè ýòîì f(x, y) íàçûâàåòñÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé, dw — ýëåìåíòîì
ïëîùàäè, G — îáëàñòüþ èíòåãðèðîâàíèÿ, õ è y — ïåðåìåííûìè èíòåãðèðîn
âàíèÿ, ñóììà ∑ f ( ξ k , η k )∆w k — èíòåãðàëüíîé ñóììîé.
k =1
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Äëÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà èñïîëüçóåòñÿ òàêæå îáîçíà÷åíèå
∫∫
f (x , y) dxdy.
G
Î ï ð å ä å ë å í è å. Êðèâàÿ íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè â êàæäîé åå
òî÷êå ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíàÿ è ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè ê òî÷êå ïîëîæåíèå ýòîé êàñàòåëüíîé ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî. Ïîýòîìó êðèâàÿ, çàäàííàÿ óðàâíåíèÿìè x = ϕ(t), y = ψ(t), α ≤ t ≤ β, áóäåò ãëàäêîé, åñëè ôóíêöèè
ϕ(t) è ψ(t) íåïðåðûâíû è èìåþò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå ϕ′(t) è ψ′(t),
íå îáðàùàþùèåñÿ â íóëü îäíîâðåìåííî (òåì ñàìûì êðèâàÿ â êàæäîé
òî÷êå èìååò êàñàòåëüíóþ). Íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ, ñîñòàâëåííàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ êóñêîâ, íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà (îíà ñëåäóåò èç áîëåå îáùåé òåîðåìû, óñòàíàâëèâàåìîé â ïîëíûõ êóðñàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà; ñì.,
íàïðèìåð, [9], ò. 2):
Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàë à. Åñëè îáëàñòü G ñ êóñî÷íî-ãëàäêîé ãðàíèöåé à îãðàíè÷åíà è çàìêíóòà,
à ôóíêöèÿ f (õ, ó) íåïðåðûâíà â îáëàñòè G, òî ýòà ôóíêöèÿ èíòåãðèðóåìà â
îáëàñòè G.
 äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî óñëîâèÿ ýòîé òåîðåìû âûïîëíåíû.
Èç ðàññìîòðåííûõ âûøå çàäà÷ (ï. 1) è îïðåäåëåíèÿ äâîéíîãî
èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî: 1) äâîéíîé èíòåãðàë (3) ñ ïîëîæèòåëüíîé
ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ìîæåò áûòü èñòîëêîâàí ôèçè÷åñêè,
289
íàïðèìåð êàê ìàññà ñîîòâåòñòâóþùåé ïëàñòèíû; 2) òîò æå èíòåãðàë
ñ íåîòðèöàòåëüíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ìîæåò áûòü èñòîëêîâàí ãåîìåòðè÷åñêè êàê îáúåì ñîîòâåòñòâóþùåãî öèëèíäðîèäà.
 ÷àñòíîñòè, äâîéíîé èíòåãðàë îò åäèíè÷íîé ôóíêöèè (f(x, y) ≡ 1)
ïî îáëàñòè G, ò. å. èíòåãðàë ∫∫ dw ÷èñëåííî ðàâåí ïëîùàäè îáëàñòè
G
èíòåãðèðîâàíèÿ S G = ∫∫ dw.
G
3. Ñâîéñòâà äâîéíîãî èíòåãðàëà. Ýòè ñâîéñòâà, êàê è èõ äîêàçàòåëüñòâà, àíàëîãè÷íû ñîîòâåòñòâóþùèì ñâîéñòâàì îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà. Ïîýòîìó ïðèâåäåì èõ áåç äîêàçàòåëüñòâà.
1. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê äâîéíîãî èíòåãðàëà.
2. Äâîéíîé èíòåãðàë îò ñóììû äâóõ ôóíêöèé ðàâåí ñóììå äâîéíûõ
èíòåãðàëîâ îò ýòèõ ôóíêöèé.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ñâîéñòâî 2 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ñëó÷àé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû
ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ôóíêöèé.
3. Ïóñòü îáëàñòü G ðàçáèòà íà äâå îáëàñòè G1 è G2. Òîãäà
∫∫ f ( x, y)dw = ∫∫ f ( x, y)dw + ∫∫ f ( x, y)dw.
G
G1
G2
4. Åñëè ôóíêöèÿ f(x, y) > 0 â îáëàñòè G, òî ∫∫ f ( x , y )dw > 0.
G
5. Äâîéíîé èíòåãðàë ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â íåêîòîðîé òî÷êå îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ íà ïëîùàäü
ýòîé îáëàñòè (òåîðåìà î ñðåäíåì).
4. Âû÷èñëåíèå äâîéíûõ èíòåãðàëîâ. Ïóñòü òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü
äâîéíîé èíòåãðàë ∫∫ f ( x , y )dw îò íåïðåðûâíîé â îáëàñòè G ôóíêG
Ðèñ. 143
290
öèè f(x, ó).
Ñëó÷àé
ïðÿìîóãîëüí î é î á ë à ñ ò è. Ïóñòü îáëàñòü G
— ïðÿìîóãîëüíèê a ≤ x ≤ b, ñ ≤ ó ≤ d
(êðàòêî [à, b; ñ, d]). Ðàçîáüåì îáëàñòü G íà ÷àñòè÷íûå îáëàñòè ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì (ðèñ. 143) è ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç òî÷êè x0 = a, x1, , xm − 1,
xm = b îñè Ox è òî÷êè y0 = c, y1, , yp − 1,
yp = d îñè Oy. Òîãäà îáëàñòü G ðàçî-
áüåòñÿ íà ïðÿìîóãîëüíèêè,íàèáîëüøèé èç äèàìåòðîâ êîòîðûõ îáîçíà÷èì ÷åðåç λ. Ïóñòü ∆vj — ïðÿìîóãîëüíèê, ÿâëÿþùèéñÿ ïåðåñå÷åíèåì v ñòîëáöà è j ãîðèçîíòàëüíîé ïîëîñû. Ïëîùàäü åãî áóäåò
∆wvj = ∆xv∆yj, ãäå ∆xv = xv − xv − 1, ∆yj = yj − yj − 1. Âûáåðåì òî÷êó (ξvj; ηvj) ∈
∈ ∆vj òàê, ÷òîáû ξ vj = x v − 1, j = 1, 2, , p. Òîãäà èíòåãðàëüíàÿ ñóììà
áóäåò
(4)
σ = ∑ f ( x v −1 , η vj )∆x v ∆y j ,
v, j
ãäå ñóììà ðàñïðîñòðàíåíà ïî âñåì ïðÿìîóãîëüíèêàì, ò. å. ïî âñåì çíà÷åíèÿì v è j: v = l, 2, , ò; j = 1, 2, , p.
Ñóììà âèäà (4) ñ äâóìÿ èíäåêñàìè ñóììèðîâàíèÿ íàçûâàåòñÿ äâîéíîé èíòåãðàëüíîé ñóììîé. Äëÿ åå âû÷èñëåíèÿ ìîæíî ñíà÷àëà ïðîèçâåñòè ñóììèðîâàíèå ïî j ïðè ôèêñèðîâàííîì v, ò. å. ñëîæèòü ñëàãàåìûå,
îòâå÷àþùèå îäíîìó (ëþáîìó) ñòîëáöó, à çàòåì ðåçóëüòàòû ïðîñóììèðîâàòü ïî v. Òîãäà ïîëó÷èì:
m

 p
 m  p
σ = ∑ ∑ f ( x v −1 , η vj )∆x v ∆y j  = ∑ ∑ f ( x v −1 , η vj )∆y j  ∆x v .
v =1  j =1

 v =1  j =1
Ðàçóìååòñÿ, òàêîé ïåðåõîä îò äâîéíîé ñóììû ê ïîâòîðíîé ìîæíî áûëî
áû îñóùåñòâèòü è âòîðûì ñïîñîáîì: ïåðâîå, âíóòðåííåå, ñóììèðîâàíèå ïðîèçâåñòè ïî v, à âòîðîå, âíåøíåå, — ïî j.
Èñïîëüçóÿ îäíî èç ñâîéñòâ îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà (§ 9.7, ï. 1,
ñâîéñòâî 4) è òåîðåìó î ñðåäíåì (§ 9.7, ï. 4), áóäåì èìåòü:
d
p
∫ f ( x v −1 , y)dy = ∑
c
yj
p
∫ f ( x v −1 , y)dy = ∑ f ( x v −1 , η vj )∆y j .
j =1
j =1 y
j−1
Ñëåäîâàòåëüíî,
m
σ = ∑ Φ( x v −1 )∆x v ,
(5)
v =1
ãäå
d
Φ( x v −1 ) = ∫ f ( x v −1 , y )dy.
(6)
c
Ïåðåéäÿ â ðàâåíñòâå (5) ê ïðåäåëó ïðè λ → 0 (ïðè λ → 0 max∆xv → 0; êàê
è ïðåæäå, λ — íàèáîëüøèé èç äèàìåòðîâ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé), áóäåì
èìåòü:
b
∫∫ f ( x, y)dw = ∫ Φ( x )dx ,
G
a
èëè ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (6):
b d


(
,
)
=
f
x
y
dw
∫∫G
∫a  ∫c f ( x, y)dy dx .


(7)
291
Îáû÷íî ôîðìóëó (7) çàïèñûâàþò â âèäå
b
d
a
c
∫∫ f ( x, y)dw = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy.
G
(8)
Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ïîñëåäíåé ôîðìóëû, íàçûâàåòñÿ ïîâòîðíûì èíòåãðàëîì. Äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî âçÿòü äâà îáû÷íûõ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëà: ñíà÷àëà âíóòðåííèé èíòåãðàë
d
∫ f ( x, y)dy,
c
â êîòîðîì x ñ÷èòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, à çàòåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå (îíî
çàâèñèò îò x) ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî x îò à äî b — âíåøíèé èíòåãðàë.
Àíàëîãè÷íî ïðè âòîðîì ñïîñîáå ïåðåõîäà îò äâîéíîé èíòåãðàëüíîé
ñóììû ê ïîâòîðíîé ïîëó÷èëè áû
d
b
c
a
∫∫ f ( x, y)dw = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx .
G
(9)
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü äâîéíîé èíòåãðàë
I = ∫∫ f (x 2 + y 2 )dw ,
G
ãäå G — êâàäðàò 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ y ≤ l.
Ïî ôîðìóëå (8) èìååì:
1
1
1
1
1

 x3 1 
y3 
 2 1
I = ∫ dx ∫ (x 2 + y 2 )dy = ∫  x 2 y +
+ x
 dx = ∫  x +  dx = 

3  0
3
 3 3 
0
0
0 
0
1
=
0
1 1 2
+ = .
3 3 3
Ýòîò æå äâîéíîé èíòåãðàë ìîæíî âû÷èñëèòü è ïî ôîðìóëå (9).
Ñ ë ó ÷ à é ï ð î è ç â î ë ü í î é î á ë à ñ ò è. Ïóñòü òåïåðü G — îáëàñòü íà ïëîñêîñòè xOy, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 144. Òîãäà âìåñòî
èíòåãðàëà (ñëó÷àé ïðÿìîóãîëüíîé
îáëàñòè)
d
∫ f (x
v −1
, y )dy
c
áóäåì èìåòü èíòåãðàë
ϕ 2( xv − 1 )
∫ f (x
v −1
, y )dy.
ϕ 1( xv − 1 )
Ðèñ. 144
292
Çäåñü y = ϕ1(x) è y = ϕ2(x) — óðàâíåíèÿ íèæíåé è âåðõíåé ÷àñòåé êîí-
òóðà îáëàñòè G, íà êîòîðûå îí äåëèòñÿ òî÷êàìè A è B. Ñîîòâåòñòâåííî è îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò
âçàìåí ôîðìóëû (8) çàïèøåòñÿ â
âèäå
b
ϕ 2( x )
a
ϕ1( x )
∫∫ f ( x, y)dw = ∫ dx
G
∫ f ( x, y)dy.
(10)
Ìîæíî èíòåãðèðîâàòü è â äðóãîì ïîðÿäêå — ñíà÷àëà ïî x, à çàòåì
ïî ó. Òîãäà ïîëó÷àåòñÿ ôîðìóëà
d
ψ 2( y )
c
ψ 1( y )
∫∫ f ( x, y)dw = ∫ dy
G
∫ f ( x, y)dx ,
(11)
Ðèñ. 145
ãäå x = ψ1(y) è x = ψ2(y) — óðàâíåíèÿ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé êîíòóðà îáëàñòè G (ñì. ðèñ. 144), íà êîòîðûå îí äåëèòñÿ òî÷êàìè C è D.
Ôîðìóëû (10), (11) ïîëó÷åíû ïðè óñëîâèè, ÷òî ãðàíèöà îáëàñòè
G ïåðåñåêàåòñÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè îñè Oy (Ox), íå áîëåå ÷åì
â äâóõ òî÷êàõ. Åñëè ýòî óñëîâèå íàðóøåíî, òî îáëàñòü G ðàçáèâàþò
íà ÷àñòè.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè
∫∫ (x + y)dxdy
G
ïî îáëàñòè G, îãðàíè÷åííîé ëèíèÿìè y = x, y = x2 (pèc. 145). Èíòåãðèðóÿ ñíà÷àëà ïî ó, à
ïîòîì ïo x, ïîëó÷àåì:
1
x
1
0
x2
0

∫∫ (x + y)dxdy = ∫ dx ∫ (x + y)dy = ∫  xy +
G
1
x
y2 
 dx =
2 x 2

 x3 x4 x5 
x2
x4 
=∫ x2 +
− x3 −
−
−
dx = 

2
2
4 10 


 2
0
1
=
0
3
.
20
Ïðîâåðèòü ðåçóëüòàò ìîæíî, èçìåíèâ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ.
5. Äâîéíîé èíòåãðàë â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåòñÿ
äâîéíîé èíòåãðàë
∫∫ f ( x, y)dw,
G
ãäå G — îáëàñòü íà ïëîñêîñòè xOy, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 146.
Êàê èçâåñòíî, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. Ðàçîáüåì îáëàñòü G íà ÷àñòè÷íûå îáëàñòè ïîñðåäñòâîì êîîðäèíàòíûõ ëèíèé ïîëÿðíîé ñèñòåìû,
ò. å. ëèíèé r = const è ϕ = const (ðèñ. 146). Âûäåëèì ÷àñòè÷íóþ îá-
293
ëàñòü, äëÿ êîòîðîé öåíòðàëüíûé
óãîë ∆ϕ è áîêîâàÿ ñòîðîíà ∆r, à
ðàäèóñ, ñîîòâåòñòâóþùèé íèæíåìó îñíîâàíèþ ýòîé îáëàñòè, r
(çíà÷èò, íèæíåå îñíîâàíèå r∆ϕ).
Ýòó ÷àñòè÷íóþ îáëàñòü, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé êðèâîëèíåéíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê, ìîæíî
ïðèíÿòü ïðèáëèæåííî çà ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè ∆r è r∆ϕ.
(Ýòî çàìåíà ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ âûñøåãî ïîðÿäêà, òàê êàê
ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà áóäåò
Ðèñ. 146
(r + ∆r ) 2 ∆ϕ r 2 ∆ϕ
( ∆r ) 2 ∆ϕ
).
−
= r∆r∆ϕ +
2
2
2
Òîãäà ∆w = r∆r∆ϕ, è ìû áóäåì èìåòü:
lim ∑ f ( x k , y k )∆w k = lim ∑ f (rk cos ϕ k , rk sin ϕ k )rk ∆rk ∆ϕ k
λ→ 0
λ→ 0
G
(∑ f ( x k , y k )∆w k — èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ f(x, y) ïî îáëàñòè G) èëè
G
∫∫ f ( x, y)dw = ∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ.
G
(12)
G
Ïåðåõîäÿ ê ïîâòîðíîìó èíòåãðàëó, ïîëó÷èì:
β
f 2( ϕ )
α
f1( ϕ )
∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ = ∫ dϕ
G
∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdr ,
(13)
ãäå ñìûñë ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ïîêàçàí íà ðèñóíêå 146.
Ç à ì å ÷ à í è å. Åñëè ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ èëè óðàâíåíèå ãðàíèöû îáëàñòè
2
2
èíòåãðèðîâàíèÿ ñîäåðæèò ñóììó x + y , òî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ óïðîùåíèå èíòåãðàëà
äîñòèãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì åãî ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì, òàê êàê äàííàÿ ñóììà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ïîëó÷àåò âåñüìà ïðîñòîé âèä
2
2
2
(r cos ϕ) + (r sin ϕ) = r .
Ï ð è ì å ð. Ïåðåõîäÿ ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì, âû÷èñëèòü äâîéíîé èíòåãðàë
I = ∫∫
G
dxdy
x 2 + y2
,
ãäå G — ïåðâàÿ ÷åòâåðòü êðóãà ðàäèóñà R = 1 ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ. 147).
294
Ðèñ. 148
Ðèñ. 147
Èìååì:
x 2 + y2 = r.
π
 îáëàñòè G r ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 0 äî 1, à ϕ— îò 0 äî . Òàêèì îáðàçîì, ïî ôîðìóëàì
2
(12) è (13) ïîëó÷àåì:
π
1
2
π
I = ∫ dϕ∫ dr = .
2
0
0
6. Èíòåãðàë Ýéëåðà — Ïóàññîíà. (Ñèìåîí Äåíè Ïóàññîí (1781—
1840) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê è ôèçèê.) Òàê íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùèé
èíòåãðàë:
+∞
∫e
−x 2
R
R → +∞
0
2
dx = lim ∫ e − x dx .
(14)
0
Îí âñòðå÷àåòñÿ, íàïðèìåð, â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ñòàòèñòè÷åñêîé
ôèçèêå. Äîêàæåì, ÷òî îí ñõîäèòñÿ, è íàéäåì åãî âåëè÷èíó.
Ïóñòü A — ÷åòâåðòü êðóãà ðàäèóñà R,  — êâàäðàò ñî ñòîðîíîé R, ñîäåðæàùèé A, è Ñ —
÷åòâåðòü êðóãà ðàäèóñà R 2, ñîäåðæàùàÿ B (ðèñ. 148). Ñîãëàñíî ñâîéñòâàì äâîéíîãî èíòåãðàëà èìååì:
∫∫ e
−x 2 − y 2
dw < ∫∫ e − x
2
−y2
B
A
dw < ∫∫ e − x
2
−y2
dw .
(15)
C
Èíòåãðàëû ïî îáëàñòÿì À è C âû÷èñëèì â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ:
π
∫∫ e
−x 2 − y 2
A
∫∫ e
C
2
R
0
0
2
dw = ∫ dϕ∫ e − r rdr =
−x 2 − y 2
dw =
2
π
(1 − e−R ),
4
2
π
(1 − e−2R ).
4
295
Èíòåãðàë ïî îáëàñòè Â ñâåäåì ê êâàäðàòó îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà:
2
∫∫ e
B
−x 2 − y 2
R
R
R 2 
2
2
dw = ∫ e − x dx ∫ e − y dy =  ∫ e − x dx  .
0

0
0
Ñîîòíîøåíèå (15) òåïåðü ïðèìåò âèä:
2
R 2 
2
2
π
π
(1 − e −R ) <  ∫ e − x dx  < (1 − e −2R ),
4
4
0

îòêóäà
R
2
2
2
π
π
1 − e −R < ∫ e − x dx <
1 − e −2R .
2
2
0
Êðàéíèå ÷ëåíû ýòîãî íåðàâåíñòâà ïðè R → +∞ ñòðåìÿòñÿ ê
R
2
òåîðåìû (ñì. § 7.5, ï. 1, òåîðåìà 5) lim ∫ e − x dx =
R → +∞
0
π
.
2
π
. Ïîýòîìó â ñèëó èçâåñòíîé
2
+∞
2
Ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðàë (14) ñõîäèòñÿ, è îí ðàâåí: ∫ e − x dx =
0
π
.
2
7. Çàìåíà ïåðåìåííûõ â äâîéíîì èíòåãðàëå. Ïóñòü â íåêîòîðîé îáëàñòè G äëÿ ôóíêöèè f(õ, ó) ñóùåñòâóåò äâîéíîé èíòåãðàë
∫∫ f (x , y)dxdy.
(16)
G
Ïðåäïîëîæèì, äàëåå, ÷òî ñ ïîìîùüþ ôîðìóë
õ = õ(è, L), ó = ó(è, L)
(17)
ìû ïåðåõîäèì ê íîâûì ïåðåìåííûì è è L. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî è è L îïðåäåëÿþòñÿ èç (17)
åäèíñòâåííûì îáðàçîì:
u = u(õ, ó), L = L(x, ó).
(18)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç G* ìíîæåñòâî òî÷åê Ì*(è, L). Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (18) êàæäîé òî÷êå
M(x, ó) èç îáëàñòè G ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðàÿ òî÷êà Ì*(è, L) èç îáëàñòè G*.
Ôîðìóëû (18) íàçûâàþò ôîðìóëàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò, à ôîðìóëû (17) — ôîðìóëàìè îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ äîêàçûâàåòñÿ (ñì. [2]), ÷òî åñëè ôóíêöèè (17) èìåþò
â îáëàñòè G* íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïåðâîãî ïîðÿäêà è åñëè âûðàæåíèå
∂x
J = ∂u
∂y
∂u
∂x
∂L
∂y
∂L
(19)
îòëè÷íî â G* îò íóëÿ, òî äëÿ èíòåãðàëà (16) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà çàìåíû ïåðåìåííûõ:
∫∫ f (x , y)dxdy = ∫∫ f (x (u,L ), y(u,L ))| J | dudL .
G
296
G*
(20)
Âûðàæåíèå (19) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíûì îïðåäåëèòåëåì ôóíêöèé x = õ(è, L) è y = y(u,
L) èëè ÿêîáèàíîì (íî èìåíè íåìåöêîãî ìàòåìàòèêà Êàðëà ßêîáè (1804—1851)).
 ÷àñòíîñòè, ïðè ïåðåõîäå ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì èìååì: x = rcosϕ, y = rsin ϕ,
J=
cos ϕ − r sin ϕ
= r (cos2 ϕ + sin 2 ϕ) = r .
sin ϕ r cos ϕ
Òàêèì îáðàçîì,
∫∫ f (x , y)dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ,r sin ϕ)rdrdϕ.
G
G*
Ýòà ôîðìóëà è áûëà, ïî ñóùåñòâó, óñòàíîâëåíà â ï. 5 íåïîñðåäñòâåííî äëÿ ïîëÿðíûõ
êîîðäèíàò. Îäíàêî òàì íåñêîëüêî óïðîñòèâ ðàññóæäåíèÿ, ìû íå ðàññìàòðèâàëè íîâîé
îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ G* è ïîýòîìó ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ èíòåãðàëà çàïèñàëè â
óñëîâíîì âèäå (ñì. ôîðìóëó (12) èç ï. 5). Ïðàêòè÷åñêè, ïåðåõîäÿ ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì, íå ñòðîÿò îáëàñòü G*, à íàõîäÿò íóæíûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ ïî r è ϕ, ñîâìåùàÿ
äåêàðòîâó è ïîëÿðíóþ ñèñòåìû êîîðäèíàò è èñïîëüçóÿ âèä îáëàñòè G, à òàêæå ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò. Òàê ìû è ïîñòóïèëè â ïðèìåðå èç ï. 5.
 äâîéíîì èíòåãðàëå, êàê è â îïðåäåëåííîì, çàìåíà ïåðåìåííûõ — âàæíåéøèé ñïîñîá ïðèâåäåíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà ê âèäó, áîëåå óäîáíîìó äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ. Îäèí èç
ïðèìåðîâ, ïîêàçûâàþùèé ýòî, áûë ðàññìîòðåí â ï. 5. Ïðèâåäåì åùå òàêîé ïðèìåð.
Ï ð è ì å ð. Íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà I = ∫∫ (x + y)dxdy, ãäå G — ïàG
ðàëëåëîãðàìì, îãðàíè÷åííûé ïðÿìûìè
õ + ó = 1, õ + ó = 2, 2õ − ó = 1, 2õ − ó = 3 (ðèñ. 149, a),
áûëî áû çàòðóäíèòåëüíûì, òàê êàê äëÿ åãî âû÷èñëåíèÿ íåîáõîäèìî îáëàñòü G ðàçáèòü íà
òðè îáëàñòè è âû÷èñëÿòü ñîîòâåòñòâåííî òðè èíòåãðàëà.
Ðèñ. 149
297
Ïîëîæèì
õ + ó = è, 2õ − ó = L,
îòêóäà
x=
u +L
2u − L
, y=
.
3
3
Ñëåäîâàòåëüíî,
1
J= .
3
Ïðè ýòîì äàííûé íàì ïàðàëëåëîãðàìì ñîîòâåòñòâóåò ïðÿìîóãîëüíèêó G* â ïëîñêîñòè èOL, îãðàíè÷åííîìó ïðÿìûìè u = 1, è = 2, L = 1, L = 3 (ðèñ. 149, á).
Ïî ôîðìóëå (20) ïîëó÷àåì:
I =
12 3
22
du∫ udL = ∫ udu = 1.
∫
31 1
31
8. Âû÷èñëåíèå ïëîùàäè êðèâîé ïîâåðõíîñòè. Ïóñòü σ — ó÷àñòîê ïîâåðõíîñòè z = f(x, ó), à îáëàñòü G — åãî ïðîåêöèÿ íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü xOy (ðèñ. 150). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (x, y) è åå ïåðâûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû â G âïëîòü äî ãðàíèöû. Òðåáóåòñÿ
íàéòè ïëîùàäü S ïîâåðõíîñòè σ (çäåñü è â § 12.4 òàê êðàòêî íàçûâàåì
ó÷àñòîê ïîâåðõíîñòè).
Ðàçîáüåì îáëàñòü G íà ï ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n áåç îáùèõ
âíóòðåííèõ òî÷åê, ïëîùàäè êîòîðûõ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç
∆w1, ∆w2, , ∆wn.  êàæäîé èç ýòèõ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆k âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Nk(ξk; ηk). Ýòîé òî÷êå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü íà ïîâåðõíîñòè σ òî÷êà Mk(ξk; ηk; θk), ãäå θk = f(ξk, ηk). Ïîñòðîèì â òî÷êå Mk
êàñàòåëüíóþ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè σ è íîðìàëü ê ýòîé ïîâåðõíîñòè
(ðèñ. 151).
Ðèñ. 150
298
Ðèñ. 151
Íà êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ðàññìîòðèì ôèãóðó ∆ ′k (ïëîùàäü åå îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆w k′ ), êîòîðóþ âûðåçàåò èç ýòîé ïëîñêîñòè ïðÿìîé öèëèíäð ñ îñíîâàíèåì ∆k. Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòü σ ïîêðîåòñÿ ïëîñêèìè ïëàñòèíêàìè ∆ ′k , ñóììà ïëîùàäåé êîòîðûõ äàåò ïðèáëèæåííîå
çíà÷åíèå ïëîùàäè S ïîâåðõíîñòè σ, ò. å.
n
S ≈ ∑ ∆w k′ .
k =1
Èçâåñòíî, ÷òî
∆w k = ∆w ′k cos γ k
(äëÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ ýòî ñîîòíîøåíèå äîêàçûâàåòñÿ â ýëåìåíòàðíîé
ãåîìåòðèè; îíî îñòàåòñÿ âåðíûì è äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîé ôèãóðû;
[15], ò. II), èëè
∆w k
,
∆w ′k =
cos γ k
ãäå γk — îñòðûé óãîë ìåæäó êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòüþ è ïëîñêîñòüþ
xOy. Ýòîò óãîë ðàâåí óãëó ìåæäó ïåðïåíäèêóëÿðàìè ê íèì, ò. å. óãëó
ìåæäó íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè σ â òî÷êå Mk è îñüþ Oz. Ïîýòîìó
(ñì. § 2.2, ï. 3; § 11.2, ï. 5)
1
.
cos γ k =
1 + f x′ 2 ( ξ k , η k ) + f y′ 2 ( ξ k , η k )
Ñëåäîâàòåëüíî,
∆w ′k = 1 + f x′ 2 ( ξ k , η k ) + f y′ 2 ( ξ k , η k )∆w k ,
è ïîòîìó
n
n
∑ ∆w ′ = ∑
k =1
k
k =1
1 + f x′ 2 ( ξ k , η k ) + f y′ 2 ( ξ k , η k )∆w k .
(21)
Ïî îïðåäåëåíèþ ïëîùàäüþ S ïîâåðõíîñòè σ íàçûâàåòñÿ ïðåäåë ïîñëåäíåé ñóììû, êîãäà íàèáîëüøèé èç äèàìåòðîâ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé
∆k ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Òàê êàê â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (21) ñòîèò èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
1 + f x′ 2 ( x , y ) + f y′ 2 ( x , y ),
òî ïðåäåë ñóììû (21) ñóùåñòâóåò è, çíà÷èò,
S = ∫∫ 1 + f x′ 2 ( x , y ) + f y′ 2 ( x , y )dw .
G
9. Ïðèëîæåíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà â ìåõàíèêå. Âûøå (ñì. ï. 1) óæå
îòìå÷àëèñü ïðèëîæåíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà â ãåîìåòðèè è íåêîòîðûõ
ðàçäåëàõ ôèçèêè, óêàæåì åùå íà åãî ïðèëîæåíèÿ â ìåõàíèêå.
299
Ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû è öåíòð òÿæåñòè ïëàñ ò è í ê è. Íà÷íåì ñ âû÷èñëåíèÿ ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ ðàññìàòðèâàâøåéñÿ âûøå ïëàñòèíêè (ñì. ï. 1) îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò. Äëÿ
ýòîãî ñîñðåäîòî÷èì â òî÷êàõ Nk(ξk; ηk) ìàññû ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé è íàéäåì ñòàòè÷åñêèå ìîìåíòû ïîëó÷åííîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê (ñì. § 9.10):
n
n
k =1
k =1
M x( n ) = ∑ η k ρ( ξ k , η k )∆w k , M (yn ) = ∑ ξ k ρ( ξ k , η k )∆w k .
Ïåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè îáû÷íûõ óñëîâèÿõ, ïîëó÷èì ïîäîáíî
ñëó÷àþ, ðàññìîòðåííîìó â § 9.10,
M x = ∫∫ yρ( x , y )dw, M
G
y
= ∫∫ xρ( x , y )dw.
G
Íàêîíåö, ïî îïðåäåëåíèþ öåíòðà òÿæåñòè èìååì:
xC =
M
y
, yC =
Mx
,
m
m
ãäå ò — ìàññà ïëàñòèíêè.
Îòñþäà â ñëó÷àå îäíîðîäíîé ïëàñòèíêè
xC =
1
S
∫∫ xdw,
G
yC =
1
S
∫∫ ydw.
G
Ì î ì å í ò û è í å ð ö è è ï ë à ñ ò è í û. Ìîìåíòîì èíåðöèè
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè P ñ ìàññîé ò îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî îñè íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå ìàññû íà êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè Ð äî
ýòîé îñè.
Ìåòîä ñîñòàâëåíèÿ âûðàæåíèé äëÿ ìîìåíòîâ èíåðöèè ïëàñòèíû
îòíîñèòåëüíî îñåé êîîðäèíàò òàêîé æå, êàêîé ïðèìåíÿëñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòàòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ. Ïîýòîìó ïðèâåäåì ëèøü îêîí÷àòåëüíûå
ðåçóëüòàòû:
J x = ∫∫ y 2 ρ( x , y )dw , J y = ∫∫ x 2 ρ( x , y )dw.
G
G
Îòìåòèì åùå, ÷òî èíòåãðàë
∫ ∫ xyρ( x, y)dw íàçûâàåòñÿ öåíòðîáåæG
íûì ìîìåíòîì èíåðöèè è îáîçíà÷àåòñÿ Jõó.
 ìåõàíèêå ÷àñòî ðàññìàòðèâàþò ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè òî÷êè,
ðàâíûé ïðîèçâåäåíèþ ìàññû òî÷êè íà êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ îò íåå äî
äàííîé òî÷êè — ïîëþñà. Ïîëÿðíûé ìîìåíò èíåðöèè ïëàñòèíû îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò áóäåò ðàâåí:
J 0 = ∫∫ ( x 2 + y 2 )ρ( x , y )dw = J x + J y .
G
300
§ 12.2. Òðîéíûå èíòåãðàëû
Òðîéíîé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì àíàëîãîì äâîéíîãî èíòåãðàëà. Ïîýòîìó èçëîæåíèå ýòîãî ïàðàãðàôà áóäåì âåñòè ïî âîçìîæíîñòè êðàòêî.
1. Çàäà÷à î ìàññå íåîäíîðîäíîãî òåëà. Òðîéíîé èíòåãðàë. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâåííàÿ (òðåõìåðíàÿ) îáëàñòü Ω çàïîëíåíà âåùåñòâîì ñ èçâåñòíîé ïëîòíîñòüþ ρ(M) = ρ(x, y, z). Íàéòè ìàññó âñåé ìàòåðèàëüíîé îáëàñòè — «òåëà». Ðàçîáüåì îáëàñòü Ω ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì íà ï ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n áåç îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, îáúåìû
êîòîðûõ îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç ∆L1, ∆L2, , ∆Ln. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â ïðåäåëàõ êàæäîé ÷àñòè÷íîé îáëàñòè ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà è
ðàâíà ρ(Nk) äëÿ ÷àñòè÷íîé îáëàñòè ∆k, ãäå Nk(ξk, ηk, θk) —ïðîèçâîëüíàÿ
òî÷êà ýòîé ÷àñòè÷íîé îáëàñòè. Òîãäà ìàññà ∆k ïðèáëèæåííî ðàâíà ρ(ξk,
ηk, θk)∆Lk. Äëÿ ìàññû âñåãî òåëà ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå
n
m ≈ ∑ ρ( ξ k , η k , θ k )∆L k .
k =1
Ýòà ñóììà áóäåò òåì òî÷íåå âûðàæàòü èñêîìóþ ìàññó ò, ÷åì ìåíüøå
áóäåò êàæäûé èç äèàìåòðîâ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n. (Îïðåäåëåíèå äèàìåòðà òðåõìåðíîé îáëàñòè òàêîå æå, êàê è îïðåäåëåíèå äèàìåòðà ïëîñêîé îáëàñòè (ñì. § 12.1, ï. 1).) Çà ìàññó ò åñòåñòâåííî ïðèíÿòü
n
m = lim ∑ ρ( ξ k , η k , θ k )∆L k ,
λ→ 0
k =1
ãäå λ — íàèáîëüøèé èç äèàìåòðîâ ÷àñòè÷íûõ îáëàñòåé ∆1, ∆2, , ∆n.
Ê âû÷èñëåíèþ ïîäîáíîãî ðîäà ïðåäåëîâ ïðèâîäÿò è äðóãèå çàäà÷è.
Ïîýòîìó áóäåì ðàññìàòðèâàòü âûðàæåíèå
n
lim ∑ f ( ξ k , η k , θ k )∆L k ,
λ→ 0
(1)
k =1
ãäå f(x, y, z) — ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ â îáëàñòè Ω.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë (1), íå çàâèñÿùèé îò
ñïîñîáà ðàçáèåíèÿ îáëàñòè Ω íà ÷àñòè÷íûå îáëàñòè ∆k è âûáîðà òî÷åê
Nk (ξk, ηk, θk) â íèõ, òî îí íàçûâàåòñÿ òðîéíûì èíòåãðàëîì îò ôóíêöèè
f (x, y, z) ïî îáëàñòè Ω è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
n
∫∫∫ f ( x, y, z )dL = lim ∑ f ( ξ k , η k , θ k )∆L k .
Ω
λ→ 0
(2)
k =1
Ôóíêöèÿ f(x, y, z) â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ èíòåãðèðóåìîé â îáëàñòè Ω.
301
Òåðìèíîëîãèÿ äëÿ òðîéíûõ èíòåãðàëîâ àíàëîãè÷íà ñîîòâåòñòâóþùåé òåðìèíîëîãèè äëÿ äâîéíûõ èíòåãðàëîâ. Òàê æå ôîðìóëèðóåòñÿ è
òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ òðîéíîãî èíòåãðàëà.
Èç ðàññìîòðåííîé âûøå çàäà÷è î ìàññå íåîäíîðîäíîãî òåëà è îïðåäåëåíèÿ òðîéíîãî èíòåãðàëà ñëåäóåò, ÷òî òðîéíîé èíòåãðàë (2) ñ ïîëîæèòåëüíîé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ìîæåò áûòü èñòîëêîâàí ôèçè÷åñêè êàê ìàññà ñîîòâåòñòâóþùåãî òåëà.  ÷àñòíîñòè, òðîéíîé èíòåãðàë
îò åäèíè÷íîé ôóíêöèè (f(x, y, z) ≡ 1) ÷èñëåííî ðàâåí îáúåìó îáëàñòè
èíòåãðèðîâàíèÿ:
∫∫∫ dL = V
Ω
.
(3)
Ω
Ñâîéñòâà äâîéíûõ èíòåãðàëîâ, ïåðå÷èñëåííûå â ï. 3 § 12.1, ïîëíîñòüþ ïåðåíîñÿòñÿ íà òðîéíûå èíòåãðàëû. Çàìåòèì ëèøü, ÷òî
∫∫∫ f ( x, y, z )dL = f ( ξ, η, θ)V
Ω
,
Ω
ãäå (ξ, η, θ) — íåêîòîðàÿ òî÷êà îáëàñòè Ω (òåîðåìà î ñðåäíåì).
2. Âû÷èñëåíèå òðîéíûõ èíòåãðàëîâ. Âû÷èñëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà
òàê æå, êàê è äâîéíîãî, ìîæåò áûòü ñâåäåíî ê ðÿäó îäíîêðàòíûõ èíòåãðèðîâàíèé. Ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû îáëàñòü Ω åñòü òåëî, îãðàíè÷åííîå
ñâåðõó ïîâåðõíîñòüþ z = z2(x, y), ñíèçó ïîâåðõíîñòüþ z = z 1 (x, y), à ñ áîêîâ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè
îñè Oz (ðèñ. 152). Òîãäà, ïîäîáíî ôîðìóëå (8) (äëÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà)
èç § 12.1, èìååì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:

 z2 ( x, y )
 ∫ f ( x , y, z )dz  dw,
(
,
,
)
L
=
f
x
y
z
d
∫∫∫
∫
∫



Ω
G  z1 ( x, y )
Ðèñ. 152
302
ãäå G — ïðîåêöèÿ îáëàñòè Ω íà
ïëîñêîñòü xOy. Çäåñü âî âíóòðåííåì îïðåäåëåííîì èíòåãðàëå x è y ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Ïîñëå òîãî êàê ýòîò âíóòðåííèé èíòåãðàë áóäåò âû÷èñëåí, ïîëó÷èì âûðàæåíèå, çàâèñÿùåå îò x è y. Ýòó ôóíêöèþ îò
äâóõ ïåðåìåííûõ íàäî çàòåì
ïðîèíòåãðèðîâàòü ïî ïëîñêîé
îáëàñòè G. Äâîéíîé æå èíòåãðàë, êàê óñòàíîâëåíî â § 12.1
(ï. 4), ñâîäèòñÿ ê äâóì îïðåäåëåííûì èíòåãðàëàì.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü òðîéíîé èíòåãðàë
I = ∫∫∫ (x + y + z)dL ,
Ω
ãäå Ω — îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ ïëîñêîñòÿìè x = 0,
y = 0, z = 0, x + y + z = 1 (ðèñ. 153).
Èíòåãðèðîâàíèå ïî z ñîâåðøàåòñÿ îò z = 0 äî z =
= 1 — x — ó. Ïîýòîìó, îáîçíà÷àÿ ïðîåêöèþ îáëàñòè
Ω íà ïëîñêîñòü õÎó ÷åðåç G, ïîëó÷èì:
1 −x − y
1 −x − y


z2 
I = ∫∫  ∫ (x + y + z)dz  dw = ∫∫  (x + y)z + 
2 0

G 
G 
0
dw =

(1 − x − y)2 
= ∫∫  (x + y) − (x + y)2 +
 dw .
2

G 
Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ, ÷òî G — òðåóãîëüíèê, îãðàíè÷åííûé ïðÿìûìè x = 0, y = 0, x + y = 1, èìååì:
1
1 −x
0
0
I = ∫ dx
∫
Ðèñ. 153

(1 − x − y)2 
1
2
 (x + y) − (x + y) +
dy = .
2
8


3. Òðîéíîé èíòåãðàë â öèëèíäðè÷åñêèõ è ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.
Êàê è â äâóìåðíîì ñëó÷àå, äëÿ òðîéíûõ èíòåãðàëîâ èìåþò ìåñòî ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ èíòåãðàëà îò ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò ê íîâûì
ñèñòåìàì êîîðäèíàò. Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå èç íèõ — öèëèíäðè÷åñêèå è ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû.
Ö è ë è í ä ð è ÷ å ñ ê è å ê î î ð ä è í à ò û.  ýòîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïîëîæåíèå òî÷êè M ïðîñòðàíñòâà îïðåäåëÿåòñÿ ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r è ϕ òî÷êè M' — ïðîåêöèè òî÷êè M íà ïëîñêîñòü xOy — è
àïïëèêàòîé ñàìîé òî÷êè M (ðèñ. 154). ×èñëà r, ϕ è z íàçûâàþòñÿ öèëèíäðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè M, ïðè÷åì r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π è z — ëþáîå
äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Èç ðèñóíêà 154 âèäíî, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû r, ϕ è z ñâÿçàíû ñ ïðÿìîóãîëüíûìè ñîîòíîøåíèåì
x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z.
Âîïðîñ î ïðåîáðàçîâàíèè òðîéíîãî èíòåãðàëà ê öèëèíäðè÷åñêèì
êîîðäèíàòàì ðåøàåòñÿ òàêèì æå ïóòåì, êàê è ïðåîáðàçîâàíèå äâîéíîãî èíòåãðàëà ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì. Ôîðìóëà ïåðåõîäà äëÿ òðîéíîãî èíòåãðàëà îò ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò ê öèëèíäðè÷åñêèì êîîðäèíàòàì èìååò âèä:
∫∫∫ f ( x, y, z )dL = ∫∫∫ f (r cos ϕ, r sin ϕ, z )rdrdϕdz .
Ω
Ω
Âû÷èñëåíèå òðîéíîãî èíòåãðàëà â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ
ïðèâîäèòñÿ ê òðåì îäíîêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèÿì ïî z, r è ϕ íà îñíîâàíèè òåõ æå ïðèíöèïîâ, ÷òî è â ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò.
303
Ðèñ. 154
Ðèñ. 155
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáúåì êðóãîâîãî öèëèíäðà âûñîòîé Í ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ R.
2π
R
H
0
0
0
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), ïîëó÷èì:V = ∫ dϕ∫ rdr ∫ dz = πR 2 H .
Ñ ô å ð è ÷ å ñ ê è å ê î î ð ä è í à ò û.  ýòîì ñëó÷àå ïîëîæåíèå
òî÷êè M â ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëÿåòñÿ åå ðàññòîÿíèåì r îò íà÷àëà O, óãëîì ϕ ìåæäó ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox è îòðåçêîì OM′ —
ïðîåêöèåé îòðåçêà OM íà ïëîñêîñòü xOy, óãëîì θ ìåæäó ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Oz è îòðåçêîì OM (ðèñ. 155). ×èñëà r, ϕ è θ íàçûâàþòñÿ ñôåðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè òî÷êè M èëè ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè â ïðîñòðàíñòâå, ïðè ýòîì r ≥ 0, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π. Èç
ðèñóíêà 155 âèäíî, ÷òî ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû r, ϕ è θ ñâÿçàíû ñ ïðÿìîóãîëüíûìè êîîðäèíàòàìè ñîîòíîøåíèÿìè
x = r sin θ cos ϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ.
Ïîäîáíî òîìó êàê áûëà óñòàíîâëåíà ôîðìóëà ïåðåõîäà â äâîéíîì
èíòåãðàëå îò ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò ê ïîëÿðíûì, óñòàíàâëèâàåòñÿ
ôîðìóëà ïåðåõîäà â òðîéíîì èíòåãðàëå îò ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò ê
ñôåðè÷åñêèì:
∫∫∫ f ( x, y, z )dL = ∫∫∫ f (r sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θ)r
Ω
2
sin θdrdθdϕ.
(4)
Ω
Âû÷èñëåíèå ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà òàêæå ïðèâîäèòñÿê ê òðåì îäíîêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèÿì ïî r, ϕ è θ.
Åñëè â ôîðìóëå (4) f(x, y, z) = 1, òî â ñèëó (3) ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ
îáúåìà òåëà Ω â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:
V Ω = ∫∫∫ r 2 sinθdrdθdϕ;
2
(5)
Ω
ïðè ýòîì âûðàæåíèå r sin θdrdθdϕ íàçûâàåòñÿ ýëåìåíòîì îáúåìà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ.
304
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îáúåì øàðà ðàäèóñà R.
2π
π
R
0
0
0
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì:V = ∫ dϕ∫ sin θdθ∫ r 2 dr = 2 π ⋅ 2 ⋅
R3 4
= πR 3 .
3
3
4. Ïðèëîæåíèÿ òðîéíîãî èíòåãðàëà â ìåõàíèêå. Âûøå (ñì. ï. 1) óæå
îòìå÷àëèñü ïðèìåíåíèÿ òðîéíîãî èíòåãðàëà â ãåîìåòðèè è ôèçèêå.
Óêàæåì åùå íà åãî ïðèëîæåíèÿ â ìåõàíèêå.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîîðäèíàò öåíòðà òÿæåñòè òåëà íóæíû ñòàòè÷åñêèå
ìîìåíòû îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ ïëîñêîñòåé xOy, xOz, yOz (îáîçíà÷èì èõ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç Ìõó, Ìõz, Myz). Ïîâòîðÿÿ ðàññóæäåíèÿ
ï. 9 § 12.1, ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ êîîðäèíàò õC, óC, zC öåíòðà
òÿæåñòè òåëà, çàíèìàþùåãî îáëàñòü Ω:
xC =
ãäå
M
yz
M
yz
m
, yC =
M xz
m
, zC =
M xy
m
,
= ∫∫∫ xρdL, M xz = ∫∫∫ yρdL, M xy = ∫∫∫ zρdL,
Ω
Ω
Ω
m — ìàññà òåëà, ρ = ρ(x, ó, z) — ïëîòíîñòü òåëà.
Îòñþäà â ñëó÷àå îäíîðîäíîãî òåëà
1
V
ãäå V — îáúåì òåëà.
xC =
∫∫∫ xdL,
yC =
Ω
1
V
∫∫∫ ydL,
zC =
Ω
1
V
∫∫∫ zdL,
Ω
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè öåíòð òÿæåñòè îäíîðîäíîãî (ρ =1) ïîëóøàðà Ω:
x2 + y2 + z2 ≤ R2, z ≥ 0.
 ñèëó ñèììåòðèè çàêëþ÷àåì, ÷òî xC = yC = 0. Äàëåå èìååì:
π
2
m = πR 3 ,
3
2
2π
R
0
0
0
∫∫∫ zdL = ∫ sin θ cos θdθ ∫ dϕ∫ r
Ω
3
dr =
1
R4 1
⋅2π
= πR 4 .
2
4
4
Ïîýòîìó
3
zC = R.
8
Ïåðåéäåì ê âû÷èñëåíèþ ìîìåíòîâ èíåðöèè òåëà îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíûõ îñåé. Òàê êàê êâàäðàòû ðàññòîÿíèé îò òî÷êè Ì(õ; ó; z) äî
îñåé Ox, Oy, Oz ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû y2 + z2, x2 + z2, x2 + y2, òî ïîëó÷èì
ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
J x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 )ρdL, J y = ∫∫∫ ( x 2 + z 2 )ρdL, J z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )ρdL.
Ω
Ω
Ω
305
Àíàëîãè÷íî ïëîñêîìó ñëó÷àþ èíòåãðàëû
J xy = ∫∫∫ xyρdL, J yz = ∫∫∫ yzρdL, J zx = ∫∫∫ zxρdL
Ω
Ω
Ω
íàçûâàþòñÿ öåíòðîáåæíûìè ìîìåíòàìè èíåðöèè.
Äëÿ ïîëÿðíîãî ìîìåíòà èíåðöèè ôîðìóëà èìååò âèä:
J 0 = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ρdL.
Ω
Ñëåäîâàòåëüíî,
2J0 = Jx + Jy + Jz.
Ï ð è ì å ð 2. Äëÿ îäíîðîäíîãî (ρ = l) øàðà x2 + y2 + z2 ≤ R2 èìååì:
2π
π
R
0
0
0
J 0 = ∫ dϕ∫ sin θdθ∫ r 2 ⋅ r 2dr =
4πR 5
.
5
§ 12.3. Êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû
1. Çàäà÷è, ïðèâîäÿùèå ê êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëàì.
Ç à ä à ÷ à î ì à ñ ñ å ì à ò å ð è à ë ü í î é ë è í è è. Ïóñòü âäîëü
íåêîòîðîé ãëàäêîé êðèâîé AB ðàñïðåäåëåíà ìàññà ñ ïåðåìåííîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ ρ(M), ãäå Ì — ëþáàÿ òî÷êà êðèâîé AB (ρ(M) —ïðåäåë ñðåäíåé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåùåñòâà íà áåñêîíå÷íî ìàëîé
äóãå, ñîäåðæàùåé òî÷êó M). Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ìàññó m äóãè AB.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàçäðîáèì äóãó AB íà n ïðîèçâîëüíûõ ÷àñòåé è
âû÷èñëèì ïðèáëèæåííî ìàññó êàæäîé ÷àñòè, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî íà êàæäîé èç íèõ ïëîòíîñòü ïîñòîÿííà è ðàâíà ρ(Nk) äëÿ k-é ÷àñòè, ãäå Nk —
îäíà èç òî÷åê ýòîé ÷àñòè, áåçðàçëè÷íî êàêàÿ. Òîãäà ìàññà k-é ÷àñòè
ïðèáëèæåííî ðàâíà ∆mk ≈ ρ(Nk)∆lk (k = l, 2, , n), à ìàññà âñåé äóãè ïðèn
áëèæåííî ðàâíà m ≈ ∑ ρ(N k )∆l k , ãäå ∆lk — äëèíà k-é ÷àñòè.
k =1
 ïðåäåëå ïðè λ → 0 (λ = max∆lk) ïîëó÷èì òî÷íîå çíà÷åíèå ìàññû
âñåé äóãè AB, ò. å.
n
m = lim ∑ ρ(N k )∆l k .
λ→ 0
k =1
Çàäà÷à î ïëîùàäè öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõí î ñ ò è. Ïóñòü â ïëîñêîñòè xOy äàíà íåêîòîðàÿ ãëàäêàÿ êðèâàÿ A è íà
ýòîé êðèâîé îïðåäåëåíà íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ f(M) = f(x, y) ≥ 0. (Íåïðåðûâíîñòü f(Ì) âäîëü êðèâîé AB îçíà÷àåò, ÷òî â ëþáîé òî÷êå M0 ýòîé
êðèâîé lim f (M ) = f (M 0 ), ãäå M òàêæå òî÷êà ýòîé êðèâîé.) Òîãäà òî÷M→M0
êè ïðîñòðàíñòâà ( x, y, f(x, ó )) â ñîâîêóïíîñòè ñîñòàâÿò íåêîòîðóþ
306
êðèâóþ, ëåæàùóþ íà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè, äëÿ êîòîðîé êðèâàÿ AB — íàïðàâëÿþùàÿ, à îáðàçóþùàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè
xOy. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ïëîùàäü ÷àñòè ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ îãðàíè÷åíà ñâåðõó êðèâîé z = f(x, y), ñíèçó êðèâîé AB, à ñ áîêîâ ïðÿìûìè
AA′ è BB′ (ðèñ. 156).
Ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàçîáüåì äóãó AB íà ï ÷àñòåé òî÷êàìè A =
= M0, M1, M2, , Mn = B.
Èç êàæäîé òî÷êè äðîáëåíèÿ Mk (k = l, 2, , ï— 1) ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿðû ê ïëîñêîñòè xOy âûñîòîé f(Mk).  ðåçóëüòàòå âñÿ öèëèíäðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü ðàçîáüåòñÿ íà ï ïîëîñîê.
Êàæäóþ òàêóþ ïîëîñêó çàìåíèì ïðÿìîóãîëüíèêîì ñ îñíîâàíèåì
∆lk, ãäå ∆lk — äëèíà äóãè Mk − 1Mk (k = l, 2, , n), è âûñîòîé, ðàâíîé çíà÷åíèþ ôóíêöèè f(Nk), ãäå Nk — îäíà èç òî÷åê äóãè Mk − 1Mk, áåçðàçëè÷íî
êàêàÿ. Íà ðèñóíêå 156 â öåëÿõ åãî óïðîùåíèÿ â êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè
âçÿòà òî÷êà Mk − 1. Òîãäà ïëîùàäü k-é ïîëîñêè áóäåò ïðèáëèæåííî ðàâíà: Sk ≈ f(Nk)∆lk, à ïëîùàäü âñåé ïîâåðõíîñòè ÀÀ′Â′Â
n
S ≈ ∑ f (N k )∆l k .
k =1
Ïðè λ → 0 â ïðåäåëå ïîëó÷èì òî÷íîå çíà÷åíèå èñêîìîé ïëîùàäè:
n
S = lim ∑ f (N k )∆l k .
λ→ 0
k =1
Ç à ä à ÷ à î ð à á î ò å ñ è ë û.  § 9.6 áûëà ðàññìîòðåíà çàäà÷à î
ðàáîòå ïåðåìåííîé ñèëû ïðè äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî ïðÿìîé ëèíèè, ïðè÷åì íàïðàâëåíèå ñèëû ñîâïàäàëî ñ íàïðàâëåíèåì äâèæåíèÿ. Ñåé÷àñ ìû ðàññìîòðèì áîëåå îáùóþ çàäà÷ó.
Ðèñ. 156
Ðèñ. 157
307
Ïóñòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïîä äåéñòâèåì ñèëû F ïåðåìåùàåòñÿ
âäîëü íåïðåðûâíîé ïëîñêîé êðèâîé AB â íàïðàâëåíèè îò A ê B. Ñèëà F
ïðåäïîëàãàåòñÿ ïåðåìåííîé, çàâèñÿùåé îò ïîëîæåíèÿ òî÷êè íà êðèâîé AB. Âû÷èñëèì ðàáîòó ñèëû F , çàòðà÷åííóþ íà ïåðåìåùåíèå òî÷êè
èç A â B. Ñ ýòîé öåëüþ ðàçîáüåì ïðîèçâîëüíî òî÷êàìè A = M0, M1, M2, ,
Ìï =  äóãó AB íà n ÷àñòè÷íûõ äóã M0M1, M1M2, , Ìï − 1Mn ñ äëèíàìè ∆l1,
∆l2, , ∆ln (ðèñ. 157). Íàèáîëüøóþ èç äëèí ∆lk (k = l, 2, , ï) îáîçíà÷èì λ.
Ââèäó ìàëîñòè ∆lk ìîæíî ïðèáëèæåííî ïðèíÿòü, ÷òî: à) âåêòîð ñèëû F
ñîõðàíÿåò íà äóãå Mk − 1Mk ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå, ðàâíîå F (N k ), ãäå Nk —
îäíà èç òî÷åê ýëåìåíòà Mk − 1Mk, áåçðàçëè÷íî êàêàÿ (íà ðèñóíêå 157 â öåëÿõ åãî óïðîùåíèÿ â êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âçÿòà òî÷êà Mk − 1); á) äóãà
Mk − 1Mk ìîæåò áûòü çàìåíåíà õîðäîé Mk − 1Mk, ñòÿãèâàþùåé êîíöû ýòîãî
ýëåìåíòà. Âåêòîð M k −1 M k ðàâåí ïðèðàùåíèþ ðàäèóñà-âåêòîðà r (M ):
∆rk = r (M k ) − r (M k −1 )( ∆rk ( x k − x k −1 ; y k − y k −1 )). Òîãäà íà ýëåìåíòå
äóãè Mk − 1Mk ðàáîòà ñèëû F ïðèáëèæåííî ðàâíà
F (N k )∆rk .
Ïóñòü âåêòîð F (M ) èìååò ïðîåêöèè Ð(Ì), Q(Ì) ñîîòâåòñòâåííî
íà îñè Ox, Oy. Òîãäà ðàáîòà ñèëû F âäîëü âñåé äóãè AB áóäåò ïðèáëèæåííî ðàâíà
n
∑ ( P( N
k =1
k
)∆x k + Q(N k )∆y k ),
(1)
ãäå ∆xk = xk — xk − 1, ∆yk = yk — yk − 1.
Ïåðåéäÿ â ñóììå (1) ê ïðåäåëó ïðè λ → 0, ïîëó÷èì òî÷íîå âûðàæåíèå ðàáîòû ñèëû F âäîëü âñåé äóãè AB:
n
lim ∑ (P(N k )∆x k + Q(N k )∆y k ).
λ→ 0
(2)
k =1
2. Îïðåäåëåíèå êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ, èõ ñâîéñòâà. Èç ðåøåíèÿ
ïåðâûõ äâóõ çàäà÷ (ï. 1) âèäíî, ÷òî õîòÿ îíè èìåþò ðàçëè÷íûé ñìûñë,
íî ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ èõ ðåøåíèÿ îäèí è òîò æå.  ýòèõ äâóõ
çàäà÷àõ ïîëó÷àåì âûðàæåíèå îäíîãî è òîãî æå âèäà
n
lim ∑ f (N k )∆l k .
λ→ 0
(3)
k =1
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë (3), íå çàâèñÿùèé îò
ñïîñîáà äåëåíèÿ äóãè AB íà ÷àñòè÷íûå äóãè è âûáîðà òî÷åê Nk, òî îí íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f(M) ïî
äóãå AB è îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
∫ f (M )dl, èëè ∫ f ( x, y)dl.
AB
308
AB
Äóãà AB íàçûâàåòñÿ ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ, òî÷êà nA — íà÷àëüíîé, à
òî÷êà B — êîíå÷íîé òî÷êàìè èíòåãðèðîâàíèÿ, ñóììà ∑ f (N k )∆l k — èík =1
òåãðàëüíîé ñóììîé.
Ðàññìîòðåííûå â ï. 1 ïåðâûå äâå çàäà÷è ïîêàçûâàþò: 1) êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà ïðè f(M) ≥ 0 (f(M) íà äóãå AB íåïðåðûâíà) ÷èñëåííî ðàâåí ïëîùàäè ó÷àñòêà öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè ñ
îáðàçóþùåé, ïàðàëëåëüíîé îñè Oz. Ñíèçó ýòîò ó÷àñòîê îãðàíè÷åí äóãîé AB, à ñâåðõó — êðèâîé, èçîáðàæàþùåé ïîäûíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ
z = f(M).  ýòîì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà; 2) êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
∫ ρ(M )dl
AB
(ρ(Ì) — ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü) ðàâåí ìàññå m ìàòåðèàëüíîé äóãè AB.
 ýòîì ñîñòîèò åãî ôèçè÷åñêèé ñìûñë. Èç 1) ñëåäóåò, ÷òî ∫ dl ÷èñëåííî
AB
ðàâåí äëèíå äóãè AB.
Õîòÿ, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ï. 3, êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïåðâîãî
ðîäà íåïîñðåäñòâåííî ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåííîìó, ìåæäó ýòèìè ïîíÿòèÿìè åñòü è ñëåäóþùåå ðàçëè÷èå.  âûðàæåíèè (3) âåëè÷èíû ∆lk îáÿçàòåëüíî ïîëîæèòåëüíû íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêóþ òî÷êó êðèâîé AB
ñ÷èòàòü íà÷àëüíîé, à êàêóþ — êîíå÷íîé. Ïîýòîìó
∫ f ( x, y)dl = ∫ f ( x, y)dl.
AB
BA
Êàê óñòàíîâëåíî â ï. 1, ðåøåíèå çàäà÷è î ðàáîòå ñèëû ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ïðåäåëà âèäà (2). Ê âû÷èñëåíèþ ïîäîáíîãî ðîäà ïðåäåëîâ
ïðèâîäÿò è äðóãèå çàäà÷è. Ïîýòîìó áóäåì ðàññìàòðèâàòü âûðàæåíèå
n
lim ∑ (P(N k )∆x k + Q(N k )∆y k ).
λ→ 0
(4)
k =1
(Çäåñü Ð(Ì) è Q(Ì) — ïðîåêöèè âåêòîð-ôóíêöèè a (M ), îïðåäåëåííîé
íà äóãå AB, íà îñè êîîðäèíàò Ox è Oy.)
Î ï ð å ä å ë å í è å. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë (4), íå çàâèñÿùèé îò
ñïîñîáà äåëåíèÿ äóãè AB íà ÷àñòè÷íûå äóãè è âûáîðà òî÷åê Nk, òî îí íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà îò âåêòîðíîé ôóíêöèè a (M ) = P(M )i + Q(M ) j ïî äóãå AB è îáîçíà÷àåòñÿ
∫ adr èëè ∫ Pdx +Qdy.
AB
Ñóììà
AB
n
∑ ( P( N
k =1
k
)∆x k + Q(N k )∆y k )
(5)
íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé.
309
Ôèçè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî
ðîäà, íàïðèìåð, êàê ñëåäóåò èç ðàññìîòðåííîé çàäà÷è â ïðåäûäóùåì
ïóíêòå, — ýòî ðàáîòà ñèëû a (M ) âäîëü äóãè AB.
Åñëè Q(x, y) ≡ 0 (Ð(õ, y) ≡ 0), òî èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà èìååò âèä:


∫ P( x, y)dx  ∫Q( x, y)dy 
AB
(6)
AB
è íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëîì ïî êîîðäèíàòå x(y).
 îòëè÷èå îò êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà (êàê íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç åãî îïðåäåëåíèÿ) çàâèñèò îò òîãî, â êàêîì íàïðàâëåíèè (îò A ê B èëè îò B ê A)
ïðîáåãàåòñÿ êðèâàÿ AB (êðàòêî L), è ìåíÿåò çíàê ïðè èçìåíåíèè íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êðèâîé.
 ñëó÷àå, êîãäà L — çàìêíóòàÿ êðèâàÿ, ò. å. êîãäà òî÷êà B ñîâïàäàåò ñ
òî÷êîé À, èç äâóõ âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé îáõîäà çàìêíóòîãî êîíòóðà
L óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ïîëîæèòåëüíûì òî, ïðè êîòîðîì îáëàñòü, ëåæàùàÿ âíóòðè ýòîãî êîíòóðà, îñòàåòñÿ ñëåâà ïî îòíîøåíèþ ê òî÷êå, ñîâåðøàþùåé îáõîä. Ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà L
óñëîâèìñÿ íàçûâàòü îòðèöàòåëüíûì.
Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó L,
ïðîáåãàåìîìó â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, ÷àñòî îáîçíà÷àþò ñèìâîëîì
∫ P( x, y)dx +Q( x, y)dy.
L
Ðàññìîòðèì ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè Ì: r (M ) = xi + yi . Äëÿ îáùåãî ÷ëåíà ñóììû (5) èìååì:
P(N k )∆x k + Q(N k )∆y k = a (N k )∆rk , ãäå ∆rk = ∆x k ⋅ i + ∆y k ⋅ j .
∧
Íî a (N k )∆rk = a (N k ) ∆rk cos(a , ∆rk ). ÏîýòîìóP(N k )∆x k + Q(N k )∆y k =
∧
= a(N k ) ∆rk cos(a , ∆rk ). Ïîëüçóÿñü ïîñëåäíèì ñîîòíîøåíèåì, ìîæíî
äîêàçàòü (ñì. [2]), ÷òî èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó êðèâîëèíåéíûìè èíòåãðàëàìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà:
∫ a (M )dr = ∫ a
AB
τ
(M )dl ,
AB
τ = τ(M ) — åäèíè÷íûé âåêòîð êàñàòåëüíîé ê äóãå AB â òî÷êå Ì è ñîîò∧
âåòñòâóþùèé íàïðàâëåíèþ äóãè îò A ê B: a τ (M ) = a (M ) cos(a , τ)—
ïðîåêöèÿ âåêòîðà a (M ) íà ýòó êàñàòåëüíóþ.
Òàê æå, êàê â ñëó÷àå îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, èç îïðåäåëåíèÿ
êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ äâóõ ðîäîâ óñòàíàâëèâàþòñÿ ñëåäóþ-
310
ùèå òðè ñâîéñòâà, îáùèå êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëàì ïåðâîãî è
âòîðîãî ðîäà:
1. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà.
2. Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë îò àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû êîíå÷íîãî
÷èñëà ôóíêöèé ðàâåí òàêîé æå ñóììå êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ îò
ýòèõ ôóíêöèé.
3. Åñëè ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ ðàçáèò íà êîíå÷íîå ÷èñëî ÷àñòåé, òî
êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïî âñåìó ïóòè ðàâåí ñóììå êðèâîëèíåéíûõ
èíòåãðàëîâ ïî âñåì åãî ÷àñòÿì.
Çàìåòèì, ÷òî êðèâàÿ AB ìîæåò áûòü è çàìêíóòîé.
Ñïðàâåäëèâî è åùå îäíî ñâîéñòâî, îáùåå
äëÿ êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà:
Êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà íå çàâèñèò îò âûáîðà íà÷àëüíîé
òî÷êè íà ýòîì êîíòóðå.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïðèíÿòü çà íà÷àëüíóþ
òî÷êó A (ðèñ. 158), òî â ñèëó ñâîéñòâà 3 ïîëó÷èì:
Ðèñ. 158
∫
=
ABCDA
∫+∫
ABC
(7)
CDA
(ðàäè êðàòêîñòè çäåñü è èíîãäà â äàëüíåéøåì ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå íå ïèøåì).
Åñëè æå çà íà÷àëüíóþ òî÷êó ïðèíÿòü C, òî ïîëó÷èì:
∫
CDABC
=
∫+∫
CDA
Èç ðàâåíñòâ (7) è (8) ñëåäóåò, ÷òî
.
(8)
ABC
∫
ABCDA
=
∫
.
CDABC
3. Âû÷èñëåíèå êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.
Ïóñòü ãëàäêàÿ äóãà AB çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêè óðàâíåíèÿìè õ = õ(t),
y = y(t) (α ≤ x ≤ β) è ôóíêöèè f(x, y), P(x, y), Q(x, y) îïðåäåëåíû è íåïðåðûâíû íà ýòîé äóãå.
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà ïðåäñòàâèì ïðèðàùåíèå äëèíû äóãè ∆lk â âèäå èíòåãðàëà (ñì. § 9.9, ï. 3, ôîðìóëà (7)) è ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ñðåäíåì (§ 9.7, ï. 4) ïîëó÷èì:
∆l k =
tk
∫
x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t )dt = x ′ 2 (t k* ) + y ′ 2 (t k* )∆t k ,
tk−1
311
ãäå ñðåäíåå çíà÷åíèå àðãóìåíòà t k* ïðèíàäëåæèò ïðîìåæóòêó (tk − 1; tk).
Âûáåðåì â êà÷åñòâå òî÷êè Nk äóãè Mk − 1Mk òî÷êó N k* , ñîîòâåòñòâóþùóþ
çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà t k* . Ïîëó÷èì:
n
∑ f (N
k =1
*
k
n
)∆l k = ∑ f ( x (t k* ), y(t k* )) x ′ 2 (t k* ) + y ′ 2 (t k* )∆l k .
k =1
Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà åñòü èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ ôóíêöèè
f ( x (t ), y(t )) x ′ 2 (t ) + y ′ 2 (t ) íà ñåãìåíòå [α; β] (§ 9.6, ï. 2). Ïîýòîìó â ðåçóëüòàòå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè λ → 0 ïîëó÷èì:
β
2
2
∫ f ( x, y)dl = ∫ f ( x(t ), y(t )) x ′ (t ) + y ′ (t )dl.
(9)
α
AB
Ýòà ôîðìóëà îäíîâðåìåííî äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f(x, y) ïî ãëàäêîé äóãå AB, åñëè ñ÷èòàòü ñóùåñòâîâàíèå îïðåäåëåííîãî èíòåãðàëà îò
íåïðåðûâíîé ôóíêöèè èçâåñòíûì (ñì. § 9.6, ï. 2).
 ÷àñòíîñòè, åñëè äóãà AB çàäàíà óðàâíåíèåì y = y(x) íà îòðåçêå [à; b]
(ðîëü ïàðàìåòðà t èãðàåò âåëè÷èíà x), òî ñîãëàñíî ôîðìóëå (9)
b
2
∫ f ( x, y)dl = ∫ f ( x, y( x )) 1 + y ′ dx .
AB
(10)
a
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà (6) ïðåäñòàâèì âåëè÷èíó ∆xk ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ëàãðàíæà (§ 8.6, ï. 3) â âèäå
ïðîèçâåäåíèÿ ∆x k = x ′(t k* )∆t k , ãäå t k* ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (tk − 1; tk).
Âûáåðåì â êà÷åñòâå òî÷êè Nk äóãè Mk − 1,Mk òî÷êó N k* , ñîîòâåòñòâóþùóþ
çíà÷åíèþ t k* . Èíòåãðàëó (6) ñîîòâåòñòâóåò èíòåãðàëüíàÿ ñóììà
n
∑ P( N
k =1
*
k
n
)∆x k = ∑ P( x (t k* ), y(t k* ))x ′(t k* )∆t k .
k =1
Ïðàâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà åñòü âìåñòå ñ òåì èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ
ôóíêöèè P(x(t), y(t))x′(t) íà îòðåçêå [α, β], (ñì. § 9.6, ï. 2). Ïîýòîìó â ðåçóëüòàòå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè λ → 0 ïîëó÷èì:
β
∫ P( x, y )dx = ∫ P( x(t ), y(t ))x ′(t )dt.
AB
(11)
α
Ýòà ôîðìóëà îäíîâðåìåííî äîêàçûâàåò ñóùåñòâîâàíèå êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà (6) îò íåïðåðûâíîé ôóíêöèè f(x, y) ïî
ãëàäêîé äóãå AB.
Àíàëîãè÷íî âûâîäèòñÿ ôîðìóëà
β
∫Q( x, y)dy = ∫Q( x(t ), y(t )) y ′(t )dt.
AB
312
α
(12)
Ðèñ. 159
Ñëîæèâ ïî÷ëåííî ðàâåíñòâà (11) è (12), ïîëó÷èì:
β
∫ Pdx +Qdy = ∫(Px ′ +Qy ′)dt.
AB
(13)
α
 ÷àñòíîñòè, åñëè äóãà À çàäàíà óðàâíåíèåì ó = y(x) íà îòðåçêå
[à; b], òî àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (10) èç ôîðìóëû (13) èìååì:
b
∫ P( x, y )dx +Q( x, y)dy = ∫(P( x, y( x )) +Q( x, y( x )) y ′( x ))dx .
AB
(14)
a
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Åñëè ïóòü èíòåãðèðîâàíèÿ L — îòðåçîê ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé
îñè àáñöèññ (ðèñ. 159, à), òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà ñðàçó ïðåâðàùàåòñÿ â
îáûêíîâåííûé. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê y = y0 è, çíà÷èò, dy = 0, òî
x2
∫ P (x , y)dx + Q(x , y)dy = ∫ P (x , y )dx .
0
L
x1
Àíàëîãè÷íî åñëè L — îòðåçîê ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè îðäèíàò (ðèñ. 159, á).
2
2
2
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ìàññó ÷åòâåðòè îêðóæíîñòè x + y = R , x ≥ 0, y ≥ 0, åñëè ïëîòíîñòü â êàæäîé òî÷êå ðàâíà åå îðäèíàòå.
2
2
2
Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ îêðóæíîñòè x + y = R : x = R cos t, y = R sin t. Ñëåäîâà2
2
2
òåëüíî, x′ + y′ = R è â ñèëó ôîðìóëû (9)
π
m = ∫ ρdl =
AB
2
∫ ydl = ∫ R
AB
0
2
sin tdt = −R 2 cos t
π
2
0
= R2.
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ñèëû F = 2 xyi + xj
ïðè ïåðåìåùåíèè òî÷êè Ì èç ïîëîæåíèÿ À(2; 0) â ïîëîæåíèå  (−1; 3) âäîëü ïðÿìîé ÀB è âäîëü ëîìàíîé ÀÑÂ
(ðèñ. 160).
Ðèñ. 160
313
Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà
I = ∫ 2 xydx + xdy.
AB
1) Âäîëü ïðÿìîé AB èìååì ó = 2 − x, dy = −dx, è ïîòîìó
−1
3
I = ∫ (2 x (2 − x ) − x )dx = .
2
2
2) Âäîëü ëîìàíîé ACB íà ó÷àñòêå ÀÑ èìååì ó = 0 è dy = 0; íà ó÷àñòêå CB èìååì õ = −1,
dx = 0. Ïîýòîìó
I =
3
∫ + ∫ = 0 − ∫ dy = −3.
AC
CB
0
 çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî ìû ðàññìîòðåëè êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû äëÿ ïëîñêèõ êðèâûõ. Îäíàêî âñå ñêàçàííîå î íèõ ìîæåò áûòü ïåðåíåñåíî è íà ïðîñòðàíñòâåííûå êðèâûå.
Ïî àíàëîãèè ñî ñëó÷àåì ïëîñêîé êðèâîé ìîæíî îïðåäåëèòü êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà
∫ f ( x, y, z )dl
AB
è êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà
∫ P( x, y, z )dx , ∫Q( x, y, z )dy, ∫ R( x, y, z )dz ,
AB
AB
AB
∫ P( x, y, z )dx +Q( x, y, z )dy + R( x, y, z )dz .
AB
Òåõíèêà âû÷èñëåíèÿ òàêèõ èíòåãðàëîâ, ïî ñóùåñòâó, íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ îò òåõíèêè âû÷èñëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëîâ ïî ïëîñêîé êðèâîé.
4. Ôîðìóëà Ðèìàíà — Ãðèíà (Ãåîðã Ðèìàí (1826—1866) — íåìåöêèé
ìàòåìàòèê, Äæîðäæ Ãðèí (1793— 1841) — èçâåñòíûé àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê è ôèçèê).
Ïóñòü ôóíêöèè Ð(õ, ó), Q(õ, ó) (êðàòêî Ð, Q) íåïðåðûâíû âìåñòå
ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè P y′ , Q x′ â çàìêíóòîé îáëàñòè G,
ãðàíèöà L êîòîðîé ïåðåñåêàåòñÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò, íå áîëåå ÷åì â äâóõ òî÷êàõ (äëÿ êðàòêîñòè òàêèå îáëàñòè áóäåì íàçûâàòü ïðîñòûìè). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîíòóð L ãëàäêèé èëè
êóñî÷íî-ãëàäêèé è ìîæåò áûòü çàäàí êàê óðàâíåíèÿìè y = y1(x), y =
= y2(x) (a ≤ x ≤ b), òàê è óðàâíåíèÿìè x = x1(y), x = x2(y) (c ≤ y ≤ d)
(ðèñ. 161).
314
Ðèñ. 161
Ðèñ. 162
Ðàññìîòðèì èíòåãðàë
∂P
∫∫ ∂y dxdy.
G
Ïðåäñòàâëÿÿ åãî â âèäå ïîâòîðíîãî, âûïîëíèì âî âíóòðåííåì èíòåãðàëå ïî ôîðìóëå Íüþòîíà— Ëåéáíèöà (§ 9.7, ï. 2) èíòåãðèðîâàíèå
ïî ó. Ïîëó÷èì:
y (x)
b
b
2
∂P
∂P
dxdy
=
dx
∫∫G ∂y
∫a y ∫( x ) ∂y dy = ∫a (P( x, y 2 ( x )) − P( x, y 1 ( x )))dx .
1
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 3 äëÿ êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà (ï. 2) è ôîðìóëó (14), èìååì:
b
∫ P( x, y)dx = ∫(P( x, y 1 ( x )) − P( x, y 2 ( x )))dx .
L
a
Òàêèì îáðàçîì,
∂P
∫∫ ∂y dxdy = − ∫ P( x, y)dx .
G
(15)
L
Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ ôîðìóëà
∂Q
∫∫ ∂x dxdy = ∫Q( x, y)dy.
G
(16)
L
Âû÷èòàÿ ðàâåíñòâî (15) èç ðàâåíñòâà (16), ïîëó÷èì ôîðìóëó
 ∂Q
∫∫  ∂x
G
−
∂P 
 dxdy = ∫ P( x , y )dx + Q( x , y )dy,
∂y 
L
(17)
íàçûâàåìóþ ôîðìóëîé Ðèìàíà — Ãðèíà.
Ýòà ôîðìóëà óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó äâîéíûì è êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëàìè. Îíà èìååò øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè÷åñêîì
àíàëèçå è åãî ïðèëîæåíèÿõ.
315
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ôîðìóëà Ðèìàíà — Ãðèíà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è äëÿ çàìêíóòîé îáëàñòè G, êîòîðóþ ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ îáëàñòåé ïðîâåäåíèåì äîïîëíèòåëüíûõ ëèíèé (ðèñ. 162).
5. Óñëîâèÿ íåçàâèñèìîñòè êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà îò
ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïóñòü ôóíêöèè P(x, ó) è Q(õ, ó) íåïðåðûâíû âìå∂P
∂Q
ñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè
â íåêîòîðîé îäíîñâÿçíîé îáè
∂y
∂x
ëàñòè G (§ 11.1, ï. 5) ïëîñêîñòè õÎó.
Ðàññìîòðèì â îáëàñòè G äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè A è B. Ýòè òî÷êè
ìîæíî ñîåäèíèòü ðàçëè÷íûìè ëèíèÿìè, ëåæàùèìè â G. Åñëè èíòåãðàë
∫ P( x, y )dx +Q( x, y )dy
(18)
AB
ïî ëþáîìó èç ïóòåé, ëåæàùèõ â G è ñîåäèíÿþùèõ òî÷êè À è Â, ïðèíèìàåò îäíî è òî æå çíà÷åíèå, òî ãîâîðÿò, ÷òî îí íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ â îáëàñòè G.
 ñëåäóþùèõ òåîðåìàõ ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (18) íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ.
Ò å î ð å ì à 1. Äëÿ òîãî ÷òîáû êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (18) â îáëàñòè G íå çàâèñåë îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû
∫ P( x, y)dx +Q( x, y)dy = 0,
(19)
L
ãäå L — ëþáîé çàìêíóòûé êîíòóð, ëåæàùèé â ýòîé îáëàñòè.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå
(19), ãäå L — ëþáîé çàìêíóòûé êîíòóð, ëåæàùèé â îáëàñòè G. Ñîåäèíèì ïðîèçâîëüíûå äâå òî÷êè À è Â, ïðèíàäëåæàùèå îáëàñòè G, äâóìÿ ðàçëè÷íûìè ïðîèçâîëüíî âûáðàííûìè êðèâûìè Àm è ÀïÂ, ëåæàùèìè â îáëàñòè G
(ðèñ. 163). Äóãè Àò è Àï îáðàçóþò çàìêíóòûé êîíòóð
ÀòÂïÀ. Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâî 3 êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà
(ï. 2), ïîëó÷èì:
Ðèñ. 163
∫
AmBnA
 ñèëó ôîðìóëû (19)
∫
∫
AmB
+
∫
íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ.
=
BnA
= 0.Ñëåäîâàòåëüíî,
AmBnA
316
=
∫
AmB
∫
AmB
=
− ∫.
AnB
∫ , ò. å. êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (18)
AnB
Îáðàòíî: ïóñòü â îáëàñòè G êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (18) íå çàâèñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé çàìêíóòûé êîíòóð L, ëåæàùèé â îáëàñòè G, è
âîçüìåì íà íåì äâå ïðîèçâîëüíûå òî÷êè À è  (ðèñ. 163). Òîãäà
∫
=
AmBnA
∫
AmB
+
∫
=
BnA
∫
−
AmB
∫
= 0,
AnB
ò. å. ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (19).
Ò å î ð å ì à 2. Äëÿ òîãî ÷òîáû êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (18) íå çàâèñåë îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ â îáëàñòè G, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â êàæäîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
∂P ∂Q
=
.
∂y
∂x
(20)
 ãëàâå 11 (ñì. § 11.3, ï. 2) áûëî îòìå÷åíî, ÷òî âûïîëíåíèå óñëîâèÿ
(20) ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî âûðàæåíèå P(x, y)dx + Q(x, ó)dy åñòü ïîëíûé
äèôôåðåíöèàë. Îòñþäà ñëåäóåò:
Ò å î ð å ì à 3. Äëÿ òîãî ÷òîáû êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë (18) â îáëàñòè G íå çàâèñåë îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âûðàæåíèå P(x, y)dx + Q(x, y) dy áûëî â ýòîé îáëàñòè ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì.
6. Èíòåãðèðîâàíèå ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëîâ. Ïóñòü ïîäûíòåãðàëüíîå
âûðàæåíèå â êðèâîëèíåéíîì èíòåãðàëå
∫ P( x, y)dx +Q( x, y)dy
(21)
L
ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì äèôôåðåíöèàëîì. Òîãäà (ñì. ï. 5, òåîðåìà 3) âåëè÷èíà ýòîãî èíòåãðàëà çàâèñèò ëèøü îò íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê
ëèíèè èíòåãðèðîâàíèÿ L. Ïîýòîìó èíòåãðàë (21) çàïèñûâàåòñÿ îáû÷íî â âèäå
( x1; y1 )
∫ P( x, y)dx +Q( x, y)dy.
( x0; y0 )
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ òàêîãî èíòåãðàëà âîñïîëüçóåìñÿ ïðèìå÷àíèåì, îòìå÷åííûì â ï. 3, è áóäåì èíòåãðèðîâàòü ïî ëîìàíîé Ì0Ì2Ì1, çâåíüÿ êîòîðîé ïàðàëëåëüíû îñÿì êîîðäèíàò (ðèñ. 164). Òîãäà
( x1; y1 )
x1
( x0; y0 )
x0
∫ P( x, y)dx +Q( x, y)dy = ∫ P( x, y
y1
0
)dx + ∫Q( x 1 , y )dy.
(22)
y0
Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ëîìàíûå M0M2M1, è M0M3M1, âûõîäÿò èç îáëàñòè
G (ðèñ. 165), òî ìîæíî ïðîèçâîäèòü èíòåãðèðîâàíèå, íàïðèìåð, ïî ëîìàíîé M0M4M5M1.
317
Ðèñ. 164
Ðèñ. 165
§ 12.4. Ïîâåðõíîñòíûå èíòåãðàëû
1. Îïðåäåëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà.
Ç à ä à ÷ à î ì à ñ ñ å è ç î ã í ó ò î é ï ë à ñ ò è í û. Ïóñòü íà ïîâåðõíîñòè σ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåíî âåùåñòâî ñ èçâåñòíîé ïëîòíîñòüþ ρ(M). Ïðè ýòîì ïîä ïëîòíîñòüþ âåùåñòâà â òî÷êå Ì ïîâåðõíîñòè
σ ïîíèìàåòñÿ ïðåäåë ñðåäíåé ïëîòíîñòè íà áåñêîíå÷íî ìàëîì ýëåìåíòå, ñîäåðæàùåì òî÷êó Ì. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü âñþ ìàññó ìàòåðèàëüíîé ïîâåðõíîñòè σ.
Ðàçäåëèì ïîâåðõíîñòü σ (ðèñ. 166) ïðîèçâîëüíûìè ãëàäêèìè ëèíèÿìè íà n ÷àñòåé
σ1, σ2, , σn áåç îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê ñ
ïëîùàäÿìè ∆s1, ∆s2, , ∆sn; íàèáîëüøóþ èç
ýòèõ ïëîùàäåé îáîçíà÷èì ÷åðåç λ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â êàæäîé ÷àñòè σk ïëîòíîñòü ïîÐèñ. 166
ñòîÿííà è ðàâíà ρ(Nk), ãäå Nk — îäíà èç òî÷åê σk, áåçðàçëè÷íî êàêàÿ. Òîãäà ìàññà k-ão
ýëåìåíòà áóäåò ïðèáëèæåííî ðàâíà: ∆mk ≈ ρ(Nk)∆sk. Äëÿ ìàññû âñåé ïîâåðõíîñòè ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå
n
m ≈ ∑ ρ(N k )∆s k .
k =1
Çà ìàññó ìàòåðèàëüíîé ïîâåðõíîñòè (èçîãíóòîé ïëàñòèíû) åñòåñòâåííî ïðèíÿòü ïðåäåë ïîëó÷åííîé ñóììû ïðè ñòðåìëåíèè λ ê íóëþ:
n
m = lim ∑ ρ(N k )∆s k .
λ→ 0
k =1
Ñôîðìóëèðóåì îïðåäåëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà
â îáùåì ñëó÷àå. Ïóñòü ôóíêöèÿ f(M) = f(x, ó, z) îïðåäåëåíà íà ãëàäêîé
318
èëè êóñî÷íî-ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè σ. (Ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé,
åñëè â êàæäîé åå òî÷êå ñóùåñòâóåò êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü è ïðè ïåðåõîäå
îò òî÷êè ê òî÷êå ïîëîæåíèå ýòîé êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî; ïîâåðõíîñòü, ñîñòîÿùàÿ èç êîíå÷íîãî ÷èñëà ãëàäêèõ êóñêîâ,
êîòîðûå ñîåäèíåíû íåïðåðûâíî, íàçûâàåòñÿ êóñî÷íî-ãëàäêîé.) Ðàçäåëèì, êàê è âûøå, σ íà ï ÷àñòåé. Âûáåðåì íà êàæäîé ÷àñòè÷íîé ïîâåðõíîñòè σk ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Nk è ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó
n
∑ f (N
k =1
k
)∆s k .
(1)
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ïðåäåë èíòåãðàëüíîé ñóììû (1) ïðè ñòðåìëåíèè λ ê íóëþ (åñëè îí ñóùåñòâóåò è íå çàâèñèò îò ñïîñîáà äåëåíèÿ σ íà
÷àñòè÷íûå ïîâåðõíîñòè σk è îò âûáîðà òî÷åê Nk) íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì èíòåãðàëîì ïåðâîãî ðîäà îò ôóíêöèè f(M) ïî ïîâåðõíîñòè σ è
îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
∫∫ f (M )ds
σ
èëè
∫∫ f ( x, y, z )ds.
σ
Åãî ôèçè÷åñêîå èñòîëêîâàíèå ïðè f(M) > 0: íàïðèìåð, ýòî ìàññà ìàòåðèàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåùåñòâà f(M).
Äàííîå îïðåäåëåíèå, ïî ñóòè äåëà, àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ äâîéíîãî èíòåãðàëà. Ïîýòîìó òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ äâîéíîãî èíòåãðàëà è
åãî ñâîéñòâà (§ 12.1, ïï. 2 è 3) áåç îñîáûõ èçìåíåíèé ïåðåíîñÿòñÿ íà ïîâåðõíîñòíûå èíòåãðàëû ïåðâîãî ðîäà.
 ÷àñòíîñòè, åñëè íà ïîâåðõíîñòè σ f(x, y, z) ≡ l, òî
n
∫∫ ds = lim ∑ ∆s
σ
λ→ 0
k =1
k
= S σ (Sσ — ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè σ).
2. Âû÷èñëåíèå ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî ðîäà. Ïóñòü ïîâåðõíîñòü σ çàäàíà óðàâíåíèåì z = z(x, y), ãäå ôóíêöèÿ z(x, y) âìåñòå ñ
ïðîèçâîäíûìè z ′x ( x , y ) è z ′y ( x , y ) íåïðåðûâíà â çàìêíóòîé îáëàñòè
G —ïðîåêöèè σ íà ïëîñêîñòü xOy (ðèñ. 167) è ïóñòü ôóíêöèÿ f(x, y, z)
íåïðåðûâíà íà ïîâåðõíîñòè σ è, ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðèðóåìà ïî ïîâåðõíîñòè σ.
Êàê è âûøå (ï. 1), ðàçîáüåì ïîâåðõíîñòü σ ïðîèçâîëüíî íà n ÷àñòåé
σ1, σ2, , σn, íå èìåþùèõ îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, ñ ïëîùàäÿìè ∆s1,
∆s2, , ∆sn è ñïðîåêòèðóåì ýòî ðàçáèåíèå íà ïëîñêîñòü xOy. Ïîëó÷èì
ñîîòâåòñòâåííî ðàçáèåíèå îáëàñòè G íà ÷àñòè ∆1, ∆2, , ∆n, ïëîùàäè êîòîðûõ îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆w1, ∆w2, , ∆wn.
Ïëîùàäü ∆sk êàæäîé ÷àñòè ïîâåðõíîñòè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â
âèäå (ñì. § 12.1, ï. 7):
∆s k = ∫∫ 1 + z ′x 2 ( x , y ) + z ′y 2 ( x , y )dw .
∆k
319
Ðèñ. 167
Ðèñ. 168
Ïðèìåíÿÿ çäåñü òåîðåìó î ñðåäíåì (§ 12.1, ï. 3, ñâîéñòâî 5), ïîëó÷èì:
∆s k = 1 + z ′x 2 ( ξ k , η k ) + z ′y 2 ( ξ k , η k )∆w k .
(2)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Nk òî÷êó íà k-é ÷àñòè ïîâåðõíîñòè σk ñ êîîðäèíàòàìè
(ξk; ηk; θk), ãäå θk = z(ξk, ηk). Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó:
n
∑ f (ξ
k =1
n
k
, η k , θ k )∆s k =
= ∑ f ( ξ k , η k , z (ξ k , η k )) 1 + z ′x 2 ( ξ k , η k ) + z ′y 2 ( ξ k , η k )∆w k .
k =1
Ïåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè λ → 0 (î÷åâèäíî, ïðè λ → 0 max ∆ωk → 0),
ïîëó÷èì (â ñèëó îïðåäåëåíèé äâîéíîãî è ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà) ôîðìóëó
∫∫ f ( x, y, z )ds
σ
k
= ∫∫ f ( x , y, z ( x , y )) 1 + z ′x 2 ( x , y ) + z ′y 2 ( x , y )dxdy. (3)
G
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àþòñÿ ôîðìóëû, âûðàæàþùèå ïîâåðõíîñòíûé
èíòåãðàë ïåðâîãî ðîäà ïî ïîâåðõíîñòè σ ÷åðåç äâîéíûå ïî åå ïðîåêöèÿì íà ïëîñêîñòè yOz è xOz.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
I = ∫∫ 1 + 4x 2 + 4 y 2 ds,
σ
ãäå σ — ÷àñòü ïîâåðõíîñòè ïàðàáîëîèäà âðàùåíèÿ z = 1 − x2 — y2, îòñå÷åííàÿ ïëîñêîñòüþ z = 0 (ðèñ. 168).
Ïîâåðõíîñòü σ, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì z = 1 − x2 − y2, ïðîåêòèðóåòñÿ íà ïëîñêîñòü õÎó â
2
2
îáëàñòü G, îãðàíè÷åííóþ îêðóæíîñòüþ x + y = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòüþ G ÿâëÿåòñÿ
2
2
êðóã x + y ≤ l. Â íåì ôóíêöèè
z = 1 − x 2 − y 2 , zx′ (x , y) = −2 x , z′y (x , y) = −2 y
320
íåïðåðûâíû. Ïî ôîðìóëå (3) ïîëó÷àåì:
I = ∫∫ 1 + 4x 2 + 4 y 2 1 + 4x 2 + 4 y 2 dxdy = ∫∫ (1 + 4x 2 + 4 y 2 )dxdy.
G
G
Ïåðåõîäÿ â ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ê ïîëÿðíûì êîîðäèíàòàì, íàõîäèì:
2π
1
0
0
I = ∫ dϕ∫ (1 + 4r 2 )rdr = 3π.
3. Îïðåäåëåíèå ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî ðîäà. Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà, íåîáõîäèìî
ñíà÷àëà ââåñòè ïîíÿòèå ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè.
Âîçüìåì íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè σ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Ì, ïðîâåäåì ÷åðåç íåå íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè (âåêòîð n ). Ïðîâåäåì òåïåðü
íà ïîâåðõíîñòè σ ÷åðåç òî÷êó Ì êàêîé-íèáóäü çàìêíóòûé êîíòóð, íå
èìåþùèé îáùèõ òî÷åê ñ ãðàíèöåé ïîâåðõíîñòè σ, è íà÷íåì ïåðåìåùàòü òî÷êó Ì ïî çàìêíóòîìó êîíòóðó òàê, ÷òîáû âåêòîð n âñå âðåìÿ
îñòàâàëñÿ íîðìàëüíûì ê σ è ÷òîáû åãî íàïðàâëåíèå ìåíÿëîñü ïðè
ýòîì íåïðåðûâíî (ðèñ. 169).  ïðåæíåå ïîëîæåíèå òî÷êà Ì âåðíåòñÿ
ëèáî ñ òåì æå íàïðàâëåíèåì íîðìàëè, ëèáî ñ ïðÿìî ïðîòèâîïîëîæíûì.
Åñëè îáõîä ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó, ëåæàùåìó íà ïîâåðõíîñòè σ è íå ïåðåñåêàþùåìó åå ãðàíèöû, ïðè âîçâðàùåíèè â èñõîäíóþ
òî÷êó íå ìåíÿåò íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè, òî ïîâåðõíîñòü
íàçûâàåòñÿ äâóñòîðîííåé (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — îäíîñòîðîííåé). Ïðèìåðàìè äâóñòîðîííèõ ïîâåðõíîñòåé ìîãóò ñëóæèòü ïëîñêîñòü, ñôåðà
è ò. ä.
Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ëèøü äâóñòîðîííèå ïîâåðõíîñòè.
Äëÿ äâóñòîðîííåé ïîâåðõíîñòè ñîâîêóïíîñòü âñåõ åå òî÷åê ñ âûáðàííûì â íèõ íàïðàâëåíèåì íîðìàëè, èçìåíÿþùèìñÿ íåïðåðûâíî
ïðè ïåðåõîäå îò òî÷êè ê òî÷êå, íàçûâàåòñÿ ñòîðîíîé ïîâåðõíîñòè, à
Ðèñ. 169
Ðèñ. 170
321
âûáîð îïðåäåëåííîé åå ñòîðîíû — îðèåíòàöèåé ïîâåðõíîñòè. Äâóñòîðîííþþ ïîâåðõíîñòü íàçûâàþò òàêæå îðèåíòèðóåìîé, à îäíîñòîðîííþþ — íåîðèåíòèðóåìîé.
Ñ ïîíÿòèåì ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè òåñíî ñâÿçàíî ïîíÿòèå îðèåíòàöèè åå ãðàíèöû.
Ïóñòü σ — îðèåíòèðîâàííàÿ (ñòîðîíà óæå âûáðàíà) ïîâåðõíîñòü,
îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì L, íå èìåþùèì òî÷åê ñàìîïåðåñå÷åíèÿ. Áóäåì
ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà L (ñîãëàñîâàííûì
ñ îðèåíòàöèåé σ) òî, ïðè äâèæåíèè ïî êîòîðîìó ñàìà ïîâåðõíîñòü îñòàåòñÿ ñëåâà ïî îòíîøåíèþ ê òî÷êå, ñîâåðøàþùåé îáõîä (ðèñ. 170).
Ïðîòèâîïîëîæíîå íàïðàâëåíèå áóäåì ñ÷èòàòü îòðèöàòåëüíûì. Åñëè
èçìåíèòü îðèåíòàöèþ ïîâåðõíîñòè, òî ïîëîæèòåëüíîå è îòðèöàòåëüíîå íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êîíòóðà L ïîìåíÿþòñÿ ðîëÿìè.
Ç à ä à ÷ à î ï î ò î ê å æ è ä ê î ñ ò è. Ïóñòü ïðîñòðàíñòâî çàïîëíåíî äâèæóùåéñÿ æèäêîñòüþ, ñêîðîñòü êîòîðîé â êàæäîé òî÷êå
M(x; y; z) çàäàíà âåêòîðîì
L(M ) = P( x , y, z )i + Q( x , y, z ) j + R( x , y, z )k ,
ãäå P, Q, R — ïðîåêöèè ñêîðîñòè íà êîîðäèíàòíûå îñè. ( § 9.11 ðàññìàòðèâàëàñü âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ îäíîãî ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà.)
Ïóñòü P, Q, R — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè êîîðäèíàò. Âû÷èñëèì êîëè÷åñòâî æèäêîñòè Ï, ïðîòåêàþùåé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç íåêîòîðóþ îðèåíòèðîâàííóþ ïîâåðõíîñòü σ (â ïîòîêå æèäêîñòè σ íàäî ìûñëèòü êàê âîîáðàæàåìóþ ïîâåðõíîñòü, íå ïðåïÿòñòâóþùóþ òå÷åíèþ),
îãðàíè÷åííóþ ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé L, ñ÷èòàÿ ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ = 1.
Ïóñòü n = n (M ) = i cos α + j cos β + k cos γ — åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè σ â òåêóùåé òî÷êå M, è ïóñòü åãî íàïðàâëÿþùèå
êîñèíóñû ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò õ, ó, z òî÷åê
äàííîé ïîâåðõíîñòè.
Ðàçîáüåì ïîâåðõíîñòü σ ïðîèçâîëüíî íà ï ÷àñòåé, íå èìåþùèõ îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, ñ ïëîùàäÿìè
∆s1, ∆s2, , ∆sn è â êàæäîé èç íèõ âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Mk(ζ; ηk, θk).
Ïîäñ÷èòàåì êîëè÷åñòâî ∆Ïk æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç k-þ ÷àñòü ïîâåðõíîñòè
(ðèñ. 171).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕk óãîë ìåæäó
âåêòîðàìè n k = n (M k ) è L k = L (M k ).
Ðèñ. 171
Ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
322
ïðè äîñòàòî÷íî ìåëêîì ðàçáèåíèè ïîâåðõíîñòè σ ñêîðîñòü L âî âñåõ
òî÷êàõ k-é ÷àñòè ïîñòîÿííà è ðàâíà L(M k ), à ÷àñòè÷íûå ïîâåðõíîñòè
ïëîñêèå. Òîãäà êîëè÷åñòâî ∆Ïk æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé ÷åðåç k-þ
÷àñòü çà åäèíèöó âðåìåíè â íàïðàâëåíèè íîðìàëè n k , ïðèáëèæåííî
ðàâíî îáúåìó öèëèíäðà ñ îñíîâàíèåì ∆sk è âûñîòîé hk, ðàâíîé ïðîåêöèè âåêòîðà íà íîðìàëü n k , ò. å. ∆Ïk ≈ ∆sk·hk. À òàê êàê
h k = L k cos ϕ k = L k n k cos ϕ k = (L k , n k ),
òî
∆Π k ≈ (L k , n k )∆s k .
Äëÿ êîëè÷åñòâà æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé ÷åðåç ïîâåðõíîñòü σ çà
åäèíèöó âðåìåíè, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå
n
n
k =1
k =1
Π = ∑ ∆Π k ≈ Π n , ãäå Π n = ∑ (L k , n k )∆s k
èëè
n
Π n = ∑ (P(M k )cos α k + Q(M k )cos β k + R(M k )cos γ k )∆s k .
(4)
k =1
Òî÷íîå çíà÷åíèå ýòîãî êîëè÷åñòâà ïîëó÷àåì ïðè ïåðåõîäå ê ïðåäåëó â
(4) ïðè λ → 0, ãäå λ — íàèáîëüøèé èç äèàìåòðîâ ÷àñòåé ïîâåðõíîñòè σ:
n
Π = lim ∑ (P(M k )cos α k + Q(M k )cos β k + R(M k )cos γ k )∆s k .
λ→ 0
(5)
k =1
Ïðåîáðàçóåì ñóììó (4). Ïóñòü (∆wk)yk — ïëîùàäü ïðîåêöèè k-é ÷àñòè
ïîâåðõíîñòè íà ïëîñêîñòü yOz, âçÿòàÿ ñî çíàêîì «ïëþñ» èëè «ìèíóñ» â
çàâèñèìîñòè îò òîãî, îáðàçóåò íîðìàëü n k ñ îñüþ Ox îñòðûé èëè òóïîé
óãîë. Èìååì (ñì. § 12.1, ï. 8):
Àíàëîãè÷íî
(∆wk)yz = ∆sk cos αk.
(6)
(∆wk)xz = ∆sk cos βk,
(∆wk)xy = ∆sk cos γk.
(7)
(8)
Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (6), (7), (8) ñóììà (4) è ïðåäåë (5) ïðèíèìàþò ñîîòâåòñòâåííî âèä:
n
Π n = ∑ (P(M k )( ∆w k ) yz + Q(M k )( ∆w k ) xz + R(M k )( ∆w k ) xy ),
(9)
k =1
n
Π = lim ∑ (P(M k )( ∆w k ) yz + Q(M k )( ∆w k ) xz + R(M k )( ∆w k ) xy ). (10)
λ→ 0
k =1
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Îòìåòèì, ÷òî ïðåäåëû â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâ (5) è (10) ðàâíû
(ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòè ïðåäåëû ñóùåñòâóþò), òàê êàê ôîðìóëû (4) è (9) âûðàæàþò îäíó
è òó æå ñóììó, íî çàïèñàííóþ â ðàçíûõ ôîðìàõ.
323
Ïåðåéäåì òåïåðü ê îïðåäåëåíèþ ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî
ðîäà.
Ïóñòü σ — íåêîòîðàÿ îðèåíòèðóåìàÿ ïîâåðõíîñòü, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì z = f(x, y), è ïóñòü R(x, ó, z) — ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè σ. Âûáåðåì îäíó èç äâóõ ñòîðîí ïîâåðõíîñòè, ò. å. âûáåðåì
îäíî èç äâóõ âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé âåêòîðîâ íîðìàëè â òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè (òåì ñàìûì ìû îðèåíòèðîâàëè ïîâåðõíîñòü). Åñëè âåêòîðû
íîðìàëåé ñîñòàâëÿþò îñòðûå óãëû ñ îñüþ Oz, òî áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî
âûáðàíà âåðõíÿÿ ñòîðîíà ïîâåðõíîñòè z = f(x, y), åñëè òóïûå óãëû, òî
íèæíÿÿ ñòîðîíà ïîâåðõíîñòè. Ðàçîáüåì ïîâåðõíîñòü σ ïðîèçâîëüíî íà
ï ÷àñòåé, íå èìåþööèõ îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆k
ïðîåêöèþ k-é ÷àñòè ïîâåðõíîñòè íà ïëîñêîñòü xOy. Âûáðàâ íà êàæäîé
÷àñòè÷íîé ïîâåðõíîñòè σk ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó Nk(ζk, ηk, θk), ñîñòàâèì
ñóììó
n
∑ R(ζ
k =1
k
, η k , θ k )∆w k ,
(11)
ãäå ∆wk — ïëîùàäü ∆k, âçÿòàÿ ñî çíàêîì «ïëþñ», åñëè âûáðàíà âåðõíÿÿ
ñòîðîíà ïîâåðõíîñòè σ, è ñî çíàêîì «ìèíóñ», åñëè âûáðàëà íèæíÿÿ
ñòîðîíà ïîâåðõíîñòè σ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç λ íàèáîëüøèé èç äèàìåòðîâ
÷àñòåé ïîâåðõíîñòè σ è äàäèì ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ïðåäåë èíòåãðàëüíîé ñóììû (11) ïðè λ → 0
(åñëè îí ñóùåñòâóåò è íå çàâèñèò îò ñïîñîáà äåëåíèÿ σ íà ÷àñòè÷íûå
ïîâåðõíîñòè σk è âûáîðà òî÷åê Nk) íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà îò ôóíêöèè R(x, ó, z) ïî âûáðàííîé ñòîðîíå ïîâåðõíîñòè σ è îáîçíà÷àåòñÿ îäíèì èç ñèìâîëîâ
∫∫ R(M )dxdy èëè ∫∫ R( x, y, z )dxdy.
σ
σ
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà:


