AGiWMA

Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра вышей математики
Аналитическая геометрия.
Введение в математический анализ
Индивидуальные задания к модулю 2.1
Курск 2009
2
УДК 519
Составители: Журавлева Е.В., Фадеева А.Н.
Рецензент
Кандидат физ-мат наук, доцент кафедры
высшей математики В.И. Дмитриев.
Аналитическая геометрия. Введение в математический анализ.
[Текст]: /индивидуальные задания к модулю 2.1 системы РИТМо
по дисциплине «Математика» / Курск.гос.техн.ун-т; сост.: Е.В.
Журавлева, А.Н. Фадеева, Курск, 2009. 36с.: ил. табл. Библиогр.
Приведены индивидуальные задания к модулю 2.1 для студентов экономических специальностей, обучающихся по системе
интенсивной рейтинговой технологии модульного обучения. Задания содержат варианты теоретических тестов тренингов, направленных на более внимательное и глубокое изучение тем «Аналитическая геометрия», «Пределы функций», «Непрерывность функций», а также практические упражнения.
Предназначены для студентов экономических специальностей.
Текст печатается в авторской редакции
Подписано в печать ______ . Формат 60х84 1/16.
Усл. печ. л. 0,56. Уч.-изд. л. 0,52. Тираж 50 экз. Заказ ………...
Курский государственный технический университет.
Издательско-полиграфический центр Курского государственного
технического университета. 305040 Курск, ул. 50 лет Октября, 94.
3
Содержание
Введение ...................................................................................................4
1. Теоретические упражнения ................................................................5
Тест 1 ......................................................................................................5
Тест 2 ......................................................................................................8
Тест 3 ....................................................................................................11
Тест 4 ....................................................................................................13
2. Практическая часть ...........................................................................17
2.1.Задание 1........................................................................................17
2.2. Задание 2.......................................................................................17
2.3. Задание 3.......................................................................................20
2.4. Задание 4.......................................................................................21
2.5. Задание 5.......................................................................................21
2.6. Задание 6.......................................................................................28
2.7. Задание 7.......................................................................................30
2.8. Задание 8.......................................................................................32
Библиографический список ..................................................................36
4
Введение
В современных условиях высшая школа переходит на двухуровневую систему образования. В связи с этим складывается новая концепция образования. Цель учебного процесса заключается
не только в передаче знаний от преподавателя к студенту, но и в
развитии у студента способности к непрерывному самообразованию, стремлению к пополнению и обновлению знаний, к творческому использованию их на практике, в сферах будущей профессиональной деятельности.
Одной из форм подготовки образованной, творческой и профессионально мобильной личности является самостоятельная работа студентов.
Данная методическая разработка является одним из блоков в
модульно – рейтинговой системе дисциплины «Математика». Студентам предлагается выполнить в соответствии со своим вариантом теоретический тест – тренинг, направленный на более глубокое усвоение теоретического материала, и решить предложенные
задачи. Защита модуля также включает в себя теоретический блок
и практическое решение задач.
5
1. Теоретические упражнения
Выполните один из следующих теоретических тестов. Выбор
теста осуществляется по формуле: m = mod(n, 4) + 1, где m – номер
выполняемого теста, n – номер варианта.
Тест 1
1. Из представленных ниже уравнений укажите общее уравнение прямой на плоскости:
а) y = kx + b
б) Ax + By + C = 0
x  x0 y  y 0
 x  mt  x0 ,

в)
г) 
m
n
 y  nt  y 0 .
2. Составьте последовательность действий при выводе канонического уравнения прямой:
q || ,

а)
  q || M 0 M
M 0 M  
б) даны точка M0(x0, y0), принадлежащая прямой l, и вектор
q  (m, n) , ей параллельный
x  x 0 y  y0
в)

m
n
г) составим вектор M 0 M  x  x0 , y  y0  , где M(x, y) – текущая точка прямой.
3. Установите соответствие между уравнением и типом кривой второго порядка:
x2 y2
1) 2  2  1 a  b 
а) гипербола
a
b
2
y2
x
2) 2  2  1
б) парабола, ось симметрии Ох
a
b
3) y 2  2 px
в) парабола, ось симметрии Oy
г) эллипс
6
4. Для эллипса
ждения:
а) 0  e 
x2
a2

c
1
b
y2
b2
 1 a  b  укажите два верных утверб) c 2  a 2  b 2
b
x
a
5. Среди представленных ниже уравнений укажите нормальное уравнение плоскости:
x  x0 y  y 0 z  z 0
а) Аx + By + Cz + D = 0
б)


m
n
p
 x  mt  x 0 ,

в) x  cos   y  cos   z  cos   p  0 г)  y  nt  y 0 ,
 z  pt  z

0
x  x0 y  y 0 z  z 0
6. Угол между прямой
и плоскостью


m
n
k
x  cos   y  cos   z  cos   p  0 находят по формуле:
m  cos   n  cos   k  cos 
а) sin  
m2  n2  k 2
m  cos   n  cos   k  cos 
б) cos  
m2  n2  k 2
x  cos   y 0  cos   z 0  cos 
в) sin   0
p  x02  y 02  z 02
x  cos   y 0  cos   z 0  cos 
г) cos   0
.
2
2
2
p  x0  y 0  z 0
7. Сконструируйте определение предела функции f(x) в точке
x 0 на языке ε – δ.
Число a называется пределом функции f(x) в точке x 0 , если
функция определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, самой точки x 0 , и
в) директриса x  
b
e
г) асимптота y 
7
: x :
1)   0
5) 0  x  x 0  
2)   0
6) 0  x  x 0  

4)  ( )  0
8) f ( x )  a  
3)  ( )  0
7) f (x)  a  
8. Две бесконечно малые функции α(x) и β(x) в точке x 0 являются эквивалентными, если:
( x)
( x)

