Специальная теория относительности Лекция 4

Лекция 4
Специальная теория относительности
Постулаты специальной теории относительности. Относительность одновременности.
Вывод преобразований Лоренца. Лоренцево сокращение длин и замедление хода времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Аберрация света.
В начале XX века глубокое, всестороннее обсуждение накопленных экспериментальных данных и сформировавшихся теоретических представлений привели Эйнштейна к пересмотру принципов классической физики и, в первую очередь, представлений о пространстве и времени. В результате была создана специальная теория относительности, которая расширила границы
классической физики, включив сюда также явления, связанные с движениями с большими скоростями.
В основу этой теории Эйнштейн (1905 г.) положил два непреложных экспериментальных факта
(постулаты Эйнштейна):
а) принцип относительности, который является распространением принципа относительности Галилея на все физические явления,
б) абсолютность скорости света – скорость света не зависит от состояния движения
его источника.
Первый из этих двух постулатов, составляющих основу теории Эйнштейна, был известен, фактически, со времен Галилея, а второй – не вызывал сомнения после опытов Майкельсона и Морли.
Так чем же объясняется та революционная роль, которая заслуженно приписывается теории, построенной на этих постулатах, и самому Эйнштейну? Дело в том, что хотя эти факты и были известны, всегда избегали рассматривать их вместе, т.к. последствия, получаемые из этого «противоречили здравому смыслу».
рис. 4.1
Не случайно, что Ритц, критикуя эту теорию, привел следующий пример. Пусть источник света,
помещенный в начале инерциальной системы отсчета
K,
t  t   0 , когда
ИСО K  , излучает
в момет времени
начало ИСО K , двигающейся с большой скоростью u совпадает с началом
кратковременный импульс света (рис. 4.1). Если верны эти два постулата, то в последующий момент
t
;
t  0
световые кванты в
K
образуют поверхность сферы радиуса ct, а в
O .
K
– также
сферическую поверхность, но с центром
Парадокс, по Ритцу, заключается в том, что одни и
те же световые кванты одновременно образуют две разные сферические поверхности.
Впервые причину кажущегося противоречия между двумя приведенными постулатами понял
Эйнштейн. Оно лежит в основе классических представлений о пространстве и времени и, в
первую очередь, в понятии одновременности, которое считалось в классической физике «само
собой разумеющимся» и даже специально не определялось. С этим понятием связана процедура
синхронизации часов. Если часы стоят рядом друг с другом, то их синхронизация не вызывает
трудности. А если они далеки друг от друга? Действительно, как следует синхронизировать удаленные друг от друга часы? Для синхронизации часов Эйнштейн предложил использовать световые импульсы.
Одновременность работы часов, распределенных в данной системе отсчета, означает:
а) все часы работают в одном и том же темпе, т.е. стрелки этих часов вращаются с одной
и той же угловой скоростью,
б) все часы в какой-то момент имеют одни и те же показания.
Для выполнения первого условия можно, например, посылать от часов А короткие световые
импульсы с периодичностью в одну минуту (рис.4.2). Если все остальные часы принимают эти
сигналы с той же периодичностью, то первое условие выполнено.
рис. 4.2
Второе условие можно выполнить следующим образом. Все часы в данной системе неподвижны
и имеют заранее известные координаты (рис. 4.2). В начальной точке О по радио передает сигналы точного времени: «в данный момент показания часов О есть
t0
». Остальные часы будут
синхронизированы, если в момент получения этого сигнала будут показывать время
где
ri
— расстояние
i -тых часов от начала
ti  t0  ri / c ,
координат, а с — скорость света в вакууме. Фактиче-
ски, при этом способе каждый учитывает запаздывание дошедшего до него сигнала.
Если указанные действия выполнены, то можно утверждать, что все часы данной системы отсчета показывают одинаковое общее время для этой системы.
Необходимо отметить, что время, определенное подобным образом, только к той системе отсчета, в которой часы находятся в состоянии покоя.
Те же действия нужно осуществить во всех других ИСО.
А можно ли синхронизировать между собой часы, которые находятся в разных СО? Это некорректная постановка вопроса. Синхронизации подлежат лишь покоящиеся относительно друг
друга часы. Для разных ИСО можно только выбрать лишь начальный (нулевой) момент времени
t0  t0  0 . Совпадут ли после этого показания часов или нет, покажет опыт.
Конечная скорость распространения взаимодействий приводит к тому, что течение времени в
разных ИСО отличаются друг от друга. Если в начальный момент имеем
t0  t0 , то в последующие
моменты уже t  t  .
Введем понятие «события». Событие – это случай, который характеризуется тремя пространственными координатами x, y, z, где оно имело место, и одной временной координатой t, когда оно произошло. То же самое событие в системе отсчета
