1. Изобразить на координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих условию: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0 2. Решите уравнение: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥 3. На горизонтальной плоскости из трех точек, отстоящих от основания радиоантенны на расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол, под которым видна антенна. Измеренные углы в сумме составляют 90°. Чему равна высота антенны? 4. Найти наименьшее значение функции y ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) . Решения 1. Решение: Условие перепишем в виде : (│x│-1)2 + (│y│ - 1)2 ≤ 1. x<0, y≥0 Y x≥0, y≥0 1 1 1 x -1 -1 x<0, y<0 x≥0, y≥0 2. Решение. Пусть √𝑥 − 1= a, а ≥ 0, x – 1 = a2; √𝑥 + 3 = b, b ≥ 0, x + 3 = b2; x2 + 2x – 3 = (x-1)(x+3). 2x = a2 + b2 - 2 Получим уравнение: a + b + 2ab = 4 - a2 - b2 + 2; a + b + 2ab + a2 + b2 – 6 =0; (a+b)2 + (a+b) - 6 = 0 Пусть a + b = t. По теореме Виета получим, t1= -3, t2 = 2. Т.к. а ≥ 0 и b ≥ 0, то a + b = 2. Получаем уравнение: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 = 2. Решив его, получим, что x = 1. 3. Решение. Пусть х — высота антенны в метрах, а α, β, γ— углы, под которыми она видна из точек, отстоящих на 100, 200 и 300 м от ее основания. Тогда tg α = 𝑥 , tg β = 100 𝑥 200 tg γ = 𝑥 ; 300 По условию задачи α + β + γ = 90°, поэтому tg γ = 100∙200−𝑥 2 300𝑥 𝑥 = 𝑡𝑔[90° − (𝛼 + 𝛽)] = 𝑐𝑡𝑔(𝛼 + 𝛽) = 300 1 = 𝑡𝑔(𝛼+𝛽) 1−𝑡𝑔 𝛼∙𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔𝛼+𝑡𝑔𝛽 = 𝑥 𝑥 ∙ 100 200 𝑥 𝑥 + 100 200 1− = . Следовательно, 2𝑥 2 = 100 - 200, а поскольку высота антенны х может выражаться лишь положительным числом, то х = 100 м. 4. Решение. Преобразуем выражение функции, перемножив крайние скобки и средние: y ( x 2 7 x 10)( x 2 7 x 12) . Введем новую переменную t x 2 7 x 11. Тогда функция y примет вид y (t 1)(t 1) t 2 1 , наименьшее значение которого 1 . Остается убедиться, что существуют значения переменной x , при которых t 0 . Поскольку дискриминант квадратичного уравнения x 2 7 x 11 0 положителен, то такие x существуют. VIІ региональный турнир им. Г.Г. Ефграфова 10 класс 1. Изобразить на координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих условию: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0 2. Решите уравнение: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥 3. На горизонтальной плоскости из трех точек, отстоящих от основания радиоантенны на расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол, под которым видна антенна. Измеренные углы в сумме составляют 90°. Чему равна высота антенны? 4. Найти наименьшее значение функции y ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) . Каждое задание оценивается в 7 баллов. VIІ региональный турнир им. Г.Г. Ефграфова 10 класс 5. Изобразить на координатной плоскости множество точек плоскости, удовлетворяющих условию: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0 6. Решите уравнение: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥 7. На горизонтальной плоскости из трех точек, отстоящих от основания радиоантенны на расстояния 100, 200, 300 м, измерили угол, под которым видна антенна. Измеренные углы в сумме составляют 90°. Чему равна высота антенны? Найти наименьшее значение функции y ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) . 8. Каждое задание оценивается в 7 баллов. VIІ регіональний турнір ім. Г.Г. Ефграфова 10 клас 1. Зобразити на координатній площині множину точок площині, що відповідають умові: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0. 2. Розв’яжіть рівняння: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥 3. На горизонтальній площині з трьох точок, що відстоять від основи радіоантени на відстані 100, 200, 300 м, виміряли кут, під яким видно антену. Виміряні кути в сумі становлять90° градусів. Чому дорівнює висота антени? 4. Знайти найменше значення функції . y ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) Кожне завдання оцінюється в 7 балів. VIІ регіональний турнір ім. Г.Г. Ефграфова 10 клас 5. Зобразити на координатній площині множину точок площині, що відповідають умові: x2 - 2│x│ + y2 - 2│y│ + 1 ≤ 0. 6. Розв’яжіть рівняння: √𝑥 − 1 + √𝑥 + 3 + 2√𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 4 − 2𝑥 7. На горизонтальній площині з трьох точок, що відстоять від основи радіоантени на відстані 100, 200, 300 м, виміряли кут, під яким видно антену. Виміряні кути в сумі становлять90° градусів. Чому дорівнює висота антени? 8. Знайти найменше значення функції . y ( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) Кожне завдання оцінюється в 7 балів.