Методы современной математики в физике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПРИНЯТО
на заседании Совета
физико-математического факультета
Протокол заседания № ____
от «_____» ________________201_ г.
УТВЕРЖДАЮ
Проректор по учебной работе
_______________ В.Б. Механов
Декан физико-математического
факультета ____________В.Д. Кревчик
«_____» ___________________ 201_ г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ
«Методы современной математики в физике»
Направление подготовки ______050100___ Педагогическое образование___
Профиль подготовки ______________ Физика
Квалификация (степень) выпускника – Бакалавр
Форма обучения ______________________очная_____________________
Пенза – 2013
1. Цели освоения дисциплины
Целью изучения дисциплины «Методы современной математики в физике» являются
формирование систематических знаний в области математического анализа, о его месте
и роли в системе математических наук, приложениях в естественных науках.
2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата
Дисциплина «Методы современной математики в физике» относится к дисциплинам
по выбору вариативной части профессионального цикла Б.3. Для освоения дисциплины
используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения
предметов «Математический анализ», «Линейная алгебра». Дисциплина «Методы
современной математики в физике», наряду с дисциплинами «Дифференциальная геометрия
и аналитическая механика» является фундаментом профессионального образования.
3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения
дисциплины «Методы современной математики в физике»
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих
компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:
ОК-1
ОК-6
СК-4
СК-5
владеет
культурой
Знать: основные методы доказательства
мышления, способен к при обосновании собственной точки зрения.
обобщению,
анализу,
Уметь: применять методы доказательств
восприятию информации, при построении умозаключений.
постановке цели и выбору
Владеть: методами доказательства от
путей её достижения;
противного,
методом
логического
следования, методом силлогизма, методом
исключенного третьего.
способен
логически
Знать: правила корректного построения
верно строить устную и умозаключений.
письменную речь;
Уметь: применять правила логически
верного умозаключения.
Владеть: навыками логически стройной
устной и письменной речи.
владеет
математикой
Знать:
основные
примеры
как универсальным языком детерминированных
и
стохастических
науки,
средством математических
моделей
в
теории
моделирования явлений и потенциала, в теории поля, в теории
процессов,
способен упругости, в гидродинамике, в теории
пользоваться построением колебаний,
математических
моделей
Уметь:
строить
примеры
для решения практических математических
моделей
в
теории
проблем,
понимать потенциала, в теории поля, в теории
критерии
качества упругости,
гидродинамике,
в
теории
математических
колебаний, в квантовой теории поля.
исследований,
принципы
Владеть:
навыками
использования
экспериментальной
и основных математических моделей в
эмпирической
проверки решении практических задач.
научных теорий
владеет содержанием и
Знать: основные положения общей и
методами
элементарной теоретической физики, знать технику
математики,
умеет применения
метода
Фурье,
метода
СК-6
анализировать
спектральных разложений, стохастические
элементарную математику с методы для задач математической физики.
точки
зрения
высшей
Уметь:
использовать
положение
математики
математической физики о корректной
постановке краевой задачи при решении
задач элементарной алгебры и начал анализа
в деятельности по проверке корректности
любой математической задачи.
Владеть:
навыками
использования
утверждений и детерминированных и
стохастических методов математической
физики при решении математических и
физических задач.
владеет
основными
Знать:
историю
развития
положениями
истории математической физики, теории Фурье,
развития
математики, спектрального анализа, стохастического
эволюции математических подхода к изучению физических явлений.
идей
и
концепциями
Уметь: прослеживать основные этапы
современной
развития математической физики, теории
математической науки
Фурье, спектрального анализа, теории
вероятностей.
Владеть:
основными
положениями
истории развития математической физики,
эволюции идей Фурье, идеи спектрального
анализа, идей обобщенной функции, идей
стохастического анализа.
4. Трудоемкость дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 4 зачетных единицы, 144 часа.
Продолжительность изучения дисциплины 1 семестр.
5. Образовательные технологии
В ходе освоения дисциплины при проведении аудиторных занятий используются
следующие образовательные технологии: лекции, практические занятия с использованием
активных и интерактивных форм проведения занятий и др.
При организации самостоятельной работы занятий используются следующие
образовательные технологии: коллоквиум, конспектирование отдельных тем по указанной
литературе, работа с пакетом символьной математики MatLab, получение консультаций
преподавателя по трудным темам.
6. Контроль успеваемости
Программой дисциплины предусмотрены следующие виды текущего контроля:
дифференцированный зачет, контрольная работа.
Промежуточная аттестация проводится в форме: дифференцированный зачет в 4
семестре.
