Решение показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам Занятие 10

Занятие 10
Решение показательных неравенств,
приводящихся к квадратным
неравенствам
При решении показательных неравенств, приводящихся к квадратным неравенствам,
поступают так же, как в примерах решения показательных уравнений, приводящихся к
квадратным уравнениям, т. е. делают замену переменных, получают квадратное
неравенство, которое решают, а затем возвращаются к прежней переменной.
Примеры.
Решить неравенство:
1) (0,5)2x+2<3∙(0,5)x.
Сделаем замену: пусть (0,5)х=у. Получаем неравенство:
у2+2<3y или y2-3y+2<0.
Разложим квадратный трехчлен y2-3y+2 на линейные множители по формуле:
ax2+bx+c=a (x-x1)(x-x2), где х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0.
Находим корни приведенного квадратного уравнения y2-3y+2=0. Дискриминант D=b24ac=32-4∙1∙2=9-8=1=12. Так как дискриминант является полным квадратом, то применим
теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно
свободному члену.
у1+у2=3, у1∙у2=2. Отсюда: у1=1, у2=2. Значит, y2-3y+2=(у-1)(у-2).
Решаем неравенство: (у-1)(у-2)<0 методом интервалов.
Получаем: ує(1; 2), отсюда: (0,5)хє(1; 2).
(0,5)х=1 → (0,5)х=(0,5)0 → х=0.
(0,5)х=2 → (1/2)x=2 → 2— x=21 → -x=1; x=-1. Значит, хє(-1; 0).
Ответ: (-1; 0).
2) 9x-1<3x-1+6.
Представим 9х-1 в виде степени числа 3.
32 (x-1)<3x-1+6. Сделаем замену: 3х-1=у. Тогда получается квадратное неравенство: у2<y+6.
Переносим слагаемые в левую часть.
у2-у-6<0. Находим корни приведенного квадратного уравнения у2-у-6=0. Проверим,
возможно ли применить теорему Виета, ведь ею пользуются только, если корни являются
целыми числами. Гарантией этого будет дискриминант, который должен быть полным
квадратом некоторого числа. Находим дискриминант D=b2-4ac=1-4∙(-6)=1+24=25=52.
Дискриминант является полным квадратом числа 5, поэтому, подбираем корни, пользуясь
теоремой Виета: у1+у2=1, у1∙у2=-6. Подходят значения: у1=-2 и у2=3.
Раскладываем левую часть неравенства на линейные множители, получаем:
(у+2)(у-3)<0. Решаем полученное неравенство методом интервалов.
ує(-2; 3). Возвращаемся к переменной х:
3х-1є(-2; 3), но так как отрицательных значений степень 3х-1 принимать не может, то
запишем: 3х-1є(0; 3). Определим интервал значений переменной х.
3х-1→0 при х-1 → -∞, так как число 3 в степени, стремящейся к минус бесконечности,
фактически будет равным нулю, значит, х→ -∞.
Далее, 3х-1=3 → 3х-1=31 → х-1=1 → х=2.
Получили хє(-∞; 2).
Ответ: (-∞; 2).