∫∫σ P( x, y, z )dydz  ∫∫σ Q( x, y, z )dzdx  .
Ñóììó
∫∫ P( x, y, z )dydz + ∫∫Q( x, y, z )dzdx + ∫∫ R( x, y, z )dxdy
σ
σ
σ
ïðèíÿòî íàçûâàòü îáùèì ïîâåðõíîñòíûì èíòåãðàëîì âòîðîãî ðîäà è
îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì
∫∫ P( x, y, z )dydz +Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy.
σ
324
(12)
Ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà îáëàäàåò âñåìè ñâîéñòâàìè ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà ïåðâîãî ðîäà, çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî: ïðè èçìåíåíèè ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè (ïåðåîðèåíòàöèè) èíòåãðàë ìåíÿåò çíàê.
Èç ðàññìîòðåííîé âûøå çàäà÷è î ïîòîêå æèäêîñòè ñëåäóåò
(ñì. (10)), ÷òî â ýòîé çàäà÷å ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë (12) ìîæåò áûòü
èñòîëêîâàí ôèçè÷åñêè êàê êîëè÷åñòâî æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåå çà åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç óêàçàííóþ â ýòîé çàäà÷å ïîâåðõíîñòü σ.
4. Âû÷èñëåíèå ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäà. Ïóñòü îðèåíòèðîâàííàÿ (âûáåðåì âåðõíþþ ñòîðîíó) ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü σ çàäàíà
óðàâíåíèåì z = f(x, y), ãäå f(x, y) — ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ â çàìêíóòîé
îáëàñòè G — ïðîåêöèè ïîâåðõíîñòè σ íà ïëîñêîñòü xOy, a R (x, y, z) —
íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ïîâåðõíîñòè σ.
Ðàçîáüåì ïðîèçâîëüíî ïîâåðõíîñòü σ íà ï ÷àñòåé, íå èìåþùèõ îáùèõ âíóòðåííèõ òî÷åê, è ñïðîåêòèðóåì ýòî ðàçáèåíèå íà ïëîñêîñòü xOy
(ðèñ. 172).
n
Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ ñóììó ∑ R(ζ k , η k , θ k )∆w k , ãäå ∆wk — ïëîk =1
ùàäü ∆k.
Òàê êàê θk = f(ζk, ηk), òî
n
∑ R(ζ
k =1
n
k
, η k , θ k )∆w k = ∑ R(ζ k , η k , f (ζ k , η k ))∆w k .
(13)
k =1
 ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (13) ñòîèò èíòåãðàëüíàÿ ñóììà äëÿ äâîéíîãî
èíòåãðàëà îò íåïðåðûâíîé â îáëàñòè G ôóíêöèè R(õ, ó, f(x, y)). Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â (13) ïðè λ → 0, ïîëó÷àåì:
∫∫ R( x, y, z )dxdy = ∫∫ R( x, y,
σ
f ( x , y ))dxdy.
(14)
σ
Åñëè âûáðàòü íèæíþþ ñòîðîíó ïîâåðõíîñòè, òî ïåðåä èíòåãðàëîì â
ïðàâîé ÷àñòè (14) ïîÿâèòñÿ çíàê «ìèíóñ».
Ðèñ. 172
325
Ðèñ. 173
Ðèñ. 174
Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿþòñÿ èíòåãðàëû
∫∫ P( x, y, z )dydz , ∫∫Q( x, y, z )dzdx .
σ
σ
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà îáùåãî âèäà (12) èñïîëüçóþòñÿ ôîðìóëû óêàçàííûõ òðåõ èíòåãðàëîâ, åñëè ïîâåðõíîñòü σ îäíîçíà÷íî ïðîåêòèðóåòñÿ íà âñå òðè êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè.
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
∫∫ ( y
2
+ z 2 )dxdy,
σ
ãäå σ — âåðõíÿÿ ñòîðîíà ïîâåðõíîñòè z = 1 − x 2 îòñå÷åííàÿ ïëîñêîñòÿìè y = 0, y = 1
(ðèñ. 173).
Ïðîåêöèåé äàííîé ïîâåðõíîñòè íà ïëîñêîñòü xOy ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê G: −1 ≤ x ≤ 1,
0 ≤ y ≤ 1. Ïî ôîðìóëå (14) íàõîäèì:
∫∫ ( y
σ
2
1
1
−1
0
+ z 2 )dxdy = ∫∫ ( y 2 + ( 1 − x 2 )2 )dxdy = ∫ dx ∫ ( y 2 + 1 − x 2 )dy = 2.
G
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy,
σ
ãäå σ — âåðõíÿÿ ñòîðîíà ÷àñòè ïëîñêîñòè x + z − 1 = 0, îòñå÷åííîé ïëîñêîñòÿìè y = 0, y = 4 è
ëåæàùåé â ïåðâîì îêòàíòå (ðèñ. 174).
Òàê êàê ïëîñêîñòü σ ïàðàëëåëüíà îñè Îó, òî ∫∫ ydzdx = 0. Ïîýòîìó
σ
∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy = ∫∫ (1 − z)dydz + ∫∫ (1 − x )dxdy =
σ
G
1
4
1
4
1
0
0
0
0
G
2
= ∫ dy∫ (1 − z)dz + ∫ dy∫ (1 − x )dx = 2 + 2 = 4.
326
5. Ñâÿçü ìåæäó ïîâåðõíîñòíûìè èíòåãðàëàìè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.
Èç ïðèìå÷àíèÿ, îòìå÷åííîãî â ï. 3, è îïðåäåëåíèé ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà ñëåäóåò, ÷òî
∫∫[P( x, y, z )cos α +Q( x, y, z )cos β + R( x, y, z )cos γ ]ds =
σ
= ∫∫ P( x , y, z )dydz + Q( x , y, z )dzdx + R( x , y, z )dxdy.
(15)
σ
Ãëàâà 13. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
§ 13.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ
Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ õ, èñêîìóþ ôóíêöèþ y = f(x) è åå ïðîèçâîäíûå. Åñëè èñêîìàÿ ôóíêöèÿ åñòü ôóíêöèÿ îäíîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ îáûêíîâåííûì.
 ýòîé ãëàâå ìû áóäåì çàíèìàòüñÿ òîëüêî îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Ïîðÿäîê ñòàðøåé ïðîèçâîäíîé, âõîäÿùåé â
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì äàííîãî óðàâíåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùèé âèä äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ï-ãî
ïîðÿäêà ñëåäóþùèé:
F(x, ó, ó ′, ..., y(n)) = 0,
(1)
ïðè÷åì â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ â ýòî óðàâíåíèå ìîãóò è íå âõîäèòü õ, ó è
îòäåëüíûå ïðîèçâîäíûå ïîðÿäêà íèæå, ÷åì ï. Íàïðèìåð, óðàâíåy
íèÿ y ′− = x , y" + y ′ = 1 èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ïåðâûé è âòîðîé ïîx
ðÿäîê.
Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ y = f(x), êîòîðàÿ, áóäó÷è ïîäñòàâëåíà â óðàâíåíèå (1), îáðàùàåò åãî â òîæäåñòâî, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ.
§ 13.2. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà
1. Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà, åãî ãåîìåòðè÷åñêîå
èñòîëêîâàíèå, îáùåå ðåøåíèå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà èìååò îáùèé âèä
F(x, ó, ó') = 0
327
èëè (åñëè ýòî óðàâíåíèå ìîæíî ðàçðåøèòü îòíîñèòåëüíî ó ′) âèä
y ′ = f(x, y).
(1)
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü â óðàâíåíèè (1) ïåðåìåííûå õ è ó êàê ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè íà ïëîñêîñòè õÎó. Ïóñòü ó = ϕ(õ) — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1); òîãäà êðèâàÿ, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì ó = ϕ(õ), íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé êðèâîé äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1).
Ðàññìîòðèì êàñàòåëüíóþ ê èíòåãðàëüíîé êðèâîé â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå Ì(õ; ó). Ñîãëàñíî ãåîìåòðè÷åñêîìó ñìûñëó ïðîèçâîäíîé â ýòîé òî÷êå èìååì:
dy
= tgα,
dx
ãäå α — óãîë íàêëîíà ýòîé êàñàòåëüíîé ê îñè Îõ. Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà è èç (1) ïîëó÷àåì:
tg α = f(x, ó),
ãäå õ, ó — êîîðäèíàòû òî÷êè Ì. Òàêèì îáðàçîì, óãëîâîé êîýôôèöèåíò
êàñàòåëüíîé ê èíòåãðàëüíîé êðèâîé â êàæäîé åå òî÷êå ðàâåí çíà÷åíèþ
â ýòîé òî÷êå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1). Èòàê, óðàâíåíèå (1) îïðåäåëÿåò â êàæäîé òî÷êå èíòåãðàëüíîé êðèâîé íàïðàâëåíèå êàñàòåëüíîé ê
ýòîé êðèâîé.
Êàæäîé òî÷êå Ì(õ; ó) òîé îáëàñòè, ãäå îïðåäåëåíà ôóíêöèÿ f(õ, ó)
(ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (1)), ñîïîñòàâèì îòðåçîê ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k = f(x, ó), ãäå (õ; ó) — êîîðäèíàòû òî÷êè Ì. Ìû ïîëó÷àåì ñîâîêóïíîñòü íàïðàâëåíèé, èëè, êàê ãîâîðÿò, ïîëå íàïðàâëåíèé äàííîãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèþ (1) ñîîòâåòñòâóåò åãî ïîëå íàïðàâëåíèé.
 ýòîì ñîñòîèò ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
ïåðâîãî ïîðÿäêà (1). Ïðîâåäÿ óêàçàííûå âûøå îòðåçêè äëÿ äîñòàòî÷íî
áîëüøîãî ÷èñëà òî÷åê îáëàñòè, ïîëó÷èì íàãëÿäíîå èçîáðàæåíèå ïîëÿ
íàïðàâëåíèé. Òàê êàê êàñàòåëüíàÿ â òî÷êå èíòåãðàëüíîé êðèâîé èìååò
òî æå íàïðàâëåíèå, ÷òî è îòðåçîê â ýòîé òî÷êå, òî çàäà÷ó ðåøåíèÿ (èíòåãðèðîâàíèÿ) óðàâíåíèÿ (1) ãåîìåòðè÷åñêè ìîæíî èñòîëêîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: íàéòè òàêóþ êðèâóþ, ÷òîáû åå êàñàòåëüíàÿ â êàæäîé
òî÷êå èìåëà íàïðàâëåíèå, ñîâïàäàþùåå ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿ â ýòîé
òî÷êå.
Ïðèâåäåííûå ðàññóæäåíèÿ õîðîøî èëëþñòðèðîâàòü íà èçâåñòíîì
îïûòå ñ æåëåçíûìè îïèëêàìè, ïîìåùåííûìè â ìàãíèòíîå ïîëå. Ñàìè
îïèëêè îáðàçóþò ïîëå íàïðàâëåíèé, à èíòåãðàëüíîé êðèâîé ñëóæèò
îäíà èç ìàãíèòíûõ ñèëîâûõ ëèíèé.
328
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), ñîäåðæàùåå ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ C,
ò. å. èìåþùåå âèä
ó = ϕ(x, Ñ),
(2)
íàçûâàåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ. Èíîãäà, âïðî÷åì, ýòî ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ â íåÿâíîé ôîðìå Ô(õ, ó, Ñ) = 0 èëè Ψ(õ, ó) = Ñ.  ýòîì
ñëó÷àå ñîîòíîøåíèå Ô(õ, ó, Ñ) = 0 èëè Ψ(õ, ó) = Ñ íàçûâàåòñÿ îáùèì èíòåãðàëîì óðàâíåíèÿ (1).
Ðåøèòü, èëè ïðîèíòåãðèðîâàòü, äàííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå — çíà÷èò íàéòè åãî îáùåå ðåøåíèå â òîé èëè èíîé ôîðìå.
Ðåøåíèå, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ èç îáùåãî ðåøåíèÿ ïðè íåêîòîðîì
ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé Ñ, íàçûâàåòñÿ
÷àñòíûì ðåøåíèåì.
Äëÿ óðàâíåíèÿ (1) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, íàçûâàåìàÿ
òåîðåìîé î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1).
Ò å î ð å ì à. Åñëè â óðàâíåíèè (1) ôóíêöèÿ f(õ, ó) è åå ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ f y′(x, ó) íåïðåðûâíû â íåêîòîðîé îáëàñòè D íà ïëîñêîñòè õÎó,
ñîäåðæàùåé íåêîòîðóþ òî÷êó (õ0; y0), òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå
ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ y = ϕ(x), óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ: ïðè õ = õ0,
ó = y0.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòîé òåîðåìû ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò, è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ, ôóíêöèÿ ó = ϕ(õ), ãðàôèê êîòîðîé
ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (õ0; ó0). (Äîêàçàòåëüñòâî åå âûõîäèò çà ðàìêè
íàñòîÿùåé êíèãè; ÷èòàòåëü ìîæåò íàéòè åãî, íàïðèìåð, â êíèãå [12].)
Óñëîâèå, ÷òî ïðè õ = õ0 ôóíêöèÿ ó äîëæíà ðàâíÿòüñÿ çàäàííîìó ÷èñëó ó0, íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíûì óñëîâèåì. Íà÷àëüíîå óñëîâèå äàåò âîçìîæíîñòü âûäåëèòü èç îáùåãî ðåøåíèÿ (2) ÷àñòíîå ðåøåíèå.
2. Óðàâíåíèÿ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Çàïèøåì óðàâíåíèå
(1) â âèäå
dy
= f ( x , y ), èëè dy = f(x, ó)dx.
dx
Òàêîìó óðàâíåíèþ ìîæíî ïðèäàòü ñëåäóþùóþ ôîðìó:
Ì(õ, y)dx + N(x, y)dy = 0.
(3)
Ôîðìà (3) óäîáíà òåì, ÷òî çäåñü ïåðåìåííûå õ è ó ðàâíîïðàâíû, ò. å.
êàæäóþ èç íèõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ äðóãîé. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè Ì(õ, ó) è N(õ, ó) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ïðîèçâåäåíèÿìè
Ì(õ, y) = M1(x)M2(y), N(x, y) = N1(x)N2(y),
329
â êîòîðûõ ñîìíîæèòåëè çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé ïåðåìåííîé. Òîãäà
óðàâíåíèå (3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
M1(õ)Ì2(ó)dx + N1(x)N2(ó)dy = 0,
(4)
îòêóäà, äåëÿ ïî÷ëåííî íà ïðîèçâåäåíèå Ì2(ó)N1(õ) (ïðåäïîëàãàåì, ÷òî
îíî íå ðàâíî íóëþ), èìååì:
M 1(x )
N 2 ( y)
(5)
dy = 0.
N 1(x )
M 2 ( y)
Çàìåòèì, ÷òî â óðàâíåíèè (5) ìíîæèòåëü ïåðåä dx — ôóíêöèÿ òîëüêî îäíîé ïåðåìåííîé õ, à ìíîæèòåëü ïåðåä dy — ôóíêöèÿ òîëüêî îäíîé
ïåðåìåííîé ó.
Óðàâíåíèå (5) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè, à
óðàâíåíèå (4) — óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Èòàê, óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè (4) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ
ðàçäåëåííûìè ïåðåìåííûìè ïóòåì äåëåíèÿ îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ
(4) íà ïðîèçâåäåíèå M2(y)N1(x). Ýòà îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ ðàçäåëåíèåì
ïåðåìåííûõ.
Ïîêàæåì, ÷òî ñîîòíîøåíèå
dx +
F(x, y) = C,
ãäå
M 1(x )
(6)
N 2 ( y)
dy,
N 1(x )
M 2 ( y)
åñòü îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (5) è óðàâíåíèÿ (4). Äåéñòâèòåëüíî,
ïóñòü ó = ϕ(õ, Ñ) (èëè, êðàòêî, ó = ϕ) — ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿåìàÿ óðàâíåíèåì (6). Òîãäà èìååì òîæäåñòâî
F ( x, y) = ∫
dx + ∫
F(x, ϕ) ≡ Ñ.
Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî òîæäåñòâî ïî õ, ïîëó÷èì òîæäåñòâî
F x′( x , ϕ) + F y′ ( x , ϕ)ϕ′ ≡ 0, èëè
M 1(x )
N 1(x )
dx +
N 2 ( y)
dy ≡ 0.
M 2 ( y)
Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ó = ó(õ, Ñ) îêàçûâàåòñÿ îáùèì (ïîñêîëüêó çàâèñèò îò Ñ) ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (5), à ñëåäîâàòåëüíî, è óðàâíåíèÿ (4).
Çíà÷èò, ñîîòíîøåíèå (6) èëè ñîîòíîøåíèå
M 1(x )
N 2 ( y)
dy = C
M 2 ( y)
1(x )
åñòü îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (5) è óðàâíåíèÿ (4).
∫N
dx + ∫
Ï ð è ì å ÷ à í è å.  îáùåì ñëó÷àå, äåëÿ íà ïðîèçâåäåíèå Ì2(ó)N1(õ), ìû ðèñêóåì
ïîòåðÿòü òå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4), êîòîðûå îáðàùàþò ýòî ïðîèçâåäåíèå â íóëü. Íåïî-
330
Ðèñ. 175
Ðèñ. 176
ñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ ó = b, ãäå b — êîðåíü óðàâíåíèÿ M2(y) = 0, åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4). Àíàëîãè÷íî ôóíêöèÿ õ = à, ãäå à — êîðåíü
óðàâíåíèÿ N1(x) = 0, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (4).
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå xdx + ydy = 0.
x 2 y2
Èíòåãðèðóÿ, íàõîäèì
+
= C1 . Òàê êàê ëåâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íåîòðè2
2
2
öàòåëüíà, òî è ïðàâàÿ ÷àñòü òîæå íåîòðèöàòåëüíà. Îáîçíà÷èâ 2Ñ1 ÷åðåç Ñ , áóäåì èìåòü
2
2
2
x + y = C . Ýòî óðàâíåíèå ñåìåéñòâà êîíöåíòðè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé (ðèñ. 175) ñ öåíòðîì
â íà÷àëå êîîðäèíàò è ðàäèóñîì Ñ.
dy dx
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå xdy = ydx. Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì
= .
y
x
Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå óðàâíåíèå, áóäåì èìåòü:
ln y = ln x + ln Ñ.
(7)
Còpoão ãîâîðÿ, ìû äîëæíû ïèñàòü ln | y| = ln | x| + ln Ñ , ãäå Ñ > 0. Îäíàêî äîïóùåííàÿ â
(7) âîëüíîñòü íå îòðàçèòñÿ íà îêîí÷àòåëüíîì ðåçóëüòàòå, åñëè ïîñëå ïîòåíöèðîâàíèÿ
ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ Ñ ñ÷èòàòü äåéñòâèòåëüíûì ÷èñëîì. Ýòî ñëåäóåò èìåòü â âèäó
è äëÿ äàëüíåéøåãî.
 ðàâåíñòâå (7) ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ âçÿòà â ëîãàðèôìè÷åñêîé ôîðìå, ÷òî çàêîííî, òàê êàê âñÿêîå ïîëîæèòåëüíîå èëè îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî Ñ1 ìîæåò áûòü ïðåäñòàâC
ëåíî êàê ëîãàðèôì äðóãîãî ÷èñëà Ñ1 = ln Ñ , ãäåC = e 1 .
Ïîòåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (7), ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå äàííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: y = Ñx. Ýòî ñåìåéñòâî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò (ðèñ. 176).
3. Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ. Ôóíêöèÿ f(õ, ó) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé èçìåðåíèÿ m, åñëè èìååò ìåñòî òîæäåñòâî
m
f(tx, ty) = t f(x, ó).
331
Ï ð è ì å ð 1. Ôóíêöèÿ f(õ, ó) = õ2 + 2y2 − xy ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ôóíêöèåé èçìåðåíèÿ 2, òàê êàê
2
2
2
2
2
(tx) + 2(ty) − (txty) = t (x + 2y − xy).
Ñ ïîíÿòèåì îäíîðîäíîé ôóíêöèè ñâÿçàíî ïîíÿòèå îäíîðîäíîãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
Óðàâíåíèå
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
(8)
íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà,
åñëè ôóíêöèè Ì(õ, ó) è N(õ, ó) ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíûìè ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå èçìåðåíèÿ.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñ ïîìîùüþ ïîäñòàíîâêè ó = èõ, ãäå è — íîâàÿ
èñêîìàÿ ôóíêöèÿ îò õ, îäíîðîäíîå óðàâíåíèå (8) ëåãêî ïðèâîäèòñÿ ê
óðàâíåíèþ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. Çàìåòèì, ÷òî dy = udx +
+ xdu.
Èíîãäà öåëåñîîáðàçíî âìåñòî ïîäñòàíîâêè ó = èõ èñïîëüçîâàòü ïîäñòàíîâêó õ = èó.
2
2
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå (ó − 3x )dx + 2xydy = 0, åñëè ó = 0 ïðè õ = 0. Ïðèìåíÿÿ
2 2
2
2
2
ïîäñòàíîâêó ó = èõ, èìååì (è õ − 3õ )dx + 2x u(udx + xdu) = 0, îòêóäà 3(u − 1)dx + 2xudu = 0.
Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì:
3dx 2udu
+ 2
= 0, 3 ln x + ln(u 2 − 1) = lnC ,
x
u −1
 y2

y
÷òî ïîñëå ïîòåíöèðîâàíèÿ äàåò õ3(è2 − 1) = Ñ. Òàê êàê u = , òî x 3  2 − 1 = C è îáùèé èíx
x

2
2
òåãðàë õ(ó − õ ) = Ñ. Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíîå óñëîâèå, èìååì: Ñ = 0. Ïîýòîìó èñêîìûìè ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ ó = ±õ.
4. Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Óðàâíåíèå
y ′ + py = q,
(9)
ãäå ð = ð(õ) è q = q(x) — çàäàííûå íåïðåðûâíûå â èíòåðâàëå (à; b)
ôóíêöèè, íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî
ïîðÿäêà. Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9) ïðèìåíèì ïîäñòàíîâêó y = uL,
ïðè÷åì ôóíêöèþ è = è(õ) áóäåì ñ÷èòàòü íîâîé íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé, à ôóíêöèþ L = L(õ) ìû âûáèðàåì ïðîèçâîëüíî. Ýòà ïîäñòàíîâêà
du  dL

äàåò è'L + uL' + puL = q èëè L
+
+ pL u = q . Èñïîëüçóÿ ïðîèçâîëü

dx
dx
dL
íûé âûáîð ôóíêöèè L, ïîä÷èíèì åå óñëîâèþ
+ pL = 0.
dx
332
Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì:
dL
= − pdx , lnL = − ∫ pdx,
L
îòêóäà:
− pdx
L =e ∫ .
Ïîýòîìó èìååì óðàâíåíèå
Ðåøàÿ åãî, ïîëó÷àåì:
− pdx du
= q.
e ∫
dx
u = ∫ qe ∫
pdx
dx + C .
Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííîé ó, íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9):
− pdx 
pdx

y =e ∫
qe ∫ dx + C .

 ∫
(10)
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Åñëè â óðàâíåíèè (9) q(x) ≡ 0, òî îíî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — ëèíåéíûì íåîäíîðîäíûì óðàâíåíèåì ïåðâîãî ïîðÿäêà. Ñëåäîâàòåëüíî, ëèíåéíîå îäíîðîäíîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà
èìååò âèä:
y' + py = 0.
(11)
Èç ôîðìóëû (10) ñëåäóåò ôîðìóëà îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (11):
− pdx
y = Ce ∫ .
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå y′−
y
= x.
x
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (10) èìååì:
y =e
dx
dx

−∫
∫ x 
C + ∫ xe x dx  = e ln x C + ∫ xe − ln x dx = x C + ∫ dx = (Cx + x 2 ).


(
) (
)
§ 13.3. Óðàâíåíèÿ âûñøèõ ïîðÿäêîâ
1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Îáùèé âèä äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
n-ãî ïîðÿäêà åñòü
F(x, ó, ó', ..., y(n)) = 0.
(1)
(n)
Çäåñü F(õ, ó, ó', ..., y ) ìîæåò íå çàâèñåòü îò íåêîòîðûõ èç âåëè÷èí õ, ó,
ó', ... . Îäíàêî åñëè (1) åñòü óðàâíåíèå èìåííî ï-ãî ïîðÿäêà, òî îò ó(n)
ôóíêöèÿ F îáÿçàòåëüíî çàâèñèò. Íàèáîëåå ïðîñòûì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (1) îêàçûâàåòñÿ òîãäà, êîãäà îíî èìååò âèä:
ó(n) = f(x),
(2)
ãäå f(õ) — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ.
333
Ïðèìåðîì òàêîãî ïðîñòåéøåãî óðàâíåíèÿ ñëóæèò õîòÿ áû äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
1
(3)
y ′′ = − 2 .
x
Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ ñðàçó âèäíî, ÷òî
y′ = − ∫
1
dx
+C 1 = +C 1 ,
2
x
x
(4)
ãäå Ñ1 — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.  ñâîþ î÷åðåäü èç óðàâíåíèÿ (4)
ñëåäóåò, ÷òî

1
y = ∫  + C 1  dx + C 2 = ln x + C 1 x + C 2 ,

x
ãäå Ñ2 — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, íèêàê íå ñâÿçàííàÿ ñ ïîñòîÿííîé Ñ1.
Íàéäåííîå ðåøåíèå çàâèñèò îò äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ,
ïðè ýòîì èñõîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (3) áûëî óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà. Òàêîå ðåøåíèå íàçûâàåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì ýòîãî
óðàâíåíèÿ.
Àíàëîãè÷íî ïîñðåäñòâîì ï ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåãðèðîâàíèé ðåøàåòñÿ ëþáîå óðàâíåíèå âèäà (2).  ñâÿçè ñ ýòèì ââîäèòñÿ îïðåäåëåíèå.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Îáùèì ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà (1) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ
ó = ϕ(õ, Ñ1, Ñ2, ..., Ñn),
ñóùåñòâåííî çàâèñÿùàÿ îò ï ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ è îáðàùàþùàÿ
óðàâíåíèå (1) â òîæäåñòâî ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ýòèõ ïîñòîÿííûõ. Ðåøåíèÿ, ïîëó÷àåìûå èç îáùåãî ïðè çàêðåïëåíèè ïîñòîÿííûõ Ñ1, Ñ2, ...,
Ñn, íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè.
Ç à ì å ÷ à í è å.  äàííîì îïðåäåëåíèè óïîòðåáëåíî âûðàæåíèå «ñóùåñòâåííî çàâèñÿùàÿ». Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ÷èñëî ïîñòîÿííûõ íåëüçÿ ñíèçèòü çà ñ÷ñò ââåäåíèÿ íîâûõ
îáîçíà÷åíèé. Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ
y = (C12 + 2C 2 + C 3 )x + C 4 + 6C 5
ñóùåñòâåííî çàâèñèò ëèøü îò äâóõ ïîñòîÿííûõ
C1* = C12 + 2C 2 + C 3 èC 2* = C 4 + 6C 5
è ìîæåò áûòü çàïèñàíà â âèäå
y = C1* x + C 2* .
 ïðèêëàäíûõ âîïðîñàõ ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ èñêàòü òàêîå ðåøåíèå
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò
334
ï óñëîâèÿì: ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè õ = õ0 ñàìà ôóíêöèÿ y è åå ïåðâûå
ï − 1 ïðîèçâîäíûõ ó', ó", ..., ó(ï − 1) äîëæíû ïðèíèìàòü çàäàííûå çíà÷åíèÿ
y | x = x 0 = y 0 , y ′ | x = x 0 = y 0′ , ..., y ( n −1 ) | x = x 0 = y 0( n −1 ) .
(5)
Âîîáùå ãîâîðÿ, óñëîâèÿ (5), íàçûâàåìûå íà÷àëüíûìè, âûäåëÿþò èç îáùåãî ðåøåíèÿ
y = ϕ(x, Ñ1, Ñ2, ..., Ñn)
åäèíñòâåííîå ÷àñòíîå ðåøåíèå.
2. Ñëó÷àè ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà. Ðàññìîòðèì òðè òèïà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ï-ãî ïîðÿäêà, äîïóñêàþùèõ ïîíèæåíèå ïîðÿäêà.
I. Óðàâíåíèå âèäà (2). Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû ïîëó÷èì, ïðîèçâåäÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ï èíòåãðèðîâàíèé; ïðè êàæäîì òàêîì èíòåãðèðîâàíèè áóäåò ïîÿâëÿòüñÿ íîâàÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
II. Óðàâíåíèå
y(n) = f(x, y(k), ..., y(n − 1)) (k ≤ n − 1),
(6)
íå ñîäåðæàùåå ÿâíî y è ìëàäøèõ ïðîèçâîäíûõ äî ïîðÿäêà k − 1 âêëþ÷èòåëüíî, äîïóñêàåò ïîíèæåíèå ïîðÿäêà íà k åäèíèö. Äëÿ ýòîãî ââåäåì
íîâóþ èñêîìóþ ôóíêöèþ z = y(k). Òîãäà
(k + 1)
y
= z',
(n)
,y =z
(n − k)
è óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî z áóäåò ïîðÿäêà ï − k:
z
(n − k)
= f(x, z, z', ..., z
(n − k − 1)
).
Åñëè íàéäåíî îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ z = ϕ(x, Ñ1, ..., Cn − k), òî
äëÿ ó èìååì óðàâíåíèå y(k) = ϕ(x, Ñ1, ..., Ñn − k). Èíòåãðèðóÿ åãî, íàéäåì
îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6).
III. Óðàâíåíèå
(n)
y = f(y, y', ..., y
(n − 1)
),
(7)
íå ñîäåðæàùåå ÿâíî íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Çäåñü ïîðÿäîê óðàâíåíèÿ ïîíèæàåòñÿ íà åäèíèöó ïóòåì çàìåíû îáåèõ ïåðåìåííûõ.  êà÷åñòâå íîâîé èñêîìîé ôóíêöèè ìû âûáèðàåì ó ′ = ð, à çà íîâóþ íåçàâèñèìóþ ïåðåìåííóþ ïðèíèìàåì ó.
Ç à ä à ÷ à. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé ò äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé ëèíèè ê öåíòðó Î
km
(ðèñ. 177), ïðèòÿãèâàþùåìó åå ñ ñèëîé 3 , ãäå r — ðàññòîÿíèå îò ýòîé òî÷êè äî öåíòðà.
r
335
Ðèñ. 177
Äâèæåíèå íà÷èíàåòñÿ ñ ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ ïðè r = à. Íàéòè âðåìÿ, çà êîòîðîå ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äîñòèãíåò öåíòðà Î.
Ð å ø å í è å. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t íà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó
−km
äåéñòâóåò ñèëà F = 3 . Îòñþäà ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
r
m
d 2r −km
= 3
dt 2
r
èëè
d 2r
k
= − 3.
dt 2
r
Îáîçíà÷èì
(8)
dr
d 2 r dp dp dr
dp
= p. Òîãäà 2 =
=
= p è óðàâíåíèå (8) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå
dt
dt
dt dr dt
dr
pdp
k
= − 3.
dr
r
Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå è èíòåãðèðóÿ, áóäåì èìåòü:
pdp = −
k
k
dr , p 2 = 2 + C1 ,
r3
r
îòêóäà
p=
dr
k
= − 2 + C1
dt
r
(ïåðåä ðàäèêàëîì ñòàâèòñÿ çíàê «ìèíóñ», òàê êàê ïî ñìûñëó çàäà÷è ôóíêöèÿ r óáûâàåò
dr
è
< 0), èëè
dt
k + C1 r 2
dr
.
=−
dt
r
Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè è çàòåì èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì:
−
rdr
k + C1 r 2
= dt, −
k + C1 r 2
C1
= t + C2 .
Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (ïðè t = 0 r = a, dr/dt = 0), ïîëó÷àåì:
C2 = −
336
k + C1 a 2
C1
, 0=−
k + C1 a 2
r
,
îòêóäà
C1 = −
k
, C2 = 0.
a2
Ïîýòîìó
t=
a a2 − r 2
.
k
Êîãäà òî÷êà äîñòèãíåò öåíòðà Î, áóäåì èìåòü r = 0 è t =
a2
.
k
§ 13.4. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà
1. Îáùèå ñâåäåíèÿ î ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Óðàâíåíèå
y" + py' + qy = f(x),
(1)
ãäå ð = ð(õ), q = q(x) è f(x) — íåïðåðûâíûå ôóíêöèè â èíòåðâàëå (à; b),
íàçûâàåòñÿ íåîäíîðîäíûì ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà, ôóíêöèè ð, q — åãî êîýôôèöèåíòàìè. Åñëè f(x) ≡ 0 â ýòîì
èíòåðâàëå, òî óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä
y" + py' + qy = 0
(2)
è íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì ëèíåéíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà. Åñëè óðàâíåíèå (2) èìååò òå æå êîýôôèöèåíòû, êàê (1), òî
îíî íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì, ñîîòâåòñòâóþùèì íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ (1).
Ôóíêöèè y1 = y1(x) è y2 = y2(x), îïðåäåëåííûå è íåïðåðûâíûå â èíòåðâàëå (à; b), íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè â ýòîì èíòåðâàëå, åñëè
ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå ÷èñëà α1 è α2 (ïðè÷åì ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç
íèõ íå ðàâíî íóëþ), òàêèå, ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé x â ðàññìàòðèâàåìîì
èíòåðâàëå âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî
α1y1 + α2y2 = 0.
(3)
Ôóíêöèè y1 è ó2 íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè â èíòåðâàëå (à; b),
åñëè òîæäåñòâî (3) ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî ïðè α1 = α2 = 0.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè ó1 è ó2 — ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ÷àñòíûå ðåøåíèÿ
ëèíåéíîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà (2), òî îáùåå ðåøåíèå
ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò âèä:
y = C1y1 + C2y2,
(4)
ãäå Ñ1 è C2 — ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
337
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê ó1 è ó2 — ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2), òî
èìååì òîæäåñòâà y 1′′ + py 1′ + qy 1 = 0, y ′′2 + py 2′ + qy 2 = 0. Èñïîëüçóÿ èõ, ïîëó÷àåì òîæäåñòâî
(C 1 y 1 + C 2 y 2 )′′ + p(C 1 y 1 + C 2 y 2 )′+q(C 1 y 1 + C 2 y 2 ) =
= C 1 ( y 1′′ + py 1′ + qy 1 ) + C 2 ( y ′′2 + py 2′ + qy 2 ) = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (4) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (2), è
ïîñêîëüêó ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò äâå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, òî
îíî ÿâëÿåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2). Òåîðåìà
äîêàçàíà.
Ïóñòü ó1 è ó2 — äâà ëèíåéíî çàâèñèìûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2).
Òîãäà âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâî (3), ãäå ëèáî α1 ≠ 0, ëèáî α2 ≠ 0. Ïðåäïîëîæèì äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ÷òî α2 ≠ 0. Òîãäà èç òîæäåñòâà (3) èìåα 
α

åì y 2 = − 1 y 1 , èëè y 2 = ay 1  a = − 1  . Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â
α2
α2

óðàâíåíèå (4), ïîëó÷àåì:
y = C1y1 + Ñ2àó1 = (C1 + aC2)y1 = Cy1,
ãäå C = C1 + aC2. Îòñþäà âèäíî, ÷òî åñëè y1 è y2 — ëèíåéíî çàâèñèìûå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2), òî ðåøåíèå (4) ñîäåðæèò òîëüêî îäíó
ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ C è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ îáùèì.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Îòìåòèì, ÷òî ïðè óñëîâèè òåîðåìû 1 îïðåäåëèòåëü
y

 1
y
 ′1
y2 
,
y′ 2 
íàçûâàåìûé îïðåäåëèòåëåì Âðîíñêîãî èëè âðîíñêèàíîì (Þçåô Âðîíñêèé (1776—1853) —
ïîëüñêèé ìàòåìàòèê) äëÿ ôóíêöèé y1 è y2, íå ðàâåí íóëþ íè ïðè îäíîì çíà÷åíèè x èç
(a; b). (Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà ñì., íàïðèìåð, â [16].)
Äëÿ îáùåãî ðåøåíèÿ íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) ñïðàâåäëèâà
ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò å î ð å ì à 2. Îáùåå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) ðàâíî ñóììå îáùåãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2) è ëþáîãî
÷àñòíîãî ðåøåíèÿ äàííîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Y = C1y1 + C2y2 — îáùåå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (2), ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèþ (1), è z — ëþáîå ÷àñòíîå
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1). Èìååì òîæäåñòâà Y" + pY' + qY = 0, z" + pz' +
+ qz = f(x). Ñêëàäûâàÿ ïî÷ëåííî ýòè äâà òîæäåñòâà, ïîëó÷èì òîæäåñòâî
(Y + z)″ + p(Y + z)′ + q(Y + z) = f(x). Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ y = Y + z =
= C1y1 + C2y2 + z — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) è ïðè ýòîì îáùåå, òàê êàê â
ýòó ôóíêöèþ âõîäÿò äâå ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå C1 è C2.
338
2. Ëèíåéíûå îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè. Ïóñòü â ëèíåéíîì óðàâíåíèè
y ″ + py' + qy = 0
(5)
ð è q — ïîñòîÿííûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.
×àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5) áóäåì èñêàòü â âèäå ôóíêöèè
kx
y=e ,
(6)
ãäå k — äåéñòâèòåëüíîå èëè êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ïîäëåæàùåå îïðåäåëåíèþ. Äèôôåðåíöèðóÿ ïî x âûðàæåíèå (6), ïîëó÷èì:
kx
2 kx
y ′ = ke , y ″ = k e .
(7)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (6) è (7) â óðàâíåíèå (5), áóäåì èìåòü
kx
2
e (k + pk + q) = 0.
Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ekx ≠ 0, èìååì:
2
k + pk + q = 0.
(8)
Àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå (8) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (5). Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå è äàåò
âîçìîæíîñòü íàéòè k. Óðàâíåíèå (8) åñòü óðàâíåíèå âòîðîé ñòåïåíè è
ïîòîìó èìååò äâà êîðíÿ. Îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç k1 è k2. Âîçìîæíû òðè
ñëó÷àÿ.
1) Êîðíè k1 è k2 äåéñòâèòåëüíûå è ðàçíûå (k1 ≠ k2).  ýòîì ñëó÷àå ïî
ôîðìóëå (6) ïîëó÷èì äâà ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5) y 1 = e k 1 x ,
y 2 = e k 2 x , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè. Äåéñòâèòåëüíî,
åñëè áû ýòè ðåøåíèÿ áûëè ëèíåéíî çàâèñèìû, òî â èíòåðâàëå (à; b)
äîëæíî áûëî áû âûïîëíÿòüñÿ òîæäåñòâî α 1 e k 1 x + α 2 e k 2 x = 0, ãäå α1 è α2
îäíîâðåìåííî íå íóëè, èëè òîæäåñòâî α 1 e k 1 x = −α 2 e k 2 x . Îòñþäà
α 1 e ( k 1 − k 2 ) x = −α 2 , ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê ñïðàâà â ïîñëåäíåì òîæäåñòâå ïîñòîÿííîå ÷èñëî, à ñëåâà ôóíêöèÿ îò x. Ïî òåîðåìå 1 (ï. 1) ñëåäóåò,
÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5) áóäåò y = C 1 e k 1 x + C 2 e k 2 x .
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå y" − 3y' + 2y = 0.
2
Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå k − 3k + 2 = 0 èìååò äâà ðàçëè÷íûõ äåéñòâèòåëüx
2x
íûõ êîðíÿ k1 = 1 è k2 = 2. Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå åñòü y = C1e + C2e .
2) Êîðíè k1 è k2 äåéñòâèòåëüíûå è ðàâíûå (k1 = k2).  ýòîì ñëó÷àå îäíî
÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5) âûðàçèòñÿ ôóíêöèåé y 1 = e k 1 x . ×àñòíûì
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (5) â ýòîì ñëó÷àå áóäåò òàêæå ôóíêöèÿ y 2 = xe k 1 x .
339
Äåéñòâèòåëüíî, y 2′′ + py 2′ + qy 2 = (2 + k 1 x )k 1 e k 1 x + p(1 + k 1 x )e k 1 x + qxe k 1 x =
= e k 1 x [(k 12 + pk 1 + q )x + 2k 1 + p] = e k 1 x ( − p + p) = 0.
Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèÿ e k 1 x è xe k 1 x ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òàê êàê åñëè áû
ôóíêöèè e k 1 x è xe k 1 x áûëè ëèíåéíî çàâèñèìû, òî â èíòåðâàëå (à; b) âûïîëíÿëîñü áû òîæäåñòâî α 1 e k 1 x + α 2 xe k 1 x = 0 (α1 è α2 îäíîâðåìåííî íå
íóëè) è, çíà÷èò, òîæäåñòâî α1 + α2x = 0, ÷òî íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5) â äàííîì ñëó÷àå
y = C 1 e k 1 x + C 2 xe k 1 x = e k 1 x (C 1 + C 2 x ).
Ï ð è ì å ð 2. Óðàâíåíèþ y" − 6y' + 9y = 0 ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå
2
óðàâíåíèå k − 6k + 9 = 0, èìåþùåå ðàâíûå êîðíè k1 = k2 = 3. Ïîýòîìó îáùåå ðåøåíèå
áóäåò
3x
y = (C1 + C2x)e .
3) Êîðíè k1 = α + βi è k2 = α − βi êîìïëåêñíûå. Ìîæíî ïîêàçàòü
(ñì. [16]), ÷òî îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5) â ýòîì ñëó÷àå åñòü
αx
y = e (C1cos βx + C2sin βx).
Ï ð è ì å ð 3. Óðàâíåíèþ ó ″ − 2y ′ + 2y = 0 ñîîòâåòñòâóåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíå2
íèå k − 2k + 2 = 0, èìåþùåå êîìïëåêñíûå êîðíè k1 = 1 + i, k2 = 1 − i. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùèì
x
ðåøåíèåì áóäåò ôóíêöèÿ y = e (C1cos x + C2sin x ).
3. Ëèíåéíûå íåîäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè. Ðàññìîòðèì òåïåðü ðåøåíèå íåêîòîðûõ òèïîâ ëèíåéíîãî íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè
y ″ + py ′ + qy = f(x),
(9)
ãäå ð, q — ïîñòîÿííûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, f(x) — èçâåñòíàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ â èíòåðâàëå (à; b). Ïî òåîðåìå 2 (ï. 1) äëÿ íàõîæäåíèÿ
îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9) íàäî çíàòü îáùåå ðåøåíèå Y ñîîòâåòñòâóþùåãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ y″ + py ′ + qy = 0 (äëÿ ýòîãî èñïîëüçóþòñÿ ðåçóëüòàòû ï. 2 íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà) è ÷àñòíîå ðåøåíèå z óðàâíåíèÿ (9).
Âèä ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9) çàâèñèò îò âèäà ïðàâîé ÷àñòè
ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ñëó÷àè:
a) f(x) = a2x2 + a1x + a0 (a2 ≠ 0). Åñëè q ≠ 0, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíå2
íèÿ (9) èùåì òàêæå â ôîðìå êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà: z = A2x + A1x + A0,
ãäå A2, A1 è A0 — íåîïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû. Îòñþäà z ′ = 2A2x + A1,
340
z" = 2A2. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (9), â êîòîðîì f(x) =
= à2x2 + à1x + à0, ïîëó÷èì òîæäåñòâî
A2qx2 + (2A2ð + A1q)x + 2A2 + A1ð + A0q = a2x2 + à1x + à0,
îòêóäà
A2q = a2, 2A2p + A1q = a1, 2A2 + A1p + A0q = a0.
(10)
Òàê êàê q ≠ 0, òî èç ðàâåíñòâ (10) äëÿ êîýôôèöèåíòîâ A2, À1 è A0 ïîëó÷àþòñÿ îïðåäåëåííûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ. Òåì ñàìûì ÷àñòíîå ðåøåíèå z áóäåò âïîëíå îïðåäåëåíî. Åñëè q = 0, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå z óðàâíåíèÿ (9) èùåì â âèäå z = x(A2x 2 + A1x + A0), êîãäà 0 — îäíîêðàòíûé
êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (8), è â âèäå z = õ2(À2õ2 + A1x +
+ À0), êîãäà 0 — äâóêðàòíûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
(8). Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî, åñëè f(x) — ìíîãî÷ëåí Ð(õ) ïðîèçâîëüíîé ñòåïåíè.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå y" + y' = 2x + 1. Èìååì:
k2 + k = 0, k1 = 0, k2 = −1, Y = C1 + C2e−x.
Òàê êàê 0 — îäíîêðàòíûé êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå
äàííîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå z = x(A1x + A0). Äàëåå èìååì: z' = 2À1õ + À0, z ″ = 2À1, 2À1 +
2
−x
2
+ 2A1õ + A0 = 2x + 1, A1 = 1, A0 = −1, z = x − x, y = C1 + C2e + x − x.
bõ
bx
á) f(õ) = àå (à ≠ 0). ×àñòíîå ðåøåíèå èùåì â âèäå z = Ae , ãäå À — íåîïðåäåëåííûé êîýôôèöèåíò. Îòñþäà z' = Abebx, z" = Àb2åÜõ. Ïîäñòàâëÿÿ
ýòè âûðàæåíèÿ â óðàâíåíèå (9), â êîòîðîì f(x) = aebx, ïîñëå ñîêðàùåíèÿ
íà ebx áóäåì èìåòü A(b2 + pb + q) = a. Îòñþäà âèäíî, ÷òî åñëè b íå ÿâëÿåòñÿ
êîðíåì õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî
ae bx
.
z= 2
b + pb + q
Åñëè b — êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (9) èùåì â âèäå z = Axebx, êîãäà b — îäíîêðàòíûé êîðåíü, è â
âèäå z = Ax2åbx, êîãäà b — äâóêðàòíûé êîðåíü. Àíàëîãè÷íî áóäåò, åñëè
f(x) = P(x)ebx.
x
2
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå ó" − 2y' + y = 2e . Èìååì: k − 2k + 1 = 0, k1 = k2 = 1, Y =
x
= (Ñ1 + Ñ2x)å . Òàê êàê â äàííîì óðàâíåíèè b = 1 — êîðåíü êðàòíîñòè 2 õàðàêòåðèñòè÷åñêî2 x
ãî óðàâíåíèÿ, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå z = Ax e . Äàëåå èìååì:
x
2
x
z' = Ax(x + 2)e , z" = A(x + 4x + 2)e ,
x
2
x
2 x
x
Ae (x + 4x + 2) − 2Axe (x + 2) + Ax e = 2e , A = 1,
2 x
x
2 x
z = x e , y = (C1 + C2x)e + x e .
341
â) f(x) = a cos ωx + b sin ωx (à è b íå íóëè îäíîâðåìåííî).  ýòîì ñëó÷àå ÷àñòíîå ðåøåíèå z èùåì òàêæå â ôîðìå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî äâó÷ëåíà
z = Acos ωx + Bsin ωx,
ãäå À è  — íåîïðåäåëåííûå êîýôôèöèåíòû. Îòñþäà z' = −A ω sin ωx +
+ B ωcos ωx, z" = −A ω2cos ωx − B ω2 sin ωx. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â
óðàâíåíèå (9), â êîòîðîì f(x) = a cos ωx + b sin ωx, ïîëó÷èì:
(−Aω2 + Âðω + Aq)ñîsωx + (−Bω2 − Aðω + Bq)sin ωx = acos ωx + bsin ωx.
Òàê êàê ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîæäåñòâî, òî êîýôôèöèåíòû ïðè cos ωx è sin ωx â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ýòîãî ðàâåíñòâà
äîëæíû áûòü ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû äðóã äðóãó. Ïîýòîìó
A (q − ω2) + Bpω = a, −Àðω + Â(q − ω2) = b.
Ýòè óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿþò êîýôôèöèåíòû A è B, êðîìå ñëó÷àÿ, êîãäà
ð = 0, q = ω2 (èëè êîãäà ±ωi — êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ). Â
ïîñëåäíåì ñëó÷àå ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9) èùåòñÿ â âèäå: z =
= x (Acos ωx + B sin ωx).
2
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå y" + y = cos x . Èìååì: k + 1 = 0, k1 = i, k2 = −i, Y =
= C1cos x + C2sin x . Òàê êàê ±i — êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷àñòíîå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ èùåì â âèäå: z = x(Acos x + Bsin x ). Äàëåå èìååì:
z' = Acos x + Bsin x + x(−Asin x + Bcos x),
z" = −2Asin x + 2Bcos x − x(Acos x + Bsin x),
1
x
−2 A sin x + 2B cos x = cos x , A = 0, B = , z = sin x ,
2
2
x
y = C1 cos x + C 2 sin x + sin x .
2
4. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð. Ðåçîíàíñ. Ïóñòü íà èäåàëüíî ãëàäêîì
ñòîëå ëåæèò øàðèê ìàññû m, ïðèêðåïëåííûé ê ïðóæèíå ñ êîýôôèöèåíòîì æåñòêîñòè λ > 0 (ðèñ. 178). Íàïðàâèì îñü Ox âäîëü ïðóæèíû, à çà
íà÷àëî êîîðäèíàò ïðèìåì òó òî÷êó, â êîòîðîé øàðèê íàõîäèòñÿ â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (ïðóæèíà íå ðàñòÿíóòà). Îòâåäåì òåïåðü øàðèê îò
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà ðàññòîÿíèå x0 è îòïóñòèì åãî. Òîãäà ñî ñòîðîíû ïðóæèíû íà øàðèê áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà F, ñòðåìÿùàÿñÿ âåðíóòü
Ðèñ. 178
342
åãî â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ. Èç ôèçèêè èçâåñòíî, ÷òî ýòà ñèëà ðàâíà
(äëÿ ìàëûõ x)
F(x) = −λx
(11)
(çíàê ìèíóñ ïîñòàâëåí ïîòîìó, ÷òî íàïðàâëåíèå äåéñòâóþùåé ñèëû
îáðàòíî ïî çíàêó ñìåùåíèþ x).
Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ øàðèêà
F = ma,
d 2x
ãäå óñêîðåíèå a = 2 (ñì. § 8.4, ï. 2). Èç (11), (12) èìååì:
dt
(12)
òà = −λx
èëè
m
Îòñþäà
d 2x
= −λx .
dt 2
d 2x
+ ω 2 x = 0,
2
dt
ãäå
ω=
(13)
λ
.
m
Ôóíêöèÿ:
x = Ñ1cos ωt + C2sin ωt,
(14)
ÿâëÿåòñÿ îáùèì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (13) (ïï. 2; 3).
Ïî óñëîâèþ çàäà÷è â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 x = x0, à ñêîðîñòü öåíòðà
øàðèêà ðàâíà íóëþ. Çíà÷èò,
x (0) = x 0 ,

x ′(0) = 0.
(15)
Èç âûðàæåíèÿ (14) ñëåäóåò, ÷òî
dx
= −C 1 ω sin ωt + C 2 ω cos ωt.
dt
Ïîýòîìó (15) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:
C 1 + 0 = x 0 ,

0 + C 2 ω = 0.
Îòñþäà C1 = x0, C2 = 0 è
x = x0cos ωt.
(16)
343
Äðóãèìè ñëîâàìè, øàðèê áóäåò ñîâåðøàòü ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ
2π
àìïëèòóäîé |x0| è ïåðèîäîì T =
. Êàê ãîâîðÿò â ôèçèêå, ìû èìååì
ω
çäåñü ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð.
 äåéñòâèòåëüíîñòè ìû çíàåì, ÷òî øàðèê íå ìîæåò êîëåáàòüñÿ
áåñêîíå÷íî äîëãî, è àìïëèòóäà êîëåáàíèé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ýòî
ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî â ëþáîì ðåàëüíîì îïûòå ïðèñóòñòâóåò ñèëà
òðåíèÿ, êîòîðîé ìû ïðåíåáðåãëè ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (13). Îäíàêî åñëè ñèëà òðåíèÿ î÷åíü ìàëà, à ïðîìåæóòîê âðåìåíè íå ñëèøêîì
áîëüøîé, òî (13) è (16) îïèñûâàþò ïðîöåññ ñ õîðîøèì ïðèáëèæåíèåì.
Ïóñòü òåïåðü íà øàðèê äåéñòâóåò åùå îäíà ñèëà F1, íàïðàâëåííàÿ
âäîëü îñè Ox è èçìåíÿþùàÿñÿ ïî çàêîíó F1 = F0sin pt, ãäå F0 è ð — ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå.
d 2x
Òîãäà âòîðîé çàêîí Íüþòîíà ïðèìåò âèä: m 2 = − λx + F 0 sin pt èëè
dt
d 2x
(17)
+ ω 2 x = α 0 sin pt,
dt 2
F
ãäå α 0 = 0 .
m
Óðàâíåíèå (17) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé, à
óðàâíåíèå (13) — óðàâíåíèåì ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé.
Íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (17).
1) Ïóñòü ð ≠ ω, ò. å. ÷àñòîòà âíåøíåé ñèëû íå ñîâïàäàåò ñ ÷àñòîòîé
ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé. ×àñòíîå ðåøåíèå èùåì â âèäå:
z = Acos pt + Bsin pt (ñì. ï. 3, â),
è îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17) äëÿ ñëó÷àÿ p ≠ ω áóäåò
α0
sin pt.
ω − p2
Ýòî ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàëîæåíèå äâóõ ãàðìîíè÷åñêèõ
êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòàìè ω è p, ïðè÷åì êîëåáàíèÿ îãðàíè÷åíû.
2) p = ω, ò. å. ÷àñòîòà âíåøíåé ñèëû ñîâïàäàåò ñ ÷àñòîòîé ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé.  ýòîì ñëó÷àå ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17) èùåì
â âèäå
z = t(Acos ωt + Bsin ωt) (ñì. ï. 3, â).
x = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt +
2
è îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (17) â ñëó÷àå p = ω áóäåò
x = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt −
344
α 0t
cos ωt.
2ω
Ðèñ. 179
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàçìàõ êîëåáàíèé x íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò âìåñòå ñî âðåìåíåì t (puc. 179). Ýòî ÿâëåíèå íîñèò íàçâàíèå
ðåçîíàíñà. Ïðè ðàáîòå ìíîãèõ ìåõàíèçìîâ ðåçîíàíñ êðàéíå íåæåëàòåëåí, òàê êàê îí ïðèâîäèò ê íàðóøåíèþ èõ ïðàâèëüíîé ðàáîòû è äàæå ê
ðàçðóøåíèþ.
5. Ìåòîä âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ. Ëàãðàíæó ïðèíàäëåæèò
îáùèé ìåòîä íàõîæäåíèÿ ÷àñòíûõ ðåøåíèé íåîäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî
óðàâíåíèÿ. Ýòîò ìåòîä ïðèìåíèì êàê ê óðàâíåíèÿì ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè, òàê è ê óðàâíåíèÿì, â êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè îò õ.
Ïóñòü ó1 è ó2 — äâà ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (2), ñîîòâåòñòâóþùåãî íåîäíîêðàòíîìó óðàâíåíèþ
(1). Òîãäà îáùåå ðåøåíèå ýòîãî îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (ñì. ï. 1, òåîðåìà 1) åñòü
y = C1y1 + C2y2,
ãäå Ñ1 è C2 — ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (1) â âèäå
y = C1(x)y1 + C2(x)y2,
(18)
ãäå C1(x) è C2(x) — íåèçâåñòíûå ôóíêöèè, ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ðàâåíñòâî (18):
y ′ = C 1 ( x ) y 1′ + C 2 ( x ) y ′2 + C 1′( x ) y 1 + C 2′ ( x ) y 2 .
Ïîäáåðåì èñêîìûå ôóíêöèè C1(x) è C2(x) òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ðàâåíñòâî C 1′( x ) y 1 + C 2′ ( x ) y 2 = 0. Òîãäà
y ′ = C 1 ( x ) y 1′ + C 2 ( x ) y ′2 .
Äèôôåðåíöèðóÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå, ïîëó÷èì:
y ′′ = C 1 ( x ) y 1′′ + C 2 ( x ) y ′′2 + C 1′( x ) y 1′ + C 2′ ( x ) y ′2 .
345
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ äëÿ ó, ó' è ó" â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷èì:
C 1 ( x )( y 1′′ + p( x ) y 1′ + q( x ) y 1 ) +
+ C 2 ( x )( y ′′2 + p( x ) y ′2 + q( x ) y 2 ) + C 1′( x ) y 1′ + C 2′ ( x ) y ′2 = f ( x ).
Òàê êàê ó1 è ó2 — ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2), òî âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â
ñêîáêàõ, òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî,
C 1′( x ) y 1′ + C 2′ ( x ) y ′2 = f ( x ).
Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
C 1′( x ) y 1 + C 2′ ( x ) y 2 = 0,

C 1′( x ) y 1′ + C 2′ ( x ) y ′2 = f ( x ).
Îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû, êàê óæå îòìå÷àëîñü ðàíåå (ñì. ï. 1, ïðèìå÷àíèå), íå îáðàùàåòñÿ â íóëü. Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ìîæåì íàéòè C1(x) è
C2(x) êàê îïðåäåëåííûå ôóíêöèè îò x:
C 1′( x ) = ϕ 1 ( x ), C 2′ ( x ) = ϕ 2 ( x ).
Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷èì: C 1 ( x ) = ∫ ϕ 1 ( x )dx + C 1 , C 2 ( x ) = ∫ ϕ 2 ( x )dx + C 2 .
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå âûðàæåíèÿ äëÿ Ñ1(õ) è C2(x) â ðàâåíñòâî (18),
íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), çàâèñÿùåå îò äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ, ò. å. åãî îáùåå ðåøåíèå. Åñëè ïîëîæèòü C1 = C2 = 0, òî ïîëó÷èì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1).
§ 13.5. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
1. Îáùèå âîïðîñû. Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà
 dy
= f ( x , y, z ),
dx
(1)

 dz = ϕ( x , y, z ).
dx
ãäå ó è z — íåèçâåñòíûå ôóíêöèè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé õ, íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìîé.
Ðåøåíèåì ñèñòåìû (1) íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé ó(õ) è z(x),
óäîâëåòâîðÿþùèõ êàæäîìó èç óðàâíåíèé ýòîé ñèñòåìû.
Åñëè ïðàâûå ÷àñòè íîðìàëüíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè îòíîñèòåëüíî ó è z, òî ýòà ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé.
Èíîãäà íîðìàëüíóþ ñèñòåìó (1) äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
óäàåòñÿ ñâåñòè ê îäíîìó óðàâíåíèþ 2-ãî ïîðÿäêà, ñîäåðæàùåìó îäíó
íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ. Ñâåäåíèå íîðìàëüíîé ñèñòåìû ê îäíîìó óðàâ-
346
íåíèþ ìîæåò áûòü äîñòèãíóòî äèôôåðåíöèðîâàíèåì îäíîãî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû è èñêëþ÷åíèåì îäíîé íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ó èëè z
(òàê íàçûâàåìûé ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
 dy
 dx = y + z,

 dz = z − y.
 dx
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ïî x ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû:
d 2 y dy dz
=
+ .
dx 2 dx dx
dz
, èìååì
dx
d 2 y dy
=
+ z − y.
dx 2 dx
Èñêëþ÷àÿ îòñþäà z, ïîëó÷àåì:
Èñêëþ÷àÿ èç ýòîãî óðàâíåíèÿ
d 2 y dy dy
=
+
−y−y
dx 2 dx dx
èëè
d2 y
dy
=2
−2y
dx 2
dx
è, íàêîíåö
d2 y
dy
−2
+ 2 y = 0.
dx 2
dx
Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ k2 − 2k + 2 = 0 áóäóò k1 = l + i, k2 = 1 − i. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå ðåøåíèå äëÿ ó áóäåò
x
ó = e (C1cosx + C2sinx).
Îáùåå ðåøåíèå äëÿ z íàõîäèì èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû
z=
dy
− y = e x (C1 cos x + C 2 sin x ) + e x (−C1 sin x + C 2 cos x ) − e x (C1 cos x + C 2 sin x ) =
dx
= e x (C 2 cos x − C1 sin x ).
Èòàê, ôóíêöèè
ó = åx(Ñ1cosõ + Ñ2sinx),
z = ex(Ñ2cosx − Ñ1sinx)
ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì äàííîé ñèñòåìû.
Èòàê, èíòåãðèðóÿ íîðìàëüíóþ ñèñòåìó äâóõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé, ìû ïîëó÷èì åå ðåøåíèå, çàâèñÿùåå îò äâóõ ïðîèçâîëüíûõ
ïîñòîÿííûõ Ñ1 è Ñ2. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå äëÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç n óðàâíåíèé, åå îáùåå ðåøåíèå çàâèñèò îò
n ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.
347
2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè
êîýôôèöèåíòàìè. Êðîìå ðàññìîòðåííîãî ìåòîäà èíòåãðèðîâàíèÿ íîðìàëüíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, ìû óêàæåì ñåé÷àñ åùå îäèí ìåòîä (ìåòîä
Ýéëåðà), ïðèìåíèìûé òîëüêî ê íîðìàëüíûì ñèñòåìàì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ïóñòü äàíà íîðìàëüíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ñèñòåìîé äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè
 dy
= ay + bz ,
dx
(2)

 dz = cy + dz .
dx
Áóäåì èñêàòü ÷àñòíîå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû â âèäå
y = αekx, z = βekx.
(3)
Ìû äîëæíû îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû α, β è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè k
òàê, ÷òîáû ôóíêöèè (3) áûëè ðåøåíèåì ñèñòåìû (2). Ïîäñòàâëÿÿ ýòè
ôóíêöèè â ðàâåíñòâà (2) è ñîêðàùàÿ íà ìíîæèòåëü åkx ≠ 0, ïîëó÷èì
kα = aα + bβ,

kβ = cα + dβ.
Ïåðåíîñÿ âñå ÷ëåíû â îäíó ñòîðîíó, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ α, β:
(a − k )α + bβ = 0,
(4)

cα + (d − k )β = 0.
Ñèñòåìà (4) ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé. Êàê èçâåñòíî,
äëÿ òîãî ÷òîáû îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà èìåëà ðåøåíèÿ, îòëè÷íûå îò íóëåâîãî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû ðàâíÿëñÿ
íóëþ. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû ñèñòåìà (4) èìåëà ðåøåíèÿ, îòëè÷íûå îò íóëåâîãî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî
a −k
b
(5)
= 0.
c
d −k
Ðàâåíñòâî (5) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå âòîðîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî k è íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì äëÿ ñèñòåìû (2).
Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì, êîãäà õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò ðàçëè÷íûå äåéñòâèòåëüíûå êîðíè k1, k2. Äëÿ êàæäîãî èç ýòèõ êîðíåé íàïèøåì ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (4) è îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû α1, β1; α2, β2. Åñëè îáîçíà÷èòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2), ñîîòâåòñòâóþùèå êîðíþ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ k1, ÷åðåç y1, z1, à
348
ñîîòâåòñòâóþùèå êîðíþ k2 — ÷åðåç y2, z2, òî, êàê ìîæíî ïîêàçàòü, îáùåå
ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (2) çàïèøåòñÿ â âèäå
y = Ñ1y1 + Ñ2y2, z = C1z1 + C2z2
èëè
(6)
y = C 1α 1e k 1 x +C 2α 2e k 2 x , z = C 1β 1e k 1 x +C 2β 2e k 2 x .
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
 dy
 dx = −2 y − 3z,

 dz = − y.
 dx
èëè
(7)
Ð å ø å í è å. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ñèñòåìû (7) èìååò âèä
−2 − k −3
=0
−1
0−k
k2 + 2k − 3 = 0.
Åãî êîðíè k1 = −3, k2 = 1. ×àñòíûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7) áóäåì èñêàòü â âèäå
y1 = α1 e
k1 x
y2 = α 2 e
, z1 = β1 e
k2 x
k1 x
, z2 = β 2 e
;
k2 x
.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ α è β ïðè k1 = −3 çàïèøåòñÿ òàêèì îáðàçîì
èëè
[−2 − (−3)]α1 − 3β1 = 0,

 −α1 + [0 − (−3)]β1 = 0
α1 − 3β1 = 0,

 −α1 + 3β1 = 0.
Ýòà ñèñòåìà èìååò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, òàê êàê âòîðîå óðàâíåíèå — ñëåäñòâèå ïåðâîãî. Ïîëàãàÿ, íàïðèìåð, β1 = 1, íàõîäèì α1 = 3. Èòàê, êîðíþ õàðàêòåðèñòè÷å−3x
ñêîãî óðàâíåíèÿ k1 = −3 ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ y1 = 3e
−3x
è z1 = e . Ñèñòåìà óðàâ-
íåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ α è β ïðè k2 = 1 èìååò âèä
 −3α 2 − 3β 2 = 0,

 −α 2 − β 2 = 0.
 êà÷åñòâå ðåøåíèé ýòîé ñèñòåìû ìîæíî âçÿòü α2 = 1, β2 = −1. Òîãäà êîðíþ õàðàêòåðèñòèx
x
÷åñêîãî óðàâíåíèÿ k2 = 1 ñîîòâåòñòâóþò ÷àñòíûå ðåøåíèÿ y2 = e è z2 = −e .
Îáùåå ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû ñîãëàñíî ôîðìóëå (6) òàêîâî:
ó = 3Ñ1å-3x + Ñ2åx, z = Ñ1å-3õ - Ñ2åx.
Åñëè ñðåäè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (5) èìåþòñÿ
êîìïëåêñíûå, òî ñîîòâåòñòâóþùèå èì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ôîðìóëàì Ýéëåðà ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî äåëàëîñü äëÿ îäíîãî ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ.
349
Ðàçäåë III
ÑÏÅÖÈÀËÜÍÛÅ ÃËÀÂÛ
Ãëàâà 14. ÒÅÎÐÈß ÏÎËß
§ 14.1. Ñêàëÿðíûå ïîëÿ
1. Ïîíÿòèå ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ïóñòü Ω — îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå.
Åñëè êàæäîé òî÷êå M èç Ω ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ïî èçâåñòíîìó
çàêîíó íåêîòîðîå ÷èñëî u = u(M), òî ãîâîðÿò, ÷òî â îáëàñòè Ω çàäàíî
ñêàëÿðíîå ïîëå u. Èíûìè ñëîâàìè, çàäàòü ñêàëÿðíîå ïîëå — ýòî îçíà÷àåò çàäàòü ñêàëÿðíóþ ôóíêöèþ u = u(M), íàçûâàåìóþ ôóíêöèåé ïîëÿ.
Çàïèñü u(M) îçíà÷àåò, ÷òî âåëè÷èíà u ÿâëÿåòñÿ, êàê ãîâîðÿò (§ 11.1,
ï. 1), ôóíêöèåé òî÷êè. Çàìåòèì, ÷òî îáëàñòüþ Ω ìîæåò áûòü è âñå ïðîñòðàíñòâî.
Åñëè âåëè÷èíà u = u(M) íå çàâèñèò îò âðåìåíè t, òî ñêàëÿðíîå ïîëå u
íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì (èëè óñòàíîâèâøèìñÿ). Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ñòàöèîíàðíûå ñêàëÿðíûå ïîëÿ.
Ïîëå òåìïåðàòóðû âíóòðè íàãðåòîãî òåëà, ïîëå ïëîòíîñòè ìàññû,
ïîëå ðàñïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëà â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå — ïðèìåðû ñêàëÿðíûõ ïîëåé.
Çàïèñü u = u(M) íå ïðåäïîëàãàåò ââåäåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå íèêàêîé
ñèñòåìû êîîðäèíàò. Åñëè æå ïðîñòðàíñòâî îòíåñåíî ê íåêîòîðîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, íàïðèìåð ê ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz,
òî çàäàíèå òî÷êè M ðàâíîñèëüíî çàäàíèþ åå êîîðäèíàò x, y, z â ýòîé
ñèñòåìå è ôóíêöèÿ ïîëÿ u(M) ïðåâðàùàåòñÿ â îáû÷íóþ ôóíêöèþ òðåõ
ïåðåìåííûõ u(x, y, z). Ìû âñåãäà áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ
èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå.
Ìîæíî ââåñòè â ïðîñòðàíñòâå è äðóãèå ñèñòåìû êîîðäèíàò, íàïðèìåð öèëèíäðè÷åñêóþ è ñôåðè÷åñêóþ (§ 2.1, ï. 9).  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ôóíêöèÿ ïîëÿ u = u(r, ϕ, z), â ñôåðè÷åñêîé
u = u(r, ϕ, θ).
2. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ. Ñêàëÿðíûå ïîëÿ ÷àñòî èçîáðàæàþòñÿ ãåîìåòðè÷åñêè ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ.
Ïîâåðõíîñòüþ óðîâíÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u(M) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî
òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ ïîëÿ u èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå.
350
Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz èìååò âèä u(x, y, z) = C, ãäå C — íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Çàìåòèì, ÷òî â êóðñå ôèçèêè ïðè ðàññìîòðåíèè ïîëÿ ïîòåíöèàëà
ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ íàçûâàþò îáû÷íî ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè (ò. å. ïîâåðõíîñòÿìè ðàâíîãî ïîòåíöèàëà).
Ïðèäàâàÿ C ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì ñåìåéñòâî ïîâåðõíîñòåé
óðîâíÿ.
Óêàçàííûé ñïîñîá èçîáðàæåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ óäîáåí, åñëè ðå÷ü
èäåò î ïëîñêîì ñêàëÿðíîì ïîëå, ò. å. î ïîëå, çàäàííîì â ïëîñêîé îáëàñòè. Ôóíêöèÿ u ýòîãî ïîëÿ çàâèñèò òîëüêî îò äâóõ ïåðåìåííûõ x è y. Ïîýòîìó ïëîñêèå ñêàëÿðíûå ïîëÿ ãåîìåòðè÷åñêè èçîáðàæàþò ñ ïîìîùüþ
ëèíèé óðîâíÿ (ñì. § 11.1, ï. 2).
 ñëó÷àå ïîëÿ òåìïåðàòóð íà ïëîñêîñòè ëèíèè óðîâíÿ íàçûâàþòñÿ
èçîòåðìàìè, â ñëó÷àå ïîëÿ äàâëåíèé — èçîáàðàìè è ò. ä.
3. Ïðîèçâîäíàÿ ïîëÿ ïî íàïðàâëåíèþ.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ïðîèçâîäíîé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u(M) â òî÷êå M ïî
íàïðàâëåíèþ n íàçûâàåòñÿ ïðåäåë (åñëè îí ñóùåñòâóåò) îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ∆u ôóíêöèè u(M) ïðè ñìåùåíèè òî÷êè M â íàïðàâëåíèè âåêòîðà n (ðèñ. 180) ê âåëè÷èíå ýòîãî ñìåùåíèÿ
d = MM1, êîãäà ïîñëåäíåå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ; îíà
∂u
Ðèñ. 180
îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì :
∂n
u(M 1 ) − u(M )
∂u
∆u
.
(1)
= lim
= lim
d
→
0
d
→
0
∂n
d
d
∂u
Âûâåäåì äëÿ
ôîðìóëó, óäîáíóþ â âû÷èñëèòåëüíîì îòíîøåíèè.
∂n
Ïóñòü x, y, z — êîîðäèíàòû ôèêñèðîâàííîé òî÷êè M, a cos α, cos β,
cos γ — íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âåêòîðà n . Òîãäà òî÷êà M1 áóäåò èìåòü
êîîðäèíàòû x + d ñîsα, y + d cos β, z + d cos γ. Âåëè÷èíû x, y, z, cos α, cos β,
cos γ ôèêñèðîâàíû, ïîýòîìó u(M1) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî ñìåùåíèÿ d. Îáîçíà÷èì ýòó ôóíêöèþ ÷åðåç
ψ(d) = u(x + dñîsα, y + d cos β, z + d cos γ).
Èìååì ψ(0) = u(x, y, z). Ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó ðàâåíñòâà (1)
ψ(d ) − ψ(0)
∂u
= lim
= ψ ′(0).
d
→
∞
∂n
d
Ôîðìóëà ïðîèçâîäíîé ñëîæíîé ôóíêöèè (§ 11.2, ï. 3) äàåò
îòêóäà
ψ ′(d ) = u x′ (M 1 )cos α + u ′y (M 1 )cos β + u z′ (M 1 )cos γ ,
ψ ′(0) = u x′ (M )cos α + u ′y (M )cos β + u z′ (M )cos γ ,
351
èëè
∂ u ∂u
∂u
∂u
(2)
=
cos α + cos β + cos γ.
∂ n ∂x
∂y
∂z
Èç ôîðìóëû (2) âèäíî, ÷òî åñëè íàïðàâëåíèå n ñîâïàäàåò ñ ïîëîæè∂u ∂u
π
òåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè Ox, ò. å. α = 0, β = γ = , òî
= . Àíàëî∂n ∂x
2
ãè÷íî, åñëè íàïðàâëåíèå n áóäåò ñîâïàäàòü ñ íàïðàâëåíèåì îñè Oy(Oz).
∂u ∂u ∂u
,
è
õàðàêòåðèçóþò
∂x ∂y ∂z
ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ôóíêöèè u â íàïðàâëåíèè îñåé êîîðäèíàò (§ 11.2,
∂u
áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñêîðîñòüþ
ï. 1), òàê è ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ
∂n
èçìåíåíèÿ ôóíêöèè u(x, y, z) â òî÷êå M ïî íàïðàâëåíèþ n . Àáñîëþòíàÿ
∂u
ïî íàïðàâëåíèþ n îïðåäåëÿåò âåëè÷èíó ñêîðîâåëè÷èíà ïðîèçâîäíîé
∂n
ñòè, à çíàê ïðîèçâîäíîé — õàðàêòåð èçìåíåíèÿ ôóíêöèè u (âîçðàñòàíèå
èëè óáûâàíèå).  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë ïðîèçâîäíîé ïî íàïðàâëåíèþ.
Èç ôîðìóëû (2) ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ n ′, ïðîòèâîïîëîæíîìó íàïðàâëåíèþ n , ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî íàïðàâëåíèþ n ,
âçÿòîé ñ îáðàòíûì çíàêîì. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïåðåìåíå íàïðàâëåíèÿ
óãëû α, β,γ, èçìåíÿòñÿ íà π.
Åñëè ïîëå u ïëîñêîå, òî íàïðàâëåíèå n âïîëíå îïðåäåëåíî óãëîì α åãî
íàêëîíà ê îñè àáñöèññ. Ôîðìóëó äëÿ ïðîèçâîäíîé ïî íàïðàâëåíèþ â ñëóπ
÷àå òàêîãî ïîëÿ ìîæíî ïîëó÷èòü èç îáùåé ôîðìóëû (2), ïîëîæèâ γ = è
2
∂u ∂u
∂u ∂u
π
π
= , à åñëè α = , òî
= .
β = − α. Ïðè ýòîì åñëè α = 0, òî
∂n ∂x
∂n ∂y
2
2
4. Ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ïóñòü äàíî ñêàëÿðíîå ïîëå u = u(M) =
= u(x, y, z).
∂u
∂u
∂u
Î ï ð å ä å ë å í è å. Âåêòîð
i+
j + k íàçûâàåòñÿ ãðàäèåí∂x
∂y
∂z
òîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u = u(M) â òî÷êå M è îáîçíà÷àåòñÿ grad u:
Ïîäîáíî òîìó êàê ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå
∂u
∂u
∂u
(3)
i+
j + k.
∂x
∂y
∂z
Îáîçíà÷èì ÷åðåç n 0 (cos α; cos β; cos γ ) åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ n . Òîãäà
∂u
= n 0 grad u =| grad u |cos ϕ = ïð n grad u,
∂n
ãäå ϕ — óãîë ìåæäó âåêòîðàìè grad u è n .
gradu =
352
Çíà÷èò, ïðîèçâîäíàÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ u(M) â òî÷êå M â äàííîì íàïðàâëåíèè ðàâíà ïðîåêöèè ãðàäèåíòà ïîëÿ â òî÷êå M íà ýòî íàïðàâëåíèå. Îò∂u
ñþäà ñëåäóåò, ÷òî
â òî÷êå M èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå â íàïðàâëåíèè
∂n
ãðàäèåíòà (äëÿ ýòîãî íàïðàâëåíèÿ ϕ = 0 è cos 0 = 1).  ýòîì ñëó÷àå
2
2
2
∂u
 ∂u 
 ∂u 
 ∂u 
= grad u =   +   +   .
 ∂z 
 ∂x 
 ∂y 
∂n
Òàêèì îáðàçîì, grad u è åñòü âåêòîð, óêàçûâàþùèé íàïðàâëåíèå íàèáîëüøåãî âîçðàñòàíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ â äàííîé òî÷êå è èìåþùèé ìîäóëü,
ðàâíûé ñêîðîñòè ýòîãî âîçðàñòàíèÿ.  ýòîì ñîñòîèò ôèçè÷åñêèé ñìûñë
ãðàäèåíòà.
 ïëîñêîì ñêàëÿðíîì ïîëå u = u(M) = u(x, y) ãðàäèåíò îïðåäåëÿåòñÿ
ðàâåíñòâîì
∂u
∂u
gradu =
i+
j.
∂x
∂y
Ï ð è ì å ð. Îïðåäåëèòü ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ïîòåíöèàëà ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî
ïîëÿ, îáðàçîâàííîãî òî÷å÷íûì çàðÿäîì âåëè÷èíû q, ïîìåùåííûì â íà÷àëî êîîðäèíàò.
Èç ýëåêòðîñòàòèêè èçâåñòíî, ÷òî óïîìÿíóòûé ïîòåíöèàë â òî÷êå M(x; y; z) ðàâåí
q
u = , ãäå r = x 2 + y 2 + z 2 . Ïî ôîðìóëå (3) íàõîäèì:
r
grad u = −
q x
q y
q z
q r
q
i − 2 j − 2 k = − 2 = − 2 r0 ,
r r
r
r2 r
r r
r r
ãäå r = xi + yj + zk — ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M, à r0 =
r
— åäèíè÷íûé âåêòîð â íàïðàâëåíèè
r
q
r0 íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì íàïðÿæåííîñòè ðàññìàòðèâàåìîr2
ãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî ïîëÿ â òî÷êå Ì. Òàêèì îáðàçîì, grad u = − E .
ðàäèóñà-âåêòîðà. Âåêòîð E =
5. Îïåðàòîð íàáëà è èñ÷èñëåíèå ãðàäèåíòîâ. Àíãëèéñêèì ìàòåìàòèêîì Óèëüÿìîì Ãàìèëüòîíîì (1805 — 1865) áûë ââåäåí âåêòîðíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð
∂
∂
∂
∇=i
+j
+k ,
∂x
∂y
∂z
íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì íàáëà. (Íàáëà — ãðå÷åñêîå ñëîâî, îçíà÷àþùåå
«àðôà» — ìóçûêàëüíûé èíñòðóìåíò, ïî ôîðìå íàïîìèíàþùèé ïåðåâåðíóòûé òðåóãîëüíèê.)  ýòîé ôîðìóëå âåëè÷èíà, ê êîòîðîé ïðèëàãàåòñÿ îïåðàòîð ∇, äîëæíà áûòü ïîñòàâëåíà ïîä çíàêîì ÷àñòíûõ ïðîèç∂
è ò. ä. Ïðè ýòîì ñóùåñòâîäíûõ (îïåðàòîðîâ äèôôåðåíöèðîâàíèÿ)
∂x
353
âåííî îòìåòèòü, ÷òî åäèíè÷íûå âåêòîðû ñëåäóåò ïèñàòü äî îïåðàòîðîâ
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, òàê êàê ýòè îïåðàòîðû äåéñòâóþò íà âûðàæåíèÿ,
ñòîÿùèå ñïðàâà îò íèõ.
Ïîýòîìó
∇u = i
∂u
∂u
∂u
, èëè ∇u = grad u.
+j
+k
∂x
∂y
∂z
Èç èçâåñòíûõ (ñì. § 11.2) ïðàâèë äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ
ôóíêöèé íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ âûòåêàþò ñëåäóþùèå ïðîñòûå ïðàâèëà:
1. ∇(C1u + C2v) = C1∇u + C2∇v
(C1, C2 — ïîñòîÿííûå, u, v — ôóíêöèè ïåðåìåííûõ x, y, z), ò. å.
grad (C1u + C2v) = C1 grad u + C2 grad v.
2. ∇(uv) = v∇u + u∇v,
ò. å.
grad (uv) = v grad u + ugrad v.
3. ∇f(u) = f′(u)∇u,
ò. å.
grad f(u) = f ′(u)grad u.
4. ∇f (u,v) = f u′∇u + f v′∇v,
ò. å.
grad f (u,v) = f u′ grad u + f v′ gradv.
Àíàëîãè÷íî â ñëó÷àå f(u, v, w).
§ 14.2. Âåêòîðíûå ïîëÿ
1. Ïîíÿòèå âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ïóñòü Ω — îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå.
Åñëè êàæäîé òî÷êå M èç Ω ñîïîñòàâëåí âïîëíå îïðåäåëåííûé âåêòîð a (M ), òî ãîâîðÿò, ÷òî â îáëàñòè Ω çàäàíî âåêòîðíîå ïîëå a .
Çàìåòèì, ÷òî îáëàñòüþ Ω ìîæåò áûòü è âñå ïðîñòðàíñòâî. Ìû áóäåì
ðàññìàòðèâàòü ñòàöèîíàðíûå âåêòîðíûå ïîëÿ, â êîòîðûõ âåêòîð a (M )
çàâèñèò òîëüêî îò òî÷êè M è íå çàâèñèò îò âðåìåíè.
Ïîëå ñèëû òÿæåñòè, ïîëå ñêîðîñòè ÷àñòèö òåêóùåé æèäêîñòè, ïîëå
ýëåêòðè÷åñêîé è ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïîëå ïëîòíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà — ïðèìåðû âåêòîðíûõ ïîëåé.
 ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz âåêòîð a (M ) çàïèøåòñÿ â
âèäå (§ 2.1, ï. 8)
a (M ) = a x ( x , y, z )i + a y ( x , y, z ) j + a z ( x , y, z )k ,
ãäå ax(x, ó, z), ay(x, y, z), àz(x, y, z) (êðàòêî ax, ay, az) — ïðîåêöèè âåêòîðà, çàäàííîãî â òî÷êå Ì(x; y; z) ñîîòâåòñòâåííî íà îñè êîîðäèíàò Ox, Oy, Oz.
354
 § 9.11 ðàññìàòðèâàëàñü âåêòîðíàÿ ôóíêöèÿ îäíîãî ñêàëÿðíîãî àðãóìåíòà. Çäåñü èçó÷àåì âåêòîðíóþ ôóíêöèþ òðåõ ñêàëÿðíûõ àðãóìåíòîâ.
Äàëüøå âñþäó ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè àõ, àó, az íåïðåðûâíû
âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.
Óêàæåì íà ÷àñòíûå ñëó÷àè âåêòîðíûõ ïîëåé.
Âåêòîðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì, åñëè a (M ) — ïîñòîÿííûé
âåêòîð, ò. å. àx, àó, àz — ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû. Ïðèìåðîì îäíîðîäíîãî
ïîëÿ ìîæåò ñëóæèòü, íàïðèìåð, ïîëå ñèëû òÿæåñòè.
Âåêòîðíîå ïîëå íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì, åñëè ïðîåêöèè âåêòîðà a (M )
íå çàâèñÿò îò îäíîé èç òðåõ ïåðåìåííûõ x, y, z è îäíà èç ïðîåêöèé ðàâíà
íóëþ, íàïðèìåð:
a (M ) = a x ( x , y )i + a y ( x , y ) j .
Ñ ïëîñêèìè ïîëÿìè î÷åíü ÷àñòî ïðèõîäèòñÿ âñòðå÷àòüñÿ â ãèäðîäèíàìèêå ïðè èçó÷åíèè ïëîñêèõ òå÷åíèé æèäêîñòè, ò. å. òàêèõ òå÷åíèé,
êîãäà âñå ÷àñòèöû æèäêîñòè äâèæóòñÿ ïàðàëëåëüíî íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, ïðè÷åì ñêîðîñòè ÷àñòèö, ðàñïîëîæåííûõ íà îäíîé è òîé æå ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ýòîé ïëîñêîñòè, îäèíàêîâû. Ðàññìîòðèì
ñëåäóþùèé ôèçè÷åñêèé ïðèìåð.
Ï ð è ì å ð. Ïóñòü òâåðäîå òåëî âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω. Íàéäåì ïîëå ëèíåéíûõ ñêîðîñòåé òî÷åê ýòîãî òåëà.
Êàê èçâåñòíî èç êèíåìàòèêè, ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü v ðàâíà âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ
v = [ω , r ], ãäå ω — âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè (ò. å. âåêòîð, îòëîæåííûé íà îñè âðàùåíèÿ è
÷èñëåííî ðàâíûé âåëè÷èíå óãëîâîé ñêîðîñòè; ýòîò âåêòîð íàïðàâëåí òàê, ÷òî åñëè ñìîòðåòü èç åãî êîíöà, âðàùåíèå êàæåòñÿ ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè), à r — ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M âðàùàþùåãîñÿ òåëà îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî òî÷êè îñè âðàùåíèÿ.
Âûáðàâ ýòó íåïîäâèæíóþ òî÷êó çà íà÷àëî êîîðäèíàò è íàïðàâèâ îñü âðàùåíèÿ ïî îñè Oz
(ðèñ. 181), íàéäåì ïðîåêöèè âåêòîðà v . Èìååì:
ω = ωk , r = xi + yj + zk , v = −ωyi + ωxj .
Òàêèì îáðàçîì, v x = −ωy, v y = ωx , v z = 0, ò. å. ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïëîñêèì.
Ðèñ. 181
Ðèñ. 182
355
Âåêòîðíîé ëèíèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ íàçûâàåòñÿ ëèíèÿ, â êàæäîé òî÷êå êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì, ñîîòâåòñòâóþùèì ýòîé
òî÷êå (ðèñ. 182).
Âåêòîðíûå ëèíèè â êîíêðåòíûõ ïîëÿõ èìåþò ÿñíûé ôèçè÷åñêèé
ñìûñë. Òàê, åñëè ìû ðàññìàòðèâàåì ïîëå ñêîðîñòåé òåêóùåé æèäêîñòè, òî âåêòîðíûå ëèíèè ñóòü ëèíèè òîêà ýòîé æèäêîñòè, ò. å. ëèíèè, ïî
êîòîðûì äâèæóòñÿ ÷àñòèöû æèäêîñòè.
 ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå âåêòîðíûå ëèíèè — ýòî ñèëîâûå ëèíèè ýòîãî
ïîëÿ. Íàïðèìåð, â ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà òàêèìè ëèíèÿìè áóäóò ëó÷è,
âûõîäÿùèå èç çàðÿäà. Äëÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ âåêòîðíûìè (ñèëîâûìè)
ëèíèÿìè áóäóò ëèíèè, âûõîäÿùèå èç ñåâåðíîãî ïîëþñà è îêàí÷èâàþùèåñÿ â þæíîì.
2. Ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ ÷åðåç ïîâåðõíîñòü. Êàê óæå îòìå÷àëîñü (ñì.
§ 12.4, ï. 3),êîëè÷åñòâî æèäêîñòè, ïðîòåêàþùåé â åäèíèöó âðåìåíè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü σ, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
Π = ∫∫ P( x , y, z )dydz + Q( x , y, z )dzdx + R( x , y, z )dxdy
σ
èëè â ñèëó ôîðìóëû (15) èç § 12.4 ôîðìóëîé
Π = ∫∫ [P( x , y, z )cos α + Q( x , y, z )cos β + R( x , y, z )cos γ ]ds.
(1)
σ
Âåëè÷èíà Ï íàçûâàåòñÿ ïîòîêîì æèäêîñòè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü σ.
Ïîñêîëüêó P, Q, R — êîîðäèíàòû âåêòîðà-ñêîðîñòè v , cos α, cos β,
cos γ — êîîðäèíàòû åäèíè÷íîãî âåêòîðà n 0 íîðìàëè n ê ïîâåðõíîñòè σ
è Ð cos α + Q cos β + R cos γ =v n 0 , òî ôîðìóëó (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Π = ∫∫ v n 0 ds, èëè Π = ∫∫ v n ds,
σ
σ
ãäå vn — ïðîåêöèÿ âåêòîðà v íà íîðìàëü n .
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ïîòîêîì Ï âåêòîðà a (M ) èëè ïîòîêîì âåêòîðíîãî ïîëÿa (M )÷åðåç ïîâåðõíîñòü σ íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë
Π = ∫∫ a (M )n 0 ds,
(2)
σ
ãäå n 0 — åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè σ â åå òåêóùåé òî÷êå Ì. Ïîâåðõíîñòü äîëæíà áûòü îðèåíòèðîâàííîé, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â
êàæäîé åå òî÷êå âûáðàíî îäíî èç äâóõ íàïðàâëåíèé íîðìàëè òàê, ÷òîáû n (M ) íåïðåðûâíî ìåíÿëñÿ ïî ïîâåðõíîñòè σ.  ñëó÷àå çàìêíóòîé
ïîâåðõíîñòè σ â êà÷åñòâå n (M ) âûáèðàåòñÿ âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè.
Ïóñòü
a (M ) = a x i + a y j + a z k , n 0 = i cos α + j cos β + k cos γ.
356
Òîãäà
Π = ∫∫ (a x cos α + a y cos β + a z cos γ )ds.
σ
Îòñþäà ñîãëàñíî ôîðìóëå (15) èç § 12.4 (ï. 5) èíòåãðàë (2) ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
Π = ∫∫ a x dydz + a y dzdx + a z dxdy.
σ
Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëåíèå ïîòîêà âåêòîðà ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ
èíòåãðàëîâ ïî ïîâåðõíîñòè. Èç ñàìîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ïîòîê
âåêòîðà Ï — âåëè÷èíà ñêàëÿðíàÿ. Åñëè èçìåíèòü íàïðàâëåíèå íîðìàëè n íà ïðîòèâîïîëîæíîå, ò. å. ïåðåìåíèòü ñòîðîíó ïîâåðõíîñòè σ, òî
(§ 12.4, ï. 3) ïîòîê Ï èçìåíèò çíàê. Òàê êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
âåêòîðà a (M ) íà åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè n ðàâíî an(M) — ïðîåêöèè
âåêòîðà a (M ) íà íàïðàâëåíèå n (§ 2.2, ï. 1), òî ïîòîê Ï ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
Π = ∫∫ a n (M )ds.
(3)
σ
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè íà íåêîòîðîì ó÷àñòêå ïîâåðõíîñòè ïðîåêöèÿ âåêòîðà a (M ) íà íîðìàëü ïîñòîÿííà, ò. å. àn(Ì) = Ñ =
= const, òî ïîòîê ÷åðåç òàêîé ó÷àñòîê ïðîñòî ðàâåí C·Q, ãäå Q — ïëîùàäü ýòîãî ó÷àñòêà ïîâåðõíîñòè.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ïîòîê ðàäèóñà-âåêòîðàr ÷åðåç áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü σ1 âåðõíåå îñíîâàíèå σ2 è íèæíåå îñíîâàíèå σ3 ïðÿìîãî öèëèíäðà ðàäèóñà R è âûñîòîé H, åñëè íà÷àëî êîîðäèíàò ëåæèò â öåíòðå íèæíåãî îñíîâàíèÿ öèëèíäðà, à îñü öèëèíäðà ñîâïàäàåò ñ îñüþ Îz (ðèñ. 183).
Íà âñåõ ïîâåðõíîñòÿõ n èìååò íàïðàâëåíèå
âíåøíåé íîðìàëè. Íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè σ1
âíåøíÿÿ íîðìàëü n ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè xOy è
ïðîåêöèÿ rn ðàâíà R. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3) è ôîðìóëó ∫∫ ds = S σ (§ 12.4, ï. 1), ïîëó÷àåì:
σ
Π1 = ∫∫ Rds = R ⋅ 2 πRH = 2 πR 2 H .
σ1
Íà âåðõíåì îñíîâàíèè σ2 íîðìàëü n íàïðàâëåíà ïàðàëëåëüíîîñè Oz è rn = Í. Ñëåäîâàòåëüíî,
Π 2 = ∫∫ Hds = HπR 2 = πR 2 H .
σ2
Íàêîíåö, íà íèæíåì îñíîâàíèè σ3 ïðîåêöèÿ rn = 0 è
Ï3 = 0.
Ðèñ. 183
357
Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé, êîãäà σ — çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü. Åñëè áåðåòñÿ âíåøíÿÿ íîðìàëü, òî ìû áóäåì ãîâîðèòü î ïîòîêå
èçíóòðè ïîâåðõíîñòè σ. Îí îáîçíà÷àåòñÿ òàê:
Π = ∫∫ a n (M )ds.
σ
( âåêòîðíîì àíàëèçå èíòåãðàëû ïî çàìêíóòûì ïîâåðõíîñòÿì îáîçíà÷àþòñÿ îáû÷íî ∫∫ , ÷àñòî òàêæå óïîòðåáëÿþò è ñèìâîë ∫ .) Îáëàñòü, êîòîσ
σ
ðóþ îãðàíè÷èâàåò ïîâåðõíîñòü σ, áóäåì îáîçíà÷àòü Ω.
Êîãäà âåêòîðíîå ïîëå a (M ) ïðåäñòàâëÿåò ïîëå ñêîðîñòåé æèäêîñòè,
âåëè÷èíà ïîòîêà Ï äàåò ðàçíîñòü ìåæäó êîëè÷åñòâîì æèäêîñòè, âûòåêàþùåé èç îáëàñòè Ω, è êîëè÷åñòâîì æèäêîñòè, âòåêàþùåé â ýòó îáëàñòü. (Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê èíòåãðàë ∫∫ a n ds áåðåòñÿ ïî âíåøíåé
σ
ñòîðîíå ïîâåðõíîñòè, òî åñëè âåêòîð ñêîðîñòèv â äàííîé òî÷êå ïîâåðõíîñòè σ íàïðàâëåí íàðóæó, òî v n 0 > 0; åñëè æå âåêòîð v íàïðàâëåí
âíóòðü, òî v n 0 < 0.)
Åñëè Ï = 0, òî â îáëàñòü Ω æèäêîñòè âòåêàåò ñòîëüêî æå, ñêîëüêî
è âûòåêàåò. Òàê, íàïðèìåð, áóäåò äëÿ ëþáîé îáëàñòè, ðàñïîëîæåííîé â
ïîòîêå âîäû, òåêóùåé â ðåêå.
Åñëè æå âåëè÷èíà Ï îòëè÷íà îò íóëÿ, íàïðèìåð ïîëîæèòåëüíà, òî
èç îáëàñòè Ω æèäêîñòè âûòåêàåò áîëüøå, ÷åì âòåêàåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
â îáëàñòè Ω èìåþòñÿ èñòî÷íèêè, ïèòàþùèå ïîòîê æèäêîñòè. Íàîáîðîò, åñëè âåëè÷èíà Ï îòðèöàòåëüíà, òî ýòî óêàçûâàåò íà íàëè÷èå ñòîêî⠗ ìåñò, ãäå æèäêîñòü óäàëÿåòñÿ èç ïîòîêà.
Ðàâåíñòâî íóëþ ïîòîêà Ï ìîæåò îçíà÷àòü ëèáî îòñóòñòâèå èñòî÷íèêîâ è ñòîêîâ, ëèáî, ïî êðàéíåé ìåðå, íàëè÷èå òàêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
èñòî÷íèêîâ è ñòîêîâ, ÷òî èõ îáùàÿ ìîùíîñòü ðàâíà íóëþ.
3. Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî — Ãàóññà. Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî —
Ãàóññà (Ì. Â. Îñòðîãðàäñêèé (1801—1861) — âûäàþùèéñÿ ðóññêèé ìàòåìàòèê) ñâÿçûâàåò ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë ïî çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè è òðîéíîé èíòåãðàë ïî ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé
ýòîé ïîâåðõíîñòüþ. Ýòà ôîðìóëà ÿâëÿåòñÿ àíàëîãîì ôîðìóëû Ðèìàíà — Ãðèíà (§ 12.3, ï. 4), ñâÿçûâàþùåé êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïî
çàìêíóòîé êðèâîé ñ äâîéíûì èíòåãðàëîì ïî ïëîñêîé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ýòîé êðèâîé.
Ïóñòü ôóíêöèè Ð(õ, ó, z), Q(x, ó, z), R(x, ó, z) (êðàòêî Ð, Q, R) íåïðåðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè Px′ , Q ′y , R z′ â
çàìêíóòîé ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè Ω, ãðàíèöà êîòîðîé ïåðåñåêàåòñÿ ñ ëþáîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñÿì êîîðäèíàò, íå áîëåå
÷åì â äâóõ òî÷êàõ. Íàçîâåì äëÿ êðàòêîñòè òàêèå îáëàñòè ïðîñòûìè.
358
Ïðè ýòîì áóäåì ðàññìàòðèâàòü âíåøíþþ ñòîðîíó ïîâåðõíîñòè σ, îãðàíè÷èâàþùåé ýòó îáëàñòü. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîâåðõíîñòü σ ãëàäêàÿ
èëè êóñî÷íî-ãëàäêàÿ (§ 12.4,
ï. 1).
Ïóñòü îáëàñòü G åñòü ïðîåêöèÿ ïîâåðõíîñòè σ (è îáëàñòè
Ω) íà ïëîñêîñòü xOy (ðèñ. 184),
a z = z1(x, ó) è z = z2(x, y) — óðàâíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòåé
σ — íèæíåé ÷àñòè σ1 è âåðõíåé
σ2, ãäå z1(x, y) è z2(x, y) íåïðåðûâíû â îáëàñòè G. Ïðåîáðàçó-
Ðèñ. 184
åì, êàê óêàçàíî íèæå, èíòåãðàë ∫∫∫
Ω
∂R
dxdydz :
∂z
z ( x, y )
2
∂R
∂R
dxdydz
=
dxdy
dz =
∫∫∫
∫∫
∫
I
∂z
∂z
Ω
G
z1 ( x, y )
= ∫∫ (R( x , y, z 2 ( x , y )) − R( x , y, z 1 ( x , y )))dxdy =
II
G
= ∫∫ R( x , y, z )dxdy − ∫∫ R( x , y, z )dxdy.
III
σ2
σ1
Ïðåîáðàçîâàíèå I îñíîâàíî íà ïðàâèëå âû÷èñëåíèÿ òðîéíîãî èíòåãðàëà (§ 12.2), II — íà ôîðìóëå Íüþòîíà — Ëåéáíèöà (§ 9.7, ï. 2), III —
íà ôîðìóëå (14) èç ï. 4 § 12.4.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ èíòåãðàëû ïî
âåðõíèì ñòîðîíàì ïîâåðõíîñòåé σ1 è σ2. Ìåíÿÿ â èíòåãðàëå ïî σ1 ñòîðîíó ïîâåðõíîñòè, ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ïîâåðõíîñòíîãî èíòåãðàëà âòîðîãî
ðîäà (§ 12.4, ï. 3) ïîëó÷àåì:
∂R
∫∫∫ ∂z dxdydz = ∫∫ R( x, y, z )dxdy,
Ω
(4)
σ
ãäå èíòåãðàë ñïðàâà áåðåòñÿ ïî âíåøíåé ñòîðîíå ïîâåðõíîñòè σ.
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì óñòàíàâëèâàþòñÿ ôîðìóëû
∂P
∫∫∫ ∂x dxdydz = ∫∫ Pdydz ,
Ω
∂Q
∫∫∫ ∂y dxdydz = ∫∫Qdzdx .
Ω
(5)
σ
(6)
σ
359
Ñêëàäûâàÿ ïî÷ëåííî ðàâåíñòâà (4), (5), (6), ïðèõîäèì ê ôîðìóëå
 ∂P
∂Q
∫∫∫  ∂x + ∂y
Ω
+
∂R 
 dxdydz = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy,
∂z 
σ
(7)
íàçûâàåìîé ôîðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî — Ãàóññà (â êîîðäèíàòíîé ôîðìå), ãäå ïîâåðõíîñòíûé èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî âíåøíåé ñòîðîíå ïîâåðõíîñòè σ.
Ç à ì å ÷ à í è å. Ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî—Ãàóññà îñòàåòñÿ âåðíîé è äëÿ ëþáîé çàìêíóòîé ïðîñòðàíñòâåííîé îáëàñòè Ω, êîòîðóþ ìîæíî ðàçáèòü íà êîíå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ
îáëàñòåé.
4. Äèâåðãåíöèÿ. Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ òî÷êó Ì0 âåêòîðíîãî ïîëÿ
a (M ) è îêðóæèì åå çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ σ, öåëèêîì ñîäåðæàùåéñÿ
â ïîëå. Âû÷èñëèì ïîòîê âåêòîðà ÷åðåç ïîâåðõíîñòü σ è âîçüìåì îòíîøåíèå ýòîãî ïîòîêà ê îáúåìó V îáëàñòè Ω, îãðàíè÷åííîé ïîâåðõíîñòüþ σ:
∫∫ a n (M )ds
σ
(8)
.
V
 ïîëå ñêîðîñòåé æèäêîñòè ýòî îòíîøåíèå îïðåäåëÿåò êîëè÷åñòâî
æèäêîñòè, âîçíèêàþùåå â åäèíèöó âðåìåíè â îáëàñòè Ω, îòíåñåííîå ê
åäèíèöå îáúåìà, ò. å., êàê ãîâîðÿò, ñðåäíþþ îáúåìíóþ ìîùíîñòü èñòî÷íèêà; åñëè ïîòîê èçíóòðè ïîâåðõíîñòè σ ìåíüøå íóëÿ, òî ñîîòâåòñòâåííî ãîâîðÿò σ ìîùíîñòè ñòîêà.
Íàéäåì òåïåðü ïðåäåë îòíîøåíèÿ (8) ïðè óñëîâèè, ÷òî îáëàñòü Ω
ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó Ì0 (ò. å. ÷òî V ñòðåìèòñÿ ê íóëþ):
∫∫ a
n
(M )ds
σ
(9)
.
V
Åñëè ýòîò ïðåäåë ñóùåñòâóåò è ïîëîæèòåëåí, òî òî÷êà Ì0 íàçûâàåòñÿ
èñòî÷íèêîì ïîëÿ, à åñëè îòðèöàòåëåí, òî ñòîêîì ïîëÿ. Ñàìà âåëè÷èíà
ýòîãî ïðåäåëà õàðàêòåðèçóåò ìîùíîñòü èñòî÷íèêà èëè ñòîêà.  ïåðâîì
ñëó÷àå â ëþáîì áåñêîíå÷íî ìàëîì îáúåìå, îêðóæàþùåì òî÷êó Ì0,
æèäêîñòü âîçíèêàåò, à âî âòîðîì — èñ÷åçàåò.
Ïðåäåë (9) (åñëè îí ñóùåñòâóåò) íàçûâàåòñÿ äèâåðãåíöèåé èëè ðàñõîäèìîñòüþ âåêòîðíîãî ïîëÿ â òî÷êå Ì0; îáîçíà÷åíèå div a (M 0 ). Òàêèì
îáðàçîì,
lim
V →0
div a (M 0 ) = lim
V →0
360
∫∫ a
n
(M )ds
σ
V
.
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äèâåðãåíöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ åñòü âåëè÷èíà ñêàëÿðíàÿ.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ðåøàåò âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïðåäåëà (9) è
íàõîæäåíèè åãî âåëè÷èíû â äåêàðòîâûõ êîîðäèíàòàõ:
Ò å î ð å ì à. Äèâåðãåíöèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ a (M ) = a x i + a y j + a z k
(àõ, àó, àz íåïðåðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè
∂a y
∂y
,
∂a z
∂z
) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
∂a x
,
∂x
∂a x ∂a y ∂a z
(10)
+
+
,
∂x
∂y
∂z
ãäå çíà÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áåðóòñÿ â òî÷êå Ì.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî ôîðìóëå Îñòðîãðàäñêîãî — Ãàóññà (ï. 3)
ïîòîê âåêòîðà Π ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
div a (M ) =
∫∫ a
σ
n
(M )ds = ∫∫ a x (M )dydz + a y (M )dzdx + a z (M )dxdy =
σ
∂a y ∂a z 
 ∂a
= ∫∫∫  x +
+
 dxdydz .
∂x
∂y
∂z 
Ω 
Ïî òåîðåìå î ñðåäíåì (ñì. § 12.2, ï. 1)
 ∂a x ∂a y ∂a z 
 ∂a x ∂a y ∂a z 
+
+
+
+
 dxdydz = 