0
а) lim
б) lim
x  x0 ( x )
x  x0 ( x )
( x)
1
в) lim
г) lim ( x)  ( x)  0
x  x0
x  x0 ( x )
9. Если функция y = f(x) определена в точке x0 и имеет значение равное f(x0), существуют односторонние пределы равные
lim f ( x)  A и lim f ( x)  B , причем А = B = f(x0), то
x  x0 0
x  x0  0
а) x 0 - точка разрыва первого рода, разрыв устраним;
б) x 0 – точка разрыва второго рода;
в) x 0 – точка непрерывности;
г) x 0 – точка разрыва первого рода, разрыв неустраним.
10. Установите соответствие между графиком функции в
окрестности точки x 0 и характером разрыва:
1)
2)
3)
y
y
x0
x
y
x0
a) точка непрерывности;
б) точка устранимого разрыва;
в) точка неустранимого разрыва;
г) точка разрыва второго рода.
x
x0
x
8
Тест 2
1. Из представленных ниже уравнений укажите каноническое
уравнение прямой на плоскости:
а) y = kx + b
б) Ax + By + C = 0
x  x0 y  y 0
 x  mt  x 0 ,
в)
г)


m
n
 y  nt  y 0 .
2. Составьте последовательность действий при выводе общего
уравнения прямой:
n 


а)
  n  M 0M  n  M 0M  0
M 0 M  
б) даны точка M0(x0, y0), принадлежащая прямой, и вектор
n  ( A, B) , ей перпендикулярный
в) n  M 0 M  Ax  x0   B y  y 0   0  Ax  By  C  0,
где С = Ax0 – By0.
г) составим вектор M 0 M   x  x0 , y  y 0  , где M(x, y) – текущая точка прямой.
3. Установите соответствие между уравнением и типом кривой второго порядка:
x2 y2
1) 2  2  1 a  b 
а) гипербола
a
b
x2 y2
2) 2  2  1
б) парабола, ось симметрии Ох
a
b
2
3) x  2 py
в) парабола, ось симметрии Oy
г) эллипс
2
2
y
x
4. Для гиперболы 2  2  1 укажите два верных утверa
b
ждения:
a
b
а) асимптота y   x
б)директриса y 
b
e
c
в) e   1
г) c 2  a 2  b 2
a
9
5. Среди представленных ниже уравнений укажите канонические уравнения прямой:
x  x0 y  y 0 z  z 0


а) Аx + By + Cz + D = 0
б)
m
n
p
 x  mt  x0 ,

в) x  cos   y  cos   z  cos   p  0 г)  y  nt  y 0 ,
 z  pt  z

0
 x  mt  x 0 ,

6. Угол между прямой  y  nt  y 0 , и плоскостью
 z  kt  z

0
x  cos   y  cos   z  cos   p  0 находят по формуле:
m  cos   n  cos   k  cos 
а) sin  
m2  n2  k 2
m  cos   n  cos   k  cos 
б) cos  
m2  n2  k 2
x  cos   y 0  cos   z 0  cos 
в) sin   0
p  x02  y 02  z 02
x  cos   y 0  cos   z 0  cos 
г) cos   0
.
2
2
2
p  x0  y 0  z 0
7. Сконструируйте определение правостороннего предела
функции в точке x0 на языке ε – δ.
Число a называется правосторонним пределом функции f(x) в
точке x 0 , если функция определена в некоторой окрестности точки
x 0 , за исключением, быть может, самой точки x 0 , и
: x :
1)   0
5) 0  x  x 0  
8) 0  x 0  x  
2)   0
6) 0  x  x 0  
9) f (x)  a  

3)  ( )  0
4)  ( )  0
7) 0  x 0  x  
10) f ( x )  a  
10
8. Бесконечно малая функция α(x) является функцией более
высокого порядка малости, чем бесконечно малая β(x) в точке x 0 ,
если:
( x)
( x )
а) lim
б) lim

0
x  x0 ( x)
x  x0 ( x)
( x )
в) lim
г) lim ( x)  ( x)  0
1
x  x0
x  x0 ( x)
9. Если функция y = f(x) определена в точке x0 и имеет значение равное f(x0), существуют односторонние пределы равные
lim f ( x)  A и lim f ( x)  B , причем А = B ≠ f(x0), то
x  x0 0
x  x0  0
а) x 0 - точка разрыва первого рода, разрыв устраним;
б) x 0 – точка разрыва второго рода;
в) x 0 – точка непрерывности;
г) x 0 – точка разрыва первого рода, разрыв неустраним.
10. Установите соответствие между графиком функции в
окрестности точки x0 и характером разрыва:
1)
2)
3)
y
y
xx00
x
y
x0
a) точка непрерывности;
б) точка устранимого разрыва;
в) точка неустранимого разрыва;
г) точка разрыва второго рода.
x
x0
x
11
Тест 3
1. Из представленных ниже уравнений укажите параметрические уравнения прямой на плоскости:
а) y = kx + b
б) Ax + By + C = 0
x  x0 y  y 0
 x  mt  x 0 ,
в)
г)


m
n
 y  nt  y 0 .
2. Составьте последовательность действий при выводе уравнения прямой на плоскости, проходящей через две различные точки:
а) составим векторы M 1 M  x  x1 , y  y1 , где M(x, y) – текущая точка прямой, и M 1 M 2  x2  x1 , y 2  y1 ;
б) даны две точки M 1 ( x1 , y1 ); M 2 ( x2 , y 2 ) , принадлежащие
прямой l;
x  x1
y  y1
в)

x 2  x1 y 2  y1
M 1 M 2  ,
г).
  M 1 M 2 || M 1 M
M 1 M   
3. Установите соответствие между уравнением и типом кривой второго порядка:
x2 y2
1) 2  2  1 a  b 
а) гипербола
a
b
2
2) x  2 py
б) парабола, ось симметрии Ох
3) y 2  2 px
в) парабола, ось симметрии Oy
г) эллипс
4. Для параболы y 2  2 p( x  x 0 ) укажите два верных утверждения:
p
а) вершина О(0, 0)
б) директриса y  x 0 
2
p

в) фокус F   x0 ,0 
г) эксцентриситет e = x0 + 1
2

12
5. Среди представленных ниже уравнений укажите общее
уравнение плоскости:
x  x0 y  y 0 z  z 0
а) Аx + By + Cz + D = 0
б)


m
n
p
 x  mt  x 0 ,

в) x  cos   y  cos   z  cos   p  0 г)  y  nt  y 0 ,
 z  pt  z

0
6. Угол между плоскостью Аx + By + Cz + D = 0 и плоскостью x  cos   y  cos   z  cos   p  0 находят по формуле:
A  cos   B  cos   C  cos 
а) sin  
A2  B 2  C 2
A  cos   B  cos   C  cos 
б) cos  
A2  B 2  C 2
A  cos   B  cos   C  cos   D  p
в) sin  
p  A2  B 2  C 2  D 2
A  cos   B  cos   C  cos   D  p
г) cos  
p  A2  B 2  C 2  D 2
7. Дайте определение левостороннего предела функции в точке x 0 на языке ε – δ.
Число a называется левосторонним пределом функции f(x) в
точке x 0 , если функция определена в некоторой окрестности точки
x 0 , за исключением, быть может, самой точки x 0 , и
: x :
1)   0
5) 0  x  x 0  
8) 0  x 0  x  
2)   0
6) 0  x  x 0  
9) f (x)  a  

