по дисциплине &quot

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Естественно-научный институт
УТВЕРЖДАЮ:
Заведующий кафедрой
профессор Смагин С.И.
_________________
«___»_________2010 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
дисциплины
«Дифференциальные уравнения»
для специальности / направления подготовки:
01050165 Математик, системный программист / 010500 Прикладная математика и
информатика
Составитель: доцент Суляндзига Елена Петровна
Обсуждена на заседании кафедры «Прикладная математика»
«__» ____________ 20____ г., протокол № ___
Одобрена на заседании методической комиссии «Естественно-научного института»
«___» ____________ 20____ г., протокол № ___
Одобрена на заседании методической комиссии «Естественно-научного института»
«___» ____________ 20____ г., протокол № ____
2010 г.
Рабочая программа
по дисциплине "Дифференциальные уравнения"
направление 010500 (прикладная математика и информатика)
квалификация 01050165 «Математик, системный программист»
Введение
При изучении явлений природы, решении многих задач физики, техники, химии, биологии не всегда удается установить непосредственную связь между величинами, описывающими процесс. В большинстве случаев возможно установить связи между величинами и их скоростями изменения, заключив их в уравнения, описывающие процесс –
дифференциальные уравнения.
Характерное свойство дифференциальных уравнений – бесконечное множество решений. Найти решение, описывающее конкретный изучаемый процесс, означает выделение единственного решения из бесконечного множества – решение задачи Коши. Геометрически нахождение решения задачи Коши есть построение единственной кривой,
проходящей через данную точку.
Изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений включает в себя постановку задачи – дифференциальное уравнение с начальными условиями; разрешение вопросов существования и единственности решения; построение аналитического
точного или приближенного решения исходной задачи. Для нелинейных уравнений
также важны вопросы существования решений и превентивное исследование их
свойств.
В современных исследованиях актуальны задачи на стыке различных наук: биофизика,
социальная экология, биокибернетика и др., а построенные математические модели
часто содержат обыкновенные дифференциальные уравнения. Поэтому представляется важной способность участвующего в исследовании специалиста-математика адекватно и математически грамотно построить и оценить модель, рассмотреть вопросы
существования решения, найти решение задачи подходящим способом, оценить
устойчивость решения, т.е. применить теорию обыкновенных дифференциальных
уравнений.
1 Цели и задачи дисциплины
1.1 Цель преподавания дисциплины
Целью дисциплины "Дифференциальные уравнения" является обучение студентов основным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений и использованию при математическом моделировании физических, биологических и других процессов.
1.2 Задачи изучения дисциплины
Основными задачами дисциплины являются изучение вопросов существования и единственности решений различных типов дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений, нахождения точных решений
уравнений 1-го порядка, интегрируемых в квадратурах, уравнений n-го порядка,
допускающих понижения порядка, линейных дифференциальных уравнений с
постоянными и переменными коэффициентами; изучение основных методов
2
доказательства существования и единственности решений начально-краевых
задач для указанных уравнений, вопросов устойчивости решений по Ляпунову,
ознакомление с приближенными методами решения указанных уравнений и
обучение студентов применению теории дифференциальных уравнений в прикладных задачах.
1.3 Связь с другими дисциплинами
Многие физические, химические процессы, взаимодействия видов в экосистемах описываются дифференциальными уравнениями – уравнениями, устанавливающими
связь между величинами (функциями) и скоростями их изменения. В настоящее время
широко применяются математические модели в биофизике и экологии: модели экологических сообществ, оценка загрязнения атмосферы и поверхности земли, модель взаимодействия двух популяций и др. Математические модели содержат обыкновенные
дифференциальные уравнения, решать которые можно аналитически, либо численно,
асимптотическими методами, введением малого параметра, решать задачи устойчивости.
Изучение предмета дифференциальных уравнений требует применения навыков интегрирования, полученных при изучении курса математического анализа. При решении
систем ОДУ, рассмотрении вопросов устойчивости их решений необходимы знания линейной алгебры – нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицы
системы, Знания теории линейных дифференциальных уравнений необходимы при
изучении курса математической физики.
