Ардуванова Ф. из монографии часть 2
реклама
Часть 2 Прямая и обратная пространства учебной задачи задачи в структуре Выполненный анализ научных работ, посвященных учебной задаче, обусловливает необходимость исследования причинно-следственных связей в структуре прямой и обратной задачи. Недостаточный уровень разработки данных понятий и нарастающее использование в преподавании математики в современной школе прямых и обратных задач также требует их уточнения. Изложенное выше требует уточнения определения прямой и обратной задачи, а также структуры знаний, описывающих прямую и обратную задачи. Задача в самом общем виде – это система, обязательными компонентами которой являются: предмет задачи, находящийся в исходном состоянии, и 2) модель требуемого состояния предмета задачи. Не исключается наличие в составе задачи как системы и иных компонентов. Задачная ситуация – некоторая совокупность объектов, допускающая системное представление в виде задачи, но еще не получившей такого представления. Знаковой моделью задачи является словесное описание задачи, называемое также формулировкой или условием задачи. Наша практика работы с учебными задачами показала, что решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анализировать заданную ситуацию, сопоставлять данные и искомые, решаемую задачу с решенными ранее, выявляя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и четко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении задачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Для решения задач используется половина учебного времени уроков математики (700-800 академических часов в V-ХI классах), следовательно, правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся. Значительным резервом методики обучения решению математических задач является интеграция прямой и обратной задач. Исходя из длительного опыта работы с учебными задачами, мы предположили, что обратная задача содержит в себе огромный дидактический потенциал, не используемый в практике преподавания математики, так как решение обратной задачи способствует более интенсивному, более глубокому формированию мыслительной деятельности учащегося, приобретению его исследовательского и творческого опыта. Однако в существующей литературе работы, посвященные прямой и обратной задачи не дают достаточно полного определения и методического обеспечения. Так, П.М.Эрдниев рассматривает в системе укрупнения дидактических единиц (УДЕ) составление учащимися обратной задачи как главное средство «выращивания» знаний школьников, «…если решена задача, то важно исследовать обратную задачу». Под приемом обратных задач подразумевается обращение структуры данной задачи, «что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий». Л.М.Фридман также выделяет полезность упражнений на составление обратной задачи и также определяет обратную задачу как обращенную прямую задачу: «Обратной задачей называется задача, в которой одним из требований является какое-то известное условие прямой задачи, а это условие заменяется ответом прямой задачи…». Далее, в учебных пособиях встречаются задания на составление обратных задач, при этом также подразумевается обращение данной задачи. Размышления о пользе и эффективности решения обратной задачи учащимися при усвоении учебного материала мы встречаем также у Ж.Вернье, у С.С.Бакулевской, М.В. Тарановой, А.У. Арзикулова и др. Тем не менее, в теории и практике использования УДЕ и в других работах авторами не разделяются понятия обратной операции и обратной задачи, что, на наш, взгляд принципиально важно. Как видно, из вышеизложенного, понятия прямой и обратной задачи не разделяются, обратная задача рассматривается исходя из понятия обратной операции или действия, что на наш взгляд вносит некорректность и неполноту в понимании этих понятий. Таким образом, несмотря на достаточно широкое использование прямых и обратных задач в преподавании математики, недостаточный уровень научно-методических исследований данных понятий требует их полного определения и раскрытия их возможностей. На практике возникает необходимость наполнения банка задач для проведения контроля знаний по определенным элементам знаний или их совокупности. Для части элементов знаний задач достаточное количество, а для части – недостаточно. С изменением учебного материала морально устаревают некоторые системы учебных задач, а для вновь появившихся их и не имеется. В качестве примеров можно также указать составление типовых многовариантных систем для индивидуальных работ обучаемых (школьников, студентов и других). В частности, для проведения Единого государственного экзамена по математике требуется составлять однотипных задач не менее 20 вариантов, при этом желательно, чтобы не все задачи из 20 были фасетными, т.е. отличались бы не только числовыми данными. На примере собственного опыта составления учебных задач в качестве автора задачников, участника и победителя ежегодного конкурса контрольно-измерительных материалов для ЕГЭ (2002 – 2006 г.