3)  ( )  0
4)  ( )  0
7) 0  x 0  x  
10) f ( x )  a  
8. Бесконечно малая функция β(x) в точке x 0 является бесконечно малой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая α(x), если:
13
( x)
( x )
б) lim

0
x  x0 ( x)
x  x0 ( x)
( x )
в) lim
г) lim ( x)  ( x)  0
1
x  x0
x  x0 ( x)
9. Если функция y = f(x) определена в точке x0 и имеет значение равное f(x0), существуют односторонние пределы равные
lim f ( x)  A и lim f ( x)  B , причем А ≠ B, то
а) lim
x  x0 0
x  x0  0
а) x 0 - точка разрыва первого рода, разрыв устраним;
б) x 0 – точка разрыва второго рода;
в) x 0 – точка непрерывности;
г) x 0 – точка разрыва первого рода, разрыв неустраним.
10. Установите соответствие между графиком функции в
окрестности точки x0 и характером разрыва:
1)
2)
3)
y
y
x0
x
y
x0
x
x0
x
a) точка непрерывности;
б) точка устранимого разрыва;
в) точка неустранимого разрыва;
г) точка разрыва второго рода.
Тест 4
1. Из представленных ниже уравнений укажите уравнение
прямой с угловым коэффициентом:
а) y = kx + b;
б) Ax + By + C = 0;
x  x0 y  y 0
 x  mt  x 0 ,
в)
;
г) 

m
n
 y  nt  y 0 .
14
2. Составьте последовательность действий при выводе общего
уравнения прямой:
n 


а)
  n  M 0M  n  M 0M  0;
M 0 M  
б) даны точка M0(x0, y0), принадлежащая прямой, и вектор
n  ( A, B) , ей перпендикулярный;
в) n  M 0 M  Ax  x0   B y  y 0   0  Ax  By  C  0,
где С = Ax0 – By0.
г) составим вектор M 0 M   x  x0 , y  y 0 
3. Установите соответствие между уравнением и типом кривой второго порядка:
1) x 2  2 py
а) гипербола
x2 y2
2) 2  2  1
б) парабола, ось симметрии Ох
a
b
2
3) y  2 px
в) парабола, ось симметрии Oy
г) эллипс
4. Для параболы x 2  2 p( y  y 0 ) укажите два верных утверждения:
p
а) вершина О(0, y0)
б) директриса x  y 0 
2
p

в) фокус F  0, 
г) эксцентриситет e = x0 + 1
2

5. Среди представленных ниже уравнений укажите параметрические уравнения прямой:
x  x0 y  y 0 z  z 0


а) Аx + By + Cz + D = 0
б)
m
n
p
 x  mt  x 0 ,

в) x  cos   y  cos   z  cos   p  0 г)  y  nt  y 0 ,
 z  pt  z

0
x  x0 y  y 0 z  z 0
6.
Прямая
и
плоскость


m
n
k
x  cos   y  cos   z  cos   p  0 параллельны, если:
15
а) m  cos   n  cos   k  cos   0
б) m  cos   n  cos   k  cos   p  0
m
n
k


в)
cos  cos  cos 
m
n
k
1
г)



cos  cos  cos  p
7. Дайте определение бесконечно малой функции α(x) в точке
x0 на языке ε – δ.
Функция α(x) называется бесконечно малой в точке x 0 , если
функция определена в некоторой окрестности точки x 0 , за исключением, быть может, самой точки x 0 , и
: x :

1)   0
2)   0
3)  ( )  0
4)  ( )  0
5) 0  x  x 0   6) 0  x  x 0  
7)  (x)  
8)  ( x )  
8. Бесконечно малая функция β(x) в точке x 0 является бесконечно малой одного порядка малости с бесконечно малой α(x), если:
( x)
( x )
а) lim
б) lim