4. Структура и содержание дисциплины «Современные методы математической физики»
2.1
2.2
2.3
Пространство Соболева
Сферические функции
Вариационное исчисление;
11-18
11-13
14-16
17-18
5
20
10
10
16
32
16
16
6
6
4
12
12
8
6
6
4
6
6
4
17
18
19 20
9
13
17
21
др.
20
10
16
курсовая работа (проект)
5-10
10
эссе и иные работы
10
15
реферат
6
6
4
20
13
20
контрольная работа
12
12
8
1-5
11 12
тест
16
8
коллоквиум
32
7
20
Формы текущего контроля успеваемости (по
неделям семестра)
собеседование
10
6
20
Подготовка к коллоквиуму,
собеседованию
10
5
40
Курсовая работа
20
3
4
4 1-10
Реферат, эссе и др.
Подготовка к аудиторным
занятиям
Вариационное
Всего
Раздел
2.
исчисление
10
Лабораторные занятия
2.
10
20
Практические занятия
Введение. Задача ШтурмаЛиувилля.
Уравнения Лапласа;
1.2. интегральные уравнения;
теория потенциала
1.1.
9
40
Лекция
2
Раздел 1. Теория потенциала
Виды учебной работы, включая самостоятельную
работу студентов и трудоемкость
(в часах)
Самостоятельная
Аудиторная работа
работа
Всего
1
1.
Наименование
разделов и тем
дисциплины (модуля)
Семестр
№
п/п
Недели семестра
4.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет _4 зачетных единиц, _144_ часов.
22
решение краевых задач
Общая трудоемкость в часах
72
36
36
72
36
36
Промежуточная аттестация
Форма
Семестр
Зачет
4 семестр
дифференцированн
ый
4.2. Содержание дисциплины
Раздел 1. Теория потенциала
Тема 1.1. Введение. Задача Штурма-Лиувилля. Вывод основных уравнений
математической физики и постановка граничных условий. Классификация линейных
уравнений второго порядка. Приведение уравнения к каноническому виду. Многомерная
формула интегрирования по частям. Формулы Грина. Задача Коши. Характеристики.
Соотношение между данными Коши на характеристике. Формулировка теоремы Коши Ковалевской.
Тема 1.2. Уравнение Лапласа. Формула Пуассона. Свойства гармонических функций,
вытекающие из формулы Пуассона. Теоремы единственности и необходимые условия
разрешимости для внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана. Интегральные
уравнения.
Теория потенциала. Исследование интегральных уравнений теории
потенциала. Разрешимость краевых задач для оператора Лапласа.
Раздел 2. Вариационное исчисление
Тема 2.1. Пространство Соболева. Задача Штурма - Лиувилля. Постановка задачи
Штурма - Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма - Лиувилля.
Тема 2.2. Сферические функции. Гармонические полиномы и сферические функции.
Дифференциальное уравнение сферических функций. Ортогональность на сфере
сферических функций различных порядков.
Тема 2.3. Вариационное исчисление. Локальный экстремум функционала. Определение
первой вариации. Вывод уравнения Эйлера для одномерного функционала; естественные
граничные условия. Решение краевых задач. Фредгольмова разрешимость задачи
Дирихле. Теоремы единственности для задачи Дирихле.
5. Образовательные технологии.
В ходе освоения дисциплины «Методы современной математики в физике», при
проведении аудиторных занятий, используются технологии традиционных
и
нетрадиционных учебных занятий.
Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы
изучения материала как лекция, лабораторные занятия, практические занятия:
 информационная лекция:
Тема 1.1. Классификация линейных уравнений второго порядка.
 Тема 1.2. Уравнение Лапласа. Формула Пуассона. Свойства гармонических
функций, вытекающие из формулы Пуассона.
Тема 2.3. Вариационное исчисление. Локальный экстремум функционала.
Определение первой вариации
 лекция-визуализация:
Тема 2.2. Сферические функции.
Тема 2.1. Вариационное исчисление. Локальный экстремум функционала.
Практические занятия направлены на формирование у студентов умений и навыков
решения задач, в том числе с практическим содержанием и исследовательских задач. В
ходе проведения практических занятий используются задания учебно-тренировочного
характера и задания творческого характера.
При изучении дисциплины «Методы современной математики в физике»
используются активные и интерактивные технологии обучения, такие как:
технология сотрудничества, включающая работу в малых группах (тема 2.2. Сферические
функции.
 тема 2.3. Вариационное исчисление;
 медиатехнология (подготовка и демонстрация презентаций);
 кейс-технология (проблемный метод, работа в парах и группах).
Нетрадиционные учебные занятия проводятся в форме тренинга, занятийсоревнований (заключительные практические занятия по изучаемым темам).
Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием
интерактивных технологий составляют 25% от общего количества аудиторных занятий.
Самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством
преподавателя (консультации, коллоквиумы) и индивидуальную работу студента,
выполняемую, в том числе, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на
физико-математическом факультете университета.
При реализации образовательных технологий используются следующие виды
самостоятельной работы:
 работа с конспектом лекции;
 работа с учебником;
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией;
 поиск информации в сети «Интернет» и дополнительной и справочной
литературе;
 мини-исследование;
 подготовка к сдаче экзамена.
6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы
студентов.
Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,
промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.
Самостоятельная работа студента.
Неделя
1
4
семестр
1-5
6-10
№
темы
2
1
Вид самостоятельной работы
1.1.
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекций:
Классификация линейных уравнений второго
порядка.
 работа с учебником:
Свойства гармонических функций, вытекающие из
формулы Пуассона.
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к коллоквиуму
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
Уравнение Лапласа. Формула Пуассона.
 работа с учебником:
Уравнение Лапласа.
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка к коллоквиуму
1.2.
3
Теория потенциала
Рекомендуемая
литература
4
Часы
1,2,3 (1,2)
20
1,2,3 (1,2)
20
5
20
11-13
2
2.1.
14-16
2.2.
17-18
2.3
Вариационное исчисление
Подготовка к аудиторному занятию:
Вариационное исчисление. Локальный экстремум
функционала.
работа с конспектом лекции:
Определение первой вариации
 работа с учебником:
изучение вопроса:
Вариация функции
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка доклада по заданной теме с
компьютерной презентацией;
 подготовка к коллоквиуму.
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
Вывод уравнения Эйлера для одномерного
функционала; естественные граничные условия.
 работа с учебником:
изучение тем: «Вариация функции
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка доклада по заданной теме с
компьютерной презентацией;
 мини-исследование “ Решение краевых задач.
Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле.
Теоремы единственности для задачи Дирихле. ”
Подготовка к аудиторному занятию:
 работа с конспектом лекции:
Решение краевых задач. Теоремы единственности
для задачи Дирихле.
работа с учебником:
изучение вопроса:
Теоремы единственности для задачи Дирихле и
Неймана.
 решение задач и упражнений по образцу;
 решение вариативных задач и упражнений;
 подготовка доклада по заданной теме с
компьютерной презентацией;
подготовка к коллоквиуму.
1,2,3 (1,2)
40
12
1,2,3 (1,2)
12
1,2,3 (1,2)
8
Примерные варианты контрольной работы
В каждом варианте нужно выполнить следующие задания:
1. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности
уравнения и исследовать их зависимость от l, где l – числовой параметр.
2. Найти все собственные числа и собственные решения краевой задачи
(задача Штурма – Лиувилля)
3. Привести уравнение к каноническому виду.
4. Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на
отрезке.
5. Найти решение
первой смешанной
задачи для
уравнения
теплопроводности на отрезке.
6. Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Вариант 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Примерные вопросы к собеседованиям
1. Многомерная формула интегрирования по частям. Формулы Грина.
2. Теоремы единственности и необходимые условия разрешимости для
внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана.
3. Интегральные уравнения.
4. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям.
5. Функции Бесселя и их свойства.
6. Явное построение сферических функций (случай n=2 и n=3).
7. Пространства основных и обобщенных функций. Регулярные
обобщенные функции. Функция Дирака.
8. Вывод уравнения Эйлера для одномерного функционала;
естественные граничные условия.
9. Вариационный принцип для собственных значений.
10.Вывод основных уравнений математической физики и постановка
11.Уравнение Лапласа. Формула Пуассона.
12.Интегральные уравнения.
13.Теория потенциала.
14.Задача Штурма - Лиувилля.
15.Сферические функции.
16.Обобщенные функции и пространства Соболева.
17.Вариационное исчисление.
18.Решение краевых задач.
Вопросы к зачету
1. Вывод основных уравнений математической физики и постановка
граничных условий.
2. Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение
уравнения к каноническому виду.
3. Многомерная формула интегрирования по частям. Формулы Грина.
4. Задача Коши. Характеристики. Соотношение между данными Коши
на характеристике. Формулировка теоремы Коши - Ковалевской.
5. Оператор Лапласа в сферических координатах. Преобразование
Кельвина.
6. Фундаментальное решение уравнения Лапласа.. Формула Пуассона.
7. Теоремы единственности и необходимые условия разрешимости для
внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана.
8. Объемный потенциал и его свойства. Сведение задач Дирихле и
Неймана к интегральным уравнениям.
