МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Кафедра оснований, фундаментов, динамики сооружений
и инженерной геологии
МЕХАНИКА ГРУНТОВ
ШИФР 724
Казань
2019
2.1. Задача №1. Определение напряжений в массиве грунта от совместного
действия сосредоточенных сил
Условия задачи. К горизонтальной поверхности массива грунта в
одном створе приложены три вертикальные сосредоточенные силы N1, N2, N3,
расстояние между осями действия сил L1 и L2.
Определить величины вертикальных составляющих напряжений  z от
совместного действия сосредоточенных сил в точках массива грунта,
расположенных в плоскости действия сил:
а) по вертикали I-I, проходящей через точку приложения силы N2;
б) по горизонтали II-II, проходящей на расстоянии d от поверхности
массива грунта.
Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1,0; 2,0;
4,0 и 6,0 м. Точки по горизонтали расположить вправо и влево от оси действия
силы N2 на расстоянии 0; 1,0 и 3,0 м. По вычисленным напряжениям и заданным
осям построить эпюры распределения напряжений  z . Исходные
данные приведены в табл.П1.1 приложения 1. Схема к задаче представлена на
рис.1.
Рис.1. Схема к задаче №1
Решение:
Дано: N1 1000кН, N2  800кН, N3 1200кН, L1  3,0м, L2  1,0м, d  1,0м.
Напряжения в заданных точках определяем по формуле:
Для удобства расчетов все вычисления ведем в табличной форме
(табл.1).
Таблица 1
N1=1000кН
№№
точек
z,
м
r1 ,
м
r1/z
1
2
3
4
5
1,0
2,0
3,0
4,0
6,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
2,0
1,0
0,67
0,5
0,33
6
7
3
8
9
3,0
3,0
3,0
3,0
3,0
1,0
1,0
2,0
3,0
5,0
0,33
0,33
0,67
1,0
1,67
N2=800кН
N3=1200кН
r2 ,
k1
r2/z
k2
r3,м r3/z
k3
м
По вертикали (сечение I-I)
0,0085
0
0
0,4775
3,0
3,0 0,0015
0,0844
0
0
0,4775
3,0
1,5 0,0251
0,1889
0
0
0,4775
3,0
1,0 0,0844
0,2733
0
0
0,4775
3,0
0,75 0,1565
0,3687
0
0
0,4775
3,0
0,5 0,2733
По горизонтали (сечение II- II)
0,3687 3,0
1,0 0,0844
6,0
2,0 0,0085
0,3687 1,0
0,33 0,3687
4,0
1,33 0,0374
0,1889
0
0
0,4775
3,0
1,0 0,0844
0,0844 1,0
0,33 0,3687
2,0
0,67 0,1889
0,0171 3,0
1,0 0,0844
0
0
0,4775
 zi ,
кПа
401
124
75
61
30
50
79
75
67
73
По полученным в соответствующих точках значениям напряжений
строим эпюры распределения напряжений по вертикали и горизонтали
(рис.2)
Рисунок 2. Определение распределения напряжений ( к задаче 1 )
2.2. Задача №2. Определение напряжений в массиве грунта
методом угловых точек
Условия задачи. Горизонтальная поверхность массива грунта по
прямоугольным площадкам с размерами в плане c1  d1 и c2  d2 нагружена
равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью р1 и
р2.
Рис.3. Схема к задаче №2
Определить величины вертикальных составляющих напряжений  z в
точках массива грунта для заданной вертикали, проходящей через одну из
точек М1, М2 или М3 от совместного действия распределенных нагрузок на
поверхности. Расстояние между осями площадок нагружения – L. Точки по
вертикали расположить от поверхности на расстоянии 1,0; 2,0; 4,0 и 6,0 м. По
вычисленным напряжениям построить эпюру распределения  z . Исходные
данные приведены в табл.П1.2. Схема к задаче представлена на рис.3.
Решение:
Дано: с1 2,3м, d1  3,3м, p1  240кПа, c2  2,4м, d2  5,0м, p2  350кПа, L  3,2м,
расчетная вертикаль М1. Заданные площадки нагружения разбиваем
(достраивая при необходимости) на прямоугольники таким образом, чтобы
они имели общую угловую точку, через которую проходит расчетная
вертикаль М1 (рис.3). Таким образом, имеем 5 прямоугольников:
b1 2,3м,
p1  240кПа.
1. а1  3,3м,
b2  2,5м,
p2  350кПа.
2. а2  3,15м,
b3  2,5м,
p2  350кПа.
3. а3  3,15м,
b
4  2,5м,
p2  350кПа.
4. а4  5,55м,
5. а5 5,55м,
b5  2,5м,
p2  350кПа.
Искомые напряжения найдем, суммируя напряжения от действия
нагрузки по прямоугольникам 1, 2 и 3, взятые со знаком «+», и напряжения
от действия нагрузки по прямоугольникам 4 и 5 со знаком «–», т.е.
        k  p  (k  k  k  k )  p .
zc,i
zc1
zc2
zc3
zc4
zc5
c1
1
c2
c3
c4
c5
2
Для удобства расчетов вычисления ведем в табличной форме (табл.2 – 5).
Таблица 2
Напряжения в точке №1
a
№№
прямоугольников
1 (+)
2 (+)
3 (+)
4 (–)
5 (–)
zi,
м
1,0
a,
b,
p,
i
i
i
м
3,3
3.15
3,15
5,55
5,55
м
2,3
2.5
2,5
2,5
2,5
кПа
240
350
i
b
i
1,43
1,26
1,26
2,22
2,22
zi
b
k
k p ,
ci
i
0,43
0,40
0,40
0,40
0,40
i
ci
0,2429
0,2275
0,2275
0,244
0,244
кПа
58,3
79,6
79,6
85,4
85,4
 zc,1  58,3  79,6  79,6  85,4  85,4 46,7 кПа
Таблица 3
Напряжения в точке №2
№№
zi,
ai ,
b,
pi ,
i
прямоугольников
1 «+»
2 «+»
3 «+»
4 «–»
5 «–»
м
2,0
м
3,3
3.15
3,15
м
2,3
2.5
2,5
4,25 2,5
5,55 2,5
кПа
240
350
zi
k