0
x  x0 ( x)
x  x0 ( x)
( x)
в) lim
г) lim ( x)  ( x)  0
 k  0 или 
x  x0
x  x0 ( x)
9. Если функция y = f(x) определена в точке x 0 и имеет значение равное f(x0), односторонние пределы равны lim f ( x)  A и
lim f ( x)   , то
x  x0 0
x  x0  0
а)
б)
в)
г)
x 0 - точка разрыва первого рода, разрыв устраним;
x 0 – точка разрыва второго рода;
x 0 – точка непрерывности;
x 0 – точка разрыва первого рода, разрыв неустраним.
16
10. Установите соответствие между графиком функции в
окрестности точки x 0 и характером разрыва:
1)
2)
3)
y
y
x0
x
y
x0
a) точка непрерывности;
б) точка устранимого разрыва;
в) точка неустранимого разрыва;
г) точка разрыва второго рода.
x
x0
x
17
2. Практическая часть
2.1.Задание 1
На плоскости даны точки A(α3, α1), B(α1, α2–2) и C(α2–2, α3+4).
Сделайте чертеж треугольника ABC и найдите:
а) длину и уравнение стороны BC (записать общее уравнение,
каноническое, параметрическое и с угловым коэффициентом);
б) косинус угла А;
в) уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно
стороне BC;
г) длину высоты, проведенной к стороне BC, и ее уравнение;
д) уравнение медианы, проведенной к стороне BC;
е) уравнение биссектрисы угла А;
ж) координаты центра тяжести.
Замечание. Здесь и далее α1 = 1 – mod(n, 7), α2 = mod(n, 5),
α3 = 3 – mod(n, 3), где mod(n, q) – остаток от деления номера варианта n на заданное число q.
2.2. Задание 2
Составить каноническое уравнение кривой второго порядка
(эллипса, гиперболы или параболы) (см. табл. 1), расположенной
симметрично относительно декартовой системы координат, если
… (доп. усл. см. табл. 2). Построить кривую на чертеже и указать
на ней фокусы и директрисы (для гиперболы еще и асимптоты)
кривой.
Таблица 2.1
Индивидуальные условия к заданию 2.2
Расположение кривой относительно
MOD (n, 3)
Кривая
декартовой прямоугольной системы
координат
Симметрично относительно начала ко1
Эллипс
ординат. Фокусы лежат на оси Ox
Симметрично относительно начала ко2
Гипербола
ординат. Фокусы лежат на оси Ox
Симметрично оси Ox. Фокусы лежат
0
Парабола
на оси Ox
18
Таблица 2.2
Дополнительные условия к заданию 2.2
n
Дополнительные условия
1
2
1 Большая полуось a = 3 и фокусы имеют координаты F(2; 0)
2 Фокусы имеют координаты F(5; 0) и расстояние между директрисами равно 6
3 фокальный параметр равен 3,5 и парабола лежит в полуплоскости x > 0
4 малая полуось b = 2 и уравнение директрисы x = 4
5 фокальный параметр p = 5 и действительная полуось a = 6
6 уравнение директрисы x = - 1,5
7 большая полуось a = 4 и фокальный параметр p = 6
8 действительная полуось a = 4 и расстояние между фокусами
равно 10
9 точка М (-1; 2) принадлежит кривой
10 фокальные радиусы вершин эллипса, лежащих на оси x, равны
1 и 11 (r1= 1, r2= 11)
11 фокусы имеют координаты F(7; 0) и уравнения директрис
x = 4
12
1 
фокус имеет координаты F ;0 
4 
13 малая полуось b  2 и расстояние между фокусами равно 2
14 расстояние между фокусом и соответствующей ему директрисой p = 0,5 и фокусы имеют координаты F(6; 0)
15 уравнение директрисы x = 0,25
16 расстояние между фокусами равно 4 и расстояние между директрисами равно 6
17 действительная полуось равна 6 и эксцентриситет равен 2
18 фокальный параметр p = 1,25 и парабола лежит в полуплоскости x < 0
19 фокусы имеют координаты F(3; 0) и расстояние от фокуса до
соответствующей ему директрисы p = 1
19
Продолжение табл. 2.2
1
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
2
действительная полуось a = 3 и уравнения асимптот y =  2x
парабола проходит через точку М (4; 1)
1
большая полуось a  6 и эксцентриситет равен
2
расстояние между директрисами равно 2 10 и уравнения
асимптот y =  3x
фокус имеет координаты F(-1; 0)
1
эксцентриситет равен
и расстояние между директрисами
5
равно 10
фокальные радиусы вершин r1= 5, r2= 7
1
директриса имеет уравнение x  
8
малая полуось b = 3 и фокальный параметр p = 9
расстояние между фокусами равно 12 и эксцентриситет равен
0,5
парабола проходит через точку М (-4; 2)
фокусы имеют координаты F(2; 0) и эксцентриситет равен 0,5
мнимая полуось b  12 и расстояние между директрисами
равно 2 2
фокус имеет координаты F(1,5; 0)
расстояние между фокусами равно 4, а расстояние между директрисами равно 6
фокусы имеют координаты F(3; 0) и уравнения асимптот
5
y
x
2
фокальный параметр равен 3 и парабола расположена в полуплоскости x < 0
уравнения директрис x =  4 и фокальный радиус вершин, лежащих на оси y, равен 2 3
мнимая полуось b  2 и расстояние между соответствующими друг другу фокусами и директрисами равно 0,5
уравнение директрисы x = 1,25
20
Продолжение табл. 2.2
1
40
2
1
3
мнимая полуось b = 2 и фокусы имеют координаты F(3; 0)
парабола проходит через точку М (1; 4)
большая полуось a = 2 и расстояние между директрисами
равно 8
мнимая полуось b = 2 и эксцентриситет равен 3
1 
фокус имеет координаты F ;0 
 16 
мнимая полуось b  3 и фокальный радиус вершин эллипса, расположенных на оси Oy, равен 5
эксцентриситет равен 2 и расстояние между директрисами
равно 2
расстояние между фокусом и директрисой равно 1,5 и парабола расположена в полуплоскости x > 0
1
эксцентриситет равен и фокальный радиус вершин эллип3
са, расположенных на оси Oy, равен 6
мнимая полуось b = 6 и уравнения асимптот y =  1,5x
малая полуось b = 2 и эксцентриситет равен
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
2.3. Задание 3
Составить уравнение линии, для каждой точки М которой отношение расстояний до точки F1; 2  и до прямой x   3 равно
e
3
. Привести уравнение к каноническому виду, определить тип
2
линии и построить линию на чертеже. Показать на чертеже фокусы, директрисы, асимптоты (если они имеются у построенной линии).
21
2.4. Задание 4
В пространстве даны точки А(-2, α1, 1), B(3, α2, -1), C(5, α3, 1),
S(1, α1, 0). Сделать чертеж пирамиды SABC и найти:
1) длину и уравнение ребра АВ;
2) уравнение грани АВС;
3) длину высоты, проведенной из вершины S к грани АВС, и
ее уравнение;
4) проекцию вершины S на плоскость АВС;
5) уравнение плоскости, проходящей через вершину S параллельно грани АВС;
6) уравнение плоскости, проходящей через ребро AS перпендикулярно грани АВС;
7) уравнение проекции ребра AS на грань АВС;
8) угол между ребрами AB и AS;
9) угол между гранями ABC и ABS;
10) угол между ребром AS и гранью ABC.
2.5. Задание 5
Вычислить пределы, не пользуясь средствами дифференциального исчисления.
Индивидуальные задачи представлены в таблице 2.3.
22
Таблица 2.3
n
1
1
а)
2
( x  1) 2
lim
lim
2 x3  3
3
lim
lim
x 2  3x
x  2 x3
5
lim
x   3x 2
6
lim
lim
lim
x 
 2x  1
3x 4  5 x 2  1
x 
8
x 2
( x  1) 3
x 3  3x 2  x  3
( x  5)3
lim
lim
x  64 3
x2  4  2
lim
x 0
7 x 2  20 x  3
x22
x  3
x  4 x 3
lim
x 8
x 4
 x 2  5x  3
x 2  3x  2
lim
lim
x3  8
x 1
x 1
x2  9  3
3 8 x 2
lim
x
x 0
x 1 x 3
( x  1) 3
x  2 x 2
7
5
 8 x  16
( x  2) 2
lim
5
( x  1) 2
x 3  64
x4 x 2
lim
x 1 3
x2  x  2
lim
x3  1
x 2  25
x 5
x  27
x 2  16
3
 12 x 2  48 x  64
x 5 x 3
lim
x 6
3
x 2  25
 4 x 2  5x
lim
x 2  36
22  x 2  3
x 2  49
3 1 x  3 1 x
lim
x
x 0
x 7
lim
1  cos2 2 x
2x2
tg 4 x
lim
x  0 x  cos x
x 0
lim
1  cos x
x 0
3x 2
tg 2 x
x  0 sin 5 x
lim
1  cos3 x
lim
x  0 x  sin 2 x
cos2 x  1
lim
x  0 x  sin x
lim
cos 2 x  1
x 0
lim
x 0
5x 2
(1  cos x) 2
x4
д)
6
 x 1
lim 

