Базовые учебники - Высшая школа экономики

Программа дисциплины
"Дискретная математика"
для направления 521600 - Экономика
(вторая ступень высшего профессионального образования - бакалавриат)
I. Пояснительная записка
Авторы программы: д.ф.-м.н., профессор, академик РАН Журавлёв Юрий
Иванович; д.ф.-м.н., профессор Самыловский Александр Иванович; д.ф.-м.н.,
профессор Флёров Юрий Арсеньевич; д.ф.-м.н. Кузюрин Николай Николаевич;
к.ф.-м.н. Вялый Михаил Николаевич.
Требования к студентам: Учебная дисциплина «Дискретная математика»
(5-й модуль учебного плана 1-го курса факультета Экономики) не требует
предварительных знаний, выходящих за рамки средней школы.
Аннотация: Программа включает основные понятия и методы
комбинаторики и теории графов. Дисциплина является необходимым языковым и
методологическим основанием для формирования специального дискретного
мышления. Дисциплина направлена на развитие навыков формализации и
организации понятий при создании и изучении математических моделей общих и
конкретных социально-экономических явлений, при постановке и решении
соответствующих математических задач. В настоящее время умение описывать
дискретные математические объекты, строить математические и прикладные
дискретные модели и работать с ними составляет необходимую часть ремесла
грамотного исследователя, аналитика, практика, формирует их профессиональную
культуру – proficiency. Предпочтение в курсе отдается комбинаторным
рассуждениям и конструктивной операционной стороне дела, а не теоремам
существования. Цель курса состоит в том, чтобы подготовить каждого студента к
пониманию смысла и к технике выполнения дискретных математических операций
настолько же, насколько изучающие математический анализ подготовлены к
применению непрерывных операций (типа дифференцирования и интегрирования).
Учебная задача курса: Материал курса является базовым для предметных
учебных дисциплин, связанных с математическим моделированием, с анализом и
принятием решений: «Теория вероятностей», «Методы оптимальных решений»,
«Теория игр», «Исследование операций», «Математическая теория принятия
решений», «Стохастический анализ в финансах», «Управление финансовыми
рисками», «Управление рисками и страхование», «Математические модели и
методы экспертного оценивания» и др.
Формы контроля: По курсу предусмотрены два домашних задания как
форма промежуточного контроля и зачет как форма итогового контроля.
1
II. Тематический расчет часов
№
раздела,
темы
Раздел 1
Тема 1.1
Тема 1.2
Тема 1.3
Тема 1.4
Тема 1.5
Раздел 2
Тема 2.1
Тема 2.2
Тема 2.3
Тема 2.4
Тема 2.5
Название раздела, темы
Кол-во
часов
Комбинаторные методы дискретной математики
9/9
История развития, генезис понятий, классические задачи
1/0
Перечисление комбинаторных объектов и производящие
2/2
функции
Разбиения и размещения
2/2
Логические методы комбинаторной математики
2/2
Прикладные модели и задачи, примеры применения
2/3
комбинаторных методов
Элементы теории графов
9/9
История развития, генезис понятий, классические задачи
1/0
Представления графов
2/2
Связность, деревья
2/2
Эйлеровы и гамильтоновы пути и циклы
2/2
Прикладные модели и задачи, примеры применения
2/3
методов теории графов
Всего часов:
18/18
III. Содержание программы
Раздел 1. Комбинаторные методы дискретной математики.
Тема 1.1. История развития, генезис понятий, классические задачи.
Дискретный
анализ
как
парадигма
рационального
мышления.
Конструктивность дискретного анализа. Предмет комбинаторики, история
развития, генезис современного содержания. Понятие отображения. Классическая
задача комбинаторного анализа. Комбинаторные задачи о числе функций, о
количестве слов в алфавите, о числе размещений объектов по ячейкам при
различных ограничениях. Перестановки, число перестановок n-элементного
множества. Задача Муавра о числе способов представления натурального числа как
суммы неотрицательных целых чисел. Числа Стирлинга первого рода,
рекуррентное соотношение для них.
2
Тема 1.2. Перечисление комбинаторных объектов и производящие
функции.
Биномиальные коэффициенты. Количество различных подмножеств данного
множества. Производящие функции. Производящая функция для числа сочетаний.