1.4 Требования к уровню освоения содержания дисциплины
Студент должен знать:
 основные понятия и теоремы теории дифференциальных уравнений: тео-
ремы Коши существования и единственности решений для различных дифференциальных уравнений, теорема о неподвижной точке, метод последовательных приближений, теорема о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения;
 методы нахождения решений линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами;
 определения устойчивости и асимптотической устойчивости решения
дифференциального уравнения, основные теоремы теории устойчивости;
 численные методы решения дифференциальных уравнений;
Студент должен уметь:
 решать дифференциальные уравнения первого порядка, разрешаемые в квадратурах, дифференциальные уравнения n-го порядка различными методами понижения порядка уравнения;
 решать линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами, линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами;
 решать линейные системы с постоянными коэффициентами;
 определять типы особых точек решения;
 решать уравнения первого порядка в частных производных;
 решать задачи устойчивости тривиального решения.
3
Проверка качества усвоения материала осуществляется:
 устно на практических занятиях по материалам прочитанных лекций (на
каждом практическом занятии);
 по письменным контрольным работам по пройденным темам, решение задач;
 по самостоятельным работам студентов.
1.5 Кодификатор элементов содержания дисциплины «МАТЕМАТИКА»,
соответствующих курсу «Дифференциальные уравнения»
3.11.11
Типы дифференциальных
уравнений
3.11.12
Дифференциальные уравнения 1 порядка
3.11.13
Дифференциальные уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными (общий интеграл)
Дифференциальные уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными (общее решение)
Дифференциальные уравнения первого порядка:
геометрическая интерпретация решения задачи Коши
Системы линейных однородных дифференциальных
уравнений 1 порядка
3.11.14
3.11.15
3.11.16
3.11.17
Линейные однородные
дифференциальные уравнения 2 порядка
3.11.18
Линейные неоднородные
дифференциальные уравнения 2 порядка
знать: типы дифференциальных уравнений
уметь: определять тип дифференциального
уравнения по его виду
знать: определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
уметь: - разделять переменные в дифференциальном уравнении
- находить частное решение дифференциального уравнения
знать: таблицу простейших интегралов
уметь: находить общий интеграл дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
знать: таблицу простейших интегралов
уметь: находить общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
знать: геометрическую интерпретацию решения задачи Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка
уметь: решать задачу Коши для дифференциального уравнения 1-го порядка
знать: метод исключения неизвестных
уметь: применять метод исключения неизвестных при решении системы дифференциальных
уравнений
знать: определение линейного однородного
дифференциального уравнения 2 порядка
уметь: находить общее решение линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами
знать: определение частного решения неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка
уметь: находить общий вид частного решения
со специальной правой частью
4
3.11.23
Задача Коши
3.11.24
Дифференциальные уравнения первого порядка с
разделяющимися переменными (частные решения)
3.11.25
Линейные однородные
дифференциальные уравнения 2 порядка
3.11.30
Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка
знать: определение задачи Коши
уметь: представлять задачу Коши в виде интегрального уравнения
знать: определение частного решения дифференциального уравнения первого порядка
уметь: решать задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
знать: определение линейного однородного
дифференциального уравнения 2-го порядка
уметь: находить частные решения и составлять
определитель Вронского для линейного однородного дифференциального уравнения 2-го
порядка
знать: вид общего решения линейного дифференциального уравнения n-ого порядка
уметь: находить общее решение линейного
дифференциального уравнения n-ого порядка
2 Содержание дисциплины
2.1 Объем дисциплины « Дифференциальные уравнения» и распределение по видам работ
Количество часов
Вид занятий
Распределение по семестрам
Всего
3
4
Лекции
54
36
18
Практические занятия
36
18
18
114
56
58
Лабораторные занятия
Самостоятельная работа
Курсовая работа
+
РГР
Итого часов
+++
204
110
Зачет
+
+
Экзамен
+
94
+
2.2 Модульное построение содержания учебного материала дисциплины
Дисциплина «Дифференциальные уравнения» - 5,6 з.е.
5
содержит
«Дифференциальные
уравнения -1»
3 з.е.
(3 семестр)
«Дифференциальные
уравнения 2»
2,6 з.е.
