Четность. Применение четности для решения задач. 3

Разработка занятия по теме:
ЧЕТНОСТЬ, ПРИМЕНЕНИЕ ЧЕТНОСТИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ (2 часа)
Автор: Оводова Ольга Васильевна. Кружок «Живая математика».
Пояснительная записка.
Данная тема не изучается в школьном курсе, но задачи на применение четности
встречаются практически в каждой олимпиаде. Знакомство с этой темой расширит
кругозор учащихся, даст им полезный инструмент для решения олимпиадных задач.
Дается указание, как решать задачи с вопросом «можно ли…» - в случае, если можно,
необходимо и достаточно показать хотя бы один пример решения, а если нельзя,
необходимо строгое доказательство.
Большое внимание уделено совместной работе учащихся. Предлагаемые задачи
слишком сложны для их уровня, едва ли кто-то решил бы одну или несколько задач
при полностью самостоятельной работе. Но в условиях «мозгового штурма» с
небольшими своевременными подсказками педагога решение вырабатывается
совместно, становится ясен ход рассуждений, вырабатывается умение мыслить
логически.
Урок предназначен учащимся 3х и 4х классов, посещающим занятия кружка «Живая
математика»
0. Орг.момент. Раздача листочков с заданиями. У каждого ученика есть листок с
вопросами и задачами и тетрадь для решений. Ручка. Карандаш и ластик (для задачи
№3). В дальнейшем жирным шрифтом выделен текст, который присутствует на
розданных листках.
(3-4 мин)
I. Актуализация знаний. Вопросы для разминки.
1. Что такое четное число? Нечетное число?
2. Сумма двух четных чисел будет четной или нечетной?
3. Сумма двух нечетных чисел? (обсуждение, пробуем на примерах, на доске
обобщение в форме Н = Ч +1; H + Н = Ч + 1 + Ч + 1 = Ч + Ч + 2 = Ч + 2 - четное)
II. Новые утверждения, вытекающие из ранее известных:
4. Четное число + нечетное число (впиши чет или нечет):
5. Сумма пяти четных чисел:
6. Сумма трех нечетных чисел:
7. Сумма шести нечетных чисел:
8. Сумма нескольких четных чисел:
9. Сумма четного количества нечетных чисел:
10. Сумма нечетного количества нечетных чисел:
(8-10 минут)
III. Решение задачи № 1
Задача 1
Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и
5 рублей?
Самостоятельные
попытки
подобрать
возможную
комбинацию.
Критика
индивидуально каждой версии. Желательно дождаться, когда кто-нибудь из детей сам
придет к мысли, что решения не существует, но не более 12-15 минут на попытки.
Устное обсуждение. Объяснение, что ответа «нельзя» недостаточно. Выработка
корректного доказательства. См. вопрос 9 из разминки.
(12-15 минут)
IV. Решение задачи № 2
Задача 2
Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы
по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и
сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться
1990?
Совместное обсуждение, уточнение, правильно ли все поняли условие. Уточняем
понятия страница и лист. Версии – нельзя, потому что не хватит чисел. Проверяем
числа с конца при помощи сложения в столбик или калькулятора, убеждаемся, что
хватает. Наводящий вопрос – четная или нечетная сумма чисел на одном листе.
Нечетная. Обращаемся к вопросу 10 из разминки. Приходим к правильному выводу.
(10-12 минут)
Перемена. Подвижная игра «Зоопарк»
V. Решение задачи № 3
Задача 3
Можно ли покрыть шахматную доску с
отрезанными
противоположными
углами доминошками размером в две
клетки?
Попробуй сначала на доске 4 на 4
6-8 минут на самостоятельные попытки подобрать возможную комбинацию. Версии
детей – не получается, потому что клеток нечетное количество (это говорит, о том, что
усвоено представление об использовании понятия четность). Однако здесь 14 клеток,
в этом можно убедиться, пересчитав клетки. Еще время на самостоятельные попытки.
Нужно дождаться, когда большинство детей почувствуют, что задача решения не
имеет. Но это еще не ответ, нужно доказать – почему. Наводящий вопрос – клетки
какого цвета закрывает одна доминошка? Ответ – черную и белую. У одного или
нескольких детей озарение – белых клеток больше, поэтому невозможно. Повторение
доказательства для тех, кого не озарило.
(10-12 минут)
VI. Решение задачи № 4
Задача 4
Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в одну
сторону, во второй раз – на 2 см в ту же сторону или в обратную, и так далее.
Может ли он оказаться исходном на месте после двух прыжков? После трех
прыжков? Четырех? Пяти? Девяти? Десяти? Семнадцати прыжков?
В олимпиадном виде такая задача содержит один вопрос – сможет ли он оказаться на
месте после 1985 (или 2013) прыжков? Мы же начинаем с более простых вопросов,
чтобы разобраться, почувствовать задачу. Если дети устали, можно предложить
попрыгать вправо-влево, пропуская перемещения кузнечика буквально через себя.
Предложение различных вариантов. Выведение закономерности – при нечетной
сумме длин прыжков решения нет, при четной есть.
(10-12 минут)
VII. Математическая игра «Барабашка» до конца занятия.