Часть_С_для_пробного_экзамена (1)

15. а) Решите уравнение
2 sin 2 x  sin x
 0.
2 cos x  3
5 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  4 ;  .
2 

16. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.
а) Докажите, что прямые ВD1 и АС перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины В до плоскости ACD1.
8
10

 0.
x log 2 16 x
18. Около остроугольного треугольника АВС описана окружность с центром О. На
продолжении отрезка АО за точку О отмечена точка К так, что ВАС  АКС  90 0 .
а) Докажите, что четырехугольник ОВКС вписанный.
б) Найдите радиус окружности, описной около четырехугольника ОВКС, если
5
cos ВАС  , а BC  72 .
13
17. Решите неравенство log 2
19. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С
сервера №1 при объеме t 2 гб. входящей в него информации выходит 20t , а с сервера №2
при объеме t 2 гб. входящей в него информации выходит 21t гб. обработанной
информации; 25  t  55 . Каков наибольший общий объем выходящей информации при
общем объеме входящей информации в 3364 гб.?
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
8х 6  а  х   х  2 
3
х а 0
имеет более трех различных решений.
21.Задуманно несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их
все всевозможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписывают на доску в порядке неубывания.
Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске
остается одно такое число n, а остальные числа, равные ему стираются. Например, если
задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7,8, 10, 11.
а) Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6,
8, 10.
б) Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске записан набор 1,
3, 4, 5, 6, 6, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 22?
в) Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске записан набор
7,8,10,15,16,17,18,23,24,25,26,31,33,34,41.


15. а) Решите уравнение cos 2 x  2 sin   x   1  0 .
2

5 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  4 ;  .
2 

16. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что АВ  6 , CD  6 и
CC1  4 .
а) Докажите, что плоскость ВDD1 перпендикулярна отрезку АС.
б) Найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1B1C1.
17. Решите неравенство
4 log 0,3 x  1
 log 0,3 x  1 .
log 0.3 x  1
18. Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой
стороны.
а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на
основание.
б) Известно, что радиус этой окружности в 6 раз больше радиуса вписанной окружности
треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой
стороной треугольника делит эту сторону?
19. 15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен
график его погашения.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
Долг (в
100%
90%
80%
70%
60%
50%
0%
% от
кредита)
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на 5%, а выплаты
по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с
февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы
самого кредита?
20. Найдите все значения а, при которых уравнение
log 2 x  a   log 2 x  a 2  3alog 2 x  a   log 2 x  a   2a 2  a  1  0
имеет ровно два решения.
21. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что ктото из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более
3
от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не
10
5
более
от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
12
а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе
16 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно
известно, что всего в группе 16 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в
группе без дополнительного условия пунктов а и б?
15. а) Решите уравнение 9 cos x  9 cos x 
10
.
3
7 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2 ;  .
2 

16. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 2.
а) Докажите, что плоскости AСВ1 и BВ1E1 перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения, проходящего через вершины А, D и С1.
17. Решите неравенство
11  5x 1
 1.5 .
25x  5 35  5x  2  2


18. В треугольнике АВС ВАС  60 0 , АВС  45 0 . Продолжения высот треугольника
АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N и P.
а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что ВС  12 .
19. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20% годовых.
Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей
переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько
рублей меньше он отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
3
х 6  5а  8 х   3х 2  24 х  15а  0
имеет более одного корня.
21. Имеется 8 карточек. На них записывают по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 5, -6, 7, -8,
9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по
одному каждое из чисел 1, -2, -3, 5, -6, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке
складывают, а полученные восемь сумм перемножают.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получится?
15. а) Решите уравнение 15cos x  3cos x  0,2  sin x .
 7

;2  .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
 2

16. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.
а) Докажите, что прямая ВD1 перпендикулярна плоскости А1С1D.
б) Найдите расстояние от вершины A до прямой ВD1.
17. Решите неравенство
4
5

 0.
lg 10 x lg 100 x
18. В треугольнике АВС проведены биссектрисы АА1 и СС1. Тоски К и М – основания
перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые АА1 и СС1.
а) Докажите, что МК и АС параллельны.
б) Найдите площадь треугольника КВМ, если известно, что АС  10 , ВС  6 и АВ  10 .
19. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С
сервера №1 при объеме t 2 гб. входящей в него информации выходит 20t , а с сервера №2
при объеме t 2 гб. входящей в него информации выходит 21t гб. обработанной
информации; 25  t  55 . Каков наибольший общий объем выходящей информации при
общем объеме входящей информации в 3364 гб.?
20. Найдите все значения а, при которых уравнение
a  1x
2



 3x  2 a  1x 2  3x  1  a 2  0
2
имеет ровно два решения.
21. На доске написано более 35, но менее 49 целых чисел. Среднее арифметическое этих
чисел равно 5, среднее арифметическое всех положительных из них рано 14, а среднее
арифметическое всех отрицательных из них чисел равно -7.
а) Сколько чисел записано на доске?
б) Каких чисел записано больше: положительных или отрицательных?
в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?
15. а) Решите уравнение
2 sin 2 x  sin x
 0.
 cos x
7 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2 ;  .
2 