∫∫∫
∂x
∂y
∂z 
∂y
∂z 
 ∂x
Ω 
V.
M1
Åñëè îáëàñòü Ω ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó Ì, òî òî÷êà M1 ñòðåìèòñÿ ê òî÷êå
Ì, è ìû ïîëó÷àåì:
div a (M ) = lim
 ∂a x ∂a y ∂a z 
+
+


∂y
∂z 
 ∂x
M1
V .=
∂a x ∂a y ∂a z
+
+
,
∂x
∂y
∂z
V
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Óêàæåì òåïåðü íà âåêòîðíóþ çàïèñü ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî—Ãàóññà. Åñëè â ôîðìóëå (7) ôóíêöèè P, Q, R ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîåêöèè
íåêîòîðîãî âåêòîðà a (M ), òî ïðàâàÿ ÷àñòü åå ðàâíà ïîòîêó âåêòîðà a (M )
(ï. 2) ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü σ (â íàïðàâëåíèè âíåøíåé íîðìàëè ê σ), à
∂P ∂Q ∂R
+
+
= div a (M ),
∂x ∂y ∂z
M 1→ M
è ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî—Ãàóññà ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå
∫∫ a
σ
n
(M )ds = ∫∫∫ div a (M )dv.
(11)
Ω
361
Îíà âûðàæàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: ïîòîê âåêòîðíîãî ïîëÿ ÷åðåç
çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü (â íàïðàâëåíèè âíåøíåé íîðìàëè ê íåé) ðàâåí
òðîéíîìó èíòåãðàëó îò äèâåðãåíöèè ýòîãî ïîëÿ, âçÿòîìó ïî îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ýòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé òî÷êå M äèâåðãåíöèÿ ñêîðîñòè v ïîëîæèòåëüíà: div v > 0.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îíà
ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé è â òî÷êàõ äîñòàòî÷íî ìàëîãî øàðà w, îãðàíè÷åííîãî ñôåðîé σ ñ öåíòðîì â òî÷êå Ì. Íî òîãäà ∫∫∫ div v dxdydz > 0, ñëåw
äîâàòåëüíî, íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (11) ∫∫ v n ds > 0, ò. å. èç îáëàñòè w ÷åσ
ðåç åå ãðàíèöó σ æèäêîñòè âûòåêàåò áîëüøå, ÷åì âòåêàåò. Ïî ýòîé
ïðè÷èíå òî÷êó Ì íàçûâàþò èñòî÷íèêîì. Åñëè æå div v < 0 â òî÷êå M, òî
÷åðåç äîñòàòî÷íî ìàëóþ ñôåðó ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå âòåêàåò æèäêîñòè
áîëüøå, ÷åì âûòåêàåò. Ïîýòîìó òî÷êó M â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò ñòîêîì (òî æå è â ñëó÷àå ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ a (M )).
Âåêòîðíàÿ ôîðìà ôîðìóëû Îñòðîãðàäñêîãî — Ãàóññà âûðàæàåò â
ïîëå òåêóùåé æèäêîñòè òîò ôàêò, ÷òî ïîòîê æèäêîñòè ÷åðåç ïîâåðõíîñòü ðàâåí ñóììàðíîé ìîùíîñòè âñåõ èñòî÷íèêîâ è ñòîêîâ, ò. å. êîëè÷åñòâó æèäêîñòè, âîçíèêàþùåé â ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè çà åäèíèöó
âðåìåíè. (Åñëè ìîùíîñòü ñòîêîâ áîëüøå, ÷åì èñòî÷íèêîâ, òî æèäêîñòü â îáëàñòè èñ÷åçàåò.) Åñëè, â ÷àñòíîñòè, äèâåðãåíöèÿ âî âñåõ òî÷êàõ ðàâíà íóëþ, òî ðàâåí íóëþ è ïîòîê ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ
ïîâåðõíîñòü.
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü äèâåðãåíöèþ ïîëÿ ñêîðîñòåé æèäêîñòè v = ai + bj + ck , ãäå
à, b, ñ — ïîñòîÿííûå. Ýòî îäíîðîäíîå âåêòîðíîå ïîëå. ßñíî, ÷òî div v = 0.
Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì ïîëå íåò íè èñòî÷íèêîâ, íè ñòîêîâ. Âñå ÷àñòèöû æèäêîñòè
èìåþò îäíó è òó æå ñêîðîñòü, æèäêîñòü äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî êàê òâåðäîå òåëî. Ïîòîê
òàêîé æèäêîñòè ÷åðåç ëþáóþ çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí íóëþ.
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü ïîòîê âåêòîðà a = r = xi + yj + zk ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü. Òàê êàê div r = 3, òî ïî ôîðìóëå (11) ïîëó÷àåì, ÷òî Π = 3∫∫∫ dv = 3VΩ . Òàêèì îáðàΩ
çîì, ïîòîê ðàäèóñà-âåêòîðà r ÷åðåç çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü ðàâåí óòðîåííîìó îáúåìó îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ýòîé ïîâåðõíîñòüþ.
Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèì äèâåðãåíöèþ ïîëÿ ëèíåéíûõ ñêîðîñòåé âðàùàþùåãîñÿ
òåëà (ñì. ï. 1, ïðèìåð) v = −ωyi + ωxj. Çäåñü
div v =
∂(−ωy) ∂(ωx )
+
= 0.
∂x
∂y
Åñëè ïðåäñòàâèòü ñåáå æèäêîñòü, âðàùàþùóþñÿ êàê òâåðäîå òåëî, òî ÿñíî, ÷òî â òàêîì
ïîòîêå íåò íè èñòî÷íèêîâ, íè ñòîêîâ.
362
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëó (10) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
div a = (∇, a ),
åñëè ïîä (∇, a ) ïîíèìàòü ôîðìàëüíî îáðàçîâàííîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ
∂
∂
∂
è a = a (M ) = a x i + a y j + a z k ,
+ j
+k
∂x
∂y
∂z
∂
∂ ∂
îáðàùàÿñü ñ îïåðàòîðàìè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
êàê ñî ñêàëÿðíûìè âåëè÷è,
,
∂x ∂y ∂z
íàìè.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ôîðìóëû, îáëåã÷àþùèå âû÷èñëåíèå
äèâåðãåíöèè áîëåå ñëîæíûõ âåêòîðîâ ïîëåé.
1. Åñëè C1 è Ñ2 — ñêàëÿðíûå ïîñòîÿííûå, òî ñîãëàñíî èçâåñòíûì ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (ñì. § 2.2, ï. 1) èìååì:
∇ =i
(∇, C1 a1 + C 2a 2 ) = C1 (∇, a1 ) + C 2 (∇, a 2 ),
ò. å.
div(C1 a1 + C 2a 2 ) = C1 div a1 + C 2 div a 2 .
2. Åñëè a — âåêòîðíîå ïîëå ïîñòîÿííîãî íàïðàâëåíèÿ, a = u(M )c , ãäåc = c x i + c y j +
+c z k — ïîñòîÿííûé âåêòîð, à è = u(Ì) — ñêàëÿðíîå ïîëå, òî
(∇, a ) = (∇, uc ) = c x
∂u
∂u
∂u
+ cy
+ cz
= (c , ∇u),
∂x
∂y
∂z
ò. å.
div(uc ) = (grad u, c ),
3. Åñëè c = c (M ) — ïåðåìåííûé âåêòîð, è = u(Ì) — ñêàëÿðíîå ïîëå, òî
(∇, uc ) = c x
∂c y ∂c z 
 ∂c
∂u
∂u
∂u
+ cy
+ cz
+ u x +
+
 = (c , ∇u) + u(∇, c ),
∂x
∂y
∂z
∂y
∂z 
 ∂x
ò. å.
div(uc ) = (grad u, c ) + u div c ,
5. Öèðêóëÿöèÿ, çàâèõðåííîñòü è ðîòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ. Ïîä öèðêóëÿöèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ a (M ) ïî êîíòóðó L ïîíèìàåòñÿ ñëåäóþùèé êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïî çàìêíóòîìó ïóòè L, ñíàáæåííîìó íàïðàâëåíèåì îáõîäà:
Ö L = ∫ a τ dl ,
L
ãäå àτ — ïðîåêöèÿ âåêòîðà ïîëÿ a (M ) íà êàñàòåëüíóþ ê ïóòè L â òî÷êå
M, ïðè÷åì íà ýòîé êàñàòåëüíîé ïîëîæèòåëüíûì ñ÷èòàåòñÿ òî íàïðàâëåíèå, êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà (ðèñ. 185).
Î÷åâèäíî, ÷òî öèðêóëÿöèÿ òåì áîëüøå, ÷åì áëèæå íàïðàâëåíèå
âåêòîðà a (M ) â êàæäîé òî÷êå Ì ïóòè L ê íàïðàâëåíèþ óêàçàííîé êàñàòåëüíîé. Î÷åâèäíî, ÷òî èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ îáõîäà êîíòóðà L âëå÷åò çà ñîáîé èçìåíåíèå çíàêà öèðêóëÿöèè íà îáðàòíûé.
363
Ðèñ. 185
Ðèñ. 186
Âûÿñíèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë öèðêóëÿöèè. Ïóñòü a — ïîëå ñêîðîñòåé òåêóùåé æèäêîñòè, L — îêðóæíîñòü, è ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ýòà
îêðóæíîñòü — ïåðèôåðèÿ êîëåñèêà ñ ëîïàñòÿìè, ðàñïîëîæåííûìè ïî
îêðóæíîñòè ýòîãî êîëåñà (ðèñ. 186), ìîãóùåãî âðàùàòüñÿ âîêðóã îñè,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åãî öåíòð ïåðïåíäèêóëÿðíî ê åãî ïëîñêîñòè.
Òîãäà â ñòàöèîíàðíîì ïîòîêå ÷åì áîëüøå öèðêóëÿöèÿ ÖL ïðè äàííîì
ðàäèóñå êîëåñèêà, òåì áûñòðåå áóäåò îíî âðàùàòüñÿ. Íàïðèìåð, â îäíîðîäíîì ïîëå, ãäå âåêòîð ñêîðîñòè a — ïîñòîÿííûé âåêòîð , òàêîå
êîëåñèêî íå áóäåò âðàùàòüñÿ íè ïðè îäíîì ïîëîæåíèè â ïîòîêå, òàê
êàê íà êàæäóþ åãî ïàðó äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ ëîïàòîê áóäåò äåéñòâîâàòü îäíà è òà æå ñèëà (ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ). Â
ýòîì ñëó÷àå, êàê ìû óâèäèì äàëüøå (ñì. ï. 6, ïðèìå÷àíèå), äåéñòâèòåëüíî ÖL = 0. Íî â ïîòîêå, îáðàçóåìîì âðàùåíèåì æèäêîñòè êàê
òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåêîòîðîé îñè, êîëåñèêî áóäåò âðàùàòüñÿ è ïðèòîì ñ ðàçíîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ â çàâèñèìîñòè îò óãëà íàêëîíà åãî
îñè ê îñè âðàùåíèÿ æèäêîñòè. Áûñòðåå âñåãî îíî áóäåò âðàùàòüñÿ òîãäà, êîãäà åãî îñü ïàðàëëåëüíà îñè âðàùåíèÿ æèäêîñòè (â ýòîì ñëó÷àå
íà êàæäóþ åãî ïàðó äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ ëîïàòîê áóäåò
äåéñòâîâàòü ïàðà ñèë).
Âåëè÷èíà öèðêóëÿöèè ÖL ïî ïëîñêîìó êîíòóðó L, îòíåñåííàÿ ê åäèÖ
íèöå ïëîùàäè, îãðàíè÷åííîé ýòèì êîíòóðîì, ò. å. îòíîøåíèå L , ãäå
S
S — ïëîùàäü, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì L, õàðàêòåðèçóåò ñðåäíþþ çàâèõðåííîñòü ïîòîêà âîêðóã îñè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè êîíòóðà L è
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íåêîòîðóþ âíóòðåííþþ òî÷êó ïëîñêîé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé ýòèì êîíòóðîì.
Ïóñòü äàíà òî÷êà M0 ïîëÿ a (M ) è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íåå îñü íàïðàâëåíèÿ n (ðèñ. 187).  ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé òî÷êó M0 è ïåðïåíäèêó-
364
ëÿðíîé n , ïðîâåäåì êîíòóð L, îáõîäÿùèé
òî÷êó Ì0 â òîì íàïðàâëåíèè, â êîòîðîì íàäî
âðàùàòü ïðàâûé âèíò, ÷òîáû îí èìåë ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå â íàïðàâëåíè n. Òàêîå
íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà L áóäåì íàçûâàòü ñîãëàñîâàííûì ñ n. Îáðàçóåì
lim
L→ M 0
( S→ 0 )
1
a τ dl
S ∫L
(12)
ïðè óñëîâèè ñòÿãèâàíèÿ êîíòóðà L â òî÷êó Ì0
Ðèñ. 187
(òîãäà S ñòðåìèòñÿ ê íóëþ). Åñëè ñóùåñòâóåò
ïðåäåë (12), íå çàâèñÿùèé îò òîãî, êàêèå
ôîðìû ïðèíèìàåò êîíòóð L â ñâîåé ïëîñêîñòè â ïðîöåññå ñòÿãèâàíèÿ â
òî÷êó Ì0, òî îí íàçûâàåòñÿ çàâèõðåííîñòüþ ïîëÿ a (M ) â òî÷êå M0 âîêðóã
íàïðàâëåíèÿ n è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç w n (M 0 ):
1
a τ dl = w n (M 0 ).
lim
L→ M 0 S ∫
L
( S→ 0 )
Ðàññìîòðèì âåêòîð b òàêîé, ÷òî
Ïð n b (M 0 ) = w n (M 0 ).
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà âïîëíå îïðåäåëÿåò âåêòîð b â äàííîé òî÷êå
ïîëÿ M0, òàê êàê èçâåñòíà ïðîåêöèÿ ýòîãî âåêòîðà íà ëþáîå íàïðàâëåíèå n. Âåêòîð b íàçûâàåòñÿ âèõðåì èëè ðîòîðîì äàííîãî âåêòîðíîãî
ïîëÿ a â òî÷êå M0 è îáîçíà÷àåòñÿ rot a (M 0 ). Ñëåäîâàòåëüíî,
êîðî÷å,
(13)
Ïð n rot a (M 0 ) = w n (M 0 ),
rot n a (M 0 ) = w n (M 0 ).
Èç ôîðìóëû (13) ñëåäóåò, ÷òî çàâèõðåííîñòü w n (M 0 ) áóäåò íàèáîëüøåé â òîì ñëó÷àå, êîãäà íàïðàâëåíèå íîðìàëè n ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì rot a (M 0 ).
Íàéäåì ôîðìóëó âû÷èñëåíèÿ
ðîòîðà â ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò. Äëÿ ýòîãî âû÷èñëèì,
íàïðèìåð, ïðîåêöèþ ðîòîðà íà
îñü Oz. Ïóñòü γ — çàìêíóòûé
êîíòóð, ëåæàùèé â ïëîñêîñòè
õÎó, è SG — ïëîùàäü îãðàíè÷åííîé èì îáëàñòè G (ðèñ. 188). Èñïîëüçóÿ ñâÿçü ìåæäó êðèâîëèíåéíûìè èíòåãðàëàìè ïåðâîãî è
Ðèñ. 188
365
âòîðîãî ðîäà (§ 12.3) è ôîðìóëó Ðèìàíà — Ãðèíà (§ 12.3, ï. 4), ìîæåì
çàïèñàòü, ÷òî
 ∂a y ∂a x 
∫γ a γ dl = ∫γ a x dx + a y dy = ∫∫G  ∂x − ∂y  dxdy.
Ïðèìåíÿÿ ê ïîñëåäíåìó èíòåãðàëó òåîðåìó î ñðåäíåì (§ 12.1, ï. 3),
íàõîäèì:
 ∂a y ( M 1 ) ∂a x ( M 1 ) 
∫γ a γ dl =  ∂x − ∂y  S G .
Çäåñü M1 — íåêîòîðàÿ òî÷êà îáëàñòè G. Îòñþäà â ñèëó ôîðìóëû (13)
ïîëó÷àåì:
 ∂a y (M 1 ) ∂a x (M 1 ) ∂a y (M ) ∂a x (M )
−
Ïð Oz rot a = lim 
−
.
=
M 1→ M
∂x
∂y
∂x
∂y 

( γ→ M )
Òàêèì æå îáðàçîì íàõîäèì ïðîåêöèè ðîòîðà íà îñè Îõ è Îó:
Ïð Ox rot a =
∂a z (M )
∂y
−
∂a y (M )
∂z
, Ïð Oy rot a =
∂a x (M ) ∂a z (M )
−
.
∂z
∂x
Òàêèì îáðàçîì.
∂a y   ∂a x ∂a z 
 ∂a y ∂a x 
 ∂a
rot a =  z −
−
−
k ,
i + 
 j +
∂y 
∂z   ∂z
∂x 
 ∂x
 ∂y
èëè äëÿ óäîáñòâà çàïîìèíàíèÿ
 i
 ∂
rot a = 
 ∂x
a
 x
j
∂
∂y
ay
(14)
k 
∂
.
∂z 
a z 
Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. § 3.3, ï. 1), rot a = [∇, a ].
Ïóñòü n 0 = i cos α + j cos β + k cos γ — åäèíè÷íûé âåêòîð íàïðàâëåíèÿ
n. Òîãäà ñ ó÷åòîì ôîðìóë (13) è (14) èìååì:
∂a y 
 ∂a
 ∂a y ∂a x 
 ∂a x ∂a z 
w n (M 0 ) =  z −
−
−
 cos α + 
 cos γ.
 cos β + 
∂z 
∂x 
∂y 
 ∂z
 ∂y
 ∂x
Òî÷íî òàê æå, êàê äëÿ ãðàäèåíòà è äèâåðãåíöèè,
rot(C 1 a 1 + C 2 a 2 ) = C 1 rot a 1 + C 2 rot a 2 .
Äëÿ ðîòîðà ïîëÿ ïîñòîÿííîãî íàïðàâëåíèÿ a = uc , ãäå c = c x i + c y j +
+c z k — ïîñòîÿííûé âåêòîð, à è = è(M) — ñêàëÿðíîå ïîëå, èìååì:
rot (uc ) = −[c , grad u ].
366
(15)
Ôîðìóëà (15) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì áîëåå îáùåé ôîðìóëû.
Åñëè c = c (M ) — ïåðåìåííûé âåêòîð, òî [∇, uc ] = −[c , ∇u ] + u[∇, c ].
Ï ð è ì å ð 1. Åñëè c — ïîñòîÿííûé âåêòîð, òî rot c = 0 è w n = 0.
Ï ð è ì å ð 2. Åñëè a = r — ðàäèóñ-âåêòîð, òî
 ∂z ∂y 
 ∂y ∂x 
 ∂x ∂z 
rot a = 
− i + 
−
−
 k = 0 è w n = 0.
j +
 ∂z ∂x 
 ∂y ∂z 
 ∂x ∂y 
Ïðèâåäåì òåïåðü ïðèìåð, ïîÿñíÿþùèé ôèçè÷åñêèé ñìûñë ðîòîðà.
Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèì ðîòîð ïîëÿ ëèíåéíûõ ñêîðîñòåé âðàùàþùåãîñÿ òåëà (ñì.
§ 14.2, ï. 1, ïðèìåð) v = −ωyi + ωxj.
Èìååì: rot v = 2ωk .
Çíà÷èò, | rot v | = 2ω, ò. å. ìîäóëü âåêòîðà rot v ðàâåí óäâîåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè, ñ êîòîðîé òâåðäîå òåëî âðàùàåòñÿ âîêðóã îñè Oz. Îòñþäà ïðîèñõîæäåíèå íàçâàíèÿ «ðîòîð»,
ò. å. «âðàùåíèå». Óñòàíîâëåííûé ìåõàíè÷åñêèé ñìûñë ðîòîðà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà
ïîëå ñêîðîñòåé òåêóùåé æèäêîñòè.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:
(∇, a1 × a 2 ) = a 2 [∇, a1 ] − a1 [∇, a 2 ], ò.å. div (a1 × a 2 ) = a 2 rot a1 − a1 rot a 2 ,
÷òî äîêàçûâàåòñÿ ïåðåõîäîì ê êîîðäèíàòàì âõîäÿùèõ ñþäà âåêòîðîâ.
6. Ôîðìóëà Ñòîêñà (Äæîðäæ Ãàáðèåëü Ñòîêñ (1819—1903) — àíãëèéñêèé ôèçèê è ìàòåìàòèê). Äëÿ ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ èìååò ìåñòî
ôîðìóëà, àíàëîãè÷íàÿ ôîðìóëå Ðèìàíà—Ãðèíà (§ 12.3, ï. 4), ïîçâîëÿþùàÿ ñâåñòè âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ïî ïîâåðõíîñòè σ ê âû÷èñëåíèþ
êðèâîëèíåéíîãî èíòåãðàëà ïî êîíòóðó L, îãðàíè÷èâàþùåìó ýòó ïîâåðõíîñòü (puc. 189). Áóäåì ñ÷èòàòü,÷òî ïîâåðõíîñòü σ ïåðåñåêàåòñÿ ñ
ëþáîé ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé îñè
Oz, íå áîëåå ÷åì â îäíîé òî÷êå.
Ïóñòü z = z(x, y) — óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè σ, ãäå ôóíêöèè z ( x , y ),
z ′x ( x , y ), z ′y ( x , y ) íåïðåðûâíû â
çàìêíóòîé îáëàñòè G — ïðîåêöèè σ
íà ïëîñêîñòü xOy, L — êîíòóð, îãðàíè÷èâàþùèé σ, à à — åãî ïðîåêöèÿ
íà ïëîñêîñòü xOy, ÿâëÿþùàÿñÿ êîíòóðîì, îãðàíè÷èâàþùèì îáëàñòü G.
Âûáåðåì äëÿ îðèåíòàöèè âåðõíþþ
ñòîðîíó ïîâåðõíîñòè σ (ðèñ. 189).
Ïóñòü ôóíêöèè Ð(õ, ó, z), Q(x, y, z),
R(x, y, z) (êðàòêî Ð, Q, R) íåïðåðûâÐèñ. 189
367
íû âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà íà ïîâåðõíîñòè σ.
Ðàññìîòðèì èíòåãðàë
∫ P( x, y, z )dx ,
L
ãäå íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà L ñîãëàñîâàíî ñ âûáîðîì ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè (ñì. ðèñ. 189).  ñëó÷àå âûáîðà íèæíåé ñòîðîíû ïîâåðõíîñòè σ íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà L òàêæå äîëæíî áûòü ñîãëàñîâàíî ñ
òàêèì âûáîðîì.
Òàê êàê êîíòóð L ëåæèò íà ïîâåðõíîñòè σ,òî êîîðäèíàòû åãî òî÷åê
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ z = z(x, y), è ïîýòîìó çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ð â
òî÷êàõ êîíòóðà L ðàâíû çíà÷åíèÿì ôóíêöèè Ð(õ, ó, z(x, y)) â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ êîíòóðà Ã. Ïðîåêöèè æå ñîîòâåòñòâóþùèõ ó÷àñòêîâ
ðàçáèåíèÿ êîíòóðîâ L è à íà îñü Ox ñîâïàäàþò. Çíà÷èò, ñîâïàäàþò èíòåãðàëüíûå ñóììû äëÿ êðèâîëèíåéíûõ èíòåãðàëîâ âòîðîãî ðîäà îò
ôóíêöèè P ïî êîíòóðàì L è Ã, à çíà÷èò, ðàâíû è èíòåãðàëû
∫ P( x, y, z )dx = ∫ P( x, y, z( x, y))dx .
L
Γ
Äàëåå, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Ðèìàíà—Ãðèíà (§ 12.3, ï. 4), ïåðåéäåì ê
äâîéíîìó èíòåãðàëó ïî îáëàñòè G. Ïîëó÷àåì:
 ∂P
∂P

∫ P( x, y, z( x, y))dx = − ∫∫  ∂y + ∂z z ′  dxdy.
Γ
y
G
Òàê êàê âûáðàíà âåðõíÿÿ ñòîðîíà ïîâåðõíîñòè σ (ñì. § 12.4, ï. 3), òî
íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû íîðìàëè n ê íåé âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìè
(§ 2.2, ï. 3; § 11.2, ï. 5):
cosα = −
cosβ = −
cos γ =
Îòñþäà
z ′x
1 + z ′x 2 + z ′y 2
z ′y
1 + z ′x 2 + z ′y 2
1
1 + z ′x 2 + z ′y 2
,
,
.
cos β
= − z ′y . Ïîýòîìó
cos γ
 ∂P ∂P cos β 
 ∂P ∂P 
−
z ′y  dxdy = − ∫∫ 
− ∫∫ 
+
 dxdy.


∂y ∂z cos γ 
y
z
∂
∂
G 
G
368
Òåïåðü, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëàìè (14) è (15) § 12.4, ìîæíî ýòîò
äâîéíîé èíòåãðàë ïðåîáðàçîâàòü â ïîâåðõíîñòíûé. Ïîëó÷àåì:
 ∂P ∂P cos β 
∂P

 ∂P
− ∫∫ 
−
cos γ −
cos β ds.
 dxdy = − ∫∫ 


∂y
∂ cos γ 
∂y
∂z
G 
σ
Èòàê,
 ∂P
∂P

∫ Pdx = ∫∫  ∂y cos γ − ∂z cos β ds.
L
(16)
σ
(Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôîðìóëà (16) âåðíà è äëÿ ïîâåðõíîñòåé áîëåå
ñëîæíîãî âèäà.)
Àíàëîãè÷íî ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèÿõ äîêàçûâàåòñÿ:
 ∂Q
∂Q

 ∂R
∂R

∫Qdy = ∫∫  ∂x cos γ − ∂z cos α  ds,
L
(17)
σ
∫ Rdz = ∫∫  ∂y cos α − ∂x cos β ds.
L
(18)
σ
Ñêëàäûâàÿ ïî÷ëåííî ðàâåíñòâà (16), (17), (18), ïîëó÷àåì ôîðìóëó
∫ Pdx +Qdy + Rdz =
L

 ∂Q ∂P 
 ∂R ∂Q 
 ∂P ∂R 
−
−
= ∫∫ 
−
 cosβ ds,
 cos α + 
 cos γ + 
 ∂z ∂x 
 ∂y ∂z 
 ∂x ∂y 

σ 
(19)
íàçûâàåìóþ ôîðìóëîé Ñòîêñà.
Èíòåãðàë â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû (19) ðàâåí ∫ a τ dl (ñì. § 12.3) — öèðL
êóëÿöèè âåêòîðà a = Pi + Qj + Rk âäîëü êîíòóðà L. Èíòåãðàë â ïðàâîé
÷àñòè ïðåäñòàâëÿåò ïîòîê âåêòîðà rot a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü σ, îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì L.
Ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëó Ñòîêñà â âåêòîðíîé ôîðìå ìîæíî çàïèñàòü òàê:
(20)
∫ a τ dl = ∫∫ rot n ads,
L
σ
Òàêèì îáðàçîì, öèðêóëÿöèÿ âåêòîðà a âäîëü çàìêíóòîãî êîíòóðà L
ðàâíà ïîòîêó âèõðÿ ýòîãî âåêòîðà a ÷åðåç ïîâåðõíîñòü σ, ëåæàùóþ â ïîëå
âåêòîðà a è îãðàíè÷åííóþ êîíòóðîì L.
Òàê êàê rot n a åñòü çàâèõðåííîñòü w n (M ) â òî÷êå M âîêðóã íàïðàâëåíèÿ n, òî ðàâåíñòâî (20) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå
∫a
L
τ
dl = ∫∫ w n (M )ds.
σ
369
Ýòà ôîðìóëà îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðàë ïî ïîâåðõíîñòè σ îò çàâèõðåííîñòè
ïîëÿ âîêðóã íàïðàâëåíèÿ íîðìàëè ðàâåí öèðêóëÿöèè âåêòîðà ïîëÿ ïî êîíòóðó L, îãðàíè÷èâàþùåìó ïîâåðõíîñòü σ, íàïðàâëåíèå îáõîäà êîòîðîãî
ñîãëàñîâàííî ñ íàïðàâëåíèåì íîðìàëè.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Èç ôîðìóëû Ñòîêñà ñëåäóåò, ÷òî öèðêóëÿöèÿ ïîñòîÿííîãî âåêòîðà âäîëü ëþáîãî êîíòóðà ðàâíà íóëþ, òàê êàê rot c = 0 (ï. 5, ïðèìåð 1), è ïî ôîðìóëå (20)
∫ a dl = 0.
τ
L
Íà ýòîò ôàêò ìû ññûëàëèñü â íà÷àëå ï. 5.
Ôîðìóëó Ñòîêñà ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû ñâÿçè ïîâåðõíîñòíûõ èíòåãðàëîâ (§ 12.4, ï. 5, ôîðìóëà (15)) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
∫ Pdx +Qdy + Rdz =
L
 ∂R ∂Q 
 ∂Q ∂P 
 ∂P ∂R 
−
−
= ∫∫ 
−
 dzdx .
 dydz + 
 dxdy + 
 ∂z ∂x 
 ∂y ∂z 
 ∂x ∂y 
σ
(21)
Ôîðìóëó (21) ëåãêî çàïîìíèòü, çàìåòèâ, ÷òî ïåðâîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé åå ÷àñòè — ýòî òî æå âûðàæåíèå, êîòîðîå ñòîèò ïîä çíàêîì äâîéíîãî
èíòåãðàëà â ôîðìóëå Ðèìàíà—Ãðèíà, à âòîðîå è òðåòüå ïîëó÷àþòñÿ èç
íåãî öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêîé êîîðäèíàò õ, ó, z è ôóíêöèé Ð, Q, R.
 ÷àñòíîñòè, åñëè ïîâåðõíîñòü σ — îáëàñòü ïëîñêîñòè õÎó, îãðàíè÷åííàÿ êîíòóðîì L, òî èíòåãðàëû ïî dzdx è dydz îáðàùàþòñÿ â íóëü è
ôîðìóëà Ñòîêñà ïåðåõîäèò â ôîðìóëó Ðèìàíà—Ãðèíà.
Èç ôîðìóëû Ñòîêñà ñëåäóåò, ÷òî åñëè
∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P ∂R
(22)
=
,
=
,
=
,
∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
∂x
òî êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë ïî ëþáîé ïðîñòðàíñòâåííîé çàìêíóòîé
êðèâîé L ðàâåí íóëþ:
∫ Pdx +Qdy + Rdz = 0.
(23)
L
À ýòî çíà÷èò, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå êðèâîëèíåéíûé èíòåãðàë
∫
íå çàâè-
AB
ñèò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ.
Êàê è â ñëó÷àå ïëîñêîé êðèâîé, óñëîâèÿ (22) ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè è äîòàòî÷íûìè äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâåíñòâà (23).
Ïðè âûïîëíåíèè ýòèõ óñëîâèé ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå
Pdx + Qdy + Rdz ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëíûé äèôôåðåíöèàë íåêîòîðîé
ôóíêöèè u(x, y, z). Ýòî óñòàíàâëèâàåòñÿ òàê æå, êàê â § 12.3 äëÿ ôóíêöèè
äâóõ ïåðåìåííûõ.
370
§ 14.3. Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè âòîðîãî ïîðÿäêà
è èõ ïðèëîæåíèÿ
1. Äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðèìåíåíèå îïåðàòîðà ∇ ê ñêàëÿðíûì è âåêòîðíûì ïîëÿì íîñèò íàçâàíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé ïåðâîãî ïîðÿäêà, òàê êàê ∇ ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì îïåðàòîðîì ïåðâîãî ïîðÿäêà (åãî ïðèìåíåíèå òðåáóåò îáðàçîâàíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïåðâîãî ïîðÿäêà). Áóäó÷è âåêòîðíûì îïåðàòîðîì, ∇
ìîæåò áûòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðèìåíåí ê ñêàëÿðíîìó ïîëþ
(ââèäó íàëè÷èÿ òîëüêî îäíîãî âèäà ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðà íà ñêàëÿð) è
äâóìÿ ïóòÿìè ïðèìåíåí ê âåêòîðíîìó ïîëþ (ñêàëÿðíûì èëè âåêòîðíûì óìíîæåíèåì). Ýòî äàåò òðè óæå èçâåñòíûå íàì äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà: ãðàäèåíò ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, äèâåðãåíöèþ è ðîòîð âåêòîðíîãî ïîëÿ.
Âàæíóþ ðîëü èãðàþò è ðåçóëüòàòû äâóêðàòíîãî ïðèìåíåíèÿ ê ïîëÿì îïåðàòîðà ∇, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè îïåðàöèÿìè
âòîðîãî ïîðÿäêà.
Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàöèè âòîðîãî
ïîðÿäêà. Íà÷íåì ñî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è = è(Ì). Òàê êàê ∇u = grad è —
âåêòîðíîå ïîëå (ñì. § 14.1, ï. 4), òî ê íåìó îïåðàòîð ∇ ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ñêàëÿðíûì èëè âåêòîðíûì óìíîæåíèåì, ÷òî äàåò ïåðâûå äâå
îïåðàöèè âòîðîãî ïîðÿäêà:
(∇, ∇u) = div grad è,
[∇, ∇u] = rot grad u.
(1)
(2)
Ïóñòü òåïåðü èìååì âåêòîðíîå ïîëå a = a (M ).Òàê êàê( ∇, a ) = div a åñòü
ñêàëÿðíîå ïîëå, òî ê íåìó îïåðàòîð ∇ ìîæåò áûòü ïðèìåíåí åäèíñòâåííûì îáðàçîì, èìåííî îáðàçîâàíèåì
∇( ∇, a ) = grad div a .
(3)
Ýòî òðåòüÿ îïåðàöèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.
Íàêîíåö, òàê êàê [∇, a ] = rot a åñòü âåêòîðíîå ïîëå, òî ê íåìó ìû
èìååì âîçìîæíîñòü ïðèìåíèòü îïåðàòîð ∇ ñêàëÿðíûì è âåêòîðíûì
óìíîæåíèåì, ÷òî äàåò ÷åòâåðòóþ è ïÿòóþ îïåðàöèè âòîðîãî ïîðÿäêà:
è
( ∇, [∇, a ]) = div rot a
(4)
[∇, [∇, a ]] = rot rot a .
(5)
Èòàê, ïîëó÷àþòñÿ âñåãî ïÿòü äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé âòîðîãî
ïîðÿäêà. Äâå èç ýòèõ îïåðàöèé, èìåííî (2) è (4), òîæäåñòâåííî ðàâíû
íóëþ, òàê êàê â ïðîèçâåäåíèÿõ [∇, ∇]u è ( ∇, [∇, a ]) äâà «âåêòîðà» ðàâíû
(ñì. § 2.2, ï. 4 è 5).
371
Äàëåå, ïåðåõîäÿ ê îïåðàöèè (1), ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóë (3) èç
§ 14.1 è (10) èç § 14.2 ïîëó÷àåì:
∂u
∂u  ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u
 ∂u
+
+
.
divgrad u = div i +
j + k =
 ∂x
∂y
∂z  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ñëåäóþùèé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð
âòîðîãî ïîðÿäêà:
∂2
∂2
∂2
∇=
+ 2 + 2,
2
∂y
∂z
∂x
íàçûâàåìûé îïåðàòîðîì Ëàïëàñà (Ïüåð Ñèìîí Ëàïëàñ (1749—1827) —
ôðàíöóçñêèé àñòðîíîì, ìàòåìàòèê è ôèçèê) èëè ëàïëàñèàíîì. Òîãäà
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
+
+
,
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∂ 2a ∂ 2a ∂ 2a
∆a =
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
(∆u — ñêàëÿð, ∆a — âåêòîð).
Èç ðàâåíñòâà (6) ñëåäóåò, ÷òî åñëè a = a x i + a y j + a z k , òî
∆u =
(6)
∆a = i ∆a x + j∆a y + k ∆a z .
Ôîðìàëüíî óìíîæèâ ñêàëÿðíî âåêòîð ∇ ñàì íà ñåáÿ (âçÿâ ñêàëÿðíûé êâàäðàò âåêòîðà ∇), íàéäåì:
2
2
2
∂2
∂2
∂2
 ∂
 ∂
 ∂
+ 2 + 2 = ∆,
∇∇ = ∇ 2 =   +   +   =
2
 ∂z 
 ∂x 
 ∂y 
∂x
∂y
∂z
2
ïîýòîìó îïåðàòîð Ëàïëàñà ÷àñòî îáîçíà÷àþò åùå ñèìâîëîì ∇ .
Èòàê,
divgrad u = ∇( ∇u ) = ∇ 2 u = ∆u,
(7)
ò. å. äèâåðãåíöèÿ ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîé ôóíêöèè ðàâíà ëàïëàñèàíó ýòîé
ôóíêöèè.
Íàêîíåö, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàöèè (5) è (3) ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì
rot rot a = grad div a − ∆a .
(8)
(Äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïåðåõîäà ê êîîðäèíàòàì.)
Ïðèâåäåì ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàöèé âòîðîãî ïîðÿäêà ê âûâîäó óðàâíåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé èç óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà (Äæåéìñ Êëåðê
Ìàêñâåëë (1831 — 1879) — àíãëèéñêèé ôèçèê) ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Óðàâíåíèÿ
372
Ìàêñâåëëà ïðè îòñóòñòâèè ïðîñòðàíñòâåííûõ çàðÿäîâ è ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ñèñòåìû åäèíèö èìåþò âèä:
rotE = −µ
∂H
∂E
, rotH = 4πγE + ε
, div(εE ) = 0, div(µH ) = 0,
∂t
∂t
ãäå ε — äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ, µ — ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü è γ — óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü (ïðåäïîëàãàåìûå ïîñòîÿííûìè). Èñêëþ÷èì òåïåðü èç ýòèõ óðàâíåíèé âåêòîð
ìàãíèòíîé íàïðÿæåííîñòè H äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äëÿ îäíîãî òîëüêî
âåêòîðà E ýëåêòðè÷åñêîé íàïðÿæåííîñòè. Ñ ýòîé öåëüþ îáðàçóåì ðîòîðû îáåèõ ÷àñòåé
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà:
rot rotE = −µ rot
∂H
∂
= −µ rotH
∂t
∂t
(ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëèâî ïîòîìó, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû
∂
è rot
∂t
ïåðåñòàíîâî÷íû â ñèëó ðàâåíñòâà ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ). Ïîýòîìó â ñèëó âòîðîãî
óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
rot rot E = −µ
∂
∂E 
∂E
∂2 E
− µε 2 .
 4πγE + ε
 = −4πµγ
∂t 
∂t 
∂t
∂t
Íî òàê êàê ïî ôîðìóëå (8)
rot rot E = grad div E − ∆E ,
òî, èñïîëüçóÿ òðåòüå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà, ïîëó÷èì, ÷òî
µε
∂2 E
∂E
+ 4πµγ
− ∆E = 0.
∂t 2
∂t
(9)
(Òàê êàê ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà îòíîñèòñÿ òîëüêî ê âåêòîðó ìàãíèòíîé íàïðÿæåííîñòè, òî îíî ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ (9) íå èñïîëüçóåòñÿ.)
Ïîñêîëüêó E — âåêòîð, òî ýòîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿåò êàæäàÿ èç åãî ïðîåêöèé,
ò. å. åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç E ëþáóþ èç ýòèõ ïðîåêöèé, òî
µε
∂2 E
∂E
+ 4πµγ
− ∆E = 0.
∂t 2
∂t
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàþò óðàâíåíèåì ýëåêòðîìàãíèòíûõ êîëåáàíèé.
2. Îðòîãîíàëüíûå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû. Êîýôôèöèåíòû Ëàìå. Ïðÿìîóãîëüíàÿ
ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå è íà ïëîñêîñòè ÷àùå âñåãî ïðèìåíÿåòñÿ ïðè ðåøåíèè
ðàçëè÷íûõ çàäà÷ ôèçèêè è òåõíèêè. Òåì íå ìåíåå ìíîãèå èç ýòèõ çàäà÷ ïðîùå ðåøàþòñÿ â
äðóãèõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò, èç êîòîðûõ íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíû óæå âñòðå÷àâøèåñÿ
íàì ðàíåå ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè, öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ
ñèñòåìû êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå.
Ïóñòü õ, ó, z — ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷åê ïðîñòðàíñòâà. Ðàññìîòðèì òðè
óðàâíåíèÿ
õ = õ(è, v, w), ó = ó(è, v, w), z = z(u, v, w),
(10)
373
âûðàæàþùèå ýòè ïåðåìåííûå ÷åðåç íåêîòîðóþ äðóãóþ òðîéêó ïåðåìåííûõ è, v, w. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî óðàâíåíèÿ (10) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî u, v, w, è ðåøàÿ ýòè
óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî óêàçàííûõ ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èì:
u = u(x, ó, z), v = v(x, ó, z), w = w(x, ó, z).
(11)
 äàëüíåéøåì ïðåäïîëàãàåì âûïîëíåííûìè äâà óñëîâèÿ:
1) ôóíêöèè è, v, w íåïðåðûâíû è îáëàäàþò íåïðåðûâíûìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè
äî âòîðîãî ïîðÿäêà âêëþ÷èòåëüíî;
2) ðàçíûì òðîéêàì (è, v, w) èç îáëàñòè D* èçìåíåíèÿ ýòèõ ïåðåìåííûõ îòâå÷àþò ðàçëè÷íûå òðîéêè ÷èñåë (õ, ó, z) èç ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè D.
Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ êàæäîé òðîéêå ÷èñåë (è, v, w) áóäåò îòâå÷àòü â ïpocòpaícòâe òî÷êà
Ì ñ êîîðäèíàòàìè (õ, y, z), ïðè÷åì ýòî ñîîòâåòñòâèå áóäåò è âçàèìíî îäíîçíà÷íûì, èáî,
îáðàòíî, êàæäîé òî÷êå Ì(x, ó, z) ïðîñòðàíñòâà áóäåò îòâå÷àòü îïðåäåëåííàÿ òðîéêà ÷èñåë
(è, v, w).  ñèëó ñêàçàííîãî ïåðåìåííûå (è, v, w) ìîæíî ïðèíÿòü â êà÷åñòâå êîîðäèíàò òî÷åê ïðîñòðàíñòâà, ïðè÷åì åñëè ïî êðàéíåé ìåðå îäíî èç óðàâíåíèé (10) íåëèíåéíî, òî
ýòè ïåðåìåííûå íàçûâàþòñÿ êðèâîëèíåéíûìè êîîðäèíàòàìè.
Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü
è(õ, ó, z) = C1
(12)
(êðàòêî u = Ñ1).
Íà ýòîé ïîâåðõíîñòè êîîðäèíàòà è ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå Ñ1, òàêàÿ ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòíîé ïîâåðõíîñòüþ. Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ êîîðäèíàòíûå ïîâåðõíîñòè
v(õ, ó, z) = C2
(13)
w(x, ó, z) = C3
(14)
(êðàòêî v = Ñ2),
(êðàòêî w = C3).
Óðàâíåíèÿ (12), (13), (14) ñ ïðîèçâîëüíûìè ïàðàìåòðàìè Ñ1, Ñ2, Ñ3, äàþò òðè ñåìåéñòâà êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû êîîðäèíàò. Íàïðèìåð, â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòî öèëèíäðû ñ îñüþ Oz, ïîëóïëîñêîñãè, îãðàíè÷åííûå îñüþ Oz, è ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ê îñè Oz, â ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòî ñôåðû ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, êîíóñû ñ îñüþ Oz, ïîëóïëîñêîñòè,
îãðàíè÷åííûå îñüþ Oz. ×åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà Ì0(è0, v0, w0) ïðîõîäÿò òðè ïåðåñåêàþùèåñÿ êîîðäèíàòíûå ïîâåðõíîñòè u = u0, v = v0, w = w0.
Ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ëþáûõ äâóõ êîîðäèíàòíûõ ïîâåðõíîñòåé íàçûâàåòñÿ êîîðäèíàòîé ëèíèåé. Òàê, êîîðäèíàòíàÿ ëèíèÿ è åñòü ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòåé v = v0 è w =
= w0, íà ýòîé ëèíèè èçìåíÿåòñÿ ëèøü âåëè÷èíà è, a v è w ñîõðàíÿþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ. Àíàëîãè÷íî âäîëü êàæäîé êîîðäèíàòíîé ëèíèè èçìåíÿåòñÿ òîëüêî îäíà èç òðåõ êîîðäèíàò è, v, w. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ êîîðäèíàòíûõ ëèíèé ïîëó÷àþòñÿ èç óðàâíåíèé (10), åñëè â íèõ çàôèêñèðîâàòü êàêèå-íèáóäü äâå èç òðåõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàò è, v, w. Âñåãî èìååì òðè ñåìåéñòâà êîîðäèíàòíûõ ëèíèé.  öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò ýòî ëó÷è, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îñè Oz, îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì íà îñè Oz â ïëîñêîñòÿõ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê îñè Oz, è ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå îñè Oz; â ñôåðè÷åñêîé
374
ñèñòåìå êîîðäèíàò ýòî ëó÷è, èñõîäÿùèå èç ïîëþñà, äóãè îêðóæíîñòåé ñ öåíòðîì â íà÷àëå
êîîðäèíàò è îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì íà îñè Oz.
×åðåç êàæäóþ òî÷êó ïðîñòðàíñòâà ïðîõîäÿò òðè ïåðåñåêàþùèåñÿ êîîðäèíàòíûå ëèíèè ñèñòåìû (è, v, w).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç e u , ev , ew åäèíè÷íûå âåêòîðû êàñàòåëüíûõ ê ñîîòâåòñòâóþùèì êîîðäèíàòíûì ëèíèÿì â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå Ì0, íàïðàâëåííûå â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ
êîîðäèíàò.
Ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè åå êîîðäèíàòíûå ëèíèè ïåðåñåêàþòñÿ òîëüêî ïîä ïðÿìûì óãëîì. Îðòîãîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð ïðÿìîóãîëüíàÿ, öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Ñèñòåìà êîîðäèíàò íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé, åñëè ñðåäè åå êîîðäèíàòíûõ ëèíèé
åñòü íå ïðÿìûå ëèíèè. Íàïðèìåð, öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû — îðòîãîíàëüíûå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòíûå ñèñòåìû. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî îðòîãîíàëüíûå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòíûå ñèñòåìû. Ïîýòîìó óêàçàííûå âûøå âåêòîðû
e u , ev è ew áóäóò ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Èõ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþò îðòàìè ñèñòåìû (è, v, w).
Ðàññìîòðèì êîîðäèíàòíûå ëèíèè ñèñòåìû (è, v, w), ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó Ì0. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, íàïðèìåð, êîîðäèíàòíîé ëèíèè è ïîëó÷èì, ïîëîæèâ â (10) v =
= v0, w = w0:
õ = õ(è, v0, w0), ó = ó(è, v0, w0), z = z(u, v0, w0).
Ïîä ýëåìåíòàìè äóã êîîðäèíàòíûõ ëèíèé è, v, w ïîíèìàþò äèôôåðåíöèàëû äëèí äóã
ýòèõ ëèíèé îáîçíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî dlu, dlv, dlw. Êàê èçâåñòíî (ñì. § 9.9, ï. 3),
dl u = x u′ 2 + yu′ 2 + zu′ 2 du, dlv = xv′ 2 + yv′ 2 + zv′ 2 dv , dlw = xw′ 2 + yw′ 2 + zw′ 2 dw .
Âåëè÷èíû
H u = x u′ 2 + yu′ 2 + zu′ 2 , H v = xv′ 2 + yv′ 2 + zv′ 2 , H w = xw′ 2 + yw′ 2 + zw′ 2
(15)
íàçûâàþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè Ëàìå (Ãàáðèåëü Ëàìå (1795—1870) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê) ñèñòåìû êîîðäèíàò (è, v, w).
Ï ð è ì å ð 1.  ñëó÷àå öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò èìååì (ñì. § 12.2, ï. 3)
õ = rcos ϕ, y = rsin ϕ, z = z è, ïîëàãàÿ è = r, v = ϕ, w = z, ïî ôîðìóëàì (15) ïîëó÷èì:
Hr = l, Íϕ = r, Íz = 1.
(16)
Ï ð è ì å ð 2.  ñëó÷àå ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò (ñì. § 12.2, ï. 3)
õ = r sin θ cos ϕ; y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ,
è, ïîëàãàÿ è = r, v = ϕ, w = θ, ïî ôîðìóëàì (15) ïîëó÷èì:
Ír = 1, Hϕ = rsin θ, Íθ = r.
(17)
3. Ãðàäèåíò, äèâåðãåíöèÿ è ëàïëàñèàí â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ
êîîðäèíàòàõ. Âû÷èñëèì ãðàäèåíò ñêàëÿðíîé ôóíêöèè f = f (Ì) = f (u, v, w).
375
Ïîäñòàâëÿÿ â ïåðâîå èç óðàâíåíèé (11) âìåñòî õ, ó è z èõ âûðàæåíèÿ
èç (10), ïîëó÷èì òîæäåñòâî
è(õ(è, v, w), ó(è, v, w), z(è, v, w)) = u.
Çàòåì, ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ýòî òîæäåñòâî ïî è, áóäåì èìåòü:
u x′ x u′ + u ′y y u′ + u z′ z u′ = 1.
(18)
Àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû ñïðàâåäëèâû äëÿ v è w.
Ôîðìóëà ãðàäèåíòà ñëîæíîé ôóíêöèè (§ 14.1, ï. 5, ïðàâèëî 4) äàåò
grad f = f u′ grad u + f v′ grad v + f w′ grad w.
(19)
Èçâåñòíî (ñì. [15], ò. II), ÷òî ãðàäèåíò ñêàëÿðíîé ôóíêöèè è(õ, ó, z)
åñòü âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ è = è0.
Ïîýòîìó îí êîëëèíåàðåí âåêòîðó eu . Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì:
grad u = u x′ i + u ′y j + u z′ k = heu ,
(20)
ãäå h — ñêàëÿðíûé ìíîæèòåëü, ïîäëåæàùèé îïðåäåëåíèþ.
Ïðîèçâîäíàÿ âåêòîðíîé ôóíêöèè r = xi + yj + zk ïî ñêàëÿðíîìó àðãóìåíòó, íàïðèìåð è , ñîãëàñíî ï. 2 § 9.11 åñòü âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî
êàñàòåëüíîé ê ãîäîãðàôó âåêòîðà r (u ) (ðàññìàòðèâàåìîãî êàê ôóíêöèÿ è), ò. å. ïî êàñàòåëüíîé ê êîîðäèíàòíîé ëèíèè è. Ïîýòîìó
ru′ = x u′ i + y u′ j + z u′ k = H u eu ,
(21)
ãäå Íè — ñîîòâåòñòâóþùèé êîýôôèöèåíò Ëàìå (ï. 2) ñèñòåìû (u, v, w).
 ðåçóëüòàòå ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ ðàâåíñòâ (20) è (21) ïîëó÷èì
ðàâåíñòâî
(22)
u x′ x u′ + u ′y y u′ + u z′ z u′ = hH u ,
1
ëåâàÿ ÷àñòü êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå ïî ôîðìóëå (18). Ïîýòîìó h =
è
Hu
ñîãëàñíî ôîðìóëå (20) èìååì:
grad u =
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì:
1
eu .
Hu
(23)
1
(24)
ev ,
Hv
1
(25)
grad w =
ew .
Hw
Òåïåðü èç ôîðìóë (19), (23), (24), (25) íàõîäèì âûðàæåíèå ãðàäèåíòà ñêàëÿðíîé ôóíêöèè òî÷êè â êðèâîëèíåéíûõ îðòîãîíàëüíûõ êîîðäèíàòàõ:
1 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
(26)
grad f =
eu +
ev +
ew .
H u ∂u
H v ∂v
H w ∂w
gradv =
376
Ï ð è ì å ð 1. Èç ôîðìóëû (26), èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (16) äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Ëàìå
â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (ï. 2, ïðèìåð. 1), íàéäåì, ÷òî â ýòèõ êîîðäèíàòàõ
grad f =
∂f
1 ∂f
∂f
er +
eϕ + ez .
∂r
r ∂ϕ
∂z
Ï ð è ì å ð 2. Àíàëîãè÷íî ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (17) (ï. 2, ïðèìåð 2) ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ ãðàäèåíòà â ñôåðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ:
grad f =
∂f
1 ∂f
∂f
er +
eϕ + eθ .
∂r
r sin θ ∂ϕ
∂θ
Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì., íàïðèìåð, [15], ò. II), ÷òî âûðàæåíèÿ äèâåðãåíöèè âåêòîðà a = a (M ) â îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ èìååò âèä
1
∂
∂

 ∂
(27)
(a w H u H v ) ,
diva =
 (a u H v H w ) + (a v H u H w ) +

H u H v H w  ∂u
∂v
∂w
ãäå àè, àv, àw — ïðîåêöèè âåêòîðà a ñîîòâåòñòâåííî íà íàïðàâëåíèÿ
eu , e v , e w .
Îïåðàòîð Ëàïëàñà ñêàëÿðíîé ôóíêöèè f (è, v, w) ñîãëàñíî ôîðìóëå
(7) åñòü äèâåðãåíöèÿ îò åå ãðàäèåíòà. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (27)
ê âåêòîðó a = gradf â ôîðìå (26), ò. å. ïîëàãàÿ â (27)
1 ∂f
1 ∂f
1 ∂f
au =
, av =
, aw =
,
H u ∂u
H v ∂v
H w ∂w
ïîëó÷èì âûðàæåíèå îïåðàòîðà Ëàïëàñà â ëþáûõ îðòîãîíàëüíûõ êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ:
∆f =
 ∂  H v H w ∂f  ∂  H u H w ∂f 
∂  H u H v ∂f  
1
 

 .
+ 
+
H u H v H w  ∂u  H u ∂u  ∂v  H v ∂v  ∂w  H w ∂w  
Ï ð è ì å ð 3. Íàéäèòå âûðàæåíèÿ äëÿ ëàïëàñèàíà â öèëèíäðè÷åñêîé è ñôåðè÷åñêîé ñèñòåìàõ êîîðäèíàò.
Ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (16) è (17) ñîîòâåòñòâåííî èìååì:
1 ∂  ∂f  1 ∂ 2 f ∂ 2 f
∆f =
+
r  +
r ∂r  ∂r  r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2
è
∂f 
1  ∂  ∂f 
1 ∂ 
1 ∂2 f 
∆f = 2   r 2  +
.
 sin θ  + 2
∂θ  r sin θ ∂r 2 
r  ∂r  ∂r  sin θ ∂θ 
4. Ïðîñòåéøèå âåêòîðíûå ïîëÿ è èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà. Á å ç â è õ ð å â û å ï î ë ÿ. Âåêòîðíîå ïîëå a = a (M ), â êàæäîé òî÷êå êîòîðîãî
rota = 0,
(28)
íàçûâàåòñÿ áåçâèõðåâûì èëè ïîòåíöèàëüíûì.
377
Òàê êàê äëÿ ëþáîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è rot grad u = 0 (§ 14.2), òî ïîëå
ãðàäèåíòà ëþáîãî ñêàëÿðíîãî·ïîëÿ áåçâèõðåâîå.
Ñïðàâåäëèâî îáðàòíîå ïðåäëîæåíèå.
Âåêòîð·a áåçâèõðåâîãî ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ ãðàäèåíòîì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è :
a = grad u.
Ñêàëÿð è íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïîòåíöèàëîì ýòîãî áåçâèõðåâîãî
ïîëÿ.
 ñèëó (28) è ôîðìóëû Ñòîêñà (ñì. § 14.2, ï. 6) â áåçâèõðåâîì ïîëå a
öèðêóëÿöèÿ ïî ëþáîìó êîíòóðó ðàâíà íóëþ. Ñ òî÷êè çðåíèÿ òå÷åíèÿ
æèäêîñòè ðàâåíñòâî íóëþ öèðêóëÿöèè îçíà÷àåò, ÷òî â ïîòîêå íåò çàìêíóòûõ ñòðóåê æèäêîñòè, ò. å. íåò âîäîâîðîòîâ.
Èçó÷åíèå áåçâèõðåâîãî ïîëÿ çíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ òåì, ÷òî ýòî
ïîëå âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì îäíîé ñêàëÿðíîé ôóíêöèè — åãî
ïîòåíöèàëîì.
Ò ð ó á ÷ à ò û å ï î ë ÿ. Âåêòîðíîå ïîëå a = a (M ), â êàæäîé òî÷êå
êîòîðîãî
(29)
div a = 0,
íàçûâàåòñÿ òðóá÷àòûì (ñîëåíîèäàëüíûì, ýòîò òåðìèí ïðîèñõîäèò îò
ëàòèíñêîãî ñëîâà solen — òðóáêà).
Ïîÿñíèì ñìûñë ýòîãî íàçâàíèÿ. Âîçüìåì â ýòîì ïîëå êàêóþ-íèáóäü
ïëîùàäêó σ1 è ïðîâåäåì ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó åå ãðàíèöû âåêòîðíûå ëèíèè (ñì. ï. 1). Ýòè ëèíèè îãðàíè÷èâàþò ÷àñòü ïðîñòðàíñòâà, íàçûâàåìóþ âåêòîðíîé òðóáêîé (ðèñ. 190). Æèäêîñòü ïðè ñâîåì òå÷åíèè âñå
âðåìÿ äâèæåòñÿ ïî òàêîé òðóáêå, íå ïåðåñåêàÿ åå ñòåíîê.
Ðàññìîòðèì ÷àñòü òàêîé òðóáêè, îãðàíè÷åííóþ ïëîùàäêîé σ1 è êàêèì-íèáóäü ñå÷åíèåì σ2 (ñì. ðèñ. 190).
Ñîãëàñíî óñëîâèþ (29) ôîðìóëà Îñòðîãðàäñêîãî — Ãàóññà (§ 14.2,
ï. 3) äàåò
∫ a n ds + ∫ a n ds + ∫ a n ds = 0,
σ1
σ2
σ
ãäå σ — áîêîâàÿ ïîâåðõíîñòü òðóáêè, n — âíåøíÿÿ íîðìàëü.
Ïî îïðåäåëåíèþ âåêòîðíîé òðóáêè âåêòîðû a è n íà ïîâåðõíîñòè σ
îðòîãîíàëüíû, çíà÷èò, èõ ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, è ïîýòîìó ðàâåí íóëþ èíòåãðàë ïî σ. Åñëè â èíòåãðàëå ïî ïîâåðõíîñòè σ2 èçìåíèòü íàïðàâëåíèå íîðìàëè, òî ïðèäåì ê ðàâåíñòâó
∫a
σ1
Ðèñ. 190
378
n
ds = ∫ a n ds,
σ2
âûðàæàþùåìó îñíîâíîå ñâîéñòâî òðóá÷àòîãî ïîëÿ: ïîòîê âåêòîðà òðóá÷àòîãî
ïîëÿ ÷åðåç ëþáîå ñå÷åíèå âåêòîðíîé òðóáêè â íàïðàâëåíèè âåêòîðíûõ ëèíèé
åñòü âåëè÷èíà ïîñòîÿííàÿ äëÿ äàííîé òðóáêè. Ýòà âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ
íàïðÿæåíèåì (èíòåíñèâíîñòüþ) âåêòîðíîé òðóáêè.
Òàê êàê äëÿ ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ b div rot b = 0 (ñì. ï. 1), òî:
1) ïîëå ðîòîðà ëþáîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ òðóá÷àòîå.
Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå ïðåäëîæåíèå, êîòîðîå ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà:
2) êàæäîå òðóá÷àòîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ðîòîðà íåêîòîðîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ, ò. å. åñëè div a = 0, òî ñóùåñòâóåò òàêîå âåêòîðíîå ïîëå b, ÷òî
a = rot b .
Âåêòîð b, ðîòîð êîòîðîãî ðàâåí âåêòîðó äàííîãî òðóá÷àòîãî ïîëÿ,
íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïîòåíöèàëîì ýòîãî òðóá÷àòîãî ïîëÿ.
Ãëàâà 15. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÒÅÎÐÈÈ ÔÓÍÊÖÈÉ
ÊÎÌÏËÅÊÑÍÎÉ ÏÅÐÅÌÅÍÍÎÉ
§ 15.1. Ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ. Âíóòðåííîñòü êðóãà ðàäèóñà ρ ñ öåíòðîì â
äàííîé òî÷êå z0, ò. å. ñîâîêóïíîñòü òî÷åê óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó | z − z0| < ρ, íàçûâàåòñÿ îêðåñòíîñòüþ òî÷êè z0.
×èñëî z0 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë {zn } (îáîçíà÷åíèå z 0 = lim z n ), åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî
n→ ∞
÷èñëà ε ìîæíî ïîäîáðàòü òàêîå ÷èñëî N = N(ε), ÷òî ïðè n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî | z0 − zn | < ε, èëè lim| z 0 − z n | = 0. Èíà÷å ãîâîðÿ, êàê áû
n→ ∞
íè áûëà ìàëà îêðåñòíîñòü òî÷êè z0, âíå ýòîé îêðåñòíîñòè ìîæåò îñòàâàòüñÿ ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷åê, òîãäà êàê âñå òî÷êè, íà÷èíàÿ ñ íîìåðà n > N, ïîïàäóò â îêðåñòíîñòü òî÷êè z0.
Ïóñòü zn = xn + iyn, a z0 = x0 + iy0. Òàê êàê | zn − z0 | = | x n − x 0 | 2 +| y n − y 0 | 2 ,
òî ñóùåñòâîâàíèå lim z n = z 0 ðàâíîñèëüíî ñóùåñòâîâàíèþ äâóõ ïðåäåëîâ:
n→ ∞
lim x n = x 0 è lim y n = y 0 ,
n→ ∞
n→ ∞
è îáðàòíî, èç ñóùåñòâîâàíèÿ ïîñëåäíèõ äâóõ ïðåäåëîâ ñëåäóåò, ÷òî
lim z n = z 0 .
n→ ∞
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn}, èìåþùàÿ êîíå÷íûé ïðåäåë, íàçûâàåòñÿ
ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ.
379
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zn} òàêîâà, ÷òî êàê áû íè áûëî âåëèêî
÷èñëî Ì, íàéäåòñÿ òàêîå N, ÷òî äëÿ âñåõ ï > N áóäåò | zn | > M, òî ãîâîðÿò,
÷òî ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Çàïèñûâàþò
ýòîò ôàêò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
lim z n = ∞.
n→ ∞
 òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ñ÷èòàþò, ÷òî ñèìâîëó ∞ îòâå÷àåò îäíà òî÷êà â êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè; îáîçíà÷àþò åå z = ∞
è íàçûâàþò áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êîé.
Îêðåñòíîñòüþ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ âíåøíîñòü
ëþáîãî êðóãà.
Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè îêðåñòíîñòè çàïèñü lim z n = ∞ îçíà÷àåò òî
n→ ∞
æå, ÷òî è â ñëó÷àå lim z n = z 0 . À èìåííî, åñëè lim z n = ∞, òî, êàêîâà áû
n→ ∞
n→ ∞
íè áûëà îêðåñòíîñòü áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè, âñå òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {zn}, çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà, íàõîäÿòñÿ â ýòîé
îêðåñòíîñòè.
Êîìïëåêñíàÿ ïëîñêîñòü, äîïîëíåííàÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êîé, íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòüþ.
Îïðåäåëåíèå ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî.
Ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå Å òî÷åê êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè çàäàíà
ôóíêöèÿ w = f (z), åñëè óêàçàí çàêîí, ïî êîòîðîìó êàæäîé òî÷êå z èç
ìíîæåñòâà Å ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå îäíî èëè íåñêîëüêî çíà÷åíèé w.
 ïåðâîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ îäíîçíà÷íîé, âî âòîðîì —
ìíîãîçíà÷íîé.
Íàïðèìåð, ôóíêöèè w = | z |, w = z2 — îäíîçíà÷íûå, ôóíêöèÿ
w = n z (ï = 2, 3...) — ìíîãîçíà÷íàÿ (äëÿ êàæäîãî z n (n = 2, 3...) çíà÷åíèé w).
Ïóñòü z = x + iy, a w = u + iv, òîãäà çàäàíèå ôóíêöèè w = f (z) ðàâíîñèëüíî çàäàíèþ äâóõ ôóíêöèé è = è(õ; ó) è v = v(x, ó) äâóõ äåéñòâè2
2
2
2
òåëüíûõ ïåðåìåííûõ. Íàïðèìåð, w = z = (x + y) = x − y + 2xyi, ò. å. çà2
2
2
äàíèå ôóíêöèè w = z ðàâíîñèëüíî çàäàíèþ ôóíêöèé è(õ; ó) = õ − ó è
v(x; ó) = 2õó.
2. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Åñëè
çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé z èçîáðàæàòü íà îäíîé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, à çíà÷åíèÿ w íà äðóãîé, òî ôóíêöèÿ w = f (z) óñòàíàâëèâàåò ñîîòâåòñòâèå ìåæäó òî÷êàìè ïëîñêîñòè z è òî÷êàìè ïëîñêîñòè w. Ìû ãîâîðèì, ÷òî ôóíêöèÿ w = f (z) îòîáðàæàåò òî÷êè ïëîñêîñòè z íà ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè ïëîñêîñòè w. Òî÷êè ïëîñêîñòè w íàçûâàþòñÿ
îáðàçàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê ïëîñêîñòè z, à òî÷êè ïëîñêîñòè z —
ïðîîáðàçàìè.
380
Ðèñ. 191
1
Ï ð è ì å ð. Íà êàêîå ìíîæåñòâî îòîáðàçèò ôóíêöèÿ w = âíåøíîñòü êðóãà | z | ≥ R
z
(R < 1),
1
Êàæäàÿ îêðóæíîñòü | z | = r (r > R) îòîáðàçèòñÿ â îêðóæíîñòü| w | = , ïðè÷åì ãðàíè÷íàÿ
r
1
îêðóæíîñòü | z | = R îòîáðàçèòñÿ â îêðóæíîñòü | w | = , ò. å. âíåøíîñòü êðóãà | z | ≥ R îòîáðàR
1
çèòñÿ âî âíóòðåííîñòü êðóãà | w | = (ðèñ. 191).
R
3. Íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. ×èñëî w0 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè w = f (z) ïðè z ñòðåìÿùåìñÿ ê z0,
åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ δ = δ(ε) > 0 òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ çíà÷åíèé z,
óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó 0 < | z − z0 | < δ, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
| f (z) − w0 | < ε. Îáîçíà÷àåòñÿ ïðåäåë òàê æå, êàê è äëÿ ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî lim f ( z ) = w 0 . Åñëè z ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè,
z→ z 0
òî îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ôóíêöèè
ñëåäóþùåå.
×èñëî w0 íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ôóíêöèè f (z) ïðè z ñòðåìÿùåìñÿ ê
áåñêîíå÷íîñòè, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 íàéäåòñÿ òàêîå ïîëîæèòåëüíîå
÷èñëî N = N(ε), ÷òî êàê òîëüêî | z | > N, òî | f (z) − w0 | < ε.
Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà 4 î ïðåäåëàõ è åå ñëåäñòâèÿ 2, 3 èç § 7.5 ëåãêî
ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ è íà ñëó÷àé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.
Îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ f (z) íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå z0, åñëè îíà
îïðåäåëåíà â òî÷êå z0 è íåêîòîðîé åå îêðåñòíîñòè è åñëè lim f ( z ) = f ( z 0 ).
z→ z 0
Ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè D, íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â ýòîé îáëàñòè.
Ï ð è ì å ð. Ôóíêöèè z, Re z, Im z, | z | íåïðåðûâíû âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
Òàê êàê îïðåäåëåíèå íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî ñ ôîðìàëüíîé ñòîðîíû àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåìó îïðåäåëåíèþ äëÿ ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî, òî äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì îá îïåðàöèÿõ íàä íåïðåðûâíûìè
381
ôóíêöèÿìè îñòàþòñÿ òåìè æå â êîìïëåêñíîé îáëàñòè, ÷òî è â äåéñòâèòåëüíîì àíàëèçå. Òàê, ñóììà, ðàçíîñòü è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ôóíêöèé f (z) è ϕ(z), íåïðåðûâíûõ â òî÷êå z0
(â îáëàñòè G), åñòü ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â òîé æå òî÷êå (â òîé æå îáëàñòè); òàêæå ÷àñòíîå òàêèõ ôóíêöèé åñòü ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ â òî÷êå z0 (â îáëàñòè G), åñëè ϕ(z0 ) ≠ 0
(åñëè ϕ(z) ≠ 0 â îáëàñòè G). Ïîëüçóÿñü ýòèì ïðåäëîæåíèåì, ìû ìîæåì, íàïðèìåð, çàêëþ÷èòü, ÷òî ëþáàÿ öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ w = a0zn + a1zn − 1 + + an íåïðåðûâíà
âî âñåé ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî z; äàëåå, âñÿêàÿ ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ
w=
a 0 z n + a1 z n −1 + K + a n
b0 z m + b1 z m −1 + K + a m
íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîãî ïåðå-
ìåííîãî z, çà èñêëþ÷åíèåì òåõ çíà÷åíèé z, ïðè êîòîðûõ çíàìåíàòåëü ðàâåí íóëþ.
§ 15.2. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
1. Îïðåäåëåíèå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Ïóñòü w = f (z ) îäíîçíà÷íàÿ
ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Ïðèäàäèì íåçàâèñèìîìó ïåðåìåííîìó z = x + iy ïðèðàùåíèå ∆z = ∆x + i∆y, è âû÷èñëèì ïðèðàùåíèå
ôóíêöèè ∆w = f (z + ∆z) − f (z). Ìû ãîâîðèì, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) äèôôåðåí∆w
ñòðåìèòñÿ ê îïðåäåëåííîìó êîöèðóåìà â òî÷êå z, åñëè îòíîøåíèå
∆z
íå÷íîìó ïðåäåëó, êîãäà ∆z ëþáûì îáðàçîì ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïðåäåë
ýòîãî îòíîøåíèÿ ìû íàçûâàåì ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f (z) â òî÷êå z è
îáîçíà÷àåì f ′( z ), ò. å.
f ( z + ∆z ) − f ( z )
∆w
lim
= lim
= f ′( z ).
∆z → 0 ∆z
∆z → 0
∆z
Òðåáîâàíèå íåçàâèñèìîñòè çíà÷åíèÿ ïðåäåëà îò çàêîíà ñòðåìëåíèÿ
∆z ê íóëþ íàêëàäûâàåò íà ôóíêöèþ w = f (z) êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
áîëåå ñèëüíûå îãðàíè÷åíèÿ, ÷åì àíàëîãè÷íîå òðåáîâàíèå äëÿ ôóíêöèè
y = f (x) äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî, äëÿ êîòîðîé äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
∆y
ïðîèçâîäíîé ïðåäåë îòíîøåíèÿ
äîëæåí áûòü îäèíàêîâ òîëüêî ïðè
∆x
ñòðåìëåíèè ∆x ê íóëþ ñïðàâà è ñëåâà.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè G, åñëè îíà äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå ýòîé
îáëàñòè.
Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêîé òîëüêî â íåêîòîðîé îáëàñòè; îäíàêî è î êàæäîé îòäåëüíîé òî÷êå òàêîé îáëàñòè ãîâîðÿò, ÷òî â íåé ýòà ôóíêöèÿ àíàëèòè÷åñêàÿ. Ïðè ýòîì âàæíî çàìåòèòü,
÷òî ôóíêöèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ â òî÷êå, ïî îïðåäåëåíèþ äîëæíà áûòü
àíàëèòè÷åñêîé â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè.
Òàê êàê îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé äëÿ ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî íåðåìåííîãî ñ ôîðìàëüíîé ñòîðîíû àíàëîãè÷íî ñîîòâåòñòâóþùåìó
382
îïðåäåëåíèþ äëÿ ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî, òî âñå èçâåñòíûå èç äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ìîãóò áûòü ëåãêî ïåðåíåñåíû è íà ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî öåëàÿ ðàöèîíàëüíàÿ
ôóíêöèÿ åñòü àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñåé ïëîñêîñòè; ôóíêöèÿ ðàöèîíàëüíàÿ åñòü àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñåé ïëîñêîñòè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî,
êðîìå òî÷åê, â êîòîðûõ åå çíàìåíàòåëü îáðàùàåòñÿ â íóëü.
2. Óñëîâíà Êîøè — Ðèìàíà. Ò å î ð å ì à 1. Ïóñòü ôóíêöèÿ w = u + iv
äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå z, òîãäà åå äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ÷àñòè
óäîâëåòâîðÿþò â íåé óñëîâèÿì Êîøè — Ðèìàíà:
∂u ∂v ∂v
∂u
= ,
=− .
∂y
∂x ∂y ∂x
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê ôóíêöèÿ w = è + iv äèôôåðåíöè∆w
ðóåìà â òî÷êå z, òî lim
ñóùåñòâóåò è íå çàâèñèò îò ñïîñîáà ñòðåìëå∆z → 0 ∆z
íèÿ ïðèðàùåíèÿ àðãóìåíòà ∆z ê íóëþ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ∆y = 0 è ∆z =
= ∆x (òî÷êà z + ∆z ïðèáëèæàåòñÿ ê òî÷êå z ïî ïðÿìîé, ïàðàëëåëüíîé äåéñòâèòåëüíîé îñè). Òîãäà
f ′( z ) = lim
∆z → 0
∆w
∆u + i∆v
∆u
∆v ∂u
∂v
= lim
= lim
+ i lim
=
+i .
∆x → 0 ∆x
∆x → 0 ∆x
∆z ∆x → 0 ∆x
∂x
∂x
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî ∆x = 0 è ∆z = i∆y, òî
f ′( z ) = lim
∆z → 0
Èòàê, èìååì
∆w
∆u + i∆v 1
∆u
∆v
∂u
∂v
= lim
= lim
+ lim
=− i+ .
∆
y
→
0
∆
y
→
0
∆
y
→
0
∆z
∆y
∆y
i∆y
i
∂y
∂y
∂u
∂v ∂v ∂u
+i
=
− i.
∂x
∂x ∂y ∂y
Ïðèðàâíèâàÿ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè ìíèìûå
÷àñòè, ïîëó÷èì èñêîìûå óñëîâèÿ Êîøè — Ðèìàíà.
Óñëîâèÿ Êîøè — Ðèìàíà ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè, íî íå äîñòàòî÷íûìè äëÿ äèôôåðåíöèðóåìîñòè ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî.
×òîáû ôóíêöèÿ w = f (z) = è(x; y) + iv(x, ó) áûëà äèôôåðåíöèðóåìîé â
òî÷êå z, íàäî äîïîëíèòåëüíî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ôóíêöèè è(õ; ó) è
v(x; ó) áûëè äèôôåðåíöèðóåìûìè, êàê ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ, ò. å.
ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à 2. Ïóñòü ôóíêöèè è = è(õ; ó) è v = v(õ; ó), äèôôåðåíöèðóåìûå â òî÷êå Ì(x; ó) êàê ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ x è ó, óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì Êîøè — Ðèìàíà. Òîãäà ôóíêöèÿ w = è + iv ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â òî÷êå z = x + iy.
383
3. Ñîïðÿæåííûå ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ w =
= u + iv àíàëèòè÷åñêóþ â íåêîòîðîé îáëàñòè D. Åå äåéñòâèòåëüíàÿ è
ìíèìàÿ ÷àñòè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì Êîøè — Ðèìàíà:
∂u ∂v
(1)
= ,
∂ x ∂y
∂v
∂u
(2)
=− .
∂x
∂y
Äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (1) ïî õ, à ðàâåíñòâî (2) ïî y è ñêëàäûâàÿ
ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ
∂ 2u
∂ 2v
∂ 2v
∂ 2u
=
è
= − 2,
2
∂x∂y
∂x∂y
∂x
∂y
íàéäåì, ÷òî
∂ 2u ∂ 2u
(3)
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2
Àíàëîãè÷íî, äèôôåðåíöèðóÿ ðàâåíñòâî (1) ïî ó, à (2) ïî x è ñêëàäûâàÿ ðåçóëüòàòû, íàéäåì
∂ 2v ∂ 2v
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2
Óðàâíåíèå (3) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ëàïëàñà, à ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ (3), íàçûâàþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè.
Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè,÷òî ôóíêöèè è(õ; ó) è v(õ; ó) ÿâëÿþòñÿ
ãàðìîíè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.
Äâå ãàðìîíè÷åñêèå ôóíêöèè è è v, êîòîðûå â êîìáèíàöèè u + iv
äàþò àíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ, íàçûâàþòñÿ ñîïðÿæåííûìè ãàðìîíè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.
Ç à ì å ÷ à í è å. Ôóíêöèÿ u + iv, ñêîìáèíèðîâàííàÿ èç äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé, ìîæåò íå áûòü àíàëèòè÷åñêîé.
Åñëè èçâåñòíà îäíà ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, íàïðèìåð, è(õ; ó), òî âòîðóþ ãàðìîíè÷åñêóþ v(õ; ó), ñîïðÿæåííóþ åé, ìîæíî âñåãäà íàéòè, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ Êîøè — Ðèìàíà.
2
2
Ï ð è ì å ð. Ïóñòü è(õ; ó) = õ − ó . Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ ãàðìîíè÷åñêàÿ.
Íàéäåì ñîïðÿæåííóþ åé v(õ; ó). Èìååì:
∂u
∂u
= 2 x;
= −2 y.
∂x
∂y
v (x ; y) = ∫ 2 xdy + C (x ) = 2xy + C (x ),
∂v
∂u ∂v
=− ;
= 2 y + C ′ (x ),
∂x
∂y ∂x
2ó + Ñ ′(õ) = 2ó, ò. å. Ñ ′(õ) = 0, îòêóäà C(x) = const
è v(x; ó) = 2õó + Ñ, ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
384
§ 15.3. Èíòåãðàëû ïî êîìïëåêñíîìó ïåðåìåííîìó
1. Ïîíÿòèå èíòåãðàëà ïî êîìïëåêñíîìó ïåðåìåííîìó. Èíòåãðàë îò íåïðåðûâíîé íà ãëàäêîé êðèâîé (êîíòóðå) γ ñ íà÷àëîì â òî÷êå A = z0 è
êîíöîì â òî÷êå  = zn (ðèñ. 192) ôóíêöèè f (z) (z = x + iy) îïðåäåëÿåòñÿ
êàê ïðåäåë èíòåãðàëüíîé ñóììû
∫ f ( z )dz =
γ
lim
max| ∆z k |→ 0
n
∑ f (z
k =1
k
(1)
)∆z k ,
ãäå ∆zk = zk − zk − 1.
Ïîëàãàÿ f (z) = u(õ, y) + iv(õ, ó), zk = xk + iyk, ∆zk = ∆xk + i∆yk, ïîëó÷èì
f (zk)∆zk = (u(xk, yk) + iv(xk, yk))(∆xk + i∆yk) =
= u(xk, yk)∆xk − v(xk, yk)∆yk + i(u(xk, yk)∆yk + v(xk, yk)∆xk)
è, çíà÷èò, ðàâåíñòâî (1) ïðèìåò âèä
∫ f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫vdx + udy,
γ
γ
(2)
γ
ïðè÷åì êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû âòîðîãî ðîäà ñïðàâà ñóùåñòâóþò êàê
îò íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ïî ãëàäêîé êðèâîé (§ 12.3, ï. 3), çíà÷èò, ñóùåñòâóåò è èíòåãðàë ïî êîìïëåêñíîìó ïåðåìåííîìó ñëåâà. Òàêèì îáðàçîì,
èíòåãðàë ïî êîìïëåêñíîìó ïåðåìåííîìó ñâîäèòñÿ ê èçó÷åííûì ðàíåå
(§ 12.3) êðèâîëèíåéíûì èíòåãðàëàì âòîðîãî ðîäà. Îòñþäà ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà èíòåãðàëà ïî êîìïëåêñíîìó ïåðåìåííîìó:
1. ∫ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz .
γ−
γ
2. ∫ cf ( z )dz = c ∫ f ( z )dz .
γ
γ
3. ∫ ( f ( z ) ± g( z ))dz = ∫ f ( z )dz ± ∫ g( z )dz .
γ
4. ∫ f ( z )dz =
γ
γ
γ
∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz.
γ1
γ2
( çàïèñàííûõ âûøå âûðàæåíèÿõ, ñ — êîìïëåêñíàÿ ïîñòîÿííàÿ,
γ1 è γ2 — äâå êðèâûå, ñîñòàâëÿþùèå êðèâóþ γ; γ− — êðèâàÿ, ñîâïàäàþùàÿ ñ êðèâîé γ ïî ôîðìå è ïîëîæåíèþ,
íî ñ ïðîòèâîïîëîæíûì íàïðàâëåíèåì îáõîäà.)
5. Åñëè ôóíêöèÿ f (z) îãðàíè÷åíà íà êîíòóðå γ:| f ( z )| ≤ M (Ì — ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ), òî
| ∫ f ( z )dz | ≤ Ml
γ
(l — äëèíà êîíòóðà γ).
Ðèñ. 192
385
Çàìåòèì, ÷òî çàïîìèíàòü ôîðìóëó (2) íåò íåîáõîäèìîñòè. Íàäî
òîëüêî íàéòè äåéñòâèòåëüíóþ è ìíèìóþ ÷àñòè ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ f (z)dz , çàìåíèâ dz íà dx + idy.
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèì ∫ (z − a )dz, ãäå γ — îêðóæíîñòü | z − à | = R, ïðîõîäèìàÿ â ïîγ
ëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.
Ïóñòü z = x + iy, à = à1 + ià2.
Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äàííîé îêðóæíîñòè èìåþò âèä:
x = a1 + Rcos t, y = a2 + R sin t (0 ≤ t ≤ 2π).
Ïîýòîìó
2π
∫ (z − a )dz = ∫ (R cos t − iR sin t)(d(a
1
γ
+ R cos t ) + id(a 2 + R sin t )) =
0
2π
2π
= ∫ (R cos t − iR sin t )(−R sin t + iR cos t )dt ) = i ∫ (R cos t − iR sin t )(R cos t + iR sin t )dt =
0
0
2π
2π
0
0
= iR 2 ∫ (cos2 t + sin 2 t )dt = iR 2 ∫ dt = 2 πR 2 i .
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèì
dz
∫ z − a,
γ
ãäå γ — îêðóæíîñòü | z − a | = R, ïðîõîäèìàÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.
Èìååì (ñì. ïðèìåð 1)
dz
z −a
∫ z − a = ∫ | z − a|
γ
γ
2
dz =
1
1
(z − a )dz = 2 ⋅ 2 πR 2i = 2 πi .
R 2 ∫γ
R
2. Òåîðåìà Êîøè. Ò å î ð å ì à 1 (î ñ í î â í à ÿ ò å î ð å ì à Ê î ø è). Åñëè ôóíêöèÿ f (z) = u + iv ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè G, òî äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà γ, ëåæàùåãî â îáëàñòè G,
ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
∫ f ( z )dz = 0.
(3)
γ
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ óïðîùåíèÿ äîêàçàòåëüñòâó ïîòðåáóåì
äîïîëíèòåëüíî, ÷òîáû ïðîèçâîäíàÿ f ′(z) áûëà íåïðåðûâíà â G (òåîðåìà
âåðíà è áåç ýòîãî äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ (ñì., íàïðèìåð [13]). Òîãäà
ôóíêöèè è è v âìåñòå ñî ñâîèìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè ïåðâîãî ïîðÿäêà íåïðåðûâíû â îáëàñòè G è â íåé âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ Êîøè —
Ðèìàíà. È, çíà÷èò, (§ 12.3, ï. 5, òåîðåìà 2) êðèâîëèíåéíûå èíòåãðàëû â
ôîðìóëå (2) ñïðàâà íå çàâèñÿò îò ïóòè èíòåãðèðîâàíèÿ, ÷òî ðàâíîñèëüíî âûïîëíåíèþ ðàâåíñòâà (3) (§ 12.3, ï. 5, òåîðåìà 1) äëÿ ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà γ, ëåæàùåãî â G.
386
Î ï ð å ä å ë å í è å. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â çàìêíóòîé îáëàñòèG , åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â
íåêîòîðîé îáëàñòè G ′, ñîäåðæàùåé çàìêíóòóþ îáëàñòüG (ò. å. îáëàñòü G
è åå ãðàíèöó Ã ).
Èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò òåîðåìà 2.
Ò å î ð å ì à 2 (ò å î ð å ì à Ê î ø è). Åñëè ôóíêöèÿ f(z) ÿâëÿåòñÿ
àíàëèòè÷åñêîé â çàìêíóòîé îáëàñòèG , òî
∫ f ( z )dz = 0.
Γ
Ïîñëåäíÿÿ òåîðåìà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè (î ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè ñì. §11.1, ï. 5).
Ïóñòü îáëàñòü G îãðàíè÷åíà âíåøíèì
êîíòóðîì γ0 è âíóòðåííèìè êîíòóðàìè
γ1, γ2, , γn, ïðè÷åì êàæäûé èç ïîñëåäíèõ
n êîíòóðîâ ëåæèò âíå îñòàëüíûõ è âñå
îíè ðàñïîëîæåíû âíóòðè γ0.  ýòîì ñëó÷àå ãðàíèöà îáëàñòè G ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíûé êîíòóð Γ = γ 0 + γ 1− + γ 2− + K
… + γ n . Òîãäà ïðè äâèæåíèè ïî ñëîæíîìó êîíòóðó à òî÷êè îáëàñòè G îñòàþòñÿ
Ðèñ. 193
ñëåâà — ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îáõîäà (ñì. ðèñ. 193).
Ò å î ð å ì à 3 (ò å î ð å ì à Ê î ø è). Åñëè ôóíêöèÿ f (z) ÿâëÿåòñÿ
àíàëèòè÷åñêîé â çàìêíóòîé îáëàñòèG , òî
∫ f ( z )dz = 0,
Γ
èëè
∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + K + ∫ f ( z )dz .
γ0
γ1
γ2
γn
dz
dz
. Âû÷èñëèì èíòåãðàë ∫
, ãäå
n
n
γ (z − a )
γ ( z − a)
3. Âû÷èñëåíèå èíòåãðàëà ∫
γ — çàìêíóòûé êîíòóð, îãðàíè÷èâàþùèé îäíîñâÿçíóþ îáëàñòü G. Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå ñëó÷àè:
1. n — öåëîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî. Îáîçíà÷èì m = −ï. Òîãäà m — öåëîå
dz
ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî è, çíà÷èò, ïî òåîðåìå 3 ∫
= ∫ ( z − a )m dz = 0,
n
(
−
)
z
a
γ
γ
ò. ê. (z − à)n — àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè, â
÷àñòíîñòè â G .
387
2. n — öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî è òî÷êà z = a ëåæèò âíå îáëàñòè G
dz
(ðèñ. 194, à). Òîãäà ∫
= 0, ò. ê.
(
−
z
a) n
γ
1
ôóíêöèÿ
— àíàëèòè÷åñêàÿ
( z − a) n
â çàìêíóòîé îáëàñòèG .
3. n — öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñÐèñ. 194
ëî è òî÷êà z = a ëåæèò âíóòðè îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé êîíòóðîì γ (ðèñ. 194, á). Îïèøåì îêðóæíîñòü γR ðàäèóñà R: |z − a| = R, öåëèêîì ëåæàùóþ â îáëàñòè G. Îáîçíà÷èì ÷åðåç G ′
äâóñâÿçíóþ îáëàñòü, îãðàíè÷åííóþ çàìêíóòûìè êîíòóðàìè: γ è γR.  îá1
ëàñòèG ′ ôóíêöèÿ
— àíàëèòè÷åñêàÿ è ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå.
( z − a) n
dz
dz
(4)
∫γ ( z − a ) n = γ∫ ( z − a ) n .
R
Ðàññìîòðèì îòäåëüíî ñëó÷àé, êîãäà n ≠ 1 (ñëó÷àé ï = 1 áûë ðàññìîòðåí ðàíåå: ï. 1, ïðèìåð 2). Âû÷èñëèì èíòåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè
ðàâåíñòâà (4). Èìååì
2π
dz
dz
i
1
n −1
n
∫γ ( z − a ) n = γ∫ ( z − a ) n = R 2n ∫( z − a ) dz = R n −1 ∫0 (cos ϕ − i sin ϕ) dϕ =
R
=
2π
2π

i 
1
cos(
−
n
)
ϕ
d
ϕ
+
i
sin(1 − n )ϕdϕ = 0

∫
∫
n −1
R 0

0
(ñì. § 10.4, ï. 1).
4. Ôîðìóëà Êîøè. Ïóñòü G — îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü, îãðàíè÷åííàÿ
êóñî÷íî-ãëàäêîé ëèíèåé γ, f (z) — ôóíêöèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ â çàìêíóòîé
îáëàñòèG . Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà Êîøè
f (z ) =
1 f (ζ)dζ
,
2πi ∫γ ζ − z
ãäå z — ëþáàÿ òî÷êà âíóòðè γ, à èíòåãðèðîâàíèå ïî êîíòóðó γ ñîâåðøàåòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.
Ýòà ôîðìóëà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé ìíîãîñâÿçíîé îáëàñòè
G, ãðàíèöåé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ñëîæíûé êîíòóð Ã, ñîñòîÿùèé èç êîíå÷íîãî ÷èñëà êóñî÷íî-ãëàäêèõ çàìêíóòûõ ëèíèé.
Åñëè f (z) — àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â çàìêíóòîé îáëàñòèG , òî
f (z ) =
388
1 f (ζ)dζ
,
2πi ∫Γ ζ − z
ãäå z — ëþáàÿ òî÷êà îáëàñòè G, à èíòåãðèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ âäîëü
ñëîæíîãî êîíòóðà Ã â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.
5. Èíòåãðàë Êîøè è èíòåãðàë òèïà Êîøè.
Âûðàæåíèå
1 f (ζ)dζ
,
2πi ∫Γ ζ − z
ãäå f (z) —ôóíêöèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ â çàìêíóòîé îáëàñòè G , ãðàíèöåé
êîòîðîé ñëóæèò êîíòóð Ã, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Êîøè.
Èíòåãðàë Êîøè èçîáðàæàåò äàííóþ ôóíêöèþ f (z), àíàëèòè÷åñêóþ â
G , âî âñÿêîé òî÷êå, âíóòðåííåé ê êîíòóðó Ã.
Âî âñÿêîé òî÷êå z, ëåæàùåé âíå çàìêíóòîé îáëàñòè G , èíòåãðàë
f (ζ)dζ
äëÿ âñåõ òî÷åê z, íå ëåæàùèõ â
Êîøè ðàâåí íóëþ, èáî ôóíêöèÿ
ζ−z
îáëàñòèG , — àíàëèòè÷åñêàÿ âG .
Ïóñòü L — ïðîèçâîëüíàÿ êóñî÷íî-ãëàäêàÿ ëèíèÿ (íå îáÿçàòåëüíî
çàìêíóòàÿ), ϕ(z) — çàäàííàÿ íà L íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ.
Âûðàæåíèå
1 ϕ(ζ)dζ
2πi ∫L ζ − z
èìååò îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå äëÿ ëþáîé òî÷êè z, íå ëåæàùåé íà L, è,
çíà÷èò, îïðåäåëÿåò îäíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ F (z) âî âñåõ òî÷êàõ z, íå
ïðèíàäëåæàùèõ L.
Ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì òèïà Êîøè.
Ò å î ð å ì à. Ôóíêöèÿ F (z), îïðåäåëåííàÿ èíòåãðàëîì òèïà Êîøè
1 ϕ(ζ)dζ
F (z ) =
,
2πi ∫L ζ − z
åñòü àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñÿêîé îäíîñâÿçíîé îáëàñòè G, íå ñîäåðæàùåé òî÷åê ëèíèè L, è äëÿ åå ïðîèçâîäíîé èìååò ìåñòî ôîðìóëà
1 ϕ(ζ)dζ
F ′( z ) =
.
2 πi ∫L (ζ − z ) 2
Äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî äèôôåðåíöèðîâàíèå ìîæíî ïîâòîðèòü n ðàç,
ïîýòîìó ôóíêöèÿ F (z), îïðåäåëÿåìàÿ èíòåãðàëîì òèïà Êîøè,èìååò â
êàæäîé òî÷êå z, íå ëåæàùåé íà L, ïðîèçâîäíûå âñåõ ïîðÿäêîâ, ïðè÷åì
ϕ(ζ)dζ
n!
F ( n)(z ) =
.
∫
2 πi L (ζ − z ) n +1
6. Ñóùåñòâîâàíèå ïðîèçâîäíûõ ëþáîãî ïîðÿäêà äëÿ àíàëèòè÷åñêîé
ôóíêöèè. Èçâåñòíî, ÷òî â ñëó÷àå ôóíêöèè äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé
èç ôàêòà ñóùåñòâîâàíèÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé íè÷åãî íåëüçÿ ñêàçàòü î
389
ñóùåñòâîâàíèè ïðîèçâîäíûõ âûñøèõ ïîðÿäêîâ. Äëÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à. Åñëè îäíîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ f (z) èìååò âñþäó â îáëàñòè G
ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ, òî îíà èìååò â ýòîé îáëàñòè ïðîèçâîäíûå ëþáîãî
ïîðÿäêà.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü z — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îáëàñòè G,
γ — êóñî÷íî-ãëàäêèé çàìêíóòûé êîíòóð, îêðóæàþùèé òî÷êó z è ëåæàùèé âìåñòå ñî âñåìè ñâîèìè âíóòðåííèìè òî÷êàìè â îáëàñòè G. Ïî
ôîðìóëå Êîøè
1 f (ζ)dζ
(5)
f (z ) =
.
2πi ∫γ ζ − z
Íî íà îñíîâàíèè ï. 5 ôóíêöèÿ f (z), èçîáðàæàåìàÿ èíòåãðàëîì Êîøè,
äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå z ëþáîå ÷èñëî ðàç, ïðè÷åì
f ( n)(z ) =
f (ζ)dζ
n!
(n = 1, 2, 3,
2 πi ∫γ (ζ − z ) n +1
),
(6)
÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.
7. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà. Òåîðåìû Ëèóâèëëÿ è Ìîðåðà. Çàìå÷àòåëüíûì
ñâîéñòâîì àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà åå
ìîäóëÿ.
Ìîäóëü ôóíêöèè f (z), àíàëèòè÷åñêîé â îáëàñòè G è íåïðåðûâíîé â G , íå
ìîæåò äîñòèãàòü ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ íè â êàêîé òî÷êå îáëàñòè
G, êðîìå ñëó÷àÿ, êîãäà f (z) = const.
Äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ ôóíêöèé ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òåîðåìû.
Ò å î ð å ì à Ë è ó â è ë ë ÿ (Æîçåô Ëèóâèëëü (1809—1882) — ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê). Åñëè ôóíêöèÿ f (z) àíàëèòè÷íà âî âñåé ïëîñêîñòè è îãðàíè÷åíà â íåé ïî ìîäóëþ, òî îíà ïîñòîÿííà.
Ò å î ð å ì à Ì î ð å ð à (Ãèàöèíòå Ìîðåðà (1856—1909) — èòàëüÿíñêèé ìàòåìàòèê). Åñëè ôóíêöèÿ f (z) íåïðåðûâíà â îäíîñâÿçíîé îáëàñòè
G è èíòåãðàë îò ýòîé ôóíêöèè, âçÿòûé ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó êîíòóðó γ,
öåëèêîì ëåæàùåìó â îáëàñòè G, ðàâåí íóëþ( ∫ f ( z )dz = 0), òî ôóíêöèÿ f (z)
γ
àíàëèòè÷íà â ýòîé îáëàñòè.
§ 15.4. Ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ôóíêöèé êîìïëåêñíîé
ïåðåìåííîé
1. ×èñëîâûå ðÿäû. Ðàññìîòðèì ÷èñëîâîé ðÿä ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè, ò. å. ðÿä
∞
∑u
n =1
ãäå èn = αn + iβï (ï = 1, 2, 3,
390
).
n
,
(1)
Äëÿ ýòîãî ðÿäà, êàê è äëÿ ðÿäà ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷ëåíàìè § 10.1,
(ï. 1), ââîäèòñÿ ïîíÿòèå n-é ÷àñòè÷íîé ñóììû
Sn = u1 + u2 +
+ u n.
Ðÿä (1) íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim S n = S ,
n→ ∞
ïðè ýòîì ÷èñëî S íàçûâàåòñÿ ñóììîé ðÿäà (1). Çäåñü ïîëüçóåìñÿ ïîíÿòèåì ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è ïîíèìàåì åãî â ñëåäóþùåì ñìûñëå: ÷èñëî S íàçûâàåòñÿ ïðåäåëîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{Sn}, åñëè äëÿ ëþáîãî ε > 0 ñóùåñòâóåò òàêîé íîìåð N, çàâèñÿùèé îò ε,
÷òî äëÿ âñåõ n > N âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
| Sn − S | < ε,
(2)
èëè, ÷òî òî æå, lim| S n − S | = 0.
n→ ∞
Òàê æå, êàê â ñëó÷àå ðÿäîâ ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷ëåíàìè (§ 10.1, ï. 2),
óñòàíàâëèâàåòñÿ íåîáõîäèìûé ïðèçíàê ñõîäèìîñòè ðÿäà (1): îáùèé
÷ëåí èn ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà (1) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì
âîçðàñòàíèè ï, ò. å. lim u n = 0.
n→ ∞
Ï ð è ì å ð. Äëÿ ðÿäà
2
1+q+q +
+q
n−1
+
(3)
(q — êîìïëåêñíîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò åäèíèöû) ÷àñòè÷íàÿ ñóììà
Sn =
2
òàê êàê (1 − q)(1 + q + q +
Èç ðàâåíñòâà (4) èìååì:
n−1
+q
1− qn
,
1−q
(4)
n
)=1−q.
n

