Laba 1 (2)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«БРАТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра управления в технических системах
Моделирование систем
Отчет по лабораторной работе №1
Аналоговое моделирование линейной динамической системы
Вариант № 5
Выполнил:
студент гр. УИТС -08
Дианова И.Е.
Проверил:
к.т.н., доцент каф. УТС
Дьяконица С.А.
Братск 2011
Лабораторная работа №1
Аналоговое моделирование линейной динамической системы
Цель работы - выработать практические навыки работы в исследовании
линейных динамических систем с помощью аналогового моделирования в
интегрированной среде Matlab.
Исходные данные:
W ( p) 
1
0,25
0,05 p 2  0,9 р  1
0,1
W ( p) 
2
0,8 p  1
1,5
W ( p) 
3
0,6 р  1
1
W ( p) 
.
4
0,25 р  1
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
2
1. Для заданной структурной схемы линейной динамической системы определить общую передаточную функцию
Рисунок 1. Структурная схема системы
Произведем ввод значений передаточных функций в командном окне
системы Matlab с помощью операторов
W1=tf([0.25],[0.05 0.9 1])
W2=tf([0.1],[0.01 0.15 1])
W3=tf([1.5],[0.9 1])
W4=tf([0.5 1],[1.5 1])
Исходя из структурной схемы (рисунок 1) для нахождения общей передаточной функции необходимо осуществить следующие преобразования
W ( p)
2
W23 ( p) 
,
1  W ( p)W ( p)
2
3
W123 ( p )  W ( p)W ( p),
1
23
W ( p)
123
W ( p) 
.
1  W ( p)W ( p)
123
4
Данные вычисления воспроизведем в интерактивном режиме командами
W23=W2/(1+W2*W3)
W23=minreal(W23)
W123=W1*W23
W=W123/(1+W123*W4)
W=minreal(W)
В результате получена передаточная функция системы следующего вида
0,625 p 2  3,542 p + 4,167
W ( p)  5
.
p + 24,92 p 4 + 158,6 p 3 + 401 p 2 + 456,2 p+ 195,8
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
3
2. На основе найденной передаточной функции аналитически получить выражение для весовой и переходной характеристики
Если передаточная функция представлена в дробно-рациональном виде:






а0  а1 р  ...  аn р n
p  s1 p  s 2  ...
,
W  р 

p  p1 p  p2  ...
b0  b1 р  ...  bm р m
где p1, p2 ... pm – полюса, s1, s2 ...sn – нули передаточной функции, то весовая
характеристика k t  определяется с использованием обратного преобразования Лапласа следующим образом:
 
 
 t
l A pi pit
r
k t   
e
 2  cn e n cos n t   n  ,
i1 B  pi
n1
где Bpi  – производная от знаменателя передаточной функции,
l - количество вещественных полюсов,
r – количество комплексно сопряженных пар полюсов.
При расчете cn и  n необходимо определить значение дроби
A pn 
 u  jv , используя только один корень pn   n  j n из пары комn
n
B pn 
плексно-сопряженных корней.
Коэффициент cn определяется по выражению
cn  u n2  vn2 ,
а фаза  n в зависимости от условий
v
если v n  0; u n  0  I  квадрант   n  arctg n ;
u
n
v
если vn  0; u n  0  II  квадрант   n    arctg n ;
u
n
v
если vn  0; u n  0  III  квадрант   n    arctg n ; ;
u
n
v
если vn  0; u n  0  IV  квадрант   n  arctg n ;.
u
n
Для поиска полюсов передаточной функции воспользуемся командами
a=[0.625 3.542 4.167]
b=[1 24.92 158.6 401 456.2 195.8]
[z,p,k]=tf2zp(a,b)
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
4
В результате получены следующие значения полюсов:
ð1  16,811;
ð 2  4,032;
ð3  1,4088  j 0,55594;
ð 4  1,4088  j 0,55594;
ð3,4   3,4  j 3,4  1,4088  j 0,55594;
ð  1,2593.
5
Производная знаменателя имеет вид
 
B pi  5 ð 4  99,68 ð 3  475,8 ð 2  802 ð  456,2 .
Весовая характеристика будет определяться как
 
 
 t
2 A pi pit
2
k t   
e
 2  cn e n cos n t   n   k (t )  k (t )  k (t )  k (t ) .
1
2
3
4
i1 B  pi
n1
Для полюса ð1  16,811 определим необходимые значения с использованием операторов
p=-16.811
A1=0.625*p^2+3.542*p+4.167
B1=5*p^4+99.68*p^3+475.8*p^2+802*p+456.2
K1=A1/B1
В итоге получаем
 
