МГТУ им. Н.Э. Баумана Домашнее задание по теме: «Электромагнитная индукция» Студент: Сироткин Н.В. Группа: РК9-32 Вариант: №20 Москва, 2005г. Условие: По двум гладким медным шинам скользит невесомая перемычка, к которой приложена переменная сила F(t). Сопротивление перемычки равно Ro, поперечное сечение S, концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0. Перемычка замыкает электрическую цепь, состоящую либо из конденсатора ёмкости С, либо из индуктивности L или из сопротивления R, в соответствии с рисунком. Расстояние между шинами l. Система находится в однородном переменном магнитном поле с индукцией В(t), перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ускорение перемычки в начальный момент времени конечно, а положение ее определено и равно Y(0) =Y0. Закон изменения магнитного поля для нечетных вариантов ВZ = c exp(- mt), Закон изменения силы для всех вариантов FY = -f exp (-nt); Константы f и c считать известными. Определить: 1) закон изменения тока I(t); 2) закон движения перемычки Y = Y(t); 3) максимальное значение Ymax; 4) законы изменения проекции силы Лоренца на ось X (Fлx) и на ось Y (Fлy), действующей на электрон; 5) закон изменения напряженности электрического поля в перемычке E(t); 6) установить связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца, действующей на все электроны в перемычке. 7) построить зависимости тока через перемычку (I(t) / I max), Y(t)/Y(0). z № варианта n m 21 n 3n x L B Ro y Z Дано: X F fe nt , R0, S, L, n0, l, Bz ce mt , M=0; Y(0)=Yo; 1) I(t) - ?; 2) Y=Y(t) - ?; 3)Ymax - ?; 4) Fly - ?; L S B 5) Flx -? 6) E(t) - ?; Y 2 I C I M R V dl e Ve R0 Fлx Fлy ε 1 n F L E FA + 1) Рассчитаем магнитный поток через поверхность S, натянутую на проводящий контур: ( B dS ) BdS cos( B, dS ); S (1) S Так как n B , то cos( B, dS ) cos 0 1; С учетом этого: BdS cos( B, dS ) BdS BS ; S (1.1) S Площадь контура и индукция магнитного поля есть функции времени t, поэтому магнитный поток будет функцией t: (t ) B(t )S (t ) ce mt ly (t ) cle 3nt y(t ); (1.2) Применим для определения ЭДС индукции закон Фарадея: d ; dt (1.3) Подставим сюда выражение из (1.2) и продифференцируем: d d e 3nt y(t ) cl 3cnle 3nt y (t ) cle 3nt y (t ); dt dt (1.4) Определим по правилу Ленца направление индукционного тока и учтем его в дальнейших рассуждениях, обозначив на чертеже. Для определения силы I используем основное уравнение динамики в проекции на ось Y: (1.5) М y Fy FA F ; Учитывая, что стержень невесомый получаем: (1.6) FA F (t) fe nt Найдем силу Ампера, действующую на перемычку: dF I [dl, B] . Поэтому, учитывая, что dl B sin( dl , B) 1 и интегрируя по длине перемычки, получим: FA IBdl sin( dl , B) IB dl IBl ; (1.7) l l Из уравнений (1.6) и (1.7) получаем: IBl =F(t); F (t ) fe nt I Bl Bl тогда: при Bz ce 3nt : fe 2 nt (1.8); cl 2) Составим эквивалентную схему и рассчитаем зависимость координаты Y от времени. Закон Ома для неоднородного участка цепи: R0 I 1 2 ; (2.1) I= dI fe 2 nt и 2 1 U L перепишем (2.1) в виде: dt cl nf 2 L e 2 nt e 3n (3ncly (t ) cly (t )) (2.2) cl Учитывая, что I R0 f 2 nt e cl перепишем данное выражение с условием, что U L dI nf 2 L e 2 nt : dt cl R0 f 2 nt e U e 3nt (3ncly (t ) cly (t )) cl Решим данное дифференциальное уравнение fn y (t ) 3ny (t ) 2 2 ( R0 2 Ln)e 5nt ; c l Данное уравнение — линейное с постоянными коэффициентами, и правой частью специальной вида. Общее решение связанного однородного уравнения: Yо.