Основные комбинаторные тождества для чисел сочетаний. Полиномиальные
коэффициенты. Задача о числе размещений n объектов по p ячейкам при заданном
количестве объектов в каждой ячейке. Производящая функция для
полиномиальных коэффициентов, основные комбинаторные тождества для них.
Тема 1.3. Разбиения и размещения.
Число разбиений n объектов на m классов. Числа Стирлинга второго рода,
рекуррентное соотношение для них. Число сюръективных отображений nмножества на m-множество. О разложении степени в базисе по нижним степеням.
Основные комбинаторные тождества для чисел Стирлинга второго рода.
Двенадцатиричный путь: количество размещений n объектов по m ячейкам
(объекты различные или одинаковые; ячейки различные или одинаковые;
размещения произвольные, либо каждая ячейка не пуста, либо в каждой ячейке не
более одного элемента). Числа Белла разбиений конечного множества на
непересекающиеся подмножества, рекуррентное соотношение для чисел Белла.
Тема 1.4. Логические методы комбинаторной математики.
Принцип включений-исключений. Формула включений-исключений. Задача
о числе беспорядков, задача о числе сюръективных отображений конечных
множеств.
Системы
представителей
множеств.
Системы
различных
представителей, необходимое и достаточное условие их существования, алгоритм
построения для заданной системы множеств. Системы общих представителей,
необходимое и достаточное условие их существования.
Тема 1.5. Прикладные модели и задачи, примеры применения
комбинаторных методов.
Комбинаторные задачи планирования выборочных обследований.
Перечислительные задачи о назначениях. Экстремальные комбинаторные задачи "о
покрытии", о выборе информативных признаков, о лотереях. Задачи логического
проектирования процедур выбора решений. Задачи о бродячем торговце, о ранце, о
голосовании, о коалициях, о составлении вопросников. Модели группового выбора,
планирования социально-экономического поведения. Модель планирования
развития малого бизнеса.
Раздел 2. Элементы теории графов.
Тема 2.1. История развития, генезис понятий, классические задачи.
Становление и развитие теории графов. Задача Эйлера о кёнигсбергских
мостах. Проблема четырех красок. Генезис современного состояния предмета.
3
Тема 2.2. Представления графов.
Определение графа. Неориентированные и ориентированные графы.
Отношения инцидентности (смежности). Изоморфные графы. Полные
ориентированные и неориентированные графы. Степени вершин графа. Число
вершин нечетной степени в конечном графе. Табличное представление графов.
Матрица инциденций. Матрица смежности (вершин). Список пар, список
инцидентности. Поиск в глубину и в ширину в графе.
Тема 2.3. Связность, деревья.
Пути (маршруты, цепи) в графе. Простые пути, циклы. Связность. Связный
граф. Подграфы. Связные компоненты графа. Теорема о связанности двух вершин,
имеющих нечетную локальную степень. Максимальное число ребер в графе с n
вершинами и k связными компонентами. Достаточное условие связности графа с n
вершинами. Деревья. Связанность любых двух вершин дерева единственным
простым путем. Изображение дерева. Концевые (висячие) вершины и концевые
(висячие) ребра дерева. Количество ребер у дерева с n вершинами. Теорема о числе
различных деревьев с данными n вершинами. Остовное дерево графа (каркас).
Алгоритм построения остовного дерева. Остовное дерево и кратчайшие пути в
графе.
Тема 2.4. Эйлеровы и гамильтоновы пути и циклы.
Эйлеровы пути и циклы. Теорема о существовании эйлеровых путей и
циклов в графе. Алгоритм построения эйлеровых циклов. Оценка сложности
алгоритма. Гамильтоновы пути и циклы. Сложность задачи проверки
существования гамильтонова цикла. Пути, имеющие тип цикла. Достаточное
условие для того, чтобы полный простой путь имел тип цикла. Связь между
наличием в связном графе гамильтоновых циклов и длиной максимальных простых
путей в нем. Нахождение кратчайших путей в ориентированном графе. Алгоритм
построения кратчайшего пути от фиксированной вершины до всех остальных
вершин в ориентированном графе (случай неотрицательных весов ребер).
Тема 2.5. Прикладные модели и задачи, примеры применения методов
теории графов.