гими координатами
x, y , z  ,
K
будет описано дру-
которые могут не совпадать с соответствующими координатами со-
бытия в системе K .
В отличие от ньютоновского события, которое в различных ИСО может отличаться только пространственными координатами, в релятивистской физике события могут отличаться четырьмя координатами. В этом смысле можно представить четырехмерное пространство, в котором три из
четырех его взаимно перпендикулярных осей – это оси X, Y, Z, а четвертая – ось времени.
Формулы
Лоренца
 3.23
и
 3.23
–
это
преобразования
пространственно-
временных координат события.
Вышеуказанный способ синхронизации часов позволяет сделать следующее утверждение относительно одновременности двух событий.
В точках А и В два события будут одновременными, если в световые сигналы, посланные в момент осуществления этих событий, встретятся друг с другом в середине отрезка, соединяющего эти точки (рис. 4.3).
Покажем на простом примере, что определенная таким образом одновременность относительна.
рис. 4.3
рис. 4.4
Пусть с поездом, двигающимся относительно ИСО K со скоростью u c , связана ИСО K  .
Предположим, ударили две молнии А и В, которые оставили след на поезде и соответствующих
точках системы K (рис. 4.4). Предположим также, что световые волны от молний А и В, идущих
навстречу друг другу, встретившись, вызвали удар третьей молнии C , которая также оставила
следы на поезде и в соответствующей точке
молния, проходит время
t  AB / 2c ,
K
(рис. 4.4). Однако до того как возникнет третья
в течение которого
стится на uΔt. Так что, если AC = BC, т.е. в системе
K
поезд со следами
A
и
B
переме-
молнии А и В ударили одновременно, то
AC  BC , т.е. молнии не будут одновременны с точки зрения наблюдателя, находящегося в
поезде. Следовательно, определенное Эйнштейном понятие одновременности событий относительно. Когда мы говорим, что два события одновременны, то необходимо указать относительно какой ИСО, так как в других ИСО они не будут одновременными.
Теперь, пользуясь приведенным в начале этого параграфа примером Ритца, выведем преобразования Лоренца. Уравнение сферической поверхности световой волны в пространственновременных координатах ИСО K будет:
x 2  y 2  z 2  c 2t 2 ,
ав
K
(4.1)
уравнение той же самой сферической волны будет:
x2  y2  z2  c2t 2
(4.2)
Наша цель заключается в нахождении связи между координатами события
 x, y, z , t   .
Так как любое прямолинейное равномерное движение в ИСО
прямолинейным и равномерным в ИСО
линейной.
K,
K
 x, y, z, t 
и
также является
то связь между их координатами должна быть
Рассмотрим, во-первых, точки плоскости
y   b  const
в
K.
Эти же точки принадлежат в
плоскости y = b. Постоянные b и b  определяют расстояние указанных плоскостей от плоскости XY и, так как эти расстояния определяются с помощью линеек, находящихся в различных
условиях движения, то отношение
K
b b  k
(4.3)
может отличаться от единицы.
Однако с помощью простых рассуждений можно показать, что k = 1. Действительно, это отношение может зависеть только от скорости u относительного движения ИСО. Если теперь, оставив
Y и Y  , повернем на 1800 оси X , Z и X  , Z  , то b и b  не изменятся, но
K  поменяются: K начнет двигаться относительно K  со скоростью u по поло-
неизменными оси
роли ИСО K и
жительному направлению оси X. Следовательно, как и раньше, можем записать:
b b  k .
(4.4)
Из полученных отношений (4.3) и (4.4) следует, что
направления осей
Y
и
Y
совпадают, то
b
и
b
k2 1
и поскольку положительные
должны иметь одинаковые знаки:
k 1; b  b .
(4.5)
y  y .
(4.6)
z  z .
(4.7)
Отсюда следует, что
Таким же образом получим
Поперечные координаты события не меняются.
Учитывая (4.6) и (4.7) соотношения (4.1) и (4.2) представим в следующем виде:
x2  c2t 2  x2  c2t 2
Где связь между
x , t 
и
x ,t
(4.8)
должна быть линейной. Представим эту связь в виде
x   x   t ,
t  x  t,
где постоянные
 ,  ,  ,
(4.9)
должны определяться так, чтобы условие (4.8) выполнялось при любых
x и t. В правых частях приведенных преобразований мы не добавляли свободные члены, так как
благодаря выбранным нами начальным условиям (в момент времени
t  t  0
начала
K
и
K
x  x  0 ) эти свободные члены тождественно равны нулю. Теперь учтем в (4.9)
факт движения K относительно K  со скоростью u. В ИСО K в любой момент времени t начало
координат K  занимает положение x   ut . Подставляя в первое соотношение (4.9) x  0, x  ut
совпадают:
в произвольный момент t, получим связь:
    u.
Точно так же начало координат
K
движется относительно
K
(4.10)
по закону
x  ut  .
Учитывая
данный факт в (4.9) и исключая время t получим: K
    u,
т.е.
  .
(4.11)
С учетом полученных соотношений преобразования (4.9) примут следующий вид:
x   ( x  ut ), t    x   t .
(4.12)
Подставив полученное соотношение в (4.8) и требуя, чтобы оно выполнялось при любых x и
t, т.е. приравняв коэффициенты при
определим коэффициенты  и  :
x2 , t 2
и xt в правой и левой частях полученного уравнения,