 
A p1 p t 121,2535 16,811t
k1 t  
e 1 
e
 0,0026e 16,811t .
B  p1
47206
Аналогично, произведем расчет для полюса ð2  4,032
k 2 t  
 
 
A p2 p t
0,0463 4,032t
e 2 
e
 0,0001817e 4,032t .
B p2
- 254,7744
Аналогично, произведем расчет для полюса ð5  1,2593
k3 t  
 
 
A p5 p t
0,6977 1,2593t
e 5 
e
 0,0488e 1,2593t .
B  p5
14,2915
При вычислении слагаемого весовой характеристики, в случае с парой
комплексно-сопряженных корней ð  1,4088  j0,55594 , последователь3,4
ность команд будет следующей
p=-1.4088+0.55594i
A4=0.625*p^2+3.542*p+4.167
B4=5*p^4+99.68*p^3+475.8*p^2+802*p+456.2
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
5
K4=A4/B4
U4=real(K4)
V4=imag(K4)
C4=sqrt(U4^2+V4^2)
F4=pi+atan(abs(V4)/abs(U4))
 
 
À p3,4
0,2243  j 0,9901

 0,0256  j 0,0286  u 4  jv4 ,
B  p3,4
- 23,1187  j12,8563
(из К4)
u 4  0,0256;
v4  0,0286;
(С4 и F4)
ñ4  u 42  v 42  0,0384;
v
u  0; v  0  III  êâàäðàíò   4    arctg  3,9821;
u
Поэтому, получаем
k 4 t   2  0,0384e 1,4088t cos0,55594t  3,9821  0,0768e 1,4088t cos0,55594t  3,9821;
Таким образом, аналитическое выражение для весовой характеристики
будет иметь вид
k t   0,0026e 16,811t  0,0001817e 4,032t  0,0488e 1,2593t 
 0,0768e 1,4088t cos0,55594t  3,9821
При вычислении переходной характеристики используем выражение
ht  
 
 
 t
r
pt
A0 l A pi
 
e i  2  c n e n cos n t   n 
B0 i 1 B  pi pi
n1
Значения cn и  n в выражении определяются аналогично весовой характеристики, только при вычислении u n и vn используется
A pn 
 u n  jvn
pn  B pn 
В соответствии с заданием, переходная характеристика будет иметь следующий вид
ht  
 
 
 t
2
pt
A0 2 A pi
 
e i  2  cn e n cos n t   n   h (t )  h (t )  h (t )  h (t ) .
1
2
3
4
B0 i 1 B  pi pi
n1
Для расчета вводим операторы
p=0
A0= 0.625*p^2+3.542*p+4.167
B0= 5*p^4+99.68*p^3+475.8*p^2+802*p+456.2
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
Лист
6
H0=A0/B0
A0 4,167

 0,0091;
B0 456,2
H1=K1/-16.811
 
 
A p1
pt
h1t  
e 1  -0,00015279e 16,811t
B p1 p
1
H2=K2/-4.032
 
 
A p2
p t
h2 t  
e 2  0,000045068e 4,032t
B p2 p
2
H3=K3/-1.2593
 
 
A p5
pt
h3 t  
e 5  0,0388e 1,2593t
B p5 p
5
H4=K4/(-1.4088+0.55594i)
UH4=real(H4)
VH4=imag(H4)
CH4=sqrt(UH4^2+VH4^2)
FH4=atan(VH4/UH4)
 
 
À p3,4
 0,0088  j 0,0238  u 4  jv4 ;
B  p3,4 p3,4
ñ4  u 42  v42  0,0253;
v
u  0; v  0  I  êâàäðàíò   4  arctg  1,2164;
u