16. Основание пирамиды DABC – равнобедренный треугольник АВС, в котором
АВ  ВС  13 , АС  24 . Вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в
основание окружности.
а) Докажите, что прямые АС и BD перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями DAB и ABC, если расстояние от вершины пирамиды
до плоскости основания равно 2,5.
17. Решите неравенство 2 log 5 x  log x 125  1 .
18. Две окружности касаются внешним образом в точке К. Прямая касается первой
окружности в точке А, а второй окружности – в точке В. Прямая ВК пересекает первую
окружность в точке D, прямая АК пересекает вторую окружность в точке С.
а) Докажите, что AD  BC .
б) Найдите площадь треугольника DКC, если известно, что радиусы окружностей равны 4
и 9.
19. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20% годовых.
Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей
переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько
рублей меньше он отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
20. Найдите все значения а, при которых уравнение
ax
2
 


 2 x  a 2  a  2 ax 2  2 x  a 2 a  2  0
2
имеет ровно два решения.
21. На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по
итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается
рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная
до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляют до 9, 11 и 13 соответственно.
а) Всего проголосовало 13 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста
быть равным 29?
б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могла ли
сумма рейтингов быть больше 100?
в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 7. Это число не
изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком
наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое
возможно?

15. а) Решите уравнение 16 cos x

sin x
 0,25
3 sin x
.
7 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 2 ;  .
2 

16. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1.
а) Докажите, что плоскости ВDD1 и BА1С1 перпендикулярны.
б) Найдите угол между плоскостями BА1С1 и ВA1D1.
17. Решите неравенство log x 2  1  log 2 2 x  1,5 .
18. В треугольнике АВС проведена биссектриса АМ. Прямая, проходящая через вершину В
перпендикулярно АМ, пересекает сторону АС в точке N. АС  16 , ВС  7 и АВ  12 .
а) Докажите, что биссектриса угла С делит отрезок MN пополам.
б) Пусть Р – точка пересечения биссектрис треугольника АВС. Найдите отношение AP:
PN.
19. 15 января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен
график его погашения.
Дата
15.01
15.02
15.03
15.04
15.05
15.06
15.07
Долг (в
100%
90%
80%
70%
60%
50%
0%
% от
кредита)
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на 5%, а выплаты
по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с
февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы
самого кредита?
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
х  а 2  4a  2  х  а 2  2a  3  2a  5
имеет хотя бы один корень на отрезке 5;23 .
21. Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых
неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех
членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии
следующий её член и снова вычислил такую же разность.
а) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалось на 40
больше, чем в первый раз.
б) Во второй раз разность оказалось на 1768 больше, чем в первый раз. Могла ли
прогрессия сначала состоять из 13 членов?
в) Во второй раз разность оказалось на 1768 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее
количество членов могло быть в прогрессии сначала?
15. а) Решите уравнение 2 sin
2
x
 4  2 cos
2
x
 6.
 5 3 
;  .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
2
 2
16. Основание пирамиды DABC – равнобедренный треугольник АВС, в котором
АВ  ВС  10 , АС  12 . Вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание
окружности.
а) Докажите, что прямые АС и BD перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от вершины D до прямой AB, если высота пирамиды равна 4.
17. Решите неравенство
4x
2 x  12
.

2x  1
3
18. В треугольнике АВС проведена высоту ВН. Из точки Н на стороны АВ и ВС опустили
перпендикуляры НК и НМ соответственно.
а) Докажите, что треугольник МВК подобен треугольнику АВС.
б) Найдите отношение площади треугольника МВК к площади четырехугольника АКМС,
если ВН  2 , а радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 3.
19. Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С
сервера №1 при объеме t 2 гб. входящей в него информации выходит 20t , а с сервера №2
при объеме t 2 гб. входящей в него информации выходит 21t гб. обработанной
информации; 25  t  55 . Каков наибольший общий объем выходящей информации при
общем объеме входящей информации в 3364 гб.?
20. Найдите все значения а, при которых уравнение
2 х 4  а  4  х  а  4  х  а  4
имеет единственное решение.
4
21. а) Можно представить число 2052 в виде суммы двух различных натуральных чисел с
одинаковой суммой цифр?
б) Можно представить число 399 в виде суммы двух различных натуральных чисел с
одинаковой суммой цифр?
в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы
шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?
15. а) Решите уравнение 2 cos
2
x
 8sin
2
x
 0.
  3 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  ;  .
2 2 
16. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 2.
а) Докажите, что прямые AD и BE1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой A1F1.
17. Решите неравенство
3  2 x  2  27
 2x  3 .
2x  1
18. Окружность с центром О касается боковой стороны АВ равнобедренного треугольника
АВС, продолжения боковой стороны АС и продолжения основания ВС в точке N. Точка М
– середина основания ВС.
а) Докажите, что AN  OM .
б) Найдите ОМ, если стороны треугольника АВС равны 13, 13 и 24.
19. 31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7007000 рублей в кредит под 20% годовых.
Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей
переводит в банк платеж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько
рублей меньше он отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
20. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение
2
х 2  а  5  х  а  5  х  а  5
имеет ровно три корня.
21. На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 4 до 30 (каждое
число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли
разность большего и меньшего.
а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 14?
б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 13?
в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли
разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так
расставить числа, чтобы все разности были не меньше k.