S n − 1 
= | q| .
1 − q |1 − q |

Îòñþäà ïðè | q | < 1
1 

 = 0.
limS n −
1 − q

n→ ∞
Çíà÷èò, ïðè | q | < 1 ðÿä (3) ñõîäèòñÿ è åãî ñóììà S ðàâíà
1
.
1−q
Ïðè | q | ≥ 1 ðÿä (3) ðàñõîäèòñÿ, òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå åãî îáùèé ÷ëåí
qn − 1 íå ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè ï.
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò ñâåñòè èçó÷åíèå ðÿäîâ (1) ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè ê èññëåäîâàíèþ òàêèõ ðÿäîâ ñ äåéñòâèòåëüíûìè
÷ëåíàìè
∞
∑α
n =1
n
è
∞
∑β
n
.
(5)
n =1
391
Ò å î ð å ì à 1. Ðÿä (1) ñõîäèòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñõîäÿòñÿ ðÿäû (5).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ðÿä (1) ñõîäèòñÿ. Ïðåäñòàâèì åãî ÷àñòè÷íóþ ñóììó Sn è ñóììó S â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå: Sï = àn + ibï, S = a + ib ,
ãäå àn è bï — ÷àñòè÷íûå ñóììû ðÿäîâ (5). Òîãäà óñëîâèå (2) ïðèìåò âèä:
| S n − S | =| a n − a + i(b n − b)| = (a n − a ) 2 + (b n − b) 2 < ε (n > N ).
(6)
Èç íåðàâåíñòâà (6) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà
| an − a | < ε, | bï − b | < ε (n > N),
(7)
è ïîýòîìó ñõîäÿòñÿ ðÿäû (5) ñîîòâåòñòâåííî ê à è b. Åñëè æå ðÿäû (5)
ñõîäÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê à è b, òî âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà (7), à
âìåñòå ñ íèìè è íåðàâåíñòâî | S n − S | < ε 2, ïîêàçûâàþùåå ñõîäèìîñòü
ðÿäà (1).
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ñõîäèòñÿ ðÿä
∞
∑ |u
n =1
n
(8)
|,
òî ñõîäèòñÿ è ðÿä (1).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èìååì:
| u n | =| α n + iβ n | = α 2n + β n2 ≥| α n |, | u n | ≥| β n |.
Íà îñíîâàíèè ïðèçíàêà ñðàâíåíèÿ ðÿäîâ (§ 10.1 ï. 3, òåîðåìà 2) çà∞
êëþ÷àåì, ÷òî ñõîäÿòñÿ ðÿäû ∑ | α n | è
n =1
∞
∑ |β
n =1
n
|, çíà÷èò, è ðÿäû (5). Ñëåäî-
âàòåëüíî, ïî òåîðåìå 1 ñõîäèòñÿ ðÿä (1).
Êàê è â ñëó÷àå ðÿäîâ ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷ëåíàìè, ðÿä (1) íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, åñëè ðÿä (8) ñõîäèòñÿ. Åñëè æå ðÿä (1) ñõîäèòñÿ, à ðÿä (8) ðàñõîäèòñÿ, òî ðÿä (1) íàçûâàåòñÿ óñëîâíî ñõîäÿùèìñÿ.
Íà àáñîëþòíî ñõîäÿùèåñÿ ðÿäû ñ êîìïëåêñíûìè ÷ëåíàìè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ èìåþùèå ìåñòî äëÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ ñ äåéñòâèòåëüíûìè ÷ëåíàìè ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî è ñâîéñòâî ïåðåìíîæåíèÿ ðÿäîâ (§ 10.1, ï. 5).
2. Ôóíêöèîíàëüíûå ðÿäû. Ïóñòü â îáëàñòè G îïðåäåëåíà áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îäíîçíà÷íûõ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé {f n(z)}. Âûðàæåíèå âèäà
∞
∑f
n =1
n
(z )
(9)
áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèîíàëüíûì ðÿäîì. Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
z0 èç îáëàñòè G ðÿä (9) ïðåâðàùàåòñÿ â ÷èñëîâîé ðÿä.
392
Ôóíêöèîíàëüíûé ðÿä (9) íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùèìñÿ â îáëàñòè G,
åñëè ïðè ëþáîì z èç îáëàñòè G ñîîòâåòñòâóþùèé åìó ÷èñëîâîé ðÿä
ñõîäèòñÿ. Åñëè ðÿä (9) ñõîäèòñÿ â îáëàñòè G, òî â ýòîé îáëàñòè ìîæíî
îïðåäåëèòü îäíîçíà÷íóþ ôóíêöèþ f (z), çíà÷åíèå êîòîðîé â êàæäîé
òî÷êå îáëàñòè G ðàâíî ñóììå ñîîòâåòñòâóþùåãî ÷èñëîâîãî ðÿäà. Ýòà
ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ñóììîé ðÿäà (9) â îáëàñòè G.  ñèëó äàííûõ îïðåäåëåíèé â ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáîé ôèêñèðîâàííîé òî÷êè z èç îáëàñòè
G è ëþáîãî çàäàííîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìîæíî óêàçàòü òàêîé
íîìåð N = N(ε, z), ÷òî
| f (z) − Sn(z) | < ε
(10)
ïðè ï > N, ãäå Sn(z) = f1(z) + f2(z) + + fn(z) — ÷àñòè÷íàÿ ñóììà ðÿäà (9).
Åñëè äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε ìîæíî óêàçàòü òàêîé íîìåð N = N(ε), ÷òî ïðè n > N íåðàâåíñòâî (10) âûïîëíÿåòñÿ ñðàçó äëÿ âñåõ
òî÷åê z îáëàñòè G, òî ðÿä (9) íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèìñÿ â îáëàñòè G.
Îáîçíà÷èâ rn ( z ) =
∞
∑f
k = n +1
k
( z ), óñëîâèå ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà
(9) ìîæåì çàïèñàòü â âèäå | rn(z) | < ε â G ïðè n > N(ε).
Êàê è â ñëó÷àå ðÿäîâ ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî (§ 10.2,
ï. 2), óñòàíàâëèâàåòñÿ äîñòàòî÷íûé ïðèçíàê ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè
(ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà).
Ò å î ð å ì à 1 (ïðèçíàê Âåéåðøòðàññà). Åñëè âñþäó â îáëàñòè G ÷ëåíû ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà (9) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
| fn(z) | ≤ an (n =1, 2, 3,
),
ãäå àn — ïîñòîÿííûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì ÷èñëîâîé ðÿä
a1 + a2 +
+ an +
ñõîäèòñÿ, òî äàííûé ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî (è ïðèòîì àáñîëþòíî) â
îáëàñòè G.
Óêàæåì è ñëåäóþùèå òåîðåìû.
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ôóíêöèè fn(z) (n = 1, 2, ) íåïðåðûâíû â îáëàñòè
G, à ðÿä (9) ñõîäèòñÿ â ýòîé îáëàñòè ðàâíîìåðíî ê ôóíêöèè f (z), òî f (z)
òàêæå íåïðåðûâíà â îáëàñòè G.
Ò å î ð å ì à 3. Åñëè ðÿä (9) íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé fn(z) (n = 1, 2, )
ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â îáëàñòè G ê ôóíêöèè f (z), òî èíòåãðàë îò ýòîé
ôóíêöèè ïî ëþáîé êóñî÷íî-ãëàäêîé êðèâîé Ã, öåëèêîì ëåæàùåé â îáëàñòè
G, ìîæíî âû÷èñëèòü ïóòåì ïî÷ëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðÿäà (9), ò. å.
∞
∫ f (ζ)dζ = ∑ ∫ f
Γ
n =1 Γ
n
(ζ)dζ.
393
Ò å î ð å ì à 4 (òåîðåìà Âåéåðøòðàññà). Ïóñòü ôóíêöèè fn(z) (n =
= 1, 2, ) ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè â îáëàñòè G, à ðÿä (9) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â ëþáîé çàìêíóòîé ïîäîáëàñòè G ′ îáëàñòè G ê ôóíêöèè f (z). Òîãäà
1) f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé â îáëàñòè G.
∞
2) f ( k ) ( z ) = ∑ f n( k ) ( z ) â G.
∞
n =1
3) Ðÿä ∑ f n( k ) ( z ) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â ëþáîé çàìêíóòîé ïîäîáëàñòè
n =1
G ′ îáëàñòè G.
3. Ñòåïåííûå ðÿäû.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ðÿä âèäà
c0 + clz + c2z2 + + cnzn + ,
(11)
ãäå ñ0, ñ1, ñ2, , ñn, — ïîñòîÿííûå, âîîáùå ãîâîðÿ, êîìïëåêñíûå ÷èñëà,
a z — êîìïëåêñíàÿ ïåðåìåííàÿ, íàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì ñ êîýôôèöèåíòàìè ñ0, ñ1, ñ2, , cn, .
Ò å î ð å ì à 1 (ò å î ð å ì à À á å ë ÿ). Åñëè ñòåïåííîé ðÿä (11) ñõîäèòñÿ ïðè z = z0 ≠ 0, òî îí ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî ïðè âñÿêîì z, äëÿ êîòîðîãî
| z | < | z0 |; åñëè æå ïðè z = z0 ñòåïåííîé ðÿä ðàñõîäèòñÿ, òî îí ðàñõîäèòñÿ è
ïðè ëþáîì çíà÷åíèè z, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ | z | > | z0 |.
Äîêàçàòåëüñòâî òî÷íî òàêîå æå, êàê è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Àáåëÿ
äëÿ ñëó÷àÿ äåéñòâèòåëüíîé ïåðåìåííîé.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ðÿä (11) äëÿ îäíèõ çíà÷åíèé z, îòëè÷íûõ
îò íóëÿ, ñõîäèòñÿ è äëÿ äðóãèõ — ðàñõîäèòñÿ (ðÿä òðåòüåãî êëàññà). Èç
òåîðåìû Àáåëÿ ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî R
(îíî íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì ñõîäèìîñòè ðÿäà (11)), ÷òî ðÿä (11) ñõîäèòñÿ
àáñîëþòíî ïðè | z | < R è ðàñõîäèòñÿ ïðè | z | > R. Êðóã | z | < R íàçûâàåòñÿ
êðóãîì ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà (11). Åñëè ðÿä (11) ñõîäèòñÿ ïðè
âñåõ çíà÷åíèÿõ z (ðÿä âòîðîãî êëàññà), òî ïðèíÿòî ãîâîðèòü, ÷òî åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = + ∞. Ïðè z = 0 ñõîäÿòñÿ âñå ñòåïåííûå ðÿäû ðàññìàòðèâàåìîãî âèäà (11). Åñëè ðÿä (11) ñõîäèòñÿ òîëüêî ïðè z = 0 (ðÿä
ïåðâîãî êëàññà), òî ïîëàãàþò, ÷òî åãî ðàäèóñ ñõîäèìîñòè R = 0.
Ï ð è ì å ð. Ðÿäû
z z2
zn
(12)
1+ +
+K+
+ K,
n!
1! 2!
z z 3 z5 z 7
z 2n +1
(13)
−
+
−
+K + ( −1) n
+K
1! 3! 5! 7!
(2n + 1)!
z2 z4 z6
z 2n
(14)
1−
+
−
+K + ( −1) n
+K
(2n )!
2! 4! 6!
ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè z. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ñòåïåííûå ðÿäû â äåéñòâèòåëüíîé îáëàñòè (ñì. § 10.3,
394
ï. 5) ñõîäÿòcÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, òî â ñèëó òåîðåìû Àáåëÿ ðÿäû
(12) — (14) áóäóò ñõîäèòüñÿ àáñîëþòíî äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî z.
Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ðÿäîâ (12) — (14) R = +∞.
Ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàäèóñà ñõîäèìîñòè ñòåïåííîãî ðÿäà
(11) òå æå, ÷òî è äëÿ ñòåïåííûõ ðÿäîâ äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî
c 
R = lim n  è R = lim
n→ ∞ c
n→ ∞
 n +1
1
n
|c n |
(ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðåäåëû ñóùåñòâóþò).
Ýòè ôîðìóëû âûòåêàþò èç ïðèçíàêîâ Äàëàìáåðà è Êîøè.
Êàê è â ñëó÷àå äåéñòâèòåëüíîãî ïåðåìåííîãî (§ 10.3, ï. 2), óñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ðàäèóñ ñõîäèìîñòè ðÿäà (11) ðàâåí R, òî äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ρ < R ñòåïåííîé ðÿä (11) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî
â çàìêíóòîì êðóãå | z | ≤ ρ.
Îòñþäà è ñ ó÷åòîì òåîðåì 3 è 4 èç ïóíêòà 2 ïîëó÷àåì:
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà (11) åñòü ôóíêöèÿ, àíàëèòè÷åñêàÿ âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè; ðÿä (11) ìîæíî ëþáîå ÷èñëî ðàç ïî÷ëåííî
èíòåãðèðîâàòü è äèôôåðåíöèðîâàòü âíóòðè êðóãà ñõîäèìîñòè, ïðè÷åì
ïîëó÷àþùèåñÿ ïðè ýòîì ñòåïåííûå ðÿäû èìåþò òîò æå ðàäèóñ ñõîäèìîñòè, ÷òî è èñõîäíûé ðÿä.
Ðÿä
c0 + cl(z − a) + c2(z − a)2 + c3(z − a)3 + + cn(z − a)n + ,
(15)
ãäå à — ëþáîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî, òàêæå íàçûâàåòñÿ ñòåïåííûì ðÿäîì.
Ýòîò ðÿä çàìåíîé ïåðåìåííîé z − a = ζ ñâîäèòñÿ ê ðÿäó (11), ïðè÷åì òî÷êå ζ = 0 ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà z = à. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ðÿäà (11) ÿâëÿåòñÿ êðóã | z | < R, òî îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ðÿäà (15)
ÿâëÿåòñÿ êðóã | z − a | < R ñ öåíòðîì â òî÷êå z − à.
§ 15.5. Ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé
1. Ïîêàçàòåëüíàÿ è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Ôóíêöèÿ åz êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z îïðåäåëÿåòñÿ êàê ñóììà ðÿäà
z z2
zn
(1)
ez =1+ +
+K+
+ K,
1! 2!
n!
è, çíà÷èò, ýòà ôóíêöèÿ â ñèëó ñëåäñòâèÿ ïðåäûäóùåãî ïóíêòà ÿâëÿåòñÿ
àíàëèòè÷åñêîé íà âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z1 è z2 èìååò ìåñòî ôîðìóëà
e z1 e z2 = e z1 + z2 .
(2)
395
 ñàìîì äåëå, òàê êàê ðÿä (1) àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ z, òî ìîæíî ïðèìåíèòü ñâîéñòâî îá óìíîæåíèè àáñîëþòíî ñõîäÿùèõñÿ ðÿäîâ (ñì. § 10.1, ï. 5; § 15.4, ï. 1). Ïîëó÷àåì, ÷òî
 


z2
zn
w2
wn
e z e w = 1 + z +
+… +
+ … ⋅  1 + w +
+… +
+ … =
2!
n!
2!
n!


 
= 1 + ( z + w) +
( z + w) 2
( z + w) n
+… +
+ … = e z +w .
2!
n!
z −z
z − z
0
Èç äîêàçàííîé ôîðìóëû (2) ñëåäóåò, ÷òî e e = e
= e = 1, è ïîòîìó
1
−z
e = z . Îòñþäà ïîëó÷àåì ôîðìóëó äåëåíèÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè
e
ez
= e z ⋅ e −t = e z −t ,
t
e
ò. å.
ez
= e z −t .
et
Ôóíêöèè sin z è cos z êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé z îïðåäåëÿþòñÿ êàê
ñóììû ñòåïåííûõ ðÿäîâ
z 3 z5 z 7
z 2n +1
+
−
+K + ( −1) n
+ K,
3! 5! 7!
(2n + 1)!
z2 z4 z6
z 2n
cos z = 1 −
+
−
+K + ( −1) n
+ K,
2! 4! 6!
(2n )!
sin z = z −
(3)
(4)
z
êîòîðûå, êàê è ôóíêöèÿ e , òàêæå ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè âî âñåé
êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
Î÷åâèäíî,
sin (−z) = −sin z, cos (−z) = cos z.
(5)
Íà îñíîâå ôîðìóë (1), (3) è (4), ó÷èòûâàÿ, ÷òî â àáñîëþòíî ñõîäÿùåìñÿ ðÿäå èìååò ìåñòî ïåðåìåñòèòåëüíîå ñâîéñòâî (§ 10.1, ï. 5; § 15.4,
ï. 1), èìååì:
i 2z 2 i 3 z 3 i 4 z 4 i5 z 5 i 6 z 6 i 7 z 7
e iz = 1 + iz +
+
+
+
+
+
+K =
2!
3!
4!
5!
6!
7!

 

z2 z4 z6
z 3 z5 z 7
= 1 −
+
−
+K ,+i  z −
+
−
+K  = cos z + i sin z .
2! 4! 6!
3! 5! 7!


 
Èòàê,
iz
e = cos z + i sin z.
(6)
Îòñþäà ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (5)
−iz
e = cos z − i sin z.
396
(7)
Ñêëàäûâàÿ ðàâåíñòâà (6) è (7) è äåëÿ íà 2, ïîëó÷àåì, ÷òî
cos z =
e iz + e −iz
.
2
(8)
sin z =
e iz − e −iz
.
2i
(9)
Àíàëîãè÷íî
Ôîðìóëû (6), (8), (9) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Ýéëåðà. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (2) è (6), èìååì
z + 2πi
å
z 2πi
=åå
z
z
= å (ñîs 2π + i sin 2π) = å ,
ò. å. ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ åz èìååò ïåðèîä 2πi.
Íàêîíåö, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (6), èç òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìû çàïèñè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (§ 7.7, ï. 3) ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìóþ ïîêàçàòåëüíóþ ôîðìó çàïèñè êîìïëåêñíîãî
÷èñëà z = reiϕ.
Îòìåòèì åùå, ÷òî ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ez íå îáðàùàåòñÿ â íóëü
íèãäå íà ïëîñêîñòè. Â ñàìîì äåëå, ïîëàãàÿ z = x + yi, èìååì: åz = åx · åói =
= åx(cos y + i sin ó), îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ôóíêöèè ez ðàâåí åx. Ïðè
ëþáîì äåéñòâèòåëüíîì çíà÷åíèè x âûðàæåíèå åx íå ðàâíî íóëþ, à ñëåäîâàòåëüíî, | å z | íå ìîæåò ñäåëàòüñÿ íóëåì.
Èçâåñòíûå èç òðèãîíîìåòðèè ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ ñèíóñà è êîñèíóñà
cos (z ± t) = cos z cos t m sin z sin t,
(10)
sin (z ± t) = sin z cos t ± cos z sin t
ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ è íà êîìïëåêñíóþ îáëàñòü.
 ñàìîì äåëå, ïî ôîðìóëå (2) èìååì: ei(z + t) = eiz ⋅ eit, îòêóäà â ñèëó ôîðìóëû (6) ïîëó÷èì:
cos (z + t) + i sin (z + t) = (cos z + i sin z)(cos t + i sin t).
(11)
Èçìåíÿÿ â òîæäåñòâå (11) çíàêè ó z è t, íàéäåì:
cos(z + t) − i sin(z + t) = (cos z − i sin z)(cos t − i sin t).
(12)
Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè â ðàâåíñòâàõ (11) è (12) è ñêëàäûâàÿ èõ ìåæäó ñîáîé,
ïîëó÷èì:
cos(z + t) = cos z cos t − sin z sin t;
âû÷èòàíèåì æå ðàâåíñòâ (11) è (12) íàéäåì:
sin(z + t) = sin z cos t + cos z sin t.
397
Èòàê, ìû âûâåëè ôîðìóëû ñëîæåíèÿ äëÿ êîñèíóñà è ñèíóñà. Ôîðìóëû
âû÷èòàíèÿ ïîëó÷àòñÿ èç ôîðìóë ñëîæåíèÿ çàìåíîé t íà −t. Íàêîíåö,
ïîëàãàÿ â ôîðìóëàõ ñëîæåíèÿ t = 2π, ïîëó÷èì:
cos(z + 2π) = ñîs z cos 2π − sin z sin 2π = ñîs z,
sin(z + 2π) = sin z cos 2π + cos z sin 2π = sin z,
ò. å. ÷èñëî 2π åñòü ïåðèîä ñèíóñà è êîñèíóñà è â êîìïëåêñíîé îáëàñòè;
ïîëàãàÿ æå â ôîðìóëå êîñèíóñà ðàçíîñòè (10) t = z, íàéäåì:
cos 0 = cos2z + sin2z, èëè sin2z + cos2z = 1.
Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî âñå ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè îñòàþòñÿ â ñèëå è äëÿ êîìïëåêñíîé îáëàñòè.
Îïðåäåëèì, íàêîíåö, âñå òå òî÷êè ïëîñêîñòè, â êîòîðûõ sin z è cos z
îáðàùàþòñÿ â íóëü. Â ñèëó ôîðìóëû (9) ðàâåíñòâî sin z = 0 ðàâíîñèëüíî
óðàâíåíèþ åiz = å−iz, èëè å2iz = 1. Ïîëàãàÿ z = α + βi, íàõîäèì:
e
i2(α + βi)
= 1, èëè å
−2β
·å
2iα
=1
(13)
 óðàâíåíèè (13) ñïðàâà ñòîèò åäèíèöà, à ñëåâà — êîìïëåêñíîå ÷èñëî,
ìîäóëü êîòîðîãî ðàâåí å−2β, àðãóìåíò æå 2α. Ñëåäîâàòåëüíî, èìååì: å−2β =
= 1, 2α = 2πk, ãäå k — öåëîå ÷èñëî, îòêóäà íàõîäèì: β = 0, α = πk. Èòàê,
íóëè sin z áóäóò: z = α + βi = πk, ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî. Àíàëîãè÷íî
π
ïîêàæåì, ÷òî âñå íóëè cos z áóäóò: + πk, ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî.
2
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ êîìïëåêñíûõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà óæå íåëüçÿ áîëåå óòâåðæäàòü, ÷òî | sin z | ≤ l è | cos z | ≤ l.  ñàìîì äåëå, íàïðèìåð,
2
cos i =
2
e i + e −i
e −1 + e
=
≈ 1,54308.
2
2
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèíóñ è êîñèíóñ áóäóò:
e z − e −z
z 3 z5
=z+
+
+ K,
2
3! 5!
e z + e −z
z2 z4
chz =
=1+
+
+K .
2
2! 4!
shz =
(14)
(15)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè.
Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (14) è (15) ñîîòâåòñòâåííî ñ ôîðìóëàìè (9) è
(8), ïîëó÷èì:
sh z = −i sin iz,
ch z = cos iz.
398
Íàêîíåö, îòìåòèì åùå ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðàññìîòðåííûõ âûøå ôóíêöèé:
de z
z z2 z3
=1+ +
+
+K = e z ,
dz
1! 2! 3!
d sin z
z2 z4
=1−
+
−K = cos z ,
dz
2! 4!
d cos z
z 3 z5
= −z +
−
+K = − sin z ,
3! 5!
dz
d sh z
z2 z4
=1+
+
−K = ch z ,
dz
2! 4!
d ch z
z 3 z5
=z+
+
+K = − sh z .
3! 5!
dz
2. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé. Ýòà ôóíêöèÿ
îïðåäåëÿåòñÿ êàê ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ïîêàçàòåëüíîé: ÷èñëî w íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìîì ÷èñëà z ≠ 0 (ïî îñíîâàíèþ å), åñëè
ew = z
(16)
(îáîçíà÷åíèå: w = ln z).
Åñëè çàïèñàòü z â ïîêàçàòåëüíîé ôîðìå: z = r eiϕ, òî ðàâåíñòâî (16) çàïèøåòñÿ â âèäå
reiϕ = eu + iv (w = u + iv),
èëè
r eiϕ = eueiv.
Îòñþäà âûòåêàþò äâà ðàâåíñòâà:
u
e = r, v = ϕ + 2kπ (k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî).
Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà íàõîäèì è = lnr, ãäå lnr ïîíèìàåòñÿ â îáû÷íîì
ñìûñëå. Ñëåäîâàòåëüíî,
w = ln z = ln r + i(ϕ + 2πk) = ln | z | + i argz + 2kni
(k = 0, ±1, ±2, ).
Âèäíî, ÷òî lnz åñòü ìíîãîçíà÷íàÿ ôóíêöèÿ îò z íåçàâèñèìî îò òîãî,
áóäåò ëè z äåéñòâèòåëüíûì èëè êîìïëåêñíûì.
Íàïðèìåð, ñ òî÷êè çðåíèÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé ln1
ðàâåí îäíîìó èç ÷èñåë 2kπi (k = 0, ±1, ±2, ...).  äåéñòâèòåëüíîì àíàëèçå
äëÿ âûðàæåíèÿ ln1 âûáèðàþò ñðåäè ýòèõ ÷èñåë åäèíñòâåííîå ÷èñëî 0.
Ï ð è ì å ð û: 1. In(−1) = iπ + 2kπi = iπ(1 + 2k)
(k = 0, ±1, ±2,
);
π
1
π
2. ln(1 − i ) = ln 2 − i + 2kπi = ln 2 − i (1 − 8k) (k = 0, ± 1, ± 2, K).
4
2
4
399
§ 15.6. Ðÿä Òåéëîðà
1. Ðàçëîæåíèå àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè â ñòåïåííîé ðÿä. Êàê óæå îòìå÷àëîñü (§15.4, ï. 3, ñëåäñòâèå), ñòåïåííîé ðÿä âíóòðè ñâîåãî êðóãà
ñõîäèìîñòè îïðåäåëÿåò àíàëèòè÷åñêóþ ôóíêöèþ — ñóììó ýòîãî ðÿäà.
Ñïðàâåäëèâî, îäíàêî, è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.
Ò å î ð å ì à. Ôóíêöèÿ f (z), àíàëèòè÷åñêàÿ âíóòðè êðóãà | z − z0 | < R
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ýòîì êðóãå ñòåïåííûì ðÿäîì
∞
∑c
k =0
k
(z − z 0 )k ,
(1)
ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðÿäà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì:
f (ζ)dζ
1
(k = 0, 1, 2, ),
ck =
2 πi ∫γ (ζ − z 0 ) k +1
ãäå γ — êàêàÿ-íèáóäü îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì z0, ëåæàùàÿ âíóòðè äàííîãî êðóãà, èëè ñ ó÷åòîì ôîðìóë (5) è (6) èç § 15.3 — ïî ôîðìóëàì
f ( k )(z 0 )
(k = 1, 2, ).
k!
Ðÿä (1) íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè f (z).
2. Ïîíÿòèå ãîëîìîðôíîé ôóíêöèè è åãî ýêâèâàëåíòíîñòü ñ ïîíÿòèåì
àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) ãîëîìîðôíà â òî÷êå a, åñëè îíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä îòíîñèòåëüíî z − à. Ñâîéñòâî ãîëîìîðôíîñòè ôóíêöèè â
òî÷êå à ýêâèâàëåíòíî åå àíàëèòè÷íîñòè â ýòîé òî÷êå. Åñëè f (z) ãîëîìîðôíà â òî÷êå à, òî ñóùåñòâóåò êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå à íåêîòîðîãî
ðàäèóñà ρ, âíóòðè êîòîðîãî f (z) ðàçëàãàåòñÿ â ñòåïåííîé ðÿä îòíîñèòåëüíî z − à è, çíà÷èò, êàê ñóììà ñòåïåííîãî ðÿäà, áóäåò àíàëèòè÷åñêîé
âíóòðè ýòîãî êðóãà, à ñëåäîâàòåëüíî, è â òî÷êå à. Åñëè æå f (z) àíàëèòè÷íà â òî÷êå à, òî ñóùåñòâóåò êðóã ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå íåêîòîðîãî ðàäèóñà ρ, âíóòðè êîòîðîãî f (z) áóäåò àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé, è, çíà÷èò, ñîãëàñíî ïðèâåäåííîé âûøå òåîðåìå, ãîëîìîðôíîé â òî÷êå à.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ôóíêöèÿ, ãîëîìîðôíàÿ â êàæäîé òî÷êå îáëàñòè G, íàçûâàåòñÿ ãîëîìîðôíîé â ýòîé îáëàñòè.
Ñêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f (z) åñòü ãîëîìîðôíàÿ â íåêîòîðîé îáëàñòè G,
ðàâíîñèëüíî óòâåðæäåíèþ, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ åñòü àíàëèòè÷åñêàÿ â òîé
æå îáëàñòè G.
3. Íóëè ôóíêöèè. Òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè. Ïóñòü f (z) ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèåé â îáëàñòè G . Òî÷êà z0 ∈ G íàçûâàåòñÿ íóëåì f (z),
c 0 = f ( z 0 ), c k =
400
åñëè f (z0) = 0.  ýòîì ñëó÷àå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (z) â îêðåñòíîñòè
òî÷êè z0 â ñòåïåííîé ðÿä èìååò âèä
2
k
f (z) = c1(z − z0) + c2(z − z0) +
+ ck(z − z0) +
,
òàê êàê c0 = f (z0) = 0.
Åñëè íå òîëüêî ñ0 = 0, íî è c1 = c2 = = ck − l = 0, a ck ≠ 0, òî òî÷êà z0 íàçûâàåòñÿ íóëåì k-ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè f (z).  ýòîì ñëó÷àå ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f (z) â îêðåñòíîñòè òî÷êè z0 èìååò âèä
k
f (z) = ck(z − z0) + ck + l(z − z0)
(Ýòî âîçìîæíî, êîãäà f (z0) = f ′(z0) =
òî íóëü íàçûâàþò ïðîñòûì.
=f
(k − 1)
k+l
+
.
(k)
(z0) = 0, à f (z0) ≠ 0.) Åñëè k = 1,
Ï ð è ì å ð. Íóëè sinz ïðîñòûå, òàê êàê cos πk ≠ 0. Àíàëîãè÷íî ïðîñòûå íóëè è äëÿ,
c o s z.
Ò å î ð å ì à 1. Ïóñòü ôóíêöèÿ f (z) àíàëèòè÷íà â îáëàñòè G è îáðàùàåòñÿ â íóëü â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ z1, z2, , zn, , ïðèíàäëåæàùèõ ýòîé îáëàñòè. Òîãäà, åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim z n = a è òî÷êà à ïðèíàäëåæèò
n→ ∞
îáëàñòì G, òî f (z) ≡ 0 â îáëàñòè G.
Èç ýòîé òåîðåìû íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî âñÿêàÿ, íå ðàâíàÿ
òîæäåñòâåííî íóëþ, àíàëèòè÷åñêàÿ â îáëàñòè G ôóíêöèÿ f (z) èìååò â
ëþáîé çàìêíóòîé ïîäîáëàñòè G ′ îáëàñòè G ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî íóëåé; áåñêîíå÷íîå ÷èñëî íóëåé àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò èìåòü
òîëüêî â îòêðûòîé îáëàñòè èëè â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ôóíêöèÿ f (z), àíàëèòè÷åñêàÿ âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè (z ≠ ∞), íàçûâàåòñÿ öåëîé ôóíêöèåé.
Èç ïðåäûäóùèõ ðàññìîòðåíèé ñëåäóåò, ÷òî öåëàÿ ôóíêöèÿ â ëþáîé
îãðàíè÷åííîé îáëàñòè èìååò ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî íóëåé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå íóëè öåëîé ôóíêöèè ìîæíî ïåðåíóìåðîâàòü â êàêîì-ëèáî
ïîðÿäêå, íàïðèìåð â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ èõ ìîäóëåé. Öåëûå ôóíêöèè
èãðàþò âàæíóþ ðîëü êàê â òåîðèè ôóíêöèé êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé,
òàê è åå ïðèëîæåíèÿõ.
Èç ïðåäûäóùåé òåîðåìû ñëåäóåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà:
Ò å î ð å ì à 2 (ò å î ð å ì à å ä è í ñ ò â å í í î ñ ò è). Åñëè â îáëàñòè G ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðàçëè÷íûõ òî÷åê z1, z2,
, zn, , ñõîäÿùàÿñÿ â òî÷êå à, ïðèíàäëåæàùåé îáëàñòè G, ÷òî çíà÷åíèÿ,
äâóõ àíàëèòè÷åñêèõ â îáëàñòè G ôóíêöèé f (z) è ϕ(z) ñîâïàäàþò âî âñåõ
òî÷êàõ óêàçàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, òî f (z) ≡ ϕ(z) â îáëàñòè G.
Èç ýòîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå àíàëèòè÷åñêèå â îáëàñòè G
ôóíêöèè f1(z) è f2(z) ñîâïàäàþò íà íåêîòîðîé êðèâîé L, ïðèíàäëåæàùåé
îáëàñòè G, òî îíè ñîâïàäàþò è âî âñåé îáëàñòè G.
401
4. Àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå. Èç òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè òàêæå
ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f1(z) àíàëèòè÷íà â îáëàñòè G1, à
ôóíêöèÿ f2(z) àíàëèòè÷íàâ îáëàñòè G2, ïðè÷åì îáëàñòè G1 è G2 èìåþò
îáùóþ ÷àñòü — íåêîòîðóþ îáëàñòü G , â êîòîðîé f1(z) è f2(z) ñîâïàäàþò,
òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ F (z) òàêàÿ, ÷òî
 f ( z ) äëÿ z èç G 1 ,
F (z ) =  1
 f 2 ( z ) äëÿ z èç G 2 .
 ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ F (z) íàçûâàåòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì
ôóíêöèè f 1(z) (ñîîòâåòñòâåííî f2(z)) íà îáëàñòü G1 + G2. Ïðè ýòîì ôóíêöèþ f2(z) òàêæå íàçûâàþò àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè f1(z)
íà îáëàñòü G2, a ôóíêöèþ f1(z) — àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè f2(z) íà îáëàñòü G1.
Ï ð è ì å ð û. Ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ åx è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè sin x è cos x
ïðè äåéñòâèòåëüíîì x ðàçëàãàþòñÿ â ðÿäû
∞
∞
x 2n
xn
x 2n+1
(§ 10.3, ï. 5).
, sin x = ∑ (−1)n
, cos x = ∑ (−1)n
(2 n + 1)!
(2 n)!
n = 0 n!
n=0
n=0
∞
ex = ∑
Çàìåíÿÿ â ýòèõ ðÿäàõ ôîðìàëüíî x ÷åðåç êîìïëåêñíîå ïåðåìåííîå z, ìû ïîëó÷èì ñòåïåííûå ðÿäû
∞
∞
z2 n
zn
z2 n +1
, f2 (z) = ∑ (−1)n
, f3 (z) = ∑ (−1)n
,
(2 n + 1)!
(2 n)!
n = 0 n!
n=0
n=0
∞
f1 (z) = ∑
ñõîäÿùèåñÿ âî âñåé ïëîñêîñòè (§ 15.5, ï. 4). Ýòè ðÿäû èçîáðàæàþò ôóíêöèè, àíàëèòè÷åñêèå âî âñåé êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè. Òàê êàê ôóíêöèè f1(z), f2(z) è f3(z) ïðè z = x ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâåííî ñ åõ, sin x è cos x, òî îíè ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèìè ïðîäîëæåíèÿìè
ïîñëåäíèõ ôóíêöèé â êîìïëåêñíóþ îáëàñòü.
§ 15.7. Ðÿä Ëîðàíà
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ðÿä âèäà
∞
∑c
k =−∞
k
(z − z 0 )k ,
(1)
ãäå k ïðèíèìàåò âñå öåëûå (ïîëîæèòåëüíûå, îòðèöàòåëüíûå è íóëåâîå)
çíà÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ ðÿäîì Ëîðàíà.
Ýòîò ðÿä ïîíèìàåòñÿ êàê ñóììà äâóõ ðÿäîâ:
∞
∑c
è
k =0
∞
∑c
k =1
402
k
−k
(z − z 0 )k
(2)
(z − z 0 ) −k .
(3)
Ïåðâàÿ ÷àñòü ðÿäà Ëîðàíà — ðÿä, ðàñïîëîæåííûé ïî íåîòðèöàòåëüíûì ñòåïåíÿì äâó÷ëåíà (z − z0) è ðàññìîòðåííûé âûøå (§15.4,
ï. 3), íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíîé ÷àñòüþ, à âòîðàÿ ÷àñòü — ðÿä, ðàñïîëîæåííûé ïî îòðèöàòåëüíûì ñòåïåíÿì äâó÷ëåíà (z − z0), — ãëàâíîé ÷àñòüþ ðÿäà Ëîðàíà.
Îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè ðÿäà Ëîðàíà ÿâëÿåòñÿ îáùàÿ ÷àñòü îáëàñòåé
ñõîäèìîñòè åãî ïðàâèëüíîé è ãëàâíîé ÷àñòåé. Îáëàñòüþ ñõîäèìîñòè
ïðàâèëüíîé ÷àñòè (ñì. § 15.4, ï. 3) ÿâëÿåòñÿ êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå z0 è
íåêîòîðîãî ðàäèóñà R1 (çíà÷åíèå R1 ìîæåò, â ÷àñòíîñòè, ðàâíÿòüñÿ
íóëþ èëè áåñêîíå÷íîñòè). Âíóòðè ýòîãî êðóãà ïðàâèëüíàÿ ÷àñòü ðÿäà
Ëîðàíà ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f1(z) (§ 15.4,
ï. 3) — ñóììå ýòîé ÷àñòè ðÿäà Ëîðàíà. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îáëàñòè ñõîäè1
ìîñòè ãëàâíîé ÷àñòè ðÿäà Ëîðàíà ââåäåì îáîçíà÷åíèå
= ζ. Òîãäà
z −z0
ïîëó÷èì ðÿä
∞
∑c
k =1
−k
ζk.
Ýòî îáû÷íûé ñòåïåííîé ðÿä, ñõîäÿùèéñÿ âíóòðè ñâîåãî êðóãà ñõîäè1
) ê íåêîòîðîé àíàëèòè÷åñêîé
ìîñòè (åãî ðàäèóñ îáîçíà÷èì ÷åðåç
R2
ôóíêöèè ϕ(ζ).
 1 
Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííîé z è ïîëàãàÿ ϕ
 = f 2 ( z ), ïîëó÷èì
 z −z0 
∞
c −k
f 2(z ) = ∑
,
k
k =1 ( z − z 0 )
ò. å. ðÿä, ñõîäÿùèéñÿ ê àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f2(z) âíå êðóãà ðàäèóñà
R2 ñ öåíòðîì â òî÷êå z0 (òàê æå, êàê è R1, çíà÷åíèå R2 ìîæåò, â ÷àñòíîñòè,
ðàâíÿòüñÿ íóëþ èëè áåñêîíå÷íîñòè).
Èòàê, êàæäûé èç ñòåïåííûõ ðÿäîâ (2) è (3) ñõîäèòñÿ â ñâîåé îáëàñòè
ñõîäèìîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè. Åñëè R2 < R1
(ðèñ. 195), òî ñóùåñòâóåò îáùàÿ îáëàñòü ñõîäèìîñòè ýòèõ ðÿäî⠗ êðóãîâîå êîëüöî R2 < | z − z0 | < R1, â êîòîðîì ðÿä
(1) ñõîäèòñÿ ê àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f (z) =
= f1(z) + f2(z).
Åñëè R2 > R1, òî ðÿäû (2) è (3) îáùåé îáëàñòè ñõîäèìîñòè íå èìåþò. Òåì ñàìûì ðÿä
Ëîðàíà íèãäå íå ñõîäèòñÿ.
Ò å î ð å ì à. Ôóíêöèÿ f (z), àíàëèòè÷åñêàÿ â êðóãîâîì êîëüöå R2 < | z − z0 | < R1, îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ýòîì êîëüöå ðÿäîì
Ðèñ. 195
Ëîðàíà.
403
Êîýôôèöèåíòû ðÿäà Ëîðàíà âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì, ïîäîáíûì
ôîðìóëàì äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðÿäà Òåéëîðà,
ck =
f (ζ)dζ
1
, (k = 0, ±1, ±2,
∫
2 πi γ (ζ − z 0 ) k +1
),
(4)
ãäå γ — êàêàÿ-íèáóäü îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì z0, ëåæàùàÿ âíóòðè äàííîãî êîëüöà.
Ï ð è ì å ð. Ðàçëîæèòü â ðÿä Ëîðàíà ôóíêöèþ f (z) =
1
â êîëüöå 1 < | z | < 2.
(z − 1)(z − 2)
Èìååì:
f (z) =
∞
∞
1 1
1
zn
1
1
1 1
−
=− ⋅
− ⋅
= −∑ n +1 − ∑ n .
1
z
2 1−
z − 2 z −1
z 1−
n=0 2
n =1 z
2
z
§ 15.8. Èçîëèðîâàííûå îñîáûå òî÷êè àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè
1. Òðè òèïà îñîáûõ òî÷åê. Òî÷êè, â êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ àíàëèòè÷íîñòü ôóíêöèè, íàçûâàþòñÿ îñîáûìè. Åñëè â äîñòàòî÷íîé áëèçîñòè ê
îñîáîé òî÷êå à íåò äðóãèõ îñîáûõ òî÷åê, òî îñîáàÿ òî÷êà à íàçûâàåòñÿ
èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êîé. Åñëè a åñòü èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà
ôóíêöèè f (z), òî â äîñòàòî÷íî ìàëîì êðóãå ñ âûêîëîòûì öåíòðîì à
ôóíêöèÿ f (z) áóäåò·àíàëèòè÷åñêîé è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä
Ëîðàíà
f (z ) =
+∞
∑c
k =−∞
k
(z − a) k .
(1)
Âîçìîæíû òðè ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ:
1) â ðàçëîæåíèè (1) íåò ÷ëåíîâ ñ îòðèöàòåëüíûìè ñòåïåíÿìè z − a;
2) â ðàçëîæåíèè (1) åñòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ñ îòðèöàòåëüíûìè ñòåïåíÿìè z − a;
3) â ðàçëîæåíèé (1) åñòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ñ îòðèöàòåëüíûìè ñòåïåíÿìè z − a.
 ýòèõ ñëó÷àÿõ îñîáàÿ òî÷êà à íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî: 1) óñòðàíèìîé; 2) ïîëþñîì; 3) ñóùåñòâåííî îñîáîé.
Åñëè a — óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ òî÷êà, òî â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè
+∞
f ( z ) = ∑ c k ( z − a) k ;
k =0
ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå íàäëåæàùåãî äîîïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè â òî÷êå à
(f (à) = ñ0) ôóíêöèÿ f (z) ñòàíîâèòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êå à è «îñîáåííîñòü óñòðàíÿåòñÿ».  äîñòàòî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êè ôóíêöèÿ f (z) îãðàíè÷åíà. Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå
404
óòâåðæäåíèå: åñëè f (z) îãðàíè÷åíà â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè a, | f (z) | ≤ M, òî ýòà òî÷êà åñòü óñòðàíèìàÿ îñîáàÿ.
Åcëè à — ïîëþñ, òî â îêðåñòíîñòè à èìååì:
c
c −n
f (z ) =
+… + −1 + c 0 + c1 ( z − a ) + c 2 ( z − a ) 2 +…,
n
z −a
( z − a)
ñ−n ≠ 0 (â ýòîì ñëó÷àå à — ïîëþñ n-ãî ïîðÿäêà; åñëè ï = 1, ïîëþñ à — ïðîñòîé), îòêóäà
ϕ( z )
f (z ) =
,
( z − a) n
ãäå
n
ϕ(z) = c−n + c−n + 1(z − a) +
+ ñ0(z − à) +
åñòü àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â îêðåñòíîñòè òî÷êè a, ïðè÷åì ϕ(à) = ñ−n ≠ 0.
ϕ( z )
Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå ïðåäëîæåíèå: åñëè f ( z ) =
, ãäå ϕ(z) àíà( z − a) n
ëèòè÷íà â îêðåñòíîñòè a è ϕ(a) ≠ 0, òî à åñòü ïîëþñ n-ãî ïîðÿäêà äëÿ f (z).
Èç òàêîãî âûðàæåíèÿ äëÿ f (z) ñëåäóò, ÷òî ïðè z → a | f (z) | íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè a åñòü íóëü ïîðÿäêà ï äëÿ f (z),
1
òî à áóäåò ïîëþñîì ïîðÿäêà n äëÿ
, òàê êàê èç ðàâåíñòâà f (z) = (z −
f (z )
− a)nϕ(z) (ãäå ϕ(z) àíàëèòè÷åñêàÿ â îêðåñòíîñòè à, îòëè÷íàÿ îò íóëÿ â a)
ñëåäóåò:
1
1
1
=
⋅
n
f ( z ) ( z − a ) ϕ( z )
1
àíàëèòè÷åñêàÿ â îêðåñòíîñòè a è îòëè÷íà îò íóëÿ â a).
ϕ( z )
Åñëè à — ñóùåñòâåííî îñîáàÿ òî÷êà, òî â ëþáîé îêðåñòíîñòè à çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (z) êàê óãîäíî áëèçêî ïîäõîäÿò ê ëþáîìó êîìïëåêñíîìó ÷èñëó (òåîðåìà Ñîõîöêîãî; Þëèàí Âàñèëüåâè÷ Ñîõîöêèé (1842—
1927) — ðóññêèé ìàòåìàòèê).
Åñëè â îáëàñòè G ôóíêöèÿ f (z) ìîæåò èìåòü â êà÷åñòâå îñîáûõ òî÷åê
òîëüêî ïîëþñû, òî f (z) íàçûâàåòñÿ ìåðîìîðôíîé â îáëàñòè G.
(
Ï ð è ì å ð û. 1. Ôóíêöèè
1
1
èìåþò ïîëþñû ñîîòâåòñòâåííî â íóëÿõ sin z è
è
sin z
cos z
cos z, ïðè÷åì ïîëþñà ïðîñòûå.
1
2. Ôóíêöèÿ e z èìååò ïðè z = 0 ñóùåñòâåííî îñîáóþ òî÷êó, òàê êàê ðàçëîæåíèå â ðÿä
1
∞
Ëîðàíà â îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè áóäåò e z = ∑
1
k
k =0 k !z
.
405
2. Ñëó÷àé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè. Ïóñòü òåïåðü f (z) àíàëèòè÷íà
â îêðåñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè. Òîãäà âíå íåêîòîðîãî êðóãà ñ öåíòðîì â íóëåâîé òî÷êå îíà èçîáðàçèòñÿ ðÿäîì Ëîðàíà
+∞
f (z ) =
∑c
k =−∞
k
z k.
(2)
Âîçìîæíû òðè ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿ:
1) â ðàçëîæåíèè (2) íåò ÷ëåíîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòåïåíÿìè z;
2) â ðàçëîæåíèè (2) åñòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòåïåíÿìè z;
3) â ðàçëîæåíèè (2) åñòü áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ñòåïåíÿìè z.
 ýòèõ ñëó÷àÿõ áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî: 1) óñòðàíèìîé îñîáîé òî÷êîé; 2) ïîëþñîì; 3) ñóùåñòâåííî îñîáîé
1
òî÷êîé. Ïîäñòàíîâêà z = ïðèâîäèò èçó÷åíèå ôóíêöèè f (z) â îêðåζ
 1
ñòíîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè ê èçó÷åíèþ ôóíêöèè f  
 ζ
â îêðåñòíîñòè íóëåâîé òî÷êè. Ïîýòîìó âñå çàêëþ÷åíèÿ î ïîâåäåíèè
ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè êîíå÷íîé èçîëèðîâàííîé îñîáîé òî÷êè íåìåäëåííî ïåðåíîñÿòñÿ íà ñëó÷àé áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè.
1
èìååò â áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êå óñòðàíèìóþ
1− z
∞
1
1 1
1
îñîáóþ òî÷êó, òàê êàê ïðè | z | > 1 èìååì:
=− ⋅
= −∑ k .
1
1− z
z 1−
k =1 z
z
2. Ôóíêöèÿ z3 èìååò áåñêîíå÷íî óäàëåííóþ òî÷êó ïîëþñîì ïîðÿäêà 3.
z
3. Äëÿ ôóíêöèè å áåñêîíå÷íî óäàëåííàÿ òî÷êà ñóùåñòâåííî îñîáàÿ, òàê êàê â îêðåñò∞
zk
íîñòè áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷êè e z = − ∑ . Òàêîé æå òèï áåñêîíå÷íî óäàëåííîé òî÷k =0 k !
êè è äëÿ ôóíêöèé sin z è cos z.
Ï ð è ì å ð û. 1. Ôóíêöèÿ
§ 15.9. Âû÷åòû
1. Îïðåäåëåíèå âû÷åòà. Ïóñòü a — êîíå÷íàÿ èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ
òî÷êà àíàëèòè÷åñêîé ôóíêöèè f (z); òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êè a ýòà
ôóíêöèÿ èçîáðàçèòñÿ ðÿäîì Ëîðàíà
f (z ) =
+∞
∑c
k =−∞
k
( z − a) k .
(1)
Î ï ð å ä å ë å í è å. Êîýôôèöèåíò ïðè ïåðâîé îòðèöàòåëüíîé ñòåïåíè ðàçëîæåíèÿ Ëîðàíà (1), ò. å. ÷èñëî ñ−1 íàçûâàåòñÿ âû÷åòîì ôóíêöèè f (z) îòíîñèòåëüíî îñîáîé òî÷êè à, ÷òî êðàòêî ìîæíî îáîçíà÷èòü
çíàêîì Res f ( z ).
a
406
Èç ôîðìóëû (4) èç § 15.7 ïðè k = −1 íàéäåì:
1
c −1 =
f ( z )dz ,
2πi ∫γ
(2)
ãäå γ — äîñòàòî÷íî ìàëàÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì à.
2. Îñíîâíàÿ òåîðåìà î âû÷åòàõ. Ò å î ð å ì à. Åñëè ôóíêöèÿ àíàëèòè÷íà âíóòðè çàìêíóòîãî êîíòóðà à è íà íåì, çà èñêëþ÷åíèåì êîíå÷íîãî
1
÷èñëà òî÷åê âíóòðè Ã, òî èíòåãðàë
f ( z )dz ðàâåí ñóììå âû÷åòîâ
2πi ∫Γ
îòíîñèòåëüíî îñîáûõ òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè Ã.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü
à1, à2, , ak (ðèñ. 196) — îñîáûå òî÷êè f (z), ëåæàùèå âíóòðè à è α1, α2, ,
αk— âû÷åòû f (z) îòíîñèòåëüíî íèõ.
Ïóñòü γ1, γ2, , γk — îêðóæíîñòè âîêðóã ýòèõ òî÷åê, ëåæàùèå âíóòðè à è
âíå äðóã äðóãà. Òîãäà ïî òåîðåìå
Ðèñ. 196
Êîøè äëÿ ñëîæíîãî êîíòóðà è â ñèëó
ôîðìóëû (2) ïîëó÷èì
1
1
1
1
f ( z )dz =
f ( z )dz +
f ( z )dz +K+
f ( z )dz =
∫
∫
∫
2 πi Γ
2 πi γ 1
2 πi γ 2
2 πi γ∫k
= α1 + α2 + +αk,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
3. Âû÷èñëåíèå âû÷åòà ôóíêöèè îòíîñèòåëüíî ïîëþñà. 1) Ïóñòü òî÷êà
a — ïðîñòîé ïîëþñ äëÿ ôóíêöèè f (z). Òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êè a
èìååì
c
f ( z ) = −1 + c 0 + c1 ( z − a ) + c 2 ( z − a ) 2 +K,
z −a
îòêóäà
(z − a)f (z) = c−1 + c0(z − a) + c1(z − a)2 +
è ïîòîìó
(3)
c −1 = lim( z − a ) f ( z ).
z→ a
ϕ( z )
Ïóñòü òåïåðü f ( z ) =
, ãäå ϕ(z), ψ(z) àíàëèòè÷íû â îêðåñòíîñòè à
ψ( z )
è òî÷êà a åñòü ïðîñòîé íóëü äëÿ ψ(z). Òîãäà a áóäåò ïðîñòûì ïîëþñîì
äëÿ f (z) (åñëè ϕ(a) ≠ 0). Ïî ôîðìóëå (3) èìååì
ϕ( z )
ϕ( z )
c −1 = lim( z − a ) f ( z ) = lim
= lim
,
z→ a
z → a ψ( z )
z → a ψ( z ) − ψ(α )
z −a
z −a
407
òàê êàê ñîãëàñíî óñëîâèþ èìååì ψ(a) = 0. Çàìåòèâ, ÷òî
ψ( z ) − ψ(α )
lim ϕ( z ) = lim ϕ(a ),lim
= ψ ′(a ) ≠ 0,
z→ a
z→ a
z→ a
z −a
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
c −1 =
Ï ð è ì å ð 1. Res ctgz = Res
π
π
ϕ(a )
.
ψ ′ (a )
(4)
cos z cos π
=
= 1.
sin z cos π
2) Ïóñòü à åñòü ïîëþñ ïîðÿäêà m äëÿ f (z). Òîãäà â îêðåñòíîñòè òî÷êè
à èìååì
c
c −m
f (z ) =
+K+ −1 + c 0 + c1 ( z − a ) + c 2 ( z − a ) 2 +K,
m
z −a
( z − a)
îòêóäà
(z − a)mf (z) = c−m + c−m + 1(z − a) +
+ c−l(z − a)
m−1
+
.
(5)
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ðàâåíñòâî (5) m − 1 ðàç, ïîëó÷èì â ïðàâîé
÷àñòè îáûêíîâåííûé ñòåïåííîé ðÿä, ñâîáîäíûé ÷ëåí êîòîðîãî áóäåò ñ−1(m − 1)!; è, çíà÷èò,
c −1 =
Ï ð è ì å ð 2. Res
−2
1
d m −1
lim m −1 (( z − a )m f ( z )).
(m − 1)! z→ a dz
(6)
ez
1
d 2e z 1
1
= lim
= lim e z = 2 .
3
z
→
−
2
(z + 2 )
2!
dz 2
2 z → −2
2e
4. Âû÷èñëåíèå íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ îò ôóíêöèé äåéñòâèòåëüíîãî
ïåðåìåííîãî. Òåîðèþ âû÷åòîâ ìîæíî ïðèìåíÿòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ íåêîòîðûõ òèïîâ íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Ïðèâåäåì ïî ýòîìó ïîâîäó äâå òåîðåìû, äîêàçàòåëüñòâà êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â áîëåå ïîäðîáíûõ êóðñàõ.
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè ôóíêöèÿ f (z) óäîâëåòâîðÿåò òðåì òðåáîâàíèÿì:
1) f (z) èìååò òî÷êó z = ∞ ñâîèì íóëåì ïîðÿäêà íå íèæå âòîðîãî, ò. å. ðÿä
Ëîðàíà äëÿ ýòîé ôóíêöèè â îêðåñòíîñòè òî÷êè z = ∞ èìååò âèä
c
c
f ( z ) = 22 + 33 +…
z
z
(ñëó÷àé ñ2 = 0 íå èñêëþ÷àåòñÿ), 2) f (z) àíàëèòè÷íà íà äåéñòâèòåëüíîé îñè,
3) f (z) àíàëèòè÷íà â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè Imz > 0, èñêëþ÷àÿ êîíå÷íîå
÷èñëî îñîáûõ òî÷åê à1, à2, , àn, òî
+∞
n
−∞
k =1
∫ f ( z )dz = 2 πi ∑ Res f ( z ).
408
ak
(7)
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë I =
+∞
∫
−∞
f (z) =
(x − 1)dx
. Ôóíêöèÿ
(x 2 + 1)2
z −1
(z 2 + 1)2
èìååò òî÷êó z = ∞ íóëåì òðåòüåãî ïîðÿäêà, à òî÷êè z1 = i è z2 = −i — ïîëþñàìè âòîðîãî ïîðÿäêà; äðóãèõ îñîáûõ òî÷åê ýòà ôóíêöèÿ íå èìååò.  âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ðàñïîëîæåí
åäèíñòâåííûé ïîëþñ z1 = i ôóíêöèè f (z). Ïî ôîðìóëå (6) íàõîäèì
Res f (z) = lim
i
z→ i
2 +i − z i
d
d  z −1 
((z − i )2 f (z)) = lim 
= ,
 = lim
z → i dz  (z + i ) 2 
z → i (z + i ) 3
4
dz
òàê ÷òî â ñèëó ôîðìóëû (7)
π
I = 2 πi Res f (z) = − .
i
2
+∞
∫ f ( x )dx èíîãäà ìîæåò áûòü âû÷èñëåí è â
Íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë
−∞
òîì ñëó÷àå, êîãäà òî÷êà z = ∞ íå ÿâëÿåòñÿ íóëåì ïîðÿäêà íå íèæå âòîðîãî äëÿ f (z). Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ôóíêöèÿ f (z) óäîâëåòâîðÿåò·òðåì òðåáîâàíèÿì:
1) f (z) = eiαzg(z), ãäå α > 0 è g(z) → 0 ïðè z → ∞ è ïðè óñëîâèè Imz ≥ 0 (ò. å.
z → ∞, îñòàâàÿñü â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè èëè íà äåéñòâèòåëüíîé îñè),
2 ) f (z) àíàëèòè÷íà íà äåéñòâèòåëüíîé îñè, 3) f (z) àíàëèòè÷íà â âåðõíåé
ïîëóïëîñêîñòè, èñêëþ÷àÿ êîíå÷íîå ÷èñëî îñîáûõ òî÷åê à1, à2, , àn, òî:
+∞
n
−∞
k =1
∫ f ( x )dx = 2 πi ∑ Res f ( z ).
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü I =
+∞
∫
−∞
ak
(8)
x sin xdx
ze iz
. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (z) = 2
; îíà
2
x +4
z +4
óäîâëåòâîðÿåò âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 2 (α = 1, g (z) =
z
). Îñîáûìè òî÷êàìè f (z) áóäóò
z2 + 4
äâà ïðîñòûõ ïîëþñà z1 = 2i è z2 = −2i, ïðè÷åì â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ëåæèò ïåðâûé èç
íèõ. Ïî ôîðìóëå (4)
Res f (z) =
z1
z1 e
iz 1
2 z1
=
1
2e 2
è, ñëåäîâàòåëüíî, ïî ôîðìóëå (8), ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Ýéëåðà,
+∞
∫
−∞
+∞
+∞
xe ix dx
x cos xdx
x sin xdx
1
πi
= 2 πi ⋅ 2 = 2 .
=∫
+i∫
2
x 2 + 4 −∞
x2 + 4
x
2
e
e
+
4
−∞
Îòäåëÿÿ äåéñòâèòåëüíîñòè ìíèìûå ÷àñòè; íàõîäèì
+∞
∫
−∞
+∞
x cos xdx
x sin xdx π
= 0, I = ∫
= 2
2
x2 + 4
e
−∞ x + 4
(ïåðâûé èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ î÷åâèäåí, òàê êàê çäåñü ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ).
409
Ãëàâà 16. ÈÍÒÅÃÐÀË ÔÓÐÜÅ. ÄÅËÜÒÀ-ÔÓÍÊÖÈß
§16.1. Èíòåãðàë Ôóðüå
1. Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà ðÿäà Ôóðüå. Êàê èçâåñòíî (ñì. § 10.4, ï. 2),
åñëè ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ f (x) ñ ïåðèîäîì 2π ÿâëÿåòñÿ ñóììîé
ðàâíîìåðíî ñõîäÿùåãîñÿ íà îòðåçêå [−π, π] òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî
ðÿäà
∞
a
(1)
f ( x ) = 0 + ∑ a n cos nx + b n sin nx ,
2 k =1
òî êîýôôèöèåíòû ýòîãî ðÿäà îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
a0 =
π
π
1
1
f ( x )dx , a n = ∫ f ( x )cos nxdx ,
∫
π −π
π −π
π
1
b n = ∫ f ( x )sin nxdx (n = 1, 2, K).
π −π
(2)
Äàëåå ïî ôîðìóëàì Ýéëåðà (ñì. §15.5, ï. 1)
e inx + e −inx
,
2
− e −inx
e inx − e −inx
= −i
.
2i
2
cos nx =
sin nx =
e inx
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ðÿä (1), ïîëó÷àåì:
f (x ) =
=
∞
a0
 e inx + e −inx
e inx − e −inx 
+ ∑an
− ib n
=
2 n =1 
2
2

∞
a0
 a − ib n inx a n + ib n −inx 
e +
e .
+ ∑ n

2 n =1 
2
2
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
Òîãäà
a0
a − ib n
a + ib n
= c0 , n
= cn, n
= c −n .
2
2
2
∞
f ( x ) = c 0 + ∑ (c n e inx + c − n e −inx ),
n =1
èëè, áîëåå êîìïàêòíî,
f (x ) =
∞
∑c
n =−∞
n
e inx .
Ýòî è åñòü êîìïëåêñíàÿ ôîðìà, ðÿäà Ôóðüå.
410
(3)
Âûðàçèì êîýôôèöèåíòû ñï è ñ−n ÷åðåç èíòåãðàëû. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (2), ìîæåì ôîðìóëû (3) ïåðåïèñàòü òàê:
cn =
π
π
1
1
f ( x )(cos nx − i sin nx )dx =
f ( x )e −inx dx , (n = 0, 1, 2, K),
2 π −∫π
2 π −∫π
π
1
f ( x )e inx dx , (n = 1, 2, K).
2 π −∫π
c −n =
2. Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Ôóðüå. Èíòåãðàë Ôóðüå.
Ïóñòü òåïåðü ôóíêöèÿ f (õ), îïðåäåëåííàÿ íà ïðîìåæóòêå (−∞; +∞),
óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
1) Íà ëþáîì êîíå÷íîì îòðåçêå [−l; l] ôóíêöèÿ f (õ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì Äèðèõëå.
+∞
2) Ñóùåñòâóåò íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ∫ | f ( x )| dt = Q (ýòî ñâîéñòâî
−∞
ôóíêöèè f (õ) íàçûâàåòñÿ åå àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòüþ).
Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû äëÿ êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå (ñì. § 10.4, ï. 6, ôîðìóëû (9), (10)):
an =
l
1
nπx
f ( x )cos
dx , (n = 0, 1, 2, K),
l −∫l
l
bn =
l
1
nπx
f ( x )sin
dx , (n = 1, 2, K),
l −∫l
l
ïðè ï = 1, 2, 3, ... èìååì:
a n cos
l
nπ(t − x )
nπx
nπx 1
+ b n sin
= ∫ f (t )cos
dt.
l
l
l −l
l
Òîãäà
f (x ) =
l
l
nπ(t − x )
1
1 ∞
f
(
t
)
dt
+
f (t )cos
dt.
∑
∫
∫
l −l
l n =1 −l
l
(4)
Èññëåäóåì âîïðîñ î òîì, êàêîé âèä ïðèìåò ðàçëîæåíèå (4) ïðè l →
→ +∞. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
λ1 =
kπ
2π
π
π
, λ2 =
, K, λ k = , K; ∆λ k = λ k +1 − λ k = .
l
l
l
l
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ðàâåíñòâî (1), ïîëó÷àåì:
f (x ) =
l
l

1
1 ∞
f
(
t
)
dt
+
f (t )cos λ n (t − x )dt  ∆λ n .

∑
∫
∫
2l −l
π n =1  −l

(5)
411
Ïðè l → +∞ ïåðâûé ÷ëåí â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (5) ñòðåìèòñÿ ê
íóëþ. Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê
+∞
1 l
 1 l
1
Q
 ∫ f (t )dt≤ ∫ | f (t )| dt < ∫ | f (t )| dt =
2l −∞
2l
2l −l
 2l −l
l
1
(ýòè íåðàâåíñòâà ñëåäóþò èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé), òî ∫ f (t )dt →
2l −l
→ 0 ïðè l → +∞.
l
Ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì l âûðàæåíèå ∫ f (t )cos λ n (t − x )dt åñòü ôóíê−l
öèÿ îò ïåðåìåííîé λn, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò ðàâíîîòñòîÿùèå çíà÷åíèÿ â
ïðîìåæóòêå (0; +∞). Áåç äîêàçàòåëüñòâà óêàæåì, ÷òî ïðè l → +∞ ôîðìóëà (5) ïðèìåò âèä
+∞
+∞
1
(6)
f ( x ) = ∫ dλ ∫ f (t )cos λ(t − x )dt.
π 0 −∞
Ôîðìóëà (6) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíîé ôîðìóëîé Ôóðüå, à èíòåãðàë â
ïðàâîé ÷àñòè ýòîé ôîðìóëû — èíòåãðàëîì Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè f (x).
Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè f (x) â âèäå ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (6) îáû÷íî
íàçûâàåòñÿ ðàçëîæåíèåì ýòîé ôóíêöèè â èíòåãðàë Ôóðüå.
 ñèëó ôîðìóëû (6)
f (x ) =
+∞
+∞
1
dλ ∫ f (t )(cos λt cos λx + sin λt sin λx )dt,
π ∫0 −∞
è, ñëåäîâàòåëüíî, ôîðìóëå (6) ìîæíî ïðèäàòü òàêîé âèä:
+∞
f ( x ) = ∫ (a( λ )cos λx + b( λ )sin λx )dλ,
0
ãäå ïîëîæåíî
a( λ ) =
+∞
+∞
1
1
f (t )cos λtdt, b( λ ) = ∫ f (t )sin λtdt,
∫
π −∞
π −∞
3. Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà èíòåãðàëüíîé ôîðìóëû Ôóðüå. Â èíòåãðàëå
Ôóðüå (ôîðìóëà (6)) âíóòðåííèé èíòåãðàë — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ îò λ. Ïîýòîìó ôîðìóëó (6) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
f (x ) =
+∞
+∞
1
∫ dλ −∞∫ f (t )cos λ(t − x )dt.
2π −∞
Äàëåå ñîãëàñíî ôîðìóëå Ýéëåðà (§ 15.5, ï. 1) èìååì:
1
cos λ(t − x ) = (e iλ ( t − x ) + e −iλ ( t − x ) ).
2
412
(6′).
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî â ôîðìóëó (6′), ïîëó÷èì:
f (x ) =
+∞
+∞
+∞
+∞
1
1
−iλ ( t − x )
dλ ∫ f (t )e iλ ( t − x ) dt +
dt.
∫
∫ dλ −∞∫ f (t )e
4 π −∞ −∞
4 π −∞
(7)
Çäåñü, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ ïîäñòàíîâêîé z = −λ, èíòåãðàëû, ñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè, ðàâíû äðóã äðóãó. Ïîýòîìó
f (x ) =
+∞
+∞
1
−iλ ( t − x )
dt.
∫ dλ −∞∫ f (t )e
2π −∞
(7′)
Ïðàâàÿ ÷àñòü â ôîðìóëå (7′) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ôóðüå â êîìïëåêñíîé ôîðìå äëÿ ôóíêöèè f (x).
4. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå è åãî îáðàùåíèå. Ïåðåïèøåì ôîðìóëó (7′) â
âèäå
+∞
+∞
1
iλx
−iλt
(8)
λ
f (x ) =
e
d
∫
∫ f (t )e dt
2π −∞
−∞
è ïîëîæèì:
+∞
1
~
−iλt
(9)
f (λ) =
∫ f (t )e dt.
2 π −∞
Òîãäà âìåñòî ôîðìóëû (8) ïîëó÷èì:
f (x ) =
1
+∞
~
∫ f ( λ )e
2π −∞
iλx
dλ.
(10)
Îïåðàöèÿ, êîòîðàÿ ïðîèçâîäèòñÿ íàä ôóíêöèåé f â ôîðìóëå (9), íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå. Îïåðàöèÿ, êîòîðàÿ ïðîèçâîäèòñÿ íàä
~
ôóíêöèåé f â ôîðìóëå (10), íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå (ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ åùå ôîðìóëîé îáðàùåíèÿ), ïðè ýòîì ôóíê~
öèþ f ÷àñòî íàçûâàþò ïðîîáðàçîì, à ôóíêöèþ f — îáðàçîì. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå ýòèõ äâóõ îïåðàöèé, êàê âèäíî, âîçâðàùàåò íàñ ê
èñõîäíîé ôóíêöèè f .
5. Ñïåêòðàëüíàÿ ôóíêöèÿ. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, èíòåãðàëû, ñòîÿùèå
â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (7), ðàâíû äðóã äðóãó. Ïîýòîìó ôîðìóëà (7)
ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà è â òàêîì âèäå:
f (x ) =
+∞
+∞
1
iλ ( x −t )
∫ dλ −∞∫ f (t )e dt.
2π −∞
(11)
Ââåäåì òåïåðü îáîçíà÷åíèå
A( λ ) =
+∞
1
−iλt
∫ f (t )e dt.
2 π −∞
(11′)
413
Ýòà ôóíêöèÿ îò λ èãðàåò âàæíóþ ðîëü â ýëåêòðîòåõíèêå è íîñèò íàçâàíèå ñïåêòðàëüíîé ôóíêöèè äëÿ f (õ).
 ñèëó (11) è (11′) f ( x ) =
+∞
∫ A( λ )e
iλx
dλ.
−∞
6. Ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îáëàäàåò
ðÿäîì ïîëåçíûõ ñâîéñòâ, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ çäåñü ïåðå÷èñëèì.
~ ~
~
1. f 1 + f 2 = f 1 + f 2 , αf = αf (α = const ).
(12)
Ýòî ñâîéñòâî âûòåêàåò èç ôîðìóëû (9).
2. Åñëè ïðîîáðàç ñäâèíóòü íà ïîñòîÿííóþ β, òî åãî îáðàç óìíîæèòñÿ
íà e−iβλ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Â ñàìîì äåëå, ïîëàãàÿ t − β = s, èìååì:
1
+∞
−iλt
∫ f (t − β)e dt =
2 π −∞
=
1
+∞
∫ f ( s)e
2 π −∞
−iλs
+∞
1
∫ f ( s)e
−iλ ( β + s )
2 π −∞
ds =
~
e −iλβ ds = e −iλβ f ( λ ).
iβx
Àíàëîãè÷íî åñëè îáðàç ñäâèíóòü íà β, òî ïðîîáðàç óìíîæèòñÿ íà å .
~
3. Åñëè ôóíêöèÿ f (x) ïðåîáðàçóåòñÿ â f ( λ ) òî f (αx) (α = const > 0) ïðå1 ~ λ 
îáðàçóåòñÿ â f   .
α  α
Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ αt = s , èìååì:
1
+∞
−iλt
∫ f (αt )e dt =
2 π −∞
λ
+∞
−i s
1 1
1 ~ λ 
f ( s)e α ds = f   .
∫
α 2 π −∞
α  α
4. Åñëè îò ôóíêöèè f âçÿòü ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ, òî îáðàç óìíîæèòñÿ
íà iλ (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íàðÿäó ñ àáñîëþòíîé èíòåãðèðóåìîñòüþ f íà
âñåé ÷èñëîâîé îñè íà íåé àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà è f ′, ïðè÷åì f ′ íåïðåðûâíà).
 ñàìîì äåëå,
1
+∞
−iλt
∫ f ′(t )e dt =
2 π −∞
1
2π
f (t )e −iλt
+∞
−∞
+
iλ
+∞
∫ f (t )e
2 π −∞
−iλt
~
dt = iλf .
Ìû ïðîèçâåëè èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì è ó÷ëè, ÷òî lim f (t ) = 0
t → ±∞
(ñì. [9], ò. II).
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ñâîéñòâî 4 ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé ïðîèçâîäíîé k -ãî ïîk
ðÿäêà îò ôóíêöèè f.  ýòîì ñëó÷àå îáðàç ýòîé ôóíêöèè óìíîæèòñÿ íà (iλ) .
Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
414
5. Ïóñòü ôóíêöèÿ f çàâèñèò íå òîëüêî îò x, íî è îò íåêîòîðîãî ïàðà~
~ ~
ìåòðà t. Òîãäà f òàêæå çàâèñèò îò ýòîãî ïàðàìåòðà( f = f ( λ, t )), è â ñèëó
~
~
f ( λ, t + ∆t ) − f ( λ, t ) f ( λ, t + ∆t ) − f ( λ, t )
ôîðìóë (12) çàïèøåì:
=
. Ïåðå∆t
∆t
~
∂~f
∂f
(ïðåäïîëàãàåòõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè ∆t → 0, ïîëó÷àåì, ÷òî
=
∂t
∂t
ñÿ, ÷òî ýòè ïðîèçâîäíûå ñóùåñòâóþò).
~
~
7. Ñâåðòêà è ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. Ïóñòü f 1 ( λ ) è f 2 ( λ )— ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ôóíêöèé f1(t) è f2(t). Òîãäà
+∞
+∞
1
1
~
~
f 1(λ) f 2(λ) =
f 1 (t )e −iλt dt
f 2 ( τ)e −iλτ dτ =
∫
∫
2 π −∞
2 π −∞
=
+∞
+∞
1
−i ( t + τ ) λ
dτ.
∫ f 1 (t )dt −∞∫ f 2 ( τ)e
2 π −∞
Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé t + τ = x, òàê ÷òî τ = x − t. Áóäåì èìåòü:
+∞
+∞
1
~
~
−ixλ
f 1(λ) f 2(λ) =
∫ f 1 (t )dt −∞∫ f 2 ( x − t )e dx,
2 π −∞
îòêóäà, ìåíÿÿ ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ýòî âîçìîæíî), ïîëó÷àåì:
+∞
+∞
1
~
~
−ixλ
f 1(λ) f 2(λ) =
∫ e dx −∞∫ f 1 (t ) f 2 ( x − t )dt.
2 π −∞
(13)
Ôóíêöèÿ
ψ( x ) =
1
+∞
∫ f (t ) f
2 π −∞
1
2
( x − t )dt
íàçûâàåòñÿ ñâåðòêîé ôóíêöèé f1 è f2.
Ôîðìóëà (13) ìîæåò áûòü òåïåðü çàïèñàíà òàê:
1
+∞
∫ ψ( x )e
2 π −∞
−ixλ
~
~
dx = f 1 ( λ ) f 2 ( λ ),
ò. å. ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ñâåðòêè ôóíêöèé f1 è f2 ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ
ïðåîáðàçîâàíèé Ôóðüå ñâåðòûâàåìûõ ôóíêöèé.
§ 16.2. Äåëüòà-ôóíêöèÿ
1. Îïðåäåëåíèå äåëüòà-ôóíêöèè. Ýòà ôóíêöèÿ (îíà îáîçíà÷àåòñÿ δ(x)),
øèðîêî ïðèìåíÿåìàÿ â ìàòåìàòèêå è åå ïðèëîæåíèÿõ, áûëà ââåäåíà
àíãëèéñêèì ôèçèêîì Ïîëåì Äèðàêîì (1902— 1984). ×òîáû ïðèáëèæåí-
415
íî ïðåäñòàâèòü ñåáå äåëüòà-ôóíêöèþ, ðàññìîòðèì ñòóïåí÷àòóþ ôóíêöèþ (ðèñ. 197).
1
 , | x | ≤ ε,
δ ε ( x ) = 2 ε
0, | x | > ε.
Îòñþäà
+∞
∫δ
ε
( x )dx = 1.
−∞
Äåëüòà-ôóíêöèÿ ïîëó÷àåòñÿ â ïðåäåëå ïðè
ε → 0. Ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå äåëüòà-ôóíêöèè (êîòîðàÿ íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé â îáû÷íîì ñìûñëå ýòîãî òåðìèíà) òàêîâî:
Ðèñ. 197
δ = 0, õ ≠ 0,
(1)
∫ δ( x )dx = 1.
(2)
+∞
−∞
Ýòî òàê íàçûâàåìàÿ îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ. Òåîðèÿ îáîáùåííûõ ôóíêöèé áûëà ïîñòðîåíà ñîâåòñêèì ìàòåìàòèêîì Ñ. Ë. Ñîáîëåâûì (1908—
1989) è ôðàíöóçñêèì ìàòåìàòèêîì Ëîðàíîì Øâàðöåì (ð. 1915 ã.).
Äåëüòà-ôóíêöèþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü, íàïðèìåð, êàê ïëîòíîñòü
åäèíè÷íîé ìàññû, ñîñðåäîòî÷åííîé â òî÷êå x = 0 (ýòî ëèøü îäíà èç
èçâåñòíûõ åå ôèçè÷åñêèõ èíòåðïðåòàöèé).  ñàìîì äåëå, îáîçíà÷èì
ýòó ïëîòíîñòü ÷åðåç ρ(x). Òîãäà ρ(x) = 0 ïðè x ≠ 0, ò. å. âñÿ ìàññà ñî+∞
ñðåäîòî÷åíà â òî÷êå x = 0, è ∫ ρ( x )dx = 1, èáî ìàññà ðàâíà åäèíèöå, òàê
−∞
÷òî ρ(x) = δ(x).
Ïóñòü f (x) — íåïðåðûâíàÿ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè ôóíêöèÿ. Èç ðàâåíñòâ (1) è (2) ñëåäóåò îñíîâíîå ñîîòíîøåíèå
+∞
∫ δ( x ) f ( x )dx = f (0).
(3)
−∞
Äåéñòâèòåëüíî, â ñèëó (1)
+∞
ε
−∞
−ε
∫ δ( x ) f ( x )dx = ∫ δ( x ) f ( x )dx,
(4)
ãäå ε — ìàëàÿ ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà.  ïîñëåäíåì èíòåãðàëå ïðîìåæóòîê èíòåãðèðîâàíèÿ ìàë (åãî äëèíà ðàâíà 2ε), ïîýòîìó íà íåì
f (x) ≈ f (0), ñëåäîâàòåëüíî,
ε
ε
ε
−ε
−ε
−ε
∫ δ( x ) f ( x )dx = ∫ δ( x ) f (0)dx = f (0) ∫ δ( x )dx.
416
(5)
ε
+∞
−ε
−∞
Íî ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (1) è (2) ∫ δ( x )dx = ∫ δ( x )dx = 1. Îòñþäà è èç ñîîòíîøåíèé (5) è (4) ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå (3).
2. Ïðåäñòàâëåíèå äåëüòà-ôóíêöèè ÷åðåç èíòåãðàë Ôóðüå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (9) (èç § 16.1) äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå. Ïóñòü f (x) =
1
~
= δ(x). Òîãäà â ñèëó ôîðìóëû (3) f ( λ ) ≡
. Ïîäñòàâëÿÿ, ýòî âûðàæå2π
íèå â ôîðìóëó îáðàùåíèÿ, ïîëó÷àåì:
δ( x ) =
+∞
1
iλx
∫ e dλ.
2 π −∞
3. Åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà. Ïðè ïîìîùè äåëüòà-ôóíêöèè ëåãêî çàïèñûâàþòñÿ íåêîòîðûå äðóãèå ôóíêöèè, èìåþùèå áîëüøîå çíà÷åíèå. Âàæíûì ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà
(Îëèâåð Õåâèñàéä (1850—1925) — àíãëèéñêèé ôèçèê):
1, åñëè x ≥ 0,
e( x ) = 
0, åñëè x < 0 .
Ãðàôèê åå èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 198. Îíà ïîëó÷àåòñÿ ïðè âíåçàïíîì
ïîäêëþ÷åíèè êàêîãî-ëèáî ïîñòîÿííîãî âîçäåéñòâèÿ, íàïðèìåð íàïðÿæåíèÿ â ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü.
Òàê êàê δ(x) = 0 ïðè âñåõ õ ≠ 0, òî ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (2) èìååì ([9], ò. II):
x
1, åñëè x ≥ 0,
∫ δ(t )dt = 0, åñëè x < 0 .
−∞
ò. å. ýòîò èíòåãðàë ðàâíÿåòñÿ åäèíè÷íîé ôóíêöèè Õåâèñàéäà. Èòàê,
x
e( x ) = ∫ δ(t )dt.
(6)
−∞
Ðèñ. 198
417
Åñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ðàâåíñòâî (6), òî ïîëó÷èòñÿ, ÷òî
e′(x) = δ(x).
(7)
Ýòî ðàâåíñòâî ïîíèìàåòñÿ â îáîáùåííîì ñìûñëå. Íàïðèìåð, ìîæíî
çàìåíèòü íà ðèñóíêå 198 âåðòèêàëüíûé îòðåçîê íàêëîííûì, ñîåäèíÿþùèì òî÷êè (−ε; 0) è (ε; 1) (òîíêàÿ ëèíèÿ). Òîãäà ðàçðûâíàÿ ôóíêöèÿ çàìåíèòñÿ íà íåïðåðûâíóþ, ïðîèçâîäíàÿ êîòîðîé èìååò ãðàôèê,
èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 197. Åñëè òåïåðü ïåðåéòè ê ïðåäåëó ïðè
ε → 0, òî ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå (7).
Òàêèì îáðàçîì, äåëüòà-ôóíêöèÿ ïîëó÷àåòñÿ ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ðàçðûâíîé ôóíêöèè å(õ).
4. Ïðîèçâîäíàÿ äåëüòà-ôóíêöèè. Äåëüòà-ôóíêöèþ ìîæíî íå òîëüêî
èíòåãðèðîâàòü, íî è äèôôåðåíöèðîâàòü; èíòåãðàëû ñ ó÷àñòèåì δ′(x)
âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:
+∞
+∞
∫ f ( x )δ′( x )dx = f ( x )δ( x ) −∞ −
−∞
+∞
∫ f ′( x )δ( x )dx = − f ′(0).
(8)
−∞
Çäåñü ôóíêöèÿ f (x) íåïðåðûâíà âìåñòå ñî ñâîåé ïðîèçâîäíîé. Ôîðìóëó
(8) ìîæíî ïðèíÿòü çà îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé äåëüòà-ôóíêöèè.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è ïðîèçâîäíûå âûñøèõ ïîðÿäêîâ.
Ãëàâà 17. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÎÑÍÎÂÍÛÅ
ÇÀÄÀ×È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÔÈÇÈÊÈ
§ 17.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ î äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ
ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà
Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè íàçûâàåòñÿ
ðàâåíñòâî, ñâÿçûâàþùåå íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ îò íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, ýòè ïåðåìåííûå è ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå îò íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ïî íåçàâèñèìûì ïåðåìåííûì.
Ïîðÿäêîì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè íàçûâàåòñÿ ïîðÿäîê ñòàðøåé ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé, âõîäÿùåé â ýòî
óðàâíåíèå.
Åñëè è = è(õ, ó), òî â îáùåì ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ
÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà èìååò âèä:

∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u
∂ 2u 
F  x , y, u,
,
,
,
,
 = 0,
∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂x∂y 

ãäå F — èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ.
418
(1)
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè îíî ëèíåéíî îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè
è âñåõ åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
Äëÿ ôèçè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî
ïîðÿäêà.
Äëÿ ñëó÷àÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ ïðèâåäåì âàæíåéøèå
òèïû òàêèõ óðàâíåíèé.
1. Âîëíîâîå óðàâíåíèå
∂ 2u
∂ 2u
.
(2)
= a2
2
∂t
∂x 2
Ýòî óðàâíåíèå âñòðå÷àåòñÿ ïðè èçó÷åíèè ðÿäà êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ
(ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ óïðóãîé ñòðóíû, êîëåáàíèå ãàçà â òðóáêå è äð.).
2. Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè (óðàâíåíèå Ôóðüå)
∂u
∂ 2u
,
(3)
= a2
∂t
∂x 2
îïèñûâàþùåå ïðîöåññû ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà è ò. ä.
3. Óðàâíåíèå Ëàïëàñà
∂ 2u ∂ 2u
(4)
+
= 0.
∂x 2 ∂y 2
Ê èññëåäîâàíèþ ýòîãî óðàâíåíèÿ ïðèâîäèò ðàññìîòðåíèå çàäà÷ îá ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëÿõ, î ñòàöèîíàðíîì òåïëîâîì ñîñòîÿíèè, çàäà÷ ãèäðîäèíàìèêè, äèôôóçèè è ò.ä. (ñì. [17]).
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé â ðàçëè÷íûõ óñëîâèÿõ áûëè ñîçäàíû ñïåöèàëüíûå ïðèåìû (òàê íàçûâàåìûå «ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè»).
Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1) íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ ôóíêöèÿ è = ϕ(x, y), îáðàùàþùàÿ óðàâíåíèå (1) â òîæäåñòâî.
Êàê èçâåñòíî (ñì. § 13.1,13.3), îáùèå ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñîäåðæàò ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Äëÿ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè èõ îáùèå
ðåøåíèÿ âêëþ÷àþò ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè.
§ 17.2. Âûâîä óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû
 ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå ïîä ñòðóíîé ïîíèìàþò îäíîðîäíóþ ãèáêóþ, óïðóãóþ íèòü (ò. å. ñ ïîñòîÿííîé ëèíåéíîé ïëîòíîñòüþ).
Ïóñòü ñòðóíà äëèíîé l â íà÷àëüíûé ìîìåíò íàïðàâëåíà ïî îòðåçêó
îñè Ox îò 0 äî l. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîíöû ñòðóíû çàêðåïëåíû â òî÷êàõ
x = 0 è x = l. Åñëè ñòðóíó îòêëîíèòü îò åå ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ, à
ïîòîì ïðåäîñòàâèòü ñàìîé ñåáå, òî òî÷êè ñòðóíû áóäóò ñîâåðøàòü äâèæåíèÿ — ãîâîðÿò, ÷òî ñòðóíà íà÷íåò êîëåáàòüñÿ.
419
Ðèñ. 199
Ðèñ. 200
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ìàëûå îòêëîíåíèÿ òî÷åê ñòðóíû îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ.  ñèëó ýòîãî ìîæíî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äâèæåíèå òî÷åê
ñòðóíû ïðîèñõîäèò ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè Ox è â îäíîé ïëîñêîñòè. Ïðè
ýòîì ïðåäïîëîæåíèè ïðîöåññ êîëåáàíèÿ ñòðóíû îïèñûâàåòñÿ îäíîé
ôóíêöèåé u(x, t), êîòîðàÿ äàåò âåëè÷èíó ïåðåìåùåíèÿ òî÷êè ñòðóíû ñ
àáñöèññîé õ â ìîìåíò âðåìåíè t (ðèñ. 199).
Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ìàëûå îòêëîíåíèÿ ñòðóíû â ïëîñêîñòè
xOu, òî áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî äëèíà ýëåìåíòà ñòðóíû l ∪ M 1 M 2 ðàâíà åå
ïðîåêöèè íà îñü Ox, ò. å. äëèíà äóãè M1M2 ðàâíà x2 − x1. Òàêæå áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî íàòÿæåíèå âî âñåõ òî÷êàõ ñòðóíû îäèíàêîâîå ïî âåëè÷èíå,
îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç T.
Ðàññìîòðèì ýëåìåíò ñòðóíû MM' (ðèñ. 200).
Íà êîíöàõ ýòîãî ýëåìåíòà, ïî êàñàòåëüíûì ê ñòðóíå, äåéñòâóþò
ñèëû T. Ïóñòü êàñàòåëüíûå îáðàçóþò ñ îñüþ Ox óãëû ϕ è ϕ +∆ϕ. Òîãäà
ïðîåêöèÿ íà îñü Ou ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ýëåìåíò MM', áóäåò ðàâíà
T sin (ϕ + ∆ϕ) − T sin ϕ . Òàê êàê óãîë ϕ ìàë, òî ìîæíî ñ÷èòàòü tg ϕ ≈
≈ sin ϕ , è ìû áóäåì èìåòü:
 ∂u( x + ∆x , t ) ∂u( x , t )
T sin( ϕ + ∆ϕ) − T sin ϕ ≈T tg( ϕ + ∆ϕ) − T tgϕ =T 
−
=

∂x
∂x 
∂ 2 u( x + Θ∆x , t )
∂ 2 u( x , t )
=T
x
≈
T
∆
∆x ,
∂x 2
∂x 2
0 < Θ < 1 (çäåñü ìû ïðèìåíèëè ôîðìóëó Ëàãðàíæà (§ 8.6, ï. 3) ê ðàçíîñòè, ñòîÿùåé â ñêîáêàõ).
×òîáû ïîëó÷èòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, íàäî âíåøíèå ñèëû, ïðèëîæåííûå ê ýëåìåíòó MM', ïðèðàâíÿòü ñèëå èíåðöèè. Ïóñòü ρ — ëèíåéíàÿ ïëoòíîcòü ñòðóíû. Òîãäà ìàññà ýòîãî ýëåìåíòà ñòðóíû áóäåò
∂ 2u
ρ∆x, à åãî óñêîðåíèå ðàâíî 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî âòîðîìó çàêîíó
∂t
∂ 2u
∂ 2u
Íüþòîíà ρ∆x 2 = T
.
∆
x
∂t
∂x 2
∂ 2u
∂ 2u
T
.
Ñîêðàùàÿ íà ∆x è îáîçíà÷àÿ = a 2 , ïîëó÷àåì: 2 = a 2
ρ
∂t
∂x 2
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ñòðóíû èëè
îäíîìåðíûì îäíîðîäíûì âîëíîâûì óðàâíåíèåì.
420
§ 17.3. Âûâîä àêóñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
Óðàâíåíèå ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ñòðóíû
u t′′2 − a 2 u x′′2 = 0
(1)
îïèñûâàåò ðÿä äðóãèõ îäíîìåðíûõ âîëíîâûõ ïðîöåññîâ (ñì. [17]).  ÷àñòíîñòè, îíî îïèñûâàåò (ïðè íåêîòîðûõ óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ)
ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ãàçà (àêóñòè÷åñêèå êîëåáàíèÿ) â óçêîé òðóáêå.
×òîáû ýòî ïîêàçàòü, âûâåäåì ñíà÷àëà òðåõìåðíîå óðàâíåíèå àêóñòèêè (óðàâíåíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ àêóñòè÷åñêèõ âîëí â ïðîñòðàíñòâå). Ïóñòü ρ = ρ(Ì, t) — ïëîòíîñòü ãàçà â òî÷êå Ì(x; ó; z) â ìîìåíò t.
Åñëè a = a (M , t ) îçíà÷àåò ïîëå ñêîðîñòåé ÷àñòèö ãàçà, òî, êàê èçâåñòíî
(ñì. [3]), èìååò ìåñòî óðàâíåíèå íåðàçðûâíîñòè (ïðåäïîëàãàåòñÿ îòñóòñòâèå èñòî÷íèêîâ (ñòîêîâ))
∂ρ
+ div (ρa ) = 0,
∂t
çàïèñûâàåìîå â ñèëó ñâîéñòâà 3 èç ïðèìå÷àíèÿ 2 ê ï. 4 § 14.2 òàêæå â
âèäå
∂ρ
(2)
+ ρdiv a + ( grad ρ, a ) = 0,
∂t
è óðàâíåíèå äâèæåíèÿ Ýéëåðà (ïðåäïîëàãàåòñÿ îòñóòñòâèå âíåøíèõ ñèë)
∂a
1
+ (a , ∇)a = − grad p,
∂t
ρ
(3)
ãäå ð = ð(Ì, t) — äàâëåíèå ãàçà.
Ðàññìîòðèì àäèàáàòè÷åñêèå äâèæåíèÿ ãàçà, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
γ
 ρ
(4)
p = p0  
 ρ0 
cp
(ñð, cv — óäåëüíûå òåïëîåìêîñòè ñî(óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ), ãäå γ =
cV
îòâåòñòâåííî ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè è îáúåìå), ð0 è ρ0 — íà÷àëüíûå
çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ è ïëîòíîñòè. Óðàâíåíèÿ (2)— (4) íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè ãàçîâîé äèíàìèêè.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåëè÷èíó è = è(Ì, t), ïîëàãàÿ
ρ = ρ0(1 + u),
(5)
íàçûâàåìóþ óïëîòíåíèåì ãàçà.
Äëÿ âûâîäà óðàâíåíèÿ àêóñòèêè ñëåäóåò èñêëþ÷èòü èç óðàâíåíèé
(2) è (3) ïîëå a è ïîëó÷èòü, ïîëüçóÿñü óðàâíåíèåì (4), óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå òîëüêî íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ ρ, ò. å. è.
421
Ðàññìàòðèâàåìûå êîëåáàíèÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ íàñòîëüêî ìàëûìè,
÷òî óðàâíåíèÿ (2), (3) è (4) ìîæíî ëèíåàðèçèðîâàòü, ò. å. îñòàâèòü â íèõ
(çà ìàëîñòüþ îñòàëüíûõ ÷ëåíîâ) òîëüêî ëèíåéíûå ÷ëåíû. Òàê, ìû ïîëàãàåì, ÷òî
∂a y
∂a
∂a
, u z ïðåíåáðåãàåì),
ρdiv a = ρ 0 div a (âåëè÷èíàìè u x , u
∂x
∂y
∂z
∂u
∂u
∂u
ax,
ay,
a z ïðåíåáðåãàåì),
( grad ρ, a ) = 0 (âåëè÷èíàìè
∂x
∂y
∂z
∂a x
è ò. ä. ïðåíåáðåãàåì),
(a , ∇)a = 0 (âåëè÷èíàìè a x
∂x
1
1
1
1
1
grad p =
grad p (òàê êàê =
=
(1 − u + u 2 −K), à âåëèρ
ρ0
ρ ρ 0 (1 + u ) ρ 0
∂p
γ
÷èíàìè u
è ò. ä. ìû ïðåíåáðåãàåì) è, íàêîíåö, ÷òî p = p0(1 + u) = p0(1 +
∂x
2
+ γu) (âåëè÷èíàìè u è ò. ä. ïðåíåáðåãàåì). Òîãäà óðàâíåíèÿ (2) è (3)
p γ
∂ρ
∂a
1
ïðèìóò âèä:
grad p = − 0 grad u.
=−
+ ρ 0 diva = 0 è
ρ0
ρ0
∂t
∂t
Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå èç íèõ ïî t
∂ 2ρ
∂t
2
+ ρ 0 div
∂a
=0
∂t
(çäåñü èñïîëüçîâàíà íåçàâèñèìîñòü ñìåøàííûõ ïðîèçâîäíûõ îò ïîðÿä∂a
åãî âûðàæåíèå èç âòîêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ) è ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî
∂t
∂ 2ρ
∂ 2ρ
∂u
ðîãî, ïîëó÷èì: 2 − p 0 γ div grad u = 0. Íî 2 = ρ 0 2 (ýòî ñëåäóåò èç
∂t
∂t
∂t
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u
(ñì. § 14.3, ï. 1, (7)). Ïîýòîìó
(5)), à div grad u = ∆u ≡
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∂ 2u
− a 2 ∆u = 0
∂t 2
 2 p0 γ 
a =
.
ρ0 

(6)
Óðàâíåíèå (6) è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì àêóñòèêè. Îíî èãðàåò ôóíäàìåíòàëüíóþ ðîëü â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå. Êîýôôèöèåíò à, êàê è â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ñòðóíû, îçíà÷àåò ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ
âîëí.
×òî êàñàåòñÿ êîëåáàíèé ãàçà â óçêîé òðóáêå, çàíèìàþùåé îòðåçîê [0; l] îñè Ox, òî â ýòîì ñëó÷àå óïëîòíåíèå è ìîæíî ñ÷èòàòü
ôóíêöèåé òîëüêî îò x è t: u = è(õ, t) — è óðàâíåíèå (6) ñâåäåòñÿ ê
óðàâíåíèþ (1).
422
§ 17.4. Âûâîä óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
Ïóñòü íà îñè Ox ëåæèò îäíîðîäíûé ñòåðæåíü, òåïëîèçîëèðîâàííûé
îò âíåøíåé ñðåäû (íåò îáìåíà ñ âíåøíåé ñðåäîé) è íåðàâíîìåðíî íàãðåòûé. Ïðè ýòîì â ñòåðæíå áóäåò ïðîèñõîäèòü òåïëîîáìåí ìåæäó áîëåå íàãðåòûìè ÷àñòÿìè è ÷àñòÿìè, ìåíåå íàãðåòûìè. Åñëè, íàïðèìåð, â
íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè òåìïåðàòóðà òî÷åê ñòåðæíÿ ñ óâåëè÷åíèåì
x óìåíüøàåòñÿ, òî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäåò ïðîèñõîäèòü ïîòîê òåïëà â
ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè Ox. Îáîçíà÷èì ÷åðåç è(õ, t) òåìïåðàòóðó â ñå÷åíèè ñòåðæíÿ ñ àáñöèññîé x â ìîìåíò t. Ïðè ýòîì ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ u t′ ( x , t ) ðàâíà ñêîðîñòè ïîâûøåíèÿ òåìïåðàòóðû â ìîìåíò
âðåìåíè t â äàííîì ñå÷åíèè ñòåðæíÿ, à ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ u x′ ( x , t ) —
ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû â çàâèñèìîñòè îò òî÷êè x ñòåðæíÿ.
Ýòà âåëè÷èíà õàðàêòåðèçóåò ïåðåïàä òåìïåðàòóð. Åñëè u x′ ( x , t ) < 0, òî
áîëåå ïðàâûå òî÷êè ñòåðæíÿ èìåþò áîëåå íèçêóþ òåìïåðàòóðó. Ïî çàêîíàì ôèçèêè ïîòîê òåïëà ÷åðåç ñå÷åíèå ñòåðæíÿ ïðîïîðöèîíàëåí
ïëîùàäè S ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ, ïåðåïàäó òåìïåðàòóð è ïðîìåæóòêó âðåìåíè. Èíûìè ñëîâàìè, çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ∆t (òåìïåðàòóðíûå óñëîâèÿ â ýòîì ïðîìåæóòêå ñîõðàíÿþòñÿ) ÷åðåç ñå÷åíèå ñòåðæíÿ ñ
àáñöèññîé x ïðîéäåò ïîòîê òåïëà
∂u( x , t )
(1)
Q( x ) = −kS
∆t.
∂x
Çíàê «ìèíóñ» îïðàâäàí òåì, ÷òî ïðè äâèæåíèè òåïëà â ïîëîæèòåëüíîì
íàïðàâëåíèè îñè Ox ïðîèçâîäíàÿ u x′ ( x , t ), êàê óæå îòìå÷àëîñü, îòðèöàòåëüíà, à êîëè÷åñòâî òåïëà Q, ïðîøåäøåå ÷åðåç ñå÷åíèå â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè, ïîëîæèòåëüíî. ×èñëî k íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì
òåïëîïðîâîäíîñòè ñòåðæíÿ. Âåëè÷èíà k çàâèñèò îò ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî ñäåëàí ñòåðæåíü.
Ïðîñëåäèì çà èçìåíåíèåì êîëè÷åñòâà òåïëà è òåìïåðàòóðû â òîé
÷àñòè ñòåðæíÿ, êîòîðàÿ çàêëþ÷åíà ìåæäó ñå÷åíèÿìè ñ àáñöèññàìè x è
x + ∆x. Êîëè÷åñòâî òåïëà, âõîäÿùåå ÷åðåç ñå÷åíèå ñ àáñöèññîé õ çà âðåìÿ ∆t, îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (1). Ñîãëàñíî ýòîé æå ôîðìóëå êîëè÷åñòâî òåïëà, âûõîäÿùåå ÷åðåç ñå÷åíèå ñ àáñöèññîé x + ∆x çà ýòî æå âðåìÿ
∆t, ðàâíî:
∂u( x + ∆x , t )
Q( x + ∆x ) = −kS
∆t.
∂x
Âçÿâ ðàçíîñòü âåëè÷èí âõîäÿùåãî è âûõîäÿùåãî òåïëîâûõ ïîòîêîâ, ïîëó÷èì êîëè÷åñòâî òåïëà ∆Q, ñîîáùåííîå âûáðàííîìó ó÷àñòêó ñòåðæíÿ
çà âðåìÿ ∆t:
 ∂u( x + ∆x , t ) ∂u( x , t )
∆Q = kS 
−
 ∆t.

∂x
∂x 
423
Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Ëàãðàíæà (§ 8.6, ï. 3), ïîëó÷èì:
∆Q = kS
∂ 2 u( x + Θ 1 ∆x , t )
∂x 2
∆t∆x ,
(2)
ãäå 0 < Θ1 < 1.
Áóäåì ñ÷èòàòü âûäåëåííûé ó÷àñòîê ñòåðæíÿ (ìåæäó ñå÷åíèÿìè ñ
àáñöèññàìè x è x + ∆x) ñòîëü ìàëûì, ÷òî â êàæäûé äàííûé ìîìåíò òåìïåðàòóðó âñåõ åãî ñå÷åíèé ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîé è òîé æå.
Òîãäà, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñîîáùåííîå êîëè÷åñòâî òåïëà âûáðàííîìó ó÷àñòêó ñòåðæíÿ çà âðåìÿ ∆t ðàâíî:
∆Q = cρS(u(x, t + ∆t) − u(x, t))∆x,
ãäå ñ — óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âåùåñòâà ñòåðæíÿ, ρ — ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ.
Îòñþäà, âíîâü ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Ëàãðàíæà, áóäåì èìåòü:
∆Q = cρS
∂u( x , t + Θ 2 ∆t )
∆x∆t,
∂t
(3)
ãäå 0 < Θ2 < 1.
∂ 2 u( x + Θ 1 ∆x , t )
∂u( x , t + Θ 2 ∆t )
.
=k
∂t
∂x 2
Ïåðåõîäÿ çäåñü ê ïðåäåëó ïðè ∆x → 0 è ∆t → 0, ïîëó÷èì:
∂u
∂ 2u
,
(4)
= a2
∂t
∂x 2
k
ãäå ïîëîæåíî a 2 = .
cρ
Óðàâíåíèå (4) íàçûâàþò óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè ñòåðæíÿ.
Èç ôîðìóë (2), (3) ïîëó÷àåì: cρ
§ 17.5. Êëàññèôèêàöèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè
Êàê óæå îòìå÷àëîñü (ñì. § 17.1), äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ñ
÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè èìåþò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé.
Ïîýòîìó â òîì ñëó÷àå, êîãäà ôèçè÷åñêàÿ çàäà÷à ïðèâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè, äëÿ îäíîçíà÷íîé õàðàêòåðèñòèêè
ïðîöåññà íåîáõîäèìî ê óðàâíåíèþ ïðèñîåäèíèòü íåêîòîðûå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ.
Äëÿ çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê óðàâíåíèÿì (2), (3) èç § 17.1, äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ ðàçäåëÿþòñÿ íà íà÷àëüíûå è êðàåâûå.
Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ñîñòîÿò â çàäàíèè â îäèí êàêîé-íèáóäü ìîìåíò
âðåìåíè, ñ êîòîðîãî íà÷èíàåòñÿ èçó÷åíèå äàííîãî ôèçè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ (îáû÷íî ïðè t = 0), çíà÷åíèé èñêîìîé ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíîé
(â ñëó÷àå óðàâíåíèÿ (2)) èëè òîëüêî çíà÷åíèé ñàìîé ôóíêöèè (â ñëó÷àå
óðàâíåíèÿ (3)).
424
Êðàåâûå (èëè ãðàíè÷íûå) óñëîâèÿ äëÿ ýòèõ çàäà÷ çàêëþ÷àþòñÿ â
òîì, ÷òî óêàçûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè u(x, t) íà êîíöàõ
èíòåðâàëà èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû õ.
Åñëè ïðîöåññ ïðîòåêàåò â áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû x (áåñêîíå÷íàÿ ñòðóíà, áåñêîíå÷íûé ñòåðæåíü — § 17.6), òî
êðàåâûå óñëîâèÿ îòïàäàþò è ïîëó÷àåòñÿ çàäà÷à òîëüêî ñ íà÷àëüíûìè
óñëîâèÿìè, èëè, êàê åå ÷àñòî íàçûâàþò, çàäà÷à Êîøè.
Åñëè ñòàâèòñÿ çàäà÷à äëÿ êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà, òî äîëæíû áûòü
çàäàíû è íà÷àëüíûå è êðàåâûå óñëîâèÿ. Òîãäà ãîâîðÿò î ñìåøàííîé çàäà÷å (ñì. § 17.7).
Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó î ïîïåðå÷íûõ êîëåáàíèÿõ ñòðóíû, çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ.  ýòîé çàäà÷å è(õ, t) äàñò îòêëîíåíèå ñòðóíû îò îñè Ox. Åñëè êîíöû ñòðóíû 0 ≤ x ≤ l çàêðåïëåíû, òî
äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ êðàåâûå óñëîâèÿ
u|x = 0 = 0, u|x = l = 0,
(1)
èëè, áîëåå êðàòêî,
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0.
Êðàåâûå óñëîâèÿ (1), ãäå ïðàâûå ÷àñòè — íóëè, íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè.
Îäíàêî çàäàíèåì òîëüêî ýòèõ êðàåâûõ óñëîâèé çàêîí êîëåáàíèÿ íå
îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Îí áóäåò çàâèñåòü åùå è îò íà÷àëüíîé ôîðìû ñòðóíû, è îò íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñòðóíû â êàæäîé òî÷êå. Èòàê, êðîìå êðàåâûõ óñëîâèé, äîëæíû áûòü çàäàíû ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: u(x, 0) = f(x), u t′ ( x , 0) = F ( x ). Çäåñü f(x) è F(x) — èçâåñòíûå, çàðàíåå
çàäàííûå ôóíêöèè: ïåðâàÿ èç íèõ â êà÷åñòâå ãðàôèêà èìååò ôîðìó
ñòðóíû â íà÷àëüíûé ìîìåíò, âòîðàÿ óêàçûâàåò, êàêîâà â íà÷àëüíûé
ìîìåíò ñêîðîñòü êàæäîé òî÷êè ñòðóíû.
Èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ÿñíî, ÷òî, ïðèäàâ íåêîòîðîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå è íåêîòîðóþ íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü êàæäîé òî÷êå ñòðóíû,
à çàòåì îòïóñòèâ ñòðóíó, ìû âûçîâåì âïîëíå îïðåäåëåííîå äâèæåíèå
òî÷åê ñòðóíû. Ñëåäîâàòåëüíî, çàäàíèå êðàåâûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò íåêîòîðûé çàêîí êîëåáàíèÿ ñòðóíû. Ýòîò çàêîí áóäåò íàéäåí ïîçäíåå (ñì. § 17.7).
Ïåðåõîäÿ ê óðàâíåíèþ (4) èç § 17.1, çàìåòèì, ÷òî â ýòî óðàâíåíèå
âðåìÿ t íå âõîäèò è îáå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè. Äëÿ çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê óðàâíåíèþ (4), ñòàâÿòñÿ òîëüêî
êðàåâûå óñëîâèÿ, ò. å. óêàçûâàåòñÿ ïîâåäåíèå íåèçâåñòíîé ôóíêöèè íà
êîíòóðå îáëàñòè (ñì. çàäà÷ó Äèðèõëå — §17.8).
Êðîìå òîãî, ñëåäóåò èìåòü â âèäó, ÷òî êàæäîå èç âûâåäåííûõ óðàâíåíèé íîñèò èäåàëèçèðîâàííûé õàðàêòåð, ò. å. îòðàæàåò ëèøü íàèáîëåå ñóùåñòâåííûå ÷åðòû ñîîòâåòñòâóþùåãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà.
425
Äàííûå, âõîäÿùèå êàê â óðàâíåíèå, òàê è â äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ
â ôèçè÷åñêîé çàäà÷å, îïðåäåëÿþòñÿ èç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ è
ìîãóò ñ÷èòàòüñÿ èçâåñòíûìè ëèøü ïðèáëèæåííî. Ïîýòîìó ìû äîëæíû áûòü óâåðåííûìè â òîì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è ïðè ïðèáëèæåííûõ
èñõîäíûõ äàííûõ áóäåò áëèçêî ê òåì ðåøåíèÿì, êîòîðûå ïîëó÷àëèñü
áû ïðè òî÷íûõ èñõîäíûõ äàííûõ. Òàêèì îáðàçîì, âàæíî, ÷òîáû ìàëûå èçìåíåíèÿ äàííûõ çàäà÷è âûçûâàëè ëèøü ìàëûå èçìåíåíèÿ â åå ðåøåíèè, ò. å., êàê ãîâîðÿò, ÷òîáû ðåøåíèå áûëî óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî
èñõîäíûõ äàííûõ.
Çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ñ÷èòàåòñÿ ïîñòàâëåííîé ïðàâèëüíî
(êîððåêòíî), åñëè ðåøåíèå çàäà÷è, óäîâëåòâîðÿþùåå âñåì åå óñëîâèÿì,
ñóùåñòâóåò, åäèíñòâåííî è óñòîé÷èâî.
Âñå çàäà÷è, êîòîðûå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü, ïðèíàäëåæàò ê òèïó
çàäà÷, èìåþùèõ åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, óñòîé÷èâîå îòíîñèòåëüíî èñõîäíûõ äàííûõ, ò. å. çàäà÷è ïîñòàâëåíû êîððåêòíî.
§ 17.6. Çàäà÷à Êîøè
1. Êîëåáàíèÿ áåñêîíå÷íîé ñòðóíû. Ìåòîä Äàëàìáåðà. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î êîëåáàíèÿõ áåñêîíå÷íîé ñòðóíû. Åñëè ñòðóíà î÷åíü äëèííàÿ, òî
íà êîëåáàíèÿ, âîçíèêàþùèå ãäå-òî â åå ñåðåäèíå, êîíöû ñòðóíû áóäóò
îêàçûâàòü ìàëîå âëèÿíèå. Ïîýòîìó, ðàññìàòðèâàÿ ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ íåîãðàíè÷åííîé ñòðóíû, ìû äîëæíû ðåøèòü óðàâíåíèå
∂ 2u
∂ 2u
= a2
2
∂t
∂x 2
(1)
òîëüêî ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
u(x, 0) = f(x),
(2)
u t′ ( x , 0) = F ( x ),
(3)
ïðè÷åì ââèäó íåîãðàíè÷åííîñòè ñòðóíû ôóíêöèè f(x) è F(x) çàäàíû íà
âñåé ÷èñëîâîé îñè.
Òàêàÿ çàäà÷à, êàê óæå îòìå÷àëîñü (§ 17.5), íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè èëè çàäà÷åé Êîøè. Ìåòîä ðåøåíèÿ åå, êîòîðûé
ìû ñåé÷àñ èçëîæèì, íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Äàëàìáåðà èëè ìåòîäîì áåãóùèõ âîëí.
Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî åñëè ϕ(p) è ψ(q) (p, q — ïðîèçâîëüíûå íåçàâèñèìûå ïåðåìåííûå) — ëþáûå äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè, òî ôóíêöèÿ
u(x, t) = ϕ(x − at) + ψ(x + at)
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1).
426
(4)
Äåéñòâèòåëüíî, ïîñëåäîâàòåëüíî äèôôåðåíöèðóÿ, íàõîäèì:
u x′ = ϕ ′( x − at ) + ψ ′( x + at ),
u x′′2 = ϕ ′′( x − at ) + ψ ′′( x + at ),
u t′ = −aϕ′( x − at ) + aψ ′( x + at ),
2
(5)
2
u t′′2 = a ϕ ′′( x − at ) + a ψ ′′( x + at),
è, ñëåäîâàòåëüíî, u t′′2 = a 2 u x′′2 .
Ðåøåíèå (4), çàâèñÿùåå îò äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ôóíêöèé, íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì Äàëàìáåðà. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ýòèõ ôóíêöèé âîñïîëüçóåìñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (2), (3). Ïîëàãàÿ â ôîðìóëàõ (4), (5) t = 0,
ïîëó÷èì:
ϕ(x) + ψ(x) = f(x), −aϕ'(x) + aψ'(x) = F(x).
(6)
Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà îòðåçêå [0; x], ïîëó÷èì:
x
−a[ϕ( x ) − ϕ(0)] + a[ψ( x ) − ψ(0)] = ∫ F ( y )dy,
0
êîòîðîå ïðèâåäåì ê âèäó
− ϕ( x ) + ψ( x ) =
x
1
F ( y )dy + C ,
a ∫0
(7)
ãäå Ñ = −ϕ(0) + ψ(0). Èç ðàâåíñòâ (6) è (7) íàõîäèì èñêîìûå ôóíêöèè
ϕ(x) è ψ(x):
x
1
1
C
(8)
ϕ( x ) = f ( x ) −
F ( y )dy − ,
∫
2
2a 0
2
ψ( x ) =
x
1
1
C
f (x ) +
F ( y )dy + .
2
2a ∫0
2
(9)
Çàìåíÿÿ â ôîðìóëàõ (8) è (9) õ ñîîòâåòñòâåííî íà x − at è x + at è ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â ôîðìóëó (4), íàéäåì ðåøåíèå çàäà÷è
Êîøè:
u( x , t ) =
f ( x − at ) + f ( x + at ) 1 x + at
+
F ( y )dy.
2
2a x −∫at
(10)
Ôîðìóëà (10) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Äàëàìáåðà.
2. Òåïëîïðîâîäíîñòü â áåñêîíå÷íîì ñòåðæíå.  ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî
ñòåðæíÿ êðàåâûå óñëîâèÿ îòñóòñòâóþò è çàäà÷à Êîøè ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ
∂u
∂ 2u
,
(11)
= a2
∂t
∂x 2
427
îïðåäåëåííîãî äëÿ âñåõ x, −∞ < x < +∞ è t > 0, è óäîâëåòâîðÿþùåãî íà÷àëüíîìó óñëîâèþ
u(x, 0) = f(x).
(12)
Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñîâåðøèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî x (ñì.
§ 16.1, ïï. 4, 6) îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ (11), ñ÷èòàÿ t ïàðàìåòðîì.
 ñèëó ñâîéñòâ 1, 5 è 4 èç ï. 6 (§ 16.1) óðàâíåíèå (11) ïðè ýòîì ïåðåéäåò â
∂u~
(13)
= a 2 (iλ ) 2 u~ = −a 2 λ 2 u~.
∂t
Ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì λ óðàâíåíèå (13) — îáûêíîâåííîå ëèíåéíîå îäíîðîäíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ðåøàÿ åãî, ïîëó÷èì:
2 2
(14)
u~ = C ( λ )e − a λ t ,
ãäå ïîñòîÿííàÿÑ ìîæåò çàâèñåòü îò λ.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ C(λ) ñîâåðøèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå íàä îáåèìè
÷àñòÿìè íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (12), ÷òî äàåò
+∞
1
~
u~( λ, 0) = f ( λ ) =
f ( x )e −iλx dx .
∫
2 π −∞
~
Íî â ñèëó ðàâåíñòâà (14) u ( λ, 0) = C ( λ ). Ïîýòîìó
1
+∞
−iλx
∫ f ( x )e dx.
2 π −∞
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ðàâåíñòâî (14) è èçìåíÿÿ îáîçíà÷åíèå ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîëó÷àåì:
C(λ) =
 1 +∞
 2 2
u~( λ, t ) = 
f ( s)e −iλs ds e − a λ t .
∫
 2 π −∞

Ñîâåðøàÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷àåì èñêîìîå ðåøåíèå
u( x , t ) =
+∞
+∞
2 2
1
e iλx dλ ∫ f ( s)e −iλs − a λ t ds.
∫
2 π −∞
−∞
iλx
Óïðîñòèì îòâåò. Äëÿ ýòîãî âíåñåì e ïîä çíàê âíóòðåííåãî èíòåãðàëà è
ïîìåíÿåì ïîðÿäîê èíòåãðèðîâàíèÿ. Áóäåì èìåòü:
+∞
+∞
2 2
1
f ( s)ds ∫ e − a λ t +i ( x − s ) λ dλ.
∫
2 π −∞
−∞
Âíóòðåííèé èíòåãðàë â ðàâåíñòâå (15) ðàâåí (ñì. [2]):
u( x , t ) =
+∞
−
2 2
1
1
e − a λ t +i ( x − s ) λ dλ =
e
∫
2 π −∞
2 πa 2 t
428
( x − s )2
4 a 2t
.
(15)
Îòñþäà è èç (15) íàõîäèì:
u( x , t ) =
+∞
1
2a πt
∫ f ( s)e
−
( x − s )2
4 a 2t
ds.
−∞
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà áûëà ïîëó÷åíà â 1823 ã. Ïóàññîíîì.
§ 17.7. Ñìåøàííàÿ çàäà÷à äëÿ îäíîìåðíîãî îäíîðîäíîãî
âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ è åå ðåøåíèå ìåòîäîì Ôóðüå
1. Ðåøåíèå ñìåøàííîé çàäà÷è ìåòîäîì Ôóðüå. Ðàññìîòðèì óêàçàííóþ
â § 17.5 çàäà÷ó î ñâîáîäíûõ êîëåáàíèÿõ ñòðóíû, çàêðåïëåííîé íà îáåèõ
êîíöàõ. Êàê òàì îòìå÷àëîñü, ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ
∂ 2u
∂ 2u
(1)
= a2
2
∂t
∂x 2
ïðè êðàåâûõ óñëîâèÿõ
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0
(2)
è íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
è(õ, 0) = f(x), u t′ ( x , 0) = F ( x ).
(3)
Óðàâíåíèå (1) áóäåì ðåøàòü ìåòîäîì Ôóðüå — ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ñóòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ìû îòûñêèâàåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþùèå ïîêà òîëüêî êðàåâûì óñëîâèÿì (2), â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ôóíêöèé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ çàâèñèò òîëüêî îò
îäíîé ïåðåìåííîé:
è(õ, t) = X(x)T(t).
(4)
Ïðè ýòîì ìû èùåì íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, ò. å. òîæäåñòâåííî íå ðàâíûå íóëþ. Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþ (4) â óðàâíåíèå (1), ïîëó÷àåì:
èëè
X(x)T"(t) = a2X"(x)T(t),
T ′′(t )
X ′′( x )
.
a T (t ) X ( x )
Ìû ïîëó÷èëè ðàâåíñòâî, â êîòîðîì ëåâàÿ ÷àñòü íå çàâèñèò îò x, à ïðàâàÿ — îò t. Ñëåäîâàòåëüíî, îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà íå çàâèñÿò íè îò x, íè îò
t, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè. Îáîçíà÷èì ýòó ïîñòîÿííóþ ñèìâî u ′′2 T ′′
2
óñêîðåíèÿ ê îòêëîíåíèþ ÿâëÿëîì −λ (ïîñêîëüêó îòíîøåíèå t =
u
T
åòñÿ îòðèöàòåëüíûì, òàê êàê âåêòîð óñêîðåíèÿ íàïðàâëåí çäåñü ê ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ):
T ′′(t ) X ′′( x )
=
= −λ2 .
a 2T (t ) X ( x )
2
=
429
Îòñþäà
2 2
T"(t) + λ a T(t) = 0,
2
X"(x) + λ X(x) = 0.
Èç ýòèõ óðàâíåíèé íàõîäèì (cì. § 13.4, ï. 2):
T(t) = Acos λat + Bsin λat,
X(x) = Ccos λx + Dsin λx.
Òàêèì îáðàçîì,
u(x, t) = (Acos λat + Bsin λat)(Ccos λx + Dsin λx).
Ïîëàãàÿ çäåñü x = 0, ïîëó÷èì:
u(0, t) = (Acos λat + Bsin λat)C ≡ 0.
Çíà÷èò, C = 0. Äàëåå, ïîñêîëüêó
u(l, t) = (Acos λat + Bsin λat)Dsin λl ≡ 0,
òî λ ñëåäóåò âûáðàòü òàê, ÷òîáû
sin λl = 0, λl = kπ, λ =
kπ
.
l
Ýòè çíà÷åíèÿ λ íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè äëÿ äàííîé êðàåâîé çàäà÷è, à ñîîòâåòñòâóþùèå èì ôóíêöèè
X ( x ) = D sin
kπ
x
l
ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè.
Èòàê, ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1), óäîâëåòâîðÿþùåå êðàåâûì
óñëîâèÿì, íàéäåíî:
kπa
kπa 
kπ

u k ( x , t ) =  a k cos
t + b k sin
t  sin x .

l
l 
l
(5)
Çäåñü ÷èñëà ak = AD, bk = BD ïðîèçâîëüíû.
Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî óðàâíåíèå (1) ëèíåéíîå è îäíîðîäíîå è ïîòîìó
ñóììà åãî ðåøåíèé òàêæå áóäåò ðåøåíèåì. Òàê ÷òî ôóíêöèÿ
∞
∞
kπat
kπat 
kπ

u( x , t ) = ∑ u k ( x , t ) = ∑  a k cos
+ b k sin
 sin x
l
l 
l
k =1
k =1 
(6)
ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1). ßñíî, ÷òî ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì óñëîâèÿì (2), òàê êàê èì óäîâëåòâîðÿåò êàæäàÿ èç ôóíêöèé
uk(x, t).
430
Ïîäáåðåì òåïåðü ÷èñëà àk è bk òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðèòü è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (3) óðàâíåíèÿ (1). Èìååì:
∞
kπ
u( x , 0) = f ( x ) = ∑ a k sin x .
l
k =1
Ýòî ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f(x) â ðÿä Ôóðüå ïî ñèíóñàì. Ñëåäîâàòåëüíî (§ 10.4),
l
2
kπx
(7)
a k = ∫ f ( x )sin
dx , k = 1, 2, K .
l 0
l
Äàëåå, òàê êàê
∞
kπa
kπ
u t′ ( x , 0) = F ( x ) = ∑
b k sin x ,
l
l
k =1
òî
l
kπa
2
kπx
b k = ∫ F ( x )sin
dx ,
l
l 0
l
îòêóäà
l
2
kπx
(8)
bk =
F ( x )sin
dx , k = 1, 2, … .
kπa ∫0
l
Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîáîäíîãî êîëåáàíèÿ
ñòðóíû, óäîâëåòâîðÿþùåãî óêàçàííûì êðàåâûì è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:
∞
kπa
kπa 
kπ

u( x , t ) = ∑  a k cos
t + b k sin
t  sin x ,
l
l 
l
k =1 
ãäå ak è bk íàõîäÿòñÿ èç ðàâåíñòâ (7) è (8).
2. Ñòîÿ÷èå âîëíû. Ïðåäñòàâèì ðåøåíèå uk(x, t), îïðåäåëåííîå ôîðìóëîé (5), â äðóãîì âèäå, îáîçíà÷èâ
àk = Nksin ϕk, bk = Nkcos ϕk,
îòêóäà
N k = a k2 + b k2 , tgϕ k =
ak
bk
.
Òîãäà ïîëó÷èì:
πkat
πkat 
πkx

,
u k ( x , t ) = N k  sin ϕ k cos
+ cos ϕ k sin
 sin

l
l 
l
èëè
u k ( x , t ) = N k sin
πkx

 πkat
sin
+ ϕ k .

 l
l
(8′)
Èç ïîëó÷åííîé ôîðìóëû (8′) âèäíî, ÷òî âñå òî÷êè ñòðóíû ñîâåðøàþò
kπa
ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ îäíîé è òîé æå ÷àñòîòîé ω k =
(ñîáñòl
431
Ðèñ. 201
âåííîé ÷àñòîòîé ñòðóíû) è ôàçîé ϕk. Àìïëèòóäà êîëåáàíèÿ çàâèñèò îò
kπx
àáñöèññû x òî÷êè ñòðóíû è ðàâíà N k sin
. Äâèæåíèå ñòðóíû òàêîãî
l
òèïà íàçûâàåòñÿ ñòîÿ÷åé âîëíîé.
(k − 1)l
l 2l
, îñòàþòñÿ íà ìåñòå — ýòî
Òî÷êè, äëÿ êîòîðûõ x = , , K,
k
k k
óçëû. Òåì ñàìûì ñòðóíà, êîëåáëþùàÿñÿ ïî çàêîíó (8′), ðàçáèâàåòñÿ íà k
ó÷àñòêîâ, ñåðåäèíû êîòîðûõ — ïó÷íîñòè — êîëåáëþòñÿ ñ íàèáîëüøåé
àìïëèòóäîé. Íà ðèñóíêå 201 èçîáðàæåíû ïîñëåäîâàòåëüíûå ïîëîæåíèÿ ñòðóíû, êîëåáëþùåéñÿ ïî çàêîíó (8') äëÿ k = 1, 2, 3.
Êîëåáàíèÿ ñòðóíû âîñïðèíèìàþòñÿ íàìè îáû÷íî ïî çâóêó, èçäàâàåìîìó ñòðóíîé. Íå îñòàíàâëèâàÿñü íà ïðîöåññå ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé â âîçäóõå è âîñïðèÿòèÿ çâóêîâûõ êîëåáàíèé íàøèì óõîì,
ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî çâóê ñòðóíû ÿâëÿåòñÿ íàëîæåíèåì ïðîñòûõ òîíîâ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîÿ÷èì âîëíàì, íà êîòîðûå ðàçëàãàåòñÿ êîëåáàíèå
(8′). Ýòî ðàçëîæåíèå çâóêà íà ïðîñòûå òîíû íå ÿâëÿåòñÿ îïåðàöèåé
òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêîãî õàðàêòåðà. Âûäåëåíèå ïðîñòûõ òîíîâ ìîæíî
ïðîèçâåñòè ýêñïåðèìåíòàëüíî ïðè ïîìîùè ðåçîíàòîðîâ.
Âûñîòà òîíà çàâèñèò îò ÷àñòîòû êîëåáàíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýòîìó
òîíó. Ñàìûé íèçêèé òîí, êîòîðûé ìîæåò ñîçäàâàòü ñòðóíà, îïðåäåëÿaπ π T
åòñÿ ñîñòàâëÿþùåé u1(x, t) ñ ÷àñòîòîé ω 1 =
è íàçûâàåòñÿ îñ=
l
l ρ
íîâíûì òîíîì ñòðóíû. Îñòàëüíûå òîíà, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòàì,
êðàòíûì ω1, íàçûâàþòñÿ îáåðòîíàìè. Ðåøåíèå (6) ñêëàäûâàåòñÿ èç îñíîâíîãî òîíà è îáåðòîíîâ. Èõ ñóììàðíîå äåéñòâèå ïðèâîäèò ê ñîçäàíèþ òåìáðà çâóêà, èçäàâàåìîãî çàêðåïëåííîé ñòðóíîé.
Íàêîíåö, çàìåòèì, ÷òî òàê êàê ðåøåíèå (6) åñòü ñóììà èëè íàëîæåíèå áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñòîÿ÷èõ âîëí, òî èçëîæåííûé ìåòîä Ôóðüå
÷àñòî íàçûâàþò òàêæå ìåòîäîì ñòîÿ÷èõ âîëí.
3. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâå ôóíêöèè è1 è u2, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ (1), êðàåâûì
óñëîâèÿì (2) è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (3). Òîãäà èõ ðàçíîñòü è = è1 − è2
äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü òîìó æå óðàâíåíèþ (1), êðàåâûì óñëîâèÿì (2) è
íóëåâûì íà÷àëüíûì óñëîâèÿì:
u(x, 0) = 0, u t′ ( x , 0) = 0.
432
(9)
Ìû ïðåäïîëîæèì ïîêà, ÷òî íà÷àëüíûå óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèè è ìîãóò áûòü ïðîèçâîëüíûìè, íåíóëåâûìè, à èìåííî (3). Òîãäà, óìíîæàÿ
óðàâíåíèå (1) íà u t′ è èíòåãðèðóÿ åãî ïî x íà îòðåçêå [0; l], ïîëó÷èì:
l
l
0
0
2
∫ u t′u t′′2 dx − a ∫ u t′u x′′2 dx = 0.
Òàê êàê
u t′u t′′2 =
òî
l
1 ∂
(u t′ ) 2 ,
2 ∂t
1 ∂
l
∫ u ′u ′′ dx = 2 ∂t ∫ u ′
t
t2
0
(10)
t
2
(11)
dx
0
(ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî çäåñü äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî t ìîæíî âíîñèòü ïîä
çíàê èíòåãðàëà). Äàëåå, èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íàéäåì, ÷òî
l
l
0
0
l
∫ u t′u x′′2 dx = u t′u x′ | 0 − ∫ u x′ u tx′′ dx .
Íî ïðè êðàåâûõ óñëîâèÿõ (2)
u t′u x′ | l0 = 0
(çàìåòèì, ÷òî åñëè u(0, t) = 0, òî è u t′ (0, t ) = 0; àíàëîãè÷íî åñëè è(l, t) = 0,
òî è u t′ (l, t ) = 0). Ñëåäîâàòåëüíî,
l
l
l
1 ∂
(12)
u x′ 2 dx
∫
2
t
∂
0
0
0
(ïðåäïîëàãàåì, ÷òî çäåñü äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî t ìîæíî âíîñèòü ïîä
çíàê èíòåãðàëà). Ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâ (11) è (12) ðàâåíñòâî (10) ìîæåò
áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå
∫ u t′u x′′2 dx = − ∫ u x′ u tx′′ dx = −
l
1 ∂
(u t′ 2 + a 2 u x′ 2 )dx = 0,
2 ∂t ∫0
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî
l
∫ (u ′
t
2
+ a 2 u x′ 2 )dx = C = const.
(13)
0
Ýòî ðàâåíñòâî, íàçûâàåìîå èíòåãðàëîì ýíåðãèè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé,
êàê ýòî ñåé÷àñ áóäåò íèæå ïîêàçàíî, ìàòåìàòè÷åñêîå âûðàæåíèå çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé ëþáîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû
ïðè íóëåâûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ, ò. å. ïðè îòñóòñòâèè ïðèòîêà ýíåðãèè êîëåáàíèé. Çàìåòèì, ÷òî íåîäíîðîäíîñòü â êðàåâûõ óñëîâèÿõ îçíà÷àåò
íàëè÷èå ïîñòîÿííî äåéñòâóþùèõ ôàêòîðîâ, ïîäâîäÿùèõ èëè ðàññåèâàþùèõ ýíåðãèþ. Íåîäíîðîäíîñòü æå â íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ (íàïðè-
433
ìåð, íà÷àëüíûå îòêëîíåíèÿ è íà÷àëüíûå ñêîðîñòè òî÷åê ñòðóíû) îçíà÷àåò ëèøü, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðîöåññ îáëàäàë íåêîòîðûì çàïàñîì ýíåðãèè, êîòîðûé, êàê óâèäèì íèæå, îí ñîõðàíÿåò â òå÷åíèå âñåãî
êîëåáàíèÿ.
1
Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (13) íà ρ (ρ — ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü
2
ñòðóíû), ïåðåïèøåì åãî â âèäå
l
1
∫  2 ρu ′
t
0
2
1

+ Tu x′ 2  dx = E ,

2
(14)
1
ãäå T = a2ρ è ïîñòîÿííàÿ E = ρC . Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî
2
l
1
∫ 2 ρu ′
t
2
(15)
dx = K (t )
0
ÿâëÿåòñÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ñòðóíû â ìîìåíò t, a
l
1
∫ 2 Tu ′
x
2
(16)
dx = U (t )
0
åå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé â ìîìåíò t. Ïåðâîå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êèíå1
òè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåìåíòà dx ðàâíà mv 2 , ãäå m = ρdx. à v = u t′ ( x , t ).
2
Âòîðîå óñìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
ñòðóíû åñòü ðàáîòà ñèëû íàòÿæåíèÿ, ò. å. äëÿ ýëåìåíòà ñòðóíû dx
T (ds − dx ) = T ( 1 + u x′ 2 − 1)dx .
Íî
1
1 + u x′ 2 − 1 = u x′ 2 (§ 17.3).
2
Òàêèì îáðàçîì, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ýëåìåíòà ñòðóíû dx â ëþáîé
1
ìîìåíò t ðàâíà Tu x′ 2 dx .
2
Èòàê, â ñèëó ôîðìóë (14), (15), (16) â ëþáîé ìîìåíò t êîëåáàíèÿ
äîëæíî èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî
K(t) + U(t) = E,
(17)
ãäå Å — ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñòðóíû.
Ïîëîæèì â ôîðìóëàõ (15) è (16) t = 0 è ó÷òåì, ÷òî u t′ ( x , 0) = F ( x ) è
è(õ, 0) = f(x), è, çíà÷èò, u x′ ( x , 0) = f ′( x ). Òîãäà â ñèëó ðàâåíñòâà (17) áóäåì èìåòü:
l
l
1
1
E = K (0) + U (0) = ρ ∫ F 2 ( x )dx + T ∫ f ′ 2 ( x )dx ,
2 0
2 0
434
ò. å. ÷òî â ëþáîé ìîìåíò t êîëåáàíèÿ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
l
l
l
l
1
1
1
1
ρ u t′ 2 dx + T ∫ u x′ 2 dx = ρ ∫ F 2 ( x )dx + T ∫ f ′ 2 ( x )dx .
2 ∫0
2 0
2 0
2 0
(18)
Ýòî ðàâåíñòâî è ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñòðóíû îñòàåòñÿ â òå÷åíèå âñåãî êîëåáàíèÿ ðàâíîé åå íà÷àëüíîé ýíåðãèè.
Âîçâðàùàÿñü ê äîêàçàòåëüñòâó åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñìåøàííîé çàäà÷è, âñïîìíèì, ÷òî ðàçíîñòü u = u1 − u2 óäîâëåòâîðÿåò íóëåâûì
íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (9), òàê ÷òî F(x) ≡ 0 è f(x) ≡ 0. Òîãäà èç ôîðìóëû
(18) íàéäåì, ÷òî äëÿ ýòîé ðàçíîñòè äëÿ âñåõ t ≥ 0
l
l
1
1
ρ ∫ u t′ 2 dx + T ∫ u x′ 2 dx = 0.
2 0
2 0
Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî
è, çíà÷èò,
1
1
ρu t′ 2 ( x , t ) + Tu x′ 2 ( x , t ) ≡ 0,
2
2
u t′ ( x , t ) ≡ 0 è u x′ ( x , t ) ≡ 0.
à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî u(x, t) = C = const. Íî òàê êàê u(x, 0) = 0, òî C = 0, è,
ñëåäîâàòåëüíî, u(x, t) ≡ 0 , ò. å. u1 ≡ u2.
§ 17.8. Çàäà÷à Äèðèõëå äëÿ êðóãà
Ïóñòü â ïëîñêîñòè xOy èìååòñÿ êðóã ðàäèóñà R ñ öåíòðîì â íà÷àëå
êîîðäèíàò è íà åãî îêðóæíîñòè çàäàíà íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ f(ϕ), ãäå ϕ —
ïîëÿðíûé óãîë. Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ u(r, ϕ), íåïðåðûâíóþ â ýòîì
êðóãå, âêëþ÷àÿ åãî ãðàíèöó, óäîâëåòâîðÿþùóþ âíóòðè åãî óðàâíåíèþ
Ëàïëàñà:
∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂ 2 u
+
+
= 0,
∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2
(1)
è íà ãðàíèöå äàííîãî êðóãà ïðèíèìàþùóþ çàäàííûå çíà÷åíèÿ
u|r = R = f(ϕ).
(2)
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (1) â âèäå
r2
∂ 2u
∂u ∂ 2 u
+
r
+
= 0.
∂r ∂ϕ 2
∂r 2
(3)
Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ, ïîëàãàÿ
u = Φ(ϕ)R(r).
(4)
435
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â óðàâíåíèå (3), ïîëó÷èì:
2
r Ô(ϕ)R"(r) + rÔ(ϕ)R'(r) + Ô"(ϕ)R(r) = 0
èëè
Φ ′′( ϕ)
r 2 R ′′(r ) + rR ′(r )
.
=−
Φ( ϕ)
R(r )
(5)
Òàê êàê ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (5) íå çàâèñèò îò r, à ïðàâàÿ — îò ϕ, òî îíè
ðàâíû ïîñòîÿííîìó ÷èñëó. Îáîçíà÷àÿ ýòó ïîñòîÿííóþ ÷åðåç −k2 (íèæå
îáúÿñíÿåòñÿ, ïî÷åìó ìû íå ìîãëè ïðèðàâíÿòü + k2), ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ:
2
Φ"(ϕ) + k Φ (ϕ) = 0,
r R"(r) + rR'(r) − k2R(r) = 0.
(6)
(7)
2
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6) áóäåò
Φ = Acos kϕ + Bsin kϕ.
(8)
m
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7) áóäåì èñêàòü â ôîðìå R(r) = r . Ïîäñòàâëÿÿ
R(r) = rm â óðàâíåíèå (7), ïîëó÷èì:
2
r ò(ò − 1)r
èëè
ò−2
+ ròr
ò−1
2 m
−kr =0
m2 − k2 = 0.
Èòàê, èìåþòñÿ äâà ÷àñòíûõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ óðàâíåk
−k
íèÿ (7): r è r . Ñëåäîâàòåëüíî (§ 13.4, ï. 1, òåîðåìà 1), îáùåå ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (7) áóäåò
k
−k
R(r) = Cr + Dr .
(9)
Âûðàæåíèÿ (8) è (9) ïîäñòàâëÿåì â ðàâåíñòâî (4):
k
−k
uk = (Akcos kϕ + Bksin kϕ)(Ckr + Dkr ).
(10)
Ôóíêöèÿ (10) áóäåò ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3) ïðè ëþáîì çíà÷åíèè k,
îòëè÷íîì îò íóëÿ. Åñëè k = 0, òî óðàâíåíèÿ (6) è (7) ïðèíèìàþò âèä:
Φ"(ϕ) = 0, rR"(r) + R'(r) = 0.
Èõ îáùèå ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî åñòü
Φ = A0 + B0ϕ,
R(r) = C0 + D0ln r,
è, ñëåäîâàòåëüíî,
u0 = (A0 + B0ϕ)(Ñ0 + D0ln r).
436
(11)
Ýòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3) äîëæíî áûòü ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé îò
ϕ, òàê êàê ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè r ïðè ϕ è ϕ + 2π ìû äîëæíû
èìåòü îäíî è òî æå çíà÷åíèå ðåøåíèÿ, ïîòîìó ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ
îäíà è òà æå òî÷êà êðóãà. Ïîýòîìó â ôîðìóëå (11) äîëæíî B0 = 0. Äàëåå
ìû èùåì ðåøåíèå, íåïðåðûâíîå â êðóãå. Ñëåäîâàòåëüíî, â ðàâåíñòâàõ
(10) è (11) äîëæíî ñîîòâåòñòâåííî áûòü Dk = 0 è D0 = 0.
Òàêèì îáðàçîì, ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (11) îáðàùàåòñÿ â ïðîèçâåA
A
äåíèå A0C0, êîòîðîå îáîçíà÷èì ÷åðåç 0 , ò. å. u 0 = 0 .
2
2
Áóäåì ñîñòàâëÿòü ðåøåíèå íàøåé çàäà÷è â âèäå ñóììû ðåøåíèé
âèäà (10), òàê êàê ñóììà ðåøåíèé åñòü ðåøåíèå. Ñóììà äîëæíà áûòü
ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé îò ϕ. Ýòî áóäåò òàê, åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå
áóäåò ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé îò ϕ. Äëÿ ýòîãî k äîëæíî ïðèíèìàòü
öåëûå çíà÷åíèÿ. (Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû ìû ïðèðàâíÿëè ÷àñòè ðàâåíñòâà
(5) ÷èñëó +k2, òî íå ïîëó÷èëè áû ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ, òàê êàê òîãäà â âûðàæåíèå Ô íå âîøëè áû cos kϕ è sin kϕ ; R(r) íå âëèÿåò íà ïåðèîäè÷íîñòü, èáî îò ϕ íå çàâèñèò.) Ìû ìîæåì îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ïîëîæèòåëüíûìè çíà÷åíèÿìè k = 1, 2, ..., òàê êàê â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
ïîñòîÿííûõ A, Â, Ñ îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ k íîâûõ ÷àñòíûõ ðåøåíèé
íå äàþò. Èòàê,
u(r, ϕ) =
∞
A0
+ ∑ ( A n cos nϕ + Bn sin nϕ)r n
2 n =1
(12)
(ïîñòîÿííàÿ Ñï âêëþ÷åíà â Àï è Ân ). Ïîäáåðåì òåïåðü ïðîèçâîëüíûå
ïîñòîÿííûå Àï è Âï òàê, ÷òîáû óäîâëåòâîðÿëîñü êðàåâîå óñëîâèå (2).
Ïîäñòàâëÿÿ â ðàâåíñòâî (12) r = R, ïîëó÷àåì:
f ( ϕ) =
∞
A0
+ ∑ ( A n cos nϕ + Bn sin nϕ)R n .
2 n =1
Ýòî — ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f(ϕ) â ðÿä Ôóðüå. Ñëåäîâàòåëüíî (§ 10.4, ï. 2),
A0 =
π
1
1
f (t )dt, A n =
∫
π −π
πR n
π
∫ f (t )cos ntdt, B n =
−π
1
πR n
π
∫ f (t )sin ntdt.
(13)
−π
Òàêèì îáðàçîì, ðÿä (12) ñ êîýôôèöèåíòàìè, îïðåäåëåííûìè ïî ôîðìóëàì (13), áóäåò ðåøåíèåì íàøåé çàäà÷è. Ïðåîáðàçóåì ôîðìóëó (12).
Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî A0, An è Âï èõ âûðàæåíèÿ ïî ôîðìóëàì (13) è ïðîèçâîäÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì:
u(r, ϕ) =
n
π
∞


1
r
1
2
f
(
t
)
+
cos n(t − ϕ)dt.



∑
∫
2π −π
n =1  R 


437
Íî
n
n
∞
∞
r
r
1 + 2∑   cos n(t − ϕ) = 1 + ∑   [e in( t − ϕ ) + e −in( t − ϕ ) ] ='


n =1  R 
n =1 R
=
r
1− 
 R
2
r
r
1 − 2 cos(t − ϕ) +  
 R
R
2
=
R2 −r 2
.
R 2 − 2Rr cos(t − ϕ) + r 2
Ïîýòîìó
u(r, ϕ) =
π
1
R2 −r 2
f (t ) 2
dt.
∫
2π −π
R − 2Rr cos(t − ϕ) + r 2
(14)
Ïóòåì àíàëèçà ýòîé ôîðìóëû äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ f(ϕ) íåïðåðûâíàÿ, òî ôóíêöèÿ u(r, ϕ), îïðåäåëåííàÿ èíòåãðàëîì (14), óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (3) è ïðè r → R − 0 áóäåò u(r, ϕ) → f(ϕ), ò. å. u(r, ϕ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïîñòàâëåííîé çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ êðóãà.
Èíòåãðàë (14), äàþùèé ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ êðóãà, íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ïóàññîíà, à ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå
Φ(r, t, R, ϕ) =
R2 −r 2
R 2 + r 2 − 2Rr cos(t − ϕ)
íàçûâàåòñÿ ÿäðîì Ïóàññîíà.
Îòìåòèì ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ÿäðà Ïóàññîíà:
1. Φ(r, t, R, ϕ) > 0.
π
1
R2 −r 2
2.
dt = 1.
∫
2
2 π − π R − 2Rr cos(t − ϕ) + r 2
Ãëàâà 18. ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ
§ 18.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè
1. Ïîíÿòèå î ñëó÷àéíîì ñîáûòèè. Îïûò, ýêñïåðèìåíò, íàáëþäåíèå
ÿâëåíèÿ íàçûâàþòñÿ èñïûòàíèåì.Èñïûòàíèÿìè, íàïðèìåð, ÿâëÿþòñÿ:
áðîñàíèå ìîíåòû, âûñòðåë èç âèíòîâêè, áðîñàíèå èãðàëüíîé êîñòè (êóáèêà ñ íàíåñåííûì íà êàæäóþ ãðàíü ÷èñëîì î÷êî⠗ îò îäíîãî äî
øåñòè).
438
Ðåçóëüòàò (èñõîä) èñïûòàíèÿ íàçûâàåòñÿ ñîáûòèåì. Ñîáûòèÿìè ÿâëÿþòñÿ: âûïàäåíèå ãåðáà èëè âûïàäåíèå öèôðû, ïîïàäàíèå â öåëü èëè
ïðîìàõ, ïîÿâëåíèå òîãî èëè èíîãî ÷èñëà î÷êîâ íà áðîøåííîé èãðàëüíîé êîñòè.
Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ñîáûòèé èñïîëüçóþòñÿ áîëüøèå áóêâû ëàòèíñêîãî àëôàâèòà: À, Â, Ñ è ò. ä.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Äâà ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ ñîâìåñòèìûìè,
åñëè ïîÿâëåíèå îäíîãî èç íèõ íå èñêëþ÷àåò ïîÿâëåíèÿ äðóãîãî â îäíîì
è òîì æå èñïûòàíèè.
Ï ð è ì å ð 1. Èñïûòàíèå: îäíîêðàòíîå áðîñàíèå èãðàëüíîé êîñòè. Ñîáûòèå À — ïîÿâëåíèå ÷åòûðåõ î÷êîâ, ñîáûòèå  — ïîÿâëåíèå ÷åòíîãî ÷èñëà î÷êîâ. Ñîáûòèÿ À è Â
ñîâìåñòèìûå.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Äâà ñîáûòèÿ íàçûâàþòñÿ íåñîâìåñòèìûìè,
åñëè ïîÿâëåíèå îäíîãî èç íèõ èñêëþ÷àåò ïîÿâëåíèå äðóãîãî â îäíîì è
òîì æå èñïûòàíèè.
Ï ð è ì å ð 2. Èñïûòàíèå: îäíîêðàòíîå áðîñàíèå ìîíåòû. Ñîáûòèå À —âûïàäåíèå
ãåðáà, ñîáûòèå  — âûïàäåíèå öèôðû. Ýòè ñîáûòèÿ íåñîâìåñòèìû, òàê êàê ïîÿâëåíèå
îäíîãî èç íèõ èñêëþ÷àåò ïîÿâëåíèå äðóãîãî.
Íåñîâìåñòèìîñòü áîëåå ÷åì äâóõ ñîáûòèé îçíà÷àåò èõ ïîïàðíóþ
íåñîâìåñòèìîñòü.
Ï ð è ì å ð 3. Èñïûòàíèå: îäíîêðàòíîå áðîñàíèå èãðàëüíîé êîñòè. Ïóñòü ñîáûòèÿ
À1, À2, À3, À4, À5, À6 — ñîîòâåòñòâåííî âûïàäåíèå îäíîãî î÷êà, äâóõ, òðåõ è ò. ä. Ýòè ñîáûòèÿ ÿâëÿþòñÿ íåñîâìåñòèìûìè.
Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Äâà ñîáûòèÿ À è Â íàçûâàþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè, åñëè â äàííîì èñïûòàíèè îíè íåñîâìåñòèìû è îäíî èç íèõ
îáÿçàòåëüíî ïðîèñõîäèò.
Ñîáûòèå, ïðîòèâîïîëîæíîå ñîáûòèþ À, îáîçíà÷àþò ÷åðåç À.
Ï ð è ì å ð 4. Èñïûòàíèå îäíîêðàòíîå: áðîñàíèå ìîíåòû. Ñîáûòèå À —âûïàäåíèå
ãåðáà, ñîáûòèå  — âûïàäåíèå öèôðû. Ýòè ñîáûòèÿ ïðîòèâîïîëîæíû, òàê êàê èñõîäàìè
áðîñàíèÿ ìîãóò áûòü ëèøü îíè è ïîÿâëåíèå îäíîãî èç íèõ èñêëþ÷àåò ïîÿâëåíèå äðóãîãî,
ò. å. À = Â èëè À = Â.
Î ï ð å ä å ë å í è å 4. Ñîáûòèå íàçûâàåòñÿ äîñòîâåðíûì, åñëè â äàííîì èñïûòàíèè îíî ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì åãî èñõîäîì, è íåâîçìîæíûì, åñëè â äàííîì èñïûòàíèè îíî çàâåäîìî íå ìîæåò ïðîèçîéòè.
Ï ð è ì å ð 5. Èñïûòàíèå: èçâëå÷åíèå øàðà èç óðíû, â êîòîðîé âñå øàðû áåëûå. Ñîáûòèå À — âûíóò áåëûé øàð — äîñòîâåðíîå ñîáûòèå; ñîáûòèå  — âûíóò ÷åðíûé øàð —
íåâîçìîæíîå ñîáûòèå.
439
Çàìåòèì, ÷òî äîñòîâåðíîå è íåâîçìîæíîå ñîáûòèÿ â äàííîì èñïûòàíèè ÿâëÿþòñÿ ïðîòèâîïîëîæíûìè.
Î ï ð å ä å ë å í è å 5. Ñîáûòèå À íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûì, åñëè îíî
îáúåêòèâíî ìîæåò íàñòóïèòü èëè íå íàñòóïèòü â äàííîì èñïûòàíèè.
Ï ð è ì å ð 6. Ñîáûòèå À6 — âûïàäåíèå øåñòè î÷êîâ ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè —
ñëó÷àéíîå. Îíî ìîæåò íàñòóïèòü, íî îíî ìîæåò è íå íàñòóïèòü â äàííîì èñïûòàíèè.
2. Àëãåáðà ñîáûòèé.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ñóììîé ñîáûòèé À è Â íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå
Ñ = À + Â, ñîñòîÿùåå â íàñòóïëåíèè ïî êðàéíåé ìåðå îäíîãî èç ñîáûòèé À èëè Â.
Ï ð è ì å ð. Èñïûòàíèå: ñòðåëüáà äâóõ ñòðåëêîâ (êàæäûé äåëàåò ïî âûñòðåëó). Ñîáûòèå À — ïîïàäàíèå â ìèøåíü ïåðâûì ñòðåëêîì, ñîáûòèå  — ïîïàäàíèå â ìèøåíü âòîðûì ñòðåëêîì. Ñóììîé ñîáûòèé À è  áóäåò ñîáûòèå Ñ = À +Â, ñîñòîÿùåå â ïîïàäàíèè â
ìèøåíü ïî êðàéíåé ìåðå îäíèì ñòðåëêîì.
Àíàëîãè÷íî ñóììîé êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé À1, À2, , Àk íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå À = À1 + À2 + + Àk, ñîñòîÿùåå â íàñòóïëåíèè õîòÿ áû îäíîãî èç ñîáûòèé Ài (i = 1, 2, , k).
Èç îïðåäåëåíèÿ 1 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî À +  =  + À. Ñïðàâåäëèâî òàêæå è ñî÷åòàòåëüíîå ñâîéñòâî. Îäíàêî À + À = À (à íå 2À, êàê â
àëãåáðå).
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé À è Â íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå Ñ = ÀÂ, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ïðîèçîøëè
è ñîáûòèå À, è ñîáûòèå Â.
Àíàëîãè÷íî ïðîèçâåäåíèåì êîíå÷íîãî ÷èñëà ñîáûòèé À1, À2, , Àk
íàçûâàåòñÿ ñîáûòèå À = À1À2 Àk, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ïðîèçîøëè âñå óêàçàííûå ñîáûòèÿ.
 óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà ïðîèçâåäåíèåì ñîáûòèé À è  áóäåò ñîáûòèå Ñ = ÀÂ, ñîñòîÿùåå â ïîïàäàíèè â ìèøåíü äâóõ ñòðåëêîâ.
Èç îïðåäåëåíèÿ 2 íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî À = ÂÀ. Ñïðàâåäëèâû òàêæå ñî÷åòàòåëüíûé è äèñòðèáóòèâíûé çàêîíû. Îäíàêî ÀÀ = À
2
(à íå À ).
3. Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè. Ìîæíî ëè êàê-òî èçìåðèòü âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿ íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ? Äðóãèìè ñëîâàìè, ìîæíî ëè îõàðàêòåðèçîâàòü ýòó âîçìîæíîñòü íåêîòîðûì
÷èñëîì?
Âñÿêîå èñïûòàíèå âëå÷åò çà ñîáîé íåêîòîðóþ ñîâîêóïíîñòü èñõîäî⠗ ðåçóëüòàòîâ èñïûòàíèÿ, ò. å. ñîáûòèé. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ âîçìîæíî ïåðå÷èñëèòü âñå ñîáûòèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñõîäàìè äàííîãî èñïûòàíèÿ.
440
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ãîâîðÿò, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé îáðàçóåò
ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé äëÿ äàííîãî èñïûòàíèÿ, åñëè åãî ðåçóëüòàòîì
îáÿçàòåëüíî ñòàíîâèòñÿ õîòÿ áû îäíî èç íèõ.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïîëíûõ ãðóïï ñîáûòèé: âûïàäåíèå ãåðáà è âûïàäåíèå öèôðû ïðè îäíîì áðîñàíèè ìîíåòû; ïîïàäàíèå â öåëü è ïðîìàõ ïðè îäíîì âûñòðåëå; âûïàäåíèå îäíîãî, äâóõ, òðåõ, ÷åòûðåõ, ïÿòè,
øåñòè î÷êîâ ïðè îäíîì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè.
Ðàññìîòðèì ïîëíóþ ãðóïïó ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé U1,
U2, , Un, ñâÿçàííóþ ñ íåêîòîðûì èñïûòàíèåì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â
ýòîì èñïûòàíèè îñóùåñòâëåíèå êàæäîãî èç ñîáûòèé U1, U2, , Un ðàâíîâîçìîæíî, ò. å. óñëîâèÿ èñïûòàíèÿ íå ñîçäàþò ïðåèìóùåñòâà â ïîÿâëåíèè êàêîãî-ëèáî ñîáûòèÿ ïåðåä äðóãèìè âîçìîæíûìè.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ñîáûòèÿ U1, U2, , Un, îáðàçóþùèå ïîëíóþ
ãðóïïó ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûõ è ðàâíîâîçìîæíûõ ñîáûòèé, áóäåì
íàçûâàòü ýëåìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè.
Ï ð è ì å ð 1. Âåðíåìñÿ ê îïûòó ñ ïîäáðàñûâàíèåì èãðàëüíîé êîñòè. Ïóñòü Ui — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî êîñòü âûïàëà ãðàíüþ ñ öèôðîé i. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ñîáûòèÿ U1, U2, , U6 îáðàçóþò ïîëíóþ ãðóïïó ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé. Òàê êàê
êîñòü ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîðîäíîé è ñèììåòðè÷íîé, òî ñîáûòèÿ U1, U2, , U6 ÿâëÿþòñÿ è
ðàâíîâîçìîæíûìè, ò. å. ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè.
Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Ñîáûòèå À íàçûâàåòñÿ áëàãîïðèÿòñòâóþùèì
ñîáûòèþ Â, åñëè íàñòóïëåíèå ñîáûòèÿ À âëå÷åò çà ñîáîé íàñòóïëåíèå
ñîáûòèÿ Â.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè ñîáûòèÿ U2, U4,U6 — ïîÿâëåíèå
ñîîòâåòñòâåííî äâóõ, ÷åòûðåõ,øåñòè î÷êîâ è À — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â ïîÿâëåíèè ÷åòíîãî î÷êà; ñîáûòèÿ U2, U4,U6 áëàãîïðèÿòñòâóþò ñîáûòèþ À.
Î ï ð å ä å ë å í è å 4 (ê ë à ñ ñ è ÷ å ñ ê î å î ï ð å ä å ë å í è å
â å ð î ÿ ò í î ñ ò è). Âåðîÿòíîñòüþ Ð(À) ñîáûòèÿ À íàçûâàåòñÿ îòíîm
øåíèå ÷èñëà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ñîáûòèþ
n
m
À, ê ÷èñëó âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ò. å. Ð(À) = .
n
Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèì âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ ãåðáà ïðè îäíîì áðîñàíèè ìîíåòû.
Î÷åâèäíî, ñîáûòèå À — âûïàäåíèå ãåðáà è ñîáûòèå  — âûïàäåíèå öèôðû — îáðàçóþò
ïîëíóþ ãðóïïó íåñîâìåñòèìûõ è ðàâíîâîçìîæíûõ ñîáûòèé äëÿ äàííîãî èñïûòàíèÿ.
Çíà÷èò, çäåñü n = 2. Ñîáûòèþ À áëàãîïðèÿòñòâóåò ëèøü îäíî ñîáûòèå — ñàìî À, ò. å. çäåñü
1
m = 1. Ïîýòîìó Ð(À) = .
2
1
Ï ð è ì å ð 4. Î÷åâèäíî, ÷òî â îïûòå ñ èãðàëüíîé êîñòüþ (ïðèìåð 1) Ð(Ui) = , i = 1, , 6.
6
441
Ï ð è ì å ð 5. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè âûïàäåò
÷èñëî î÷êîâ, äåëÿùååñÿ íà 2 (ñîáûòèå À).
×èñëî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé çäåñü 6. ×èñëî áëàãîïðèÿòñòâóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ ñî3 1
áûòèé 3 (âûïàäåíèå 2, 4 èëè 6). Ïîýòîìó Ð(À) = = .
6 2
Èç ïðèâåäåííîãî êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè âûòåêàþò ñëåäóþùèå åå ñâîéñòâà:
1. Âåðîÿòíîñòü äîñòîâåðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà åäèíèöå.
Äåéñòâèòåëüíî, äîñòîâåðíîìó ñîáûòèþ äîëæíû áëàãîïðèÿòñòâîâàòü âñå n ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ò. å. m = n, è, ñëåäîâàòåëüíî,
Ð(À) =
m n
= = 1.
n n
2. Âåðîÿòíîñòü íåâîçìîæíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà íóëþ.
 ñàìîì äåëå, íåâîçìîæíîìó ñîáûòèþ íå ìîæåò áëàãîïðèÿòñòâîâàòü íè îäíî èç ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ò. å. m = 0, îòêóäà
Ð(À) =
m 0
= = 0.
n n
3. Âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ åñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, çàêëþ÷åííîå ìåæäó íóëåì è åäèíèöåé.
Äåéñòâèòåëüíî, ñëó÷àéíîìó ñîáûòèþ áëàãîïðèÿòñòâóåò ëèøü ÷àñòü
èç îáùåãî ÷èñëà n ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå 0 < m <
m
< n è, çíà÷èò, 0 < < 1. Ñëåäîâàòåëüíî, 0 < Ð(À) < 1.
n
Èòàê, âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ óäîâëåòâîðÿåò äâîéíîìó íåðàâåíñòâó 0 ≤ Ð(À) ≤ 1.
4. Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà. Ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.
Êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè íå ÿâëÿåòñÿ ïðèãîäíûì äëÿ
èçó÷åíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé. Òàê, îíî íåïðèåìëåìî,
åñëè ðåçóëüòàòû èñïûòàíèÿ íå ðàâíîâîçìîæíû. Íàïðèìåð, ïðè áðîñàíèè íåïðàâèëüíîé èãðàëüíîé êîñòè âûïàäåíèå åå ðàçëè÷íûõ ãðàíåé íå
ðàâíîâîçìîæíî.
 òàêèõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìîå ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè.
Ïóñòü ïðîèçâåäåíî n èñïûòàíèé, ïðè ýòîì íåêîòîðîå ñîáûòèå À íàñòóïèëî m ðàç.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. ×èñëî m íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ÷àñòîòîé
m
(èëè ïðîñòî ÷àñòîòîé) ñîáûòèÿ À, à îòíîøåíèå Ð*(À) = íàçûâàåòñÿ
n
îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ À.
442
Ï ð è ì å ð 1. Ïðè òðàíñïîðòèðîâêå èç 10 000 àðáóçîâ èñïîðòèëîñü 26. Çäåñü m = 26 —
26
àáñîëþòíàÿ ÷àñòîòà èñïîð÷åííûõ àðáóçîâ, à Ð*(À) =
= 0,0026 – îòíîñèòåëüíàÿ.
10000
Ðåçóëüòàòû ìíîãî÷èñëåííûõ îïûòîâ è íàáëþäåíèé ïîìîãàþò çàêëþ÷èòü: ïðè ïðîâåäåíèè ñåðèé èç n èñïûòàíèé, êîãäà ÷èñëî n ñðàâíèòåëüíî ìàëî, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà Ð*(À) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîãóò äîâîëüíî ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà. Íî ñ óâåëè÷åíèåì
n — ÷èñëà èñïûòàíèé â ñåðèÿõ — îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà
Ð*(À) =
m
n
ïðèáëèæàåòñÿ ê íåêîòîðîìó ÷èñëó Ð(À), ñòàáèëèçèðóÿñü âîçëå íåãî è
ïðèíèìàÿ âñå áîëåå óñòîé÷èâûå çíà÷åíèÿ.
Ï ð è ì å ð 2. Áûëî ïðîâåäåíî 10 ñåðèé áðîñàíèé ìîíåòû, ïî 1000 áðîñàíèé â êàæäîé. Îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû âûïàäåíèÿ ãåðáà îêàçàëèñü ðàâíûìè 0,501; 0,485; 0,509;
0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. (Äàííûå âçÿòû èç êíèãè [18].)
Ýòè ÷àñòîòû ãðóïïèðóþòñÿ îêîëî ÷èñëà 0,5.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2 (ñ ò à ò è ñ ò è ÷ å ñ ê î å î ï ð å ä å ë å í è å
â å ð î ÿ ò í î ñ ò è). Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ À â äàííîì èñïûòàíèè íàçûâàåòñÿ ÷èñëî Ð(À), îêîëî êîòîðîãî ãðóïïèðóþòñÿ çíà÷åíèÿ îòíîñèòåëüíîé
÷àñòîòû ïðè áîëüøèõ n.
 ïðèìåðå 2 âåðîÿòíîñòü â ñòàòèñòè÷åñêîì ñìûñëå ðàâíà 0,5.
Òàêèì îáðàçîì, îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñîáûòèÿ ïðèáëèæåííî ñîâïàäàåò ñ åãî âåðîÿòíîñòüþ â ñòàòèñòè÷åñêîì ñìûñëå, åñëè ÷èñëî èñïûòàíèé äîñòàòî÷íî âåëèêî (èìååòñÿ îãðîìíûé îïûòíûé ìàòåðèàë ïî
ïðîâåðêå ïîñëåäíåãî óòâåðæäåíèÿ).
Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ âåëè÷èíà m = nÐ(À) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñðåäíåå
çíà÷åíèå ÷èñëà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ À ïðè n èñïûòàíèÿõ.
Ñòàòèñòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòè, èñïîëüçóþùåå ñòàòèñòè÷åñêóþ îáðàáîòêó äàííûõ, íàõîäèò øèðîêîå ïðèìåíåíèå.
Ïðè øèðîêèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ â êëàññè÷åñêîì è ñòàòèñòè÷åñêîì ñìûñëàõ ñîâïàäàþò ìåæäó
ñîáîé.
§ 18.2. Ñâîéñòâà âåðîÿòíîñòè
1. Òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé.
Ò å î ð å ì à. Âåðîÿòíîñòü ñóììû äâóõ íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé À è Â
ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé:
P( A + B ) = P( A) + P(B ).
(1)
443
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Èñïîëüçóåì êëàññè÷åñêîå îïðåäåëåíèå
âåðîÿòíîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â äàííîì èñïûòàíèè ÷èñëî âñåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàâíî n, ñîáûòèþ À áëàãîïðèÿòñòâóþò k ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, ñîáûòèþ  — l ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Òàê êàê À è
 — íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ, òî íè îäíî èç ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé U1,
U2, , Un íå ìîæåò îäíîâðåìåííî áëàãîïðèÿòñòâîâàòü è ñîáûòèþ À, è
ñîáûòèþ Â. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáûòèþ À + Â áóäåò áëàãîïðèÿòñòâîâàòü
k + l ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Ïî îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòè èìååì:
P( A ) =
k
l
k +l
, P( B ) = , P( A + B ) =
,
n
n
n
îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Ñîâåðøåííî òàê æå òåîðåìà ôîðìóëèðóåòñÿ è äîêàçûâàåòñÿ äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé.
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Ñóììà âåðîÿòíîñòåé ïðîòèâîïîëîæíûõ ñîáûòèé À
è A ðàâíà åäèíèöå:
P( A) + P( À ) = 1.
(2)
Òàê êàê ñîáûòèÿ À è A íåñîâìåñòèìû, òî ïî äîêàçàííîé òåîðåìå
P( A) + P( A ) = P( A + A ). Ñîáûòèå À + A åñòü äîñòîâåðíîå ñîáûòèå (èáî
îäíî èç ñîáûòèé À èëè À ïðîèçîéäåò). Ïîýòîìó P( A + A ) = 1, ÷òî ïðèâîäèò ê èñêîìîìó ñîîòíîøåíèþ (2).
Ï ð è ì å ð. Â óðíå 10 øàðîâ: 3 êðàñíûõ, 5 ñèíèõ, 2 áåëûõ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü
âûíóòü öâåòíîé øàð, åñëè âûíèìàåòñÿ îäèí øàð? Âåðîÿòíîñòü âûíóòü êðàñíûé øàð
3
5
P (A) = , ñèíèé P (Â ) = . Òàê êàê ñîáûòèÿ À è Â íåñîâìåñòèìû, òî ïî äîêàçàííîé
10
10
3
5
âûøå òåîðåìå P (A + B ) = P (A) + P (B ) = + = 0,8.
10 10
2. Òåîðåìà óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Äâà ñîáûòèÿ À è Â íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ êàæäîãî èç íèõ íå çàâèñèò îò òîãî,
ïîÿâèëîñü äðóãîå ñîáûòèå èëè íåò.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñîáûòèÿ À è Â
íàçûâàþò çàâèñèìûìè. (Íåñêîëüêî ñîáûòèé À1, , Àk íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ëþáîãî èç íèõ
íå çàâèñèò îò òîãî, ïðîèçîøëè ëè êàêèå-ëèáî äðóãèå ðàññìàòðèâàåìûå
ñîáûòèÿ èëè íåò.)
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü â óðíå íàõîäÿòñÿ 2 áåëûõ è 2 ÷åðíûõ øàðà. Ïóñòü ñîáûòèå À —
1
âûíóò áåëûé øàð. Î÷åâèäíî, P (A) = . Ïîñëå ïåðâîãî èñïûòàíèÿ âûíóòûé øàð êëàäåòñÿ
2
îáðàòíî â óðíó, øàðû ïåðåìåøèâàþòñÿ è ñíîâà âûíèìàåòñÿ øàð. Ñîáûòèå  — âî âòîðîì
444
1
èñïûòàíèè âûíóò áåëûé øàð — òàêæå èìååò âåðîÿòíîñòü P (B ) = , ò. å. ñîáûòèÿ À è Â
2
íåçàâèñèìûå.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî âûíóòûé øàð â ïåðâîì èñïûòàíèè íå êëàäåòñÿ îáðàòíî â
óðíó. Òîãäà åñëè ïðîèçîøëî À, ò. å. â ïåðâîì èñïûòàíèè âûíóò áåëûé øàð, òî âåðîÿòíîñòü
1

ñîáûòèÿ  óìåíüøàåòñÿ  P (B ) =  ; åñëè â ïåðâîì èñïûòàíèè áûë âûíóò ÷åðíûé øàð, òî

3
2

âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ  óâåëè÷èâàåòñÿ  P (B ) =  . Çäåñü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ  çàâèñèò

3
îò ïîÿâëåíèÿ èëè íåïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ À, ò. å. ñîáûòèÿ À è Â çàâèñèìûå.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ïóñòü À è  — çàâèñèìûå ñîáûòèÿ. Óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ PA (B ) ñîáûòèÿ  íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ Â,
íàéäåííàÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñîáûòèå À óæå íàñòóïèëî. Òàê, â
1
ïðèìåðå 1 PA (B ) = .
3
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ñîáûòèÿ À è Â íåçàâèñèìûå, òî
PA (B ) = P(B ).
Ò å î ð å ì à 1. Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ çàâèñèìûõ ñîáûòèé À
è Â ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòè îäíîãî èç íèõ íà óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü äðóãîãî, íàéäåííóþ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïåðâîå ñîáûòèå óæå
íàñòóïèëî:
(3)
P( AB ) = P( A)PA (B ).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü èç âñåãî ÷èñëà n ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé k áëàãîïðèÿòñòâóþò ñîáûòèþ À, è ïóñòü èç ýòèõ k ñîáûòèé l áëàãîïðèÿòñòâóþò ñîáûòèþ Â, à çíà÷èò, è ñîáûòèþ ÀÂ. Òîãäà
P( AB ) =
l k l
= ⋅ = P( A)PA (B ),
n n k
÷òî è äîêàçûâàåò èñêîìîå ðàâåíñòâî (3).
Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó (3) ê ñîáûòèþ ÂÀ, ïîëó÷èì:
P (BA) = P (B )PB (A).
Òàê êàê À = ÂÀ (ñì. § 18.1, ï. 2), òî ïîëó÷àåì, ÷òî
P (A) Ð À (Â ) = P (B )PB (A).
(4)
Ï ð è ì å ð 2.  óñëîâèÿõ ïðèìåðà 1 áåðåì òîò ñëó÷àé, êîãäà âûíóòûé øàð â ïåðâîì
èñïûòàíèè íå êëàäåòñÿ îáðàòíî â óðíó. Ïîñòàâèì ñëåäóþùèé âîïðîñ: êàêîâà âåðîÿòíîñòü âûíóòü ïåðâûé è âòîðîé ðàç áåëûå øàðû? Ïî ôîðìóëå (3) èìååì:
Ð (ÀÂ ) =
1 1 1
⋅ = .
2 3 6
445
Ò å î ð å ì à 2. Âåðîÿòíîñòü ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé
À è Â ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé:
P( AB ) = P( A)P(B ).
(5)
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè À è  — íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ, òî PA (B ) = P(B )
è ôîðìóëà (3) ïðåâðàùàåòñÿ â ôîðìóëó (5).
Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ýòà òåîðåìà ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ëþáîå êîíå÷íîå èõ ÷èñëî.
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè âåðîÿòíîñòü îäíîâðåìåííîãî ïîðàæåíèÿ öåëè äâóìÿ îðóäèÿìè
ïðè îäíîì çàëïå (èç îáîèõ îðóäèé), åñëè âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè ïåðâûì îðóäèåì
(ñîáûòèå À) ðàâíà 0,8, à âòîðûì (ñîáûòèå Â) — 0,7.
Ñîáûòèÿ À è Â íåçàâèñèìû, ïîýòîìó ïî òåîðåìå 2 èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü
P (AB ) = 0,7 ⋅ 0,8 = 0,56.
3. Òåîðåìà ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé.
Ò å î ð å ì à. Âåðîÿòíîñòü ñóììû äâóõ ñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé À è Â
ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ýòèõ ñîáûòèé áåç âåðîÿòíîñòè èõ ïðîèçâåäåíèÿ:
P( A + B ) = P( A) + P(B ) − P( AB ).
(6)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü èç âñåãî ÷èñëà n ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé k áëàãîïðèÿòñòâóþò ñîáûòèþ À, l — ñîáûòèþ  è m — îäíîâðåìåííî ñîáûòèÿì À è Â. Îòñþäà ñîáûòèþ À +  áëàãîïðèÿòñòâóþò k + l − m
ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé. Òîãäà
P( A + B ) =
k +l −m k l m
= + − = P( A) + P(B ) − P( AB ).
n
n n n
Ç à ì å ÷ à í è å. Åñëè ñîáûòèÿ À è  íåñîâìåñòèìû, òî èõ ïðîèçâåäåíèå À åñòü íåâîçìîæíîå ñîáûòèå, è, ñëåäîâàòåëüíî, Ð(ÀÂ) = 0, ò. å. ôîðìóëà (1) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôîðìóëû (6).
Ï ð è ì å ð. Âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â öåëü ïðè ñòðåëüáå ïåðâîãî è âòîðîãî îðóäèé
ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû Ð(À) = 0,7 è Ð(Â) = 0,8. Íàéòè âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ïðè îäíîì
çàëïå (èç îáîèõ îðóäèé) õîòÿ áû îäíèì èç îðóäèé.
Î÷åâèäíî, ñîáûòèÿ À è  ñîâìåñòèìû è íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó
P (A + B ) = P (A) + P (B ) − P (AB ) = 0,7 + 0,8 − 0,7 ⋅ 0,8 = 0,94.
4. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ïóñòü ñîáûòèå À ìîæåò ïðîèçîéòè ëèøü ïðè óñëîâèè ïîÿâëåíèÿ îäíîãî èç n ïîïàðíî íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé Â1, Â2, , Ân, îáðàçóþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó ñîáûòèé. Ñîáûòèÿ Â1, Â2, , Ân áóäåì íàçûâàòü ãèïîòåçàìè äëÿ ñîáûòèÿ À. Òîãäà
P( A) = P(B1 )PB 1 ( A) + P(B 2 )PB 2 ( A) + ... + P(B n )PB n ( A).
Ýòà ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.
446
(7)
 ñàìîì äåëå, ñîáûòèå À ìîæåò íàñòóïèòü òîëüêî ïðè óñëîâèè íàñòóïëåíèÿ îäíîãî èç ñîáûòèé Â1, Â2, , Ân, ò. å.
A = Â1A +Â2A +
+ BnA,
ïðè÷åì ââèäó íåñîâìåñòèìîñòè ñîáûòèé Â1, Â2, , Ân ñîáûòèÿ Â1A,
Â2A, , BnA òàêæå íåñîâìåñòèìû. Ïîýòîìó íà îñíîâàíèè òåîðåì ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé èìååì:
P( A) = P(B1 A) + P(B 2 A) + ... + P(B n A) =
= P(B1 )PB 1 ( A) + P(B 2 )PB 2 ( A) + ... + P(B n )PB n ( A).
Ï ð è ì å ð. Äëÿ ïðèåìà çà÷åòà ïðåïîäàâàòåëü çàãîòîâèë 50 çàäà÷: 20 çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ, 30 ïî èíòåãðàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ. Äëÿ ñäà÷è çà÷åòà ñòóäåíò
äîëæåí ðåøèòü ïåðâóþ æå äîñòàâøóþñÿ íàóãàä çàäà÷ó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü äëÿ ñòóäåíòà
ñäàòü çà÷åò, åñëè îí óìååò ðåøèòü 18 çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ è 15 çàäà÷ ïî èíòåãðàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ?
Âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü çàäà÷ó ïî äèôôåðåíöèàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ (ñîáûòèå Â1) ðàâíà Ð(Â1) = 0,4, ïî èíòåãðàëüíîìó èñ÷èñëåíèþ (ñîáûòèå Â2) ðàâíà Ð(Â2) = 0,6. Åñëè ñîáûòèå
À îçíà÷àåò, ÷òî çàäà÷à ðåøåíà, òî Ð Â 1 (À) = 0,9, Ð Â 2 (A) = 0,5. Òåïåðü ïî ôîðìóëå (7) èìååì:
Ð (À) = 0,4 ⋅ 0,9 + 0,6 ⋅ 0,5 = 0,66.
5. Ôîðìóëà Áåéåñà. Ïóñòü â óñëîâèÿõ ðàññóæäåíèÿ, îòíîñÿùåãîñÿ ê
ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïðîèçâåäåíî îäíî èñïûòàíèå, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ïðîèçîøëî ñîáûòèå À. Ñïðàøèâàåòñÿ: êàê èçìåíèëèñü
(â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî ñîáûòèå À óæå ïðîèçîøëî) âåðîÿòíîñòè ãèïîòåç, ò. å.
âåëè÷èíû Ð(Âk), k = 1, , n?
Íàéäåì óñëîâíóþ âåðîÿòíîñòü ÐÀ(Âk).
Ïî òåîðåìå óìíîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé è ôîðìóëå (4) (ñì. ï. 2) èìååì:
Îòñþäà
P( AB k ) = P( A)PA (B k ) = P(B k )PB k ( A).
PA (B k ) =
P(B k )PB k ( A)
.
P( A )
Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, íàõîäèì:
PA (B k ) =
P(B k )PB k ( A)
n
∑ P(B j )PB j ( A)
(k = 1, 2, ..., n ).
(8)
j =1
Ôîðìóëû (8) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè Áåéåñà (Òîìàñ Áåéåñ, èëè Áàéåñ
(1702—1761), — àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê).
Ï ð è ì å ð. Ïàðòèÿ äåòàëåé èçãîòîâëåíà òðåìÿ ðàáî÷èìè, ïðè÷åì ïåðâûé ðàáî÷èé
èçãîòîâèë 25% âñåõ äåòàëåé, âòîðîé — 35%, òðåòèé — 40%.  ïðîäóêöèè ïåðâîãî ðàáî÷åãî
447
áðàê ñîñòàâëÿåò 5%, â ïðîäóêöèè âòîðîãî — 4% è â ïðîäóêöèè òðåòüåãî — 2%. Ñëó÷àéíî
âûáðàííàÿ äëÿ êîíòðîëÿ äåòàëü îêàçàëàñü áðàêîâàííîé. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
îíà èçãîòîâëåíà âòîðûì ðàáî÷èì?
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ñîáûòèé: À — âûáðàííàÿ äëÿ êîíòðîëÿ äåòàëü îêàçàëàñü áðàêîâàííîé; Â1, Â2, Â3 — ýòà äåòàëü èçãîòîâëåíà ñîîòâåòñòâåííî ïåðâûì, âòîðûì è òðåòüèì
ðàáî÷èì.
Èìååì:
Ð (Â1 ) = 0,25; Ð (Â2 ) = 0,35; Ð (Â3 ) = 0,40; Ð Â 1 (À) = 0,05; Ð Â 2 (À) = 0,04; Ð Â 3 (À) = 0,02.
PA (B2 ) =
0,35 ⋅ 0,04
28
= .
0,25 ⋅ 0,05 + 0,35 ⋅ 0,04 + 0,40 ⋅ 0,02 69
§ 18.3. Îñíîâíûå ôîðìóëû êîìáèíàòîðèêè
Êîìáèíàòîðèêîé íàçûâàåòñÿ ðàçäåë ìàòåìàòèêè, èçó÷àþùèé âîïðîñ
î òîì, ñêîëüêî êîìáèíàöèé îïðåäåëåííîãî òèïà ìîæíî ñîñòàâèòü èç
äàííûõ ïðåäìåòîâ (ýëåìåíòîâ).
Êàê ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñ èñïîëüçîâàíèåì êëàññè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè, òàê è â äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáÿòñÿ íåêîòîðûå ôîðìóëû êîìáèíàòîðèêè. Ïðèâåäåì íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûå èç íèõ.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ðàçìåùåíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ïî
m ýëåìåíòîâ (m ≤ï) íàçûâàþòñÿ êîìáèíàöèè, ñîñòàâëåííûå èç äàííûõ
n ýëåìåíòîâ ïî m ýëåìåíòîâ, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ ëèáî ñàìèìè ýëåìåíòàìè, ëèáî ïîðÿäêîì ýëåìåíòîâ.
Íàïðèìåð, èç òðåõ ýëåìåíòîâ à, b, ñ ìîæíî ñîñòàâèòü ïî äâà ýëåìåíòà ñëåäóþùèå ðàçìåùåíèÿ: ab, àñ, bc, ba, ca, cb.
×èñëî ðàçëè÷íûõ ðàçìåùåíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî ò ýëåìåíòîâ îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû A nm = n(n − 1)(n − 2) K (n − m + 1).
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ïåðåñòàíîâêàìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ
íàçûâàþòñÿ ðàçìåùåíèÿ èç ýòèõ n ýëåìåíòîâ ïî ï.
Êàê âèäíî èç îïðåäåëåíèé 1 è 2, ïåðåñòàíîâêè ìîæíî ñ÷èòàòü ÷àñòíûì ñëó÷àåì ðàçìåùåíèé ïðè ò = ï. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî âñåõ ïåðåñòàíîâîê èç n ýëåìåíòîâ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Ðë = ï(ï − 1)(n − 2)
3 · 2 · 1 = ï!
Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Ñî÷åòàíèÿìè èç n ðàçëè÷íûõ ýëåìåíòîâ ío
m ýëåìåíòîâ íàçûâàþòñÿ êîìáèíàöèè, ñîñòàâëåííûå èç äàííûõ n
ýëåìåíòîâ ïî m ýëåìåíòîâ, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ õîòÿ áû îäíèì ýëåìåíòîì.
Îòìåòèì ðàçíèöó ìåæäó ñî÷åòàíèÿìè è ðàçìåùåíèÿìè: â ïåðâûõ íå
ó÷èòûâàåòñÿ ïîðÿäîê ýëåìåíòîâ.
448
×èñëî ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m ýëåìåíòîâ âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
n!
C nm =
.
m!(n − m)!
Ïðèâåäåì, íàêîíåö, îäèí èç ïðèìåðîâ ïðèìåíåíèÿ ôîðìóë êîìáèíàòîðèêè ê íàõîæäåíèþ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ.
Ï ð è ì å ð. Íàáèðàÿ íîìåð òåëåôîíà, àáîíåíò çàáûë äâå ïîñëåäíèå öèôðû è, ïîìíÿ
ëèøü, ÷òî ýòè öèôðû ðàçëè÷íû, íàáðàë èõ íàóäà÷ó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íîìåð
íàáðàí ïðàâèëüíî?
Äâå ïîñëåäíèå öèôðû ìîæíî íàáðàòü A102 ñïîñîáàìè, à áëàãîïðèÿòñòâîâàòü ñîáûòèþ
Ì (öèôðû íàáðàíû ïðàâèëüíî) áóäåò òîëüêî îäèí ñïîñîá. Ïîýòîìó
P (M ) =
1
1
1
=
= .
A102 10 ⋅ 9 90
§ 18.4. Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
1. Ïîíÿòèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ ïåðåìåííàÿ
âåëè÷èíà, êîòîðàÿ â çàâèñèìîñòè îò èñõîäà èñïûòàíèÿ ñëó÷àéíî ïðèíèìàåò îäíî çíà÷åíèå èç ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ çíà÷åíèé.
Ï ð è ì å ð û. 1) ×èñëî î÷êîâ, âûïàâøèõ ïðè îäíîêðàòíîì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè, åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îíà ìîæåò ïðèíÿòü îäíî èç çíà÷åíèé: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
2) Ïðèðîñò âåñà äîìàøíåãî æèâîòíîãî çà ìåñÿö åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ
ìîæåò ïðèíÿòü çíà÷åíèå èç íåêîòîðîãî ÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà.
3) ×èñëî ðîäèâøèõñÿ ìàëü÷èêîâ ñðåäè ïÿòè íîâîðîæäåííûõ åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíÿòü çíà÷åíèÿ 0, 1, 2, 3, 4, 5.
4) Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýïèöåíòðîì âçðûâà áîìáû è öåëüþ, íà êîòîðóþ îíà ñáðîøåíà,
åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíÿòü ëþáîå íåîòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû áóäåì îáîçíà÷àòü ïðîïèñíûìè áóêâàìè Õ, Y,
Z, à èõ âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ — ñîîòâåòñòâóþùèìè ñòðî÷íûìè áóêâàìè
õ, ó, z. Íàïðèìåð, åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò òðè âîçìîæíûõ
çíà÷åíèÿ, òî îíè áóäóò îáîçíà÷åíû òàê: õ1, õ2, õ3.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå êîíå÷íîé èëè áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, íàçûâàåòñÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èç ïðèìåðîâ 1) è 3) äèñêðåòíûå.
Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü âñå çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîãî ÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà, íàçûâàåòñÿ
íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èç ïðèìåðîâ 2) è 4) ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè.
449
Î ï ð å ä å ë å í è å 4. Ïîä ñóììîé (ïðîèçâåäåíèåì) ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y ïîíèìàþò ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Z = X + Y (Z = XY), âîçìîæíûå
çíà÷åíèÿ êîòîðîé ñîñòîÿò èç ñóìì (ïðîèçâåäåíèÿ) êàæäîãî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû X è êàæäîãî âîçìîæíîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû Y .
2. Çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ðàññìîòðèì äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Õ ñ êîíå÷íûì ìíîæåñòâîì âîçìîæíûõ çíà÷åíèé. Âåëè÷èíà Õ ñ÷èòàåòñÿ çàäàííîé, åñëè ïåðå÷èñëåíû
âñå åå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, à òàêæå âåðîÿòíîñòè, ñ êîòîðûìè âåëè÷èíà Õ ìîæåò ïðèíÿòü ýòè çíà÷åíèÿ. Óêàçàííûé ïåðå÷åíü âîçìîæíûõ
çíà÷åíèé è èõ âåðîÿòíîñòåé íàçûâàåòñÿ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò áûòü çàäàí ñ ïîìîùüþ òàáëèöû:
õ
õ1
õ2
õ3
õn − 1
õn
ð
ð1
ð2
ð3
ðn − 1
ðn
 âåðõíåé ñòðîêå âûïèñûâàþòñÿ âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ õ1, õ2, , õn âåëè÷èíû Õ, â íèæíåé ñòðîêå âûïèñûâàþòñÿ âåðîÿòíîñòè ð1, ð2, , ðn çíà÷åíèé õ1, õ2, , õn. ×èòàåòñÿ òàáëèöà ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ìîæåò ïðèíÿòü çíà÷åíèå õi ñ âåðîÿòíîñòüþ ði(i = 1, 2, , n).
Òàê êàê â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ âåëè÷èíà Õ âñåãäà ïðèìåò îäíî èç
çíà÷åíèé õ1, õ2, , õn, òî ð1 + ð2 + + ðn = 1.
Ï ð è ì å ð.  äåíåæíîé ëîòåðåå ðàçûãðûâàåòñÿ 1 âûèãðûø â 100 000 ð., 10 âûèãðûøåé ïî 10 000 ð. è 100 âûèãðûøåé ïî 100 ð. ïðè îáùåì ÷èñëå áèëåòîâ 10 000. Íàéòè çàêîí
ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âûèãðûøà Õ äëÿ âëàäåëüöà îäíîãî ëîòåðåéíîãî áèëåòà.
Çäåñü âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ äëÿ Õ åñòü: õ1 = 0, õ2 = 100, õ3 = 10 000, õ4 = 100 000.Âåðîÿòíîñòü èõ áóäåò: ð2 = 0,01, ð3 = 0,001, ð4 = 0,0001, ð1 = 1 − 0,01 − 0,001 − 0,0001 = 0,9889.
Ñëåäîâàòåëüíî, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ âûèãðûøà Õ ìîæåò áûòü çàäàí òàáëèöåé:
õ
0
100
10 000
100 000
ð
0,9889
0,01
0,001
0,0001
§ 18.5. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
1. Ïîíÿòèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëíîñòüþ çàäàåò äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Îäíàêî ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ
ñëó÷àè, êîãäà çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåèçâåñòåí.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó èçó÷àþò ïî åå ÷èñëîâûì õàðàêòåðèñòèêàì. Îäíîé èç òàêèõ õàðàêòåðèñòèê ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.
450
Ïóñòü íåêîòîðàÿ äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñâîèõ çíà÷åíèé çàäàíà çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïîìîùüþ òàáëèöû,
ïðèâåäåííîé â ï. 2 § 18.4.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì Ì(Õ) äèñêðåòíîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ íàçûâàåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé âåëè÷èíû Õ íà ñîîòâåòñòâóþùèå âåðîÿòíîñòè:
Ì(Õ) = õ1ð1 + õ2ð2 +
+ õnpn.
(1)
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûèãðûøà Õ â ïðèìåðå èç § 18.4 (ï. 2).
Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííóþ òàì òàáëèöó, èìååì:
Ì(Õ) = 0 · 0,9889 + 100 · 0,01 + 10 000 · 0,001 + 100 000 · 0,0001 = 21 ð.
Î÷åâèäíî, Ì(Õ) = 21 ð. åñòü ñïðàâåäëèâàÿ öåíà îäíîãî ëîòåðåéíîãî áèëåòà.
Ò å î ð å ì à. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ïðèáëèæåííî ðàâíî ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó âñåõ åå çíà÷åíèé
(ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîèçâåäåíî n èñïûòàíèé, â êîòîðûõ äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ïðèíÿëà çíà÷åíèÿ õ1,
, õk ñîîòâåòñòâåííî m1, , mk ðàç, òàê, ÷òî m1 + + mk = n. Òîãäà ñðåäíåå
àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ çíà÷åíèé, ïðèíÿòûõ âåëè÷èíîé Õ, âûðàçèòñÿ ðàâåíñòâîì
x m + x 2 m 2 + ... + x k m k
m
m
m
, èëè x ñð = x 1 1 + x 2 2 + ... + x k k .
x ñð = 1 1
n
n
n
n
mi
ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíîé ÷àñòîòîé ñîáûòèÿ
Òàê êàê êîýôôèöèåíò
n
«âåëè÷èíà Õ ïðèíÿëà çíà÷åíèå õi» (i = 1, 2, , k), òî
x ñð = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x k p k .
Èç ñòàòèñòè÷åñêîãî îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé ð i* ≈ p i (i = 1, 2, ..., k ). Ïîýòîìó
x ñð ≈ x 1 p 1 + x 2 p 2 + K + x k p k èëè x ñð ≈ M ( X ).
Ï ð è ì å ÷ à í è å.  ñâÿçè ñ òîëüêî ÷òî óñòàíîâëåííîé òåîðåìîé ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàþò òàêæå åå ñðåäíèì çíà÷åíèåì.
2. Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. 1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû Ñ ðàâíî ýòîé
âåëè÷èíå.
Ïîñòîÿííóþ Ñ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó, ïðèíèìàþùóþ ëèøü îäíî çíà÷åíèå Ñ ñ âåðîÿòíîñòüþ ð = 1.
Ïîýòîìó M (C ) = C ⋅ 1 = C .
451
2. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ò. å. M (CX ) = CM ( X ).
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (1), èìååì:
M (CX ) = Cx 1 p 1 + Cx 2 p 2 + ... + Cx n p n =
= C ( x 1 p 1 + x 2 p 2 + ... + x n p n ) = CM ( X ).
 äàëüíåéøåì ÷àñòî ðàäè êðàòêîñòè âìåñòî ñëîâ «ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå» áóäåì ïèñàòü ÌÎ.
Ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà (3—4) ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà (äîêàçàòåëüñòâà ñì. â [4]).
3. ÌÎ ñóììû äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y ðàâíî ñóììå èõ ÌÎ:
M ( X + Y ) = M ( X ) + M (Y ).
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êàæäîé èç íèõ íå çàâèñèò îò òîãî,
êàêîå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ïðèíÿëà äðóãàÿ âåëè÷èíà.
Ïðèìåðîì äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò ñëóæèòü
ñóììû âûèãðûøåé ïî êàæäîìó èç äâóõ áèëåòîâ ïî äâóì ðàçëè÷íûì äåíåæíî-âåùåâûì ëîòåðåÿì. Çäåñü ñòàâøèé èçâåñòíûì ðàçìåð âûèãðûøà ïî áèëåòó îäíîé ëîòåðåè íå âëèÿåò íà îæèäàåìûé ðàçìåð âûèãðûøà
è ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó âåðîÿòíîñòü ïî áèëåòó äðóãîé ëîòåðåè. Íåñêîëüêî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè çàêîí
ðàñïðåäåëåíèÿ ëþáîé èç íèõ íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïðèíÿëè îñòàëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
4. ÌÎ ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé: Ì(ÕY) = Ì(Õ)Ì(Y).
Ñëåäñòâèåì ñâîéñòâ 2 è 3 ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî 5.
5. ÌÎ ðàçíîñòè äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y ðàâíî ðàçíîñòè èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé: M ( X − Y ) = M ( X ) − M (Y ).
Ï ð è ì å ÷ à í è å 1. Ñâîéñòâà 3 è 4 èìåþò ìåñòî è äëÿ ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Ï ð è ì å ÷ à í è å 2. Åñëè ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû Õ áåñêîíå÷íî, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ì(Õ) îïðåäåëÿåòñÿ ñóììîé ÷èñëî∞
âîãî ðÿäà M (X ) = ∑ x k pk ïðè óñëîâèè, ÷òî ýòîò ðÿä àáñîëþòíî ñõîäèòñÿ (â ïðîòèâíîì
k =1
ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ì(Õ) íå ñóùåñòâóåò). Ïåðå÷èñëåííûå
ñâîéñòâà ÌÎ îñòàþòñÿ â ñèëå (ñì. [5]è äëÿ òàêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí).
Ï ð è ì å ð. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z = X + 2Y, åñëè
èçâåñòíû ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y: Ì(Õ) = 5, Ì(Y) = 3. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà 3 è 2 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ïîëó÷èì:
M (Z ) = M (X + 2Y ) = M (X ) + M (2Y ) = M (X ) + 2 M (Y ) = 5 + 2 ⋅ 3 = 11.
452
§ 18.6. Äèñïåðñèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
1. Ïîíÿòèå äèñïåðñèè. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå íå äàåò ïîëíîé õàðàêòåðèñòèêè çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ïîêàæåì
ýòî íà ïðèìåðå. Ïóñòü çàäàíû äâå äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è
Y ñâîèìè çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ:
Õ
−2
0
2
Y
− 100
0
100
Ð
0,4
0,2
0,4
Ð
0,3
0,4
0,3
Íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ÌÎ âåëè÷èí Õ è Y îäèíàêîâû, âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí Õ è Y «ðàçáðîñàíû» èëè «ðàññåÿíû» îêîëî ñâîèõ ÌÎ
ïî-ðàçíîìó: âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû Õ ðàñïîëîæåíû ãîðàçäî
áëèæå ê ñâîåìó ÌÎ, ÷åì çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû Y.
Èç ñêàçàííîãî âûòåêàåò íåîáõîäèìîñòü ââåäåíèÿ íîâîé ÷èñëîâîé
õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïî êîòîðîé ìîæíî ñóäèòü î «ðàññåÿíèè» âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Ïóñòü çàäàíà äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ñ ïîìîùüþ òàáëèöû
(ñì. § 18.4, ï. 2).
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (èëè ïðîñòî îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Õ) íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ − Ì(Õ).
Âû÷èñëèì òåïåðü ÌÎ îòêëîíåíèÿ X − M(X). Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè 5
è 1 (§ 18.5, ï. 2), ïîëó÷èì: M [X − M ( X )] = M ( X ) − M ( X ) = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îòêëîíåíèÿ X − M(X) ðàâíî
íóëþ: M [X − M ( X )] = 0.
Èç òåîðåìû âèäíî, ÷òî ñ ïîìîùüþ îòêëîíåíèÿ X − M(X) íå óäàåòñÿ
îïðåäåëèòü ñðåäíåå îòêëîíåíèå âîçìîæíûõ çíà÷åíèé âåëè÷èíû Õ îò åå
ÌÎ, ò. å. ñòåïåíü ðàññåÿíèÿ âåëè÷èíû Õ. Îäíàêî ìîæíî îñâîáîäèòüñÿ
îò ýòîãî íåäîñòàòêà, åñëè ðàññìàòðèâàòü êâàäðàò îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ.
Çàïèøåì çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X − M(X))2:
(X − M(X))
ð
2
2
(õ1 − M(X)) (õ2 − M(X))
ð1
ð2
2
(õn − M(X))2
ðn
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Äèñïåðñèåé D(Õ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ íàçûâàåòñÿ ÌÎ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ îò
åå ÌÎ: D( X ) = M [( X − M ( X )) 2 ].
453
Èç çàêîíà ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû [X − M ( X )] 2 ñëåäóåò, ÷òî
D( X ) = [x 1 − M ( X )] 2 p 1 + [x 2 − M ( X )] 2 p 2 + ... + [x n − M ( X )] 2 p n .
2. Ñâîéñòâà äèñïåðñèè äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
1. Äèñïåðñèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ðàâíà ðàçíîñòè ìåæäó
ÌÎ êâàäðàòà âåëè÷èíû Õ è êâàäðàòîì åå ÌÎ:
D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ).
Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ÌÎ, èìååì:
D( X ) = M [( X − M ( X )) 2 ] = M [X 2 − 2 XM ( X ) + M 2 ( X )] =
= M ( X 2 ) − 2M ( X ) ⋅ M ( X ) + M 2 ( X ) =
= M ( X 2 ) − 2M 2 ( X ) + M 2 ( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ).
Ñ ïîìîùüþ ýòîãî ñâîéñòâà è ñâîéñòâà ÌÎ óñòàíàâëèâàþòñÿ ñëåäóþùèå ñâîéñòâà.
2. Äèñïåðñèÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíû Ñ ðàâíà íóëþ.
3. Ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê äèñïåðñèè, âîçâîäÿ åãî â êâàäðàò: D(CX ) = C 2 D( X ).
4. Äèñïåðñèÿ ñóììû äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà ñóììå
äèñïåðñèé ýòèõ âåëè÷èí: D( X + Y ) = D( X ) + D(Y ).
Ìåòîäîì ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ýòî ñâîéñòâî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
è íà ñëó÷àé ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ.
Ñëåäñòâèåì ñâîéñòâ 3 è 4 ÿâëÿåòñÿ ñâîéñòâî 5.
5. Äèñïåðñèÿ ðàçíîñòè äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y ðàâíà
ñóììå èõ äèñïåðñèé: D(X − Y) = D(X) + D(Y).
Ï ð è ì å ð. Äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ðàâíà 3. Íàéòè äèñïåðñèþ ñëåäóþùèõ âåëè÷èí: à) − 3Õ; á) 4Õ + 3.
Ñîãëàñíî ñâîéñòâàì 2, 3 è 4 äèñïåðñèè èìååì:
à) D( − 3X) = 9D(X) = 9 · 3 = 27;
á) D(4X + 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 · 3 = 48.
3. Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ(Õ)
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ íàçûâàåòñÿ êîðåíü êâàäðàòíûé èç åå äèñïåðñèè: σ(Õ) = D( X ).
Ââåäåíèå ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ îáúÿñíÿåòñÿ òåì,
÷òî äèñïåðñèÿ èçìåðÿåòñÿ â êâàäðàòíûõ åäèíèöàõ îòíîñèòåëüíî ðàçìåðíîñòè ñàìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íàïðèìåð, åñëè âîçìîæíûå
çíà÷åíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èçìåðÿþòñÿ â ìåòðàõ, òî åå
äèñïåðñèÿ èçìåðÿåòñÿ â êâàäðàòíûõ ìåòðàõ.  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íóæíî
454
èìåòü ÷èñëîâóþ õàðàêòåðèñòèêó ðàññåÿíèÿ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé â òîé
æå ðàçìåðíîñòè, ÷òî è ñàìà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, è èñïîëüçóåòñÿ ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
Ï ð è ì å ð. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ — ÷èñëî î÷êîâ, âûïàâøèõ ïðè îäíîêðàòíîì áðîñàíèè èãðàëüíîé êîñòè. Îïðåäåëèòü σ(Õ).
Èìååì:
1
1
1
1
1
1
Ì (Õ ) = 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ + 4 ⋅ + 5 ⋅ + 6 ⋅ = 3,5;
6
6
6
6
6
6
1
2 1
2 1
D (X ) = (1 − 3,5) ⋅ + (2 − 3,5) ⋅ + (3 − 3,5)2 ⋅ +
6
6
6
35
2 1
2 1
2 1
+(4 − 3,5) ⋅ + (5 − 3,5) ⋅ + (6 − 3,5) ⋅ = ;
6
6
6 12
σ(X ) =
35
≈ 1,71.
12
4. Íîðìèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííîé, åñëè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî 0, à äèñïåðñèÿ 1:
Ì (Y ) = 0, D(Y ) = 1.
Îò ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ìîæíî ïåðåéòè ê íîðìèðîâàííîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Y ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ:
Õ −m
,
σ
ãäå m — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âåëè÷èíû Õ, à σ — åå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
 ñàìîì äåëå, â ñèëó ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (§ 18.5,
ï. 2) è äèñïåðñèè (§ 18.6, ï. 2) èìååì:
1
1
1
M (Y ) = M ( X − m) = (M ( X ) − m) = (m − m) = 0,
σ
σ
σ
1
1
1
D(Y ) = 2 D( X − m) = 2 (D( X ) + D(m)) = 2 ⋅ σ 2 = 1.
σ
σ
σ
Y =
§ 18.7. Îñíîâíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
1. Áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ n èñïûòàíèé,
ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ À â êàæäîì èñïûòàíèè ðàâíà ð
è íå çàâèñèò îò èñõîäà äðóãèõ èñïûòàíèé (íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ).
Òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èñïûòàíèé íàçûâàåòñÿ ñõåìîé Áåðíóëëè. Òàê
êàê âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À â îäíîì èñïûòàíèè ðàâíà ð, òî
âåðîÿòíîñòü åãî íåíàñòóïëåíèÿ ðàâíà q = 1 − ð.
455
 óñëîâèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè íàéäåì âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè n èñïûòàíèÿõ ñîáûòèå À íàñòóïèò m ðàç (m ≤ n).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîáûòèå À íàñòóïèëî â ïåðâûõ m èñïûòàíèÿõ m
ðàç è íå íàñòóïèëî âî âñåõ ïîñëåäóþùèõ èñïûòàíèÿõ. Ýòî ñëîæíîå ñîáûòèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:
AA … A A A … A.
1
424
3 1424
3
m ðàç
n −m ðàç
Îáùåå ÷èñëî ñëîæíûõ ñîáûòèé, â êîòîðûõ ñîáûòèå À íàñòóïàåò m ðàç,
ðàâíî ÷èñëó ñî÷åòàíèé èç n ýëåìåíòîâ ïî m ýëåìåíòîâ. Ïðè ýòîì âåðîÿòíîñòü êàæäîãî ñëîæíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà ðmqn m. Òàê êàê ýòè ñëîæíûå
ñîáûòèÿ ÿâëÿþòñÿ íåñîâìåñòèìûìè, òî âåðîÿòíîñòü èõ ñóììû ðàâíà
ñóììå èõ âåðîÿòíîñòåé (§ 18.2, ï. 1). Èòàê, åñëè Ðn(m) åñòü âåðîÿòíîñòü
ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ À â n èñïûòàíèÿõ m ðàç, òî
Ð n (m) = C nm p m q n −m
(1)
èëè
Ð n (m) =
n!
p m q n −m .
m!(n − m)!
(1′)
Ôîðìóëà (1) ((1′)) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áåðíóëëè.
Ï ð è ì å ð. Ïóñòü âñõîæåñòü ñåìÿí äàííîãî ðàñòåíèÿ ñîñòàâëÿåò 90%. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èç ÷åòûðåõ ïîñåÿííûõ ñåìÿí âçîéäóò: à) òðè; á) íå ìåíåå òðåõ.
à)  äàííîì ñëó÷àå n = 4, m = 3, p = 0,9, q = 1 − p = 0,1. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó Áåðíóëëè (1′),
4!
ïîëó÷èì: P4 (3) =
(0,9)3 ⋅ 0,1 = 0,2916.
3 !1!
á) Èñêîìîå ñîáûòèå À ñîñòîèò â òîì, ÷òî èç ÷åòûðåõ ñåìÿí âçîéäóò èëè òðè, èëè ÷åòûðå. Ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P (A) = P4 (3) + P4 (4). Íî P4 (4) = (0,9)4 = 0,6561. Ïîýòîìó P (A) = 0,2916 + 0,6561 = 0,9477.
Ñíîâà ðàññìîòðèì n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé, â êàæäîì èç êîòîðûõ
íàñòóïàåò ñîáûòèå À ñ âåðîÿòíîñòüþ ð. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Õ ñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó, ðàâíóþ ÷èñëó ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ À â n èñïûòàíèÿõ.
Ïîíÿòíî, ÷òî ñîáûòèå À ìîæåò âîîáùå íå íàñòóïèòü, íàñòóïèòü
îäèí ðàç, äâà ðàçà è ò. ä. è, íàêîíåö, íàñòóïèòü n ðàç. Ñëåäîâàòåëüíî,
âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè âåëè÷èíû Õ áóäóò ÷èñëà 0, 1, 2, , n − 1, n.
Ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè (1) ìîæíî íàéòè âåðîÿòíîñòè ýòèõ çíà÷åíèé:
Ðn(0) = qn,
Pn (1) = C n1 q n −1 p,
. . . . . . . . . . .
Pn (n ) = p n .
456
Çàïèøåì ïîëó÷åííûå äàííûå â âèäå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ:
Õ
0
P
q
n
1
m
n
C n1 pq n −1
C nm p m q n − m
p
n
Ïîñòðîåííûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ íàçûâàåòñÿ çàêîíîì áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Íàéäåì Ì(Õ). Î÷åâèäíî, ÷òî Õi — ÷èñëî ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ À â êàæäîì èñïûòàíèè — ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñî ñëåäóþùèì ðàñïðåäåëåíèåì:
Õi
0
1
Ði
q
p
Ïîýòîìó Ì(Õi) = 0 · q + 1 · ð = ð. Íî òàê êàê Õ = Õ1 + Õ2 + + Õn, òî Ì(Õ ) = ïð.
Íàéäåì äàëåå D(X) è σ(Õ). Òàê êàê âåëè÷èíà X i2 èìååì ðàñïðåäåëåíèå
2
X i2
02
12
Ði
q
p
2
òî Ì(X i2 ) = 0 · q + 1 · ð = ð. Ïîýòîìó
2
2
D(Xi) = Ì(X i2 ) − Ì (Xi) = ð − ð = ð(1 − ð) = ðq.
Íàêîíåö, â ñèëó íåçàâèñèìîñòè âåëè÷èí Õ1, Õ2,
Îòñþäà
D(X) = D(X1) + D(X2) +
, Õ n,
+ D(Xn) = ïpq.
σ( X ) = ïpq .
2. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ ñåðèÿ n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé (n = 1, 2, 3, ), ïðè÷åì âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ äàííîãî
ñîáûòèÿ À â ýòîé ñåðèè Ð(À) = ðn > 0 çàâèñèò îò åå íîìåðà n è ñòðåìèòñÿ ê
íóëþ ïðè n → ∞ (ïîñëåäîâàòåëüíîñòü «ðåäêèõ ñîáûòèé»). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ êàæäîé ñåðèè ñðåäíåå çíà÷åíèå ÷èñëà ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ
µ
À ïîñòîÿííî, ò. å. ïð n = µ = const. Îòñþäà ð n = .
n
Èñõîäÿ èç ôîðìóëû Áåðíóëëè (1), äëÿ âåðîÿòíîñòè ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ À â n-é ñåðèè ðîâíî m ðàç èìååì âûðàæåíèå
457
m
 µ  µ
Pn (m) = C nm p mn (1 − p n ) n −m = C nm    1 − 
 n 
n
n −m
.
Ïóñòü m ôèêñèðîâàíî. Òîãäà
 µ
lim C nm  
π→ ∞
 n
m
= lim
n(n − 1)(n − 2) … (n − (m − 1))
m! n
π→ ∞
m
µm =
µm
1
2   m − 1  µ m
 
