12 Июля 2017
/
Богдан Писаревский Мария Барабаш Анатолий Пикуль
Демпфирование по Релею в ПК ЛИРАСАПР
Уравнение движения системы можно представить в виде:
(1)
где [C] – матрица демпфирования, [M] – матрица массы, [K] –
матрица жёсткости, {Pt} – вектор узловых нагрузок, как функция от
времени,{ } – вектор узловых ускорений, { } – вектор узловых
скоростей, {u} – вектор узловых перемещений.
Демпфирование по Рэлею известно, как пропорциональное
демпфирование, которое выражается через линейную комбинацию
матриц массы и жесткости.
(2),
где
- коэффициент пропорциональности массы (с-1),
-
коэффициент пропорциональности жёсткости (с).
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
С помощью ортогонального преобразования уравнение (1) сводится
к виду
(3)
Уравнение (3) сводится к уравнению
(4),
где { } – перемещения в преобразованных координатах;
коэффициент демпфирования;
–
– собственная частота; P(t) –
вектор узловых нагрузок в преобразованных координатах.
Матрица демпфирования в таком случае представим в виде
(5)
Перепишем (5)
(6)
Если система имеет 2 степени свободы, уравнение (6) сводится к
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
(7)
Для нахождения коэффициентов
и
необходимо решить
уравнение (7).
Однако, решая системы с большим количеством степеней свободы
(больше двух), проблематично определить такие коэффициенты,
которые будут удовлетворять всем n-уравнениям. Но нам это и
ненужно.
Как показано в уравнении (5), ортогональное преобразование
матрицы демпфирование сводит матрицу [C] к форме
(8)
Разделим (8) на
и получим
(9)
Из уравнения (9) видно, что коэффициент демпфирования
пропорционален частоте системы. График функции (9) имеет вид как
на рисунке 1. Обратим внимание, что для первых (низших) частот
график функции не линеен, а для более высоких – линеен.
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
Рисунок 1. График зависимости коэффициента
демпфирования от частоты.
Из рис. 1 видно, что для некоторого y = a/x + bx, когдаx – небольшой,
первое выражение a/x - преобладающее на начальном этапе и по
мере возрастанияx -уменьшается и приближается к нулю, а
выражение bx – возрастает. Другими словами, если система очень
гибкая (гибкие антенны, очень длинные сваи, высокие трубы) и
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
имеет небольшие низшие частоты, то она будет показывать
нелинейные свойства демпфирования и будет меняться к линейным
по мере возрастания собственных частот.
Однако, большинство конструкций обычно проектируются так, чтобы
иметь достаточную жесткость, и, соответственно, имеют
значительно более высокие низшие частоты, а выражение
/2
будет доминирующим. Более того, принимая тот факт, что
нелинейный фактор будет слишком мал для стандартных
конструкций не будет ошибочным предположить, что коэффициент
демпфирования каждой моды линейно зависим от частоты системы.
Для системы, которая имеет большое количество степеней свободы,
только первые несколько частот соответствуют значительному
динамическому влиянию.
Решим тестовый пример колебания двух рам. Геометрические и
физические характеристики идентичны. К обеим рамам приложена
одинаковая динамическая нагрузка.
В ПК ЛИРА-САПР реализована возможность учета
демпфирования по Рэлею через коэффициенты
и
. Зная
частоты собственных колебаний, а так же допустив, что
решим уравнение (7).
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
(8),
Откуда, узнаем
= 3.383 и
= 0.00206. И зададим их как на
рисунке 2.
Рис. 2. Диалоговое окно для задания коэффициентов
Рэлея.
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
Рис. 3. Мозаика коэффициентов
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
.
PDFCROWD
Рис. 4. Мозаика коэффициентов
.
.easyhtml5video .eh5v_script{display:none}
Рассмотрим результаты расчета (перемещения вдоль оси X)
указанных на рис. 5 точек 104 и 336.
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
Рисунок 5.
Рисунок 6. Перемещение точки 104 вдоль оси X.
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
Рисунок 7. Перемещение точки 336 вдоль оси X.
Рисунок 8. Сравнение результатов расчета.
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
Если сравнить результаты расчета, то мы увидим, что во время
движения первой схемы (левой на рис. 5) энергия в ней совершенно
не рассеивается, и колебания никогда не прекратятся, чего не может
быть на практике. Для того, чтобы учитывать затухание во всей
конструкции, в ПК ЛИРА-САПР реализовано демпфирование по
Рэлею. В котором матрица демпфирования заполняется через
коэффициенты пропорциональности матрицам массы и жесткости.
Заметили ошибку? Выделите ее и нажмите Ctrl+Enter, чтобы
сообщить нам.
динамическое воздействие
демпфирование
коэффициент Рэлея
колебание
частота
0
8.3K
Поделиться публикацией:
БОГДАН ПИСАРЕВСКИЙ
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
Инженер-программист компании «ЛИРА САПР».
Разработка программных комплексов.
Другие публикации этого автора
МАРИЯ БАРАБАШ
Директор «ЛИРА САПР», руководитель проекта BIM-технологии на
основе программных комплексов семейства ЛИРА,
доктор технических наук, профессор - специальность
"Строительные конструкции".
Другие публикации этого автора
АНАТОЛИЙ ПИКУЛЬ
Инженер-аналитик компании «ЛИРА САПР».
Ассистент кафедры металлических и деревянных конструкций
Киевского национального университета строительства и
архитектуры
Другие публикации этого автора
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
Реализация метода
суперэлементов в
программном комплексе ЛИРАСАПР
Возможности применения
суперэлементов при
решении различных задач
строительной механики
В ПК ЛИРА реализована возможность
Если рассчитываемая система слишком
работы с суперэлементной расчетной
громоздка, то иногда оказывается
моделью. На количество неизвест...
удобным организовать рекурсивны...
Комментарии
добавить комментарий
LiraLand Group
Группа компаний разрабатывает и внедряет программные комплексы для
проектирования и расчета строительных конструкций
Быстрые ссылки
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
ДЛЯ СТУДЕНТОВ И САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ИЗУЧЕНИЯ
СВОБОДНО РАСПРОСТРАНЯЕМАЯ ВЕРСИЯ
ДЕМОНСТРАЦИОННАЯ ВЕРСИЯ
ТЕХНИЧЕСКАЯ ПОДДЕРЖКА
ФОРУМ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕЙ
Всегда на связи
Марина Ромашкина
Email: iknow@liraland.com
© LiraLand Group, 2002 - 2019 All Rights Reserved.
Create PDF in your applications with the Pdfcrowd HTML to PDF API
PDFCROWD