1
1  u 2 c2
, 
 u c2
1  u 2 c2
.
(4.13)
Итак, получаем преобразования Лоренца
x  ut
  y 
,
y
1 u 2 c 2
 
, K  K ,
t  ux c 2
t 
, z  z 
2
2

1 u c

x  ut 

x
, y  y 
2
2
1 u c

, K  K .
2
t   ux c
t
, z  z 
2
2

1 u c

x 
(4.14)
(4.15)
Заметим, что преобразования (4.14) и (4.15) можно получить один из другого, заменив штрихованные координаты нештрихованными, поменяв знак перед скоростью u. Это полностью соответствует принципу относительности, поскольку, если
K
движется относительно
K
со скоро-
стью u , то K движется относительно K  со скоростью – u. Теми же свойствами обладают преобразования Галилея.
Подставляя c   в преобразования Лоренца, получим преобразования Галилея
(3.13) и (3.14). Это подчеркивает тот факт, что взаимодействия в классической физике рассматриваются как процессы, протекающие с бесконечной скоростью.
Возвращаясь к принципу относительности, заметим, что в релятивистской физике он
утверждает инвариантность физических законов и уравнений именно относительно
преобразований Лоренца.
Эффект лоренцева сокращения длин.
Наглядную иллюстрацию относительности пространства и времени можно получить, исследуя
некоторые следствия преобразований Лоренца.
рис. 4.5
Пусть в ИСО
K  , двигающейся с большой скоростью u c
подвижная линейка длины
0
относительно ИСО
K , имеется не(рис. 4.5). Какова будет длина этой же линейки в ИСО K ?
Ответ на этот вопрос могут дать преобразования Лоренца, если заранее уточнить, что следует
понимать под словами длина движущейся линейки.
Длина движущейся линейки – это разница координат его концов, измеренных одновременно.
Заметим, что при измерении длины неподвижной линейки, неважно в какие моменты времени
t1
и
t 2
измерены координаты его концов
x1
и
x 2 :
0
 x2  x1 .
(4.16)
Следовательно, для определения длины линейки необходимо произвести два измерения (события). В ИСО К координаты этих событий обозначим через
(измерение координаты
x1 , t1
x1
одно-
го конца линейки в момент времени
t1 ) и x2 , t2 (измерение координаты x2 другого конца линейки
в момент времени t 2 ). Те же события в ИСО K  будут иметь координаты x1, t1 и x2 , t2 , которые
связаны с соответствующими координатами ИСО K преобразованиями Лоренца (15.4):
x1  ut1
x1 
t1 
1 u 2 c 2
t1  ux1 / c 2
1 u c
2
2
; x2 
; t2 
1 u 2 c 2
t2  ux2 / c 2
По определению, длина движущейся линейки в системе
цов
x2  ut2
1 u c
2
K
2
;
(4.17)
.
(4.17')
– это разность координат его кон-
x1 , x2 , если эти координаты измерены одновременно:
 x2  x1 , если t1  t2
(4.18)
Пользуясь формулами (4.16)-(4.17), получим связь между длинами линейки в ИСО
0
 x2  x1 
x2  x1  u (t2  t1 )
1 u 2 c 2