Оценки структурных компонент графа. Задача о максимальном потоке и о
минимальном разрезе в сети. Максимальный поток в транспортной сети. Задача на
узкие места. Задача о потоке минимальной стоимости. Задача минимальной
стоимости о спросе и предложении. Задачи о складе, о поставщике, о
многопродуктовых потоках. Кривая стоимости проекта. Метод критического пути
при управлении проектом (совокупностью работ). Методология "ветвей и границ".
4
IV. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.
Литература
Базовые учебники
1. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. – М.:
Вузовская книга, 1999.
2. Журавлёв Ю.И., Флёров Ю.А. Дискретный анализ. Ч.I: Учебное пособие. - М.:
Изд-во МФТИ, 1999.
Основная литература
1. Акимов О.Е. Дискретная математика: логика, группы, графы. – М.: Лаборатория
Базовых Знаний, 2001.
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения по курсу дискретной
математики. - М.: Наука, 1992.
3. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбинаторики. – М.: Наука,
1977.
4. Емеличев В.А. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990.
5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. - М.: Изд-во МАИ,
1992.
6. Оре Ойстин. Графы и их применение. – М.: Мир, 1965; - Новокузнецк: Изд.
отдел Новокузнецкого физико-математического ин-та, 2000.
Дополнительная литература
1. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию
операций. - М.: Изд-во МГУ, 1997.
2. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. - М.: Наука, 1975.
3. Гаврилец Ю.Н. Социально-экономическое планирование (системы и модели). М.: Экономика, 1974.
4. Грэхем Рональд Л., Кнут Дональд Е., Паташник Орен. Конкретная математика. М.: Мир, 1998.
5. Кофман Арнольд. Введение в прикладную комбинаторику. - М.: Наука, 1975.
6. Кофман Арнольд, Фор Робер. Займемся исследованием операций. - М.: Мир,
1966.
7. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г. Математическая логика. Курс лекций.
Задачник - практикум и решения. - СПб.: Лань, 1999.
8. Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов. – СПб.: Питер, 2000.
9. Оре Ойстин. Теория графов. - М.: Наука, 1968.
10. Очерки по истории математики: Учебное пособие / Под ред. Б.В.Гнеденко. - М.:
Изд-во МГУ, 1997.
11. Романовский И.В. Дискретный анализ. Учебное пособие. – СПб.-М.: Невский
диалект – Физматлит, 2000.
5
12. Томас Ричард. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. М.: Дело и Сервис, 1999.
13. Уилсон Р.Дж. Введение в теорию графов. - М.: Мир, 1977.
14. Форд Л.Р., Фалкерсон Д.Р. Потоки в сетях. - М.: Мир, 1966.
15. Харари Фрэнк. Теория графов. - М.: Мир, 1973.
16. Ross Sheldon M. Topics in Discrete and Finite Mathematics. (Univ. of California). –
UK: Cambridge University Press, 2000.
Литература для углубленного изучения научной области
1. Басакер Роберт Дж., Саати Томас Л. Конечные графы и сети. - М.: Наука, 1974.
2. Винс Ральф. Математика управления капиталом. – М.: ИД «Альпина», 2000.
3. Вопросы анализа и процедуры принятия решений / Сб. переводов под ред.
Г.С.Поспелова. - М.: Мир, 1976.
4. Кемени Джон Дж., Снелл Дж.Л., Томпсон Дж.Л. Введение в конечную
математику. – М.: Мир, 1965.
5. Липский В. Комбинаторика для программистов. - М.: Мир, 1988.
6. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. - М.: ИЛ, 1963.
7. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. - М.: Изд-во МГУ, 1972.
8. Рыбников К.А. Комбинаторный анализ. Задачи и упражнения. - М.: Наука, 1982.
9. Сойер У.У. Путь в современную математику. - М.: Мир, 1972.
10. Сорос Джордж. Алхимия финансов. - М.: ИНФРА-М, 1999.
11. Тараканов В.Е. Комбинаторные задачи и (0,1)-матрицы. - М.: Наука, 1985.
12. Холл Маршалл. Комбинаторика. - М.: Мир, 1970.
13. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. – М.: Аудит, ЮНИТИ,
1997.
14. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику: Учебное пособие для
ВУЗов. – М.: Высшая школа, 2001.
15. Cook Wade D., Kress Moshe. Ordinal Information and Preference Structures:
Decision Models and Applications. – USA, New Jersey: Prentice-Hall – Englewood
Cliffs, 1992.
6