x   x  2 
2 x 1
 3x  4 
lim 

x   3 x  2 
 x2  1 

lim 
x   x 2  2 
 x  1
lim 

x   x  1 
x 1
3
x 2 1
4x 3
22
4
lim
x 1  2
lim
x3  x 2  x  1
x  1
x2  2x  7
x 
x2  2x  1
x 1
x3  2x  1
x 
x3  x 2  x  1
lim
 3x  1
x  x 2
2
Индивидуальные задачи к заданию 5
б)
в)
г)
3
4
5
 2x  1
lim 

x   2 x 
 x  3
lim  2 

x   x

2
x2
x 2 /( x  5)
 5x  1 
lim 

x   5 x  8 
 x  5
lim 

x   x  1 
x 1
2x 3
23
1
9
2
lim
x( x  2)
1  x2
x 
10
lim
3
( x  2) 2
x  4 x  2 x 2
11
x3  3
lim
x  x 2
12
x4  1
lim
6 x 2  3x  1
x 
14
 4x  6
lim
lim
lim
x 3  216
x 6
lim
3x 2  2 x  8
x 2
( x  2) 2
x3  8
lim
1
x  6 3x 2
7x  x2
 5x  3
3  5x3
x  x 3
 4x  1
lim
lim
 11x  14
2 x 2  11x  6
 19 x  6
5x 2  9 x  2
x  2 3x 2
lim
 3x  1
x 2  12 x  36
x 2 2x 2
x  x 2
16
lim
x 1 2 x 2
lim
 x  30
x2  2x  1
( x  1) 2
4x  3
x  5 x 2
15
x  5 x 2
x 0 x 4
 8x  4
x2  4x
 3x 2  x
5
x2
lim
x 0 3
cos x  cos2 x
lim
lim ( x  1  x )
sin 3 x
x  0 sin 5 x
lim
x 
lim
x 2
lim
x 0
lim
x22
x2
x 2  25  5
x
x3
x 0 3 1  x 3
1
lim ( x  2  x )
x 
lim
x 5
lim
x 5
lim
x 0
x




cos  x   cos  x 
3

3

lim
x 2  25
cos2 4 x  1
x2
sin 3x  sin x
lim
x  cos x
x 0
x 0
sin 3x  sin x
3x
x 0
lim
lim x  ctgx
x 1  2
x5
x  4 1
5x 2
x 0
4  x2  3 4  x2
x 0
lim
x 0
cos x  cos3x
4x2
x 1
2
 x 1 
lim 

x   x  2 
 7x  5 
lim 

x   7 x  1 
6x 7
 1  2x2 

lim 
2

x   3  2 x 
2x 3
 9x  4 
lim 

x   9 x  10 
4x 3
 11x  5 
lim 

x   11x  6 
5 x 1
 1  4x 
lim 

x   3  4 x 
x 1
 x4  2 

lim  4

x   x  4 
23
lim
x  x 2
13
 7x  1
x 3  125
lim
4
Продолжение табл. 2.3.
6
2 x 4 3
 9x  5 
lim 

x   9 x  7 
5 x 11
24
1
17
2
lim
2x2  5
 4x  4
x  x3
18
lim
x 
19
lim
x 
20
lim
21
lim
4 x 2  5x
1  x2
22
lim
lim
x 
24
lim
x  3 x 3
x3  4
 5x  3
x6  2x2
1  6x
6
x4  2
x  x 2
 x4
 5 x 2  3x  9
x 2  5x  4
lim
x 1 x 3
 x 2  5x  5
x  2 4 x 2
lim
x 5
lim
x  6 x 3
lim
x3  5x 2  x  5
3x  13 x  10
2
x2  6x
 18 x 2  108 x  216
5 x 2  14 x  3
x 3 x 3
lim
x 4 x3
 9x  2
 5 x  3x  9
2
x 2  x  12
 12 x 2  48 x  64
5
x2  4  2
lim
x 0
x 2  25  5
lim ( x  6  x )
x 
x  16  4
lim
x2
x 0
x2  4
lim
1  8x3
x( x  3)
x  4x 2
 x 2  3x  3
x2  6x  9
lim
3x 3  4 x
x  x 4
23
lim
1  x3
x  1 
x2  4x  3
x  1 x 3
5x3  4 x
4
lim
x 9 3
lim
x 3
lim
x 0
x 3
x9
x 1  2
x2  9
lim
1  cos 4 x
x  0 x  sin x
 x  1

lim 
x  
x 
 x
lim x  ctg  
x 0
2
 1  3x 
lim 

x   2  3 x 
tgx  sin x
 8x  3 
lim 

x   8 x  7 
lim
x 0
lim
27  x 2  3
x3
tgx 2  sin 2 x
2x2
x 0
tgx 2
lim
x  0 3x
x2
x2
 x3  1 

lim  3
x   x  2 x 
lim
x9 3
x
lim 3
x 0 64  x  4
x 0 3
sin 5 x  sin 3x
sin 2 x
x 0
lim
lim
cos 4 x  cos2 x
x 0
sin 2 x
tg 3x
x 0 sin( 0,5 x)
lim
 4x  1 
lim 

x   4 x  5 
 x2  4 

lim  2

x   x  1 
 x 1
lim 

x   x  3 
x2
x 1
2x 3
4 x 11
24
x 
3
Продолжение табл. 2.3.
6
x 3 /( x 2 1)
x 5 /( x 4 1)
x 4 /( x 2 1)
 8  5x 
lim 