,
ai
b
i
bi
1,43
1,26
1,26
0,87
0,8
0,8
0,2120
0,2075
0,2075
кПа
50,9
72,6
72,6
2,22
2,22
0,8
0,8
0,2183
0,2183
76,4
76,4
ci
zc,i
 zc,2  50,9  72,6  72,6  76,4 76,4  43,3кПа
Таблица 4
Напряжения в точке №3
№№
zi,
ai ,
pi ,
b,
i
прямоугольников
1 «+»
2 «+»
3 «+»
4 «–»
5 «–»
м
4,0
м
м
3,3
2,3
3.15 2.5
3,15 2,5
4,25 2,5
5,55 2,5
кПа
240
350


zc,3
ai
b
i
zi
bi
1,43
1,26
1,26
2,22
2,22
1,74
1,6
1,6
1,6
1,6
k
 zc,i ,
0,1172
0,1241
0,1241
0,1509
0,1509
кПа
28,1
43,4
43,4
52,8
52,8
ci
 28,1  43,4  43,4 52,8  52,8  9,3 кПа
Таблица 5
Напряжения в точке №4
№№
zi,
ai ,
pi ,
b,
i
прямоугольников
1 «+»
2 «+»
3 «+»
4 «–»
5 «–»
м
6,0
м
м
3,3
2,3
3.15 2.5
3,15 2,5
4,25 2,5
5,55 2,5
кПа
240
350