г.), проводимого Федеральным институтом педагогических измерений по поручению Министерства образования РФ, раскроем содержание деятельности по проектированию задач. Рассматривая содержание и решение задач, используемых в практике преподавания предметов физико-математического цикла, можно увидеть общность их структуры. В учебной задаче выделяются три компонента: 1) предписание (явное или скрытое) совершить некоторое действие (простое или сложное) для достижения определенного результата, т.е. цель задачи; 2) указание на объект, относительно которого должно быть совершено данное действие, т. е. условие задачи; 3) отношение между указанными выше двумя факторами, потенциально содержащее в себе способ достижения необходимого результата. Указание на объект, над которым должно быть совершено действие, превращается (для ученика) в исходные данные, из предписания совершить действие для получения некоторого результата извлекается искомое. Третьим компонентом задания на данном уровне (в процессуальном плане) будет реализация отношения между данным и искомым, т.е. осуществление решения (поиск способа решения; нахождение операций, составляющих процесс решения; выполнение этих операций). Данное определение позволяет разбить множество задач на два непересекающихся класса: класс прямых задач и класс обратных задач. Определим прямую задачу как учебную задачу, которая характеризуется причинно-следственной цепочкой «известное условие» «процесс решения» «неизвестный результат». Решение прямой задачи есть поиск ответа на вопрос «Что будет, если …?». Обратную задачу определим как учебную задачу, в которой реализуется причинно-следственная цепочка «неизвестное условие» «процесс решения» «известный результат». В этой цепочке следует читать последовательность именно справа налево. Под решением обратной задачи будем подразумевать реконструкцию условия прямой задачи при известном результате, т.е. поиск ответа на вопрос: «При каких условиях реализуется требуемый результат?». В таком случае известный результат не определяет однозначную задачную ситуацию. Движение от известного результата к искомым данным сопровождается многовариантностью решения обратной учебной задачи, что требует наложения ограничений на неизвестное условие (условие на условие), на действия в процессе решения (выполнять или не выполнять определенные алгоритмические действия, в том или ином порядке) и т.д. Многовариантность является важным качеством учебной задачи, так как обусловливает высокую степень неопределенности обратной учебной задачи, и в этом заключается ее учебная ценность. Решение обратной учебной задачи, по сути, представляет процесс конструирования (составления) множества задач, из которых одна или несколько задач связаны с прямой задачей. Рассматривая структуру решения обратной учебной задачи, выделим ее основные элементы (этапы): выявление множественности вариантов рассматриваемых условий; введение ограничений (условий на условия) на использование тех или иных условий; проверка на устойчивость задачной ситуации при выбранных условиях. Постановка обратной задачи, по сути, есть поиск ответа на вопрос: «Что нужно знать, чтобы можно было найти это?». То есть нахождение неизвестных условий для известного результата позволяет выявить множество условий или комбинаций условий. Данное явление можно определить как ветвление обратной задачи. Основания, по которым выбирается та или иная траектория решения обратной задачи, представляют собой фильтр для отсечения ненужных вариантов решения, они служат как бы переключателями перехода на ту или иную траекторию формирования обратной задачи. Данные основания представляют собой содержательно-дидактические характеристики траектории решения. В практике научных исследований постановка и решение обратной задачи, поиск причин, условий некоторого явления есть основная движущая сила научно-исследовательской деятельности. Заметим, что и в жизни человек по сути решает обратные задачи в поисках на вопросы: «Что нужно сделать, чтобы стать счастливым? Как стать обеспеченным? Как провести время? Что сделать, чтобы было так…?». На рис.2 представлен сравнительный анализ характеристик прямой и обратной задач, который проведен из приведенных выше определений понятий: прямая задача, обратная задача. Основная идея заключается в том, что проектирование учебных задач, которая выражается в подготовке дидактических материалов, конструирования «дидактического генератора» задач это деятельность, относящаяся к решению обратной задачи, а решение прямых задач – к использованию дидактических материалов преподавателем в учебном процессе, причем не только в контролирующих целях. ХАРАКТЕРИСТИКА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО РЕШЕНИЮ ПЗ ДМС ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ К3 К2 репродуктивная использование дидактических материалов ХАРАКТЕРИСТИКА РЕЗУЛЬТАТА ПЗ К1 выявление различных комбинаций элементов К4 по заданному алгоритму ПРЯМАЯ И ОБРАТНАЯ ЗАДАЧИ достижение результата применение отношения, связи между элементами выделение известных и неизвестных элементов К5 ХАРАКТЕРИСТИКА РЕЗУЛЬТАТА ОЗ выбор траектории решения проверка на устойчивость задачной ситуации анализ и выводы К8 ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ инверсивная проектирующая конструирующая творческая подготовка дидактических материалов К7 ХАРАКТЕРИСТИКА ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ПО РЕШЕНИЮ ОЗ дидактический генератор задач К6 ДМС ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ Рис.1 Сравнительный анализ характеристик прямой задачи и обратной задачи. Прямая и обратная задачи различаются по характеристикам этапов решения и соответственно, деятельности учащихся по их решению. Поиск решения учебной задачи в условиях неопределенности не только инициирует познавательную творческую деятельность учащегося, но и ведет к развитию многомерного мышления, адекватного окружающему миру, будущей профессиональной деятельности в науке или производстве. Если для прямой задачи деятельность учащегося при его решении носит в основном, исполнительный, репродуктивный характер, то для обратной – конструирующий, проектирующий, то есть продуктивный характер, что отвечает тенденциям современного математического образования. Так, например, в практике научных исследований постановка и решение обратной задачи, поиск причин, условий некоторого явления есть основная движущая сила научно-исследовательской деятельности. Заметим, что и в жизни человек по сути решает обратные задачи в поисках на вопросы: Что нужно сделать, чтобы стать счастливым? Как стать обеспеченным? Как провести время? Что сделать, чтобы было так…? Рассмотрим решение прямой и обратной учебных задач в практике преподавания математики: Пример 1. Прямая задача (рис. 3): Найти сумму чисел 3 и 5. Здесь условие: числа 3 и 5. Их сумма равна 8. Эта задача имеет единственное решение, в том смысле, что результат произведенных действий является однозначным. Результат Процесс Условие: Числа 3 и 5 решения: 8 3+5 Рис. 3. Схема прямой задачи. Обратная задача (рис. 4): Найти числа, складывая которые, получим 8. Здесь условие неизвестно, но известен результат действий – сумма чисел должна быть равна 8. Эта задача имеет бесконечно много решений (в смысле вариативных условий), при этом действия, проводимые в процессе решения, могут быть теми же, что и при решении прямой задачи. Условие: Натуральные числа (3 и 5) Условие: Целые числа Условие: Дробные числа Решают в начальной школе Процесс решения: Условие: Иррациональные числа Действительные числа ?+? Результат 8 Рис. 4. Схема обратной задачи Рассматривая в этом контексте задачу о нахождении слагаемого при заданных значениях суммы и второго слагаемого, которую часто приводят в учебной литературе как пример «обратной задачи», можно видеть, что она по конструкции является прямой задачей, в решении которой используется обратная математическая операция - вычитание. Пример 2. Прямая задача: Найти площадь прямоугольного треугольника, если известны его гипотенуза и высота, опущенная на гипотенузу. Анализируя эту несложную задачу, учащиеся выделяют основные этапы решения прямой задачи (рис. 5): выделение известных и неизвестных элементов треугольника в исходном состоянии; применение отношения, связывающего известные и неизвестные элементы; достижение результата. Проектирование учебных задач составителем предполагает понимание ими причинно-следственных связей между компонентами прямой или обратной задачи, которое в свою очередь, приводит к усвоению общего метода анализа ситуации, применимого не только к задачам, например, вычислительного типа. Представление указанных причинно-следственных связей в форме моделей – матриц для обратной и прямой задач позволяет установить содержание и структуру ориентировочной основы действий, прогнозировать познавательные затруднения учащихся при решении учебных задач, решить проблему наглядности представления учебного материала [Штейнберг В.Э. Дидактические многомерные инструменты: Теория, методика, практика. - М.: Народное образование, 2002. – 241с., Штейнберг В.Э. Технологические основы педагогической профессии: Учебно-методическое пособие. – Уфа: БГПУ-УрО РАО - АПСН, 2002. – 80 с. ]. Проектирование моделей учебных задач – матрицы решения прямой, матрицы решения обратной задачи базируется на выделении известных и неизвестных элементов задачи и на анализе их отношений, связей. Матрица для прямой задачи в общем виде (Рис. 5) представляет собой двумерную решетку с координатными осями, на вертикальной из которых располагаются компоненты условия и требования, а по другой, горизонтальной, ориентированной слева направо, прослеживается ход решения. ЭЛЕМЕНТЫ УСЛОВИЯ И ТРЕБОВАНИЯ Рис. 5 Обобщенная матрица решения прямой задачи Ход решения разбивается на следующие основные этапы: исходное состояние, которое характеризуется наличием известных и неизвестных элементов; нахождение отношений, связующих известные и неизвестные элементы (определение, свойства, законы, формулы и т.д.); и непосредственно, сам результат с определенными значениями требуемых элементов. Матрица прямой задачи позволяет показать «скелет» задачи, его составные части, логику построения рассуждения по решению задачи, показать, что явления, найденные при решении этой задачи, присутствуют и в других задачах, тем самым, вооружить учащихся методологией поиска решения задачи. Особенности построения матрицы для решения обратной задачи продиктованы, сформулированным выше, определением, что под решением обратной задачи подразумевается реконструкция условия прямой задачи при известном результате, т.