x   6  5 x 
7 x 3
25
1
25
2
x3  2x  1
lim
x 
26
lim
1 x
x( x  6)
2
x  6 x 2
27
lim
1  3x 3
lim
31
x( x  1)
2
1  3x 2
lim
x   7 x( x  2)
lim
x4  1
x   (1 
32
lim
x 
lim
lim
x) 3
4x3  2x  1
( x  2) 2
x 3  3x 2  4
x2 2x 2
x 0 x 3
lim
 3x  2
6 x 2  29 x  5
x  5 3x 2
lim
 17 x  10
x 2  3x 3
 2x  4x
2
x 3  9 x 2  15 x  25
x 5
lim
lim ( x  5  x )
sin x  sin 5 x
x  cos x
x 0
x 
x 2  25
x 3  64
x4 2x 2
 7x  4
x2
lim
 9x  9
x 2  36
x 6
lim
5
3x 2  8 x  3
x3  6x 2  x  6
lim
4
x 0 3 1 
3
lim
x2  1
5  x2  3 5  x2
x 0
lim
x 4
x42
lim
x 2  64
x 8
lim
x 2
3
lim
x 0
lim
x 0
x2
x5 3
x4
x 1 1
x2
x2  1  1
x2
x2  1  1
x
2
lim
 9  4x 
lim 

x   11  4 x 
2x7
tg 2 x
lim
x0 4x
 x2  3 

lim 
x   x 2  1 
 1
1 

lim 

x 0 sin x tgx 
2 x  sin x
lim
x
x 0
 x  4
lim 

x   x  3 
sin x 2
lim
x 0 (sin x) 2
lim
3sin x
x 0 x 2
x
1
1 

lim  2


x  0 x  cos2 x x 2 
lim
3x 3  x 2
x  0 1  cos2 2 x
x 3 1
3x  2
 x3  1 
lim  3 

x   x

3 x 3
 1 x 

lim 
x   4  x 3 
3
x2 / 2
 x2  2 

lim 
x   x 2  6 
2x2
1 x 2
 2x2  1 

lim  2

x   2 x  3 
 2x  1
lim 

x   2 x 
2 x 1
25
lim
( x  5) 3
 12 x  36
x  3 2 x 2
2  4x2
x 
30
lim
2 x 2  15 x  4
x  6 x 2
2 x 2  5x  1
x 
29
 3x  2
3x 3  6 x 2  1
x 
28
3
Продолжение табл. 2.3.
6
26
1
33
2
3
1  x2
lim
x   ( x  6) 3
34
7 x3  5
lim
x 
35
x3  2 x 2  x  1
lim
x 2  3x  1
x 
36
2x3  1
x( x 2  1)
lim
x  4 x 3
37
lim
x 4  5x 2  1
lim
x 
39
lim
x 
40
lim
1  4x
4
3  2x2
4x2  1
( x  3) 2
5 x
2
x  3x 3
x   (2 x  1) 3
41
lim
2  3x 2
x   (3x  1) 2
x 3  x 2  3x  3
x2  4x  5
x  1
x 1
2 x 3 2 x
x
sin 4 x
x  0 tgx
 x2  4 

lim  2

x   x  2 
lim
x2 3
x  11
sin x  tgx
2x
x 0
 3 x  1

lim  3
x  
x 

lim
x 1  3
x 8
lim
x 1
3
lim
x 0
x 2  25
lim
x 11
 5x 2  5x  5
x  5 x 3
x2  9
lim
x 3 x 3
2 x 2  5 x  12
lim
x  4 2 x 2
lim
 13 x  20
x  1 2 x 2
lim
x 3
lim
x 0
 3x  1
x 3  3x 2  x  3
x  16  4
2
lim
x 9
4x  x2
3x 2  2 x  1
x2  4  2
lim
2 x 4  7 x3
x 0
lim
x 8
 5 x 2  3x  9
lim
x2
x 0
lim
x 3
3x 2  11x  4
3
 30 x  8
x  8 1
x9
x2  1  1  x2
x2  x  6
x4 7 x 2
8x 9
 7x  4 
lim 

x   7 x  3 
x  4x  5
x3  6x 2  9x  4
x 1
tgx
x  0 1  cos x
2
x 1
lim
3
5
lim
x 0
x  2 1
x2  9
3 x 3 3 x
x
lim
lim
lim
lim
sin 3 3 x
 3x 3
cos7 x  cos5 x
lim
x
x 0
x 0 x 4
lim
1  cos2 x 2
5x 4
x 0
x2
lim
x  0 sin x  tg 3 x
lim
x 0
x4
1  cos6 x 2
lim
tg 2 5 x
x  0 1  cos2
x
3x
x2
3 

lim 1 

x  
x
 1  3x 

lim 
x 4  3 x 2 
2
1 

lim 1  4 
x  
2x 
x 1
2,5 x 2
x 4 3x 2
 4  x3 

lim 
x   1  x 3 
x 3 3
 3x  5 
lim 

x   3 x  1 
6x 7
 4x  5 
lim 

x   4 x  3 
2x 9
26
x 
38
 x 1
lim
4
Продолжение табл. 2.3.
6
27
1
42
2
x 4  3x  5
lim
1 x
x 
43
lim
x 
44
6  3x 3
2x  x4
lim
 3x 2  1
4  x2
lim
x  7 x 4
46
( x  3) 2
lim
lim
x 
48
lim
x 
49
lim
lim
x 
lim
( x  4) 2
2x 2  x3
x(4  x )
2
x 2 (1  x)
7 x 2  3x
2  x2
 4 x 2  5x
lim
x 3  125
x  5
5 x 2  19 x  4
lim
x4 x3
lim
 4x2  x  4
x 0
x3  1
x3  6x 2  x  6
x 2  36
x  6
x2  9
lim
x 3 x 3
lim
3
x 0
 9 x 2  27 x  27
x  4 x 2
x 3  64
 8 x  16
lim
x2  1