1 u 2 c 2
K
и K:
,
откуда

0
1 u 2 c 2 
0
.
Так как подкоренное выражение – величина меньшая единицы, то в
меньше
0.
(4.19)
K
длина линейки будет
Этот факт сокращения линейных размеров получил название лоренцева сокраще-
ния. Лоренцево сокращение тем больше, чем быстрее движется тело.
Лоренцеву сокращению подвергаются только продольные размеры предмета. Поперечные
размеры не сокращаются. Это ясно видно из преобразований Лоренца (
y   y, z   z ).
Заметим,
что линейные размеры предмета максимальны в той СО, относительно которой данный
предмет покоится. Соответствующий линейный размер называется собственной длиной предмета. Например, в рассмотренном примере собственная длина линейки это его длина
0
в
K.
Для всестороннего исследования эффекта получим (4.19), используя формулы преобразования
(4.15):
 x2  x1 
x2  x1  u (t2  t1)
1 u 2 c 2

0
 u (t2  t1)
1 u 2 c 2
.
(4.20)
Поскольку измерения проводились одновременно относительно
менными для
K , то они не будут одновреK  . По этой причине в (4.20) t2  t1  0 , в чем можно убедиться используя (4.14):
t1  t2 
t1  t2  u ( x1  x2 ) / c 2
1 u 2 c 2
u / c2

1 u 2 c 2
.
(4.21)
Здесь мы воспользовались условиями измерения (4.18) в К. Подставляя (4.21) в (4.20), получим формулу лоренцева сокращения (4.19).
Релятивистский эффект замедления хода времени.
Теперь рассмотрим вопрос относительности времени. Пусть в K  с неподвижным источником света произошли два события: он был включен, а потом – выключен. Координаты этих событий в
K
и
K
обозначим соответственно
 x , t  ,  x , t  и  x, t  ,  x , t   . Так как в
1
1
2
2
1
1
2
2
K
источ-
ник света находится в состоянии покоя, то
x1  x2 ;  0  t2  t1 ,
где
0
– длительность зажигания света в системе
(4.22)
K.
Длительность процесса в той системе отсчета, относительно которой возбудитель
процесса находится в состоянии покоя, называется собственным временем процесса.
Значит
0
– собственное время излучения источника света. Теперь определим длительность
этого процесса в неподвижной системе
K , используя преобразование Лоренца
  t2  t1 
t2  t1  u  x2  x1  / c 2
1 u 2 c 2
.
Учитывая здесь (4.22), получим

0
1 u 2 c 2
 0 .
(4.23)
Следовательно, минимальная длительность процесса – его собственное время. В любой
другой системе отсчета он имеет большую длительность. Это эффект замедления хода времени, который является основным проявлением относительности времени в релятивистской механике. Он показывает, что движущиеся часы всегда отстают от неподвижных часов, если в начальный момент они имели одинаковые показания (рис.4.6).
рис. 4.6а
рис. 4.6б
Формула замедления времени (4.23) получила свое подтверждение в многочисленных опытах,
проведенных в области элементарных частиц. В частности, с успехом было объяснено кажущееся
на первый взгляд «странное» поведение  -мезонов, которые образуются космическими лучами
в верхних слоях атмосферы Земли на высоте 20-30 км. Теоретическое исследование этих частиц
показало, что они нестабильны и приблизительно через
2  106 с
после рождения распадаются,
образуя электрон и нейтрино. Если предположить, что образовавшиеся мезоны двигаются со скоростями близкими к скорости света v~c, то за время своей «жизни» они не могут пройти расстояние, большее, чем c  2  10
на поверхности Земли.
6
c  600 м .
Но эти частицы достигают и регистрируются счетчиками
Это объясняется тем, что указанное время – это собственное время «жизни» мезона
 0 . По по-
казаниям земных часов время «жизни» мезона определяется по формуле (4.23), которое, благодаря большой скорости частицы, несравнимо больше