е. поиск ответа на вопрос: «При каких условиях реализуется требуемый результат?». Матрица для решения обратной задачи (рис. 6) также представляет собой двумерную решетку с координатными осями, на вертикальной из Известный результат комбинация условий 10 9 комбинация условий 3 3 2 2 1 8 7 комбинация условий 6 комбинация условий 5 4 комбинация условий 3 известный результат данной прямой задачи 1 2 комбинация условий Выбор условий I типа Выбор условий II типа 1 Выбор условий III типа Выбор комбинации условий 4 которых располагается известный результат прямой задачи, а по другой, горизонтальной, прослеживается прохождение отбора условий задачи. Горизонтальная ось ориентирована справа налево, что обусловлено самим характером обратной задачи – поиском необходимых условий для известного результата. То есть, рассматривая на временной оси решение обратной задачи, известный результат наблюдается раньше, чем найденное неизвестное условие. Условия задачи разделяются по типам, например, тип фигуры, тип используемой формулы, тип функции, и т.п., каждый из которых, в свою очередь, имеет определенные значения. Выстраивание траектории решения обратной задачи есть выбор условий внутри каждого из типов условий, который приводит к некоторой определенной комбинации условий, которая может совпадать с условиями прямой задачи, а может не совпадать, что определяется учебными целями урока. Рис. 6 Обобщенная матрица решения обратной задачи Например, выделенная траектория решения обратной задачи (на рис.6) проходит через узловые моменты: известный результат данной прямой задачи - выбор условий I-го типа (условие 1) - выбор условий II-го типа (условие 4) - выбор условий III-го типа (условие 8) – выбранная комбинация условий. Варьируя выбор условий на каждом из этапов, можно проследить за построением других траекторий решения обратной задачи, каждая из которых приводит к некоторой прямой задаче. Матрица решения обратной задачи является своего рода материализованной формой системы учебных задач, позволяет наглядно представлять связи между задачами, отбирать наиболее важные, ключевые моменты содержания учебного материала и служить ориентировочной основой действий. Анализ содержания занятия по учебной теме путем построения обратной задачи позволяет учителю и учащимся увидеть логические и смысловые связи между существующими задачами на эту тему, понять, что матрица обратной задачи задает дидактическое пространство учебных задач, структурированных по уровню сложности, по обязательным знаниям, умениям, навыкам, по выбору метода решения. Такая форма подготовительной работы позволяет сэкономить время подготовки учителя к уроку, отпадает необходимость прорешивать задачи, предложенных в задачниках и методических пособиях. Исходя из вышесказанного, приведем пример построения матриц для прямой и обратной задач по теме: «Соотношение элементов прямоугольного треугольника» (учебный предмет – геометрия). Как и по любой другой теме, учителем проводится анализ содержательной части предстоящего занятия на эту тему на подготовительном этапе. При разработке сценария занятия логично начать его с решения какой-либо задачи системы, которая для учащихся задается как прямая задача. ЭЛЕМЕНТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА b c2 a2 s in a a , cos c c Рис. 7 Матрица прямой задачи «Найти элементы треугольника по его катету и гипотенузе» Например: «У прямоугольного треугольника известны его катет а и гипотенуза с. Найти его второй катет и острые углы». Затем учащимся предлагается построить матрицу сформулированной прямой задачи (рис.7). По вертикальной оси располагаются элементы прямоугольного треугольника, входящие в условие и требование задачи: известные элементы - катет а и гипотенуза с, неизвестные элементы - катет b и два острых угла и . Этап решения, соответствующий выделению известных и неизвестных элементов, есть исходное состояние. На следующем этапе определяется алгоритм нахождения неизвестных элементов, использующий соотношения между элементами прямоугольного треугольника. Реализация этого алгоритма приводит к требуемому результату решения задачи. Сформулируем обратную задачу таким образом: Что нужно знать, чтобы можно было найти катет и два острых угла прямоугольного треугольника? Проведем предварительный анализ задачной ситуации для обратной задачи в общем виде: Какие элементы прямоугольного треугольника достаточно задать, чтобы можно было найти остальные элементы? Для прямоугольного треугольника можно выделить его основные элементы: два катета а и b, гипотенузу с, два острых угла и . Эти элементы, связаны следующими отношениями: а2 + b2 =c2 (теорема Пифагора) (1), + =90 (2), а=с sin (3), b=c sin (4). Из этих соотношений видно, что для реализации принципа определяемости геометрической фигуры (Людмилов), иначе говоря, чтобы