lim
x  x3
x 
 
x 0
x
72x
 3x  7 
lim 

x   3 x  2 
4 3x
tg ( x / 2)
x  0 sin 5 x
 4x  1 
lim 

x   4 x  3 
x 0
lim
tg 2 x  sin 2 x
x 0
3 x  1  1

lim
 8x  5 
lim 

x   8 x  7 
x
2
lim sin x  ctg
lim
x2 4
4 x 1
x
x  0 cos8 x  cos 4 x

 7  3x 
lim 

x   1  3 x 
 6x  5 
lim 

x   6 x  1 
3x 2
lim
x2  1  1
5 x 1
4 x 1
x 0
x 0
x 0 3
cos8x  1
 3x  4 
lim 

x   3 x  7 
 5x  4 
lim 

x   5 x  3 
lim
x 
lim
1  cos3x 2
2x4
sin 3x  tg ( x / 2)
lim
sin x
x 0
27  x  3
x
x2  9  3
x
x6  3 x6
sin 2 x
x 0
lim ( x  7  x )
lim
1  cos6 x
x 0
x2  9  3
lim
5 x 2  3x  2
x  1
lim
x
lim
x3  5x 2  x  5
x 2
x 8
x32
x 1
x 2  2 x  15
lim
lim
x
 2 x 2  5 x  10
x 5 x 3
lim
lim
x 8 3
x 2  5x  6
x  2 x 3
x 2  3x 3
5 x 3  3x  2
x 
50
 2x  5
x  1 x 3
5
lim
x 0
2 x3
cos5 x  1
3x 2
5x 7
 2x  5 
lim 

x   2 x  7 
 4x  1 
lim 

x   4 x  1 
2x 3
6 8 x
27
x  x3
47
 3x
4
x3  1
lim
3
5x3  4 x
x  7 x 4
45
3
Продолжение табл. 2.3.
6
28
2.6. Задание 6
Вычислить односторонние пределы.
Таблица 2.4
n
1
1
Индивидуальные задачи к заданию 6
Предел
n
Предел
2
3
4
x
2x  3
14
lim
lim
x  
1
x

9 2
2
lim
x 2 0
3
x  
x2  1
 x  1
lim 

x 1 0 x  1 
15
2
16
lim
x  5  0
4
ex
lim
x  3  0 3  x
17
5
x4  2
18
lim
x2
ln x
lim
x 1 0 ctg ( x  1)
x  
6
7
20
1
e x2
21
8
lim
x  2  0
9
10
sin( x  1)
x 1 0 ln(1  x)
lim
lim
2 x
x 2 0 4 
11
lim
x 1 0
12
19
x3
x 3 0 3  x
lim
lim
13
lim
x 1 0
x2  9
lim
x  3  0 tg ( x  3)
lim
lim
lim
( x  1) 2
x2  1
4x2  1
2x  1
x
x  1 0 ( x  1) 2
23
2
x4
lim
x4
x  4  0
24
1
25
lim
x 2 0
1
2 2 x
1
lim e x
1
x
e x 1
arcsin( x  1)
2x  2
x 1 0
3x  1
lim
x   x 2  x
x  
22
1
4 x 5
lim
x  
x
x 1
x 1
x 0  0 e 2 x
x2  1
x2  x  6
lim
x  3  0 2 x  6
2
x0 0
26
lim
x  
x2  5
x
29
1
27
2
x3
lim
x  3 0 x 2
28
29
x2
x  2  0 sin( x  2)
2x  1
lim
x 0  0 x 2
40
41
42
lim
1
6 4 x
43
lim
x
3 x 3
x 4 0
31
x  3  0
lim
x  3  0
33
9
lim
30
32
3
39
lim
x  12  3
x2  9
1
lim
lim
44
45
1/ x
1
46
x 1 0 x  x 3
35
lim
x2  1
47
x  
36
37
38
x4  x
x2
lim
x20 x  2
ln( x 2  5)
1
x  
cos
x
2
x  2x
lim
x  2  0 x  2
lim
1
x
lim
2
x   ln( x  8)
1
lim arctg
1 x
x 1 0
x3 3
lim
x  6  0 x 2  36
x
lim
x  4  0 ( x  4) 2
sin
x  3  0
x 0  0 1  e
34
4
( x  1) 2
x
x 0 0
1 

lim  x 2  2 
x 0  0
x 
x22
lim
x20 x 2  4
1
lim arctg
x2
x  2  0
lim
48
lim
x 1 0
49
50
x
3 x 3
x2
31 x
1
x
lim
2
x   ln( x  3)
x5
lim
x  5  0 x 2  25
cos
30
2.7. Задание 7
Для функции y = f(x) заданы два значения аргумента x1 и x2.
Требуется:
1. Установить, является ли данная функция непрерывной
при этих значениях аргумента;
2. В случае разрыва установить характер разрыва;
3. Сделать схематический чертеж графика функции.
Индивидуальные задания представлены в табл. 2.5.
Таблица 2.5
Индивидуальные задачи к заданию 7
n
1
f(x)
x
x1
1
x2
0
n
12
1
1
13
(1  x) 2
2
1 x
3
1 x
x2  1
f(x)
e3 x
3 x
2x  1
3
x
1
14
 x  1


 x  1
x 3  3x  2
2
4
sin x
2x
0

2
15
x3
3 x
5
x
1
x
0
1
16
2x2
17
4x2  1
x2  x  1
18
x2  2x
1
e
6
1
0
1
ex 1
1
e x2
2
8
1
4

3 x
0
9
x2
2x  1
1
10
x2  5
x3
1
1
9 2 x
0
7
11
0
4

1
2
3
19
20
21
x2
3
1
2
0
-1
1
0
3

2
0
x1
1
x2  9
x2  2x  2
x 1
0,5 x
arctgx
1
x  2x
4
x
x2
1
2
1
1
0
3
0
1
2
0
1
2
1
2
2

2
2
22
31
n
23
24
25
f(x)
x2
x2  4
x
tg 7 x
x3
x1
2
x2
3
n
37
0

38
21
3
1
39
x2  4x  3
f(x)
x1
2
x2
0
1
10 x  4
4
2
x  e3x
x5
4x  


tg  x  
4

5
6
0

4
x2  e2x
x 1
1
 4x2
x
2
1
0
1
0
1
e x4
x2
26
x2  1
x( x  1)
1
1
40
27
arcsin( x  1)
3x  3
2x  8
0
1
41
4
0
42
0
5
43
1
2
1
44
x2  x  6
2x  6
3
2
28
29
30
x 2  5x  4
x2  6x  5
x5
1
e
2x
1
e
1
x 2  4 x 3
31
1
4 5 x
5
3
45
x3  x 2  x
x
0
1
32
x  ex
x 1
1
2
46
1
1
33


sin  x  
6

6x  
x3

6
π
47
x2  2x  1
4( x  1)
arcsin 2 x
0
1
2
0
1
48
1
e x7
7
7,5
1
0
49
x2  9
3
5
50
x 2  x  12
2 x 2  3x  2
2x  1
0
1
2
34
x2
2
35
36
2x
arctg ( x  1)
3x  3
1
e 3 x
0
3
32
2.8. Задание 8
Исследовать функцию на непрерывность на всей области
определения. Сделать схематичный чертеж графика функции.
Таблица 2.6
n
1
Индивидуальные задачи к заданию 8
f(x)
n
f(x)
2
 x 3  1, x  0,
 x 2  1, x  0,