=
lim  1 1 −   1 −  …  1 −
;
 =
m! π → ∞   n   n  
n   m!
 µ
lim  1 − 
π → ∞
n
n −m
= e −µ
(çäåñü èñïîëüçîâàí âòîðîé çàìå÷àòåëüíûé ïðåäåë; § 7.3, ï. 2). Ïîýòîìó
lim Pn (m) =
n→ ∞
µ m −µ
e .
m!
Åñëè n âåëèêî, òî â ñèëó îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà (§ 7.3, ï.1) âåðîÿòíîñòü
µ m −µ
Pn (m) ñêîëü óãîäíî ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò
e . Îòñþäà ïðè áîëüøèõ n
m!
äëÿ èñêîìîé âåðîÿòíîñòè Pn (m) èìååì ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó Ïóàññîíà (äëÿ ïðîñòîòû çíàê ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà îïóùåí)
Pn (m) =
µ m −µ
e , ãäå µ = ïð n .
m!
Ï ð è ì å ð. Çàâîä îòïðàâèë íà áàçó 500 äîáðîêà÷åñòâåííûõ èçäåëèé. Âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî â ïóòè èçäåëèå ïîâðåäèòñÿ, ðàâíà 0,002. Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íà áàçó
ïðèáóäóò 3 íåãîäíûõ èçäåëèÿ.
Ïî óñëîâèþ n = 500, pn = 0,002, m = 3. Ïîýòîìó µ = 500 · 0,002 = 1 è èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü
P500 (3) =
1 −1
e ≈ 0,06.
3!
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíó Ïóàññîíà, åñëè ýòà âåëè÷èíà çàäàíà òàáëèöåé:
Õ
Ð
0
å
−µ
1
2
3
µå −µ
µ 2 −µ
å
2!
µ 3 −µ
å
3!
ãäå µ — ôèêñèðîâàííîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (ðàçíûì çíà÷åíèÿì µ îòâå÷àþò ðàçíûå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà).
458
Íàéäåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå äèñêðåòíîé âåëè÷èíû Õ, ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Ïóàññîíà. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (§ 18.5, ï. 2, ïðèìå÷àíèå 2) èìååì:
∞
Ì (Õ ) = ∑ k
k =0
∞
µ k −µ
µ k −1
e = µe −µ ∑
=µe −µ e µ = µ.
k!
k =1 (k − 1)!
Íàéäåì äàëåå D(X). Ñíà÷àëà íàéäåì M(X 2):
∞
Ì (Õ 2 ) = ∑ k 2
k =0
∞
µ k −µ
µ k −1
=
e = µe −µ ∑ k
k!
k =1 (k − 1)!
 ∞ µ k −2

+ e µ  = µe −µ (µe µ + e µ ) = µ 2 + µ.
= µe −µ  µ ∑
 k = 2 (k − 2)!

Òåïåðü ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå (§ 18.6, ï. 2)
D( X ) = M ( X 2 ) − M 2 ( X ) = µ 2 + µ − µ 2 = µ.
3. Ëîêàëüíàÿ è èíòåãðàëüíàÿ ïðåäåëüíûå òåîðåìû Ëàïëàñà. Åñëè ÷èñëî èñïûòàíèé n âåëèêî, òî âû÷èñëåíèÿ ïî ôîðìóëå Áåðíóëëè ñòàíîâÿòñÿ çàòðóäíèòåëüíûìè. Ëàïëàñ ïîëó÷èë âàæíóþ ïðèáëèæåííóþ
ôîðìóëó äëÿ âåðîÿòíîñòè Pn(m) ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A ðîâíî m ðàç, åñëè
n äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî. Èì æå ïîëó÷åíà ïðèáëèæåííàÿ ôîðìóëà
l
è äëÿ ñóììû âèäà ∑ Pn (m).
m=k
Ë î ê à ë ü í à ÿ ï ð å ä å ë ü í à ÿ ò å î ð å ì à Ë à ï ë à ñ à (äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [5]). Ïóñòü ð = Ð(À) — âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À, ïðè÷åì
0 < ð < 1. Òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â óñëîâèÿõ ñõåìû Áåðíóëëè ñîáûòèå
À ïðè n èñïûòàíèÿõ ïîÿâèòñÿ ðîâíî m ðàç, âûðàæàåòñÿ ïðèáëèæåííîé
ôîðìóëîé Ëàïëàñà
Pn (m) ≈
ãäå q = 1 − p, ϕ( x ) =
1
e
−
 m − np 
,
ϕ
npq  npq 
1
(2)
x2
2
.
2π
Äëÿ ôóíêöèè ϕ(õ) èìååòñÿ òàáëèöà (ñì. ïðèëîæåíèå 3) åå çíà÷åíèé
äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé õ (ôóíêöèÿ ϕ(õ) ÷åòíàÿ).
Ï ð è ì å ð 1. Âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ öåëè ñòðåëêîì ïðè îäèíî÷íîì âûñòðåëå ðàâíà
ð = 0,2. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïðè 100 âûñòðåëàõ öåëü áóäåò ïîðàæåíà ðîâíî 20 ðàç?
Çäåñü ð = 0,2, q = 0,8, n = 100 è m = 20. Îòñþäà npq = 100 ⋅ 0,2 ⋅ 0,8 = 4, è, ñëåäîâàòåëüíî, t =
m − np 20 − 100 ⋅ 0,2
1
=
= 0. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ϕ(0) =
≈ 0,40, èç ôîðìóëû (2) ïî4
npq
2π
459
ëó÷àåì: P100 (20 ) ≈ 0,40 ⋅
1
1
≈ 0,40 ìîæíî
= 0,10 (äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà
4
2π
èñïîëüçîâàòü êàëüêóëÿòîð).
Ïåðåéäåì ê èíòåãðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå Ëàïëàñà. Ïîñòàâèì
ñëåäóþùèé âîïðîñ: êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â óñëîâèÿõ ñõåìû
Áåðíóëëè ñîáûòèå À, èìåþùåå âåðîÿòíîñòü P(A) = p (0< p< 1), ïðè n èñïûòàíèÿõ (êàê è ïðåæäå, ÷èñëî èñïûòàíèé âåëèêî) ïîÿâèòñÿ íå ìåíåå k
ðàç è íå áîëåå l ðàç? Ýòó èñêîìóþ âåðîÿòíîñòü îáîçíà÷èì ÷åðåç Pn(k, l).
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ íåñîâìåñòèìûõ
ñîáûòèé (§ 18.2, ï. 1) ïîëó÷èì:
Pn (k , l ) =
l
∑ P (m).
(3)
n
m=k
Óñòàíîâèì ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó Ëàïëàñà äëÿ ïîäñ÷åòà ñóììû
(3) ïðè áîëüøèõ m è n. Èñïîëüçóÿ ëîêàëüíóþ òåîðåìó Ëàïëàñà, ñ ó÷åòîì
(3) ïðèáëèæåííî áóäåì èìåòü:
Pn (k , l ) ≈
ãäå
xm =
m − np
npq
1
l
∑
npq
m=k
1
ϕ( x ) =
∆x m = x m +1 − x m =
(4)
, m = k , k + 1, …, l
è
Äàëåå â ñèëó (4) èìååì:
ϕ( x m ).
2π
e
−
x2
2
(m + 1) − np
è ïîòîìó
Pn (k , l ) ≈
−
npq
l
∑ ϕ( x
m=k
m
.
m − nq
npq
=
1
npq
,
(5)
)∆x m .
Çäåñü ñóììà ñïðàâà ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé ñóììîé äëÿ ôóíêöèè ϕ(x)
íà îòðåçêå xk ≤ x ≤ xi, ïðè÷åì, êàê ñëåäóåò èç (5), ïðè n → ∞ ∆xm → 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè n → ∞ ïðåäåë óêàçàííîé èíòåãðàëüíîé ñóììû åñòü îïxl
ðåäåëåííûé èíòåãðàë ∫ ϕ( x )dx .
xk
Ïîýòîìó
xl
Pn (k ,l ) ≈ ∫ ϕ( x )dx =
xk
460
1
xl
∫e
2π xk
−
x2
2
dx ,
(6)
ãäå
xk =
k − np
npq
, xl =
l − np
npq
(7)
.
Ýòî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå èíòåãðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû Ëàïëàñà.
Ââåäåì ôóíêöèþ
x
1
Φ( x ) =
2π
∫e
−
t2
2
(8)
dt,
0
íàçûâàåìóþ ôóíêöèåé Ëàïëàñà èëè èíòåãðàëîì âåðîÿòíîñòåé. Î÷åâèäíî,
Ô(õ) åñòü ïåðâîîáðàçíàÿ äëÿ ôóíêöèè ϕ(õ). Òàê êàê ϕ(õ) > 0 â ( − ∞; + ∞),
òî Ô(õ) — âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ â ýòîì èíòåðâàëå (ñì. § 8.7, ï. 1, òåîðåìà 2). Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Íüþòîíà — Ëåéáíèöà (§ 9.7, ï. 2) èç ôîðìóëû (6) áóäåì èìåòü:
(9)
Pn (k ,l ) ≈ Φ( x l ) − Φ( x k ).
Ýòî èíòåãðàëüíàÿ ôîðìóëà Ëàïëàñà.
1
−
x2
2
∫ e dx íå áå2π
ðåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Ïîýòîìó äëÿ ôóíêöèè (8) ñîñòàâëåíà
òàáëèöà (ñì. ïðèëîæåíèå 4) åå çíà÷åíèé äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé
õ, òàê êàê Ô(0) = 0 è ôóíêöèÿ Ô(õ) íå÷åòíàÿ:
Êàê èçâåñòíî (ñì. § 9.5, ïðèìå÷àíèå), èíòåãðàë
Φ( − x ) =
1
2π
−x
∫e
−
t2
2
0
dt = −
1
2π
x
∫e
−
z2
2
dz = − Φ( x )(t = − z ,dt = −dz).
0
Ï ð è ì å ð 2. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èçäåëèå íå ïðîøëî ïðîâåðêó ÎÒÊ, ðàâíî 0,2.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäè 400 ñëó÷àéíî îòîáðàííûõ èçäåëèé îêàæóòñÿ íåïðîâåðåííûìè îò 70 äî 100 èçäåëèé.
Çäåñü n = 400, k = 70, l = 100, p = 0,2, q = 0,8. Ïîýòîìó â ñèëó ðàâåíñòâ (7) õk = − 1,25, õl =
= 2,5 è ñîãëàñíî ôîðìóëå (9)
P400 (70,100) ≈ Φ(2,5) − Φ(−1,25) = Φ(2,5) + Φ(1,25) ≈ 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
§ 18.8. Íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
1. Èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â îòëè÷èå îò äèñêðåòíîé íåëüçÿ ïîñòðîèòü òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó íåïðåðûâíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èçó÷àþòñÿ
äðóãèì ñïîñîáîì, êîòîðûé ìû ñåé÷àñ ðàññìîòðèì.
Ïóñòü Õ — íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè èç íåêîòîðîãî èíòåðâàëà ( a; b) è õ — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ïîä
âûðàæåíèåì Õ < õ ïîíèìàåòñÿ ñîáûòèå «ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ïðèíÿëà
461
çíà÷åíèå, ìåíüøåå õ». Âåðîÿòíîñòü ýòîãî ñîáûòèÿ Ð(Õ < õ) åñòü íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííîé õ:
F(õ) = Ð(Õ < õ).
Î ï ð å ä å ë å í è å. Èíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ èëè êðàòêî ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ F(õ), ðàâíàÿ âåðîÿòíîñòè òîãî, ÷òî Õ ïðèíÿëà çíà÷åíèå,
ìåíüøåå õ :
F(õ) = Ð(Õ < õ).
(1)
Îòìåòèì, ÷òî èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîâåðøåííî
òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ è äëÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Óêàæåì ñâîéñòâà, êîòîðûìè îáëàäàåò ôóíêöèÿ F(õ).
1. 0 ≤ F ( õ ) ≤ 1.
Ýòî ñâîéñòâî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî F(õ) åñòü âåðîÿòíîñòü.
2. F(õ) — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ, ò. å. åñëè õ1 < õ2, òî
F(õ1) ≤ F(õ2).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî õ1 < õ2. Ñîáûòèå «Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, ìåíüøåå õ2» ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé: «Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, ìåíüøåå õ1» è «Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâàì õ1 ≤ Õ < õ2. Îáîçíà÷èì âåðîÿòíîñòè
ïîñëåäíèõ äâóõ ñîáûòèé ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç Ð(Õ < õ1) è Ð(õ1 ≤ Õ < õ2).Ïî
òåîðåìå î âåðîÿòíîñòè ñóììû äâóõ íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé èìååì:
Ð(Õ < õ2) = Ð(Õ < õ1) + Ð(õ1 ≤ Õ < õ2),
îòêóäà ñ ó÷åòîì (1)
Ð(õ1 ≤ Õ < õ2) = F(õ2) − F(õ1).
(2)
Òàê êàê âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ åñòü ÷èñëî íåîòðèöàòåëüíîå,
òî Ð(õ1 ≤ Õ < õ2) ≥ 0, è, çíà÷èò, F(õ2) ≥ F(õ1).
Ôîðìóëà (2) óòâåðæäàåò ñâîéñòâî 3.
3. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ â ïîëóèíòåðâàë [à; b)
ðàâíà ðàçíîñòè ìåæäó çíà÷åíèÿìè èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â
ïðàâîì è ëåâîì êîíöàõ èíòåðâàëà (à; b):
Ð(à ≤ Õ < b) = F(b) − F(a).
(3)
Ï ð è ì å ð. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ çàäàíà èíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ:
ïðè x ≤ −1,
0
 õ 1
F (x ) =  +
ïðè − 1 < x ≤ 3,
4 4
ïðè x > 3.
1
462
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, ïðèíàäëåæàùåå
õ 1
ïîëóèíòåðâàëó [0; 2). Òàê êàê íà ïîëóèíòåðâàëå [0; 2) F (x ) = + , òî Ð(0 ≤ Õ < 2) = F(2) −
4 4
1 1 1 1
− F(0) = + − = .
2 4 4 2
 äàëüíåéøåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Õ áóäåì íàçûâàòü íåïðåðûâíîé,
åñëè íåïðåðûâíà åå èíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F(õ).
4. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ïðèìåò
êàêîå-ëèáî çàðàíåå çàäàííîå çíà÷åíèå, ðàâíà íóëþ:
Ð(Õ = õ1) = 0.
(4)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î 2. Ïîëîæèâ â ôîðìóëå (2) õ2 = õ1 + ∆õ, áóäåì
èìåòü:
Ð(õ1 ≤ Õ < õ1 + ∆õ) = F(õ1 + ∆õ) − F(õ1).
(5)
Òàê êàê F(õ) — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî, ïåðåéäÿ â (5) ê ïðåäåëó ïðè
∆õ > 0, ïîëó÷èì èñêîìîå ðàâåíñòâî (4).
Èç ñâîéñòâà 4 ñëåäóåò ñâîéñòâî 5.
5. Âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â èíòåðâàë, ñåãìåíò è ïîëóèíòåðâàë ñ îäíèìè è òåìè æå êîíöàìè îäèíàêîâû:
Ð(à < Õ < b) = Ð(à ≤ Õ ≤ b) = Ð(à ≤ Õ < b) = Ð(à < Õ ≤ b).
(6)
6. Åñëè âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ïðèíàäëåæàò èíòåðâàëó (à; b), òî: 1) F(õ) = 0 ïðè õ ≤ à; 2) F(õ) = 1 ïðè õ ≥ b.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. 1) Ïóñòü õ1 ≤ à. Òîãäà ñîáûòèå Õ < õ1 íåâîçìîæíî è, ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü åãî ðàâíà íóëþ. 2) Ïóñòü õ2 ≥b. Òîãäà ñîáûòèå Õ < õ2 äîñòîâåðíî è, ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü åãî ðàâíà 1.
Ñ ë å ä ñ ò â è å. Åñëè âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ðàñïîëîæåíû íà âñåé ÷èñëîâîé îñè, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðåäåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ:
F ( −∞) = lim F ( x ) = 0, F ( +∞) = lim F ( x ) = 1.
x → −∞
x → +∞
2. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Äèôôåðåíöèàëüíîé
ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ (èëè åå
ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè) íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ f ( x ), ðàâíàÿ ïðîèçâîäíîé èíòåãðàëüíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: f ( x ) = F ′(õ).
Òàê êàê F(õ) — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ (ï. 1), òî f ( x )≥ 0 (ñì. § 8.7, ï. 1).
Ò å î ð å ì à. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ â èíòåðâàë (à; b) ðàâíà îïðåäåëåííîìó èíòåãðàëó îò åå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè, âçÿòîìó â ïðåäåëàõ îò à äî b:
b
Ð(à < Õ < b) = ∫ f ( x )dx .
(7)
à
463
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê F(õ) ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé äëÿ
f ( x ), òî íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Íüþòîíà — Ëåéáíèöà (§ 9.7, ï. 2)
èìååì:
b
∫ f ( x )dx = F (b) − F (a ).
(8)
a
Òåïåðü ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (3), (6), (8) ïîëó÷èì èñêîìîå ðàâåíñòâî.
Èç ðàâåíñòâà (7) ñëåäóåò, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêè (ñì. § 9.6, ï. 2) âåðîÿòíîñòü Ð(à < Õ < b ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ó = f ( x ) è îòðåçêàìè ïðÿìûõ ó = 0, õ = à è õ = b.
Ñ ë å ä ñ ò â è å.  ÷àñòíîñòè, åñëè f ( x ) — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ è êîíöû
èíòåðâàëà ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, òî
à
Ð(−à < Õ < à) = Ð(|Õ| < à) = 2 ∫ f ( x )dx .
(9)
0
Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå àíàëîãè÷íî ñëó÷àþ êîýôôèöèåíòîâ
Ôóðüå äëÿ ÷åòíîé ôóíêöèè (§ 10.4, ï. 4)
à
à
−à
0
∫ f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx.
Ï ð è ì å ð. Çàäàíà ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ:
x < 0,
0,

f (x ) = 2 x , 0 ≤ x ≤ 1,
0,
x > 1.

Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, ïðèíàäëåæàùåå
èíòåðâàëó (0,5; 1).
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (7) èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü
1
Ð(0,5 < Õ < 1) = 2 ∫ xdx = x 2
0, 5
1
0, 5
= 0,75.
Çàìåíÿÿ â ôîðìóëå (8) à íà − ∞ è b íà õ, ïîëó÷èì:
F ( x ) − F ( −∞) =
x
∫ f ( x )dx,
−∞
îòêóäà â ñèëó íàéäåííîãî âûøå ñëåäñòâèÿ (ï. 1)
F (x ) =
x
∫ f ( x )dx.
(10)
−∞
Ôîðìóëà (10) äàåò âîçìîæíîñòü îòûñêàòü èíòåãðàëüíóþ ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) ïî åå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè.
464
Îòìåòèì, ÷òî èç ôîðìóëû (10) è èç òîëüêî ÷òî îòìå÷åííîãî ñëåäñòâèÿ âûòåêàåò, ÷òî
+∞
∫ f ( x )dx = 1.
(11)
−∞
3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì (ÌÎ) íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ñ ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè f(õ) íàçûâàåòñÿ
âåëè÷èíà íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà (åñëè îí ñõîäèòñÿ):
Ì (Õ ) =
+∞
∫ õf ( x )dx.
(12)
−∞
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Äèñïåðñèåé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Õ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîòîðîé Ì(Õ) = à è ôóíêöèÿ f(õ) ÿâëÿåòñÿ
åå ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè, íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà (åñëè îí ñõîäèòñÿ):
+∞
D( Õ ) = ∫ ( x − a ) 2 f ( x )dx .
(13)
−∞
Ìîæíî ïîêàçàòü (ñì. [5]), ÷òî ÌÎ è äèñïåðñèÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èìåþò òå æå ñâîéñòâà, ÷òî è ÌÎ è äèñïåðñèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Äëÿ íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå σ(Õ) îïðåäåëÿåòñÿ, êàê è äëÿ äèñêðåòíîé âåëè÷èíû, ôîðìóëîé σ(Õ) = D( X ).
Ï ð è ì å ð. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ çàäàíà ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè:
0, x < 0,
 x
f (x ) =  , 0 ≤ x ≤ 2 ,
2
0, x > 2.
Îïðåäåëèòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå âåëè÷èíû Õ.
Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (12) è (13) èìååì:
M (X ) =
+∞
∫ xf (x )dx =
−∞
+∞
2
12 2
x3
x dx =
∫
20
6
2
2
0
4
= ,
3
2
4
4 1


D (Õ ) = ∫  x −  f (x )dx = ∫  x − 
xdx =


3
3 2
0
−∞
=
2
1  3 8 2 16 
2
 x − x + x  dx =
2 ∫0 
3
9 
9
465
è, íàêîíåö,
2
≈ 0,47
3
(äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïîñëåäíåãî ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàëüêóëÿòîð).
σ(X ) = D (X ) =
4. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ , ïðèíèìàþùåé âñå ñâîè çíà÷åíèÿ èç
îòðåçêà [a;b], íàçûâàåòñÿ ðàâíîìåðíûì, åñëè åå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
íà ýòîì îòðåçêå ïîñòîÿííà, à âíå åãî ðàâíà íóëþ, ò. å.
0 ïðè x < a,

f ( x ) = c ïðè a ≤ x ≤ b,
0 ïðè x > b.

Îòñþäà
+∞
∫
−∞
b
f ( x )dx = ∫ cdx = c(b − a ).
(14)
a
Íî, êàê èçâåñòíî (ñì. ï. 2),
+∞
∫ f ( x )dx = 1.
(15)
−∞
1
. Ãðàôèê ôóíêb −a
öèè f ( x ) èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 202. Îïðåäåëèì èíòåãðàëüíóþ ôóíêÈç ñðàâíåíèÿ ðàâåíñòâ (14), (15) ïîëó÷àåì: c =
öèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F ( x ) =
x
∫ f ( x )dx.
−∞
Åñëè x < a, òî f ( x ) = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî F ( x ) = 0. Åñëè a ≤ x ≤ b, òî
x
1
x −a
1
dx =
.
f (x ) =
, è, ñëåäîâàòåëüíî, F ( x ) = ∫
b −a
b −a
b −a
a
Åñëè b < x, òî f(x) = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî,
F (x ) =
x
∫
−∞
b
1
dx = 1.
b −a
a
f ( x )dx = ∫
Ãðàôèê ôóíêöèè F(x) ïîêàçàí íà ðèñóíêå 203.
Ðèñ. 202
466
Ðèñ. 203
Íàêîíåö
M (X ) =
+∞
b
1
1
xdx = (a + b),.
2
b −a
a
∫ f ( x )xdx = ∫
−∞
+∞
2
b
(b − a ) 2
1 
1

.
 x − (a + b) dx =

12
2
b −a
a
D( X ) = ∫ ( x − M ( X )) 2 f ( x )dx = ∫
−∞
Ï ð è ì å ð. Íà îòðåçêå [a; b] íàóãàä óêàçûâàþò òî÷êó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ýòà òî÷êà îêàæåòñÿ â ëåâîé ïîëîâèíå îòðåçêà?
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Õ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ðàâíóþ êîîðäèíàòå âûáðàííîé òî÷êè.
Õ ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî (â ýòîì è ñîñòîèò òî÷íûé ñìûñë ñëîâ «íàóãàä óêàçûâàþò òî÷a +b
êó»), à òàê êàê ñåðåäèíà îòðåçêà [a; b] èìååò êîîðäèíàòó
, òî èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâ2
íà (ñì. ï. 2):
a + b

P a < X <
=

2 
a+ b
a+ b
2
2
a
a
1
1
dx = .
b −a
2
∫ f (x )dx = ∫
Âïðî÷åì, ýòîò ðåçóëüòàò áûë ÿñåí ñ ñàìîãî íà÷àëà.
5. Íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì
èëè çàêîíîì Ãàóññà, åñëè åå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè åñòü
f (x ) =
1
σ 2π
e
−
( x − a )2
2σ 2
,
(16)
ãäå σ è à — ïîñòîÿííûå, ïðè÷åì σ > 0.
Óáåäèìñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ (16) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (11) èç § 18.8
(ï. 2). Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåéäÿ â èíòåãðàëå
+∞
1
∫e
−
( x − a )2
2σ 2
ê íîâîé ïåðåìåííîé
t=
ïîëó÷èì èíòåãðàë
1
+∞
σ 2
−t
∫ e dt =
π −∞
+∞
2
x −a
(17)
dx
σ 2 π −∞
(18)
,
2
π
+∞
∫e
−t 2
dt.
0
π
(§ 12.1, ï. 6). Ñëåäîâàòåëüíî,
2
0
+∞
2
1
e −t dt = 1.
∫
π −∞
Çíà÷èò, èíòåãðàë (17) òîæå ðàâåí åäèíèöå.
2
Íî ∫ e −t dt =
(19)
467
Ïîêàæåì, ÷òî M (X ) = a, σ = D (X ), èëè σ 2 = D (X ).
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (12) ïîëó÷àåì:
+∞
1
M (X ) =
∫ xe
−
( x − a )2
2σ 2
dx .
σ 2 π −∞
Ââåäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ t ïî ôîðìóëå (18), ñ ó÷åòîì ðàâåíñòâà (19)
ïîëó÷èì:
+∞
2
1
M (X ) =
(a + tσ 2 )e −t σ 2dt =
∫
σ 2 π −∞
=
a
+∞
2
−t
∫ e dt +
σ 2
+∞
∫ te
−t 2
π −∞
π −∞
Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî
σ
dt = a −
2π
e −t
2
+∞
|
= a.
−∞
D( X ) = σ 2 .
Îòñþäà
σ = D (X ).
 § 8.8 (ïðèìåð 2) áûë ïîñòðî2
åí ãðàôèê ôóíêöèè y = e − x (êðèâàÿ Ãàóññà). Ñ ó÷åòîì ãðàôèêà
ýòîé ôóíêöèè ãðàôèê ôóíêöèè
(16) áóäåò èìåòü âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 204.
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ
ïàðàìåòðàìè à = 0 è σ = 1 íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè â ñëó÷àå òàêîãî ðàñïðåÐèñ. 204
äåëåíèÿ áóäåò
x2
1 −2
ϕ( x ) =
e .
2π
Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó.
Òîãäà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, ïðèíàäëåæàùåå èíòåðâàëó (α; β), ñîãëàñíî òåîðåìå èç ï. 2, áóäåò
P(α < X < β) =
1
β
∫e
−
( x − a )2
2σ 2
dx .
σ 2π α
x −a
Ñäåëàåì â ýòîì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëàãàÿ
= t. Òîãäà:
σ
x = a + σt, dx = σdt è
P(α < X < β) =
468
1
2π
β −a
σ
∫
α −a
σ
e
−
t2
2
dt,
1
x
∫e
−
t2
2
dt åñòü ïåðâîîáðàç2π 0
íàÿ äëÿ ϕ(x) (§ 18.7, ï. 3), è ôîðìóëû Íüþòîíà — Ëåéáíèöà (§ 9.7, ï. 2)
áóäåì èìåòü:
 β −α
 α −a
(20)
P(α < X < β) = Φ 
.
 − Φ
 σ 
 σ 
îòêóäà ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ôóíêöèÿ Φ( x ) =
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíóþ çàêîíó ñ
ïàðàìåòðàìèa = 30 è σ = 10.Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî Õ ïðèìåò çíà÷åíèå, ïðèíàäëåæàùåå èíòåðâàëó (10; 50).
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (20), ïîëó÷èì:
 50 − 30 
 10 − 30 
P (10 < X < 50) = Φ 
 − Φ
 = Φ(2) − Φ(−2) = 2Φ(2).
 10 
 10 
Ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 4 íàõîäèì Ô(2) = 0,4772. Îòñþäà èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü
P (10 < X < 50) = 2 ⋅ 0,4772 = 0,9544.
×àñòî òðåáóåòñÿ âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îòêëîíåíèå íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ îò åå ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå ìåíüøå çàäàííîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà δ, ò. å. íàéòè P(| X − a | < δ). Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (20) è íå÷åòíîñòü
ôóíêöèè Ô(õ), èìååì:
 δ
 δ
 δ
P(| X − a | < δ) = P(a − δ < X < a + δ) = Φ   − Φ  −  = 2 Φ   ,
 σ
 σ
 σ
ò. å.
 δ
(21)
P(| X − a | < δ) = 2Φ   .
 σ
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ðàñïðåäåëåíà ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ
ïàðàìåòðàìè à = 20 è σ = 10. Íàéòè P (| X − 20 | < 3).
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (21), èìååì:
3
P (| X − 20 | < 3) = 2Φ  .
 10 
Ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 4 íàõîäèì: Φ(0,3) = 0,1179.
Ïîýòîìó P (| X − 20 | < 3) = 0,2358.
Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé èìååò â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé áîëüøîå çíà÷åíèå. Íîðìàëüíîìó çàêîíó ïîä÷èíÿåòñÿ âåðîÿòíîñòü ïðè ñòðåëüáå ïî öåëè, â èçìåðåíèÿõ è ò. ï.  ÷àñòíîñòè, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñóììû äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà
íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, âëèÿíèå êàæäîé èç êîòîðûõ íà âñþ ñóììó
íè÷òîæíî ìàëî, áëèçîê ê íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Ýòîò ôàêò, íàçû-
469
âàåìûé öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé, áûë äîêàçàí âûäàþùèìñÿ
ðóññêèì ìàòåìàòèêîì À.Ì. Ëÿïóíîâûì (1857 — 1918).
§ 18.9. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë
1.Íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà (Ï.Ë. ×åáûøåâ (1821 — 1894) — âûäàþùèéñÿ ðóññêèé ìàòåìàòèê).
Ë å ì ì à. Ïóñòü Õ — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà
(1)
P( X ≥ 1) ≤ M ( X ).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äëÿ ïðîñòîòû äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå
äëÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ x1, x2,
, xn, ïðè óñëîâèè x i ≥ 0. Ïî òåîðåìå ñëîæåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ íåñîâìåñòèìûõ ñîáûòèé (§ 18.2, ï. 1) èìååì:
P( X ≥ 1) =
∑ P( X
x i ≥1
= x i ),
ãäå ñóììèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíî íà âñå çíà÷åíèÿ õi, áîëüøèå åäèíèöû èëè ðàâíûå åé. Íî äëÿ x i ≥ 1, î÷åâèäíî,
Ïîýòîìó
P( X = x i ) ≤ x i P( X = x i ).
P( X ≥ 1) =
∑ P( X
x i ≥1
= xi ) ≤
∑ x P( X
x i ≥1
i
= x i ).
(2)
Äîáàâèì ê ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (2) ñóììó ∑ x i P (X = x i ), ãäå x i < 1.
x i <1
Ýòà ñóììà íåîòðèöàòåëüíà, òàê êàê x i ≥ 0 ïî óñëîâèþ, à âåðîÿòíîñòü
P( X = x i ) ≥ 0. Ïîýòîìó
∑ x P( X
x i ≥1
i
= xi ) ≤
∑ x P( X
x i ≥1
i
n
= x i ) + ∑ x i P( X = x i ) = ∑ x i P( X = x i ).(3)
x i <1
i =1
Ïîñëåäíÿÿ ñóììà ðàñïðîñòðàíåíà íà âñå çíà÷åíèÿ x i , ïðèíèìàåìûå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé Õ. Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. § 18.5, ï. 1),
n
∑ x P( X
i =1
i
= x i ) = M ( X ).
Îòñþäà, ñîïîñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (2) è (3), èìååì èñêîìîå íåðàâåíñòâî (1).
Ò å î ð å ì à. Äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ ïðè êàæäîì ïîëîæèòåëüíîì ÷èñëå ε èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî
D( X )
(4)
P(| X − M ( X )| ≥ ε) ≤
.
ε2
Íåðàâåíñòâî (4) íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà.
470
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Òàê êàê ñîáûòèå | X − M ( X )| ≥ ε ðàâíîñèëüíî ñîáûòèþ
( X − M ( X )) 2
≥ 1,
ε2
òî
 ( X − M ( X )) 2

P(| X − M ( X )| ≥ ε) = P 
≥ 1 .
2
ε


2
( X − M ( X ))
íåîòðèöàòåëüíà, è, çíà÷èò, ñîãëàñíî
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
ε2
ëåììå, ñâîéñòâó 2 ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (§ 18.5, ï. 2) è îïðåäåëåíèþ äèñïåðñèè (§ 18.6, ï. 1)
 ( X − M ( X )) 2 
 ( X − M ( X )) 2

D( X )
1
2
P
≥
1
≤
M
.

 = 2 M (( X − M ( X )) ) =

2
2
ε
ε
ε2

 ε


Ïîýòîìó
P(| X − M ( X )| ≥ ε) ≤
D( X )
ε2
.
Ï ð è ì å ð. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò D(X) = 0,001. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü
òîãî, ÷òî Õ îòëè÷àåòñÿ îò Ì(Õ) áîëåå ÷åì íà 0,1?
Ïî íåðàâåíñòâó ×åáûøåâà
P (| X − M (X )| ≥ 0,1) ≤
D (X ) 0,001
=
= 0,1.
0,12
0,01
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Îòìåòèì äðóãóþ ôîðìó íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà. Òàê êàê ñîáûòèå,
âûðàæàåìîå íåðàâåíñòâîì | X − M (X )| < ε, ïðîòèâîïîëîæíî ñîáûòèþ, âûðàæàåìîìó íåðàâåíñòâîì | X − M (X )| ≥ ε, òî (§ 18.2, ï. 1 ñëåäñòâèå)
P (| X − M (X )| < ε) + P (| X − M (X )| ≥ ε) = 1.
Îòñþäà ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (4) ïîëó÷àåì òàêóþ ôîðìó íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà:
P (| X − M (X )| < ε) ≥ 1 −
D (X )
.
ε2
(5)
2. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ×åáûøåâà. Äîêàæåì çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë
â øèðîêîé è óäîáíîé äëÿ ïðàêòèêè ôîðìå, ïîëó÷åííîé Ï.Ë. ×åáûøåâûì.
Ò å î ð å ì à (Ò å î ð å ì à × å á û ø å â à : ç à ê î í á î ë ü ø è õ ÷ è ñ å ë). Åñëè äèñïåðñèè íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ1,
Õ2, , Õn îãðàíè÷åíû îäíîé è òîé æå ïîñòîÿííîé Ñ: D( X i ) ≤ C (i = 1, 2,
, n), òî, êàêîâî áû íè áûëî ε > 0, âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ íåðàâåí1
ñòâà | X − M ( X )| < ε, ãäå X = ( X 1 + X 2 +...+ X n ), áóäåò ñêîëü óãîäíî
n
471
áëèçêà ê åäèíèöå, åñëè ÷èñëî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí n äîñòàòî÷íî âåëèêî, ò. å.
(6)
lim P(| X − M ( X )| < ε) = 1.
n→ ∞
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî ×åáûøåâà â ôîðìå
(5) ê âåëè÷èíå X , èìååì:
D( X )
(7)
P(| X − M ( X )| < ε) ≥ 1 − 2 .
ε
Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè äèñïåðñèè (§ 18.6, ï. 2) è óñëîâèåì òåîðåìû,
ïîëó÷èì:
1
nC C
D( X ) = 2 (D( X 1 ) + … + D( X n )) ≤ 2 = .
n
n
n
Îòñþäà ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (7) è òîãî, ÷òî âåðîÿòíîñòü ëþáîãî ñîáûòèÿ íå ïðåâîñõîäèò åäèíèöû (§ 18.1, ï. 3), ïîëó÷èì:
C
.
(8)
ε 2n
Íàêîíåö, ïåðåõîäÿ â íåðàâåíñòâå (8) ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïðèõîäèì ê
èñêîìîìó ñîîòíîøåíèþ (6).
× à ñ ò í û é ñ ë ó ÷ à é ò å î ð å ì û × å á û ø å â à. Åñëè âñå Õk
èìåþò îäèíàêîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ Ì(Õ1) = = Ì(Õn) = à è
D(Xk) ≤ Ñ (k = 1, 2, , n), òî
1 ≥ P(| X − M ( X )| < ε) ≥ 1 −
lim P(| X − a | < ε) = 1.
n→ ∞
(9)
Äåéñòâèòåëüíî, â óñëîâèÿõ ðàññìàòðèâàåìîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ ðàâåíñòâî (6) èìååò âèä (9).
Ñóùíîñòü òåîðåìû ×åáûøåâà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Íåñìîòðÿ íà
òî, ÷òî êàæäàÿ èç íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õk ìîæåò ïðèíÿòü
çíà÷åíèå, äàëåêîå îò ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Ì(Õk), ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå X äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ áîëüøîé âåðîÿòíîñòüþ âåñüìà áëèçêî ê ñðåäíåìó àðèôìåòè÷åñêîìó èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.
Òåîðåìà ×åáûøåâà èìååò áîëüøîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå. Ïóñòü,
íàïðèìåð, èçìåðÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Îáû÷íî ïðèíèìàþò â êà÷åñòâå èñêîìîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ñðåäíåå
àðèôìåòè÷åñêîå ðåçóëüòàòîâ íåñêîëüêèõ èçìåðåíèé. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü òàêîé ïîäõîä âåðíûì? Òåîðåìà ×åáûøåâà (åå ÷àñòíûé ñëó÷àé) îòâå÷àåò íà ýòîò âîïðîñ ïîëîæèòåëüíî.
Íà òåîðåìå ×åáûøåâà îñíîâàí øèðîêî ïðèìåíÿåìûé â ñòàòèñòèêå
âûáîðî÷íûé ìåòîä, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïî ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîé
ñëó÷àéíîé âûáîðêå âûíîñÿò ñóæäåíèå, êàñàþùååñÿ âñåé ñîâîêóïíîñòè
èññëåäóåìûõ îáúåêòîâ.
472
Èç òåîðåìû ×åáûøåâà (÷àñòíûé ñëó÷àé) ñëåäóåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà, íàçûâàåìàÿ òåîðåìîé Áåðíóëëè, ÿâëÿþùàÿñÿ ïðîñòåéøåé ôîðìîé
çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë:
Ò å î ð å ì à Á å ð í ó ë ë è. Ïóñòü m — ÷èñëî íàñòóïëåíèé ñîáûòèÿ À
â n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ è p åñòü âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À
â êàæäîì èç èñïûòàíèé. Òîãäà, êàêîâî áû íè áûëî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ε,
 m

lim P  − p < ε = 1.
n→ ∞  n

(10)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Õk ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó,
ðàâíóþ ÷èñëó íàñòóïëåíèé ñîáûòèÿ À â k-ì èñïûòàíèè, ãäå k = 1, 2, ,
n. Òîãäà èìååì (§ 18.7, ï. 1):
m = Õ 1 + Õ2 +
+ Õ n,
1
M ( X k ) = p, D( X k ) = pq ≤ ,
4
è âñå óñëîâèÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ òåîðåìû ×åáûøåâà âûïîëíåíû. Ðàâåíñòâî (9) ïðåâðàùàåòñÿ â (10).
Ïðàêòè÷åñêèé ñìûñë òåîðåìû Áåðíóëëè ñëåäóþùèé: ïðè ïîñòîÿíñòâå âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ À âî âñåõ èñïûòàíèÿõ, ïðè íåîãðàíè÷åííîì âîçðàñòàíèè ÷èñëà èñïûòàíèé ìîæíî ñ âåðîÿòíîñòüþ, êàê
óãîäíî áëèçêîé ê åäèíèöå (ò. å. êàê óãîäíî áëèçêîé ê äîñòîâåðíîñòè),
óòâåðæäàòü, ÷òî íàáëþäàåìàÿ îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ áóäåò êàê óãîäíî ìàëî îòêëîíÿòüñÿ îò åãî âåðîÿòíîñòè.
§ 18.10. Èñïîëüçîâàíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
ïðè îáðàáîòêå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ
1. Çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ îøèáîê. Îøèáêîé èëè ïîãðåøíîñòüþ èçìåðåíèÿ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü x − à ìåæäó ðåçóëüòàòîì èçìåðåíèÿ x è èñòèííûì çíà÷åíèåì èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû à.
Îøèáêè èçìåðåíèé â îñíîâíîì ìîæíî ïîäðàçäåëèòü íà òðè ãðóïïû:
1) ãðóáûå îøèáêè; 2) ñèñòåìàòè÷åñêèå îøèáêè; 3) ñëó÷àéíûå îøèáêè.
Ãðóáûå îøèáêè âîçíèêàþò îò íåâíèìàòåëüíîñòè ïðè ÷òåíèè ïîêàçàíèé ïðèáîðà, íåïðàâèëüíîé çàïèñè ïîêàçàíèé, íåïðàâèëüíîì èñïîëüçîâàíèè ïðèáîðà. Ýòè îøèáêè ìîãóò áûòü èñêëþ÷åíû ñîáëþäåíèåì ïðàâèë èçìåðåíèÿ.
Ñèñòåìàòè÷åñêèå îøèáêè ïðîèñõîäÿò, íàïðèìåð, îò íåñîâåðøåíñòâà ïðèáîðîâ, îò ëè÷íûõ êà÷åñòâ íàáëþäàòåëÿ è ìîãóò áûòü óñòðàíåíû
ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîïðàâêàìè.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ íå ñîäåðæàò ãðóáûõ è ñèñòåìàòè÷åñêèõ îøèáîê.
473
Îäíàêî è ïîñëå óñòðàíåíèÿ ýòèõ îøèáîê ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ âñå
åùå áóäóò ñîäåðæàòü íåóñòðàíèìûå, íåèçáåæíûå îøèáêè, êîòîðûå ïîëó÷èëè íàçâàíèå ñëó÷àéíûõ îøèáîê èçìåðåíèÿ. Ýòè îøèáêè âûçûâàþòñÿ
ìíîãî÷èñëåííûìè òðóäíî óëîâèìûìè ïðè÷èíàìè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ
ïðèâîäèò ëèøü ê íåçíà÷èòåëüíîìó êîëåáàíèþ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ
(íàïðèìåð, ïðè âçâåøèâàíèè íà àíàëèòè÷åñêèõ âåñàõ ê òàêèì ïðè÷èíàì îòíîñÿòñÿ íåçíà÷èòåëüíûå êîëåáàíèÿ òåìïåðàòóðû è âëàæíîñòè
âîçäóõà, êîëåáàíèÿ ñòîëà, ïîïàäàíèå ñîðèíîê íà âçâåøèâàåìûé ïðåäìåò è ò. ä.). Îøèáêó èçìåðåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ñóììîé áîëüøîãî ÷èñëà
íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êîòîðàÿ ïî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé
òåîðåìå äîëæíà áûòü ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî. Ïðè ýòîì ïðèíèìàþò
åùå, ÷òî ÌÎ ñëó÷àéíûõ îøèáîê ðàâíî íóëþ.
Èòàê, ïðèíèìàåòñÿ ïîëîæåíèå: ïðè îòñóòñòâèè ãðóáûõ è ñèñòåìàòè÷åñêèõ îøèáîê îøèáêà èçìåðåíèÿ åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (îáîçíà÷èì åå ÷åðåç T), ðàñïðåäåëåííàÿ íîðìàëüþ, ïðè÷åì åå ÌÎ ðàâíî íóëþ,
ò. å. ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè âåëè÷èíû Ò ðàâíà
1
σ 2π
e
−
t2
2σ 2
,
ãäå σ — ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå âåëè÷èíû Ò, õàðàêòåðèçóþùåå ðàçáðîñ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèÿ âîêðóã èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû.
 ñèëó ïðåäûäóùåãî ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ åñòü òàêæå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (îáîçíà÷èì åå ÷åðåç X), ñâÿçàííàÿ ñ Ò çàâèñèìîñòüþ Õ = à + Ò.
Îòñþäà â ñèëó èçâåñòíûõ ñâîéñòâ ÌÎ è äèñïåðñèè (§ 18.5, 18.6) èìååì:
Ì(X) = a, σ(X) = σ(T) = σ.
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëàãàÿ èçìåðåíèå ñâîáîäíûì îò ãðóáûõ è ñèñòåìàòè÷åñêèõ îøèáîê, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âîçìîæíûé ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X , ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êîòîðîé
ðàâíî èñòèííîìó çíà÷åíèþ à èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Òàê êàê âåëè÷èíà
Ò ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ, òî âîçìîæíûé ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ Õ = à + Ò êàê ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ëèíåéíî çàâèñÿùàÿ îò T, òàêæå ïîä÷èíÿåòñÿ (ñì. [14]) íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ.  ýòîì çàêëþ÷àåòñÿ îñíîâíîé çàêîí îøèáîê.
Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ îøèáêà èçìåðåíèÿ, êàê è ðåçóëüòàòû èçìåðåíèÿ, âñåãäà âûðàæàåòñÿ â íåêîòîðûõ öåëûõ åäèíèöàõ, ñâÿçàííûõ
ñ øàãîì øêàëû èçìåðèòåëüíîãî ïðèáîðà; â òåîðèè óäîáíåå ñ÷èòàòü
ñëó÷àéíóþ îøèáêó íåïðåðûâíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ÷òî óïðîùàåò
ðàñ÷åòû.
2. Îöåíêà èñòèííîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíîé ôèçè÷åñêîé ïîñòîÿííîé à ïðîèçâîäèòñÿ n íåçàâèñèìûõ ðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé (ò. å. èçìåðåíèé, ïðîâîäèìûõ â
474
îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ; ýòè óñëîâèÿ ñ÷èòàþòñÿ âûïîëíåííûìè, åñëè
èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ îäíèì ïðèáîðîì), ïðè÷åì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ãðóáûå è ñèñòåìàòè÷åñêèå îøèáêè îòñóòñòâóþò. Âîçìîæíûé ðåçóëüòàò
êàæäîãî èç n èçìåðåíèé åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðóþ îáîçíà÷èì ÷åðåç Xi (i — íîìåð èçìåðåíèÿ). Òàê êàê êàæäîå èçìåðåíèå íå çàâèñèò îò ðåçóëüòàòîâ äðóãèõ èçìåðåíèé, òî èìååì n ñëó÷àéíûõ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí X1, Õ2, , Õn. Îáîçíà÷èì ÷åðåç õ1, x2, , õn ôàêòè÷åñêè
ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû n èçìåðåíèé âåëè÷èíû à. Òàêèì îáðàçîì, xi
åñòü îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé Xi.
Íà îñíîâàíèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë ×åáûøåâà (§ 18.9, ï. 2) ìîæíî
óòâåðæäàòü, ÷òî ñ ïðàêòè÷åñêîé äîñòîâåðíîñòüþ äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî ÷èñëà n èçìåðåíèé ñðåäíÿÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ ôèçè÷åñêîé ïîñòîÿííîé ñêîëü
óãîäíî ìàëî, ò. å. ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñêîëü óãîäíî áëèçêîé ê åäèíèöå,
èìååò ìåñòî ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî
a≈x =
x 1 + x 2 +K+ x n
n
.
Îöåíèì òî÷íîñòü ýòîãî ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà. Äëÿ ýòîãî ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî â ñèëó îñíîâíîãî çàêîíà îøèáîê (ï. 1) êàæäûé
âîçìîæíûé ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ Xi, åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïîä÷èíÿþùàÿñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñ îäíèì è
òåì æå ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ðàâíûì èñòèííîìó çíà÷åíèþ à
èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû: M(Xi) = a (i = 1, 2, , n). Òàê êàê âñå èçìåðåíèÿ
ðàâíîòî÷íûå, òî äèñïåðñèè âñåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè, ò. å. D(Xi) = σ2.
Ïðè èçìåðåíèè âîçìîæíû äâå ñèòóàöèè:
à) èçâåñòíî σ (ýòî õàðàêòåðèñòèêà ïðèáîðà è êîìïëåêñà óñëîâèé,
ïðè êîòîðûõ ïðîèçâîäÿòñÿ íàáëþäåíèÿ), òðåáóåòñÿ ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðåíèé îöåíèòü à;
á) σ íå èçâåñòíî, òðåáóåòñÿ ïî ðåçóëüòàòàì èçìåðåíèé îöåíèòü à è σ.
Ýòè î÷åíü âàæíûå çàäà÷è áóäóò îáñóæäàòüñÿ â § 19.3.
§ 18.11. Äâóìåðíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
 ðàçëè÷íûõ çàäà÷àõ ïðàêòèêè âñòðå÷àþòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,
âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ íå îäíèì ÷èñëîì, à íåñêîëüêèìè. Òàê, ïðè âûòà÷èâàíèè íà ñòàíêå öèëèíäðè÷åñêîãî áðóñêà
åãî ðàçìåðû (äèàìåòð îñíîâàíèÿ è âûñîòà) ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Òàêèì îáðàçîì, çäåñü ìû èìååì äåëî ñ ñîâîêóïíîñòüþ äâóõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåðû, â êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òðåõ è áîëåå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
475
Äâóìåðíàÿ äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (X, Y) çàäàåòñÿ òàáëèöåé
çíà÷åíèé åå ñîñòàâëÿþùèõ X è Õ è âåðîÿòíîñòåé. Îáùèé âèä òàêîé
òàáëèöû:
Y
y1
y2
ym
x1
p11
p12
p1ò
x2
p21
p22
p2m
õn
pn1
pï2
pnm
Õ
Çäåñü, íàïðèìåð, ð12 åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî äâóìåðíàÿ âåëè÷èíà
ïðèìåò çíà÷åíèå (õ1, ó2).
Óêàçàííîé òàáëèöåé çàäàí çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Íåïðåðûâíàÿ äâóìåðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò àíàëîãè÷íî íåïðåðûâíîé îäíîìåðíîé âåëè÷èíå îïðåäåëÿòüñÿ èíòåãðàëüíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F (õ, ó) è äèôôåðåíöèàëüíîé ôóíêöèåé f (x, ó)
(ïëîòíîñòüþ âåðîÿòíîñòè äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû).
Àíàëîãè÷íî îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ ââîäÿòñÿ ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Ì(Õ, Y), äèñïåðñèè D(X, Y) è ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî
îòêëîíåíèÿ σ(Õ, Õ).
Ãëàâà 19. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ
ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ
Ìû ïðèñòóïàåì ê èçó÷åíèþ ýëåìåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè,
â êîòîðîé ðàçðàáàòûâàþòñÿ íàó÷íî îáîñíîâàííûå ìåòîäû ñáîðà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ è èõ îáðàáîòêè.
§ 19.1. Âûáîðî÷íûé ìåòîä
1. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü è âûáîðêà. Ïóñòü òðåáóåòñÿ èçó÷èòü ìíîæåñòâî îäíîðîäíûõ îáúåêòîâ (ýòî ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ñîâîêóïíîñòüþ) îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî êà÷åñòâåííîãî èëè êîëè-
476
÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà, õàðàêòåðèçóþùåãî ýòè îáúåêòû. Íàïðèìåð, åñëè
èìååòñÿ ïàðòèÿ äåòàëåé, òî êà÷åñòâåííûì ïðèçíàêîì ìîæåò ñëóæèòü
ñòàíäàðòíîñòü äåòàëè, à êîëè÷åñòâåííûì — êîíòðîëèðóåìûé ðàçìåð
äåòàëè.
Ëó÷øå âñåãî ïðîèçâåñòè ñïëîøíîå îáñëåäîâàíèå, ò. å. èçó÷èòü êàæäûé îáúåêò. Îäíàêî â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïî ðàçíûì ïðè÷èíàì
ýòî ñäåëàòü íåâîçìîæíî. Ïðåïÿòñòâîâàòü ñïëîøíîìó îáñëåäîâàíèþ
ìîæåò áîëüøîå ÷èñëî îáúåêòîâ, íåäîñòóïíîñòü èõ. Åñëè, íàïðèìåð,
íóæíî çíàòü ñðåäíþþ ãëóáèíó âîðîíêè ïðè âçðûâå ñíàðÿäà èç îïûòíîé ïàðòèè, òî, ïðîèçâîäÿ ñïëîøíîå îáñëåäîâàíèå, ìû óíè÷òîæèì
âñþ ïàðòèþ.
Åñëè ñïëîøíîå îáñëåäîâàíèå íåâîçìîæíî, òî èç âñåé ñîâîêóïíîñòè
âûáèðàþò äëÿ èçó÷åíèÿ ÷àñòü îáúåêòîâ.
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ñîâîêóïíîñòü, èç êîòîðîé îòáèðàþò ÷àñòü îáúåêòîâ, íàçûâàåòñÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ. Ìíîæåñòâî îáúåêòîâ,
ñëó÷àéíî îòîáðàííûõ èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, íàçûâàåòñÿ âûáîðêîé.
×èñëî îáúåêòîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè è âûáîðêè íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî îáúåìîì ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè è îáúåìîì âûáîðêè.
Ï ð è ì å ð. Ïëîäû äåðåâà (200 øòóê) îáñëåäóþò íà íàëè÷èå ñïåöèôè÷åñêîãî äëÿ
äàííîãî ñîðòà âêóñà. Äëÿ ýòîãî îòáèðàþò 10 øò. Çäåñü 200 — îáúåì ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, à 10 — îáúåì âûáîðêè.
Åñëè âûáîðêó îòáèðàþò ïî îäíîìó îáúåêòó, êîòîðûé îáñëåäóþò è
ñíîâà âîçâðàùàþò â ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü, òî âûáîðêà íàçûâàåòñÿ ïîâòîðíîé. Åñëè îáúåêòû âûáîðêè óæå íå âîçâðàùàþòñÿ â ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü, òî âûáîðêà íàçûâàåòñÿ áåñïîâòîðíîé. Íà ïðàêòèêå
÷àùå èñïîëüçóåòñÿ áåñïîâòîðíàÿ âûáîðêà. Åñëè îáúåì âûáîðêè ñîñòàâëÿåò íåáîëüøóþ äîëþ îáúåìà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, òî ðàçíèöà ìåæäó ïîâòîðíîé è áåñïîâòîðíîé âûáîðêàìè íåçíà÷èòåëüíà.
Ñâîéñòâà îáúåêòîâ âûáîðêè äîëæíû ïðàâèëüíî îòðàæàòü ñâîéñòâà
îáúåêòîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, èëè, êàê ãîâîðÿò, âûáîðêà äîëæíà áûòü ðåïðåçåíòàòèâíîé (ïðåäñòàâèòåëüíîé). Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âûáîðêà
ðåïðåçåíòàòèâíà, åñëè âñå îáúåêòû ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èìåþò
îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â âûáîðêó, ò. å. âûáîð ïðîèçâîäèòñÿ
ñëó÷àéíî. Íàïðèìåð, äëÿ òîãî, ÷òîáû îöåíèòü áóäóùèé óðîæàé, ìîæíî
ñäåëàòü âûáîðêó èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè åùå íå ñîçðåâøèõ ïëîäîâ è èññëåäîâàòü èõ õàðàêòåðèñòèêè (ìàññó, êà÷åñòâî è ïð.). Åñëè âñÿ
âûáîðêà áóäåò ñäåëàíà ñ îäíîãî äåðåâà, òî îíà íå áóäåò ðåïðåçåíòàòèâíîé. Ðåïðåçåíòàòèâíàÿ âûáîðêà äîëæíà ñîñòîÿòü èç ñëó÷àéíî âûáðàííûõ ïëîäîâ ñî ñëó÷àéíî âûáðàííûõ äåðåâüåâ.
477
2. Ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè. Ïîëèãîí. Ãèñòîãðàììà.
Ïóñòü èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èçâëå÷åíà âûáîðêà, ïðè÷åì x1 íàáëþäàëîñü n1 ðàç, x2 − n2 ðàç, xk - nk ðàç è n1 + n2 + + nk = n — îáúåì âûáîðêè. Íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ x1, x2, , xk íàçûâàþòñÿ âàðèàíòàìè, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âàðèàíò, çàïèñàííàÿ â âîçðàñòàþùåì ïîðÿäêå, —
âàðèàöèîííûì ðÿäîì. ×èñëà íàáëþäåíèé n1 , n2 , , nk íàçûâàþò ÷àñòîn
n
n
òàìè, à èõ îòíîøåíèÿ ê îáúåìó âûáîðêè 1 = p 1* , 2 = p *2 , ..., k = p k* —
n
n
n
îòíîñèòåëüíûìè ÷àñòîòàìè. Îòìåòèì, ÷òî ñóììà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò ðàâíà åäèíèöå:
p 1* + p *2 + ... + p *k =
n1
n
+
n
n2
n
+ … + k = = 1.
n
n
n
Ñòàòèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âûáîðêè íàçûâàþò ïåðå÷åíü âàðèàíò è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ÷àñòîò èëè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò. Ñòàòèñòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî çàäàòü òàêæå â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
èíòåðâàëîâ è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ÷àñòîò (íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå).  êà÷åñòâå ÷àñòîòû, ñîîòâåòñòâóþùåé èíòåðâàëó, ïðèíèìàþò ñóììó ÷àñòîò âàðèàíò, ïîïàâøèõ â ýòîò èíòåðâàë.
Çàìåòèì, ÷òî â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîä ðàñïðåäåëåíèåì ïîíèìàþò
ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è
åè âåðîÿòíîñòÿìè, à â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè — ñîîòâåòñòâèå ìåæäó íàáëþäàåìûìè âàðèàíòàìè è èõ ÷àñòîòàìè èëè îòíîñèòåëüíûìè
÷àñòîòàìè.
Ï ð è ì å ð 1. Ïåðåéòè îò ÷àñòîò ê îòíîñèòåëüíûì ÷àñòîòàì â ñëåäóþùåì ðàñïðåäåëåíèè âûáîðêè îáúåìà n = 20:
Âàðèàíòà x1
2
6
12
×àñòîòà ni
3
10
7
Íàéäåì îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû:
p1* =
3
10
7
= 0,15; p2* =
= 0,50; p3* =
= 0,35.
20
20
20
Ïîýòîìó ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ðàñïðåäåëåíèå:
Âàðèàíòà x1
Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà pi*
478
2
6
12
0,15
0,50
0,35
Äëÿ ãðàôè÷åñêîãî èçîáðàæåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ïîëèãîíû è ãèñòîãðàììû.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëèãîíà íà îñè Îõ îòêëàäûâàþò çíà÷åíèÿ âàðèàíò
õi, íà îñè Îó — çíà÷åíèÿ ÷àñòîò ni (îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò p i* ).
Ï ð è ì å ð 2. Íà ðèñóíêå 205 èçîáðàæåí ïîëèãîí ñëåäóþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
Âàðèàíòà õi
Îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà pi*
1
2
3
5
0,4
0,2
0,3
0,1
Ðèñ. 205
Ðèñ. 206
Ïîëèãîíîì îáû÷íî ïîëüçóþòñÿ â ñëó÷àå íåáîëüøîãî êîëè÷åñòâà âàðèàíò.  ñëó÷àå áîëüøîãî êîëè÷åñòâà âàðèàíò è â ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèçíàêà ÷àùå ñòðîÿò ãèñòîãðàììû. Äëÿ ýòîãî èíòåðâàë, â êîòîðîì çàêëþ÷åíû âñå íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà, ðàçáèâàþò íà íåñêîëüêî ÷àñòè÷íûõ èíòåðâàëîâ äëèíîé h è íàõîäÿò äëÿ êàæäîãî ÷àñòè÷íîãî èíòåðâàëà ni — ñóììó ÷àñòîò âàðèàíò, ïîïàâøèõ â i
èíòåðâàë. Çàòåì íà ýòèõ èíòåðâàëàõ, êàê íà îñíîâàíèÿõ, ñòðîÿò ïðÿìîn
n
óãîëüíèêè ñ âûñîòàìè i (èëè i , ãäå n —îáúåì âûáîðêè). Ïëîùàäü i
h
nh
hn
hn
n
÷àñòè÷íîãî ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà i = n i (èëè i = i = p i* ). Ñëåäîh
nh
n
âàòåëüíî, ïëîùàäü ãèñòîãðàììû ðàâíà ñóììå âñåõ ÷àñòîò (èëè îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò), ò. å. îáúåìó âûáîðêè (èëè åäèíèöå).
Ï ð è ì å ð 3. Íà ðèñóíêå 206 èçîáðàæåíà ãèñòîãðàììà íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îáúåìà n = 100, ïðèâåäåííîãî â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
479
×àñòè÷íûé èíòåðâàë h
Ñóììà ÷àñòîò âàðèàíò ÷àñòè÷íîãî èíòåðâàëà ni
ni
h
5—10
10—15
15—20
20—25
25—30
30—35
35—40
4
6
16
36
24
10
4
0,8
1,2
3,2
7,2
4,8
2,0
0,8
§ 19.2. Îöåíêè ïàðàìåòðîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè
ïî åå âûáîðêå
1. Âûáîðêà êàê íàáîð ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðàÿ
ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü, êàæäûé îáúåêò êîòîðîé íàäåëåí êîëè÷åñòâåííûì ïðèçíàêîì Õ. Ïðè ñëó÷àéíîì èçâëå÷åíèè îáúåêòà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ñòàíîâèòñÿ èçâåñòíûì çíà÷åíèå õ ïðèçíàêà Õ ýòîãî
îáúåêòà. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü èçâëå÷åíèå îáúåêòà
èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè êàê èñïûòàíèå, Õ — êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, à õ — êàê îäíî èç âîçìîæíûõ çíà÷åíèé Õ.
Äîïóñòèì, ÷òî èç òåîðåòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé óäàëîñü óñòàíîâèòü, ê
êàêîìó òèïó ðàñïðåäåëåíèé îòíîñèòñÿ ïðèçíàê Õ. Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò çàäà÷à îöåíêè (ïðèáëèæåííîãî íàõîæäåíèÿ) ïàðàìåòðîâ, êîòîðûìè îïðåäåëÿåòñÿ ýòî ðàñïðåäåëåíèå. Íàïðèìåð, åñëè èçâåñòíî, ÷òî èçó÷àåìûé ïðèçíàê ðàñïðåäåëåí â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íîðìàëüíî,
òî íåîáõîäèìî îöåíèòü,ò. å. ïðèáëèæåííî íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, òàê êàê ýòè äâà ïàðàìåòðà
ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Îáû÷íî â ðàñïîðÿæåíèè èññëåäîâàòåëÿ èìåþòñÿ ëèøü äàííûå âûáîðêè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, íàïðèìåð, çíà÷åíèÿ êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà x1, x2, , xn, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå n íàáëþäåíèé
(çäåñü è äàëåå íàáëþäåíèÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ íåçàâèñèìûìè). ×åðåç ýòè
äàííûå è âûðàæàþò îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð.
Îïûòíûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà Õ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è êàê çíà÷åíèÿ ðàçíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1, X2, , Xn ñ òåì æå ðàñïðåäåëåíèåì,
÷òî è Õ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ñ òåìè æå ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, êîòîðûå èìååò Õ. Çíà÷èò, M(Xi) = M(X) èD(Xi) = D(X). Âåëè÷èíû X1, X2, ,
Xn ìîæíî ñ÷èòàòü íåçàâèñèìûìè â ñèëó íåçàâèñèìîñòè íàáëþäåíèé.
Çíà÷åíèÿ x1, x2, , xn â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàþòñÿ ðåàëèçàöèÿìè ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí X1, X2, , Xn. Îòñþäà è èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî íàéòè
îöåíêó íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà — ýòî çíà÷èò íàéòè ôóíêöèþ îò íàáëþäàåìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1, X2, , Xn, êîòîðàÿ è äàåò ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà.
480
2. Ãåíåðàëüíàÿ è âûáîðî÷íàÿ ñðåäíèå. Ìåòîäû èõ ðàñ÷åòà. Ïóñòü èçó÷àåòñÿ äèñêðåòíàÿ ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü îáúåìà N îòíîñèòåëüíî
êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà X.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé x ã (èëè à) íàçûâàåòñÿ
ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèå ïðèçíàêà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Åñëè âñå çíà÷åíèÿ x1, x2, , xN ïðèçíàêà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè
îáúåìà N ðàçëè÷íû, òî
1
x ã = ( x 1 + x 2 + ... + x N ).
N
Åñëè æå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà õ1, õ2, , õk èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ÷àñòîòû N1, N2, , Nk, ïðè÷åì N1 + N2 + + Nk = N, òî
xã =
èëè
1
( x 1N 1 + x 2N 2 + K + x k N k )
N
1 k
(1)
∑ xi N i .
N i =1
Êàê óæå îòìå÷àëîñü (ï. 1), èçâëå÷åíèå îáúåêòà èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè åñòü íàáëþäåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X.
Ïóñòü âñå çíà÷åíèÿ õ1, õ2, , õN ðàçëè÷íû. Òàê êàê êàæäûé îáúåêò
1
ìîæåò áûòü èçâëå÷åí ñ îäíîé è òîé æå âåðîÿòíîñòüþ , òî
N
1
1
1
M (X ) = x 1 ⋅ + x 2 ⋅ + K + x N ⋅ = x ã ,
N
N
N
ò. å.
(2)
M (X ) = x ã .
Òàêîé æå èòîã ñëåäóåò, åñëè çíà÷åíèÿ õ1, õ2, , õk èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ÷àñòîòû N1, N2, , Nk.
 ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèçíàêà X ïî îïðåäåëåíèþ
ïîëàãàþò x ã = M ( X ).
Ïóñòü äëÿ èçó÷åíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îòíîñèòåëüíî êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà X ïðîèçâåäåíà âûáîðêà îáúåìà ï.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Âûáîðî÷íîé ñðåäíåé x B íàçûâàåòñÿ ñðåäíåå
àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèé ïðèçíàêà âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòè.
Åñëè âñå çíà÷åíèÿ õ1, õ2, , õn ïðèçíàêà âûáîðêè îáúåìà ï ðàçëè÷íû, òî
xã =
1
x B = ( x 1 + x 2 + K + x n ).
n
(3)
Åñëè æå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà õ1, õ2, , õk, èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ÷àñòîòû n1, n2, , nk, ïðè÷åì n1 + n2 + + nk = n, òî
1
x B = ( x 1n 1 + x 2n 2 + K + x k n k )
n
481
èëè
xB =
1 k
∑ x i ni .
n i =1
(4)
Ï ð è ì å ð 1. Âûáîðî÷íûì ïóòåì áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå äàííûå î ìàññå 20
ìîðñêèõ ñâèíîê ïðè ðîæäåíèè (â ã): 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32, 29, 28, 27, 36, 31, 34, 30, 23,
28, 31, 36, 30. Íàéòè âûáîðî÷íóþ ñðåäíþþ x B .
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (4) èìååì:
30 ⋅ 5 + 25 ⋅ 2 + 32 ⋅ 2 + 33 + 29 + 28 ⋅ 2 + 27 + 36 ⋅ 2 + 31 ⋅ 2 + 34 + 23
= 30.
20
Èòàê, x B = 30 ã.
xB =
Íèæå, íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé, áóäåì ñ÷èòàòü çíà÷åíèÿ x1, x2, , xn ïðèçíàêà ðàçëè÷íûìè.
Ðàçóìååòñÿ, âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ âûáîðîê òîãî æå
îáúåìà n èç òîé æå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè áóäåò ïîëó÷àòüñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íîé. È ýòî íå óäèâèòåëüíî — âåäü èçâëå÷åíèå i-ão ïî
ñ÷åòó îáúåêòà åñòü íàáëþäåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xi, à èõ ñðåäíåå
àðèôìåòè÷åñêîå
1
X = (X 1 + X 2 + K + X n )
n
åñòü òîæå ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.
Òàêèì îáðàçîì, âñåâîçìîæíûå, êîòîðûå ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ âûáîðî÷íûå ñðåäíèå, åñòü âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íîé ñðåäíåé ñëó÷àéíîì âåëè÷èíîé.
Íàéäåì M ( X ), ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî Ì(Õi) = Ì(Õ) (ñì. ï. 1).
Ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ÌÎ (§ 18.5, 18.8) ïîëó÷àåì:
1
 1
M ( X ) = M  ( X 1 + X 2 + K + X n ) = [M ( X 1 ) + M ( X 2 ) + K + M ( X n )] =
n
 n
1
1
= [M ( X ) + M ( X ) + K + M ( X )] = ⋅ na = a.
n
n
Èòàê, M ( X ) (ÌÎ âûáîðî÷íîé ñðåäíåé) ñîâïàäàåò ñ a (ãåíåðàëüíîé
ñðåäíåé).
Òåïåðü íàéäåì D( X ). Òàê êàê D(Xi) = D(X) (ï. 1) è X1, X2, , Õn íåçàâèñèìû, òî ñîãëàñíî ñâîéñòâàì äèñïåðñèè (§ 18.6, 18.8) ïîëó÷àåì:
1
 1
D( X ) = D  ( X 1 + X 2 + K + X n ) = 2 [D( X 1 ) + D( X 2 ) + K + D( X n )] =
n
 n
D( X )
1
1
= 2 [D( X ) + D( X ) + K + D( X )] = 2 ⋅ nD( X ) =
,
n
n
n
ò. å.
D( X )
.
(5)
D( X ) =
n
482
Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî åñëè âàðèàíòû õi — áîëüøèå ÷èñëà, òî äëÿ
îáëåã÷åíèÿ âû÷èñëåíèÿ âûáîðî÷íîé ñðåäíåé ïðèìåíÿþò ñëåäóþøèé
ïðèåì. Ïóñòü Ñ — êîíñòàíòà.
Òàê êàê
n
∑x
i =1
n
i
= ∑ ( x i − C ) + nC ,
i =1
òî ôîðìóëà (3) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó:
1 n
(6)
x B = C + ∑ ( x i − C ).
n i =1
Êîíñòàíòó Ñ (òàê íàçûâàåìûé ëîæíûé íóëü) áåðóò òàêîé, ÷òîáû, âî-ïåðâûõ, ðàçíîñòè xi − Ñ áûëè íåáîëüøèìè è, âî-âòîðûõ, ÷èñëî Ñ áûëî ïî
âîçìîæíîñòè «êðóãëûì».
Ï ð è ì å ð 2. Èìååòñÿ âûáîðêà:
x1 = 71,88; x2 = 71,93; x3 = 72,05; x4 = 72,07;
x5 = 71,90; x6 = 72,02; x7 = 71,93; x8 = 71,77;
x9 = 72,71; x10 = 71,96.
Áåðåì Ñ = 72,00 è âû÷èñëÿåì ðàçíîñòè: αi = xi − Ñ:
α1 = − 0,12; α2 = − 0,07; α3 = 0,05; α4 = 0,07;
α5 = − 0,10; α6 = 0,02; α7 = − 0,07; α8 = − 0,23;
α9 = 0,11; α10 = − 0,04.
Èõ ñóììà: α1 + α2 +
+ α10 = − 0,38; èõ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå:
1
(α + α 2 + K + α10 ) =
10 1
= −0,038 ≈ −0,04. Âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ:
x B ≈ 72,00 − 0,04 = 71,96.
3. Ãåíåðàëüíàÿ è âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèè. Äëÿ òîãî ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ðàññåÿíèå çíà÷åíèé êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà X ãåíåðàëüíîé
ñîâîêóïíîñòè âîêðóã ñâîåãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, ââîäÿò ñëåäóþùóþ õàðàêòåðèñòèêó — ãåíåðàëüíóþ äèñïåðñèþ.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèåé Dã íàçûâàåòñÿ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé çíà÷åíèé ïðèçíàêà X ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îò ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé x ã .
Åñëè âñå çíà÷åíèÿ õ1, x2, , xN ïðèçíàêà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè
îáúåìà N ðàçëè÷íû, òî
Dã =
1
N
N
∑( x
i =1
i
− x ã )2.
483
Åñëè æå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà õ1, x2, , xk èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ÷àñòîòû N1, N2, , Nk, ïðè÷åì N1 + N2 + + Nk = N, òî
Dã =
1
N
k
∑( x
i =1
i
− x ã )2 N i .
(7)
Ï ð è ì å ð 1. Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü çàäàíà òàáëèöåé ðàñïðåäåëåíèÿ:
xi
2
4
5
6
Ni
8
9
10
3
Íàéòè ãåíåðàëüíóþ äèñïåðñèþ. Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1) è (7) èìååì:
xã =
Dã =
2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 + 5 ⋅ 10 + 6 ⋅ 3 120
=
= 4,
8 + 9 + 10 + 3
30
(2 − 4)2 ⋅ 8 + (4 − 4)2 ⋅ 9 + (5 − 4)2 ⋅10 + (6 − 4)2 ⋅ 3 54
=
= 1,8.
30
30
Ãåíåðàëüíûì ñîåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì (ñòàíäàðòîì) íàçûâàåòñÿ σ ã = D ã .
Ïóñòü âñå çíà÷åíèÿ õ1, x2, ..., xN ðàçëè÷íû.
Íàéäåì äèñïåðñèþ ïðèçíàêà X, ðàññìàòðèâàåìîãî êàê ñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó:
D(X) = M[(X − M(X))2].
1
(ñì. ï. 2), òî
Òàê êàê M ( X ) = x ã è P {X = x i } =
N
1
1
1
2
2
D( X ) = ( x 1 − x ã ) ⋅ + ( x 2 − x ã ) ⋅ + K + ( x N − x ã ) 2 ⋅ = D ã ,
N
N
N
ò. å.
D(X) = Dã.
Òàêèì îáðàçîì, äèñïåðñèÿ D(X) ðàâíà Dã.
Òàêîé æå èòîã ñëåäóåò, åñëè çíà÷åíèÿ õ1, õ2, , xk èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ÷àñòîòû N1, N2, , Nk.
 ñëó÷àå íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèçíàêà X ïî îïðåäåëåíèþ
ïîëàãàþò:
Dã = D(X).
(8)
Ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (8) ôîðìóëà (5) (ï. 2) ïåðåïèøåòñÿ â âèäå:
D( X ) =
îòêóäà D( X ) =
Dã
èëè σ( X ) =
n
êâàäðàòè÷åñêîé îøèáêîé.
484
σã
n
Dã
,
n
. Âåëè÷èíà σ( X ) íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé
Äëÿ òîãî ÷òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ðàññåÿíèå íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé
êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà âûáîðêè âîêðóã ñâîåãî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ
x B ââîäÿò íèæåñëåäóþùóþ õàðàêòåðèñòèêó.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Âûáîðî÷íîé äèñïåðñèåé DB íàçûâàåòñÿ ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå êâàäðàòîâ îòêëîíåíèé íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé
ïðèçíàêà X îò âûáîðî÷íîé ñðåäíåé x B .
Åñëè âñå çíà÷åíèÿ õ1, x2, , õn ïðèçíàêà âûáîðêè îáúåìà n ðàçëè÷íû, òî
1 n
(9)
DB = ∑ ( x i − x B ) 2 .
n i =1
Åñëè æå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà õ1, x2, , xk èìåþò ñîîòâåòñòâåííî ÷àñòîòû ï1, n2, , nk, ïðè÷åì ï1 + n2 + + nk = n, òî
1 k
(10)
DB = ∑ ( x i − x B ) 2 n i .
n i =1
Ï ð è ì å ð 2. Âûáîðî÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü çàäàíà òàáëèöåé ðàñïðåäåëåíèÿ:
õi
1
2
3
4
ni
20
15
10
5
Íàéòè âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ. Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (4) è (10) èìååì:
1 ⋅ 20 + 2 ⋅ 15 + 3 ⋅ 10 + 4 ⋅ 5 100
=
= 2,
20 + 15 + 10 + 5
50
(1 − 2)2 ⋅ 20 + (2 − 2)2 ⋅ 15 + (3 − 2)2 ⋅ 10 + (4 − 2)2 ⋅ 5 50
DB =
=
= 1.
50
50
xB =
Âûáîðî÷íûì ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì (ñòàíäàðòîì) íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíûé êîðåíü èç âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè:
σ B = DB .
 óñëîâèÿõ ïðèìåðà 2 ïîëó÷àåì, ÷òî σ B = D B = 1 = 1.
Íèæå, íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé, áóäåì ñ÷èòàòü çíà÷åíèÿ x1, õ2, , xn ïðèçíàêà ðàçëè÷íûìè.
Âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ, ðàññìàòðèâàåìóþ íàìè êàê ñëó÷àéíóþ âå~
ëè÷èíó, áóäåì îáîçíà÷àòü S 2 :
1 n
~
S 2 = ∑( X i − X ) 2 .
n i =1
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
n −1
Ò å î ð å ì à. ÌÎ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè ðàâíî
D ã , ò. å.
n
n −1
~2
M (S ) =
Dã .
n
485
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ÌÎ (ãë. 18) ïîëó÷àåì:
 1 n
1 n
~
M (S 2 ) = M  ∑ ( X i − X ) 2  = ∑ M [( X i − X ) 2 ].
 n i =1
 n i =1
Âû÷èñëèì îäíî ñëàãàåìîå M [( X i − X ) 2 ]. Èìååì:
M [( X i − X ) 2 ] = M ( X i2 − 2 X i X + X 2 ) = M ( X i2 ) − 2M ( X i X ) + M ( X 2 ).
Âû÷èñëèì ïî îòäåëüíîñòè ýòè ÌÎ. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1 äèñïåðñèè
(ãë. 18) è ôîðìóëàì (2), (8) èìååì:
M ( X i2 ) = M ( X 2 ) = D( X ) + M 2 ( X ) = D ã + a 2 .
Äàëåå, ñ ó÷åòîì ñâîéñòâà 4 ÌÎ
1


M ( X i X ) = M  X i ⋅ ( X 1 + X 2 + K + X n ) =
n


1
= [M ( X i X 1 ) + M ( X i X 2 ) + K + M ( X i X n )].
n
Òî ñëàãàåìîå ýòîé ñóììû, ó êîòîðîãî âòîðîé èíäåêñ ðàâåí i, ò.å. M(XiXi),
ðàâíî M ( X i2 ) = D ã + a 2 . Ó âñåõ îñòàëüíûõ ñëàãàåìûõ M(XiXj) èíäåêñû
ðàçíûå. Ïîýòîìó â ñèëó íåçàâèñèìîñòè Xi è Xj (ñì. ãë. 18)
M(XiXj) = M(Xi)M(Xj) = M(X)M(X) = M2(X) = a2.
Òàê êàê èìååì n − 1 òàêèõ ñëàãàåìûõ, òî
D
1
M ( X i X ) = [D ã + a 2 + (n − 1)a 2 ] = a 2 + ã .
n
n
 ñèëó ñâîéñòâà 1 äèñïåðñèè
M ( X 2 ) = D( X ) + M 2 ( X ).
Íàìè óæå íàéäåíû (ï. 2 è ï. 3)
M ( X ) = M ( X ) = a, D( X ) =
Ïîýòîìó
M (X 2 ) =
Òàêèì îáðàçîì,
Dã
.
n
Dã
+ a 2.
n
D  D
n −1