. Именно в этом причина того, что они до-
стигают поверхности Земли.
Долгое время господствовало неверное мнение о том, что лоренцево сокращение линейных
размеров предметов может наблюдаться экспериментально. Предполагалось, например, что шар,
двигающийся со скоростью близкой к скорости света, должен наблюдаться сбоку как эллипсоид. И
только в 1959г. Террел показал, что непосредственное наблюдение лоренцева сокращения
принципиально невозможно из-за относительности времени. Дело в том, что световые лучи, одновременно вышедшие из разных точек наблюдаемого предмета из-за относительности одновременности доходят до сетчатки глаза (или до светочувствительной пленки, если предмет фотографируется) не одновременно. Глаз регистрирует одновременно лучи, которые были испущены из предмета в разные моменты времени. В результате, образ двигающегося предмета получается расплывчатым. Это, как показали точные расчеты, полностью сводит на нет эффект лоренцева сокращения.
Явления лоренцева сокращения и замедления времени часто дают место таким возражениям,
как: «А как же принцип относительности, равноправность всех ИСО? Если размеры предмета в
одной из ИСО меньше, чем в другой, а процессы протекают в одной медленнее, чем в другой, то
неужели этого недостаточно, чтобы отличать одни ИСО от других и для выявления их движения
относительно друг друга?». Подобные рассуждения беспочвенны по следующей простой причине.
K , сравнивая показания своих часов с часами, находящимися в K  ,
обнаруживает отставание своих часов, то точно также наблюдатель в системе K  обнаруживает
отставание своих часов по отношению к часам, находящимся в K . То же самое обнаружат
наблюдатели K и K  , измеряя длины линеек друг друга. Так что, то, что может сказать наблюдатель системы K относительно процессов, происходящих в K  , то же самое может сказать и
наблюдатель в K  относительно процессов, происходящих в K . Оба правы, потому что таковы
Если наблюдатель в системе
объективные пространственно-временные соотношения в движущихся системах, которые, кстати,
являются непосредственными следствиями принципа относительности и абсолютности скорости
света.
Парадокс близнецов.
После создания специальной теории относительности разными авторами приводились примеры
различных, так называемых «парадоксов», которые, так или иначе «противоречат здравому
смыслу». Однако все эти «парадоксы» – результат неверного истолкования тех или иных вопросов теории. Рассмотрим наиболее известный из них – «парадокс близнецов». Один из братьевблизнецов отправляется на космическом корабле на некое небесное тело, находящееся на расстоянии t0 световых лет от Земли и возвращается обратно. Если скорость корабля u, то по земным
часам время этого путешествия будет
 
2 2ct0

u
u
.
(4.24)
А по часам космического корабля оно продлится меньше:
 0  1 u 2 c 2 .
Выбором величин
t0 и
(4.25)
u, входящих в эти формулы, можно получить, что в конце путешествия
по часам корабля прошло, скажем,
 0 = 20 лет, а по земным часам – 120 или более лет. Парадок-
сальным здесь считается то, что нарушается равноправность систем отсчетов «космический корабль» и «Земля». Близнецу, остававшемуся на Земле, если бы он мог столько прожить, было бы
140 лет, а близнец-космонавт вернется на Землю в возрасте 40 лет(!). Значит, нарушен принцип
относительности? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, что принцип относительности требует
равноправности для инерциальных систем отсчетов. А в приведенном примере система отсчета,
связанная с космическим кораблем, не инерциальна. Действительно, в начальный момент она
находилась относительно Земли в состоянии покоя. Потом движется с ускорением и приобретает
скорость u . Долетев до небесного тела, она искривляет свою траекторию, чтобы долететь обрат-
но, и, наконец, долетев на Землю, снова останавливается (когда производится сравнение показаний часов во второй раз). Заметим, что показания двух часов, находящихся в разных ИСО
могут сравниваться друг с другом только один раз. Тот факт, что показания часов сравнивались два раза - уже нарушение принципа относительности.
А что можно сказать о показаниях часов, двигающихся с ускорением относительно ИСО? Оказывается, что формула замедления времени (4.23) верна также для случая движения системы отсчета с ускорением в двух важных случаях:
а) если система отсчета совершает равномерное движение по криволинейной траектории
(например, для движения заряда в магнитном поле);
б) если относительно ИСО система отсчета движется прямолинейно и равномерно за исключением коротких промежутков времени (т.е. их длительность намного меньше длительности всего движения), в течение которых движение имеет ускоренный характер. Таково, например, движение корабля в «парадоксе близнецов».
Значит, часы, двигающиеся с ускорением, всегда отстают от часов ИСО. Это дает
принципиальную возможность для «путешествий в будущее» (и никак не в прошлое (!)).
Релятивистский закон сложения скоростей.
По закону векторного сложения скоростей
v  u  v ,
в ньютоновской механике можно полу-
чить скорости, превышающие скорость света. Понятно, что такой закон сложения скоростей не
может удовлетворять требованиям специальной теории относительности, для которой скорость
света является предельной скоростью и одинакова для всех систем отсчета. Закон преобразования скоростей, удовлетворяющих этим требованиям, нужно вывести, пользуясь преобразованиями
Лоренца.
Рассмотрим ИСО K и K  , в которых пространственно-временные координаты события связаны между собой преобразованиями Лоренца
x
Закон движения частицы в ИСО
ав
K
x  ut 
1 u 2 c 2
, y  y , z  z  , t 
t   ux / c 2
1 u 2 c 2
.
(4.26)
выражается следующими соотношениями:
x  x(t ), y   y (t ), z   z (t ) ,
(4.27)
x  x(t ), y  y(t ), z  z (t ) ,
(4.27')
K-
Мгновенная скорость частицы в
K
определяется как:
 dx dy  dz  
v  (vx , vy , vz )  
,
,