1  2 x, 0  x  4,

 x  2, x  4

1
 x  1, 0  x  2,
2
ln( x  2), x  2

3
sin x, x  0,
 2
 x  4, 0  x  2,
4 x  8, x  2

4
5
e  2 x ,
x  1,

 x
,  1  x  1,
 2
x 1
3 x  2, x  1

6
7
2 x  4, x  1,

1

1  2 ,  1  x  0,
 x
cos x, x  0
8
3 x  1,
x  2,

0,5 x  2,  2  x  2,
3  ln( x  1), x  2

9

cos x, x  0,

 x  1, 0  x  4,
 1
 x4
, x4
2
10
9  x 2 ,
x  3,

 2 x
 x  ,  3  x  0,
4

ln x, x  0

 x2  1
, x  2,

x

2

 3
 x  3 x,  2  x  0,
arctgx, x  0


 x2  1
,
x  0,

x

ln( x  1), 0  x  4,
 0,5 x  2, x  4


33
n
11
13
15
17
19
21
f(x)
 1
e 2 x   , x    ,
2

 sin x

,   x  0,

2
 x
5 x  1, x  0



arctgx, x  0,

 1
, 0  x  5,

1

x

 x
1  6 , x  5
3 x ,
x  0,

2
1  2 x , 0  x  4,
ln( x  3), x  4



3
cos x , x   2 ,



  x  0,
tgx,
2

 x
, x0
 2
x  4

x  2,
 x  1,
 2
x  x  2
, 2  x  4,

x

2

 1
3 x  4 ,
x4
0,5 x  3,
x  2,

arccos(x  1),  2  x  0,
 2
x0
x ,
n
12
f(x)
 x 2  4 x  3, x  1,

 1
,
 1  x  0,
 x
e  1
ln( x  1),
x0

14
3 x 2  3, x  1,

 1
,
 1  x  1,

x

2

6 x  7, x  1

16
  x , x  1,
 2
2 x  1,  1  x  1,
ln( x  1), x  1

18
 3
 x  3 x  1, x  1,
 2
 1  x  0,
 x  1,
x  2

,
x0
 x
20
e x  3 , x  3,

3
 x  28,  3  x  0,
sin x, x  0

22

3 x  1, x  0,

arccos x, 0  x  1,
 2
x  4 , x 1
 x  1
34
n
23
f(x)
 1
 x  4 , x  4,

x 1
e ,  4  x  1,
 x  2, x  1


n
24
25
arctgx, x  0,
 2
x  2
, 0  x  1,

x

 x 3 ,
x 1

26
27
arctgx, x  0,

 x  4, 0  x  4,
 2
 x  16 , x  4

 x 2  1, x  1,

1  x  e,
ln x,
 1

,
xe
x 1

2  x ,
x  2,

 x
,  2  x  1,
 2
x  4
x 2
  , x 1
3 3
x  0,
cos x,

2
4  x , 0  x  2,
ln( x  1), x  2

28
 1
e x  5 ,
x  5,

 3 x  1,  5  x  0,

2
( x  1) , x  0

36
29
31
33
35
30
32
34
f(x)

 x 2  4 x, x  0,



0 x ,
tgx,
4



  4 x, x 

4
 1
 x  2 , x  0,

3 x  1, 0  x  1,
 x
x 1
4 ,

ln(1  x), x  1,

 x  arcsin x,  1  x  0,
 x
x0
e  1,
sin x,
x  0,

x  4
0  x  4,
 2 ,
x

 2
 x  2 x  8, x  4

arctgx, x  0,

2
6 x  x , 0  x  5,
 3
 x , x5
 x  5
 x2
,
 2
x  4

ln( x  2),
4 x  12,


 x 2  1,

 4
 x  x,
arctgx,

x  2,
2  x  3,
x3
x  1,
 1  x  1,
x 1
35
n
37
39
41
43
45
47
49
f(x)

x  0,
cos x,

2
( x  1) , 0  x  2,
 1

,
x2
x  2
n
38

 x  1, x  1,

2
 2 x  2 ,  1  x  1,
 1

, x 1
 x 2  1
x  2
x  4,
x  4,

2
 4  x  1,
1  x ,
arctg ( x  1), x  1


x  0,
sin x,

1
arctg , 0  x  1,
x

4 x   , x  1
40
2 x  x 2 , x  0,

arcsin x, 0  x  1,
0,8 x  4, x  1




x
,
x


,

4



tgx,   x  0,
4

 x 3  3 x, x  0

 x 1
 x  4 , x  4,

x
 4  x  0,
e ,
cos x, x  0


f(x)

0,4 x  1, x  5,

 1
,
 5  x  0,

x

6

 3 x
 x  6 , x  0
arctg ( x  1), x  1,

 1  x  0,
 x  1,
cos x,
x0

42
e  x ,
x  0,

 x3  1
, 0  x  1,

x

 0,5 x, x  1

44
sin x, x  0,

3 x  1
, 0  x  1,

x

ln x,
x 1
46
 x 2  2, x  0,

3 x  2, 0  x  2,
ln( x  2), x  2

1

x

,
x  0,

x

arcsin x, 0  x  1,

 x,
x 1
2
48
50
 x  1  2

 ,
 x  2 
 2
 x  5 x  5,
 x4
,
e


x  2,
2  x  4,
x4
36
Библиографический список
1. Высшая математика для экономистов: Учеб.пособие для втузов/
Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин и др.; под ред. проф.
Н.Ш.Кремера.- М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.- 439.
2. Бугров Я.С., Никольский С.Н. Высшая математика. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии. М.:Наука, 1984.
3. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. М.:Наука,1984.
4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука,
1985.
5. Высшая математика. Общий курс / Под ред. А.И.Яблонского. 
Минск. Вышэйш.шк., 1983.
6. Бойков А.В. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия: Методические указания и индивидуальные задания к модулю 2 для
студентов технических специальностей / КГТУ, Курск, 2001.