(4 семестр)
Модуль 1 – ОДУ первого порядка
Модуль 2 – ОДУ высших порядков, случаи
понижения порядка
Модуль 5 – Элементы
теории устойчивости
Модуль 6 – Краевые
задачи для ОДУ
Модуль 3 – Линейные
однородные системы
Модуль 7 – Приближенные методы решения
ОДУ
Модуль 8 – Первые интегралы
Модуль 4 – Линейные
дифференциальные
уравнения высших порядков
Модуль 9 – Дифференциальные
уравнения
первого порядка с частными производными
2.3 Тематическое содержание лекционного курса
Неделя
Колво
часов
Содержание лекции
Литература
3 семестр
Модуль 1 – ОДУ первого порядка
1,2
1.1 Понятие дифференциального уравнения.
Определение обыкновенного дифференциального
уравнения (ОДУ). Порядок дифференциального
уравнения. Системы ОДУ. Интегрирование ОДУ.
Геометрическая интерпретация: интегральные
кривые, поле направлений Общее и частное решения. Задача Коши и краевая задача для ОДУ.
Типы ОДУ. Практические задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям.
6
4
[1-7, 12]
3
1.2 Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах: с разделяющимися переменными, однородные, линейные,
Бернулли и т.д. Методы Бернулли и Лагранжа решения линейных уравнений первого порядка.
2
[1,2,5, 12]
4
1.3 Метод изоклин и их использование для приближенного построения интегральных кривых.
Оценка разности решений двух уравнений. Непрерывная зависимость решения от начальных
условий и параметра.
2
[1,2, 12]
5
1.4 Теорема Коши для уравнения первого порядка, доказательство. Лемма Адамара.
2
[1,4,5, 12]
6
1.5 Особые точки и особые решения ОДУ первого
порядка. Уравнения, не разрешенные относительно производных. Метод последовательных приближений (Пикара), принцип сжатых отображений,
теорема о неподвижной точке.
2
[1,5]
4
[1,4, 12]
Модуль 2 – ОДУ высших порядков, случаи понижения порядка
7,8
2.1 Системы ОДУ: задача и теорема Коши, частное и общее решения. Оценка разности двух решений, непрерывная зависимость от начальных
данных и параметра. Теорема Коши о существовании и единственности решения уравнения n-го
порядка. Случаи понижения порядка.
Модуль 3 – Линейные однородные системы
9
3.1 Линейные дифференциальные уравнения на
примере уравнения второго порядка. Свободные и
вынужденные колебания маятника. Резонанс. Характерные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами.
2
[5,1]
10
3.2 Общие свойства решений линейного ОДУ n-го
порядка. Определитель Вронского. Фундаментальная система решений. Формула Остроградского-Лиувилля. Теорема о структуре общего решения однородной и неоднородных систем. Метод
вариации постоянных.
2
[1,2,4,7, 12]
11,
3.3 Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Структура фундаментальной системы решений в случае различных
действительных или комплексных корней характе-
4
[3,5,2]
12
7
ристического уравнения, в случае кратных корней.
Модуль 4 – Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
13
4.1 Линейные дифференциальные уравнения
высших порядков. Сведение к линейной системе.
Определитель Вронского. Структура общего решения однородного уравнения. Общее решение
неоднородного уравнения. Метод Лагранжа.
2
[1,5]
14
4.2 Линейные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами. Формула сдвига.
Случай различных и кратных корней характеристического уравнения. Структура общего решения
линейного ОДУ с постоянными коэффициентами и
специальной правой частью. Понижение порядка
линейного уравнения с переменными коэффициентами.
6
[1,7,6]
4.3 Уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышёва.
Приведение ОДУ к двучленному виду. Нули решений. Теоремы о конечности числа нулей на отрезке, о чередовании нулей, теоремы сравнения и
Кнезера.
4
[1, 12]
15
16
17
18
4 семестр
Модуль 5 – Элементы теории устойчивости
1
6.1 Элементы теории устойчивости. Основные
определения. Устойчивость систем линейных
дифференциальных уравнений. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Функции Ляпунова.
2
[1,5,9]
3
6.2 Особые точки на фазовой плоскости. Система
нелинейных дифференциальных уравнений.
