Замечательные точки и линии в треугольниках. Неравенство

7. Замечательные точки и линии в треугольнике.
Неравенство треугольника.
Теоретические сведения о замечательных точках и линиях в
треугольнике содержатся в справочных пособиях [36]. При решении задач
полезно знать доказательства теорем о существовании замечательных точек
треугольника.
Выделим два неравенства.
1. Для любых трех точек А, В и С на плоскости имеем АВ + ВС AC, причем
равенство достигается тогда и только тогда, когда точка В лежит на отрезке АС.
2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Это означает,
что если в АВС АВ>АС, то С >  В и наоборот.
Задачи: [10,с.172-173], [13,с.68], [5,с.64,65], [17,с.36], [16,с.32,33-35], [19,с.14].
Литература
Задача1. Докажите, что медиана АВ в АВС по длине больше, чем
(АВ+АСВС)/2.
Указание: докажите неравенства АМ > АВ  ВС/2 и АМ > АС  ВС/2.
Задача 2. Докажите, что если из отрезков длиной a, b и c можно составить
треугольник, то его можно составить и из отрезков длины а, b, c. .
Указание: используйте неравенство №1.
Задача 3. Докажите, что медиана треугольника, заключенная между двумя его
неравными сторонами, образует больший угол с меньшей из двух этих
сторон.
Указание: надо достроить АВС до параллелограмма АВСD и применить
неравенство №2
Задача 4. Для треугольника имеет место соотношение:
а 4  b 4  c 4  a 2 b 2  b 2 c 2  c 2 a 2 , где а, b,
треугольника.
Определить вид треугольника.
c

длины
сторон
Решение
Задача 5. В треугольнике АВС две высоты hc и hb не меньше сторон, на которые
они опущены. Что можно сказать о таком треугольнике?
Решение
Задача 6. Доказать, что в любом треугольнике сумма высот меньше суммы длин
его сторон.
Решение
Задача
Решение
7. Вывести из существования центра описанной
существование точки пересечения высот треугольника.
окружности
Задача 8. К какой из вершин треугольника ближе всего расположен центр
вписанной в этот треугольник окружности?
Еще задачи на неравенство треугольника [10,c.56,61]:
Решение
Задача 9. От Ленинграда до Москвы 660 км, от Ленинграда до деревни Лыково
 310 км, от
(простая)
Лыково до Клина  200 км, и от Клина до Москвы  150 км. Каково
расстояние от Лыково до Москвы.
Решение
Задача 10. Две деревни находятся по разные стороны от реки, берега которой 
параллельные прямые. В каком месте реки надо построить мост,
перпендикулярный берегам, так, чтобы длина пути из одной деревни в
другую была бы минимальна?
Решение
Задача 11. Муха сидит на внешней поверхности круглого стакана. Ей надо
перебраться в другую точку, лежащую на внутренней поверхности
стакана. Найдите кратчайший путь мухи (толщиной стенок
пренебрегите).
Указание. Разверните поверхность стакана на плоскости.
Решение
Содержание: