Задания: по теме: «Булева алгебра. Операционное исчисление» по дисциплине «Математические основы автоматического управления» 1. Доказать тождественную истинность или тождественную ложность формулы: 𝑓 ≡⌝ ((𝑥 → (𝑦 → 𝑧)) → ((𝑥 → 𝑦) → (𝑥 → 𝑧))). Привести формулу к виду КНФ или ДНФ. Найти СКНФ. Построить релейно-контактную схему. Решение Произведем логические преобразования, учитывая, что 𝑥 → 𝑦 ≡ 𝑥̅ ∨ 𝑦 и используя законы поглощения, де Моргана ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑓 ≡ ((𝑥̅ ∨ (𝑦̅ ∨ 𝑧)) ∨ ((𝑥̅ ∨ 𝑦) ∨ (𝑥̅ ∨ 𝑧))) = ((𝑥 ∧ (𝑦 ̅ ∨ 𝑧)) ∨ (𝑥𝑦̅ ∨ (𝑥̅ ∨ 𝑧))) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ((𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅) ∨ (𝑥𝑦̅ ∨ 𝑥̅ ∨ 𝑧)) = ((𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅) ∨ (𝑦̅ ∨ 𝑥̅ ∨ 𝑧)) = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ∧ 𝑦 ∧ 𝑧̅) ∧ (𝑦 ̅ ∨ 𝑥̅ ∨ 𝑧) = (𝑥̅ ∨ 𝑦̅ ∨ 𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧̅) = (𝑥̅ (𝑦̅ ∨ 𝑦)(𝑧̅ ∨ 𝑧) ∨ 𝑦̅(𝑥̅ ∨ 𝑥)(𝑧̅ ∨ 𝑧) ∨ 𝑧(𝑥̅ ∨ 𝑥)(𝑦̅ ∨ 𝑦) ∨ 𝑥𝑦𝑧̅) = = 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦𝑧 ∨ 𝑥𝑦̅𝑧̅ ∨ 𝑥𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧̅ = 1 Таким образом, доказана тождественная истинность заданной формулы. Для проверки составим таблицу истинности: (𝑥 → 𝑦) (𝑥 → 𝑧) (𝑥 → 𝑦) → (𝑥 → 𝑧) x y z (𝑦 → 𝑧) 𝑥 → (𝑦 → 𝑧) f 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Таблица истинности подтверждает тождественную истинность заданной формулы. В результате СКНФ: 𝑓 ̅ = 0 . Соответственно, ДНФ, она же СДНФ: 𝑓 = 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ ∨ 𝑥̅ 𝑦𝑧 ∨ 𝑥𝑦̅𝑧̅ ∨ 𝑥𝑦̅𝑧 ∨ 𝑥𝑦𝑧̅ ∨ 𝑥𝑦𝑧 Релейно-контактная схема тождественно истинной функции – проводник от напряжения высокого уровня на выход схемы, поскольку функция проводимости 𝑓 = 1 . 2. Решить дифференциальное уравнение операторным методом: х'' + 2х'-3х = е3t, х(0) = 1, х'(0) = -1. Решение 1. Перейдем от оригиналов к изображениям: 𝐿[𝑥(𝑝)] = 𝑋(𝑝); 𝐿[𝑥′(𝑝)] = 𝑝𝑋(𝑝) − 𝑥(0) = 𝑝𝑋(𝑝) − 1; 1 𝐿[𝑥′′(𝑝)] = 𝑝2 𝑋(𝑝) − 𝑝𝑥(0) − 𝑥 ′ (0) = 𝑝2 𝑋(𝑝) − 𝑝 + 1; 𝐿[𝑒 3𝑡 ] = 𝑝−3. Запишем уравнение для изображений: 𝑝2 𝑋(𝑝) − 𝑝 + 1 + 2(𝑝𝑋(𝑝) − 1) − 3𝑋(𝑝) = 𝑝2 𝑋(𝑝) + 2𝑝𝑋(𝑝) − 3𝑋(𝑝) = 1 ⇒ 𝑝−3 1 + 𝑝 + 1. 𝑝−3 2. Решим уравнение для изображений: 𝑋(𝑝)(𝑝2 + 2𝑝 − 3) = 1 𝑋(𝑝) = +𝑝+1 𝑝−3 𝑝2 + 2𝑝 − 3 = 1 +𝑝+1 𝑝−3 1 + (𝑝 − 3)(𝑝 + 1) 𝑝2 − 2𝑝 − 2 = (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) Разложим на простые дроби 𝑝2 − 2𝑝 − 2 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) (𝑝 − 1) (𝑝 + 3) (𝑝 − 3) 𝑝2 − 2𝑝 − 2 𝐴(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) + 𝐵(𝑝 − 1)(𝑝 − 3) + 𝐶(𝑝 − 1)(𝑝 + 3) = (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) 2 2 (𝐴 + 𝐵 + 𝐶)𝑝 + (−4𝐵 − 3𝐶)𝑝 + (−9𝐴 + 3𝐵 − 3𝐶) 𝑝 − 2𝑝 − 2 = (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) Решив систему найдем А, В, С: 𝐴+𝐵+𝐶 =1 { −4𝐵 + 2𝐶 = −2 −9𝐴 + 3𝐵 − 3𝐶 = −2 А=3/8; В=13/24; С=1/12. Получили изображение: 𝑝2 − 2𝑝 − 2 3 1 13 1 1 1 𝑋(𝑝) = = + + (𝑝 − 1)(𝑝 + 3)(𝑝 − 3) 8 (𝑝 − 1) 24 (𝑝 + 3) 12 (𝑝 − 3) 3. Найдем оригинал для функции Х(р): 𝑥(𝑡) = 𝐿−1 [𝑋(𝑝)] = 𝐿−1 [ Ответ: 3 13 1 𝑥(𝑡) = 8 𝑒 𝑥 + 24 𝑒 −3𝑥 + 12 𝑒 3𝑥 3 1 13 1 1 1 + + ] 8 (𝑝 − 1) 24 (𝑝 + 3) 12 (𝑝 − 3)