Научно-исследовательская деятельность кафедры связана с решением фундаментальных и прикладных задач в области теории функций и функционального анализа, дифференциальных уравнений, математической физики. Основные направления научных работ кафедры Одно из направлений научной работы кафедры представлено профессором В.А.Треногиным. Оно связано с применением предложенного им в своё время современного аналитического метода теории бифуркаций в банаховых пространствах – метода ЛяпуноваШмидта, названного им так в честь этих выдающихся ученых, заложивших основы теории бифуркаций решений нелинейных интегральных уравнений. Профессором Б.Г.Разумейко проводилась совместная с кафедрами института физикохимии материалов работа, связанная с построением математических моделей в нанотехнологиях. Продолжена работа по направлению «Информационные технологии в высшем образовании», в рамках которой подготовлены и прочитаны электронные версии лекций по следующим дисциплинам: математический анализ, уравнения математической физики, теория вероятностей и математическая статистика, обыкновенные дифференциальные уравнения, функциональный анализ, аналитическая геометрия, элементы линейной и общей алгебры. Основные научные и технические результаты 1. Редукция задачи к бифуркационному уравнению часто позволяет провести ее законченное исследование, использующее алгебраические, топологические, вариационные, групповые и численные методы. В практических задачах всё чаще и чаще встречаются ситуации, когда их линейная часть не является ни фредгольмовым, ни нетеровым оператором. Кроме того, при высоких вырождениях через точку бифуркации может проходить много ветвей решений и даже поверхностей, составленных из решений. Получены результаты, связанные с этим кругом вопросов. 2. Рассматривалась задача Коши для абстрактного параболического дифференциального уравнения в банаховом пространстве Х x(t ) Bx R( x) , x(0)=0 (1) в следующих предположениях: I. B - замкнутый линейный оператор с плотной в X областью определения D; II. B - фредгольмов оператор в следующем случае: его подпространство нулей N(B) nмерно, а область значений замкнута в X и имеет n-мерное прямое дополнение; III. - B является генератором ограниченной на X аналитической полугруппы U(t); IV. нелинейный оператор R(x) является аналитическим в смысле Фреше в точке x=0 и R(0)=R(0)=0. В предшествовавших работах полугруппа U(t) предполагалась экспоненциально убывающей, а оператор B непрерывно обратимым. На основе леммы Шмидта-Треногина задача (1) редуцируется к эквивалентной задаче Коши в Rn, являющейся аттрактором уравнения разветвления Ляпунова-Шмидта. На этом пути установлен ряд утверждений об устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову тривиального решения (1). Кроме того, для дифференциального уравнения (1) рассмотрена задача о периодических решениях (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа). Эти же аргументы применялись к дифференциальному уравнению вида (1) с линейным оператором (вырожденным или невырожденным) при производной. 3. Решалась задача об определении потенциальной энергии несжимаемой тяжелой капиллярной флотирующей жидкости в трехмерном слое бесконечной глубины со свободной верхней границей. Вычислена асимптотика периодических режимов на свободной верхней границе, близкой к горизонтальной плоскости, ответвляющихся от основного течения с постоянной скоростью V в направлении оси Ox. Исследована их устойчивость относительно возмущений тех же периодов. Использовались методы симметрийной теории бифуркаций и группового анализа дифференциальных уравнений, первый метод А.М. Ляпунова в применении к обыкновенному дифференциальному уравнению, в правой части которого стоит нелинейный оператор конечномерного уравнения разветвления. Выполнение хоздоговорных и бюджетных работ Грант РФФИ 07-01-91680_РА_а «Исследование устойчивости разветвляющихся решений абстрактных параболических уравнений методами А.М. Ляпунова с приложениями к нелинейным явлениям» Научн. рук. – проф. В.А.Треногин Заказчик – ГОУ ВПО Ульяновский Политехнический институт Финансирование 2008 г. – 150000 рублей Основные публикации 1. Треногин В.А. Бифуркационное уравнение в направлении допустимого касательного вектора. – Тезисы докладов 3-ей международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посв. 85-летию Л.Д.Кудрявцева. М.: МФТИ, 2008. – С.193-196. 2. Vladilen A. Trenogin, Natalia N. Avxentieva, Luiza R. Kim-Tyan, Use of Jordan chains in stability and bifurcation problems, XVIth Conf. on Applied and Industrial Mathematics (CAIM2008) 9-12.10.2008 Oradea University, Romania, Abstracts, р. 63-64. 3. V.A. Trenogin, Two reduction schemes in investigation of asymptotic stability by Lyapounov for abstract parabolic differential equations, XVI-th Conf. on Applied and Industrial Mathematics (CAIM-2008) 9-12.10.2008 Oradea University, Romania, Abstracts, р. 64 4. Artyom N. Andronov, Luiza R. Kim-Tyan, Boris V. Loginov, Bifurcation and stability in the problem on capillary-gravity waves on the surface of floating layer. XVIth Conf. on Applied and Industrial Mathematics (CAIM-2008) 9-12.10.2008 Oradea University, Romania, Abstracts, p.3 5. Дзидзигури Э.Л., Сидорова Е.Н., Разумейко Б.Г. Анализ гранулометрического состава нанодисперсных порошков металлов. – Материалы научно-технической конференции "Применение дисперсных и ультра-(нано)-дисперсных порошковых систем в промышленных технологиях". Санкт-Петербург, 2008. – С. 45-46. 6. Дзидзигури Э.Л., Сидорова Е.Н., Разумейко Б.Г. Методы исследования размерных характеристик наноматериалов и их взаимосвязи. – Международный форум по нанотехнологиям. Москва, 3-5 декабря 2008. 7. Ким-Тян Л.Р., Недосекина И.С. Размышления об «инновационных технологиях» в образовании. – Тезисы докладов 3-ей международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посв. 85-летию Л.Д.Кудрявцева. М.: МФТИ, 2008. – С.770-772. 8. Ким-Тян Л.Р., Недосекина И.С. Инновационные технологии в образовании и математика. – Труды Средневолжского математического общества, 2008, том 10, №1, с.336-338. 9. Шишкова Е.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования. - Математика. Механика: Сб.научн.тр. - Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 2008. - Вып. 10. С. 95-101. Участие в конференциях 1. 3-я Международная конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посв. 85-летию Л.Д.Кудрявцева, 25-28 марта 2008, Москва, РУДН. 2. 8-я Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", 1216 мая 2008 года, Саранск. 3. XVIth Conf. on Applied and Industrial Mathematics (CAIM-2008), 9-12.10.2008, Oradea University, Romania. 4. Научно-техническая конференция «Применение дисперсных и ультра-(нано)-дисперсных порошковых систем в промышленных технологиях», 8-10 июля 2008, Санкт-Петербург. 5. Международный форум по нанотехнологиям, 3-5 декабря 2008, Москва. Объекты интеллектуальной собственности (патенты, НОУ–ХАУ) Заявка №2008127198 на выдачу патента на изобретение «Способ получения магнитотвердого композиционного материала с нанокристаллической структурой»/ Лилеев А.С., Разумейко Б.Г., Викторов В.Н., Жуков Д.Г., Старикова А.Н., Дупляков А.В. Приоритет заявки 07.07.2008.