ai
b
i
1,43
1,26
1,26
2,22
2,22
zi
bi
2,61
2,4
2,4
2,4
2,4
k
 zc,i ,
0,0725
0,0734
0,0734
0,1016
0,1016
кПа
17,4
25,7
25,7
35,6
35,6
ci
 zc,4  17,4  25,7 25,7  35,6  35,6  -2,4
кПа
По полученным значениям напряжений строим эпюру распределения
Рисунок 4. Эпюра распределения
2.3. Задача №3. Определение напряжений в массиве грунта от действия
распределенной нагрузки в условиях плоской задачи
Условия задачи. К горизонтальной поверхности массива грунта
приложена вертикальная неравномерная нагрузка, распределенная в пределах
гибкой полосы шириной b по закону трапеции от р1 до р2.
Определить величины вертикальных составляющих напряжений  z в
точках массива грунта для заданной вертикали, проходящей через одну из точек
М1, М2, М3, М4, М5 загруженной полосы, и горизонтали, расположенной на
расстоянии z от поверхности. Точки по вертикали расположить от поверхности
на расстоянии 1,0; 2,0; 4,0 и 6,0 м. Точки по горизонтали расположить вправо и
влево от середины загруженной полосы на расстоянии 0; 1,0 и 3,0 м. По
вычисленным напряжениям построить эпюры распределения напряжений  z .
Исходные данные приведены в табл.П1.3. Схема к задаче
представлена на рис.5.
Рис.5. Схема к задаче №3
12
Решение.
Дано: b  5,0м, p1  260кПа , p2  360кПа , z  4,0м, расчетная
вертикаль М2.
При расчете вертикальных напряжений равномерно распределенную
нагрузку принимаем p  p1 260кПа, при этом наибольшая ордината
треугольной нагрузки p p2  p1  360 260 100кПа .
Необходимо учесть, что начало координат для равномерно
распределенной нагрузки находится в середине полосы нагружения, а начало
координат для неравномерно распределенной нагрузки находится с краю
полосы нагружения, где значение треугольной нагрузки равно нулю.
Вычисляем напряжения в расчетных точках по формуле:
 z  kz p  kz p .
(5)
Для удобства расчетов вычисления ведем в табличной форме (табл.6).
№№
точек
т.1
z=z'=1
т.2
z=z'=2
т.3
z=z'=4
т.4
z=z'=6
y,
м
Прямоугольная форма
нагрузки
р,
 z ,
z/b y/b
kz кПа
кПа
y',
Треугольная форма
нагрузки
p',
z'/b y'/b k'z кПа
,
42,4
172,4
35,3
160,1
м
По вертикали М2
3,0
0,2
0,6
0,5
3,0
0,4
0,6
0,48
130,0
5,0
0,2
1,0
0,424
124,8
5,0
0,4
1,0
0,353
260
z
 z ,
кПа
кПа
100
3,0
0,8
0,6
0,45
117
5,0
0,8
1,0
0,293
29,3
146,3
3,0
1,0
0,6
0,41
106,6
5,0
1,0
1,0
0,241
24,1
130,7
0
0,15
15,0
134,6
29,0
203,2
По горизонтали z=4,0м
т.5
z=z'=4
т.6
z=z'=4
т.7
z=z'=4
т.8
z=z'=4
3,0 0,67 0,5
0,46
1,0 0,67 0,17 0,67
119,6
0
174,2
2,0
0,67
0,67 0,33
0,29
260
0
0,67
0
100
0,72
187,2
3,0
0,67
0,5
0,36
36,0
223,2
1,0 0,67 0,17 0,67
174,2
4,0
0,67 0,67
0,39
39,0
213,2
По полученным значениям строим эпюры распределения напряжений (рис. 6).
Рисунок 6. Эпюра распределения напряжений
2.4. Задача №4. Определение давления грунта на подпорную стенку
4а. Определение давления на подпорную
стенку от идеально сыпучего грунта
Условия задачи. Подпорная стенка высотой Н с абсолютно гладкими
вертикальными гранями и горизонтальной поверхностью засыпки грунта за
стенкой имеет заглубление фундамента h.
Определить активное и пассивное давление сыпучего грунта на
подпорную стенку. Исходные данные приведены в табл.П1.4. Схема
подпорной стенки представлена на рис.7. При построении расчетной схемы и
эпюр активного и пассивного давлений грунта на подпорную стенку следует
принимать масштаб расстояний 1:50, масштаб давлений 25 кПа в 1 см.
Рис.7. Схема подпорной стенки (к задаче №4а)
Решение.
Дано: Высота стенки H=8 м, высота заглубления стенки h=2,2 м. Угол
внутреннего трения грунта φ=18°. Удельный вес грунта γ=20,9 кН/м3.
Активное давление грунта на подпорную стенку:
18
 
2 
2
 а(Н )    Н  tg
 45  20,9 8 tg 45 
 88кПа.
2 
2 


Равнодействующая активного давления:
Е    Н
а
а(Н )
 88 8  352 кН/м.
2
2
Пассивное давление грунта на подпорную стенку:
18 

2 
2
 р(h)    h  tg
  87,1кПа.
45  20,92,2tg 45
2 

2 

Равнодействующая пассивного давления:
Е p   p(h) h/2= 95.81 кН/м.
По полученным данным строим расчетную схему и эпюру напряжений
(рис. 8).
Рисунок.8. Расчетная схема подпорной стенки (к задаче №4а)
4б. Определение давления на подпорную стенку от идеально сыпучего
грунта с учетом пригруза на поверхности
Условия задачи. Определить активное давление сыпучего грунта на
подпорную стенку с учетом пригруза на поверхности. Исходные данные приведены в табл.П1.4. Схема к задаче представлена на рис.9. При построении
расчетной схемы и эпюры активного давления грунта на подпорную стенку
следует принимать масштаб расстояний 1:50, масштаб давлений 25 кПа в
1 см.
Рис.9. Схема подпорной стенки (к задаче №4б)
Дано: Интенсивность пригрузки на поверхности грунта q  240кПа.
Эквивалентная высота слоя грунта:
hq м.
Активное давление на уровне верха подпорной стенки:
σа =126,6 кПа
Активное давление на уровне подошвы подпорной стенки:
σа(h+H)= 103,3
Равнодействующая активного давления:
 а(h )   а(h Н )
28,36 103,3
q
q
Еа 
 H 
 6 395,0 кН/м.
2
По полученным данным строим расчетную схему и эпюру напряжений
(рис. 10).
2
Рисунок.10. Расчетная схема подпорной стенки (к задаче №4б)
4в. Определение давления на подпорную стенку от связного грунта
Условия задачи. Определить активное и пассивное давление связного
грунта на подпорную стенку. Исходные данные приведены в табл.П1.4.
Схема к расчету представлена на рис.11. При построении расчетной схемы и
эпюр активного и пассивного давлений грунта на подпорную стенку следует
принимать масштаб расстояний 1:50, масштаб давлений 25 кПа в 1 см.
Рис.11. Схема подпорной стенки (к задаче №4в)
Пример расчета.
Дано: Угол внутреннего трения грунта φ=18°, удельное сцепление
грунта с=18 кПа, удельный вес грунта γ=20,9 кН/м3.
Действие сил сцепления заменяем всесторонним давлением связности:
= 46,88кПа
Далее приводим вертикальное давление связности к эквивалентному
слою грунта:
=2,66м
Активное давление на уровне подошвы подпорной стенки:
38 кПа
Ea= 128,5
Ep=81,8
По полученным данным строим расчетную схему и эпюру напряжений
Рис.12. Расчетная схема подпорной стенки (к задаче №4в)
2.5. Задача №5. Определение устойчивости грунтового откоса
Условия
задачи.
Требуется
определить
методом
круглоцилиндрических поверхностей скольжения величину коэффициента
устойчивости К у
грунтового откоса высотой Н и с заложением откоса m. Заданный грунт в состоянии
его
природной
влажности
имеет
физико-механические
характеристики  , , с .
Исходные данные приведены в таблице П1.5. Схема к задаче
представлена на рис. 13.
Рис.13. Расчетная схема (к задаче №5)
Решение.
Дано: Высота откоса H=13 м. Заложение откоса m=1,9м. Угол
внутреннего трения грунта φ=20°. Удельное сцепление грунта с=20 кПа.
Удельный вес грунта γ=21 кН/м3.
=5
Для данных значений  ср  5,   27 по графику Янбу определяем
относительные координаты x0 и y0 центра наиболее опасной
круглоцилиндрической поверхности скольжения О:
x0= 0,4,
y0=1,7.
Координаты центра наиболее опасной круглоцилиндрической
поверхности скольжения О:
х= x0  H  0,4 13  5,2м ,
y= y0  H  1,7 13  22,1м .
Расчетная схема представлена на рис. 14. При этом длина дуги
скольжения L=30,3м, радиус дуги – R=22,3м.
Сдвигающий момент Мсдв для блоков 1 и 2 принимается
отрицательным, т.к. они находятся на восходящей ветви кривой скольжения.
Выделяем для расчета 10 отсеков шириной не более 3,0 м каждый и
далее расчет ведем в табличной форме (табл. 7).
Рис.14. Схема к расчету устойчивости откоса методом
круглоцилиндрических поверхностей скольжения (к задаче №5)
Таблица 7
Номер
Объем расчетного отсека
3
Вес расчетного отсека
отсека
Vi, м
Pi, кН
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3,1
6,5
12,2
15,3
17,3
17,9
16,5
8,3
6,1
2,1
65,1
136,5
256,2
321,3
363,3
375,9
346,5
174,3
128,1
44,1
Xi, м
Ку
-3,9
-1,2
1,5
4,5
7,5
10,5
13,5
15,9
17,7
19,35
0,95

