РАСЧЕТ ДВУХКОНТУРНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УСИЛИТЕЛЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОПЕРАТОРНОГО МЕТОДА Чжан Фанцэ Томский политехнический университет Научный руководитель: Харлова Александра Николаевна Операционное исчисление является эффективным средством расчета электрических цепей, что достаточно подробно рассматривается в теоретических основах электротехники. Рассмотрим применение операционного исчисления к расчету электрических цепей на примере. Расчета схемы двухконтурного параметрического усилителя. Рис.1 Рассмотрим схему (рис.1), состоящую из двух контуров, связанных переменной емкостью c3 . В одном из контуров действует переменная ЭДС ( в случае усилителя синусоидальная), которую обозначим через e . При известных соотношениях между собственными частотами контуров и частотой изменения емкости c3 может быть получен эффект усиления колебаний. На этом и основывается действие применяемых в радиотехнике параметрических усилителей. Обозначим напряжение на конденсаторе c3 через U . Основываясь на законе Кирхгофа и учитывая , что ток i3 (t ) и напряжение dU составим систему из четырех уравнений U связаны соотношением i3 c3 dt интегро-дифференциальных уравнений: di2 di1 L1 dt r1i1 u L2 dt r2i2 e, t 1 di1 L r i 1 dt 1 1 c (i1 i3 )dt e, 1 0 t L di2 r i 1 (i i )dt , 2 dt 2 2 c 3 2 2 0 dU i3 c3 dt с нулевыми начальными условиями i1 (0) 0, i2 (0) 0, i3 (0) 0 , что соответствует задаче включения. В приведенной выше системе уравнений L1 , L2 , r1 , r2 , c1 , c2 , c3 и e являются постоянными величинами. Решение этой системы уравнений обычными методами является довольно затруднительным. Поэтому для нахождения решения воспользуемся методами операционного исчисления. Введем изображения токов i1 (t ) I1 ( p) , i2 (t ) I 2 ( p) и i3 (t ) I 3 ( p) . Токи I1 ( p), I 2 ( p), I 3 ( p ) называются операторными токами. Изображение напряжения U обозначим через U ( p ) Используя теорему об дифференцировании оригинала найдем изображения dx x(t ) pX ( p ) x(0) dt di1 di и 2 учитывая начальные условия : dt dt di1 pI1 ( p ) i1 (0) pI1 ( p ) dt di2 pI 2 ( p ) i2 (0) pI 2 ( p ) . dt Аналогично находим изображение для t 0 dU dU pU ( p ) u (0) : dt dt Используя свойство линейности и теорему об интегрировании оригинала t t F ( p) f ( )d найдем изображения (i1 i3 )dt и (i3 i2 )dt : p 0 0 t t t (i i )dt i dt i dt 1 3 1 3 0 0 0 t t t 0 0 0 (i1 i3 )dt i1dt i3dt I1 ( p) I 3 ( p) , p p I1 ( p) I 3 ( p) p p Запишем теперь систему уравнений в операторном виде: e L1 pI1 ( p ) r1 I1 ( p ) U ( p ) L2 pI 2 ( p ) r2 I 2 ( p ) p , 1 I1 ( p) 1 I 3 ( p) e , L1 pI1 ( p ) r1 I1 ( p ) c p c p p . 1 1 1 I ( p) 1 I 2 ( p) L2 pI 2 ( p ) r2 I 2 ( p ) 3 c2 p c2 p I ( p ) c pU ( p) c u (0) 3 3 3 Преобразуем эту систему к виду e ( L1 p r1 ) I1 ( p) U ( p) ( L2 p r2 ) I 2 ( p ) p , I1 ( p) I 3 ( p) e , ( L1 p r1 ) I1 ( p) c1 p p I ( p) I 3 ( p) ( L2 p r2 ) I 2 ( p) 2 0, c2 p I ( p) c pU ( p) c u (0) 3 3 3 Рассмотрим сначала второе и третье уравнения системы отдельно: I1 ( p) I 3 ( p) e , ( L1 p r1 ) I1 ( p) c1 p p ( L p r ) I ( p ) I 2 ( p ) I 3 ( p ) 0 2 2 2 c2 p Из первого уравнения системы найдем I1 ( p ) : I1 ( p ) ec1 I 3 ( p ) ( L1 p r1 )c1 p 1 Из второго уравнения системы найдем I 2 ( p) : I 2 ( p) I3 ( p) . ( L2 p r2 )c2 p 1 Подставим полученные значения I1 ( p ) и I 2 ( p) в первое уравнение системы. Получим ( L1 p r1 ) ec1 I 3 ( p) I 3 ( p) e U ( p) ( L2 p r2 ) . ( L1 p r1 )c1 p 1 ( L2 p r2 )c2 p 1 p С учетом последнего уравнения системы I3 ( p) c3 pU ( p) c3u(0) будем иметь ( L1 p r1 ) ec1 c3 pU ( p ) c3u (0) c pU ( p ) c3u (0) e U ( p) ( L2 p r2 ) 3 . ( L1 p r1 )c1 p 1 ( L2 p r2 )c2 p 1 p Получили линейное уравнение относительно напряжения U ( p ) . Выразим из последнего уравнения U ( p ) : e c3u (0) ec1 c3u (0) U ( p) ( L2 p r2 ) ( L1 p r1 ) ( L2 p r2 )c2 p 1 ( L1 p r1 )c1 p 1 p c p( L2 p r2 ) c p( L1 p r1 ) 1 3 3 ( L2 p r2 )c2 p 1 ( L1 p r1 )c1 p 1 Введем обозначения 1 r1 r 1 1 2 2 2 , 2 2 , 0,1 , 0,2 , 12 0,1 12 , 2 L2 2 L1 L1c1 L2 c2 2 22 0,2 22 Заметим, что величины i ri 1 , 0,2 i и i2 i2,0 i2 имеют следующий 2 Li Li ci физический смысл: i коэффициент затухания контура, 0,i круговая частота, которую имел бы контур, лишенный сопротивления, i2 круговая частота контура. Кроме того отметим, что условие i 0,i рассматриваемый контур был колебательным. выражает требование, чтобы С учетом обозначений выражение для операторного напряжения U ( p ) примет вид: e c u (0)( p 2 2 ) (ec1 c3u (0))( p 21 ) U ( p) 3 2 2 c1 ( p 1 )2 12 p c2 ( p 2 ) 2 c3 p( p 2 2 ) c3 p( p 21 ) . 1 2 2 2 2 c2 ( p 2 ) 2 c1 ( p 1 ) 1 Изменяя значения параметров i , i2 , а также емкости конденсаторов можно изучать эффект колебаний в рассматриваемом контуре. Список литературы 1. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. Конторович М.И., М: «Советское радио», 1975 2. Операционное исчисление. Римский-Корсаков Б.С., М.: Высшая школа, 1960 3. Функции комплексного переменного, операционное исчисление и теория устойчивости. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., М.: «Наука», 1981