Построение трехмерного КЭ для расчета НДС тонкостенных
реклама
УДК 539.3 ПОСТРОЕНИЕ ТРЕХМЕРНОГО КЭ ДЛЯ РАСЧЕТА НДС ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ А. И. Голованов, М. К. Сагдатуллин Казанский государственный университет, Казань, Россия В работе с целью создания нового конечного элемента (КЭ) оболочки проводится модификация трехмерного изопараметрического восьмиузлового элемента путем введения гипотезы о линейности перемещений по толщине, малости напряжений обжатия и использования техники двойной аппроксимации по точкам суперсходимости. Примеры подобных КЭ и их использование описаны в работах [1–6]. Отметим, что «идейно близкие» построения предложены в работах [3–5]. На числовых примерах показана эффективность данного подхода. Введем в рассмотрение радиус-вектор и вектор перемещений произвольной материальной точки в виде R X i ( 1 , 2 , 3 ) ei , U U m 1 , 2 , 3 em . Используем изопараметрические аппроксимации восьмиузлового конечного элемента. Соотношение X i Rk k ei Rki ei определяет ковариантный базис N 1 Rki X (it ) (kt ) X (it )(kt ) 1 (lt ) l 1 (mt ) m . 8 t t Сопряженный базис R k вычисляется по соотношению k 1 Rk e kmn Rm Rn R k ,i ei , i i X 2 G kmn где – символы Леви–Чевита. Значение G R1 R2 R3 дает величину элементарного объема dV . Компоненты метрического тензора в различных базисах вычисляются по формулам X m X m i j m m ij i j Gij Ri R j i R R , G R R Ri ,m R j ,m . i j j m m X m m m X m Ковариантные компоненты тензора деформации Коши–Грина определяются следующим образом: 8 3 N ( r ) N ( t ) 1 1 3 8 U i R j Ri U j U (mr ) X (mt ) U (mt ) X (mr ) U (mr ) Eij( r ,m ) . (1) i j 2 2 m 1 r ,t 1 r 1 m 1 Используем представление закона Гука ij ij 2 G imG jn G ij G mn mn . (2) Введем в рассмотрение процедуру учета малости напряжений обжатия. Формально запишем эту гипотезу в виде уравнения 33 2 33 G33 G ij ij 2G i 3 i 3 G 33 33 0. Подставим сюда напряжения (2) и выразим из этого уравнения деформацию обжатия 33 G33 Gij ij 2Gi3 i3 . 2 G33G 33 (3) Теперь преобразуем соотношения упругости для ковариантных компонент напряжений отдельно для напряжений ij i, j 1, 2 , характеризующих мембранное и изгибное напряженное состояние, и i 3 , описывающих напряжения поперечного сдвига. Из * 1 (2) с учетом (3) следует ij 2 ij Gij *G mn mn 2 *G m3 m 3 , где G33G 33 , i 1, 2, j 1, 3 , m, n 1, 2. 2 G33G 33 Так как в качестве степеней свободы фигурируют узловые степени свободы на лицевых поверхностях, то фактически учитывается обжатие оболочки. Следовательно, в расчетную схему необходимо ввести «упрощенный» закон упругости, связывающий напряжение обжатия 33 с деформацией обжатия 33 . Для этого введем соотношение 33 E3 33 , где E3 – модуль жесткости обжатия. Если записать в общем виде соотношения упругости ij 3 D m, n 1 ijmn mn , то для контравариантных компонент напряжений получим kl Gki Glj ij Gki Glj Dijmn mn . Далее используется метод двойной аппроксимации по точкам суперсходимости. Приводится специальная процедура «усечения» аппроксимаций деформаций поперечного сдвига. Рассмотрим деформацию 13 . Для представления типа (1) изначально имеем 1 E13( r ,m ) X (mt) (1r ) (3t ) 1 (2r ) 2 1 (3r ) 3 128 1 1 2 2 1 (t ) 1 (t ) (3r )(1t ) 1 (1r ) 1 1 (2r ) 2 1 (2t ) 2 1 (3t ) 3 . Первая «редукция аппроксимации» состоит в исключении переменности этой деформации по толщине. 1 E13( r ,m ) X (mt) (1r ) (3t ) 1 (2r ) 2 1 (1t ) 1 128 2 2 1 (t ) (3r )(1t ) 1 (1r ) 1 1 (2r ) 2 1 (2t ) 2 . Вторая «редукция» направлена на исключение переменности этой деформации вдоль координат 1 . 2 1 E13( r ,m ) X (mt) 1 (2r ) (2t ) 2 (2r ) (2t ) 2 (1r ) (3t ) (3r ) (1t ) . 128 Третья модификация предполагает определить эту деформацию в виде линейной аппроксимации по 2 по двум точкам, соответствующим 2 1 . После несложных преобразований получим 1 E13( r ,m ) X (mt) 1 (2r )(2t ) (2r ) (2t ) 2 (1r )(3t ) (3r )(1t ) . 128 По аналогии можем записать 1 ( r ,m ) E23 X (mt) 1 (1r ) (1t ) (1r ) (1t ) 1 (2r ) (3t ) (3r ) (2t ) . 128 Расчет компонент напряжений ведется следующим образом: вводим тензор напряжений в ковариантном базисе ij Ri R j , также определяем этот тензор в декартовой системе координат P1 R1 R1 с P1k ek , P3 ортами R1 R2 R1 R2 Pm , то есть ˆ mn Pm Pn , где принимаем P3k ek , P2 P3 P1 P2 k ek . Взаимосвязь компонент напряжений имеет вид ˆ mn Pm Pn ij Pm Ri P R , где P R P n j m i mk Rik . Напряжение ˆ mn является истинным напряжением, непосредственно характеризующим напряженное состояние материала. На числовых примерах демонстрируется эффективность предложенной методики. КЭ, построенные таким образом, показывают хорошую точность расчета НДС тонкостенных конструкций в широком диапазоне изменения геометрических параметров. Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 08-01-00546. ЛИТЕРАТУРА 1. Голованов А.И., Песошин А.В., Тюленева О.Н. Современные конечно-элементные модели и методы исследования тонкостенных конструкций. – Казань: КГУ, 2005. – 442 с. 2. Голованов А.И., Тюленева О.Н., Шигабутдинов А.Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. – М.: Физматлит, 2006. – 392 с. 3. Yang H.T.Y., Saigal S., Masud A., Kapania R.K. A survey of recent shell finite elements // Int. J. for numerical methods in engineering. – V. 47. – 2000. – p. 101–127. 4. Сахаров А.С., Кислоокий В.Н., Киричевский В.В., Альтенбах И., Габберт У., Данкерт Ю., Кепплер Х., Кочык З. Метод конечных элементов в механике твердых тел. – Киев: Вища школа, 1982. – 480 с. 5. Бережной Д.В. Искривленный конечный элемент пластин и оболочек средней толщины с учетом обжатия // Труды XVII Междун. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. – Казань, Изд-во КГУ, 1996. – С. 94–99. 6. Гуриелидзе М. Г., Голованов А.И. Расчет толстостенных оболочек с учетом больших деформаций // Труды XVII Междун. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. – Казань, Издво КГУ, 1996. – С. 118–123.