9. Разрешимость краевых задач для оператора Лапласа.
10.Постановка задачи Штурма - Лиувилля. Функция Грина задачи
Штурма - Лиувилля. Фредгольмова разрешимость задачи Штурма Лиувилля.
11.Гармонические полиномы и сферические функции.
12.Пространства основных и обобщенных функций. Регулярные
обобщенные функции. Функция Дирака.
13.Фундаментальное решение дифференциального оператора.
Обобщенные производные по Соболеву..
14.Локальный экстремум функционала. Определение первой вариации.
15.Изопериметрическая задача; теорема Эйлера.
16.Вывод уравнения колебаний мембраны.
17.Теоремы единственности для задачи Дирихле. Обобщенная
постановка задачи Неймана. Теорема единственности. Разрешимость
задачи Неймана.
18.Схема метода Галеркина. Вариационно-разностный метод для
краевых задач. Вариационный принцип для собственных значений.
19.Метод Галеркина - Ритца для собственных значений.
20.Уравнение теплопроводности. Принцип максимума и его следствия.
21. Метод Фурье для параболического уравнения.
22.Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения.
Формулы Д' Аламбера для колеблющейся струны.
23.Свойства сферических средних.
24.Формула Кирхгофа.Метод спуска. Диффузия волн.
25.Метод Фурье.
8. Список основной и дополнительной литературы
Основная литература:
1. С.Г.Михлин. Курс математической физики // М., Наука, 2008.
2. В.И.Смирнов. Курс высшей математики. Т.4. Изд.6 // Ч.1. М., Наука,
20044; Ч.2. М., Наука, 2005.
2. В.С.Владимиров. Уравнения математической физики. Изд.5 // М., Наука,
2008.
3. М.М.Смирнов. Задачи по уравнениям математической физики // М.,
Наука, 2005.
Дополнительная литература:
1. С.Г.Михлин. Линейные уравнения в частных производных // М., ВШ,
2007.
2. О.А.Ладыженская. Краевые задачи математической физики // М., Наука,
2003.
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
№
1.
Math.ru
Электронный
адрес
www.math.ru
2.
Exponenta.ru
www.exponenta.ru
Название
Содержание
Сайт посвящён математике (и математикам. Этот сайт —
для школьников, студентов, учителей и для всех, кто
интересуется математикой. Тех, кого интересует зона
роста современной науки математика.
Студентам:
- запустить установленный у Вас математический пакет,
выбрать в списке примеров, решенных в среде этого
пакета, подходящий и решить свою задачу по аналогии;
Преподавателям:
- использовать математические
поддержки курса лекций.
пакеты
для
Всем заинтересованным пользователям:
– можно ознакомиться с примерами применения
математических пакетов в образовательном процессе.
– найти демо-версии популярных математических
пакетов,
электронные
книги
и
свободно
распространяемые программы.
3.
Математика
4.
5.
Truba.nnov
fismat
4.
Российское
образование.
Математика
для студентов
и прочее.
6.
www.mathematics.ru учебный материал по различным разделам математики –
алгебра, планиметрия, стереометрия, функции, графики и
другие.
www. truba.nnov.ru Сайт о математическом анализе.
www.fismat.ru
Высшая математика для студентов – интегралы и
производные, ряды; лекции,задачи, учебники.
www.edu.ru
федеральный образовательный портал: учреждения,
программы, стандарты, ВУЗы, тесты ЕГЭ.
www.xplusy.isnet.ru содержит большое количество видеолекций для
школьников, абитуриентов и студентов по математике и
физике.
8. Материально-техническое обеспечение дисциплины
«Методы современной математики в физике»
Для освоения данной дисциплины необходимы:
– мультимедийные средства обучения математическому анализу (компьютер и
проектор; интерактивная доска; Интернет - ресурсы).
Рабочая программа дисциплины Методы современной математики в физике» составлена в
соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций примерной ООП ВПО
по направлению подготовки _050100
Педагогическое образование и профилю
подготовки Физика.
Программу составил:
1._Яремко О.Э., кандидат физ.- мат. наук, _доцент_______________________
2.___________________________________________________________________
Настоящая программа не может быть воспроизведена ни в какой форме без
предварительного письменного разрешения кафедры-разработчика программы.
Программа одобрена на заседании кафедры _математического анализа
Протокол № ___
Зав. кафедрой математического
анализа
от «____» _________ 2011 года
___________________________
О.Э.Яремко
(подпись)
Программа одобрена учебно-методическим советом физико-математического факультета
Протокол № ___ от «____» ______________ 201__ года
Председатель учебно-методического совета
физико-математического факультета
________________________
О.П. Сурина