M [( X i − X ) 2 ] = D ã + a 2 − 2 a 2 + ã  + ã + a 2 =
Dã

n  n
n
è íå çàâèñèò îò èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ. Ïîýòîìó
1 n −1
n −1
~
M (S 2 ) = ⋅ n
Dã =
Dã .
n
n
n
Òåîðåìà äîêàçàíà.
486
 çàêëþ÷åíèå íàñòîÿùåãî ïóíêòà îòìåòèì, ÷òî åñëè âàðèàíòû xi —
áîëüøèå ÷èñëà, òî äëÿ îáëåã÷åíèÿ âû÷èñëåíèÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè
DB ôîðìóëó (9) ïðåîáðàçóþò ê ñëåäóþùåìó âèäó:
1 n
(11)
D B = ∑( x i −C ) 2 − ( x B −C ) 2 ,
n i =1
ãäå Ñ — ëîæíûé íóëü.
Äåéñòâèòåëüíî, ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (3) èìååì:
n
n
n
∑( x i −C ) 2 − n( x â −Ñ ) 2 = ∑ x i2 − 2C ∑ x i + nC 2 − nx â2 + 2nCx â − nC 2 =
i =1
i =1
i =1
n
n
n
= ∑ x i2 − 2nCx â − nx â2 + 2nCx â = ∑ x i2 − nx â2 = ∑ x i2 − 2nx â2 + nx â2 =
i =1
n
i =1
n
n
i =1
n
= ∑ x − 2 x â ∑ x + nx = ∑ ( x − 2 x i x â + x ) = ∑ ( x i − x â ) 2 ,
i =1
2
i
2
â
i =1
îòêóäà
Dâ =
i =1
2
i
2
â
i =1
1 n
1 n
( x i − x â ) 2 = ∑( x i −C ) 2 − ( x â −C ) 2 .
∑
n i =1
n i =1
Ï ð è ì å ð 3. Äëÿ âûáîðêè, óêàçàííîé â ïðèìåðå 2 èç ï. 2, èìååì (ëîæíûé íóëü îñòàåòñÿ ïðåæíèì C = 72,00):
10
∑ (x
i =1
10
i
− C )2 = ∑ α 2i = 0,0144 + 0,0049 + 0,0025 + 0,0049 + 0,0100 + 0,0004 +
i =1
+ 0,0049 + 0,0529 + 0,0121 + 0,0016 = 0,1086;
(x â − C )2 = (−0,038)2 ≈ 0,0014.
Íàêîíåö, ñîãëàñíî ôîðìóëå (11)
Dâ ≈
1
⋅ 0,1086 − 0,0014 = 0,0094
10
4. Îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ. Óæå ãîâîðèëîñü (ï. 1) î òîì, ÷òî
îäíîé èç çàäà÷ ñòàòèñòèêè ÿâëÿåòñÿ îöåíêà ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïî äàííûì âûáîðêè. Ïðè ýòîì â òåîðåòè÷åñêèõ
ðàññóæäåíèÿõ ñ÷èòàþò, ÷òî ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü áåñêîíå÷íà. Ýòî
äåëàåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû ìîæíî áûëî ïåðåõîäèòü ê ïðåäåëó ïðè n → ∞,
ãäå ï — îáúåì âûáîðêè. Äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ X èç äàííûõ âûáîðêè ñîñòàâëÿþò âûðàæåíèÿ, êîòîðûå äîëæíû ñëóæèòü îöåíêàìè íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ. Íàïðèìåð, X (ï. 2) ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé ãåíå~
ðàëüíîé ñðåäíåé, a S 2 (ï. 3) —îöåíêîé ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèè Dã.
~
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Θ îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð, ÷åðåç Θ n — îöåíêó ýòîãî ïà~
ðàìåòðà (Θ n ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì, ñîñòàâëåííûì èç X1, X2, , Xn (ñì. ï.
~
1)). Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíêà Θ n äàâàëà õîðîøåå ïðèáëèæåíèå, îíà äîëæíà
óäîâëåòâîðÿòü îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì. Óêàæåì ýòè òðåáîâàíèÿ.
~
Íåñìåùåííîé íàçûâàþò îöåíêó Θ n , ÌÎ êîòîðîé ðàâíî îöåíèâàåìî~
ìó ïàðàìåòðó Θ, ò. å. M (Θ n ) = Θ, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îöåíêà íàçûâàåòñÿ
ñìåùåííîé.
487
Ï ð è ì å ð 1. Îöåíêà X ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé à, òàê
êàê M (X ) = a (ñì. ï. 2).
Ï ð è ì å ð 2. Îöåíêà S~2 ÿâëÿåòñÿ ñìåùåííîé îöåíêîé ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèè Dã,
òàê êàê ñîãëàñíî óñòàíîâëåííîé âûøå òåîðåìå (ï. 3)
n −1
Dã ≠ Dã .
n
Ï ð è ì å ð 3. Íàðÿäó ñ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèåé S~2 ðàññìàòðèâàþò åùå òàê íàçûâàån − 1 ~2
ìóþ èñïðàâëåííóþ äèñïåðñèþ S 2 =
S , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ òàêæå îöåíêîé ãåíåðàëün
íîé äèñïåðñèè. Äëÿ S 2 ñ ó÷åòîì óñòàíîâëåííîé âûøå òåîðåìû (ï. 3) èìååì:
M (S~2 ) =
n
n n −1
 n ~2 
M (S 2 ) = M 
S =
M (S~2 ) =
Dã = Dã .
⋅
 n −1  n −1
n −1 n
2
Òàêèì îáðàçîì, îöåíêà S â îòëè÷èå îò îöåíêè S~2 ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé îöåíêîé ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèè. ßâíîå âûðàæåíèå äëÿ S2 èìååò âèä:
n ~2
n 1 n
1 n
S2 =
S =
⋅ ∑ (X i − X ) 2 =
∑ (X i − X ) 2 .
n −1
n − 1 n i =1
n − 1 i =1
ò. å.
1 n
(12)
∑( X i − X ) 2 .
n − 1 i =1
Åñòåñòâåííî â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà
áðàòü íåñìåùåííûå îöåíêè, äëÿ òîãî ÷òîáû íå äåëàòü ñèñòåìàòè÷åñêîé
îøèáêè â ñòîðîíó çàâûøåíèÿ èëè çàíèæåíèÿ.
~
Ñîñòîÿòåëüíîé íàçûâàþò òàêóþ îöåíêó Θ n ïàðàìåòðà Θ, ÷òî äëÿ ëþ~
áîãî íàïåðåä çàäàííîãî ÷èñëà ε > 0 âåðîÿòíîñòü P {| Θ n − Θ| < ε} ïðè ï → ∞
~
ñòðåìèòñÿ ê 1.  òàêîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî Θ n , ñõîäèòñÿ ê Θ ïî âåðîÿòíîñòè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ï ìîæíî ñ âåðîÿòíîñòüþ, áëèçêîé ê 1, ò. å. ïî÷òè íàâåðíîå, óòâåðæäàòü, ÷òî îöåíêà Θn îòëè÷àåòñÿ îò îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà Θ ìåíüøå ÷åì íà ε.
Î÷åâèäíî, òàêîìó òðåáîâàíèþ äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü âñÿêàÿ îöåíêà, ïðèãîäíàÿ äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ.
Çàìåòèì, ÷òî íåñìåùåííàÿ îöåíêà Θn áóäåò ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè
~
ïðè n → ∞ åå äèñïåðñèÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ: D(Θ n ) → 0. Ýòî ñëåäóåò èç
íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà (5) (ñì. § 18.9, ï.1).
S2 =
D
Ï ð è ì å ð 4. Êàê óñòàíîâëåíî âûøå (ñì. ï. 3), D (X ) = ã . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íån
ñìåùåííàÿ îöåíêà X ÿâëÿåòñÿ è ñîñòîÿòåëüíîé, òàê êàê
1
D
lim D (X ) = lim ã = Dã lim = 0.
n→ ∞
n→ ∞ n
n→ ∞ n
2
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî íåñìåùåííàÿ îöåíêà S ÿâëÿåòñÿ òàêæå ñîñòîÿòåëüíîé. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå îöåíêè ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèè ïðèíèìà~
þò èñïðàâëåííóþ äèñïåðñèþ. Çàìåòèì, ÷òî îöåíêè S2 è S 2 îòëè÷àþòñÿ
n
~
, êîòîðûé ñòðåìèòñÿ ê 1 ïðè n → ∞. Íà ïðàêòèêå S 2 è
ìíîæèòåëåì
n −1
S2 íå ðàçëè÷àþò ïðè n > 30.
488
Äëÿ îöåíêè ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ
èñïîëüçóþò èñïðàâëåííîå ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, êîòîðîå ðàâíî êâàäðàòíîìó êîðíþ èç èñïðàâëåííîé äèñïåðñèè:
1 n
(13)
∑( X i − X ) 2 .
n − 1 i =1
Ëåâûå ÷àñòè ôîðìóë (12), (13), â êîòîðûõ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1,
X2, , Õn çàìåíåíû èõ ðåàëèçàöèÿìè õ1, x2, , xn è X — âûáîðî÷íîé ñðåä2
íåé x B , áóäåì îáîçíà÷àòü ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç s è s.
Îòìåòèì, ÷òî åñëè âàðèàíòû xi — áîëüøèå ÷èñëà, òî äëÿ îáëåã÷åíèÿ
âû÷èñëåíèÿ s2 ôîðìóëó äëÿ s2 àíàëîãè÷íî ôîðìóëå (9) ïðåîáðàçóþò ê
âèäó:
S=
s2 =
n 1 n

( x i − C ) 2 − ( x B − C ) 2 ,
∑

n − 1  n i =1

(14)
ãäå C — ëîæíûé íóëü.
Îöåíêè, îáëàäàþùèå ñâîéñòâàìè íåñìåùåííîñòè è ñîñòîÿòåëüíîñòè, ïðè îãðàíè÷åííîì ÷èñëå îïûòîâ ìîãóò îòëè÷àòüñÿ äèñïåðñèÿìè.
ßñíî, ÷òî, ÷åì ìåíüøå äèñïåðñèÿ îöåíêè, òåì ìåíüøå âåðîÿòíîñòü
ãðóáîé îøèáêè ïðè îïðåäåëåíèè ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà.
Ïîýòîìó íåîáõîäèìî, ÷òîáû äèñïåðñèÿ îöåíêè áûëà ìèíèìàëüíîé.
Îöåíêà, îáëàäàþùàÿ òàêèì ñâîéñòâîì, íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé.
Èç îòìå÷åííûõ òðåáîâàíèé, ïðåäúÿâëÿåìûõ ê îöåíêå, íàèáîëåå âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ íåñìåùåííîñòè è ñîñòîÿòåëüíîñòè.
Ï ð è ì å ð 5. Ñ ïëîäîâîãî äåðåâà ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòîáðàíî 10 ïëîäîâ. Èõ âåñà õ1, x2,
, x10 (â ãðàììàõ) çàïèñàíû â ïåðâîé êîëîíêå ïðèâåäåííîé íèæå òàáëèöû. Îáðàáîòàåì ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå âûáîðêè. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ x B è s ïî ôîðìóëàì (6) è (14) ââåäåì ëîæíûé
íóëü C = 250 è âñå íåîáõîäèìûå ïðè ýòîì âû÷èñëåíèÿ ñâåäåì â óêàçàííóþ òàáëèöó:
i
xi
xi − C
(xi − C)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
225
274
305
253
220
245
211
234
230
231
− 25
24
55
3
− 30
−5
− 39
− 16
− 20
− 19
625
576
3025
9
900
25
1521
256
400
261
− 72
7598
Ñóììà
2
489
Ñëåäîâàòåëüíî.
x B = 250 +
s=
Îòñþäà:
1 10
1
∑ (x i − 250) = 250 + 10 (−72) = 250 − 7,2 ≈ 243 (ã);
10 i =1
10  1 10
10
2
2
[759,8 − (−7,2)2 ] ≈ 28 ã.
 ∑ (x i − 250) − (250 − 7,2 − 250)  =
9 10 i =1
9

s
≈ 9 ã.
10
Èòàê, îöåíêà ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé âåñà ïëîäà ðàâíà 243 ã ñî ñðåäíåé êâàäðàòè÷åñêîé
îøèáêîé 9 ã.
Îöåíêà ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ âåñà ïëîäà ðàâíà 28 ã.
Ï ð è ì å ð 6. ×åðåç êàæäûé ÷àñ èçìåðÿëîñü íàïðÿæåíèå òîêà â ýëåêòðîñåòè. Ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé â âîëüòàõ ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåé òàáëèöå:
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
xi
222
219
224
220
218
217
221
220
215
218
223
225
i
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
xi
220
226
221
216
211
219
220
221
222
218
221
219
Íàéòè îöåíêè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé.
Îöåíêè äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè íàéäåì ïî ôîðìóëàì (6) è (14), ïîëîæèâ Ñ =220. Âñå íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäåíû â íèæåñëåäóþùåé òàáëèöå:
i
xi − C
(xi − C)
1
2
2
i
xi − C
(xi − C)
25
17
1
1
−2
4
18
−1
1
11
3
9
19
0
0
0
12
5
25
20
1
1
−2
4
13
0
0
21
2
4
6
−3
9
14
6
36
22
−2
4
7
1
1
15
1
1
23
1
1
8
0
0
16
−4
16
24
−1
1
Ñóììà
1
35
4
116
1
13
490
i
xi − C
(xi − C)
4
9
−5
−1
1
10
3
4
16
4
0
5
2
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî,
x â = 220 +
s2 =
1 24
6
∑ (x i − 220) = 220 + 24 = 220,25 B;
24 i =1
24  1 24
2
2
 ∑ (x i − 220) − (220,25 − 220)  ≈ 7,06 B.
23  24 i =1

§ 19.3. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ïàðàìåòðîâ
íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
1. Íàäåæíîñòü. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû. Ïóñòü Θ — îöåíèâàåìûé
~
ïàðàìåòð, Θ n — åãî îöåíêà, ñîñòàâëåííàÿ èç X1, X2, , Xn.
~
Åñëè èçâåñòíî, ÷òî îöåíêà Θ n ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è ñîñòîÿòåëü~
íîé, òî ïî äàííûì âûáîðêè âû÷èñëÿþò çíà÷åíèå Θ n è ñ÷èòàþò åãî ïðèáëèæåíèåì èñòèííîãî çíà÷åíèÿ Θ. Ïðè ýòîì ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå (åñëè åãî âîîáùå âû÷èñëÿþò) îöåíèâàåò ïîðÿäîê îøèáêè.
Òàêèå îöåíêè íàçûâàþò òî÷å÷íûìè. Íàïðèìåð, â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ðå÷ü øëà î òî÷å÷íûõ îöåíêàõ ãåíåðàëüíîé ñðåäíåé è ãåíåðàëüíîé äèñïåðñèè.  îáùåì ñëó÷àå, êîãäà î ðàñïðåäåëåíèè ïðèçíàêà X íè÷åãî íåèçâåñòíî, ýòî óæå íåìàëî.
Åñëè æå î ðàñïðåäåëåíèè èìååòñÿ êàêàÿ-ëèáî èíôîðìàöèÿ, òî ìîæíî ñäåëàòü áîëüøå.
 äàííîì ïàðàãðàôå ðå÷ü áóäåò èäòè îá îöåíêå ïàðàìåòðîâ à è σ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èìåþùåé íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ýòî î÷åíü
âàæíûé ñëó÷àé. Íàïðèìåð (ñì. §18.10), ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ èìååò
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.  ýòîì ñëó÷àå ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì ïðèìåíÿòü òàê íàçûâàåìîå èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå, ê èçëîæåíèþ êîòîðîãî ìû è ïåðåõîäèì.
Ïóñòü δ > 0 — íåêîòîðîå ÷èñëî. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
~
~
~
| Θ − Θ n | < δ, ò. å. −δ < Θ − Θ n < δ, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: Θ n − δ <
~
~
~
< Θ < Θ n + δ, òî ãîâîðÿò,÷òî èíòåðâàë (Θ n − δ, Θ n + δ) ïîêðûâàåò ïàðà~
ìåòð Θ. Îäíàêî íåâîçìîæíî óêàçàòü îöåíêó Θ n , òàêóþ, ÷òîáû ñîáûòèå
~
{| Θ − Θ n | < δ} áûëî äîñòîâåðíûì, ïîýòîìó ìû áóäåì ãîâîðèòü î âåðîÿò~
íîñòè ýòîãî ñîáûòèÿ. ×èñëî δ íàçûâàåòñÿ òî÷íîñòüþ îöåíêè Θ n .
Î ï ð å ä å ë å í è å. Íàäåæíîñòüþ (äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ)
~
îöåíêè Θ n ïàðàìåòðà Θ äëÿ çàäàííîãî δ > 0 íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü γ
~
~
òîãî, ÷òî èíòåðâàë (Θ n − δ, Θ n + δ) ïîêðîåò ïàðàìåòð Θ, ò. å.
~
~
~
γ = P {Θ n − δ < Θ < Θ n + δ} = P {| Θ n − Θ| < δ}.
Çàìåòèì, ÷òî ïîñëå òîãî, êàê ïî äàííûì âûáîðêè âû÷èñëåíà îöåíêà
~
~
Θ n , ñîáûòèå {| Θ n − Θ| < δ} ñòàíîâèòñÿ èëè äîñòîâåðíûì, èëè íåâîçìîæ~
~
íûì, òàê êàê èíòåðâàë (Θ n − δ, Θ n + δ) èëè ïîêðûâàåò Θ, èëè íåò. Íî
äåëî â òîì, ÷òî ïàðàìåòð Θ íàì íåèçâåñòåí. Ïîýòîìó ìû íàçûâàåì íà-
491
~
äåæíîñòüþ γ óæå âû÷èñëåííîé îöåíêè Θ n âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èíòåð~
~
âàë(Θ n − δ, Θ n + δ) íàéäåííûé äëÿ ïðîèçâîëüíîé âûáîðêè, ïîêðîåò Θ.
Åñëè ìû ñäåëàåì ìíîãî âûáîðîê îáúåìà n è äëÿ êàæäîé èç íèõ ïîñòðî~
~
èì èíòåðâàë (Θ n − δ, Θ n + δ) , òî äîëÿ òåõ âûáîðîê, ÷üè èíòåðâàëû ïîêðîþò Θ, ðàâíà γ.
~
Èíûìè ñëîâàìè γ åñòü ìåðà íàøåãî äîâåðèÿ âû÷èñëåííîé îöåíêå Θ n .
ßñíî, ÷òî, ÷åì ìåíüøå ÷èñëî δ, òåì ìåíüøå íàäåæíîñòü γ.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì íàçûâàåòñÿ íàéäåí~
~
íûé ïî äàííûì âûáîðêè èíòåðâàë (Θ n − δ, Θ n + δ), êîòîðûé ïîêðûâàåò
ïàðàìåòð Θ ñ çàäàííîé íàäåæíîñòüþ γ.
Íàäåæíîñòü γ îáû÷íî ïðèíèìàþò ðàâíîé 0,95, èëè 0,99, èëè 0,999.
Êîíå÷íî, íåëüçÿ êàòåãîðè÷åñêè óòâåðæäàòü, ÷òî íàéäåííûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ïîêðûâàåò ïàðàìåòð Θ. Íî â ýòîì ìîæíî áûòü óâåðåííûì íà 95% ïðè γ = 0,95, íà 99% ïðè γ = 0,99 è ò. ä. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè
ñäåëàòü ìíîãî âûáîðîê, òî äëÿ 95% èç íèõ (åñëè, íàïðèìåð, γ = 0,95) âû÷èñëåííûå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äåéñòâèòåëüíî ïîêðîþò Θ.
2. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ÌÎ ïðè èçâåñòíîì σ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σ îøèáêè èçìåðåíèÿ (à âìåñòå
ñ íåþ è ñàìîãî èçìåðåíèÿ) áûâàåò èçâåñòíî. Íàïðèìåð, åñëè èçìåðåíèÿ
ïðîèçâîäÿòñÿ îäíèì è òåì æå ïðèáîðîì ïðè îäíèõ è òåõ æå óñëîâèÿõ,òî
σ äëÿ âñåõ èçìåðåíèé îäíî è òî æå è îáû÷íî áûâàåò èçâåñòíî.
Èòàê, ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ ïàðàìåòðàìè à è σ, ïðè÷åì σ èçâåñòíî. Ïîñòðîèì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, ïîêðûâàþùèé íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð à ñ çàäàííîé íàäåæíîñòüþ
γ. Äàííûå âûáîðêè åñòü ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1, X2, , Xn,
èìåþùèõ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè à è σ (§19.2,
ï. 1). Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî è âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
1
X = ( X 1 + X 2 + K + X n ) òîæå èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (ýòî
n
ìû ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà). Ïðè ýòîì (ñì. §19.2, ïï. 2, 3):
σ
.
M ( X ) = a, σ( X ) =
n
Ïîòðåáóåì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå P(| X − a | < δ) = γ, ãäå
γ — çàäàííàÿ íàäåæíîñòü. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (21) (§18.8, ï. 5),
ïîëó÷èì:
δ n
P(| X − a | < δ) = 2Φ 

 σ 
èëè
P(| X − a | < δ) = 2Φ(t ),
ãäå
δ n
.
(1)
t=
σ
492
Íàéäÿ èç ðàâåíñòâà (1) δ =
tσ
n
, ìîæåì íàïèñàòü:
tσ 

P  | X − a|<
 = 2Φ(t ).

n
Òàê êàê P çàäàíà è ðàâíà γ, òî îêîí÷àòåëüíî èìååì (äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðàáî÷åé ôîðìóëû âûáîðî÷íóþ ñðåäíþþ çàìåíÿåì íà x B ):
tσ
tσ 

P x B −
< a < xB +
 = 2Φ(t ) = γ .

n
n
Ñìûñë ïîëó÷åííîãî ñîîòíîøåíèÿ òàêîâ: ñ íàäåæíîñòüþ γ ìîæíî óòtσ
tσ 

âåðæäàòü, ÷òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë  x B −
, xB +
 ïîêðûâà
n
n
tσ
. Çäåñü ÷èñëî t îïåò íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð a; òî÷íîñòü îöåíêè δ =
n
γ
ðåäåëÿåòñÿ èç ðàâåíñòâà Φ(t ) = (îíî ñëåäóåò èç 2Ô(t) = γ) ïî òàáëèöå
2
ïðèëîæåíèÿ 4.
Êàê óæå óïîìèíàëîñü, íàäåæíîñòü γ îáû÷íî ïðèíèìàþò ðàâíîé èëè
0,95, èëè 0,99, èëè 0,999.
Ï ð è ì å ð. Ïðèçíàê X ðàñïðåäåëåí â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íîðìàëüíî ñ èçâåñòíûì σ = 0,40. Íàéòè ïî äàííûì âûáîðêè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ a ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0,99, åñëè n = 20, x B = 6,34.
γ 0,99
Äëÿ Φ(t ) = =
= 0,495 íàõîäèì ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 4 t = 2,58. Ñëåäîâàòåëüíî,
2
2
0,40
δ = 2,58 ⋅
≈ 0,23. Êîíöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà 6,34 − 0,23 = 6,11 è 6,34 + 0,23 = 6,57.
20
Èòàê, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (6,11; 6,57) ïîêðûâàåò a ñ íàäåæíîñòüþ 0,99.
3. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ÌÎ ïðè íåèçâåñòíîì σ. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ íåèçâåñòíûìè íàì
ïàðàìåòðàìè a è σ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (åå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç t):
T =
X −a
,
S
n
ãäå n — îáúåì âûáîðêè, X — âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ, S — èñïðàâëåííîå
ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, èìååò ðàñïðåäåëåíèå, íå çàâèñÿ*
ùåå îò à è σ. Îíî íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà .
*
Ñòüþäåíò —ïñåâäîíèì àíãëèéñêîãî ñòàòèñòèêà Ãîññåòà.
493
Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà äàåòñÿ ôîðìóëîé
−
n

t2  2
S (t, n ) = B n  1 +
 ,
 n − 1
ãäå êîýôôèöèåíò Bn çàâèñèò îò îáúåìà âûáîðêè.
Ïîòðåáóåì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå
P(|T | < t γ ) = γ,
ãäå γ — çàäàííàÿ íàäåæíîñòü.
Òàê êàê S(t, n) — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ îò t, òî, ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (9)
(§18.8), ïîëó÷èì:
tγ
 | X − a| n

P
< t γ  = 2 ∫ S (t, n )dt = γ .
S


0
Îòñþäà:
tγ S
tγ S 

P X −
<a<X +
 = γ.

n
n
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðèõîäèì ê óòâåðæäåíèþ: ñ íàäåæíîñòüþ γ ìîæíî óòtγ s
tγ s 

âåðæäàòü, ÷òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë  x B −
, xB +
 ïîêðûâàåò

n
n
tγ s
. Çäåñü ñëó÷àéíûå âåíåèçâåñòíûé ïàðàìåòð à; òî÷íîñòü îöåíêè δ =
n
ëè÷èíû X è S çàìåíåíû íåñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè x B è s, íàéäåííûìè ïî âûáîðêå.
 ïðèëîæåíèè 5 ïðèâåäåíà òàáëèöà çíà÷åíèé tγ = t (γ, n) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé n è îáû÷íî çàäàâàåìûõ çíà÷åíèé íàäåæíîñòè.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè n ≥ 30 ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ïðàêòè÷åñêè íå
îòëè÷àåòñÿ îò íîðìèðîâàííîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (§18.8, ï. 5).

t2 
Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî lim  1 +

n→ ∞ 
n − 1
−
n
2
=e
−
t2
2
.
Ï ð è ì å ð. Ïðèçíàê X ðàñïðåäåëåí â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íîðìàëüíî. Íàéòè
äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ x ã ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0,99, åñëè n = 20, x B = 6,34, s = 0,40. Äëÿ
íàäåæíîñòè γ = 0,99 è n = 20 íàõîäèì íî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 5 tγ = 2,861. Ñëåäîâàòåëüíî,
0,40
≈ 0,26. Êîíöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà 6,34 − 0,26 = 6,08 è 6,34 + 0,26 =
20
= 6,60. Èòàê, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (6,08; 6,60) ïîêðûâàåò x ã ñ íàäåæíîñòüþ 0,99.
δ = 2,861 ⋅
4. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ñðåäíåãî êâàäðàòè÷å-
494
ñêîãî îòêëîíåíèÿ σ áóäåì èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèå, óñòàíàâëèâàåìîå àíàëîãè÷íî äâóì ïðåäûäóùèì (ï. 2 è 3).
Ñ íàäåæíîñòüþ γ ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë
(s − sq; s + sq) ïîêðûâàåò íåèçâåñòíûé ïàðàìåòð σ; òî÷íîñòü îöåíêè δ = sq.
 ïðèëîæåíèè 6 ïðèâåäåíà òàáëèöà çíà÷åíèé q = q(γ, n) äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé n è îáû÷íî çàäàâàåìûõ çíà÷åíèé íàäåæíîñòè γ.
Ï ð è ì å ð 1. Ïðèçíàê X ðàñïðåäåëåí â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íîðìàëüíî. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σã ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0,95, åñëè n = 20, s = 0,40.
Äëÿ íàäåæíîñòè γ = 0,95 è n = 20 íàõîäèì â òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 6 q = 0,37. Äàëåå sq =
= 0,40 ⋅ 0,37 ≈ 0,15. Êîíöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà 0,40 − 0,15 = 0,25 è 0,40 + 0,15 = 0,55.
Èòàê, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (0,25; 0,55) ïîêðûâàåò σã ñ íàäåæíîñòüþ 0,95.
Ï ð è ì å ð 2. Íà ôåðìå èñïûòûâàëîñü âëèÿíèå âèòàìèíîâ íà ïðèáàâêó â ìàññå òåëÿò. Äëÿ ýòîé öåëè áûëî îñìîòðåíî 20 òåëÿò îäíîãî âîçðàñòà. Ñðåäíÿÿ ìàññà èõ îêàçàëàñü
ðàâíîé 340 êã, à «èñïðàâëåííîå» ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå — 20 êã.
Îïðåäåëèòü: 1) äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ à ñ íàäåæíîñòüþ 0,95; 2) äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ ñ òîé
æå íàäåæíîñòüþ.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è èñõîäèòü èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî äàííûå ïðîáû âçÿòû èç íîðìàëüíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Ð å ø å í è å. 1) Ñîãëàñíî óñëîâèÿì çàäà÷è xâ = 340; s = 20; γ = 0,95; n =20, Íàõîäèì â
20
òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 5 tγ = 2,093. Ñëåäîâàòåëüíî,δ = 2,093
≈ 9,4.Êîíöû äîâåðèòåëüíî20
ãî èíòåðâàëà 340 − 9,4 = 330,6 è 340 + 9,4 = 349,4. Èòàê, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë (330,6;
349,4) ïîêðûâàåò à ñ íàäåæíîñòüþ 0,95.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå èñòèííàÿ ìàññà èçìåðåíà äîñòàòî÷íî òî÷íî (îò9,4
êëîíåíèå ïîðÿäêà
≈ 0,03).
340
2) Äëÿ íàäåæíîñòè γ = 0,95 è n = 20 íàõîäèì â òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 6 q = 0,37. Äàëåå
sq =20 · 0,37 = 7,4. Êîíöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà 20 - 7,4 = 12,6 è 20 + 7,4 = 27,4. Òàêèì
îáðàçîì, 12,6 < σ < 27,4, îòêóäà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî σ îïðåäåëåíî íåóäîâëåòâîðèòåëüsq
íî (îòêëîíåíèå ïîðÿäêà
= q ≈ 0,4 — ïî÷òè ïîëîâèíà!). ×òîáû ñóçèòü äîâåðèòåëüíûé
s
èíòåðâàë ïðè òîé æå íàäåæíîñòè, íåîáõîäèìî óâåëè÷èòü ÷èñëî ïðîá n.
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Âûøå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî q < 1. Åñëè q > 1, òî, ó÷èòûâàÿ, ÷òî σ > 0,
ïîëó÷àåì 0 < σ < s + sq. Çíà÷åíèÿ q è â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿþòñÿ ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 6.
Ï ð è ì å ð 3. Ïðèçíàê X ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ðàñïðåäåëåí íîðìàëüíî. Ïî çàáîðêå îáúåìà n = 10 íàéäåíî «èñïðàâëåííîå» ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå s = 0,16.
Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ σã íàäåæíîñòüþ 0,999.
Äëÿ íàäåæíîñòè γ = 0,999 è n = 10 ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 6 íàõîäèì q = 1,80.
495
Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë òàêîâ:
0 < σã < 0,16 + 0,16⋅1,80
èëè
0 < σã < 0,448.
5. Îöåíêà èñòèííîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïóñòü ïðîèçâîäèòñÿ n íåçàâèñèìûõ ðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû, èñòèííîå çíà÷åíèå à êîòîðîé íåèçâåñòíî. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðåçóëüòàòû îòäåëüíûõ èçìåðåíèé êàê ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû X1, X2, , Xn. Ýòè âåëè÷èíû íåçàâèñèìû (èçìåðåíèÿ íåçàâèñèìû), èìåþò îäíî è òî æå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå a (èñòèííîå
çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû), îäèíàêîâûå äèñïåðñèè σ2 (èçìåðåíèÿ ðàâíîòî÷íû) è ðàñïðåäåëåíû íîðìàëüíî (òàêîå äîïóùåíèå ïîäòâåðæäàåòñÿ îïûòîì). Òàêèì îáðàçîì, âñå ïðåäïîëîæåíèÿ, êîòîðûå
áûëè ñäåëàíû ïðè âûâîäå äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ â ïóíêòàõ 2 è 3
íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà, âûïîëíÿþòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ìû âïðàâå èñïîëüçîâàòü ïîëó÷åííûå â íèõ ïðåäëîæåíèÿ. Òàê êàê îáû÷íî σ íåèçâåñòíî, ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ïðåäëîæåíèåì, íàéäåííûì â ïóíêòå 3
äàííîãî ïàðàãðàôà.
Ï ð è ì å ð. Ïî äàííûì äåâÿòè íåçàâèñèìûõ ðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû íàéäåíû ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ðåçóëüòàòîâ îòäåëüíûõ èçìåðåíèé x B = 42,319 è
«èñïðàâëåííîå» ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå s = 5,0. Òðåáóåòñÿ îöåíèòü èñòèííîå
çíà÷åíèå à èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0,99.
Èñòèííîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû ðàâíî åå ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ.
Ïîýòîìó çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îöåíêå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (ïðè íåèçâåñòíîì σ) ïðè
ïîìîùè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
xB −
tγ s
n
< a < xB +
tγ s
n
,
ïîêðûâàþùåãî à ñ çàäàííîé íàäåæíîñòüþ γ = 0,99.
Ïîëüçóÿñü òàáëèöåé ïðèëîæåíèÿ 5 ïî γ = 0,99 è n = 9, íàõîäèì tγ = 3,36.
Íàéäåì òî÷íîñòü îöåíêè:
δ=
tγ s
n
= 3,36 ⋅
5
5
= 3,36 ⋅ = 5,60.
3
9
Êîíöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
42,319 − 5,60 = 36,719
è
42,319 + 5,60 = 47,919.
Èòàê, ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0,99 èñòèííîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû à çàêëþ÷åíî
â äîâåðèòåëüíîì èíòåðâàëå 36,719 < à < 47,919.
496
6. Îöåíêà òî÷íîñòè èçìåðåíèé.  òåîðèè îøèáîê ïðèíÿòî òî÷íîñòü
èçìåðåíèé (òî÷íîñòü ïðèáîðà) õàðàêòåðèçîâàòü ñ ïîìîùüþ ñðåäíåãî
êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ σ ñëó÷àéíûõ îøèáîê èçìåðåíèé. Äëÿ
îöåíêè σ èñïîëüçóþò «èñïðàâëåííîå» ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå s. Ïîñêîëüêó îáû÷íî ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé íåçàâèñèìû, èìåþò
îäíî è òî æå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (èñòèííîå çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû) è îäèíàêîâóþ äèñïåðñèþ (â ñëó÷àå ðàâíîòî÷íûõ èçìåðåíèé), òî óòâåðæäåíèå, ïðèâåäåííîå â ï. 4, ïðèìåíèìî äëÿ îöåíêè
òî÷íîñòè èçìåðåíèé.
Ï ð è ì å ð. Ïî 16 íåçàâèñèìûì ðàâíîòî÷íûì èçìåðåíèÿì íàéäåíî «èñïðàâëåííîå» ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå s = 0,4. Íàéòè òî÷íîñòü èçìåðåíèé ñ íàäåæíîñòüþ γ = 0,99.
Êàê îòìå÷åíî âûøå, òî÷íîñòü èçìåðåíèé õàðàêòåðèçóåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷åñêèì
îòêëîíåíèåì σ ñëó÷àéíûõ îøèáîê èçìåðåíèé. Ïîýòîìó çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ
äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà (s − sq; s + sq), ïîêðûâàþùåãî σ ñ çàäàííîé íàäåæíîñòüþ γ =
= 0,99 (ñì. ï. 4). Ïî òàáëèöå ïðèëîæåíèÿ 6 ïî γ = 0,99 è n = 16 íàéäåì q = 0,70. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë òàêîâ:
0,4(l − 0,70) < σ < 0,4(l + 0,70)
èëè
0,12 < σ < 0,68.
§ 19.4. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç
Ïóñòü ïî âûáîðêå îáúåìà n ïîëó÷åíî ýìïèðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå:
Âàðèàíòû
x1
x2
xm
Ýìïèðè÷åñêèå (íàáëþäàåìûå) ÷àñòîòû
ï1
ï2
nm
Ïî äàííûì íàáëþäåíèÿ âûäâèãàþò ãèïîòåçó î çàêîíå ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, íàïðèìåð, ïðåäïîëàãàþò, ÷òî ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ðàñïðåäåëåíà ðàâíîìåðíî èëè íîðìàëüíî. Òàêèå ãèïîòåçû íàçûâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèìè. Çàòåì äëÿ òåõ æå îáúåêòîâ, êîòîðûå ïîïàëè â âûáîðêó, âû÷èñëÿþò ÷àñòîòû, óæå èñõîäÿ èç
òåîðåòè÷åñêîé ãèïîòåçû.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ ÷àñòîòû (èõ íàçûâàþò âûðàâíèâàþùèìè ÷àñòîòàìè), êîòîðûå, âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷àþòñÿ
îò íàáëþäàâøèõñÿ. Êàê îïðåäåëèòü, ïðàâèëüíî èëè íåò âûäâèíóòà ãèïîòåçà, ò. å. ñëó÷àéíû ëè ðàñõîæäåíèÿ íàáëþäàâøèõñÿ è âûðàâíèâàþùèõ ÷àñòîò èëè ýòè ðàñõîæäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì íåïðàâèëüíîñòè
ãèïîòåçû? Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî âîïðîñà ïðèìåíÿþò êðèòåðèè ñîãëàñèÿ
497
ýìïèðè÷åñêèõ íàáëþäåíèé âûäâèíóòîé ãèïîòåçå. Èìååòñÿ íåñêîëüêî
êðèòåðèåâ ñîãëàñèÿ: χ2 («õè êâàäðàò») Ê. Ïèðñîíà, Êîëìîãîðîâà,
Ñìèðíîâà è äð. Ìû ïîçíàêîìèìñÿ ñ êðèòåðèåì ñîãëàñèÿ χ2 («õè êâàäðàò») Ïèðñîíà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà îñíîâå ïðèâåäåííîãî âûøå ðàñïðåäåëåíèÿ
âûäâèíóòà ãèïîòåçà Í: ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü èìååò íîðìàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âûðàâíèâàþùèõ ÷àñòîò ïîñòóïàþò
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
l) íàõîäÿò çíà÷åíèÿ x B , σ B = D B ;
2) âûðàâíèâàþùèå ÷àñòîòû n i′ èùóò ïî ôîðìóëå
nh
ϕ(u i ),
n i′ =
σB
ãäå n — ñóììà íàáëþäàâøèõñÿ ÷àñòîò, h — ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ ñîñåäu2
xi − x B
1 −2
íèìè âàðèàíòàìè, u i =
è ϕ(u ) =
e .
σB
2π
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíî ìíîæåñòâî âûðàâíèâàþùèõ ÷àñòîò:
n 1′ , n 2′ , K, n m′ .
2
Îáîçíà÷èì ÷åðåç χ ñóììó êâàäðàòîâ ðàçíîñòåé ìåæäó ýìïèðè÷åñêèìè è âûðàâíèâàþùèìè ÷àñòîòàìè, äåëåííûõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå
âûðàâíèâàþùèå ÷àñòîòû:
m
(n − n i′ ) 2 *
.
(1)
χ2 = ∑ i
n i′
i =1
Äëÿ äàííîé âûáîðêè ïî ôîðìóëå (1) íàõîäèì çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû χ2. Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç χ 20 . Çàòåì îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëî k = m − 3,
íàçûâàåìîå ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû, ãäå m — ÷èñëî ðàçëè÷íûõ âàðèàíò
âûáîðêè.
Òåïåðü ïðîâåðêà ãèïîòåçû Í ïðîâîäèòñÿ òàê. Çàäàþòñÿ óðîâíåì
çíà÷èìîñòè p, ò. å. ñòîëü ìàëîé âåðîÿòíîñòüþ ð, ïðè êîòîðîé î ñîáûòèè
{χ 20 > χ 2 }, èìåþùåì âåðîÿòíîñòü p, ìîæíî ñ áîëüøîé óâåðåííîñòüþ
ñêàçàòü, ÷òî â åäèíè÷íîì èñïûòàíèè îíî íå ïðîèçîéäåò.  òàáëèöå çíà÷åíèé χ 2 ïî çàäàííîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè p è ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû
k (ïðèëîæåíèå 7) íàõîäÿò çíà÷åíèå χ 2(p; k). Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî
χ 20 > χ 2 (p; k), òî ãèïîòåçà Í îòâåðãàåòñÿ íà óðîâíå çíà÷èìîñòè ð, òàê êàê
ïðîèçîøëî ñîáûòèå, êîòîðîå íå äîëæíî áûëî ïðîèçîéòè ïðè âåðíîé
ãèïîòåçå Í; åñëè æå χ 20 < χ 2 , òî Í ïðèíèìàåòñÿ íà óðîâíå çíà÷èìîñòè p.
Îáû÷íî â êà÷åñòâå p áåðóò ëèáî 0,05, ëèáî 0,01, ëèáî 0,001.
*
Èç ýòîé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî ÷åì ìåíüøå ðàçëè÷èå ìåæäó ýìïèðè÷åñêèìè è âûðàâíèâàþùèìè ÷àñòîòàìè, òåì ìåíüøå áóäåò χ2.
498
Ï ð è ì å ð. Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,05 ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î íîðìàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, åñëè èçâåñòíû ýìïèðè÷åñêèå è òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû:
ýìïèðè÷åñêèå ÷àñòîòû 6 13 38 74 106 85 30 14
òåîðåòè÷åñêèå ÷àñòîòû 3 14 42 82 99 76 37 13
Âû÷èñëèì χ 20 , äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì ðàñ÷åòíóþ òàáëèöó:
i
ni
n′ i
ni − n′i
(ni − n′i )2
(ni − ni′ )2
n′i
1
6
3
3
9
3
2
13
14
−1
1
0,07
3
38
42
−4
16
0,38
4
74
82
−8
64
0,78
5
106
99
7
49
0,49
6
85
76
9
81
1,07
7
30
37
−7
49
1,32
8
14
13
1
1
0,08
χ 20 = 7,19
Íàéäåì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ÷èñëî ðàçëè÷íûõ âàðèàíò m = 8. Èìååì: k = 8 − 3 = 5. Ïî óðîâíþ çíà÷èìîñòè p = 0,05 è ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäû k = 5 ïî òàáëèöå
çíà÷åíèé χ2 (ïðèëîæåíèå 7) íàõîäèì: χ2(0,05; 5) = 11,1. Òàê êàê χ 20 < χ 2 (0,05; 5), íåò îñíîâàíèé îòâåðãíóòü ãèïîòåçó H.
§ 19.5. Ëèíåéíàÿ êîððåëÿöèÿ
1. Êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü. ×àñòî ïðèõîäèòñÿ èìåòü äåëî ñ áîëåå ñëîæíîé çàâèñèìîñòüþ, ÷åì ôóíêöèîíàëüíàÿ. Òàêîâà, íàïðèìåð,
ñâÿçü ìåæäó îñàäêàìè è óðîæàåì èëè ñâÿçü ìåæäó òîëùèíîé ñíåãîâîãî
ïîêðîâà çèìîé è îáúåìîì ñòîêà ïîñëåäóþùåãî ïîëîâîäüÿ. Çäåñü êàæäîìó çíà÷åíèþ îäíîé âåëè÷èíû ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ
çíà÷åíèé äðóãîé âåëè÷èíû. Ïîäîáíîãî ðîäà çàâèñèìîñòè îòíîñÿòñÿ ê
êîððåëÿöèîííûì çàâèñèìîñòÿì.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íàõîäÿòñÿ â
êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè, åñëè êàæäîìó çíà÷åíèþ ëþáîé èç ýòèõ âåëè÷èí ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äðóãîé âåëè÷èíû.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì (êðàòêî ÓÌÎ) äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè Y = y (ó — îïðåäåëåííîå
499
âîçìîæíîå çíà÷åíèå Y) íàçûâàåòñÿ ñóììà ïðîèçâåäåíèé âîçìîæíûõ
çíà÷åíèé âåëè÷èíû X íà èõ óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè.
n
M y ( X ) = ∑ x i P y ( X = x i ),
i =1
ãäå Py(X = xi) — óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ðàâåíñòâà X = xi ïðè óñëîâèè,
÷òî Y = y.
Äëÿ íåïðåðûâíûõ âåëè÷èí
M y (X ) =
+∞
∫x ϕ
y
( x )dx ,
−∞
ãäå ϕy(x) — ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé íåïðåðûâíîé âåëè÷èíû
X ïðè óñëîâèè Y = y.
ÓÌÎ My(X) åñòü ôóíêöèÿ îò ó: My(X) = f(y), êîòîðóþ íàçûâàþò ôóíêöèåé ðåãðåññèè âåëè÷èíû X íà âåëè÷èíó Y.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ÓÌÎ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y è ôóíêöèÿ
ðåãðåññèè Y íà X:
Mx(Y) = g(x).
Óðàâíåíèå x = f(y) (y = g(x)) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ðåãðåññèè X íà Y (Y
íà X), à ëèíèÿ íà ïëîñêîñòè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó óðàâíåíèþ, íàçûâàåòñÿ ëèíèåé ðåãðåññèè.
Ëèíèÿ ðåãðåññèè Y íà X (X íà Y ) ïîêàçûâàåò, êàê â ñðåäíåì çàâèñèò Y
îò X (X îò Y).
Ï ð è ì å ð 1. X è Y íåçàâèñèìû, M(X) = a, M(Y) = b. Òîãäà g(x) = Mx(Y) = M(Y) = b; f(y) =
= My(X) = M(X) = a. Ëèíèè ðåãðåññèè èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 207.
Ï ð è ì å ð 2. X è Y ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ: Y = AX + B, A ≠ 0. Òîãäà ôóíêöèÿ ðåãðåññèè Y íà X áóäåò èìåòü âèä:
g(x) = Mx(Y) = M(Ax + B) = Ax + B.
1
(Y − B ), òî ôóíêöèÿ ðåãA
ðåññèè X íà Y èìååò âèä:
Òàê êàê X =
1
 1
f ( y) = M y (X ) = M  ( y − B ) = ( y − B ).
A
 A
Çíà÷èò, ëèíèÿ ðåãðåññèè X íà Y: x =
Ðèñ. 207
500
1
( y − B ),
A
ò. å. y = Ax + B. Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè X è Y ëèíèÿ ðåãðåññèè
X íà Y è Y íà X ñîâïàäàþò, è ýòà ëèíèÿ —
ïðÿìàÿ.
2. Êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè. Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè êîððåëÿöèîííîé
çàâèñèìîñòè ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ââîäèòñÿ ïîíÿòèå êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Åñëè X è Y — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî (ñì. § 18.5)
M(XY) = M(X)M(Y).
(1)
Åñëè æå X è Y íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè,
òî, âîîáùå ãîâîðÿ, M(XY) ≠ M(X)M(Y).
Óñëîâèëèñü çà ìåðó ñâÿçè (çàâèñèìîñòè) äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X
è Y ïðèíÿòü áåçðàçìåðíóþ âåëè÷èíó r, îïðåäåëÿåìóþ ñîîòíîøåíèåì:
M ( XY ) − M ( X )M (Y )
σ( X )σ(Y )
èëè áîëåå êðàòíî ñîîòíîøåíèåì:
µ
,
r=
σ1σ 2
ãäå
µ = M(XY) − M(X)M(Y), σ1 = σ(X), σ2 = σ(Y),
r=
(2)
(3)
è íàçûâàåìóþ êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
µ = M(XY) − M(X)M(Y) = M[(X − M(X))(Y − M(Y))].
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íàçûâàþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè r = 0, è êîððåëèðîâàííûìè, åñëè r ≠ 0.
Ï ð è ì å ð 1. Íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y ÿâëÿþòñÿ íåêîððåëèðîâàííûìè, òàê êàê â ñèëó ñîîòíîøåíèÿ (1) r = 0.
Ï ð è ì å ð 2. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y ñâÿçàíû ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ: Y =
= AX + B, A ≠ 0. Íàéäåì êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè. Èìååì:
2
µ = M(XY) − M(X)M(Y) = M(AX + BX) − M(X)M(AX + Â) =
2
2
2
2
2
= AM(X ) + BM(X) − AM (X) − BM(X) = A(M(X ) − M (X)) = Aσ (X) (ñì. ãë. 18),
2
2
2
2
σ (Y) = D(Y) = D(AX + B) = D(AX) = A D(X) = A σ (X),
îòêóäà:
σ(Y) = |A|σ(X).
Ïîýòîìó
|r| =
| A| σ 2 ( X )
= 1.
| A| σ 2 ( X )
Òàêèì îáðàçîì, êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñâÿçàííûõ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ, ðàâåí ±1 (òî÷íåå, r = l, åñëè À > 0, è r = − 1, åñëè A < 0).
Îòìåòèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè.
501
Èç ïðèìåðà 1 ñëåäóåò:
1. Åñëè X è Y — íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, òî êîýôôèöèåíò
êîððåëÿöèè ðàâåí íóëþ.
Çàìåòèì, ÷òî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî.
2. Óêàæåì áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî | r | ≤ 1.Ïðè ýòîì åñëè | r | = 1, òî
ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X è Y èìååò ìåñòî ôóíêöèîíàëüíàÿ, à
èìåííî ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü.
3. Êàê âèäíî èç ôîðìóëû (2), êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò îòíîñèòåëüíóþ âåëè÷èíó îòêëîíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
ïðîèçâåäåíèÿ M(XY) îò ïðîèçâåäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé
M(X)M(Y) âåëè÷èí X è Y. Òàê êàê ýòî îòêëîíåíèå èìååò ìåñòî òîëüêî
äëÿ çàâèñèìûõ âåëè÷èí, òî ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè õàðàêòåðèçóåò òåñíîòó çàâèñèìîñòè ìåæäó X è Y.
3. Ëèíåéíàÿ êîððåëÿöèÿ. Ýòîò âèä êîððåëÿöèîííîé çàâèñèìîñòè âñòðå÷àåòñÿ äîâîëüíî ÷àñòî.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Êîððåëÿöèîííàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X è Y íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîððåëÿöèåé, åñëè îáå ôóíêöèè ðåãðåññèè f(ó) è g(x) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè.  ýòîì ñëó÷àå îáå ëèíèè
ðåãðåññèè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè; îíè íàçûâàþòñÿ ïðÿìûìè ðåãðåññèè.
Âûâåäåì óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ðåãðåññèè Y íà X, ò. å. íàéäåì êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôóíêöèè g(x) = Ax + B.
Îáîçíà÷èì M(X) = à, M(Y) = b, M [( X − a ) 2 ] = σ 12 , M [( X − b) 2 ] = σ 22 .
Ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâ MO (ãë. 18) íàõîäèì:
M(Y) = M[g(X)] = M(AX +B) = AM(X) + B,
ò. å. b = Aà + B, îòêóäà: B = b − Aa.
Äàëåå ñ ïîìîùüþ òåõ æå ñâîéñòâ ÌÎ èìååì:
M(XY) = M[Xg(X)] = M(AX2 + BX) =
= AM(X2) + BM(X) = AM(X2) + (b − Aa)a,
îòêóäà:
A=
µ
M (X 2 ) − a 2
èëè ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1 äèñïåðñèè (ãë. 18)
µ
A = 2.
σ1
Ïîëó÷åííûé êîýôôèöèåíò íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ðåãðåññèè Y íà
X è îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ρ(Y/X).
µ
(4)
ρ(Y / X ) = 2 .
σ1
502
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ïðÿìîé ðåãðåññèè Y íà X èìååò âèä:
y = ρ(Y/X)(x − a) + b.
(5)
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå ïðÿìîé ðåãðåññèè X íà Y:
y = ρ(X/Y)(y − b) + a,
(6)
ãäå
ρ( X / Y ) =
µ
(7)
σ 22
åñòü êîýôôèöèåíò ðåãðåññèè X íà Y.
Óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ ðåãðåññèè ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ñèììåòðè÷íîì âèäå, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî êîýôôèöèåíòà èìååì:
σ
σ
(8)
ρ(Y / X ) = r 2 , ρ( X / Y ) = r 1
σ2
σ1
è ïîýòîìó óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ ðåãðåññèè ïðèíèìàþò âèä:
σ
y − b = r 2 ( x − a ),
σ1
σ
x − a = r 1 ( y − b).
σ2
Èç óðàâíåíèé ïðÿìûõ ðåãðåññèè âèäíî, ÷òî îáå ýòè ïðÿìûå ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó (à; b); óãëîâûå êîýôôèöèåíòû ïðÿìûõ ðåãðåññèè ðàâíû
ñîîòâåòñòâåííî (îáîçíà÷åíèÿ óãëîâ ñì. ðèñ. 208):
tgα = r
Òàê êàê | r | ≤ l, òî | tgα | ≤
≤ | tgβ |. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìàÿ ðåãðåññèè Y íà X èìååò
ìåíüøèé íàêëîí ê îñè àáñöèññ, ÷åì ïðÿìàÿ ðåãðåññèè X
íà Y. ×åì áëèæå | r | ê 1, òåì
ìåíüøå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè
ðåãðåññèè. Ýòè ïðÿìûå ñëèâàþòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà |r| = l.
Ïðè r = 0 ïðÿìûå ðåãðåññèè èìåþò óðàâíåíèÿ y = b;
x = a.
σ2
1 σ2
.
; tgβ =
r σ1
σ1
Ðèñ. 208
503
 ýòîì ñëó÷àå Mx(Y) = b = M(Y); My(X) = a = M(X).
Èç ôîðìóë (8) âèäíî, ÷òî êîýôôèöèåíòû ðåãðåññèè èìåþò òîò æå
çíàê, ÷òî è êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè r, è ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì:
2
ρ(Y/X)ρ(X/Y) = r .
4. Ðàñ÷åò ïðÿìûõ ðåãðåññèè. Ïóñòü ïðîâåäåíî ï îïûòîâ, â ðåçóëüòàòå
êîòîðûõ ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ñèñòåìû âåëè÷èí (X; Y): (xi, yi),
i = l, 2, , n. Çà ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ M(X), M(Y), D(X) è D(Y) ïðèíèìàþò èõ âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ
xB =
1 n
1 n
1 n
x i , y B = ∑ y i , s 12 =
∑
∑( x i − x B ) 2 ,
n i =1
n i =1
n − 1 i =1
1 n
s 22 =
∑( y i − y B ) 2 .
n − 1 i =1
Îöåíêîé äëÿ µ ñëóæèò âåëè÷èíà
µB =
1 n
∑( x i − x B )( y i − y B ).
n − 1 i =1
Çàìåíÿÿ â ñîîòíîøåíèÿõ (3), (4), (7) âåëè÷èíû µ, σ1, σ2 èõ âûáîðî÷íûìè çíà÷åíèÿìè µB, s1, s2, ïîëó÷èì ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè è êîýôôèöèåíòîâ ðåãðåññèè
r≈
µB
µ
µ
, ρ(Y / X ) ≈ 2B , ρ( X / Y ) ≈ 2B
s1 s 2
s1
s2
µB µB µB
— âûáîðî÷íûå êîýôôèöèåíòû ñîîòâåòñòâåííî êîððåëÿ,
,
s 1 s 2 s 12 s 22
öèè* è ðåãðåññèè).
Ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèÿ (5) è (6) âìåñòî à, b, ρ(Y/X) è ρ(X/Y) èõ ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì âûáîðî÷íûå óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ ðåãðåññèè:
(
y − yB =
x − xB =
µB
s 12
µB
s 22
( x − x B ),
( y − y B ).
Ï ð è ì å ð. Íàéòè âûáîðî÷íîå óðàâíåíèå ïðÿìîé ðåãðåññèè Y íà X ïî äàííûì n = 10
íàáëþäåíèé. Ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé è íóæíûå âû÷èñëåíèÿ ñîáðàíû â òàáëèöå (C = 70 è
C ′ = 9,0 — ëîæíûå íóëè).
*
Âûáîðî÷íûé êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè
504
µB
îáîçíà÷èì ÷åðåç rB.
s1 s 2
xi
yi
xi − C
xi − C ′
xi − xâ
(x i − x â ) 2
yi − yâ
(x i − x â ) ×
×( yi − yâ )
71
8,6
1
−0,4
−4,5
20,25
−0,48
2,16
72
8,9
2
−0,1
−3,5
12,25
−0,18
0,63
73
8,9
3
−0,1
−2,5
6,25
−0,18
0,45
74
9,0
4
0,0
−1,5
2,25
0,08
−0,12
75
9,1
5
0,1
−0,5
0,25
0,02
−0,01
76
9,2
6
0,2
0,5
0,25
0,12
0,06
77
9,2
7
0,2
1,5
2,25
0,12
0,18
78
9,2
8
0,2
2,5
6,25
0,12
0,30
79
9,3
9
0,3
3,5
12,25
0,22
0,77
80
9,4
10
0,4
4,5
20,25
0,32
1,44
55
0,8
Ñóììà
x â = 75,5
yâ = 9,08
82,5
5,86
s = 9,17
µâ = 0,65
2
1
Âû÷èñëÿåì:
µ â 0,65
=
≈ 0,071.
s12 9,17
Óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé èìååò âèä:
y − 9,08 = 0,071(x − 75,5)
èëè
y = 0,071x + 3,72.
Ãëàâà 20. ÝËÅÌÅÍÒÛ ÂÀÐÈÀÖÈÎÍÍÎÃÎ
È ÎÏÅÐÀÖÈÎÍÍÎÃÎ ÈÑ×ÈÑËÅÍÈÉ
§ 20.1. Ýëåìåíòû âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ
1. Ôóíêöèîíàë. Åñëè M —ìíîæåñòâî ôóíêöèé è ê êàæäîé ôóíêöèè
ϕ(õ), ïðèíàäëåæàùåé M, îòíîñèòñÿ îïðåäåëåííîå ÷èñëî, òî ãîâîðÿò,
÷òî íà ìíîæåñòâå Ì çàäàí ôóíêöèîíàë.
505
Ï ð è ì å ð 1. Ïóñòü M — ìíîæåñòâî ôóíêöèé y = y(x ), íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [0;
1]. Ðàññìîòðèì îïðåäåëåííûé èíòåãðàë
1
I = I { y} = ∫ y 2 dx .
(1)
0
Åñëè âìåñòî y(õ) ïîäñòàâëÿòü ðàçëè÷íûå êîíêðåòíûå ôóíêöèè, òî áóäóò ïîëó÷àòüñÿ
2
êîíêðåòíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ I. Íàïðèìåð, âûáðàâ ó = õ , ïîëó÷èì:
1
1
0
0
I = ∫ (x 2 )2 dx = ∫ x 4dx =
x5
5
1
0
1
= ;
5
1
âûáðàâ y = x , ïîëó÷èì I = è ò. ä.
7
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëà (1) çàäàåò çàêîí, ñîãëàñíî êîòîðîìó êàæäîé ôóíêöèè y(õ)
ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå I, ò. å. ôîðìóëà (1) îïðåäåëÿåò ôóíêöèîíàë.
3
Ï ð è ì å ð 2. M — ìíîæåñòâî ôóíêöèé ó = ó(õ),îïðåäåëåííûõ íà îòðåçêå [à, b] è îáëàäàþùèõ íà íåì íåïðåðûâíîé ïðîèçâîäíîé. Ôîðìóëà
b
I = I { y} = ∫ (xy + y′ )dx
a
îïðåäåëÿåò ôóíêöèîíàë; äëèíà äóãè l ëèíèè ó = ó(õ), à ≤ õ ≤ b, ãäå ó(õ) ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Ì, åñòü òàêæå ôóíêöèîíàë:
b
l { y} = ∫ 1 + y′ 2 dx .
a
Ï ð è ì å ð 3. Åñëè Ì — ìíîæåñòâî ôóíêöèé ó = ó(õ), â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ
âõîäèò òî÷êà õ0, òî çíà÷åíèÿ ôóíêöèé ó(õ) â òî÷êå õ0 îáðàçóþò ôóíêöèîíàë
I = I{ó} = ó(õ0).
2. Îñíîâíàÿ çàäà÷à âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.  1696 ã. Èîãàíí Áåðíóëëè (1667—1748, øâåéöàðñêèé ìàòåìàòèê) ïðåäëîæèë çàäà÷ó î ëèíèè áûñòðåéøåãî ñêàòà — áðàõèñòîõðîíå.
 âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè õÎó (îñü Îó íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî
âíèç) äàíû äâå òî÷êè Î(0; 0) è Â(b; yb) (ðèñ. 209). Òðåáóåòñÿ ñîåäèíèòü
ýòè òî÷êè òàêîé êðèâîé ó = ó(õ), ÷òî ìàòåðèàëüíîé òî÷êå, ñêîëüçÿùåé
áåç òðåíèÿ ïî ýòîé êðèâîé, ïîä äåéñòâèåì îäíîé òîëüêî ñèëû òÿæåñòè, ïîíàäîáèòñÿ íà
ïóòü îò Î äî Â íàèìåíüøåå âðåìÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è
îñíîâûâàåòñÿ íà ôèçè÷åñêîì ïîëîæåíèè,
÷òî ïðè äâèæåíèè íî êðèâîé ó = ó(õ) ñêîds
ðîñòüL = (ds — äèôôåðåíöèàë äóãè êðèâîé
dt
ó = ó(x)) ðàâíà 2gy (g — óñêîðåíèå ñâîáîäíîÐèñ. 209
506
ãî ïàäåíèÿ). Ýòî ñëåäóåò èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
Ïîýòîìó
dt =
ds
2 gy
1 + y ′ 2 dx
, èëè dt =
2g y
mL 2
= mgy.
2
,
îòêóäà âðåìÿ, çàòðà÷åííîå íà ïóòü îò Î äî  áóäåò:
1
T =
2g
b
∫
1 + y ′ 2 dx
y
a
(2)
.
Ýòèì ðàâåíñòâîì ðåøåíèå çàäà÷è Áåðíóëëè ñâåäåíî ê ðàçûñêàíèþ
òàêîé êðèâîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êèÎ è Â, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, òàêîé ôóíêöèè ó = ó(õ), óäîâëåòâîðÿþùåé óñëîâèÿì y(0) = 0, ó(b) = ób, äëÿ
êîòîðîé çíà÷åíèå èíòåãðàëà (2) áóäåò íàèìåíüøèì. Òàêèì îáðàçîì,
çàäà÷à Áåðíóëëè ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (2)
(ýòî ðåøåíèå áóäåò äàíî â ï. 6).
Èìååòñÿ ìíîãî äðóãèõ çàäà÷ íà ýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëîâ. Âñå òàêèå
çàäà÷è è ñîñòàâëÿþò ïðåäìåò âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíàÿ çàäà÷à âàðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ — ýòî çàäà÷à î íàõîæäåíèè ýêñòðåìóìà çàäàííîãî ôóíêöèîíàëà.
3. Âàðèàöèÿ ôóíêöèîíàëà. Ïðè èññëåäîâàíèè ôóíêöèîíàëà áûâàåò
âàæíî âûÿñíèòü, êàê ìåíÿåòñÿ åãî çíà÷åíèå ïðè ìàëîì èçìåíåíèè
ôóíêöèè,îò êîòîðîé îí çàâèñèò. Ðàññìîòðèì ýòîò âîïðîñ íà ïðèìåðå
ôóíêöèîíàëà (1). Ïóñòü â ïðàâóþ ÷àñòü áûëà ñíà÷àëà ïîäñòàâëåíà íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ó(õ), à çàòåì íåêîòîðàÿ íîâàÿ ôóíêöèÿ ó(õ) + δó(õ), ãäå
δy(x) — âàðèàöèÿ ó — ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ ìàëûå
çíà÷åíèÿ. (Íàïðèìåð, ìîãëî áûòü ñíà÷àëà ó = õ2,à çàòåì ó = õ2 + αõ3, ãäå
ïîñòîÿííàÿ α ìàëà.) Òîãäà è çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà íåìíîãî èçìåíèòñÿ è ñòàíåò ðàâíûì:
1
1
1
1
0
0
0
0
2
2
2
∫( y + δy) dx = ∫ y dx + 2 ∫ yδydx + ∫(δy) dx.
Òàêèì îáðàçîì, ïðèðàùåíèå ýòîãî çíà÷åíèÿ ðàâíî:
1
1
0
0
∆I = 2 ∫ yδydx + ∫ (δy ) 2 dx .
(3)
Åñëè âðåìåííî çàôèêñèðîâàòü ôóíêöèþ ó(x) è ìåíÿòü åå âàðèàöèþ,
òî ìû âèäèì, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (3) â çàâèñèìîñòè îò δy ïåðâûé ÷ëåí ëèíåéíûé, ò. å. ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå îòíîñèòåëüíî δó
ëèíåéíî, òîãäà êàê âòîðîé êâàäðàòè÷íûé (â îáùåì ñëó÷àå ïðèñóòñòâóþò òàêæå è ÷ëåíû áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé). Òàê êàê çíà÷åíèÿ δy ìàëû,
507
òî ãëàâíóþ ðîëü â ïðàâîé ÷àñòè èãðàåò ëèíåéíûé ÷ëåí, òîãäà êàê êâàäðàòè÷íûé èìååò âûñøèé ïîðÿäîê ìàëîñòè. Ýòîò ëèíåéíûé ÷ëåí â ïðèðàùåíèè ôóíêöèîíàëà íàçûâàåòñÿ âàðèàöèåé ôóíêöèîíàëà è îáîçíà÷àåòñÿ δI, ò. å. äëÿ ïðèìåðà 1
1
δI = 2 ∫ yδydx .
(4)
0
Òàêèì îáðàçîì, ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ âûñøåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè
∆I ≈ δI.
(5)
 òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ÷ëåíàìè âòîðîãî è ñëåäóþùèõ ïîðÿäêîâ ìàëîñòè
ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ãîâîðÿò ïðîñòî, ÷òî âàðèàöèÿ ôóíêöèîíàëà — ýòî
åãî áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðèðàùåíèå, ïîëó÷åííîå çà ñ÷åò áåñêîíå÷íî ìàëîãî èçìåíåíèÿ (âàðüèðîâàíèÿ) ôóíêöèè, îò êîòîðîé çàâèñèò çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà. Åñëè âñïîìíèòü äèôôåðåíöèàëüíîå èñ÷èñëåíèå, òî
ìîæíî óñìîòðåòü ïîëíóþ àíàëîãèþ ìåæäó ïîíÿòèÿìè äèôôåðåíöèàëà
ôóíêöèè è âàðèàöèè ôóíêöèîíàëà.
4. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà ôóíêöèîíàëà. Ïóñòü ôóíêöèÿ
ó(õ) ðåàëèçóåò ýêñòðåìóì ôóíêöèîíàëà (1); äðóãèìè ñëîâàìè, çíà÷åíèå
ôóíêöèîíàëà I äëÿ ôóíêöèè ó(õ) áîëüøå (â ñëó÷àå ìàêñèìóìà) çíà÷åíèé ýòîãî ôóíêöèîíàëà äëÿ âñåõ ôóíêöèé, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê
ó(õ),èëè ìåíüøå (â ñëó÷àå ìèíèìóìà) çíà÷åíèé ýòîãî ôóíêöèîíàëà äëÿ
âñåõ ôóíêöèé, äîñòàòî÷íî áëèçêèõ ê ó(õ). Ïðè ýòîì ∆I áóäåò îòðèöàòåëüíîå â ñëó÷àå ìàêñèìóìà è ïîëîæèòåëüíîå â ñëó÷àå ìèíèìóìà äëÿ
âñåõ óêàçàííûõ ôóíêöèé, ò. å. â îáîèõ ñëó÷àÿõ íå ìåíÿåò çíàêà. Íî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
δI = 0.
(6)
 ñàìîì äåëå, èç ôîðìóëû (3) âûòåêàåò, ÷òî åñëè δI ≠ 0, òî ∆I è δI èìåþò
îäèíàêîâûé çíàê; íî â ñèëó ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè δI îò δy ïðè ïåðåìåíå çíàêà ó δy è δI èçìåíèò çíàê (ñì. ôîðìóëó (4)), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò
ïðåäûäóùåìó.
Óñëîâèå (6) è ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýêñòðåìóìà.
5. Óðàâíåíèå Ýéëåðà.  êîíêðåòíûõ ïðèìåðàõ âàðèàöèÿ ôóíêöèîíàëîâ âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Òåéëîðà (ñì. § 8.9). Ïóñòü, íàïðèìåð, ðàññìàòðèâàåòñÿ ôóíêöèîíàë âèäà
b
I = I { y } = ∫ F ( x , y )dx ,
a
ãäå ó ñ÷èòàåòñÿ çàâèñÿùèì îò x, y = y(x). (Ñ÷èòàåì, ÷òî ïîäûíòåãðàëüíûå
ôóíêöèè â ðàññìàòðèâàåìûõ çäåñü ôóíêöèîíàëàõ íåïðåðûâíû è îáëàäàþò íåïðåðûâíûìè ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè äî íóæíîãî ïîðÿäêà.)
508
Òîãäà
b
∆I = ∫ (F ( x , y + δy ) − F ( x , y ))dx .
(7)
a
Íî òàê êàê F ( x , y + δy ) = F ( x , y ) + F y′ ( x , y )δy +K ãäå ïîñëå ñëàãàåìîãî
F y′ ( x , y )δy èäóò ÷ëåíû âûñøåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè, òî, ïîäñòàâëÿÿ â (7) è
îòáðàñûâàÿ ýòè ÷ëåíû, ïîëó÷èì:
b
δI = ∫ F y′ ( x , y )δydx .
a
Äëÿ ôóíêöèîíàëà
b
I = I { y } = ∫ F ( x , y, y ′ )dx
(8)
δI = ∫ (F y′ ( x , y, y ′ )δy + F y′ ′ ( x , y, y ′ )δy ′ )dx ,
(9)
a
àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì:
b
a
ãäå δy′ ìîæíî ïîíèìàòü è êàê δ(ó)′, è êàê (δy)′, òàê êàê ïðîèçâîäíàÿ îò
ðàçíîñòè äâóõ ôóíêöèé ðàâíà ðàçíîñòè èõ ïðîèçâîäíûõ.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë (8), ãäå F — çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, à, b — çàäàííûå ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ. Ïóñòü èùåòñÿ ýêñòðåìóì ýòîãî ôóíêöèîíàëà ïðè çàäàííûõ êðàåâûõ óñëîâèÿõ
ó(à) = óà, ó(b) = ób.
(10)
Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (6) è (9) ïîëó÷àåì:
b
∫(F ′ ( x, y, y′ )δy + F ′ ( x, y, y ′ )δy ′ )dx = 0.
y
y′
(11)
a
Ýòî ðàâåíñòâî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ äëÿ ëþáîé âàðèàöèè δy, óäîâëåòâîðÿþùåé ñîîòíîøåíèÿì
δy(à) = 0, δy(b) = 0,
(12)
êîòîðûå íóæíû äëÿ òîãî, ÷òîáû ó + δó óäîâëåòâîðÿëà òåì æå óñëîâèÿì
(10), ÷òî è y.
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì âòîðîå ñëàãàåìîå â (11) è ïðèìåíÿÿ ñîîòíîøåíèå (12), ïîëó÷èì:
b
b
b
d
d


(F y′ ′ )δydx = ∫  F y′ − F y′ ′  δydx .


dx
dx
a
a
a
Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëà â âûáîðå δy âûòåêàåò, ÷òî âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ïîñëåäíåãî èíòåãðàëà òîæäåñòâåííî ðàâíî íóëþ.
Èòàê, ìû ïðèøëè ê òàê íàçûâàåìîìó óðàâíåíèþ Ýéëåðà
b
0 = ∫ F y′ δydx + F y′ ′ δy a − ∫
F y′ ( x , y, y ′ ) − F xy′′ ′ ( x , y, y ′ ) − F yy′′ ′ ( x , y, y ′ ) y ′−F y′′′ 2 ( x , y, y ′ ) y ′′ = 0.
509
Âèäíî, ÷òî ýòî îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî
ïîðÿäêà.
6. Ñëó÷àè ïîíèæåíèÿ ïîðÿäêà óðàâíåíèÿ Ýéëåðà.
à) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ F â (8) ÿâíî íå çàâèñèò îò x, ò. å. F =
= F (y, ó′).
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå Ýéëåðà ïîñëå óìíîæåíèÿ íà ó′ ìîæåò áûòü
d
ïåðåïèñàíî â âèäå (F − y ′ F y′ ′ ) = 0, îòêóäà ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèàëüdx
íîå óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà
(13)
F − y ′ F y′ ′ = C ,
ãäå Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
á) Ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿF â (8) ÿâíî íå çàâèñèò îò ó, ò. å. F y′ = 0.
d
Òîãäà
F y′ ′ = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, òàêæå èìååì äèôôåðåíöèàëüíîå
dx
óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà F y′ ′ ( x , y ′ ) = C .
Ïðèìåíèì ôîðìóëó (13) ê çàäà÷å î áðàõèñòîõðîíå, êîòîðàÿ îòìå÷àëàñü â ï. 2. Òàì ýòà çàäà÷à ñâåäåíà áûëà ê íàõîæäåíèþ íàèìåíüøåãî
çíà÷åíèÿ ôóíêöèîíàëà (2).
Òàê êàê â (2) ïîäûíòåãðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ÿâíî íå çàâèñèò îò x , òî
óðàâíåíèå Ýéëåðà ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ôîðìå (13).
Èìååì:
1 + y′ 2
y′
− y′
= C 1.
2 gy
2 gy ⋅ 1 + y ′ 2
Îòñþäà
C1
,
1 + y′ 2
1
C1 = 2 .
C 1 2g
Äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (14) ïîëîæèì y′ = tgϕ. Òîãäà
ãäå
y=
y = C 1 cos 2 ϕ,
Îòêóäà
y ′ = −2C 1 cos ϕ sin ϕ
è, çíà÷èò,
tg ϕ = −2C 1 sin ϕ cos ϕ
(15)
dϕ
,
dx
dϕ
, èëè dx = −2C 1 cos 2 ϕdϕ.
dx
Îòñþäà è èç ðàâåíñòâà (15)
C
C
x = − 1 (2 ϕ + sin 2 ϕ) + C 2 , y = 1 (1 + cos 2 ϕ).
2
2
510
(14)
Ïîëîæèâ çäåñü 2ϕ = π − θ, r =
C1
2
, C =C 2 −
C1π
2
, ïîëó÷èì:
x = r (θ − sin θ) + Ñ, y = r(1 − cos θ).
Òàê êàê y = 0 ïðè x = 0, òî θ = 0 è Ñ = 0. Òàê ÷òî
x = r (θ − sin θ), y = r (1 − cos θ).
Ýòî — óðàâíåíèå öèêëîèäû.×èñëî r ìîæåò áûòü íàéäåíî èç óñëîâèÿ
ó(b) = ób.
Èòàê, áðàõèñòîõðîíîé ÿâëÿåòñÿ öèêëîèäà.
§ 20.2. Ýëåìåíòû îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ
Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ìåòîäîâ ïðèêëàäíîãî
ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ñ åãî ïîìîùüþ óäàåòñÿ âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ
óïðîñòèòü ðåøåíèå çàäà÷, âñòðå÷àþùèõñÿ âìåõàíèêå, ýëåêòðîíèêå, àâòîìàòèêå è äðóãèõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêå. Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå ñîñòàâëÿåò òåîðåòè÷åñêóþ îñíîâó öåëîãî ðÿäà èíæåíåðíûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà è ïðîåêòèðîâàíèÿ àâòîìàòè÷åñêèõ ñèñòåì.
 ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïîíÿòèÿ îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ è ïðèìåíèì åãî ê ðåøåíèþ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé.
1. Îïåðàòîðû è èçîáðàæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (t), îïðåäåëåííóþ íà âñåé ÷èñëîâîé îñè è îáëàäàþùóþ ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
à) ôóíêöèÿ f (t) íà ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå îñè Ot èëè íåïðåðûâíà, èëè èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî òî÷êè ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà;
á) f (t) = 0 ïðè t < 0;
â) ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëà M > 0 è s0 ≥ 0, ÷òî | f (t )| < Me s 0t äëÿ âñåõ t.
Óñëîâèå á) ââîäèòñÿ â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî âî ìíîãèõ çàäà÷àõ ôèçèêè è
òåõíèêè àðãóìåíò t ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê âðåìÿ. Ïîýòîìó íå èìååò çíà÷åíèÿ, êàê âåäåò ñåáÿ ôóíêöèÿ f (t) äî íåêîòîðîãî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà
âðåìåíè, êîòîðûé âñåãäà ìîæíî ïðèíÿòü ðàâíûì íóëþ.
Óñëîâèå â) íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèå íà õàðàêòåð ðîñòà ôóíêöèè
f (t) ïðè t → +∞* è îáåñïå÷èâàåò òåì ñàìûì ñóùåñòâîâàíèå íåêîòîðûõ
âñòðå÷àþùèõñÿ â äàëüíåéøåì íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f (t) ïðè t → ∞ ðàñòåò íå áûñòðåå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè.  ÷àñòíîñòè, óñëîâèþ â) óäîâëåòâîðÿþò, íàïðèìåð, ëþáàÿ îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ (â ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, s0 = 0) è ñòåïåííûå ôóíêöèè
tk (k > 0). ×èñëî s0 íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëåì ðîñòà.
*
 äàëüíåéøåì ðàäè êðàòêîñòè áóäåì ïèñàòü ∞ âìåñòî +∞.
511
Êàæäîé ôóíêöèè f (t) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèþ F (p) êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî p = s + iτ (s > s0), ïîëàãàÿ
∞
*
F ( p) = ∫ f (t )e − pt dt.
(1)
0
Ôóíêöèÿ F (p) íàçûâàåòñÿ èçîáðàæåíèåì ôóíêöèè f (t), à ôóíêöèÿ
f (t), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óêàçàííûì âûøå òðåì óñëîâèÿì, íàçûâàåòñÿ
îðèãèíàëîì. Ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (1) íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëîì Ëàïëàñà
äëÿ ôóíêöèè f (t), a îïðåäåëÿåìàÿ èì ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî p íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà îò ôóíêöèè f (t).
Åñëè F (p) ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèåì ôóíêöèè f (t), òî ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê: f(t) ←
: F(p) èëè L{f (t)} = F (p) (ñòðåëêà íàïðàâëåíà âñåãäà îò èçîáðàæåíèÿ ê îðèãèíàëó).
Ç à ì å ÷ à í è å. Åñëè ôóíêöèÿ f (t) íå óäîâëåòâîðÿåò õîòÿ áû îäíîìó èç óêàçàííûõ
1
âûøå òðåõ óñëîâèé, òî îíà íå ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì. Òàê, íàïðèìåð, ôóíêöèè tg t è íå
t
2
ìîãóò áûòü îðèãèíàëàìè, òàê êàê îíè èìåþò òî÷êè ðàçðûâà 2-ãî ðîäà. Ôóíêöèÿ e t òàêæå
íå ìîæåò áûòü îðèãèíàëîì, òàê êàê íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ â) — îíà ðàñòåò áûñòðåå,
÷åì ôóíêöèÿ Me s 0 t (êàêîâû áû íè áûëè Ì è s0).
2. Ñóùåñòâîâàíèå èçîáðàæåíèé.
Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå òåîðåìû,
êîòîðûå ìû ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà.
Ò å î ð å ì à 1 (òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ èçîáðàæåíèÿ). Äëÿ âñÿêîãî
îðèãèíàëà f (t) ñóùåñòâóåò èçîáðàæåíèå F (ð), îïðåäåëåííîå â ïîëóïëîñêîñòè Rep = s > s0, ãäå s0 — ïîêàçàòåëü
ðîñòà îðèãèíàëà (ðèñ. 210). Â êàæäîé
òî÷êå ýòîé ïîëóïëîñêîñòè ôóíêöèÿ
F (ð) èìååò ïðîèçâîäíóþ ëþáîãî ïîðÿäêà. Êðîìå òîãî, åñëè Rep = s → ∞,
òî èçîáðàæåíèå F (p) → 0.
Ðèñ. 210
*
Èíòåãðàë, ñòîÿùèé ê ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1), îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
∞
∫ f (t)e
0
− pt
∞
0
0
∞
= ∫ f (t )e
0
512
∞
∞
dt = ∫ f (t )e − ( s + iτ ) tdt = ∫ f (t )e − ste − iτtdt = ∫ f (t )(cos τt − i sin τt )e − stdt =
− st
0
∞
cos τtdt − i ∫ f (t )e − st sin τtdt
0
Ò å î ð å ì à 2 (òåîðåìà åäèíñòâåííîñòè îðèãèíàëà). Åñëè F (ð) ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèåì äâóõ îðèãèíàëîâ f1(t) è f2(t), òî ýòè îðèãèíàëû ñîâïàäàþò âî âñåõ òî÷êàõ, â êîòîðûõ îíè íåïðåðûâíû.
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî èçîáðàæåíèå îáëàäàåò ñâîéñòâîì ëèíåéíîñòè. Ýòî çíà÷èò, ÷òî:
1) èçîáðàæåíèå ïðîèçâåäåíèÿ îðèãèíàëà íà ÷èñëî ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ èçîáðàæåíèÿ íà ýòî ÷èñëî, ò. å. åñëè
f(t) ←
: F(p), òî cf(t) ←: cF(p),
2) èçîáðàæåíèå àëãåáðàè÷åñêîé ñóììû íåñêîëüêèõ îðèãèíàëîâ ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå èçîáðàæåíèé ýòèõ îðèãèíàëîâ, ò. å. åñëè,
íàïðèìåð,
f1(t) ←
: F1(p), f2(t) ←: F2(p),
òî
f 1 (t ) ± f 2 (t ) ←
: F1 ( p) ± F 2 ( p).
Ýòè ñâîéñòâà âûòåêàþò èç ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà. Òàê,
íàïðèìåð,
∞
f 1 (t ) ± f 2 (t ) ←
: ∫ [ f 1 (t ) ± f 2 (t )]e − pt dt =
∞
∞
0
0
0
= ∫ f 1 (t )e − pt dt ± ∫ f 2 (t )e − pt dt = F1 ( p) ± F 2 ( p).
3. Ïðèìåðû âû÷èñëåíèé èçîáðàæåíèé.  äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ë å ì ì à. Åñëè äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = x + iy åãî äåéñòâèòåëüíàÿ
÷àñòü Rez = x > 0 è b — äåéñòâèòåëüíàÿ ïåðåìåííàÿ, òî lim e − zb = 0.
b→ ∞
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî ôîðìóëå Ýéëåðà èìååì
e−zb = e−(x + iy)b = e−xbe−iyb = e−xb(cos yb − i siny b).
Ñëåäîâàòåëüíî,
lim e − zb = lim e − xb (cos yb − i sin yb) = lim e − xb cos yb − i lim e − xb sin yb = 0,
b→ ∞
b→ ∞
òàê êàê lim e
b→ ∞
− xb
b→ ∞
b→ ∞
= 0 ïðè x > 0.
A. Èçîáðàæåíèå åäèíè÷íîé ôóíêöèè Õåâèñàéäà. Ýòà ôóíêöèÿ èìååò
âèä (ñì. § 16.2, ï. 3):
0, åñëè t < 0,
e(t ) = 
1, åñëè t ≥ 0.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1) íàõîäèì:
∞
b
 e − pt
e(t ) ←
e − pt dt = lim  −
: ∫ 1e − pt dt = blim
∫
→∞
b→ ∞
0
0
 p
b

1
1
e − pb − 1) =
 = − (lim
b→ ∞
p
p
0 

513
(òàê êàê Rep = s > s0 ≥ 0, òî ïî ëåììå lim e − pb = 0. Èòàê,
b→ ∞
1
e(t ) ←
: .
p
B. Èçîáðàæåíèå ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè. Íàéäåì èçîáðàæåíèå ôóíêöèè
0, åñëè t < 0,
f (t ) =  αt
e , åñëè t ≥ 0.
ãäå α — êîìïëåêñíîå ÷èñëî. Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (1) èìååì:
∞
∞
∞
0
0
−( p − α )t b
0
0
b
f (t ) ←
: ∫ f (t )e − pt dt = ∫ e αt e − pt dt = ∫ e −( p − α )t dt = lim ∫ e −( p − α )t dt =
lim[e
| ]
b→ ∞
0
−( p − α )b
 −e
1
1 
=
,
= lim 
+

b
→
∞
p −α p −α
−( p − α )
 p −α
åñëè Re(p − α) > 0, èëè Rep > Reα, òàê êàê ïðè ýòîì óñëîâèè íà îñíîâàíèè ëåììû lim e −( p − α )b = 0. Èòàê, äëÿ äàííîé ôóíêöèè èìååì:
b→ ∞
1
(2)
, Rep > Reα.
f (t ) ←
:
p −α
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ áîëåå ïðîñòîé çàïèñüþ îðèãèíàëà, îñòàâëÿÿ ëèøü òî åãî âûðàæåíèå, êîòîðîå îí èìååò ïðè t ≥ 0.  ÷àñòíîñòè, ôîðìóëó (2) êðàòêî çàïèøåì òàê:
1
(3)
, Rep > Reα.
e αt ←
:
p −α
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì
1
(4)
, Rep > Re(-α ).
e − αt ←
:
p +α
Ñ. Èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèé sin ωt è cos ωt (ω — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî).
Ïî èçâåñòíûì ôîðìóëàì (ñì. § 15.5, ï.1) èìååì:
1
sin ωt = (e iωt − e −iωt ),
2i
1
cos ωt = (e iωt + e −iωt ).
2
Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (3) è (4) è ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè èçîáðàæåíèÿ
ïîëó÷èì:
1 1
1 
1
ω
−
sinωt = (e iωt − e −iωt ) ←
=
, Rep > 0,
: 
2i  p − iω p + iω  p 2 + ω 2
2i
=
b→ ∞
p
1 1
1 
1
+
cosωt = (e iωt + e −iωt ) ←
=
, Rep > 0.
: 
2  p − iω p + iω  p 2 + ω 2
2
514
Èòàê,
ω
(5)
, Rep > 0,
p +ω2
p
(6)
, Rep > 0.
cosωt ←
: 2
p +ω2
D. Èçîáðàæåíèå ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé shωt è chωt. Àíàëîãè÷íî
íàõîäèì èçîáðàæåíèÿ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèíóñà è êîñèíóñà shωt è chωt
(ω — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî):
sinωt ←
:
Èòàê,
2
1 1
1 
1
ω
−
shωt = (e ωt − e − ωt ) ←
= 2
, Rep >| ω |,
: 

2 p −ω p +ω p −ω2
2
p
1 1
1 
1
+
chωt = (e ωt + e − ωt ) ←
=
, Rep >| ω |.
: 
2  p − ω p + ω  p 2 − ω 2
2
ω
, Rep >| ω |,
p2 −ω2
p
, Rep >| ω |.
chωt ←
: 2
p −ω2
n
Å. Èçîáðàæåíèå ñòåïåííîé ôóíêöèè t . Ïî ôîðìóëå (1) èìååì:
shωt ←
:
∞
tn ←
: ∫ t n e − pt dt.
0
Âûïîëíÿÿ n ðàç èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì è çàìå÷àÿ, ÷òî ïðè Rep > 0
lim t k e − pt = 0 (k = 1, 2, K, n )
t→∞
ïîëó÷èì:
Òàêèì îáðàçîì,
∞
∫t
n
e − pt dt =
0
tn ←
:
n!
p n +1
n!
p n +1
, Rep > 0.
, Rep > 0.
(7)
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îðèãèíàë, èçîáðàæåíèå êîòîðîãî èìååò âèä:
F ( p) =
2 p +1
.
p2 + 4
Ð å ø å í è å. Òàê êàê
2 p +1
p
1
2
=2 2
+
,
p2 + 4
p + 2 2 2 p2 + 2 2
òî íà îñíîíàíèè ôîðìóë (5) è (6) è ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ïîëó÷èì:
F ( p) =
f (t ) = 2 cos 2t +
1
sin 2t .
2
515
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè èçîáðàæåíèå ôóíêöèè f (t) = t3 − 5t2 + 2t + 6.
Ð å ø å í è å. Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (2) è (7) è ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ïîëó÷èì:
f (t ) ←:
3!
p3 +1
−5
2!
p2 +1
+2
1!
p1 + 1
+6
1
6 10
2
6
=
−
+
+ .
p p4 p3 p2 p
4. Îñíîâíûå òåîðåìû îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ.
1  p
Ò å î ð å ì à ï î ä î á è ÿ. Ïóñòü f (t ) ←
: F ( p). Òîãäà f (αt ) ←: F   ,
 α
α
ãäå α > 0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïî îïðåäåëåíèþ èçîáðàæåíèÿ èìååì:
∞
f (αt ) ←
: ∫ f (αt )e − pt dt.
0
Ïðîèçâåäåì â ýòîì èíòåãðàëå çàìåíó ïåðåìåííîé, ïîëàãàÿ αt = y. Òîãäà
dy = αdt è, ñëåäîâàòåëüíî,
y
∞
∞
−p
dy 1  p 
− pt
α
f
(
α
t
)
e
dt
=
f
(
y
)
e
= F  .
∫0
∫0
α α  α
Èòàê,
1  p
(8)
F  .
α  α
Ñîîòíîøåíèå (8) ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè óìíîæåíèè íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé îðèãèíàëà íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî åãî èçîáðàæåíèå è íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ èçîáðàæåíèÿ äåëÿòñÿ íà ýòî ÷èñëî.  ýòîì è ñîñòîèò
òåîðåìà ïîäîáèÿ.
Ò å î ð å ì à ñ ì å ù å í è ÿ. Åñëè f (t ) ←
: F ( p), òî e − αt f (t ) ←: F ( p + α ).
Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî α — äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è Re(p + α) >
> s 0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íàéäåì èçîáðàæåíèå ôóíêöèè e−αtf (t):
f (αt ) ←
:
∞
∞
0
0
e − αt f (t ) ←
: ∫ e − αt f (t )e − pt dt = ∫ f (t )e −( p + α )t dt = F ( p + α ).
Èòàê, åñëè f (t ) ←
: F ( p), òî e − αt f (t ) ←: F ( p + α ).
Íà îñíîâàíèè ýòîé òåîðåìû è ôîðìóë (5) è (6) íàõîäèì:
ω
,
e − αt sin ωt ←
:
( p + α) 2 + ω 2
p +α
e − αt cos ωt ←
.
:
( p + α) 2 + ω 2
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè èçîáðàæåíèå ôóíêöèè e−2t(sin t + 3cos t).
Ð å ø å í è å. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè è ôîðìóëû (9), ïîëó÷èì:
e −2 t (sin t + 3 cos t ) ←:
516
1
3p + 7
p +2
+3
=
.
( p + 2)2 + 1
( p + 2)2 + 1 p 2 + 4 p + 5
(9)
Ðèñ. 211
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè îðèãèíàë ïî åãî èçîáðàæåíèþ
2 p +1
.
p2 + 2 p + 2
Ð å ø å í è å. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè è ôîðìóëû (9), íàõîäèì:
2 p +1
2( p + 1) − 1
2( p + 1)
1
→
=
=
−
: 2e − t cos t − e − t sin t = e − t (2 cos t − sin t).
p 2 + 2 p + 2 ( p + 1)2 + 1 ( p + 1)2 + 1 ( p + 1)2 + 1
−αt n
Íàéäåì èçîáðàæåíèå ôóíêöèè e t .
Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (7) èìååì: f (t ) = t n ←
: F ( p) =
Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó ñìåùåíèÿ, ïîëó÷èì: e − αt t n ←
:
n!
p n +1
n!
.
.
( p + α ) n +1
n!
Çàìåíÿÿ â ýòîé ôîðìóëå −α íà α, íàéäåì: e αt t n ←
.
:
( p + α ) n +1
Ïóñòü f (t) — îðèãèíàë. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ϕ(t), îïðåäåëåííóþ
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
0, åñëè t < τ,
ϕ(t ) = 
 f (t − τ), åñëè t ≥ τ,
ãäå ϕ — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.
Ãðàôèê ôóíêöèè y = ϕ(t) ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà îðèãèíàëà y = f (t)
ñäâèãîì ïîñëåäíåãî ãðàôèêà âïðàâî âäîëü îñè Ot íà âåëè÷èíó τ (ðèñ. 211).
Ò å î ð å ì à ç à ï à ç ä û â à í è ÿ. Ïóñòü τ > 0 è f (t ) ←
: F ( p). Òîãäà
f (t − τ) ←
: e − pτ F ( p).
5. Äèôôåðåíöèðîâàíèå è èíòåãðèðîâàíèå îðèãèíàëîâ. Ïóñòü F (ð) —
èçîáðàæåíèå îðèãèíàëà f (t). Òðåáóåòñÿ íàéòè èçîáðàæåíèå ïðîèçâîäíîé f ′(t).
Ò å î ð å ì à 1. Åñëè f (t ) ←
: F ( p) è f ′(t) ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì, òî
f ′(t ) ←
: pF ( p) − f (0).
(10)
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû, îïðåäåëÿþùåé
èçîáðàæåíèå, èìååì:
∞
f ′(t ) ←
: ∫ f ′(t )e − pt dt.
0
517
−ðt
Ïîëó÷åííûé èíòåãðàë èíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì. Ïîëàãàÿ è = å , dL =
= f ′(t)dt, îòêóäà du = −pe−pidt, L = f (t), íàõîäèì:
∞
b
b


− pt
− pt
f
(
t
)
e
dt
lim
f
(
t
)
e
p
f (t )e − pt dt  =
=
+
′

∫0
∫
0
b→ ∞
0


∞
b


= lim  f (b)e − pb − f (0) + p ∫ f (t )e − pt dt  = p ∫ f (t )e − pt dt − f (0),
b→ ∞
0
0