2
[1,3,6]
2
[5]
2
[5,10]
Модуль 6 – Краевые задачи для ОДУ
5
7.1 Краевые задачи для ОДУ, постановка, сведение к линейной краевой задачи к задаче Коши.
Задача Штурма - Лиувилля.
Модуль 7 – Приближенные методы решения ОДУ
7
8.1 Приближенные методы решения ОДУ. Интегрирование при помощи рядов. Метод последовательных приближений. Метод ломаных Эйлера.
8
Метод Рунге – Кутта и др.
9
8.2 Операционный метод и его применение к решению дифференциальных уравнений и систем.
2
[3, ]
4
[1,8]
Модуль 8 – Первые интегралы
11
13
Первые интегралы: основные понятия и определения. Теорема о локальном существовании первых интегралов. Понижение порядка системы ОДУ
при помощи первых интегралов. Симметричная
форма нормальной автономной системы.
Модуль 9 – Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными
15
9.1 Дифференциальные уравнения первого порядка с частными производными. Линейное дифференциальное уравнение. Уравнения характеристик. Задача Коши. Квазилинейное дифференциальное уравнение. Решение нелинейных уравнений.
2
[1,5,8]
17
9.2 Интегральные уравнения. Теоремы Фредгольма. Метод последовательных приближений.
2
[8]
2.4 Содержание практического курса
Неделя
Содержание практического занятия
Кол-во
часов
Литература
3 семестр
1
Вводное занятие: определения и типы уравнений.
Повторение темы производные и интегралы.
Уравнения с разделяющимися переменными.
2
[1,4,6]
3
Однородные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним.
2
[1,2]
5
Линейные уравнения первого порядка. Методы
Бернулли и Лагранжа.
2
[1,5]
7
Уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель. Метод изоклин
2
9
Контрольная работа: уравнения первого порядка,
разрешенные в квадратурах.
2
11
Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.
2
9
[3,6]
4
15
Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами:
однородные и неоднородные.
17
Контрольная работа
2
13
[3,6]
4 семестр
2
Линейные ОДУ с переменными коэффициентами.
2
[6]
4
Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами.
2
[3,6]
6
Устойчивость по Ляпунову.
2
[9,3,6]
8
Устойчивость по первому приближению
2
[3,6]
10
Типы точек положения равновесия
2
[9,5,6]
12
Краевые задачи.
2
[3,6]
14
Приближенное решение ОДУ.
2
[3,6]
16
Операционный метод решения ОДУ.
2
[1-10]
Уравнения первого порядка в частных производных. Нелинейные системы. Первые интегралы.
2
[6,8]
18
2.5 Курсовая работа студентов
Ниже приводится примерный перечень тем курсовых работ, который может корректироваться и дополняться в течение учебного года. Каждая тема содержит элемент
новизны и требует от студентов углубленного изучения соответствующего раздела
теории решения дифференциальных уравнений, теории устойчивости. В случае успеха
студент получает возможность принять участие в ежегодной весенней научнотехнической студенческой конференции ДВГУПС, а также в других научно-технических
мероприятиях. Примерный перечень тем
 Некоторые вопросы качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений.
 Устойчивость и периодические решения уравнений с запаздыванием.
 Асимптотика решений дифференциальных уравнений по малому параметру.
 Численные расчеты задач из теории колебаний и исследование вопроса устойчивости решений с использованием пакета «Клен».
10
2.6 Самостоятельная работа студентов
№
п/п
Содержание
Срок выдачи
Срок
сдачи
1.
Расчетное задание по темам: уравнения с разделяющимися переменными, однородные и линейные уравнения,
в полных дифференциалах.
5
8(9)
2.
Расчетное задание по теме: случаи понижения порядка
для ОДУ n-го порядка.
11
13
3.
Расчетное задание: линейные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами.
15
17
3 Контроль знаний
3.1 Перечень и темы промежуточных форм контроля знаний
Контроль осуществляется
– путем устного опроса на каждом практическом занятии,
– письменно по результатам контрольных работ (занятия №№ 5,9);
– по качеству и срокам выполнения СРС,
– уровню выполнения тестовых заданий.