 dt  dt  dt  
(4.28')
v  vx  vy  vz ,
2
2
2
а в К-
 dx dy dz 
v   vx , v y , vz    , , 
 dt dt dt 
(4.28)
v  vx 2  v y 2  vz 2 .
Дифференцируя преобразования Лоренца (4.26), имея в виду, что u = const, с = const:
dx 
dx  udt 
1 u 2 c 2
, dy  dy , dz  dz , dt 
dt   udx / c 2
1 u 2 c 2
,
с учетом (4.28) и (4.28') получим
2
2
vx  u
dx
dy vy 1 u c 
vx  
, vy  
,
dt 1 uvx / c 2
dt 1 uvx / c 2 
, K  K
2
2

dz v 1 u c
vz   z

dt 1 uvx / c 2

(4.29)
Подобным же образом получим обратные преобразования:
v y 1 u 2 c 2 
vx  u
vx 
, vy 
,
1 uvx / c 2
1 uvx / c 2 
, K   K
2
2
v 1 u c

vz  z
2

1 uvx / c

(4.29')
Как и преобразования Лоренца, соотношения релятивистского сложения скоростей
(4.29) и
(4.29') при медленных движениях (которым соответствует с = ∞) приводят к классическим формулам (3.15'). Обратим особое внимание на тот факт, что в знаменателях всех дробей полученных формул фигурирует только составляющая
относительного движения ИСО.
( vy
Заметим, что если движение частицы в
 vx  0 ),
vx , т.е. проекция скорости частицы на направление
K  не
имеет продольных составляющих скорости
то она не будет иметь таковых и в К ( vx
 vy  0 ).
В подобных случаях, опуская
индекс x, получим:
v
v  u
v u