о ke3nt ; Частное решение неоднородного уравнения запишем в виде: Yч.н. f ( R0 2 Ln)e 5 nt ; 2 2 2c l Общее решение данного уравнения записываем в виде: Y (t ) Yо.о Yч.н. ke3nt f ( R0 2 Ln)e 5nt ; 2 2 2c l Произвольную постоянную k определим из начального условия Y (0) Y0 : f k 2 2 ( R0 2 Ln) Y0 ; 2c l Окончательно: Y(t)= ( f f 3nt ( R 2 Ln ) Y ) e ( R0 2 Ln)e 5nt ; 0 0 2 2 2 2 2c l 2c l (2.4) 3) Определим максимальное значение Y(t) = Ymax: dY f 5nf 3n( 2 2 ( R0 2 Ln) Y0 )e 3nt 2 2 ( R0 2 Ln)e 5 nt 0 . dt 2c l 2c l Логарифмируя, получим: t0 1 3f 5f [ln 2 2 ( R0 2 Ln) Y0 ln 2 2 ( R0 2 Ln ] 2n 2c l 2c l 3 3 Y0 c 2 l 2 f Y0 2 2 R0 2 Ln ; Ymax Y (t 0 ) 2c l 5 5 f ( R0 2 Ln) 2 (3) 4) Найдем проекцию силы Лоренца, действующей на заряды в перемычке в проекции на ось Y. Движение электрона складывается из собственного движения в проводнике и движения вместе с перемычкой. Силу Лоренца в проекции на ось Y вызывает собственное движение электронов: Fлy e[v x B ]; (4) Найдем скорость движения электронов в проводнике: j . j nev x , отсюда v x ne I Подставляя сюда j , получим: S j I vx ; (4.1) ne neS Подставляя в это выражение формулу из (1.8) получим: I 1 fe 2 nt (4.2) vx ; neS neS cl Подставим найденное соотношение (4.2) в исходную формулу (4) и учитывая, что v x B sin( v x , B) 1 : fe nt (4.3) ; nlS 5) Найдем проекцию силы Лоренца, действующей на заряды в перемычке в проекции на ось X. Силу Лоренца в проекции на ось Y вызывает переносное движение электронов вместе с перемычкой. Данная сила компенсируется силами реакций медных шин. Fл x e[v y B]; (5) Скорость переносного движения электронов равна скорости движения перемычки: f 5nf v y v y 3n( 2 2 ( R0 2 Ln) Y0 )e 3nt 2 2 ( R0 2 Ln)e 5 nt ; (5.1) 2c l 2c l Подставляя полученное в формулу (5) и учитывая, v y B sin( v y , B) 1 записываем: Fлy e[v x B] ev x B sin( v, B) f 5nf Fлx e[v y B] ev y B sin( v y , B) e 3n( ( R0 2 Ln) cY0 ) ( R0 2 Ln)e 2 nt 2 2 2c l 2c l (5.2) 6) Найдем напряженность электрического поля в перемычке: d Имеем: E grad , E l . (6) dx Из уравнения (2.1) получаем, отсчитывая потенциал от точки M: R( x) I ( x) (7.1) Считаем, что сопротивление в перемычке однородно по длине и получаем: R R ( x) x; l Отсюда: ( x) R( x) I ; (7.2) Подставляя в (7) и используя (2.2), получим: d d ( R( x) I ) fR El 2 e 2 nt (7.3) dx dx cl 8) Выполним проверку полученных результатов: Сила Ампера является результатом действия силы Лоренца на каждый носитель электрического заряда и является суммой этих сил. (8) FA Fл . Вычислим силу Ампера как сумму сил Лоренца, действующих на электроны в перемычке: Fa Fлy N ; где N – кол-во электронов в перемычке. (8.1) N nSl Подставляя выражения (8.2) и (5.3) в (8.1) получим: fe nt FA Fлy N nSl fe nt ; nlS (8.2) Сравнивая полученный результат, со значением силы, полученным в (1.6), убеждаемся, что они совпадают. Выполним проверку единиц измерения: 1 [I ] Н А; мТл [ Y] Н Гн Ом м; 2 2 с Тл м [E] Н * Ом В ; Тл * м 2 м 9) Построим графики зависимостей I (t ) Y (t ) : и I max Y (0) I (t ) e nt ; I max Y (t ) f f ( 2 2 ( R0 2 Ln) 1)e 3nt 2 2 ( R0 2 Ln)e 5 nt A 1e 3nt A e 5 nt ; Y ( 0) 2c l Y0 2c l Y0 где A f ( R0 2 Ln) 2c 2 l 2Y0 Ответ: 1) I= fe 2 nt cl 2) Y(t)= ( f f 3nt ( R 2 Ln ) Y ) e ( R0 2 Ln)e 5nt ; 0 0 2 2 2 2 2c l 2c l 3 3 Y0 c 2 l 2 f Y0 2 2 R0 2 Ln ; 3) Ymax Y (t 0 ) 2c l 5 5 f ( R0 2 Ln) 2 I (t ) Y(tfe ) nt и 4) ; I maxFлy Y 0 nlS f 5nf ( R0 2 Ln) cY0 ) ( R0 2 Ln)e 2 nt 5) Fлx e 3n( 2 2 2c l 2c l fR 6) E(t) 2 e 2 nt ; cl Y(t) 1 I 0 t