№ занятия
№ недели
Содержание (темы)
1
1
Входное тестирование: интегрирование
5
9
Решение уравнений первого порядка; с разде- Контрольная работа
ляющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним, в полных дифференциалах,
линейные первого порядка.
6
11
Случаи понижения порядка для ОДУ n-го поряд- СРС
ка.
7,8
13,15
Линейные дифференциальные уравнения с по- СРС
стоянными коэффициентами
9
17
10(1)
20(2)
Входное тестирование: решение ЛОДУ n-го порядка.
РТ
11(2)
22(4)
Системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами.
РТ
14(5)
28(10)
Устойчивость по Ляпунову, типы точек равнове-
РТ
РТ
Решение линейных ОДУ, однородных и неодно- Контрольная работа
родных методом вариации постоянных и подбором частного решения по правой части.
11
сия, устойчивость по первому приближению.
15(6)
32(14)
Краевые задачи, уравнения в частных производных первого порядка.
РТ
18(9)
36(18)
Итоговое тестирование
РТ
3.2 Формы контроля знаний
Пример задания для контрольной работы:
 2y
 ( x  1) ln x,
 y '
x

 y (1)  0
xy '3 y  xy
y ' cos y  sin y  x 2
cos 3 x  y ' sin 2 y  0 .
Пример индивидульной самостоятельной работы:
 y '  x( y  1) 2 ,

 y ( 2)  0.
2 y e2 x
y' 
 2
x
x
y y 2  x2
.
y ' 
x
xy
Пример итоговой самостоятельной работы:
1. Определить тип ОДУ 1-го порядка
y ' ( x  2)  xy 2
2. Решить задачу Коши
 y' ' 4 y'  0 ,

 y( 0 )  2, y' ( 0 )  1.
3. Решить задачу Коши
y

2
 y'   x ln x ,
x

 y( 1)  1.
12
4. Решить
y ' ' y  e cos x  sin x
5. Решить методом Лагранжа
2t
x
y' ' 3 y' 2 y 
e
et  1
z , если z  1 i .
6. Найти
7. Найти общее решение линейной системы ОДУ
 x'  x  4 y  6 z ,

 y'  2 x  3 y  z ,
 z'  x  2 y  3 z .

3.3 Вопросы к зачету
1. Основные понятия и определения (дифференциальное уравнение, решение ОДУ,
нормальная система ОДУ и её решение). Примеры задач, приводящих к ОДУ.
Геометрическая интерпретация решения ОДУ. Фазовое пространство, интегральная кривая, поле направлений.
2. Лемма Гронуолла. Задача Коши: определение. Теорема Коши существования и
единственности решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, доказательство.
3. Оценка разности решений двух уравнений. Непрерывная зависимость решения от
начальных условий, правой части и параметра.
4. Определение общего решения, общего интеграла, общего интеграла ОДУ первого
порядка в области Д. Пример.
5. Изоклины, метод изоклин решения ОДУ.
6. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные и
квазиоднородные уравнения. Пример однородного уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Примеры.
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли. Метод Лагранжа. Примеры. Уравнения Бернулли и Риккати.
8. Особые точки, особые решения ОДУ первого порядка. Примеры.
9. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и
Клеро. Теорема Коши: формулировка.
10. Задача и теорема Коши для нормальной системы ОДУ. Частное и общее решение
системы ОДУ.
11. Оценка разности двух решений нормальной системы ОДУ. Непрерывная зависимость решения от начальных данных и параметра.
12. ОДУ n-го порядка. Задача Коши, теорема Коши. Общее и частное решение уравнения.
13. Случаи понижения порядка для уравнения n-го порядка. Примеры.
14. Линейные ДУ на примере дифференциального уравнения 2-го порядка. Свободные и вынужденные колебания маятника. Характерные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами для однородного и неоднородного уравнений (вид решения в зависимости от вида корней характеристического уравнения).
15. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка.
16. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков, однородные и неоднородные. Сведение к линейной системе. Определение линейно зависимой системы функций. Вронскиан и фундаментальная система решений.
13
17. Теорема о структуре общего решения линейного однородного ОДУ n-го порядка.
18. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного ОДУ n-го порядка.
19. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Случай различных корней. Пример.
20. Формула сдвига. Случай кратных корней характеристического уравнения.
21. Структура частного решения уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Примеры.
22. Метод Лагранжа решения неоднородного ОДУ.
Задачи
1)
2)
3)
4)
y 1  sin y  x cos y  x  0 ,
1
y1 
,
xy  x 2 y 3
x
x
( x  y sin )dx  x sin dy  0 ,
y
y
( 2 xy  y 
x2
2y2
)dy  (
x
 x  y 2 )dx  0 ,
y
5) линейное уравнение с постоянными коэффициентами задано в операторном виде с
известной правой частьюL[y] = ex(x cos2x + 4x) + 5x +4. Заданы корни характеристического уравнения. Записать общее решение уравнения.
k1,2,3,4  1 2i , k 58  0 , k9 ,10  1.
3.4 Вопросы к экзамену
1. Общие свойства линейного уравнения n-го порядка (нормальной системы линейных ОДУ).
2. Определение линейно независимости системы вектор-функций. Определитель
Вронского.
3. Фундаментальная система решений нормальной системы линейных ОДУ. Формула Остроградского-Лиувилля.
4. Теорема о структуре общего решения однородной системы с переменными коэффициентами. Теорема о структуре решения неоднородной системы с переменными коэффициентами.
5. Система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение системы. Нахождение фундаментальной системы решений в случае различных корней характеристического уравнения. Общий случай простых корней. Фундаментальная система решений в случае кратных
корней.
6. Метод Лагранжа решения неоднородной системы ОДУ.
7. Уравнения Эйлера, Лагранжа, Чебышёва.
8. Приведение уравнения к двучленному виду. Нули решений. Теорема о конечности
нулей на отрезке.
9. Теорема о чередовании нулей.
10. Теорема сравнения. Пример с уравнением Эйри.
11. Теорема Кнезера.
14
12. Первые интегралы. Основные понятия и определения: полная производная по t
функции u(t,x) в силу системы, первый интеграл, положение равновесия. Понижение порядка системы ОДУ при помощи первых интегралов. Симметричная форма
записи.
13. Устойчивость системы ЛОДУ. Теоремы Ляпунова об устойчивости. Устойчивость
по первому приближению.
14. Особые точки на фазовой плоскости, их типы. Устойчивость.
15. Системы нелинейных ДУ.
16. Постановка краевых задач. Линейная краевая задача, сведение к задаче Коши.
Задача Штурма-Лиувилля.
17. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных. Уравнения характеристик. Задача Коши. Линейное ДУ, квазилинейное ДУ.
18. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.
19. Метод последовательных приближений. Принцип сжатых отображений. Теорема о
неподвижной точке.
20. Метод ломаных Эйлера. Метод Рунге-Кутта.
21. Операционный метод решения задачи Коши.
3.5 Примерные задания для проведения тестирования
Задание 1. Определить вид изоклин для уравнения, указать правильный ответ из группы
параболы
прямые
гиперболы
концентрические окружности
концентрические эллипсы
2
1) y ' ( y  1)  x  0
2)
xy' y  0
3)
4)
y'  y 2  x 2
xy' y  0
5)
y'  y  x 2  4 x
Задание 2. Укажите общее решение дифференциального уравнения




y" y  0
y  c1 cos x  c2 sin x
y  c1e  x  c2e x
y  c1  c2e  x
y  c1e  x
Задание 3. Сколько решений имеет дифференциальное уравнение
 единственное решение
 два решения
15
y" y'2 y  0 ?
 не имеет решений
 бесконечное множество решений
Задание 4. Укажите общее решение дифференциального уравнения
y" y'  0




y  c1 cos x  c2 sin x
y  c1e  x  c2e x
y  c1  c2e  x
y  c1e  x
Задание 5. Для решения неоднородного линейного дифференциального уравнения
надо:
1: записать соответствующее однородное уравнение и к нему характеристическое,
2: по виду корней характеристического уравнения определить общее решение однородного уравнения,
3: по правой части подобрать частное решение неоднородного,
4: общее решение неоднородного есть сумма общего однородного и частного неоднородного.