,
v

1 uv / c 2
1 uv / c 2
.
(4.30)
Легко убедиться, что эти формулы запрещают движения со скоростями большими скорости
света. Если частица имеет скорость v  = 0,8c в K  , движущейся со скоростью u = 0,9c относительно К, то Галилеев закон сложения скоростей дает относительно К скорость v = 1,7c (!). На самом
деле, согласно (4.30), частица имеет скорость меньшую скорости света: v = 1,7c/1,72 < c. Если в
системе K  распространяется свет, т.е.
сти скорости света.
v =
c, то (4.30) дает v = c, что соответствует абсолютно-
Аберрация света.
Предположим, что частица двигается в
K
в плоскости
X Y  и вектор его скорости составляет с осью X  угол  
vx  v cos , vy  v sin  , vz  0
(4.31)
В этом случае движение частицы в К будет происходить в плоскости XY, однако вектор его скорости составит с осью X
другой угол
:
vx  v cos , vy  v sin  , vz  0
Используя формулу (4.29) и учитывая соотношения (4.31), (4.32), получим:
(4.32)
v cos 
v cos   u
,
1 vu cos  / c 2
v sin   1 u 2 c 2
v sin  
1 vu cos  / c 2
Отсюда получим
sin   1 u 2 c 2
tg 
cos   u / v
v  v
2
2
(4.33)
1 2u cos  / v  u 2 sin 2   / c 2  u 2 / v2
1 uv cos  / c2 
(4.34)
2
K
K
Заметим, что угол, составляемый вектором скорости частицы с осью X, различен в
и
. Причем, это различие не
исчезает в соответствующем классическом случае, когда в формулу (4.33) подставляем c=∞. Это понятно: например, капли дождя падающие вертикально относительно Земли кажутся косыми для наблюдателя в движущемся транспорте.
Интересно, что различие между углами в К и
гда
K  сохраняется даже в случае распространения узкого пучка света, ко-
v = c. В этом случае из (4.34) получаем v=c, как и следовало ожидать, а из (4.33)
sin   1 u 2 c 2
tg 
cos   u / c
(4.35)
Это явление, которое получило название аберрация света, была обнаружена Брэдли в 1727г. Наблюдая и исследуя
изменения положений звезд на небосводе, Брэдли обнаружил, что, например, чтобы наблюдать звезду γ Дракона в зените
телескоп нужно направлять не вертикально вверх (т.е. к зениту), а нужно направить под углом α = 20´´, 5 угловых секунд. Данное явление Бредли объяснил орбитальным движением Земли вокруг Солнца и получил для этого угла формулу
tg  v / c ,
(4.36)
которая в точности дает наблюдаемый угол, если учесть скорость орбитального движения Земли
Формула Брэдли (4.36) получается из соотношения (4.35), если принять за систему
v
v ≈ 30км/с.
K  гелиоцентрическую ИСО, а си-
   90 , так как звезда находится в направлении, перпендикулярном
90 -   , поскольку α – это угол, составленный световым лучом с вертика-
стему К свяжем с Землей. В этом случае u=  ,
0
0
скорости орбитального движения Земли, а α =
лью (а не угол с вектором скорости движения Земли). В результате получим формулу
tg 
u
c 1 u 2 c 2
,
(4.37)
которая в при малых значенияз величины u/c совпадает с (4.36).
Относительная скорость частиц в релятивистской механике.
Пусть в инерциальной системе отсчета имеются две частицы, двигающиеся со скоростями
v1
и
v2
(рис. 4.7а).
Относительная скорость двух частиц – это скорость одной частицы в системе, связанной с другой частицей.
рис. 4.7а
рис. 4.7б
v2 , и со второй частицей свяжем систему
K v1 лежит в плоскости XY: v1 (v1 x , v1 y ,0) . Фактически искомая от-
Не нарушая общности задачи, направим ось X системы К по направлению
K
(рис.4.7б). Для ясности предположим, что в
носительная скорость – это вектор
v1 (v1x , v1y ,0) , составляющие которой можно получить, пользуясь законом преобра-
зования скоростей (4.30), приняв u=v2:
v1 y 1 v22 c 2
v1x  v2
v1x 
, v1y 
, v1z  0 .
1 v1x v2 / c 2
1 v1 x v2 / c 2
(4.38)
Для модуля этой относительной скорости нетрудно получить следующую формулу
(v1  v2 ) 2   v1 v2  / c 2
2
v1 
2
1 (v1v2 ) / c 
2
2
,
(4.39)
где мы воспользовались выражениями векторного и скалярного умножения векторов в прямоугольной системе координат,
учитывая, что v2=v2x , v2y=0, v2z=0.
Заметим, что в ньютоновском приближении эта относительная скорость выражается формулой
v1  v1  v2  v12 ,
(4.40)
которая получается также из (4.39), если подставить c=∞.
Из формулы относительной скорости (4.39) в частности следует, что частицы, двигающиеся друг навстречу другу со
скоростями v, приближаются не со скоростью 2v, как получается из формулы (4.40), а со скоростью








2v /(1 v2 / c2 ) .
Контрольные вопросы:
Сформулируйте постулаты специальной теории относительности.
В чем состоит возражение Ритца?
Как определяется одновременность событий?
Докажите относительность одновременности.
Что дают преобразования Лоренца?
Выводите формулы лоренцева сокращения длин и замедления хода времени.
Как разрешается «парадокс близнецов»?
Выводите релятивистский закон преобразования скоростей.
Литература
1. Абрамян М.Г. Физические основы механики. Изд. ЕГУ, 1997 – 370 стр. (на армянском яз.).
2. Сивухин Д.В. Обший курс физики. Механика. М., Наука, 1979 – 520 стр.
3. Китель Ч., Найт У., Рудерман М. Берклеевский курс физики, том 1, Механика. М., Наука,
1975 -480 с. (БКФ, Механика).
4. Абрамян М.Г., Бадалян Э.С. Задачник по общему курсу физики. «Эдит-принт», 2002 – 220
стр.
5. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. «Лань», 2001 – 416 стр.