1
,
4088
t
h4 t   2  0,0253e
cos0,55594t  1,2164  0,0506e 1,4088t cos0,55594t  1,2164;
Таким образом, аналитическое выражение для весовой характеристики
будет иметь вид
ht   0,091  0,00015279e 16,811t  0,000045068e 4,032t  0,0388e 1,2593t 
 0,0506e 1,4088t cos0,55594t  1,2164.
3. Построить графики весовой и переходной характеристик
В соответствии с полученными аналитическими выражениями, построим весовую и переходную характеристики с помощью команд
t=0:7/500:7;
k=0.0026*exp(-16.811*t)-0.0001817*exp(-4.032*t)-0.0488*exp(1.2593*t)+0.0768*exp(-1.4088*t).*cos(0.55594*t+3.9821);
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
7
plot(t,k)
Рисунок 2. График весовой характеристики
h=0.091-0.00015279*exp(-16.811*t)+0.000045068*exp(-4.032)-0.0388*exp(1.2593*t)+0.0506*exp(-1.4088*t).*cos(0.55594*t+1.2164);
plot(t,h)
Рисунок 3. График переходной характеристики
4. Используя Simulink построить структурную схему заданной системы и
смоделировать реакцию системы на единичное воздействие
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
8
Рисунок 4. Структурная схема для моделирования
линейной динамической системы в Simulink
Рисунок 6. Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие
5. С помощью элементов: операционный усилитель, резисторы, конденсаторы, составить электрическую схему для аналогового моделирования заданной линейной динамической системы
Разработаем аналоговую модель заданной линейной динамической системы.
Передаточная функция W1 ( p) 
k
0,25

2
2
2
T p  2Tp  1 0,05 p  0,9 ð  1
является колебательным звеном, схема реализации будет следующей
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
9
R3
Rос
C2
1
out
in
Rвх
-
+
out
R1
OU1
R2
+
2
out
OU2
C1
Рисунок 7. Схема реализации колебательного звена
( R  2 R )C
R
3 2, R R .
k  ос , T  R R C C ,   2
1
2
2 3 1 2
R
2 R R CC
вх
2 3 1 2
Примем R BX  10 3 Ом , в этом случае Rîñ  0,25  103 Îì
.
3
Пусть R1  R2  R3  10 [Ом ] , тогда
2T
0,9
С 

 0,3  10  3[ F ],
2 R  2R
3
1
2 3  10
T2  R R C C ,
2
C1 
3
1
2
2
T
0,05

 0,167  10 3 [ F ].
3
R1 R2 C 2 0,3  10
Передаточная функция W2 ( p) 
k
0,1

- инерционное звено. СхеTp  1 0,8 p  1
ма реализации данного звена представлена на рисунке 8.
Rос
С ос
1
out
in
Rвх
+
2
out
OU
Рисунок 8. Схема реализации инерционного звена
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
10
R
k  OC , T  RОС  CОС .
RВХ
Примем R BX  10 3 Ом  , тогда:
ROC  k  R ÂÕ  0,1103 Îì ,
Ò
0,8
ÑÎÑ 

 8 10 3F .
3
RÎÑ
0,1 10
k
1,5
W3 ( p) 

также является инерционным звеном, поэтому схема
Tp  1 0,6 p  1
реализации будет аналогичной W2 ( p) (рисунок 8).
R
k  OC , T  RОС  CОС .
RВХ
Примем R BX  10 3 Ом  , тогда:
ROC  k  R ÂÕ  1,5 103 Îì ,
Ò
0,6
ÑÎÑ 

 0,4  10 3F .
3
RÎÑ
1,5  10
k
1
W4 ( p) 

также является инерционным звеном, поэтому схема
Tp  1 0,25 p  1
реализации будет аналогичной W2 ( p) (рисунок 8).
R
k  OC , T  RОС  CОС .
RВХ
Примем R BX  10 3 Ом  , тогда:
ROC  k  R ÂÕ  1103 Îì ,
Ò
0,25
ÑÎÑ 

 0,25 10 3F .
3
RÎÑ
10
В структурной схеме линейной динамической системе (рисунок 1) присутствуют две обратные отрицательные связи, которые реализуются следующей схемой:
Rос
1
out
x1
Rвх1
+
3
y
OU
Rвх2
2 x2
Рисунок 9. Схема реализации обратной отрицательной связи
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
11
R
R
k1  OC ; k 2  OC ; k1  k 2  1; ROC  R ВХ 1  R ВХ 2  2Ом .
R ВХ 1
R ВХ 2
Таким образом, общая схема для аналогового моделирования заданной
динамической системы представлена на рисунке 10.
Рисунок 10. Электрическая схема для аналогового моделирования заданной
динамической системы
Процесс моделирования динамики системы по разработанной схеме будет следующим (рисунок 11)
Рисунок 11. Процесс моделирования динамической системы с помощью
аналоговой модели
Вывод: выполнив работу, я выработала практические навыки работы в исследовании линейных динамических систем, научилась аналитическим методом определять выражения для весовой и переходной характеристик, а также
составлять электрическую схему для аналогового моделирования.
Лист
Изм. Лист
№ докум.
Подпись
Дата
12