1.5. Формула полной вероятности и формула Байеса Пусть события образуют полную группу несовместных событий с вероятностями . Пусть событие А может произойти только при условии выполнении одного из этих событий. Тогда вероятность события А можно вычислить по формуле: P(A)=P(A*B1+A*B2+...+A*Bn)=P(A*B1)+P(A*B2)+...+P(A*Bn) Получаем: Это соотношение называют формулой полной вероятности, а события В1,В2,...,Вn — гипотезами. Если событие А уже произошло, то это может изменить вероятности гипотез По теореме умножения вероятностей , Откуда можно выразить: . Аналогично, для остальных гипотез: Подставляем формулу полной вероятности 𝑃(𝐴) в знаменатель, получаем: 𝑃(𝐵𝑖 |𝐴) = 𝑃(𝐵𝑖 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵𝑖 ) , 𝑖 = 1, … , 𝑛 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐵𝑛 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵𝑛 ) - формулы Байеса. Вероятности гипотез называют априорными вероятностями («до опыта»), а вероятности - апостериорными вероятностями («после опыта») Задача 1. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% продукция третьего предприятия. Известно, что 10% продукции первого предприятия является продукцией высшего сорта, для второго предприятия – 5%, для третьего – 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта. Решение: Пусть А – это событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, а B1, B2 и В3 – события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям. Тогда 1 𝑝(𝐵1 ) = 0,2 𝑝(𝐴|𝐵1 ) = 0,1 𝑝(𝐵2 ) = 0,3 𝑝(𝐴|𝐵2 ) = 0,05 𝑝(𝐵3 ) = 0,5 𝑝(𝐴|𝐵3 ) = 0,2 Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получаем: 𝑝(𝐴) = 0,2 ∗ 0,1 + 0,3 ∗ 0,05 + 0,5 ∗ 0,2 = 0,135 Задача 2. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом находят две белые мыши и одна серая, во втором - три белые и одна серая, в третьей две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь? Решение: Рассмотрим следующие события: А – извлекли белую мышь, B1 - мышь выбрали из первого ящика, B2 - из второго ящика, В3 – из третьего ящика, Т.к. по условию 1 3 все ящики одинаковы, то P(В1)= Р(В2) = Р(В3) = . Если была выбрана белая мышь из 1, 2 или 3 ящика, то условные вероятности равны: 𝑃(𝐴|𝐵1 ) = 2 3 , 𝑃(𝐴|𝐵2 ) = 3 4 , 𝑃(𝐴|𝐵3 ) = 1 2 По формуле полной вероятности получаем, что вероятность события А равна: 1 2 1 3 1 1 23 ∗ + ∗ + ∗ = ≈ 0,63(8) 3 3 3 4 3 2 36 Задача 3 𝑃(𝐴) = Задача 3. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразил мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. Решение: 2 Пусть событие А — «мишень поражена»; событие В1— «выстрел произведен из винтовки с оптическим прицелом»; событие В2— «выстрел произведен из винтовки без оптического прицела». Так как три винтовки из пяти снабжены оптическим прицелом, то Р(В1)=3/5=0,6, а Р( В2) =2/5= 0,4. Условные вероятности: P(𝐴|𝐵1 )=0,95, а P(𝐴|𝐵2 )=0,7 По формуле полной вероятности Р(А)=P(B1)*P(𝐴|𝐵1 )+P(B2)*P(𝐴|𝐵2 )=0,6*0,95+0,4*0,7=0,57+0,28=0,85 Задача 4. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без нее? Решение: Пусть событие А — «стрелок поразил мишень». Введем два предположения (гипотезы): В1 — «мишень поражена из оптической винтовки»; В2 — «мишень поражена из винтовки без оптического прицела». Так как из 10 винтовок 4 с оптическим прицелом, то P(В1)=0,4, а Р(В2)=0,6. Условная вероятность того, что мишень будет поражена при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, Р(𝐴|𝐵1 ) = 0,95. Условная вероятность того, что мишень будет поражена при выстреле из винтовки без оптического прицела, Р(𝐴|𝐵2 ) = 0,8. По формуле полной вероятности вероятность того, что произойдет событие А, равна: 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) = 0,4 ∗ 0,95 + 0,6 ∗ 0,8 = 0,38 + 0,48 = 0,86 Найдем вероятности того, что мишень поражена из винтовки с оптическим прицелом или без оптического прицела по формулам Байеса: 𝑃(𝐵1 |𝐴) = 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) 0,4 ∗ 0,95 0,38 = = ≈ 0,44 𝑃(А) 0,86 0,86 𝑃(𝐵2 |𝐴) = 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 0,6 ∗ 0,8 0,48 = = ≈ 0,56 𝑃(А) 0,86 0,86 Так как 0,44 < 0,56, то более вероятно то, что мишень будет поражена из винтовки без оптического прицела. Задача 5. Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками равны соответственно 0,6, 0,5 и 0,4. Решение: Пусть событие А — «два стрелка поразили мишень». Введем предположения: В1 — «третий стрелок поразил мишень», Р(В1)=0,4; 3 В2 — «третий стрелок не поразил мишень», событие В2 противоположно событию В1, поэтому Р(В2)=1-Р(В1)=1-0,4=0,6. Найдем Р(𝐴|𝐵1 ) – условную вероятность того, что мишень будет поражена двумя стрелками при условии, что попал третий стрелок. Данное событие возможно только в случае, если попал первый стрелок или попал второй стрелок, т.е. попал только один из стрелков, поэтому: Р(𝐴|𝐵1 ) = 0,6 ∗ (1 − 0,5) + (1 − 0,6) ∗ 0,5 = 0,3 + 0,2 = 0,5 Найдем Р(𝐴|𝐵2 ) – условную вероятность того, что мишень будет поражена двумя стрелками при условии, что третий стрелок не попал в мишень. Данное событие возможно только в случае, если в мишень попал и первый, и второй стрелок, т.е. поэтому: Р(𝐴|𝐵2 ) = 0,6 ∗ 0,5 = 0,3 По формуле Байеса вероятность, что третий стрелок поразил мишень, равна: 𝑃(𝐵1 |𝐴) = 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) 0,4 ∗ 0,5 0,2 = = ≈ 0,526 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 0,4 ∗ 0,5 + 0,6 ∗ 0,3 0,38 Задача 6. Задача 7. При проведении исследования о влиянии вида питания на возникновение сердечно-сосудистых заболеваний большая популяция людей была разбита на две группы одинаковой численности. После 10 лет исследования возникновение сердечно-сосудистых заболеваний составило в экспериментальной и контрольной группах составило соответственно 31% и 48%. Случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание. Какова вероятность того, что этот человек принадлежит к а) экспериментальной группе, б) контрольной группе? Решение Рассмотрим события: А - случайно выбранный из популяции человек имеет сердечно-сосудистое заболевание; 4 B1 - человек принадлежит к экспериментальной группе; В2 - человек принадлежит к контрольной группе. Т.к. группы были одинаковой численности Р(В1) = Р(В2) = 0,5. Условные вероятности Р(𝐴|𝐵1 ) = 0,31, Р(𝐴|𝐵2 ) = 0,48 По формуле Байеса, вероятность того, что выбранный человек принадлежит: а) к экспериментальной группе: 𝑃(𝐵1 |𝐴) = 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) 0,5 ∗ 0,31 0,155 = = ≈ 0,39 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 0,5 ∗ 0,31 + 0,5 ∗ 0,48 0,395 б) к контрольной группе 𝑃(𝐵2 |𝐴) = 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 0,5 ∗ 0,48 0,24 = = ≈ 0,61 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 0,5 ∗ 0,31 + 0,5 ∗ 0,48 0,395 Задача 8. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму — 0,45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым — 0,98. Изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил: а) первый товаровед, б) второй товаровед. Решение: Пусть событие А — «изделие при проверке было признано стандартным». Введем два предположения (гипотезы): В1— «изделие попало к первому товароведу», Р(В1)=0,55; В2 — «изделие попало ко второму товароведу». Р(В1)=0,45. Условная вероятность того, что изделие признано стандартным первым товароведом, Р(𝐴|𝐵1 )=0,9, а условная вероятность, что изделие признано стандартным вторым товароведом, Р(𝐴|𝐵2 )=0,98. Тогда вероятность, что стандартное изделие проверил первый и второй товаровед, находим по формулам Байеса: 𝑃(𝐵1 |𝐴) = 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) 0,55 ∗ 0,9 = ≈ 0,53 ) ) ) ) 𝑃(𝐵1 ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 + 𝑃(𝐵2 ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 0,55 ∗ 0,9 + 0,45 ∗ 0,98 𝑃(𝐵2 |𝐴) = 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 0,45 ∗ 0,98 = ≈ 0,47 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 0,55 ∗ 0,9 + 0,45 ∗ 0,98 Задача 9. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй — 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. Решение: Пусть событие A— «наудачу взятый шар из двух выбранных — белый». Введем события (гипотезы): В1— «шар извлечен из первой урны», В2— «шар извлечен из второй урны». Так как из каждой урны извлекают одинаковое количество шаров, то Р(В1)=Р(В2)=1/2 5 Событие А может произойти в случае, если среди двух выбранных шаров обязательно будет белый шар. Вероятность того, что из первой урны извлечен белый шар, равна Р(𝐴|𝐵1 )=8/10=4/5 Вероятность того, что из второй урны извлечен белый шар, равна Р(𝐴|𝐵2 )=4/20=1/5 События В1 и В2 несовместны и образуют полную группу событий. По формуле полной вероятности Р(А)=P(B1)*P(𝐴|𝐵1 )+P(B2)*P(𝐴|𝐵2 )=1/2*4/5+1/2*1/5=5/10=1/2 Задача 10. В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95; для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. Решение: Пусть событие А — «до конца расчета машина не выйдет из строя». Возможны следующие предположения: В1 — «клавишный автомат не выйдет из строя»; В2 — «полуавтомат не выйдет из строя». Так как в лаборатории шесть клавишных автоматов и четыре полуавтомата, то Р(В1)=0,6; Р(В2)=0,4. Условная вероятность того, что произойдет событие А при условии «клавишный автомат не выйдет из строя» РB1(А)=0,95; а при условии «полуавтомат не выйдет из строя» — РB2(А)=0,8. Применим формулу полной вероятности: Р(А)=P(B1)*PB1(A)+P(B2)*PB2(A)=0,6*0,95+0,4*0,8=0,57+0,32=0,89. Ответ. 0,89 Задача 11. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго - 0,5; для третьего - 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком. Решение: Возможны три гипотезы: - на линию огня вызван первый стрелок, - на линию огня вызван второй стрелок, - на линию огня вызван третий стрелок. Так как вызов на линию огня любого стрелка равновозможен, то В результате опыта наблюдалось событие В - после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при сделанных гипотезах равны: по формуле Байеса находим вероятность гипотезы после опыта: 6 Задача 12. На трех станках-автоматах обрабатываются однотипные детали, поступающие после обработки на общий конвейер. Первый станок дает 2% брака, второй – 7%, третий – 10%. Производительность первого станка в 3 раза больше производительности второго, а третьего – в 2 раза меньше, чем второго. а) Каков процент брака на конвейере? б) Каковы доли деталей каждого станка среди бракованных деталей на конвейере? Решение: Возьмем с конвейера наудачу одну деталь и рассмотрим событие А – деталь бракованная. Оно связано с гипотезами относительно того, где была обработана эта деталь: деталь обработана на -ом станке, – взятая наудачу . Условные вероятности (в условии задачи они даны в форме процентов): Зависимости между производительностями станков означают следующее: . А так как гипотезы образуют полную группу, то . Решив полученную систему уравнений, найдем: . а) Полная вероятность того, что взятая наудачу с конвейера деталь – бракованная: . Другими словами, в массе деталей, сходящих с конвейера, брак составляет 4%. б) Пусть известно, что взятая наудачу деталь – бракованная. Пользуясь формулой Байеса, найдем условные вероятности гипотез: , , . Таким образом, в общей массе бракованных деталей на конвейере доля первого станка составляет 33%, второго – 39%, третьего – 28%. Задача 13. Из 1000 ламп 380 принадлежат к 1 партии, 270 – ко второй партии, остальные к третьей. В первой партии 4% брака, во второй - 3%, в третьей – 6%. 7 Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа – бракованная. Решение: Задача 14. Задача 15. Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,6 и трое с вероятностью 0,4. Что вероятнее: наугад выбранный стрелок попадает в цель или нет? Решение: По формуле полной вероятности вероятность, что стрелок попадет в цель, равна: 8 P=2/5*0,6+3/5*0,4=0,24+0,24=0,48. Тогда вероятность, что не попадет: 1-0,48=0,52 или P=2/5*(1-0,6)+3/5*(1-0,4)=0,16+0,36=0,52. Вероятность попасть в цель меньше P<0,5, следовательно, вероятнее что наугад выбранный стрелок не попадет в цель. Задача 16. Из 20 студентов, пришедших на экзамен, 10 подготовлены отлично (знают все вопросы), 7 хорошо (знают по 35 вопросов), а 3 плохо (10 вопросов). В программе 40 вопросов. Наугад вызванный студент ответил на все три вопроса билета. Какова вероятность того, что он подготовлен: а) отлично; б) плохо. Решение: Найдем вероятность что студент ответил на три вопроса правильно по формуле полной вероятности: 𝑃(𝐴) = 10 40 ∗ 39 ∗ 38 7 35 ∗ 34 ∗ 33 3 10 ∗ 9 ∗ 8 ∗ + ∗ + ∗ == 0,5 ∗ 1 + 0,35 ∗ 0,662 + 0,15 ∗ 0,012 20 40 ∗ 39 ∗ 39 20 40 ∗ 39 ∗ 38 20 40 ∗ 39 ∗ 38 = 0,5 + 0,2317 + 0,0018 = 0,7335 Вероятность что студент принадлежит группе, которая подготовлена на «отлично», равна: Р(А|В1) = 0,5 ∗ 1 ≈ 0,682 0,7335 Вероятность, что студент принадлежит группе, которая плохо подготовилась, достаточно мала и равна: Р(А|В3) = 0,15 ∗ 0,012 ≈ 0,002 0,7335 Р(А|В2) = 0,35 ∗ 0,662 ≈ 0,316 0,7335 Задача 17. Сотрудники отдела маркетинга полагают, что в ближайшее время ожидается рост спроса на продукцию фирмы. Вероятность этого они оценивают в 80%. Консультационная фирма, занимающаяся предположение о росте спроса. прогнозом рыночной ситуации, подтвердила Положительные прогнозы консультационной фирмы сбываются с вероятностью 95%, а отрицательные – с вероятностью 99%. Найти вероятность того, что рост спроса действительно произойдет? Решение: 9 Задача 18. В группе спортсменов лыжников в 2 раза больше, чем бегунов, а бегунов в 3 раза больше, чем велосипедистов. Вероятность выполнить норму для лыжника 0,9, для бегуна 0,75, для велосипедиста - 0,8. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наугад, выполнит норму. Решение: Задача 19. В двух урнах находится соответственно 4 и 5 белых и 6 и 3 чёрных шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один шар, а затем из этих двух наудачу берется один. Какова вероятность, что это будет белый шар? Решение: 10 Задача 20. Задача 21. 11 Задача 22. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 30%, второй цех 24%, а третий цех – 46% всех замков. Брак при производстве продукции составляет соответственно 7%, 2 %, и 4%. Найти вероятность того, что случайно выбранный замок окажется без брака. Для замка с браком найти вероятность, что он был изготовлен в 1, 2 или 3 цехе. Решение: Пусть А – это событие, заключающееся в том, что был куплен замок без брака, а B1, B2 и В3 – события, заключающиеся в покупке замка без брака, произведенного в первом, втором и третьем цеху (гипотезы). Тогда 𝑝(𝐵1 ) = 0,3 𝑝(𝐴|𝐵1 ) = 1 − 0,07 = 0,93 𝑝(𝐵2 ) = 0,24 𝑝(𝐴|𝐵2 ) = 1 − 0,02 = 0,98 𝑝(𝐵3 ) = 0,46 𝑝(𝐴|𝐵3 ) = 1 − 0,04 = 0,96 12 Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получаем: 𝑝(𝐴) = 0,3 ∗ 0,93 + 0,24 ∗ 0,98 + 0,46 ∗ 0,96 = 0,279 + 0,2352 + 0,4416 = 0,9558 Покупка замка с браком – противоположное событие А – вероятность равна: 𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,9558 = 0,0442 Найдем условные вероятности для B1, B2 и В3 по формулам Байеса: 𝑃(𝐵1 |А) = 𝑃(𝐵2 |А) = 𝑃(𝐵3 |А) = 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) + 𝑃(𝐵3 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵3 ) 0,021 0,021 = = ≈ 0,475 0,021 + 0,0048 + 0,0184 0,0442 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) + 𝑃(𝐵3 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵3 ) 0,0048 0,0048 = = ≈ 0,109 0,021 + 0,0048 + 0,0184 0,0442 𝑃(𝐵3 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵3 ) 𝑃(𝐵1 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵1 ) + 𝑃(𝐵2 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵2 ) + 𝑃(𝐵3 ) ∗ 𝑃(𝐴|𝐵3 ) 0,0184 0,0184 = = ≈ 0,416 0,021 + 0,0048 + 0,0184 0,0442 == 0,3 ∗ 0,07 0,3 ∗ 0,07 + 0,24 ∗ 0,02 + 0,46 ∗ 0,04 == 0,24 ∗ 0,02 0,3 ∗ 0,07 + 0,24 ∗ 0,02 + 0,46 ∗ 0,04 == 0,46 ∗ 0,04 0,3 ∗ 0,07 + 0,24 ∗ 0,02 + 0,46 ∗ 0,04 Проверка: 0,475 + 0,109 + 0,416 = 1 Задача 13