Задание 6. Верно ли, что
уон  уоо  учн
-
общее решение линейного неоднородного уравнения n-го порядка
y n   a1( x) y n1  ...  ai ( x) y ni   ...  an ( x) y  f ( x) есть сумма общего
решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного?
Задание 7. Верно ли утверждение:
общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка есть линейная комбинация функций фундаментальной системы решений.
 верно
 не верно  формулировка не точна.
Задание 8. Если корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то
общее решение уравнения содержит
 синусы и косинусы
 только синусы
x
 только слагаемые вида e .
Задание 9. Найти решение уравнения
2x
 c2 xe 2 x
 y ( x)  c1e
2x
 c2
 y ( x )  c1e
x
 y  c1  c2 e
y"4 y'4 y  0
16
Задание 10. Укажите решение уравнения y"'8 y  0
2 x
 y( x)  c1e
 e x (с2 cos 3x  c3 sin 3x)
2 x
 y ( x)  e
(c1x 2  c2 x  c3 )
 нет правильного ответа
Задание 11. Для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка в зависимости от корней характеристического уравнения решение имеет вид – поставьте в соответствие пары
корни характеристического уравнения
1   2
1   2  
1,2    i
решение уравнения
y  c1e 1x  c2 e  2 x
y  (c1x  c2 )e x
y  e x (c1 sin x  c2 cos x)
Задание 12. Отметьте правильный ответ.
Линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка
можно решить
 методом Лагранжа
 при помощи первых интегралов
 методом Эйлера.
Задание 13. Если корни характеристического уравнения равны 1  1,  2  0 , а
2
правая часть имеет вид f ( x)  x , то частное решение уравнения будет вида

y  Ax 3  Bx 2  Cx

y  Ax 2

y  Ax 2  Bx  C
Задание 14. Если корни характеристического уравнения равны 14  1  i , а правая
x
часть имеет вид f ( x)  xe cos x , то частное решение уравнения будет вида
2 x
 y  x e ( A1x  B1 ) cos x  ( A2 x  B2 x) sin x
x
 y  xe ( A cos x  B sin x)
x
2
 y  e ( Ax cos x  B sin x) x


4 Методическое обеспечение
4.1 Рекомендуемая литература
1
Агафонов С. А. Дифференциальные уравнения :учеб. для вузов [Текст] / С. А. Агафонов, А. Д. Герман , Т. В. Муратова ; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – М.:
17
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. – 336 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып. VIII).
2
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1984.
3 Киселев А. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям /
А. И. Киселев, М. Л. Краснов, Г. И. Макаренко. – М.: Изд. «Высшая школа», 1967.- 311 с.
4
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
– М.: Наука, 1970. – 280 с.
5 Тихонов А. Н. Дифференциальные уравнения / Под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова. – М.: Наука, 1980. – 232с. (Сер. Курс высшей математики и математической физики; Вып. 7).
6
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.:Наука,
1970. – 96 с.
7
Эльсгольц Л. Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения : Учеб. Для вузов
[Текст]. - СПб.: Изд-во «Лань», 2002. –224 с. (Учебники для вузов. Специальная литература).
8
Шарма Дж. Н., Сингх К. Уравнения в частных производных для инженеров. – М.:
Техносфера, 2002. – 320 с.
9 Афанасьев В. Н., Колмановский В.Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк.,1989.
10 Вержбицкий В. М. Численные методы (математический анализ и обыкновенные
дифференциальные уравнения): Учеб. Пособие для вузов [Текст] . – М.: Высш. шк.,
2001. – 382 с.
11 Ортега Дж. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М. : Наука, 1986.
12
Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений : Учебник. –
М. : Комкнига, 2007. – 240 с.
13
Суляндзига Е.П. Дифференциальные уравнения: сборник задач. – Хабаровск:
изд-во ДВГУПС, 2007. – 44с.
14
Суляндзига П.Б. Дифференциальные уравнения. – Хабаровск: изд-во ДВГУПС,
2002.
18
Направление
Специальность(и)
Трудоемкость дисциплины 3 зач. ед.