Вывод. Так как коэффициент устойчивости откоса Ку=0,95 < 1,2, грунтовый откос является неустойчивым.
23
2.6. Задача №6. Расчет осадки основания методом послойного
суммирования
Условия задачи. Определить по методу послойного суммирования с
учетом только осевых сжимающих напряжений величину полной
стабилизированной осадки основания центрально нагруженного ленточного
фундамента (ширина подошвы – b, глубина заложения фундамента – d,
равномерно распределенное давление по подошве фундамента – p). С
поверхности залегает песчаный грунт (мощность h1 , удельный вес грунта 1 ,
удельный вес
частиц грунта  s1 , природная влажность W1, модуль общей деформации E01 ),
подстилаемый водонепроницаемой глиной ( h2 ,  2 , E02 ). Уровень грунтовых
вод расположен в слое песчаного грунта на расстоянии hw от уровня
подстилающего слоя. Исходные данные приведены в табл.П1.6. Схема к
задаче представлена на рис.15.
Рис. 15. Схема к задаче №6
Решение.
3
3
Дано: b 1,2м, d 1,5м, p  0,18МПа , h1  3,5м,1 18,5кН/м , s1  26,6кН/м ,
3
W1 14,1%, Е01 13МПа , h2  8,6м, 2  20,2кН/м , Е02  18МПа , hw 2,3м.
Вычисляем ординаты эпюр природного давления  zg и
вспомогательной эпюры 0,5 zg :
– на уровне поверхности земли
 zg =0,
0,5 zg =0;
– на уровне подошвы фундамента
 zg 0  1  d 18,51,5  23,25кПа ,
0,5 zg 0 11,63кПа ;
– на уровне поверхности грунтовых вод
 zg1  zg 0  1(h1  d  hw )  23,25 18,50,3  17,7кПа , 0,5 zg1  8,85кПа ;
– на границе первого слоя с учетом взвешивающего действия воды
 s1w 26,6 10
3
sb1
 10,12кН/м ,

1  e1
где e 
1
 s1

1
1  0,64
1W 1  26,6 1 0,1411  0,64 ,
18,5
 zg 2  zg ,w  zg1  sb1 hw  17,7 10,12 2,3  41кПа ,
0,5 zg 2  20,5кПа .
Т.к. во втором слое залегает водонепроницаемая глина, к
вертикальному напряжению на кровлю глины добавляется гидростатическое
давление столба воды, находящейся над глиной:
 w   w  hw 10,0 2,3 23кПа .
Тогда полное вертикальное напряжение, действующее на кровлю глины:
 zg 2  zg 2   w  41 12  53кПа ,
0,5 zg 2  26,5кПа .
 zg 3  zg 2   2h2  53  20,2  8,6 226,7кПа ,
0,5 zg 3  113,4кПа
.
На границе второго слоя:
Определяем значения и строим эпюры вертикальных напряжений от
внешней нагрузки и от собственного веса, вынутого в котловане грунта.
Разбиваем толщу грунта под подошвой полосы нагружения на
элементарные слои толщиной
i  0,4b  0,4 1,2  0,48м.
Для удобства все вычисления ведем в табличной форме (табл.8).
глина
песок
=2z/b
 ,
zp,i
 zpср,i ,
 ,
z ,i
кПа
кПа
кПа
 zср,i ,  ср
кПа
 ср
zp,i
0,00
0,56
1,12
1,68
0,48
0,48
0,48
0,0
0,93
1,9
2,8
1,000
0,881
0,642
0,477
280,0
246,7
179,8
133,6
263,4
213,3
156,7
29,6
26,1
19,0
14,1
27,9
22,6
16,6
235,5
190,7
140,2
1,90
2,24
2,80
3,36
3,92
0,48
0,48
0,48
0,48
0,48
3,2
3,7
4,7
5,6
6,5
0,434
0,374
0,306
0,258
0,223
121,5
104,7
85,7
72,2
62,4
127,6
113,1
95,2
79,0
67,3
12,9
11,1
9,1
7,6
6,6
13,5
12,0
10,1
8,4
7,1
114,1
101,1
85,1
70,6
60,2
4,48
5,04
0,48
0,48
7,5
8,4
0,196
0,175
54,9
49,0
58,7
52,0
5,8
5,2
6,2
5,5
52,5
46,5
5,60
0,48
9,3
0,158
44,2
46,6
4,7
5,0
41,7
z ,i
0i
αi
13
i, м ξi =
18
zi, м
,
кПа Е
Наим
енов
ание
грун
та
Таблица 8
Расчет осадки ведем в пределах сжимаемого слоя (на глубину Нс):
s  13000

18000
0,8
0,8
235,5  0,48 190,7  0,48 140,2  0,48 114,1 0,48
101,1 0,48  85,1 0,48  70,6  0,48  60,2  0,48  52,5  0,480,028м.
Рис.16. Схема к расчету осадки (к задаче №6)