L16-1

Лекция 16
Упругие деформации твердого тела
Типы деформации. Сжатие и растяжение. Закон Гука. Постоянные
упругости, связь между ними. Энергия упругой деформации. Сдвиг,
кручение и изгиб.
Под действием внешних сил тела меняют свою форму и размеры. Такие изменения
называются деформациями. Различаются упругие и пластические деформации.
Если после прекращения приложенных сил деформация исчезает, то деформация
является упругой, а если не исчезает - пластической. Вообще-то упругость или
пластичность деформации зависит не только от материала тела, но и от величины
приложенных сил. Если сила, отнесенная к единице площади, не превосходит так
называемого предела упругости, то деформация будет упругой, в противном случае –
пластической.
Будем считать тела идеально упругими, которые могут претерпевать только
упругие деформации. Для этого будем считать, что приложенные нами силы не
превосходят предела упругости. Причем ограничимся изучением только малых
деформаций, т.е. таких, которые подчиняются закону Гука - деформации
пропорциональны вызывающим их силам.
рис. 16.1
Весь объем деформированного тела находится в напряженном состоянии. Мысленно
разделим тело на две части (рис. 16.1). Силы деформации распределены по всему
сечению АВ. Возьмем на поверхности АВ элементарную площадку d с нормалью n .
Пусть dF – сила, с которой на этом элементе нижняя часть тела действует на
верхнюю. Сила, отнесенная к единице площади, т.е.
  dF / d ,
называется напряжением. Очевидно, с таким же напряжением верхняя часть тела
через тот же элемент действует на нижнюю часть, только в противоположном
направлении. Вектор напряжения σ разложим на составляющую вдоль нормали и
составляющую, лежащую в плоскости элемента dΣ. Первая составляющая называется
нормальным, а вторая – тангенциальным напряжениями.
Отличаются следующие типы деформаций: растяжение (сжатие), сдвиг,
кручение и изгиб.
Растяжение и сжатие стержней.
Приложим к основаниям однородного стержня АВ растягивающие (или сжимающие)
силы F . Стержень будет деформирован. Мысленно проведем произвольное сечение C,
перпендикулярное к оси стержня (рис 16.2). Для равновесия стержня АС необходимо,
чтобы на его нижнее основание C действовала сила
F1  F .
Эта сила вызвана
деформацией нижней части стержня и является силой упругости. Верхняя половина
стержня тоже деформирована. Она действует на нижнюю часть с упругой силой
 F1 .
Такие силы действуют в любом поперечном сечении деформированного стержня и
перпендикулярны к сечению.
рис. 16.2
Напряжение растянутого (сжатого) стержня называют натяжением (давлением):
  F / ;  P  F /   ,
где

–
поперечное
сечение
стержня.
Давление
 P    .
отрицательное натяжение и наоборот
(16.1)
можно
рассматривать
как
Это освобождает от необходимости
отдельного рассмотрения растяжения и сжатия.
Пусть
0-
приращение
длина недеформированного стержня, которая при деформации получает
. Отношение

/
0
называется относительным удлинением (сжатием) стержня.
Для
малых
деформаций
натяжение
(давление)
относительному удлинению (сжатию):
  E
 P   E  ,
(16.2)
пропорционально
(16.3)
где
E – постоянная величина, зависящая от материала стержня и его
термодинамического состояния. Она называется модулем Юнга (1773-1829) и
является важной характеристикой упругих свойств материалов. Формулы (16.3)
выражают закон Гука (1635-1705) для растяжения и сжатия стержней. Если в (16.3)
положить   1 , то получится   E . Поэтому часто модуль Юнга определяют как
натяжение, необходимое для удвоения длины стержня. Однако при таких больших
деформациях закон Гука нарушается: тело либо разрушается, либо деформация
становится пластической.
Для малых деформаций справедлив принцип суперпозиции деформаций: если
на тело одновременно приложены несколько сил, то результирующая деформация
равна сумме деформаций, вызванных каждой силой в отдельности.
Энергия упругой деформации.
Деформированное тело может совершить работу, так как оно обладает запасом
потенциальной энергии, называемой упругой энергией. Она равна работе сил,
затраченной на деформацию тела, не увеличивая его кинетической энергии. Для
соблюдения последнего, деформацию надо производить достаточно медленно,
постепенно увеличивая приложенную силу так, чтобы в любой момент времени каждая
часть тела находилась в равновесии. При этом говорят, что процесс деформации
является квазистатическим.
Вычислим теперь энергию упругой деформации стержня. Приложим к стержню
f  x
конечного
f  0 до
x  . По
закону
материала
растягивающую силу
и медленно увеличим от начального значения
f  F . При этом удлинение стержня будет меняться от x  0 до
Гука f  x   kx , где k – коэффициент упругости, который помимо
стержня зависит также от формы и размеров тела:
k  E / .
(16.4)
При квазистатической деформации стержня вся работа силы
f
переходит в
приращение упругой энергии стержня:
U 

0

f ( x)dx  k  xdx  12 k ( )2  12 F 
,
(16.5)
0
где
F – конечное значение деформирующей силы.
Если бы стержню сразу приложили постоянную силу F , то при удлинении стержня
на
, совершалась бы вдвое больше работы: A  F
. Но упругая энергия стержня
все равно выражается формулой (16.5) и составляет ровно половину совершенной
работы. Вторая половина расходуется на увеличение кинетической энергии упругих
колебаний и волн, которые возбуждаются в стержне из-за неквазистатичности процесса
деформации.
Энергия упругой деформации распределена по всему объему тела. Энергия w ,
приходящая на единицу объема тела, называемая объемной плотностью упругой
энергии, равна:
w
U 1F
1

  .

2
2
(16.6)
Пользуясь законом Гука, эту формулу можно привести к виду
1 2 2
w  E 
2
2E
.
(16.7)
Под действием приложенной силы изменяются не только продольные, но и
поперечные размеры стержня. Если поперечный размер стержня равен b , который при
b,
деформации
получил
приращение
относительным поперечным сжатием
поперечного сжатия к соответствующему
коэффициентом Пуассона (1781-1840):
   b / b : 
/
 b / b называется
то
величина
стержня. Отношение относительного
продольному удлинению называется
  
b / b  / b .
(16.8)
Заметим, что
 0,
b  0,
b
и
всегда имеют противоположные знаки – при растяжении
а при сжатии – наоборот. Так что коэффициент Пуассона –
положительная величина, зависит только от материала тела и является важной
характеристикой упругих свойств тела. Можно показать, что всегда
 1 2 .
Основным видом малых деформаций является растяжение (и сжатие), поэтому
модуль Юнга и коэффициент Пуассона полностью характеризуют упругие
свойства тел. Все прочие коэффициенты и модули упругости могут быть выражены
через постоянные E и  .