010500 – Прикладная математика и информатика
01050165 – математик, системный программист
Число часов в семестре 110
Семестр 3
Число часов в неделе 3
лекций 2
лабораторных работ ____
практических (семинарских) занятий 1
самостоятельной работы 56
Форма отчетности – зачет
Затраты времени
в часах
ТСО
Учебнометодическа
литература
Номер
занятия
Затраты времени
в часах
ТСО
Учебнометодическая
литература
Затраты времени
в часах
Учебнометодическая
литература
Неделя
рубежного
контроля
Рейтинговый
балл
Практические (семинарские) занятия
Рубежный
контроль
Номер
лекции
Лекции
Самостоятельная
работа
1
[1-7,
12]
1
2
Сл
Мм
[1-7,
12]
1-5
10
Сл
Мм
1,2,4,5,
6
19
1,2,4,5,
6 13, 14
9
39
7
[1,4,
12]
[1-7,
12]
7,8
4
2
[1,4,
12]
3, 6, 13,
14
11
6
[1,4,
12]
3,6
12
7-9
Сл
Мм
Сл
Мм
18
4
[1,4,
12]
[1-7,
12]
6
9-10
Сл
Мм
Сл
Мм
18
80
Неделя
изучения
модуля
Наименование элемента модуля
Дифференциальные
уравнения
первого порядка, интегрируемые в
квадратурах
Уравнения
высших
порядков,
допускающие понижение порядка
Линейные
дифференциальные
уравнения
с
постоянными
коэффициентами.
Аудиторная работа
Номера разделов
основных учебников
начала
элемента
Технологическая карта дисциплины
«Дифференциальные уравнения»
9
19
Направление
Специальность(и)
Трудоемкость дисциплины 2,6 зач. ед.
010500 – Прикладная математика и информатика
01050165 – математик, системный программист
Число часов в семестре 94
Семестр 4
Число часов в неделе 2
лекций 1
практических (семинарских) занятий 1
самостоятельной работы 58
9
3,5,
10
5
2
11
[1,5,
8]
6-9
8
2
3-5
6
6
2
7
2
8
2
[1,5,8]
9
2
21
Рейтинговый
балл
2
2
Неделя
рубежного
контроля
4
2
Учебнометодическая
литература
2
1
4
3, 6, 13,
14
3, 6, 13,
14
3, 5, 6,
9
3, 5, 6,
9
3,6, 110, 13
3
2
5
4
5
10
20
12
5
14
5
1
6
15
3, 5, 6,
9
1
8
15
Сл
Мм
Сл
Мм
Сл
Мм
Сл
Мм
Сл
Мм
Сл
Мм
3,6
3,6
4
3,
9
3,
9
3,
9
3,
9
5, 6,
10
5, 6,
10
5, 6,
10
5, 6,
10
Сл
Мм
3, 5, 6,
9
10
ТСО
Затраты времени
в часах
3
[1-7,
12]
[1-7,
12]
3, 5, 6,
9
1,3,5,6
,9
3,6, 110
3,6, 110
Рубежный
контроль
Затраты времени
в часах
7
4
Сл
Мм
Сл
Мм
Сл
Мм
Сл
Мм
Сл
Мм
Сл
Мм
Учебнометодическая
литература
Приближенные методы решения
ОДУ.
Операционный
метод
решения
дифференциальных уравнений и
систем.
Дифференциальные уравнения 1-го
порядка с частными производными.
1-2
Затраты времени
в часах
5
1
Номер
занятия
Краевые задачи для ОДУ
3
[1-7,
12]
[1-7,
12]
1,3,5,
6,9
1,3,5,
6,9
3,5,10
Практические (семинарские) занятия
Учебнометодическа
литература
1
Самостоятельная
работа
ТСО
Линейные
дифференциальные
уравнения высших порядков.
Система ЛДУ с постоянными
коэффициентами.
Элементы теории устойчивости.
Лекции
Номер
лекции
Неделя
изучения
модуля
Наименование элемента модуля
Форма отчетности – экзамен
Аудиторная работа
Номера разделов
основных учебников
начала
элемента
Технологическая карта дисциплины
«Дифференциальные уравнения»