определить прямоугольный треугольник единственным образом, необходимо знать либо две его любые стороны, либо одну сторону и один угол, величиной меньше 90. Тогда можно выделить следующие комбинации элементов треугольника: 1) два катета; 2) катет и гипотенуза; 3) угол и гипотенуза; 4) угол и прилежащий к нему катет; 5) угол и противолежащий ему катет, задав которые можно найти и другие элементы: Затем, при выборе конкретных числовых значений для задаваемых элементов, появляются ограничения, например, значения углов не могут быть больше 90 , гипотенуза по длине должна быть строго больше любого катета. Приведенные рассуждения позволяют выделить условия трех типов: тип треугольника: равнобедренного или неравнобедренного, тип используемой формулы (1) – (4), и тип соответствующей комбинации элементов треугольника (1) – (5). Построим матрицу сформулированной обратной задачи (рис. 7). Матрица будет представлять собой двумерную решетку с координатными осями, на вертикальной из которых располагаются элементы треугольника и их комбинации, а по другой, горизонтальной, ориентированной справа налево, прослеживается прохождение отбора типа условий и их подтипов. В данном случае, траектория решения обратной задачи определяется выбором типа треугольника: равнобедренного или неравнобедренного, выбором используемой формулы (1 – 4), выбором комбинации условий, перечисленных выше (1 – 5). Известный результат а, b 4 а, с 3 b 2 а 1 с Рис. 8. Матрица обратной прямоугольного треугольника. задачи Выбор типа треугольника Выбор используемой формулы Выбор комбинации условий b, о соотношении элементов Траектория, выделенная на рис.8, проходит через узлы: неравнобедренный прямоугольный треугольник - формула (4) - комбинация условий (4). Т.е., чтобы найти катет и острые углы треугольника, нужно знать его другой катет и гипотенузу. Выстраивая различные траектории решения обратной задачи, можно получить следующую систему взаимосвязанных задач, в которой участвуют рассматриваемые соотношения элементов прямоугольного треугольника. Для неравнобедренного прямоугольного треугольника: 1. Известны два катета треугольника. Найти его гипотенузу и два острых угла. 2. Известны катет и гипотенуза треугольника. Найти его катет и два острых угла. 3. Известны угол и гипотенуза треугольника. Найти его катеты и второй острый угол. 4. Известны угол и прилежащий к нему катет треугольника. Найти его второй катет, гипотенузу, второй острый угол. 5. Известны угол и противолежащий ему катет треугольника. Найти его второй катет, гипотенузу, второй острый угол. Для равнобедренного прямоугольного треугольника: 6. Известны два катета треугольника. Найти его гипотенузу. Задавая численные значения для каждой задачи, можно составить требуемое количество вариантов. Таким образом, по данной теме проведено построение подпространства задач, которое в совокупности с задачами по другим темам, задает пространство всех учебных задач. Условием применимости рассмотренных причинно-следственных связей между прямой и обратной задачами является наличие зависимостей, законов, постулатов, записываемых в виде соотношений, формул из нескольких величин. И чем больше величин и условий участвуют в них, тем обширнее дидактическое пространство учебных задач. Следует отметить, что для вычислительной задачи можно определить два основных уровня сложности: простой - когда известные элементы задаются в числовом виде, и высокий – при задании в общем виде, т.е. в буквах. В последнем случае имеет место более высокий уровень абстрагирования, даже для простой по сюжету задачи. Проектирование учебных задач по выше описанной технологии используется не только в преподавании математики, а и в других предметах естественно-математического цикла: физики, химии и т.д., и даже в предметах гуманитарного цикла. Например, по литературе анализ плана сочинения или художественного произведения – есть обратная задача и предполагает исследовательский характер деятельности для обучаемого, а написание сочинения представляет прямую задачу и предполагает исполнительный характер. Выявление логических и смысловых связей между исследуемыми дидактическими понятиями (прямая задача, обратная задача, ключевая «Вставить в слове ш _ л пропущенную букву». Рис. 9 Матрица решения прямой задачи: задача), их материализация в форме модельных конструкций (матриц, логико-смысловых моделей), практическая реализация положений теории инструментальной дидактики позволило создать систему действий составителя задач. При этом традиционный метод проб и ошибок при составлении задач уступает место технологичному (осмысленному, программируемому, эффективному, наглядному) профессиональному творчеству. В качестве приложения приведем модели прямой и обратной задачи по русскому языку и изобразительному искусству на рис. 9 – 12. Рис. 10 Матрица решения обратной задачи «При каких условиях пишется буква о (или ё) после шипящих?» Рис. 11 Матрица решения прямой задачи: «Построение изображения объемных предметов в цвете» «Какие условия определяют изображение объемных предметов в цвете?» Рис. 12 Матрица решения обратной задачи