*
∞
òàê êàê lim f (b)e − pb = 0. Íî ∫ f (t )e − pt dt = F ( p).
b→ ∞
0
Ñëåäîâàòåëüíî,
f ′(t ) ←
: pF ( p) − f (0).
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó (10) êî âòîðîé ïðîèçâîäíîé f ″(t), ïîëó÷èì
f ′′(t ) ←
: pF1 ( p) − f ′(0),
ãäå F1(ð) — èçîáðàæåíèå f ′(t). Íî òàê êàê ïî ôîðìóëå (10)
F1(t) = pF (p) − f (0),
òî
f ′′(t ) ←
: p[ pF ( p) − f (0)] − f ′(0) = p 2 F ( p) − pf (0) − f ′(0).
(11)
Àíàëîãè÷íî
f ′′′(t ) ←
: p 3 F ( p) − p 2 f (0) − pf ′(0) − f ′′(0)
(12)
è ò. ä.
f ( n ) (t ) ←
: p n F ( p) − p n −1 f (0) − p n − 2 f ′(0) −K − pf ( n − 2) (0) − f ( n −1) (0).
**
 ÷àñòíîñòè, êîãäà f (0) = f ′(0) = = f
íûå çíà÷åíèÿ ðàâíû íóëþ, ïîëó÷èì:
(n − 1)
(13)
(0) = 0, ò. å. êîãäà âñå íà÷àëü-
f ′(t ) ←
: pF ( p),
f ′′(t ) ←
: p 2 F ( p),
...............
(14)
f ( n ) (t ) ←
: p n F ( p).
*
-pb
-(s + iτ)b
-sb
-iτb
-sb
 ñàìîì äåëå, |f(b)å | = | f(b)| | å
| = | f(b)|å | å | = | f(b)|e . Íî ïî ñâîéñòâó â)îðèãèíàëà
| f (b)| < Me s 0 b , ñëåäîâàòåëüíî, | f (b)e − pb | < Me s 0 b e − sb = Me − ( s − s 0 ) b . Ñîãëàñíî òåîðåìå ñóùåñòâîâàíèÿ èçîáðàæåíèÿ F(p) ñóùåñòâóåò äëÿ Rep = s > s0, ò. å. äëÿ s − s0 > 0. Ïîýòîìó
Me − ( s − s 0 ) b → 0 ïðè b → ∞ è, çíà÷èò, lim f (b)e − pb = 0.
**
b→ ∞
Ïðè âûâîäå ôîðìóë (11)—(13) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïðîèçâîäíûå f ′′(t ), f ′′′(t ), …, f ( n ) (t )
ÿâëÿþòñÿ îðèãèíàëàìè.
518
Èòàê, ïðè íóëåâûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ n-êðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå îðèãèíàëà ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ åãî èçîáðàæåíèÿ íà ðn.
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè f (t ) ←
: F ( p), òî
t
∫ f ( x )dx ←:
0
F ( p)
.
p
(15)
t
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ g(t ) = ∫ f ( x )dx
0
ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì. Ïóñòü åå èçîáðàæåíèå åñòü Φ( p): g(t ) ←: Φ( p). Òàê êàê
0
g(0) = ∫ f ( x )dx = 0, òî ïî ïåðâîé èç ôîðìóë (14) èìååì:
0
g ′(t ) ←
: pΦ( p).
Íî
t
d ∫ f ( x )dx
0
g ′ (t ) =
dt
Ñëåäîâàòåëüíî,
= f (t ) ←
: F ( p).
F (ð) = ðÔ(ð).
Îòñþäà
Φ( p) =
ò. å.
F ( p)
,
p
t
F ( p)
.
p
0
Ñîîòíîøåíèå (15) ïîêàçûâàåò, ÷òî îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ îðèãèíàëà ñîîòâåòñòâóåò àëãåáðàè÷åñêîå äåéñòâèå íàä èçîáðàæåíèåì, à
èìåííî åãî äåëåíèå íà ð.
6. Ñâîäíàÿ òàáëèöà îðèãèíàëîâ è èõ èçîáðàæåíèé. Ïðèâåäåì òàáëèöó
íåêîòîðûõ îðèãèíàëîâ è èõ èçîáðàæåíèé.
∫ f ( x )dx ←:
¹
Îðèãèíàë
f (t)
Èçîáðàæåíèå
∞
F ( p) = ∫ f (t )e
− pt
Ïðèìå÷àíèå
dt
0
I
e0(t)
II
e
III
å
IV
αt
−αt
sin ωt
1
p
1
p −α
1
p +α
ω
p2 + ω2
519
Ï ð î ä î ë æ å í è å ò à á ë.
V
cos ωt
VI
sh ωt
VII
ch ωt
VIII
å−αtsin ωt
IX
å−αtcos ωt
X
t
XI
å−αttn
XII
å t
XIII
f (αt)
n
αt n
−αt
XIV
å f (t)
XV
f ′(t)
XVI
f ″(t)
t
∫ f (x )dx
XVII
0
p
p2 + ω2
ω
p2 − ω2
p
p2 − ω2
ω
( p + α)2 + ω 2
p +α
( p + α)2 + ω 2
n!
pn +1
n!
( p + α)n + 1
n!
( p − α)n + 1
1  p
F 
α α
òåîðåìà ïîäîáèÿ
òåîðåìà ñìåùåíèÿ
äèôôåðåíöèðîâàíèå
pF (p) − f (0) = F1(p)
îðèãèíàëà
äèôôåðåíöèðîâàíèå
2
p F (p) − pf (0) − f ′(0)
îðèãèíàëà
F ( p)
èíòåãðèðîâàíèå
p
îðèãèíàëà
F (p + α)
Ïîëüçóÿñü ñâîäíîé òàáëèöåé, ìîæíî íî ïðèâåäåííîìó â íåé èçîáðàæåíèþ (îðèãèíàëó) íàéòè åãî îðèãèíàë (èçîáðàæåíèå).
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî åñëè èçîáðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî îðèãèíàëà
ñëåäóåò èçîáðàæåíèå ðàçëîæèòü íà ñóììó ïðîñòåéøèõ äðîáåé è ïðèìåíèòü ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè.
Ï ð è ì å ð. Äàíî èçîáðàæåíèå F ( p) =
p2 + 2 p + 2
. Íàéòè îðèãèíàë.
( p − 2)2 ( p + 3)
Ð å ø å í è å. Ðàçëàãàÿ äàííóþ ïðàâèëüíóþ äðîáü íà ïðîñòåéøèå äðîáè, ïîëó÷èì:
F ( p) =
4
2
1
p2 + 2 p + 2
=
+
+
.
( p − 2)2 ( p + 3) 5( p − 2) ( p − 2)2 5( p + 3)
1
1
→
: e2t,
→
: te 2 t ,
p −2
( p − 2)2
1
4
1
→
: e −3 t .Ñëåäîâàòåëüíî, íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè F ( p) →
: e 2 t + 2te 2 t + + e −3 t .
p +3
5
5
Íà îñíîâàíèè ôîðìóë (II), (XII) è (III) òàáëèöû íàõîäèì:
520
7. Ïðèìåíåíèå îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ê ðåøåíèþ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ ëèíåéíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè:
y″(t) + α1y′(t) + α2y(t) = f (t),
(16)
ãäå α1 è α2 — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Òðåáóåòñÿ íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå
ó(t) ýòîãî óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì y(0) = y0,
y ′(0) = y ′0 , ãäå ó0 è y ′0 — çàäàííûå ÷èñëà.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå ó(t), åãî ïðîèçâîäíûå y ′(t), y ″(t)
è ïðàâàÿ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ f (t) ÿâëÿþòñÿ îðèãèíàëàìè. Îáîçíà÷èâ y(t ) ←
: Y ( p), f (t ) ←: F ( p) è èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (XV),
(XVI), à òàêæå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, íàéäåì èçîáðàæåíèÿ ó ′(t) è y ″(t):
y ′(t ) ←
: pY ( p) − y 0 , y ′′(t ) ←: p 2Y ( p) − py 0 − y 0′ .
Íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà ëèíåéíîñòè ïåðåéäåì â óðàâíåíèè (16) ê
èçîáðàæåíèÿì:
èëè
y ′′(t ) + α 1 y ′(t ) + α 2 y(t ) ←
: p 2Y ( p) − py 0 − y 0′ +
+α 1 ( pY ( p) − y 0 ) + α 2Y ( p) = F ( p)
( p 2 + α 1 p + α 2 )Y ( p) = F ( p) + py 0 + y ′0 + α 1 y 0 .
(17)
Óðàâíåíèå (17) íàçûâàþò âñïîìîãàòåëüíûì óðàâíåíèåì, èëè óðàâíåíèåì
â èçîáðàæåíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèì äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ
(16). Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (16) äëÿ
îðèãèíàëà ó(t) ìû ïîëó÷èëè ëèíåéíîå àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå (17)
äëÿ åãî èçîáðàæåíèÿ Y(ð). Èç óðàâíåíèÿ (17) íàõîäèì:
F ( p) + py 0 + y 0′ + α 1 y 0
(18)
.
p 2 + α1 p + α 2
Ôîðìóëà (18) äàåò òàê íàçûâàåìîå îïåðàòîðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (16).
Îðèãèíàë ó(t), äëÿ êîòîðîãî ôóíêöèÿ Y(ð), îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìóëîé
(18), ÿâëÿåòñÿ èçîáðàæåíèåì, è ñëóæèò èñêîìûì ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (16).
Y ( p) =
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
3t
ó"(t) − 3ó′ + 2ó = 2å ,
óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì y(0) = 1, y′(0) = 3.
Ð å ø å í è å. Ïî ôîðìóëå (II) òàáëèöû íàõîäèì èçîáðàæåíèå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíå2
.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (18) è çàìå÷àÿ, ÷òî α1 = −3, α2 = 2, y0 = 1, y′0 = 3, ïîëóp −3
÷èì èçîáðàæåíèå ðåøåíèÿ:
íèÿ: 2e 3 t ←:
521
2
+ p ⋅ 1 + 3 + (−3) ⋅ 1
p2 − 3 p + 2
1
p −3
Y ( p) =
=
=
.
p2 − 3 p + 2
( p − 3)( p 2 − 3 p + 2) p − 3
Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû (II ) òàáëèöû íàõîäèì îðèãèíàë, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ èñêîìûì ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ: y(t) = e3t.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
ó"(t) + 4y = sin t,
óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì y(0) = 1, ó′(0) = 1.
Ð å ø å í è å. Ïî ôîðìóëå (IV) òàáëèöû íàõîäèì èçîáðàæåíèå ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ:
sint ←:
1
.
p2 + 1
Ïî ôîðìóëå (18) íàõîäèì èçîáðàæåíèå ðåøåíèÿ, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî α1 = 0, α2 = 4,
y0 = 1, y′0 = 1,
1
+ p +1
1 + ( p + 1)( p 2 + 1) p 3 + p 2 + p + 2
p2 + 1
Y ( p) =
=
=
.
2
p +4
( p 2 + 4)( p 2 + 1) ( p 2 + 4)( p 2 + 1)
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå. Ðàçëàãàÿ Y(p) íà ïðîñòåéøèå äðîáè, ïîëó÷èì:
2
p+
1
Y ( p) = 2 3 +
.
p + 4 3( p 2 + 1)
èëè
Y ( p) =
p
2
1
+
+
.
p 2 + 4 3( p 2 + 4) 3( p 2 + 1)
Òàê êàê
1
1
1
1
p
1
1
→
: sin t , 2
→
: cos 2t , ⋅ 2
→
: sin 2t ,
⋅
3 p2 + 1
3
3
p +4
3 p +4
òî
1
1
y(t ) = sin t + cos 2t + sin 2t .
3
3
Ãëàâà 21. ËÈÍÅÉÍÛÅ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÀ
§ 21.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
1. Ïîíÿòèå î ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå. Ñèòóàöèÿ, êîãäà èìååòñÿ ìíîæåñòâî êàêèõ-òî ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ìîæíî ñêëàäûâàòü ìåæäó ñîáîé
è óìíîæàòü íà ÷èñëà, ïîëó÷àÿ â ðåçóëüòàòå ýëåìåíòû òîãî æå ñàìîãî
ìíîæåñòâà, âñòðå÷àþòñÿ â ìàòåìàòèêå î÷åíü ÷àñòî.  § 2.1 èçó÷àëèñü
ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè: ñëîæåíèå, óìíîæåíèå âåêòîðà
522
íà ÷èñëî. Ñêëàäûâàòü ìåæäó ñîáîé è óìíîæàòü íà ÷èñëà ìîæíî ìíîãî÷ëåíû — â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ òàêèå æå ìíîãî÷ëåíû. Åñëè
ñêëàäûâàþòñÿ è óìíîæàþòñÿ íà ÷èñëà ìíîãî÷ëåíû, ñòåïåíè êîòîðûõ
íå ïðåâîñõîäÿò äàííîãî ÷èñëà ï, òî è ïîëó÷åííûå ïðè ýòîì ìíîãî÷ëåíû áóäóò ñòåïåíè íå âûøå ï. Ñêëàäûâàòü ìåæäó ñîáîé è óìíîæàòü íà ÷èñëà ìîæíî è ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè — â ðåçóëüòàòå ñíîâà
ïîëó÷àþòñÿ ôóíêöèè. Åñëè ôóíêöèè, ê êîòîðûì ïðèìåíÿþòñÿ ýòè
îïåðàöèè, íåïðåðûâíû íà êàêîì-òî îòðåçêå [à, b] (èëè, ñêàæåì, íà
âñåé ÷èñëîâîé îñè), òî è ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ôóíêöèè îáëàäàþò òåì æå ñâîéñòâîì. Íàêîíåö, è ïðîñòî ÷èñëà ìîæíî ñêëàäûâàòü
ìåæäó ñîáîé è óìíîæàòü íà ÷èñëà; áîëåå òîãî, âìåñòî îäíîãî ÷èñëà
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïàðû, òðîéêè è âîîáùå óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû (ñòðîêè), ñîñòîÿùèå èç n ÷èñåë: (x1, x2, , õn). Ñòðîêè ìîæíî
ñêëàäûâàòü (x1, x2, , xn) + (y1, ó2, , yn) = (x1 + y1, õ2 + ó2, , õï + óï) è
óìíîæàòü íà ÷èñëà: ñ(õ1, õ2, , xn) = (cx1, ñõ2, , ñõn), ïîëó÷àÿ âñÿêèé
ðàç òàêóþ æå ñòðîêó.
Âñå ýòî äàåò îñíîâàíèå äëÿ ðàññìîòðåíèÿ òàê íàçûâàåìûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ, ò. å. ìíîæåñòâ ýëåìåíòîâ, íàä êîòîðûìè ìîæíî ïðîèçâîäèòü ëèíåéíûå îïåðàöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì, è â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àòü ýëåìåíòû òîãî æå ìíîæåñòâà.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ìíîæåñòâî L ýëåìåíòîâ õ , ó, z, íàçûâàåòñÿ
ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì (èëè ëèíåéíûì âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì),
åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ åãî ýëåìåíòîâ (åùå íàçûâàåìûõ âåêòîðàìè) x, ó
îïðåäåëåíà ñóììà x + y ∈ L è äëÿ ëþáîãî x ∈ L è ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà α îïðåäåëåíî ïðîèçâåäåíèå αx ∈ L, ïðè÷åì äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ õ, ó è z èç L è äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë α è β âûïîëíåíû
ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) õ + ó = ó + õ;
2) (x + y) + z = x + (y + z);
3) ñóùåñòâóåò òàêîé (íóëåâîé) ýëåìåíò 0 ∈ L,÷òî õ + 0 = õ;
4) äëÿ êàæäîãî x ñóùåñòâóåò òàêîé ýëåìåíò −x (íàçûâàåìûé ïðîòèâîïîëîæíûì ê õ), ÷òî x + (−x) = 0;
5) 1 · x = x;
6) α(βx) = (αβ)x;
7) (α + β)õ = αõ + βõ;
8) α(x + y) = αx + αy.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ëèíåéíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì L1 ëèíåéíîãî
ïðîñòðàíñòâà L íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî L1, ñîäåðæàùååñÿ â L, è îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ îïåðàöèé, îïðåäåëåííûõ â L, ñàìî ÿâëÿþùååñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.
523
1. Ìíîæåñòâî âñåõ ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ ñ ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè, îïèñàííûìè â § 2.1, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, òàê êàê
óñëîâèÿ 1—8 âûïîëíÿþòñÿ. Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç Â3. Ìíîæåñòâî âñåõ
ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíûõ íåêîòîðîé ïëîñêîñòè, ÿâëÿåòñÿ
ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì (åãî îáîçíà÷èì ÷åðåç Â2), ïðè÷åì B2 — ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî Â3.
2. Ïóñòü {Ðn(õ)} — ìíîæåñòâî âñåõ àëãåáðàè÷åñêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè íå âûøå n (ï — íàòóðàëüíîå ÷èñëî). Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ òàêèõ
ìíîãî÷ëåíîâ è óìíîæåíèÿ èõ íà äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà îïðåäåëèì
îáû÷íûìè ïðàâèëàìè. Î÷åâèäíî, óñëîâèÿ 1—8 âûïîëíÿþòñÿ, ïîýòîìó
{Ðï(õ)} ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì. Çàìåòèì, ÷òî {Ðn − 1(x )} —
ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî {Pn(x)}.
3 à ì å ÷ à í è å. Ìíîæåñòâî âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè, òî÷íî ðàâíîé íàòóðàëüíîìó ÷èñëó ï, íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðîñòðàíñòâîì, òàê êàê ñóììà äâóõ òàêèõ ìíîãî÷ëåíîâ ìîæåò îêàçàòüñÿ ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè íèæå n, ò. å. íå ïðèíàäëåæàòü ðàññìàòðèâàåìîìó ìíîæåñòâó.
3. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî An, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ñëóæàò óïîðÿäî÷åííûå ñîâîêóïíîñòè n ïðîèçâîëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë (x1, x2, ,
xn). Êàæäûé ýëåìåíò ýòîãî ìíîæåñòâà áóäåì îáîçíà÷àòü îäíèì ñèìâîëîì, íàïðèìåð, x, ó, è ïèñàòü x = (x1 , x2, , xn), y = (y1, y2, , yn); äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà x1, x2, , xn íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè ýëåìåíòà õ.
Ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ýëåìåíòàìè An îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè
x + y = ((x1 + y1), (õ2 + ó2), , (õn + yn)),
αx = (α1x, αx2, , αõn).
Îòìåòèì, ÷òî ýëåìåíò 0 = (0, 0, , 0) ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì, ýëåìåíò −õ =
= (−x1, −x2, , −xn) — ïðîòèâîïîëîæíûì ýëåìåíòó x = (x1, x2, , xn).
Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî âñå óñëîâèÿ 1—8 áóäóò âûïîëíåíû.
Èç óñëîâèé 1—8 ìîæíî ïîëó÷èòü ðÿä óòâåðæäåíèé, ñïðàâåäëèâûõ
äëÿ ëþáûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåäåì áåç
äîêàçàòåëüñòâà äâå òåîðåìû.
Ò å î ð å ì à 1. Â ëþáîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé íóëåâîé ýëåìåíò è äëÿ êàæäîãî x ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò.
Ò å î ð å ì à 2. Â ëþáîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå íóëåâîé ýëåìåíò 0
ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà x íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî
α = 0; äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà x ïðîòèâîïîëîæíûé ýëåìåíò õ′ ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýòîãî ýëåìåíòà íà äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî α = −1, ò. å. õ′ = (−1)õ.
Ðàçíîñòüþ õ − ó âåêòîðîâ õ è ó íàçûâàåòñÿ âåêòîð z = x + (−y).
2. Áàçèñ è ðàçìåðíîñòü ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà. Â § 2.1 (ï. 3) áûëî
ââåäåíî ïîíÿòèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè âåêòîðîâ, îáîáùåíèåì êîòî-
524
ðîãî ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ýëåìåíòîâ ëþáîãî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà.
Ïóñòü õ, ó, , è — ýëåìåíòû ïðîñòðàíñòâà L, à α, β, , λ — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà.
Òîãäà âûðàæåíèå αx + βy + + λu íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé
ýëåìåíòîâ õ, ó, , è.
Ýëåìåíòû õ, ó, , è ïðîñòðàíñòâà L íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè, åñëè ñóùåñòâóþò äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà α, β, , λ íå âñå ðàâíûå
íóëþ, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
αx + βy + + λu = 0.
(1)
Ýëåìåíòû õ, ó, , è ïðîñòðàíñòâà L íàçûâàþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, åñëè ðàâåíñòâî (1) èìååò ìåñòî òîëüêî ïðè α = 0, β = 0, , λ = 0.
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà 1, àíàëîãè÷íàÿ èçâåñòíîìó ïðåäëîæåíèþ (§ 2.1, ï. 3).
Ò å î ð å ì à 1. Ýëåìåíòû õ, ó, , è ïðîñòðàíñòâà L ëèíåéíî çàâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà, ïî ìåíüøåé ìåðå îäèí èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ.
Ñïðàâåäëèâû è ñëåäóþùèå ïðåäëîæåíèÿ.
Ò å î ð å ì à 2. Åñëè ñðåäè ýëåìåíòîâ õ, ó, , è èìååòñÿ íóëåâîé ýëåìåíò, òî ýòè ýëåìåíòû ëèíåéíî çàâèñèìû.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè, íàïðèìåð, õ = 0, òî ðàâåíñòâî (1) âûïîëíÿåòñÿ
ïðè α = 1, β = 0, , λ = 0.
Àíàëîãè÷íî óñòàíàâëèâàåòñÿ òåîðåìà 3.
Ò å î ð å ì à 3. Åñëè ÷àñòü ýëåìåíòîâ õ, ó, , è ëèíåéíî çàâèñèìà, òî
âñå îíè òàêæå ëèíåéíî çàâèñèìû.
Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ýëåìåíòîâ ïðîñòðàíñòâà Àn.
Äîêàæåì, ÷òî n ýëåìåíòîâ
e1 = (1, 0, , 0), å2 = (0, 1, 0, , 0),
(2)
å3 = (0, 0, 1, 0, , 0), , ån = (0, 0, , 0, 1)
ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, à ñîâîêóïíîñòü ýòèõ n ýëåìåíòîâ è
åùå îäíîãî ëþáîãî ýëåìåíòà x = (x1, x2, , xn) ýòîãî ïðîñòðàíñòâà óæå
îáðàçóþò ëèíåéíî çàâèñèìóþ ñèñòåìó.
Äåéñòâèòåëüíî, ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ óêàçàííûõ ýëåìåíòîâ å1, å2,
, åï â ñèëó óñëîâèé 1—8 ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ýëåìåíò αle1 + α2å2 + + αnen = (α1, α2, , αn), êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì
ëèøü ïðè α1 = 0, α2 = 0, , αn = 0. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ýëåìåíòû α1, α2, ,
αn ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1 ñèñòåìà ýëåìåíòîâ e1, e2, , en è x =
= (x1, x2, , xn) óæå áóäåò ëèíåéíî çàâèñèìîé, òàê êàê ýëåìåíò x
525
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ýëåìåíòîâ e1, å2, , ån,
ò. å. x = (x1, x2, , xn) = x1e1 + x2e2 + + xnen.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî L íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì, åñëè â íåì ñóùåñòâóþò n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ, à ëþáûå (n + 1) ýëåìåíòîâ óæå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî çàâèñèìûìè. ×èñëî n â
ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà L. Èòàê, ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà L — ýòî íàèáîëüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî ëèíåéíî
íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîââ íåì.
Òàê, ðàçìåðíîñòü Â3 ðàâíà 3, ðàçìåðíîñòü Â2 ðàâíà 2, ðàçìåðíîñòü Àn
ðàâíà ï.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ñîâîêóïíîñòü n ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòîâ n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà L íàçûâàåòñÿ åãî áàçèñîì.
Àíàëîãè÷íî ðåçóëüòàòàì ï. 6 èç § 2.1 óñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùåå
ïðåäëîæåíèå.
Ò å î ð å ì à 4. Êàæäûé ýëåìåíò õ ëèíåéíîãî n-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà L ìîæíî ïðåäñòàâèòü, è ïðèòîì åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ýëåìåíòîâ áàçèñà, ò. å. õ = x1e1 + x2e2 + + xnen (e1, å2, ,
ån — áàçèñ; x1, x2, , xn — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, íàçûâàåìûå êîîðäèíàòàìè ýëåìåíòà x â áàçèñå e1, å2 , , ån).
Ïðèâåäåì ïðèìåðû áàçèñîâ êîíêðåòíûõ ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ. Áàçèñ Â3 îáðàçóåò ëþáàÿ òðîéêà íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ (§ 2.1, ï. 6), áàçèñ Â2 îáðàçóþò ëþáûå äâà íåêîëëèíåàðíûå âåêòîðà (§ 2.1, ï. 6). Ìíîæåñòâî n ýëåìåíòîâ (2) îáðàçóþò áàçèñ â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå Àn.
Òàê æå, êàê è òåîðåìà 2 èç ï. 6 § 2.1, óñòàíàâëèâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ
òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à 5. Ïðè ñëîæåíèè äâóõ ýëåìåíòîâ ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà L èõ êîîðäèíàòû ñêëàäûâàþòñÿ, ïðè óìíîæåíèè ýëåìåíòà íà ëþáîå
äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî α âñå åãî êîîðäèíàòû óìíîæàþòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî {Ð2(õ)}, ò. å. ìíîæåñòâî âñåõ
ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ 2 (ï. 1). Âñå ýòè ìíîãî÷ëåíû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñòåïåíåé x2, x, 1, ïðè÷åì ñàìè ýòè ñòåïåíè
ëèíåéíî íåçàâèñèìû, íè îäíà èç íèõ íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. Îòñþäà ñ ó÷åòîì òåîðåìû 1 ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíûì. Óêàçàííûå ñòåïåíè îáðàçóþò â ýòîì ïðîñòðàíñòâå áàçèñ.
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ïðîñòðàíñòâî ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè ≤ n
èìååò ðàçìåðíîñòü ï + 1.
§ 21.2. Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ åâêëèäîâûì, åñëè â íåì îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ: ëþáûì
526
äâóì ýëåìåíòàì x è ó ñîïîñòàâëåíî âåùåñòâåííîå ÷èñëî, îáîçíà÷àåìîå
ñèìâîëîì (õ, ó) è íàçûâàåìîå ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ x è ó,
ïðè÷åì âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ, êàêîâû áû íè áûëè âåêòîðû
õ, ó, z è ÷èñëî α:
1. (x, ó) = (ó, x).
2. (x, x) > 0, åñëè x ≠ 0.
3. (x + y, z) = (x, z) + (y, z).
4. (αx, y) = α(x, y).
Îòìåòèì, ÷òî èç óñëîâèÿ 4 ïðè α = 0 ñëåäóåò ðàâåíñòâî (0, y) = 0, ò. å.
ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íóëåâîãî âåêòîðà íà ëþáîé âåêòîð ðàâíî íóëþ;
ðàâåí íóëþ, â ÷àñòíîñòè, ñêàëÿðíûé êâàäðàò íóëåâîãî âåêòîðà.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ.
1.  ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå Â3 ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ a è b îïðåäåëèì òàê, êàê â § 2.2 (ï. 1); óñëîâèÿ 1—4 äëÿ íåãî áóäóò
âûïîëíåíû (ñì. § 2.2, ï. 1, ñâîéñòâà 1—4). Ñëåäîâàòåëüíî, ëèíåéíîå
ïðîñòðàíñòâî Â3 âñåõ ñâîáîäíûõ âåêòîðîâ ñ óêàçàííûì îïðåäåëåíèåì
ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî îáðàçóåò òàêæå ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ, ïàðàëëåëüíûõ íåêîòîðîé ïëîñêîñòè (èëè íåêîòîðîé ïðÿìîé), ò. å. ëèíåéíûå
ïðîñòðàíñòâà Â2 è Â1.
2. Ðàññìîòðèì n-ìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî An, óïîðÿäî÷åííûõ
ñîâîêóïíîñòåé n äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ
åãî ýëåìåíòîâ x = (x1, x2, , xn) è y = (y1 , y2, , yn) îïðåäåëèì ôîðìóëîé
(x, y) = x1y1 + x2y2 + + xnyn
(1)
ïî àíàëîãèè ñ ôîðìóëîé (7) èç § 2.2. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óñëîâèÿ 1—4 äëÿ
íåãî âûïîëíÿþòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ðàññìàòðèâàåìîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (1) ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì; åãî îáîçíà÷èì ÷åðåç Ån.
 åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ââîäÿò ïîíÿòèå äëèíû (íîðìû) ýëåìåíòà x ïo ôîðìóëå | x | = ( x , x ).
Èç óñëîâèÿ 4 ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî | x | > 0 äëÿ x ≠ 0;
| õ | = 0 ïðè x = 0.
Ñ ïîìîùüþ óñëîâèé 1 è 3 ïîëó÷àåì | αx | = (αx , αx ) = α 2 ( x , x ) =
=| α || x |, ò. å. | αx | = | α | | x |, îòêóäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî | 0 |=0. Ýëåìåíò, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàííûì. Äëÿ
êàæäîãî ýëåìåíòà x ≠ 0 ìîæíî ïîëó÷èòü íîðìèðîâàííûé, óìíîæèâ õ íà
1
÷èñëî α = ; ïîñëåäíåå äåéñòâèå íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâàíèåì ýëåìåíòà
|x|
(äëÿ îáû÷íûõ âåêòîðîâ óïîòðåáëÿåìûé òåðìèí — «åäèíè÷íûé âåêòî𻠗 ñì. § 2.1).
527
Äîêàæåì, ÷òî
| (õ, y) | ≤ | x | | ó |.
(2)
Äåéñòâèòåëüíî,
0 ≤ | x + αi |2 = (x + αy, õ + αó) = (ó, ó)α2 + 2(õ, ó)α + (õ, õ).
Ïîëó÷åííóþ ñóììó ñïðàâà ðàññìàòðèâàåì êàê êâàäðàòè÷íûé òðåõ÷ëåí
îòíîñèòåëüíî α. Òàê êàê òðåõ÷ëåí ñîõðàíÿåò çíàê, òî åãî äèñêðèìèíàíò
íåïîëîæèòåëåí, ò. å.
(x, y)2 − (x, õ)(ó, y) ≤ 0
èëè
(õ, y)2 ≤ (x, x)(y, ó),
(3)
îòêóäà
|( x , y )| = ( x , y ) 2 ≤ ( x , x )( y, y ) = ( x , x ) ( y, y ) =| x || y |,
÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Íåðàâåíñòâî (2) íîñèò íàçâàíèå íåðàâåíñòâà Êîøè — Áóíÿêîâñêîãî
(Â. ß. Áóíÿêîâñêèé (1804—1889) — ðóññêèé ìàòåìàòèê).
Ñ èñïîëüçîâàíèåì íåðàâåíñòâà (2) èìååì
| x + y |2 = (x + y, x + ó) = (õ, x) + 2(x, y) + (y, y) ≤
îòêóäà
≤ | x |2 + 2| x | | y | + | y |2 = (| x | + | y |)2,
| õ + y | ≤ | õ | + | y |.
(4)
Íåðàâåíñòâî (4) íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì òðåóãîëüíèêà.
 åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Â3 ñ îáû÷íûì îïðåäåëåíèåì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íîðìà âåêòîðà ñîâïàäàåò ñ åãî äëèíîé è
(a , b ) 2 ≤| a | 2 | b | 2 , | a + b | ≤| a | +| b |.
 åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå En ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì (1)
íîðìà ýëåìåíòà x = (x1, x2, , xn) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
| x | = x 12 + x 22 +K+ x n2 ,
à íåðàâåíñòâà (3) è (4) ïðèíèìàþò âèä:
( x 1 y 1 + x 2 y 2 +K+ x n y n ) 2 ≤ ( x 12 + x 22 +K+ x n2 )( y 12 + y 22 +K+ y n2 ),
( x 1 + y 1 ) 2 + ( x 2 + y 2 ) 2 +K+( x n + y n ) 2 ≤
≤ x 12 + x 22 +K+ x n2 + y 12 + y 22 +K+ y n2 .
 åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå ââîäèòñÿ ïîíÿòèå óãëà ìåæäó íåíóëåâûìè ýëåìåíòàìè x è ó ïî ôîðìóëå
( x, y)
( x, y)
(5)
cos( x , y ) =
=
.
| x || y |
( x , x ) ( y, y )
Äëÿ âåêòîðîâ ýòî îïðåäåëåíèå ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì îïðåäåëåíèåì
óãëà. Îòìåòèì, ÷òî |cos( x , y )| ≤ 1 â ñèëó íåðàâåíñòâà (2).
528
Åñëè ýëåìåíòû x è ó ëèíåéíî çàâèñèìû, ò. å. ó = αõ, òî èç ôîðìóëû
(5) ñëåäóåò, ÷òî cos( x , y ) = 1 ïðè α > 0, cos( x , y ) = −1 ïðè α < 0. Îáðàòíîå òàêæå âåðíî: åñëè cos( x , y ) = ±1, òî ýëåìåíòû x è ó ëèíåéíî çàâèñèìû.
Ýëåìåíòû x è ó íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè (x, y) = 0. Ñèñòåìà
ýëåìåíòîâ å1, å2, , ån íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè îíè ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû. Îðòîãîíàëüíàÿ ñèñòåìà ýëåìåíòîâ âñåãäà ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Â ñàìîì äåëå, ðàâåíñòâî
α1e1 + α2e2 + + αnen = 0
(6)
âûïîëíåíî ëèøü ïðè α1 = α2 = = αn = 0, òàê êàê ïðè ñêàëÿðíîì óìíîæåíèè ðàâåíñòâà (6) íà ëþáîé âåêòîð ek ýòîé ñèñòåìû ïîëó÷àåì αk(ek, ek) = 0,
îòêóäà αk = 0 (k = 1, 2, , n).
 êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå íàèáîëåå óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ îðòîãîíàëüíûì áàçèñîì, ò. å. áàçèñîì, êîòîðûé îäíîâðåìåííî
ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè e1, å2, , åï òàêîé áàçèñ, òî ëþáîé ýëåìåíò x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:
õ= α1å1 + α2å2 +
+ α n ån,
îòêóäà (ïîñëå ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ íà åk)
( x, e k )
(k = 1, 2, K, n ).
αk =
(e k , e k )
(7)
Ôîðìóëà (7) óïðîùàåòñÿ, åñëè ýëåìåíòû å1, å2, , ån ÿâëÿþòñÿ íîðìèðîâàííûìè; òîãäà çíàìåíàòåëü ðàâåí åäèíèöå.
Îðòîãîíàëüíûé áàçèñ èç íîðìèðîâàííûõ ýëåìåíòîâ íàçûâàåòñÿ
åâêëèäîâûì áàçèñîì. Â òðåõìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå B3 òàêèì
áàçèñîì ÿâëÿåòñÿ áàçèñ i , j, k .
§ 21.3. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû
1. Îïðåäåëåíèå è ïðèìåðû.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L çàäàí îïåðàòîð, èëè ïðåîáðàçîâàíèå, A, åñëè êàæäîìó ýëåìåíòó x èç L ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå ýëåìåíò Aõ, ïðèíàäëåæàùèé L, ò. å. A — ýòî ôóíêöèÿ ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ L è ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé, ïðèíàäëåæàùèì L. Îïåðàòîð A
íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ x è ó è äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà λ âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà A(õ + y) = Ax +
+ Ay, A(λx) = λAx.
Ïóñòü A — ëèíåéíûé îïåðàòîð â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L è å1, å2, ,
ån — áàçèñ â L. Ðàññìîòðèì ýëåìåíòû Aå1 , Aå2, , Aån. Òàê êàê ýòî
529
ýëåìåíòû òîæå èç L, òî èõ ìîæíî ðàçëîæèòü åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì ïî
áàçèñó å1, å2, , ån:
Ae1 = a 11 e1 + a 21 e 2 +K+a n1 e n ,
Ae 2 = a 12 e1 + a 22 e 2 +K+a n 2 e n ,
..........................
Ae n = a 1 n e1 + a 2n e 2 +K+a nn e n .
Ìàòðèöåé À ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A â áàçèñå å1, å2, , ån íàçûâàåòñÿ
êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ðàçìåðîì n×n, â k-ì ñòîëáöå êîòîðîé çàïèñàíû êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ Aek ïî áàçèñó å1, å2, , ån ò. å.
 a 11 a 12 … a 1 n 


a
a 22 … a 2n 
A =  21
.
 ..................... 


 a n1 a n 2 … a nn 
Ï ð è ì å ð 1.  îáû÷íîì òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ïóñòü Ax áóäåò âåêòîð, ñèììåòðè÷íûé ñ âåêòîðîì x îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè õÎó. Ëèíåéíîñòü ýòîãî îïåðàòîðà î÷åâèäíà. Åñëè å1, å2, å3 — åäèíè÷íûå âåêòîðû ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî Aå1 = å1,
Aå2= å2 , Aå3 = −å3 è ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A
1 0 0 


0 1 0 .


 0 0 −1
Ï ð è ì å ð 2.  ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ {Ân(t)} ñòåïåíè íå âûøå n
ïîëîæèì
A(x(t)) = x′(t).
Ëèíåéíîñòü ýòîãî «îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ» âûòåêàåò èç îñíîâíûõ ïðàâèë äèôôåðåíöèàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ. ×òîáû íàéòè åãî ìàòðèöó, âûáåðåì â êà÷åñòâå áàçèñà, íàïðèìåð, âåêòîðû
t2
tn
e 0 = 1, e1 = t , e 2 = , …, e n = .
2!
n!
Òîãäà
Ae0 = 0, Ae1 = e0, Ae2 = e1,
, Aen = en − 1
è
0

0
A = …

0

0
1 0 … 0

0 1 … 0
… … … … .

0 0 … 1

0 0 … 0
Ï ð è ì å ð 3. Ëèíåéíûé îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ òîæäåñòâåííûì, åñëè îí ïðåîáðàçóåò
ëþáîé ýëåìåíò x èç L â ñàìîãî ñåáÿ. Òîæäåñòâåííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð îáîçíà÷àþò
530
÷åðåç E. Òàêèì îáðàçîì, Ex = x. Ïîýòîìó Eek = ek, k = 1, 2,
îïåðàòîðà E èìååò âèä
1 0 0 K 0


 0 1 0 K 0 .
K K K K K


0 0 0 K 1
, n, è ñëåäîâàòåëüíî, ìàòðèöà
ò. å. ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé Å.
Ï ð è ì å ð 4. Îáîçíà÷èì ÷åðåç O òàê íàçûâàåìûé íóëåâîé îïåðàòîð, îïðåäåëÿåìûé
ðàâåíñòâîì Ox = 0 äëÿ âñåõ õ èç L. Ìàòðèöà ýòîãî îïåðàòîðà ñîñòîèò èç îäíèõ íóëåé.
2. Äåéñòâèÿ íàä ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè. Ïóñòü A è B — äâà ïðîèçâîëüíûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðà â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L, λ — ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî è x — ëþáîé ýëåìåíò èç L.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ñóììîé ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ A è B íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð C; îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì Cx = Ax + Bx. Îáîçíà÷åíèå,
C=A+B
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A íà ÷èñëî
λ íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð C, îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì Cx = λ(Ax).
Îáîçíà÷åíèå: C = λA.
Î ï ð å ä å ë å í è å 3. Ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A íà ëèíåéíûé îïåðàòîð C íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð C îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì
Cx = A(Bõ).
Îáîçíà÷åíèå: C = AB.
Îïåðàòîðû A + B è AB ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè. Äîêàæåì ýòî, íàïðèìåð, äëÿ îïåðàòîðà A + B. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ x è ó è
ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà λ èìååì:
(A + B)(õ + y) = A(x + y) + B(x + y) = Ax + Ay + Bx + By = (A + B)õ + (A + B)ó,
(A + B)(λx) = A(λx) + B(λx) = λ(Ax) + λ(Bx) =
= λ(Ax + Bx) = λ(A + B)x.
Ò å î ð å ì à. Ïóñòü A è B — äâà ëèíåéíûõ îïåðàòîðà â ëèíåéíîì
ïðîñòðàíñòâå L; λ — ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî; e1, e2, , en —
áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå L; A = (aik), B = (bik) — ìàòðèöû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ A, B â çàäàííîì áàçèñå. Òîãäà â ýòîì áàçèñå: 1) ìàòðèöà ëèíåéíîãî
îïåðàòîðà A + B åñòü À + Â; 2) ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà λA åñòü λA;
3) ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà AB åñòü ÀÂ.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îãðàíè÷èìñÿ äîêàçàòåëüñòâîì óòâåðæäåíèÿ 1). Èìååì:
n
n
n
i =1
i =1
i =1
( A + B)e k = Ae k + Be k = ∑ a ik ei + ∑ bik ei = ∑ (a ik + bik )ei ,
(1)
k = 1, 2, , n. Çäåñü èñïîëüçîâàíû îïðåäåëåíèÿ ñóììû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ è ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà. Ðàâåíñòâî (1) îçíà÷àåò, ÷òî íà
531
ïåðåñå÷åíèè i ñòðîêè è k ñòîëáöà ìàòðèöû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A + B â áàçèñå e1, e2, , en íàõîäèòñÿ ÷èñëî aik + bik, ò. å. ýòà ìàòðèöà èìååò âèä À + Â.
Èç ýòîé òåîðåìû è èçâåñòíûõ ñâîéñòâ ìàòðèö (§ 3.1) âûòåêàþò, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ îïåðàòîðîâ:
1. A + B = B + A,
2. (A + B) + C = A + (B + C),
3. A + O = A,
4. A(BC) = (AB)C,
5. 0 · A = O,
6. AE = EA = A,
ïðîèçâåäåíèå æå AB, âîîáùå ãîâîðÿ, îòëè÷àåòñÿ îò ïðîèçâåäåíèÿ BA,
òàê êàê ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïîä÷èíÿåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíîìó çàêîíó (§ 3.1, ï. 5).
Îáðàòíûì ê ëèíåéíîìó îïåðàòîðó A íàçûâàåòñÿ îïåðàòîð A −1 òàêîé,
÷òî AA −1 = A −1A = E, ãäå E — òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð. Îïåðàòîð A èìååò
îáðàòíûé (è â òîì ñëó÷àå A íàçûâàåòñÿ íåâûðîæäåííûì) â òîì è òîëüêî
â òîì ñëó÷àå, êîãäà åãî ìàòðèöà À íåâûðîæäåíà, ïðè ýòîì ìàòðèöà îáðàòíîãî îïåðàòîðà A −1 ðàâíà îáðàòíîé ìàòðèöå A−1.
Î÷åâèäíî, ðàññìîòðåííûå âûøå â ïðèìåðàõ 1 è 3 îïåðàòîðû — íåâûðîæäåííûå, à â ïðèìåðàõ 2—4 — âûðîæäåííûå.
3. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.
Î ï ð å ä å ë å í è å 1. Ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà
A, äåéñòâóþùåãî â ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L, íàçûâàåòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð x èç L òàêîé, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà λ âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
Ax = λx.
(2)
×èñëî λ â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì (÷èñëîì) ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A. Ãîâîðÿò, ÷òî ñîáñòâåííûé âåêòîð x ïðèíàäëåæèò
ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ.
Èç (2) ñëåäóåò, ÷òî ïðè äåéñòâèè ëèíåéíîãî îïåðàòîðà ñîáñòâåííûé
âåêòîð ïðîñòî óìíîæàåòñÿ íà íåêîòîðîå ÷èñëî. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó
 a 11

a
A =  21
K

 a n1
a 12
a 22
K
a n2
K a 1n 

K a 2n 
,
K K

K a nn 
ñîîòâåòñòâóþùóþ ëèíåéíîìó îïåðàòîðó A â áàçèñå å1, å2, , ån è âåê x1 
 
òîð-ñòîëáåö x =  M  , ñîñòàâëåííûé èç êîîðäèíàò ñîáñòâåííîãî âåêòîðà
x 
 n
532
â äàííîì áàçèñå. Ðàâåíñòâî (2), îïðåäåëÿþùåå ïîíÿòèå ñîáñòâåííîãî
âåêòîðà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà, ñ ó÷åòîì òåîðåìû, óñòàíîâëåííîé â ï. 2, â
ìàòðè÷íûõ îáîçíà÷åíèÿõ çàïèøåòñÿ òàê:
Ax = λx
(3)
a 11 x 1 + a 12 x 2 +K+a 1 n x n = λx 1 ,
a x + a x +K+a x = λx ,
 21 1
22 2
2n n
2

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

a n1 x 1 + a n 2 x 2 +K+a nn x n = λx n ,
(4)
èëè â ðàçâåðíóòîì âèäå
ãäå àij (i, j = 1, 2, , ï) — ýëåìåíòû ìàòðèöû A, a x1, õ2, , õn — êîîðäèíàòû
âåêòîðà x (â çàäàííîì áàçèñå ïðîñòðàíñòâà L).
Ðàâåíñòâà (3) è (4) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü áåç âñÿêîé ñâÿçè ñ ëèíåéíûì
îïåðàòîðîì, áàçèñîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà è ñîáñòâåííûì âåêòîðîì
ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.  ýòîì ñëó÷àå óäîáíî ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå.
Î ï ð å ä å ë å í è å 2. Ïóñòü À — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n è
x — íåíóëåâàÿ ìàòðèöà-ñòîëáåö. Åñëè äëÿ íåêîòîðîãî ÷èñëà λ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå Ax = λx, òî x íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû A, a λ — ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, èëè êîðíåì; ãîâîðÿò, ÷òî ñîáñòâåííûé âåêòîð x ïðèíàäëåæèò ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ.
Ðàâåíñòâà (4) èëè, ÷òî òî æå, ðàâåíñòâà
(a 11 − λ )x 1 + a 12 x 2 +K+a 1 n x n = 0,
a x + (a − λ )x +K+a x = 0,
 21 1
22
2
2n n

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.......

a n1 x 1 + a n 2 x 2 +K+(a nn − λ)x n = 0
(5)
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäíîðîäíóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ x1, x2, ..., õn (ïðè ôèêñèðîâàííîì ÷èñëîâîì çíà÷åíèè λ). Åñëè x — ñîáñòâåííûé âåêòîð (ïî îïðåäåëåíèþ îí íå ðàâåí
íóëþ), òî ñèñòåìà (5) èìååò (ïðè ôèêñèðîâàííîì λ) íåíóëåâîå ðåøåíèå, ÷òî âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
a 12
a 11 − λ
 a 21
a 22 − λ

…
…

a n2
 a n1
a 1n 
a 2n 
 = 0.
…

… a nn − λ
…
…
…
(6)
Óðàâíåíèå (6) íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèì óðàâíåíèåì, à åãî ëåâàÿ
÷àñòü — õàðàêòåðèñòè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (ìàòðèöû À).
533
Âñÿêîå ðåøåíèå λ óðàâíåíèÿ (6) îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì,÷òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ åìó ñèñòåìà óðàâíåíèé (5) èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå x1,
 x1 
 
x2, , õn. Ïðè ýòîì âåêòîð-ñòîëáåö  M  ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì âåêòîx 
 n
ðîì ìàòðèöû À, à âåêòîð x1e1 + õ2å2 + + õnån — ñîáñòâåííûì âåêòîðîì
ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A.
Çàìåòèì, ÷òî êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ òàêæå ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè èëè
êîðíÿìè ìàòðèöû.
Ñïðàâåäëèâà (ñì. [1]) ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íå
çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà.
Ï ð è ì å ð 1. Äëÿ òîæäåñòâåííîãî îïåðàòîðà âñå íåíóëåâûå âåêòîðû ëèíåéíîãî
ïðîñòðàíñòâà L ÿâëÿþòñÿ, î÷åâèäíî, ñîáñòâåííûìè (ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì
åäèíèöå).
Ï ð è ì å ð 2. Äëÿ íóëåâîãî îïåðàòîðà âñå íåíóëåâûå âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè (ñ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, ðàâíûì íóëþ).
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòî 5 8
ðà ñ ìàòðèöåé A = 
.
 4 9
8 
5 − λ
 = 0, èëè λ2 − 14λ + 13 = 0; õàÕàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä 
9 − λ
 4
ðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà λ1 = 1, λ2=13.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîîðäèíàò ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ïîëó÷àåì äâå ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé:
(5 − λ 1 )x1 + 4x 2 = 0, (5 − λ 2 )x1 + 4x 2 = 0,


8x1 + (9 − λ 1 )x 2 = 0, 8x1 + (9 − λ 2 )x 2 = 0.
Òàê êàê λ1 = 1, òî ïåðâóþ ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
 4x1 + 4x 2 = 0,

8x1 + 8x 2 = 0,
ò. å. x1 + x2 = 0 èëè x2 = −õ1. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû èìååò âèä x1 = c1, x2 = −ñ1,
ãäå ñ1 — ïðîèçâîëüíàÿ âåëè÷èíà. Òàêèì îáðàçîì, ñîáñòâåííîìó ÷èñëó λ = 1 ñîîòâåòñòâóåò
ñåìåéñòâî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ x = c1e2 − ñ1å2, ò. å. õ = ñ1(e1 − å2).
 −8x1 + 4x 2 = 0,
ò. å. x2 = 2x1. Ïîëàãàÿ
Çíà÷åíèå λ2 = 13 ïðèâîäèò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé 
8x1 − 4x 2 = 0.
x1 = c2, ïîëó÷àåì x2 = 2ñ2. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîáñòâåííîìó ÷èñëó λ = 13 ñîîòâåòñòâóåò ñåìåéñòâî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ x = c2(e1 + 2å2).
Ïðèäàâàÿ â ðàâåíñòâàõ x = c1(å1 − å2), x = c2(e1 + 2e2) âåëè÷èíàì c1è ñ2 âñåâîçìîæíûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ, áóäåì ïîëó÷àòü âñåâîçìîæíûå âåêòîðû ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A.
534
Ãëàâà 22. ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÌÅÒÎÄÛ
§ 22.1. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå
Îäèí èç ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ (ìåòîä Ãàóññà) óæå áûë ðàññìîòðåí ðàíåå (ñì. § 3.4, ïï. 6 è 9). Íèæå ðàññìîòðèì åùå äâà äðóãèõ ìåòîäà: ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå è ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèé.
Ïóñòü ðå÷ü èäåò î âû÷èñëåíèè èíòåãðàëà
b
∫ f ( x )dx,
(1)
a
ãäå f (x) — ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ íà ñåãìåíòå [à; b]. Ôîðìóëà Íüþòîíà — Ëåéáíèöà íå âñåãäà ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü èíòåãðàë (1), òàê êàê äàëåêî íå âñåãäà ìû çíàåì ïåðâîîáðàçíóþ äëÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè. Çäåñü íà ïîìîùü ïðèõîäèò ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ. Êñòàòè, íà ïðàêòèêå ÷àñòî è íå òðåáóåòñÿ çíàòü
òî÷íîå çíà÷åíèå äàííîãî èíòåãðàëà. Ðàññìîòðèì òðè ñïîñîáà ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ: ìåòîä ïðÿìîóãîëüíèêîâ, ìåòîä òðàïåöèé è ìåòîä ïàðàáîëè÷åñêèõ òðàïåöèé, èëè ìåòîä
Ñèìïñîíà (Òîìàñ Ñèìïñîí (1710—1761) — àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê).
Åñëè f (x) ≥ 0 íà ñåãìåíòå [à; b], òî, êàê èçâåñòíî (ñì. § 9.6), èíòåãðàë
(1) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè àÀÂb, îãðàíè÷åííîé ñâåðõó ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x) ñíèçó îòðåçêîì [à;b]
îñè Ox, ñ áîêîâ îòðåçêàìè ïðÿìûõ õ = à, õ = b. Ñîñòàâèì èíòåãðàëüíóþ
ñóììó, ñîîòâåòñòâóþùóþ äåëåíèþ ñåãìåíòà [à; b] íà n ðàâíûõ ÷àñòåé
òî÷êàìè a = x0 < x1 < x2 < < xk − 1 < xk < < xn = b è âûáîðó òî÷åê τk = xk − 1,
n
b −a
(k = l, 2, , ï): ∑ f ( x k −1 )∆x k . Íî ∆x k =
. Çíà÷èò,
n
k =1
n
b −a n
f ( x k −1 )∆x k =
∑
∑ f ( x k −1 ).
n k =1
k =1
Ñóììà
n
∑ f (x
k =1
k −1
)∆x k åñòü ïëîùàäü ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû, èçîáðàæåí-
íîé íà ðèñóíêå 212. Ïîýòîìó ïëîùàäü óêàçàííîé êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ïðèáëèæåííî ðàâíà ïëîùàäè ýòîé ñòóïåí÷àòîé ôèãóðû, ò. å.
b
∫ f ( x )dx ≈
a
b −a n
∑ f ( x k −1 ).
n k =1
(2)
Åñëè τk = xk (k = 1, 2, , n), òî àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì ïðèáëèæåííóþ
ôîðìóëó
b
b −a n
(3)
f
(
x
)
dx
≈
∑ f ( x k ).
∫a
n k =1
535
Ðèñ. 212
Ôîðìóëû (2) è (3) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Åñëè
ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò íà [à; b], òî ôîðìóëà (2) äàåò çíà÷åíèå èíòåãðàëà
(1) ïî íåäîñòàòêó, à ôîðìóëà (3) — ïî èçáûòêó. Ïîýòîìó äëÿ ïîâûøåíèÿ
òî÷íîñòè åñòåñòâåííî âçÿòü ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ýòèõ ôîðìóë:
b
∫ f ( x )dx ≈
a
b − a  f (a ) + f (b) n −1

+ ∑ f ( x k ) .


2
n 
k =1
(4)
Ýòó ôîðìóëó íàçûâàþò ôîðìóëîé òðàïåöèé, òàê êàê åå ãåîìåòðè÷åñêèé
ñìûñë ñâÿçàí ñ çàìåíîé ïëîùàäè êàæäîé ïðÿìîóãîëüíîé ïîëîñêè, íà
êîòîðûå ðàçáèâàåòñÿ êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ, íà ïëîùàäü ïðÿìîëèíåéíîé òðàïåöèè.
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèì çíà÷åíèå èíòåãðàëà
2
∫e
−x 2
dx :
(5)
0
à) ïî ôîðìóëàì ïðÿìîóãîëüíèêîâ (2) è (3) ïðè ï = 10 è ï = 20; á) ïî ôîðìóëå òðàïåöèé ïðè
n =10 è ï = 20.
Ïðè ðàññìîòðåíèè ýòîãî ïðèìåðà áóäåì èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, ìèêðîêàëüêóëÿòîð
«Ýëåêòðîíèêà Á3-36».
Âû÷èñëèì ñíà÷àëà ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà (5) ïî ôîðìóëå ïðÿìîóãîëüíèêîâ (2) ïðè ï = 10.  ýòîì ñëó÷àå x0 = 0, x1 = 0,2, x2 = 0,4, x3 = 0,6, x4 = 0,8, x5 = l, x6 = 1,2, x7 =
= 1,4, x8 = 1,6, x9 = 1,8 è ïîòîìó
2
∫e
0
536
−x 2
dx ≈
2
2
2 − 0 −0 2
(e
+ e −0, 2 +K + e −1, 8 ).
10
Çíà÷åíèå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè â
òî÷êå õ, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ïðîãðàììå
x× = /−/Fåx. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîãðàììà âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà èìååò âèä:
x
0× = /−/Fe FII
+
x
+
x
+
0.2× = /−/Få FÏ
. . . . . . . . . .
1.8 × = /−/Fe FÏ
2 ÷ 10×FÈÏ =
Ðèñ. 213
Î ò â å ò: 0,98.
Âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëå (3) ïðè n = 10 ïðîèçâîäèòñÿ ïî àíàëîãè÷íîé ïðîãðàììå ñ òîé
ëèøü ðàçíèöåé, ÷òî íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì àðãóìåíòà ÿâëÿåòñÿ 0,2, à êîíå÷íûì çíà÷åíèåì — ÷èñëî 2. Ïîëó÷àåì îòâåò: 0,78. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ýòèõ îòâåòîâ 0,88 äàåò ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà ïî ôîðìóëå òðàïåöèé.
Àíàëîãè÷íî ïðîèçâîäÿòñÿ ïîäñ÷åòû ïðè n = 20. Îòâåò ïî ôîðìóëå òðàïåöèé: 0,882.
Ìåòîä Ñèìïñîíà äàåò áîëåå òî÷íóþ ïðèáëèæåííóþ ôîðìóëó âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1).
Ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ èìåþò âèä à =
= −h, b = h, ò. å. ðàñïîëîæåíû ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî òî÷êè Î. Åñëè
h ìàëî, òî êðèâóþ y = f (x) ïðèáëèæåííî ìîæíî çàìåíèòü ïàðàáîëîé
y = αx2 + βx + γ ≡ F (x),
(6)
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè A(−h; f (−h)), Â(0; f (0))è Ñ(h; f (h)) (ðèñ. 213).
Òîãäà
h
∫ f ( x )dx
−h
ïðèáëèæåííî áóäåò ðàâåí èíòåãðàëó
h
h
 αx 3 βx 2

2 3
2
2
∫− hF ( x )dx =  3 + 2 + γx  = 3 αh + 2 γh = 3 h(αh + 3γ).
−h
Ïîëàãàÿ â âûðàæåíèè (6) ïîñëåäîâàòåëüíî x = −h, 0, h, ïîëó÷àåì:
F (−h) = αh2 − βh + γ, F (0) = γ, F (h) = αh2 + βh + γ.
Îòñþäà
Ïîýòîìó
2
F (−h) + 4F (0) + F (h) = 2(αh + 3γ).
h
h
∫ F ( x )dx ≈ 3 (F ( −h) + 4F (0) + F (h)).
−h
Íî
F (−h) = f (−h), F (0) = f (0), F (h) = f (h).
537
È çíà÷èò,
h
h
∫ f ( x )dx ≈ 3 ( f ( −h) + 4 f (0) + f (h))
−h
(ôîðìóëà Ñèìïñîíà).
Ñëó÷àé îáùåãî ðàñïîëîæåíèÿ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ñâîäèòñÿ ê
a +b
ðàññìîòðåííîìó, åñëè ïåðåíåñòè íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó x =
2
îñè àáñöèññ. Òîãäà áóäåì èìåòü
b
b −a
 a + b
(7)
( f (a ) + 4 f 
 + f (b)).
 2 
6
a
Äëÿ óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (1) ðàçîáüåì îòðåçîê
[à; b] òî÷êàìè a = x0, x1, , x2n − 1, x2n = b íà 2n ðàâíûõ ÷àñòåé (f (xk) = yk).
Ïðèìåíÿÿ ê îòðåçêó [x2k − 2; x2k] (k = 1, 2, , n) ôîðìóëó (7), ïîëó÷èì:
∫ f ( x )dx ≈
x 2k
∫ f ( x )dx ≈
x 2k − 2
b −a
( y 2k − 2 + 4 y 2k −1 + y 2k ).
6n
Îòñþäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñâîéñòâà 4 (ñì. § 9.7, ï. 1) ïîëó÷èì:
b
∫ f ( x )dx ≈
b −a n
∑( y 2k − 2 + 4 y 2k −1 + y 2k ) =
6n k =1
a
(8)
b −a
=
(( y 0 + y 2n ) + 4( y 1 + y 3 +K+ y 2n −1 ) + 2( y 2 + y 4 +K+ y 2n − 2 )).
6n
Çàìåòèì, ÷òî âñå ÷åòûðå ôîðìóëû (2), (3), (4), (8) òåì òî÷íåå, ÷åì
áîëüøå ï.
Íàêîíåö, îòìåòèì, ÷òî êàæäûé èç èçëîæåííûõ ìåòîäîâ ñîäåðæèò
÷åòêèé àëãîðèòì èõ íàõîæäåíèÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò øèðîêî ïðèìåíÿòü ýòè
ìåòîäû äëÿ âû÷èñëåíèé íà ÝÂÌ.
§ 22.2. ×èñëåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèé
1. Ïîñòàíîâêà âîïðîñà. ×èñëî x0 íàçûâàåòñÿ êîðíåì ôóíêöèè f (õ),
åñëè ðàâíî íóëþ çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè ïðè x = x0. Ýòî ÷èñëî õ0 âìåñòå
ñ òåì íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ
f (x) = 0.
(1)
Òàêèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü àëãåáðàè÷åñêèìè, åñëè ôóíêöèÿ f (õ)
àëãåáðàè÷åñêàÿ èëè òðàíñöåíäåíòíûìè â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
Èç øêîëüíîé àëãåáðû èçâåñòíî, êàê ðåøèòü óðàâíåíèå (1), åñëè f (x)
ëèíåéíàÿ èëè êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ. Ñóùåñòâóþò ìåòîäû ðåøåíèÿ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ñòåïåíè. Ôîðìóëû, âûðàæàþùèå êîðíè ýòèõ óðàâíåíèé ÷åðåç èõ êîýôôèöèåíòû, ÿâëÿþòñÿ
äîâîëüíî ãðîìîçäêèìè, ïîýòîìó èìè ðåäêî ïîëüçóþòñÿ. ×òî êàñàåòñÿ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñòåïåíè n (n ≥ 5), òî â îáùåì ñëó÷àå äëÿ íèõ
íåò òàêèõ ôîðìóë: ýòè óðàâíåíèÿ â ðàäèêàëàõ íå ðåøàþòñÿ.
538
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè ïðèìåíåíèè òî÷íûõ ìåòîäîâ ïîëó÷åííûìè
ðåçóëüòàòàìè âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèøü ïðèáëèæåííî, íàïðèìåð ðåçóëüòàòîì x = 3 è ò. ï. Ïî óêàçàííûì ïðè÷èíàì
øèðîêî ïîëüçóþòñÿ ïðèáëèæåííûìè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (1).
Ïðåæäå ìîæíî íà÷àòü ñ ïðèìåðíîãî, õîòÿ è äîâîëüíî ãðóáîãî ïîñòðîåíèÿ ãðàôèêà ôóíêöèè f (õ). Åñëè ïðè ýòîì îáíàðóæèòñÿ, ÷òî íà êàêîì-íèáóäü îòðåçêå [à; b] ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà è ïðèíèìàåò íà åãî êîíöàõ
çíà÷åíèÿ ïðîòèâîïîëîæíûõ çíàêîâ, òî â ñèëó òåîðåìû 2 èç ï. 2 § 7.6 ôóíêöèÿ f (x) äîëæíà èìåòü íà èíòåðâàëå (à; b) õîòÿ áû îäèí íóëü, ò. å. óðàâíåíèå (1) èìååò òàì ïî êðàéíåé ìåðå îäèí êîðåíü. Åñëè ê òîìó æå ôóíêöèÿ
f (õ) íà ýòîì èíòåðâàëå ìîíîòîííà, òî òàêîé êîðåíü çäåñü òîëüêî îäèí, ò. å.
ýòîò êîðåíü îòäåëåí îò îñòàëüíûõ. Åñëè îáîçíà÷èòü ýòîò, ïîêà íåèçâåñòíûé, êîðåíü ÷åðåç α, òî ìîæíî ðó÷àòüñÿ, ÷òî a < α < b. Äëÿ äàëüíåéøåãî
óòî÷íåíèÿ çíà÷åíèÿ α ïðèìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå ìåòîäû (ñì. íèæå).
2. Ìåòîä ïðîá. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè f (a) < 0, f (b) > 0. Òîãäà áåðóò
ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ñ ìåæäó à è b è âû÷èñëÿþò f (c), ïðè÷åì çäåñü ñóùåñòâåí òîëüêî çíàê f (ñ ). Äîïóñòèì, ÷òî f (c) > 0. Çíà÷èò, a < α < c.  ýòîì
ñëó÷àå áåðóò êàêîå-íèáóäü çíà÷åíèå d ìåæäó a è ñ è âû÷èñëÿþò f (d); åñëè
f (d) < 0, òî d < α < c, è ò. ä. Ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ ñ, d, áåðóòñÿ áîëåå èëè
ìåíåå ïðîèçâîëüíûìè, óäîáíûìè äëÿ âû÷èñëåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè
| f (a) | çíà÷èòåëüíî ìåíüøå, ÷åì f (b), òî äîâîëüíî âåðîÿòíî, ÷òî α îêàæåòñÿ áëèæå ê à, ÷åì ê b, è ïîýòîìó ñ ñëåäóåò âçÿòü ïîáëèæå ê a è ò. ï.
3. Ìåòîä õîðä. Ìåòîä õîðä çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â êà÷åñòâå ñ áåðåòñÿ
íå ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå ìåæäó a è b, à àáñöèññà x1 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ
îñè Îõ ñ õîðäîé ãðàôèêà, ïðîâåäåííîé ÷åðåç òî÷êè Ì(a; f (à)) è N(b; f (b))
(ðèñ. 214). Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðèáëèæåííî ïðèíèìàåì äóãó ãðàôèêà çà
îòðåçîê ïðÿìîé, ò. å. ïðîèçâîäèì ëèíåéíóþ èíòåðïîëÿöèþ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî îáîñíîâàííûì, åñëè èíòåðâàë (à; b) íå ñëèøêîì âåëèê.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ x1 íàïèøåì óðàâíåíèå õîðäû MN (ñì. § 1.5, ï. 2)
y − f (a )
x −a
=
.
b −a
f (b ) − f (a )
Ïîëàãàÿ çäåñü ó = 0, íàéäåì, ÷òî
(b − a ) f (a )
(2)
x1 = a −
.
f (b ) − f (a )
Åñëè íåîáõîäèìî, ýòî ïîñòðîåíèå ìîæíî ïîâòîðèòü. Ïðèìåíèâ ê îòðåçêó [x1; b] (ðèñ. 214) ôîðìóëó (2), ïîëó÷èì äëÿ èñêîìîãî êîðíÿ âòîðîå
ïðèáëèæåíèå
(b − x 1 ) f ( x 1 )
x 2 = x1 −
f (b ) − f ( x 1 )
è ò. ä.
(b − x n −1 ) f ( x n −1 )
(3)
.
x n = x n −1 −
f (b) − f ( x n −1 )
539
Ðèñ. 214
Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
÷èñåë õ1, x2 , , õn, ... ñõîäèòñÿ ê êîðíþ α, ò. å.
lim = α.
n→ ∞
Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (3), âû÷èñëåíèÿ ïðîâîäÿò äî òåõ ïîð, ïîêà â
äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèÿõ íå ñòàíóò ñîâïàäàòü äåñÿòè÷íûå
çíàêè ñ ó÷åòîì çàäàííîé òî÷íîñòè.
3
2
Ï ð è ì å ð. Ôóíêöèÿ f (õ) = õ - 2õ − 4x − 7 íà êîíöàõ îòðåçêà [3; 4] èìååò ïðîòèâîïî2
ëîæíûå çíàêè, íà íåì íåïðåðûâíà è ïðîèçâîäíàÿ f (õ) = 3õ − 6õ − 4 ñîõðàíÿåò â èíòåðâàëå
(3; 4) çíàê ïëþñ. Çíà÷èò, âíóòðè èíòåðâàëà (3; 4) ëåæèò îäèí êîðåíü óðàâíåíèÿ
3
2
x − 2x − 4x − 7 = 0.
Íàéäåì åãî ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01. Ôîðìóëà (2) äàåò:
x1 = 3 −
(4 − 3)(−10)
10
= 3 + ≈ 3,53.
19
9 − (−10)
Òåïåðü âû÷èñëÿåì f (3,53) ≈ −2,05. Èç äâóõ îòðåçêîâ [3; 3,53], [3,53; 4] âûáèðàåì âòîðîé,
èáî íà åãî êîíöàõ çíàêè f (õ) ïðîòèâîïîëîæíû. Íàõîäèì âòîðîå ïðèáëèæåíèå:
x 2 = 3,53 −
540
(4 − 3,53) f (3,53)
≈ 3,62.
f (4) − f (3,53)
Ðèñ. 215
Çíà÷åíèå f (3,62) ≈ −0,24 îòðèöàòåëüíî, ïîýòîìó áåðåì îòðåçîê [3,62; 4]. Íàõîäèì:
x 3 = 3,62 −
(4 − 3,62) f (3,62)
≈ 3,63
f (4) − f (3,62)
è f (3,63) ≈ 0,04. Ïî õîäó âûêëàäîê íàäî îæèäàòü, ÷òî x4 áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò x3 ìåíåå ÷åì íà
0,01 è, çíà÷èò, õ3 äàåò èñêîìîå ïðèáëèæåíèå.
4. Ìåòîä êàñàòåëüíûõ.  ìåòîäå êàñàòåëüíûõ (îí æå íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Íüþòîíà) çà ñ áåðåòñÿ àáñöèññà x1 òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îñè Îõ ñ êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó â îäíîì èç êîíöîâ ðàññìàòðèâàåìîé äóãè (â âåðõíåì, åñëè äóãà MN îáðàùåíà âîãíóòîñòüþ êâåðõó, è â
íèæíåì, åñëè — êíèçó). Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 215, èìååò âèä (ñì. § 8.2, ï. 2):
y − f (b) = f ′(b)(x − b),
îòêóäà, ïîëàãàÿ y = 0, íàõîäèì:
f (b )
,
f ′ (b )
åñëè f (b) ≠ 0. È çäåñü ïîñòðîåíèå ìîæíî ïîâòîðèòü (ñì. ðèñ. 215):
f (x 1 )
x 2 = x1 −
f ′( x 1 )
x1 = b −
(4)
(5)
541
è ò. ä.
f ( x n −1 )
.
f ′( x n −1 )
Êàê è â ìåòîäå õîðä, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xn} ñõîäèòñÿ ê êîðíþ α.
Ñòåïåíü ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî îïðåäåëèòü òàê æå, êàê è â ñïîñîáå õîðä.
x n = x n −1 −
3
2
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01 êîðåíü óðàâíåíèÿ õ − 2x − 4x − 7 = 0, ñîäåðæàùèéñÿ â èíòåðâàëå (3; 4).
Èìååì f ′(x) = 3x2 − 4õ − 4, f ″(õ) = 6õ − 4. Îáå ïðîèçâîäíûå ñîõðàíÿþò â èíòåðâàëå (3; 4)
çíàê ïëþñ. Ïîýòîìó èñïîëüçóåì ôîðìóëó (4). Ïåðâîå ïðèáëèæåíèå:
x1 = 4 −
f (4)
9
=4−
≈ 3,68.
f ′ (4)
28
Äàëåå íàõîäèì f (3,68) ≈ 1,03, f ′(3,68) ≈ 21,9 è ïî ôîðìóëå (5):
1,03
≈ 3,68 − 0,047 = 3,633.
21,9
Ïîñëåäóþùèå ïðèáëèæåíèÿ áóäóò âñå ìåíüøå è ìåíüøå, ïðè÷åì íî õîäó âûêëàäîê ìîæíî ïðåäâèäåòü, ÷òî äàëüíåéøèå óòî÷íåíèÿ êîðíÿ íå ïîâëèÿþò íà öèôðó ñîòåí. Ïîýòîìó ñ
òî÷íîñòüþ äî 0,01 èñêîìîå ïðèáëèæåíèå åñòü 3,63.
x 2 = 3,68 −
5. Ìåòîä èòåðàöèé. Ìåòîäû, îïèñàííûå âûøå (ïðîá, õîðä, êàñàòåëüíûõ), ïðèíàäëåæàò ê ÷èñëó èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ (èíà÷å ãîâîðÿ, ìåòîäîâ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé), â êîòîðûõ íåêîòîðûé åäèíîîáðàçíûé ïðîöåññ ïîñëåäîâàòåëüíî ïîâòîðÿåòñÿ («èòåðèðóåòñÿ», îò ëàòèíñêîãî «èòåðàöèÿ» — ïîâòîðåíèå), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àþòñÿ âñå
áîëåå òî÷íûå ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ. Ýòî åäèíîîáðàçèå èìååò ìíîãî÷èñëåííûå óäîáñòâà, â ÷àñòíîñòè, â ïðèìåíåíèè áûñòðîäåéñòâóþùèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí.
 îáùåì âèäå â ïðèìåíåíèè ê óðàâíåíèþ (1) ìåòîä èòåðàöèé âûãëÿäèò òàê: óðàâíåíèå (1) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó x = ϕ(x), ãäå ϕ(x) óäîâëåòâîðÿåò â (à; b) óñëîâèþ | ϕ′(x) | < 1, åñëè òàêîå ïðèâåäåíèå âîçìîæíî. Âû÷èñëèòåëüíàÿ ôîðìóëà ìåòîäà èìååò âèä
xn + 1 = ϕ(xn) (n = 0, 1, 2,
),
ãäå x0 — ëþáîå ÷èñëî èç ïðîìåæóòêà (à; b), â êîòîðîì ñîäåðæèòñÿ êîðåíü ñ. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî lim x n = c.
n→ ∞
1
Ï ð è ì å ð. Óðàâíåíèå x − 6õ + 2 = 0 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå x = (x 3 + 2) ≡ ϕ(x ). Â èí6
1
òåðâàëå (0; 1) èìååì 0 < ϕ′ (x ) = x 2 < 1.
2
Âû÷èñëåíèÿ âåäåì ïî ôîðìóëå
1
x n + 1 = (x n3 + 2).
6
3
1
55
è ò. ä.
Ïîëîæèâ õ0 = 0, ïîëó÷èì x 1 = , çàòåì x 2 =
3
162
542
Ïðèëîæåíèÿ
Ïðèëîæåíèå 1
Îñíîâíûå ñâåäåíèÿ èç øêîëüíîé ìàòåìàòèêè
×èñëîâûå íåðàâåíñòâà
Åñëè à > b , òî b < à.
Åñëè à > b è b > c, òî à > ñ.
Åñëè a > b, òî a + c > b + c.
Åñëè a > b è ñ > 0, òî ac > bc.
Åñëè a > b è ñ < 0, òî àñ < bñ.
Åñëè a > b è c > d, òî a + c > b + d.
Åñëè a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, ïðè÷åì à > b è c > d, òî ac > bd.
n
ï
Åñëè a > b > 0 è n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî à > b .
Ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè
2
2
a − b = (a − b)(a + b),
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2),
a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2),
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2,
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2,
à3 + 3à2b + 3ab2 + b3 = (à + b)3,
a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3,
ax2 + bx + c = a(x − x1)(x − x2), ãäå x1 è x2 — êîðíè óðàâíåíèÿ ax2 + bx + ñ = 0,
xn − an = (x − a)(xn − 1 + axn − 2 + a2xn − 3 +
+a
n−2
x+a
n−1
).
2
Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå ax + bx + ñ = 0
x1 , 2 =
−b ± D −b ± b 2 − 4ac
(ôîðìóëà êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ).
=
2a
2a
−k ± k 2 − ac
b
, ãäå k = (ôîðìóëà êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ â ñëó÷àå, åñëè b —
a
2
÷åòíîå ÷èñëî).
x1 , 2 =
Ò å î ð å ì à  è å ò à. Åñëè x1 è x2 — êîðíè ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ x2 + px +
+ q = 0, òî
x1 + x2 = − p,
x1x2 = q.
543
Àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
an + 1 = an + d (îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêèé ïðîãðåññèè),
an = a1 + d(n − l) (ôîðìóëà ï-ãî ÷ëåíà),
a + an + 1
(õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî),
a n = n −1
2
a + an
2a + d(n − 1)
Sn = 1
⋅n= 1
⋅ n (ôîðìóëà ñóììû ï ïåðâûõ ÷ëåíîâ).
2
2
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ
bn + 1 = bnq, b1 ≠ 0, q ≠ 0 (îïðåäåëåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè),
n−1
bn = b1q (ôîðìóëà ï-ãî ÷ëåíà),
2
bn = bn −1 bn + 1 (õàðàêòåðèñòè÷åñêîå ñâîéñòâî),
b q − b1 b1 (q n − 1)
(ôîðìóëà ñóììû ï ïåðâûõ ÷ëåíîâ),
Sn = n
=
q −1
q −1
b
S = 1 (ôîðìóëà ñóììû áåñêîíå÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè ïðè | q | < 1).
1−q
Òðèãîíîìåòðèÿ
1. Ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé:
sin(−x) = − sinx,
cos(−x) = cosx,
tg(−x) = − tgx,
ctg(−x) = − ctgx,
sin(x + 2πk) = sinx,
cos(x + 2πk) = ñîsõ,
tg(x + πk) = tgx,
ctg(x + πk) = ctgx,
ãäå k — ëþáîå öåëîå ÷èñëî.
2. Òàáëèöà çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé íåêîòîðûõ óãëîâ:
Ôóíêöèÿ
0
sinα
0
ñîsα
π
4
Àðãóìåíò α
π
3
π
6
1
2
π
2
π
3π
2
2
2
1
3
2
2
2
3
2
1
2
1
0
−1
0
−1
0
tgα
0
3
3
1
3
−
0
−
ctgα
−
3
1
3
3
0
−
0
Ï ð è ì å ÷ à í è å. Ñâÿçü ìåæäó ãðàäóñíîé è ðàäèàííîé ìåðàìè èçìåðåíèÿ óãëà:
π
ðàä.
1° =
180
544
3. Ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà:
2
2
sin α + cos α = 1;
sin α
cos α
; ctgα =
;
tgα =
cos α
sin α
1
1
;1+ ctg 2 α =
.
1+ tg 2 α =
cos 2 α
sin 2 α
4. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà:
sin 2α = 2sin α cos α;
2
2
cos 2α = cos α − sin α;
2 tg α
.
tg 2α =
1 − tg 2 α
5. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè:
1 − cos 2α
;
2
1 + cos 2α
.
cos 2 α =
2
sin 2 α =
6. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ:
sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β;
cos(α ± β) = cos α cos β m sin α sin β;
tgα ± tgβ
.
tg(α ± β) =
1 m tgα tgβ
7. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé:
α +β
α −β
;
cos
2
2
α −β
α +β
;
sin α − sin β = 2 sin
cos
2
2
α +β
α −β
;
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α +β
α −β
;
cos α − cos β = −2 sin
sin
2
2
sin(α ± β)
.
tgα ± tgβ =
cos α cos β
sin α + sin β = 2 sin
8. Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó è
ðàçíîñòü:
1
sin α sin β = (cos(α − β) − cos(α + β)),
2
1
cos α cos β = (cos(α − β) + cos(α + β)),
2
1
sin α cos β = (sin(α − β) + sin(α + β)).
2
545
9. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì:
×åòâåðòü
Ôóíêöèÿ
I
II
III
IV
sin
+
+
−
−
cos
+
−
−
+
tg
+
−
+
−
ctg
+
−
+
−
10. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ:
Àðãóìåíò t
Ôóíêöèÿ
π
−α
2
π
+α
2
π −α
π +α
3π
−α
2
3π
+α
2
2π − α
sin t
cos α
cos α
sin α
−sin α
−cos α
−cos α
−sin α
cos t
sin α
−sin α
−cos α
−cos α
−sin α
sin α
cos α
tg t
ctg α
−ctg α
−tg α
tg α
ctg α
−ctg α
−tg α
ctg t
tg α
−tg α
−ctg α
ctg α
tg α
−tg α
−ctg α
11.Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé:
n
sin x = a, | a | ≤ 1, x = ( − 1) arcsin a + πn,
cos x = a, | a | ≤ 1, x = ±arccos a + 2πn,
tg x = a, x = arctg a + πn,
ctg x = a, x = arcctg a + πn, n — öåëîå ÷èñëî.
12. Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè:
π
π
− ≤ arcsin x ≤ , 0 ≤ arccos x ≤ π,
2
2
π
π
− < arctg x < , 0 < arcctg x < π.
2
2
arcsin(− x ) = − arcsin x , acrcos(− x ) = π − acrcos x ,
arctg(− x ) = − arctg x , arcctg(− x ) = π − arcctg x .
13. Òåîðåìà ñèíóñîâ:
a
b
c
,
=
=
sin α sin β sin γ
14. Òåîðåìà êîñèíóñîâ:
a2 = b2 + c2 − 2bccos α.
546
15. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà:
1
1
S = aha , S = ab sin γ,
2
2
S=
p( p − a)( p − b)( p − c) — ôîðìóëà Ãåðîíà.
Ïðèëîæåíèå 2
Òàáëèöà èíòåãðàëîâ
(à, b, ò, ï — ïîñòîÿííûå)
1. ∫ (ax + b)n dx =
(ax + b)n + 1
+ C , n ≠ −1.
a(n + 1)
dx
1
= ln| ax + b| +C .
ax + b a
xdx
1
3. ∫
= (ax − b ln| ax + b| ) + C .
ax + b a 2
x 2 dx
x 2 bx b 2
4. ∫
ln| ax + b| +C .
=
−
+
ax + b 2a a 2 a 3
dx
1
ax + b
5. ∫
+ C.
= − ln
x (ax + b)
b  x 
2. ∫
6. ∫
dx
1
a
ax + b
+ C.
=−
+ ln
x 2 (ax + b)
bx b 2  x 
7. ∫
xdx
1 
b 
=
 ln| ax + b| +
 + C.
(ax + b)2 a 2 
ax + b 
8. ∫
x 2 dx
1 
b2 
= 3  ax − 2b ln| ax + b| −
 + C.
2
(ax + b)
a 
ax + b 
dx
1
1
ax + b
+ C.
=
− ln
x (ax + b)2 b(ax + b) b 2  x 
dx
1
a
10. ∫ 2 2
= arctg x + C .
a x + b 2 ab
b
dx
1  ax − b
11. ∫ 2 2
+ C.
=
ln
a x − b 2 2ab  ax + b
xdx
1
12. ∫ 2 2
=
ln| a 2 x 2 ± b 2 | +C .
a x ± b 2 2a 2
x 2 dx
1
b
a
13. ∫ 2 2
=
x − 3 arctg x + C .
a x + b2 a 2
a
b
x 2 dx
1
b  ax − b
14. ∫ 2 2
+ C.
=
x + 3 ln
a x − b2 a 2
2a  ax + b
9. ∫
15. ∫
dx
1
x2
= 2 ln 2 2
+ C.
2
2
x (a x + b ) 2b
a x + b2
2
547
dx
1 a 2 x 2 − b 2 
+ C .
= 2 ln
2
2
x (a x − b ) 2b 
x2

dx
1
a
a
17. ∫ 2 2 2
= − 2 − 3 arctg x + C .
x (a x + b 2 )
b x b
b
16. ∫
2
dx
1
a  ax − b
+ C.
=
+
ln
x 2 (a 2 x 2 − b 2 ) b 2 x 2b 3  ax + b
2
19. ∫ x ax + bdx =
(3ax − 2b) (ax + b)3 + C .
15a 2
2
20. ∫ x 2 ax + bdx =
(15a 2 x 2 − 12abx + 8b 2 ) (ax + b)3 + C .
105a 3
xdx
2(ax − 2b)
21. ∫
=
ax + b + C .
3a 2
ax + b
18. ∫
22. ∫
x 2 dx
2
=
(3a 2 x 2 − 4abx + 8b 2 ) ax + b + C .
ax + b 15a 3


dx

23. ∫
=
x ax + b 

24. ∫
1
ax + b − b
ln
+ C , b > 0,
b
ax + b + b
2
ax + b
arctg
+ C , b < 0.
−b
−b
dx
ax + b a
dx
.
=−
− ∫
bx
2b x ax + b
x 2 ax + b
25. ∫
ax + b
dx
.
dx = 2 ax + b + b∫
x
x ax + b
26. ∫
ax + b
ax + b a
dx
.
dx = −
+ ∫
x2
x
2 x ax + b
 ôîðìóëàõ 27—46 ïðåäïîëàãàåì, ÷òî à > 0, b > 0.
dx
1
27. ∫
= ln| ax + a 2 x 2 ± b 2 | +C .
2 2
2
a
a x ±b
28. ∫
29. ∫
30. ∫
31. ∫
32. ∫
dx
2
2
b −a x
xdx
2
a 2 x 2 ± b2
xdx
b2 − a 2 x 2
x 2 dx
2
a x 2 ± b2
x 2 dx
2
2
b −a x
2
=
1
ax
+ C.
arcsin
a
b
=
1
a 2 x 2 ± b2 + C .
a2
=−
1
b2 − a 2 x 2 + C .
a2
=
1
(ax a 2 x 2 ± b 2 m b 2 ln| ax + a 2 x 2 ± b 2 | ) + C .
2a 3
=
1 
ax 
2
2 2
2
 −ax b − a x + b arcsin  + C .
2a 3 
b 
33. ∫ a 2 x 2 ± b 2 dx =
1
b2
2 2
2
2 2
2 
 x a x ± b ± ln| ax + a x ± b |  + C .
2
a

34. ∫ b 2 − a 2 x 2 dx =
1
b2
ax 
2
2 2
 x b − a x + arcsin  + C .
2
a
b 
548
35. ∫ x a 2 x 2 ± b 2 dx =
1
(a 2 x 2 ± b 2 )3 + C .
3a 2
36. ∫ x b 2 − a 2 x 2 dx = −
37. ∫ x 2 a 2 x 2 ± b 2 dx =
1
(b 2 − a 2 x 2 )3 + C .
3a 2
1
(ax (2a 2 x 2 ± b 2 ) a 2 x 2 ± b 2 − b 4 ln| ax + a 2 x 2 ± b 2 | ) + C .
8a 3
1 
ax 
38. ∫ x 2 b 2 − a 2 x 2 dx = 3  ax (2a 2 x 2 − b 2 ) b 2 − a 2 x 2 + b 4 arcsin  + C.
8a 
b 
39. ∫
a 2 x 2 + b2
b
a 2 x 2 + b2 − b
dx = a 2 x 2 + b 2 + ln
+ C.
x
2
a 2 x 2 + b2 + b
40. ∫
b − b 2 − a 2 x 2 
b2 − a 2 x 2
dx = b 2 − a 2 x 2 − b ln
+ C .
x
x


41. ∫
a 2 x 2 ± b2
a 2 x 2 ± b2
dx = −
+ a ln| ax + a 2 x 2 ± b 2 | +C .
2
x
x
42. ∫
b2 − a 2 x 2
b2 − a 2 x 2
ax
dx = −
− a arcsin
+ C.
2
x
x
b
43. ∫

1 
x
+ C .
= ln
2 2
2
b
x a x +b
b + a x + b 
44. ∫

1 
x
+ C .
= ln
2
2 2
b
x b −a x
b + b − a x 
45. ∫
46. ∫
dx
2
2
2
dx
2
2
2
dx
x
2
x
2
2
2
a x ±b
2
dx
2
2
b −a x
2
=m
a 2 x 2 ± b2
+ C.
b2 x
=−
b2 − a 2 x 2
+ C.
b2 x
47. ∫
a+x
dx = (a + x )(b + x ) + (a − b) ln( a + x + b + x ) + C .
b+x
48. ∫
a−x
b+x
dx = (a − x )(b + x ) + (a + b) arcsin
+ C.
b+x
a +b
49. ∫
a+x
b−x
dx = − (a + x )(b − x ) − (a + b) arcsin
+ C.
b−x
a +b
50. ∫
1+ x
dx = − 1 − x 2 + arcsin x + C .
1− x
51. ∫
 x − a + x − b
dx
+ C .
= ln
(x − a)(x − b)
 x − a − x − b
52. ∫
dx
x −a
= 2 arcsin
+ C.
b −a
(x − a)(b − x )
r
53. ∫ x m (ax n + b) s dx , ãäå ò, n, r, s — öåëûå ÷èñëà, s > 1. Ïðèìåíÿåòñÿ ïîäñòàíîâêà axn + b =us,
549
åñëè
m +1
m +1 r
−n
s
— ÷èñëî öåëîå, è ïîäñòàíîâêà a + bx = u , åñëè
+ — ÷èñëî öåëîå.  äðóm
m
s
ãèõ ñëó÷àÿõ èíòåãðàë íå âûðàæàåòñÿ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèåé (Ï. Ë. ×åáûøåâ).
54. ∫ x ne x dx = e x (x n − nx n −1 + n(n − 1)x n − 2 − K + (−1)n n !) + C , n = 1, 2, 3,
.
55. ∫ ln n xdx = x (ln n x − n ln n −1 x + n(n − 1) ln n − 2 x − K + (−1)n n !) + C , n = 1, 2, 3,
56. ∫ x n ln xdx =
n+1
n+1
x
x
ln x −
+ C , n ≠ −1.
n +1
(n + 1)2
ln n x
ln n + 1 x
dx =
+ C , n ≠ −1.
x
n +1
dx
58. ∫
= ln| ln x | + C .
x ln x
cos(m + n)x cos(m − n)x
59. ∫ sin mx cos nxdx = −
−
+ C , m ≠ n.
2(m + n)
2(m − n)
57. ∫
60. ∫ sin mx sin nxdx =
sin(m − n)x sin(m + n)x
−
+ C , m ≠ n.
2(m − n)
2(m + n)
61. ∫ cos mx cos nxdx =
sin(m − n)x sin(m + n)x
+
+ C , m ≠ n.
2(m − n)
2(m + n)
1
sin 2 x + C .
2
1
1
63. ∫ sin 2 xdx = x − sin 2 x + C .
2
4
1
1
2
64. ∫ cos xdx = x + sin 2 x + C .
2
4
62. ∫ sin x cos xdx =
65. ∫
dx
  π x 
= ln tg  +   + C .
cos x
  4 2 
 sin m −1 x cosn + 1 x m − 1
m −2
n
+
 −
∫ sin x cos xdx , m ≠ − n,
m
n
m
+
n
+
m
n
66. ∫ sin x cos xdx = 
m +1
x cosn −1 x n − 1
 sin
sin m x cos n − 2 xdx , m ≠ -n.
+

m+n
m + n∫
dx
67. ∫
=
sin m x cos n x
68. ∫ tg n xdx =
m+ n−2
dx
1
 1
 − m− 1 sin m −1 x cosn −1 x + m − 1 ∫ sin m − 2 x cos n x , m ≠1,


m+ n−2
dx
1
 1
+
, n ≠1.
 n− 1 sin m −1 x cos n −1 x
n − 1 ∫ sin m x cos n − 2 x
tg n −1 x
− tg n − 2 xdx , n ≠ 1.
n −1 ∫
69. ∫ ctg n xdx = −
ctg n −1 x
− ∫ ctg n − 2 xdx , n ≠ 1.
n −1
70. ∫ x n sin xdx = − x n cos x + n∫ x n −1 cos xdx .
71. ∫ x n cos xdx = x n sin x − n∫ x n −1 sin xdx .
550
.

 a −b x
2
arctg 
tg  + C , a 2 > b 2 ,
 2
2
 a +b 2
 a −b
dx

72. ∫
=
 b 2 − a 2 tg x + a + b
a + b cos x 
1


2
ln
+ C , a 2 < b2 .
 2
2


x
2
2


b
−
a
b − a tg − a − b



2

x

a tg + b

2
2
+ C , a 2 > b2 ,
arctg
 2
a − b2
a 2 − b2

dx

73. ∫
=
 a tg x + b − b 2 − a 2 
a + b sin x 
1


2
ln
+ C , a 2 < b2 .

 a tg x + b + b 2 − a 2 

 b2 − a 2 



2
 a tg x − b + a 2 + b 2 
dx
1


2
74. ∫
=
ln
+ C.
a cos x + b sin x
 a tg x − b − a 2 + b 2 

a 2 + b2 


2
 ÷àñòíîñòè,
75. ∫
dx
1 
 x π 
=
ln tg  +  + C .
cos x + sin x
2   2 8 
76. ∫
dx
1
a

= arctg  tgx  + C .
b

a 2 sin 2 x + b 2 cos 2 x ab
77. ∫ e ax sin nxdx =
e ax (a sin nx − n cos nx )
+ C.
a 2 + n2
78. ∫ e ax cos nxdx =
e ax (n sin nx + a cos nx )
+ C.
a 2 + n2
79. ∫ e ax sin n xdx =
e ax sin n −1 x (a sin x − n cos x ) n(n − 1) ax
+ 2
e sin n − 2 xdx .
a 2 + n2
a + n2 ∫
80. ∫ e ax cos n xdx =
e ax cosn −1 x (a cos x + n sin x ) n(n − 1) ax
+ 2
e cos n − 2 xdx .
a 2 + n2
a + n2 ∫
81. ∫ arcsin xdx = x arcsin x + 1 − x 2 + C .
82. ∫ arccos xdx = x arccos x − 1 − x 2 + C .
83. ∫ x arcsin xdx =
1  2 1
x 1− x2
+ C.
 x −  arcsin x +


2
2
4
84. ∫ x arccos xdx =
1  2 1
x 1− x2
+ C.
 x −  arccos x −


2
2
4
1
x
85. ∫ x arctg xdx = (x 2 + 1) arctg x − + C .
2
2
1
x
86. ∫ x arcctg xdx = (x 2 + 1) arcctg x + + C .
2
2
551
Ïðèëîæåíèå 3
Òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè ϕ( x ) =
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
552
0
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
1
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
2
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3371
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
−
1
e
2π
x
2
2
4
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
.
5
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
6
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
7
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0036
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
8
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1758
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0004
0003
0002
0001
9
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
553
t2
x
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
Φ(x)
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
x
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
Φ(x)
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
x
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
Φ(x)
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
x
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
Φ(x)
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
1 x −2
Òàáëèöà çíà÷åíèé ôóíêöèè Φ( x ) =
e dt .
2 π ∫0
x
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
Φ(x)
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
x
1,29
1,30
1,31
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
Φ(x)
0,4015
0,4032
0,4049
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
Ïðèëîæåíèå 4
x
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
Φ(x)
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
x
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
2,06
Φ(x)
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
0,4803
x
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2 32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
Φ(x)
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
x
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
Φ(x)
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,49999997
Ïðèëîæåíèå 5
Òàáëèöà çíà÷åíèé tγ = t(γ, n)
n
0,95
2,78
2,57
2,45
2,37
2,31
2,26
2,23
2,20
2,18
2,16
2,15
2,13
2,12
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
γ
0,99
4,60
4,03
3,71
3,50
3,36
3,25
3,17
3,11
3,06
3,01
2,98
2,95
2,92
0,999
8,61
6,86
5,96
5,41
5,04
4,78
4,59
4,44
4,32
4,22
4,14
4,07
4,02
18
2,11
2,90
3,97
19
2,10
2,88
3,92
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
120
0,95
2,093
2,064
2,045
2,032
2,023
2,016
2,009
2,001
1,996
1,991
1,987
1,984
1,980
γ
0,99
2,861
2,797
2,756
2,720
2,708
2,692
2,679
2,662
2,649
2,640
2,633
2,627
2,617
0,999
3,883
3,745
3,659
3,600
3,558
3,527
3,502
3,464
3,439
3,418
3,403
3,392
3,374
∞
1,960
2,576
3,291
0,95
0,99
0,999
0,37
0,32
0,28
0,26
0,24
0,22
0,21
0,188
0,174
0,161
0,151
0,143
0,115
0,099
0,089
0,58
0,49
0,43
0,38
0,35
0,32
0,30
0,269
0,245
0,226
0,211
0,198
0,160
0,136
0,120
0,88
0,73
0,63
0,56
0,50
0,46
0,43
0,38
0,34
0,31
0,29
0,27
0,221
0,185
0,162
n
Ïðèëîæåíèå 6
Òàáëèöà çíà÷åíèé q = q(γ, n)
γ
n
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
554
0,95
0,99
0,999
1,37
1,09
0,92
0,80
0,71
0,65
0,59
0,55
0,52
0,48
0,46
0,44
0,42
0,40
0,39
2,67
2,01
1,62
1,38
1,20
1,08
0,98
0,90
0,83
0,78
0,73
0,70
0,66
0,63
0,60
5,64
3,88
2,98
2,42
2,06
1,80
1,60
1,45
1,33
1,23
1,15
1,07
1,01
0,96
0,92
γ
n
20
25
30
35
40
45
50
60
70
80
90
100
150
200
250
Ïðèëîæåíèå 7
2
k
Òàáëèöà çíà÷åíèé χ â çàâèñèìîñòè îò ð è k
p
0,05
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
3,84
5,99
7,82
9,49
11,07
12,59
14,07
15,51
16,92
18,31
19,68
21,0
22,4
23,7
25,0
26,3
27,6
28,9
30,1
31,4
32,7
33,9
35,2
36,4
37,7
38,9
40,1
41,3
42,6
43,8
0,01
0,001
6,64
9,21
11,34
13,28
15,09
16,81
18,48
20,1
24,7
23,2
24,7
262
27,7
29,1
30,6
32,0
33,4
34,8
36,2
37,6
38,9
40,3
41,6
43,0
44,3
45,6
47,0
48,3
49,6
50,9
10,83
13,82
16,27
18,46
20,5
22,5
24,3
26,1
27,9
29,6
31,3
32,9
34,6
36,1
37,7
39,3
40,8
42,3
43,8
45,3
46,8
48,3
49,7
51,2
52,6
54,1
55,5
56,9
58,3
59,7
Ïðèëîæåíèå 8
Íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå
Âåëè÷èíà
x
lgx
π
3,14159
0,49715
2π
π
2
6,28318
0,79818
1,57080
0,19612
Âåëè÷èíà
1
e
x
lgx
0,36788
1,56571
2
7,38906
0,86859
e
1 ,64872
0,21715
e
555
Íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå (ïðîäîëæåíèå)
Âåëè÷èíà
x
lgx
π
4
0,78540
1,89509
1
π
0,31831
x
lgx
e
1,39561
0,14476
1,50285
M = lge
0,43429
1,63778
2
9,86960
0,99430
1
= ln10
M
2,30258
0,36222
π
1,77245
0,24857
1 ðàäèàí
57°17′45″
π
1,46459
0,16572
arc 1°
0,01745
2,24188
å
2,71828
0,43429
g
9,81
0,99167
π
3
Âåëè÷èíà
3
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
1. À ë å ê ñ à í ä ð î â Ï. Ñ. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. —
Ì., 1979.
2. Á ó ä à ê Á. Ì., Ô î ì è í Ñ. Â. Êðàòíûå èíòåãðàëû è ðÿäû. — Ì., 1965.
3.  ë à ä è ì è ð î â Â. Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì., 1988.
4. à ì ó ð ì à í Â. Å. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. — Ì., 1997.
5. à í å ä å í ê î Á. Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. — Ì., 1988.
6. Å ô è ì î â Í. Â. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. — Ì., 1975.
7. Å ô è ì î â Í. Â. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû è ìàòðèöû.— Ì., 1963.
8. È ë ü è í Â. À., Ï î ç í ÿ ê Ý. à . Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. — Ì., 1971. —
×. 1.
9. Ê ó ä ð ÿ â ö å â Ë. Ä. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. — Ì., 1981. — Ò. I, 11.
10. Ê ó ð î ø À. Ã. Êóðñ âûñøåé àëãåáðû. — Ì., 1962.
11. Í è ê î ë ü ñ ê è é Ñ. Ì. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà. — Ì., 1983. — Ò. I.
12. Ï î í ò ð ÿ ã è í Ë. Ñ. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ì.,
1974.
13. Ï ð è â à ë î â È. È. Ââåäåíèå â òåîðèþ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. —
Ì., 1977.
14. Ï ó ã à ÷ å â Â. Ñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. — Ì.,
1979.
15. Ñ ì è ð í î â Â. È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. — Ì., 1974. — Ò. I, II.
16. Ñ ò å ï à í î â Â. Â. Êóðñ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. — Ì., 1958.
17. Ò è õ î í î â À. Ï., Ñ à ì à ð ñ ê è é À. À. Óðàâíåíèè ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. —
Ì., 1977.
18. Ô å ë ë å ð Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ: Ïåð. ñ àíãë. —
Ì., 1984. — Ò. I.
556
Оглавление
Предисловие ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Раздел
Глава 1.
§ 1.1.
§ 1.2.
§ 1.3.
§ 1.4.
§ 1.5.
§ 1.6.
Глава 2.
§ 2.1.
§ 2.2.
Глава 3.
§ 3.1.
§ 3.2.
§ 3.3.
§ 3.4.
Глава 4.
§ 4.1.
§ 4.2.
§ 4.3.
Глава 5.
§ 5.1.
§ 5.2.
Глава 6.
§ 6.1.
§ 6.2.
§ 6.3.
§ 6.4.
I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . 4
СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ . . . . 4
Декартова прямоугольная и полярная системы координат на плоскости . . . . 4
Простейшие задачи на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Геометрическое истолкование уравнения с двумя переменными . . . . . . . . . 8
Прямая линия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Основные задачи на прямую . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Уравнение линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Понятие вектора и линейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Нелинейные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Матрицы и действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Выражение векторного и смешанного произведений векторов
через координаты сомножителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Прямая в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 85
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Кривые второго порядка в канонической форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Изучение поверхностей второго порядка
по их каноническим уравнениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Приведение матрицы квадратичной формы к диагональному виду . . . . . 102
Общее уравнение кривой второго порядка, его приведение
к каноническому виду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Инварианты кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Уравнение центра. Вырождение кривых второго порядка . . . . . . . . . . . . . . 111
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Определение и способы задания функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Обзор элементарных функций и их графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Бесконечно малые и бесконечно большие величины . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Основные теоремы о пределах и их применение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Комплексные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 8.1. Понятие производной и ее механический и геометрический смысл . . . . .
§ 8.2. Правила дифференцирования функций
и производные элементарных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Раздел
Глава 7.
§ 7.1.
§ 7.2.
§ 7.3.
§ 7.4.
§ 7.5.
§ 7.6.
§ 7.7.
Глава 8.
113
113
113
118
125
131
134
142
146
151
151
155
557
§ 8.3.
§ 8.4.
§ 8.5.
§ 8.6.
§ 8.7.
§ 8.8.
§ 8.9.
Глава 9.
§ 9.1.
§ 9.2.
§ 9.3.
§ 9.4.
§ 9.5.
§ 9.6.
§ 9.7.
§ 9.8.
§ 9.9.
§ 9.10.
§ 9.11.
Глава 10.
§ 10.1.
§ 10.2.
§ 10.3.
§ 10.4.
Глава 11.
§ 11.1.
§ 11.2.
§ 11.3.
§ 11.4.
§ 11.5.
Глава 12.
§ 12.1.
§ 12.2.
§ 12.3.
§ 12.4.
Глава 13.
§ 13.1.
§ 13.2.
§ 13.3.
§ 13.4.
§ 13.5.
Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Параметрическое задание функции и ее дифференцирование . . . . . . . . . .
Свойства дифференцируемых функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум . . . . . . . . . . . . .
Построение графиков функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Первообразная функция и неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . .
Основные методы интегрирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Интегрирование дробно;рациональных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Интегрирование тригонометрических выражений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Интегрирование простейших иррациональностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Понятие определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Основные свойства определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Виды несобственных интегралов, их сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Геометрические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . .
Физические приложения определенного интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вектор;функция скалярного аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
РЯДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Числовые ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Степенные ряды в действительной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Тригонометрические ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Функции нескольких переменных.
Предел и непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Частные производные. Полный дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Частные производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . .
Экстремум функций двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Двойные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Тройные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Поверхностные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Основные понятия о дифференциальных уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . .
Дифференциальные уравнения первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Уравнения высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Линейные уравнения второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Системы линейных дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Р а з д е л III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 14. ТЕОРИЯ ПОЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 14.1. Скалярные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 14.2. Векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 14.3. Дифференциальные операции второго порядка и их приложения . . . . . .
Глава 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ . . . .
§ 15.1. Функции комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 15.2. Дифференцирование функций комплексной переменной . . . . . . . . . . . . .
§ 15.3. Интегралы по комплексному переменному . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 15.4. Равномерно сходящиеся ряды функций комплексной переменной . . . . .
§ 15.5. Элементарные функции комплексной переменной . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
558
160
162
166
167
173
179
181
187
187
190
191
196
197
199
202
207
213
222
225
236
236
248
250
259
266
266
272
280
283
285
287
287
301
306
318
327
327
327
333
337
346
350
350
350
354
371
379
379
382
385
390
395
§ 15.6.
§ 15.7.
§ 15.8.
§ 15.9.
Глава 16.
§ 16.1.
§ 16.2.
Глава 17.
Ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Изолированные особые точки аналитической функции . . . . . . . . . . . . . . .
Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ДЕЛЬТА$ФУНКЦИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Интеграл Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Дельта;функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17.1. Основные понятия о дифференциальных уравнениях
с частными производными второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17.2. Вывод уравнения колебаний струны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17.3. Вывод акустического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17.4. Вывод уравнения теплопроводности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17.5. Классификация задач математической физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17.6. Задача Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17.7. Смешанная задача для одномерного однородного
волнового уравнения и ее решение методом Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 17.8. Задача Дирихле для круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 18. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.1. Основные понятия. Определение вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.2. Свойства вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.3. Основные формулы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.4. Дискретные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.5. Математическое ожидание дискретной случайной величины . . . . . . . . . .
§ 18.6. Дисперсия дискретной случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.7. Основные законы распределения дискретных случайных величин . . . . . .
§ 18.8. Непрерывные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.9. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.10. Использование теории вероятностей при обработке
экспериментальных данных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 18.11. Двумерные случайные величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 19. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19.1. Выборочный метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке . . . . . . . . .
§ 19.3. Доверительные интервалы для параметров
нормального распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19.4. Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 19.5. Линейная корреляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 20. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО И ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 20.1. Элементы вариационного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 20.2. Элементы операционного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 21. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 21.1. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 21.2. Евклидово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 21.3. Линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава 22. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 22.1. Численное интегрирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
§ 22.2. Численное решение уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
400
402
404
406
410
410
415
418
418
419
421
423
424
426
429
435
438
438
443
448
449
450
453
455
461
470
473
475
476
476
480
491
497
499
505
505
511
522
522
526
529
535
535
538
ПРИЛОЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
559
Учебное издание
Баврин Иван Иванович
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Учебник для студентов высших педагогических
учебных заведений
Издание второе, переработанное и дополненное
Зав. редакцией С. В. Платонов
Зав. художественной редакцией И. А. Пшеничников
Художник обложки М. Б. Патрушева
Компьютерная верстка В. Г. Верхозин
Корректор Т. Я. Кокорева
Отпечатано с диапозитивов, изготовленных
ООО «Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС».
Лицензия ИД № 03185 от 10.11.2000.
Санитарноэпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.006153.08.03 от 18.08.2003.
Сдано в набор 17.08.03. Подписано в печать 18.12.03.
Формат 60×90/16. Печать офсетная. Бумага газетная.Усл. печ. л. 35,0.
Тираж 20 000 экз. (1й завод 1—5 000 экз.). Заказ №
.
Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС.
119571, Москва, просп. Вернадского, 88,
Московский педагогический государственный университет.
Тел. 4371111, 4372552, 4379998; тел./факс 7356625.
Email: vlados@dol.ru
http://www.vlados.ru
ООО «Полиграфист».
160001, Россия, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.